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Números Reales
INECUACIONES o DESIGUALDADES
DESIGUALDADES
• Una desigualdad en una variable es una expresión donde se establece una relación entre dos canHdades.
• Las relaciones de orden son: <, >, ≤, ≥
DESIGUALDADES
• Ejemplos:
2x + 4 < 6x +1−6x +3≤ −8x −7x2 > 3x − 2
−5x +8 ≤10
Solución de desigualdades
• Por resolver una desigualdad se enHende determinar los intervalos o combinación de intervalos de números reales que saHsfacen la desigualdad.
• Para resolver una desigualdad se uHlizan los axiomas de los números reales.
RECORDATORIO
Propiedades de orden: • Al sumar un número se conserva la relación de orden.
• Al mulHplicar por un número posiHvo, se conserva la relación de orden.
• Al mulHplicar por un número negaHvo, se invierte la relación de orden.
EJEMPLO 0
• Ejemplo 0: Resolver las desigualdades
• Tarea: Realizar los ejercicios de Khan Academy: desigualdades de un paso.
5x >12−2x <12
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EJEMPLO 1
• Ejemplo 1: resolver la desigualdad
• Solución: una técnica es uHlizar los axiomas de los números reales para transformar la desigualdad a la forma: (o ) , donde es alguno de las relaciones de orden y es un número real.
2x + 4 < 6x +1
x Δ rΔ
r Δ x
r
EJEMPLO 1
2x + 4 < 6x +1
EJEMPLO 2
• Ejemplo 2: resolver la desigualdad
• Solución:
−6x +3≤ −8x −7
EJERCICIOS
Ejercicios 1: Resolver: Realizar los ejercicios de Khan Academy: • Desigualdades de dos pasos • Desigualdades lineales de varios pasos
x + 2 < 3x +1−7x + 4 ≤ −9x −8
EJEMPLO 3
• Ejemplo 4: resolver la desigualdad
• Solución: observar que la variable solo ocurre en la “parte central” de la desigualdad. Para resolver la desigualdad, se usan los axiomas de manera de “aislar” la variable
3< 5x −72
≤10
EJEMPLO 3
• Solución: 3< 5x −7
2≤10
135< x ≤ 27
5
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y además
EJEMPLO 3
• Solución como intervalo
x ∈ 135,
"
#$
275%
&'
EJERCICIO
• Ejercicio 2: resolver la desigualdad
−2 < 6− 2x4
≤ 5
EJEMPLO
• Ejemplo 4: resolver la desigualdad
• Solución: Se Henen dos posibles casos, según el signo del denominador, observar que el denominador no puede ser cero.
x −8x + 4
≥ 5
que se cumpla
ésta desigualdad o ésta desigualdad
EJEMPLO 4
• Caso 1: si el denominador es posiHvo, o sea, ,
se mulHplica por y se obHene la desigualdad Al reducir se obHene o si se prefiere, La solución al caso 1 es
x + 4 > 0
x + 4x −8 ≥ 5(x + 4)
(x > −4)
−7 ≥ x
(x > −4) y (x ≤ -7)x ≤ -7
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EJEMPLO 3
• El intervalo solución es la intersección de estos intervalos, que es un conjunto vacío
∅
EJEMPLO 3
• Caso 2: el denominador es negaHvo, o sea, , ahora la desigualdad es con la restricción
• Al reducir la desigualdad se obHene que, , pero no olvidar la restricción
• El intervalo de solución (del caso2) es la intersección de los dos intervalos, esto es: y como intervalo
x + 4 < 0 (x < −4)x −8 ≤ 5(x + 4) x < −4
x ≥ −7
−7 ≤ x < −4 x ∈ [−7,4)
x < −4
Ejemplo 3
• La solución a la desigualdad es la unión de las soluciones de los casos 1 y 2
O sea:
∅ ∪ [-7,4) = [-7,4)x ∈ [-7,4)
EJEMPLO 5
• Ejemplo 5: resolver la desigualdad
• Solución: se procede a expresar la desigualdad como un producto de binomios:
x2 > 3x − 2
x2 −3x + 2 > 0
(x −1)(x − 2) > 0
EJEMPLO 5
• El producto , debe ser posiHvo, se Henen dos casos: ambos factores son de signo negaHvo o de signo posiHvo.
• Caso 1: ambos factores de signo posiHvo, o sea
con solución : y como intervalo:
(x −1)(x − 2)
x −1> 0 y x − 2 > 0x >1 y x > 2
x ∈ (2,∞)
EJEMPLO 5
• Caso 2: ambos factores son de signo negaHvo:
• o sea que y
x −1< 0 y x − 2 < 0
x <1 y x < 2 x ∈ (−∞,1)
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EJEMPLO 5
• La solución de la desigualdad se obHene con la unión de las soluciones de los casos 1 y 2
• como intervalo
(2,∞) ∪ (−∞,1)
x ∈ (−∞,1) ∪ (2,∞)
EJERCICIO 2
• Ejercicio 2: Resolver la desigualdad • Solución:
x2 + 2x −8 ≤ 0
x ∈ [−4,2]
EJERCICIOS
• Resolver ejercicios del libro de texto: 1.5: Desarrolle su competencia 2, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 21, 23, 27, 31, 35, 41, 49
VALOR ABSOLUTO
• Definición:
• Algunos ejemplos de números
| x |= x si x ≥ 0−x si x < 0
#$%
&%
VALOR ABSOLUTO
• Con ecuaciones de una variable, el resultado depende del valor de la variable
• Ejemplo 6:
| x |+x = si x ≥ 0si x < 0
"#$
%$x + x = 2x−x + x = 0
EJEMPLO 7
• Ejemplo 7:
•
•
| x − 2 |+x, dos casos: x − 2 ≥ 0x − 2 < 0
#$%
&%
para x − 2 ≥ 0,o sea, x ≥ 2x − 2+ x = 2x − 2
para x − 2 < 0,o sea, x < 2−(x − 2)+ x = −x + 2+ x = 2
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EJEMPLO 7
• En resumen
| x − 2 |+x = 2x − 2, si x ≥ 22 , si x < 2
#$%
&%
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
• De la definición se desprende:
1. | x |≥ 02. | x |= 0 si y solo si x = 0
3. | x | = |−x |
4. | xy | = | x | | y |
5. xy
= | x || y |
, | y | ≠ 0
DESIGUALDADES Y EL VALOR ABSOLUTO
• Propiedades del valor absoluto 1. | x |< a si y solo si − a < x < a
2. | x |> a si y solo si x < −a o x > a3. | x + y | ≤ | x |+ | y |4. x ≤ | x | y − x ≤ | x |
5. Si y ≥ 0, entonces | x |= y si y solo si x = y para x ≥ 0−x = y para x < 0
#$%
&%
DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
• Ejemplo 8. Resolver la desigualdad
• Solución: Recordar la propiedad
que aplicada al ejemplo:
| x − 4 |< 30
| x |< a si y solo si − a < x < a
−30 < x − 4 < 30
Ejemplo 8
• Al simplificar tenemos
• y en forma de intervalo
−26 < x < 34
x ∈ (−26,34)
EJEMPLO 9
• Ejemplo 9: Resolver la desigualdad
• Solución: Recordar la propiedad
• Que aplicada al ejemplo
| 3x +5 |> 20
| x |> a si y solo si x < −a o x > a
3x +5< −20 o 3x +5> 20
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EJEMPLO 9
• Al resolver las desigualdades
y como intervalo
3x +5< −20,3x < −25,
x < − 253
3x +5> 20,3x >15,x > 5
x ∈ −∞,− 253
$
%&
'
()∪ (5,∞)
EJERCICIO 3
• Ejercicio 3: Resolver la desigualdad
• Solución: Aplicar la propiedad actualizando al símbolo ≤
|−5x +8 |≤10
| x |< a si y solo si − a < x < a
EJERCICIO 4
• Ejercicio 4: Resolver la desigualdad
• Solución: Aplicar la propiedad actualizando al símbolo ≥
|−2x +17 |≥10
| x |> a si y solo si x < −a o x > a
EJERCICIOS
• Resolver ejercicios del libro de texto: 1.5: Desarrolle su competencia 53, 54, 55, 57, 61, 65, 66
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