demostracion de formulas

HALLANDO ECUACION N°1

I=(iP )N………1

HALLANDO ECUACION N°2

F=P+ I

F=P+( IP )N

F=P (1+¿ )………2

HALLANDO ECUACION N°3

¿ P+iP

¿ P(1+i)+i(P (1+i ))

¿ P(1+i)+i(P+Pi )

¿ P+Pi+Pi+Pi2

¿P (1+2i+i2 )

¿ P (1+ i¿¿¿2 )

F=¿

F=P (1+2i+i2 )+i(P (1+2i+i2 ))

F=P+2 Pi+P i2+Pi+2P i2+P i3

F=P(1+3 i+3 i2+i3)

F=P(1+i)3

F=P(1+i)N……….3

HALLANDO ECUACION N°4

F=P(1+i)N

P= F

(1+i )N

P=F (1+i)−N……….4

Recordando que ahora habrá una cantidad n en cada periodo

F=P(1+i)N

F=A(1+i)N−1

HALLANDO ECUACION 5 :

Despejando de la ecuación n° 4:

F=A(1+i)N−1

F=A(1+i)N−2

F=A(1+i)N−3

:

:

F=A (1+i )N−1

i

F=A (1+i )N−1 + A (1+i )N−2 + A (1+i )N−3………………+A(1+i)2+¿ A(1+i) + A

F=A+A (1+i )1 + A (1+i )2 + +…………+¿ A(1+i)N−1

Multiplicando (1+i)

(1+i )F=A+A (1+i )1 + A (1+i )2 + +…………+¿ A(1+i)N−1

Eliminando tenemos:

−{ (1+i )F=A (1+i )1+A (1+i )2+…………+A (1+i )N

F=A+A (1+i )1+A (1+i )2+…………+A (1+i )N−1

F (1+i )−F=−A+A (1+i)N

Despejando F:

F (1+i )−F=−A+A (1+i)N

F (1+i−1 )=A (−1(1+i)¿¿N)¿

F=A[ (1+i )N−1i ]……………ECUACION N ° 5

HALLANDO ECUACION N°6

Para hallar el factor del fondo amortización comenzamos de ecuación 5

F=A[ (1+i )N−1i ]

1A

=[ (1+i )N−1

i ]F

1A

=[ (1+i )N−1 ]F∗i

A=F( i

(1+i )N−1 )…………ECUACION N° 6

HALLANDO ECUACION N°7 :

F=P (1+ i )N

P= F

(1+ i)N

P= A

(1+ i)1

Tenemos :

P=A ( 1

(1+ i)1 )+A ( 1

(1+i )2 )+A ( 1

(1+i )3 )+……..+A ( 1

(1+i )N−1 )+A( 1

(1+i )N )

Factorizamos A :

P=A ( 1

(1+ i)1+

1

(1+i )2+

1

(1+i )3+………+

1

(1+i )N−1+1

(1+i )N )

Para reducir la ecuacion y obtener un factor P, A multiplicar (P/F, i %, 1) = 11+ i

:

P(1+i)

=A ( 1

(1+ i)2+

1

(1+i )3+

1

(1+i )4+………+

1

(1+i )N+

1

(1+i )N+1 )

Simplificando valores iguales:

−{ P(1+i )

=A ( 1

(1+i )2+ 1

(1+ i)3+ 1

(1+i )4+………+ 1

(1+i )n+ 1

(1+i )N+1 )P=A( 1

(1+i )1+ 1

(1+i )2+ 1

(1+i )3+………+ 1

(1+i )N−1+1

(1+i )N )P

(1+i)−P=A ( 1

(1+ i )N+1 )−A ( 1(1+i )1 )

P−P(1+i)1+ i

=A ( 1

(1+ i )N+1−1

(1+i )1 )

−Pi1+i

=A( 1

(1+i )N+1−1

(1+ i )1 )

−Pi=A (1+i)( 1

(1+i )N+1−1

(1+i )1 )

−Pi=A ( 1

(1+i )N−1)

P=A−i ( 1

(1+i )N−1)

(-)

P= A−i (1−(1+i)N

(1+i )N )

P=A ((1+i)N−1

i (1+i )N )………ECUACION N° 7

HALLANDO ECUACION N°8:

Para hallar solo despejamos de la ecuación n° 7

P=A ((1+i)N−1

i (1+i )N )

A=P( (1+i)N

(1+ i)N−1 )……… ..ECUACION N ° 8