curvas de tercer orden
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CURVAS DE TERCER ORDEN
Pontificia Universidad Católica de Chileprofesor: Manuel Corradaayudante: Manuel Brahm
alumnos:cynthia gonzález
daniela olmosjean-baptiste vervaeck
geometría - MAT 1307-1semestre 2-2010
INVESTIGACIÓN PRELIMINAR
¿Cuáles son las curvasde 3er orden?
curva hilbert
“Un curva Hilbert es un fractal contínuo descrito por primera vez en 1981por David Hilbert, matemático alemán.” *
primer orden segundo orden tercer orden
primer orden
* http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_curve
otro ejemplo
arriba: “... vemos ocho órdenes de la curva dragon. Podemos darnoscuenta de que la curva de tercer orden está compuesta por dos curvasde segundo orden...”
primer orden curva inicial
tercer orden
cuarto orden
quinto orden
segundo ordenprimera transformación
segunda transformación
sexto ordenseptimo orden
octavo orden
Nº orden
tercera transformación
cuarta transformación
quinta transformación
sexta transformación
septima transformación
figura final
* http://www.jimloy.com/fractals/dragon.htm
pero...¿cuál es la propiedad que define
a una curva de tercer orden?
definición
Una recta es una línea de primer orden...
definición
Los círculos, y otras secciones cónicas son ejemplos de curvas de segundoorden...
definición
y las curvas de tercer orden...
otros ejemplos
se identifican al trazar una recta por encima de la curva y que la mismala corte en solamente tres puntos...
curvas de 3er orden
otros ejemplos de curvas de tercer orden...
EXPERIMENTACIÓN
arco
Trazando rectas encima del arco nos permite verificar rápidamente cuáles su orden...
(X0 , Y0)
inicio
fin
arco
Trazando rectas encima del arco nos permite verificar rápidamente cuáles su orden...
(X0 , Y0)
inicio
fin
arco
Trazando rectas encima del arco nos permite verificar rápidamente cuáles su orden...
(X0 , Y0)
inicio
fin
arco
Trazando rectas encima del arco nos permite verificar rápidamente cuáles su orden...
(X0 , Y0)
inicio
fin
un arco
Trazando rectas encima del arco nos permite verificar rápidamente cuáles su orden...
(X0 , Y0)
inicio
fin
arco
Trazando rectas encima del arco nos permite verificar rápidamente cuáles su orden...
(X0 , Y0)
inicio
fin
y ¿cómo essu representación paramétrica?
curva de 2º orden
Los puntos, verde y rojo, demarcan el inicio y término del cuarto decírculo, respectivamente.
(X0 , Y0)
inicio
fin
rango paramétrico
0 2
curva de 2º orden
trazando una recta desde el centro del arco hasta intersecrtarlo obtenemossu radio y un ángulo que nos permitirá representarlo de modo paramétrico...
(X0 , Y0)
inicio
fin
rango paramétrico
0 2
= 55ºen este caso
curva de 2º orden
trazando una recta desde el centro del arco hasta intersecrtarlo obtenemossu radio y un ángulo que nos permitirá representarlo de modo paramétrico...
(X0 , Y0)
inicio
r
fin
rango paramétrico
0 2
= 55ºen este caso
curva de 2º orden
trazando una recta desde el centro del arco hasta intersecrtarlo obtenemossu radio y un ángulo que nos permitirá representarlo de modo paramétrico...
(X0 , Y0)
inicio
r
(X , Y)
fin
rango paramétrico
0 2
= 55ºen este caso
curva de 2º orden
trazando una recta desde el centro del arco hasta intersecrtarlo obtenemossu radio y un ángulo que nos permitirá representarlo de modo paramétrico...
(X0 , Y0)
inicio
ra
b
(X , Y)
fin
rango paramétrico
0 2
representaciónparamétrica
= 55ºen este caso
curva de 2º orden
trazando una recta desde el centro del arco hasta intersecrtarlo obtenemossu radio y un ángulo que nos permitirá representarlo de modo paramétrico...
(X0 , Y0)
inicio
ra
b
(X , Y)
fin
cos br X
rango paramétrico
0 2
= 55ºen este caso
representaciónparamétrica
curva de 2º orden
trazando una recta desde el centro del arco hasta intersecrtarlo obtenemossu radio y un ángulo que nos permitirá representarlo de modo paramétrico...
(X0 , Y0)
inicio
ra
b
(X , Y)
fin
sen ar Y
rango paramétrico
0 2
= 55ºen este caso
representaciónparamétrica
curva de 2º orden
trazando una recta desde el centro del arco hasta intersecrtarlo obtenemossu radio y un ángulo que nos permitirá representarlo de modo paramétrico...
(X0 , Y0)
inicio
ra
b
(X , Y)
fin
cos br X
sen ar Y
rango paramétrico
0 2
= 55ºen este caso
representaciónparamétrica
pero si extendemos la curva¿sigue siendo de 2do orden?
curva de 2º orden
cuando extendemos el arco de cuarto círculo a uno de medio círculo,sigue siendo de segundo orden...
fin
(X0 , Y0)
inicio
y su representación paramétrica¿cómo es?
curva de 2º orden
su representación paramétrica también sigue siendo parecida, aunquemodificamos sólo el parametro del punto final...
rango paramétricofin
(X0 , Y0)
inicio
= 25ºen este caso
0
curva de 2º orden
su representación paramétrica también sigue siendo parecida, aunquemodificamos sólo el parametro del punto final...
rango paramétrico
parametrizaciónra
b
(X , Y)
fin
(X0 , Y0)
inicio
= 25ºen este caso
0
curva de 2º orden
su representación paramétrica también sigue siendo parecida, aunquemodificamos sólo el parametro del punto final...
cos br X
rango paramétrico
parametrizaciónra
b
(X , Y)
fin
(X0 , Y0)
inicio
= 25ºen este caso
0
curva de 2º orden
su representación paramétrica también sigue siendo parecida, aunquemodificamos sólo el parametro del punto final...
sen ar Y
rango paramétrico
parametrizaciónra
b
(X , Y)
fin
(X0 , Y0)
inicio
= 25ºen este caso
0
curva de 2º orden
su representación paramétrica también sigue siendo parecida, aunquemodificamos sólo el parametro del punto final...
cos br X
sen ar Y
rango paramétrico
parametrizaciónra
b
(X , Y)
fin
(X0 , Y0)
inicio
= 25ºen este caso
0
entonces... ¿en qué momento aparece
la curva de 3er orden?
curva de 2º orden
incluso, cuando seguimos extendiendo el arco hasta formar un círculo,sigue siendo de segundo orden...
ra
b
(X , Y)
fin(X0 , Y0)
inicio
= 48ºen este caso
cos br X
sen ar Y
rango paramétrico
parametrización
02
3
círculo
incluso, cuando seguimos extendiendo el arco hasta formar un círculo,sigue siendo de segundo orden...
cos br X
sen ar Y
rango paramétrico
parametrización
ra
b(X , Y)
fin
(X0 , Y0)
inicio
= 28ºen este caso
20
¿y cuando aparecerá entoncesla curva de tercer orden?
¿es esta una curva de 3º orden?
si seguimos extendiendo el arco original, achicándolo en 50% a modo deque quede inscrito dentro del primer círculo
inicio
fin
(X0 , Y0)
curva de 4º orden
observamos que pasamos directamente de una curva de 2do orden a unade 4to, sin haber visto siquiera la curva de tercer orden....
(X0 , Y0)
curva de 4º orden
observamos que pasamos directamente de una curva de 2do orden a unade 4to, sin haber visto siquiera la curva de tercer orden....
(X0 , Y0)
curva de 4º orden
observamos que pasamos directamente de una curva de 2do orden a unade 4to, sin haber visto siquiera la curva de tercer orden....
(X0 , Y0)
curva de 4º orden
observamos que pasamos directamente de una curva de 2do orden a unade 4to, sin haber visto siquiera la curva de tercer orden....
(X0 , Y0)
hipótesis:
las curvas de tercer ordense encuentran contenidasdentro de otras curvas deorden superior, o formadaspor curvas de orden inferior
es sólo al extraerlas de su contextooriginal que podemos verlas y medirlas
ejemplo cotidiano #1
La típica banca tiene en sus costados detalles decorativos que estánformados por una serie de curvas de tercer orden...
ejemplo cotidiano #1
La típica banca tiene en sus costados detalles decorativos que estánformados por una serie de curvas de tercer orden...
ejemplo cotidiano #2
Los basureros, vistos de perfíl también nos presentan un vistazo fugazde una curva de tercer orden...
ejemplo cotidiano #2
Los basureros, vistos de perfíl también nos presentan un vistazo fugazde una curva de tercer orden...
ejemplo cotidiano #3
Detalle decorativo del techo alrededor de la biblioteca Sergio Larraín,formado entre otros, por un par de curvas de tercer orden...
ejemplo cotidiano #3
Detalle decorativo del techo alrededor de la biblioteca Sergio Larraín,formado entre otros, por un par de curvas de tercer orden...
ejemplo cotidiano #4
La tapa de un tazón tipo starbucks también nos presenta una curva detercer orden...
ejemplo cotidiano #4
La tapa de un tazón tipo starbucks también nos presenta una curva detercer orden...
ejemplo cotidiano #5
Este nudo sin fin dibujado con tiza sobre hormigón también nos muestraotro ejemplo de una curva de tercer orden. (lo contador, pasillo adyacentea la biblioteca)
ejemplo cotidiano #5
Este nudo sin fin dibujado con tiza sobre hormigón también nos muestraotro ejemplo de una curva de tercer orden. (lo contador, pasillo adyacentea la biblioteca)
ejemplo cotidiano #6
La goma protectora de los rieles para el movimiento giratorio que hacenlas puertas de las micros también es otro ejemplo...
ejemplo cotidiano #6
La goma protectora de los rieles para el movimiento giratorio que hacenlas puertas de las micros también es otro ejemplo...
ejemplo cotidiano #6
y estas ondas marinas dibujadas con tiza sobre pizarrón al estilo Ukiyo-e japonés también están compuestas por curvas de tercer orden...
ejemplo cotidiano #6
y estas ondas marinas dibujadas con tiza sobre pizarrón al estilo Ukiyo-e japonés también están compuestas por curvas de tercer orden...
además, las curvas de tercer orden tienen otra propiedad...
CASO DE DISEÑO
luminaria “Defecto”
Esta luminaria esta hecha a partir de CD desechos, una tira de lámparasLED y fibras ópticas de variados largos...
luminaria “Defecto”
arriba: vista trasera de la luminariaabajo izquierdo: vista muro intermedio con la tira de LEDs embutidoderecha: vista de noche con las lámparas prendidas
luminaria “Defecto”
Antes de poder taladrar los hoyos circulares en el muro intermedio paraembutir los LEDs, tuve que calcular la distribución de estos círculos paraque coincidiera con el espacio entre las lámparas de la tira LED...
rhinoceros
El software de modelamiento 3D, Rhinoceros, tiene una herramienta quesupuestamente facilita la distribución/ubicación de una forma a lo largo deuna curva (en este caso de 4to orden) con un espacio igual entre las formas...
rhinoceros
pero después de varios intentos probando con la herramienta “array oncurve”, tuve que buscar otra forma de hacer esta operación para obtenerla precisión que quería...
intento 1
pero después de varios intentos probando con la herramienta “array oncurve”, tuve que buscar otra forma de hacer esta operación para obtenerla precisión que quería...
intento 1
pero después de varios intentos probando con la herramienta “array oncurve”, tuve que buscar otra forma de hacer esta operación para obtenerla precisión que quería...
intento 1
éste fue el primer intento, en que se me había olvidado incorporar elancho de las lámparas LED en el cáculo de la distancia entre hoyoscirculares...
intento 2
sumando el diámetro de los hoyos para las lámparas LED a la distanciaque quería entre los hoyos circulares, volví a intentar distribuir los círculosa lo largo de la curva...
intento 2
sumando el diámetro de los hoyos para las lámparas LED a la distanciaque quería entre los hoyos circulares, volví a intentar distribuir los círculosa lo largo de la curva...
intento 2
sin poder explicarme por qué el software no mantenía los centros de loscírculos por sobre la curva guía, volví a intentar, esta vez modificandootros parametros de la herramienta...
intento 3
sin poder explicarme por qué el software no mantenía los centros de loscírculos por sobre la curva guía, volví a intentar, esta vez modificandootros parametros de la herramienta...
intento 3
... pero seguía distribuyendo los círculos de manera desordenada...
intento 4
... y mientras probaba las otras opciones de la herramienta...
intento 4
... peor quedaba la distribución de los círculos...
intento final
Fue así que decidí hacerlo “a mano”...
rhinoceros
Fue así que decidí hacerlo “a mano”...
rhinoceros
Cómo la primera parte de la curva de guía era recta, copíe el primer círculoy lo desplacé utilizando la herramienta “move” especificando la distanciade 9.5 mm que quería entre los centros de los círculos...
rhinoceros
Cómo la primera parte de la curva de guía era recta, copíe el primer círculoy lo desplacé utilizando la herramienta “move” especificando la distanciade 9.5 mm que quería entre los centros de los círculos...
rhinoceros
Cómo la primera parte de la curva de guía era recta, copíe el primer círculoy lo desplacé utilizando la herramienta “move” especificando la distanciade 9.5 mm que quería entre los centros de los círculos...
rhinoceros
Cómo la primera parte de la curva de guía era recta, copíe el primer círculoy lo desplacé utilizando la herramienta “move” especificando la distanciade 9.5 mm que quería entre los centros de los círculos...
rhinoceros
Cómo la primera parte de la curva de guía era recta, copíe el primer círculoy lo desplacé utilizando la herramienta “move” especificando la distanciade 9.5 mm que quería entre los centros de los círculos...
rhinoceros
El tercer círculo, por la forma de la curva guía, requirió otra estrategiapara lograr ubicarlo a una distancia equivalente de los primeros dos... porlo tanto, partí tirando un arco, con un radio de 4mm desde...
rhinoceros
... el punto de intersección entre el segundo círculo y la curva de guía,cuidando que el arco también intersectara con la misma...
rhinoceros
Para verificar que efectivamente había una distancia de 4 mm entre elpunto de intersección del arco que había trazado y el borde del segundocírculo, tracé otro círculo entre ambos puntos...
rhinoceros
al haber comprobado la primera medición, me dí cuenta de que el centrodel círculo de verificación no coincidía con la curva guía...
rhinoceros
así que decidí tirar el siguiente arco con radio de 2.75mm, valor quecorresponde a la mitad del diámetro de los hoyos circulares que necesitabataladrar posteriormente...
rhinoceros
asegurando nuevamente que el arco intersectara con la curva de guía...
rhinoceros
Utilizando ese punto de intersección como centro para el siguiente hoyocircular, especifiqué que tuviera un diametro de 5.5mm, tal como los doshoyos circulares anteriores...
rhinoceros
De esta manera, aseguraba que el centro de los hoyos circulares quedarapuesto justamente por sobre el de la curva de guía, lo que me ayudaríaa producir el muro estructural interior de la luminaria...
rhinoceros
y así sucesivamente fui utilizando una curva de tercer orden para orientarla ubicación de los hoyos circulares hasta llegar al final de la curva deguía...
rhinoceros
y así sucesivamente fui utilizando una curva de tercer orden para orientarla ubicación de los hoyos circulares hasta llegar al final de la curva deguía...
rhinoceros
y así sucesivamente fui utilizando una curva de tercer orden para orientarla ubicación de los hoyos circulares hasta llegar al final de la curva deguía...
rhinoceros
Cuando llegué al final de la curva guía, comencé a borrar todos los trazosque ya no me servían, incluyendo las curvas de tercer orden que me habianfacilitado distribuir los círculos con el grado de precisión que quería...
y además ¿dóndepodemos encontrar
las curvas de 3er orden?
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