continuidad b definición: sea f(x) una función real b f es continua en un punto a si límf(x)=...

CONTINUIDADCONTINUIDAD

Definición: sea f(x) una función realDefinición: sea f(x) una función real f es continua en un punto a si Límf(x)= f es continua en un punto a si Límf(x)=

f(a) xf(a) xa a 1.- f(a) existe1.- f(a) existe 2.- Lím f(x) exista 2.- Lím f(x) exista xxaa 3.- Lím f(x)=f(a)3.- Lím f(x)=f(a) xxaa

CONTINUIDADCONTINUIDAD

Teorema nº 1Teorema nº 1 Si f1 y f2 son continuas en un

punto a, entonces: f1 (+/-) f2 es continua en a f1·f2 es continua en a si f2(a) distinta de 0; entonces

f1/f2 es continua en a

CONTINUIDADCONTINUIDAD

Teorema nº 2Teorema nº 2 Si f2 es continua en a y f1 es Si f2 es continua en a y f1 es

continua en f2(a) entonces la continua en f2(a) entonces la compuesta f1 con f2 es continua en acompuesta f1 con f2 es continua en a

Definición:Definición: si la función f es continua si la función f es continua en todo punto del intervalo (a, b), se en todo punto del intervalo (a, b), se dice que f es continua en este dice que f es continua en este intervalo.intervalo.

CONTINUIDADCONTINUIDAD

Definición:Definición: se dice que f es se dice que f es continua en el intervalo cerrado (a, continua en el intervalo cerrado (a, b), si es continua en el intervalo b), si es continua en el intervalo abierto (a, b) y lím f(x)=f(a)abierto (a, b) y lím f(x)=f(a)

xxaa límf(x)=f(b) límf(x)=f(b) xxbb

CONTINUIDADCONTINUIDAD

Teorema nº 3Teorema nº 3 si f es continua en el intervalo si f es continua en el intervalo

cerrado (a,b) y f(a) es menor que 0 cerrado (a,b) y f(a) es menor que 0 y éste es menor que f(b) > 0, y éste es menor que f(b) > 0, entonces existe por lo menos un entonces existe por lo menos un número C que está comprendido número C que está comprendido entre a y b tal que f (c) =0entre a y b tal que f (c) =0

CONTINUIDADCONTINUIDAD

(2) (1) -3.3

1013 -2.

310

)(

)3()( -1.

3en continua es 13

)( si Determinar

Ejercicios

3

xx

Lím

af

faf

xxx

xf

x

CONTINUIDADCONTINUIDAD

4

5x-2 si x - 4

x 4( )

2 si x - 4

Verificar si es continua

en el punto x - 4

1.- ( ) ( 4) 2

5 2 222.-

4 0

Por lo tanto la función no es

continua en x - 4

x

f x

f a f

xLím

x

CONTINUIDADCONTINUIDAD2

2

2

2

2

4 si x 2

2( )

8 2 si x 2

Verificar si es continua

en el punto x 2

1.- ( ) (2) 8 2

42.-

2

( 2)( 2) 2

2 2

( 2)( 2) 8 2

Por lo tanto es continua en x 2

x

x

x

X

XF X

f a f

xLím

x

x x xLim

x x

Lim x x

CONTINUIDADCONTINUIDAD

Si una función no es continua en Si una función no es continua en un punto o en un intervalo se dice un punto o en un intervalo se dice que la función es discontinua en el que la función es discontinua en el punto o en el intervalo.punto o en el intervalo.

ProblemasProblemas - cuando se divide por cero- cuando se divide por cero - una raíz par de número negativo- una raíz par de número negativo - tangente de 90º- tangente de 90º

CONTINUIDADCONTINUIDAD

adiscontinu esfunción la 1 x

idaddiscontinu de puntos losHallar 1

23)(

Ejercicio

x

xxf

CONTINUIDADCONTINUIDAD

0 x cuando

adiscontinu esfunción La

0en x ;3sen1

)(

x

xxf

CONTINUIDADCONTINUIDAD

DISCONTINUIDAD EVITABLE.DISCONTINUIDAD EVITABLE. Es cuando podemos redefinir la Es cuando podemos redefinir la

función de tal forma que sea función de tal forma que sea continua. continua.

Si el límite de la función no existe; Si el límite de la función no existe; no existe posibilidad de no existe posibilidad de redefinición, hablamos de redefinición, hablamos de discontinuidad a secas.discontinuidad a secas.

CONTINUIDADCONTINUIDAD

(2)(1) -3.425

-2.

2)4(-1.

4 x si 2

-4 xsi 425

)(

Ejemplo

4

xx

Lim

f

xx

xf

x

CONTINUIDADCONTINUIDAD

3

32

2 2

3

8( )

21.- (2)

82.- ( 2 4) 12

2se redefine:

x 8 si x 2

2(x)

12 si x 2

x x

xf x

xf

xLim Lim x x

x

x

Ejercicio determinar si f(x) tiene discontinuidad evitable

CONTINUIDADCONTINUIDAD

(2)(1) -3.

0cos1)cos1(

)cos1(

cos1

cos1

cos1cos1 -2.

0

11)0( -1.

0en x cos1

)(

0

2

0

2

00

x

senx

x

senxLim

xx

xsenLim

xx

xLim

x

x

x

xLim

f

x

xxf

xx

xx

Luego se puede redefinir la función, para evitar la discontinuidad

CONTINUIDADCONTINUIDAD

)2()1(.3

4

3

)2)(2(

)1)(2(

)2)(2(

2

)2)(2(

)2(

2

2

2

2.2

2)2(.1

2 xsi 2

2 xsi 2

2

)(

2

2

2

2

22

XXx

XxLim

xxx

xxLim

xxx

xxLim

xx

xx

x

xxLim

f

x

xx

xf

xx

xx

Luego se puede redefinir la función para que sea continua

DERIVADASDERIVADAS

0

sea f(x) una función continua

se define:

y f(x)

y' f '(x)

dy ( ) ( )

dx h

f x h f xLim

h

DERIVADASDERIVADAS

La derivada evaluada en 1 punto La derivada evaluada en 1 punto corresponde a la pendiente de la corresponde a la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho recta tangente a la curva en dicho punto.punto.

3x + y -2 = 03x + y -2 = 0 Y = - 3x + 2Y = - 3x + 2 m=-a/bm=-a/b m=-3m=-3

DERIVADASDERIVADAS

cdx

dxc(cx)

dx

d 2)(

)(cosdx

d 1)(

cos)(dx

d 0)(

2

xxdx

d

senxxxdx

d

xsenxcdx

d

Fórmulas

DERIVADASDERIVADAS

5-4xy

1-4-4xy

-44x1y

1)-4(x1y

)x-m(xy-y

4m4xy'

-13-2y 1 xsi

1 xpunto elen curva la a

tangentela deecuación la Determinar

32

11

1x

2

xy

INTEGRANTESINTEGRANTES

Francisca EspinozaFrancisca Espinoza Irma ArancibiaIrma Arancibia Susana GarcíaSusana García