conceptos matemáticos en procesos de producción de levadura

Ecuación de Monod

Función Producto y Sustrato

Ayuda para la tarea de matemática

TPICI – 2C2015

FI - UNLZ – IRMA NOEMÍ NO

Levadura

Las levaduras son seres vivos, unicelulares,

pertenecientes al reino de los hongos.

Estos microorganismos tienen un papel importante

en los procesos fermentativos, y comprenden un

variado abanico de criaturas “especializadas” en

panificación, vinificación, nutrición, usos

farmacéuticos, usos cerveceros y destilería. (*)

(*)Marzo 2012 –INDEC www.alimentosargentinos.gob.ar Ministerio de Agricultura

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Cinética de la Levadura

en Sustrato de Cultivo

El incremento del número de células del producto

“levadura” es proporcional al número de células

presentes en el cultivo (X).

A la “constante” de proporcionalidad (µ) se la llama

“tasa de crecimiento”.

𝒅𝑿

𝒅𝒕= 𝝁. 𝑿

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Ecuación velocidad de

formación del producto.

Función Producto Levadura

𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝜇. 𝑋

Utilizamos el método de variables

separables para hallar la función X(t)

𝑑𝑋

𝑋= 𝜇. 𝑑𝑡

𝑑𝑋

𝑋= 𝜇. 𝑑𝑡 𝐿𝑛 𝑋 = 𝜇. 𝑡 + 𝐶

X = 𝑒 𝜇.𝑡+𝐶 X = 𝑒𝐶 . 𝑒𝜇.𝑡

𝑒𝐶 = 𝑋0 Cuando t=0 X= X0 entonces

X = 𝑿𝟎. 𝒆𝝁.𝒕

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Tasa de crecimiento µ

La ecuación de Monod relaciona la tasa de

crecimiento µ con la concentración de sustrato S.

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𝝁 = 𝝁𝒎𝒂𝒙 𝑺

𝑲𝑺 + 𝑺

Donde:

𝝁𝒎𝒂𝒙 Es la tasa máxima de crecimiento

específico de los microorganismos

𝑲𝒔 Es la constante de velocidad media (el

valor de S cuando μ / μ max = 0,5)

Relación lineal útil

A partir de la ecuación de Monod obtenemos una

relación lineal entre 1/µ y 1/S.

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𝝁 = 𝝁𝒎𝒂𝒙 𝑺

𝑲𝑺 + 𝑺

𝟏

𝝁=𝑲𝑺 + 𝑺

𝝁𝒎𝒂𝒙. 𝑺

𝟏

𝝁=

𝑲𝑺𝝁𝒎𝒂𝒙. 𝑺

+𝑺

𝝁𝒎𝒂𝒙. 𝑺

𝟏

𝝁=𝑲𝑺𝝁𝒎𝒂𝒙

.𝟏

𝑺+

𝟏

𝝁𝒎𝒂𝒙

pendiente

Ordenada al

origen

Hallamos experimentalmente µ

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1) Se miden experimentalmente los valores de S y µ

en diferentes momentos del cultivo.

2) A partir de la tabulación de S y µ se construye la

tabla relacional de los valores 1/S y 1/µ.

3) Se calcula la recta de regresión correspondiente

a los pares (1/S ; 1/µ)

4) La ordenada al origen aproxima a 𝟏

𝝁𝒎𝒂𝒙 y la

pendiente a 𝑲𝑺

𝝁𝒎𝒂𝒙 , según la relación lineal

anterior.

Función Sustrato – parte 1

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El cultivo va consumiendo el sustrato, cuya

concentración decrece en forma proporcional al

crecimiento de la biomasa del producto.

A la constante de proporcionalidad se la

llama “rendimiento de utilización del sustrato”.

𝒀𝒙𝒔

𝒀𝒙𝒔 = −

𝒅𝑿𝒅𝒕

𝒅𝑺𝒅𝒕

Función Sustrato – parte 2

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Utilizamos los conocimientos y 𝒅𝑿

𝒅𝒕= 𝝁. 𝑿

X = 𝑿𝟎. 𝒆𝝁.𝒕 en la expresión anterior:

𝒀𝒙𝒔 = −

𝒅𝑿𝒅𝒕

𝒅𝑺𝒅𝒕 = −

𝝁𝑿𝟎. 𝒆𝝁.𝒕

𝒅𝑺𝒅𝒕

𝒅𝑺

𝒅𝒕= −

𝝁𝑿𝟎. 𝒆𝝁.𝒕

𝒀𝒙𝒔

𝒅𝑺

𝒅𝒕 𝒅𝒕 = −

𝑿𝟎𝒀𝒙

𝒔 𝝁. 𝒆𝝁.𝒕 𝒅𝒕

Integrando a.m.:

𝑺 = −𝑿𝟎𝒀𝒙

𝒔 𝒆𝝁.𝒕 + 𝑪

Función Sustrato – parte 3

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𝑺 = −𝑿𝟎𝒀𝒙

𝒔 𝒆𝝁.𝒕 + 𝑪

Cuando t=0 S= S0

entonces 𝑪 = 𝑺𝟎 +

𝑿𝟎𝒀𝒙

𝒔

𝑺 = −𝑿𝟎𝒀𝒙

𝒔 𝒆𝝁.𝒕 + 𝑺𝟎 +

𝑿𝟎𝒀𝒙

𝒔

Por lo tanto:

Y finalmente:

𝑺 = 𝑺𝟎 −𝑿𝟎𝒀𝒙

𝒔 𝒆𝝁.𝒕 − 𝟏