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Clase No. 19 (Segunda parte):
Cuadratura GaussianaMAT–251
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 24.10.2011 1 / 9
Introducción
Dada una función f : [a,b] −→ R continua.Dada una partición a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b, las fórmulas vistas deintegración numérica son de la forma
∫ b
af (x)dx ≈W0f (x0) +W1f (x1) + ...+Wnf (xn).
Para usar una fórmula sólo hay que especificar los nodos xi y los pesos Wi.Una forma de determinar los pesos es usando interpolación. Por ejemplo,usando los polinomios de Lagrange, se tiene
p(x) =n∑
i=0
f (xi)Li(x), donde Li(x) =n∏
j=0j 6=i
x− xjxi − xj
Si ocurre que p es una buena aproximación de f , entonces
∫ b
af (x)dx ≈
∫ b
ap(x)dx =
n∑
i=0
f (xi)
∫ b
aLi(x)dx =
n∑
i=0
Wi f (xi)
¿Para qué tipo de funciones f la fórmula es exacta?
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Ejemplo
Para obtener la fórmula de cuadratura en el intervalo [−2,2] usando losnodos −1,0,1, calculamos
L1(x) = 12x(x− 1) =⇒ W1 = 8
3
L2(x) = −(x+ 1)(x− 1) =⇒ W2 = −43
L3(x) = 12x(x+ 1) =⇒ W3 = 8
3
Así,
∫ 2
−2f (x)dx ≈
4
3[2f (−1)− f (0) + 2f (1)]
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Cambio de intervalo
Supongamos que tenemos la fórmula∫ b
af (x)dx ≈
n∑
i=0
Wi f (xi)
Para calcular la integral de f en el intervalo [c,d] podemos aplicar latransformación
x(t) =d− cb− a
(t − a) + c
Entonces∫ d
cf (x)dx =
d− cb− a
∫ b
af (x(t))dt ≈
d− cb− a
n∑
i=0
Wi f (x(ti))
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Nodos y pesos Gaussianos (I)
Gauss demostró que escogiendo los nodos de una manera especial eraposible mejorar la exactitud del cálculo de la integral numérica.
Teorema de cuadratura Gaussiana
Sea q un polinomio de grado n+ 1 tal que∫ b
axk q(x)dx = 0 para k = 0,1, ...,n.
Sean x0,x1, ...,xn los ceros de q. Entonces la fórmula∫ b
af (x)dx ≈
n∑
i=0
Wi f (xi), con Wi =
∫ b
aLi(x)dx, (1)
es exacta para polinomios de grado a lo más 2n+ 1. Además, xi ∈ (a,b).
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Nodos y pesos Gaussianos (II)
Para la demostración, hay que aplicar el algoritmo de la división
f = pq+ r,
y puesto que xi es raz de q, tenemos que
f (xi) = p(xi)q(xi) + r(xi) = r(xi),
y como el grado de p y q es a lo más n, debemos tener que
∫ b
af (x)dx =
∫ b
ap(x)q(x)dx+
∫ b
ar(x)dx =
∫ b
ar(x)dx =
n∑
i=0
Wi r(xi) =n∑
i=0
Wi f (xi)
En resumen, si usamos nodos arbitrarios, la fórmula (1) es exacta parapolinomios de grado a lo más n. Si se usan los nodos Gaussianos, (1) esexacta para polinomios de grado a lo más 2n+ 1.
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Ejemplo (I)
Para calcular la fórmula de la cuadratura Gaussiana con tres nodos para
estimar la integral
∫ 1
−1f (x)dx, necesitamos determinar un polinomio q de la
formaq(x) = c0 + c1x+ c2x
2 + c3x3,
tal que∫ 1
−1q(x)dx =
∫ 1
−1xq(x)dx =
∫ 1
−1x2q(x)dx = 0.
Si hacemos c0 = c2 = 0, entonces q(x) = c1x+ c3x3, y por ser una funciónimpar,
∫ 1
−1xq(x)dx =
∫ 1
−1x2q(x)dx = 0.
Queremos que
0 =
∫ 1
−1xq(x)dx =
∫ 1
−1(c1x
2 + c3x4)dx =
�c1
3x3 +
c3
5x5�1
−1
Podemos elegir c1 = −3 y c3 = 5.
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Ejemplo (II)
Así, q(x) = 5x3 − 3x, y sus raíces son −p
3/5,0,p
3/5.Tenemos que
∫ 1
−1f (x)dx ≈W1f (−
p
3/5) +W2f (0) +W3f (p
3/5)
es exacta para polinomios de grado a lo más 2. Para determinar Wi podemosproponer algunos de éstos polinomios y obtener un sistema de ecuaciones:
f
∫ 1
−1f (x)dx Cuadratura
1 2 W0 +W1 +W2x 0 −
p3/5W0 +
p3/5W2
x2 2/3 (3/5)(W0 +W2)
De aquí que W0 =W2 = 5/9 y W1 = 8/9. Así, la fórmula de la cuadraturaGaussiana para tres nodos en [−1,1] es
∫ 1
−1f (x)dx ≈
1
9[5f (−
p
3/5) + 8f (0) + 5f (p
3/5)
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Ejemplo (III)Esta f’ormula es exacta para polinomios de grado a lo más 5.
Ejemplo: Para calcular numéricamente
∫ 1
−13x4 + 2x2 dx =
38
15, tenemos
∫ 1
−13x4 + 2x2 dx ≈
1
9[5f (−
p
3/5) + 8f (0) + 5f (p
3/5)
=1
9
�
557
25+ 8(0) + 5
57
25
�
=38
15
Otro ejemplo, tenemos que
∫ 1
−1(2x10 − 6x6 − x4 + 3x2)dx =
96
385≈ 0.24935
Aplicando la cuadratura Gaussiana, tenemos
∫ 1
−1(2x10 − 6x6 − x4 + 3x2)dx ≈
208
625≈ 0.3328
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 24.10.2011 9 / 9
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