clase nº2 y nº3 propiedades de la suma en los...
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CLASE Nº2 y Nº3 Propiedades de la adición de números enteros
Objetivo de esta clase: Conocer, comprender y aplicar las propiedades de la adición de números enteros. Para estas clases, veremos las propiedades que existen al sumar números enteros, estas reglas son 5 y las veremos a continuación: Propiedad 1: ¿Cuándo sumamos dos números enteros, el resultado seguirá siendo un número entero? La respuesta a esta pregunta es sí, cada vez que sumamos dos o más números enteros, el resultado de esta suma será siempre un número entero, no será una fracción, tampoco un número decimal, siempre será entero. A esa propiedad se le llama “PROPIEDAD DE CLAUSURA” Se puede escribir de la siguiente manera:
𝑎 + 𝑏 = 𝑐 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠. Ejemplos: −5+ 6 = 1 ; 10+ −6 = 4; −20+ −60 = −80 Como vemos, si sumamos (o restamos) dos o más números enteros, el resultado siempre es entero. Propiedad 2: Todos los números tienen un ¿gemelo malvado? Cuando hablamos de un gemelo malvado, hacemos alusión a que el número tiene su símil, su idéntico pero con el signo contrario. Todos los números positivos tienen un número igual pero negativo. A esta propiedad se le llama “INVERSO ADITIVO” Y cuando ambos números son sumados, el resultado siempre será 0. Es decir: El inverso aditivo de 6 es -‐6, y si los sumamos : 6+ (−6) = 0 El inverso aditivo del -‐10 es 10, y si los sumamos : 10+ (−10) = 0 Todos los números tienen su inverso, salvo un solo número, que es el 0 . Entonces: Para calcular cual es el inverso aditivo de un número, sólo basta con cambiarle el signo al número y ya está.
Propiedad 3: Existe un número que no hace nada Esta propiedad nos dice que existe un número, que si lo sumamos con un número entero, el resultado será el mismo número entero. Ese número se llama “ELEMENTO NEUTRO DE LA ADICIÓN” y es el número 0. Es decir, si a cualquier número entero, le sumamos 0, el resultado será siempre el mismo número entero. Veamos: 6+ 0 = 6 ; −80+ 0 = −80 ; −773+ 0 = −773 Propiedad 4: Si sumamos 2 +3 , ¿será igual que sumar 3+2? ¿Será el mismo resultado? Esta propiedad es un clásico en matemática, y se ocupa también en la multiplicación, se le conoce como “PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA ADICIÓN” Y nos dice que no importando el orden en como sumemos los números enteros, el resultado será siempre el mismo. Ejemplos: 6+ 10 = 10+ 6 = 16 ; −20+ −40 = −40+ −20 = −60 Propiedad 5: Si sumo dos números primero y luego otro, ¿ será lo mismo que si sumo el último con el primero y después sumo el segundo? Si, puede que suene un poco difícil de entender, pero la “PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA ADICIÓN” nos dice que podemos agrupar (juntar) de cualquier forma los números para sumarlos, porque el resultado será el mismo. Veamos un ejemplo:
−30+ 50+ −60 = Podemos ocupar esta propiedad y podemos juntar, si queremos los números negativos primero, para que a ese resultado, le sumemos el +50.
−30+ 50+ −60 = −30+ −60 = −90+ 50 Como vemos, ahora podemos ocupar el método que queramos para resolver este ejercicio, veamos la forma “Debo y tengo” Debo $90 pero tengo $50 para pagar. Si pago esos $50, ¿quedaré debiendo? ¿Cuánto quedaré debiendo? Si pago los $50, quedaré debiendo $40. Y como es una deuda, me queda expresado como -‐40.
−90+ 50 = −40
Ahora bien, ¿qué pasa si agrupamos de otra forma estos números? Sumemos en el orden en que aparecen los números:
−30+ 50+ −60 = Si agrupamos −30+ 50 y resolvemos ocupando el método “debo y tengo” nos queda:
−30+ 50 = 20 Puesto que debo $30 y tengo $50 para pagar, ahora, si los pago esos $50, me quedan $20 a mi favor, o sea 20 positivo. Ahora, finalmente nos quedaría : 20+ −60 = Ocupemos de nuevo el método:
20+ −60 = −40 Puesto que tengo $20, pero debo $60, así que si pago esos $20, quedaré debiendo $40, o sea -‐40, que es el mismo resultado que nos dio anteriormente. Cuadro de resumen de las propiedades: Propiedad Definición Algebraicamente Ejemplo con números Clausura Si sumamos
números enteros, el resultado será siempre un número entero
𝑎 + 𝑏 = 𝑐; 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠
−3 + 5 = 2 −10+ 7 = −3
Conmutatividad El orden de los números que sumamos (sumandos) no altera la suma (su resultado)
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠
−3 + 5 = 5+ −3 =
2
Elemento neutro Es un número (en este caso el 0) que al ser sumado con un número entero, el resultado siempre será el mismo número entero.
𝑎 + 0 = 0+ 𝑎 = 𝑎
𝑎 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜
5+ 0 = 0+ 5 =0
Elemento inverso u opuesto, ó inverso aditivo
Es aquel número, que al sumarse con otro, da como resultado el elemento neutro ( el 0). Siempre es el mismo número pero con signo opuesto
𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎)+ 𝑎 = 0
𝑎 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜
5+ −5 = −5 + 5 = 0
Asociativa La forma en que se agrupan los sumandos no altera el resultado
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 𝑠𝑜𝑛 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜
5+ 4 + 3 = 12 5+ 4+ 3 = 12
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