clase 08 - metodo simplex - otras formas
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05/09/2014
1
El Mtodo Simplex
investigacin de operaciones i
Otras formas del modelo Casos especiales
Recordemos
El mtodo simplex es un procedimiento algebraico
convertir cada desigualdad de la forma original, en una igualdad equivalente
Desigualdades del tipo variables de holgura
Y las dems formas? hoy!!
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Recordemos
Forma aumentada del modelo
Solucin aumentada
Solucin bsica factible y solucin bsica no factible
Variables bsicas y no bsicas Cuntas variables bsicas y no bsicas tiene un
problema con 10 variables totales y 6 restricciones funcionales?
Recordemos
Procedimiento algebraico del simplex:
Halla solucin bsica factible inicial
Prueba optimalidad
Nueva iteracin: Determinar cul variable entra y cul sale
Calcular nueva solucin bsica factible
El simplex tabular
Ms fcil hacer clculos y anlisis
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Otras formas del modelo
Forma estndar:
FO: Maximizar
Restricciones del tipo
Lados derechos positivos
Variables no negativas
Otras formas:
FO: Minimizar
Restricciones de igualdad
Restricciones de la forma
Lados derechos negativos
Variables libres, negativas
Funcin objetivo: minimizar
Minimizar
Es equivalente a: Maximizar Mientras ms pequeo es Z ms grande es Z, por tanto la solucin que da el valor mnimo de Z en la regin factible, tambin dar el mximo valor de Z en dicha regin
j
jj XCZ
j
jj XCZ )(
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Restriccin de igualdad
Cualquier restriccin del tipo a11X1 + a12X2 + .............+ a1nXn = b1 Podra escribirse como: a11X1 + a12X2 + .............+ a1nXn b1 a11X1 + a12X2 + .............+ a1nXn b1
Esto sera inconveniente ya que aumentara el
nmero de restricciones. Por cada restriccin de igualdad apareceran dos
restricciones de desigualdad
Restriccin de igualdad
Ejemplo: Si en el caso de la Windor, se cambiara la tercera restriccin de desigualdad, por una igualdad, se tiene:
Max Z = 3X1 + 5X2 Sujeto a:
X1 4
2X2 12
3X1 + 2X2 = 18
X1, X2 0
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Restriccin de igualdad
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x2
x1
(2,6)
Regin factible (solo el segmento de recta)
(4,3)
Restriccin de igualdad
La forma aumentada del problema es:
(0) Z 3x1 5x2 = 0
(1) x1 + x3 = 4
(2) 2x2 +x4 = 12
(3) 3x1 + 2x2 = 18
Cul es la solucin B.F. inicial?
No est completa la matriz identidad!.
Introducir Variables artificiales o ficticias.
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Variables artificiales
Sirven para completar una solucin B.F inicial.
Deben ser no negativas
Se deben introducir penalizaciones muy grandes en la funcin objetivo. (Cj)
Sirven como V.B en la ecuacin en que han sido introducidas.
El proceso iterativo del simplex se deshace de ellas (si el problema real es factible)
No pueden aparecer en la solucin final (no tienen significado real)
Mtodo de la M grande
PASO 1:
Adicionar una variable artificial X5 al lado izquierdo de la restriccin de igualdad
3X1 + 2X2 + X5 = 18
Es similar a introducir una variable de holgura
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PASO 2:
Se asigna una penalizacin o castigo enorme en la funcin objetivo por el hecho de incluir la variable artificial. X5 0
Se modifica la funcin objetivo, as:
Maximizar Z = 3X1 + 5X2 - MX5 (-M castiga al mximo la FO)
M > 0 y M >>> Cj
Mtodo de la M grande
Mtodo de la M grande
La forma aumentada del problema es:
(0) Z 3x1 5x2 +Mx5 = 0
(1) x1 + x3 = 4
(2) 2x2 +x4 = 12
(3) 3x1 + 2x2 + x5 = 18
Solucin bsica factible: (0, 0, 4, 12, 18)
FACTIBLE para el problema artificial
NO FACTIBLE para el problema real Z = -M(18)
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Restricciones de la forma
PASO 1:
Se resta una variable de exceso, de excedencia o de superavit al lado izquierdo de la restriccin del tipo para convertirla en igualdad
a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn b1 a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn Xn+1= b1
Donde Xn+1 0 y es la variable de exceso
PASO 2:
A esta nueva restriccin se le adiciona una variable artificial, para hallar una solucin bsica factible inicial (completar la matriz identidad).
a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn Xn+1= b1
a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn Xn+1 + Xn+2 = b1
Recuerde que al agregar una variable artificial debe penalizar la FO.
Restricciones de la forma
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Lados derechos negativos
Se multiplica toda la restriccin por (-1), as:
a11X1 + a12X2 + ...........+ a1nXn = -bi -a11X1 - a12X2 - ............ - a1nXn = bi
En restricciones de desigualdad, al multiplicar por (-1), se invierte el signo de sta, as:
a11X1 + a12X2 + .............+ a1nXn - b1 -a11X1 - a12X2 - .............- a1nXn b1
Ejemplo
Minimizar Z =0.4X1 + 0.5X2 Sujeto a:
0.3X1 + 0.1X2 2.7
0.5X1 + 0.5X2 = 6
0.6X1 + 0.4X2 6
X1, X2 0
Funcin objetivo: Min Z= - Max Z
Restriccin + variable de holgura
Restriccin = + variable artificial
Restriccin - variable de exceso + variable artificial
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Forma aumentada
Max -Z = -0.4X1 -0.5X2 -MX4 -MX6 = 0
Sujeto a:
0.3X1 + 0.1X2 + X3 = 2.7
0.5X1 + 0.5X2 +X4 = 6
0.6X1 + 0.4X2 - X5 + X6 = 6
X1 , X2, X3, X4 , X5, X6 0
Forma aumentada
(0) -Z + 0.4X1 + 0.5X2 +MX4 +MX6 = 0
(1) 0.3X1 + 0.1X2 + X3 = 2.7
(2) 0.5X1 + 0.5X2 +X4 = 6
(3) 0.6X1 + 0.4X2 - X5 + X6 = 6
El problema no est en la forma estndar de la eliminacin gaussiana
Los coeficientes de las VB deben ser 1 en su rengln y 0 en las dems.
Cules son las VB? Qu pasa con sus coeficientes en la FO?
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Forma aumentada - estndar
Multiplicar el rengln de la variable, por menos el coeficiente de la variable en el rengln original y el resultado sumarlo con el rengln original
(0) - Z + 0.4X1 +0.5X2 + MX4 +MX6 = 0
(2)*-M -M( 0.5X1 + 0.5X2 +X4 = 6 )
(3)*-M -M( 0.6X1 + 0.4X2 - X5 + X6 = 6 )
________________________________________________
+(0) - Z + (0.4 -1.1M) X1 + (0.5-0.9M) X2 + MX5 = -12M
Solucin por simplex tabular
Iteracion = 0
Ec # VB Coeficientes Lado
derecho Razn
Z X1 X2 X3 X4 X5 X6
(0) Z -1 -1.1M+0.4 -0.9M+0.5 0 0 M 0 -12M
(1) X3 0 0,3 0,1 1 0 0 0 2,7
(2) X4 0 0,5 0,5 0 1 0 0 6
(3) X6 0 0,6 0,4 0 0 -1 1 6
Las variables bsicas forman una matriz identidad
Variables bsicas Columna
pivote
Coeficiente ms negativo Variable que
entra
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9
12
10
Mnimo
Rengln pivote Variable
que sale
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Solucin por simplex tabular
despus de las operaciones algebraicas elementales
Iteracion = 1
Ec # VB Coeficientes Lado
derecho Razn
Z X1 X2 X3 X4 X5 X6
(0) Z -1 0 -16M+11
30 11M-4
3 0 M 0 -2,1M-3,6
(1) X1 0 1 1/3 10/3 0 0 0 9
(2) X4 0 0 1/3 5/3 1 0 0 1,5
(3) X6 0 0 1/5 -2 0 -1 1 0,6
-
27
4,5
3
Solucin por simplex tabular
despus de las operaciones algebraicas elementales
Iteracion = 2
Ec # VB Coeficientes Lado
derecho Razn
Z X1 X2 X3 X4 X5 X6
(0) Z -1 0 0 -5M+7
3 0
-5M +11 3 6
8M -11 3 6
-0,5M-4,7
(1) X1 0 1 0 20/3 0 5/3 -5/3 8
(2) X4 0 0 0 5/3 1 5/3 -5/3 0,5
(3) X2 0 0 1 -10 0 -5 5 3
-
4,8
0,3
-
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Solucin por simplex tabular
despus de las operaciones algebraicas elementales
Iteracion = 3
Ec # VB Coeficientes Lado
derecho Razn
Z X1 X2 X3 X4 X5 X6
(0) Z -1 0 0 0,5 M-1,1 0 M -5,25
(1) X1 0 1 0 5 -1 0 0 7,5
(2) X5 0 0 0 1 0,6 1 -1 0,3
(3) X2 0 0 1 -5 3 0 0 4,5
No hay coeficientes negativos!... SOLUCIN PTIMA!
(X1, X2, X3, X4, X5, X6) = (7.5, 4.5, 0, 0, 0.3, 0) Valor de la FO: Z=5.25
Casos especiales
1. Empate en la variable que entra.
2. Empate en la variable que sale (degeneracin).
3. Cuando no hay variable bsica que sale. (Z no acotada).
4. Soluciones ptimas alternativas.
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Empate en la variable que entra
Suponga que en el ejemplo de la Windor, la funcin objetivo es:
Max Z = 3X1 + 3X2
Tanto X1 como X2 pueden entrar a la base.
La eleccin es arbitraria
Empate en la variable que entra
Iteracion = 0
Ec #
VB Coeficientes Lado
derecho Razn
Z X1 X2 X3 X4 X5
(0) Z 1 -3 -3 0 0 0 0
(1) X3 0 1 0 1 0 0 4
(2) X4 0 0 2 0 1 0 12
(3) X5 0 3 2 0 0 1 18
Empate en la variable que entra a la base
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Empate en la variable que sale
Esto significa que en algn momento, la prueba del cociente mnimo tiene un empate.
A primera vista parecera que no hay problema, pero en realidad al escoger una de las 2 como variable que sale, la otra variable que no se escoge quedar dentro de la base con valor 0
El simplex puede entrar en un ciclo infinito
Variable degenerada
Cuando no hay variable que sale
Suponga que el problema de PL es:
Max Z = 3X1 + 5X2 Sujeto a X1 4
X1, X2 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2
3 4 5
6 7 8
9 10
X1 = 4
x2
x1
Regin factible no acotada
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Cuando no hay variable que sale
Iteracion = 0
Ec #
VB Coeficientes Lado
derecho Razn
Z X1 X2 X3
(0) Z 1 -3 -5 0 0
(1) X3 0 1 0 1 4
Columna pivote
No se puede hacer prueba del cociente mnimo!!! (todos los coeficientes de la columna pivote son negativos o ceros
cul variable sale??
Hay un ERROR en la formulacin Regin factible no acotada!
Mltiples soluciones alternativas
Cualquier problema de programacin lineal con soluciones ptimas mltiples (y una regin factible acotada), tiene al menos 2 soluciones FEV que son ptimas
Cuando esto ocurre, al menos una V.N.B tiene coeficiente cero en la ecuacin (0) final, de manera que si aumenta su valor, el valor de la funcin Z no cambia
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Mltiples soluciones alternativas
En el caso de la Windor, si cambiara la funcin objetivo:
Max Z = 3X1 + 2X2 Sujeto a:
X1 4
2X2 12
3X1 + 2X2 18
X1, X2 0
Grficamente
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
x2
x1
( 2,6)
(4,3)
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Solucin
Despus de las operaciones algebraicas elementales
Iteracion = 2
Ec #
VB Coeficientes Lado
derecho Razn
Z X1 X2 X3 X4 X5
(0) Z 1 0 0 0 0 1 18
(1) X1 0 1 0 1 0 0 4
(2) X4 0 0 0 3 1 -1 6
(3) X2 0 0 1 -3/2 0 1/2 3
Solucin ptima?? S!
Solucin
Qu pasa si entra X3 a la base?
Iteracion = 3
Ec #
VB Coeficientes Lado
derecho Razn
Z X1 X2 X3 X4 X5
(0) Z 1 0 0 0 0 1 18
(1) X1 0 1 0 0 -1/3 1/3 2
(2) X3 0 0 0 1 1/3 -1/3 2
(3) X2 0 0 1 0 1/2 0 6
Solucin ptima??
S!
como existe una V.N.B con coeficiente cero en el rengln (0), existe al menos otra solucin FEV ptima, y por tanto infinitas.
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Recapitulando
Otras formas: Min Z = Max Z Restriccin : + variable de holgura Restriccin =: + variable artificial. Penalizacin en la FO Restriccin : - variable de exceso + variable artificial.
Penalizacin en la FO
Casos especiales: Empate en la variable que entra. Empate en la variable que sale (degeneracin). Cuando no hay variable bsica que sale.
(Z no acotada). Soluciones ptimas alternativas.
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