cinematica
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Prof. Dr. Emilio M. Becerra C.
Cinemtica
ebecerra@lamolina.edu.pe
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Fsica General
3
Fsica General Cinemtica
2 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro
Introduccin
Como una primera etapa en el estudio de la mecnica, se describe el
movimiento de un objeto mientras se ignoran las interacciones con agentes
externos que puedan causar o modificar dicho movimiento. Esta parte de la
mecnica clsica se llama cinemtica. En este sentido podemos describir el
movimiento a partir de ciertas magnitudes fsicas, a saber: posicin, velocidad y
aceleracin.
En esta primera parte slo consideramos el movimiento en una dimensin, esto
es: el movimiento de un objeto a la largo de una lnea recta.
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3 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro
Clasificacin del Movimiento
En fsica se clasifica por categoras el movimiento:
Movimiento traslacional
Movimiento rotacional
Movimiento vibratorio
Movimiento traslacional: se usa el modelo de
partcula y el objeto en movimiento se describe
como una partcula sin importar su tamao.
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4 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro
Posicin, velocidad y rapidez
Posicin.
La posicin de una partcula es la ubicacin de la partcula respecto a un punto
de referencia elegido que se considera el origen de un sistema coordenado.
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5 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro
Posicin, velocidad y rapidez
El desplazamiento.
El desplazamiento de una partcula se define como su cambio de posicin en
algn intervalo de tiempo. Conforme la partcula se mueve desde una posicin
inicial a una posicin final , su desplazamiento es dada por:
=
Distancia : Es la longitud de una trayectoria seguida por una partcula
= = 0
Distancia 0
La distancia se representa
siempre como un nmero positivo,
mientras que el desplazamiento
puede ser positivo o negativo. El
desplazamiento es un ejemplo de
una cantidad vectorial.
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6 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro
Posicin, velocidad y rapidez
Velocidad media
La velocidad promedio de una partcula se define como el desplazamiento
de la partcula dividido entre el intervalo de tiempo durante el que ocurre
dicho desplazamiento:
=
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Posicin, velocidad y rapidez
Rapidez promedio
La rapidez promedio de una partcula, es una cantidad escalar, se define
como la distancia total recorrida dividida entre el intervalo de tiempo total
requerido para recorrer dicha distancia.
=
A diferencia de la velocidad promedio, la rapidez promedio no tiene direccin y
siempre se expresa como un nmero positivo.
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Posicin, velocidad y rapidez
Velocidad instantnea Con frecuencia es necesario conocer la velocidad de una partcula en un instante
especfico en el tiempo en lugar de la velocidad promedio durante un intervalo de
tiempo finito.
= lim
=
Velocidad instantnea del movimiento rectilneo
La rapidez instantnea de una partcula se define como la magnitud de su
velocidad instantnea.
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Obtencin de la velocidad en una grfica x-t
En una grfica posicin en funcin del tiempo para movimiento rectilneo, la
Velocidad instantnea en cualquier punto es igual a la pendiente de la tangente a
la curva en ese punto.
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10 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro
Obtencin de la velocidad en una grfica x-t
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Aceleracin media e instantnea
As como la velocidad describe la tasa de cambio posicin con el tiempo, la
aceleracin describe la tasa de cambio de la velocidad con el tiempo.
Aceleracin media
Se define como el cambio en la velocidad dividido por el intervalo de tiempo
durante el que ocurre el cambio
=
=
Aceleracin media, movimiento rectilneo
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12 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro
Aceleracin media e instantnea
Aceleracin instantnea
La aceleracin instantnea es el lmite de la aceleracin media conforme el
intervalo de tiempo se acerca a cero.
= lim0
=
Aceleracin instantnea, movimiento rectilneo
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13 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro
Obtencin de la aceleracin en una grfica o una grfica x-t
En una grfica de velocidad en funcin del tiempo, la aceleracin instantnea en
cualquier punto es igual a la pendiente de la tangente de la curva en ese punto.
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Los signos de la aceleracin y la velocidad
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Obtencin de la aceleracin en una grfica o una grfica x-t
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Ejercicios de Aplicacin
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1. La posicin de una partcula en coordenadas cartesianas est dada por la
ecuacin
Donde
x(t)=5+6t2, y(t)=3t, z(t)=6
t en segundos y x, y, z en metros
a) Determine el desplazamiento entre t = 0 y t = 1s
b) Determine la velocidad media
c) Determine la velocidad y la rapidez en t = 1s.
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Ejercicios de Aplicacin
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2. Cierta partcula se mueve a lo largo de una lnea de acuerdo con la ley:
Halle:
a) La posicin de la partcula en t=1 y en t=2s.
b) La velocidad media en 1 t 2.
c) La velocidad en t=3s.
d) La aceleracin en 1 t 2.
e) La aceleracin instantnea en t = 3s.
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Ejercicios de Aplicacin
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3. Halle la velocidad media en la siguiente grfica para todo el recorrido
x(km)
t(h)
10
2 4 6 7
-5
5
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Ejercicios de Aplicacin
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4. Cierta partcula se halla en P(3,-2,1)m en el instante t1 =2s y en Q(-1,0,3)m en
t2= 2.5s. Halle la velocidad media.
5. La posicin de un mvil (en m) con respecto al tiempo (en s) se expresa
segn la siguiente ecuacin: = 2 8 20 . Calcule la velocidad del mvil
en el instante en que pasa por el origen.
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Movimiento con velocidad constante
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Movimiento rectilneo uniforme (MRU)
Es aquel movimiento en el cual la trayectoria seguida por el mvil es a lo largo
de una lnea recta y en donde el mvil recorre distancia iguales en tiempos
iguales; vale decir la rapidez del mvil permanece constante y no sufre
aceleracin.
= +
= +
(para constante)
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Grficos del movimiento rectilneo uniforme
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Velocidad vs Tiempo
Caractersticas El valor absoluto del rea es
numricamente igual al espacio
recorrido por el mvil.
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Grficos del movimiento rectilneo uniforme
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Posicin vs tiempo
Caractersticas
a) La grfica x vs t es siempre una lnea
recta que no es paralela a ninguno de
los ejes.
b) El valor de la velocidad es
numricamente igual a la pendiente de
la recta.
= +
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Movimiento con aceleracin constante
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Movimiento rectilneo uniformemente variado (MRUV)
Un movimiento muy comn y simple de movimiento unidimensional, es aquel en
el que la aceleracin es constante. En tal caso la aceleracin promedio
en cualquier intervalo de tiempo es numricamente igual a la aceleracin
instantnea en cualquier instante dentro del intervalo.
=2 12 1
= 0 + slo con aceleracin constante.
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Movimiento con aceleracin constante
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Grfica aceleracin-tiempo para movimiento rectilneo con aceleracin positiva
constante
= = 0
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Movimiento con aceleracin constante
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Deduccin de una ecuacin para la posicin en funcin del tiempo cuando la
aceleracin es constante.
= 0
=
0 + 2
Podemos encontrar :
= 0 + 0 +1
2
2 slo con aceleracin constante.
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Movimiento con aceleracin constante
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Grfica velocidad-tiempo para movimiento rectilneo con aceleracin constante
positiva.
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Movimiento con aceleracin constante
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Grfica de posicin en funcin del tiempo.
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Movimiento con aceleracin constante
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Cinemtica
Como la aceleracin influye en: (a) grfica de la posicin vs tiempo (b) velocidad
vs tiempo
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Movimiento con aceleracin constante
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Con frecuencia es til tener una relacin entre posicin, velocidad y
aceleracin(constante) que no incluya el tiempo.
2 = 20 + 2 0 slo con aceleracin constante.
Para un movimiento con aceleracin cero, de las ecuaciones anteriores
tenemos:
= 0 =
= 0 +
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Ejercicios de Aplicacin
MRU
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1. Dos autos pasan por un mismo punto, en el mismo sentido, con
velocidades de 25m/s y 20m/s. Despus de qu tiempo estarn
separados 100m?
2. Un mvil viaja con M.R.U y debe llegar a su destino a las 7 p.m. Si viajara
a 40 km/h llegara 1 hora despus y si viajara a 60 km/h llegara 1 hora
antes. Qu velocidad debi llevar para llegar a su destino a la hora fijada.
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Ejercicios de Aplicacin
MRU
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3. Dada la grfica y sabiendo que, en todo momento, la velocidad del
mvil A es de 2 m/s , halle la velocidad del mvil B.
x(m)
t(s)
A B
0
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Ejercicios de Aplicacin
MRUV
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32 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro
1. Un carro se mueve con MRUV y al pasar por un punto B tiene una velocidad
de 60 m/s. si 360 m ms adelante su velocidad es de 120 m/s. cul fue su
velocidad 100 m atrs de B?
2. Un auto corre en una pista horizontal con una aceleracin de 2 m/s2 , despus
de 5 s de pasar por el punto A posee una velocidad de 72 km/h. Qu
velocidad tena el auto cuando le faltaba 9 m para llegar al punto A?
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Ejercicios de Aplicacin
MRUV
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3. Halle la velocidad del mvil al cabo de 10 s, si en la partida ( = 0) el mvil
inicia del reposo
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a (m/s2)
t(s)
2
0 4 8
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Movimiento vertical de cada libre (MVCL)
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Cinemtica
Cada libre
El ejemplo ms comn de movimiento con
aceleracin (aproximadamente) constante es la cada
de un objeto bajo la influencia de la atraccin
gravitacional de la tierra. Hay una leyenda segn la
cual fue Galileo quien descubri este hecho al
observar que dos cuerpos de diferente peso soltados
desde la Torre inclinada de Pisa llegaban al suelo al
mismo tiempo.
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Movimiento vertical de cada libre (MVCL)
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Cinemtica
Cada libre
Los experimentos muestran que si puede omitirse el
efecto del aire, Galileo est en lo cierto : todos los
cuerpos en un lugar especfico caen con la misma
aceleracin hacia abajo, sea cual fuere su tamao o
peso. La aceleracin constante de un cuerpo en cada
libre se llama aceleracin debida a la gravedad, y
denotamos su magnitud con la letra . Por lo general,
usaremos el valor aproximado de cerca de la superficie
terrestre:
= .
=
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Movimiento de proyectiles
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Un proyectil es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego sigue
una trayectoria determinada por lo efectos de la aceleracin gravitacional y la
resistencia del aire.
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Movimiento de proyectiles
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Movimiento de proyectiles
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= 0 0
= 0 0
= 0 0 1
22
= 0 0
Tiempo total de vuelo
=20 0
Altura mxima
=0
2 02
2
Alcance horizontal mximo
= 0 020 0
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Ejercicios de Aplicacin
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1. Una piedra es soltada desde la parte superior de un edificio y demora un
segundo en recorrer los ltimos 25 m. Cul es la altura del edificio?
(considere g= 10 m/s2).
2. Un objeto desde cierta altura H respecto de el piso e lanzado verticalmente
hacia arriba con una rapidez de 20 m/s y cae al piso con una rapidez de 50
m/s. Determine el tiempo que estuvo en el aire el objeto, la altura H y la altura
mxima respecto del piso. (g = 10 m/s2)
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Ejercicios de Aplicacin
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1. Un can se dispara en el vaco, bajo un ngulo de 30 con una velocidad de
300 m/s. Calcular:
a) La distancia desde el can hasta el punto donde hace impacto.
b) La altura mxima alcanzada.
c) La velocidad a los 10 s de ser disparado
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Ejercicios de Aplicacin
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41 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro
2. Una partcula es proyectada con velocidad 0, hasta alcanzar una distancia
sobre la horizontal que es el doble de su altura mxima. Calcular el valor de la
altura mxima en funcin de la aceleracin de la gravedad y la velocidad 0.
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El Vector Aceleracin
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42 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro
Consideremos la aceleracin de una partcula que se mueve en el espacio. La
aceleracin describe el cambio en la velocidad de la partcula; no obstante al
tratarla como un vector, esta puede describir cambios tanto en magnitud como
en la direccin en la velocidad.
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El Vector Aceleracin
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43 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro
La aceleracin instantnea en el punto
1 se define como el lmite de la
aceleracin media cuando el punto 2 se
acerca a 1 y y se acercan a cero.
En otras palabras la aceleracin
instantnea es igual a la tasa (variacin)
instantnea de cambio de velocidad con
el tiempo.
Cinemtica
= lim0
=
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Componentes perpendicular y paralela de la aceleracin
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44 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro
El vector aceleracin de una partcula puede describir cambios en la rapidez de
sta, en la direccin de su movimiento o en ambas.
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Componentes perpendicular y paralela de la aceleracin
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45 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro
Para ver por qu las componentes paralela y perpendicular de tienen tales
propiedades, consideremos dos casos especiales:
Cinemtica
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Componentes perpendicular y paralela de la aceleracin
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La siguiente figura muestra una partcula que se mueve con trayectoria curva en
tres situaciones distintas : rapidez constante, creciente y decreciente.
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Movimiento en un crculo
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Movimiento circular uniforme : Cuando una
partcula se mueve en un circulo con rapidez
constante, tiene un movimiento circular uniforme.
Un automvil que da vuelta a una curva de radio
constante con velocidad constante, un satlite en
rbita circular, son algunos ejemplos de
movimiento circular uniforme.
Cinemtica
=2
(movimiento circular uniforme)
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Movimiento en un crculo
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48 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro
Movimiento circular uniforme : Un tipo de
movimiento plano de gran importancia en fsica
es el movimiento circular uniforme, en que la
trayectoria es un crculo y el mdulo de la
velocidad instantnea es constante, de modo que
la partcula describe arcos iguales en intervalos
de tiempo iguales.
Cinemtica
s=R
El arco que corresponde al ngulo sobre el crculo es dado por:
s=0 + ( 0)
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Movimiento en un crculo
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Velocidad angular: Es una cantidad vectorial que mide como cambia la posicin
angular con respecto al tiempo. La direccin de este vector, por conveccin, es
perpendicular al plano del movimiento y con ayuda de la regla de la mano
derecha se puede determinar su direccin.
Cinemtica
=0 +
De donde:
=
=
2
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Movimiento en un crculo
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Fsica General
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Relacin entre la rapidez y el modulo de la velocidad angular:
Cinemtica
=2
=2
v=
=
()
=
=
Relacin entre la aceleracin centrpeta y las magnitudes de las velocidades:
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Fsica General
Ejercicios de Aplicacin
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Fsica General
51 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro
1. El vector velocidad del movimiento de una partcula viene dado por:
= 3 2 + 62 5 m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de
la aceleracin y el radio de curvatura en el instante de tiempo = 2 .
2. En cierto instante el vector velocidad de una partcula tiene una magnitud de
10 m/s y forma un ngulo de 53 con el vector aceleracin, cuyo mdulo es 5 m/s2 .
Determinar el radio de curvatura.
Cinemtica
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Fsica General
Ejercicios de Aplicacin
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Fsica General
52 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro
3. Una partcula a 10 cm del centro de una centrifugadora tiene una aceleracin
centrpeta de 5,000 g.
a) Cul es la frecuencia angular de la centrifugadora?
b) Cul es la velocidad tangencial? (g= aceleracin de la gravedad)
Cinemtica
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Fsica General VECTORES
3 Dr. Emilio M. Becerra Castro
Clasificacin de las Magnitudes Fsicas
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