cepuns 2013-ii semana 07
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1
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo
1xCscxCot
1xCotxscCZn ; nRx ; 1xCotxCsc
1xSecxTan
1xTanxSecZn ;
21)(2nRx ; 1xTanxSec
xSen1xCos
xCos1xSenRx ; 1xCosxSen
22
2222
22
2222
22
2222
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS Ciclo 2013-II
TRIGONOMETRÍA “Identidades Trigonométricas”
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Son aquellas igualdades que relacionan funciones trigonométricas de una cierta variable, las cuales se verifican para todo admisible, clasificándose de la siguiente manera:
1.- IDENTIDADES RECIPROCAS Sen . Cosec = 1 R - n
Cos . Sec = 1 R–(2n+1) Tan . Cotan = 1 R – n /2
2. IDENTIDADES POR DIVISION Tan = Sen / Cos R–(2n+1)/2 Cotan = Cos / Sen R – n
3. IDENTIDADES PITAGORICAS Sen2 + Cos2 = 1 R
1 + Tan2 = Sec2 R–(2n+1)/2 1 + Ctg2 = Csc2 R – n
4. IDENTIDADES AUXILIARES
sen4 x + cos4x =1-2sen2x cos2x
sen6 x + cos6 x =1-3sen2x cos2x
tg x + cotg x = sec x . cosec x
sec2x + cosec2x = sec2 x . cosec2x
(1 senx cosx)2 =2 (1 senx)(1 cosx)
Si:
asenx +bcosx = C 22 bac
Entonces:
cb
xca
senx cos
Si:
ntgxxntgxx
1secsec
Si:
m
ctgxxmctgxx1
csccsc
x
senxsenx
xsenx
xx
senxcos
1
1
cos;
cos1
cos1
(senx cosx)2 = 1 2senx.cosx
RECORDAR
Verso de “x” : ver x = 1 – cosx
Converso de “x” : cov = 1 – senx
Ex secante de “x” : ex sec = secx – 1
PROPIEDAD: si multiplicamos a los ángulos de
una identidad trigonométrica por un factor
numérico cualquiera, la identidad sigue
cumpliéndose.
Sen 2 2x + cos 2 2x = 1
1+ tg 2 x/2 = sec 2 x/2
Sen 5x . csc 5x = 1
xxsen
xtg10cos
1010
5. TIPOS A continuación te proponemos algunas guías o sugerencias que te servirán para desarrollar ejercicios, estas son: Escoger el miembro más complicado de la
identidad. Colocar el miembro escogido en términos
de senos y cosenos. Hacer uso de identidades algebraicas,
según sea el caso. Cuando haya potencias puede ser útiles
hacer factorizaciones De las identidades fundamentales se
podrán deducir otras.
Los ejercicios sobre IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS, son de 4 tipos:
Demostraciones Simplificaciones
Semana Nº 7
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
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Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo
Condicionales Eliminación del ángulo
PROBLEMA DE CLASE
1. Simplifique:
covx versx covxE
versx covx
1 1
1
A) vers x B) cov x C) 2 -vers x
D)2-cov x E) 2 + cov x
covx versx covxE
versx covx
1 1
1
senx cosx senxE
cosx senx
1 1 1 1 1
1 1 1
senx senx cosx senx cosxE
cosx senx senx cosx
1 1
1 1
senx cosx sen xE
senxcosx
2 21
2
cosx cosx cosxE
cosx
2
1 1 1
2
cosx cosx cosxE
cosx
1 1 1
2
E cosx 1
E versx 1 1
E versx 2
2. Simplifique: cosxk
senx cosx
2 21
1
A) cosx
senx1
B) senx
cosx
1 C) 1- sen x
D) 1 + sen x E) cosx
senx1
cosxK
senx cosx
2 21
1
senx cosx cosxK
senx cosx
1 2 2
1
senx cosx senx cosxK
senx cosx senx cosx
1 1
1 1
senx cos xK
senxcosx
2 21
2
senx senx senxK
senxcosx
2
1 1 1
2
senx senx senxK
senxcosx
1 1 1
2
senx senx senxK k
senxcosx cosx
1 2 1
2
3. Eliminar “x” si:
sec x atgx 22
csc x ctgx 22
A) a b2 B)a b 2 20 C) a b 0
D)a b 0 E) a b 2
sec x atgx tg x 2 22 2 1
atgx tg x atgx 21 ………(*)
csc x bctgx ctg x 2 22 2 1
bctgx ctg x b ctgx 21
tg x b
tg x tgx
2
2
1
tg x btgx 21 …………….…(*)(*)
(*) + (*) (*)
(a b)tgx a b 0 0
4. Si: Btg x sen xA tg x
ctg x cos x
2 2
2 2
Halle: (A + B)
A) 3 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10
sen xsen x
sen x sec xcos x
cos x cos x csc xcos x
sen x
2
22 2
2
2 2 22
2
1
1
sen x tg x tg x tg x
tg xcos x ctg x
tg x
2 2 2 2
6
2 2
2
1 1
11 1
Btg x A tg x61 A = 1; B = 6 A + B =7
PROBLEMA DE CLASE
1) Determinar A +B, si la siguiente igualdad:
2 2 42
4
2sen x cos x cos xAsec x B
cos x
Represente una identidad
A) 3 B)1 C) – 2 D) 2 E) – 3
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
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Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo
2) Si ctg +csc = a. Halle sen; sabiendo que
es agudo
A) 2
a
1 a B)
2a 1
a
C)2
2a
1 a D)
21 a
2a
E) 2 1
aa
3) Reducir:
1 2senx.cosxE cosx csc x
senx cosx
A) cscx B)senx C)1 D) 0 E)– 1
4) Reducir la siguiente expresión:
10 10 8 8
6 6
sen x cos x sen cos xE
sen x cos x
A)
2sen 2x
4 B)
2sen 2x
2 C) 2sen 2x D)sen2x
2 E) sen4x
4
5) Si sen cos =ktg , simplifique:
P=(k+sen2 )(k +cos2 ) – k
A) k sen2 B) k cos2
C) k2 sen2 D) k2 tg2 E) k2 sec2
6) Si 5senx =1 – cosx; entonces al reducir
F= 10 + 10 cosx, se obtiene:
A) senx B) 2senx C) 4senx
D) sen(2x) E) 2sen(2x)
7) Reducir:
H =(sec2x + csc2x).tg2x(1 – cos2x)ctg4x
A) csc2 x B) sen5 x C) cos6 x
D) cos5 x E) csc4 x
8) Si: sec = m + n, tg =m – n, entonces el valor
de
1R
8mn
, es:
A) 1/8 B)1/6 C)1/4 D) 1/2 E) 1
9) Si: Sec + tg = a
csc + ctg= b
halle w =sec – tg + csc – ctg
A) 1 1
a b
B) a + b C) 1 1
b a
D) a2 – b2 E) 1 1
a b
10) Si es un ángulo agudo, y se cumple que
sec + tg = 8/3, entonces al reducir
F=73sen +48tg , se obtiene:
A) 0 B)44 C) 55 D) 88 E) 110
11) Calcule el valor de m para que E sea
independiente de x , si:
E=(1 + senx + cosx)2 + (1 + senx – cosx)2+ m senx
A) 1 B) – 3 C)– 2 D) 3 E) – 4
12) Si:
ba
bSenCosa11
1. 44
,
445 , tal que 00 bya ,
Calcular Sec
a) a
ba b)
bba
c) ba
d) b
ba e) a
ba
13) Si: xCosSenxxSen 23 ; calcular
xSenCscxF 3
a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2
14) Si: tgxt
x
q
senx
p
cos, determinar la relación que
elimina el arco “x”
a) 22222 qptpq b) 22222 tpqpt
c) 22222 tqqpp d) 22222 pqtpq
e) 22222 tqqpp
15) Calcular “k”, para que la siguiente igualdad sea
una identidad.
xxsensenx
xsensenx
xsen kk42 cos26
1
1
1
1
a) 2 b) 4 c) 6 d)8 e) 10
16) Si la siguiente expresión es una identidad:
kk
xsenx
xsenxx
cos1
cos.
cos1
Calcular el valor de “k”
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
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Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo
a) senx b) cosx c) tgx
d) senx.cosx e) Cscx.Tgx
PROBLEMAS DE REPASO
1. Simplificar:
3 3H
1 senx csc x 1
A) 3 + 6tg2x B) 6 + 3tg2x
C) 3 + 6ctg2x D) 6+ 3ctg2x E) 3 + 6tg2x
2. Hallara una relación entre a y b a partir de:
a senx = bsenx +cosx
b cosx = senx – a cosx
A) a2 + b2 B) a – b =1
C) ab = 1 D) a2– b2=1 E) a + b =1
3. Si se cumple que sec +tg = 6, entonces el
valor de:
1 senw ,es
cos
A) ½ B) 1/3 C) 1/6 D) 5/6 E) 7/6
4. Si: aTgxSecx ; bCtgxx csc
Determinar la relación que elimina el arco “x”
de “x”
a) 11.4 22 baba b) 11.2 22 baba
c) 22. 22 baba d) 11.2 22 baba
e) 11.4 22 baba
5. Calcular el valor k para que la expresión F
sea independiente de x, si:
xxkxtgxtgF 2424 secsec3
a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2
6. Reducir:
xxxsen
xxsenF 2
22
88
coscos.21
cos
a) xSen 2 b) xCos 2 c) xSen 2
d) xCos 2 e) xSen 4
7. Si: tgxqx
pm .
cos ;
x
qtgxpn
cos.
Determinar la relación que elimina el arco
de “x”
a) m – n = p – q b) m + n = p + q
c) m2 + n2 = p2 + q2 d) m 2 – n2 = p2 – q 2
e) m 3 – n2 = p2 – q 3
8. Hallar A2 en la siguiente identidad:
1Cscx
A
Senx1
Senx1
a) xSen 2 b) xCos 2
c) xTg2
d) xCtg2 e) xSec 2
9. Reducir la expresión
k = 3
sec
seccos
csen
a) Senα b) cosα c) tagα d) ctagα e) 1
10. Si: tg + ctg = 25/12 Calcular el valor
de: sen + cos
a) 7/5 b) 5/7 c) 4/3 d) -3/4
11. Si: 12 22 ytgxtg ; calcular
yCosxCosF 222
a) Cosx b) Cosy c) tgx d) 0 e) 1
12. Si: bTgatgTgx
Tgb
Senx
Tga 22
2
,
determinar Cosx en función de tg a y tg b.
a)
tga
tgb b)
tgb
tga c) tga + tgb
d)
1
1
tgb
tga e)
tgb
tga2
13. Si: 23 ctgtgm
21. CscSecn
Determinar la relación que elimina el arco
de “”
a) 1 nm b) 2 nm
c) 4 mn d) 32 nm
e) 4 mn
14. Al simplificar la expresión:
4 4sen cos xF cosx
senx cosx
se obtiene.
A) 0 B)1 C)senx D) cosx E)tgx
5
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