cepuns 2013-ii semana 07

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Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo

1xCscxCot

1xCotxscCZn ; nRx ; 1xCotxCsc

1xSecxTan

1xTanxSecZn ;

21)(2nRx ; 1xTanxSec

xSen1xCos

xCos1xSenRx ; 1xCosxSen

22

2222

22

2222

22

2222

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS Ciclo 2013-II

TRIGONOMETRÍA “Identidades Trigonométricas”

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Son aquellas igualdades que relacionan funciones trigonométricas de una cierta variable, las cuales se verifican para todo admisible, clasificándose de la siguiente manera:

1.- IDENTIDADES RECIPROCAS Sen . Cosec = 1 R - n

Cos . Sec = 1 R–(2n+1) Tan . Cotan = 1 R – n /2

2. IDENTIDADES POR DIVISION Tan = Sen / Cos R–(2n+1)/2 Cotan = Cos / Sen R – n

3. IDENTIDADES PITAGORICAS Sen2 + Cos2 = 1 R

1 + Tan2 = Sec2 R–(2n+1)/2 1 + Ctg2 = Csc2 R – n

4. IDENTIDADES AUXILIARES

sen4 x + cos4x =1-2sen2x cos2x

sen6 x + cos6 x =1-3sen2x cos2x

tg x + cotg x = sec x . cosec x

sec2x + cosec2x = sec2 x . cosec2x

(1 senx cosx)2 =2 (1 senx)(1 cosx)

Si:

asenx +bcosx = C 22 bac

Entonces:

cb

xca

senx cos

Si:

ntgxxntgxx

1secsec

Si:

m

ctgxxmctgxx1

csccsc

x

senxsenx

xsenx

xx

senxcos

1

1

cos;

cos1

cos1

(senx cosx)2 = 1 2senx.cosx

RECORDAR

Verso de “x” : ver x = 1 – cosx

Converso de “x” : cov = 1 – senx

Ex secante de “x” : ex sec = secx – 1

PROPIEDAD: si multiplicamos a los ángulos de

una identidad trigonométrica por un factor

numérico cualquiera, la identidad sigue

cumpliéndose.

Sen 2 2x + cos 2 2x = 1

1+ tg 2 x/2 = sec 2 x/2

Sen 5x . csc 5x = 1

xxsen

xtg10cos

1010

5. TIPOS A continuación te proponemos algunas guías o sugerencias que te servirán para desarrollar ejercicios, estas son: Escoger el miembro más complicado de la

identidad. Colocar el miembro escogido en términos

de senos y cosenos. Hacer uso de identidades algebraicas,

según sea el caso. Cuando haya potencias puede ser útiles

hacer factorizaciones De las identidades fundamentales se

podrán deducir otras.

Los ejercicios sobre IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS, son de 4 tipos:

Demostraciones Simplificaciones

Semana Nº 7

Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.

2


Condicionales Eliminación del ángulo

PROBLEMA DE CLASE

1. Simplifique:

covx versx covxE

versx covx

1 1

1

A) vers x B) cov x C) 2 -vers x

D)2-cov x E) 2 + cov x

covx versx covxE

versx covx

1 1

1

senx cosx senxE

cosx senx

1 1 1 1 1

1 1 1

senx senx cosx senx cosxE

cosx senx senx cosx

1 1

1 1

senx cosx sen xE

senxcosx

2 21

2

cosx cosx cosxE

cosx

2

1 1 1

2

cosx cosx cosxE

cosx

1 1 1

2

E cosx 1

E versx 1 1

E versx 2

2. Simplifique: cosxk

senx cosx

2 21

1

A) cosx

senx1

B) senx

cosx

1 C) 1- sen x

D) 1 + sen x E) cosx

senx1

cosxK

senx cosx

2 21

1

senx cosx cosxK

senx cosx

1 2 2

1

senx cosx senx cosxK

senx cosx senx cosx

1 1

1 1

senx cos xK

senxcosx

2 21

2

senx senx senxK

senxcosx

2

1 1 1

2

senx senx senxK

senxcosx

1 1 1

2

senx senx senxK k

senxcosx cosx

1 2 1

2

3. Eliminar “x” si:

sec x atgx 22

csc x ctgx 22

A) a b2 B)a b 2 20 C) a b 0

D)a b 0 E) a b 2

sec x atgx tg x 2 22 2 1

atgx tg x atgx 21 ………(*)

csc x bctgx ctg x 2 22 2 1

bctgx ctg x b ctgx 21

tg x b

tg x tgx

2

2

1

tg x btgx 21 …………….…(*)(*)

(*) + (*) (*)

(a b)tgx a b 0 0

4. Si: Btg x sen xA tg x

ctg x cos x

2 2

2 2

Halle: (A + B)

A) 3 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10

sen xsen x

sen x sec xcos x

cos x cos x csc xcos x

sen x

2

22 2

2

2 2 22

2

1

1

sen x tg x tg x tg x

tg xcos x ctg x

tg x

2 2 2 2

6

2 2

2

1 1

11 1

Btg x A tg x61 A = 1; B = 6 A + B =7

PROBLEMA DE CLASE

1) Determinar A +B, si la siguiente igualdad:

2 2 42

4

2sen x cos x cos xAsec x B

cos x

Represente una identidad

A) 3 B)1 C) – 2 D) 2 E) – 3


3


2) Si ctg +csc = a. Halle sen; sabiendo que

es agudo

A) 2

a

1 a B)

2a 1

a

C)2

2a

1 a D)

21 a

2a

E) 2 1

aa

3) Reducir:

1 2senx.cosxE cosx csc x

senx cosx

A) cscx B)senx C)1 D) 0 E)– 1

4) Reducir la siguiente expresión:

10 10 8 8

6 6

sen x cos x sen cos xE

sen x cos x

A)

2sen 2x

4 B)

2sen 2x

2 C) 2sen 2x D)sen2x

2 E) sen4x

4

5) Si sen cos =ktg , simplifique:

P=(k+sen2 )(k +cos2 ) – k

A) k sen2 B) k cos2

C) k2 sen2 D) k2 tg2 E) k2 sec2

6) Si 5senx =1 – cosx; entonces al reducir

F= 10 + 10 cosx, se obtiene:

A) senx B) 2senx C) 4senx

D) sen(2x) E) 2sen(2x)

7) Reducir:

H =(sec2x + csc2x).tg2x(1 – cos2x)ctg4x

A) csc2 x B) sen5 x C) cos6 x

D) cos5 x E) csc4 x

8) Si: sec = m + n, tg =m – n, entonces el valor

de

1R

8mn

, es:

A) 1/8 B)1/6 C)1/4 D) 1/2 E) 1

9) Si: Sec + tg = a

csc + ctg= b

halle w =sec – tg + csc – ctg

A) 1 1

a b

B) a + b C) 1 1

b a

D) a2 – b2 E) 1 1

a b

10) Si es un ángulo agudo, y se cumple que

sec + tg = 8/3, entonces al reducir

F=73sen +48tg , se obtiene:

A) 0 B)44 C) 55 D) 88 E) 110

11) Calcule el valor de m para que E sea

independiente de x , si:

E=(1 + senx + cosx)2 + (1 + senx – cosx)2+ m senx

A) 1 B) – 3 C)– 2 D) 3 E) – 4

12) Si:

ba

bSenCosa11

1. 44

,

445 , tal que 00 bya ,

Calcular Sec

a) a

ba b)

bba

c) ba

d) b

ba e) a

ba

13) Si: xCosSenxxSen 23 ; calcular

xSenCscxF 3

a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2

14) Si: tgxt

x

q

senx

p

cos, determinar la relación que

elimina el arco “x”

a) 22222 qptpq b) 22222 tpqpt

c) 22222 tqqpp d) 22222 pqtpq

e) 22222 tqqpp

15) Calcular “k”, para que la siguiente igualdad sea

una identidad.

xxsensenx

xsensenx

xsen kk42 cos26

1

1

1

1

a) 2 b) 4 c) 6 d)8 e) 10

16) Si la siguiente expresión es una identidad:

kk

xsenx

xsenxx

cos1

cos.

cos1

Calcular el valor de “k”


4


a) senx b) cosx c) tgx

d) senx.cosx e) Cscx.Tgx

PROBLEMAS DE REPASO

1. Simplificar:

3 3H

1 senx csc x 1

A) 3 + 6tg2x B) 6 + 3tg2x

C) 3 + 6ctg2x D) 6+ 3ctg2x E) 3 + 6tg2x

2. Hallara una relación entre a y b a partir de:

a senx = bsenx +cosx

b cosx = senx – a cosx

A) a2 + b2 B) a – b =1

C) ab = 1 D) a2– b2=1 E) a + b =1

3. Si se cumple que sec +tg = 6, entonces el

valor de:

1 senw ,es

cos

A) ½ B) 1/3 C) 1/6 D) 5/6 E) 7/6

4. Si: aTgxSecx ; bCtgxx csc

Determinar la relación que elimina el arco “x”

de “x”

a) 11.4 22 baba b) 11.2 22 baba

c) 22. 22 baba d) 11.2 22 baba

e) 11.4 22 baba

5. Calcular el valor k para que la expresión F

sea independiente de x, si:

xxkxtgxtgF 2424 secsec3

a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2

6. Reducir:

xxxsen

xxsenF 2

22

88

coscos.21

cos

a) xSen 2 b) xCos 2 c) xSen 2

d) xCos 2 e) xSen 4

7. Si: tgxqx

pm .

cos ;

x

qtgxpn

cos.

Determinar la relación que elimina el arco

de “x”

a) m – n = p – q b) m + n = p + q

c) m2 + n2 = p2 + q2 d) m 2 – n2 = p2 – q 2

e) m 3 – n2 = p2 – q 3

8. Hallar A2 en la siguiente identidad:

1Cscx

A

Senx1

Senx1

a) xSen 2 b) xCos 2

c) xTg2

d) xCtg2 e) xSec 2

9. Reducir la expresión

k = 3

sec

seccos

csen

a) Senα b) cosα c) tagα d) ctagα e) 1

10. Si: tg + ctg = 25/12 Calcular el valor

de: sen + cos

a) 7/5 b) 5/7 c) 4/3 d) -3/4

11. Si: 12 22 ytgxtg ; calcular

yCosxCosF 222

a) Cosx b) Cosy c) tgx d) 0 e) 1

12. Si: bTgatgTgx

Tgb

Senx

Tga 22

2

,

determinar Cosx en función de tg a y tg b.

a)

tga

tgb b)

tgb

tga c) tga + tgb

d)

1

1

tgb

tga e)

tgb

tga2

13. Si: 23 ctgtgm

21. CscSecn

Determinar la relación que elimina el arco

de “”

a) 1 nm b) 2 nm

c) 4 mn d) 32 nm

e) 4 mn

14. Al simplificar la expresión:

4 4sen cos xF cosx

senx cosx

se obtiene.

A) 0 B)1 C)senx D) cosx E)tgx

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