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Calculo Diferencial de Varias Variables

TAREA 4

Las graficas deberan hacerse en un dispositivo electronico

En los ejercicios 1− 10, dada la funcion f : IR2 → IR, trazar la grafica, trazarlas curvas de nivel en el plano xy, hallar el dominio (D(f) ⊂ IR2) y la imagen(Im(f) ⊂ IR) de la funcion.

1. f(x, y) = x− y + 2 2. f(x, y) = x2 + 4y2

3. f(x, y) = x2 + y2 + 1 4. f(x, y) = 1− x2 − y2

5. f(x, y) = x3 − x 6. f(x, y) = (100− x2 − y2)1/2

7. f(x, y) = (x2 + y2)1/2 8. f(x, y) = x2 + xy

9. f(x, y) = x/y 10. f(x, y) = sen(x)

En los ejercicios 11− 14, dada la funcion f : IR3 → IR, trazar las superficies denivel en el plano xyz, hallar el dominio (D(f) ⊂ IR3) y la imagen (Im(f) ⊂ IR)de la funcion.

11. f(x, y, z) = −x2 − y2 − z2 12. f(x, y, z) = 4x2 + y2 + 9z2

13. f(x, y, z) = xy + yz 14. f(x, y, z) = xy + z2

En los ejercicios 15− 20, trazar las superficies en IR3 de las ecuaciones.

15. 4x2 + y2 = 16 16. x+ 2z = 4

17. z2 = y2 + 4 18.x2

4=y2

4+z2

9

19. 4x2 − 3y2 + 2z2 = 0 20.x2

9+y2

12+z2

9= 1

21. Considere la funcion

f : IR2 → IR, f(x, y) =2xy

x2 + y2

construya su grafica, encuentre el dominio y trace algunas curvas de nivel.Ahora use coordenadas polares para graficar y trazar las curvas de nivel.

22. Considere la funcion en coordenadas polares

f : IR2 \ (0, 0)→ IR, f(r, θ) =cos(2θ)

r2

construya su grafica y trace algunas curvas de nivel.

1

23. Considere el conjunto de funciones continuas con dominio el intervalo [0, 1]y de valores reales (f : [0, 1] → IR) denotadas como C ([0, 1]). Demuestre queeste conjunto con sus operaciones de suma y producto por escalar tiene estruc-tura de espacio vectorial, donde el campo son los numeros reales. Definimos elproducto interno de dos funciones en este espacio como

f · g =

∫ 1

0

f(x)g(x) dx

Verifique que este producto interno cumple con ∀f, g, h ∈ C ([0, 1]), α, β ∈ IR

1. (αf + βg) · h = α(f · h) + β(g · h)

2. f · g = g · f3. f · f ≥ 0 y f · f = 0⇔ f = 0

Establezca la siguiente desigualdad∣∣∣∣∫ 1

0

f(x)g(x) dx

∣∣∣∣ ≤√∫ 1

0

[f(x)]2 dx

√∫ 1

0

[g(x)]2 dx

2