cdvv_tarea_4.pdf
TRANSCRIPT
Calculo Diferencial de Varias Variables
TAREA 4
Las graficas deberan hacerse en un dispositivo electronico
En los ejercicios 1− 10, dada la funcion f : IR2 → IR, trazar la grafica, trazarlas curvas de nivel en el plano xy, hallar el dominio (D(f) ⊂ IR2) y la imagen(Im(f) ⊂ IR) de la funcion.
1. f(x, y) = x− y + 2 2. f(x, y) = x2 + 4y2
3. f(x, y) = x2 + y2 + 1 4. f(x, y) = 1− x2 − y2
5. f(x, y) = x3 − x 6. f(x, y) = (100− x2 − y2)1/2
7. f(x, y) = (x2 + y2)1/2 8. f(x, y) = x2 + xy
9. f(x, y) = x/y 10. f(x, y) = sen(x)
En los ejercicios 11− 14, dada la funcion f : IR3 → IR, trazar las superficies denivel en el plano xyz, hallar el dominio (D(f) ⊂ IR3) y la imagen (Im(f) ⊂ IR)de la funcion.
11. f(x, y, z) = −x2 − y2 − z2 12. f(x, y, z) = 4x2 + y2 + 9z2
13. f(x, y, z) = xy + yz 14. f(x, y, z) = xy + z2
En los ejercicios 15− 20, trazar las superficies en IR3 de las ecuaciones.
15. 4x2 + y2 = 16 16. x+ 2z = 4
17. z2 = y2 + 4 18.x2
4=y2
4+z2
9
19. 4x2 − 3y2 + 2z2 = 0 20.x2
9+y2
12+z2
9= 1
21. Considere la funcion
f : IR2 → IR, f(x, y) =2xy
x2 + y2
construya su grafica, encuentre el dominio y trace algunas curvas de nivel.Ahora use coordenadas polares para graficar y trazar las curvas de nivel.
22. Considere la funcion en coordenadas polares
f : IR2 \ (0, 0)→ IR, f(r, θ) =cos(2θ)
r2
construya su grafica y trace algunas curvas de nivel.
1
23. Considere el conjunto de funciones continuas con dominio el intervalo [0, 1]y de valores reales (f : [0, 1] → IR) denotadas como C ([0, 1]). Demuestre queeste conjunto con sus operaciones de suma y producto por escalar tiene estruc-tura de espacio vectorial, donde el campo son los numeros reales. Definimos elproducto interno de dos funciones en este espacio como
f · g =
∫ 1
0
f(x)g(x) dx
Verifique que este producto interno cumple con ∀f, g, h ∈ C ([0, 1]), α, β ∈ IR
1. (αf + βg) · h = α(f · h) + β(g · h)
2. f · g = g · f3. f · f ≥ 0 y f · f = 0⇔ f = 0
Establezca la siguiente desigualdad∣∣∣∣∫ 1
0
f(x)g(x) dx
∣∣∣∣ ≤√∫ 1
0
[f(x)]2 dx
√∫ 1
0
[g(x)]2 dx
2