cap2.4-teoria de control
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-
2.4 ECUACIN CARACTERSTICA Y VALORESPROPIOS
La ec. caracterstica de un sistema puede obtenerse a partir de
la ec. (8.3), que relaciona la entrada u(t) con la salida y(t),teniendo en esa ec.
(1.4)
esta toma la forma
(2.4)
)(1
A-sIA-sI
A)-(sI 1- adj=
( )[ ]AsI
DAsIBAsICGu -
-+-=
adjs)(
-
ECUACIN CARACTERSTICA (cont.)
Del denominador de la matriz FT Gu(s), se concluye que la
ec. caracterstica del sistema es
(3.4)
Las races de la ec. caracterstica son referidas como los
valores propios (autovalores) de la matriz A.
0)s( ==D A-sI
-
Ejemplo
Dadas las matrices del modelo de estado de un s. de control
Determinar los valores propios de la matriz A
Solucin
de donde: l1=-4.88; l2=-0.06+j0.64; l3=0.06-j0.64.
---
=
512
100
010
A ;
=
1
0
0
B
025
512
10
0123 =+++=
+
-
=- sss
s
s
s
s AI
-
VECTORES PROPIOS
Si A, tiene valores propios distintos, sus vectores propios sepueden deducir empleando la ec. matricial
(li I-A)pi (4.4)donde pi es distinto de cero, asimismo li con i = 1, 2, , n,
denota el i-simo valor propio de A.
-
Ejemplo
Dadas las matrices del modelo de estado de un s. de control
Solucin
La ecuacin caracterstica es:
Los valores propios: l1 = 1 y l2 = -1Los vectores propios seran:
12 -= ll A-I
=
21
11
p
p1p ;
=
22
12
p
p2p
--
=10
11A ;
=
1
1B ; E = 0
-
Ejemplo (cont.)
Sustituyendo l1 = 1 y p1 en (4.4) se obtiene:
De donde p21 = 0 y p11 es desconocido (arbitrario), en estecaso se le elige = 1.
En forma similar, para l2 = -1, la ec. (4.4) se convierte en
De donde
-2p12 + p22 = 0
=
0
0
20
10
21
11
p
p
=
-0
0
00
12
22
12
p
p
-
Ejemplo
As,
=
0
11p ;
=
2
12p
-
VECTORES PROPIOS GENERALIZADOS
Si A tiene valores propios de orden mltiple y no es simtrica Los vectores propios que corresponden a los q(
-
Ejemplo
Dada la matriz
Los valores propios son l1 = 2, l2 = l3 = 1Para l1 = 2, eligiendo p11 = 2; se tiene p21 = -1 y p31 = -2
-
-
=
423
201
560
A
-
-=
2
1
2
1p
-
Ejemplo (cont.)
Para l2 = 1, sustituyendo en la ec. (5.4)
Al hacer p12 = 1, se tiene p22 = -3/7 y p32 = -5/7
-
-=
7
57
31
2p
( )
=
---
--
-
=-l
0
0
0
p
p
p
323
211
561
AI
32
22
12
22 p
-
Ejemplo (cont.)
Para l3 = 1, sustituyendo
Con p13 = 1
( )
=-=
---
--
--
=-
75
73
1
323
211
561
233 ppAIl
-
-=
49
4649
221
3p
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