cap11
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-
C A P I T U L O 11
Teora de Conjuntos
No haremos aqu, por supuesto, una exposiion de la \teora de onjuntos". Solo
nos limitaremos a dar algunas deniiones y ejemplos para haer mas laros los aspetos
relativos a la notaion, tema espeo de estas notas.
Asimismo, el orden adoptado en la presentaion de los smbolos tampoo pretende
ser el adeuado para una exposiion de la teora de onjuntos; para determinarlo, se ha
preferido graduar la omplejidad de la notaion, asumiendo que el letor onoe el tema
y que las referenias espeas de la teora no se formulan para introduirlo en ella sino
para que omprenda y sepa efetuar las orrespondientes representaiones Braille.
Algunos smbolos onoidos:
Llaves: f g
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(5, 123) (456, 2)
Barra obliua: /
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(6, 2)
Deniiones por extension:
Se formulan enumerando los elementos, que se esriben entre llaves, separados por
oma o punto y oma.
Si A es el onjunto de elementos a , b , y d , esribimos:
A = f a; b; ; d g
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Deniiones por omprension:
Se formulan mediante una propiedad que arateriza a los elementos del onjunto.
Si se supone que los elementos del ejemplo anterior no son generios sino que se trata
de letras, puede deirse que A es \el onjunto de todos los elementos x tales que ada x
es una de las uatro primeras letras del alfabeto" y se esribe:
A = fx = x es una de las uatro primeras letras del alfabeto g
89
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En Braille esribimos:
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alarando que la barra obliua =
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(6, 2), en este ontexto se lee \tal que".
Otra manera de representar este onjunto por omprension, muy omunmente usada, es
la siguiente:
A = f uatro primeras letras del alfabeto g
Pertenenia e Inlusion:
Si un elemento forma parte de un onjunto, se die que \pertenee" al onjunto.
Simboliamente esribimos:
Pertenee a: 2
.
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(126, 2)
Ejemplo:
Si A = f r; s; t g
entones:
r 2 A
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s 2 A
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t 2 A
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Se die que un onjunto esta inluido en otro si todo elemento de el pertenee al otro.
En este aso se die que el otro onjunto inluye al primero.
90
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Los smbolos orrespondientes son los siguientes:
Inluido en:
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(126, 23)
Inluye a:
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(56, 345)
Ejemplos:
Si A = f r; s; t g y B = f r; t g
se verian:
B A
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A B
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Estas relaiones se niegan segun lo estudiado para las relaiones numerias; es deir,
haiendo preeder al signo orrespondiente por el prejo
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(45).
No pertenee a: =2
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(45, 126, 2)
No esta inluido en: 6
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(45, 126, 23)
No inluye a: 6
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(45, 56, 345)
Ejemplo:
Si A = f r; s; t g y C = f r; u g
entones:
C 6 A y A 6 C
En Braille (alarando que las palabras \si", \y" y \entones" estan en arateres omunes
para failitar la letura) esribimos:
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Si
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y
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entones
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y
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Conjuntos espeiales:
Conjunto vao: ;
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(456, 245)
Clase universal: U
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(456, 136)
Conjuntos numerios:
Numeros naturales: IN
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(456, 1345)
Numeros enteros: ZZ
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(456, 1356)
Numeros raionales: Q
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(456, 12345)
Numeros reales: IR
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(456, 1235)
Numeros omplejos: C
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(456, 14)
Ejemplos:
7 2 IN
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2
3
=2 ZZ
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Q IR
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C 6 IN
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Cuantiadores:
Para todo: 8
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(46, 3)
Existe: 9
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(46, 25)
Existe un unio: 9!
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(46, 23)
Inlusion propia o estrita:
Inluido estritamente en:
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(126, 3)
Inluye estritamente a:
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(6, 345)
Reordemos que un onjunto A esta inluido estritamente (o propiamente) en otro
B si todo elemento de A pertenee a B , pero ademas existe algun elemento de B que
no pertenee a A (no son iguales).
Por ejemplo:
A = f 1; 2; 3 g y B = fx = x 2 IN; x < 5 g
Claramente, todo elemento de A pertenee a B , ya que 1 < 5 , 2 < 5 , 3 < 5 y ademas,
los elementos de A son numeros naturales; pero existe un elemento (el 4) que pertenee a
B y no pertenee a A .
Entones: A B
Podemos esribir simboliamente:
A B si y solo si A B y 9x = x 2 B y x =2 A
La representaion Braille de esta expresion va a insumir un espaio \algo" mayor,
omo se vera a ontinuaion:
93
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..
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si y solo si
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Todava podemos eliminar algunas palabras:
Implia: )
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(25, 135)
Si y solo si: ,
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(246, 25, 135)
Conjunion \y": ^
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(56, 2)
Disyunion \o": _
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(56, 3)
Podemos esribir ahora:
A B , [8x; (x 2 A ) x 2 B) ^ (9y 2 B = y =2 A)
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Nota:
Como puede verse, hemos dejado un espaio en blano antes y uno despues del signo
que se lee \si y solo si". Esto no es neesario pero puede haerse en funion de la primera
observaion del Codigo a la ual hemos heho referenia en el primer aptulo del presente
trabajo.
94
-
Insistimos, sin embargo, en que se trata de una exepion y omo tal debe apliarsela
on sumo uidado para no alterar el sentido de la observaion se~nalada, en la ual se invoan
\razones de laridad", que en este aso son un buen fundamento para su apliaion.
Operaiones:
Tal omo ourre on los numeros, entre los onjuntos pueden denirse operaiones; es
deir: leyes que asignen a un par de onjuntos otro onjunto.
En el aso de los numeros naturales, la suma le asigna al par formado por el 2 y el 3
el numero 5; la multipliaion le asigna el 6.
Ahora daremos la lista de smbolos de las operaiones; luego reordaremos la deniion
de ada una de ellas y nalmente veremos ejemplos.
Interse
ion: \
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(456, 156)
Union: [
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(456, 345)
Diferenia: n
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(5, 3)
Diferenia simetria: 4
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(56, 356)
Produto artesiano:
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(46, 356)
Dados dos onjuntos A y B , denimos:
Se llama \A interse
ion B " el onjunto de todos los elementos que perteneen a A
y a B .
O sea:
A \ B = fx = x 2 A ^ x 2 B g
95
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En Braille esribimos:
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Se llama \A union B " el onjunto de todos los elementos que perteneen a A o a
B (inluyendo los elementos que perteneen a los dos).
O sea:
A [ B = fx = x 2 A _ x 2 Bg
En Braille esribimos:
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Se llama \A diferenia B " el onjunto de todos los elementos que perteneen a A y
no perteneen a B .
O sea:
A nB = fx = x 2 A ^ x =2 Bg
En Braille esribimos:
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96
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Se llama \A diferenia simetria B " el onjunto (A [ B) n (A \B)
En Braille esribimos:
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Ejemplos:
Sean:
A = f a; b; ; d g
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B = f a; ; x; y; z g
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Se tiene:
A \B = f a; g
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A [B = f a; b; ; d; x; y; z g
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A nB = f b; d g
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97
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B nA = fx; y; z g
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A4B = f b; d; x; y; z g
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Antes de abordar el produto artesiano, veamos omo se esriben los pares ordenados.
La notaion de los pares ordenados no ofree ninguna diultad, ya que en tinta se
representan enerrando las omponentes entre parentesis y separandolas por medio de una
oma o un punto y oma.
En Braille no haemos sino transribir esa expresion.
Ejemplos:
(a; b)
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(x; y)
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Un par ordenado puede tener sus omponentes iguales, omo se ve en los siguientes
ejemplos:
(a; a)
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(x; x)
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Dados dos onjuntos A y B , se llama \produto artesiano" de A por B el onjunto
de todos los pares ordenados uya primera omponente pertenee al onjunto A y uya
segunda omponente pertenee al onjunto B .
Ejemplo:
Si A = f a; b; g
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y B = fx; y g
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98
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resulta:
A B = f (a; x); (a; y); (b; x); (b; y); (; x); (; y) g
La representaion Braille de este onjunto es la siguiente:
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Se deja a modo de ejeriio la transripion al Braille de las siguientes expresiones,
que orresponden a los restantes produtos artesianos binarios (de dos onjuntos) que
pueden efetuarse on A y B
B A = f (x; a); (x; b); (x; ); (y; a); (y; b); (y; ) g
A A = f (a; a); (a; b); (a; ); (b; a); (b; b); (b; ); (; a); (; b); (; ) g
B B = f (x; x); (x; y); (y; x); (y; y) g
Complemento:
Dado un onjunto referenial U (a vees llamado universal), el omplemento de un
onjunto A en U (o simplemente el omplemento de A ) es el onjunto uyos elementos
perteneen a U y no perteneen a A ; diho de otro modo, el omplemento de A es el
onjunto U nA
Hay distintas notaiones para el omplemento; son mas usadas:
i) El ndie prima, que en tinta se hae on una peque~na oma ubiada junto a la letra
a la ual afeta.
En Braille se representa mediante el signo:
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(1256)
Ejemplos:
Complemento de A : A
0
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Complemento de A interse
ion B : (A \B)
0
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99
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ii) Una barra horizontal sobre la representaion del onjunto.
En Braille se representa on el signo
. . .
(4, 14) ubiado antes de la letra o
smbolo al ual afeta.
En aso de que la barra afete a mas de un smbolo, se utilizaran los parentesis
auxiliares de auerdo on las reglas vistas en la Pag. 55.
Ejemplos:
Complemento de A :
A
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Complemento de A interse
ion B :
A \B
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Sobre esta \mara" volveremos a hablar en el proximo aptulo.
iii) Una letra \ C " ursiva mayusula ubiada antes de la representaion del onjunto. Si
esta estuviera dada on mas de un smbolo, se enerrara entre parentesis omunes,
tal omo se hae en tinta.
Ejemplos:
Complemento de A : C A
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Complemento de A interse
ion B :
C (A \B)
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Esta notaion se utiliza para denotar el omplemento de un onjunto en otro.
Complemento de M en N : C
N
M
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Consideremos los onjuntos del ejemplo anterior:
A = f a; b; ; d g , B = f a; ; x; y; z g
y ademas:
U = f a; b; ; d; v; w; x; y; z g
100
-
Vamos a alular el omplemento de algunos onjuntos y representarlos simboliamen-
te, usando alternativamente las diferentes notaiones del omplemento.
A
0
= f v; w; x; y; z g
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A \B = f b; d; v; w; x; y; z g
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C (A [B) = f v; w g
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El omplemento del onjunto referenial es el onjunto vao y el omplemento del onjunto
vao es el referenial.
Esto se representa as:
U = ;
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y
; = U
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Las siguientes igualdades valen para ualquier terna de onjuntos A , B y C . Se
onsignan aqu on la intenion de ayudar al letor a familiarizarse on la notaion.
A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C)
.
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La interse
ion de A on la union de B y C es igual a la union de A interse
ion B
on A interse
ion C
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A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C)
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La union de A on la interse
ion de B on C es igual a la interse
ion de A union B
y A union C
(A \ B)
0
= A
0
[B
0
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El omplemento de la interse
ion de A on B es igual a la union de los omplementos
de A y de B
(A [ B)
0
= A
0
\B
0
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El omplemento de la union de A on B es igual a la interse
ion de los omplementos
de A y de B
Diagramas de Venn:
Utilizando elementos apropiados de impresion en relieve, pueden elaborarse los dia-
gramas de Venn, ubiando los smbolos que representan los elementos en las regiones
orrespondientes del grao.
No es, pues, neesario efetuar alaraion alguna aera de la notaion Braille.
Ejeriios
1. Esriba simboliamente en arateres visuales la deniion por extension de:
a) El onjunto uyos elementos son los numeros 1, 2 y 3
b) El onjunto de los numeros naturales menores que 7 (los numeros naturales omienzan
on el 1).
2. Transriba al Sistema Braille sus respuestas del ejeriio anterior.
En el ejeriio que sigue, se dan representaiones Braille de iertos onjuntos; sin embargo,
en ellas se inluyen palabras que han sido esritas en arateres visuales para failitar su
letura, dado que ello no altera el sentido del ejeriio.
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3. Dena por extension, efetuando la representaion Braille, los onjuntos:
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es un pas de Sudameria que limita on
Argentina
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4. Sean los onjuntos:
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a) Dena por extension y represente simboliamente en Braille la union y la interse
ion
de A y B .
b) Dena por extension y represente simboliamente en Braille A nB y B nA
5. Para los onjuntos del ejeriio anterior, diga si son verdaderas o falsas las siguientes
armaiones:
a) 1 2 A
b) 1 2 B
) 8 2 A
d) 9 =2 A
e) 5 2 A \B
f) 8 2 B nA
g) 7 =2 A nB
h) f 1 g A
i) f 2; 7 g A nB
j) f 1; 7 g A nB
k) f 1; 7 g B nA
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l) A \ (B nA) = ;
m) A B
n) A 6 A \B
~n) A [ B B
6. Con respeto a sus respuestas del ejeriio anterior:
a) Transriba al Sistema Braille las proposiiones verdaderas.
b) Esriba simboliamente en Braille la negaion de las proposiiones falsas.
7. Dado el onjunto:
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tomado omo referenial, determine el omplemento de los onjuntos A y B dados en el
ejeriio 4.
8. Para los onjuntos A y B del ejeriio 4, alule y esriba su respuesta en Braille:
a) A \ ; y B \ ;
b) A \ A y B \B
) A [ ; y B [ ;
d) A [ A y B [B
e) A n ; y B n ;
f) ; nA y ; nB
g) A nA y B nB
h) A4; y B4;
i) A4A y B4B
Despues de observar los resultados obtenidos, >le paree que valen solo para estos A y B
o valen para ualquier par de onjuntos?
9. Dados los onjuntos:
A = f 1; 3 g y B = f 2; 4 g
determine y represente simboliamente en Braille:
a) A B
b) A A
) B A
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d) B B
e) ; A
f) B ;
10. >Puede extraer alguna onlusion de los resultados obtenidos en los inisos e) y f) del
ejeriio anterior?
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