C A P I T U L O 11

Teora de Conjuntos

No haremos aqu, por supuesto, una exposiion de la \teora de onjuntos". Solo

nos limitaremos a dar algunas deniiones y ejemplos para haer mas laros los aspetos

relativos a la notaion, tema espeo de estas notas.

Asimismo, el orden adoptado en la presentaion de los smbolos tampoo pretende

ser el adeuado para una exposiion de la teora de onjuntos; para determinarlo, se ha

preferido graduar la omplejidad de la notaion, asumiendo que el letor onoe el tema

y que las referenias espeas de la teora no se formulan para introduirlo en ella sino

para que omprenda y sepa efetuar las orrespondientes representaiones Braille.

Algunos smbolos onoidos:

Llaves: f g

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(5, 123) (456, 2)

Barra obliua: /

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(6, 2)

Deniiones por extension:

Se formulan enumerando los elementos, que se esriben entre llaves, separados por

oma o punto y oma.

Si A es el onjunto de elementos a , b , y d , esribimos:

A = f a; b; ; d g

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Deniiones por omprension:

Se formulan mediante una propiedad que arateriza a los elementos del onjunto.

Si se supone que los elementos del ejemplo anterior no son generios sino que se trata

de letras, puede deirse que A es \el onjunto de todos los elementos x tales que ada x

es una de las uatro primeras letras del alfabeto" y se esribe:

A = fx = x es una de las uatro primeras letras del alfabeto g

89

En Braille esribimos:

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alarando que la barra obliua =

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(6, 2), en este ontexto se lee \tal que".

Otra manera de representar este onjunto por omprension, muy omunmente usada, es

la siguiente:

A = f uatro primeras letras del alfabeto g

Pertenenia e Inlusion:

Si un elemento forma parte de un onjunto, se die que \pertenee" al onjunto.

Simboliamente esribimos:

Pertenee a: 2

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(126, 2)

Ejemplo:

Si A = f r; s; t g

entones:

r 2 A

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s 2 A

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t 2 A

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Se die que un onjunto esta inluido en otro si todo elemento de el pertenee al otro.

En este aso se die que el otro onjunto inluye al primero.

90

Los smbolos orrespondientes son los siguientes:

Inluido en:

.

.

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(126, 23)

Inluye a:

.

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(56, 345)

Ejemplos:

Si A = f r; s; t g y B = f r; t g

se verian:

B A

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A B

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Estas relaiones se niegan segun lo estudiado para las relaiones numerias; es deir,

haiendo preeder al signo orrespondiente por el prejo

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(45).

No pertenee a: =2

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(45, 126, 2)

No esta inluido en: 6

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(45, 126, 23)

No inluye a: 6

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(45, 56, 345)

Ejemplo:

Si A = f r; s; t g y C = f r; u g

entones:

C 6 A y A 6 C

En Braille (alarando que las palabras \si", \y" y \entones" estan en arateres omunes

para failitar la letura) esribimos:

91

Si

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y

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entones

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y

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Conjuntos espeiales:

Conjunto vao: ;

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(456, 245)

Clase universal: U

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(456, 136)

Conjuntos numerios:

Numeros naturales: IN

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(456, 1345)

Numeros enteros: ZZ

.

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(456, 1356)

Numeros raionales: Q

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(456, 12345)

Numeros reales: IR

.

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(456, 1235)

Numeros omplejos: C

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(456, 14)

Ejemplos:

7 2 IN

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2

3

=2 ZZ

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Q IR

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92

C 6 IN

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Cuantiadores:

Para todo: 8

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(46, 3)

Existe: 9

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(46, 25)

Existe un unio: 9!

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(46, 23)

Inlusion propia o estrita:

Inluido estritamente en:

.

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. .

(126, 3)

Inluye estritamente a:

.

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(6, 345)

Reordemos que un onjunto A esta inluido estritamente (o propiamente) en otro

B si todo elemento de A pertenee a B , pero ademas existe algun elemento de B que

no pertenee a A (no son iguales).

Por ejemplo:

A = f 1; 2; 3 g y B = fx = x 2 IN; x < 5 g

Claramente, todo elemento de A pertenee a B , ya que 1 < 5 , 2 < 5 , 3 < 5 y ademas,

los elementos de A son numeros naturales; pero existe un elemento (el 4) que pertenee a

B y no pertenee a A .

Entones: A B

Podemos esribir simboliamente:

A B si y solo si A B y 9x = x 2 B y x =2 A

La representaion Braille de esta expresion va a insumir un espaio \algo" mayor,

omo se vera a ontinuaion:

93

..

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si y solo si

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Todava podemos eliminar algunas palabras:

Implia: )

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(25, 135)

Si y solo si: ,

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(246, 25, 135)

Conjunion \y": ^

.

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(56, 2)

Disyunion \o": _

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(56, 3)

Podemos esribir ahora:

A B , [8x; (x 2 A ) x 2 B) ^ (9y 2 B = y =2 A)

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Nota:

Como puede verse, hemos dejado un espaio en blano antes y uno despues del signo

que se lee \si y solo si". Esto no es neesario pero puede haerse en funion de la primera

observaion del Codigo a la ual hemos heho referenia en el primer aptulo del presente

trabajo.

94

Insistimos, sin embargo, en que se trata de una exepion y omo tal debe apliarsela

on sumo uidado para no alterar el sentido de la observaion se~nalada, en la ual se invoan

\razones de laridad", que en este aso son un buen fundamento para su apliaion.

Operaiones:

Tal omo ourre on los numeros, entre los onjuntos pueden denirse operaiones; es

deir: leyes que asignen a un par de onjuntos otro onjunto.

En el aso de los numeros naturales, la suma le asigna al par formado por el 2 y el 3

el numero 5; la multipliaion le asigna el 6.

Ahora daremos la lista de smbolos de las operaiones; luego reordaremos la deniion

de ada una de ellas y nalmente veremos ejemplos.

Interse

ion: \

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(456, 156)

Union: [

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(456, 345)

Diferenia: n

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(5, 3)

Diferenia simetria: 4

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(56, 356)

Produto artesiano:

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(46, 356)

Dados dos onjuntos A y B , denimos:

Se llama \A interse

ion B " el onjunto de todos los elementos que perteneen a A

y a B .

O sea:

A \ B = fx = x 2 A ^ x 2 B g

95

En Braille esribimos:

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Se llama \A union B " el onjunto de todos los elementos que perteneen a A o a

B (inluyendo los elementos que perteneen a los dos).

O sea:

A [ B = fx = x 2 A _ x 2 Bg

En Braille esribimos:

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Se llama \A diferenia B " el onjunto de todos los elementos que perteneen a A y

no perteneen a B .

O sea:

A nB = fx = x 2 A ^ x =2 Bg

En Braille esribimos:

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96

Se llama \A diferenia simetria B " el onjunto (A [ B) n (A \B)

En Braille esribimos:

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Ejemplos:

Sean:

A = f a; b; ; d g

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B = f a; ; x; y; z g

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Se tiene:

A \B = f a; g

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A [B = f a; b; ; d; x; y; z g

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A nB = f b; d g

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97

B nA = fx; y; z g

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A4B = f b; d; x; y; z g

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Antes de abordar el produto artesiano, veamos omo se esriben los pares ordenados.

La notaion de los pares ordenados no ofree ninguna diultad, ya que en tinta se

representan enerrando las omponentes entre parentesis y separandolas por medio de una

oma o un punto y oma.

En Braille no haemos sino transribir esa expresion.

Ejemplos:

(a; b)

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(x; y)

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Un par ordenado puede tener sus omponentes iguales, omo se ve en los siguientes

ejemplos:

(a; a)

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(x; x)

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Dados dos onjuntos A y B , se llama \produto artesiano" de A por B el onjunto

de todos los pares ordenados uya primera omponente pertenee al onjunto A y uya

segunda omponente pertenee al onjunto B .

Ejemplo:

Si A = f a; b; g

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y B = fx; y g

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98

resulta:

A B = f (a; x); (a; y); (b; x); (b; y); (; x); (; y) g

La representaion Braille de este onjunto es la siguiente:

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Se deja a modo de ejeriio la transripion al Braille de las siguientes expresiones,

que orresponden a los restantes produtos artesianos binarios (de dos onjuntos) que

pueden efetuarse on A y B

B A = f (x; a); (x; b); (x; ); (y; a); (y; b); (y; ) g

A A = f (a; a); (a; b); (a; ); (b; a); (b; b); (b; ); (; a); (; b); (; ) g

B B = f (x; x); (x; y); (y; x); (y; y) g

Complemento:

Dado un onjunto referenial U (a vees llamado universal), el omplemento de un

onjunto A en U (o simplemente el omplemento de A ) es el onjunto uyos elementos

perteneen a U y no perteneen a A ; diho de otro modo, el omplemento de A es el

onjunto U nA

Hay distintas notaiones para el omplemento; son mas usadas:

i) El ndie prima, que en tinta se hae on una peque~na oma ubiada junto a la letra

a la ual afeta.

En Braille se representa mediante el signo:

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(1256)

Ejemplos:

Complemento de A : A

0

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Complemento de A interse

ion B : (A \B)

0

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99

ii) Una barra horizontal sobre la representaion del onjunto.

En Braille se representa on el signo

. . .

(4, 14) ubiado antes de la letra o

smbolo al ual afeta.

En aso de que la barra afete a mas de un smbolo, se utilizaran los parentesis

auxiliares de auerdo on las reglas vistas en la Pag. 55.

Ejemplos:

Complemento de A :

A

. . . .

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Complemento de A interse

ion B :

A \B

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Sobre esta \mara" volveremos a hablar en el proximo aptulo.

iii) Una letra \ C " ursiva mayusula ubiada antes de la representaion del onjunto. Si

esta estuviera dada on mas de un smbolo, se enerrara entre parentesis omunes,

tal omo se hae en tinta.

Ejemplos:

Complemento de A : C A

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Complemento de A interse

ion B :

C (A \B)

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Esta notaion se utiliza para denotar el omplemento de un onjunto en otro.

Complemento de M en N : C

N

M

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Consideremos los onjuntos del ejemplo anterior:

A = f a; b; ; d g , B = f a; ; x; y; z g

y ademas:

U = f a; b; ; d; v; w; x; y; z g

100

Vamos a alular el omplemento de algunos onjuntos y representarlos simboliamen-

te, usando alternativamente las diferentes notaiones del omplemento.

A

0

= f v; w; x; y; z g

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A \B = f b; d; v; w; x; y; z g

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C (A [B) = f v; w g

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El omplemento del onjunto referenial es el onjunto vao y el omplemento del onjunto

vao es el referenial.

Esto se representa as:

U = ;

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y

; = U

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Las siguientes igualdades valen para ualquier terna de onjuntos A , B y C . Se

onsignan aqu on la intenion de ayudar al letor a familiarizarse on la notaion.

A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C)

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La interse

ion de A on la union de B y C es igual a la union de A interse

ion B

on A interse

ion C

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A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C)

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La union de A on la interse

ion de B on C es igual a la interse

ion de A union B

y A union C

(A \ B)

0

= A

0

[B

0

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El omplemento de la interse

ion de A on B es igual a la union de los omplementos

de A y de B

(A [ B)

0

= A

0

\B

0

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El omplemento de la union de A on B es igual a la interse

ion de los omplementos

de A y de B

Diagramas de Venn:

Utilizando elementos apropiados de impresion en relieve, pueden elaborarse los dia-

gramas de Venn, ubiando los smbolos que representan los elementos en las regiones

orrespondientes del grao.

No es, pues, neesario efetuar alaraion alguna aera de la notaion Braille.

Ejeriios

1. Esriba simboliamente en arateres visuales la deniion por extension de:

a) El onjunto uyos elementos son los numeros 1, 2 y 3

b) El onjunto de los numeros naturales menores que 7 (los numeros naturales omienzan

on el 1).

2. Transriba al Sistema Braille sus respuestas del ejeriio anterior.

En el ejeriio que sigue, se dan representaiones Braille de iertos onjuntos; sin embargo,

en ellas se inluyen palabras que han sido esritas en arateres visuales para failitar su

letura, dado que ello no altera el sentido del ejeriio.

102

3. Dena por extension, efetuando la representaion Braille, los onjuntos:

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es un pas de Sudameria que limita on

Argentina

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4. Sean los onjuntos:

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a) Dena por extension y represente simboliamente en Braille la union y la interse

ion

de A y B .

b) Dena por extension y represente simboliamente en Braille A nB y B nA

5. Para los onjuntos del ejeriio anterior, diga si son verdaderas o falsas las siguientes

armaiones:

a) 1 2 A

b) 1 2 B

) 8 2 A

d) 9 =2 A

e) 5 2 A \B

f) 8 2 B nA

g) 7 =2 A nB

h) f 1 g A

i) f 2; 7 g A nB

j) f 1; 7 g A nB

k) f 1; 7 g B nA

103

l) A \ (B nA) = ;

m) A B

n) A 6 A \B

~n) A [ B B

6. Con respeto a sus respuestas del ejeriio anterior:

a) Transriba al Sistema Braille las proposiiones verdaderas.

b) Esriba simboliamente en Braille la negaion de las proposiiones falsas.

7. Dado el onjunto:

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tomado omo referenial, determine el omplemento de los onjuntos A y B dados en el

ejeriio 4.

8. Para los onjuntos A y B del ejeriio 4, alule y esriba su respuesta en Braille:

a) A \ ; y B \ ;

b) A \ A y B \B

) A [ ; y B [ ;

d) A [ A y B [B

e) A n ; y B n ;

f) ; nA y ; nB

g) A nA y B nB

h) A4; y B4;

i) A4A y B4B

Despues de observar los resultados obtenidos, >le paree que valen solo para estos A y B

o valen para ualquier par de onjuntos?

9. Dados los onjuntos:

A = f 1; 3 g y B = f 2; 4 g

determine y represente simboliamente en Braille:

a) A B

b) A A

) B A

104

d) B B

e) ; A

f) B ;

10. >Puede extraer alguna onlusion de los resultados obtenidos en los inisos e) y f) del

ejeriio anterior?

105