calculo diferencial, límites y continuidad

Límites y Continuidad.

Teorema• Si “c” es un numero real en el dominio de una

función trigonométrica indicada, se cumple las

siguientes propiedades.

Propiedad de seno

• Ejemplos:

• Observe que en este caso el argumento es, por lo

que en el denominador se necesita también la

expresión de ahí que se lleve a cabo el siguiente

procedimiento.

Demostración

• Considérese que, un entorno reducido de 0,

• Si dividimos todos los miembros por

nos queda:

o Pero:

Obtención del límite de sen x, cos x y

(sen x)/x cuando x tiende a cero.

• Invirtiendo cada miembro nos queda esta expresión

que es totalmente indeterminada

Si hallamos el de cada miembro, nos queda

Y como:

por Teorema del Emparedado nos queda que:

Definición de continuidad

• En matemáticas, una función continua es

aquella para la cual, intuitivamente, para

puntos cercanos del dominio se producen

pequeñas variaciones en los valores de la

función. Si la función no es continua, se dice

que es discontinua.

Ejemplo

Definición de límite por la derecha

• Se dice que si y solo si para cada existe tal que

si entonces es el límite por la derecha de en "a".

• Observe que no hay barras de valor absoluto

alrededor de , pues es mayor que cero ya que .

Definición de límite por la izquierda

• Se dice que si y solo si para cada existe tal que si entonces es el límite por la izquierda de en "a".

Note que la expresión es mayor que cero, pues por lo que .

Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de la función definida por:

• Primero hagamos la gráfica de la función:

• El punto de discontinuidad se presenta cuando

• Luego: y

• Observe que el límite por la derecha (3), es diferente al límite por la izquierda (2).

Teoremas sobre continuidad

• Teorema del valor intermedio

• Si y = f(x) es una función continua en el intervalo

cerrado [a, b] donde f(a) ¹ f(b) y k es un número

real cualquiera comprendido entre f(a) y

f(b), existe al menos un número real c

perteneciente al intervalo (a, b) tal que f(c) = k.

• Teorema de Bolzano

• Si y = f(x) es una función continua en el intervalo

cerrado [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos

opuestos, entonces existe al menos un número real

c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f(c) = 0;

es decir, c es una raíz de f(x).

• Las siguientes gráficas permiten ilustrar el teorema:

Asíntotas paralelas a los ejes coordenados

• En matemática, se le llama asíntota a una línea

recta que se aproxima continuamente a otra

función o curva; es decir que la distancia entre las

dos tiende a ser cero (0), a medida que se

extienden indefinidamente.

También se puede decir que es la curva la que se

aproxima continuamente a la recta; o que ambas

presentan un comportamiento asintótico.