c.06_ley de induccion
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24/10/2012 Yuri Milachay 2
Conocimientos previos
( )cos( )
dsen tt
dt
cos( )( )
d tsen t
dt
( )cos( )
dsen wtw wt
dt
B
0dB
dt
0dB
dt
24/10/2012 Yuri Milachay 3
Experimento de Faraday Michael Faraday, (22 de septiembre de 1791, 25 de agosto de 1867)
La Ley de inducción electromagnética de Faraday (o simplemente Ley de Faraday) se basa en
los experimentos que Michael Faraday realizó en 1831 y establece que el voltaje inducido en un
circuito cerrado es directamente proporcional a la rapidez con que cambia en el tiempo el flujo
magnético que atraviesa una superficie cualquiera con el circuito como borde:
24/10/2012 Yuri Milachay 6
Flujo magnético • Para B constante:
• En general:
• Si θ es agudo, cos θ es positivo: el flujo es positivo
• Si θ es obtuso, cos θ es negativo: el flujo es negativo
• Unidad SI: weber;
• 1 Wb = 1 Tm2
cosBA
A
B
S
S
dAB
.B A
24/10/2012 Yuri Milachay 7
• La fem inducida es en una espira cerrada es igual al negativo de la relación de cambio del flujo magnético con respecto al tiempo a través de la espira.
e: es la fuerza electromotriz inducida.
B: es el flujo magnético a través del área A
Ley de Faraday
dt
BAd
dt
d B
e
cos
r
B(t)
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Dirección de la fem inducida (Ley de Lenz)
• La corriente inducida
electromagnéticamente en un circuito
aparece siempre con un sentido tal que
el campo magnético que produce
tiende a oponerse a la variación del
flujo magnético que atraviesa dicho
circuito.
• (Ley de Lenz)
Heinrich Friedrich Emil Lenz (12
de febrero de 1804 - 10 de febrero de
1865) . Formuló la Ley de Lenz en
1833
24/10/2012 Yuri Milachay 10
Magnitud y dirección de la fem inducida
• Se coloca una bobina de alambre de cobre de 500 espiras circulares de 4,00 cm de radio entre los polos de un gran electroimán, donde el campo magnético es uniforme y forma un ángulo de 60º con el plano de la bobina. El campo disminuye a razón de 0,200 T/s. ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fem inducida?
2
4
cos30º
0,200 / (0,00503 )(0,866)
8,71 10 /
d dBA
dt dt
dT s m
dt
Wb s
4(500)( 8,71 10 / )
0,453
dN Wb s
dt
V
e
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Generador I: alternador simple • Se hace girar una espira rectangular
con rapidez angular ω constante en torno al eje mostrado. El campo magnético B es constante. En t = 0 s, φ = 0. ¿Cuál es la expresión de la fem inducida?
cos
B
B
BA t
dBA sen t
dt
e
Mutuainductancia
la corriente I1 que pasa por la espira circular 1 produce un
campo magnético B1 y cierta cantidad de líneas de éste
campo magnético enlazan a la espira circular 2. Por lo
tanto, se define a la constante denominada INDUCTANCIA
MUTUA M21 como la razón entre el flujo ligado mutuo (el
flujo del campo magnético B1 que enlazan a la espira 2
denominado 21) y la corriente que genera el campo
magnético B1, I1.
1
2121
IM
1
21221
I
NM
Mutuainductancia
la corriente I2 que pasa por la espira circular 2 produce un
campo magnético B2 y cierta cantidad de líneas de éste
campo magnético enlaza a la espira circular 1. Por lo tanto,
se define a la constante denominada INDUCTANCIA
MUTUA M12 como la razón entre el número de enlaces
mutuos (el flujo del campo magnético B2 que en laza a la
espira 1 denominado 12) y la corriente que genera el
campo magnético, I2.
2
1212
IM
2
12112
I
NM
La unidad SI de la mutuainductancia es el henry o henrio y está representado por la letra H y equivale a:
1 H = 1 Wb / A
Mutuainductancia
Si la corriente I1 que pasa por la bobina 1 es variable en el
tiempo, entonces inducirá en la bobina 2 una FEM e21 dada
por la Ley de Faraday
1
21221
I
NM
dt
dN 21
221
e
2
12121
N
IM
dt
dIM 1
2121 e
Mutuainductancia
dt
dIM 2
1212 e
Muchas veces la presencia de la inductancia mutua en los circuitos puede presentarse como un
problema, por eso se necesita que tenga un valor muy pequeño. Esto se logra por ejemplo
colocando las dos bobinas muy separadas o con sus planos perpendiculares entre sí. Para el
caso de corrientes lineales, una opción es el de apantallar los cables conductores (una pantalla
metálica, que puede ser un cilindro, adquiere las FEM inducidas y la corriente es llevada a
tierra) o trenzarlos, de este modo se elimina el área entre ellos y por lo tanto no hay flujo
magnético.
La Autoinductancia
Se define AUTOINDUCTANCIA como la
razón entre el número de enlaces propios (el
flujo del campo magnético B1 que enlaza al
circuito, denominado 11) y la corriente que
pasa por el circuito.
1
1111
IM
1
11111
I
NM
dt
dIM 1
1111 eLa FEM autoinducida, siguiendo el razonamiento empleado en
el caso de la inductancia mutua:
La Inductancia
La inductancia para un circuito viene a ser la suma de las inductancias mutuas y de la
inductancia propia. Para el caso que se ha estado estudiando hasta el momento, la
inductancia en el circuito 1 (bobina 1) sería
12111 MML
21222 MML
Para el caso del circuito 2 (bobina 2), la inductancia sería:
n
jij
ijiii MML,1
Para un caso general, donde se tenga un sistema de n corrientes, la inductancia del circuito i sería:
La Inductancia
n
jij
jiiii
dt
dIMij
dt
dIM
,1
ePor lo tanto las FEM inducidas serán
Si únicamente se tiene un circuito, la inductancia será igual al valor de la autoinductancia y
la FEM inducida sólo dependerá de la variación de la corriente i que circula en el circuito
dt
dILe
Si la corriente aumenta, es positiva y se
opone a la corriente. Si la corriente
disminuye, es negativa y actúa en el mismo
sentido de la corriente. En consecuencia
siempre actúa en un sentido que se opone a la
variación de la corriente como se
esquematiza
La fuerza electromotriz inducida
La Inductancia a b
i
i constante
e = 0
Vab = 0
a b
i decreciente
Vab < 0
a b
- + e
i creciente
Vab > 0
e
a b
+ -
(a) (b) (c)
Si la corriente es constante, , entonces , con lo cual el inductor está en
cortocircuito como se muestra en la figura
0/ dtdi 0e 0abV
Si la corriente es creciente, , entonces , se opone a la corriente i con lo cual debe ir de
b a a, significa que a es el terminal con mayor potencial y por lo tanto
0/ dtdi 0e
0abV
Si la corriente es decreciente, , entonces , va a favor de la corriente i por lo tanto
debe ir de a a b, lo que significa que b es el terminal con mayor potencial y por lo tanto
0/ dtdi 0e
0abV
dt
diLVab e
Inductancia de un soleniode
n
jij
ijiii MML,1
211 11
1
N nI AL M n lA
I
1B nI N nlN: Número de espiras
n: Densidad lineal de espiras N/m
1
1
1
111111
I
BAN
I
NML
Circuitos RL
Un circuito RL está formado por una resistencia y un solenoide o bobina.
Cuando cerramos S1 con S2 abierto la fem inducida en la bobina impide que la
corriente en el circuito aumente de forma brusca, de forma que sigue la ley
: Constante de tiempo inductiva R
LL
Lte
R
VtI
/1)(
)/( dtdILRIV
Una vez alcanzada la corriente estacionaria con S1 cerrado, cerramos S2 y abrimos S1,
para eliminar los efectos de la batería.
En este caso, el circuito está formado por una resistencia y una bobina por las que,
en t = 0, circula una corriente Io
L/toeI)t(I
0)/( dtdILRI
I
I
t
o
dtL
R
I
dI
0
Energía magnética
Una bobina o un solenoide almacena energía magnética de la misma forma que un
condensador almacena energía eléctrica.
Ecuación de un circuito RL
dt
dILRIV
Multiplicando por I en ambos miembros, obtenemos una ecuación en términos de
potencia
dt
dIILRIIV 2
Potencia suministrada
por la batería
Potencia disipada en R por efecto
Joule
Potencia almacenada en la bobina
Energía almacenada en la bobina: UB
dIILdt
dIIL
dt
dUB dU B
La energía total almacenada se obtiene integrando
I
BB dIILdUU0
2 2
1ILUB
Densidad de energía: Energía magnética por unidad de volumen
21
2B
LIU
uV V
Cantidad de energía almacenada en una inductancia con la geometría de ésta al definir
una densidad de energía magnética como la razón entre la energía magnética
almacenada por unidad de volumen
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