aula 9 profa ducati derivadas
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Aula 9 : Derivadas - 1
BC-0201 Funções de Uma Variável (F.U.V.)
Aula 9 – 18/03/2008
Professora: Gisele Cristina Ducati ducati@ufabc.edu.br
Home: http://gducati.googlepages.comhttp://fuv1tri2008.googlepages.com
Interpretação dedydx com quociente. Diferencial.
y= f x y '= f ' x=dydx
=dfdx
Notação
f ' p=dydx
x = p
f ' ' p= d2y
dx2x = p
Interpretação dedydx com quociente. Diferencial.
Aula 9 : Derivadas - 2
Até o momento,dydx é uma notação para a derivada de y = f (x). Vamos interpretar
dydx como um
quociente entre dois acréscimos.Sabemos que f '(x) é o coeficiente angular da reta tangente t, no ponto (x, f (x)) e que
dydx
= f ' x . Se olharmos para dy como o ACRÉSCIMO na ordenada da reta tangente t,
correspondente ao ACRÉSCIMO dx em x, temosdydx
= f ' x .
Assim,dydx
= f ' x=tg ou dy= f ' xdx
Observemos que y= f xdx − f x e dy pode ser visto como um valor aproximado para y .
Evidentemente, quanto menos for dx, mais próximo y estará de dy, ou seja, menor o erro y−dy que se comete na aproximação.
Fixado x, podemos olhar para a função linear que a cada dx∈ℝ , associa dy∈ℝ , ondedy = f (x) dx.
Tal função denomina-se DIFERENCIAL de f em x, ou simplesmente, DIFERENCIAL de f (x).
Exemplo: Utilizando diferencial, cálcule o valor aproximado para 1,01 .
y= f x= x
dx=0,01 x=1
y= f 1 x − f x
dydx
= 12 x
dy= dx2 x
dy=0,0121
=0,005
1,01≃1,005~1,00498756...
x= x t
x= x ' t → Velocidade
x= x ' ' t → Aceleração
Exercício:
1 – Um ponto move-se ao longo do gráfico y=x 21, de tal modo que sua abscissa x varia com velocidade constante de 3 cm / s. Qual a velocidade da ordenada y quando x = 4cm?
Aula 9 : Derivadas - 3
dxdt
=3cm/ s ,dydt
=?
dydt
=dydx X = 4
dxdt
dydt
=2xX = 4
3
dydt
=[2 4]3=24cm / s
2 – Determine uma reta que seja tangente a elipse x22y2=9 e que intercepta o eixo y no ponto de ordenada 9/4.
y=axb , b=9/4
Deriva implícita
x22y2−9 '=2x4 y ' y
−2x=4 y ' y y '=−2x4y
=− x2 y
Equação da reta
y− y0=mx−x0
y=− x2y
x94 4 y2=−2 x29y
−4 y2−2 x29y=0 (1)
x22y2−9=0 (2)
Aula 9 : Derivadas - 4
Multiplicando a equação (2) por 2 e, em seguida, somando as equações (1) e (2)
9y−18=0
y=2
se y =2, x=9−2y2=9−222=1
Então,y− y0=mx−x0
y−2=− 122
x−1
y=− x4 9
4
3 – Uma partícula se move sobre uma reta vertical de forma que sua coordenada no instante t sejay=t 3−12t3, t0.
a – Encontre as funções velocidade e aceleração.
Velocidade
y '=t 3−12t3'
y '=3t2−12
Aceleração
y ' '=t 3−12t3 ' '=3t 2−12 '
y ' '=6t
b – Quando a partícula se move para cima ? E para baixo ?
A partícula se movimenta para cima quando a velocidade é positiva.Logo, quando
3t 2−120
t 2−40
t 22
A partícula se movimenta para baixo quando a velocidade é negativa.0t2
c – Qual a distância percorrida pela partícula quando 0t3 ?
Aula 9 : Derivadas - 5
t=0 , y=3t=2 , y=−13t=3 , y=−6
Distância = ∣y 2− y 0∣∣y 3− y 2∣=∣−13−3∣∣−613∣=23
4 – Suponha que os comprimentos dos segmentos AB e OB sejam, respectivamente, 5cm e 3cm,
suponha ainda que θ esteja variando a uma taxa constante de 12
rad / s.
Determine a velocidade de A quando =2
rad .
d dt
=2
dAdt
= dAd
d dt
= dAd θ = π/2
d dt
A=OA=3cos 25−9 sen2
dAd
=3 cos25−9 sen2 '=−3 sen −9 2cos sen
225−9 sen2
dAdt
= dAd θ = π/2
d dt
Aula 9 : Derivadas - 6
dAdt
=[−3 sen 2−
9 cos 2 sen 2
25−9 sen2 2 ][ 1
2 ]=[−3][ 12 ]=−3
2cm / s
5 – Mostre que (2, 4) pertence à curva x3 y3−9xy=0 e, em seguida, encontre a reta tangente à curva neste ponto.
x3 y3−9xy=0 no ponto (2, 4)
2343−924=864−72=0
Logo, o ponto (2, 4) pertence a curva.
Reta Tangentey− y0=M x−x0
Para derivar x3 y3−9xy=0 é necessario usar o conceito de derivada implícita (ver aula 7).
x3 y3−9xy '=3x23y ' y2−9y9xy '
y ' 3 y2−9x=−3x2
y '=− 3x2
3 y2−9xM=− 322
342−92=− 12
3.16−18=−12
30=−2
5
y− y0=M x−x0= y−4=−25
x−2
Logo, a equação da reta tangente à curva x3 y3−9xy=0 no ponto (2, 4) é
y=−25
x245
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