Aula 9 : Derivadas - 1

BC-0201 Funções de Uma Variável (F.U.V.)

Aula 9 – 18/03/2008

Professora: Gisele Cristina Ducati ducati@ufabc.edu.br

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Interpretação dedydx com quociente. Diferencial.

y= f x y '= f ' x=dydx

=dfdx

Notação

f ' p=dydx

x = p

f ' ' p= d2y

dx2x = p

Interpretação dedydx com quociente. Diferencial.

Aula 9 : Derivadas - 2

Até o momento,dydx é uma notação para a derivada de y = f (x). Vamos interpretar

dydx como um

quociente entre dois acréscimos.Sabemos que f '(x) é o coeficiente angular da reta tangente t, no ponto (x, f (x)) e que

dydx

= f ' x . Se olharmos para dy como o ACRÉSCIMO na ordenada da reta tangente t,

correspondente ao ACRÉSCIMO dx em x, temosdydx

= f ' x .

Assim,dydx

= f ' x=tg ou dy= f ' xdx

Observemos que y= f xdx − f x e dy pode ser visto como um valor aproximado para y .

Evidentemente, quanto menos for dx, mais próximo y estará de dy, ou seja, menor o erro y−dy que se comete na aproximação.

Fixado x, podemos olhar para a função linear que a cada dx∈ℝ , associa dy∈ℝ , ondedy = f (x) dx.

Tal função denomina-se DIFERENCIAL de f em x, ou simplesmente, DIFERENCIAL de f (x).

Exemplo: Utilizando diferencial, cálcule o valor aproximado para 1,01 .

y= f x= x

dx=0,01 x=1

y= f 1 x − f x

dydx

= 12 x

dy= dx2 x

dy=0,0121

=0,005

1,01≃1,005~1,00498756...

x= x t

x= x ' t → Velocidade

x= x ' ' t → Aceleração

Exercício:

1 – Um ponto move-se ao longo do gráfico y=x 21, de tal modo que sua abscissa x varia com velocidade constante de 3 cm / s. Qual a velocidade da ordenada y quando x = 4cm?

Aula 9 : Derivadas - 3

dxdt

=3cm/ s ,dydt

=?

dydt

=dydx X = 4

dxdt

dydt

=2xX = 4

3

dydt

=[2 4]3=24cm / s

2 – Determine uma reta que seja tangente a elipse x22y2=9 e que intercepta o eixo y no ponto de ordenada 9/4.

y=axb , b=9/4

Deriva implícita

x22y2−9 '=2x4 y ' y

−2x=4 y ' y y '=−2x4y

=− x2 y

Equação da reta

y− y0=mx−x0

y=− x2y

x94 4 y2=−2 x29y

−4 y2−2 x29y=0 (1)

x22y2−9=0 (2)

Aula 9 : Derivadas - 4

Multiplicando a equação (2) por 2 e, em seguida, somando as equações (1) e (2)

9y−18=0

y=2

se y =2, x=9−2y2=9−222=1

Então,y− y0=mx−x0

y−2=− 122

x−1

y=− x4 9

4

3 – Uma partícula se move sobre uma reta vertical de forma que sua coordenada no instante t sejay=t 3−12t3, t0.

a – Encontre as funções velocidade e aceleração.

Velocidade

y '=t 3−12t3'

y '=3t2−12

Aceleração

y ' '=t 3−12t3 ' '=3t 2−12 '

y ' '=6t

b – Quando a partícula se move para cima ? E para baixo ?

A partícula se movimenta para cima quando a velocidade é positiva.Logo, quando

3t 2−120

t 2−40

t 22

A partícula se movimenta para baixo quando a velocidade é negativa.0t2

c – Qual a distância percorrida pela partícula quando 0t3 ?

Aula 9 : Derivadas - 5

t=0 , y=3t=2 , y=−13t=3 , y=−6

Distância = ∣y 2− y 0∣∣y 3− y 2∣=∣−13−3∣∣−613∣=23

4 – Suponha que os comprimentos dos segmentos AB e OB sejam, respectivamente, 5cm e 3cm,

suponha ainda que θ esteja variando a uma taxa constante de 12

rad / s.

Determine a velocidade de A quando =2

rad .

d dt

=2

dAdt

= dAd

d dt

= dAd θ = π/2

d dt

A=OA=3cos 25−9 sen2

dAd

=3 cos25−9 sen2 '=−3 sen −9 2cos sen

225−9 sen2

dAdt

= dAd θ = π/2

d dt

Aula 9 : Derivadas - 6

dAdt

=[−3 sen 2−

9 cos 2 sen 2

25−9 sen2 2 ][ 1

2 ]=[−3][ 12 ]=−3

2cm / s

5 – Mostre que (2, 4) pertence à curva x3 y3−9xy=0 e, em seguida, encontre a reta tangente à curva neste ponto.

x3 y3−9xy=0 no ponto (2, 4)

2343−924=864−72=0

Logo, o ponto (2, 4) pertence a curva.

Reta Tangentey− y0=M x−x0

Para derivar x3 y3−9xy=0 é necessario usar o conceito de derivada implícita (ver aula 7).

x3 y3−9xy '=3x23y ' y2−9y9xy '

y ' 3 y2−9x=−3x2

y '=− 3x2

3 y2−9xM=− 322

342−92=− 12

3.16−18=−12

30=−2

5

y− y0=M x−x0= y−4=−25

x−2

Logo, a equação da reta tangente à curva x3 y3−9xy=0 no ponto (2, 4) é

y=−25

x245