aula 12 · fluxo antecipado | ሷ |= 1−𝑣𝑛 1−𝑣 = ሷ | =1→ ሷ ത|= 1−𝑣𝑛...

Matemática atuarial

Anuidades Vitalícia (aula10)

Danilo Machado Piresdanilo.pires@unifal-mg.edu.br

https://atuaria.github.io/portalhalley/

Anuidades

Sucessão de pagamentos (ou recebimentos) equidistantes (termos), efetuados poruma dada entidade a outrem.

IMEDIATAS

Os termos são exigíveis a partir do primeiro período.

DIFERIDAS

Os termos são exigíveis após um diferimento

ANTECIPADA ( Quando os termos ocorrem no início de cada período)

𝑉𝑃 =𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖 1 + 𝑖 𝑛−1

POSTECIPADA ( Quando os termos ocorrem ao final de cada período)

𝑉𝑃 =𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖 1 + 𝑖 𝑛

Fluxo Antecipado

𝑉𝑃 =𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖 1 + 𝑖 𝑛−1=

𝑣−𝑛 − 1 𝑣

1 − 𝑣 𝑣−𝑛+1

ሷ𝒂ഥ𝒏| =𝟏 − 𝒗𝒏

𝟏 − 𝒗, 𝒏 ≥ 𝟏

Fluxo Postecipado

𝑉𝑃 =𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖 1 + 𝑖 𝑛=𝑣 𝑣−𝑛 − 1

1 − 𝑣 𝑣−𝑛

𝒂ഥ𝒏| = 𝒗𝟏 − 𝒗𝒏

𝟏 − 𝒗, 𝒏 ≥ 𝟏

𝑹 = 𝟏𝒗 =

𝟏

𝟏 + 𝒊𝒊 =

𝟏 − 𝒗

𝒗

Fluxo Antecipado

ሷ𝑎𝑛| = 1 + 𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3 +⋯+ 𝑣𝑛−1

ሷ𝑎 ത𝑛| =1 − 𝑣𝑛

1 − 𝑣, 𝑛 ≥ 1

Fluxo Postecipado

𝑎𝑛| = 𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3 +⋯+ 𝑣𝑛

𝑎 ത𝑛| = 𝑣1 − 𝑣𝑛

1 − 𝑣, 𝑛 ≥ 1

ሷ𝑎𝑛| = 1 + 𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3 +⋯+ 𝑣𝑛−1

𝑎𝑛−1| = 𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3 +⋯+ 𝑣𝑛−1

ሷ𝒂𝒏| − 𝒂𝒏−𝟏| = 𝟏

Anuidades

Estamos trabalhando com o valor presente de uma série depagamentos.

De fato, as anuidades apresentadas são anuidades certas. Umasérie de pagamentos sendo realizados ao longo do tempo

É preciso o reconhecimento da “natureza” aleatória do número determos.

Anuidades vitalícias imediatas

No processo de compra de um produto atuarial ou de concessãode benefício, existe risco.

A seguradora não sabe se vai receber todos os prêmios do segurado (estepode morrer antes do período de cobertura).

A seguradora não sabe ao certo quanto irá gastar com previdência uma vezque uma pessoa se aposentou e entrou em gozo de benefício.

Reconhecer a anuidade como um produto atuarial é reconhecerque:

A seguradora (ou fundo de pensão) não saberá ao certo quando 𝑥 iráfalecer.

Anuidades vitalícias imediatas

Anuidades (Rendas)

Anuidade é um produto atuarial ligado a previdência. Plano de previdência: A ideia é formar uma reserva financeira para lidar

com situações futuras.

Anuidade (renda sobre a vida) Aposentadoria: pagamentos até o momento da morte

Cobertura: por período determinado.

São interrompidos em caso de morte...

Pagamentos Antecipados (Os pagamentos começam no primeiro período).

Pagamentos Postecipados (Os pagamentos começam no final de cada período).

Anuidades imediatas

𝑏 𝑏 𝑏 𝑏

𝒃

𝒃𝒗

𝒃𝒗𝟐

𝒃𝒗𝟑

𝑏 𝑏 𝑏 𝑏

𝒃𝒗

𝒃𝒗𝟐

𝒃𝒗𝟑

𝒃𝒗𝟒

Pagamentos

Pagamentos

Valor presente necessário a cada pagamento

Valor presente necessário a cada pagamento

𝑭𝟎 = 𝒃𝟏

𝟏 + 𝒊

𝒕

Seja 𝑇𝑥 a variável aleatória discreta associada ao maior inteirocontido na sobrevida de 𝑥 logo:

Antecipada (benefício unitário)

ሷ𝑎𝑇𝑥+1| =1 − 𝑣𝑇𝑥+1

1 − 𝑣, 𝑇𝑥 ≥ 0

Postecipada (benefício unitário)

𝑎𝑇𝑥| = 𝑣1 − 𝑣𝑇𝑥

1 − 𝑣, 𝑇𝑥 ≥ 0

Anuidades vitalícias imediatas

O valor atuarial de anuidade imediata vitalícia e com pagamentoANTECIPADO para uma pessoa de idade 𝑥 corresponde ao valoresperado da anuidade imediata antecipada:

𝐸 ሷ𝑎𝑇𝑥+1| = ሷ𝑎𝑥

O valor atuarial de anuidade imediata vitalícia e com pagamentoPOSTECIPADO para uma pessoa de idade 𝑥 corresponde ao valoresperado da anuidade imediata postecipada:

𝐸 𝑎𝑇𝑥| = 𝑎𝑥

Anuidades vitalícias imediatas

Anuidade vitalícia antecipada

𝐸 ሷ𝑎𝑇𝑥+1| =

𝑡=0

𝜔−𝑥

ሷ𝑎𝑡+1| 𝑝 𝑇𝑥 = 𝑡

ሷ𝑎𝑥 =

𝑡=0

𝜔−𝑥

ሷ𝑎𝑡+1| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡

Anuidade vitalícia antecipada Postecipada

𝐸 𝑎𝑇𝑥| =

𝑡=1

𝜔−𝑥

𝑎 ҧ𝑡| 𝑝 𝑇𝑥 = 𝑡

𝑎𝑥 =

𝑡=1

𝜔−𝑥

𝑎 ҧ𝑡| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡

Anuidades vitalícias imediatas

EXEMPLO 1

Considere uma pessoa de 40 anos que queira comprar umaanuidade que paga 1 u.m. com pagamento antecipado. Considerando atábua de mortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5%a.a., calcule o Prêmio Puro Único a ser pago pelo segurado paracomprar essa anuidade com pagamento imediato.

ሷ𝑎40 = 𝐸 ሷ𝑎𝑇+1| =

𝑡=0

𝜔−𝑥

ሷ𝑎𝑡+1| 𝑡𝑝40𝑞40+𝑡 = ሷ𝑎ഥ1| 0𝑝40𝑞40 + ሷ𝑎 ഥ2| 𝑝40𝑞41 + ሷ𝑎ഥ3| 2𝑝40𝑞42 +⋯

ሷ𝑎40 =1 − 𝑣1

1 − 𝑣 0𝑝40𝑞40 +1 − 𝑣2

1 − 𝑣𝑝40𝑞41 +

1 − 𝑣3

1 − 𝑣 2𝑝40𝑞42 +⋯

ሷ𝑎40 = 17,67𝑢.𝑚.

EXEMPLO 2

Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidadeque paga 1 u.m. com pagamento Postecipado. Considerando a tábuade mortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5% a.a.,calcule o Prêmio Puro Único a ser pago pelo segurado para compraressa anuidade com pagamento imediato.

𝑎40 =

𝑡=1

𝜔−𝑥

𝑎ഥ𝑡| 𝑡𝑝40𝑞40+𝑡 = 𝑎ഥ1| 𝑝40𝑞41 + 𝑎 ഥ2| 2 𝑝40𝑞42 + 𝑎 ഥ3| 3𝑝40𝑞43 +⋯

𝑎40 =𝑣 1 − 𝑣1

1 − 𝑣𝑝40𝑞41 +

𝑣 1 − 𝑣2

1 − 𝑣 2𝑝40𝑞42 +𝑣 1 − 𝑣3

1 − 𝑣 3𝑝40𝑞43 +⋯

𝑎40 = 16,67u.m.

Outras alternativas para o calculo do V.P.A. serão:

ሷ𝑎𝑥 =

𝑡=0

𝜔−𝑥

𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑥 =

𝑡=0

𝜔−𝑥

ሷ𝑎𝑡+1| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡

e

𝑎𝑥 =

𝑡=1

𝜔−𝑥

𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑥 =

𝑡=1

𝜔−𝑥

𝑎ഥ𝑡| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡

Anuidades vitalícias imediatas

Demonstração

ሷ𝑎𝑥 =

𝑡=0

𝜔−𝑥

ሷ𝑎𝑡+1| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 =

𝑡=0

𝜔−𝑥1 − 𝑣𝑡+1

1 − 𝑣 𝑡𝑝𝑥(1 − 𝑝𝑥+𝑡)

ሷ𝑎𝑥 =

𝑡=0

𝜔−𝑥1 − 𝑣𝑡+1

1 − 𝑣 𝑡𝑝𝑥 − 𝑡 𝑝𝑥𝑝𝑥+𝑡 =

𝑡=0

𝜔−𝑥1 − 𝑣𝑡+1

1 − 𝑣( 𝑡𝑝𝑥 − 𝑡+1𝑝𝑥)

ሷ𝑎𝑥 = 𝑣0 0𝑝𝑥 − 1𝑝𝑥 + 𝑣0 + 𝑣 1𝑝𝑥 − 2𝑝𝑥 + 𝑣0 + 𝑣 + 𝑣2 2𝑝𝑥 − 3𝑝𝑥 +⋯

Assim

ሷ𝑎𝑥 =

𝑡=0

𝜔−𝑥

𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑥

EXEMPLO 3Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidade que

paga 1 u.m. com pagamento antecipado. Considerando a tábua demortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5% a.a., calcule oPrêmio Puro Único a ser pago pelo segurado para comprar essa anuidade compagamento imediato.

ሷ𝑎40 =

𝑡=0

𝜔−𝑥

𝑣𝑡 𝑡𝑝40 = 1 + 𝑣 𝑝40 + 𝑣2 2𝑝40 + 𝑣3 3𝑝40 +⋯

ሷ𝑎40 = 1 + 𝑣 𝑝40 + 𝑣2 𝑝40𝑝41 + 𝑣3𝑝40𝑝41𝑝42 +⋯ ≈ 17,67𝑢.𝑚.

Postecipado,

𝑎40 =

𝑡=1

𝜔−𝑥

𝑣𝑡 𝑡𝑝40 = 𝑣 𝑝40 + 𝑣2 2𝑝40 + 𝑣3 3𝑝40 +⋯

𝑎40 = 𝑣 𝑝40 + 𝑣2 𝑝40𝑝41 + 𝑣3𝑝40𝑝41𝑝42 +⋯ ≈ 16,67𝑢.𝑚.

ሷ𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 + 1

Anuidades vitalícias imediatas

Valor atuarial de uma anuidade vitalícia

antecipada.

Valor atuarial de uma anuidade vitalícia

Postecipada.

Então, para o caso discreto, o V.P.A. será dado por:

Anuidade Antecipada ( Variável aleatória discreta)

ሷ𝑎𝑥 =

𝑡=0

𝜔−𝑥

𝑡𝐸𝑥 =

𝑡=0

𝜔−𝑥

𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑥 =

𝑡=0

𝜔−𝑥

ሷ𝑎𝑡+1| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 =

𝑡=0

𝜔−𝑥1 − 𝑣𝑡+1

1 − 𝑣 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡

Anuidade Postecipada ( Variável aleatória discreta)

𝑎𝑥 =

𝑡=1

𝜔−𝑥

𝑡𝐸𝑥 =

𝑡=1

𝜔−𝑥

𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑥 =

𝑡=1

𝜔−𝑥

𝑎ഥ𝑡| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 =

𝑡=1

𝜔−𝑥

𝑣1 − 𝑣𝑡

1 − 𝑣 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡

Anuidades vitalícias imediatas

Aula 11 - Anuidade Imediata

Danilo Machado Piresdanilo.pires@unifal-mg.edu.br

Leonardo Henrique CostaLeonardo.costa@unifal-mg.edu.br

https://atuaria.github.io/portalhalley

No caso de anuidades temporárias, essas são válidas enquanto apessoa de idade 𝑥 for viva até no máximo 𝑛 anos. Então, para o caso discreto, o V.P.A. de anuidades temporárias temos:

VPA de uma anuidade antecipada.

𝑌 = ൝ሷ𝑎𝑇+1| 0 ≤ 𝑇 < 𝑛

ሷ𝑎𝑛| 𝑇 ≥ 𝑛

ሷ𝑎𝑥:𝑛| =

𝑡=0

𝑛−1

ሷ𝑎𝑡+1| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 + ሷ𝑎𝑛| 𝑛𝑝𝑥

Anuidades temporárias imediatas

𝑌 = ൝ሷ𝑎𝑇+1| 𝑠𝑒 0 < 𝑇 < 𝑛

ሷ𝑎𝑛| 𝑠𝑒 𝑇 ≥ 𝑛

𝐸 𝑌 = ሷ𝑎𝑥:𝑛| =

𝑡=0

𝑛−1

ሷ𝑎𝑡+1| 𝑃𝑥(𝑇 = 𝑡) +

𝑡=𝑛

∞

ሷ𝑎𝑛| 𝑃𝑥(𝑇 = 𝑡)

ሷ𝑎𝑥:𝑛| =

𝑡=0

𝑛−1

ሷ𝑎𝑡+1| 𝑃𝑥(𝑇 = 𝑡) + ሷ𝑎𝑛|

𝑡=𝑛

∞

𝑃𝑥(𝑇 = 𝑡)

ሷ𝑎𝑥:𝑛| =

𝑡=0

𝑛−1

ሷ𝑎𝑡+1| 𝑃𝑥(𝑇 = 𝑡) + ሷ𝑎𝑛|𝑃𝑥(𝑇 ≥ 𝑛)

ሷ𝑎𝑥:𝑛| =

𝑡=0

𝑛−1

ሷ𝑎𝑡+1| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 + ሷ𝑎𝑛| 𝑛𝑝𝑥

VPA de uma anuidade Postecipada.

𝑌 = ൝𝑎𝑇| 0 ≤ 𝑇 < 𝑛

𝑎𝑛| 𝑇 ≥ 𝑛

𝑎𝑥:𝑛| =

𝑡=1

𝑛−1

𝑎ഥ𝑡| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 + 𝑎𝑛| 𝑛𝑝𝑥

Anuidades temporárias imediatas

EXEMPLO 4Uma pessoa de 25 anos que queira comprar uma anuidade

que paga 1 u.m. com pagamento antecipado por um período de40 anos. Considerando a tábua de mortalidade AT-2000 femininae uma taxa de juros de 5% a.a., calcule o Prêmio Puro Único a serpago pelo segurado para comprar essa anuidade com pagamento

imediato.

ሷ𝑎25:40| =

𝑡=0

391 − 𝑣𝑡+1

1 − 𝑣 𝑡𝑝25𝑞25+𝑡 +1 − 𝑣40

1 − 𝑣 40𝑝25

ሷ𝑎25:40| = 1,0584 + 16,78173 = 17,8402

VPA de uma anuidade antecipada.

𝑌 = ൝ሷ𝑎𝑇+1| 0 ≤ 𝑇 < 𝑛

ሷ𝑎𝑛| 𝑇 ≥ 𝑛ሷ𝑎𝑥:𝑛| = σ𝑡=0

𝑛−1 ሷ𝑎𝑡+1| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 + ሷ𝑎𝑛| 𝑛𝑝𝑥

ሷ𝑎𝑥:𝑛| = E Y =

𝑡=0

𝑛−1

𝑡𝐸𝑥 =

𝑡=0

𝑛−1

𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑥

VPA de uma anuidade Postecipada.

Y = ൝𝑎𝑇| 0 ≤ 𝑇 < 𝑛

𝑎𝑛| 𝑇 ≥ 𝑛𝑎𝑥:𝑛| = σ𝑡=1

𝑛−1𝑎ഥ𝑡| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 + 𝑎𝑛| 𝑛𝑝𝑥

𝒂𝒙:𝒏| = 𝑬 𝒀 =

𝒕=𝟏

𝒏

𝒕𝑬𝒙 =

𝒕=𝟏

𝒏

𝒗𝒕 𝒕𝒑𝒙

Anuidades temporárias imediatas- Tempo discreto

EXEMPLO 5:Seja uma pessoa de 30 anos que queira comprar uma

anuidade que paga 1 u.m. com pagamento antecipado por umperíodo de 4 anos. Considerando a tábua de mortalidade dada euma taxa de juros de 5% a.a., calcule o Prêmio Puro Único a serpago pelo segurado para comprar essa anuidade com pagamentoimediato.Idade 𝑞𝑋 𝑝𝑋 𝑙𝑥

25 0,00077 0,99923 100000

26 0,00081 0,99919 99923

27 0,00085 0,99915 99842

28 0,00090 0,99910 99757

29 0,00095 0,99905 99667

30 0,00100 0,99900 99572

31 0,00107 0,99893 99472

32 0,00114 0,99886 99365

33 0,00121 0,99879 99251

34 0,00130 0,99870 99131

35 0,00139 0,99861 99002

ሷ𝑎30: ഥ4| =

𝑡=0

4−1

𝒕𝑬𝟑𝟎 =

𝑡=0

3

𝒗𝒕 𝒕𝒑𝟑𝟎

ሷ𝑎30: ഥ4| = 1 + 𝑣𝑝30 + 𝑣2 2𝑝30 + 𝑣3 3𝑝30

ሷ𝑎30: ഥ4| = 1 +1

1,05𝑝30 +

1

1,05

2

𝑝30𝑝31 +1

1,05

3

𝑝30𝑝31𝑝32

𝑝30𝑝31𝑝32 =𝑙33𝑙30

ሷ𝑎30: ഥ4| = 3,71

EXEMPLO 6:Seja uma pessoa de 30 anos que queira comprar uma

anuidade que paga 1 u.m. com pagamento postecipado por umperíodo de 4 anos. Considerando a tábua de mortalidade dada euma taxa de juros de 5% a.a., calcule o Prêmio Puro Único a serpago pelo segurado para comprar essa anuidade com pagamentoimediato.Idade 𝑞𝑋 𝑝𝑋 𝑙𝑥

25 0,00077 0,99923 100000

26 0,00081 0,99919 99923

27 0,00085 0,99915 99842

28 0,00090 0,99910 99757

29 0,00095 0,99905 99667

30 0,00100 0,99900 99572

31 0,00107 0,99893 99472

32 0,00114 0,99886 99365

33 0,00121 0,99879 99251

34 0,00130 0,99870 99131

35 0,00139 0,99861 99002

𝑎30: ഥ4| =

𝑡=1

4

𝑡𝐸30 =

𝑡=1

4

𝑣𝑡 𝑡𝑝30

𝑎30: ഥ4| = 𝑣𝑝30 + 𝑣2 2𝑝30 + 𝑣3 3𝑝30 + 𝑣4 4𝑝30

𝑎30: ഥ4| =1

1,05𝑝30 +

1

1,05

2

𝑝30𝑝31 +1

1,05

3

𝑝30𝑝31𝑝32 +

1

1,05

4

𝑝30𝑝31𝑝32𝑝33

𝑎30: ഥ4| = 3,52

EXEMPLO 7:Seja uma pessoa de 25 anos que queira comprar uma

anuidade que paga 1 u.m. com pagamento antecipado por umperíodo de 5 anos. Considerando a tábua de mortalidade dada euma taxa de juros de 5% a.a., calcule o Prêmio Puro Único a serpago pelo segurado para comprar essa anuidade com pagamentoimediato.Idade 𝑞𝑋 𝑝𝑋 𝑙𝑥

25 0,00077 0,99923 100000

26 0,00081 0,99919 99923

27 0,00085 0,99915 99842

28 0,00090 0,99910 99757

29 0,00095 0,99905 99667

30 0,00100 0,99900 99572

31 0,00107 0,99893 99472

32 0,00114 0,99886 99365

33 0,00121 0,99879 99251

34 0,00130 0,99870 99131

35 0,00139 0,99861 99002

ሷ𝑎25: ഥ5| =

𝑡=0

5−1

𝑡𝐸25 =

𝑡=0

4

𝑣𝑡 𝑡𝑝25

ሷ𝑎25: ഥ5| = 1 + 𝑣𝑝25 + 𝑣2 2𝑝25 + 𝑣3 3𝑝25 + 𝑣4 4𝑝25

ሷ𝑎25: ഥ5| = 1 +1

1,05𝑝25 +

1

1,05

2 𝑙27

𝑙25+

1

1,05

3 𝑙28

𝑙25+

1

1,05

4 𝑙29

𝑙25

ሷ𝑎25: ഥ5| = 4,53

EXEMPLO 8:Seja uma pessoa de 25 anos que queira comprar uma

anuidade que paga 1 u.m. com pagamento postecipado por umperíodo de 4 anos. Considerando a tábua de mortalidade dada euma taxa de juros de 5% a.a., calcule o Prêmio Puro Único a serpago pelo segurado para comprar essa anuidade com pagamentoimediato.Idade 𝑞𝑋 𝑝𝑋 𝑙𝑥

25 0,00077 0,99923 100000

26 0,00081 0,99919 99923

27 0,00085 0,99915 99842

28 0,00090 0,99910 99757

29 0,00095 0,99905 99667

30 0,00100 0,99900 99572

31 0,00107 0,99893 99472

32 0,00114 0,99886 99365

33 0,00121 0,99879 99251

34 0,00130 0,99870 99131

35 0,00139 0,99861 99002

𝑎25: ഥ4| =

𝑡=1

4

𝒕𝑬𝟐𝟓 =

𝑡=0

4

𝒗𝒕 𝒕𝒑𝟐𝟓

𝑎25: ഥ4| = 𝑣𝑝25 + 𝑣2 2𝑝25 + 𝑣3 3𝑝25 + 𝑣4 4𝑝25

𝑎25: ഥ4| =1

1,05𝑝25 +

1

1,05

2𝑙27𝑙25

+1

1,05

3𝑙28𝑙25

+1

1,05

4𝑙29𝑙25

𝑎25: ഥ4| = 3,53

ሷ𝒂𝒙:𝒏| = 𝟏 + 𝒗𝒑𝒙 + 𝒗𝟐 𝟐𝒑𝒙 + 𝒗𝟑 𝟑𝒑𝒙 + 𝒗𝟒 𝟒𝒑𝒙 +⋯+ 𝒗𝒏−𝟏 𝒏−𝟏𝒑𝒙

𝒂𝒙:𝒏−𝟏| = 𝒗𝒑𝒙 + 𝒗𝟐 𝟐𝒑𝒙 + 𝒗𝟑 𝟑𝒑𝒙 + 𝒗𝟒 𝟒𝒑𝒙 +⋯+ 𝒗𝒏−𝟏 𝒏−𝟏𝒑𝒙

ሷ𝒂𝒙:𝒏| = 𝟏 + 𝒂𝒙:𝒏−𝟏|

ሷ𝒂𝒙 = 𝟏 + 𝒂𝒙

Anuidades temporárias imediatas

VPA de uma anuidade antecipada.

𝑍 = ൝ሷ𝑎𝑇+1| 0 ≤ 𝑇 < 𝑛

ሷ𝑎𝑛| 𝑇 ≥ 𝑛

ሷ𝑎𝑥:𝑛| = E Z =

𝑡=0

𝑛−1

𝑡𝐸𝑥 =

𝑡=0

𝑛−1

𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑥

ሷ𝑎𝑥:𝑛| =

𝑡=0

𝑛−1

ሷ𝑎𝑡+1| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 + ሷ𝑎𝑛| 𝑛𝑝𝑥

Anuidades temporárias imediatas- Tempo discreto

VPA de uma anuidade Postecipada.

𝑍 = ൝𝑎𝑇| 0 ≤ 𝑇 < 𝑛

𝑎𝑛| 𝑇 ≥ 𝑛

𝑎𝑥:𝑛| = 𝐸 𝑍 =

𝑡=1

𝑛

𝑡𝐸𝑥 =

𝑡=1

𝑛

𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑥

𝑎𝑥:𝑛| =

𝑡=1

𝑛−1

𝑎ഥ𝑡| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 + 𝑎𝑛| 𝑛𝑝𝑥

ሷ𝒂𝒙:𝒏| = 𝟏 + 𝒂𝒙:𝒏−𝟏|

Aula 12

Danilo Machado Piresdanilo.pires@unifal-mg.edu.br

Leonardo Henrique CostaLeonardo.costa@unifal-mg.edu.br

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Fluxo Antecipado

𝑚| ሷ𝑎𝑛| = 𝑣𝑚 + 𝑣𝑚+1 + 𝑣𝑚+2 +⋯+ 𝑣𝑚+𝑛−1

𝒎| ሷ𝒂𝒏| = 𝒗𝒎𝟏 − 𝒗𝒏

𝟏 − 𝒗Fluxo Postecipado

𝑚|𝑎𝑛| = 𝑣𝑚+1 + 𝑣𝑚+2 + 𝑣𝑚+3 +⋯+ 𝑣𝑚+𝑛

𝒎|𝒂𝒏| = 𝒗𝒎𝒗𝟏 − 𝒗𝒏

𝟏 − 𝒗

Fluxo Antecipado

𝑚| ሷ𝑎𝑛| = 𝑣𝑚1−𝑣𝑛

1−𝑣= 𝑣𝑚 ሷ𝑎𝑛| 𝑚 = 0 → ሷ𝑎 ത𝑛| =

1−𝑣𝑛

1−𝑣

Fluxo Postecipado

𝑚|𝑎𝑛| = 𝑣𝑚+1 1−𝑣𝑛

1−𝑣= 𝑣𝑚𝑎𝑛| 𝑚 = 0 → 𝑎 ത𝑛| = 𝑣

1−𝑣𝑛

1−𝑣

𝒎+𝟏| ሷ𝒂𝒏| = 𝒎|𝒂𝒏|

Anuidades

FLUXO ANTECIPADO

𝑚| ሷ𝑎𝑛| = 𝑣𝑚1 − 𝑣𝑛

1 − 𝑣= 𝑣𝑚 ሷ𝑎𝑛|

𝑚| ሷ𝑎𝑛| = ሷ𝑎𝑛+𝑚| − ሷ𝑎𝑚|

FLUXO POSTECIPADO

𝑚|𝑎𝑛| = 𝑣𝑚+11 − 𝑣𝑛

1 − 𝑣= 𝑣𝑚𝑎𝑛|

𝑚|𝑎𝑛| = 𝑎𝑛+𝑚| − 𝑎𝑚|

EXEMPLO 9

Uma loja de departamentos está vendendo um conjunto decadeiras. A forma de pagamento proposta pela loja consiste 8prestações de 𝑅$ 6000,00 e só comece a pagar a partir do início do4° ano após adquirir o produto, considerando uma taxa de juros de1,25% a.a., em regime de juros compostos. Determine o quantocustaria essas cadeiras caso fosse pago a vista.

SOLUÇÃO

4| ሷ𝑎ഥ8| = 𝑣41 − 𝑣8

1 − 𝑣≈ 7,29127

Assim o valor das cadeiras a vista é dado por:

6000 × 4| ሷ𝑎ഥ8| = 𝑅$43747,62

SOLUÇÃO ( Caso Postecipado)

4|𝑎ഥ8| = 𝑣51 − 𝑣8

1 − 𝑣≈ 7,201254

6000 × 4| 𝑎ഥ8| = 𝑅$43207,52

Na prática, planos de aposentadoria são comprado anos antes doinício dos recebimentos dos benefícios.

Anuidades diferidas são pagas passado um determinado prazo, diferentementedas anuidades imediatas.

Caso o participante faleça antes do início do recebimento da anuidade (antesde aposentadoria) a seguradora não terá que pagar nada ao segurado(considerando que não existe reversão para pensão).

Anuidades Diferidas

𝐸 𝑚| ሷ𝑎𝑇𝑥+1−𝑚| =

𝑡=𝑚

𝜔−𝑥−𝑚

𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑥 =

𝑡=0

𝜔−𝑥−𝑚

𝑣𝑡+𝑚 𝑡+𝑚𝑝𝑥

Lembrando que 𝑡+𝑚𝑝𝑥 = 𝑚 𝑝𝑥 × 𝑡 𝑝𝑥+𝑚

𝐸 𝑚| ሷ𝑎𝑇𝑥+1−𝑚| =

𝑡=0

𝜔−𝑥−𝑚

𝑣𝑡𝑣𝑚 𝑚𝑝𝑥 𝑡𝑝𝑚+𝑥

𝐸 𝑚| ሷ𝑎𝑇𝑥+1−𝑚| = 𝑣𝑚 𝑚𝑝𝑥

𝑡=0

𝜔−𝑥−𝑚

𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑚+𝑥

𝐸 𝑚| ሷ𝑎𝑇𝑥+1−𝑚| = 𝑚 𝐸𝑥 ሷ𝑎𝑥+𝑚

𝑚| ሷ𝑎𝑥 = 𝑚 𝐸𝑥 ሷ𝑎𝑥+𝑚

Anuidades vitalícias Diferidas, Antecipado

𝐸 𝑚|𝑎𝑇𝑥−𝑚|=

𝑡=𝑚+1

𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑥 =

𝑡=1

𝑣𝑡+𝑚 𝑡+𝑚𝑝𝑥

Lembrando que 𝑡+𝑚𝑝𝑥 = 𝑚 𝑝𝑥 × 𝑡 𝑝𝑥+𝑚

𝐸 𝑚|𝑎𝑇𝑥−𝑚|=

𝑡=1

𝑣𝑡𝑣𝑚 𝑚𝑝𝑥 𝑡𝑝𝑚+𝑥

𝐸 𝑚|𝑎𝑇𝑥−𝑚|= 𝑣𝑚 𝑚𝑝𝑥

𝑡=1

𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑚+𝑥

𝐸 𝑚|𝑎𝑇𝑥−𝑚|= 𝑚 𝐸𝑥𝑎𝑥+𝑚

𝑚|𝑎𝑥 = 𝑚 𝐸𝑥𝑎𝑥+𝑚

Anuidades vitalícias Diferidas, Postecipado

FLUXO ANTECIPADO

𝑌 = ቊ𝑚| ሷ𝑎𝑇𝑥+1−𝑚|; 𝑇𝑥 ≥ 𝑚

0 ; 𝑐. 𝑐.

𝑚| ሷ𝑎𝑥 =

𝑡=𝑚

𝜔−𝑥−𝑚

𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑥

𝑚| ሷ𝑎𝑥 = 𝑚 𝐸𝑥 ሷ𝑎𝑥+𝑚

𝑚| ሷ𝑎𝑥 =

𝑡=𝑚

𝜔−𝑥−𝑚

𝑣𝑚1 − 𝑣𝑡−𝑚+1

1 − 𝑣 𝑡𝑝𝑥 𝑞𝑥+𝑡

𝑚| ሷ𝑎𝑥 = ሷ𝑎𝑥 − ሷ𝑎𝑥: ഥ𝑚|

FLUXO POSTECIPADO

𝑌 = ቊ𝑚|𝑎𝑇𝑥−𝑚|; 𝑇𝑥 ≥ 𝑚

0 ; 𝑐. 𝑐.

𝑚|𝑎𝑥 =

𝑡=𝑚+1

𝜔−𝑥−𝑚

𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑥

𝑚|𝑎𝑥 = 𝑚 𝐸𝑥𝑎𝑥+𝑚

𝑚|𝑎𝑥 =

𝑡=𝑚

𝜔−𝑥−𝑚

𝑣𝑚+11 − 𝑣𝑡−𝑚

1 − 𝑣 𝑡𝑝𝑥 𝑞𝑥+𝑡

𝑚|𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 − 𝑎𝑥: ഥ𝑚|

EXEMPLO 10

Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidadevitalícia diferida por 20 anos, que paga 1 u.m. com pagamentoantecipado. Considerando a tábua de mortalidade AT-2000 masculina euma taxa de juros de 5% a.a., calcule o Prêmio Puro Único a ser pagopelo segurado para comprar essa anuidade com pagamento imediato.

20| ሷ𝑎40 =

𝑡=20

𝜔−60

𝑣𝑡 𝑡𝑝40

20| ሷ𝑎40 = 20𝐸40 ሷ𝑎60 = 𝑣20 20𝑝40

𝑡=0

𝜔=60

𝑣𝑡 𝑡𝑝60

EXEMPLO 10

Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidade vitalíciadiferida por 19 anos, que paga 1 u.m. com pagamento Postecipado. Considerando atábua de mortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5% a.a., calcule oPrêmio Puro Único a ser pago pelo segurado para comprar essa anuidade compagamento diferido.

19|𝑎40 = 𝑣19 19𝑝40

𝑡=1

𝑣𝑡 𝑡𝑝59

19|𝑎40 = 𝑣19 19𝑝40

𝑡=0

𝑣𝑡+1 𝑡+1𝑝59 = 𝑣19 19𝑝40

𝑡=0

𝑣𝑡𝑣1 1𝑝59 𝑡𝑝59+1

19|𝑎40 = 𝑣19 19𝑝40𝑣11𝑝59

𝑡=0

𝑣𝑡 𝑡𝑝59+1 = 𝑣20 19𝑝40 1𝑝40+19

𝑡=0

𝑣𝑡 𝑡𝑝59+1

19|𝑎40 = 𝑣20 20𝑝40

𝑡=0

𝑣𝑡 𝑡𝑝59+1 = 20| ሷ𝑎40

EXEMPLO 10

Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidadevitalícia diferida por 19 anos, que paga 1 u.m. com pagamentoPostecipado. Considerando a tábua de mortalidade AT-2000 masculinae uma taxa de juros de 5% a.a., calcule o Prêmio Puro Único a ser pagopelo segurado para comprar essa anuidade com pagamento diferido.

19|𝑎40 =

𝑡=19+1

𝑣𝑡 𝑡𝑝40 =

𝑡=20

𝑣𝑡 𝑡𝑝40 = 20| ሷ𝑎40

VPA de uma anuidade temporária por 𝑛 anos, diferida por 𝑚 anoscom pagamento antecipado, b = 1 𝑢.𝑚.

𝑚| ሷ𝑎𝑥:𝑛| = 𝑚𝐸𝑥 ሷ𝑎𝑥+𝑚:𝑛| = 𝑚 𝐸𝑥

𝑡=0

𝑛−1

𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑥+𝑚

VPA de uma anuidade temporária por 𝑛 anos, diferida por 𝑚 anoscom pagamento postecipado, b = 1 𝑢.𝑚.

𝑚|𝑎𝑥: ത𝑛| = 𝑚 𝐸𝑥𝑎𝑥+𝑚: ത𝑛| = 𝑚 𝐸𝑥

𝑡=1

𝑛

𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑥+𝑚

Anuidades Diferidas Temporárias

EXEMPLO 11Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidade

que paga 1 u.m. no período de 3 anos. No entanto essa anuidade édiferida por 3 anos. Considerando a tábua de mortalidade dada e umataxa de juros de 5% a.a., Calcule o Prêmio Puro Único a ser pago pelosegurado para comprar essa anuidade com pagamento diferido,antecipado e postecipado.

SOLUÇÃO Pagamento Antecipado , 𝑏 = 1 𝑢.𝑚, 𝑚 = 3, 𝑛 = 3, 𝑖 = 0,05

3| ሷ𝑎40: ഥ3| = 𝑚 𝐸𝑥 ሷ𝑎𝑥+𝑚:𝑛|

3| ሷ𝑎40: ഥ3| = 3𝐸40 ሷ𝑎43: ഥ3|

3| ሷ𝑎40: ഥ3| = 𝑣3 3𝑝40

𝑡=0

3−1

𝑣𝑡 𝑡𝑝43

3| ሷ𝑎40: ഥ3| = 𝑣3 3𝑝40 1 + 𝑣 𝑝43 + 𝑣2 2𝑝43

3| ሷ𝑎40: ഥ3| =1

1,05

3

𝑝40𝑝41𝑝42 1 +1

1,05𝑝43 +

1

1,05

2

𝑝43𝑝44

3| ሷ𝑎40: ഥ3| = 2,457604

SOLUÇÃO Pagamento Postecipado, 𝑏 = 1 𝑢.𝑚, 𝑚 = 3, 𝑛 = 3, 𝑖 = 0,05

𝑚|𝑎𝑥: ത𝑛| = 𝑚 𝐸𝑥𝑎𝑥+𝑚: ത𝑛|

3|𝑎40: ഥ3| = 3𝐸40𝑎43:ഥ3|

3|𝑎40: ഥ3| = 𝑣3 3𝑝40

𝑡=1

3

𝑣𝑡 𝑡𝑝43

3|𝑎40: ഥ3| = 𝑣3 3𝑝40 𝑣 𝑝43 + 𝑣2 2𝑝43 + 𝑣3 3𝑝43

3|𝑎40: ഥ3| =1

1,05

3

𝑝40𝑝41𝑝421

1,05𝑝43 +

1

1,05

2

𝑝43𝑝44 +1

1,05

3

𝑝43𝑝44𝑝45

3|𝑎40: ഥ3| = 0,8591533 × 2,71444

3|𝑎40: ഥ3| = 2,33212

EXEMPLO 12 : Mostre um exemplo que verifica-se a relação:𝑚+1| ሷ𝑎𝑥: ത𝑛| = 𝑚| 𝑎𝑥: ത𝑛|