apuntes proyeccion estereografica t1

Reduca(Geologa).SerieGeologaEstructural.2(1):110,2010.ISSN:19896557

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ProblemasdeGeologaEstructural

1.Conceptosgenerales

RosaBlancaBabnVich1.DavidGmezOrtiz2.

1DepartamentodeGeodinmica.FacultaddeCienciasGeolgicas.UniversidadComplutensedeMadrid.JosAntonioNovais,s/n.28040Madrid.

rosbabin@geo.ucm.es2readeGeologaESCET.UniversidadReyJuanCarlos.Tulipn,s/n.28933Mstoles.

david.gomez@urjc.es

Resumen:Laproyeccinestereogrficaesunade lasmejores tcnicaspara resolverproblemasgeomtricosenGeologaEstructural.Trabajacon lneasyplanossinteneren cuenta sus relaciones espaciales, por tanto, solo se pueden representar valoresangulares.Palabras clave: Proyeccin estereogrfica. Circunferencia primitiva. Falsillas deproyeccin.

PRLOGO

El tratamiento cuantitativo de la geometra en tres dimensiones puede ser avecesmuyarduo,mediantefrmulastrigonomtricasqueenocasionesprovocanqueel problema no pueda ser resuelto rpidamente por los alumnos. El resultado, amenudo, es que la manipulacin de los datos puede llevar a errores y a undesconocimientodeculessonlasecuacionesquesedebenutilizarencadacaso.

Afortunadamenteycomoayudapara simplificar las tcnicasgrficas, seutilizaenGeologaEstructurallaproyeccinestereogrfica,querequiereenprincipioqueelalumno tengaunabuenavisinde losprocesosdeproyeccin.El crearuna imagenproyectadaenlamentepuedeparecerdifcilalcomienzo,peroconunaciertaprctica,el alumno puede llegar a ser casi un experto. Se recomienda hacer dibujos en tresdimensionesparaplasmarlaimagenpensadaypasaracontinuacinlamismaimagenadosdimensiones.Deestaformaserelacionalaestructuraentresdimensionesconlaquevamosaverproyectada,yaseamedianteproyeccinortogrficaoestereogrfica.

Estetipodeproyeccinesidealparaanalizarrelacionesangularesytrabajarcondatosdeorientaciones.Lasaplicacionesmsgenerales incluyen ladeterminacindengulosentre lneas,entreplanosyentreambos.Tambinseutilizaparaelanlisisyclasificacin de superficies curvadas (pliegues), orientacin de planos a partir detestigosdesondeosyobtencindeorientacionespocovisiblesenelcampoapartirde

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distintosconjuntosdedatos.Encombinacinconlaproyeccinortogrfica,sepuedenresolver muchos problemas tpicos de la Geologa Estructural y de la IngenieraGeolgica.

EstemanualestestructuradoenvariosartculosBabnyGmez(2010a,b,c,d,e, f,gyh).Cadaunodeelloscomienzaconunadefinicinsomerade losconceptosms bsicos, como pueden ser las orientaciones de planos en el espacio y surepresentacin, para terminar analizando cada una de las principales estructurasgeolgicas. Al principio de cada artculo se ofrece una introduccin referente a losconceptos fundamentales necesarios para la comprensin y resolucin de losproblemasquesedesarrollanacontinuacin.Nuestrodeseoesqueestetrabajosirvacomoorientacina futurasgeneracionesdeestudiantes,que,dentrode lasCienciasGeolgicas,hanelegidoestaespecialidadparadesarrollarsufuturavidalaboral.

INTRODUCCIN

El objetivo de estemanual es introducir al alumno en el conocimiento de lastcnicasbsicasdeproyeccinestereogrfica, indispensablesparacualquiergelogoquevayaadesarrollarsu trabajoen relacinconGeologaEstructural (orientacionesde planos y lneas en el espacio), Cartografa (relaciones angulares entre estratos,discordancias, etc),Geotecnia (clculo del factor de seguridad de un talud), etc. Encadaunodelosartculossevanresolviendoejerciciossencillosapartirdeunaseriededefinicionesconsideradasdeconocimiento imprescindiblepara losproblemasquesevanadesarrollaracontinuacin.

Aunqueestemtododeproyeccinestexplicadoenmuchoslibrosconmayoromenorextensin,nuestraexperienciacomoprofesoresdeGeologaEstructuralesquemuchosestudiantessoncapacesderepresentarlosdatosestructuralessinentenderelprincipio del mtodo que estn empleando. Este manual pretende, medianteilustraciones y ejercicios resueltos, visualizar el problema que concierne a las tresdimensionesyasurepresentacinbidimensional.

Esbiensabido,que larepresentacindedatosestructuralesmediantemtodosgeomtricossedificultaengranmaneracuandoesnecesarioanalizarungrannmerodemedidas.Eneste sentido se introduceel conceptodeproyeccinestereogrfica,herramientautilizadaampliamenteporlosgelogosdesdelamitaddelsigloXIX,comouna alternativa sencilla y simple para representar datos tridimensionales en dosdimensiones.

Aunqueenunprincipioestetipodeproyeccinpuedaparecerabstracta,consuusoelalumnosedarcuentadelafacilidadyrapidezderesolucindedistintostiposdeproblemasenGeologaEstructural.Actualmente, losordenadoressoncapacesdeproyectar datos estructurales en proyeccin estereogrfica, pero no sabremosinterpretarelresultadosinoaprendemosaproyectardatosmanualmente.La falsilla

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deproyeccinsepuedellevaralcampofcilmenteylosdatospuedenserproyectados,interpretadosyensucaso,corregidos,directamenteenelafloramiento.

Elmaterialnecesariopara llevaracaboestetipodeproyeccin,esmuysimple.nicamentesenecesitaunafalsilladeproyeccin(Anexo I)queapareceen lamayorpartede los librosdeGeologaEstructural,unachincheta, lpizygomadeborrar,ascomograndes cantidadesdepapel transparenteode calco.Se recomienda resolvercada problema en un papel transparente distinto, para poder repasarlo despus ycorregirsifueranecesario.

LAPROYECCINESTEREOGRFICA.CONCEPTOSGENERALES

Imaginemos un observador situado en el centro de una esfera de cristaltransparente. Cualquier direccin supuesta, estar representada por un puntodeterminado, situadoen la superficiede laesfera.Porejemplo, ladireccinoesteestar indicada por un punto en el ecuador de la esfera, situado al oeste delobservador.

Los primeros astrnomos definieron las posiciones relativas de las estrellasproyectndolascomopuntosblancosen lasuperficiedeunaesferadecolornegro.Aestarepresentacinse ledioelnombredeesferacelestial,en laque lasdistanciasrelativasdelatierraalasestrellasnopodanserrepresentadasensumagnitudreal.

Unasuperficieesfricaenlacuallasposicionesdeloselementoscaractersticosestnindicadas,sedenominaproyeccinesfrica,siempreteniendoencuentaqueserepresentanorientaciones,nodistanciasentreloselementosproyectados.

Las proyecciones esfricas se utilizan para representar orientaciones de lneasy/oplanos,siemprequelalneaoelplanopaseatravsdelcentrodelaesfera.Enesecaso,una lnea intersectaa la superficiede laesferaendospuntosdiametralmenteopuestos,mientrasquelainterseccindeunplanoconlaesferaseruncrculomayor(Fig.1).Lainterseccindelalneaoelplanoconlaesferaessuproyeccinesfrica.

Figura1.Proyeccindeunalneayunplanoenelhemisferioinferiordelaesfera.

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Una proyeccin de este tipo, representa el elemento proyectado en tresdimensiones. Afortunadamente, una esfera puede ser proyectada en un planobidimensional.Lasproyeccionesplanaresmscomunesdeunaesferasedenominanproyeccionesazimutales,que se construyenhaciendopasar las lneasdeproyeccindesde un punto comn hasta la esfera, intersectando el plano de proyeccin. Estepuedesertangentea lasuperficiede laesfera,estaraunadeterminadadistanciadeellaopasara travsdel centrode laesfera.Un cambioen laposicindelplanodeproyeccin,da lugarauncambiodeescalaen laproyeccin.Elplanodeproyeccinpuedetenercualquierorientacin,yestodeterminaquelaproyeccinseaecuatorial,polaruoblicua(Fig.2).

Figura 2. Proyecciones polar y oblicua, como ejemplos de posibles orientaciones del plano deproyeccin.

Laproyeccinestereogrficaesuncasoespecialdeproyeccinazimutal,queensuprincipiofuedesarrolladaporloscristalgrafos.Sucaractersticaprincipalesqueelpunto fuenteusadoen suconstruccinestsituadoen la superficiede laesfera.Engeologa, el plano de proyeccin usado para construir la proyeccin estereogrficapasaporelcentrodelaesfera,ysecorrespondeconsuplanoecuatorial.

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Figura3.A.Planoen tresdimensiones,orientadomediantedireccin ybuzamiento.B.Proyeccinesfricadelplano,enelhemisferioinferiordelaesfera.C.Estereogramadelplano.

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Vamos a visualizar la construccin de una proyeccin estereogrfica (Fig. 3).Imaginemosunpuntomarcadoenelhemisferio inferiordenuestraesferadecristal,que representa la proyeccin esfrica de un punto en el espacio. La proyeccinestereogrfica de este punto se construye dibujando una lnea de proyeccin queconecteelpuntosituadoenelhemisferioinferior,conelzenitdelaesferacolocadoenlapartesuperiorde lamisma.La interseccinde la lneadeproyeccinconelplanoecuatorial (planodeproyeccin)de laesfera,es laproyeccinestereogrficadeesepunto.EnGeologaEstructuralsiempreproyectamosdesdeelhemisferioinferiordelaesferayelelemento representado (lneaoplano)pasaporelcentrode laesferadereferencia,mientrasqueenCristalografaseutilizaelhemisferiosuperior.Losplanosintersectanelhemisferio inferior como crculosmayores, y las lneas, comopuntos.Cadapuntodeuncrculomayorenelhemisferio inferior,unidoconelzenit,daasuvezunpuntoenelcrculoecuatorialdeproyeccin.Launinde todosestospuntosmuestralaproyeccinestereogrfica(estereograma)delplanoquepasaporelcentrode laesfera yque corresponde aun crculomayor.Hemos reducidouna geometratridimensionaladosdimensiones.

La interseccin del plano ecuatorial (plano de proyeccin) con la esfera, sedenominacircunferenciaprimitiva,masabreviado,laprimitiva.Tieneelmismoradioquelaesferadeproyeccinoriginalytodoslospuntosenlasuperficiedelhemisferioinferiorquedanproyectadoscomopuntosenodentrodelaprimitiva.

La proyeccin estereogrfica es una de las mejores tcnicas para resolverproblemas geomtricos en Geologa Estructural. Se diferencia de la proyeccinortogrficaenunpuntofundamental:stapreservalasrelacionesespacialesentrelasestructuras,mientras que la estereogrfica trabaja con planos y lneas sin tener encuentasusrelacionesespaciales,nicamentelasangulares.

Elusode laproyeccinestereogrficaes,enmuchos casos,preferiblealde laproyeccin ortogrfica, ya que es capaz de resolver gran cantidad de problemasgeomtricos con mayor facilidad y rapidez, siempre que en ellos solo intervenganvaloresangulares.Ambostiposdeproyeccionessoncomplementarios,de formaquelosdatosangularessetratanconproyeccinestereogrficay losescalares,medianteproyeccinortogrficaodeplanosacotados.

Enlaprctica,laproyeccinestereogrficadelneasyplanossellevaacaboconayudadeunafalsilladeproyeccin(stereographicnet).Estafalsillaoestereonetaestformadaporunconjuntodeproyeccionesdecrculosmayoresymenoresqueocupanel plano ecuatorial de proyeccin de la esfera de referencia. Ambos conjuntos decrculos estn espaciados con intervalos de 2, apareciendomarcados con un trazomsgruesolosquecorrespondenavaloresmltiplosde10(Fig.4).

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Figura4.Falsilladeproyeccinestereogrfica(FalsilladeWulff)oestereoneta.Conservalosngulos.

Loscrculosmayoresrepresentanunafamiliadeplanoscondireccinnortesur,cuyosbuzamientosvarandesde0a90enambossentidos.Estosplanossecortansegnunalneahorizontalrepresentadaporelnorteoelsurdelafalsilla.

Loscrculosmenoressonaquellosatravsdeloscualesmedimoslasdireccionesde los distintos planos y lneas en la proyeccin. Tambin se utilizan para hacerrotaciones de distintos elementos estructurales alrededor de ejes horizontales,verticales o inclinados. Representan la proyeccin sobre el plano ecuatorial de unconjuntodeplanosquenopasanporelcentrode laesfera,espaciadosde2en2.Cadacrculomenorcorrespondealcortedeunasuperficiecnicacon laesfera,cuyopice est situado en el centro de la esfera y su altura coincide con el radio de lafalsilla. La combinacin de crculos mayores y menores constituye un bacoperfectamenteaptoparalaproyeccinestereogrficadelneasyplanos.

Existendostiposdistintosdeestereoneta:lafalsilladeWulffyladeSchmidt(Fig.5). Laprimera conserva ngulos, como seexplicar a continuacin,mientrasque lasegunda conserva reas ypor tanto, seutilizapara realizar contajesestadsticosdeelementos (planos de falla, ejes de cuarzo, lineaciones, etc). La forma de proyectarplanos y lneas en cualquiera de estas falsillas, es exactamente lamisma, y se iraprendiendounavezquesevayandesarrollandolosdistintosartculosdelmanual.

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Figura5.Falsillasutilizadasenlaproyeccinestereogrfica.FalsilladeWulff(izquierda)yfalsilladeSchmidt(derecha).

BIBLIOGRAFABabn Vich, R. B. y Gmez Ortiz, D. 2010 a. Problemas de Geologa Estructural. 2.

Orientacin y proyeccin de planos en el espacio. Reduca (Geologa). SerieGeologaEstructural,2(1):1123.

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Proyeccinpolardeunplano.Proyeccin Reduca (Geologa). SerieGeologaEstructural,2(1):2(1):4156.

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RotacionesReduca(Geologa).SerieGeologaEstructural,2(1):5773.Babn Vich, R. B. y Gmez Ortiz, D. 2010 e. Problemas de Geologa Estructural. 6.

Clculo de la orientacin de la estratificacin a partir de testigos de sondeos.Reduca(Geologa).SerieGeologaEstructural,2(1):7494.

Babn Vich, R. B. y Gmez Ortiz, D. 2010 f. Problemas de Geologa Estructural. 7.

Pliegues.Reduca(Geologa).SerieGeologaEstructural,2(1):95123.BabnVich,R.B.yGmezOrtiz,D.2010g.ProblemasdeGeologaEstructural.8.Fallas

Reduca(Geologa).SerieGeologaEstructural,2(1):124147.

Reduca(Geologa).SerieGeologaEstructural.2(1):110,2010.ISSN:19896557

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Babn Vich, R. B. y Gmez Ortiz, D. 2010 h. Problemas de Geologa Estructural. 9.Anlisisestructuralmediantediagramasde contornosReduca (Geologa).SerieGeologaEstructural,2(1):2(1):148192.

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ANEXOIFALSILLADEWULFF

Recibido:18noviembre2009.Aceptado:22diciembre2009.