apuntes docentes - profearias.files.wordpress.com · • capaz de representar números muy grandes...
Post on 30-Sep-2018
218 Views
Preview:
TRANSCRIPT
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
APUNTES DOCENTES
PROFESOR ESP PEDRO ALBERTO ARIAS QUINTERO
ASIGNATURA ANALISIS NUMERICO
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
1 ERRORES Y ARITMETICA DE PUNTO FLOTANTE
11 Introduccioacuten a la Computacioacuten Numeacuterica
El primer computador electroacutenico en base a la tecnologiacutea de tubos al vaciacuteo fue el ENIAC de la Universidad
de Pensilvania en la deacutecada del 40 Durante la deacutecada del 50 el primer uso de los computadores fue para las
aplicaciones cientiacuteficas
En la deacutecada del 60 el uso de los computadores se amplioacute a los negocios y el propoacutesito maacutes extendido fue el
tratamiento de todo tipo de informacioacuten
En las tres uacuteltimas deacutecadas (70 a 90) continuoacute extendieacutendose hacia las medianas empresas en los 70 y hacia
varios millones de pequentildeas empresas y personas en la llamada revolucioacuten de las PC en los 80 y 90
La mayor parte de esos usuarios del computador no consideran de primer intereacutes a la computacioacuten como
medio de caacutelculo con nuacutemeros En realidad lo que maacutes se utiliza es el procesamiento de la informacioacuten en
otros campos como los negocios y la administracioacuten Sin embargo en muchas disciplinas cientiacuteficas el
caacutelculo con nuacutemeros permanece como el uso maacutes importante de los computadores
Ejemplos
Fiacutesicos resolucioacuten de complicadas ecuaciones en modelos tales como la estructura del universo o del aacutetomo
Meacutedicos que usan los computadores para disentildear mejores teacutecnicas
Meteoroacutelogos usan la computacioacuten numeacuterica para resolver ecuaciones en modelos que pronostican el clima
Ingenieros Aeronaacuteuticos Disentildeo de cohetes espaciales
En la Ciencia de la Computacioacuten la computacioacuten numeacuterica tiene mayor importancia por los requerimientos
de algoritmos confiables y raacutepidos para computacioacuten graacutefica roboacutetica etc
12 Nuacutemeros Reales Una clasificacioacuten de los nuacutemeros reales es R = Q U F y a su vez Q = Z UF donde R reales Q racionales I
irracionales Z enteros F fraccionarios
Los nuacutemeros reales que no pueden representarse como enteros o fracciones se llaman irracionales
Ejemplo
πse define como la razoacuten entre la longitud de una circunferencia y su diaacutemetro
e se define como el liacutemite de (1+1n) cuando n rarrinfin un liacutemite de una sucesioacuten de nuacutemeros racionales
2946427
13 Sistemas de representacioacuten de nuacutemeros reales
Histoacutericamente los Romanos usaban distintos siacutembolos para representar las potencias de 10 X C M etc lo
que es engorroso para grandes nuacutemeros El uso del cero como siacutembolo fue usado en la India y luego
introducido en Europa por medio de los Arabes hace aproximadamente 1000 antildeos
El uacutenico sistema que usaba el cero (sin influencia de los Indios) fue el de los Mayas Este sistema posicional
teniacutea como base 20
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuestro sistema actual se llama decimal o de base 10 pues requiere 10 siacutembolos 0123456789 El
sistema se llama posicional pues el significado del nuacutemero depende de la posicioacuten de los siacutembolos
Los Babilonios usaban el sistema de base 60 cuyas influencias llegan a nuestro tiempo con el sistema de
medicioacuten del tiempo (1 hora = 60 min 1 min= 60 seg)
El sistema de base igual a 2 que no es tan natural para los humanos es el maacutes conveniente para los
computadores Todo nuacutemero n estaacute formado por una sucesioacuten (cadena o string) de ceros y unos
Todo nuacutemero real posee una representacioacuten decimal y otra binaria y por lo tanto una representacioacuten en toda
base B(n tal que n gt1
14 Conversiones entre representaciones de sistemas maacutes
usuales
Caso de nuacutemeros enteros x (10 = 61(10 = 6101 + 1100
Nota La mayor potencia de 10 en el segundo miembro es igual al nuacutemero de cifras del nuacutemero x (10
menos 1
Caso de nuacutemeros fraccionarios
Los nuacutemeros irracionales siempre tienen una representacioacuten infinita no perioacutedica
radic2 = (1414213 )(10
Reglas Praacutecticas
1) Para convertir un nuacutemero x escrito en base B = 2 a base B = 10 se aplica el algoritmo de descomposicioacuten
del nuacutemero seguacuten las potencias de 2
Ej x = 100111(2= 123
022
021
12012
-1 12
-2 = 8+1+12+14 = 975
2) Para convertir un nuacutemero x de base B = 10 a base B = 2 se determinan los coeficientes a0a1an de la
base Brsquo ceros (0) o unos (1) de modo tal que
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Se divide x por 2 lo que da a 0 como resto y un cociente que dividido por 2 da a1 como resto y asiacute siguiendo
hasta que el uacuteltimo cociente (es menor que 2) da como resto an
3) Conversioacuten de Binario a Octal
Se comienza agrupando las cifras binarias de tres en tres de derecha a izquierda luego se escribe el
equivalente en base 8 en cada grupo
Si se aplica el desarrollo polinoacutemico a partir del coeficiente de 8n-1 (n = nuacutemero de grupos) trabajando en
base 10 se obtiene la expresioacuten decimal del nuacutemero binario dado
4) Conversioacuten de Binario a Hexadecimal
Para pasar un nuacutemero escrito en base 2 a base 16 se agrupan las cifras binarias en grupos de 4 desde la
derecha a izquierda y luego se sustituye en cada grupo su equivalente por la cifra hexadecimal
correspondiente
Las relaciones entre grupos de cifras binarias y los sistemas de bases 2810 y 16 siendo sus cifras
B(2 = 01 B(8 =017 B(16 = 019ABCDEF B10 = 019 se muestran en el sig cuadro
Decimal Binario Octal Hexadecimal Decimal Binario Octal Hexadecimal
1 1 1 1 2 10 2 2
3 11 3 3 4 100 4 4
5 101 5 5 6 110 6 6
7 111 7 7 8 1000 10 8
9 1001 11 9 10 1010 12 A
11 1011 13 B 12 1100 14 C
13 1101 15 D 14 1110 16 E
15 1111 17 F 16 10000 20 10
17 10001 21 11 18 10010 22 12
19 10011 23 13 20 10100 24 14
21 10101 25 15 22 10110 26 16
23 10111 27 17 24 11000 30 18
25 11001 31 19 26 11010 32 1A
27 11011 33 1B 28 11100 34 1C
29 11101 35 1D 30 11110 36 1E
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
15 Representacioacuten de Nuacutemeros Racionales Para la representacioacuten de los nuacutemeros Racionales existen dos meacutetodos muy conocidos como el del punto
fijo y la representacioacuten en punto flotante
1) Punto Fijo
El sistema usa palabras divididas en 3 campos
Signo Parte del nuacutemero precedente al punto binario Parte posterior al pto
Binario Desventajas soacutelo se puede representar una pequentildea cantidad de nuacutemeros En nuestro caso la palabra
de 32 se divide en campos de 1 15 y 16 bits respectivamente y los nuacutemeros estaacuten en el rango
Nota raramente usada hoy en aplicaciones cientiacuteficas
2) Sistema de nuacutemeros de punto flotante
bull Basado en la notacioacuten cientiacutefica
bull Capaz de representar nuacutemeros muy grandes y muy pequentildeos sin incrementar el nuacutemero de bits
bull Capaz de representar nuacutemeros con componentes enteros y fraccionarios
bull Nuacutemero de punto flotante = nuacutemero real
16 Definicioacuten de Nuacutemero en Punto Flotante Consta de dos partes y un signo
1 Mantisa La magnitud del nuacutemero
2 Exponente El nuacutemero de lugares que se va a mover el punto
3 Signo Positivo o negativo
Ejemplo decimal
bull Nuacutemero decimal 241506800
bull Mantisa = 2415068
bull Exponente = 9
02415068 x 10 ^ 9
Para los nuacutemeros de punto flotante binarios el formato se define por el standard ANSI
IEEE 754-1985 de tres formas
bull Precisioacuten sencilla - 32 bits
bull Precisioacuten doble - 64 bits
bull Precisioacuten extendida - 80 bits
bull Se trabaja con nuacutemeros normalizados
Decimos que un nuacutemero binario estaacute normalizado si el diacutegito a la izquierda del punto
es igual a 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Precisioacuten Sencilla
bull En la mantisa se entiende que el punto binario estaacute a la izquierda de los 23 bits De
hecho hay 24 bits porque en cualquier nuacutemero binario el bit maacutes significativo
siempre es 1 Por lo tanto se entiende que esta ahiacute aunque no ocupe una posicioacuten
bull Los 8 bits de exponente representan un exponente en exceso que se obtiene
antildeadiendo 127 al exponente real El propoacutesito es permitir nuacutemeros muy grandes o
muy pequentildeos sin requerir un bit de signo aparte para el exponente Esto permite un
rango de exponentes de -126 a +128
Ejemplo
Representar 1011010010001
1011010010001 = 1011010010001 x 2^12
Asumiendo que es un nuacutemero positivo
Bit de signo = 0
Exponente 12 + 127 = 139 = 10001011
Mantisa Parte fraccionaria 011010010001 a 23 bits (el 1 a la izq del punto se omite
porque siempre estaacute presente)
Punto flotante a decimal Ejemplo
Utilizar la foacutermula rarr
El bit de signo es 1 El exponente en exceso es 10010001 = 145
Aplicando la foacutermula obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
rarr - 407680
Ejemplo Convertir el nuacutemero decimal 3248 x 10 ^ 4 a un nuacutemero binario de punto flotante
precisioacuten sencilla
Convertir de decimal a binario 3248 x 10 ^ 4 = 32480 = 111111011100000 =
111111011100000 x 2 ^ 14
Mantisa (23 bits) = 11111011100000000000000
Exponente en exceso = 14 + 127 = 141 = 10001101
Resultado -----------
Ejemplos 2 a) Convertir 0510 a binario y hallar su representacioacuten en IEEE precisioacuten simple 050
(050-0) 2 = 1 d0=0
(100-1) 2 = 0 d1=1
05010 = 012 = 10 x 2-1
exponente en exceso= -1 + 127 = 12610 = 0111 11102
0 01111110 00000000000000000000000
b) Convertir 37510 a binario y hallar su representacioacuten en IEEE precisioacuten simple 375
(375-3) 2 = 150 d0=3
(150-1) 2 = 100 d1=1
(100-1) 2 = 000 d2=1
37510 = 11112 = 1111 x 21
exponente en exceso= 1 + 127 = 12810 = 1000 00002
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejercicio
Convierta los siguientes valores decimales en valores binarios
a) 123 _________________
b) 202 _________________
c) 67 _________________
d) 7 _________________
e) 252 _________________
f) 91 _________________
Convierta los siguientes valores binarios en valores decimales
a 1110 _______________________________________________
b 100110_____________________________________________
c 11111111____________________________________________
d 11010011___________________________________________
e 01000001 __________________________________________
f 11001110 ___________________________________________
g 01110101___________________________________________
h 10001111 ___________________________________________
bull Determine el valor binario y decimal del siguiente nuacutemero binario en punto flotante
0 10011000 10000100010100110000000
bull Mencione las partes de un nuacutemero binario en punto flotante
bull iquestCuaacutentos bits tiene en total un nuacutemero binario en punto flotante de precisioacuten sencilla doble y
extendida
Convertir los siguientes nuacutemeros a punto flotante binario
-175610
157510
562510
10 x 10-1
10
575251010
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Resumen Los meacutetodos numeacutericos nos sirven para resolver problemas que no puedan manejarse con los
meacutetodos analiacuteticos tradicionales o no sea sencillo aplicarlos Estos meacutetodos proporcionan una
sucesioacuten de valores que se aproxima a la solucioacuten del problema
Al resolver un problema siempre tendremos presente errores El error de redondeo el error inherente
y el error de truncamiento
El error de redondeo es praacutecticamente inevitable y puede invalidar por completo la solucioacuten de un
problema Puede minimizarse su efecto ya sea reduciendo de alguna manera eacutel numero de caacutelculos
a realizar oacute reformulando la solucioacuten de un problema de tal forma que se evite las operaciones
aritmeacuteticas que ocasionan mas error
La suposicioacuten comuacuten de que trabajamos con nuacutemeros reales al realizar caacutelculos no es cierta Puede
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
acarrearnos serias discrepancias entre valores teoacutericos y valores calculados
La precisioacuten y la exactitud no son sinoacutenimas Una nos indica que tan confiable es un valor y la otra
que tan cerca estamos de el
1 Error absoluto El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una
aproximacioacuten a este valor Va
e = Vr ndash Va
2 Error relativo El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr
(siacute )
119890119903 =119890
119907119903=
119907119903minus119907119886
119907119903
3 Error porcentual El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por
ciento ()
Tambieacuten es usual emplear el valor absoluto en los paraacutemetros anteriores en cuyo caso se denominan
respectivamente error absoluto error relativo absoluto y error porcentual absoluto
4 Errores de redondeo
Los errores de redondeo se originan al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico
requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones
aritmeacuteticas como los productos y los cocientes teniendo que retener en cada operacioacuten el nuacutemero de
cifras que permita el instrumento de caacutelculo que se este utilizando Por ejemplo al calcular el valor
de tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3 que maneje nuestro
instrumento de calculo
Existen dos tipos de errores de redondeo
Error de redondeo inferior se desprecian los diacutegitos que no se pueden conservar dentro de la
memoria correspondiente
Error de redondeo superior este caso tiene dos alternativas seguacuten el signo del nuacutemero en
particular
- par nuacutemeros positivos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten de
memoria incrementa en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o igual a
5
- para nuacutemeros negativos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten
de la memoria se reduce en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o
igual a 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
5 Error numeacuterico total
El error numeacuterico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento
introducidos en el caacutelculo
Mientras maacutes caacutelculos se tengan que realizar para obtener un resultado el error de redondeo se iraacute
incrementando Pero por otro lado el error de truncamiento se puede minimizar al incluir maacutes
teacuterminos en la ecuacioacuten disminuir el paso o proseguir la iteracioacuten (o sea mayor nuacutemero de caacutelculos
y seguramente mayor error de redondeo)
6 Errores de equivocacioacuten
Son los errores por negligencia o equivocacioacuten Las computadoras pueden dar nuacutemeros erroacuteneos por
su funcionamiento Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los
hombres
Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesioacuten de
meacutetodos y el disentildeo de la solucioacuten del problema
Los errores humanos por negligencia son praacutecticamente inevitables pero se pueden minimizar
7 Cifras Significativas
El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de
un valor numeacuterico El nuacutemero de cifras significativas es el nuacutemero de diacutegitos que se puede usar con
plena confianza Por ejemplo podemos calcular un nuacutemero irracional con varias cifras pero de ellas
no todas sobre todo las uacuteltimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas Por otro
lado los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto
decimal Por ejemplo los siguientes nuacutemeros tienen todos 4 cifras significativas 000001985
00001985 0001985 1985 19851 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa
es comuacuten emplear la notacioacuten cientiacutefica
8 Precisioacuten y exactitud
Los errores asociados con los caacutelculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisioacuten
y exactitud La mayoriacutea de la gente piensa que estos teacuterminos son sinoacutenimos pero no es asiacute La
precisioacuten se refiere al nuacutemero de cifras significativas que representan una cantidad La exactitud se
refiere al grado de aproximacioacuten que se tiene de un nuacutemero o de una medida al valor verdadero que
se supone representa es decir que tan cerca estamos del valor buscado
9 Tipos de redondeo
Al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico requiere debemos de redondear Para
redondear se emplea usualmente
Redondeo truncado
Redondeo simeacutetrico
10 Redondeo truncado
El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operacioacuten al nuacutemero de cifras
significativas que se esteacuten utilizando Por ejemplo siacute redondeamos a 4 cifras significativas
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
tenemos 07777
11 Redondeo simeacutetrico
El redondeo simeacutetrico consiste en aumentar en uno la uacuteltima cifra retenida siacute la primera cifra
descartada esta entre 5 y 9 o dejarla igual siacute la primera cifra descartada esta entre 0 y 4 Por ejemplo
siacute redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 07778
Por ejemplo En la praacutectica puede no ser asiacute Siacute Realizamos la suma empleando
uacutenicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo Se obtiene
03333+06666=09999 (Redondeo truncado)
03333+06667=1000 (Redondeo simeacutetrico)
USO DE MATLAB EN METODOS NUMERICOS
1 Vectores y Funciones En esta primera Praacutectica aprenderemos a utilizar las oacuterdenes baacutesicas de MATLAB para trabajar con
escalares vectores y matrices evaluar funciones de una y dos variables y representarlas
graacuteficamente En praacutecticas posteriores usaremos habitualmente MATLAB para efectuar los caacutelculos
MATLAB (MATrix LABoratory) es un programa orientado al caacutelculo con matrices al que se
reducen muchos de los algoritmos que resuelven problemas de Matemaacutetica Aplicada e Ingenieriacutea
MATLAB ofrece un entorno interactivo sencillo mediante una ventana (que llamaremos ventana de
comandos) en la que podemos introducir ordenes en modo texto y en la que aparecen los resultados
Los graacuteficos se muestran en ventanas independientes Cada ventana dispone de una barra de menuacutes
que controla su funcionalidad
Aprenderemos a asignar borrar guardar y recuperar variables utilizar las funciones incorporadas y
maacutes adelante a definir funciones nuevas
En MATLAB todas las instrucciones tienen que estar escritas en minuacutesculas de esa forma nos
evitaremos errores de ejecucioacuten
MATLAB opera directamente con nuacutemeros complejos y con nuacutemeros reales como caso
particular
Lo que distingue a MATLAB de otros sistemas de caacutelculo es su facilidad para trabajar con vectores
y matrices Las operaciones ordinarias suma producto potencia operan por defecto sobre matrices
sin maacutes restriccioacuten que la compatibilidad de tamantildeos en cada caso
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
11 Comandos Baacutesicos 111 Help Dir Pwd
Help nos da una lista de temas sobre los que hay informacioacuten de ayuda
Helpwin abre una ventana de ayuda que es uacutetil para consultar informacioacuten sobre oacuterdenes de
MATLAB sin interferir con la ventana principal help tema explica concisamente el tema elegido y
antildeade informacioacuten sobre temas relacionados
Ejemplo 1
La instruccioacuten clc borra la ventana de comandos esa informacioacuten la obtendraacutes al ejecutar help clc
12 Variables En MATLAB las variables se asignan de modo natural Basta escribir un nombre de variable a
continuacioacuten el signo igual y luego el valor que toma esa variable Para aceptar como siempre hay
que pulsar [Intro] Escribiendo soacutelo el nombre de una variable previamente asignada MATLAB
devuelve su valor
Los signos + minus y ^ denotan las operaciones aritmeacuteticas de suma resta multiplicacioacuten divisioacuten
y elevacioacuten a una potencia (de modo que resultan vaacutelidas para matrices como veremos maacutes
adelante) Si el resultado de una operacioacuten no es asignado a ninguna variable MATLAB lo asigna a
la variable del sistema ans
Al poner punto y coma no se muestra el resultado por pantalla Naturalmente la asignacioacuten de la
variable no resulta afectada
121 Who Whos
La orden who lista las variables definidas y con la orden whos obtenemos ademaacutes el tipo de variable
y su tamantildeo
Ejemplo 3
a = 3 b = 4 a
a + b
c = ans
who
whos
122 Variables especiales format
MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales como i o j que designan ambas a
la unidad imaginaria (i2 = j2 = ndash1) o pi para el nuacutemero π El nuacutemero e base de los logaritmos
neperianos no estaacute preasignado pero se obtiene faacutecilmente como exp(1)
La precisioacuten relativa en operaciones de coma flotante se llama eps El resultado de 10 en MATLAB
es Inf y el de 00 NaN 10 Infinito
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
00 Indeterminado
Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra
asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros
complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz
Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en
general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con
cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format
format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles
format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros
pequentildeos Explora otras opciones con help format
piformat long pi
format rat pi
123 Cadenas De Caracteres
Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para
introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o
funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero
y 0 si es falso)
Ejemplo 4
a=Esto es una cadena
b=Esto no
c=3
ischar(a)
ischar(c)
13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores
Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio
Puntos de un espacio n-dimensional
Magnitudes fiacutesicas
Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)
Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las
componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila
Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna
Ejemplo 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
1 ERRORES Y ARITMETICA DE PUNTO FLOTANTE
11 Introduccioacuten a la Computacioacuten Numeacuterica
El primer computador electroacutenico en base a la tecnologiacutea de tubos al vaciacuteo fue el ENIAC de la Universidad
de Pensilvania en la deacutecada del 40 Durante la deacutecada del 50 el primer uso de los computadores fue para las
aplicaciones cientiacuteficas
En la deacutecada del 60 el uso de los computadores se amplioacute a los negocios y el propoacutesito maacutes extendido fue el
tratamiento de todo tipo de informacioacuten
En las tres uacuteltimas deacutecadas (70 a 90) continuoacute extendieacutendose hacia las medianas empresas en los 70 y hacia
varios millones de pequentildeas empresas y personas en la llamada revolucioacuten de las PC en los 80 y 90
La mayor parte de esos usuarios del computador no consideran de primer intereacutes a la computacioacuten como
medio de caacutelculo con nuacutemeros En realidad lo que maacutes se utiliza es el procesamiento de la informacioacuten en
otros campos como los negocios y la administracioacuten Sin embargo en muchas disciplinas cientiacuteficas el
caacutelculo con nuacutemeros permanece como el uso maacutes importante de los computadores
Ejemplos
Fiacutesicos resolucioacuten de complicadas ecuaciones en modelos tales como la estructura del universo o del aacutetomo
Meacutedicos que usan los computadores para disentildear mejores teacutecnicas
Meteoroacutelogos usan la computacioacuten numeacuterica para resolver ecuaciones en modelos que pronostican el clima
Ingenieros Aeronaacuteuticos Disentildeo de cohetes espaciales
En la Ciencia de la Computacioacuten la computacioacuten numeacuterica tiene mayor importancia por los requerimientos
de algoritmos confiables y raacutepidos para computacioacuten graacutefica roboacutetica etc
12 Nuacutemeros Reales Una clasificacioacuten de los nuacutemeros reales es R = Q U F y a su vez Q = Z UF donde R reales Q racionales I
irracionales Z enteros F fraccionarios
Los nuacutemeros reales que no pueden representarse como enteros o fracciones se llaman irracionales
Ejemplo
πse define como la razoacuten entre la longitud de una circunferencia y su diaacutemetro
e se define como el liacutemite de (1+1n) cuando n rarrinfin un liacutemite de una sucesioacuten de nuacutemeros racionales
2946427
13 Sistemas de representacioacuten de nuacutemeros reales
Histoacutericamente los Romanos usaban distintos siacutembolos para representar las potencias de 10 X C M etc lo
que es engorroso para grandes nuacutemeros El uso del cero como siacutembolo fue usado en la India y luego
introducido en Europa por medio de los Arabes hace aproximadamente 1000 antildeos
El uacutenico sistema que usaba el cero (sin influencia de los Indios) fue el de los Mayas Este sistema posicional
teniacutea como base 20
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuestro sistema actual se llama decimal o de base 10 pues requiere 10 siacutembolos 0123456789 El
sistema se llama posicional pues el significado del nuacutemero depende de la posicioacuten de los siacutembolos
Los Babilonios usaban el sistema de base 60 cuyas influencias llegan a nuestro tiempo con el sistema de
medicioacuten del tiempo (1 hora = 60 min 1 min= 60 seg)
El sistema de base igual a 2 que no es tan natural para los humanos es el maacutes conveniente para los
computadores Todo nuacutemero n estaacute formado por una sucesioacuten (cadena o string) de ceros y unos
Todo nuacutemero real posee una representacioacuten decimal y otra binaria y por lo tanto una representacioacuten en toda
base B(n tal que n gt1
14 Conversiones entre representaciones de sistemas maacutes
usuales
Caso de nuacutemeros enteros x (10 = 61(10 = 6101 + 1100
Nota La mayor potencia de 10 en el segundo miembro es igual al nuacutemero de cifras del nuacutemero x (10
menos 1
Caso de nuacutemeros fraccionarios
Los nuacutemeros irracionales siempre tienen una representacioacuten infinita no perioacutedica
radic2 = (1414213 )(10
Reglas Praacutecticas
1) Para convertir un nuacutemero x escrito en base B = 2 a base B = 10 se aplica el algoritmo de descomposicioacuten
del nuacutemero seguacuten las potencias de 2
Ej x = 100111(2= 123
022
021
12012
-1 12
-2 = 8+1+12+14 = 975
2) Para convertir un nuacutemero x de base B = 10 a base B = 2 se determinan los coeficientes a0a1an de la
base Brsquo ceros (0) o unos (1) de modo tal que
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Se divide x por 2 lo que da a 0 como resto y un cociente que dividido por 2 da a1 como resto y asiacute siguiendo
hasta que el uacuteltimo cociente (es menor que 2) da como resto an
3) Conversioacuten de Binario a Octal
Se comienza agrupando las cifras binarias de tres en tres de derecha a izquierda luego se escribe el
equivalente en base 8 en cada grupo
Si se aplica el desarrollo polinoacutemico a partir del coeficiente de 8n-1 (n = nuacutemero de grupos) trabajando en
base 10 se obtiene la expresioacuten decimal del nuacutemero binario dado
4) Conversioacuten de Binario a Hexadecimal
Para pasar un nuacutemero escrito en base 2 a base 16 se agrupan las cifras binarias en grupos de 4 desde la
derecha a izquierda y luego se sustituye en cada grupo su equivalente por la cifra hexadecimal
correspondiente
Las relaciones entre grupos de cifras binarias y los sistemas de bases 2810 y 16 siendo sus cifras
B(2 = 01 B(8 =017 B(16 = 019ABCDEF B10 = 019 se muestran en el sig cuadro
Decimal Binario Octal Hexadecimal Decimal Binario Octal Hexadecimal
1 1 1 1 2 10 2 2
3 11 3 3 4 100 4 4
5 101 5 5 6 110 6 6
7 111 7 7 8 1000 10 8
9 1001 11 9 10 1010 12 A
11 1011 13 B 12 1100 14 C
13 1101 15 D 14 1110 16 E
15 1111 17 F 16 10000 20 10
17 10001 21 11 18 10010 22 12
19 10011 23 13 20 10100 24 14
21 10101 25 15 22 10110 26 16
23 10111 27 17 24 11000 30 18
25 11001 31 19 26 11010 32 1A
27 11011 33 1B 28 11100 34 1C
29 11101 35 1D 30 11110 36 1E
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
15 Representacioacuten de Nuacutemeros Racionales Para la representacioacuten de los nuacutemeros Racionales existen dos meacutetodos muy conocidos como el del punto
fijo y la representacioacuten en punto flotante
1) Punto Fijo
El sistema usa palabras divididas en 3 campos
Signo Parte del nuacutemero precedente al punto binario Parte posterior al pto
Binario Desventajas soacutelo se puede representar una pequentildea cantidad de nuacutemeros En nuestro caso la palabra
de 32 se divide en campos de 1 15 y 16 bits respectivamente y los nuacutemeros estaacuten en el rango
Nota raramente usada hoy en aplicaciones cientiacuteficas
2) Sistema de nuacutemeros de punto flotante
bull Basado en la notacioacuten cientiacutefica
bull Capaz de representar nuacutemeros muy grandes y muy pequentildeos sin incrementar el nuacutemero de bits
bull Capaz de representar nuacutemeros con componentes enteros y fraccionarios
bull Nuacutemero de punto flotante = nuacutemero real
16 Definicioacuten de Nuacutemero en Punto Flotante Consta de dos partes y un signo
1 Mantisa La magnitud del nuacutemero
2 Exponente El nuacutemero de lugares que se va a mover el punto
3 Signo Positivo o negativo
Ejemplo decimal
bull Nuacutemero decimal 241506800
bull Mantisa = 2415068
bull Exponente = 9
02415068 x 10 ^ 9
Para los nuacutemeros de punto flotante binarios el formato se define por el standard ANSI
IEEE 754-1985 de tres formas
bull Precisioacuten sencilla - 32 bits
bull Precisioacuten doble - 64 bits
bull Precisioacuten extendida - 80 bits
bull Se trabaja con nuacutemeros normalizados
Decimos que un nuacutemero binario estaacute normalizado si el diacutegito a la izquierda del punto
es igual a 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Precisioacuten Sencilla
bull En la mantisa se entiende que el punto binario estaacute a la izquierda de los 23 bits De
hecho hay 24 bits porque en cualquier nuacutemero binario el bit maacutes significativo
siempre es 1 Por lo tanto se entiende que esta ahiacute aunque no ocupe una posicioacuten
bull Los 8 bits de exponente representan un exponente en exceso que se obtiene
antildeadiendo 127 al exponente real El propoacutesito es permitir nuacutemeros muy grandes o
muy pequentildeos sin requerir un bit de signo aparte para el exponente Esto permite un
rango de exponentes de -126 a +128
Ejemplo
Representar 1011010010001
1011010010001 = 1011010010001 x 2^12
Asumiendo que es un nuacutemero positivo
Bit de signo = 0
Exponente 12 + 127 = 139 = 10001011
Mantisa Parte fraccionaria 011010010001 a 23 bits (el 1 a la izq del punto se omite
porque siempre estaacute presente)
Punto flotante a decimal Ejemplo
Utilizar la foacutermula rarr
El bit de signo es 1 El exponente en exceso es 10010001 = 145
Aplicando la foacutermula obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
rarr - 407680
Ejemplo Convertir el nuacutemero decimal 3248 x 10 ^ 4 a un nuacutemero binario de punto flotante
precisioacuten sencilla
Convertir de decimal a binario 3248 x 10 ^ 4 = 32480 = 111111011100000 =
111111011100000 x 2 ^ 14
Mantisa (23 bits) = 11111011100000000000000
Exponente en exceso = 14 + 127 = 141 = 10001101
Resultado -----------
Ejemplos 2 a) Convertir 0510 a binario y hallar su representacioacuten en IEEE precisioacuten simple 050
(050-0) 2 = 1 d0=0
(100-1) 2 = 0 d1=1
05010 = 012 = 10 x 2-1
exponente en exceso= -1 + 127 = 12610 = 0111 11102
0 01111110 00000000000000000000000
b) Convertir 37510 a binario y hallar su representacioacuten en IEEE precisioacuten simple 375
(375-3) 2 = 150 d0=3
(150-1) 2 = 100 d1=1
(100-1) 2 = 000 d2=1
37510 = 11112 = 1111 x 21
exponente en exceso= 1 + 127 = 12810 = 1000 00002
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejercicio
Convierta los siguientes valores decimales en valores binarios
a) 123 _________________
b) 202 _________________
c) 67 _________________
d) 7 _________________
e) 252 _________________
f) 91 _________________
Convierta los siguientes valores binarios en valores decimales
a 1110 _______________________________________________
b 100110_____________________________________________
c 11111111____________________________________________
d 11010011___________________________________________
e 01000001 __________________________________________
f 11001110 ___________________________________________
g 01110101___________________________________________
h 10001111 ___________________________________________
bull Determine el valor binario y decimal del siguiente nuacutemero binario en punto flotante
0 10011000 10000100010100110000000
bull Mencione las partes de un nuacutemero binario en punto flotante
bull iquestCuaacutentos bits tiene en total un nuacutemero binario en punto flotante de precisioacuten sencilla doble y
extendida
Convertir los siguientes nuacutemeros a punto flotante binario
-175610
157510
562510
10 x 10-1
10
575251010
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Resumen Los meacutetodos numeacutericos nos sirven para resolver problemas que no puedan manejarse con los
meacutetodos analiacuteticos tradicionales o no sea sencillo aplicarlos Estos meacutetodos proporcionan una
sucesioacuten de valores que se aproxima a la solucioacuten del problema
Al resolver un problema siempre tendremos presente errores El error de redondeo el error inherente
y el error de truncamiento
El error de redondeo es praacutecticamente inevitable y puede invalidar por completo la solucioacuten de un
problema Puede minimizarse su efecto ya sea reduciendo de alguna manera eacutel numero de caacutelculos
a realizar oacute reformulando la solucioacuten de un problema de tal forma que se evite las operaciones
aritmeacuteticas que ocasionan mas error
La suposicioacuten comuacuten de que trabajamos con nuacutemeros reales al realizar caacutelculos no es cierta Puede
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
acarrearnos serias discrepancias entre valores teoacutericos y valores calculados
La precisioacuten y la exactitud no son sinoacutenimas Una nos indica que tan confiable es un valor y la otra
que tan cerca estamos de el
1 Error absoluto El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una
aproximacioacuten a este valor Va
e = Vr ndash Va
2 Error relativo El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr
(siacute )
119890119903 =119890
119907119903=
119907119903minus119907119886
119907119903
3 Error porcentual El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por
ciento ()
Tambieacuten es usual emplear el valor absoluto en los paraacutemetros anteriores en cuyo caso se denominan
respectivamente error absoluto error relativo absoluto y error porcentual absoluto
4 Errores de redondeo
Los errores de redondeo se originan al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico
requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones
aritmeacuteticas como los productos y los cocientes teniendo que retener en cada operacioacuten el nuacutemero de
cifras que permita el instrumento de caacutelculo que se este utilizando Por ejemplo al calcular el valor
de tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3 que maneje nuestro
instrumento de calculo
Existen dos tipos de errores de redondeo
Error de redondeo inferior se desprecian los diacutegitos que no se pueden conservar dentro de la
memoria correspondiente
Error de redondeo superior este caso tiene dos alternativas seguacuten el signo del nuacutemero en
particular
- par nuacutemeros positivos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten de
memoria incrementa en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o igual a
5
- para nuacutemeros negativos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten
de la memoria se reduce en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o
igual a 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
5 Error numeacuterico total
El error numeacuterico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento
introducidos en el caacutelculo
Mientras maacutes caacutelculos se tengan que realizar para obtener un resultado el error de redondeo se iraacute
incrementando Pero por otro lado el error de truncamiento se puede minimizar al incluir maacutes
teacuterminos en la ecuacioacuten disminuir el paso o proseguir la iteracioacuten (o sea mayor nuacutemero de caacutelculos
y seguramente mayor error de redondeo)
6 Errores de equivocacioacuten
Son los errores por negligencia o equivocacioacuten Las computadoras pueden dar nuacutemeros erroacuteneos por
su funcionamiento Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los
hombres
Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesioacuten de
meacutetodos y el disentildeo de la solucioacuten del problema
Los errores humanos por negligencia son praacutecticamente inevitables pero se pueden minimizar
7 Cifras Significativas
El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de
un valor numeacuterico El nuacutemero de cifras significativas es el nuacutemero de diacutegitos que se puede usar con
plena confianza Por ejemplo podemos calcular un nuacutemero irracional con varias cifras pero de ellas
no todas sobre todo las uacuteltimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas Por otro
lado los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto
decimal Por ejemplo los siguientes nuacutemeros tienen todos 4 cifras significativas 000001985
00001985 0001985 1985 19851 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa
es comuacuten emplear la notacioacuten cientiacutefica
8 Precisioacuten y exactitud
Los errores asociados con los caacutelculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisioacuten
y exactitud La mayoriacutea de la gente piensa que estos teacuterminos son sinoacutenimos pero no es asiacute La
precisioacuten se refiere al nuacutemero de cifras significativas que representan una cantidad La exactitud se
refiere al grado de aproximacioacuten que se tiene de un nuacutemero o de una medida al valor verdadero que
se supone representa es decir que tan cerca estamos del valor buscado
9 Tipos de redondeo
Al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico requiere debemos de redondear Para
redondear se emplea usualmente
Redondeo truncado
Redondeo simeacutetrico
10 Redondeo truncado
El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operacioacuten al nuacutemero de cifras
significativas que se esteacuten utilizando Por ejemplo siacute redondeamos a 4 cifras significativas
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
tenemos 07777
11 Redondeo simeacutetrico
El redondeo simeacutetrico consiste en aumentar en uno la uacuteltima cifra retenida siacute la primera cifra
descartada esta entre 5 y 9 o dejarla igual siacute la primera cifra descartada esta entre 0 y 4 Por ejemplo
siacute redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 07778
Por ejemplo En la praacutectica puede no ser asiacute Siacute Realizamos la suma empleando
uacutenicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo Se obtiene
03333+06666=09999 (Redondeo truncado)
03333+06667=1000 (Redondeo simeacutetrico)
USO DE MATLAB EN METODOS NUMERICOS
1 Vectores y Funciones En esta primera Praacutectica aprenderemos a utilizar las oacuterdenes baacutesicas de MATLAB para trabajar con
escalares vectores y matrices evaluar funciones de una y dos variables y representarlas
graacuteficamente En praacutecticas posteriores usaremos habitualmente MATLAB para efectuar los caacutelculos
MATLAB (MATrix LABoratory) es un programa orientado al caacutelculo con matrices al que se
reducen muchos de los algoritmos que resuelven problemas de Matemaacutetica Aplicada e Ingenieriacutea
MATLAB ofrece un entorno interactivo sencillo mediante una ventana (que llamaremos ventana de
comandos) en la que podemos introducir ordenes en modo texto y en la que aparecen los resultados
Los graacuteficos se muestran en ventanas independientes Cada ventana dispone de una barra de menuacutes
que controla su funcionalidad
Aprenderemos a asignar borrar guardar y recuperar variables utilizar las funciones incorporadas y
maacutes adelante a definir funciones nuevas
En MATLAB todas las instrucciones tienen que estar escritas en minuacutesculas de esa forma nos
evitaremos errores de ejecucioacuten
MATLAB opera directamente con nuacutemeros complejos y con nuacutemeros reales como caso
particular
Lo que distingue a MATLAB de otros sistemas de caacutelculo es su facilidad para trabajar con vectores
y matrices Las operaciones ordinarias suma producto potencia operan por defecto sobre matrices
sin maacutes restriccioacuten que la compatibilidad de tamantildeos en cada caso
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
11 Comandos Baacutesicos 111 Help Dir Pwd
Help nos da una lista de temas sobre los que hay informacioacuten de ayuda
Helpwin abre una ventana de ayuda que es uacutetil para consultar informacioacuten sobre oacuterdenes de
MATLAB sin interferir con la ventana principal help tema explica concisamente el tema elegido y
antildeade informacioacuten sobre temas relacionados
Ejemplo 1
La instruccioacuten clc borra la ventana de comandos esa informacioacuten la obtendraacutes al ejecutar help clc
12 Variables En MATLAB las variables se asignan de modo natural Basta escribir un nombre de variable a
continuacioacuten el signo igual y luego el valor que toma esa variable Para aceptar como siempre hay
que pulsar [Intro] Escribiendo soacutelo el nombre de una variable previamente asignada MATLAB
devuelve su valor
Los signos + minus y ^ denotan las operaciones aritmeacuteticas de suma resta multiplicacioacuten divisioacuten
y elevacioacuten a una potencia (de modo que resultan vaacutelidas para matrices como veremos maacutes
adelante) Si el resultado de una operacioacuten no es asignado a ninguna variable MATLAB lo asigna a
la variable del sistema ans
Al poner punto y coma no se muestra el resultado por pantalla Naturalmente la asignacioacuten de la
variable no resulta afectada
121 Who Whos
La orden who lista las variables definidas y con la orden whos obtenemos ademaacutes el tipo de variable
y su tamantildeo
Ejemplo 3
a = 3 b = 4 a
a + b
c = ans
who
whos
122 Variables especiales format
MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales como i o j que designan ambas a
la unidad imaginaria (i2 = j2 = ndash1) o pi para el nuacutemero π El nuacutemero e base de los logaritmos
neperianos no estaacute preasignado pero se obtiene faacutecilmente como exp(1)
La precisioacuten relativa en operaciones de coma flotante se llama eps El resultado de 10 en MATLAB
es Inf y el de 00 NaN 10 Infinito
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
00 Indeterminado
Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra
asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros
complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz
Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en
general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con
cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format
format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles
format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros
pequentildeos Explora otras opciones con help format
piformat long pi
format rat pi
123 Cadenas De Caracteres
Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para
introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o
funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero
y 0 si es falso)
Ejemplo 4
a=Esto es una cadena
b=Esto no
c=3
ischar(a)
ischar(c)
13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores
Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio
Puntos de un espacio n-dimensional
Magnitudes fiacutesicas
Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)
Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las
componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila
Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna
Ejemplo 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuestro sistema actual se llama decimal o de base 10 pues requiere 10 siacutembolos 0123456789 El
sistema se llama posicional pues el significado del nuacutemero depende de la posicioacuten de los siacutembolos
Los Babilonios usaban el sistema de base 60 cuyas influencias llegan a nuestro tiempo con el sistema de
medicioacuten del tiempo (1 hora = 60 min 1 min= 60 seg)
El sistema de base igual a 2 que no es tan natural para los humanos es el maacutes conveniente para los
computadores Todo nuacutemero n estaacute formado por una sucesioacuten (cadena o string) de ceros y unos
Todo nuacutemero real posee una representacioacuten decimal y otra binaria y por lo tanto una representacioacuten en toda
base B(n tal que n gt1
14 Conversiones entre representaciones de sistemas maacutes
usuales
Caso de nuacutemeros enteros x (10 = 61(10 = 6101 + 1100
Nota La mayor potencia de 10 en el segundo miembro es igual al nuacutemero de cifras del nuacutemero x (10
menos 1
Caso de nuacutemeros fraccionarios
Los nuacutemeros irracionales siempre tienen una representacioacuten infinita no perioacutedica
radic2 = (1414213 )(10
Reglas Praacutecticas
1) Para convertir un nuacutemero x escrito en base B = 2 a base B = 10 se aplica el algoritmo de descomposicioacuten
del nuacutemero seguacuten las potencias de 2
Ej x = 100111(2= 123
022
021
12012
-1 12
-2 = 8+1+12+14 = 975
2) Para convertir un nuacutemero x de base B = 10 a base B = 2 se determinan los coeficientes a0a1an de la
base Brsquo ceros (0) o unos (1) de modo tal que
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Se divide x por 2 lo que da a 0 como resto y un cociente que dividido por 2 da a1 como resto y asiacute siguiendo
hasta que el uacuteltimo cociente (es menor que 2) da como resto an
3) Conversioacuten de Binario a Octal
Se comienza agrupando las cifras binarias de tres en tres de derecha a izquierda luego se escribe el
equivalente en base 8 en cada grupo
Si se aplica el desarrollo polinoacutemico a partir del coeficiente de 8n-1 (n = nuacutemero de grupos) trabajando en
base 10 se obtiene la expresioacuten decimal del nuacutemero binario dado
4) Conversioacuten de Binario a Hexadecimal
Para pasar un nuacutemero escrito en base 2 a base 16 se agrupan las cifras binarias en grupos de 4 desde la
derecha a izquierda y luego se sustituye en cada grupo su equivalente por la cifra hexadecimal
correspondiente
Las relaciones entre grupos de cifras binarias y los sistemas de bases 2810 y 16 siendo sus cifras
B(2 = 01 B(8 =017 B(16 = 019ABCDEF B10 = 019 se muestran en el sig cuadro
Decimal Binario Octal Hexadecimal Decimal Binario Octal Hexadecimal
1 1 1 1 2 10 2 2
3 11 3 3 4 100 4 4
5 101 5 5 6 110 6 6
7 111 7 7 8 1000 10 8
9 1001 11 9 10 1010 12 A
11 1011 13 B 12 1100 14 C
13 1101 15 D 14 1110 16 E
15 1111 17 F 16 10000 20 10
17 10001 21 11 18 10010 22 12
19 10011 23 13 20 10100 24 14
21 10101 25 15 22 10110 26 16
23 10111 27 17 24 11000 30 18
25 11001 31 19 26 11010 32 1A
27 11011 33 1B 28 11100 34 1C
29 11101 35 1D 30 11110 36 1E
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
15 Representacioacuten de Nuacutemeros Racionales Para la representacioacuten de los nuacutemeros Racionales existen dos meacutetodos muy conocidos como el del punto
fijo y la representacioacuten en punto flotante
1) Punto Fijo
El sistema usa palabras divididas en 3 campos
Signo Parte del nuacutemero precedente al punto binario Parte posterior al pto
Binario Desventajas soacutelo se puede representar una pequentildea cantidad de nuacutemeros En nuestro caso la palabra
de 32 se divide en campos de 1 15 y 16 bits respectivamente y los nuacutemeros estaacuten en el rango
Nota raramente usada hoy en aplicaciones cientiacuteficas
2) Sistema de nuacutemeros de punto flotante
bull Basado en la notacioacuten cientiacutefica
bull Capaz de representar nuacutemeros muy grandes y muy pequentildeos sin incrementar el nuacutemero de bits
bull Capaz de representar nuacutemeros con componentes enteros y fraccionarios
bull Nuacutemero de punto flotante = nuacutemero real
16 Definicioacuten de Nuacutemero en Punto Flotante Consta de dos partes y un signo
1 Mantisa La magnitud del nuacutemero
2 Exponente El nuacutemero de lugares que se va a mover el punto
3 Signo Positivo o negativo
Ejemplo decimal
bull Nuacutemero decimal 241506800
bull Mantisa = 2415068
bull Exponente = 9
02415068 x 10 ^ 9
Para los nuacutemeros de punto flotante binarios el formato se define por el standard ANSI
IEEE 754-1985 de tres formas
bull Precisioacuten sencilla - 32 bits
bull Precisioacuten doble - 64 bits
bull Precisioacuten extendida - 80 bits
bull Se trabaja con nuacutemeros normalizados
Decimos que un nuacutemero binario estaacute normalizado si el diacutegito a la izquierda del punto
es igual a 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Precisioacuten Sencilla
bull En la mantisa se entiende que el punto binario estaacute a la izquierda de los 23 bits De
hecho hay 24 bits porque en cualquier nuacutemero binario el bit maacutes significativo
siempre es 1 Por lo tanto se entiende que esta ahiacute aunque no ocupe una posicioacuten
bull Los 8 bits de exponente representan un exponente en exceso que se obtiene
antildeadiendo 127 al exponente real El propoacutesito es permitir nuacutemeros muy grandes o
muy pequentildeos sin requerir un bit de signo aparte para el exponente Esto permite un
rango de exponentes de -126 a +128
Ejemplo
Representar 1011010010001
1011010010001 = 1011010010001 x 2^12
Asumiendo que es un nuacutemero positivo
Bit de signo = 0
Exponente 12 + 127 = 139 = 10001011
Mantisa Parte fraccionaria 011010010001 a 23 bits (el 1 a la izq del punto se omite
porque siempre estaacute presente)
Punto flotante a decimal Ejemplo
Utilizar la foacutermula rarr
El bit de signo es 1 El exponente en exceso es 10010001 = 145
Aplicando la foacutermula obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
rarr - 407680
Ejemplo Convertir el nuacutemero decimal 3248 x 10 ^ 4 a un nuacutemero binario de punto flotante
precisioacuten sencilla
Convertir de decimal a binario 3248 x 10 ^ 4 = 32480 = 111111011100000 =
111111011100000 x 2 ^ 14
Mantisa (23 bits) = 11111011100000000000000
Exponente en exceso = 14 + 127 = 141 = 10001101
Resultado -----------
Ejemplos 2 a) Convertir 0510 a binario y hallar su representacioacuten en IEEE precisioacuten simple 050
(050-0) 2 = 1 d0=0
(100-1) 2 = 0 d1=1
05010 = 012 = 10 x 2-1
exponente en exceso= -1 + 127 = 12610 = 0111 11102
0 01111110 00000000000000000000000
b) Convertir 37510 a binario y hallar su representacioacuten en IEEE precisioacuten simple 375
(375-3) 2 = 150 d0=3
(150-1) 2 = 100 d1=1
(100-1) 2 = 000 d2=1
37510 = 11112 = 1111 x 21
exponente en exceso= 1 + 127 = 12810 = 1000 00002
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejercicio
Convierta los siguientes valores decimales en valores binarios
a) 123 _________________
b) 202 _________________
c) 67 _________________
d) 7 _________________
e) 252 _________________
f) 91 _________________
Convierta los siguientes valores binarios en valores decimales
a 1110 _______________________________________________
b 100110_____________________________________________
c 11111111____________________________________________
d 11010011___________________________________________
e 01000001 __________________________________________
f 11001110 ___________________________________________
g 01110101___________________________________________
h 10001111 ___________________________________________
bull Determine el valor binario y decimal del siguiente nuacutemero binario en punto flotante
0 10011000 10000100010100110000000
bull Mencione las partes de un nuacutemero binario en punto flotante
bull iquestCuaacutentos bits tiene en total un nuacutemero binario en punto flotante de precisioacuten sencilla doble y
extendida
Convertir los siguientes nuacutemeros a punto flotante binario
-175610
157510
562510
10 x 10-1
10
575251010
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Resumen Los meacutetodos numeacutericos nos sirven para resolver problemas que no puedan manejarse con los
meacutetodos analiacuteticos tradicionales o no sea sencillo aplicarlos Estos meacutetodos proporcionan una
sucesioacuten de valores que se aproxima a la solucioacuten del problema
Al resolver un problema siempre tendremos presente errores El error de redondeo el error inherente
y el error de truncamiento
El error de redondeo es praacutecticamente inevitable y puede invalidar por completo la solucioacuten de un
problema Puede minimizarse su efecto ya sea reduciendo de alguna manera eacutel numero de caacutelculos
a realizar oacute reformulando la solucioacuten de un problema de tal forma que se evite las operaciones
aritmeacuteticas que ocasionan mas error
La suposicioacuten comuacuten de que trabajamos con nuacutemeros reales al realizar caacutelculos no es cierta Puede
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
acarrearnos serias discrepancias entre valores teoacutericos y valores calculados
La precisioacuten y la exactitud no son sinoacutenimas Una nos indica que tan confiable es un valor y la otra
que tan cerca estamos de el
1 Error absoluto El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una
aproximacioacuten a este valor Va
e = Vr ndash Va
2 Error relativo El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr
(siacute )
119890119903 =119890
119907119903=
119907119903minus119907119886
119907119903
3 Error porcentual El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por
ciento ()
Tambieacuten es usual emplear el valor absoluto en los paraacutemetros anteriores en cuyo caso se denominan
respectivamente error absoluto error relativo absoluto y error porcentual absoluto
4 Errores de redondeo
Los errores de redondeo se originan al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico
requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones
aritmeacuteticas como los productos y los cocientes teniendo que retener en cada operacioacuten el nuacutemero de
cifras que permita el instrumento de caacutelculo que se este utilizando Por ejemplo al calcular el valor
de tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3 que maneje nuestro
instrumento de calculo
Existen dos tipos de errores de redondeo
Error de redondeo inferior se desprecian los diacutegitos que no se pueden conservar dentro de la
memoria correspondiente
Error de redondeo superior este caso tiene dos alternativas seguacuten el signo del nuacutemero en
particular
- par nuacutemeros positivos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten de
memoria incrementa en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o igual a
5
- para nuacutemeros negativos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten
de la memoria se reduce en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o
igual a 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
5 Error numeacuterico total
El error numeacuterico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento
introducidos en el caacutelculo
Mientras maacutes caacutelculos se tengan que realizar para obtener un resultado el error de redondeo se iraacute
incrementando Pero por otro lado el error de truncamiento se puede minimizar al incluir maacutes
teacuterminos en la ecuacioacuten disminuir el paso o proseguir la iteracioacuten (o sea mayor nuacutemero de caacutelculos
y seguramente mayor error de redondeo)
6 Errores de equivocacioacuten
Son los errores por negligencia o equivocacioacuten Las computadoras pueden dar nuacutemeros erroacuteneos por
su funcionamiento Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los
hombres
Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesioacuten de
meacutetodos y el disentildeo de la solucioacuten del problema
Los errores humanos por negligencia son praacutecticamente inevitables pero se pueden minimizar
7 Cifras Significativas
El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de
un valor numeacuterico El nuacutemero de cifras significativas es el nuacutemero de diacutegitos que se puede usar con
plena confianza Por ejemplo podemos calcular un nuacutemero irracional con varias cifras pero de ellas
no todas sobre todo las uacuteltimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas Por otro
lado los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto
decimal Por ejemplo los siguientes nuacutemeros tienen todos 4 cifras significativas 000001985
00001985 0001985 1985 19851 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa
es comuacuten emplear la notacioacuten cientiacutefica
8 Precisioacuten y exactitud
Los errores asociados con los caacutelculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisioacuten
y exactitud La mayoriacutea de la gente piensa que estos teacuterminos son sinoacutenimos pero no es asiacute La
precisioacuten se refiere al nuacutemero de cifras significativas que representan una cantidad La exactitud se
refiere al grado de aproximacioacuten que se tiene de un nuacutemero o de una medida al valor verdadero que
se supone representa es decir que tan cerca estamos del valor buscado
9 Tipos de redondeo
Al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico requiere debemos de redondear Para
redondear se emplea usualmente
Redondeo truncado
Redondeo simeacutetrico
10 Redondeo truncado
El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operacioacuten al nuacutemero de cifras
significativas que se esteacuten utilizando Por ejemplo siacute redondeamos a 4 cifras significativas
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
tenemos 07777
11 Redondeo simeacutetrico
El redondeo simeacutetrico consiste en aumentar en uno la uacuteltima cifra retenida siacute la primera cifra
descartada esta entre 5 y 9 o dejarla igual siacute la primera cifra descartada esta entre 0 y 4 Por ejemplo
siacute redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 07778
Por ejemplo En la praacutectica puede no ser asiacute Siacute Realizamos la suma empleando
uacutenicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo Se obtiene
03333+06666=09999 (Redondeo truncado)
03333+06667=1000 (Redondeo simeacutetrico)
USO DE MATLAB EN METODOS NUMERICOS
1 Vectores y Funciones En esta primera Praacutectica aprenderemos a utilizar las oacuterdenes baacutesicas de MATLAB para trabajar con
escalares vectores y matrices evaluar funciones de una y dos variables y representarlas
graacuteficamente En praacutecticas posteriores usaremos habitualmente MATLAB para efectuar los caacutelculos
MATLAB (MATrix LABoratory) es un programa orientado al caacutelculo con matrices al que se
reducen muchos de los algoritmos que resuelven problemas de Matemaacutetica Aplicada e Ingenieriacutea
MATLAB ofrece un entorno interactivo sencillo mediante una ventana (que llamaremos ventana de
comandos) en la que podemos introducir ordenes en modo texto y en la que aparecen los resultados
Los graacuteficos se muestran en ventanas independientes Cada ventana dispone de una barra de menuacutes
que controla su funcionalidad
Aprenderemos a asignar borrar guardar y recuperar variables utilizar las funciones incorporadas y
maacutes adelante a definir funciones nuevas
En MATLAB todas las instrucciones tienen que estar escritas en minuacutesculas de esa forma nos
evitaremos errores de ejecucioacuten
MATLAB opera directamente con nuacutemeros complejos y con nuacutemeros reales como caso
particular
Lo que distingue a MATLAB de otros sistemas de caacutelculo es su facilidad para trabajar con vectores
y matrices Las operaciones ordinarias suma producto potencia operan por defecto sobre matrices
sin maacutes restriccioacuten que la compatibilidad de tamantildeos en cada caso
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
11 Comandos Baacutesicos 111 Help Dir Pwd
Help nos da una lista de temas sobre los que hay informacioacuten de ayuda
Helpwin abre una ventana de ayuda que es uacutetil para consultar informacioacuten sobre oacuterdenes de
MATLAB sin interferir con la ventana principal help tema explica concisamente el tema elegido y
antildeade informacioacuten sobre temas relacionados
Ejemplo 1
La instruccioacuten clc borra la ventana de comandos esa informacioacuten la obtendraacutes al ejecutar help clc
12 Variables En MATLAB las variables se asignan de modo natural Basta escribir un nombre de variable a
continuacioacuten el signo igual y luego el valor que toma esa variable Para aceptar como siempre hay
que pulsar [Intro] Escribiendo soacutelo el nombre de una variable previamente asignada MATLAB
devuelve su valor
Los signos + minus y ^ denotan las operaciones aritmeacuteticas de suma resta multiplicacioacuten divisioacuten
y elevacioacuten a una potencia (de modo que resultan vaacutelidas para matrices como veremos maacutes
adelante) Si el resultado de una operacioacuten no es asignado a ninguna variable MATLAB lo asigna a
la variable del sistema ans
Al poner punto y coma no se muestra el resultado por pantalla Naturalmente la asignacioacuten de la
variable no resulta afectada
121 Who Whos
La orden who lista las variables definidas y con la orden whos obtenemos ademaacutes el tipo de variable
y su tamantildeo
Ejemplo 3
a = 3 b = 4 a
a + b
c = ans
who
whos
122 Variables especiales format
MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales como i o j que designan ambas a
la unidad imaginaria (i2 = j2 = ndash1) o pi para el nuacutemero π El nuacutemero e base de los logaritmos
neperianos no estaacute preasignado pero se obtiene faacutecilmente como exp(1)
La precisioacuten relativa en operaciones de coma flotante se llama eps El resultado de 10 en MATLAB
es Inf y el de 00 NaN 10 Infinito
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
00 Indeterminado
Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra
asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros
complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz
Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en
general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con
cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format
format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles
format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros
pequentildeos Explora otras opciones con help format
piformat long pi
format rat pi
123 Cadenas De Caracteres
Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para
introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o
funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero
y 0 si es falso)
Ejemplo 4
a=Esto es una cadena
b=Esto no
c=3
ischar(a)
ischar(c)
13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores
Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio
Puntos de un espacio n-dimensional
Magnitudes fiacutesicas
Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)
Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las
componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila
Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna
Ejemplo 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Se divide x por 2 lo que da a 0 como resto y un cociente que dividido por 2 da a1 como resto y asiacute siguiendo
hasta que el uacuteltimo cociente (es menor que 2) da como resto an
3) Conversioacuten de Binario a Octal
Se comienza agrupando las cifras binarias de tres en tres de derecha a izquierda luego se escribe el
equivalente en base 8 en cada grupo
Si se aplica el desarrollo polinoacutemico a partir del coeficiente de 8n-1 (n = nuacutemero de grupos) trabajando en
base 10 se obtiene la expresioacuten decimal del nuacutemero binario dado
4) Conversioacuten de Binario a Hexadecimal
Para pasar un nuacutemero escrito en base 2 a base 16 se agrupan las cifras binarias en grupos de 4 desde la
derecha a izquierda y luego se sustituye en cada grupo su equivalente por la cifra hexadecimal
correspondiente
Las relaciones entre grupos de cifras binarias y los sistemas de bases 2810 y 16 siendo sus cifras
B(2 = 01 B(8 =017 B(16 = 019ABCDEF B10 = 019 se muestran en el sig cuadro
Decimal Binario Octal Hexadecimal Decimal Binario Octal Hexadecimal
1 1 1 1 2 10 2 2
3 11 3 3 4 100 4 4
5 101 5 5 6 110 6 6
7 111 7 7 8 1000 10 8
9 1001 11 9 10 1010 12 A
11 1011 13 B 12 1100 14 C
13 1101 15 D 14 1110 16 E
15 1111 17 F 16 10000 20 10
17 10001 21 11 18 10010 22 12
19 10011 23 13 20 10100 24 14
21 10101 25 15 22 10110 26 16
23 10111 27 17 24 11000 30 18
25 11001 31 19 26 11010 32 1A
27 11011 33 1B 28 11100 34 1C
29 11101 35 1D 30 11110 36 1E
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
15 Representacioacuten de Nuacutemeros Racionales Para la representacioacuten de los nuacutemeros Racionales existen dos meacutetodos muy conocidos como el del punto
fijo y la representacioacuten en punto flotante
1) Punto Fijo
El sistema usa palabras divididas en 3 campos
Signo Parte del nuacutemero precedente al punto binario Parte posterior al pto
Binario Desventajas soacutelo se puede representar una pequentildea cantidad de nuacutemeros En nuestro caso la palabra
de 32 se divide en campos de 1 15 y 16 bits respectivamente y los nuacutemeros estaacuten en el rango
Nota raramente usada hoy en aplicaciones cientiacuteficas
2) Sistema de nuacutemeros de punto flotante
bull Basado en la notacioacuten cientiacutefica
bull Capaz de representar nuacutemeros muy grandes y muy pequentildeos sin incrementar el nuacutemero de bits
bull Capaz de representar nuacutemeros con componentes enteros y fraccionarios
bull Nuacutemero de punto flotante = nuacutemero real
16 Definicioacuten de Nuacutemero en Punto Flotante Consta de dos partes y un signo
1 Mantisa La magnitud del nuacutemero
2 Exponente El nuacutemero de lugares que se va a mover el punto
3 Signo Positivo o negativo
Ejemplo decimal
bull Nuacutemero decimal 241506800
bull Mantisa = 2415068
bull Exponente = 9
02415068 x 10 ^ 9
Para los nuacutemeros de punto flotante binarios el formato se define por el standard ANSI
IEEE 754-1985 de tres formas
bull Precisioacuten sencilla - 32 bits
bull Precisioacuten doble - 64 bits
bull Precisioacuten extendida - 80 bits
bull Se trabaja con nuacutemeros normalizados
Decimos que un nuacutemero binario estaacute normalizado si el diacutegito a la izquierda del punto
es igual a 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Precisioacuten Sencilla
bull En la mantisa se entiende que el punto binario estaacute a la izquierda de los 23 bits De
hecho hay 24 bits porque en cualquier nuacutemero binario el bit maacutes significativo
siempre es 1 Por lo tanto se entiende que esta ahiacute aunque no ocupe una posicioacuten
bull Los 8 bits de exponente representan un exponente en exceso que se obtiene
antildeadiendo 127 al exponente real El propoacutesito es permitir nuacutemeros muy grandes o
muy pequentildeos sin requerir un bit de signo aparte para el exponente Esto permite un
rango de exponentes de -126 a +128
Ejemplo
Representar 1011010010001
1011010010001 = 1011010010001 x 2^12
Asumiendo que es un nuacutemero positivo
Bit de signo = 0
Exponente 12 + 127 = 139 = 10001011
Mantisa Parte fraccionaria 011010010001 a 23 bits (el 1 a la izq del punto se omite
porque siempre estaacute presente)
Punto flotante a decimal Ejemplo
Utilizar la foacutermula rarr
El bit de signo es 1 El exponente en exceso es 10010001 = 145
Aplicando la foacutermula obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
rarr - 407680
Ejemplo Convertir el nuacutemero decimal 3248 x 10 ^ 4 a un nuacutemero binario de punto flotante
precisioacuten sencilla
Convertir de decimal a binario 3248 x 10 ^ 4 = 32480 = 111111011100000 =
111111011100000 x 2 ^ 14
Mantisa (23 bits) = 11111011100000000000000
Exponente en exceso = 14 + 127 = 141 = 10001101
Resultado -----------
Ejemplos 2 a) Convertir 0510 a binario y hallar su representacioacuten en IEEE precisioacuten simple 050
(050-0) 2 = 1 d0=0
(100-1) 2 = 0 d1=1
05010 = 012 = 10 x 2-1
exponente en exceso= -1 + 127 = 12610 = 0111 11102
0 01111110 00000000000000000000000
b) Convertir 37510 a binario y hallar su representacioacuten en IEEE precisioacuten simple 375
(375-3) 2 = 150 d0=3
(150-1) 2 = 100 d1=1
(100-1) 2 = 000 d2=1
37510 = 11112 = 1111 x 21
exponente en exceso= 1 + 127 = 12810 = 1000 00002
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejercicio
Convierta los siguientes valores decimales en valores binarios
a) 123 _________________
b) 202 _________________
c) 67 _________________
d) 7 _________________
e) 252 _________________
f) 91 _________________
Convierta los siguientes valores binarios en valores decimales
a 1110 _______________________________________________
b 100110_____________________________________________
c 11111111____________________________________________
d 11010011___________________________________________
e 01000001 __________________________________________
f 11001110 ___________________________________________
g 01110101___________________________________________
h 10001111 ___________________________________________
bull Determine el valor binario y decimal del siguiente nuacutemero binario en punto flotante
0 10011000 10000100010100110000000
bull Mencione las partes de un nuacutemero binario en punto flotante
bull iquestCuaacutentos bits tiene en total un nuacutemero binario en punto flotante de precisioacuten sencilla doble y
extendida
Convertir los siguientes nuacutemeros a punto flotante binario
-175610
157510
562510
10 x 10-1
10
575251010
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Resumen Los meacutetodos numeacutericos nos sirven para resolver problemas que no puedan manejarse con los
meacutetodos analiacuteticos tradicionales o no sea sencillo aplicarlos Estos meacutetodos proporcionan una
sucesioacuten de valores que se aproxima a la solucioacuten del problema
Al resolver un problema siempre tendremos presente errores El error de redondeo el error inherente
y el error de truncamiento
El error de redondeo es praacutecticamente inevitable y puede invalidar por completo la solucioacuten de un
problema Puede minimizarse su efecto ya sea reduciendo de alguna manera eacutel numero de caacutelculos
a realizar oacute reformulando la solucioacuten de un problema de tal forma que se evite las operaciones
aritmeacuteticas que ocasionan mas error
La suposicioacuten comuacuten de que trabajamos con nuacutemeros reales al realizar caacutelculos no es cierta Puede
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
acarrearnos serias discrepancias entre valores teoacutericos y valores calculados
La precisioacuten y la exactitud no son sinoacutenimas Una nos indica que tan confiable es un valor y la otra
que tan cerca estamos de el
1 Error absoluto El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una
aproximacioacuten a este valor Va
e = Vr ndash Va
2 Error relativo El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr
(siacute )
119890119903 =119890
119907119903=
119907119903minus119907119886
119907119903
3 Error porcentual El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por
ciento ()
Tambieacuten es usual emplear el valor absoluto en los paraacutemetros anteriores en cuyo caso se denominan
respectivamente error absoluto error relativo absoluto y error porcentual absoluto
4 Errores de redondeo
Los errores de redondeo se originan al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico
requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones
aritmeacuteticas como los productos y los cocientes teniendo que retener en cada operacioacuten el nuacutemero de
cifras que permita el instrumento de caacutelculo que se este utilizando Por ejemplo al calcular el valor
de tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3 que maneje nuestro
instrumento de calculo
Existen dos tipos de errores de redondeo
Error de redondeo inferior se desprecian los diacutegitos que no se pueden conservar dentro de la
memoria correspondiente
Error de redondeo superior este caso tiene dos alternativas seguacuten el signo del nuacutemero en
particular
- par nuacutemeros positivos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten de
memoria incrementa en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o igual a
5
- para nuacutemeros negativos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten
de la memoria se reduce en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o
igual a 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
5 Error numeacuterico total
El error numeacuterico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento
introducidos en el caacutelculo
Mientras maacutes caacutelculos se tengan que realizar para obtener un resultado el error de redondeo se iraacute
incrementando Pero por otro lado el error de truncamiento se puede minimizar al incluir maacutes
teacuterminos en la ecuacioacuten disminuir el paso o proseguir la iteracioacuten (o sea mayor nuacutemero de caacutelculos
y seguramente mayor error de redondeo)
6 Errores de equivocacioacuten
Son los errores por negligencia o equivocacioacuten Las computadoras pueden dar nuacutemeros erroacuteneos por
su funcionamiento Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los
hombres
Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesioacuten de
meacutetodos y el disentildeo de la solucioacuten del problema
Los errores humanos por negligencia son praacutecticamente inevitables pero se pueden minimizar
7 Cifras Significativas
El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de
un valor numeacuterico El nuacutemero de cifras significativas es el nuacutemero de diacutegitos que se puede usar con
plena confianza Por ejemplo podemos calcular un nuacutemero irracional con varias cifras pero de ellas
no todas sobre todo las uacuteltimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas Por otro
lado los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto
decimal Por ejemplo los siguientes nuacutemeros tienen todos 4 cifras significativas 000001985
00001985 0001985 1985 19851 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa
es comuacuten emplear la notacioacuten cientiacutefica
8 Precisioacuten y exactitud
Los errores asociados con los caacutelculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisioacuten
y exactitud La mayoriacutea de la gente piensa que estos teacuterminos son sinoacutenimos pero no es asiacute La
precisioacuten se refiere al nuacutemero de cifras significativas que representan una cantidad La exactitud se
refiere al grado de aproximacioacuten que se tiene de un nuacutemero o de una medida al valor verdadero que
se supone representa es decir que tan cerca estamos del valor buscado
9 Tipos de redondeo
Al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico requiere debemos de redondear Para
redondear se emplea usualmente
Redondeo truncado
Redondeo simeacutetrico
10 Redondeo truncado
El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operacioacuten al nuacutemero de cifras
significativas que se esteacuten utilizando Por ejemplo siacute redondeamos a 4 cifras significativas
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
tenemos 07777
11 Redondeo simeacutetrico
El redondeo simeacutetrico consiste en aumentar en uno la uacuteltima cifra retenida siacute la primera cifra
descartada esta entre 5 y 9 o dejarla igual siacute la primera cifra descartada esta entre 0 y 4 Por ejemplo
siacute redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 07778
Por ejemplo En la praacutectica puede no ser asiacute Siacute Realizamos la suma empleando
uacutenicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo Se obtiene
03333+06666=09999 (Redondeo truncado)
03333+06667=1000 (Redondeo simeacutetrico)
USO DE MATLAB EN METODOS NUMERICOS
1 Vectores y Funciones En esta primera Praacutectica aprenderemos a utilizar las oacuterdenes baacutesicas de MATLAB para trabajar con
escalares vectores y matrices evaluar funciones de una y dos variables y representarlas
graacuteficamente En praacutecticas posteriores usaremos habitualmente MATLAB para efectuar los caacutelculos
MATLAB (MATrix LABoratory) es un programa orientado al caacutelculo con matrices al que se
reducen muchos de los algoritmos que resuelven problemas de Matemaacutetica Aplicada e Ingenieriacutea
MATLAB ofrece un entorno interactivo sencillo mediante una ventana (que llamaremos ventana de
comandos) en la que podemos introducir ordenes en modo texto y en la que aparecen los resultados
Los graacuteficos se muestran en ventanas independientes Cada ventana dispone de una barra de menuacutes
que controla su funcionalidad
Aprenderemos a asignar borrar guardar y recuperar variables utilizar las funciones incorporadas y
maacutes adelante a definir funciones nuevas
En MATLAB todas las instrucciones tienen que estar escritas en minuacutesculas de esa forma nos
evitaremos errores de ejecucioacuten
MATLAB opera directamente con nuacutemeros complejos y con nuacutemeros reales como caso
particular
Lo que distingue a MATLAB de otros sistemas de caacutelculo es su facilidad para trabajar con vectores
y matrices Las operaciones ordinarias suma producto potencia operan por defecto sobre matrices
sin maacutes restriccioacuten que la compatibilidad de tamantildeos en cada caso
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
11 Comandos Baacutesicos 111 Help Dir Pwd
Help nos da una lista de temas sobre los que hay informacioacuten de ayuda
Helpwin abre una ventana de ayuda que es uacutetil para consultar informacioacuten sobre oacuterdenes de
MATLAB sin interferir con la ventana principal help tema explica concisamente el tema elegido y
antildeade informacioacuten sobre temas relacionados
Ejemplo 1
La instruccioacuten clc borra la ventana de comandos esa informacioacuten la obtendraacutes al ejecutar help clc
12 Variables En MATLAB las variables se asignan de modo natural Basta escribir un nombre de variable a
continuacioacuten el signo igual y luego el valor que toma esa variable Para aceptar como siempre hay
que pulsar [Intro] Escribiendo soacutelo el nombre de una variable previamente asignada MATLAB
devuelve su valor
Los signos + minus y ^ denotan las operaciones aritmeacuteticas de suma resta multiplicacioacuten divisioacuten
y elevacioacuten a una potencia (de modo que resultan vaacutelidas para matrices como veremos maacutes
adelante) Si el resultado de una operacioacuten no es asignado a ninguna variable MATLAB lo asigna a
la variable del sistema ans
Al poner punto y coma no se muestra el resultado por pantalla Naturalmente la asignacioacuten de la
variable no resulta afectada
121 Who Whos
La orden who lista las variables definidas y con la orden whos obtenemos ademaacutes el tipo de variable
y su tamantildeo
Ejemplo 3
a = 3 b = 4 a
a + b
c = ans
who
whos
122 Variables especiales format
MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales como i o j que designan ambas a
la unidad imaginaria (i2 = j2 = ndash1) o pi para el nuacutemero π El nuacutemero e base de los logaritmos
neperianos no estaacute preasignado pero se obtiene faacutecilmente como exp(1)
La precisioacuten relativa en operaciones de coma flotante se llama eps El resultado de 10 en MATLAB
es Inf y el de 00 NaN 10 Infinito
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
00 Indeterminado
Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra
asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros
complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz
Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en
general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con
cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format
format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles
format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros
pequentildeos Explora otras opciones con help format
piformat long pi
format rat pi
123 Cadenas De Caracteres
Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para
introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o
funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero
y 0 si es falso)
Ejemplo 4
a=Esto es una cadena
b=Esto no
c=3
ischar(a)
ischar(c)
13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores
Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio
Puntos de un espacio n-dimensional
Magnitudes fiacutesicas
Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)
Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las
componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila
Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna
Ejemplo 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
15 Representacioacuten de Nuacutemeros Racionales Para la representacioacuten de los nuacutemeros Racionales existen dos meacutetodos muy conocidos como el del punto
fijo y la representacioacuten en punto flotante
1) Punto Fijo
El sistema usa palabras divididas en 3 campos
Signo Parte del nuacutemero precedente al punto binario Parte posterior al pto
Binario Desventajas soacutelo se puede representar una pequentildea cantidad de nuacutemeros En nuestro caso la palabra
de 32 se divide en campos de 1 15 y 16 bits respectivamente y los nuacutemeros estaacuten en el rango
Nota raramente usada hoy en aplicaciones cientiacuteficas
2) Sistema de nuacutemeros de punto flotante
bull Basado en la notacioacuten cientiacutefica
bull Capaz de representar nuacutemeros muy grandes y muy pequentildeos sin incrementar el nuacutemero de bits
bull Capaz de representar nuacutemeros con componentes enteros y fraccionarios
bull Nuacutemero de punto flotante = nuacutemero real
16 Definicioacuten de Nuacutemero en Punto Flotante Consta de dos partes y un signo
1 Mantisa La magnitud del nuacutemero
2 Exponente El nuacutemero de lugares que se va a mover el punto
3 Signo Positivo o negativo
Ejemplo decimal
bull Nuacutemero decimal 241506800
bull Mantisa = 2415068
bull Exponente = 9
02415068 x 10 ^ 9
Para los nuacutemeros de punto flotante binarios el formato se define por el standard ANSI
IEEE 754-1985 de tres formas
bull Precisioacuten sencilla - 32 bits
bull Precisioacuten doble - 64 bits
bull Precisioacuten extendida - 80 bits
bull Se trabaja con nuacutemeros normalizados
Decimos que un nuacutemero binario estaacute normalizado si el diacutegito a la izquierda del punto
es igual a 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Precisioacuten Sencilla
bull En la mantisa se entiende que el punto binario estaacute a la izquierda de los 23 bits De
hecho hay 24 bits porque en cualquier nuacutemero binario el bit maacutes significativo
siempre es 1 Por lo tanto se entiende que esta ahiacute aunque no ocupe una posicioacuten
bull Los 8 bits de exponente representan un exponente en exceso que se obtiene
antildeadiendo 127 al exponente real El propoacutesito es permitir nuacutemeros muy grandes o
muy pequentildeos sin requerir un bit de signo aparte para el exponente Esto permite un
rango de exponentes de -126 a +128
Ejemplo
Representar 1011010010001
1011010010001 = 1011010010001 x 2^12
Asumiendo que es un nuacutemero positivo
Bit de signo = 0
Exponente 12 + 127 = 139 = 10001011
Mantisa Parte fraccionaria 011010010001 a 23 bits (el 1 a la izq del punto se omite
porque siempre estaacute presente)
Punto flotante a decimal Ejemplo
Utilizar la foacutermula rarr
El bit de signo es 1 El exponente en exceso es 10010001 = 145
Aplicando la foacutermula obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
rarr - 407680
Ejemplo Convertir el nuacutemero decimal 3248 x 10 ^ 4 a un nuacutemero binario de punto flotante
precisioacuten sencilla
Convertir de decimal a binario 3248 x 10 ^ 4 = 32480 = 111111011100000 =
111111011100000 x 2 ^ 14
Mantisa (23 bits) = 11111011100000000000000
Exponente en exceso = 14 + 127 = 141 = 10001101
Resultado -----------
Ejemplos 2 a) Convertir 0510 a binario y hallar su representacioacuten en IEEE precisioacuten simple 050
(050-0) 2 = 1 d0=0
(100-1) 2 = 0 d1=1
05010 = 012 = 10 x 2-1
exponente en exceso= -1 + 127 = 12610 = 0111 11102
0 01111110 00000000000000000000000
b) Convertir 37510 a binario y hallar su representacioacuten en IEEE precisioacuten simple 375
(375-3) 2 = 150 d0=3
(150-1) 2 = 100 d1=1
(100-1) 2 = 000 d2=1
37510 = 11112 = 1111 x 21
exponente en exceso= 1 + 127 = 12810 = 1000 00002
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejercicio
Convierta los siguientes valores decimales en valores binarios
a) 123 _________________
b) 202 _________________
c) 67 _________________
d) 7 _________________
e) 252 _________________
f) 91 _________________
Convierta los siguientes valores binarios en valores decimales
a 1110 _______________________________________________
b 100110_____________________________________________
c 11111111____________________________________________
d 11010011___________________________________________
e 01000001 __________________________________________
f 11001110 ___________________________________________
g 01110101___________________________________________
h 10001111 ___________________________________________
bull Determine el valor binario y decimal del siguiente nuacutemero binario en punto flotante
0 10011000 10000100010100110000000
bull Mencione las partes de un nuacutemero binario en punto flotante
bull iquestCuaacutentos bits tiene en total un nuacutemero binario en punto flotante de precisioacuten sencilla doble y
extendida
Convertir los siguientes nuacutemeros a punto flotante binario
-175610
157510
562510
10 x 10-1
10
575251010
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Resumen Los meacutetodos numeacutericos nos sirven para resolver problemas que no puedan manejarse con los
meacutetodos analiacuteticos tradicionales o no sea sencillo aplicarlos Estos meacutetodos proporcionan una
sucesioacuten de valores que se aproxima a la solucioacuten del problema
Al resolver un problema siempre tendremos presente errores El error de redondeo el error inherente
y el error de truncamiento
El error de redondeo es praacutecticamente inevitable y puede invalidar por completo la solucioacuten de un
problema Puede minimizarse su efecto ya sea reduciendo de alguna manera eacutel numero de caacutelculos
a realizar oacute reformulando la solucioacuten de un problema de tal forma que se evite las operaciones
aritmeacuteticas que ocasionan mas error
La suposicioacuten comuacuten de que trabajamos con nuacutemeros reales al realizar caacutelculos no es cierta Puede
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
acarrearnos serias discrepancias entre valores teoacutericos y valores calculados
La precisioacuten y la exactitud no son sinoacutenimas Una nos indica que tan confiable es un valor y la otra
que tan cerca estamos de el
1 Error absoluto El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una
aproximacioacuten a este valor Va
e = Vr ndash Va
2 Error relativo El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr
(siacute )
119890119903 =119890
119907119903=
119907119903minus119907119886
119907119903
3 Error porcentual El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por
ciento ()
Tambieacuten es usual emplear el valor absoluto en los paraacutemetros anteriores en cuyo caso se denominan
respectivamente error absoluto error relativo absoluto y error porcentual absoluto
4 Errores de redondeo
Los errores de redondeo se originan al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico
requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones
aritmeacuteticas como los productos y los cocientes teniendo que retener en cada operacioacuten el nuacutemero de
cifras que permita el instrumento de caacutelculo que se este utilizando Por ejemplo al calcular el valor
de tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3 que maneje nuestro
instrumento de calculo
Existen dos tipos de errores de redondeo
Error de redondeo inferior se desprecian los diacutegitos que no se pueden conservar dentro de la
memoria correspondiente
Error de redondeo superior este caso tiene dos alternativas seguacuten el signo del nuacutemero en
particular
- par nuacutemeros positivos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten de
memoria incrementa en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o igual a
5
- para nuacutemeros negativos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten
de la memoria se reduce en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o
igual a 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
5 Error numeacuterico total
El error numeacuterico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento
introducidos en el caacutelculo
Mientras maacutes caacutelculos se tengan que realizar para obtener un resultado el error de redondeo se iraacute
incrementando Pero por otro lado el error de truncamiento se puede minimizar al incluir maacutes
teacuterminos en la ecuacioacuten disminuir el paso o proseguir la iteracioacuten (o sea mayor nuacutemero de caacutelculos
y seguramente mayor error de redondeo)
6 Errores de equivocacioacuten
Son los errores por negligencia o equivocacioacuten Las computadoras pueden dar nuacutemeros erroacuteneos por
su funcionamiento Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los
hombres
Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesioacuten de
meacutetodos y el disentildeo de la solucioacuten del problema
Los errores humanos por negligencia son praacutecticamente inevitables pero se pueden minimizar
7 Cifras Significativas
El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de
un valor numeacuterico El nuacutemero de cifras significativas es el nuacutemero de diacutegitos que se puede usar con
plena confianza Por ejemplo podemos calcular un nuacutemero irracional con varias cifras pero de ellas
no todas sobre todo las uacuteltimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas Por otro
lado los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto
decimal Por ejemplo los siguientes nuacutemeros tienen todos 4 cifras significativas 000001985
00001985 0001985 1985 19851 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa
es comuacuten emplear la notacioacuten cientiacutefica
8 Precisioacuten y exactitud
Los errores asociados con los caacutelculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisioacuten
y exactitud La mayoriacutea de la gente piensa que estos teacuterminos son sinoacutenimos pero no es asiacute La
precisioacuten se refiere al nuacutemero de cifras significativas que representan una cantidad La exactitud se
refiere al grado de aproximacioacuten que se tiene de un nuacutemero o de una medida al valor verdadero que
se supone representa es decir que tan cerca estamos del valor buscado
9 Tipos de redondeo
Al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico requiere debemos de redondear Para
redondear se emplea usualmente
Redondeo truncado
Redondeo simeacutetrico
10 Redondeo truncado
El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operacioacuten al nuacutemero de cifras
significativas que se esteacuten utilizando Por ejemplo siacute redondeamos a 4 cifras significativas
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
tenemos 07777
11 Redondeo simeacutetrico
El redondeo simeacutetrico consiste en aumentar en uno la uacuteltima cifra retenida siacute la primera cifra
descartada esta entre 5 y 9 o dejarla igual siacute la primera cifra descartada esta entre 0 y 4 Por ejemplo
siacute redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 07778
Por ejemplo En la praacutectica puede no ser asiacute Siacute Realizamos la suma empleando
uacutenicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo Se obtiene
03333+06666=09999 (Redondeo truncado)
03333+06667=1000 (Redondeo simeacutetrico)
USO DE MATLAB EN METODOS NUMERICOS
1 Vectores y Funciones En esta primera Praacutectica aprenderemos a utilizar las oacuterdenes baacutesicas de MATLAB para trabajar con
escalares vectores y matrices evaluar funciones de una y dos variables y representarlas
graacuteficamente En praacutecticas posteriores usaremos habitualmente MATLAB para efectuar los caacutelculos
MATLAB (MATrix LABoratory) es un programa orientado al caacutelculo con matrices al que se
reducen muchos de los algoritmos que resuelven problemas de Matemaacutetica Aplicada e Ingenieriacutea
MATLAB ofrece un entorno interactivo sencillo mediante una ventana (que llamaremos ventana de
comandos) en la que podemos introducir ordenes en modo texto y en la que aparecen los resultados
Los graacuteficos se muestran en ventanas independientes Cada ventana dispone de una barra de menuacutes
que controla su funcionalidad
Aprenderemos a asignar borrar guardar y recuperar variables utilizar las funciones incorporadas y
maacutes adelante a definir funciones nuevas
En MATLAB todas las instrucciones tienen que estar escritas en minuacutesculas de esa forma nos
evitaremos errores de ejecucioacuten
MATLAB opera directamente con nuacutemeros complejos y con nuacutemeros reales como caso
particular
Lo que distingue a MATLAB de otros sistemas de caacutelculo es su facilidad para trabajar con vectores
y matrices Las operaciones ordinarias suma producto potencia operan por defecto sobre matrices
sin maacutes restriccioacuten que la compatibilidad de tamantildeos en cada caso
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
11 Comandos Baacutesicos 111 Help Dir Pwd
Help nos da una lista de temas sobre los que hay informacioacuten de ayuda
Helpwin abre una ventana de ayuda que es uacutetil para consultar informacioacuten sobre oacuterdenes de
MATLAB sin interferir con la ventana principal help tema explica concisamente el tema elegido y
antildeade informacioacuten sobre temas relacionados
Ejemplo 1
La instruccioacuten clc borra la ventana de comandos esa informacioacuten la obtendraacutes al ejecutar help clc
12 Variables En MATLAB las variables se asignan de modo natural Basta escribir un nombre de variable a
continuacioacuten el signo igual y luego el valor que toma esa variable Para aceptar como siempre hay
que pulsar [Intro] Escribiendo soacutelo el nombre de una variable previamente asignada MATLAB
devuelve su valor
Los signos + minus y ^ denotan las operaciones aritmeacuteticas de suma resta multiplicacioacuten divisioacuten
y elevacioacuten a una potencia (de modo que resultan vaacutelidas para matrices como veremos maacutes
adelante) Si el resultado de una operacioacuten no es asignado a ninguna variable MATLAB lo asigna a
la variable del sistema ans
Al poner punto y coma no se muestra el resultado por pantalla Naturalmente la asignacioacuten de la
variable no resulta afectada
121 Who Whos
La orden who lista las variables definidas y con la orden whos obtenemos ademaacutes el tipo de variable
y su tamantildeo
Ejemplo 3
a = 3 b = 4 a
a + b
c = ans
who
whos
122 Variables especiales format
MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales como i o j que designan ambas a
la unidad imaginaria (i2 = j2 = ndash1) o pi para el nuacutemero π El nuacutemero e base de los logaritmos
neperianos no estaacute preasignado pero se obtiene faacutecilmente como exp(1)
La precisioacuten relativa en operaciones de coma flotante se llama eps El resultado de 10 en MATLAB
es Inf y el de 00 NaN 10 Infinito
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
00 Indeterminado
Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra
asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros
complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz
Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en
general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con
cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format
format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles
format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros
pequentildeos Explora otras opciones con help format
piformat long pi
format rat pi
123 Cadenas De Caracteres
Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para
introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o
funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero
y 0 si es falso)
Ejemplo 4
a=Esto es una cadena
b=Esto no
c=3
ischar(a)
ischar(c)
13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores
Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio
Puntos de un espacio n-dimensional
Magnitudes fiacutesicas
Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)
Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las
componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila
Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna
Ejemplo 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Precisioacuten Sencilla
bull En la mantisa se entiende que el punto binario estaacute a la izquierda de los 23 bits De
hecho hay 24 bits porque en cualquier nuacutemero binario el bit maacutes significativo
siempre es 1 Por lo tanto se entiende que esta ahiacute aunque no ocupe una posicioacuten
bull Los 8 bits de exponente representan un exponente en exceso que se obtiene
antildeadiendo 127 al exponente real El propoacutesito es permitir nuacutemeros muy grandes o
muy pequentildeos sin requerir un bit de signo aparte para el exponente Esto permite un
rango de exponentes de -126 a +128
Ejemplo
Representar 1011010010001
1011010010001 = 1011010010001 x 2^12
Asumiendo que es un nuacutemero positivo
Bit de signo = 0
Exponente 12 + 127 = 139 = 10001011
Mantisa Parte fraccionaria 011010010001 a 23 bits (el 1 a la izq del punto se omite
porque siempre estaacute presente)
Punto flotante a decimal Ejemplo
Utilizar la foacutermula rarr
El bit de signo es 1 El exponente en exceso es 10010001 = 145
Aplicando la foacutermula obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
rarr - 407680
Ejemplo Convertir el nuacutemero decimal 3248 x 10 ^ 4 a un nuacutemero binario de punto flotante
precisioacuten sencilla
Convertir de decimal a binario 3248 x 10 ^ 4 = 32480 = 111111011100000 =
111111011100000 x 2 ^ 14
Mantisa (23 bits) = 11111011100000000000000
Exponente en exceso = 14 + 127 = 141 = 10001101
Resultado -----------
Ejemplos 2 a) Convertir 0510 a binario y hallar su representacioacuten en IEEE precisioacuten simple 050
(050-0) 2 = 1 d0=0
(100-1) 2 = 0 d1=1
05010 = 012 = 10 x 2-1
exponente en exceso= -1 + 127 = 12610 = 0111 11102
0 01111110 00000000000000000000000
b) Convertir 37510 a binario y hallar su representacioacuten en IEEE precisioacuten simple 375
(375-3) 2 = 150 d0=3
(150-1) 2 = 100 d1=1
(100-1) 2 = 000 d2=1
37510 = 11112 = 1111 x 21
exponente en exceso= 1 + 127 = 12810 = 1000 00002
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejercicio
Convierta los siguientes valores decimales en valores binarios
a) 123 _________________
b) 202 _________________
c) 67 _________________
d) 7 _________________
e) 252 _________________
f) 91 _________________
Convierta los siguientes valores binarios en valores decimales
a 1110 _______________________________________________
b 100110_____________________________________________
c 11111111____________________________________________
d 11010011___________________________________________
e 01000001 __________________________________________
f 11001110 ___________________________________________
g 01110101___________________________________________
h 10001111 ___________________________________________
bull Determine el valor binario y decimal del siguiente nuacutemero binario en punto flotante
0 10011000 10000100010100110000000
bull Mencione las partes de un nuacutemero binario en punto flotante
bull iquestCuaacutentos bits tiene en total un nuacutemero binario en punto flotante de precisioacuten sencilla doble y
extendida
Convertir los siguientes nuacutemeros a punto flotante binario
-175610
157510
562510
10 x 10-1
10
575251010
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Resumen Los meacutetodos numeacutericos nos sirven para resolver problemas que no puedan manejarse con los
meacutetodos analiacuteticos tradicionales o no sea sencillo aplicarlos Estos meacutetodos proporcionan una
sucesioacuten de valores que se aproxima a la solucioacuten del problema
Al resolver un problema siempre tendremos presente errores El error de redondeo el error inherente
y el error de truncamiento
El error de redondeo es praacutecticamente inevitable y puede invalidar por completo la solucioacuten de un
problema Puede minimizarse su efecto ya sea reduciendo de alguna manera eacutel numero de caacutelculos
a realizar oacute reformulando la solucioacuten de un problema de tal forma que se evite las operaciones
aritmeacuteticas que ocasionan mas error
La suposicioacuten comuacuten de que trabajamos con nuacutemeros reales al realizar caacutelculos no es cierta Puede
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
acarrearnos serias discrepancias entre valores teoacutericos y valores calculados
La precisioacuten y la exactitud no son sinoacutenimas Una nos indica que tan confiable es un valor y la otra
que tan cerca estamos de el
1 Error absoluto El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una
aproximacioacuten a este valor Va
e = Vr ndash Va
2 Error relativo El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr
(siacute )
119890119903 =119890
119907119903=
119907119903minus119907119886
119907119903
3 Error porcentual El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por
ciento ()
Tambieacuten es usual emplear el valor absoluto en los paraacutemetros anteriores en cuyo caso se denominan
respectivamente error absoluto error relativo absoluto y error porcentual absoluto
4 Errores de redondeo
Los errores de redondeo se originan al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico
requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones
aritmeacuteticas como los productos y los cocientes teniendo que retener en cada operacioacuten el nuacutemero de
cifras que permita el instrumento de caacutelculo que se este utilizando Por ejemplo al calcular el valor
de tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3 que maneje nuestro
instrumento de calculo
Existen dos tipos de errores de redondeo
Error de redondeo inferior se desprecian los diacutegitos que no se pueden conservar dentro de la
memoria correspondiente
Error de redondeo superior este caso tiene dos alternativas seguacuten el signo del nuacutemero en
particular
- par nuacutemeros positivos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten de
memoria incrementa en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o igual a
5
- para nuacutemeros negativos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten
de la memoria se reduce en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o
igual a 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
5 Error numeacuterico total
El error numeacuterico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento
introducidos en el caacutelculo
Mientras maacutes caacutelculos se tengan que realizar para obtener un resultado el error de redondeo se iraacute
incrementando Pero por otro lado el error de truncamiento se puede minimizar al incluir maacutes
teacuterminos en la ecuacioacuten disminuir el paso o proseguir la iteracioacuten (o sea mayor nuacutemero de caacutelculos
y seguramente mayor error de redondeo)
6 Errores de equivocacioacuten
Son los errores por negligencia o equivocacioacuten Las computadoras pueden dar nuacutemeros erroacuteneos por
su funcionamiento Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los
hombres
Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesioacuten de
meacutetodos y el disentildeo de la solucioacuten del problema
Los errores humanos por negligencia son praacutecticamente inevitables pero se pueden minimizar
7 Cifras Significativas
El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de
un valor numeacuterico El nuacutemero de cifras significativas es el nuacutemero de diacutegitos que se puede usar con
plena confianza Por ejemplo podemos calcular un nuacutemero irracional con varias cifras pero de ellas
no todas sobre todo las uacuteltimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas Por otro
lado los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto
decimal Por ejemplo los siguientes nuacutemeros tienen todos 4 cifras significativas 000001985
00001985 0001985 1985 19851 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa
es comuacuten emplear la notacioacuten cientiacutefica
8 Precisioacuten y exactitud
Los errores asociados con los caacutelculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisioacuten
y exactitud La mayoriacutea de la gente piensa que estos teacuterminos son sinoacutenimos pero no es asiacute La
precisioacuten se refiere al nuacutemero de cifras significativas que representan una cantidad La exactitud se
refiere al grado de aproximacioacuten que se tiene de un nuacutemero o de una medida al valor verdadero que
se supone representa es decir que tan cerca estamos del valor buscado
9 Tipos de redondeo
Al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico requiere debemos de redondear Para
redondear se emplea usualmente
Redondeo truncado
Redondeo simeacutetrico
10 Redondeo truncado
El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operacioacuten al nuacutemero de cifras
significativas que se esteacuten utilizando Por ejemplo siacute redondeamos a 4 cifras significativas
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
tenemos 07777
11 Redondeo simeacutetrico
El redondeo simeacutetrico consiste en aumentar en uno la uacuteltima cifra retenida siacute la primera cifra
descartada esta entre 5 y 9 o dejarla igual siacute la primera cifra descartada esta entre 0 y 4 Por ejemplo
siacute redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 07778
Por ejemplo En la praacutectica puede no ser asiacute Siacute Realizamos la suma empleando
uacutenicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo Se obtiene
03333+06666=09999 (Redondeo truncado)
03333+06667=1000 (Redondeo simeacutetrico)
USO DE MATLAB EN METODOS NUMERICOS
1 Vectores y Funciones En esta primera Praacutectica aprenderemos a utilizar las oacuterdenes baacutesicas de MATLAB para trabajar con
escalares vectores y matrices evaluar funciones de una y dos variables y representarlas
graacuteficamente En praacutecticas posteriores usaremos habitualmente MATLAB para efectuar los caacutelculos
MATLAB (MATrix LABoratory) es un programa orientado al caacutelculo con matrices al que se
reducen muchos de los algoritmos que resuelven problemas de Matemaacutetica Aplicada e Ingenieriacutea
MATLAB ofrece un entorno interactivo sencillo mediante una ventana (que llamaremos ventana de
comandos) en la que podemos introducir ordenes en modo texto y en la que aparecen los resultados
Los graacuteficos se muestran en ventanas independientes Cada ventana dispone de una barra de menuacutes
que controla su funcionalidad
Aprenderemos a asignar borrar guardar y recuperar variables utilizar las funciones incorporadas y
maacutes adelante a definir funciones nuevas
En MATLAB todas las instrucciones tienen que estar escritas en minuacutesculas de esa forma nos
evitaremos errores de ejecucioacuten
MATLAB opera directamente con nuacutemeros complejos y con nuacutemeros reales como caso
particular
Lo que distingue a MATLAB de otros sistemas de caacutelculo es su facilidad para trabajar con vectores
y matrices Las operaciones ordinarias suma producto potencia operan por defecto sobre matrices
sin maacutes restriccioacuten que la compatibilidad de tamantildeos en cada caso
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
11 Comandos Baacutesicos 111 Help Dir Pwd
Help nos da una lista de temas sobre los que hay informacioacuten de ayuda
Helpwin abre una ventana de ayuda que es uacutetil para consultar informacioacuten sobre oacuterdenes de
MATLAB sin interferir con la ventana principal help tema explica concisamente el tema elegido y
antildeade informacioacuten sobre temas relacionados
Ejemplo 1
La instruccioacuten clc borra la ventana de comandos esa informacioacuten la obtendraacutes al ejecutar help clc
12 Variables En MATLAB las variables se asignan de modo natural Basta escribir un nombre de variable a
continuacioacuten el signo igual y luego el valor que toma esa variable Para aceptar como siempre hay
que pulsar [Intro] Escribiendo soacutelo el nombre de una variable previamente asignada MATLAB
devuelve su valor
Los signos + minus y ^ denotan las operaciones aritmeacuteticas de suma resta multiplicacioacuten divisioacuten
y elevacioacuten a una potencia (de modo que resultan vaacutelidas para matrices como veremos maacutes
adelante) Si el resultado de una operacioacuten no es asignado a ninguna variable MATLAB lo asigna a
la variable del sistema ans
Al poner punto y coma no se muestra el resultado por pantalla Naturalmente la asignacioacuten de la
variable no resulta afectada
121 Who Whos
La orden who lista las variables definidas y con la orden whos obtenemos ademaacutes el tipo de variable
y su tamantildeo
Ejemplo 3
a = 3 b = 4 a
a + b
c = ans
who
whos
122 Variables especiales format
MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales como i o j que designan ambas a
la unidad imaginaria (i2 = j2 = ndash1) o pi para el nuacutemero π El nuacutemero e base de los logaritmos
neperianos no estaacute preasignado pero se obtiene faacutecilmente como exp(1)
La precisioacuten relativa en operaciones de coma flotante se llama eps El resultado de 10 en MATLAB
es Inf y el de 00 NaN 10 Infinito
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
00 Indeterminado
Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra
asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros
complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz
Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en
general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con
cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format
format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles
format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros
pequentildeos Explora otras opciones con help format
piformat long pi
format rat pi
123 Cadenas De Caracteres
Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para
introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o
funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero
y 0 si es falso)
Ejemplo 4
a=Esto es una cadena
b=Esto no
c=3
ischar(a)
ischar(c)
13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores
Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio
Puntos de un espacio n-dimensional
Magnitudes fiacutesicas
Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)
Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las
componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila
Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna
Ejemplo 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
rarr - 407680
Ejemplo Convertir el nuacutemero decimal 3248 x 10 ^ 4 a un nuacutemero binario de punto flotante
precisioacuten sencilla
Convertir de decimal a binario 3248 x 10 ^ 4 = 32480 = 111111011100000 =
111111011100000 x 2 ^ 14
Mantisa (23 bits) = 11111011100000000000000
Exponente en exceso = 14 + 127 = 141 = 10001101
Resultado -----------
Ejemplos 2 a) Convertir 0510 a binario y hallar su representacioacuten en IEEE precisioacuten simple 050
(050-0) 2 = 1 d0=0
(100-1) 2 = 0 d1=1
05010 = 012 = 10 x 2-1
exponente en exceso= -1 + 127 = 12610 = 0111 11102
0 01111110 00000000000000000000000
b) Convertir 37510 a binario y hallar su representacioacuten en IEEE precisioacuten simple 375
(375-3) 2 = 150 d0=3
(150-1) 2 = 100 d1=1
(100-1) 2 = 000 d2=1
37510 = 11112 = 1111 x 21
exponente en exceso= 1 + 127 = 12810 = 1000 00002
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejercicio
Convierta los siguientes valores decimales en valores binarios
a) 123 _________________
b) 202 _________________
c) 67 _________________
d) 7 _________________
e) 252 _________________
f) 91 _________________
Convierta los siguientes valores binarios en valores decimales
a 1110 _______________________________________________
b 100110_____________________________________________
c 11111111____________________________________________
d 11010011___________________________________________
e 01000001 __________________________________________
f 11001110 ___________________________________________
g 01110101___________________________________________
h 10001111 ___________________________________________
bull Determine el valor binario y decimal del siguiente nuacutemero binario en punto flotante
0 10011000 10000100010100110000000
bull Mencione las partes de un nuacutemero binario en punto flotante
bull iquestCuaacutentos bits tiene en total un nuacutemero binario en punto flotante de precisioacuten sencilla doble y
extendida
Convertir los siguientes nuacutemeros a punto flotante binario
-175610
157510
562510
10 x 10-1
10
575251010
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Resumen Los meacutetodos numeacutericos nos sirven para resolver problemas que no puedan manejarse con los
meacutetodos analiacuteticos tradicionales o no sea sencillo aplicarlos Estos meacutetodos proporcionan una
sucesioacuten de valores que se aproxima a la solucioacuten del problema
Al resolver un problema siempre tendremos presente errores El error de redondeo el error inherente
y el error de truncamiento
El error de redondeo es praacutecticamente inevitable y puede invalidar por completo la solucioacuten de un
problema Puede minimizarse su efecto ya sea reduciendo de alguna manera eacutel numero de caacutelculos
a realizar oacute reformulando la solucioacuten de un problema de tal forma que se evite las operaciones
aritmeacuteticas que ocasionan mas error
La suposicioacuten comuacuten de que trabajamos con nuacutemeros reales al realizar caacutelculos no es cierta Puede
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
acarrearnos serias discrepancias entre valores teoacutericos y valores calculados
La precisioacuten y la exactitud no son sinoacutenimas Una nos indica que tan confiable es un valor y la otra
que tan cerca estamos de el
1 Error absoluto El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una
aproximacioacuten a este valor Va
e = Vr ndash Va
2 Error relativo El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr
(siacute )
119890119903 =119890
119907119903=
119907119903minus119907119886
119907119903
3 Error porcentual El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por
ciento ()
Tambieacuten es usual emplear el valor absoluto en los paraacutemetros anteriores en cuyo caso se denominan
respectivamente error absoluto error relativo absoluto y error porcentual absoluto
4 Errores de redondeo
Los errores de redondeo se originan al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico
requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones
aritmeacuteticas como los productos y los cocientes teniendo que retener en cada operacioacuten el nuacutemero de
cifras que permita el instrumento de caacutelculo que se este utilizando Por ejemplo al calcular el valor
de tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3 que maneje nuestro
instrumento de calculo
Existen dos tipos de errores de redondeo
Error de redondeo inferior se desprecian los diacutegitos que no se pueden conservar dentro de la
memoria correspondiente
Error de redondeo superior este caso tiene dos alternativas seguacuten el signo del nuacutemero en
particular
- par nuacutemeros positivos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten de
memoria incrementa en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o igual a
5
- para nuacutemeros negativos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten
de la memoria se reduce en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o
igual a 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
5 Error numeacuterico total
El error numeacuterico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento
introducidos en el caacutelculo
Mientras maacutes caacutelculos se tengan que realizar para obtener un resultado el error de redondeo se iraacute
incrementando Pero por otro lado el error de truncamiento se puede minimizar al incluir maacutes
teacuterminos en la ecuacioacuten disminuir el paso o proseguir la iteracioacuten (o sea mayor nuacutemero de caacutelculos
y seguramente mayor error de redondeo)
6 Errores de equivocacioacuten
Son los errores por negligencia o equivocacioacuten Las computadoras pueden dar nuacutemeros erroacuteneos por
su funcionamiento Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los
hombres
Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesioacuten de
meacutetodos y el disentildeo de la solucioacuten del problema
Los errores humanos por negligencia son praacutecticamente inevitables pero se pueden minimizar
7 Cifras Significativas
El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de
un valor numeacuterico El nuacutemero de cifras significativas es el nuacutemero de diacutegitos que se puede usar con
plena confianza Por ejemplo podemos calcular un nuacutemero irracional con varias cifras pero de ellas
no todas sobre todo las uacuteltimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas Por otro
lado los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto
decimal Por ejemplo los siguientes nuacutemeros tienen todos 4 cifras significativas 000001985
00001985 0001985 1985 19851 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa
es comuacuten emplear la notacioacuten cientiacutefica
8 Precisioacuten y exactitud
Los errores asociados con los caacutelculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisioacuten
y exactitud La mayoriacutea de la gente piensa que estos teacuterminos son sinoacutenimos pero no es asiacute La
precisioacuten se refiere al nuacutemero de cifras significativas que representan una cantidad La exactitud se
refiere al grado de aproximacioacuten que se tiene de un nuacutemero o de una medida al valor verdadero que
se supone representa es decir que tan cerca estamos del valor buscado
9 Tipos de redondeo
Al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico requiere debemos de redondear Para
redondear se emplea usualmente
Redondeo truncado
Redondeo simeacutetrico
10 Redondeo truncado
El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operacioacuten al nuacutemero de cifras
significativas que se esteacuten utilizando Por ejemplo siacute redondeamos a 4 cifras significativas
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
tenemos 07777
11 Redondeo simeacutetrico
El redondeo simeacutetrico consiste en aumentar en uno la uacuteltima cifra retenida siacute la primera cifra
descartada esta entre 5 y 9 o dejarla igual siacute la primera cifra descartada esta entre 0 y 4 Por ejemplo
siacute redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 07778
Por ejemplo En la praacutectica puede no ser asiacute Siacute Realizamos la suma empleando
uacutenicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo Se obtiene
03333+06666=09999 (Redondeo truncado)
03333+06667=1000 (Redondeo simeacutetrico)
USO DE MATLAB EN METODOS NUMERICOS
1 Vectores y Funciones En esta primera Praacutectica aprenderemos a utilizar las oacuterdenes baacutesicas de MATLAB para trabajar con
escalares vectores y matrices evaluar funciones de una y dos variables y representarlas
graacuteficamente En praacutecticas posteriores usaremos habitualmente MATLAB para efectuar los caacutelculos
MATLAB (MATrix LABoratory) es un programa orientado al caacutelculo con matrices al que se
reducen muchos de los algoritmos que resuelven problemas de Matemaacutetica Aplicada e Ingenieriacutea
MATLAB ofrece un entorno interactivo sencillo mediante una ventana (que llamaremos ventana de
comandos) en la que podemos introducir ordenes en modo texto y en la que aparecen los resultados
Los graacuteficos se muestran en ventanas independientes Cada ventana dispone de una barra de menuacutes
que controla su funcionalidad
Aprenderemos a asignar borrar guardar y recuperar variables utilizar las funciones incorporadas y
maacutes adelante a definir funciones nuevas
En MATLAB todas las instrucciones tienen que estar escritas en minuacutesculas de esa forma nos
evitaremos errores de ejecucioacuten
MATLAB opera directamente con nuacutemeros complejos y con nuacutemeros reales como caso
particular
Lo que distingue a MATLAB de otros sistemas de caacutelculo es su facilidad para trabajar con vectores
y matrices Las operaciones ordinarias suma producto potencia operan por defecto sobre matrices
sin maacutes restriccioacuten que la compatibilidad de tamantildeos en cada caso
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
11 Comandos Baacutesicos 111 Help Dir Pwd
Help nos da una lista de temas sobre los que hay informacioacuten de ayuda
Helpwin abre una ventana de ayuda que es uacutetil para consultar informacioacuten sobre oacuterdenes de
MATLAB sin interferir con la ventana principal help tema explica concisamente el tema elegido y
antildeade informacioacuten sobre temas relacionados
Ejemplo 1
La instruccioacuten clc borra la ventana de comandos esa informacioacuten la obtendraacutes al ejecutar help clc
12 Variables En MATLAB las variables se asignan de modo natural Basta escribir un nombre de variable a
continuacioacuten el signo igual y luego el valor que toma esa variable Para aceptar como siempre hay
que pulsar [Intro] Escribiendo soacutelo el nombre de una variable previamente asignada MATLAB
devuelve su valor
Los signos + minus y ^ denotan las operaciones aritmeacuteticas de suma resta multiplicacioacuten divisioacuten
y elevacioacuten a una potencia (de modo que resultan vaacutelidas para matrices como veremos maacutes
adelante) Si el resultado de una operacioacuten no es asignado a ninguna variable MATLAB lo asigna a
la variable del sistema ans
Al poner punto y coma no se muestra el resultado por pantalla Naturalmente la asignacioacuten de la
variable no resulta afectada
121 Who Whos
La orden who lista las variables definidas y con la orden whos obtenemos ademaacutes el tipo de variable
y su tamantildeo
Ejemplo 3
a = 3 b = 4 a
a + b
c = ans
who
whos
122 Variables especiales format
MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales como i o j que designan ambas a
la unidad imaginaria (i2 = j2 = ndash1) o pi para el nuacutemero π El nuacutemero e base de los logaritmos
neperianos no estaacute preasignado pero se obtiene faacutecilmente como exp(1)
La precisioacuten relativa en operaciones de coma flotante se llama eps El resultado de 10 en MATLAB
es Inf y el de 00 NaN 10 Infinito
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
00 Indeterminado
Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra
asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros
complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz
Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en
general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con
cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format
format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles
format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros
pequentildeos Explora otras opciones con help format
piformat long pi
format rat pi
123 Cadenas De Caracteres
Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para
introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o
funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero
y 0 si es falso)
Ejemplo 4
a=Esto es una cadena
b=Esto no
c=3
ischar(a)
ischar(c)
13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores
Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio
Puntos de un espacio n-dimensional
Magnitudes fiacutesicas
Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)
Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las
componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila
Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna
Ejemplo 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejercicio
Convierta los siguientes valores decimales en valores binarios
a) 123 _________________
b) 202 _________________
c) 67 _________________
d) 7 _________________
e) 252 _________________
f) 91 _________________
Convierta los siguientes valores binarios en valores decimales
a 1110 _______________________________________________
b 100110_____________________________________________
c 11111111____________________________________________
d 11010011___________________________________________
e 01000001 __________________________________________
f 11001110 ___________________________________________
g 01110101___________________________________________
h 10001111 ___________________________________________
bull Determine el valor binario y decimal del siguiente nuacutemero binario en punto flotante
0 10011000 10000100010100110000000
bull Mencione las partes de un nuacutemero binario en punto flotante
bull iquestCuaacutentos bits tiene en total un nuacutemero binario en punto flotante de precisioacuten sencilla doble y
extendida
Convertir los siguientes nuacutemeros a punto flotante binario
-175610
157510
562510
10 x 10-1
10
575251010
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Resumen Los meacutetodos numeacutericos nos sirven para resolver problemas que no puedan manejarse con los
meacutetodos analiacuteticos tradicionales o no sea sencillo aplicarlos Estos meacutetodos proporcionan una
sucesioacuten de valores que se aproxima a la solucioacuten del problema
Al resolver un problema siempre tendremos presente errores El error de redondeo el error inherente
y el error de truncamiento
El error de redondeo es praacutecticamente inevitable y puede invalidar por completo la solucioacuten de un
problema Puede minimizarse su efecto ya sea reduciendo de alguna manera eacutel numero de caacutelculos
a realizar oacute reformulando la solucioacuten de un problema de tal forma que se evite las operaciones
aritmeacuteticas que ocasionan mas error
La suposicioacuten comuacuten de que trabajamos con nuacutemeros reales al realizar caacutelculos no es cierta Puede
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
acarrearnos serias discrepancias entre valores teoacutericos y valores calculados
La precisioacuten y la exactitud no son sinoacutenimas Una nos indica que tan confiable es un valor y la otra
que tan cerca estamos de el
1 Error absoluto El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una
aproximacioacuten a este valor Va
e = Vr ndash Va
2 Error relativo El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr
(siacute )
119890119903 =119890
119907119903=
119907119903minus119907119886
119907119903
3 Error porcentual El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por
ciento ()
Tambieacuten es usual emplear el valor absoluto en los paraacutemetros anteriores en cuyo caso se denominan
respectivamente error absoluto error relativo absoluto y error porcentual absoluto
4 Errores de redondeo
Los errores de redondeo se originan al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico
requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones
aritmeacuteticas como los productos y los cocientes teniendo que retener en cada operacioacuten el nuacutemero de
cifras que permita el instrumento de caacutelculo que se este utilizando Por ejemplo al calcular el valor
de tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3 que maneje nuestro
instrumento de calculo
Existen dos tipos de errores de redondeo
Error de redondeo inferior se desprecian los diacutegitos que no se pueden conservar dentro de la
memoria correspondiente
Error de redondeo superior este caso tiene dos alternativas seguacuten el signo del nuacutemero en
particular
- par nuacutemeros positivos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten de
memoria incrementa en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o igual a
5
- para nuacutemeros negativos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten
de la memoria se reduce en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o
igual a 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
5 Error numeacuterico total
El error numeacuterico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento
introducidos en el caacutelculo
Mientras maacutes caacutelculos se tengan que realizar para obtener un resultado el error de redondeo se iraacute
incrementando Pero por otro lado el error de truncamiento se puede minimizar al incluir maacutes
teacuterminos en la ecuacioacuten disminuir el paso o proseguir la iteracioacuten (o sea mayor nuacutemero de caacutelculos
y seguramente mayor error de redondeo)
6 Errores de equivocacioacuten
Son los errores por negligencia o equivocacioacuten Las computadoras pueden dar nuacutemeros erroacuteneos por
su funcionamiento Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los
hombres
Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesioacuten de
meacutetodos y el disentildeo de la solucioacuten del problema
Los errores humanos por negligencia son praacutecticamente inevitables pero se pueden minimizar
7 Cifras Significativas
El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de
un valor numeacuterico El nuacutemero de cifras significativas es el nuacutemero de diacutegitos que se puede usar con
plena confianza Por ejemplo podemos calcular un nuacutemero irracional con varias cifras pero de ellas
no todas sobre todo las uacuteltimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas Por otro
lado los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto
decimal Por ejemplo los siguientes nuacutemeros tienen todos 4 cifras significativas 000001985
00001985 0001985 1985 19851 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa
es comuacuten emplear la notacioacuten cientiacutefica
8 Precisioacuten y exactitud
Los errores asociados con los caacutelculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisioacuten
y exactitud La mayoriacutea de la gente piensa que estos teacuterminos son sinoacutenimos pero no es asiacute La
precisioacuten se refiere al nuacutemero de cifras significativas que representan una cantidad La exactitud se
refiere al grado de aproximacioacuten que se tiene de un nuacutemero o de una medida al valor verdadero que
se supone representa es decir que tan cerca estamos del valor buscado
9 Tipos de redondeo
Al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico requiere debemos de redondear Para
redondear se emplea usualmente
Redondeo truncado
Redondeo simeacutetrico
10 Redondeo truncado
El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operacioacuten al nuacutemero de cifras
significativas que se esteacuten utilizando Por ejemplo siacute redondeamos a 4 cifras significativas
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
tenemos 07777
11 Redondeo simeacutetrico
El redondeo simeacutetrico consiste en aumentar en uno la uacuteltima cifra retenida siacute la primera cifra
descartada esta entre 5 y 9 o dejarla igual siacute la primera cifra descartada esta entre 0 y 4 Por ejemplo
siacute redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 07778
Por ejemplo En la praacutectica puede no ser asiacute Siacute Realizamos la suma empleando
uacutenicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo Se obtiene
03333+06666=09999 (Redondeo truncado)
03333+06667=1000 (Redondeo simeacutetrico)
USO DE MATLAB EN METODOS NUMERICOS
1 Vectores y Funciones En esta primera Praacutectica aprenderemos a utilizar las oacuterdenes baacutesicas de MATLAB para trabajar con
escalares vectores y matrices evaluar funciones de una y dos variables y representarlas
graacuteficamente En praacutecticas posteriores usaremos habitualmente MATLAB para efectuar los caacutelculos
MATLAB (MATrix LABoratory) es un programa orientado al caacutelculo con matrices al que se
reducen muchos de los algoritmos que resuelven problemas de Matemaacutetica Aplicada e Ingenieriacutea
MATLAB ofrece un entorno interactivo sencillo mediante una ventana (que llamaremos ventana de
comandos) en la que podemos introducir ordenes en modo texto y en la que aparecen los resultados
Los graacuteficos se muestran en ventanas independientes Cada ventana dispone de una barra de menuacutes
que controla su funcionalidad
Aprenderemos a asignar borrar guardar y recuperar variables utilizar las funciones incorporadas y
maacutes adelante a definir funciones nuevas
En MATLAB todas las instrucciones tienen que estar escritas en minuacutesculas de esa forma nos
evitaremos errores de ejecucioacuten
MATLAB opera directamente con nuacutemeros complejos y con nuacutemeros reales como caso
particular
Lo que distingue a MATLAB de otros sistemas de caacutelculo es su facilidad para trabajar con vectores
y matrices Las operaciones ordinarias suma producto potencia operan por defecto sobre matrices
sin maacutes restriccioacuten que la compatibilidad de tamantildeos en cada caso
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
11 Comandos Baacutesicos 111 Help Dir Pwd
Help nos da una lista de temas sobre los que hay informacioacuten de ayuda
Helpwin abre una ventana de ayuda que es uacutetil para consultar informacioacuten sobre oacuterdenes de
MATLAB sin interferir con la ventana principal help tema explica concisamente el tema elegido y
antildeade informacioacuten sobre temas relacionados
Ejemplo 1
La instruccioacuten clc borra la ventana de comandos esa informacioacuten la obtendraacutes al ejecutar help clc
12 Variables En MATLAB las variables se asignan de modo natural Basta escribir un nombre de variable a
continuacioacuten el signo igual y luego el valor que toma esa variable Para aceptar como siempre hay
que pulsar [Intro] Escribiendo soacutelo el nombre de una variable previamente asignada MATLAB
devuelve su valor
Los signos + minus y ^ denotan las operaciones aritmeacuteticas de suma resta multiplicacioacuten divisioacuten
y elevacioacuten a una potencia (de modo que resultan vaacutelidas para matrices como veremos maacutes
adelante) Si el resultado de una operacioacuten no es asignado a ninguna variable MATLAB lo asigna a
la variable del sistema ans
Al poner punto y coma no se muestra el resultado por pantalla Naturalmente la asignacioacuten de la
variable no resulta afectada
121 Who Whos
La orden who lista las variables definidas y con la orden whos obtenemos ademaacutes el tipo de variable
y su tamantildeo
Ejemplo 3
a = 3 b = 4 a
a + b
c = ans
who
whos
122 Variables especiales format
MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales como i o j que designan ambas a
la unidad imaginaria (i2 = j2 = ndash1) o pi para el nuacutemero π El nuacutemero e base de los logaritmos
neperianos no estaacute preasignado pero se obtiene faacutecilmente como exp(1)
La precisioacuten relativa en operaciones de coma flotante se llama eps El resultado de 10 en MATLAB
es Inf y el de 00 NaN 10 Infinito
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
00 Indeterminado
Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra
asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros
complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz
Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en
general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con
cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format
format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles
format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros
pequentildeos Explora otras opciones con help format
piformat long pi
format rat pi
123 Cadenas De Caracteres
Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para
introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o
funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero
y 0 si es falso)
Ejemplo 4
a=Esto es una cadena
b=Esto no
c=3
ischar(a)
ischar(c)
13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores
Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio
Puntos de un espacio n-dimensional
Magnitudes fiacutesicas
Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)
Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las
componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila
Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna
Ejemplo 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Resumen Los meacutetodos numeacutericos nos sirven para resolver problemas que no puedan manejarse con los
meacutetodos analiacuteticos tradicionales o no sea sencillo aplicarlos Estos meacutetodos proporcionan una
sucesioacuten de valores que se aproxima a la solucioacuten del problema
Al resolver un problema siempre tendremos presente errores El error de redondeo el error inherente
y el error de truncamiento
El error de redondeo es praacutecticamente inevitable y puede invalidar por completo la solucioacuten de un
problema Puede minimizarse su efecto ya sea reduciendo de alguna manera eacutel numero de caacutelculos
a realizar oacute reformulando la solucioacuten de un problema de tal forma que se evite las operaciones
aritmeacuteticas que ocasionan mas error
La suposicioacuten comuacuten de que trabajamos con nuacutemeros reales al realizar caacutelculos no es cierta Puede
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
acarrearnos serias discrepancias entre valores teoacutericos y valores calculados
La precisioacuten y la exactitud no son sinoacutenimas Una nos indica que tan confiable es un valor y la otra
que tan cerca estamos de el
1 Error absoluto El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una
aproximacioacuten a este valor Va
e = Vr ndash Va
2 Error relativo El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr
(siacute )
119890119903 =119890
119907119903=
119907119903minus119907119886
119907119903
3 Error porcentual El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por
ciento ()
Tambieacuten es usual emplear el valor absoluto en los paraacutemetros anteriores en cuyo caso se denominan
respectivamente error absoluto error relativo absoluto y error porcentual absoluto
4 Errores de redondeo
Los errores de redondeo se originan al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico
requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones
aritmeacuteticas como los productos y los cocientes teniendo que retener en cada operacioacuten el nuacutemero de
cifras que permita el instrumento de caacutelculo que se este utilizando Por ejemplo al calcular el valor
de tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3 que maneje nuestro
instrumento de calculo
Existen dos tipos de errores de redondeo
Error de redondeo inferior se desprecian los diacutegitos que no se pueden conservar dentro de la
memoria correspondiente
Error de redondeo superior este caso tiene dos alternativas seguacuten el signo del nuacutemero en
particular
- par nuacutemeros positivos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten de
memoria incrementa en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o igual a
5
- para nuacutemeros negativos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten
de la memoria se reduce en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o
igual a 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
5 Error numeacuterico total
El error numeacuterico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento
introducidos en el caacutelculo
Mientras maacutes caacutelculos se tengan que realizar para obtener un resultado el error de redondeo se iraacute
incrementando Pero por otro lado el error de truncamiento se puede minimizar al incluir maacutes
teacuterminos en la ecuacioacuten disminuir el paso o proseguir la iteracioacuten (o sea mayor nuacutemero de caacutelculos
y seguramente mayor error de redondeo)
6 Errores de equivocacioacuten
Son los errores por negligencia o equivocacioacuten Las computadoras pueden dar nuacutemeros erroacuteneos por
su funcionamiento Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los
hombres
Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesioacuten de
meacutetodos y el disentildeo de la solucioacuten del problema
Los errores humanos por negligencia son praacutecticamente inevitables pero se pueden minimizar
7 Cifras Significativas
El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de
un valor numeacuterico El nuacutemero de cifras significativas es el nuacutemero de diacutegitos que se puede usar con
plena confianza Por ejemplo podemos calcular un nuacutemero irracional con varias cifras pero de ellas
no todas sobre todo las uacuteltimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas Por otro
lado los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto
decimal Por ejemplo los siguientes nuacutemeros tienen todos 4 cifras significativas 000001985
00001985 0001985 1985 19851 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa
es comuacuten emplear la notacioacuten cientiacutefica
8 Precisioacuten y exactitud
Los errores asociados con los caacutelculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisioacuten
y exactitud La mayoriacutea de la gente piensa que estos teacuterminos son sinoacutenimos pero no es asiacute La
precisioacuten se refiere al nuacutemero de cifras significativas que representan una cantidad La exactitud se
refiere al grado de aproximacioacuten que se tiene de un nuacutemero o de una medida al valor verdadero que
se supone representa es decir que tan cerca estamos del valor buscado
9 Tipos de redondeo
Al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico requiere debemos de redondear Para
redondear se emplea usualmente
Redondeo truncado
Redondeo simeacutetrico
10 Redondeo truncado
El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operacioacuten al nuacutemero de cifras
significativas que se esteacuten utilizando Por ejemplo siacute redondeamos a 4 cifras significativas
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
tenemos 07777
11 Redondeo simeacutetrico
El redondeo simeacutetrico consiste en aumentar en uno la uacuteltima cifra retenida siacute la primera cifra
descartada esta entre 5 y 9 o dejarla igual siacute la primera cifra descartada esta entre 0 y 4 Por ejemplo
siacute redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 07778
Por ejemplo En la praacutectica puede no ser asiacute Siacute Realizamos la suma empleando
uacutenicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo Se obtiene
03333+06666=09999 (Redondeo truncado)
03333+06667=1000 (Redondeo simeacutetrico)
USO DE MATLAB EN METODOS NUMERICOS
1 Vectores y Funciones En esta primera Praacutectica aprenderemos a utilizar las oacuterdenes baacutesicas de MATLAB para trabajar con
escalares vectores y matrices evaluar funciones de una y dos variables y representarlas
graacuteficamente En praacutecticas posteriores usaremos habitualmente MATLAB para efectuar los caacutelculos
MATLAB (MATrix LABoratory) es un programa orientado al caacutelculo con matrices al que se
reducen muchos de los algoritmos que resuelven problemas de Matemaacutetica Aplicada e Ingenieriacutea
MATLAB ofrece un entorno interactivo sencillo mediante una ventana (que llamaremos ventana de
comandos) en la que podemos introducir ordenes en modo texto y en la que aparecen los resultados
Los graacuteficos se muestran en ventanas independientes Cada ventana dispone de una barra de menuacutes
que controla su funcionalidad
Aprenderemos a asignar borrar guardar y recuperar variables utilizar las funciones incorporadas y
maacutes adelante a definir funciones nuevas
En MATLAB todas las instrucciones tienen que estar escritas en minuacutesculas de esa forma nos
evitaremos errores de ejecucioacuten
MATLAB opera directamente con nuacutemeros complejos y con nuacutemeros reales como caso
particular
Lo que distingue a MATLAB de otros sistemas de caacutelculo es su facilidad para trabajar con vectores
y matrices Las operaciones ordinarias suma producto potencia operan por defecto sobre matrices
sin maacutes restriccioacuten que la compatibilidad de tamantildeos en cada caso
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
11 Comandos Baacutesicos 111 Help Dir Pwd
Help nos da una lista de temas sobre los que hay informacioacuten de ayuda
Helpwin abre una ventana de ayuda que es uacutetil para consultar informacioacuten sobre oacuterdenes de
MATLAB sin interferir con la ventana principal help tema explica concisamente el tema elegido y
antildeade informacioacuten sobre temas relacionados
Ejemplo 1
La instruccioacuten clc borra la ventana de comandos esa informacioacuten la obtendraacutes al ejecutar help clc
12 Variables En MATLAB las variables se asignan de modo natural Basta escribir un nombre de variable a
continuacioacuten el signo igual y luego el valor que toma esa variable Para aceptar como siempre hay
que pulsar [Intro] Escribiendo soacutelo el nombre de una variable previamente asignada MATLAB
devuelve su valor
Los signos + minus y ^ denotan las operaciones aritmeacuteticas de suma resta multiplicacioacuten divisioacuten
y elevacioacuten a una potencia (de modo que resultan vaacutelidas para matrices como veremos maacutes
adelante) Si el resultado de una operacioacuten no es asignado a ninguna variable MATLAB lo asigna a
la variable del sistema ans
Al poner punto y coma no se muestra el resultado por pantalla Naturalmente la asignacioacuten de la
variable no resulta afectada
121 Who Whos
La orden who lista las variables definidas y con la orden whos obtenemos ademaacutes el tipo de variable
y su tamantildeo
Ejemplo 3
a = 3 b = 4 a
a + b
c = ans
who
whos
122 Variables especiales format
MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales como i o j que designan ambas a
la unidad imaginaria (i2 = j2 = ndash1) o pi para el nuacutemero π El nuacutemero e base de los logaritmos
neperianos no estaacute preasignado pero se obtiene faacutecilmente como exp(1)
La precisioacuten relativa en operaciones de coma flotante se llama eps El resultado de 10 en MATLAB
es Inf y el de 00 NaN 10 Infinito
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
00 Indeterminado
Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra
asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros
complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz
Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en
general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con
cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format
format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles
format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros
pequentildeos Explora otras opciones con help format
piformat long pi
format rat pi
123 Cadenas De Caracteres
Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para
introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o
funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero
y 0 si es falso)
Ejemplo 4
a=Esto es una cadena
b=Esto no
c=3
ischar(a)
ischar(c)
13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores
Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio
Puntos de un espacio n-dimensional
Magnitudes fiacutesicas
Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)
Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las
componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila
Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna
Ejemplo 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Resumen Los meacutetodos numeacutericos nos sirven para resolver problemas que no puedan manejarse con los
meacutetodos analiacuteticos tradicionales o no sea sencillo aplicarlos Estos meacutetodos proporcionan una
sucesioacuten de valores que se aproxima a la solucioacuten del problema
Al resolver un problema siempre tendremos presente errores El error de redondeo el error inherente
y el error de truncamiento
El error de redondeo es praacutecticamente inevitable y puede invalidar por completo la solucioacuten de un
problema Puede minimizarse su efecto ya sea reduciendo de alguna manera eacutel numero de caacutelculos
a realizar oacute reformulando la solucioacuten de un problema de tal forma que se evite las operaciones
aritmeacuteticas que ocasionan mas error
La suposicioacuten comuacuten de que trabajamos con nuacutemeros reales al realizar caacutelculos no es cierta Puede
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
acarrearnos serias discrepancias entre valores teoacutericos y valores calculados
La precisioacuten y la exactitud no son sinoacutenimas Una nos indica que tan confiable es un valor y la otra
que tan cerca estamos de el
1 Error absoluto El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una
aproximacioacuten a este valor Va
e = Vr ndash Va
2 Error relativo El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr
(siacute )
119890119903 =119890
119907119903=
119907119903minus119907119886
119907119903
3 Error porcentual El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por
ciento ()
Tambieacuten es usual emplear el valor absoluto en los paraacutemetros anteriores en cuyo caso se denominan
respectivamente error absoluto error relativo absoluto y error porcentual absoluto
4 Errores de redondeo
Los errores de redondeo se originan al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico
requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones
aritmeacuteticas como los productos y los cocientes teniendo que retener en cada operacioacuten el nuacutemero de
cifras que permita el instrumento de caacutelculo que se este utilizando Por ejemplo al calcular el valor
de tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3 que maneje nuestro
instrumento de calculo
Existen dos tipos de errores de redondeo
Error de redondeo inferior se desprecian los diacutegitos que no se pueden conservar dentro de la
memoria correspondiente
Error de redondeo superior este caso tiene dos alternativas seguacuten el signo del nuacutemero en
particular
- par nuacutemeros positivos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten de
memoria incrementa en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o igual a
5
- para nuacutemeros negativos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten
de la memoria se reduce en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o
igual a 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
5 Error numeacuterico total
El error numeacuterico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento
introducidos en el caacutelculo
Mientras maacutes caacutelculos se tengan que realizar para obtener un resultado el error de redondeo se iraacute
incrementando Pero por otro lado el error de truncamiento se puede minimizar al incluir maacutes
teacuterminos en la ecuacioacuten disminuir el paso o proseguir la iteracioacuten (o sea mayor nuacutemero de caacutelculos
y seguramente mayor error de redondeo)
6 Errores de equivocacioacuten
Son los errores por negligencia o equivocacioacuten Las computadoras pueden dar nuacutemeros erroacuteneos por
su funcionamiento Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los
hombres
Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesioacuten de
meacutetodos y el disentildeo de la solucioacuten del problema
Los errores humanos por negligencia son praacutecticamente inevitables pero se pueden minimizar
7 Cifras Significativas
El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de
un valor numeacuterico El nuacutemero de cifras significativas es el nuacutemero de diacutegitos que se puede usar con
plena confianza Por ejemplo podemos calcular un nuacutemero irracional con varias cifras pero de ellas
no todas sobre todo las uacuteltimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas Por otro
lado los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto
decimal Por ejemplo los siguientes nuacutemeros tienen todos 4 cifras significativas 000001985
00001985 0001985 1985 19851 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa
es comuacuten emplear la notacioacuten cientiacutefica
8 Precisioacuten y exactitud
Los errores asociados con los caacutelculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisioacuten
y exactitud La mayoriacutea de la gente piensa que estos teacuterminos son sinoacutenimos pero no es asiacute La
precisioacuten se refiere al nuacutemero de cifras significativas que representan una cantidad La exactitud se
refiere al grado de aproximacioacuten que se tiene de un nuacutemero o de una medida al valor verdadero que
se supone representa es decir que tan cerca estamos del valor buscado
9 Tipos de redondeo
Al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico requiere debemos de redondear Para
redondear se emplea usualmente
Redondeo truncado
Redondeo simeacutetrico
10 Redondeo truncado
El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operacioacuten al nuacutemero de cifras
significativas que se esteacuten utilizando Por ejemplo siacute redondeamos a 4 cifras significativas
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
tenemos 07777
11 Redondeo simeacutetrico
El redondeo simeacutetrico consiste en aumentar en uno la uacuteltima cifra retenida siacute la primera cifra
descartada esta entre 5 y 9 o dejarla igual siacute la primera cifra descartada esta entre 0 y 4 Por ejemplo
siacute redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 07778
Por ejemplo En la praacutectica puede no ser asiacute Siacute Realizamos la suma empleando
uacutenicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo Se obtiene
03333+06666=09999 (Redondeo truncado)
03333+06667=1000 (Redondeo simeacutetrico)
USO DE MATLAB EN METODOS NUMERICOS
1 Vectores y Funciones En esta primera Praacutectica aprenderemos a utilizar las oacuterdenes baacutesicas de MATLAB para trabajar con
escalares vectores y matrices evaluar funciones de una y dos variables y representarlas
graacuteficamente En praacutecticas posteriores usaremos habitualmente MATLAB para efectuar los caacutelculos
MATLAB (MATrix LABoratory) es un programa orientado al caacutelculo con matrices al que se
reducen muchos de los algoritmos que resuelven problemas de Matemaacutetica Aplicada e Ingenieriacutea
MATLAB ofrece un entorno interactivo sencillo mediante una ventana (que llamaremos ventana de
comandos) en la que podemos introducir ordenes en modo texto y en la que aparecen los resultados
Los graacuteficos se muestran en ventanas independientes Cada ventana dispone de una barra de menuacutes
que controla su funcionalidad
Aprenderemos a asignar borrar guardar y recuperar variables utilizar las funciones incorporadas y
maacutes adelante a definir funciones nuevas
En MATLAB todas las instrucciones tienen que estar escritas en minuacutesculas de esa forma nos
evitaremos errores de ejecucioacuten
MATLAB opera directamente con nuacutemeros complejos y con nuacutemeros reales como caso
particular
Lo que distingue a MATLAB de otros sistemas de caacutelculo es su facilidad para trabajar con vectores
y matrices Las operaciones ordinarias suma producto potencia operan por defecto sobre matrices
sin maacutes restriccioacuten que la compatibilidad de tamantildeos en cada caso
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
11 Comandos Baacutesicos 111 Help Dir Pwd
Help nos da una lista de temas sobre los que hay informacioacuten de ayuda
Helpwin abre una ventana de ayuda que es uacutetil para consultar informacioacuten sobre oacuterdenes de
MATLAB sin interferir con la ventana principal help tema explica concisamente el tema elegido y
antildeade informacioacuten sobre temas relacionados
Ejemplo 1
La instruccioacuten clc borra la ventana de comandos esa informacioacuten la obtendraacutes al ejecutar help clc
12 Variables En MATLAB las variables se asignan de modo natural Basta escribir un nombre de variable a
continuacioacuten el signo igual y luego el valor que toma esa variable Para aceptar como siempre hay
que pulsar [Intro] Escribiendo soacutelo el nombre de una variable previamente asignada MATLAB
devuelve su valor
Los signos + minus y ^ denotan las operaciones aritmeacuteticas de suma resta multiplicacioacuten divisioacuten
y elevacioacuten a una potencia (de modo que resultan vaacutelidas para matrices como veremos maacutes
adelante) Si el resultado de una operacioacuten no es asignado a ninguna variable MATLAB lo asigna a
la variable del sistema ans
Al poner punto y coma no se muestra el resultado por pantalla Naturalmente la asignacioacuten de la
variable no resulta afectada
121 Who Whos
La orden who lista las variables definidas y con la orden whos obtenemos ademaacutes el tipo de variable
y su tamantildeo
Ejemplo 3
a = 3 b = 4 a
a + b
c = ans
who
whos
122 Variables especiales format
MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales como i o j que designan ambas a
la unidad imaginaria (i2 = j2 = ndash1) o pi para el nuacutemero π El nuacutemero e base de los logaritmos
neperianos no estaacute preasignado pero se obtiene faacutecilmente como exp(1)
La precisioacuten relativa en operaciones de coma flotante se llama eps El resultado de 10 en MATLAB
es Inf y el de 00 NaN 10 Infinito
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
00 Indeterminado
Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra
asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros
complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz
Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en
general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con
cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format
format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles
format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros
pequentildeos Explora otras opciones con help format
piformat long pi
format rat pi
123 Cadenas De Caracteres
Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para
introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o
funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero
y 0 si es falso)
Ejemplo 4
a=Esto es una cadena
b=Esto no
c=3
ischar(a)
ischar(c)
13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores
Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio
Puntos de un espacio n-dimensional
Magnitudes fiacutesicas
Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)
Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las
componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila
Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna
Ejemplo 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Resumen Los meacutetodos numeacutericos nos sirven para resolver problemas que no puedan manejarse con los
meacutetodos analiacuteticos tradicionales o no sea sencillo aplicarlos Estos meacutetodos proporcionan una
sucesioacuten de valores que se aproxima a la solucioacuten del problema
Al resolver un problema siempre tendremos presente errores El error de redondeo el error inherente
y el error de truncamiento
El error de redondeo es praacutecticamente inevitable y puede invalidar por completo la solucioacuten de un
problema Puede minimizarse su efecto ya sea reduciendo de alguna manera eacutel numero de caacutelculos
a realizar oacute reformulando la solucioacuten de un problema de tal forma que se evite las operaciones
aritmeacuteticas que ocasionan mas error
La suposicioacuten comuacuten de que trabajamos con nuacutemeros reales al realizar caacutelculos no es cierta Puede
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
acarrearnos serias discrepancias entre valores teoacutericos y valores calculados
La precisioacuten y la exactitud no son sinoacutenimas Una nos indica que tan confiable es un valor y la otra
que tan cerca estamos de el
1 Error absoluto El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una
aproximacioacuten a este valor Va
e = Vr ndash Va
2 Error relativo El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr
(siacute )
119890119903 =119890
119907119903=
119907119903minus119907119886
119907119903
3 Error porcentual El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por
ciento ()
Tambieacuten es usual emplear el valor absoluto en los paraacutemetros anteriores en cuyo caso se denominan
respectivamente error absoluto error relativo absoluto y error porcentual absoluto
4 Errores de redondeo
Los errores de redondeo se originan al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico
requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones
aritmeacuteticas como los productos y los cocientes teniendo que retener en cada operacioacuten el nuacutemero de
cifras que permita el instrumento de caacutelculo que se este utilizando Por ejemplo al calcular el valor
de tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3 que maneje nuestro
instrumento de calculo
Existen dos tipos de errores de redondeo
Error de redondeo inferior se desprecian los diacutegitos que no se pueden conservar dentro de la
memoria correspondiente
Error de redondeo superior este caso tiene dos alternativas seguacuten el signo del nuacutemero en
particular
- par nuacutemeros positivos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten de
memoria incrementa en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o igual a
5
- para nuacutemeros negativos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten
de la memoria se reduce en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o
igual a 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
5 Error numeacuterico total
El error numeacuterico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento
introducidos en el caacutelculo
Mientras maacutes caacutelculos se tengan que realizar para obtener un resultado el error de redondeo se iraacute
incrementando Pero por otro lado el error de truncamiento se puede minimizar al incluir maacutes
teacuterminos en la ecuacioacuten disminuir el paso o proseguir la iteracioacuten (o sea mayor nuacutemero de caacutelculos
y seguramente mayor error de redondeo)
6 Errores de equivocacioacuten
Son los errores por negligencia o equivocacioacuten Las computadoras pueden dar nuacutemeros erroacuteneos por
su funcionamiento Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los
hombres
Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesioacuten de
meacutetodos y el disentildeo de la solucioacuten del problema
Los errores humanos por negligencia son praacutecticamente inevitables pero se pueden minimizar
7 Cifras Significativas
El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de
un valor numeacuterico El nuacutemero de cifras significativas es el nuacutemero de diacutegitos que se puede usar con
plena confianza Por ejemplo podemos calcular un nuacutemero irracional con varias cifras pero de ellas
no todas sobre todo las uacuteltimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas Por otro
lado los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto
decimal Por ejemplo los siguientes nuacutemeros tienen todos 4 cifras significativas 000001985
00001985 0001985 1985 19851 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa
es comuacuten emplear la notacioacuten cientiacutefica
8 Precisioacuten y exactitud
Los errores asociados con los caacutelculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisioacuten
y exactitud La mayoriacutea de la gente piensa que estos teacuterminos son sinoacutenimos pero no es asiacute La
precisioacuten se refiere al nuacutemero de cifras significativas que representan una cantidad La exactitud se
refiere al grado de aproximacioacuten que se tiene de un nuacutemero o de una medida al valor verdadero que
se supone representa es decir que tan cerca estamos del valor buscado
9 Tipos de redondeo
Al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico requiere debemos de redondear Para
redondear se emplea usualmente
Redondeo truncado
Redondeo simeacutetrico
10 Redondeo truncado
El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operacioacuten al nuacutemero de cifras
significativas que se esteacuten utilizando Por ejemplo siacute redondeamos a 4 cifras significativas
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
tenemos 07777
11 Redondeo simeacutetrico
El redondeo simeacutetrico consiste en aumentar en uno la uacuteltima cifra retenida siacute la primera cifra
descartada esta entre 5 y 9 o dejarla igual siacute la primera cifra descartada esta entre 0 y 4 Por ejemplo
siacute redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 07778
Por ejemplo En la praacutectica puede no ser asiacute Siacute Realizamos la suma empleando
uacutenicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo Se obtiene
03333+06666=09999 (Redondeo truncado)
03333+06667=1000 (Redondeo simeacutetrico)
USO DE MATLAB EN METODOS NUMERICOS
1 Vectores y Funciones En esta primera Praacutectica aprenderemos a utilizar las oacuterdenes baacutesicas de MATLAB para trabajar con
escalares vectores y matrices evaluar funciones de una y dos variables y representarlas
graacuteficamente En praacutecticas posteriores usaremos habitualmente MATLAB para efectuar los caacutelculos
MATLAB (MATrix LABoratory) es un programa orientado al caacutelculo con matrices al que se
reducen muchos de los algoritmos que resuelven problemas de Matemaacutetica Aplicada e Ingenieriacutea
MATLAB ofrece un entorno interactivo sencillo mediante una ventana (que llamaremos ventana de
comandos) en la que podemos introducir ordenes en modo texto y en la que aparecen los resultados
Los graacuteficos se muestran en ventanas independientes Cada ventana dispone de una barra de menuacutes
que controla su funcionalidad
Aprenderemos a asignar borrar guardar y recuperar variables utilizar las funciones incorporadas y
maacutes adelante a definir funciones nuevas
En MATLAB todas las instrucciones tienen que estar escritas en minuacutesculas de esa forma nos
evitaremos errores de ejecucioacuten
MATLAB opera directamente con nuacutemeros complejos y con nuacutemeros reales como caso
particular
Lo que distingue a MATLAB de otros sistemas de caacutelculo es su facilidad para trabajar con vectores
y matrices Las operaciones ordinarias suma producto potencia operan por defecto sobre matrices
sin maacutes restriccioacuten que la compatibilidad de tamantildeos en cada caso
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
11 Comandos Baacutesicos 111 Help Dir Pwd
Help nos da una lista de temas sobre los que hay informacioacuten de ayuda
Helpwin abre una ventana de ayuda que es uacutetil para consultar informacioacuten sobre oacuterdenes de
MATLAB sin interferir con la ventana principal help tema explica concisamente el tema elegido y
antildeade informacioacuten sobre temas relacionados
Ejemplo 1
La instruccioacuten clc borra la ventana de comandos esa informacioacuten la obtendraacutes al ejecutar help clc
12 Variables En MATLAB las variables se asignan de modo natural Basta escribir un nombre de variable a
continuacioacuten el signo igual y luego el valor que toma esa variable Para aceptar como siempre hay
que pulsar [Intro] Escribiendo soacutelo el nombre de una variable previamente asignada MATLAB
devuelve su valor
Los signos + minus y ^ denotan las operaciones aritmeacuteticas de suma resta multiplicacioacuten divisioacuten
y elevacioacuten a una potencia (de modo que resultan vaacutelidas para matrices como veremos maacutes
adelante) Si el resultado de una operacioacuten no es asignado a ninguna variable MATLAB lo asigna a
la variable del sistema ans
Al poner punto y coma no se muestra el resultado por pantalla Naturalmente la asignacioacuten de la
variable no resulta afectada
121 Who Whos
La orden who lista las variables definidas y con la orden whos obtenemos ademaacutes el tipo de variable
y su tamantildeo
Ejemplo 3
a = 3 b = 4 a
a + b
c = ans
who
whos
122 Variables especiales format
MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales como i o j que designan ambas a
la unidad imaginaria (i2 = j2 = ndash1) o pi para el nuacutemero π El nuacutemero e base de los logaritmos
neperianos no estaacute preasignado pero se obtiene faacutecilmente como exp(1)
La precisioacuten relativa en operaciones de coma flotante se llama eps El resultado de 10 en MATLAB
es Inf y el de 00 NaN 10 Infinito
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
00 Indeterminado
Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra
asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros
complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz
Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en
general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con
cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format
format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles
format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros
pequentildeos Explora otras opciones con help format
piformat long pi
format rat pi
123 Cadenas De Caracteres
Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para
introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o
funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero
y 0 si es falso)
Ejemplo 4
a=Esto es una cadena
b=Esto no
c=3
ischar(a)
ischar(c)
13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores
Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio
Puntos de un espacio n-dimensional
Magnitudes fiacutesicas
Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)
Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las
componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila
Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna
Ejemplo 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Resumen Los meacutetodos numeacutericos nos sirven para resolver problemas que no puedan manejarse con los
meacutetodos analiacuteticos tradicionales o no sea sencillo aplicarlos Estos meacutetodos proporcionan una
sucesioacuten de valores que se aproxima a la solucioacuten del problema
Al resolver un problema siempre tendremos presente errores El error de redondeo el error inherente
y el error de truncamiento
El error de redondeo es praacutecticamente inevitable y puede invalidar por completo la solucioacuten de un
problema Puede minimizarse su efecto ya sea reduciendo de alguna manera eacutel numero de caacutelculos
a realizar oacute reformulando la solucioacuten de un problema de tal forma que se evite las operaciones
aritmeacuteticas que ocasionan mas error
La suposicioacuten comuacuten de que trabajamos con nuacutemeros reales al realizar caacutelculos no es cierta Puede
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
acarrearnos serias discrepancias entre valores teoacutericos y valores calculados
La precisioacuten y la exactitud no son sinoacutenimas Una nos indica que tan confiable es un valor y la otra
que tan cerca estamos de el
1 Error absoluto El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una
aproximacioacuten a este valor Va
e = Vr ndash Va
2 Error relativo El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr
(siacute )
119890119903 =119890
119907119903=
119907119903minus119907119886
119907119903
3 Error porcentual El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por
ciento ()
Tambieacuten es usual emplear el valor absoluto en los paraacutemetros anteriores en cuyo caso se denominan
respectivamente error absoluto error relativo absoluto y error porcentual absoluto
4 Errores de redondeo
Los errores de redondeo se originan al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico
requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones
aritmeacuteticas como los productos y los cocientes teniendo que retener en cada operacioacuten el nuacutemero de
cifras que permita el instrumento de caacutelculo que se este utilizando Por ejemplo al calcular el valor
de tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3 que maneje nuestro
instrumento de calculo
Existen dos tipos de errores de redondeo
Error de redondeo inferior se desprecian los diacutegitos que no se pueden conservar dentro de la
memoria correspondiente
Error de redondeo superior este caso tiene dos alternativas seguacuten el signo del nuacutemero en
particular
- par nuacutemeros positivos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten de
memoria incrementa en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o igual a
5
- para nuacutemeros negativos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten
de la memoria se reduce en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o
igual a 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
5 Error numeacuterico total
El error numeacuterico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento
introducidos en el caacutelculo
Mientras maacutes caacutelculos se tengan que realizar para obtener un resultado el error de redondeo se iraacute
incrementando Pero por otro lado el error de truncamiento se puede minimizar al incluir maacutes
teacuterminos en la ecuacioacuten disminuir el paso o proseguir la iteracioacuten (o sea mayor nuacutemero de caacutelculos
y seguramente mayor error de redondeo)
6 Errores de equivocacioacuten
Son los errores por negligencia o equivocacioacuten Las computadoras pueden dar nuacutemeros erroacuteneos por
su funcionamiento Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los
hombres
Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesioacuten de
meacutetodos y el disentildeo de la solucioacuten del problema
Los errores humanos por negligencia son praacutecticamente inevitables pero se pueden minimizar
7 Cifras Significativas
El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de
un valor numeacuterico El nuacutemero de cifras significativas es el nuacutemero de diacutegitos que se puede usar con
plena confianza Por ejemplo podemos calcular un nuacutemero irracional con varias cifras pero de ellas
no todas sobre todo las uacuteltimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas Por otro
lado los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto
decimal Por ejemplo los siguientes nuacutemeros tienen todos 4 cifras significativas 000001985
00001985 0001985 1985 19851 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa
es comuacuten emplear la notacioacuten cientiacutefica
8 Precisioacuten y exactitud
Los errores asociados con los caacutelculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisioacuten
y exactitud La mayoriacutea de la gente piensa que estos teacuterminos son sinoacutenimos pero no es asiacute La
precisioacuten se refiere al nuacutemero de cifras significativas que representan una cantidad La exactitud se
refiere al grado de aproximacioacuten que se tiene de un nuacutemero o de una medida al valor verdadero que
se supone representa es decir que tan cerca estamos del valor buscado
9 Tipos de redondeo
Al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico requiere debemos de redondear Para
redondear se emplea usualmente
Redondeo truncado
Redondeo simeacutetrico
10 Redondeo truncado
El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operacioacuten al nuacutemero de cifras
significativas que se esteacuten utilizando Por ejemplo siacute redondeamos a 4 cifras significativas
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
tenemos 07777
11 Redondeo simeacutetrico
El redondeo simeacutetrico consiste en aumentar en uno la uacuteltima cifra retenida siacute la primera cifra
descartada esta entre 5 y 9 o dejarla igual siacute la primera cifra descartada esta entre 0 y 4 Por ejemplo
siacute redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 07778
Por ejemplo En la praacutectica puede no ser asiacute Siacute Realizamos la suma empleando
uacutenicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo Se obtiene
03333+06666=09999 (Redondeo truncado)
03333+06667=1000 (Redondeo simeacutetrico)
USO DE MATLAB EN METODOS NUMERICOS
1 Vectores y Funciones En esta primera Praacutectica aprenderemos a utilizar las oacuterdenes baacutesicas de MATLAB para trabajar con
escalares vectores y matrices evaluar funciones de una y dos variables y representarlas
graacuteficamente En praacutecticas posteriores usaremos habitualmente MATLAB para efectuar los caacutelculos
MATLAB (MATrix LABoratory) es un programa orientado al caacutelculo con matrices al que se
reducen muchos de los algoritmos que resuelven problemas de Matemaacutetica Aplicada e Ingenieriacutea
MATLAB ofrece un entorno interactivo sencillo mediante una ventana (que llamaremos ventana de
comandos) en la que podemos introducir ordenes en modo texto y en la que aparecen los resultados
Los graacuteficos se muestran en ventanas independientes Cada ventana dispone de una barra de menuacutes
que controla su funcionalidad
Aprenderemos a asignar borrar guardar y recuperar variables utilizar las funciones incorporadas y
maacutes adelante a definir funciones nuevas
En MATLAB todas las instrucciones tienen que estar escritas en minuacutesculas de esa forma nos
evitaremos errores de ejecucioacuten
MATLAB opera directamente con nuacutemeros complejos y con nuacutemeros reales como caso
particular
Lo que distingue a MATLAB de otros sistemas de caacutelculo es su facilidad para trabajar con vectores
y matrices Las operaciones ordinarias suma producto potencia operan por defecto sobre matrices
sin maacutes restriccioacuten que la compatibilidad de tamantildeos en cada caso
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
11 Comandos Baacutesicos 111 Help Dir Pwd
Help nos da una lista de temas sobre los que hay informacioacuten de ayuda
Helpwin abre una ventana de ayuda que es uacutetil para consultar informacioacuten sobre oacuterdenes de
MATLAB sin interferir con la ventana principal help tema explica concisamente el tema elegido y
antildeade informacioacuten sobre temas relacionados
Ejemplo 1
La instruccioacuten clc borra la ventana de comandos esa informacioacuten la obtendraacutes al ejecutar help clc
12 Variables En MATLAB las variables se asignan de modo natural Basta escribir un nombre de variable a
continuacioacuten el signo igual y luego el valor que toma esa variable Para aceptar como siempre hay
que pulsar [Intro] Escribiendo soacutelo el nombre de una variable previamente asignada MATLAB
devuelve su valor
Los signos + minus y ^ denotan las operaciones aritmeacuteticas de suma resta multiplicacioacuten divisioacuten
y elevacioacuten a una potencia (de modo que resultan vaacutelidas para matrices como veremos maacutes
adelante) Si el resultado de una operacioacuten no es asignado a ninguna variable MATLAB lo asigna a
la variable del sistema ans
Al poner punto y coma no se muestra el resultado por pantalla Naturalmente la asignacioacuten de la
variable no resulta afectada
121 Who Whos
La orden who lista las variables definidas y con la orden whos obtenemos ademaacutes el tipo de variable
y su tamantildeo
Ejemplo 3
a = 3 b = 4 a
a + b
c = ans
who
whos
122 Variables especiales format
MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales como i o j que designan ambas a
la unidad imaginaria (i2 = j2 = ndash1) o pi para el nuacutemero π El nuacutemero e base de los logaritmos
neperianos no estaacute preasignado pero se obtiene faacutecilmente como exp(1)
La precisioacuten relativa en operaciones de coma flotante se llama eps El resultado de 10 en MATLAB
es Inf y el de 00 NaN 10 Infinito
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
00 Indeterminado
Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra
asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros
complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz
Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en
general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con
cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format
format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles
format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros
pequentildeos Explora otras opciones con help format
piformat long pi
format rat pi
123 Cadenas De Caracteres
Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para
introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o
funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero
y 0 si es falso)
Ejemplo 4
a=Esto es una cadena
b=Esto no
c=3
ischar(a)
ischar(c)
13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores
Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio
Puntos de un espacio n-dimensional
Magnitudes fiacutesicas
Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)
Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las
componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila
Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna
Ejemplo 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Resumen Los meacutetodos numeacutericos nos sirven para resolver problemas que no puedan manejarse con los
meacutetodos analiacuteticos tradicionales o no sea sencillo aplicarlos Estos meacutetodos proporcionan una
sucesioacuten de valores que se aproxima a la solucioacuten del problema
Al resolver un problema siempre tendremos presente errores El error de redondeo el error inherente
y el error de truncamiento
El error de redondeo es praacutecticamente inevitable y puede invalidar por completo la solucioacuten de un
problema Puede minimizarse su efecto ya sea reduciendo de alguna manera eacutel numero de caacutelculos
a realizar oacute reformulando la solucioacuten de un problema de tal forma que se evite las operaciones
aritmeacuteticas que ocasionan mas error
La suposicioacuten comuacuten de que trabajamos con nuacutemeros reales al realizar caacutelculos no es cierta Puede
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
acarrearnos serias discrepancias entre valores teoacutericos y valores calculados
La precisioacuten y la exactitud no son sinoacutenimas Una nos indica que tan confiable es un valor y la otra
que tan cerca estamos de el
1 Error absoluto El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una
aproximacioacuten a este valor Va
e = Vr ndash Va
2 Error relativo El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr
(siacute )
119890119903 =119890
119907119903=
119907119903minus119907119886
119907119903
3 Error porcentual El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por
ciento ()
Tambieacuten es usual emplear el valor absoluto en los paraacutemetros anteriores en cuyo caso se denominan
respectivamente error absoluto error relativo absoluto y error porcentual absoluto
4 Errores de redondeo
Los errores de redondeo se originan al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico
requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones
aritmeacuteticas como los productos y los cocientes teniendo que retener en cada operacioacuten el nuacutemero de
cifras que permita el instrumento de caacutelculo que se este utilizando Por ejemplo al calcular el valor
de tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3 que maneje nuestro
instrumento de calculo
Existen dos tipos de errores de redondeo
Error de redondeo inferior se desprecian los diacutegitos que no se pueden conservar dentro de la
memoria correspondiente
Error de redondeo superior este caso tiene dos alternativas seguacuten el signo del nuacutemero en
particular
- par nuacutemeros positivos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten de
memoria incrementa en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o igual a
5
- para nuacutemeros negativos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten
de la memoria se reduce en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o
igual a 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
5 Error numeacuterico total
El error numeacuterico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento
introducidos en el caacutelculo
Mientras maacutes caacutelculos se tengan que realizar para obtener un resultado el error de redondeo se iraacute
incrementando Pero por otro lado el error de truncamiento se puede minimizar al incluir maacutes
teacuterminos en la ecuacioacuten disminuir el paso o proseguir la iteracioacuten (o sea mayor nuacutemero de caacutelculos
y seguramente mayor error de redondeo)
6 Errores de equivocacioacuten
Son los errores por negligencia o equivocacioacuten Las computadoras pueden dar nuacutemeros erroacuteneos por
su funcionamiento Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los
hombres
Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesioacuten de
meacutetodos y el disentildeo de la solucioacuten del problema
Los errores humanos por negligencia son praacutecticamente inevitables pero se pueden minimizar
7 Cifras Significativas
El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de
un valor numeacuterico El nuacutemero de cifras significativas es el nuacutemero de diacutegitos que se puede usar con
plena confianza Por ejemplo podemos calcular un nuacutemero irracional con varias cifras pero de ellas
no todas sobre todo las uacuteltimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas Por otro
lado los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto
decimal Por ejemplo los siguientes nuacutemeros tienen todos 4 cifras significativas 000001985
00001985 0001985 1985 19851 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa
es comuacuten emplear la notacioacuten cientiacutefica
8 Precisioacuten y exactitud
Los errores asociados con los caacutelculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisioacuten
y exactitud La mayoriacutea de la gente piensa que estos teacuterminos son sinoacutenimos pero no es asiacute La
precisioacuten se refiere al nuacutemero de cifras significativas que representan una cantidad La exactitud se
refiere al grado de aproximacioacuten que se tiene de un nuacutemero o de una medida al valor verdadero que
se supone representa es decir que tan cerca estamos del valor buscado
9 Tipos de redondeo
Al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico requiere debemos de redondear Para
redondear se emplea usualmente
Redondeo truncado
Redondeo simeacutetrico
10 Redondeo truncado
El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operacioacuten al nuacutemero de cifras
significativas que se esteacuten utilizando Por ejemplo siacute redondeamos a 4 cifras significativas
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
tenemos 07777
11 Redondeo simeacutetrico
El redondeo simeacutetrico consiste en aumentar en uno la uacuteltima cifra retenida siacute la primera cifra
descartada esta entre 5 y 9 o dejarla igual siacute la primera cifra descartada esta entre 0 y 4 Por ejemplo
siacute redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 07778
Por ejemplo En la praacutectica puede no ser asiacute Siacute Realizamos la suma empleando
uacutenicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo Se obtiene
03333+06666=09999 (Redondeo truncado)
03333+06667=1000 (Redondeo simeacutetrico)
USO DE MATLAB EN METODOS NUMERICOS
1 Vectores y Funciones En esta primera Praacutectica aprenderemos a utilizar las oacuterdenes baacutesicas de MATLAB para trabajar con
escalares vectores y matrices evaluar funciones de una y dos variables y representarlas
graacuteficamente En praacutecticas posteriores usaremos habitualmente MATLAB para efectuar los caacutelculos
MATLAB (MATrix LABoratory) es un programa orientado al caacutelculo con matrices al que se
reducen muchos de los algoritmos que resuelven problemas de Matemaacutetica Aplicada e Ingenieriacutea
MATLAB ofrece un entorno interactivo sencillo mediante una ventana (que llamaremos ventana de
comandos) en la que podemos introducir ordenes en modo texto y en la que aparecen los resultados
Los graacuteficos se muestran en ventanas independientes Cada ventana dispone de una barra de menuacutes
que controla su funcionalidad
Aprenderemos a asignar borrar guardar y recuperar variables utilizar las funciones incorporadas y
maacutes adelante a definir funciones nuevas
En MATLAB todas las instrucciones tienen que estar escritas en minuacutesculas de esa forma nos
evitaremos errores de ejecucioacuten
MATLAB opera directamente con nuacutemeros complejos y con nuacutemeros reales como caso
particular
Lo que distingue a MATLAB de otros sistemas de caacutelculo es su facilidad para trabajar con vectores
y matrices Las operaciones ordinarias suma producto potencia operan por defecto sobre matrices
sin maacutes restriccioacuten que la compatibilidad de tamantildeos en cada caso
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
11 Comandos Baacutesicos 111 Help Dir Pwd
Help nos da una lista de temas sobre los que hay informacioacuten de ayuda
Helpwin abre una ventana de ayuda que es uacutetil para consultar informacioacuten sobre oacuterdenes de
MATLAB sin interferir con la ventana principal help tema explica concisamente el tema elegido y
antildeade informacioacuten sobre temas relacionados
Ejemplo 1
La instruccioacuten clc borra la ventana de comandos esa informacioacuten la obtendraacutes al ejecutar help clc
12 Variables En MATLAB las variables se asignan de modo natural Basta escribir un nombre de variable a
continuacioacuten el signo igual y luego el valor que toma esa variable Para aceptar como siempre hay
que pulsar [Intro] Escribiendo soacutelo el nombre de una variable previamente asignada MATLAB
devuelve su valor
Los signos + minus y ^ denotan las operaciones aritmeacuteticas de suma resta multiplicacioacuten divisioacuten
y elevacioacuten a una potencia (de modo que resultan vaacutelidas para matrices como veremos maacutes
adelante) Si el resultado de una operacioacuten no es asignado a ninguna variable MATLAB lo asigna a
la variable del sistema ans
Al poner punto y coma no se muestra el resultado por pantalla Naturalmente la asignacioacuten de la
variable no resulta afectada
121 Who Whos
La orden who lista las variables definidas y con la orden whos obtenemos ademaacutes el tipo de variable
y su tamantildeo
Ejemplo 3
a = 3 b = 4 a
a + b
c = ans
who
whos
122 Variables especiales format
MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales como i o j que designan ambas a
la unidad imaginaria (i2 = j2 = ndash1) o pi para el nuacutemero π El nuacutemero e base de los logaritmos
neperianos no estaacute preasignado pero se obtiene faacutecilmente como exp(1)
La precisioacuten relativa en operaciones de coma flotante se llama eps El resultado de 10 en MATLAB
es Inf y el de 00 NaN 10 Infinito
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
00 Indeterminado
Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra
asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros
complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz
Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en
general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con
cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format
format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles
format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros
pequentildeos Explora otras opciones con help format
piformat long pi
format rat pi
123 Cadenas De Caracteres
Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para
introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o
funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero
y 0 si es falso)
Ejemplo 4
a=Esto es una cadena
b=Esto no
c=3
ischar(a)
ischar(c)
13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores
Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio
Puntos de un espacio n-dimensional
Magnitudes fiacutesicas
Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)
Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las
componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila
Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna
Ejemplo 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Resumen Los meacutetodos numeacutericos nos sirven para resolver problemas que no puedan manejarse con los
meacutetodos analiacuteticos tradicionales o no sea sencillo aplicarlos Estos meacutetodos proporcionan una
sucesioacuten de valores que se aproxima a la solucioacuten del problema
Al resolver un problema siempre tendremos presente errores El error de redondeo el error inherente
y el error de truncamiento
El error de redondeo es praacutecticamente inevitable y puede invalidar por completo la solucioacuten de un
problema Puede minimizarse su efecto ya sea reduciendo de alguna manera eacutel numero de caacutelculos
a realizar oacute reformulando la solucioacuten de un problema de tal forma que se evite las operaciones
aritmeacuteticas que ocasionan mas error
La suposicioacuten comuacuten de que trabajamos con nuacutemeros reales al realizar caacutelculos no es cierta Puede
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
acarrearnos serias discrepancias entre valores teoacutericos y valores calculados
La precisioacuten y la exactitud no son sinoacutenimas Una nos indica que tan confiable es un valor y la otra
que tan cerca estamos de el
1 Error absoluto El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una
aproximacioacuten a este valor Va
e = Vr ndash Va
2 Error relativo El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr
(siacute )
119890119903 =119890
119907119903=
119907119903minus119907119886
119907119903
3 Error porcentual El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por
ciento ()
Tambieacuten es usual emplear el valor absoluto en los paraacutemetros anteriores en cuyo caso se denominan
respectivamente error absoluto error relativo absoluto y error porcentual absoluto
4 Errores de redondeo
Los errores de redondeo se originan al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico
requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones
aritmeacuteticas como los productos y los cocientes teniendo que retener en cada operacioacuten el nuacutemero de
cifras que permita el instrumento de caacutelculo que se este utilizando Por ejemplo al calcular el valor
de tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3 que maneje nuestro
instrumento de calculo
Existen dos tipos de errores de redondeo
Error de redondeo inferior se desprecian los diacutegitos que no se pueden conservar dentro de la
memoria correspondiente
Error de redondeo superior este caso tiene dos alternativas seguacuten el signo del nuacutemero en
particular
- par nuacutemeros positivos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten de
memoria incrementa en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o igual a
5
- para nuacutemeros negativos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten
de la memoria se reduce en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o
igual a 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
5 Error numeacuterico total
El error numeacuterico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento
introducidos en el caacutelculo
Mientras maacutes caacutelculos se tengan que realizar para obtener un resultado el error de redondeo se iraacute
incrementando Pero por otro lado el error de truncamiento se puede minimizar al incluir maacutes
teacuterminos en la ecuacioacuten disminuir el paso o proseguir la iteracioacuten (o sea mayor nuacutemero de caacutelculos
y seguramente mayor error de redondeo)
6 Errores de equivocacioacuten
Son los errores por negligencia o equivocacioacuten Las computadoras pueden dar nuacutemeros erroacuteneos por
su funcionamiento Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los
hombres
Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesioacuten de
meacutetodos y el disentildeo de la solucioacuten del problema
Los errores humanos por negligencia son praacutecticamente inevitables pero se pueden minimizar
7 Cifras Significativas
El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de
un valor numeacuterico El nuacutemero de cifras significativas es el nuacutemero de diacutegitos que se puede usar con
plena confianza Por ejemplo podemos calcular un nuacutemero irracional con varias cifras pero de ellas
no todas sobre todo las uacuteltimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas Por otro
lado los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto
decimal Por ejemplo los siguientes nuacutemeros tienen todos 4 cifras significativas 000001985
00001985 0001985 1985 19851 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa
es comuacuten emplear la notacioacuten cientiacutefica
8 Precisioacuten y exactitud
Los errores asociados con los caacutelculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisioacuten
y exactitud La mayoriacutea de la gente piensa que estos teacuterminos son sinoacutenimos pero no es asiacute La
precisioacuten se refiere al nuacutemero de cifras significativas que representan una cantidad La exactitud se
refiere al grado de aproximacioacuten que se tiene de un nuacutemero o de una medida al valor verdadero que
se supone representa es decir que tan cerca estamos del valor buscado
9 Tipos de redondeo
Al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico requiere debemos de redondear Para
redondear se emplea usualmente
Redondeo truncado
Redondeo simeacutetrico
10 Redondeo truncado
El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operacioacuten al nuacutemero de cifras
significativas que se esteacuten utilizando Por ejemplo siacute redondeamos a 4 cifras significativas
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
tenemos 07777
11 Redondeo simeacutetrico
El redondeo simeacutetrico consiste en aumentar en uno la uacuteltima cifra retenida siacute la primera cifra
descartada esta entre 5 y 9 o dejarla igual siacute la primera cifra descartada esta entre 0 y 4 Por ejemplo
siacute redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 07778
Por ejemplo En la praacutectica puede no ser asiacute Siacute Realizamos la suma empleando
uacutenicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo Se obtiene
03333+06666=09999 (Redondeo truncado)
03333+06667=1000 (Redondeo simeacutetrico)
USO DE MATLAB EN METODOS NUMERICOS
1 Vectores y Funciones En esta primera Praacutectica aprenderemos a utilizar las oacuterdenes baacutesicas de MATLAB para trabajar con
escalares vectores y matrices evaluar funciones de una y dos variables y representarlas
graacuteficamente En praacutecticas posteriores usaremos habitualmente MATLAB para efectuar los caacutelculos
MATLAB (MATrix LABoratory) es un programa orientado al caacutelculo con matrices al que se
reducen muchos de los algoritmos que resuelven problemas de Matemaacutetica Aplicada e Ingenieriacutea
MATLAB ofrece un entorno interactivo sencillo mediante una ventana (que llamaremos ventana de
comandos) en la que podemos introducir ordenes en modo texto y en la que aparecen los resultados
Los graacuteficos se muestran en ventanas independientes Cada ventana dispone de una barra de menuacutes
que controla su funcionalidad
Aprenderemos a asignar borrar guardar y recuperar variables utilizar las funciones incorporadas y
maacutes adelante a definir funciones nuevas
En MATLAB todas las instrucciones tienen que estar escritas en minuacutesculas de esa forma nos
evitaremos errores de ejecucioacuten
MATLAB opera directamente con nuacutemeros complejos y con nuacutemeros reales como caso
particular
Lo que distingue a MATLAB de otros sistemas de caacutelculo es su facilidad para trabajar con vectores
y matrices Las operaciones ordinarias suma producto potencia operan por defecto sobre matrices
sin maacutes restriccioacuten que la compatibilidad de tamantildeos en cada caso
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
11 Comandos Baacutesicos 111 Help Dir Pwd
Help nos da una lista de temas sobre los que hay informacioacuten de ayuda
Helpwin abre una ventana de ayuda que es uacutetil para consultar informacioacuten sobre oacuterdenes de
MATLAB sin interferir con la ventana principal help tema explica concisamente el tema elegido y
antildeade informacioacuten sobre temas relacionados
Ejemplo 1
La instruccioacuten clc borra la ventana de comandos esa informacioacuten la obtendraacutes al ejecutar help clc
12 Variables En MATLAB las variables se asignan de modo natural Basta escribir un nombre de variable a
continuacioacuten el signo igual y luego el valor que toma esa variable Para aceptar como siempre hay
que pulsar [Intro] Escribiendo soacutelo el nombre de una variable previamente asignada MATLAB
devuelve su valor
Los signos + minus y ^ denotan las operaciones aritmeacuteticas de suma resta multiplicacioacuten divisioacuten
y elevacioacuten a una potencia (de modo que resultan vaacutelidas para matrices como veremos maacutes
adelante) Si el resultado de una operacioacuten no es asignado a ninguna variable MATLAB lo asigna a
la variable del sistema ans
Al poner punto y coma no se muestra el resultado por pantalla Naturalmente la asignacioacuten de la
variable no resulta afectada
121 Who Whos
La orden who lista las variables definidas y con la orden whos obtenemos ademaacutes el tipo de variable
y su tamantildeo
Ejemplo 3
a = 3 b = 4 a
a + b
c = ans
who
whos
122 Variables especiales format
MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales como i o j que designan ambas a
la unidad imaginaria (i2 = j2 = ndash1) o pi para el nuacutemero π El nuacutemero e base de los logaritmos
neperianos no estaacute preasignado pero se obtiene faacutecilmente como exp(1)
La precisioacuten relativa en operaciones de coma flotante se llama eps El resultado de 10 en MATLAB
es Inf y el de 00 NaN 10 Infinito
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
00 Indeterminado
Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra
asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros
complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz
Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en
general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con
cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format
format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles
format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros
pequentildeos Explora otras opciones con help format
piformat long pi
format rat pi
123 Cadenas De Caracteres
Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para
introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o
funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero
y 0 si es falso)
Ejemplo 4
a=Esto es una cadena
b=Esto no
c=3
ischar(a)
ischar(c)
13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores
Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio
Puntos de un espacio n-dimensional
Magnitudes fiacutesicas
Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)
Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las
componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila
Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna
Ejemplo 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Resumen Los meacutetodos numeacutericos nos sirven para resolver problemas que no puedan manejarse con los
meacutetodos analiacuteticos tradicionales o no sea sencillo aplicarlos Estos meacutetodos proporcionan una
sucesioacuten de valores que se aproxima a la solucioacuten del problema
Al resolver un problema siempre tendremos presente errores El error de redondeo el error inherente
y el error de truncamiento
El error de redondeo es praacutecticamente inevitable y puede invalidar por completo la solucioacuten de un
problema Puede minimizarse su efecto ya sea reduciendo de alguna manera eacutel numero de caacutelculos
a realizar oacute reformulando la solucioacuten de un problema de tal forma que se evite las operaciones
aritmeacuteticas que ocasionan mas error
La suposicioacuten comuacuten de que trabajamos con nuacutemeros reales al realizar caacutelculos no es cierta Puede
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
acarrearnos serias discrepancias entre valores teoacutericos y valores calculados
La precisioacuten y la exactitud no son sinoacutenimas Una nos indica que tan confiable es un valor y la otra
que tan cerca estamos de el
1 Error absoluto El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una
aproximacioacuten a este valor Va
e = Vr ndash Va
2 Error relativo El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr
(siacute )
119890119903 =119890
119907119903=
119907119903minus119907119886
119907119903
3 Error porcentual El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por
ciento ()
Tambieacuten es usual emplear el valor absoluto en los paraacutemetros anteriores en cuyo caso se denominan
respectivamente error absoluto error relativo absoluto y error porcentual absoluto
4 Errores de redondeo
Los errores de redondeo se originan al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico
requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones
aritmeacuteticas como los productos y los cocientes teniendo que retener en cada operacioacuten el nuacutemero de
cifras que permita el instrumento de caacutelculo que se este utilizando Por ejemplo al calcular el valor
de tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3 que maneje nuestro
instrumento de calculo
Existen dos tipos de errores de redondeo
Error de redondeo inferior se desprecian los diacutegitos que no se pueden conservar dentro de la
memoria correspondiente
Error de redondeo superior este caso tiene dos alternativas seguacuten el signo del nuacutemero en
particular
- par nuacutemeros positivos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten de
memoria incrementa en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o igual a
5
- para nuacutemeros negativos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten
de la memoria se reduce en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o
igual a 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
5 Error numeacuterico total
El error numeacuterico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento
introducidos en el caacutelculo
Mientras maacutes caacutelculos se tengan que realizar para obtener un resultado el error de redondeo se iraacute
incrementando Pero por otro lado el error de truncamiento se puede minimizar al incluir maacutes
teacuterminos en la ecuacioacuten disminuir el paso o proseguir la iteracioacuten (o sea mayor nuacutemero de caacutelculos
y seguramente mayor error de redondeo)
6 Errores de equivocacioacuten
Son los errores por negligencia o equivocacioacuten Las computadoras pueden dar nuacutemeros erroacuteneos por
su funcionamiento Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los
hombres
Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesioacuten de
meacutetodos y el disentildeo de la solucioacuten del problema
Los errores humanos por negligencia son praacutecticamente inevitables pero se pueden minimizar
7 Cifras Significativas
El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de
un valor numeacuterico El nuacutemero de cifras significativas es el nuacutemero de diacutegitos que se puede usar con
plena confianza Por ejemplo podemos calcular un nuacutemero irracional con varias cifras pero de ellas
no todas sobre todo las uacuteltimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas Por otro
lado los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto
decimal Por ejemplo los siguientes nuacutemeros tienen todos 4 cifras significativas 000001985
00001985 0001985 1985 19851 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa
es comuacuten emplear la notacioacuten cientiacutefica
8 Precisioacuten y exactitud
Los errores asociados con los caacutelculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisioacuten
y exactitud La mayoriacutea de la gente piensa que estos teacuterminos son sinoacutenimos pero no es asiacute La
precisioacuten se refiere al nuacutemero de cifras significativas que representan una cantidad La exactitud se
refiere al grado de aproximacioacuten que se tiene de un nuacutemero o de una medida al valor verdadero que
se supone representa es decir que tan cerca estamos del valor buscado
9 Tipos de redondeo
Al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico requiere debemos de redondear Para
redondear se emplea usualmente
Redondeo truncado
Redondeo simeacutetrico
10 Redondeo truncado
El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operacioacuten al nuacutemero de cifras
significativas que se esteacuten utilizando Por ejemplo siacute redondeamos a 4 cifras significativas
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
tenemos 07777
11 Redondeo simeacutetrico
El redondeo simeacutetrico consiste en aumentar en uno la uacuteltima cifra retenida siacute la primera cifra
descartada esta entre 5 y 9 o dejarla igual siacute la primera cifra descartada esta entre 0 y 4 Por ejemplo
siacute redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 07778
Por ejemplo En la praacutectica puede no ser asiacute Siacute Realizamos la suma empleando
uacutenicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo Se obtiene
03333+06666=09999 (Redondeo truncado)
03333+06667=1000 (Redondeo simeacutetrico)
USO DE MATLAB EN METODOS NUMERICOS
1 Vectores y Funciones En esta primera Praacutectica aprenderemos a utilizar las oacuterdenes baacutesicas de MATLAB para trabajar con
escalares vectores y matrices evaluar funciones de una y dos variables y representarlas
graacuteficamente En praacutecticas posteriores usaremos habitualmente MATLAB para efectuar los caacutelculos
MATLAB (MATrix LABoratory) es un programa orientado al caacutelculo con matrices al que se
reducen muchos de los algoritmos que resuelven problemas de Matemaacutetica Aplicada e Ingenieriacutea
MATLAB ofrece un entorno interactivo sencillo mediante una ventana (que llamaremos ventana de
comandos) en la que podemos introducir ordenes en modo texto y en la que aparecen los resultados
Los graacuteficos se muestran en ventanas independientes Cada ventana dispone de una barra de menuacutes
que controla su funcionalidad
Aprenderemos a asignar borrar guardar y recuperar variables utilizar las funciones incorporadas y
maacutes adelante a definir funciones nuevas
En MATLAB todas las instrucciones tienen que estar escritas en minuacutesculas de esa forma nos
evitaremos errores de ejecucioacuten
MATLAB opera directamente con nuacutemeros complejos y con nuacutemeros reales como caso
particular
Lo que distingue a MATLAB de otros sistemas de caacutelculo es su facilidad para trabajar con vectores
y matrices Las operaciones ordinarias suma producto potencia operan por defecto sobre matrices
sin maacutes restriccioacuten que la compatibilidad de tamantildeos en cada caso
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
11 Comandos Baacutesicos 111 Help Dir Pwd
Help nos da una lista de temas sobre los que hay informacioacuten de ayuda
Helpwin abre una ventana de ayuda que es uacutetil para consultar informacioacuten sobre oacuterdenes de
MATLAB sin interferir con la ventana principal help tema explica concisamente el tema elegido y
antildeade informacioacuten sobre temas relacionados
Ejemplo 1
La instruccioacuten clc borra la ventana de comandos esa informacioacuten la obtendraacutes al ejecutar help clc
12 Variables En MATLAB las variables se asignan de modo natural Basta escribir un nombre de variable a
continuacioacuten el signo igual y luego el valor que toma esa variable Para aceptar como siempre hay
que pulsar [Intro] Escribiendo soacutelo el nombre de una variable previamente asignada MATLAB
devuelve su valor
Los signos + minus y ^ denotan las operaciones aritmeacuteticas de suma resta multiplicacioacuten divisioacuten
y elevacioacuten a una potencia (de modo que resultan vaacutelidas para matrices como veremos maacutes
adelante) Si el resultado de una operacioacuten no es asignado a ninguna variable MATLAB lo asigna a
la variable del sistema ans
Al poner punto y coma no se muestra el resultado por pantalla Naturalmente la asignacioacuten de la
variable no resulta afectada
121 Who Whos
La orden who lista las variables definidas y con la orden whos obtenemos ademaacutes el tipo de variable
y su tamantildeo
Ejemplo 3
a = 3 b = 4 a
a + b
c = ans
who
whos
122 Variables especiales format
MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales como i o j que designan ambas a
la unidad imaginaria (i2 = j2 = ndash1) o pi para el nuacutemero π El nuacutemero e base de los logaritmos
neperianos no estaacute preasignado pero se obtiene faacutecilmente como exp(1)
La precisioacuten relativa en operaciones de coma flotante se llama eps El resultado de 10 en MATLAB
es Inf y el de 00 NaN 10 Infinito
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
00 Indeterminado
Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra
asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros
complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz
Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en
general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con
cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format
format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles
format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros
pequentildeos Explora otras opciones con help format
piformat long pi
format rat pi
123 Cadenas De Caracteres
Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para
introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o
funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero
y 0 si es falso)
Ejemplo 4
a=Esto es una cadena
b=Esto no
c=3
ischar(a)
ischar(c)
13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores
Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio
Puntos de un espacio n-dimensional
Magnitudes fiacutesicas
Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)
Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las
componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila
Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna
Ejemplo 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Resumen Los meacutetodos numeacutericos nos sirven para resolver problemas que no puedan manejarse con los
meacutetodos analiacuteticos tradicionales o no sea sencillo aplicarlos Estos meacutetodos proporcionan una
sucesioacuten de valores que se aproxima a la solucioacuten del problema
Al resolver un problema siempre tendremos presente errores El error de redondeo el error inherente
y el error de truncamiento
El error de redondeo es praacutecticamente inevitable y puede invalidar por completo la solucioacuten de un
problema Puede minimizarse su efecto ya sea reduciendo de alguna manera eacutel numero de caacutelculos
a realizar oacute reformulando la solucioacuten de un problema de tal forma que se evite las operaciones
aritmeacuteticas que ocasionan mas error
La suposicioacuten comuacuten de que trabajamos con nuacutemeros reales al realizar caacutelculos no es cierta Puede
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
acarrearnos serias discrepancias entre valores teoacutericos y valores calculados
La precisioacuten y la exactitud no son sinoacutenimas Una nos indica que tan confiable es un valor y la otra
que tan cerca estamos de el
1 Error absoluto El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una
aproximacioacuten a este valor Va
e = Vr ndash Va
2 Error relativo El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr
(siacute )
119890119903 =119890
119907119903=
119907119903minus119907119886
119907119903
3 Error porcentual El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por
ciento ()
Tambieacuten es usual emplear el valor absoluto en los paraacutemetros anteriores en cuyo caso se denominan
respectivamente error absoluto error relativo absoluto y error porcentual absoluto
4 Errores de redondeo
Los errores de redondeo se originan al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico
requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones
aritmeacuteticas como los productos y los cocientes teniendo que retener en cada operacioacuten el nuacutemero de
cifras que permita el instrumento de caacutelculo que se este utilizando Por ejemplo al calcular el valor
de tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3 que maneje nuestro
instrumento de calculo
Existen dos tipos de errores de redondeo
Error de redondeo inferior se desprecian los diacutegitos que no se pueden conservar dentro de la
memoria correspondiente
Error de redondeo superior este caso tiene dos alternativas seguacuten el signo del nuacutemero en
particular
- par nuacutemeros positivos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten de
memoria incrementa en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o igual a
5
- para nuacutemeros negativos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten
de la memoria se reduce en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o
igual a 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
5 Error numeacuterico total
El error numeacuterico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento
introducidos en el caacutelculo
Mientras maacutes caacutelculos se tengan que realizar para obtener un resultado el error de redondeo se iraacute
incrementando Pero por otro lado el error de truncamiento se puede minimizar al incluir maacutes
teacuterminos en la ecuacioacuten disminuir el paso o proseguir la iteracioacuten (o sea mayor nuacutemero de caacutelculos
y seguramente mayor error de redondeo)
6 Errores de equivocacioacuten
Son los errores por negligencia o equivocacioacuten Las computadoras pueden dar nuacutemeros erroacuteneos por
su funcionamiento Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los
hombres
Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesioacuten de
meacutetodos y el disentildeo de la solucioacuten del problema
Los errores humanos por negligencia son praacutecticamente inevitables pero se pueden minimizar
7 Cifras Significativas
El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de
un valor numeacuterico El nuacutemero de cifras significativas es el nuacutemero de diacutegitos que se puede usar con
plena confianza Por ejemplo podemos calcular un nuacutemero irracional con varias cifras pero de ellas
no todas sobre todo las uacuteltimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas Por otro
lado los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto
decimal Por ejemplo los siguientes nuacutemeros tienen todos 4 cifras significativas 000001985
00001985 0001985 1985 19851 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa
es comuacuten emplear la notacioacuten cientiacutefica
8 Precisioacuten y exactitud
Los errores asociados con los caacutelculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisioacuten
y exactitud La mayoriacutea de la gente piensa que estos teacuterminos son sinoacutenimos pero no es asiacute La
precisioacuten se refiere al nuacutemero de cifras significativas que representan una cantidad La exactitud se
refiere al grado de aproximacioacuten que se tiene de un nuacutemero o de una medida al valor verdadero que
se supone representa es decir que tan cerca estamos del valor buscado
9 Tipos de redondeo
Al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico requiere debemos de redondear Para
redondear se emplea usualmente
Redondeo truncado
Redondeo simeacutetrico
10 Redondeo truncado
El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operacioacuten al nuacutemero de cifras
significativas que se esteacuten utilizando Por ejemplo siacute redondeamos a 4 cifras significativas
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
tenemos 07777
11 Redondeo simeacutetrico
El redondeo simeacutetrico consiste en aumentar en uno la uacuteltima cifra retenida siacute la primera cifra
descartada esta entre 5 y 9 o dejarla igual siacute la primera cifra descartada esta entre 0 y 4 Por ejemplo
siacute redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 07778
Por ejemplo En la praacutectica puede no ser asiacute Siacute Realizamos la suma empleando
uacutenicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo Se obtiene
03333+06666=09999 (Redondeo truncado)
03333+06667=1000 (Redondeo simeacutetrico)
USO DE MATLAB EN METODOS NUMERICOS
1 Vectores y Funciones En esta primera Praacutectica aprenderemos a utilizar las oacuterdenes baacutesicas de MATLAB para trabajar con
escalares vectores y matrices evaluar funciones de una y dos variables y representarlas
graacuteficamente En praacutecticas posteriores usaremos habitualmente MATLAB para efectuar los caacutelculos
MATLAB (MATrix LABoratory) es un programa orientado al caacutelculo con matrices al que se
reducen muchos de los algoritmos que resuelven problemas de Matemaacutetica Aplicada e Ingenieriacutea
MATLAB ofrece un entorno interactivo sencillo mediante una ventana (que llamaremos ventana de
comandos) en la que podemos introducir ordenes en modo texto y en la que aparecen los resultados
Los graacuteficos se muestran en ventanas independientes Cada ventana dispone de una barra de menuacutes
que controla su funcionalidad
Aprenderemos a asignar borrar guardar y recuperar variables utilizar las funciones incorporadas y
maacutes adelante a definir funciones nuevas
En MATLAB todas las instrucciones tienen que estar escritas en minuacutesculas de esa forma nos
evitaremos errores de ejecucioacuten
MATLAB opera directamente con nuacutemeros complejos y con nuacutemeros reales como caso
particular
Lo que distingue a MATLAB de otros sistemas de caacutelculo es su facilidad para trabajar con vectores
y matrices Las operaciones ordinarias suma producto potencia operan por defecto sobre matrices
sin maacutes restriccioacuten que la compatibilidad de tamantildeos en cada caso
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
11 Comandos Baacutesicos 111 Help Dir Pwd
Help nos da una lista de temas sobre los que hay informacioacuten de ayuda
Helpwin abre una ventana de ayuda que es uacutetil para consultar informacioacuten sobre oacuterdenes de
MATLAB sin interferir con la ventana principal help tema explica concisamente el tema elegido y
antildeade informacioacuten sobre temas relacionados
Ejemplo 1
La instruccioacuten clc borra la ventana de comandos esa informacioacuten la obtendraacutes al ejecutar help clc
12 Variables En MATLAB las variables se asignan de modo natural Basta escribir un nombre de variable a
continuacioacuten el signo igual y luego el valor que toma esa variable Para aceptar como siempre hay
que pulsar [Intro] Escribiendo soacutelo el nombre de una variable previamente asignada MATLAB
devuelve su valor
Los signos + minus y ^ denotan las operaciones aritmeacuteticas de suma resta multiplicacioacuten divisioacuten
y elevacioacuten a una potencia (de modo que resultan vaacutelidas para matrices como veremos maacutes
adelante) Si el resultado de una operacioacuten no es asignado a ninguna variable MATLAB lo asigna a
la variable del sistema ans
Al poner punto y coma no se muestra el resultado por pantalla Naturalmente la asignacioacuten de la
variable no resulta afectada
121 Who Whos
La orden who lista las variables definidas y con la orden whos obtenemos ademaacutes el tipo de variable
y su tamantildeo
Ejemplo 3
a = 3 b = 4 a
a + b
c = ans
who
whos
122 Variables especiales format
MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales como i o j que designan ambas a
la unidad imaginaria (i2 = j2 = ndash1) o pi para el nuacutemero π El nuacutemero e base de los logaritmos
neperianos no estaacute preasignado pero se obtiene faacutecilmente como exp(1)
La precisioacuten relativa en operaciones de coma flotante se llama eps El resultado de 10 en MATLAB
es Inf y el de 00 NaN 10 Infinito
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
00 Indeterminado
Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra
asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros
complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz
Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en
general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con
cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format
format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles
format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros
pequentildeos Explora otras opciones con help format
piformat long pi
format rat pi
123 Cadenas De Caracteres
Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para
introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o
funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero
y 0 si es falso)
Ejemplo 4
a=Esto es una cadena
b=Esto no
c=3
ischar(a)
ischar(c)
13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores
Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio
Puntos de un espacio n-dimensional
Magnitudes fiacutesicas
Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)
Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las
componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila
Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna
Ejemplo 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
acarrearnos serias discrepancias entre valores teoacutericos y valores calculados
La precisioacuten y la exactitud no son sinoacutenimas Una nos indica que tan confiable es un valor y la otra
que tan cerca estamos de el
1 Error absoluto El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una
aproximacioacuten a este valor Va
e = Vr ndash Va
2 Error relativo El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr
(siacute )
119890119903 =119890
119907119903=
119907119903minus119907119886
119907119903
3 Error porcentual El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por
ciento ()
Tambieacuten es usual emplear el valor absoluto en los paraacutemetros anteriores en cuyo caso se denominan
respectivamente error absoluto error relativo absoluto y error porcentual absoluto
4 Errores de redondeo
Los errores de redondeo se originan al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico
requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones
aritmeacuteticas como los productos y los cocientes teniendo que retener en cada operacioacuten el nuacutemero de
cifras que permita el instrumento de caacutelculo que se este utilizando Por ejemplo al calcular el valor
de tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3 que maneje nuestro
instrumento de calculo
Existen dos tipos de errores de redondeo
Error de redondeo inferior se desprecian los diacutegitos que no se pueden conservar dentro de la
memoria correspondiente
Error de redondeo superior este caso tiene dos alternativas seguacuten el signo del nuacutemero en
particular
- par nuacutemeros positivos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten de
memoria incrementa en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o igual a
5
- para nuacutemeros negativos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten
de la memoria se reduce en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o
igual a 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
5 Error numeacuterico total
El error numeacuterico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento
introducidos en el caacutelculo
Mientras maacutes caacutelculos se tengan que realizar para obtener un resultado el error de redondeo se iraacute
incrementando Pero por otro lado el error de truncamiento se puede minimizar al incluir maacutes
teacuterminos en la ecuacioacuten disminuir el paso o proseguir la iteracioacuten (o sea mayor nuacutemero de caacutelculos
y seguramente mayor error de redondeo)
6 Errores de equivocacioacuten
Son los errores por negligencia o equivocacioacuten Las computadoras pueden dar nuacutemeros erroacuteneos por
su funcionamiento Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los
hombres
Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesioacuten de
meacutetodos y el disentildeo de la solucioacuten del problema
Los errores humanos por negligencia son praacutecticamente inevitables pero se pueden minimizar
7 Cifras Significativas
El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de
un valor numeacuterico El nuacutemero de cifras significativas es el nuacutemero de diacutegitos que se puede usar con
plena confianza Por ejemplo podemos calcular un nuacutemero irracional con varias cifras pero de ellas
no todas sobre todo las uacuteltimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas Por otro
lado los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto
decimal Por ejemplo los siguientes nuacutemeros tienen todos 4 cifras significativas 000001985
00001985 0001985 1985 19851 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa
es comuacuten emplear la notacioacuten cientiacutefica
8 Precisioacuten y exactitud
Los errores asociados con los caacutelculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisioacuten
y exactitud La mayoriacutea de la gente piensa que estos teacuterminos son sinoacutenimos pero no es asiacute La
precisioacuten se refiere al nuacutemero de cifras significativas que representan una cantidad La exactitud se
refiere al grado de aproximacioacuten que se tiene de un nuacutemero o de una medida al valor verdadero que
se supone representa es decir que tan cerca estamos del valor buscado
9 Tipos de redondeo
Al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico requiere debemos de redondear Para
redondear se emplea usualmente
Redondeo truncado
Redondeo simeacutetrico
10 Redondeo truncado
El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operacioacuten al nuacutemero de cifras
significativas que se esteacuten utilizando Por ejemplo siacute redondeamos a 4 cifras significativas
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
tenemos 07777
11 Redondeo simeacutetrico
El redondeo simeacutetrico consiste en aumentar en uno la uacuteltima cifra retenida siacute la primera cifra
descartada esta entre 5 y 9 o dejarla igual siacute la primera cifra descartada esta entre 0 y 4 Por ejemplo
siacute redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 07778
Por ejemplo En la praacutectica puede no ser asiacute Siacute Realizamos la suma empleando
uacutenicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo Se obtiene
03333+06666=09999 (Redondeo truncado)
03333+06667=1000 (Redondeo simeacutetrico)
USO DE MATLAB EN METODOS NUMERICOS
1 Vectores y Funciones En esta primera Praacutectica aprenderemos a utilizar las oacuterdenes baacutesicas de MATLAB para trabajar con
escalares vectores y matrices evaluar funciones de una y dos variables y representarlas
graacuteficamente En praacutecticas posteriores usaremos habitualmente MATLAB para efectuar los caacutelculos
MATLAB (MATrix LABoratory) es un programa orientado al caacutelculo con matrices al que se
reducen muchos de los algoritmos que resuelven problemas de Matemaacutetica Aplicada e Ingenieriacutea
MATLAB ofrece un entorno interactivo sencillo mediante una ventana (que llamaremos ventana de
comandos) en la que podemos introducir ordenes en modo texto y en la que aparecen los resultados
Los graacuteficos se muestran en ventanas independientes Cada ventana dispone de una barra de menuacutes
que controla su funcionalidad
Aprenderemos a asignar borrar guardar y recuperar variables utilizar las funciones incorporadas y
maacutes adelante a definir funciones nuevas
En MATLAB todas las instrucciones tienen que estar escritas en minuacutesculas de esa forma nos
evitaremos errores de ejecucioacuten
MATLAB opera directamente con nuacutemeros complejos y con nuacutemeros reales como caso
particular
Lo que distingue a MATLAB de otros sistemas de caacutelculo es su facilidad para trabajar con vectores
y matrices Las operaciones ordinarias suma producto potencia operan por defecto sobre matrices
sin maacutes restriccioacuten que la compatibilidad de tamantildeos en cada caso
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
11 Comandos Baacutesicos 111 Help Dir Pwd
Help nos da una lista de temas sobre los que hay informacioacuten de ayuda
Helpwin abre una ventana de ayuda que es uacutetil para consultar informacioacuten sobre oacuterdenes de
MATLAB sin interferir con la ventana principal help tema explica concisamente el tema elegido y
antildeade informacioacuten sobre temas relacionados
Ejemplo 1
La instruccioacuten clc borra la ventana de comandos esa informacioacuten la obtendraacutes al ejecutar help clc
12 Variables En MATLAB las variables se asignan de modo natural Basta escribir un nombre de variable a
continuacioacuten el signo igual y luego el valor que toma esa variable Para aceptar como siempre hay
que pulsar [Intro] Escribiendo soacutelo el nombre de una variable previamente asignada MATLAB
devuelve su valor
Los signos + minus y ^ denotan las operaciones aritmeacuteticas de suma resta multiplicacioacuten divisioacuten
y elevacioacuten a una potencia (de modo que resultan vaacutelidas para matrices como veremos maacutes
adelante) Si el resultado de una operacioacuten no es asignado a ninguna variable MATLAB lo asigna a
la variable del sistema ans
Al poner punto y coma no se muestra el resultado por pantalla Naturalmente la asignacioacuten de la
variable no resulta afectada
121 Who Whos
La orden who lista las variables definidas y con la orden whos obtenemos ademaacutes el tipo de variable
y su tamantildeo
Ejemplo 3
a = 3 b = 4 a
a + b
c = ans
who
whos
122 Variables especiales format
MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales como i o j que designan ambas a
la unidad imaginaria (i2 = j2 = ndash1) o pi para el nuacutemero π El nuacutemero e base de los logaritmos
neperianos no estaacute preasignado pero se obtiene faacutecilmente como exp(1)
La precisioacuten relativa en operaciones de coma flotante se llama eps El resultado de 10 en MATLAB
es Inf y el de 00 NaN 10 Infinito
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
00 Indeterminado
Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra
asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros
complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz
Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en
general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con
cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format
format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles
format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros
pequentildeos Explora otras opciones con help format
piformat long pi
format rat pi
123 Cadenas De Caracteres
Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para
introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o
funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero
y 0 si es falso)
Ejemplo 4
a=Esto es una cadena
b=Esto no
c=3
ischar(a)
ischar(c)
13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores
Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio
Puntos de un espacio n-dimensional
Magnitudes fiacutesicas
Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)
Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las
componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila
Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna
Ejemplo 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
5 Error numeacuterico total
El error numeacuterico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento
introducidos en el caacutelculo
Mientras maacutes caacutelculos se tengan que realizar para obtener un resultado el error de redondeo se iraacute
incrementando Pero por otro lado el error de truncamiento se puede minimizar al incluir maacutes
teacuterminos en la ecuacioacuten disminuir el paso o proseguir la iteracioacuten (o sea mayor nuacutemero de caacutelculos
y seguramente mayor error de redondeo)
6 Errores de equivocacioacuten
Son los errores por negligencia o equivocacioacuten Las computadoras pueden dar nuacutemeros erroacuteneos por
su funcionamiento Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los
hombres
Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesioacuten de
meacutetodos y el disentildeo de la solucioacuten del problema
Los errores humanos por negligencia son praacutecticamente inevitables pero se pueden minimizar
7 Cifras Significativas
El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de
un valor numeacuterico El nuacutemero de cifras significativas es el nuacutemero de diacutegitos que se puede usar con
plena confianza Por ejemplo podemos calcular un nuacutemero irracional con varias cifras pero de ellas
no todas sobre todo las uacuteltimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas Por otro
lado los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto
decimal Por ejemplo los siguientes nuacutemeros tienen todos 4 cifras significativas 000001985
00001985 0001985 1985 19851 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa
es comuacuten emplear la notacioacuten cientiacutefica
8 Precisioacuten y exactitud
Los errores asociados con los caacutelculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisioacuten
y exactitud La mayoriacutea de la gente piensa que estos teacuterminos son sinoacutenimos pero no es asiacute La
precisioacuten se refiere al nuacutemero de cifras significativas que representan una cantidad La exactitud se
refiere al grado de aproximacioacuten que se tiene de un nuacutemero o de una medida al valor verdadero que
se supone representa es decir que tan cerca estamos del valor buscado
9 Tipos de redondeo
Al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico requiere debemos de redondear Para
redondear se emplea usualmente
Redondeo truncado
Redondeo simeacutetrico
10 Redondeo truncado
El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operacioacuten al nuacutemero de cifras
significativas que se esteacuten utilizando Por ejemplo siacute redondeamos a 4 cifras significativas
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
tenemos 07777
11 Redondeo simeacutetrico
El redondeo simeacutetrico consiste en aumentar en uno la uacuteltima cifra retenida siacute la primera cifra
descartada esta entre 5 y 9 o dejarla igual siacute la primera cifra descartada esta entre 0 y 4 Por ejemplo
siacute redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 07778
Por ejemplo En la praacutectica puede no ser asiacute Siacute Realizamos la suma empleando
uacutenicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo Se obtiene
03333+06666=09999 (Redondeo truncado)
03333+06667=1000 (Redondeo simeacutetrico)
USO DE MATLAB EN METODOS NUMERICOS
1 Vectores y Funciones En esta primera Praacutectica aprenderemos a utilizar las oacuterdenes baacutesicas de MATLAB para trabajar con
escalares vectores y matrices evaluar funciones de una y dos variables y representarlas
graacuteficamente En praacutecticas posteriores usaremos habitualmente MATLAB para efectuar los caacutelculos
MATLAB (MATrix LABoratory) es un programa orientado al caacutelculo con matrices al que se
reducen muchos de los algoritmos que resuelven problemas de Matemaacutetica Aplicada e Ingenieriacutea
MATLAB ofrece un entorno interactivo sencillo mediante una ventana (que llamaremos ventana de
comandos) en la que podemos introducir ordenes en modo texto y en la que aparecen los resultados
Los graacuteficos se muestran en ventanas independientes Cada ventana dispone de una barra de menuacutes
que controla su funcionalidad
Aprenderemos a asignar borrar guardar y recuperar variables utilizar las funciones incorporadas y
maacutes adelante a definir funciones nuevas
En MATLAB todas las instrucciones tienen que estar escritas en minuacutesculas de esa forma nos
evitaremos errores de ejecucioacuten
MATLAB opera directamente con nuacutemeros complejos y con nuacutemeros reales como caso
particular
Lo que distingue a MATLAB de otros sistemas de caacutelculo es su facilidad para trabajar con vectores
y matrices Las operaciones ordinarias suma producto potencia operan por defecto sobre matrices
sin maacutes restriccioacuten que la compatibilidad de tamantildeos en cada caso
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
11 Comandos Baacutesicos 111 Help Dir Pwd
Help nos da una lista de temas sobre los que hay informacioacuten de ayuda
Helpwin abre una ventana de ayuda que es uacutetil para consultar informacioacuten sobre oacuterdenes de
MATLAB sin interferir con la ventana principal help tema explica concisamente el tema elegido y
antildeade informacioacuten sobre temas relacionados
Ejemplo 1
La instruccioacuten clc borra la ventana de comandos esa informacioacuten la obtendraacutes al ejecutar help clc
12 Variables En MATLAB las variables se asignan de modo natural Basta escribir un nombre de variable a
continuacioacuten el signo igual y luego el valor que toma esa variable Para aceptar como siempre hay
que pulsar [Intro] Escribiendo soacutelo el nombre de una variable previamente asignada MATLAB
devuelve su valor
Los signos + minus y ^ denotan las operaciones aritmeacuteticas de suma resta multiplicacioacuten divisioacuten
y elevacioacuten a una potencia (de modo que resultan vaacutelidas para matrices como veremos maacutes
adelante) Si el resultado de una operacioacuten no es asignado a ninguna variable MATLAB lo asigna a
la variable del sistema ans
Al poner punto y coma no se muestra el resultado por pantalla Naturalmente la asignacioacuten de la
variable no resulta afectada
121 Who Whos
La orden who lista las variables definidas y con la orden whos obtenemos ademaacutes el tipo de variable
y su tamantildeo
Ejemplo 3
a = 3 b = 4 a
a + b
c = ans
who
whos
122 Variables especiales format
MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales como i o j que designan ambas a
la unidad imaginaria (i2 = j2 = ndash1) o pi para el nuacutemero π El nuacutemero e base de los logaritmos
neperianos no estaacute preasignado pero se obtiene faacutecilmente como exp(1)
La precisioacuten relativa en operaciones de coma flotante se llama eps El resultado de 10 en MATLAB
es Inf y el de 00 NaN 10 Infinito
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
00 Indeterminado
Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra
asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros
complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz
Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en
general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con
cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format
format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles
format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros
pequentildeos Explora otras opciones con help format
piformat long pi
format rat pi
123 Cadenas De Caracteres
Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para
introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o
funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero
y 0 si es falso)
Ejemplo 4
a=Esto es una cadena
b=Esto no
c=3
ischar(a)
ischar(c)
13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores
Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio
Puntos de un espacio n-dimensional
Magnitudes fiacutesicas
Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)
Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las
componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila
Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna
Ejemplo 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
tenemos 07777
11 Redondeo simeacutetrico
El redondeo simeacutetrico consiste en aumentar en uno la uacuteltima cifra retenida siacute la primera cifra
descartada esta entre 5 y 9 o dejarla igual siacute la primera cifra descartada esta entre 0 y 4 Por ejemplo
siacute redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 07778
Por ejemplo En la praacutectica puede no ser asiacute Siacute Realizamos la suma empleando
uacutenicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo Se obtiene
03333+06666=09999 (Redondeo truncado)
03333+06667=1000 (Redondeo simeacutetrico)
USO DE MATLAB EN METODOS NUMERICOS
1 Vectores y Funciones En esta primera Praacutectica aprenderemos a utilizar las oacuterdenes baacutesicas de MATLAB para trabajar con
escalares vectores y matrices evaluar funciones de una y dos variables y representarlas
graacuteficamente En praacutecticas posteriores usaremos habitualmente MATLAB para efectuar los caacutelculos
MATLAB (MATrix LABoratory) es un programa orientado al caacutelculo con matrices al que se
reducen muchos de los algoritmos que resuelven problemas de Matemaacutetica Aplicada e Ingenieriacutea
MATLAB ofrece un entorno interactivo sencillo mediante una ventana (que llamaremos ventana de
comandos) en la que podemos introducir ordenes en modo texto y en la que aparecen los resultados
Los graacuteficos se muestran en ventanas independientes Cada ventana dispone de una barra de menuacutes
que controla su funcionalidad
Aprenderemos a asignar borrar guardar y recuperar variables utilizar las funciones incorporadas y
maacutes adelante a definir funciones nuevas
En MATLAB todas las instrucciones tienen que estar escritas en minuacutesculas de esa forma nos
evitaremos errores de ejecucioacuten
MATLAB opera directamente con nuacutemeros complejos y con nuacutemeros reales como caso
particular
Lo que distingue a MATLAB de otros sistemas de caacutelculo es su facilidad para trabajar con vectores
y matrices Las operaciones ordinarias suma producto potencia operan por defecto sobre matrices
sin maacutes restriccioacuten que la compatibilidad de tamantildeos en cada caso
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
11 Comandos Baacutesicos 111 Help Dir Pwd
Help nos da una lista de temas sobre los que hay informacioacuten de ayuda
Helpwin abre una ventana de ayuda que es uacutetil para consultar informacioacuten sobre oacuterdenes de
MATLAB sin interferir con la ventana principal help tema explica concisamente el tema elegido y
antildeade informacioacuten sobre temas relacionados
Ejemplo 1
La instruccioacuten clc borra la ventana de comandos esa informacioacuten la obtendraacutes al ejecutar help clc
12 Variables En MATLAB las variables se asignan de modo natural Basta escribir un nombre de variable a
continuacioacuten el signo igual y luego el valor que toma esa variable Para aceptar como siempre hay
que pulsar [Intro] Escribiendo soacutelo el nombre de una variable previamente asignada MATLAB
devuelve su valor
Los signos + minus y ^ denotan las operaciones aritmeacuteticas de suma resta multiplicacioacuten divisioacuten
y elevacioacuten a una potencia (de modo que resultan vaacutelidas para matrices como veremos maacutes
adelante) Si el resultado de una operacioacuten no es asignado a ninguna variable MATLAB lo asigna a
la variable del sistema ans
Al poner punto y coma no se muestra el resultado por pantalla Naturalmente la asignacioacuten de la
variable no resulta afectada
121 Who Whos
La orden who lista las variables definidas y con la orden whos obtenemos ademaacutes el tipo de variable
y su tamantildeo
Ejemplo 3
a = 3 b = 4 a
a + b
c = ans
who
whos
122 Variables especiales format
MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales como i o j que designan ambas a
la unidad imaginaria (i2 = j2 = ndash1) o pi para el nuacutemero π El nuacutemero e base de los logaritmos
neperianos no estaacute preasignado pero se obtiene faacutecilmente como exp(1)
La precisioacuten relativa en operaciones de coma flotante se llama eps El resultado de 10 en MATLAB
es Inf y el de 00 NaN 10 Infinito
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
00 Indeterminado
Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra
asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros
complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz
Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en
general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con
cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format
format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles
format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros
pequentildeos Explora otras opciones con help format
piformat long pi
format rat pi
123 Cadenas De Caracteres
Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para
introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o
funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero
y 0 si es falso)
Ejemplo 4
a=Esto es una cadena
b=Esto no
c=3
ischar(a)
ischar(c)
13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores
Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio
Puntos de un espacio n-dimensional
Magnitudes fiacutesicas
Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)
Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las
componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila
Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna
Ejemplo 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
11 Comandos Baacutesicos 111 Help Dir Pwd
Help nos da una lista de temas sobre los que hay informacioacuten de ayuda
Helpwin abre una ventana de ayuda que es uacutetil para consultar informacioacuten sobre oacuterdenes de
MATLAB sin interferir con la ventana principal help tema explica concisamente el tema elegido y
antildeade informacioacuten sobre temas relacionados
Ejemplo 1
La instruccioacuten clc borra la ventana de comandos esa informacioacuten la obtendraacutes al ejecutar help clc
12 Variables En MATLAB las variables se asignan de modo natural Basta escribir un nombre de variable a
continuacioacuten el signo igual y luego el valor que toma esa variable Para aceptar como siempre hay
que pulsar [Intro] Escribiendo soacutelo el nombre de una variable previamente asignada MATLAB
devuelve su valor
Los signos + minus y ^ denotan las operaciones aritmeacuteticas de suma resta multiplicacioacuten divisioacuten
y elevacioacuten a una potencia (de modo que resultan vaacutelidas para matrices como veremos maacutes
adelante) Si el resultado de una operacioacuten no es asignado a ninguna variable MATLAB lo asigna a
la variable del sistema ans
Al poner punto y coma no se muestra el resultado por pantalla Naturalmente la asignacioacuten de la
variable no resulta afectada
121 Who Whos
La orden who lista las variables definidas y con la orden whos obtenemos ademaacutes el tipo de variable
y su tamantildeo
Ejemplo 3
a = 3 b = 4 a
a + b
c = ans
who
whos
122 Variables especiales format
MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales como i o j que designan ambas a
la unidad imaginaria (i2 = j2 = ndash1) o pi para el nuacutemero π El nuacutemero e base de los logaritmos
neperianos no estaacute preasignado pero se obtiene faacutecilmente como exp(1)
La precisioacuten relativa en operaciones de coma flotante se llama eps El resultado de 10 en MATLAB
es Inf y el de 00 NaN 10 Infinito
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
00 Indeterminado
Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra
asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros
complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz
Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en
general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con
cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format
format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles
format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros
pequentildeos Explora otras opciones con help format
piformat long pi
format rat pi
123 Cadenas De Caracteres
Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para
introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o
funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero
y 0 si es falso)
Ejemplo 4
a=Esto es una cadena
b=Esto no
c=3
ischar(a)
ischar(c)
13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores
Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio
Puntos de un espacio n-dimensional
Magnitudes fiacutesicas
Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)
Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las
componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila
Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna
Ejemplo 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
00 Indeterminado
Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra
asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros
complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz
Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en
general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con
cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format
format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles
format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros
pequentildeos Explora otras opciones con help format
piformat long pi
format rat pi
123 Cadenas De Caracteres
Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para
introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o
funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero
y 0 si es falso)
Ejemplo 4
a=Esto es una cadena
b=Esto no
c=3
ischar(a)
ischar(c)
13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores
Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio
Puntos de un espacio n-dimensional
Magnitudes fiacutesicas
Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)
Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las
componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila
Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna
Ejemplo 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123]
Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB
trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como
si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que
devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la
matriz
Ejemplo 6
u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila
w = [123] raquo z=[1
raquo 2
raquo 3] Vectores columna
length(u)
length(w)
[fc]=size(u)
dimension=size(w)
132 Vectores Progresivos
Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten
Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la
siguiente
La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b
Ejemplo 7
x=0011
y=linspace(0111)
133 Suma y producto por un escalar
La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con
MATLAB escribiendo directamente
raquo u + v
La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un
vector u por un escalar a basta escribir raquo au
En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la
versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento
Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes
El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el
segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de
elementos o viceversa
raquo uw Fila times Columna = Escalar
raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1
Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod
134 Producto escalar y vectorial de dos vectores
El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto
vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross
Ejemplo 8
a = [1 2 3]
b = [4 5 6]
c = dot(ab)
d = cross(ab)
e = prod(a)
f = prod(b)
135 flipud fliplr
La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose
la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es
transpose
Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo
un vector columna
Ejemplo 9
z=[1 i 2-i]
v=z
w=z
136 Diferencias sumas y productos acumulados
La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus
componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]
Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos
acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos
Ejemplo 10
a = 16
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
b = cumsum(a)
c = cumprod(a)
14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices
Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que
declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros
reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices
Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas
filas por puntos y comas A = [1234]
Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las
filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2
-3 -4]
El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)
Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0
A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)
En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos
sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]
Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)
Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]
raquo M32 = M(filcol)
142 Matrices usuales
Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la
edicioacuten de matrices de uso frecuente
eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n
zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos
ones hace lo mismo con elementos de valor 1
rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]
Ejemplo 11
M = eye(4)
N = zeros(3)
O = ones(2)
P = rand(32)
143 Operaciones con Matrices
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento
correspondiente de la otra raquo A + B
El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados
Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA
MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)
La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB
Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con
Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa
de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )
Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las
variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1
Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta
conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A
15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales
Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente
Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente
Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2
Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica
Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente
Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto
151 sqrt abs
La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un
complejo
La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo
Ejemplo 12
sqrt(4)sqrt(-4)
abs(4)abs(-4)abs(3+4i)
152 exploglog10
Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el
logaritmo decimal de un nuacutemero
Ejemplo 13
exp(1)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
log(ans)
log10(10)
153 sin cos tan atan atan2
Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes
Ejemplo 14
sin(pi2)
sin(90)
Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la
primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en
radianes
La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este
caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante
Ejemplo 15
Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por
arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y
(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en
grados seria
atan(1)180pi ans = 45
luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45
y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se
obtiene directamente
atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135
154 sinh cosh tanh
Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen
como
Ejemplo 16
sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2
tanh(1)sinh(1)cosh(1)
Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas
las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico
Ejemplo 17
x = -10011
y = tanh(x)
plot(xy)
Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas
pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis
con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun
16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores
En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la
instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico
Ejemplo 18
x = -10011
y = sin(x)
plot(xym)
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)
La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto
que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII
Guardarlo con extensioacuten m
Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)
Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios
Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes
adelante en la teoriacutea de interpolaciones
Debemos escribir en el editor
function y=runge(x)
Funcioacuten de Runge
y=1(1+25x^2)
Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas
a la funcioacuten
Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un
vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos
A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo
que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es
posible no supere 8 caracteres
Ejemplo 19
runge(0)
runge([-1 0 1])
El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es
obligatorio poner el nombre de funcioacuten
Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del
nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab
help runge
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de
los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten
aparece el signo igual
Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector
y su aacutengulo respecto al eje OX
Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos
de la siguiente forma
function [xy]=cartpol(rz)
Entradas rradio vector
y z aacutengulo respecto al eje OX
Salidas xy coordenadas cartesinas
x=rcos(z)
y=rsin(z)
Ejemplo 20
ro=ones(13)
zeta=[pi2 pi 3pi2]
[xy]=cartpol(rozeta)
help cartpol
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
TEOREMA DE ROLLE
Si una func i oacuten es
Cont inua en [a b ]
Der ivable en (a b )
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Y s i f (a) = f(b)
Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0
La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en
e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas
Ejemplos
1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten
En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1
En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0
3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e
2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2
2]
En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten
La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os
i n t e rval os estaacuten conten i dos en
Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e
3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real
La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot
Teorema de Bolzano
f (minus1 ) = minus1
f (0) = 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)
Teorema de Rol le
f (x ) = 7x 6 + 3
Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de
Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l
Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que
f es continua en el intervalo cerrado [a b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)
Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor
medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un
punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B
Asiacute se obtiene
EL TEOREMA DE TAYLOR
INTRODUCCION
Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas
del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la
misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta
tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia
Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal
manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la
curva cerca del punto
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede
apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior
Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente
ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que
sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de
funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un
polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la
recta tangente
Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola
es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor
aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola
tangente a una curva no es uacutenica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto
que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda
derivada) es decir debemos pedirle
a) P(xo) = f (xo)
b) P (xo) = f (xo)
c) P (xo) = f (xo)
Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que
a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)
quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))
como
En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola
tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da
la altura sobre la paraacutebola tangente
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0
En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es
una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0
x 1+x
1 2 25 2718281828
05 15 1625 16487212707
03 13 1345 134985880757
01 11 1105 110517091807
001 101 101005 1010050167
0001 1001 10010005 100100050016
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS
Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes
P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)
n
En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes
en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo
P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )
3 + + nan (x- xo)
n-1
P(2)
(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)
n-2
P(3)
(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3
P(n)
(x) = (1)(2)(n) an = n an
De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio
ao = P(xo) a1 = P (xo)
y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute
( I )
Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera
podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las
derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes
ejemplos
Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface
P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)
(2) = 4 P (3)
(2) =24 y P (4)
(2) =48
Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos
xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
y por lo tanto el polinomio buscado es
P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)
3 + 2(x - 2)
4
Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x
2 + 8 en potencias de (x - 1)
Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1
P(x) = 7x3 + x
2 +8 P(1) = 16
P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23
P (2)
(x) = 42x + 2 P (2)
(1) = 44
P (3)
(x) = 42 P (3)
(1) = 42
Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada
P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)
3
Es decir
P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)
3
Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que
7x3 + x
2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)
2 + 7(x - 1)
3
Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la
misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1
se cumple que para x cercano a xo
y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola
tangente es decir
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute
y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio
le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo
En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor
para f de grados 1 y 2 respectivamente
En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los
polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna
corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente
x 1+x
1 2 25 2666666 27083333 2718281828
05 15 1625 1645833 16484375 16487212707
03 13 1345 13495 13498375 134985880757
01 11 1105 110516667 110517083 110517091807
001 101 101005 101005017 101005017 1010050167
0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016
Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente
1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor
cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0
2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la
aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor
Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de
Taylor de grado 12 y 3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios
de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones
f(x) = exp(x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas
condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es
decir
f(x) = Pn(x) + En
y ademaacutes nos diraacute como estimar este error
TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas
tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)
(x) existe en (ab) entonces para x y
xo (ab) se tiene
donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo
Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que
para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
con E0 = para c entre x y xo es decir
f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor
Medio
LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN
A la Expresioacuten
le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0
le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f
Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones
a) f(x) = senx
b) f(x) = cosx
c) f(x) = ex
Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx
f(x) = senx f(0) = 0
f (x) = cos(x) f (0) = 1
f (2)
(x) = -senx f (2)
(0) = 0
f (3)
(x) = -cos(x) f (3)
(0) = -1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f (4)
(x) = sen(x) f (4)
(0) = 0
f (5)
(x) = cos(x) f (5)
(0) = 1
En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares
valen alternadamente 1 y -1
En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es
que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como
Anaacutelogamente podemos encontrar que
o bien
0 bien
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de
Taylor con residuo
Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de
grado 3 y estime el error
Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos
aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en
un punto xo cercano a eacuteste el cual es
xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir
a) f(x) = sen(x)
b) xo = 6 30ordm en radianes
f (x) = sen(x) f( 6) = 05
f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254
f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05
f (3)
(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254
f (4)
(x) = sen(x)
En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea
Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6
Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6
En particular para x = 6 +
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3
sen(35ordm) = 057357512 + E3
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (000000241)sen(c)
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta
indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir
entonces podremos tener una cota para el error es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241
Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el
intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si
para x en el intervalo (ab)
entonces
Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0
entonces podemos estimar de la siguiente manera el error
Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general
para todo valor real de k
por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en
casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea
debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande
Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y
estime el error
Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son
a) f(x) =
b) xo = 27
f(27) = 3
La foacutermula de Taylor es este caso nos queda
y al sustituir x =28 obtenemos
= 3036579789
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 2
E2 =
El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta
indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el
denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir
y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 0000056
Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y
estime el error
Solucioacuten Obseacutervese que = e05
es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el
cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus
derivadas
Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor
para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05
Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)
(0) = 1 la foacutermula nos queda
evaluando en x = 05 tenemos
e05
= 164583333 + E3
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
E3 =
Como f (4)
(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia
= 00078125
En base a todo lo anterior podemos afirmar que
1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas
Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo
de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del
polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada
Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a
con un error que no exceda de una diezmileacutesima
Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de
Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas
Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es
y evaluando en x = 05 obtenemos
= 1648697917
Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten
al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima
Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como
las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se
desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande
Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio
El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es
En =
De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo
Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas
Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas
Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas
Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 9
La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 9 es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
expresado en notacioacuten sumatoria
y evaluando en x = 1 obtenemos
= 2718281526
CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable
funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero
siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0
Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula
la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo
Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la
funcioacuten f(x) = x4
Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0
Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0
Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el
criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0
A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores
extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla
Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y
supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)
(xo) = 0 f (n-1)
(xo) = 0 y f (n)
(xo) 0 entonces si n
es par
1 Si n es par
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
a) f (n)
(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo
b) f (n)
(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo
2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo
Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par
Como f (n)
(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)
(xo) lt 0 podemos encontrar
un subintervalo
(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)
(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f
(n)
Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor
con En = y c entre x y xo
como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene
f (n)
(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-
eacutesima derivada es negativa
Al ser f (n)
(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en
consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio
Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x
3 + 6x
2 +4x
Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos
f (x) = 4x3 + 12x
2 + 12x +4 = 0
f (x) = 4(x3 + 3x
2 + 3x + 1) = 4(x + 1)
3 = 0 x = -1
Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1
Tratemos ahora de determinar su naturaleza
f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0
f (3)
(x) = 24x + 24 f (3)
(-1) = 0
f (4)
(x) = 24 f (4)
(-1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de
esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1
Comandos de Matlab
taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4
Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio
EJERCICIOS
I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y
grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y
P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la
izquierda
P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
xo + 11
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
xo + 09
xo + 03
xo + 01
xo + 001
xo + 0001
xo - 11
xo - 09
xo - 03
xo - 01
xo - 001
xo - 0001
1) en xo = 0
2) en xo = 0
3) en xo = 6
4) f(x) = tanx en xo = 3
5) f(x) = lnx en xo = 1
6) f(x) = arctanx en xo = 1
II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican
1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2
2) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 1
3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1
4) P(x) = 4 - x2 +6x
3 en potencias de x + 1
5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x
4 en potencias de x + 4
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
6) P(x) = x4 en potencias de x - 1
III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface
1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)
(0) = 8 P (3)
(0) =54
2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)
(1) = 32 P (3)
(1) =42
3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)
(-2) = 8 P (3)
(-2) =66
IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y
estime el error
1) polinomio de grado 2
2) polinomio de grado 3
3) polinomio de grado 3
4) sen 6ordm polinomio de grado 3
5) sen 6ordm polinomio de grado 6
6) arctan(13) polinomio de grado 3
7) ln (1015 ) polinomio de grado 3
8) ln (18 ) polinomio de grado 5
9) cos (65ordm) polinomio de grado 4
10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2
V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la
aproximacioacuten deseada y obteacutengala
a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001
b) sen (700 ) con un error menor que 00001
c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
d) con un error menor que 00001
e) con un error menor que 00001
f) con un error menor que 000001
g) e con un error menor que 0000000001
h) ln(19) con un error menor que 000001
VI
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante
Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)
(x) = c (constante) para toda x real
entonces f(x) es un polinomio
METODO DE BISECCION
En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez
Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0
EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
f(x) = frac12 xsup2 ndash 1
1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05
f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1
f(a) = -05 f(b) = 1
F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten
2 Hacemos r = a+b2 r = 15
3 Determinar el subintervalo en el que esta R
bull Si f(a)f(r) lt0 r = b
bull Si f(a)f(r) gt0 r = a
bull Si f(a)f(r) =0 r = R
4 Iteramos hasta el error aproximado de 05
Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b
Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual
Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a
Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b
Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a
Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b
Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a
EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN
disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on
Resultado de su ejecucioacuten
Desde el pront de comandos se invoca el archivo
Grafica
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n
ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f
nabcFaFbFcabs(c-a))
FaFblt=0 c=b
end
Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related
EJEMPLOS EN EXCEL
EJEMPLO 1
Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001
Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a
1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto
pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1
EJEMPLO 2
Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1054688 con un error de 0001
EJEMPLO 3
Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Graacutefico de la Funcioacuten
La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 0361328 con un error de 0001
FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas
porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen
faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas
de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel
automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de
foacutermulas utilizada es la siguiente
Celda Foacutermula
B15 = 1
D15 = 2
F15 = 0001
A18 = 1
B18 = B15
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
C18 = D15
D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)
E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5
F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5
G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5
A19 = A18+1
B19 = SI(B18G18gt0D18B18)
C19 = SI(B19=D18C18D18)
D19 = PROMEDIO(B19C19)
E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5
F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5
G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5
H19 = ABS(D19-D18)
I19 = H19D19
J19 = SI(I19lt=F$3D19)
J24 SI(I19lt=F$3D24)
METODO DE PUNTO FIJO
Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplos
1) La ecuacioacuten se puede transformar en
2) La ecuacioacuten se puede transformar en
Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula
Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir
Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua
en y diferenciable en entonces existe tal que
En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que
De aquiacute tenemos que
O bien
Tomando valor absoluto en ambos lados
Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima
iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten
Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento
En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez
si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo
Analicemos nuestros ejemplos anteriores
En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez
En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez
Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Y un error aproximado de
Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El
resultado final que se obtiene es
Con un error aproximado igual al
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a
de donde
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica
nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada
Aplicando la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado del 100
Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos
Con un error aproximado igual al 2841
En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
-02 100
-01557461506 2841
-01663039075 634
-0163826372 151
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
-0164410064 035
De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten
METODO DE LA SECANTE
Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la
siguiente aproximacioacuten
Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos
conocer los dos valores anteriores y
Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una
y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la
secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez
que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez
mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con
y hasta que
Solucioacuten
Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para
calcular la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0612699837 632
0653442133 623
0652917265 008
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando
con y y hasta que
Solucioacuten
Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante
para obtener la aproximacioacuten
Con un error aproximado de
Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la
siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
0
1 100
0823315073 214
0852330280 340
0853169121 009
De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE NEWTON RAPHSON
Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y
efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo
Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al
eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez
Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta
tangente Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Hacemos
Y despejamos
Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximacioacuten
si
Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que
nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo
no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo
en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante
por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia
Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar
De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que
coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de
comenzando con y hasta que
Solucioacuten
En este caso tenemos que
De aquiacute tenemos que
Comenzamos con y obtenemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso el error aproximado es
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute
Resumimos los resultados en la siguiente tabla
Aprox a la raiacutez Error aprox
1
1268941421 2119
1309108403 306
1309799389 0052
De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus
diacutegitos
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -
eacutesimas de nuacutemeros reales positivos
Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de
una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a
pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que
hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor
precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente
ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
METODO DE FALSA POSICION
Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una
ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo
Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior
Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en
el intervalo
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el
punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la
raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es
realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo
demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos
Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el
intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos
Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por
Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es
Para obtener el cruce con el eje hacemos
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Multiplicando por nos da
Finalmente de aquiacute despejamos
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo
de biseccioacuten
Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos
Sea contiacutenua
i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen
signos opuestos es decir
ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a
iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo
tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute
que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra
en el intervalo
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que
Ejemplo 1
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos
que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla
falsa
Calculamos la primera aproximacioacuten
Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso
Asiacute pues evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo
Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
En este momento podemos calcular el primer error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso
Evaluamos y hacemos la tabla de signos
De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el
cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten
Y el error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a
diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Ejemplo 2
Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de
comenzando en el intervalo y hasta que
Solucioacuten
Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que
se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir
que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos
en los extremos de dicho intervalo
Calculamos pues la primera aproximacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo
Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten
Y calculamos el error aproximado
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos
De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con
el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten
Y el siguiente error aproximado
Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa
contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten
Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa
encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la
biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la
funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que
mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr
que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones
Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la
siguiente ecuacioacuten
top related