apuntes algebra lineal.10a
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Apuntes
de
Álgebra Lineal
Ing. Manuel Gutiérrez G.
Álgebra Lineal
UNIDAD IMATRICES Y DETERMINANTES
1. Matrices:
1.1. Definición1.2. Clasificación de matrices1.3. Operaciones con matrices1.4. Inversa de una matriz1.5. Matrices elementales1.6. Aplicaciones de matrices
2. Determinantes:
2.1. Definición y notación2.2. Propiedades 2.3. Teoremas básicos2.4. Determinantes inversos2.5. Regla de Cramer2.6. Aplicaciones de los determinantes
UNIDAD IMATRICES Y DETERMINANTES
Definición de Matriz
Es un arreglo rectangular de “mn” elementos o cantidades acomodados o dispuestos en “m” renglones y “n” columnas:
donde: Matriz de orden mxn
ij-ésimo elemento de la matriz A
i-ésimo renglón de A (i=1,2,…,m) j-ésima columna de A (j=1,2,…,n)
Clasificación de matrices
MATRICES BASICAS MATRICES ESPECIALESM. Renglón SubmatrizM. Columna M. Transpuesta (Propiedades *)M. Cuadrada M. Simétrica
Ing. Manuel J. Gutiérrez G2
Álgebra Lineal
M. Diagonal M. AntisimétricaM. Nula M. InvertibleM. Identidad M. AdjuntaM. Triangular Superior M. ConjugadaM. Triangular Inferior M. HermitanaM. Elemental M. AntihermitanaM. EscalonadaM. Compleja
Tarea No.: 1Tema: Clasificación de Matrices
*Propiedades de la transpuesta
Operaciones con matrices
Igualdad de matrices
Sean las matrices y de orden mxn, entonces A y B son iguales, si y solo si:
Ej. Hallar la matriz A, para A=B,
Suma de matrices
Sean y matrices mxn entonces:
es decir.
Ing. Manuel J. Gutiérrez G3
Álgebra Lineal
Multiplicación de una matriz por un escalar
Sea una matriz mxn y k un escalar entonces:
es decir:
PropiedadesSean las matrices mxn A, B , C y N, además c y k escalares (reales), entonces:
Ej. I Realiza lo que se indica, dadas las siguientes
matrices:
Ej. II Realiza lo que se indica, dadas
las siguientes matrices:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G4
Álgebra Lineal
Multiplicación de matrices
Sea una matriz mxn y una matriz nxp, entonces la multiplicación de A y B es
la una matriz mxp, talque:
donde:
Propiedades
Ej. Realizar lo que se indica, dadas las siguientes matrices:
Potencia de una matriz
Sea una matriz cuadrada (nxn), las potencias de A, se definen como:
Para los polinomios de una matriz A, sea un polinomio de grado
n, donde , entonces:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G5
Álgebra Lineal
Ej.
Obtener , si:
Tarea No.: 2Tema: Operaciones con matrices
Inversa de una matriz
Sean A y B dos matrices de nxn. Suponga que
Entonces B se llama la inversa de A y se denota por , entonces se tiene que:
Propiedades de las matrices invertibles
Sean A y B matrices invertibles nxn, c un escalar distinto de cero, entonces:
1. es invertible, tal que:
2. es invertible, tal que:
3. es invertible, talque:
4. es invertible, tal que:
5. es invertible, tal que:
Operaciones elementales de renglón
En una matriz se pueden efectuar las siguientes operaciones elementales de renglón:
1. El intercambio de dos renglones:
2. La multiplicación de un renglón por un escalar distinto de cero:
3. La suma de un múltiplo de un renglón a otro renglón:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G6
Álgebra Lineal
El proceso de aplicar operaciones elementales de renglón para llevar a una matriz a la forma escalonada de renglón, denominado reducción de renglón, es utilizado para reducir una matriz a la forma escalonada.
Ej. Obtener la inversa de la matriz dada si:
Matriz Elemental
Una matriz elemental es aquella que puede ser obtenida al realizar una operación elemental por
renglón sobre una matriz identidad. Una matriz elemental se denota como .
Cada matriz elemental es invertible y su inversa es una matriz elemental del mismo tipo.
Sea donde es una matriz elemental invertible, si A es invertible entonces:
Por lo tanto:
Operaciones de matrices elementales
Permutación de dos renglones:
Multiplicación de un escalar por un renglón:
Suma de dos renglones:
Ej. Obtener la matriz dada como el producto de sus matrices elementales:
Tarea No.: 3Tema: Inversa de una matriz / Matrices elementales
Tarea No.: 4Tema: Matrices elementales
Ing. Manuel J. Gutiérrez G7
Álgebra Lineal
Factorización LU (Descomposición LU)
Sea A una matriz nxn, entonces la matriz A se puede escribir o descomponer de la forma:
Es decir, como el producto de una matriz triangular inferior (L) y una matriz triangular superior (U), con:
Matriz escalona por renglones (sin permutaciones)
Producto de matrices elementales
Por lo tanto:
Descomposición PA=LUSea A una matriz nxn, entonces la matriz A, si para descomponer a la matriz dada se requiere de
alguna permutación de renglones se obtienen matrices de permutaciones elementales
el producto de las matrices se llama matriz de permutación:
Por lo tanto la matriz A se puede expresar de la forma:
Ej. 1 Descomponer la matriz dada como
A=LU:
Ej. 2 Descomponer la matriz dada como
PA=LU:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G8
Álgebra Lineal
Tarea No.: 5Tema: Descomposición LU
DETERMINANTESDefinición:
Sea una matriz nxn: entonces el determinante de A que se denota como , se define
como: Sea entonces
Menor de una matriz
Sea una matriz nxn, entonces el menor de A, que se denota como Mij es una matriz de
orden (n-1)x(n-1), que se obtiene al eliminar el i-ésimo renglón y j-ésima columna de A.
Cofactor de una matriz
Sea una matriz nxn, entonces el cofactor de A, que se denota como Cij, está dado por:
Determinante nxn
Sea una matriz nxn, entonces el determinante de A. se expresa como:
Ej. 1 Obtener la matriz de cofactores de las
siguientes matrices:
Ej. 2 Obtener el determinante de las siguientes
matrices:
Tarea No.: 6Tema: Determinantes
Ing. Manuel J. Gutiérrez G9
Álgebra Lineal
Propiedades de los determinantes
Sea una matriz nxn:
Si A tiene un renglón (columna) cero, entonces:
Si B se obtiene al intercambiar dos renglones (columnas) de A, entonces:
Si A tiene dos renglones (columnas) idénticos (as), entonces:
Si B se obtiene al multiplicar un renglón (columna) de A por k, entonces:
Si A, B y C son idénticas excepto que el i-ésimo renglón (j-ésima columna) de C sea la suma de los i-ésimos renglones (j-ésimas columnas) de A y B, entonces:
Si B se obtiene al sumar un múltiplo de un renglón (columna) de A a otro renglón (columna), entonces:
Si A es una matriz nxn:
Si A y B son matrices nxn, entonces.
Si B es una matriz nxn y E una matriz elemental nxn, entonces:
Si E es una matriz elemental nxn, que se obtiene al intercambiar dos renglones de ,
entonces:
Si E es una matriz elemental nxn, que se obtiene al multiplicar un renglón de por k,
entonces:
Si E es una matriz elemental nxn, que se obtiene al sumar un múltiplo de un renglón de a
otro renglón, entonces:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G10
Álgebra Lineal
Si A es invertible, entonces:
Si A es invertible, entonces:
Si A es una matriz nxn:
Teorema:
Sea una matriz nxn triangular superior o inferior, entonces:
Esto es: el determinante de una matriz triangular superior o inferior es igual al producto de los componentes de la diagonal.
Ej. 1 Obtener el determinante de las siguientes matrices:
Ej. 2 Encuentra el determinante de las matrices dadas,
si:
Ej. 3 Sean y ,
obtener el determinante que se pide:
Regla de CramerSea una matriz invertible de nxn y sea b un vector en . Entonces, la única solución del sistema
esta dada por:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G11
Álgebra Lineal
Ej. Obtener la solución del sistema , si:
Matriz InversaSea A una matriz invertible nxn, si y solo si ,entonces:
Ej. Obtener la inversa de la matriz dada, mediante el método de la adjunta:
R:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G12
Álgebra Lineal
UNIDAD IISISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales:
1.1. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables1.2. Sistemas de dos ecuaciones lineales con tres variables1.3. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres variables1.4. Sistemas de m-ecuaciones lineales con n-variables1.5. Métodos de solución de un sistemas de ecuaciones lineales1.6. Factorización LU de una matriz1.7. Sistemas ecuaciones no homogéneos y sistemas de ecuaciones homogéneos1.8. Aplicaciones
UNIDAD IISISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos y homogéneosSea el sistema de ecuaciones lineales de la forma:
En forma matricial se expresa como:
Es decir:
o
Si entonces el sistema de ecuaciones lineales es no homogéneo, tiene como posibles soluciones:
Solución única
Infinidad de soluciones Ninguna solución
Si entonces el sistema de ecuaciones lineales es homogéneo, tiene como posibles soluciones:
Solución trivial (solución única)
Solución no trivial (infinidad de soluciones)
Sistema de dos ecuaciones lineales con dos variablesSea el sistema de ecuaciones lineales de la forma:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G13
Álgebra Lineal
En forma matricial se expresa como:
Es decir:
Sistema de dos ecuaciones lineales con tres variablesSea el sistema de ecuaciones lineales de la forma:
En forma matricial se expresa como:
Es decir:
Sistema de tres ecuaciones lineales con tres variablesSea el sistema de ecuaciones lineales de la forma:
En forma matricial se expresa como:
Es decir:
Sistema de m-ecuaciones lineales con n-variablesSea el sistema de ecuaciones lineales de la forma:
En forma matricial se expresa como:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G14
Posibles soluciones: m<n →______________ m=n →______________ m>n →______________
Álgebra Lineal
Es decir:
Métodos de solución de un sistema de ecuaciones linealeso Eliminación Gaussiana (sistema de ecuaciones mxn)
Sea el sistema de ecuaciones lineales de la forma:
En forma matricial se expresa como:
Es decir:
La solución del sistema mediante la eliminación gaussiana, se obtiene:
Se expresa el sistema de ecuaciones lineales en forma aumentada .
La matriz aumentada se reduce por renglones a la forma escalonada.
Se resuelve la última ecuación, para obtener el valor de la incógnita .
Se utiliza la sustitución hacia atrás a fin de obtener las demás incógnitas .
Ej. 1 Resolver los sistemas de ecuaciones lineales dados:
o Eliminación Gauss-Jordán (sistema de ecuaciones mxn)Sea el sistema de ecuaciones lineales de la forma:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G15
Álgebra Lineal
En forma matricial se expresa como:
Es decir:
La solución del sistema mediante la eliminación Gauss-Jordán, se obtiene:
Se expresa el sistema de ecuaciones lineales en forma aumentada .
La matriz aumentada se reduce por renglones a la forma escalonada reducida.
Se obtienen los valores de las incógnitas .
Ej. 1 Resolver el sistema de ecuación
lineal dado:
^
Ej. 2 Dado el siguiente sistema de ecuación
lineal
Hallar el valor de a de tal manera que: a) el sistema tenga solución única
b) el sistema tenga infinidad de soluciones
c) el sistema no tenga solución
o Por inversa (sistema de ecuaciones nxn)Sea el sistema de ecuaciones lineales de la forma:
En forma matricial se expresa como:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G16
Álgebra Lineal
Es decir:
Si , entonces el sistema tiene solución única, de la forma:
Ej. 1 Resolver el sistema de ecuación lineal dado:
o Factorización LU (sistema de ecuaciones nxn)Sea el sistema de ecuaciones lineales de la forma:
En forma matricial se expresa como:
Es decir:
El sistema de ecuaciones lineales se resuelve mediante la factorización LU de la siguiente
manera, como entonces , como L es invertible, existe un vector
único y talque , como también U es invertible , existe un vector único x tal que
Ej. 1 Resolver el sistema de ecuación lineal dado:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G17
Álgebra Lineal
o Regla de Crammer (sistema de ecuaciones nxn)Sea el sistema de ecuaciones lineales de la forma:
En forma matricial se expresa como:
Es decir:
Si , entonces el sistema tiene solución única, de la forma: , mediante la regla de Crammer, la solución del sistema se obtiene como.
Ej. 1 Resolver el sistema de ecuación lineal dado:
Sistemas de ecuaciones lineales homogéneosSea el sistema de ecuaciones lineales homogéneo expresado de la forma:
En forma matricial se expresa como:
Es decir:
o
Ing. Manuel J. Gutiérrez G18
Álgebra Lineal
Si entonces el sistema de ecuaciones lineales es homogéneo, tiene como posibles soluciones:
Solución trivial (solución única)
Solución no trivial (infinidad de soluciones)
Ej. 1 Resolver el sistema de ecuación
lineal dado:
Ej. 2 Dado el siguiente sistema de ecuación
lineal
Hallar el valor de K de tal manera que: c) el sistema tenga solución trivial
d) el sistema tenga solución no trivial
, encontrar un punto.
Aplicacioneso Circuitos
Leyes de Kirchhoff1ª Ley. La suma de las corrientes que llegan a una unión (nodo) es igual a la suma de las
corrientes que salen de esa unión (nodo)
2ª Ley. La suma de las fuentes de energía (fem) alrededor de cualquier malla cerrada es igual a la suma de todas las caídas IR alrededor de dicha malla.
Ing. Manuel J. Gutiérrez G19
Álgebra Lineal
Ej.
Determinar las corrientes del circuito eléctrico dado:
o Diagrama de flujoEn cada nodo, el flujo que entra es igual al flujo que sale
Ing. Manuel J. Gutiérrez G20
A B
CD
f1
f2 f3
f4
10
10
1015
15
205
15
Álgebra Lineal
Ej.El centro de la Ciudad de Toluca se compone de calles de un solo sentido, y se a medido el flujo de tráfico en cada intersección. Los puntos de intersección A, B, C y D representan el número promedio de vehículos por minuto que entran y salen, durante las horas de trabajo como se muestra en la figura.
a. Establezca y resuelva un sistema de ecuaciones lineales para encontrar los flujos
posibles .
b. Si el tráfico es regulado en CD de manera que vehículos por minuto, ¿Cuáles
serán los flujos promedio en las otras calles?c. ¿Cuáles son los flujos posibles mínimo y máximo en cada calle?d. ¿Cómo cambiaría la solución si todas las direcciones fueran invertidas?
o Balanceo de reacciones químicas
Ej.Balancear la ecuación química de la reacción dada:
o Asignación de recursos
Ej.Un comerciante de café vende tres mezclas de café. Una bolsa de la mezcla de la casa contiene 300 gr de grano colombiano y 200 gr de grano francés tostado. Una bolsa de mezcla especial contiene 200 gr de grano colombiano, 200 gr de la variedad de Kenia y 100
Ing. Manuel J. Gutiérrez G21
Álgebra Lineal
gr de grano francés tostado. Una bolsa de la mezcla gourmet contiene 100 gr de grano colombiano, 200 gr de grano de Kenia y 200 gr de grano francés tostado. El comerciante tiene disponible 30 k de grano de Colombia, 15 k del de Kenia y 25 k del café tostado de Francia. Si desea utilizar la totalidad de los granos, ¿cuántas bolsas de cada tipo de mezcla pueden hacerse?
o DígrafoUn grafo se compone de un conjunto finito de puntos llamados vértices y un conjunto finito de líneas, cada una de las cuáles unen a dos vértices.Un dígrafo es un grafo con líneas dirigidas.Si G es un dígrafo con n vértices entonces su matriz de adyacencia es la matriz A de nxn definida por:
Ej.Cinco equipos de fútbol (América, Cruz Azul, Guadalajara, Toluca y UNAM) compiten en un torneo de “round-robin” (todos contra todos). Elaborar un dígrafo de acuerdo a los resultados dados. Determinar el equipo campeón del torneo.
Chivas 3 – 0 PumasAmérica 2 – 0 PumasToluca 1 – 2 Cruz azulCruz Azul 0 – 1 ChivasChivas 1 – 0 TolucaCruz Azul 3 – 2 AméricaAmérica 0 – 1 TolucaCruz Azul 2 -1 PumasChivas 3 – 2 AméricaPumas 0 – 1 Toluca
UNIDAD IIIESPACIOS VECTORIALES
1. Espacios Vectoriales:
1.1. Definición y propiedades básicas1.2. Subespacio Vectorial1.3. Combinación lineal y generación de un espacio1.4. Dependencia e independencia lineal.1.5. Bases y dimensiones1.6. Espacio de renglones, espacio de columnas, rango y nulidad de una matriz1.7. Cambio de base
Ing. Manuel J. Gutiérrez G22
A C
G PA
T
Álgebra Lineal
1.8. Bases ortonormales y proyecciones
ESPACIOS VECTORIALES
1.1. DefiniciónSea V un conjunto en el cual dos operaciones, llamadas adición y multiplicación escalar, han sido definidas. Si u y v se encuentran en V, la suma de u y v, se denota como u+v, y si c es un escalar, el múltiplo escalar de u por c, se denota como cu. Si los siguientes axiomas se cumplen para u, v y w en V y para todos los escalares c y d, entonces V se denomina espacio vectorial y sus elementos son llamados vectores.
Adición Multiplicación escalarCerradura: Cerradura:
Conmutatividad: Distributividad sobre vectores:
Asociatividad: Distributividad sobre escalares:
Existe un elemento 0 en V, denominado vector cero o nulo, talque:
Asociatividad de escalares:
Para cada u en V, existe un elemento –u en
V, talque: Para cada u en V,
1.2. Subespacio VectorialSea V un espacio vectorial, y W un subconjunto no vació de V. Entonces W es un subespacio de V si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:
Si u y v se encuentran en W, entonces u+v se encuentra en W. Si u se encuentra en V y c es un escalar, entonces cu se encuentra en W.
Tipos de Espacios Vectoriales
1.3. Combinación Lineal y Generación de un Espacio
Sea vectores que pertenecen al espacio vectorial V. Entonces la expresión de la
forma:
se llama combinación lineal de con escalares.
Si es un conjunto de vectores en un espacio vectorial V, entonces el conjunto
de todas las combinaciones lineales de se conoce como espacio generado por
Ing. Manuel J. Gutiérrez G23
Álgebra Lineal
y se denota mediante la expresión espacio o espacio (S) o
, entonces S se denomina conjunto generador para V y se dice que V es
generado por S.
Ej:
1. Sea expresar como una combinación lineal de
2. Sea expresa M como una combinación lineal de
3. Sea expresa como una combinación lineal del
conjunto dado
1.4. Dependencia e Independencia Lineal
Un conjunto de vectores de un espacio vectorial V es:
linealmente dependiente si existen escalares al menos uno de los cuales
diferente de cero, tales que:
linealmente independiente si existen escalares todos iguales a cero
, tales que:
Ej:
1. Determinar si el conjunto de vectores es linealmente dependiente o
Ing. Manuel J. Gutiérrez G24
Álgebra Lineal
independiente en .
2. Determinar la dependencia o independencia del siguiente conjunto
3. Determinar la dependencia o independencia del siguiente conjunto
Tarea No.: 7Tema: Dependencia e Independencia Lineal
1.5. Bases y Dimensiones Base: Un subconjunto B de un espacio vectorial V es una base para V si:
o B genera a V.o B es linealmente independiente.
Base Estándar
o Base Estándar para donde es la i-ésima columna de la matriz
identidad de nxn.
o Base Estándar para
o Base Estándar para donde es la matriz
con 1 en el ij-ésimo elemento y ceros en los demás elementos de la matriz.
Dimensión: Un espacio vectorial V se denomina de dimensión finita si tiene una base determinada por un número finito de vectores. La dimensión de V, se denota mediante la expresión , es el número de vectores en
una base para V. La dimensión del espacio vectorial es cero.
Un espacio vectorial que no tiene base finita se conoce como de dimensión infinita.
o La base estándar para contiene n vectores, por lo tanto .
o La base estándar para contiene n+1 vectores, por lo tanto .
o La base estándar para contiene mn vectores, por lo tanto .
TeoremaSea W un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita V. Entonces:
o W es de dimensión finita y .o si y sólo si W=V.
1.6. Espacio de renglones, Espacio de Columnas, Rango y Nulidad de una matrizSea A una matriz nxn. Espacio Nulo
Sea A una matriz mxn, entonces el espacio nulo de la matriz A se expresa como:
o Nulidad
Ing. Manuel J. Gutiérrez G25
Álgebra Lineal
La nulidad de la matriz A se expresa como:
Imagen de una matrizSea A una matriz mxn, entonces la imagen de la matriz A se expresa como:
o Rango de una matriz
El rango de la matriz A se expresa como:
El rango de una matriz es igual al número de pivotes en su forma escalonada por renglones.
Espacio Renglón de A es el subespacio de generado por los renglones de A.
Espacio Columna de A es el subespacio de generado por las columnas de A.
TeoremaSea A una matriz de mxn. Entonces
Ej:1. Determinar si los vectores dados forman una base para :
2. Encuentre una base en y su dimensión para el conjunto de vectores en el plano dado por:
3. Encuentre una base para el espacio de solución del sistema homogéneo dado:
4. Encuentre una base para , dada la matriz:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G26
Álgebra Lineal
Tarea No.: 8Tema: Base y dimensión
Tarea No.: 9Tema: Espacio de renglones y columnas
1.7. Cambio de Base Vector Coordenado de una base
Sea V un espacio vectorial con base para , existen tales
que:
El vector cuyos componentes son los coeficientes de , expresado como se llama
vector coordenado de con respecto a B. Es decir:
Ej:
1. Sea en y
a. Determinar b. Calcular , si
Ing. Manuel J. Gutiérrez G27
Álgebra Lineal
2. Determina en , si y
3. Obtener en , si y
Cambio de Base
Sea y dos bases de un espacio vectorial de
dimensión finita Sea A la matriz de transición o cambio de base de a , cuyas columnas
son:
Por otro lado. Sea C la matriz de transición o cambio de base de a , cuyas columnas
son:
Ej:
1. Sean y dos bases en , obtener:
a. La matriz de transición Ab. La matriz de transición C
c. , si
2. Sean y dos bases en , obtener:
a. La matriz de transición Ab. La matriz de transición C
c. en términos de
Tarea No.: 10Tema: Cambio de base
1.8 Bases ortonormales y proyecciones Conjunto ortonormal
Se dice que un conjunto de vectores es un conjunto ortonormal
si:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G28
Álgebra Lineal
Si sólo se satisface la primera condición, entonces se dice que el conjunto es ortogonal.
Longitud o norma de un vector
Si entonces la longitud o norma de , denotada por está dada por:
Si entonces
Teorema
Si es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero, entonces S
es linealmente independiente.
Base ortogonalUna base ortogonal de un subespacio W en es una base de W que es un conjunto ortogonal.
Proceso de Gram-Schmidt
Sea una base de un subespacio W de , entonces S tiene una base
ortonormal, que se obtiene como:
Base ortogonal:
Base ortonormal:
Proyección ortogonal
Ing. Manuel J. Gutiérrez G29
Álgebra Lineal
Sea H un subespacio de con base ortonormal , si , entonces la proyección
ortogonal de sobre H, denotada por está dada por:
con
Teorema
Sea sea una base ortonormal para y sea . Entonces:
Esto es,
Teorema de proyección
Sea H un subespacio de y sea . Entonces existe un par único de vectores y tales que
En particular
De manera que:
DefiniciónSea un subespacio de , se dice que es ortogonal a W, si es ortogonal a todo vector en
. El conjunto de todos los vectores que son ortogonales a se denomina complemento ortogonal
de , denotado como . Esto es:
Sea H un subespacio de , el complemento ortogonal de denotado por esta dado por:
Ejercicios
Sea , calcular
Ing. Manuel J. Gutiérrez G30
Álgebra Lineal
a.
b.
c. Una base para
UNIDAD IVTRANFORMACIONES LINEALES
1. Definición y Propiedades2. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal3. Representación Matricial de una Transformación Lineal4. Isomorfismos
1. TRANSFORMACIÓN LINEALDefinición y Propiedades
Sean V y W espacios vectoriales reales, una transformación lineal T de V en W, es una
función que asigna a cada vector un vector único y que satisface, para
en V, las siguientes propiedades:
Una transformación T de V en W se denota como:
o Teorema
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base , y sea W un espacio
vectorial que contiene n vectores , entonces existe una transformación lineal
única, denotada como , tal que:
, con
Es decir:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G31
Álgebra Lineal
Aplicando la transformación:
Ej. 1Sea una transformación
lineal, calcular , si:
Y
Ej. 2
Sea una transformación lineal, calcular , si:
2. NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEALNúcleo o Kernel de una Transformación Lineal
Sea V y W dos espacios vectoriales y sea una transformación lineal, entonces el núcleo o kernel de T, está expresado como:
Imagen de una Transformación LinealLa imagen de T, está dada por:
Nulidad de una Transformación LinealSi T es una transformación lineal de V en W, entonces:
Rango de una Transformación LinealSi T es una transformación lineal de V en W, entonces:
o Teorema:Si es una transformación lineal, entonces:
a). , es un subespacio de V.
b). , es un subespacio de W.
Ing. Manuel J. Gutiérrez G32
Álgebra Lineal
3. REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Sea una transformación lineal, entonces existe una única de , tal que:
para
Donde es la matriz de transformación a T o representación matricial de T.
o Teorema:Sea la matriz de transformación correspondiente a la transformación lineal T, entonces:
o Teorema:Sea V un espacio vectorial de dimensión n, W un espacio vectorial de dimensión m y
una transformación lineal. Sea una base para V y sea
una base para W, entonces existe una matriz única de mxn tal que:
o Teorema:
Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con , sea una
transformación lineal y sea una representación matricial de T respecto a las bases en V
y en W, entonces:
o Teorema:
Sea una transformación lineal, sea la matriz de transformación de T respecto a
las bases estándar y en y , respectivamente. Sea la matriz de transición de
a la base en y la matriz de transición de a la base en . Si denota la
matriz de transformación de T respecto a las bases y , entonces:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G33
Álgebra Lineal
Ej. 1Sea una transformación lineal, dada por:
Calcular:a) La matriz asociada a la
transformación linealb) Núcleo o kernel y nulidad de la
transformación c) Imagen y rango de la
transformación
Ej. 2Sea una transformación lineal, dada por:
Calcular:a) La matriz asociada a la transformación linealb) Núcleo o kernel y nulidad de la
transformación c) Imagen y rango de la transformación
Ej. 3Sea una transformación lineal, dada por:
y
Calcular:a) La matriz asociada a la
transformación linealb) Núcleo o kernel y nulidad de la
transformación c) Imagen y rango de la
transformación
d)
Ej. 4Sea una transformación lineal, dada por:
y
Calcular:a) La matriz asociada a la transformación linealb) Núcleo o kernel y nulidad de la
transformación c) Imagen y rango de la transformación
Ej.5Sea una transformación lineal, dada por: y
Calcular:a) La matriz asociada a la transformación linealb) Núcleo o kernel y nulidad de la transformación c) Imagen y rango de la transformación
Tarea No.: 11Tema: Núcleo e imagen de una transformaciónTarea No.: 12Tema: Cambio de base de una transformación lineal
Ing. Manuel J. Gutiérrez G34
Álgebra Lineal
4. ISOMORFISMOSTransformación Inyectiva (Uno a Uno)
Sea una transformación lineal, entonces T es inyectiva (1-1), si:
para
TeoremaSea una transformación lineal, entonces T es inyectiva (1-1), si y sólo si:
Transformación Sobre (Suprayectiva)Sea una transformación lineal, entonces T es sobre (suprayectiva) de W, si para
existe al menos un , tal que:
es decir:
IsomorfismoSea es una transformación lineal, entonces T es un isomorfismo si:a) T. Inyectiva
b) T. Sobre
Transformaciones Lineales Inversas1) Sea una transformación lineal, entonces
a) T es invertible si y sólo si es un isomorfismo.b) Si T es invertible entonces es lineal.
2) Sea una transformación lineal cuya matriz Con respecto a las bases y de V, entonces:
a) T es invertible si y sólo si es invertible.
b) Si T es invertible entonces es la matriz de con respecto a y .
3) Una transformación lineal es invertible, si existe una transformación tal que:
Ej.:
Sea una transformación lineal, dada por: y
a) Determinar si la Transformación lineal dada es un isomorfismob) Calcular la matriz inversa (si existe)
c) Obtener
Tarea No.: 13Tema: Transformaciones Lineales Inversas
UNIDAD VVALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS
1. Valores y vectores característicos.2. Polinomio característico y ecuación característica.
Ing. Manuel J. Gutiérrez G35
Álgebra Lineal
3. Multiplicidad algebraica y geométrica.4. Matrices semejantes y diagonalización de una matriz nxn.5. Matrices simétricas y diagonalización ortogonal.6. Formas Cuadráticas y Cuádricas.
1. VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOSSea A una matriz nxn con componentes reales, el número (real o complejo) se llama característico o propio (eigenvalor) de A si existe un valor diferente de cero con , tal que:
donde se llama valor característico o propio (eigenvector) de A correspondiente al valor característico .
2. POLINOMIO CARACTERISTICO Y ECUACION CARACTERISTICAPolinomio Característico
Sea A una matriz nxn, entonces es valor característico de A, entonces el polinomio característico está dado por:
Ecuación CaracterísticaLa ecuación característica se expresa como:
Espacio Característico Sea un valor característico de A, el subespacio propio de A, correspondiente a , se expresa como:
3. MULTIPLICIDAD GEOMÉTRICA Y ALGEBRAICAMultiplicidad Algebraica
Sea la ecuación característica de la forma
La cual se puede escribir en donde la ecuación
tiene n raíces, algunas de ellas repetidas.
Si son las diferentes raíces de la ecuación característica con multiplicidades
respectivamente, entonces la ecuación se puede factorizar de la forma:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G36
Álgebra Lineal
, en donde los números son las
multiplicidades algebraicas de los valores propios respectivamente.
Multiplicidad GeométricaSea un valor característico de la matriz A, entonces la multiplicidad geométrica de es la dimensión del espacio característico correspondiente a , esto es
TeoremaSea un valor característico de A, entonces:
4. MATRICES SEMEJANTES Y DIAGONALIZACIÓN DE UNA MATRIZMatrices Semejantes
Sean A y B dos matrices nxn, entonces A y B son semejantes si existe una matriz C invertible nxn, tal que:
Diagonalización de una MatrizSea A una matriz nxn, entonces A es diagonalizable si existe una matriz diagonal D, tal que es A es semejante a D, donde la matriz D está dad por:
donde son los valores característicos de A, entonces:
donde C es la matriz formada por los vectores característicos linealmente
independientes de A, es decir:
con la matriz C invertible.
Ej. 1 Ej. 2
Ing. Manuel J. Gutiérrez G37
Álgebra Lineal
Sea la matriz dada ,
calcular:
a). Polinomio característico
b). Valores característicos
c). Vectores característicos
d). Espacios característicos
Sea la matriz dada
a) Encontrar la matriz C que diagonaliza a la matriz A
b) Obtener la matriz diagonalizable D
Tarea No.: 14Tema: Valores y vectores característicos
Diagonalización de una matriz
5. MATRICES SIMÉTRICAS Y DIAGONALIZACIÓN ORTOGONALMatrices simétricas
Sea A una matriz simétrica real de nxn, entonces los valores característicos de A son reales.
Sea A una matriz simétrica real de nxn, si y son valores característicos diferentes con
vectores característicos reales correspondientes y , entonces y son ortonormales.
Sea A una matriz simétrica real de nxn, entonces A tiene n vectores característicos reales ortonormales.
Diagonalización Ortogonal de una MatrizSe dice que una matriz A de nxn es diagonalizable ortonormalmente si existe una matriz ortogonal Q tal que:
6. FORMAS CUADRATICAS Y CUADRICAS Una ecuación cuadrática en dos variables sin términos lineales es una ecuación de la forma:
Una forma cuadrática en dos variables es una expresión de la forma:
Una ecuación cuadrática en tres variables sin términos lineales es una ecuación de la forma:
Una forma cuadrática en tres variables es una expresión de la forma:
La forma cuadrática F se expresa mediante la matriz simétrica A, como:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G38
Álgebra Lineal
Por lo tanto, la ecuación cuadrática mediante la matriz simétrica A, se expresa como:
La matriz simétrica A, está dada por:
La ecuación cuadrática con respecto a las variables se expresa como:
Con respecto a los ejes principales se expresa como:
Ej.
1. Identifique la cónica cuya ecuación es:
2. Identifique la cuádrica de la superficie:
Tarea No.: 15Tema: Diagonalización ortogonal de una matriz
Formas cuadráticas
Ing. Manuel J. Gutiérrez G39
Álgebra Lineal
FORMAS CUADRATICAS Y CANONICASEn :
FORMAS
CUADRATICAS Y CANONICAS
Ing. Manuel J. Gutiérrez G40
Álgebra Lineal
En :
ANEXOS
Ing. Manuel J. Gutiérrez G41
Álgebra Lineal
Anexo 1. TareasUNIDAD I
MATRICES Y DETERMINANTES
Tarea No.: 1Tema: Clasificación de MatricesFecha de Entrega: _________________________
Investigar el concepto de las siguientes matrices, indicando notación, características principales y un ejemplo.
CLASIFICACIÓN DE MATRICES MATRICES BASICAS
o M. Renglóno M. Columnao M. Cuadradao M. Diagonalo M. Nulao M. Identidado M. Triangular Superioro M. Triangular Inferioro M. Elementalo M. Escalonadao M. Compleja
MATRICES ESPECIALESo Submatrizo M. Transpuestao M. Simétricao M. Antisimétricao M. Invertibleo M. Adjuntao M. Conjugadao M. Hermitanao M. Antihermitana
Tarea No.: 2Tema: Operaciones con matricesFecha de Entrega: __________________________
I. Resolver lo que se pide:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G42
Álgebra Lineal
Sean:
1.
2.
3.
4.
5. Hallar la matriz E, de tal manera que:
II. Sea la matriz (compleja) dada:
Obtener
Tarea No.: 3Tema: Inversa de una matriz / Matrices elementalesFecha de Entrega: _________________________
1. Obtener la inversa (si existe) de las matrices dadas.
2. Expresar las matrices inversas del inciso anterior como el producto de sus matrices elementales.
Tarea No.: 4Tema: Matrices elementalesFecha de Entrega: _________________________
InstruccionesComprobar con Maple que:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G43
Álgebra Lineal
donde:
Tarea No.: 5Tema: Descomposición LUFecha de Entrega: _________________________
InstruccionesDadas las siguientes matrices, encontrar la descomposición LU de cada una de ellas
Tarea No.: 6Tema: DeterminantesFecha de Entrega: _________________________
InstruccionesI. Obtener el determinante de las siguientes matrices:
UNIDAD IIIESPACIOS VECTORIALES
Tarea No.: 7Tema: Dependencia e Independencia LinealFecha de Entrega: ____________________
Determinar si los conjuntos dados son linealmente dependientes o independientes.
Ing. Manuel J. Gutiérrez G44
Álgebra Lineal
Para que valor(es) de k serán linealmente dependientes los vectores dados:
Tarea No.: 8Tema: Base y dimensiónFecha de Entrega: ____________________
1. Determine si el conjunto de vectores dados es una base para el espacio vectorial indicado:
2. Encuentre una base para el espacio vectorial indicado, con los vectores dados y su dimensión:
3. Encuentre una base y dimensión para el espacio de solución del sistema dado:
Tarea No.: 9Tema: Espacio de renglones y columnasFecha de Entrega: ____________________
Dadas las siguientes matrices, encontrar
Ing. Manuel J. Gutiérrez G45
Álgebra Lineal
Tarea No.: 10Tema: Cambio de baseFecha de Entrega:
Obtener lo que se pide:
Matriz cambio de base de B a C Matriz cambio de base de C a B
Verificar
Verificar
Si:
UNIDAD IVTRANFORMACIONES LINEALES
Tarea No.: 11Tema: Núcleo e imagen de una transformaciónFecha de Entrega: _____________________
Dadas las siguientes transformaciones lineales, determinar:
1. Sea definida por:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G46
Álgebra Lineal
2. Sea definida por:
3. Sea definida por:
Tarea No.: 12Tema: Cambio de base de una transformación linealFecha de Entrega: ____________________
Dadas las siguientes transformaciones lineales, obtener:
1. Sea definida por:
2. Sea definida por:
3. Sea definida por:
Tarea No.: 13Tema: Transformaciones Lineales InversasFecha de Entrega: ____________________
Dadas las siguientes transformaciones lineales:a. Verificar si forman un isomorfismo
b. Obtener
c. Obtener
d. Obtener
1. Sea definida por:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G47
Álgebra Lineal
2. Sea definida por:
Tarea No.: 14Tema: Valores y vectores característicos
Diagonalización de una matrizFecha de Entrega: ____________________
Dadas las siguientes matrices, obtener:o Polinomio característicoo Valores característicoso Vectores característicoso Espacios característicoso Multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica
Dadas las siguientes matrices, obtener:o La matriz que diagonaliza a la matriz Ao Verificar
Tarea No.: 15Tema: Diagonalización ortogonal de una matriz
Formas cuadráticasFecha de Entrega: ____________________
Dadas las siguientes matrices, obtener:o La matriz que diagonaliza ortogonalmente a la matriz A (A debe ser una matriz
simétrica para que se pueda diagonalizar ortogonalmente).o Verificar
Identifique la cónica con la ecuación dada y obtener su ecuación en forma estándar:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G48
Álgebra Lineal
Identifique la cuadrática con la ecuación dada y obtener su ecuación en forma estándar:
Anexo 2. Serie de Ejercicios
SERIE DE EJERCICIOS No. 1MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Fecha de Entrega:_______________________________Primer Examen Parcial: ___________________________
1. Sean , y
Hallar la matriz A y B, de tal manera que:
2. Sean
, y Hallar la matriz A y B, de tal manera que:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G49
Álgebra Lineal
3. Determinar los valores de “c” y “k” para que la matriz A sea simétrica:
4. Calcular (si existe), por el método de escalonamiento y comprobar el resultado, si:
4.1. 4.2.
5. Calcular (si existe), por el método de la adjunta y comprobar el resultado, si:
5.1. 5.2.
6. Sea , Obtener , si:
7. Encontrar la matriz D, de tal manera que: , si:
, y
8. Calcular , si: y
9. Sean , y
Calcular:
10. Resolver los siguientes sistemas, por eliminación Gaussiana:
10.1. 10.2.
11. Resolver los siguientes sistemas, por Gauss – Jordan:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G50
Álgebra Lineal
11.1. 11.2.
12. Resolver los siguientes sistemas, por el método de la inversa:
12.1. 12.2.
13. Resolver los siguientes sistemas, por Regla de Crammer:
13.1. 13.2.
14. Resolver los siguientes sistemas homogéneos:
14.1. 14.2.
15. Hallar el valor de k, para que el sistema tenga la solución no trivial y obtener el punto solución.
16. Sea el sistema:
Hallar el valor de k, para que: a). El sistema tenga la solución única.b). El sistema tenga un número infinito de soluciones.c). El sistema no tenga solución.
17. Expresar la siguiente matriz como el producto de matrices elementales.
18. Resolver los siguientes sistemas dados usando la factorización LU.
Ing. Manuel J. Gutiérrez G51
Álgebra Lineal
18.1. 18.2.
19. Para que valores de k, la matriz A es invertible
20. Calcular las corrientes i1,i2 e i3 del circuito dado:
21. Se necesitan tres ingredientes distintos A, B y C, para producir determinada sustancia química. A, B y C deben disolverse en agua, por separado, antes de interactuar y formar la sustancia. La concentración de la solución que contiene A es de 1.5 g/cm3, la contiene B es de 1.8 g/cm3 y la de C es de 3.2 g/cm3, al combinarlas se produce 15.06 g de la sustancia. Si se modifican las concentraciones de A, B y C en esas soluciones a 2.0, 2.5 y 2.8 g/cm3, respectivamente (permaneciendo igual el volumen) se producen entonces 17.79 g de la sustancia. Por último, si las concentraciones se cambian a 1.2, 1.5 y 3.0 g/cm3, respectivamente, se producen 13.05 g de la sustancia. ¿Cuáles son los volúmenes, en cm3, de las soluciones que contienen A, B y C?
22. Balancear la reacción dada:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G52
Álgebra Lineal
SERIE DE EJERCICIOS No. 2 UNIDAD III
“ESPACIOS VECTORIALES”
Fecha de Entrega:____________________Segundo Examen Parcial:_____________________
COMBINACION LINEAL Y ESPACIO GENERADO:PAG’S: 311 PROBLEMA: 4.4 EJERCICIOS: 4,10
INDEPENDENCIA LINEAL:PAG’S: 329/330 PROBLEMA: 4.5 EJERCICIOS: 10,19,26
BASES Y DIMENSION:PAG’S: 345 PROBLEMA: 4.6 EJERCICIOS: 14,23
RANGO, NULIDAD, ESPACIO COLUMNAS Y RENGLONES DE UNA MATRIZ:PAG’S: 361 PROBLEMA: 4.7 EJERCICIOS: 6,12,18,21
CAMBIO DE BASE:PAG’S: 383/384 PROBLEMA: 4.8 EJERCICIOS: 8,16,17,20
BASE ORTONORMAL Y PROYECCIONES:PAG’S: 408 PROBLEMA: 4.9 EJERCICIOS: 5,26,28
BIBLIOGRAFIA:
ALGEBRA LINEALSTANLEY I. GROSSMANQUINTA EDICIONMC GRAW HILL
UNIDAD IV“TRANSFORMACIONES LINEALES”
Ing. Manuel J. Gutiérrez G53
Álgebra Lineal
1. Sea demostrar si la transformación es lineal.
2. Sea , Encontrar:
3. Sea , obtener:
4. Sea ,
5. Sea ,
6. Sea obtener:
UNIDAD V“VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS”
1. Dadas las siguientes matrices, calcular:a. Polinomio característico. c. Espacio generado.b. Valores y vectores característicos. d. Multiplicidad algebraica y
geométrica
1.1. 1.2. 1.3.
2. Obtener la matriz C que diagonaliza a la matriz dada, obtener su inversa si es invertible y obtener la matriz diagonal.
2.1. 2.2.
Ing. Manuel J. Gutiérrez G54
Álgebra Lineal
3. Obtener la matriz Q que diagonaliza ortogonalmente a la matriz dada, obtener su inversa si es invertible y obtener la matriz diagonal.
3.1. 3.2.
4. Obtener la cónica de las siguientes ecuaciones, expresando con respecto a las nuevas variables eliminando los términos lineales (xy, xz, yz), según sea el caso:
Anexo 3. Trabajos
TRABAJO No. 1“MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES”
Fecha de Entrega: _______________________________
I. MATRICES Y DETERMINANTES1.1. Sean las matrices:
Obtener:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G55
Álgebra Lineal
1.2. Sean las matrices:
obtener:
II. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES2.1. Calcular las corrientes i1,i2 e i3 del circuito
dado:
2.2. Resolver el sistema dado:
TRABAJO No. 2
Fecha de entrega:____________________
UNIDAD III“ESPACIOS VECTORIALES”
1. Sea bases en :
a) Obtener la matriz
Ing. Manuel J. Gutiérrez G56
Álgebra Lineal
b) Encontrar , si
c) Verificar
2. Sea en , encontrar:
a) Una base ortonormal para el espacio generado por el conjunto de vectores dado.
b) , si
UNIDAD IV“TRANSFORMACIONES LINEALES”
3. Sea una transformación definida por: , donde:
Verificar si T forma un isomorfismoObtener T-1 La matriz asociada a TKer(T), Im(T), nulidad y rango
UNIDAD V“VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS”
4. Obtener los valores y vectores característicos, dada la siguiente matriz:
Ing. Manuel J. Gutiérrez G57
Álgebra Lineal
Ing. Manuel J. Gutiérrez G58
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