apuntes algebra lineal.10a

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Apuntes de Álgebra Lineal

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Page 1: Apuntes Algebra Lineal.10A

Apuntes

de

Álgebra Lineal

Ing. Manuel Gutiérrez G.

Page 2: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

UNIDAD IMATRICES Y DETERMINANTES

1. Matrices:

1.1. Definición1.2. Clasificación de matrices1.3. Operaciones con matrices1.4. Inversa de una matriz1.5. Matrices elementales1.6. Aplicaciones de matrices

2. Determinantes:

2.1. Definición y notación2.2. Propiedades 2.3. Teoremas básicos2.4. Determinantes inversos2.5. Regla de Cramer2.6. Aplicaciones de los determinantes

UNIDAD IMATRICES Y DETERMINANTES

Definición de Matriz

Es un arreglo rectangular de “mn” elementos o cantidades acomodados o dispuestos en “m” renglones y “n” columnas:

donde: Matriz de orden mxn

ij-ésimo elemento de la matriz A

i-ésimo renglón de A (i=1,2,…,m) j-ésima columna de A (j=1,2,…,n)

Clasificación de matrices

MATRICES BASICAS MATRICES ESPECIALESM. Renglón SubmatrizM. Columna M. Transpuesta (Propiedades *)M. Cuadrada M. Simétrica

Ing. Manuel J. Gutiérrez G2

Page 3: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

M. Diagonal M. AntisimétricaM. Nula M. InvertibleM. Identidad M. AdjuntaM. Triangular Superior M. ConjugadaM. Triangular Inferior M. HermitanaM. Elemental M. AntihermitanaM. EscalonadaM. Compleja

Tarea No.: 1Tema: Clasificación de Matrices

*Propiedades de la transpuesta

Operaciones con matrices

Igualdad de matrices

Sean las matrices y de orden mxn, entonces A y B son iguales, si y solo si:

Ej. Hallar la matriz A, para A=B,

Suma de matrices

Sean y matrices mxn entonces:

es decir.

Ing. Manuel J. Gutiérrez G3

Page 4: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Multiplicación de una matriz por un escalar

Sea una matriz mxn y k un escalar entonces:

es decir:

PropiedadesSean las matrices mxn A, B , C y N, además c y k escalares (reales), entonces:

Ej. I Realiza lo que se indica, dadas las siguientes

matrices:

Ej. II Realiza lo que se indica, dadas

las siguientes matrices:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G4

Page 5: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Multiplicación de matrices

Sea una matriz mxn y una matriz nxp, entonces la multiplicación de A y B es

la una matriz mxp, talque:

donde:

Propiedades

Ej. Realizar lo que se indica, dadas las siguientes matrices:

Potencia de una matriz

Sea una matriz cuadrada (nxn), las potencias de A, se definen como:

Para los polinomios de una matriz A, sea un polinomio de grado

n, donde , entonces:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G5

Page 6: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Ej.

Obtener , si:

Tarea No.: 2Tema: Operaciones con matrices

Inversa de una matriz

Sean A y B dos matrices de nxn. Suponga que

Entonces B se llama la inversa de A y se denota por , entonces se tiene que:

Propiedades de las matrices invertibles

Sean A y B matrices invertibles nxn, c un escalar distinto de cero, entonces:

1. es invertible, tal que:

2. es invertible, tal que:

3. es invertible, talque:

4. es invertible, tal que:

5. es invertible, tal que:

Operaciones elementales de renglón

En una matriz se pueden efectuar las siguientes operaciones elementales de renglón:

1. El intercambio de dos renglones:

2. La multiplicación de un renglón por un escalar distinto de cero:

3. La suma de un múltiplo de un renglón a otro renglón:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G6

Page 7: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

El proceso de aplicar operaciones elementales de renglón para llevar a una matriz a la forma escalonada de renglón, denominado reducción de renglón, es utilizado para reducir una matriz a la forma escalonada.

Ej. Obtener la inversa de la matriz dada si:

Matriz Elemental

Una matriz elemental es aquella que puede ser obtenida al realizar una operación elemental por

renglón sobre una matriz identidad. Una matriz elemental se denota como .

Cada matriz elemental es invertible y su inversa es una matriz elemental del mismo tipo.

Sea donde es una matriz elemental invertible, si A es invertible entonces:

Por lo tanto:

Operaciones de matrices elementales

Permutación de dos renglones:

Multiplicación de un escalar por un renglón:

Suma de dos renglones:

Ej. Obtener la matriz dada como el producto de sus matrices elementales:

Tarea No.: 3Tema: Inversa de una matriz / Matrices elementales

Tarea No.: 4Tema: Matrices elementales

Ing. Manuel J. Gutiérrez G7

Page 8: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Factorización LU (Descomposición LU)

Sea A una matriz nxn, entonces la matriz A se puede escribir o descomponer de la forma:

Es decir, como el producto de una matriz triangular inferior (L) y una matriz triangular superior (U), con:

Matriz escalona por renglones (sin permutaciones)

Producto de matrices elementales

Por lo tanto:

Descomposición PA=LUSea A una matriz nxn, entonces la matriz A, si para descomponer a la matriz dada se requiere de

alguna permutación de renglones se obtienen matrices de permutaciones elementales

el producto de las matrices se llama matriz de permutación:

Por lo tanto la matriz A se puede expresar de la forma:

Ej. 1 Descomponer la matriz dada como

A=LU:

Ej. 2 Descomponer la matriz dada como

PA=LU:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G8

Page 9: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Tarea No.: 5Tema: Descomposición LU

DETERMINANTESDefinición:

Sea una matriz nxn: entonces el determinante de A que se denota como , se define

como: Sea entonces

Menor de una matriz

Sea una matriz nxn, entonces el menor de A, que se denota como Mij es una matriz de

orden (n-1)x(n-1), que se obtiene al eliminar el i-ésimo renglón y j-ésima columna de A.

Cofactor de una matriz

Sea una matriz nxn, entonces el cofactor de A, que se denota como Cij, está dado por:

Determinante nxn

Sea una matriz nxn, entonces el determinante de A. se expresa como:

Ej. 1 Obtener la matriz de cofactores de las

siguientes matrices:

Ej. 2 Obtener el determinante de las siguientes

matrices:

Tarea No.: 6Tema: Determinantes

Ing. Manuel J. Gutiérrez G9

Page 10: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Propiedades de los determinantes

Sea una matriz nxn:

Si A tiene un renglón (columna) cero, entonces:

Si B se obtiene al intercambiar dos renglones (columnas) de A, entonces:

Si A tiene dos renglones (columnas) idénticos (as), entonces:

Si B se obtiene al multiplicar un renglón (columna) de A por k, entonces:

Si A, B y C son idénticas excepto que el i-ésimo renglón (j-ésima columna) de C sea la suma de los i-ésimos renglones (j-ésimas columnas) de A y B, entonces:

Si B se obtiene al sumar un múltiplo de un renglón (columna) de A a otro renglón (columna), entonces:

Si A es una matriz nxn:

Si A y B son matrices nxn, entonces.

Si B es una matriz nxn y E una matriz elemental nxn, entonces:

Si E es una matriz elemental nxn, que se obtiene al intercambiar dos renglones de ,

entonces:

Si E es una matriz elemental nxn, que se obtiene al multiplicar un renglón de por k,

entonces:

Si E es una matriz elemental nxn, que se obtiene al sumar un múltiplo de un renglón de a

otro renglón, entonces:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G10

Page 11: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Si A es invertible, entonces:

Si A es invertible, entonces:

Si A es una matriz nxn:

Teorema:

Sea una matriz nxn triangular superior o inferior, entonces:

Esto es: el determinante de una matriz triangular superior o inferior es igual al producto de los componentes de la diagonal.

Ej. 1 Obtener el determinante de las siguientes matrices:

Ej. 2 Encuentra el determinante de las matrices dadas,

si:

Ej. 3 Sean y ,

obtener el determinante que se pide:

Regla de CramerSea una matriz invertible de nxn y sea b un vector en . Entonces, la única solución del sistema

esta dada por:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G11

Page 12: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Ej. Obtener la solución del sistema , si:

Matriz InversaSea A una matriz invertible nxn, si y solo si ,entonces:

Ej. Obtener la inversa de la matriz dada, mediante el método de la adjunta:

R:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G12

Page 13: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

UNIDAD IISISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1. Sistemas de Ecuaciones Lineales:

1.1. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables1.2. Sistemas de dos ecuaciones lineales con tres variables1.3. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres variables1.4. Sistemas de m-ecuaciones lineales con n-variables1.5. Métodos de solución de un sistemas de ecuaciones lineales1.6. Factorización LU de una matriz1.7. Sistemas ecuaciones no homogéneos y sistemas de ecuaciones homogéneos1.8. Aplicaciones

UNIDAD IISISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos y homogéneosSea el sistema de ecuaciones lineales de la forma:

En forma matricial se expresa como:

Es decir:

o

Si entonces el sistema de ecuaciones lineales es no homogéneo, tiene como posibles soluciones:

Solución única

Infinidad de soluciones Ninguna solución

Si entonces el sistema de ecuaciones lineales es homogéneo, tiene como posibles soluciones:

Solución trivial (solución única)

Solución no trivial (infinidad de soluciones)

Sistema de dos ecuaciones lineales con dos variablesSea el sistema de ecuaciones lineales de la forma:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G13

Page 14: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

En forma matricial se expresa como:

Es decir:

Sistema de dos ecuaciones lineales con tres variablesSea el sistema de ecuaciones lineales de la forma:

En forma matricial se expresa como:

Es decir:

Sistema de tres ecuaciones lineales con tres variablesSea el sistema de ecuaciones lineales de la forma:

En forma matricial se expresa como:

Es decir:

Sistema de m-ecuaciones lineales con n-variablesSea el sistema de ecuaciones lineales de la forma:

En forma matricial se expresa como:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G14

Posibles soluciones: m<n →______________ m=n →______________ m>n →______________

Page 15: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Es decir:

Métodos de solución de un sistema de ecuaciones linealeso Eliminación Gaussiana (sistema de ecuaciones mxn)

Sea el sistema de ecuaciones lineales de la forma:

En forma matricial se expresa como:

Es decir:

La solución del sistema mediante la eliminación gaussiana, se obtiene:

Se expresa el sistema de ecuaciones lineales en forma aumentada .

La matriz aumentada se reduce por renglones a la forma escalonada.

Se resuelve la última ecuación, para obtener el valor de la incógnita .

Se utiliza la sustitución hacia atrás a fin de obtener las demás incógnitas .

Ej. 1 Resolver los sistemas de ecuaciones lineales dados:

o Eliminación Gauss-Jordán (sistema de ecuaciones mxn)Sea el sistema de ecuaciones lineales de la forma:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G15

Page 16: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

En forma matricial se expresa como:

Es decir:

La solución del sistema mediante la eliminación Gauss-Jordán, se obtiene:

Se expresa el sistema de ecuaciones lineales en forma aumentada .

La matriz aumentada se reduce por renglones a la forma escalonada reducida.

Se obtienen los valores de las incógnitas .

Ej. 1 Resolver el sistema de ecuación

lineal dado:

^

Ej. 2 Dado el siguiente sistema de ecuación

lineal

Hallar el valor de a de tal manera que: a) el sistema tenga solución única

b) el sistema tenga infinidad de soluciones

c) el sistema no tenga solución

o Por inversa (sistema de ecuaciones nxn)Sea el sistema de ecuaciones lineales de la forma:

En forma matricial se expresa como:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G16

Page 17: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Es decir:

Si , entonces el sistema tiene solución única, de la forma:

Ej. 1 Resolver el sistema de ecuación lineal dado:

o Factorización LU (sistema de ecuaciones nxn)Sea el sistema de ecuaciones lineales de la forma:

En forma matricial se expresa como:

Es decir:

El sistema de ecuaciones lineales se resuelve mediante la factorización LU de la siguiente

manera, como entonces , como L es invertible, existe un vector

único y talque , como también U es invertible , existe un vector único x tal que

Ej. 1 Resolver el sistema de ecuación lineal dado:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G17

Page 18: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

o Regla de Crammer (sistema de ecuaciones nxn)Sea el sistema de ecuaciones lineales de la forma:

En forma matricial se expresa como:

Es decir:

Si , entonces el sistema tiene solución única, de la forma: , mediante la regla de Crammer, la solución del sistema se obtiene como.

Ej. 1 Resolver el sistema de ecuación lineal dado:

Sistemas de ecuaciones lineales homogéneosSea el sistema de ecuaciones lineales homogéneo expresado de la forma:

En forma matricial se expresa como:

Es decir:

o

Ing. Manuel J. Gutiérrez G18

Page 19: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Si entonces el sistema de ecuaciones lineales es homogéneo, tiene como posibles soluciones:

Solución trivial (solución única)

Solución no trivial (infinidad de soluciones)

Ej. 1 Resolver el sistema de ecuación

lineal dado:

Ej. 2 Dado el siguiente sistema de ecuación

lineal

Hallar el valor de K de tal manera que: c) el sistema tenga solución trivial

d) el sistema tenga solución no trivial

, encontrar un punto.

Aplicacioneso Circuitos

Leyes de Kirchhoff1ª Ley. La suma de las corrientes que llegan a una unión (nodo) es igual a la suma de las

corrientes que salen de esa unión (nodo)

2ª Ley. La suma de las fuentes de energía (fem) alrededor de cualquier malla cerrada es igual a la suma de todas las caídas IR alrededor de dicha malla.

Ing. Manuel J. Gutiérrez G19

Page 20: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Ej.

Determinar las corrientes del circuito eléctrico dado:

o Diagrama de flujoEn cada nodo, el flujo que entra es igual al flujo que sale

Ing. Manuel J. Gutiérrez G20

Page 21: Apuntes Algebra Lineal.10A

A B

CD

f1

f2 f3

f4

10

10

1015

15

205

15

Álgebra Lineal

Ej.El centro de la Ciudad de Toluca se compone de calles de un solo sentido, y se a medido el flujo de tráfico en cada intersección. Los puntos de intersección A, B, C y D representan el número promedio de vehículos por minuto que entran y salen, durante las horas de trabajo como se muestra en la figura.

a. Establezca y resuelva un sistema de ecuaciones lineales para encontrar los flujos

posibles .

b. Si el tráfico es regulado en CD de manera que vehículos por minuto, ¿Cuáles

serán los flujos promedio en las otras calles?c. ¿Cuáles son los flujos posibles mínimo y máximo en cada calle?d. ¿Cómo cambiaría la solución si todas las direcciones fueran invertidas?

o Balanceo de reacciones químicas

Ej.Balancear la ecuación química de la reacción dada:

o Asignación de recursos

Ej.Un comerciante de café vende tres mezclas de café. Una bolsa de la mezcla de la casa contiene 300 gr de grano colombiano y 200 gr de grano francés tostado. Una bolsa de mezcla especial contiene 200 gr de grano colombiano, 200 gr de la variedad de Kenia y 100

Ing. Manuel J. Gutiérrez G21

Page 22: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

gr de grano francés tostado. Una bolsa de la mezcla gourmet contiene 100 gr de grano colombiano, 200 gr de grano de Kenia y 200 gr de grano francés tostado. El comerciante tiene disponible 30 k de grano de Colombia, 15 k del de Kenia y 25 k del café tostado de Francia. Si desea utilizar la totalidad de los granos, ¿cuántas bolsas de cada tipo de mezcla pueden hacerse?

o DígrafoUn grafo se compone de un conjunto finito de puntos llamados vértices y un conjunto finito de líneas, cada una de las cuáles unen a dos vértices.Un dígrafo es un grafo con líneas dirigidas.Si G es un dígrafo con n vértices entonces su matriz de adyacencia es la matriz A de nxn definida por:

Ej.Cinco equipos de fútbol (América, Cruz Azul, Guadalajara, Toluca y UNAM) compiten en un torneo de “round-robin” (todos contra todos). Elaborar un dígrafo de acuerdo a los resultados dados. Determinar el equipo campeón del torneo.

Chivas 3 – 0 PumasAmérica 2 – 0 PumasToluca 1 – 2 Cruz azulCruz Azul 0 – 1 ChivasChivas 1 – 0 TolucaCruz Azul 3 – 2 AméricaAmérica 0 – 1 TolucaCruz Azul 2 -1 PumasChivas 3 – 2 AméricaPumas 0 – 1 Toluca

UNIDAD IIIESPACIOS VECTORIALES

1. Espacios Vectoriales:

1.1. Definición y propiedades básicas1.2. Subespacio Vectorial1.3. Combinación lineal y generación de un espacio1.4. Dependencia e independencia lineal.1.5. Bases y dimensiones1.6. Espacio de renglones, espacio de columnas, rango y nulidad de una matriz1.7. Cambio de base

Ing. Manuel J. Gutiérrez G22

A C

G PA

T

Page 23: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

1.8. Bases ortonormales y proyecciones

ESPACIOS VECTORIALES

1.1. DefiniciónSea V un conjunto en el cual dos operaciones, llamadas adición y multiplicación escalar, han sido definidas. Si u y v se encuentran en V, la suma de u y v, se denota como u+v, y si c es un escalar, el múltiplo escalar de u por c, se denota como cu. Si los siguientes axiomas se cumplen para u, v y w en V y para todos los escalares c y d, entonces V se denomina espacio vectorial y sus elementos son llamados vectores.

Adición Multiplicación escalarCerradura: Cerradura:

Conmutatividad: Distributividad sobre vectores:

Asociatividad: Distributividad sobre escalares:

Existe un elemento 0 en V, denominado vector cero o nulo, talque:

Asociatividad de escalares:

Para cada u en V, existe un elemento –u en

V, talque: Para cada u en V,

1.2. Subespacio VectorialSea V un espacio vectorial, y W un subconjunto no vació de V. Entonces W es un subespacio de V si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

Si u y v se encuentran en W, entonces u+v se encuentra en W. Si u se encuentra en V y c es un escalar, entonces cu se encuentra en W.

Tipos de Espacios Vectoriales

1.3. Combinación Lineal y Generación de un Espacio

Sea vectores que pertenecen al espacio vectorial V. Entonces la expresión de la

forma:

se llama combinación lineal de con escalares.

Si es un conjunto de vectores en un espacio vectorial V, entonces el conjunto

de todas las combinaciones lineales de se conoce como espacio generado por

Ing. Manuel J. Gutiérrez G23

Page 24: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

y se denota mediante la expresión espacio o espacio (S) o

, entonces S se denomina conjunto generador para V y se dice que V es

generado por S.

Ej:

1. Sea expresar como una combinación lineal de

2. Sea expresa M como una combinación lineal de

3. Sea expresa como una combinación lineal del

conjunto dado

1.4. Dependencia e Independencia Lineal

Un conjunto de vectores de un espacio vectorial V es:

linealmente dependiente si existen escalares al menos uno de los cuales

diferente de cero, tales que:

linealmente independiente si existen escalares todos iguales a cero

, tales que:

Ej:

1. Determinar si el conjunto de vectores es linealmente dependiente o

Ing. Manuel J. Gutiérrez G24

Page 25: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

independiente en .

2. Determinar la dependencia o independencia del siguiente conjunto

3. Determinar la dependencia o independencia del siguiente conjunto

Tarea No.: 7Tema: Dependencia e Independencia Lineal

1.5. Bases y Dimensiones Base: Un subconjunto B de un espacio vectorial V es una base para V si:

o B genera a V.o B es linealmente independiente.

Base Estándar

o Base Estándar para donde es la i-ésima columna de la matriz

identidad de nxn.

o Base Estándar para

o Base Estándar para donde es la matriz

con 1 en el ij-ésimo elemento y ceros en los demás elementos de la matriz.

Dimensión: Un espacio vectorial V se denomina de dimensión finita si tiene una base determinada por un número finito de vectores. La dimensión de V, se denota mediante la expresión , es el número de vectores en

una base para V. La dimensión del espacio vectorial es cero.

Un espacio vectorial que no tiene base finita se conoce como de dimensión infinita.

o La base estándar para contiene n vectores, por lo tanto .

o La base estándar para contiene n+1 vectores, por lo tanto .

o La base estándar para contiene mn vectores, por lo tanto .

TeoremaSea W un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita V. Entonces:

o W es de dimensión finita y .o si y sólo si W=V.

1.6. Espacio de renglones, Espacio de Columnas, Rango y Nulidad de una matrizSea A una matriz nxn. Espacio Nulo

Sea A una matriz mxn, entonces el espacio nulo de la matriz A se expresa como:

o Nulidad

Ing. Manuel J. Gutiérrez G25

Page 26: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

La nulidad de la matriz A se expresa como:

Imagen de una matrizSea A una matriz mxn, entonces la imagen de la matriz A se expresa como:

o Rango de una matriz

El rango de la matriz A se expresa como:

El rango de una matriz es igual al número de pivotes en su forma escalonada por renglones.

Espacio Renglón de A es el subespacio de generado por los renglones de A.

Espacio Columna de A es el subespacio de generado por las columnas de A.

TeoremaSea A una matriz de mxn. Entonces

Ej:1. Determinar si los vectores dados forman una base para :

2. Encuentre una base en y su dimensión para el conjunto de vectores en el plano dado por:

3. Encuentre una base para el espacio de solución del sistema homogéneo dado:

4. Encuentre una base para , dada la matriz:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G26

Page 27: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Tarea No.: 8Tema: Base y dimensión

Tarea No.: 9Tema: Espacio de renglones y columnas

1.7. Cambio de Base Vector Coordenado de una base

Sea V un espacio vectorial con base para , existen tales

que:

El vector cuyos componentes son los coeficientes de , expresado como se llama

vector coordenado de con respecto a B. Es decir:

Ej:

1. Sea en y

a. Determinar b. Calcular , si

Ing. Manuel J. Gutiérrez G27

Page 28: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

2. Determina en , si y

3. Obtener en , si y

Cambio de Base

Sea y dos bases de un espacio vectorial de

dimensión finita Sea A la matriz de transición o cambio de base de a , cuyas columnas

son:

Por otro lado. Sea C la matriz de transición o cambio de base de a , cuyas columnas

son:

Ej:

1. Sean y dos bases en , obtener:

a. La matriz de transición Ab. La matriz de transición C

c. , si

2. Sean y dos bases en , obtener:

a. La matriz de transición Ab. La matriz de transición C

c. en términos de

Tarea No.: 10Tema: Cambio de base

1.8 Bases ortonormales y proyecciones Conjunto ortonormal

Se dice que un conjunto de vectores es un conjunto ortonormal

si:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G28

Page 29: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Si sólo se satisface la primera condición, entonces se dice que el conjunto es ortogonal.

Longitud o norma de un vector

Si entonces la longitud o norma de , denotada por está dada por:

Si entonces

Teorema

Si es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero, entonces S

es linealmente independiente.

Base ortogonalUna base ortogonal de un subespacio W en es una base de W que es un conjunto ortogonal.

Proceso de Gram-Schmidt

Sea una base de un subespacio W de , entonces S tiene una base

ortonormal, que se obtiene como:

Base ortogonal:

Base ortonormal:

Proyección ortogonal

Ing. Manuel J. Gutiérrez G29

Page 30: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Sea H un subespacio de con base ortonormal , si , entonces la proyección

ortogonal de sobre H, denotada por está dada por:

con

Teorema

Sea sea una base ortonormal para y sea . Entonces:

Esto es,

Teorema de proyección

Sea H un subespacio de y sea . Entonces existe un par único de vectores y tales que

En particular

De manera que:

DefiniciónSea un subespacio de , se dice que es ortogonal a W, si es ortogonal a todo vector en

. El conjunto de todos los vectores que son ortogonales a se denomina complemento ortogonal

de , denotado como . Esto es:

Sea H un subespacio de , el complemento ortogonal de denotado por esta dado por:

Ejercicios

Sea , calcular

Ing. Manuel J. Gutiérrez G30

Page 31: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

a.

b.

c. Una base para

UNIDAD IVTRANFORMACIONES LINEALES

1. Definición y Propiedades2. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal3. Representación Matricial de una Transformación Lineal4. Isomorfismos

1. TRANSFORMACIÓN LINEALDefinición y Propiedades

Sean V y W espacios vectoriales reales, una transformación lineal T de V en W, es una

función que asigna a cada vector un vector único y que satisface, para

en V, las siguientes propiedades:

Una transformación T de V en W se denota como:

o Teorema

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base , y sea W un espacio

vectorial que contiene n vectores , entonces existe una transformación lineal

única, denotada como , tal que:

, con

Es decir:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G31

Page 32: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Aplicando la transformación:

Ej. 1Sea una transformación

lineal, calcular , si:

Y

Ej. 2

Sea una transformación lineal, calcular , si:

2. NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEALNúcleo o Kernel de una Transformación Lineal

Sea V y W dos espacios vectoriales y sea una transformación lineal, entonces el núcleo o kernel de T, está expresado como:

Imagen de una Transformación LinealLa imagen de T, está dada por:

Nulidad de una Transformación LinealSi T es una transformación lineal de V en W, entonces:

Rango de una Transformación LinealSi T es una transformación lineal de V en W, entonces:

o Teorema:Si es una transformación lineal, entonces:

a). , es un subespacio de V.

b). , es un subespacio de W.

Ing. Manuel J. Gutiérrez G32

Page 33: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

3. REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Sea una transformación lineal, entonces existe una única de , tal que:

para

Donde es la matriz de transformación a T o representación matricial de T.

o Teorema:Sea la matriz de transformación correspondiente a la transformación lineal T, entonces:

o Teorema:Sea V un espacio vectorial de dimensión n, W un espacio vectorial de dimensión m y

una transformación lineal. Sea una base para V y sea

una base para W, entonces existe una matriz única de mxn tal que:

o Teorema:

Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con , sea una

transformación lineal y sea una representación matricial de T respecto a las bases en V

y en W, entonces:

o Teorema:

Sea una transformación lineal, sea la matriz de transformación de T respecto a

las bases estándar y en y , respectivamente. Sea la matriz de transición de

a la base en y la matriz de transición de a la base en . Si denota la

matriz de transformación de T respecto a las bases y , entonces:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G33

Page 34: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Ej. 1Sea una transformación lineal, dada por:

Calcular:a) La matriz asociada a la

transformación linealb) Núcleo o kernel y nulidad de la

transformación c) Imagen y rango de la

transformación

Ej. 2Sea una transformación lineal, dada por:

Calcular:a) La matriz asociada a la transformación linealb) Núcleo o kernel y nulidad de la

transformación c) Imagen y rango de la transformación

Ej. 3Sea una transformación lineal, dada por:

y

Calcular:a) La matriz asociada a la

transformación linealb) Núcleo o kernel y nulidad de la

transformación c) Imagen y rango de la

transformación

d)

Ej. 4Sea una transformación lineal, dada por:

y

Calcular:a) La matriz asociada a la transformación linealb) Núcleo o kernel y nulidad de la

transformación c) Imagen y rango de la transformación

Ej.5Sea una transformación lineal, dada por: y

Calcular:a) La matriz asociada a la transformación linealb) Núcleo o kernel y nulidad de la transformación c) Imagen y rango de la transformación

Tarea No.: 11Tema: Núcleo e imagen de una transformaciónTarea No.: 12Tema: Cambio de base de una transformación lineal

Ing. Manuel J. Gutiérrez G34

Page 35: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

4. ISOMORFISMOSTransformación Inyectiva (Uno a Uno)

Sea una transformación lineal, entonces T es inyectiva (1-1), si:

para

TeoremaSea una transformación lineal, entonces T es inyectiva (1-1), si y sólo si:

Transformación Sobre (Suprayectiva)Sea una transformación lineal, entonces T es sobre (suprayectiva) de W, si para

existe al menos un , tal que:

es decir:

IsomorfismoSea es una transformación lineal, entonces T es un isomorfismo si:a) T. Inyectiva

b) T. Sobre

Transformaciones Lineales Inversas1) Sea una transformación lineal, entonces

a) T es invertible si y sólo si es un isomorfismo.b) Si T es invertible entonces es lineal.

2) Sea una transformación lineal cuya matriz Con respecto a las bases y de V, entonces:

a) T es invertible si y sólo si es invertible.

b) Si T es invertible entonces es la matriz de con respecto a y .

3) Una transformación lineal es invertible, si existe una transformación tal que:

Ej.:

Sea una transformación lineal, dada por: y

a) Determinar si la Transformación lineal dada es un isomorfismob) Calcular la matriz inversa (si existe)

c) Obtener

Tarea No.: 13Tema: Transformaciones Lineales Inversas

UNIDAD VVALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS

1. Valores y vectores característicos.2. Polinomio característico y ecuación característica.

Ing. Manuel J. Gutiérrez G35

Page 36: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

3. Multiplicidad algebraica y geométrica.4. Matrices semejantes y diagonalización de una matriz nxn.5. Matrices simétricas y diagonalización ortogonal.6. Formas Cuadráticas y Cuádricas.

1. VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOSSea A una matriz nxn con componentes reales, el número (real o complejo) se llama característico o propio (eigenvalor) de A si existe un valor diferente de cero con , tal que:

donde se llama valor característico o propio (eigenvector) de A correspondiente al valor característico .

2. POLINOMIO CARACTERISTICO Y ECUACION CARACTERISTICAPolinomio Característico

Sea A una matriz nxn, entonces es valor característico de A, entonces el polinomio característico está dado por:

Ecuación CaracterísticaLa ecuación característica se expresa como:

Espacio Característico Sea un valor característico de A, el subespacio propio de A, correspondiente a , se expresa como:

3. MULTIPLICIDAD GEOMÉTRICA Y ALGEBRAICAMultiplicidad Algebraica

Sea la ecuación característica de la forma

La cual se puede escribir en donde la ecuación

tiene n raíces, algunas de ellas repetidas.

Si son las diferentes raíces de la ecuación característica con multiplicidades

respectivamente, entonces la ecuación se puede factorizar de la forma:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G36

Page 37: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

, en donde los números son las

multiplicidades algebraicas de los valores propios respectivamente.

Multiplicidad GeométricaSea un valor característico de la matriz A, entonces la multiplicidad geométrica de es la dimensión del espacio característico correspondiente a , esto es

TeoremaSea un valor característico de A, entonces:

4. MATRICES SEMEJANTES Y DIAGONALIZACIÓN DE UNA MATRIZMatrices Semejantes

Sean A y B dos matrices nxn, entonces A y B son semejantes si existe una matriz C invertible nxn, tal que:

Diagonalización de una MatrizSea A una matriz nxn, entonces A es diagonalizable si existe una matriz diagonal D, tal que es A es semejante a D, donde la matriz D está dad por:

donde son los valores característicos de A, entonces:

donde C es la matriz formada por los vectores característicos linealmente

independientes de A, es decir:

con la matriz C invertible.

Ej. 1 Ej. 2

Ing. Manuel J. Gutiérrez G37

Page 38: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Sea la matriz dada ,

calcular:

a). Polinomio característico

b). Valores característicos

c). Vectores característicos

d). Espacios característicos

Sea la matriz dada

a) Encontrar la matriz C que diagonaliza a la matriz A

b) Obtener la matriz diagonalizable D

Tarea No.: 14Tema: Valores y vectores característicos

Diagonalización de una matriz

5. MATRICES SIMÉTRICAS Y DIAGONALIZACIÓN ORTOGONALMatrices simétricas

Sea A una matriz simétrica real de nxn, entonces los valores característicos de A son reales.

Sea A una matriz simétrica real de nxn, si y son valores característicos diferentes con

vectores característicos reales correspondientes y , entonces y son ortonormales.

Sea A una matriz simétrica real de nxn, entonces A tiene n vectores característicos reales ortonormales.

Diagonalización Ortogonal de una MatrizSe dice que una matriz A de nxn es diagonalizable ortonormalmente si existe una matriz ortogonal Q tal que:

6. FORMAS CUADRATICAS Y CUADRICAS Una ecuación cuadrática en dos variables sin términos lineales es una ecuación de la forma:

Una forma cuadrática en dos variables es una expresión de la forma:

Una ecuación cuadrática en tres variables sin términos lineales es una ecuación de la forma:

Una forma cuadrática en tres variables es una expresión de la forma:

La forma cuadrática F se expresa mediante la matriz simétrica A, como:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G38

Page 39: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Por lo tanto, la ecuación cuadrática mediante la matriz simétrica A, se expresa como:

La matriz simétrica A, está dada por:

La ecuación cuadrática con respecto a las variables se expresa como:

Con respecto a los ejes principales se expresa como:

Ej.

1. Identifique la cónica cuya ecuación es:

2. Identifique la cuádrica de la superficie:

Tarea No.: 15Tema: Diagonalización ortogonal de una matriz

Formas cuadráticas

Ing. Manuel J. Gutiérrez G39

Page 40: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

FORMAS CUADRATICAS Y CANONICASEn :

FORMAS

CUADRATICAS Y CANONICAS

Ing. Manuel J. Gutiérrez G40

Page 41: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

En :

ANEXOS

Ing. Manuel J. Gutiérrez G41

Page 42: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Anexo 1. TareasUNIDAD I

MATRICES Y DETERMINANTES

Tarea No.: 1Tema: Clasificación de MatricesFecha de Entrega: _________________________

Investigar el concepto de las siguientes matrices, indicando notación, características principales y un ejemplo.

CLASIFICACIÓN DE MATRICES MATRICES BASICAS

o M. Renglóno M. Columnao M. Cuadradao M. Diagonalo M. Nulao M. Identidado M. Triangular Superioro M. Triangular Inferioro M. Elementalo M. Escalonadao M. Compleja

MATRICES ESPECIALESo Submatrizo M. Transpuestao M. Simétricao M. Antisimétricao M. Invertibleo M. Adjuntao M. Conjugadao M. Hermitanao M. Antihermitana

Tarea No.: 2Tema: Operaciones con matricesFecha de Entrega: __________________________

I. Resolver lo que se pide:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G42

Page 43: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Sean:

1.

2.

3.

4.

5. Hallar la matriz E, de tal manera que:

II. Sea la matriz (compleja) dada:

Obtener

Tarea No.: 3Tema: Inversa de una matriz / Matrices elementalesFecha de Entrega: _________________________

1. Obtener la inversa (si existe) de las matrices dadas.

2. Expresar las matrices inversas del inciso anterior como el producto de sus matrices elementales.

Tarea No.: 4Tema: Matrices elementalesFecha de Entrega: _________________________

InstruccionesComprobar con Maple que:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G43

Page 44: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

donde:

Tarea No.: 5Tema: Descomposición LUFecha de Entrega: _________________________

InstruccionesDadas las siguientes matrices, encontrar la descomposición LU de cada una de ellas

Tarea No.: 6Tema: DeterminantesFecha de Entrega: _________________________

InstruccionesI. Obtener el determinante de las siguientes matrices:

UNIDAD IIIESPACIOS VECTORIALES

Tarea No.: 7Tema: Dependencia e Independencia LinealFecha de Entrega: ____________________

Determinar si los conjuntos dados son linealmente dependientes o independientes.

Ing. Manuel J. Gutiérrez G44

Page 45: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Para que valor(es) de k serán linealmente dependientes los vectores dados:

Tarea No.: 8Tema: Base y dimensiónFecha de Entrega: ____________________

1. Determine si el conjunto de vectores dados es una base para el espacio vectorial indicado:

2. Encuentre una base para el espacio vectorial indicado, con los vectores dados y su dimensión:

3. Encuentre una base y dimensión para el espacio de solución del sistema dado:

Tarea No.: 9Tema: Espacio de renglones y columnasFecha de Entrega: ____________________

Dadas las siguientes matrices, encontrar

Ing. Manuel J. Gutiérrez G45

Page 46: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Tarea No.: 10Tema: Cambio de baseFecha de Entrega:

Obtener lo que se pide:

Matriz cambio de base de B a C Matriz cambio de base de C a B

Verificar

Verificar

Si:

UNIDAD IVTRANFORMACIONES LINEALES

Tarea No.: 11Tema: Núcleo e imagen de una transformaciónFecha de Entrega: _____________________

Dadas las siguientes transformaciones lineales, determinar:

1. Sea definida por:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G46

Page 47: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

2. Sea definida por:

3. Sea definida por:

Tarea No.: 12Tema: Cambio de base de una transformación linealFecha de Entrega: ____________________

Dadas las siguientes transformaciones lineales, obtener:

1. Sea definida por:

2. Sea definida por:

3. Sea definida por:

Tarea No.: 13Tema: Transformaciones Lineales InversasFecha de Entrega: ____________________

Dadas las siguientes transformaciones lineales:a. Verificar si forman un isomorfismo

b. Obtener

c. Obtener

d. Obtener

1. Sea definida por:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G47

Page 48: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

2. Sea definida por:

Tarea No.: 14Tema: Valores y vectores característicos

Diagonalización de una matrizFecha de Entrega: ____________________

Dadas las siguientes matrices, obtener:o Polinomio característicoo Valores característicoso Vectores característicoso Espacios característicoso Multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica

Dadas las siguientes matrices, obtener:o La matriz que diagonaliza a la matriz Ao Verificar

Tarea No.: 15Tema: Diagonalización ortogonal de una matriz

Formas cuadráticasFecha de Entrega: ____________________

Dadas las siguientes matrices, obtener:o La matriz que diagonaliza ortogonalmente a la matriz A (A debe ser una matriz

simétrica para que se pueda diagonalizar ortogonalmente).o Verificar

Identifique la cónica con la ecuación dada y obtener su ecuación en forma estándar:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G48

Page 49: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Identifique la cuadrática con la ecuación dada y obtener su ecuación en forma estándar:

Anexo 2. Serie de Ejercicios

SERIE DE EJERCICIOS No. 1MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Fecha de Entrega:_______________________________Primer Examen Parcial: ___________________________

1. Sean , y

Hallar la matriz A y B, de tal manera que:

2. Sean

, y Hallar la matriz A y B, de tal manera que:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G49

Page 50: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

3. Determinar los valores de “c” y “k” para que la matriz A sea simétrica:

4. Calcular (si existe), por el método de escalonamiento y comprobar el resultado, si:

4.1. 4.2.

5. Calcular (si existe), por el método de la adjunta y comprobar el resultado, si:

5.1. 5.2.

6. Sea , Obtener , si:

7. Encontrar la matriz D, de tal manera que: , si:

, y

8. Calcular , si: y

9. Sean , y

Calcular:

10. Resolver los siguientes sistemas, por eliminación Gaussiana:

10.1. 10.2.

11. Resolver los siguientes sistemas, por Gauss – Jordan:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G50

Page 51: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

11.1. 11.2.

12. Resolver los siguientes sistemas, por el método de la inversa:

12.1. 12.2.

13. Resolver los siguientes sistemas, por Regla de Crammer:

13.1. 13.2.

14. Resolver los siguientes sistemas homogéneos:

14.1. 14.2.

15. Hallar el valor de k, para que el sistema tenga la solución no trivial y obtener el punto solución.

16. Sea el sistema:

Hallar el valor de k, para que: a). El sistema tenga la solución única.b). El sistema tenga un número infinito de soluciones.c). El sistema no tenga solución.

17. Expresar la siguiente matriz como el producto de matrices elementales.

18. Resolver los siguientes sistemas dados usando la factorización LU.

Ing. Manuel J. Gutiérrez G51

Page 52: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

18.1. 18.2.

19. Para que valores de k, la matriz A es invertible

20. Calcular las corrientes i1,i2 e i3 del circuito dado:

21. Se necesitan tres ingredientes distintos A, B y C, para producir determinada sustancia química. A, B y C deben disolverse en agua, por separado, antes de interactuar y formar la sustancia. La concentración de la solución que contiene A es de 1.5 g/cm3, la contiene B es de 1.8 g/cm3 y la de C es de 3.2 g/cm3, al combinarlas se produce 15.06 g de la sustancia. Si se modifican las concentraciones de A, B y C en esas soluciones a 2.0, 2.5 y 2.8 g/cm3, respectivamente (permaneciendo igual el volumen) se producen entonces 17.79 g de la sustancia. Por último, si las concentraciones se cambian a 1.2, 1.5 y 3.0 g/cm3, respectivamente, se producen 13.05 g de la sustancia. ¿Cuáles son los volúmenes, en cm3, de las soluciones que contienen A, B y C?

22. Balancear la reacción dada:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G52

Page 53: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

SERIE DE EJERCICIOS No. 2 UNIDAD III

“ESPACIOS VECTORIALES”

Fecha de Entrega:____________________Segundo Examen Parcial:_____________________

COMBINACION LINEAL Y ESPACIO GENERADO:PAG’S: 311 PROBLEMA: 4.4 EJERCICIOS: 4,10

INDEPENDENCIA LINEAL:PAG’S: 329/330 PROBLEMA: 4.5 EJERCICIOS: 10,19,26

BASES Y DIMENSION:PAG’S: 345 PROBLEMA: 4.6 EJERCICIOS: 14,23

RANGO, NULIDAD, ESPACIO COLUMNAS Y RENGLONES DE UNA MATRIZ:PAG’S: 361 PROBLEMA: 4.7 EJERCICIOS: 6,12,18,21

CAMBIO DE BASE:PAG’S: 383/384 PROBLEMA: 4.8 EJERCICIOS: 8,16,17,20

BASE ORTONORMAL Y PROYECCIONES:PAG’S: 408 PROBLEMA: 4.9 EJERCICIOS: 5,26,28

BIBLIOGRAFIA:

ALGEBRA LINEALSTANLEY I. GROSSMANQUINTA EDICIONMC GRAW HILL

UNIDAD IV“TRANSFORMACIONES LINEALES”

Ing. Manuel J. Gutiérrez G53

Page 54: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

1. Sea demostrar si la transformación es lineal.

2. Sea , Encontrar:

3. Sea , obtener:

4. Sea ,

5. Sea ,

6. Sea obtener:

UNIDAD V“VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS”

1. Dadas las siguientes matrices, calcular:a. Polinomio característico. c. Espacio generado.b. Valores y vectores característicos. d. Multiplicidad algebraica y

geométrica

1.1. 1.2. 1.3.

2. Obtener la matriz C que diagonaliza a la matriz dada, obtener su inversa si es invertible y obtener la matriz diagonal.

2.1. 2.2.

Ing. Manuel J. Gutiérrez G54

Page 55: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

3. Obtener la matriz Q que diagonaliza ortogonalmente a la matriz dada, obtener su inversa si es invertible y obtener la matriz diagonal.

3.1. 3.2.

4. Obtener la cónica de las siguientes ecuaciones, expresando con respecto a las nuevas variables eliminando los términos lineales (xy, xz, yz), según sea el caso:

Anexo 3. Trabajos

TRABAJO No. 1“MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES”

Fecha de Entrega: _______________________________

I. MATRICES Y DETERMINANTES1.1. Sean las matrices:

Obtener:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G55

Page 56: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

1.2. Sean las matrices:

obtener:

II. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES2.1. Calcular las corrientes i1,i2 e i3 del circuito

dado:

2.2. Resolver el sistema dado:

TRABAJO No. 2

Fecha de entrega:____________________

UNIDAD III“ESPACIOS VECTORIALES”

1. Sea bases en :

a) Obtener la matriz

Ing. Manuel J. Gutiérrez G56

Page 57: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

b) Encontrar , si

c) Verificar

2. Sea en , encontrar:

a) Una base ortonormal para el espacio generado por el conjunto de vectores dado.

b) , si

UNIDAD IV“TRANSFORMACIONES LINEALES”

3. Sea una transformación definida por: , donde:

Verificar si T forma un isomorfismoObtener T-1 La matriz asociada a TKer(T), Im(T), nulidad y rango

UNIDAD V“VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS”

4. Obtener los valores y vectores característicos, dada la siguiente matriz:

Ing. Manuel J. Gutiérrez G57

Page 58: Apuntes Algebra Lineal.10A

Álgebra Lineal

Ing. Manuel J. Gutiérrez G58