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Aplicaciones de Sensado Compromido al
procesamiento de Señales e imágenes Biomédicas
José Luis ParedesPostgrado en Ingeniería Biomédica
Facultad de IngenieríaUniversidad de Los Andes
I Jornadas Aportes a la Ingeniería Médica en la Universidad de Los Andes
2
Agenda Fundamentos de Sensado Coprimido.
Representación Poco Densa (Sparse)
Proyecciones Incoherentes
Algoritmo de Reconstrucción:
Matching Pursuit
Reconstrucción basada en Mediana Ponderada
Aplicaciones a Biomédica: Análisis de Imágenes de resonancia Magnetica
funcional
Análisis de registros de Electroforesis Capila
Conclusiones
3
Bases en Compresión de Imágenes
Primero MUESTREAR (convertidor A-D, cámaras digitales, sistema de adquisición MRI…)
Luego COMPRIMIR
muestreo Comprimir
N pixels
N>>K
K coeficientes wavelets más grandes
Transmitir/ almacenar
4
Compresibilidad en Señales e imágenes
Información más importante cae sólo en unos pocos coeficientes
La mayoria de la imágenes naturales e imágenes medicas son compresibles
• Poco coeficientes concentran la mayor cantidad de energía
• Mayoría de los coeficientes en el dominio de la transformada son despreciables
en magnitud
Limitaciones Siempre se necesita muestrear primero para
luego comprimir Alta resolución demanda alta frecuencia de
muestreo Convertidores analógico-digital ultra-rápidos Demanda amplios ancho de banda Mayor capacidad de almacenamiento Etapas de post-procesamiento a alta velocidad Tiempos de adquisición
mayores
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Compressed Sensing (CS)
Intenta unificar el proceso de muestreo y de compresión en una única tarea
Recupera una señal a partir de un conjunto de proyecciones aleatorias con alta probabilidad
Usa algoritmos de reconstrucción no lineal
Es universal, no adaptativo, con un gran potencial para procesamiento de señales/imágenes en biomédica
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Compressed Sensing Permite reconstruir una señal poco densa sparse a partir de un conjunto de medidas aleatorias (proyecciones aleatorias)
ΦXY
aleatorias scomponentecon
MxNRΦ
Proyector Aleatorio
M x N Matriz aleatoria
8
Representación Sparse
=
0.2
0
0.5
0
0
0.1
0
0
= X
Átomos de un
diccionario
Átomos de un
diccionario
ΨΘX
9
Representación Sparse: Diccionario
=
L
X
Átomos de un Diccionario
Combinación de bases, señales parametrizadas, etc…. . .
ChirpletChirplet + Bases de Fourier = Diccionario + Bases de Fourier = Diccionario
Diccionarios Frecuenciales
Diccionarios en Tiempo-Escala
Diccionarios en Tiempo-Frecuencia
Mega-diccionarios
Conjunto de señales parametrizadas
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Compressed Sensing:Proyecciones aleatorias
•PROYECTO ALEATORIO
• tiene que ser incoherente con el diccionario
• pueden ser realizaciones de una variable aleatoria
•Gaussiana Φi,j ~N(0,1)
•Bernoulli ( ±1 )
• Seleccionar aleatoriamente algunas elementos de una base ortogonal tipo Fourier/DCT/Hadamard
ΦXY
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Compressed Sensing en el dominio de la frecuencia
(Bases de Fourier)Representación
de Fourier
Proyector Aleatorio
ALGORITMO DE RECONSTRUCCIÓN
min ||||0
= Y
Matriz de medidas aleatorias
Bases de Fourier
Solución en el dominio de Fourier
kk
kX
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CS - Principio
Señal X es sparse
Medir la señal usando pocas proyecciones aleatorias: Y = X
Reconstrucción: Dadas la medidas Y encontrar X
Algoritmos de Recuperación de Señal
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Algoritmo de
reconstrucción
Dado el conjunto de M medidas Y = X +
Encuentre la señal poco densa X
Señal recuperadaProyecciones aleatorias
Y M-dimensional vector M x N matriz de medidas X N-dimensional señal sparse vector de ruido
Dado que M << N, reconstrucción de la señal es un problema de ecuaciones lineales con múltiples soluciones
Objetivos de los Algoritmos de Recuperación de Señal
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1. Localizar las componentes diferentes de cero de X
Esta tarea se conoce como selección de las bases o selección del modelo
Uno intenta identificar cuales de las columnas de la matriz fue usadas para formar Y
2. Estimar sus amplitudes
Determinar la contribución de cada vector-columna en A que formo la medidas Y
Operación de estimación
Algoritmos de Recuperación de Señal
Minimización de L0
min ||||0 tal que = Y
• Extremadamente complejo
• Es un problema tipo NP-hard
• Presenta pobre robustez
Greedy-based algorithmGreedy-based algorithm Convex-Relaxation algorithm Convex-Relaxation algorithm Lp Lp
minimizationminimizationmin ||||1 s.t. = YRequiere algunas medidas adicionales: M > cK c log2(N/K+1)
Con alta probabilidad la solución L1 es la misma solución que L0
Algoritmos de Recuperación de Señal
Algoritmos tipo Greedy Pursuit
Algoritmos iterativos que recuperan la señal X a partir de las medidas Y
Necesita un poco más de medidas o proyecciones aleatorias
Ejemplo:
Matching Pursuit
Orthogonal Matching Pursuit (OMP)
Regularized OMP
Stagewise OMP.
Subspace MP.
COsaMP
Algoritmo de regresión basada en Mediana Ponderada
Algoritmo iterativo de regresión usando medianda ponderada
Estimación de la Señal usando mediana ponderada agregando la robustez deseada
Selección de Bases usando un operador de umbralización que induce poca densidad en la solución
Variación del umbral en la medida que el algorithm progresa
(k)17
Algoritmo iterativo de regresión usando mediana ponderada
• El algoritmo iterativo trata de detectar en order descendente de amplitud las componentes diferentes de cero de la señal:
• Determina un estimado aproximado de la señal.
• Aplica una operación de umbralización sobre el valor estimado
• Eliminar la influencia de esa componente en particular.
• Disminuir el valor umbral
• Repetir este procedimiento hasta que se cumpla un criterio de parada del algoritmo
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- Cada vez que una codificación de fase es ejecutada los datos (muestras de la señal BOLD codificada en frecuencia) son almacenados en una línea del espacio k
- Las imágenes MRI concentran la mayor energía en el origen del espacio k
-128Espacio k
Señal BOLD
256 codificacionesde fase
+128
0ifft2
Contexto de Aplicación CS a fMRI
Esquema de submuestreo
Espacio k-submuestreado para cada una de las máscaras binarias 2D utilizadas
Densidad Uniforme Aleatoria
Densidad Variable Aleatoria
Densidad Uniforme no Aleatoria
Contexto de Aplicación CS a fMRI
- El conjunto de mediciones y es una versión submuestreada del espacio k
- La reconstrucción se realiza resolviendo el problema de optimización convexo
1 2min . . (1)ut q Ψm m yF
Ψ : Matriz de Transformación (Bases Wavelet)
Fu = Φ: Transformada de Fourier 2D submuestreada
m: imagen;
ɛ: magnitud del error en la reconstrucción
Resultados
Imagen Original
Reconst. Wavelet (10%) PSNR = 35.54dB
Densidad Uniforme (20%) PSNR = 19.35 dB
Densidad Uniforme (40%) PSNR = 21.57 dB
Densidad Variable (20%) PSNR = 26.53
Densidad Variable (40%) PSNR = 29.24
Detección de zonas de activación en fMRI
usando CS
Algoritmo de Mediana Ponderada SPM
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Electroforésis Capilar (EC)
La EC es una técnica de análisis de sustancias que permite obtener información precisa acerca de sus componentes, permitiendo separar e identificar los compuestos químicos presentes en una muestra determinada
Muestra Muestra 1-10 nl1-10 nl
10-30kV
25
Electroferograma
26
Diccionario parametrizado gausiano
2
2
2
)(
2
1),;(
x
exG
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Síntesis de electroferogramas
Se generan K (sparsity) posiciones aleatorias
Se seleccionan esas K gausianas del diccionario y se multiplican por un aleatorio U(0,1)
Finalmente, se suman todas las contribuciones
K
ili i
Ampx1
*
28
Reconstrucción de electroferogramas
sintéticosseñal de 850 muestrassparsity K de 50sólo 280 mediciones aleatoriasreducción de 67% de los datos
29
Reconstrucción de electroferogramas
sintéticos
señales de 850 muestrassparsity K de 50
200 mediciones aleatoriaserror=13%
300 mediciones aleatoriaserror=8%
400 mediciones aleatoriaserror=6%
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Reconstrucción de electroferogramas
sintéticosPromediando múltiples repeticiones de reconstrucción o aproximación de la señal original usando el número
de mediciones aleatorias indicado...
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Reconstrucción de electroferogramas reales
Los resultados obtenidos muestran que la aplicación del CS en el procesamiento de electroferogramas reales
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Reconstrucción de electroferogramas reales
Los resultados obtenidos muestran que la aplicación del CS en el procesamiento de electroferogramas
reales
Validación
Variación del glutamato estimado para 10 realizaciones de MP.
208,2
208,4
208,6
208,8
209
209,2
209,4
209,6
209,8
210
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Glutamato real
Glutamato estimado
170,1
170,2
170,3
170,4
170,5
170,6
170,7
170,8
170,9
171
171,1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Glutamato real
Glutamato estimado
Electroferograma Nº 17.
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Conclusiones
Compressed Sensing presenta una nueva alternativa de adquisición de datos que requiere menos recursos AD
Elementos que lo conforman:
Proyección aleatorio
Representación poco densa en un diccionario específico
Algoritmo de reconstrucción
Con potencial de aplicación para el análisis de señales e imágenes médicas
En imágenes de fMRI con una reducción del 60% en el número de valores de fase, siempre que se utilice un esquema de submuestreo de densidad variable aleatoria
En electroforsis capilar con la definición de un diccionario apropiado para la aplicación
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