aplicaciones de la derivada
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ANA COLO HERRERA HECTOR PATRITTI
APLICACIONES DE LA DERIVADA
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PARA LOS CURSOS DE MATEMATICA DE LOS BACHILLERATOS TECNOLGICOS DEL C.E.T.P.
APLICACIONES DE LA
DERIVADA
Ejercicios resueltos PROF. ANA COLO HERRERA PROF. HECTOR PATRITTI
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DERECHOS RESERVADOS POR LOS AUTORES Esta publicacin no puede ser reproducida en todo o en parte, ni archivada o trasmitida por ningn medio electrnico , mecnico , de grabacin, de fotocopia, de microfilmacin o en otra forma, sin el previo conocimiento de los autores. Publicacin inscrita en la Biblioteca Nacional el 5 de enero del 2004 en el Libro No.29 con el No.232 habindose realizado los aportes legales correspondientes segn Art.7 de la ley No. 9739 sobre derechos de autor. Email: anacolo@adinet.com.uy hpatritti@yahoo.com.arTelefax: 7120680 Montevideo -Uruguay
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Aplicaciones de la Derivada
CONTENIDO
Pginas
Prlogo ........................................................................... 1 - 4
Areas , Permetros y Volmenes .................................. 5
Frmulas Trigonomtricas .............................................. 6 - 7
Tabla de Derivadas ........................................................ 8 - 9
Seleccin de definiciones y teoremas ............................. 11 - 14
Captulo 1
1 1 Introduccin ....................................................... 17 - 23
1 2 Enunciados de ejercicios .................................... 25 - 39
1 3 Resoluciones de ejercicios .................................. 41 - 79
Captulo 2
2 1 Introduccin ........................................................ 83 - 88
2 2 Enunciados de ejercicios ..................................... 89 - 124
2 3 Resoluciones de ejercicios .................................. 125 - 219
Apndice
Unidades y equivalencias ............................................... 223
Ejercicios sugeridos ....................................................... 227
Bibliografa ..................................................................... 229
Ana Col Herrera Hctor Patritti
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Aplicaciones de la Derivada
PROLOGO
Ana Col Herrera Hctor Patritti 1
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Aplicaciones de la Derivada Prlogo -
AL ESTUDIANTE
La presente publicacin tiene por objetivo poner a tu disposicin una amplia
serie de ejercicios , con sus correspondientes resoluciones , relativos a la aplicacin
del concepto de Derivada a problemas de las distintas disciplinas que involucran los
Bachilleratos Tecnolgicos en sus diferentes orientaciones.
Partimos de la base de que ests familiarizado con los conceptos tericos
correspondientes a Funciones de Variable Real que tu docente del curso ha
desarrollado respecto al concepto de Derivada.
Al comienzo de la publicacin encontrars un resumen de los conocimientos
que debers tener presentes para resolver los problemas propuestos as como una
tabla de derivadas.
Al final de la publicacin te sugerimos aquellos ejercicios que entendemos
adecuados segn el Bachillerato que ests cursando, sin que ello signifique
naturalmente , que los restantes carezcan de inters para t.
Esperamos que si an no lo ests , llegues a convencerte de la importancia
relevante que el concepto de Derivada tiene en la resolucin de problemas relativos
a la tecnologa en sus distintas disciplinas.
La publicacin est dividida en dos Captulos.
El Captulo1 se refiere a la derivada como ndice matemtico que expresa la tasa de
variacin instantnea o rapidez de variacin instantnea de una funcin y consta de
veinticuatro ejercicios.
El Captulo 2 est dedicado a problemas de Optimizacin y consta de sesenta
ejercicios.
Los enunciados de algunos de estos ejercicios corresponden a conocidos
problemas que seguramente encontrars en distintos textos de Matemtica pero que
han sido modificados y/o adaptados por los autores a los cursos de los Bachilleratos
Tecnolgicos.
Otros son creacin de los autores.
El enunciado del ejercicio No. 54 corresponde al ejercicio No.18 , pgina 317 del
libro Clculo de James Stewart que ha sido includo por considerar que se trata de
una interesante muestra de aplicacin de los conceptos que estamos manejando
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Aplicaciones de la Derivada Prlogo -
en una disciplina aparentemente alejada de la que t has elegido
Las resoluciones de todos los ejercicios propuestos en la publicacin son de
exclusiva responsabilidad de los autores.
Deseamos hacerte una precisin respecto de la notacin utilizada en la
resolucin de los ejercicios.
De las distintas notaciones que suelen utilizarse para la funcin derivada primera
de una funcin f de variable real x , a saber f , fx , dxdf
, hemos adoptado la notacin
de Leibnitz dxdf
que entendemos la ms adecuada pues explicita claramente la
variable respecto de la cual se efecta la derivacin , hecho este que en los problemas
tcnicos es absolutamente relevante.
dxdf
ser entonces la notacin para la funcin derivada primera. de la funcin f
respecto de la variable x .
( oxdxdf ) ser el valor de la funcin derivada primera en el punto xo.
2
2
dxfd
ser la notacin para la funcin derivada segunda de la funcin f respecto de
la variable x .
( o22
xdx
fd ) ser el valor de la funcin derivada segunda en el punto xo. Previo al Captulo 1 encontrars un resumen de frmulas de permetros , reas
y volmenes , un resumen de frmulas trigonomtricas , y una tabla de derivadas.
Tambin una seleccin de definiciones y teoremas que has visto en el curso terico y
que debers tener presentes para resolver los ejercicios del Captulo 1.
Si este material que ponemos a tu disposicin resulta de utilidad en tu formacin
matemtica habremos alcanzado nuestro objetivo.
LOS AUTORES
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Aplicaciones de la Derivada -
Permetros , Areas y Volmenes Tringulo
a c p = a + b + c
h A = 2
b.h
b
Rectngulo a
b p =2a + 2b
A = a.b
Hexgono
L p = 6L
a A = 2
p.a
Crculo
Long. Cfa.= 2R R A = R2
Sector circular
Long. Arco = R R A = 2R
21
Esfera Cilindro Cono
h h
R R R
A = 4R2 Atotal = 2R2 + 2Rh V= 31 R2h
V=34 R3 V= R2h
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Aplicaciones de la Derivada
TRIGONOMETRIA
Unidades de medida de ngulos Grados
Radianes
Equivalencia: 3600 = 2 rad. 1 rad = 0180 570 17m
Longitud de un arco de circunferencia de radio R que subtiende un
ngulo central s = R en radianes
Valores de lneas trigonomtricas de algunos ngulos especiales.
Grados 0 30 45 60 90 120 180 270 360 Radianes 0
6
4
3
2
32
23 2
sen 0 21
22
23 1
23 0 - 1 0
cos 1 23
22
21 0 -
21 - 1 0 1
tg 0 33 1 3 / - 3 0 0 /
Angulos suplementarios + = sen = sen () cos = - cos () tg = - tg ()
Angulos complementarios + = 2
sen = cos (2 - ) tg = cotg (
2 - )
Angulos opuestos
Sen (- ) = - sen cos ( - ) = cos tg (- ) = - tg
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Aplicaciones de la Derivada Angulos que difieren en
2 y en
sen ( +2 ) = cos cos ( +
2 ) = - sen tg ( +
2 ) = - cotg
sen (+ ) = - sen cos ( + ) = - cos tg (+ ) = tg Teorema del seno
c
senCb
senBa
senA == A c b Teorema del coseno B a C a2 = b2 + c2 2 b c cos A
b2 = a2 + c2 2 a c cos B
c2 = a2 + b2 2 a b cos C
Frmula fundamental
sen2x + cos2x = 1
Frmulas de suma y resta de ngulos sen ( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y
sen ( x y ) = sen x cos y cos x sen y
cos ( x + y ) = cos x cos y sen x sen y
cos ( x y ) = cos x cos y + sen x sen y
tg ( x + y ) = tgx tgy1
tgytgx
+
tg ( x y ) = tgx tgy1
tgy-tgx+
Frmulas del ngulo doble
sen 2x = 2 senx cosx cos 2x = cos2x sen2x tg 2x = x tg1
2tgx2
Frmulas del ngulo mitad
sen2x = 2
cos2x1 cos2x = 2
cos2x1+
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Aplicaciones de la Derivada
TABLA DE DERIVADAS
f(x) dxdf f(x)
dxdf
k 0 senx cosx
x 1 cosx - sen x
|x| sg(x) x0 tgx 1 + tg2x
xm mxm-1 Arcsenx 2x1
1
x1
2x1 Arccosx
2x1
1
x x2
1 Arctgx 211x+
3 x 3 2x 3
1 shx chx
e x e x chx shx
Lx x1
thx 1 th2x
L|x| x1
Argshx 1x
12 +
Sg(x) 0 x 0 Argchx 1x
12
ax ax La Argthx 2x-11
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Aplicaciones de la Derivada
DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS
(fog)(x) dx
d(fog) (fog)(x) dx
d(fog)
g(x) dxdg sen g(x) cos g.
dxdg
k.g kdxdg cos g(x) - sen g.
dxdg
|g| sg(g). dxdg tg g(x) ( 1 + tg2g ).
dxdg
gm mgm-1 dxdg Arcsen g(x)
2x1
1
dxdg
g1 2
1g
dxdg Arccos g(x)
2x1
1
dxdg
g g2
1dxdg Arctg g(x) 2g1
1+ dx
dg
3 g 3 2g3
1dxdg sh g(x) ch g(x).
dxdg
e g e g dxdg ch g(x) sh g(x).
dxdg
Lg o L|g| dxdg
g1
th g(x) (1 th2g)dxdg
hgL
dxdh
h1
dxdg
g1 Argsh g(x)
dxdg
g1
12+
a g a g.La. dxdg Argch g(x)
dxdg
1g
12
g h g h
+dxdg
ghLg
dxdh Argth g(x)
dxdg
g11
2
h e g e g
+dxdgh.
dxdh
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Aplicaciones de la Derivada Resumen -
SELECCIN DE DEFINICIONES Y TEOREMAS
Definicin de funcin derivable en un punto.
Una funcin f de variable real x con dominio D se dice derivable en un punto xo
perteneciente a D si y slo si existe y es finito , el siguiente lmite:
( ) ( )0h
hxfhxflim oo
+ h R
Al valor de dicho lmite se le llama derivada de la funcin f en el punto xo.
Teorema 1) Derivada de suma de funciones H) Si f y g son funciones derivables en xo
T) ( ) ( ) ( ) ( )ooo xdxdgx
dxdfx
dxgf d +=+
Teorema 2) Derivada del producto de funciones
H) Si f y g son funciones derivables en xo
T) ( ) ( ) ( ) ( )oooo xdxdg)f(xx
dxdfg(xo)x
dxf.g d +=
Teorema 3) Derivada del cociente de funciones
H) Si f y g son funciones derivables en xo con g (xo ) 0
T) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )o2oooo
oxg
xdxdg.xfx
dxdf.xg
xdx
gf
=
d
Teorema 4) Derivada de la funcin compuesta o regla de la cadena
H) Si g es derivable en xo y f derivable en g (xo)
T) ( ) ( ) ( )[ ] ( )ooo xdxdg . xg
dgdfx
dxg o fd =
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Aplicaciones de la Derivada Resumen -
Definiciones
Funcin creciente en un punto
Una funcin f es creciente en un punto xo si cumple:
f(x) f (xo) (semientorno izquierdo de centro x- o,xE x o y radio )
f(x) f (xo) (semientorno derecho de centro x+ o,xE x o y radio )
Funcin decreciente en un punto
Una funcin f es decreciente en el punto xo si cumple:
f(x) f(xo) - o,xE x
f(x) f(xo) + o,xE x
Mximo y mnimo relativos
f(xo) es mximo relativo en xo de la funcin f si se cumple:
f(xo) f(x) o,xE x
f(xo) es mnimo relativo en xo de la funcin f si se cumple:
f(xo) f(x) o,xE x Teorema 5) Relacin entre derivabilidad y continuidad
H) Si una funcin f es derivable en el punto xo
T) f es contnua en el punto xo
Sobre este teorema recuerda que el recproco no es vlido, es decir, existen funciones
contnuas en un punto pero no derivables en l.
Teoremas que relacionan la derivada en un punto con la variacin de la funcin en l.
Teorema 6)
H) ( ) 0xdxdf
0 >
T) f creciente en el punto xo
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Aplicaciones de la Derivada Resumen
Teorema 7) H) ( ) 0xdxdf
0 <
T) f decreciente en el punto x0
Teorema 8) H) f presenta mximo o mnimo relativo en x0
( )0xdxdf
T) ( 0xdxdf ) = 0
Respecto de este teorema debes tener presente que:
1ro) El recproco no es cierto. Puedes tener una funcin con derivada nula en un
punto x0 y la funcin no presentar en l un extremo relativo. La fig. (1) te muestra
esa posibilidad.
2do.) Una funcin puede presentar extremo relativo en un punto xo y no ser derivable
en l. La fig. (2) te ilustra uno de estos casos para una funcin contnua en x0 y la
figura (3) para una funcin discontnua en x0 .
f(x) f(x) f(x)
o x0 x o x0 x o x0 x
fig. (1) fig. (2) fig. (3)
Teoremas que relacionan la derivada segunda de una funcin con su concavidad.
Teorema 9) H) 0)(xdx
fdo2
2> T) f presenta concavidad positiva en x0
Teorema 10) H) 0)(xdx
fdo2
2< T) f presenta concavidad negativa en x0
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Aplicaciones de la Derivada Resumen
Teoremas relativos a intervalos (a , b).
Teoremas que relacionan la derivada 1ra. con la variacin de la funcin.
Teorema 11) H) b)(a, x 0dxdf > T) f creciente en (a,b)
Teorema 12) H) b)(a, x 0dxdf < T) f decreciente en (a,b)
Teorema 13) H) b)(a, x 0dx
fd2
2> T) f tiene concavidad > 0 en (a,b)
Teorema 14) H) b)(a, x 0dx
fd2
2< T) f tiene concavidad < 0 en (a,b)
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Aplicaciones de la Derivad
CAPITULO 1
)(x
dxdf
0 f(x)
y f(x0) = )(xdxdf
0 ( x x0) f(x0) 0 x0 x Demanda NEWTON
Precio )TK(A
dtdT =
1 1 Introduccin 1 2 Enunciados de ejercicios 1 3 Resolucin de ejercicios
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Aplicaciones de la Derivada Introduccin Captulo 1
INTRODUCCION
Captulo 1
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Aplicaciones de la Derivada Introduccin- Captulo 1
INTRODUCCION
En este Captulo 1 te proponemos ejercicios tratando de que valorices la
derivada de una funcin en un punto como indicador matemtico de la rapidez
instantnea de variacin o tasa instantnea de variacin de una funcin.
En distintas disciplinas como Electricidad , Electrnica , Termodinmica ,
Mecnica , Economa , Biologa , etc , resulta de importancia fundamental no slo
saber que determinada magnitud o cantidad vara respecto de otra , sino conocer cun
rpido se produce esa variacin.
Puedes imaginar numerosos ejemplos de ello que seguramente te son familiares.
Pensemos , por ejemplo , en una persona que cae a un ro cuyas aguas se encuentran
a muy baja temperatura.
Es claro que la temperatura corporal ser funcin del tiempo que la persona
permanezca en el agua y claro tambin es que la funcin ser decreciente al haber
prdida de calor del cuerpo hacia el agua tendiendo el mismo a alcanzar la
temperatura del agua dada la diferencia de masa entre ambos.
Sin embargo en este problema resulta vital conocer la rapidez de disminucin de la
temperatura del cuerpo que por cierto no es lineal.
La disminucin podra ser ms rpida al principio de la cada e ir luego
enlentecindose , ocurrir exactamente lo contrario , etc.
De toda esa informacin depender que sepamos cuanto tiempo se tiene an
disponible para salvar la vida de la persona , y esa informacin nos la dar
justamente la derivada de la funcin en cuestin.
De hecho muchas cantidades o magnitudes que conoces se definen
justamente como derivada de otra.
A ttulo de ejemplo: la rapidez instantnea de un mvil se define como la derivada
de la funcin espacio recorrido; la aceleracin como derivada de la velocidad ; la
fuerza electromotriz inducida , en Electrotecnia , como la derivada del flujo del
campo magntico, todas ellas respecto de la variable tiempo (t). El ngulo de
desplazamiento del eje de una viga , como derivada de la funcin elstica de la
viga; la intensidad de corriente elctrica como la derivada de la carga elctrica
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Aplicaciones de la Derivada Introduccin- Captulo 1
respecto del tiempo ; el gasto instantneo , en Hidrulica , como derivada del
volumen respecto del tiempo, etc.
Al respecto resulta importante que hayas entendido con claridad el significado de lo
que en el curso terico has llamado Interpretacin geomtrica de la derivada donde
has demostrado que la derivada de una funcin f en un punto x0 ( )(xdxdf
o )
representa el coeficiente angular de la recta tangente al grfico representativo de la
funcin en el punto ( )[ ]0 , 0 xfx Este resultado no es una mera curiosidad geomtrica sino que su alcance es
relevante.
Detengmonos en este punto para ayudarte a recordar.
Considera una funcin f de variable x. En la figura (1) tenemos parte del grfico
representativo de la funcin y sea x0 el punto del dominio que hemos elegimos para
trabajar .
f(x)
Q f(x0+h) f(x0) P R 0 x0 x0+h x fig. (1) Recuerda que llamamos punto al valor x0 y no al punto geomtrico P.
Incrementamos ahora nuestra variable x en un valor h arbitrario y pasamos al nuevo
punto x0 + h .
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Aplicaciones de la Derivada Introduccin- Captulo 1
El incremento h puede ser tanto positivo como negativo. En el caso de la figura lo
hemos tomado positivo movindonos en consecuencia hacia la derecha de x0.
Veamos que ha ocurrido con la funcin f.
En el punto x0 el valor funcional es f(x0) y en el punto x0 + h es f (x0 + h ).
La diferencia f (x0 + h ) - f(x0) indica en valor y signo la variacin del valor
funcional provocado por el incremento h de la variable x .
A esa diferencia se le llama incremento de la funcin en el punto x0 correspondiente
al incremento h En la figura (1) este incremento es la medida del segmento QR.
Consideremos ahora el cociente de ambos incrementos ,vale decir :
h
)f(xh) f(x oo +
A este cociente se le denomina cociente incremental en el punto x0.
Es importante que comprendas que este cociente incremental indica la rapidez
promedio de variacin de la funcin en el intervalo [ x0 , x0 + h]. Si disminumos el valor del incremento h iremos obteniendo nuevas tasas promedio
de variacin de la funcin , en general diferentes (excepto si la funcin es del tipo
f(x) = Kx en cuyo caso el cociente incremental dar siempre constante e igual a K).
Si esa sucesin de valores del cociente incremental tiene lmite finito para h 0
habremos obtenido la rapidez instantnea de variacin de la funcin en x0 .
Es al valor de ese lmite que hemos llamado derivada de la funcin en el punto x0
Desde el punto de vista grfico has visto que el cociente incremental es la tangente
trigonomtrica del ngulo QPR de vrtice P, hecho que deduces de aplicar
simplemente la definicin trigonomtrica de tangente en el tringulo PRQ y que te
permite afirmar que el valor del cociente incremental es la pendiente o coeficiente
angular de la recta PQ.
El paso al lmite que has efectuado posteriormente te permite entonces concluir que
el nmero real que has obtenido como derivada de la funcin f en el punto x0 no es
ms que el coeficiente angular de la recta tangente al grfico en el punto P.
Debes tener presente entonces que cuando calculas la derivada de una funcin f en
un punto x0 obtienes el coeficiente angular de la recta tangente al grfico de la
funcin en el punto (x0 , f(x0)) , pero la informacin que has conseguido no es
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Aplicaciones de la Derivada Introduccin- Captulo 1 meramente una informacin geomtrica.
Esta informacin te permite obtener la rapidez con que est variando la funcin en
el punto considerado.
Cuanto mayor sea el valor absoluto de la derivada en el punto , ms rpido vara la
funcin en l , y esta informacin es de vital importancia en una variedad enorme de
problemas de distintas disciplinas.
Ten presente que a la hora de resolver problemas de la realidad , aplicando modelos
funcionales , nuestras funciones f representarn magnitudes o cantidades que varan
en funcin de otras magnitudes o cantidades a las cuales representar nuestra
variable x .
Por ejemplo si ests estudiando la variacin en el tiempo de la energa E dada por un
dispositivo de algn tipo , nuestra funcin f representar la funcin energa E ,
nuestra variable x representar al tiempo t y nuestras f(x) representarn los valores
de E(t) .
Si calculas la derivada en algn instante t0 , ( )
0tdt
dE, habrs obtenido con qu
rapidez est cediendo energa el dispositivo en ese instante medida , por ejemplo ,
en hora
Caloras , si esas son las unidades con que ests trabajando , digamos , en un
problema de Termodinmica.
Esa derivada que has calculado no es otra cosa que la potencia del dispositivo en
ese instante.
Despus de definir derivada en un punto has visto el concepto de funcin derivada.
A esta nueva funcin , asociada a tu funcin original , debes concederle toda la
importancia que realmente tiene.
Supongamos que has representado grficamente cierta funcin f representativa de
cierta magnitud interviniente en un fenmeno como funcin de otra magnitud , por
ejemplo el tiempo.
La sola visualizacin de la curva te permite obtener variada informacin sobre lo
que est ocurriendo en el fenmeno.
Conocers cundo la magnitud en cuestin aumenta y entre qu instantes , cundo
disminuye , cuando se producen sus mximos y/o mnimos y cuales son sus valores.
Pero puedes obtener an ms informacin cualitativa si imaginas como van variando
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Aplicaciones de la Derivada Introduccin- Captulo 1 las pendientes de las rectas tangentes en los distintos puntos de la curva.
Podrs concluir , por ejemplo , si aumenta o disminuye la rapidez con que la
funcin aumentaba o disminua sus valores , podrs decidir eventualmente que tu
funcin aumenta cada vez ms rpido hasta cierto instante a partir del cual si bien
sigue aumentando lo hace cada vez ms lentamente ( punto de inflexin de la
grfica) o a la inversa.
Tendrs entonces un panorama mucho ms completo del desarrollo del fenmeno
con toda la informacin adicional que te permite obtener la funcin derivada.
Es claro que si obtuvieras la expresin analtica de la funcin derivada podras
obtener datos cuantitativos de todo lo anterior , incluso la representacin grfica de
la funcin derivada te permitira tener una idea rpida y ms acabada de cmo
transcurre el fenmeno en estudio.
Esperamos que todo lo dicho te haga valorar , en su justa medida , el aprender a
interpretar grficas obteniendo de ellas toda la informacin que realmente contienen.
En muchos fenmenos , incluso , no es posible obtener una expresin analtica de la
magnitud a estudiar , recurrindose entonces a instrumentos adecuados para obtener
su representacin grfica , procedindose luego a la interpretacin de la misma.
Piensa , por ejemplo , en los electrocardiogramas , sismogramas , poligramas
(polgrafo o detector de mentiras ) , etc.
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Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 La Derivada como tasa de variacin - Enunciados
LA DERIVADA COMO TASA DE
VARIACION DE UNA FUNCION
ENUNCIADOS
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Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados
Ejercicio No. 1 Qumica ( Resolucin pgina 43 )
La ley de Boyle para los gases perfectos establece que a temperatura constante
P.V=K donde P es la presin, V el volumen y K una constante.
Si la presin est dada por la expresin: P(t) = 30 + 2t con P en cm de Hg ,
t en seg ; y el volumen inicial es de 60 cm3, determina la razn de cambio del
volumen V con respecto al tiempo t a los 10 segundos.
Ejercicio No. 2 -Contaminacin - ( Resolucin pgina 44 )
Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar 100 m3 de petrleo.
.
R
R espesor
Calcula con qu rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50m
si el espesor disminuye a razn de 10horacm en el instante en que R = 50 m .
Ejercicio No. 3 - Geometra - ( Resolucin pgina 46 )
El rea de un tringulo equiltero disminuye a razn de 4 cm2 por minuto . Calcula
la rapidez de variacin de la longitud de sus lados cuando el rea es de 200 cm2.
Se supone que el tringulo se mantiene equiltero en todo instante.
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Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados
Ejercicio No. 4 Electrotecnia - ( Resolucin pgina 46 )
Sean dos resistencias R1 y R
2 conectadas en paralelo. La resistencia equivalente R
21
111RRR
+= cumple:
Si R 1 y R 2 aumentan a razn de 0.01 y 0.02 / seg. respectivamente, calcula la razn de cambio de R cuando R1 = 30 y R2 = 90 .
Ejercicio No. 5 - Hidrulica - ( Resolucin pgina 47 )
Una tolva con forma de cono recto circular invertido de radio de base R y altura H
est siendo llenada con lquido con un gasto constante Q = 0.5 m3 por minuto.
A medida que se produce el llenado el nivel del lquido en la tolva sube.
Si R=2 m y H=3m: Q
a) Crees que ese nivel sube con velocidad constante?
Justifica tu respuesta sin efectuar clculos.
b) Calcula ahora esa velocidad, verifica tu respuesta anterior
e indica el valor de la velocidad cuando la altura del lquido
en la tolva es de 1,5 m. Qu condicin crees que debera cumplir el recipiente para
que el nivel subiera a velocidad constante? Justifica mediante clculo en el caso
que el recipiente sea un cilindro recto circular.
Ejercicio No. 6 Qumica - ( Resolucin pgina 48 )
Un globo esfrico se llena con gas con un gasto constante Q = 100 litros /minuto.
Suponiendo que la presin del gas es constante , halla la velocidad con que est
aumentando el radio R del globo en el instante en que R=0.3 m.
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Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados
Ejercicio No. 7 Descarga de granos ( Resolucin pgina 49 )
La caja de un camin transportador de granos est siendo llenada con el grano
proveniente de un silo a razn de 0.5 m3 / min.
El grano forma un cono circular recto cuya
altura es constantemente igual a 5/4 del radio
de la base. Calcula:
a) A qu velocidad est subiendo el vrtice del cono cuando la altura es de 1.50 m?
b) Cul es el radio de la base del cono en ese momento y a qu velocidad est
variando?
Ejercicio No. 8 Fsica - ( Resolucin pgina 51 )
Un cuerpo que pesa 0.5 toneladas es levantado verticalmente utilizando una eslinga
de acero que pasa por una polea colocada a 20 m de altura, como indica la figura.
Un extremo se une directamente al cuerpo y el otro, ( punto A), es arrastrado por un
vehculo que se mueve hacia la derecha con velocidad v=20 km / hora y a una altura
del piso de 1.50 m. La eslinga tiene una longitud de 50 m..
20m
V
A 1.5m
Te pedimos :
a)A qu distancia del cuerpo estar el vehculo en el instante de iniciar la maniobra?
b) En cierto instante t el cuerpo se halla a cierta altura h respecto del piso y el
vehculo a cierta distancia x del cuerpo. Encuentra la relacin entre x y h.
c) Cul es la velocidad del cuerpo en el instante en que su altura es de h= 6 m?
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Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados
Ejercicio No. 9 - Fsica - ( Resolucin pgina 52 )
Un foco de luz est colocado a una altura de H metros sobre el nivel del suelo.
Una persona de altura h metros pasa por la vertical del foco movindose a velocidad
velocidad constante u m / seg .
a) Calcula la velocidad V con que se mueve el extremo A de su sombra, en funcin
de H , h y u .
b) Cul es esa velocidad si el foco luminoso est situado a 4m del nivel de la calle,
la persona mide 1.75 de altura y camina a una velocidad de 1 m / seg ?
c) Supongamos ahora que una segunda persona camina acompaando a la anterior.
Investiga si es posible que la velocidad del extremo de la sombra de esta segunda
persona sea doble de la velocidad V de la primera .
F
H
O
u A V
Ejercicio No 10 Fsica ( Resolucin pgina 54 )
Un automvil recorre una carretera rectilnea con movimiento uniforme cuya
velocidad tiene mdulo v , mientras un reflector colocado en el punto F a distancia d
de la carretera lo ilumina constantemente, para lo cual se va girando sobre un eje.
Tomando tiempo t=0 cuando el mvil pasa por el punto O y suponiendo que en un
instante posterior t aqul ha recorrido una distancia x como se indica en la figura , te
preguntamos: a) Cul es la relacin entre el ngulo y la distancia x ?
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Aplicaciones de la De
rivada - Captulo 1 - Enunciados
O x A v
d
F
b) Recordando que la velocidad angular de un movimiento circular es:
dtd =
i)Crees que el movimiento del reflector es circular uniforme? Busca una
justificacin sin realizar clculos.
ii) Encuentra la relacin entre y x , bosqueja esa relacin y verifica tu respuesta a la pregunta anterior.
c) Calcula para x =0 y x = 50 m , siendo d = 100 m y v = 72 Km / h. d) Recordando que el movimiento del vehculo es rectilneo uniforme y por tanto
x = v.t , encuentra la expresin de (t) . e) Siendo la aceleracin angular del movimiento circular = d / dt , calcula esa aceleracin para x =0 y x = 50m.
Ejercicio No. 11 Demanda ( Resolucin pgina 56 )
Una fbrica vende q miles de artculos fabricados cuando su precio es de
p U$S /unidad.
Se ha determinado que la relacin entre p y q es:
Si el precio p del artculo es de 9 U$S y se incrementa a una tasa de 0,20 U$S por
031 2q- q 22 = pp
semana , te pedimos :
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Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados
a) Calcula el nmero de artculos vendidos a 9 dlares.
b) Con qu rapidez cambia la cantidad de unidades q , vendidas por semana cuando
el precio es de 9 U$S?
Ejercicio No. 12 Forestacin ( Resolucin pgina 57 )
Para estimar la cantidad de madera que produce el tronco de un rbol se supone que
el mismo tiene la forma de cono truncado como indica la figura.
Radio r
h
Radio R
siendo: r el radio de la base superior; R el radio de la base inferior y h la altura.
Recordando que el volumen V de un tronco de cono est dado por la expresin:
V = 1 /3 ..h.( R2+R.r+r2 ) te preguntamos: Cul es la rapidez de variacin del volumen V en el momento en que: r =60cm ,
R = 90 cm y h = 15m , si el incremento de r es de 10 cm / ao, el incremento de R
es de 15 cm / ao y el de h de 25 cm / ao?
Ejercicio No.13 Contaminacin ( Resolucin pgina 58 )
Estudios realizados han permitido determinar que el nivel medio diario C de
monxido de carbono CO2 en el aire , en partes por milln (ppm) , en una ciudad ,
est relacionado con la poblacin p expresada en miles de habitantes por la siguiente
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Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados
expresin :
172
)(2
+= ppC
El aumento de poblacin en esa ciudad en t aos se estima que est dado por la
relacin siguiente: p(t) = 3,1 + 0,1 t2 en miles de habitantes.
Con qu rapidez crees que estar variando la concentracin de CO2 en esa ciudad
dentro de 3 aos?
Ejercicio No.14 Variacin de volumen ( Resolucin pgina 59 )
Un camin descarga arena formndose un montculo que tiene la forma de cono
recto circular. La altura h va variando mantenindose constantemente igual al radio r
de la base.
Cuando la altura es de 1m. ella est aumentando a razn de 25 cm / minuto.
Con qu rapidez est cambiando en ese instante el volumen V de arena?
Ejercicio No.15 Fsica ( Resolucin pgina 60 )
Un nio sostiene el manojo de hilo de una cometa a 1,50 m del suelo. La cometa se
desplaza horizontalmente a una altura de 81,5 m.
Te pedimos que calcules a qu velocidad debe el nio soltar hilo en el momento en
que la cometa est a 100m de l si la velocidad de la cometa es de 20 m / min.
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Ejercicio No. 16 - Termodinmica ( Resolucin pgina 61 )
Una bebida se saca del refrigerador a una temperatura de 100 C y se deja en una
habitacin donde la temperatura es de 250 C.
Segn la ley de enfriamiento de Newton ( calentamiento sera en este caso el trmino
apropiado) la temperatura T de la bebida variar en el tiempo de acuerdo a la
expresin:
T(t) = 25 A.e-kt con A y k constantes.
a) Sabiendo que al cabo de 20 minutos la temperatura de la bebida es de 150 C,
calcula las constantes A y k.
b) Bosqueja el grfico de la funcin T para t 0 y encuentra la expresin de la rapidez instantnea de calentamiento de la bebida.
c) Encuentra el instante en que esa rapidez es mxima y el instante en que ella es la
mitad de la mxima.
d) Cul ser la temperatura de la bebida al cabo de una hora?
Ejercicio No. 17 Electricidad ( Resolucin pgina 64 )
La carga elctrica Q que atraviesa la seccin de un conductor est dada por la
expresin:
t) cos(AQ(t) = siendo A y constantes:
a) Grafica Q en funcin de t en un perodo.
b) Recordando que la intensidad I de la corriente indica la rapidez con que vara la
carga Q que atraviesa la seccin del conductor , deduce de la grfica de la parte a)
los instantes en que I es mxima y mnima.
c) Verifica con el clculo tus respuestas a la parte anterior.
d) Calcula en qu instante la intensidad I en valor absoluto es la mitad del valor
mximo.
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Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados
Ejercicio No.18 Propagacin de epidemia - ( Resolucin pgina 66 )
Un estudio realizado durante una epidemia que se propag entre los animales del
rodeo vacuno de nuestro pas mostr que el nmero de animales afectados, t das
despus de iniciado el brote, respondi a una expresin del tipo:
K.tA.e1Nn(t) +=
N y A constantes, A>1,donde N era el nmero total de animales del rodeo nacional.
a) Demuestra que la mxima velocidad de propagacin de la enfermedad ocurri
cuando se infect la mitad del rodeo.
b) Bosqueja la funcin n para t 0 , y la funcin velocidad de propagacin V.
Ejercicio No.19 Propagacin de rumor ( Resolucin pgina 68 )
En una poblacin de P habitantes se desea estudiar la velocidad de propagacin de
un rumor.
Se adopta para ello un modelo matemtico que indica que el nmero N de personas
que en un instante t han odo el rumor puede expresarse por la relacin:
N (t )= P (1 e-K.t) con: K cte., K>0, t en horas y K en ( 1 / hora )
a) Si K=0,1 , calcula el tiempo transcurrido para que el 60% de la poblacin
conozca el rumor, y la velocidad de propagacin del mismo en ese momento.
b) Grafica N (t ) para t 0 e indica en qu momento la velocidad de propagacin del rumor es mxima.
c) Demuestra que el modelo matemtico adoptado consisti en suponer que la
velocidad de propagacin del rumor fue proporcional al nmero de personas que en
un instante t todava no lo haban odo.
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Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados
Ejercicio.20 Poblacin de bacterias ( Resolucin pgina 70 ) La poblacin P de una colonia de bacterias con espacio y alimentos ilimitados, vara
con el tiempo de acuerdo a la expresin: P(t)= C. eK.t con C y K constantes, t en horas y K en 1 / hora.
a) Si en el instante inicial t = 0 la poblacin era de 1000 bacterias y al cabo de
1 hora la misma se duplic, determina los valores de C y K.
b) Bosqueja el grfico de la funcin P, halla la velocidad v de crecimiento de la
poblacin en funcin de t y determina el instante de mnima velocidad.
c) Calcula la poblacin al cabo de 2 horas y la velocidad de crecimiento en ese
instante.
d) Demuestra que el modelo matemtico adoptado para el estudio del problema
consisti en suponer que la velocidad de crecimiento de la poblacin en un instante
fue proporcional al nmero de bacterias en ese instante.
Ejercicio No.21 Variacin de la poblacin (Resolucin pgina 71)
Un modelo matemtico para estudiar la variacin de la poblacin mundial P ha
supuesto que la misma est expresada por :
P (T) = 5.e 0.0278 t
con P en miles de millones de personas y t en aos.
En este modelo se han considerado constantes la tasa de natalidad ( nacimientos por
ao ) y de mortalidad ( defunciones por ao ).
Tomando t= 0 en el ao l987:
a) Bosqueja P como funcin de t para t 0. b) Calcula la tasa de variacin instantnea de la poblacin en el ao l987.
c) Calcula la poblacin prevista para el ao 2005 y la tasa de variacin instantnea en
ese ao.
d) En qu tiempo se duplicara la poblacin existente en 1987 y cuando alcanzara
los 15.000 millones?
e) Crees adaptado a la realidad este modelo matemtico?
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Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados
f) Demuestra que en este modelo la tasa instantnea de crecimiento en un instante t
se ha supuesto proporcional a la poblacin existente en ese instante, y que la
constante de proporcionalidad vale 0.0278.
Ejercicio No.22 Iluminacin ( Resolucin pgina 72 ) Un terreno circular de radio R se ilumina con un foco colocado en el punto A como
indica la figura. B
X u S
P V A O
C
Un mvil recorre el segmento BC con movimiento rectilneo uniforme de
velocidad u mientras su sombra S proyectada sobre el muro perimetral describe un
movimiento circular de velocidad V. (u y V , mdulos).
En un instante t cualquiera el mvil se encuentra en un punto P, siendo x la
distancia BP y s la longitud del arco BS. Recuerda que: s = R.
a) Halla la relacin entre y y calcula en funcin de x . b) Encuentra la expresin de V como funcin de x.
c) Tomando t=0 cuando el mvil pasa por el punto B , bosqueja la funcin V e
indica en qu posiciones del mvil la velocidad de la sombra es mxima y mnima
para x variando entre 0 y 2R.
d) Calcula la velocidad de la sombra cuando el mvil pasa por el punto medio del
segmento BO, e indica cul es el porcentaje de esa velocidad respecto de la velocidad
mxima.
Ejercicio No.23 Electrotecnia ( Resolucin pgina 75 ) Considera el circuito de la figura donde una tensin constante de V voltios se aplica
sobre una resistencia R () cerrando instantneamente la llave S en el instante t=0. Se establece entonces en el circuito una corriente de intensidad I en Amp. que est
expresada por la ley de OHM:
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Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados
S R
I (t) =RV V
a) Grafica I (t ) ; t 0. b) Supongamos que ahora agregamos al circuito una bobina de autoinduccin
constante , de L Henrios, y repetimos la operacin.
S L
V
R
La corriente que circula viene expresada ahora por: I(t) =
t
e1RV
= L / R en seg , I en Amp., t en seg. Al valor ( ) se le llama CONSTANTE DE TIEMPO del circuito. c) Bosqueja el grfico de I(t) , t 0 . Deduce , comparando los bosquejos de las partes a) y b) cual ha sido el efecto de
introducir la bobina en el circuito.
d) Calcula la rapidez de variacin de I(t) en t=0 y en t= . e) Cmo actuaras sobre las constantes del circuito para , sin variar el valor final de
la corriente, lograr que ella aumente sus valores ms rpidamente ?
Ejercicio No. 24 Electrotecnia ( Resolucin pgina 78 )
Considera el circuito de la figura donde un condensador cargado de capacidad C
(Faradios) y tensin inicial de V (voltios) entre sus placas, se descarga sobre una
resistencia R ().
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Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados
Al cerrar la llave S comienza a circular una corriente de intensidad I dada por la
expresin:
t
eRVI(t)
= S R
( = RC constante. de tiempo) C
a) Bosqueja I ( t )
b) Cul es el valor mximo de I ( t ) ?
c) Calcula la rapidez de variacin de I en t = 0 y t = . d) Encuentra qu porcentaje del valor mximo de I alcanza la corriente para t=. e) Cmo actuaras sobre los elementos del circuito para , sin variar el valor inicial
de la corriente, lograr que ella disminuyera sus valores ms rpidamente?
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Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 La Derivada como tasa de variacin - Resoluciones
LA DERIVADA COMO TASA DE
VARIACION DE UNA FUNCION
RESOLUCIONES
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Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resolucione
Ejercicio No.1 Se te pide en este ejercicio que determines la velocidad de cambio del volumen
respecto del tiempo en el instante t = 10 seg , o sea , el valor de la derivada dtdV
calculada en t = 10.
La idea ser entonces expresar el volumen V en funcin del tiempo t.
Por un lado la ley de Boyle establece que P.V = K y por otro conocemos como vara
la presin con el tiempo: P(t) = 30 + 2.t
Basta entonces que despejemos el volumen de la ley de Boyle y luego sustituyamos
la presin por su expresin en t. Tendremos entonces:
P(t)KV(t) =
Sustituyendo P(t) obtenemos finalmente:
2.t30
KV(t) += (1)
Derivemos (1) y hallemos su valor en t = 10
( ) ( ) 22 50210
dtdV
2.t302K
dtdV K=+=
El dato de que el volumen inicial es de 60 cm3 nos permite calcular la constante K.
En efecto, para t=0 deber ser V= 60.
Sustituyendo en (1): 60 =30K K=1800
( )segcm 44.1
2500360010
dtdV 3== El signo negativo indica disminucin.
En definitiva el gas est disminuyendo su volumen a razn de 1.44 cm3 por seg a los
10 seg. de iniciado el proceso de compresin.
Veamos otra forma de resolver el ejercicio.
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Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones
Como la presin y el volumen son funciones de t la ley de Boyle establece: (1) p(t).V(t) = K t 0 Derivando ambos miembros de la igualdad (1) obtienes:
0t dtdK
dtd(p.V) =
En el primer miembro tenemos la derivada de un producto y en el segundo de una
constante, por tanto:
dtdp
pV
dtdV 0
dtdpV
dtdVp ==+ (2)
Como nos interesa el instante t=10 debemos calcular , para sustituir en la relacin
(2): V(10) , p(10) y )(10dtdp .
De p= 30 + 2.t p(10) = 50 p(0)=30
2)(tdtdp = 2)(10
dtdp =
De Boyle: p(10).V(10) =K V(10) = 50K
p(0).V(0) = K K=30.60 =1800
Haciendo la sustitucin de valores en (2) encontramos la solucin ya conocida.
segcm 1.44(10)
dtdV 3=
De esta forma se resuelve el ejercicio sin explicitar V(t).
Ejercicio No. 2
Debes hallar en este ejercicio la velocidad con que aumenta el radio R a medida que
la mancha se expande sobre la superficie del mar, en el instante en que R = 50m.
Espesor h
R =50 m
Ana Col Herrera Hctor Patritti 44
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Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones
Podramos pensar en hallar la expresin R(t) para derivarla posteriormente.
Sin embargo no se te indica como dato del problema la forma en que el espesor h
vara con el tiempo por lo que no lograremos encontrar R(t).
Debes encarar el ejercicio partiendo de la relacin entre R y h que nos proporciona el
volumen de la mancha que sabemos se mantiene constante.
Tendremos:
V = .R2.h t0 (1)
Derivemos ambos miembros de la igualdad (1) respecto de (t):
+=dtdhR.h
dtdR2R
dtdV 2 (2)
Como V es constante, es decir independiente de t , sabemos que: 0dtdV = lo que nos
permite concluir de (2) que: 0dtdhR.h
dtdR2R 2 =+
Despejando dtdR obtenemos:
dtdR =
dtdh.
2hR (3)
Como tenemos el dato de que la altura de la mancha disminuye a razn de 10 horacm
ser : hora
m 10dtdh 2=
De la relacin (1) , h= 2RV
Como V = 100 m3, R =50 m h = 04.0
50.100
2 = m
Sustituyendo valores en la ecuacin (3) se tiene finalmente:
( ) horam 25.610.
04.0.2.50
dtdR 2 ==
La velocidad con que aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50 m ,
resulta entonces cercana a los 20hora
m .
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Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones
Ejercicio No.3
Si llamamos L al lado del tringulo equiltero, siendo su altura L23h = su rea A
ser:
h (1) 2
43 LA = L
con A=A(t) y L= L(t) .
Se te pide la rapidez de variacin de la longitud de los lados por lo que debes calcular
dtdL para A = 200 cm2.
Derivando respecto de t la igualdad (1) obtenemos:
dtdL.2L.
43
dtdA = (2)
De la expresin (2) debemos despejar dtdL y sustituir
dtdA y L por sus valores
correspondientes al instante en que A = 200 cm2
De (1): 2.L43200 = L 21.5 cm y teniendo en cuenta que
dtdA = -4
min.cm2
mincm 0.21
321,5.8
dtdL
Los lados estn entonces disminuyendo sus longitudes a la velocidad calculada.
Ejercicio No.4
Como 21
21
21 RR.RRR
R1
R1
R1
+=+= siendo R , R1 y R2 funciones de t.
Derivando la ltima expresin respecto de t tendremos:
( )( )221
212121
212
1
RRdt
dRdt
dR..RRRRdt
dR.R.Rdt
dR
dtdR
+
++
+=
Operando y simplificando obtienes:
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Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones
( )'
RRdt
dR.Rdt
dR.R
dtdR
221
122
221
++
=
Siendo: 90R , 30R , seg
0.02dt
dRy seg
0.01dt
dR21
21 ====
Sustituyendo valores obtienes:
seg
68,75.10120
8100.10900.2.10dtdR 4
2
22 +=
La resistencia equivalente R est entonces aumentando con la rapidez calculada.
Ejercicio No. 5 a) La respuesta a la pregunta es NO.
Tratemos de justificarla , para lo cual supongamos dos instantes diferentes t1 y t2
dh1
dh2 h2
h1
a los cuales corresponden niveles h1 y h2 respectivamente , como indica la figura.
Consideremos intervalos de tiempos iguales dt en ambos instantes.
Los volmenes que ingresarn sern iguales por ser el gasto de entrada constante , y
ocuparn los volmenes indicados.
Los troncos de cono deben ir disminuyendo sus alturas dh a medida que h aumenta
y consecuentemente la velocidad de la superficie ir disminuyendo a medida que h
aumenta.
El clculo de la parte b) nos confirmar que la velocidad v = dtdh es una funcin
decreciente con h.
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Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones
h H
R r
b) Consideremos que el lquido , en un instante t, ocupa el volumen sombreado.
Calculemos ese volumen, que ser el volumen ingresado al recipiente en el tiempo t.
Hemos considerado t =0 en el instante en que se comienza el llenado.
Tratemos de encontrar ahora la relacin entre r y h . Para ello podemos valernos
del teorema de Thales o del clculo trigonomtrico.
R
tg =H
R.hr hr
HR ==
H r
h
El volumen ser entonces: 322
.hHR.
3V = siendo V y h funciones de t.
Derivando respecto de t la expresin anterior se obtiene:
dtdh..h
HR
dtdh..3h
3HR
dtdV 2
2
22
2
2 ==
Como Q =dtdV de la expresin anterior conclumos:
22
2
.h.RQ.H
dtdhv ==
La velocidad resulta entonces funcin decreciente de h con lo que el clculo
confirma el razonamiento de la parte anterior.
Para los valores dados tendremos:
( )min.cm16
min.m0.16
.1.5.23 0.5
dtdh
22
2==
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c) El razonamiento hecho en la parte a) del ejercicio nos conduce a afirmar que el
recipiente debera tener seccin horizontal constante. En el caso de cilindro circular
tendremos: V =.R2.h con R constante.
Derivando respecto de (t): dtdh..R
dtdV 2= H
Finalmente: constante. vRQ
dtdhv 2 ==
2R
Ejercicio No. 6
Siendo el globo esfrico de radio R su volumen V ser:
3.R.34V = (1)
Ambos , V y R son funciones del tiempo durante el inflado del globo.
Como se te pide la velocidad con que vara el radio cuando su valor es de 0.3 m,
debers hallar el valor de la derivada de R respecto del tiempo para el valor de R
indicado.
Comencemos entonces derivando la expresin (1). Tendremos:
dtdR.R4
dtdR..3R
34
dtdV 22 == (2)
El gasto de gas para el llenado es :
mindm 100
dtdVQ
3==
Sustituyendo valores en (2) obtenemos
mindm
925
.34100
R4Q
dtdR
22 === gas
El radio aumenta entonces con una velocidad cercana a 9 mincm en el instante en que
R =30 cm.
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Ejercicio No. 7 A medida que se produce la descarga del grano la relacin entre el radio de la base y
la altura se mantiene constante e igual a 4 / 5 por lo que los distintos conos son
semejantes. El vrtice del mismo sube verticalmente mientras que la circunferencia
base aumenta su radio horizontalmente.
a) En esta parte se te pide que calcules la velocidad con que est subiendo el vrtice.
Llamando h a la altura del cono debers calcular dtdh en el instante en que h = 1.5 m
h
R
El volumen de grano en un instante t ser :
.h.R.31V 2=
Como .h54R .R
45h == Finalmente entonces:
3.h.7516V(t) = (1) con h=h(t)
Derivando la expresin (1) respecto de t obtienes:
dtdh..h.
2516
dtdV 2= (2)
Siendo minm 0.5Q
dtdV 3== Q gasto de descarga del grano, h = 1.5 m
sustituyendo valores en (2) y despejando tendremos:
minm 44.0
8.2,25.25
dtdh =
Esta es la velocidad con que sube el vrtice del cono de grano en el instante en que
h =1.5 m.
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b) Siendo .h54R = en todo instante t , derivando esta igualdad obtenemos la
relacin entre las derivadas de R y h.
dtdh
54
dtdR =
Como se te pide la velocidad de variacin del radio en el mismo instante en que se te
pidi la velocidad de variacin de la altura , tendrs:
minm 0.35 44,.0.
54
dtdR =
El valor correspondiente del radio es:
m 20,15,1.54R ==
Ejercicio No. 8
a) Posicin inicial Deseamos calcular la distancia AB para lo cual utilizamos el teorema de Pitgoras
en el tringulo ABC. C
20m B A v 1.5m
31.5m18.550d m 5.185.120d ddd ACBC2BC
2AC
2AB =====
m 5.255.185.31 22 =ABd b) Posicin en un instante t.
C
P h B X A V
:
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Utilizando el teorema de Pitgoras en el tringulo A BC obtienes: CP = 20 h AC = 50 (20 h )= 30 + h BC = 18.5 m
X2 = ( 30 + h )2 18.52 (1)
c) Las velocidades del vehculo y del cuerpo sern respectivamente:
velocidad del vehculo: dtdXv = Velocidad del cuerpo:
dtdhV =
Derivando respecto de t la relacin (1) se obtiene:
dtdhh).2(30
dtdX2.X. += (2)
En el instante pedido se cumple:
v= 3 Km / h h = 6 m ( ) m 3118.5630X 22 += Despejando
dtdh en (2) y sustituyendo valores encontramos que:
( )h
Km 82.5dtdX
h3018.5630
dtdX.
h30X
dtdh 22 +
+=+= La velocidad con que est subiendo el cuerpo cuando su altura es de 6m es entonces
de aproximadamente 2.58 Km / h 0.7 m / seg.
Ejercicio No.9 a)
F
OC = y OA= x
H B
h sombra O C v A V
Consideremos que en un instante t la situacin es la indicada en la figura.
Deseamos calcular la velocidad V del punto A, extremo de la sombra.
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De acuerdo a las notaciones elegidas tendremos
V=dtdx v=
dtdy
Usando la semejanza de los tringulos ABC y AFO o calculando la cotangente del
ngulo concluimos que CAB
hyx
Hx = (Recuerda que tg
1gcot = )
Despejando (x): hH
H.yx = (1) Derivemos la expresin (1) respecto de t :
dtdy.
hHH
dtdx
= Finalmente entonces:
vhH
HV = (2) Como H y h son constantes la relacin anterior indica que la velocidad de la sombra
es proporcional a la de la persona y por tanto constante , con lo que el punto A se
mueve con movimiento rectilneo uniforme.
Como H> h > 0 hH
H > 1 V > v lo que explica porqu la
sombra va aumentando su longitud a medida que la persona se aleja del foco
luminoso.
b) Siendo H = 4 m h = 1.75 m v = 1 m /seg obtenemos , sustituyendo en (2):
V 1.78 m / seg. c) Para responder a la pregunta tratemos de hallar la altura h de esta segunda
persona.
Despejando h de la expresin (2) obtenemos:
=Vv1 Hh
Aplicndola a la segunda persona ser H=4 m v=1 m/seg V=2.(1.78) m/seg
H 2.88 m Parece obvio que la respuesta es que lo planteado no es posible.
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Ejercicio No. 10 a) Para hallar la relacin pedida basta que consideres el tringulo FOA y apliques
definicin de tangente.
O x A v
d
F
==dx Arctg
dx tg (1)
b) i) Tomando intervalos iguales de tiempo t la distancia x recorrida por el vehculo deber ser la misma por ser su movimiento rectilneo uniforme .
O x x x
1 2 3 F
Hemos tomado intervalos de igual longitud x y hemos indicado en la figura los ngulos correspondientes. Parece claro que se cumplir: ........321 >> lo cual nos inclinara a afirmar que debe ir disminuyendo a medida que aumenta x .
ii) Como =dt
d derivamos la expresin (1) respecto del tiempo. Recordando la derivada de la funcin Arctg obtendremos:
dtdx.
xdd
dtdx.
dx1
d1
dtd
222 +=
+=
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Teniendo en cuenta que vdtdx = obtenemos finalmente:
22 xdv.d(x) += (2)
Para bosquejar la funcin calculemos (o) =
dv lim (x) = 0
x +
Es fcil deducir de (2) que la funcin es montona decreciente ya que al aumentar x aumenta el denominador mantenindose constante el numerador.
El bosquejo grfico ser entonces como el indicado.
(x)
dv
O x
La grfica nos confirma la impresin que habamos obtenido en la parte i).
c) Recuerda que 1m/seg = 3.6 Km / h v = 72 Km / h = 20 m / seg d = 100m .
Tendremos entonces en x = 0 (0) =segrad 20.
10020
dv
vv.d
2 ===
x = 50 (50)=segrad 10. 6,1
50100100.20. 2
2222+=+ xd
dv
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d) Como x = v.t , sustituyendo en (1) obtienes:
222 .tvdv.d(t) += (3)
e) Derivando respecto de t la expresin anterior
( )
+== 22222
.tvd.t2vv.d.
dtd
( ) 2222 3 .tvd .d.t2v+=
Si : x = 0 t = 0 = 0 x =50 t = 2.5 seg = - 2.56 . 10-2 2seg
rad
El signo de menos en la aceleracin angular indica que la velocidad angular
disminuye como puede deducirse de (3) observando que al aumentar t aumenta el
denominador mantenindose constante el numerador.
Ejercicio No. 11
a) Como la relacin entre q y p es:
031pp2.q.q 22 = (1)
si p = 9 U$S q2 6.q 112 = 0
Resolviendo la ecuacin obtenemos q = 14 unidades.
( La otra raz q = - 8 no tiene significado prctico ).
b) Como el precio p vara en el tiempo , q ser consecuentemente funcin del
tiempo.
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Se te pide calcular la rapidez de variacin de la demanda , o sea expresada dtdq
en semana
unidades de miles cuando el precio es de 9 U$S.
La tasa de variacin del precio por semana es constante e igual a 0.20 U$S.
En consecuencia semana
U$S 0.20dtdp = .
Derivemos la relacin (1) respecto del tiempo.
0dtdp2.p.
dtdp.
p2.1q.p.
dtdq2
dtdqq.2 =
+
( )dtdp2
pq
dtdq.p2-2q
= p
Sustituyendo valores: ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0.0.29.49
14dtdq92.14.2
=
Finalmente, despejando obtienes : semana
unidades miles 206.0dtdq
Habr entonces un incremento de 206 unidades demandadas .
Ejercicio No. 12
El volumen del tronco de cono al cual asimilamos la cantidad de madera que puede
extraerse del rbol , es:
( )22 rR.rR .h.31V ++= (1)
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Deseamos calcular dtdV , siendo h , R y r funciones del tiempo t.
Derivemos entonces la relacin (1) que se cumple t 0.
Obtenemos:
( ) ++++++= dtdr2.r.dtdrR.dtdRr.dtdR2R.h.rr.RR.dtdh.3dtdV 22 Sustituyendo los valores dados: h=4 m =400 cm , R=90 cm , r= 60 cm ,
aocm 10
dtdr ,
aocm 15
dtdR ,
aocm 25
dtdh === resulta:
aom 2,83.2,71
3dtdV 3=
Ejercicio No. 13
Como la concentracin C es funcin de la poblacin p y sta es funcin del tiempo
t, resulta ser C funcin compuesta de t.
Debes calcular la derivada de la concentracin respecto del tiempo, para lo cual
podemos previamente hallar la funcin compuesta y luego derivar.
Tendremos entonces:
( ) 1720,1.t3,1C(t)
2++= .
( )( ) 17
2.1,01,3.2
.2,0..011,3.222
2
+++=
t
ttdtdC
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Sustituyendo t por su valor 3 y operando resulta: ( )ao
p.p.m. 40,23dtdC .
Puedes resolver este ejercicio sin necesidad de encontrar la funcin compuesta como
hicimos lneas arriba.
Para ello basta partir de la relacin 172
pC(p)2+= (1) y tener en cuenta
que p(t)=3,1+ 0,1. t2 (2)
Derivando (1) y (2) respecto de t obtienes:
dtdp
172
p2.
pdtdC
2+
= (3) y t0.2dtdp =
Para =3 : p = 4 , 0.6dtdp = .
Sustituyendo estos valores en (3) reencontramos .ao
p.p
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