aplicaciones de la derivada

ANA COLO HERRERA HECTOR PATRITTI

APLICACIONES DE LA DERIVADA

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PARA LOS CURSOS DE MATEMATICA DE LOS BACHILLERATOS TECNOLGICOS DEL C.E.T.P.

APLICACIONES DE LA

DERIVADA

Ejercicios resueltos PROF. ANA COLO HERRERA PROF. HECTOR PATRITTI


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DERECHOS RESERVADOS POR LOS AUTORES Esta publicacin no puede ser reproducida en todo o en parte, ni archivada o trasmitida por ningn medio electrnico , mecnico , de grabacin, de fotocopia, de microfilmacin o en otra forma, sin el previo conocimiento de los autores. Publicacin inscrita en la Biblioteca Nacional el 5 de enero del 2004 en el Libro No.29 con el No.232 habindose realizado los aportes legales correspondientes segn Art.7 de la ley No. 9739 sobre derechos de autor. Email: [email protected] [email protected]: 7120680 Montevideo -Uruguay


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Aplicaciones de la Derivada

CONTENIDO

Pginas

Prlogo ........................................................................... 1 - 4

Areas , Permetros y Volmenes .................................. 5

Frmulas Trigonomtricas .............................................. 6 - 7

Tabla de Derivadas ........................................................ 8 - 9

Seleccin de definiciones y teoremas ............................. 11 - 14

Captulo 1

1 1 Introduccin ....................................................... 17 - 23

1 2 Enunciados de ejercicios .................................... 25 - 39

1 3 Resoluciones de ejercicios .................................. 41 - 79

Captulo 2

2 1 Introduccin ........................................................ 83 - 88

2 2 Enunciados de ejercicios ..................................... 89 - 124

2 3 Resoluciones de ejercicios .................................. 125 - 219

Apndice

Unidades y equivalencias ............................................... 223

Ejercicios sugeridos ....................................................... 227

Bibliografa ..................................................................... 229

Ana Col Herrera Hctor Patritti


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PROLOGO

Ana Col Herrera Hctor Patritti 1


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Aplicaciones de la Derivada Prlogo -

AL ESTUDIANTE

La presente publicacin tiene por objetivo poner a tu disposicin una amplia

serie de ejercicios , con sus correspondientes resoluciones , relativos a la aplicacin

del concepto de Derivada a problemas de las distintas disciplinas que involucran los

Bachilleratos Tecnolgicos en sus diferentes orientaciones.

Partimos de la base de que ests familiarizado con los conceptos tericos

correspondientes a Funciones de Variable Real que tu docente del curso ha

desarrollado respecto al concepto de Derivada.

Al comienzo de la publicacin encontrars un resumen de los conocimientos

que debers tener presentes para resolver los problemas propuestos as como una

tabla de derivadas.

Al final de la publicacin te sugerimos aquellos ejercicios que entendemos

adecuados segn el Bachillerato que ests cursando, sin que ello signifique

naturalmente , que los restantes carezcan de inters para t.

Esperamos que si an no lo ests , llegues a convencerte de la importancia

relevante que el concepto de Derivada tiene en la resolucin de problemas relativos

a la tecnologa en sus distintas disciplinas.

La publicacin est dividida en dos Captulos.

El Captulo1 se refiere a la derivada como ndice matemtico que expresa la tasa de

variacin instantnea o rapidez de variacin instantnea de una funcin y consta de

veinticuatro ejercicios.

El Captulo 2 est dedicado a problemas de Optimizacin y consta de sesenta

ejercicios.

Los enunciados de algunos de estos ejercicios corresponden a conocidos

problemas que seguramente encontrars en distintos textos de Matemtica pero que

han sido modificados y/o adaptados por los autores a los cursos de los Bachilleratos

Tecnolgicos.

Otros son creacin de los autores.

El enunciado del ejercicio No. 54 corresponde al ejercicio No.18 , pgina 317 del

libro Clculo de James Stewart que ha sido includo por considerar que se trata de

una interesante muestra de aplicacin de los conceptos que estamos manejando



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Aplicaciones de la Derivada Prlogo -

en una disciplina aparentemente alejada de la que t has elegido

Las resoluciones de todos los ejercicios propuestos en la publicacin son de

exclusiva responsabilidad de los autores.

Deseamos hacerte una precisin respecto de la notacin utilizada en la

resolucin de los ejercicios.

De las distintas notaciones que suelen utilizarse para la funcin derivada primera

de una funcin f de variable real x , a saber f , fx , dxdf

, hemos adoptado la notacin

de Leibnitz dxdf

que entendemos la ms adecuada pues explicita claramente la

variable respecto de la cual se efecta la derivacin , hecho este que en los problemas

tcnicos es absolutamente relevante.

dxdf

ser entonces la notacin para la funcin derivada primera. de la funcin f

respecto de la variable x .

( oxdxdf ) ser el valor de la funcin derivada primera en el punto xo.

2

2

dxfd

ser la notacin para la funcin derivada segunda de la funcin f respecto de

la variable x .

( o22

xdx

fd ) ser el valor de la funcin derivada segunda en el punto xo. Previo al Captulo 1 encontrars un resumen de frmulas de permetros , reas

y volmenes , un resumen de frmulas trigonomtricas , y una tabla de derivadas.

Tambin una seleccin de definiciones y teoremas que has visto en el curso terico y

que debers tener presentes para resolver los ejercicios del Captulo 1.

Si este material que ponemos a tu disposicin resulta de utilidad en tu formacin

matemtica habremos alcanzado nuestro objetivo.

LOS AUTORES



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Aplicaciones de la Derivada -

Permetros , Areas y Volmenes Tringulo

a c p = a + b + c

h A = 2

b.h

b

Rectngulo a

b p =2a + 2b

A = a.b

Hexgono

L p = 6L

a A = 2

p.a

Crculo

Long. Cfa.= 2R R A = R2

Sector circular

Long. Arco = R R A = 2R

21

Esfera Cilindro Cono

h h

R R R

A = 4R2 Atotal = 2R2 + 2Rh V= 31 R2h

V=34 R3 V= R2h



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TRIGONOMETRIA

Unidades de medida de ngulos Grados

Radianes

Equivalencia: 3600 = 2 rad. 1 rad = 0180 570 17m

Longitud de un arco de circunferencia de radio R que subtiende un

ngulo central s = R en radianes

Valores de lneas trigonomtricas de algunos ngulos especiales.

Grados 0 30 45 60 90 120 180 270 360 Radianes 0

6

4

3

2

32

23 2

sen 0 21

22

23 1

23 0 - 1 0

cos 1 23

22

21 0 -

21 - 1 0 1

tg 0 33 1 3 / - 3 0 0 /

Angulos suplementarios + = sen = sen () cos = - cos () tg = - tg ()

Angulos complementarios + = 2

sen = cos (2 - ) tg = cotg (

2 - )

Angulos opuestos

Sen (- ) = - sen cos ( - ) = cos tg (- ) = - tg



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Aplicaciones de la Derivada Angulos que difieren en

2 y en

sen ( +2 ) = cos cos ( +

2 ) = - sen tg ( +

2 ) = - cotg

sen (+ ) = - sen cos ( + ) = - cos tg (+ ) = tg Teorema del seno

c

senCb

senBa

senA == A c b Teorema del coseno B a C a2 = b2 + c2 2 b c cos A

b2 = a2 + c2 2 a c cos B

c2 = a2 + b2 2 a b cos C

Frmula fundamental

sen2x + cos2x = 1

Frmulas de suma y resta de ngulos sen ( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y

sen ( x y ) = sen x cos y cos x sen y

cos ( x + y ) = cos x cos y sen x sen y

cos ( x y ) = cos x cos y + sen x sen y

tg ( x + y ) = tgx tgy1

tgytgx

+

tg ( x y ) = tgx tgy1

tgy-tgx+

Frmulas del ngulo doble

sen 2x = 2 senx cosx cos 2x = cos2x sen2x tg 2x = x tg1

2tgx2

Frmulas del ngulo mitad

sen2x = 2

cos2x1 cos2x = 2

cos2x1+



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TABLA DE DERIVADAS

f(x) dxdf f(x)

dxdf

k 0 senx cosx

x 1 cosx - sen x

|x| sg(x) x0 tgx 1 + tg2x

xm mxm-1 Arcsenx 2x1

1

x1

2x1 Arccosx

2x1

1

x x2

1 Arctgx 211x+

3 x 3 2x 3

1 shx chx

e x e x chx shx

Lx x1

thx 1 th2x

L|x| x1

Argshx 1x

12 +

Sg(x) 0 x 0 Argchx 1x

12

ax ax La Argthx 2x-11



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DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS

(fog)(x) dx

d(fog) (fog)(x) dx

d(fog)

g(x) dxdg sen g(x) cos g.

dxdg

k.g kdxdg cos g(x) - sen g.

dxdg

|g| sg(g). dxdg tg g(x) ( 1 + tg2g ).

dxdg

gm mgm-1 dxdg Arcsen g(x)

2x1

1

dxdg

g1 2

1g

dxdg Arccos g(x)

2x1

1

dxdg

g g2

1dxdg Arctg g(x) 2g1

1+ dx

dg

3 g 3 2g3

1dxdg sh g(x) ch g(x).

dxdg

e g e g dxdg ch g(x) sh g(x).

dxdg

Lg o L|g| dxdg

g1

th g(x) (1 th2g)dxdg

hgL

dxdh

h1

dxdg

g1 Argsh g(x)

dxdg

g1

12+

a g a g.La. dxdg Argch g(x)

dxdg

1g

12

g h g h

+dxdg

ghLg

dxdh Argth g(x)

dxdg

g11

2

h e g e g

+dxdgh.

dxdh



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Aplicaciones de la Derivada Resumen -

SELECCIN DE DEFINICIONES Y TEOREMAS

Definicin de funcin derivable en un punto.

Una funcin f de variable real x con dominio D se dice derivable en un punto xo

perteneciente a D si y slo si existe y es finito , el siguiente lmite:

( ) ( )0h

hxfhxflim oo

+ h R

Al valor de dicho lmite se le llama derivada de la funcin f en el punto xo.

Teorema 1) Derivada de suma de funciones H) Si f y g son funciones derivables en xo

T) ( ) ( ) ( ) ( )ooo xdxdgx

dxdfx

dxgf d +=+

Teorema 2) Derivada del producto de funciones

H) Si f y g son funciones derivables en xo

T) ( ) ( ) ( ) ( )oooo xdxdg)f(xx

dxdfg(xo)x

dxf.g d +=

Teorema 3) Derivada del cociente de funciones

H) Si f y g son funciones derivables en xo con g (xo ) 0

T) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )o2oooo

oxg

xdxdg.xfx

dxdf.xg

xdx

gf

=

d

Teorema 4) Derivada de la funcin compuesta o regla de la cadena

H) Si g es derivable en xo y f derivable en g (xo)

T) ( ) ( ) ( )[ ] ( )ooo xdxdg . xg

dgdfx

dxg o fd =



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Aplicaciones de la Derivada Resumen -

Definiciones

Funcin creciente en un punto

Una funcin f es creciente en un punto xo si cumple:

f(x) f (xo) (semientorno izquierdo de centro x- o,xE x o y radio )

f(x) f (xo) (semientorno derecho de centro x+ o,xE x o y radio )

Funcin decreciente en un punto

Una funcin f es decreciente en el punto xo si cumple:

f(x) f(xo) - o,xE x

f(x) f(xo) + o,xE x

Mximo y mnimo relativos

f(xo) es mximo relativo en xo de la funcin f si se cumple:

f(xo) f(x) o,xE x

f(xo) es mnimo relativo en xo de la funcin f si se cumple:

f(xo) f(x) o,xE x Teorema 5) Relacin entre derivabilidad y continuidad

H) Si una funcin f es derivable en el punto xo

T) f es contnua en el punto xo

Sobre este teorema recuerda que el recproco no es vlido, es decir, existen funciones

contnuas en un punto pero no derivables en l.

Teoremas que relacionan la derivada en un punto con la variacin de la funcin en l.

Teorema 6)

H) ( ) 0xdxdf

0 >

T) f creciente en el punto xo



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Aplicaciones de la Derivada Resumen

Teorema 7) H) ( ) 0xdxdf

0 <

T) f decreciente en el punto x0

Teorema 8) H) f presenta mximo o mnimo relativo en x0

( )0xdxdf

T) ( 0xdxdf ) = 0

Respecto de este teorema debes tener presente que:

1ro) El recproco no es cierto. Puedes tener una funcin con derivada nula en un

punto x0 y la funcin no presentar en l un extremo relativo. La fig. (1) te muestra

esa posibilidad.

2do.) Una funcin puede presentar extremo relativo en un punto xo y no ser derivable

en l. La fig. (2) te ilustra uno de estos casos para una funcin contnua en x0 y la

figura (3) para una funcin discontnua en x0 .

f(x) f(x) f(x)

o x0 x o x0 x o x0 x

fig. (1) fig. (2) fig. (3)

Teoremas que relacionan la derivada segunda de una funcin con su concavidad.

Teorema 9) H) 0)(xdx

fdo2

2> T) f presenta concavidad positiva en x0

Teorema 10) H) 0)(xdx

fdo2

2< T) f presenta concavidad negativa en x0



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Aplicaciones de la Derivada Resumen

Teoremas relativos a intervalos (a , b).

Teoremas que relacionan la derivada 1ra. con la variacin de la funcin.

Teorema 11) H) b)(a, x 0dxdf > T) f creciente en (a,b)

Teorema 12) H) b)(a, x 0dxdf < T) f decreciente en (a,b)

Teorema 13) H) b)(a, x 0dx

fd2

2> T) f tiene concavidad > 0 en (a,b)

Teorema 14) H) b)(a, x 0dx

fd2

2< T) f tiene concavidad < 0 en (a,b)



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Aplicaciones de la Derivad

CAPITULO 1

)(x

dxdf

0 f(x)

y f(x0) = )(xdxdf

0 ( x x0) f(x0) 0 x0 x Demanda NEWTON

Precio )TK(A

dtdT =

1 1 Introduccin 1 2 Enunciados de ejercicios 1 3 Resolucin de ejercicios



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Aplicaciones de la Derivada Introduccin Captulo 1

INTRODUCCION

Captulo 1



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Aplicaciones de la Derivada Introduccin- Captulo 1

INTRODUCCION

En este Captulo 1 te proponemos ejercicios tratando de que valorices la

derivada de una funcin en un punto como indicador matemtico de la rapidez

instantnea de variacin o tasa instantnea de variacin de una funcin.

En distintas disciplinas como Electricidad , Electrnica , Termodinmica ,

Mecnica , Economa , Biologa , etc , resulta de importancia fundamental no slo

saber que determinada magnitud o cantidad vara respecto de otra , sino conocer cun

rpido se produce esa variacin.

Puedes imaginar numerosos ejemplos de ello que seguramente te son familiares.

Pensemos , por ejemplo , en una persona que cae a un ro cuyas aguas se encuentran

a muy baja temperatura.

Es claro que la temperatura corporal ser funcin del tiempo que la persona

permanezca en el agua y claro tambin es que la funcin ser decreciente al haber

prdida de calor del cuerpo hacia el agua tendiendo el mismo a alcanzar la

temperatura del agua dada la diferencia de masa entre ambos.

Sin embargo en este problema resulta vital conocer la rapidez de disminucin de la

temperatura del cuerpo que por cierto no es lineal.

La disminucin podra ser ms rpida al principio de la cada e ir luego

enlentecindose , ocurrir exactamente lo contrario , etc.

De toda esa informacin depender que sepamos cuanto tiempo se tiene an

disponible para salvar la vida de la persona , y esa informacin nos la dar

justamente la derivada de la funcin en cuestin.

De hecho muchas cantidades o magnitudes que conoces se definen

justamente como derivada de otra.

A ttulo de ejemplo: la rapidez instantnea de un mvil se define como la derivada

de la funcin espacio recorrido; la aceleracin como derivada de la velocidad ; la

fuerza electromotriz inducida , en Electrotecnia , como la derivada del flujo del

campo magntico, todas ellas respecto de la variable tiempo (t). El ngulo de

desplazamiento del eje de una viga , como derivada de la funcin elstica de la

viga; la intensidad de corriente elctrica como la derivada de la carga elctrica



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respecto del tiempo ; el gasto instantneo , en Hidrulica , como derivada del

volumen respecto del tiempo, etc.

Al respecto resulta importante que hayas entendido con claridad el significado de lo

que en el curso terico has llamado Interpretacin geomtrica de la derivada donde

has demostrado que la derivada de una funcin f en un punto x0 ( )(xdxdf

o )

representa el coeficiente angular de la recta tangente al grfico representativo de la

funcin en el punto ( )[ ]0 , 0 xfx Este resultado no es una mera curiosidad geomtrica sino que su alcance es

relevante.

Detengmonos en este punto para ayudarte a recordar.

Considera una funcin f de variable x. En la figura (1) tenemos parte del grfico

representativo de la funcin y sea x0 el punto del dominio que hemos elegimos para

trabajar .

f(x)

Q f(x0+h) f(x0) P R 0 x0 x0+h x fig. (1) Recuerda que llamamos punto al valor x0 y no al punto geomtrico P.

Incrementamos ahora nuestra variable x en un valor h arbitrario y pasamos al nuevo

punto x0 + h .



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El incremento h puede ser tanto positivo como negativo. En el caso de la figura lo

hemos tomado positivo movindonos en consecuencia hacia la derecha de x0.

Veamos que ha ocurrido con la funcin f.

En el punto x0 el valor funcional es f(x0) y en el punto x0 + h es f (x0 + h ).

La diferencia f (x0 + h ) - f(x0) indica en valor y signo la variacin del valor

funcional provocado por el incremento h de la variable x .

A esa diferencia se le llama incremento de la funcin en el punto x0 correspondiente

al incremento h En la figura (1) este incremento es la medida del segmento QR.

Consideremos ahora el cociente de ambos incrementos ,vale decir :

h

)f(xh) f(x oo +

A este cociente se le denomina cociente incremental en el punto x0.

Es importante que comprendas que este cociente incremental indica la rapidez

promedio de variacin de la funcin en el intervalo [ x0 , x0 + h]. Si disminumos el valor del incremento h iremos obteniendo nuevas tasas promedio

de variacin de la funcin , en general diferentes (excepto si la funcin es del tipo

f(x) = Kx en cuyo caso el cociente incremental dar siempre constante e igual a K).

Si esa sucesin de valores del cociente incremental tiene lmite finito para h 0

habremos obtenido la rapidez instantnea de variacin de la funcin en x0 .

Es al valor de ese lmite que hemos llamado derivada de la funcin en el punto x0

Desde el punto de vista grfico has visto que el cociente incremental es la tangente

trigonomtrica del ngulo QPR de vrtice P, hecho que deduces de aplicar

simplemente la definicin trigonomtrica de tangente en el tringulo PRQ y que te

permite afirmar que el valor del cociente incremental es la pendiente o coeficiente

angular de la recta PQ.

El paso al lmite que has efectuado posteriormente te permite entonces concluir que

el nmero real que has obtenido como derivada de la funcin f en el punto x0 no es

ms que el coeficiente angular de la recta tangente al grfico en el punto P.

Debes tener presente entonces que cuando calculas la derivada de una funcin f en

un punto x0 obtienes el coeficiente angular de la recta tangente al grfico de la

funcin en el punto (x0 , f(x0)) , pero la informacin que has conseguido no es



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Aplicaciones de la Derivada Introduccin- Captulo 1 meramente una informacin geomtrica.

Esta informacin te permite obtener la rapidez con que est variando la funcin en

el punto considerado.

Cuanto mayor sea el valor absoluto de la derivada en el punto , ms rpido vara la

funcin en l , y esta informacin es de vital importancia en una variedad enorme de

problemas de distintas disciplinas.

Ten presente que a la hora de resolver problemas de la realidad , aplicando modelos

funcionales , nuestras funciones f representarn magnitudes o cantidades que varan

en funcin de otras magnitudes o cantidades a las cuales representar nuestra

variable x .

Por ejemplo si ests estudiando la variacin en el tiempo de la energa E dada por un

dispositivo de algn tipo , nuestra funcin f representar la funcin energa E ,

nuestra variable x representar al tiempo t y nuestras f(x) representarn los valores

de E(t) .

Si calculas la derivada en algn instante t0 , ( )

0tdt

dE, habrs obtenido con qu

rapidez est cediendo energa el dispositivo en ese instante medida , por ejemplo ,

en hora

Caloras , si esas son las unidades con que ests trabajando , digamos , en un

problema de Termodinmica.

Esa derivada que has calculado no es otra cosa que la potencia del dispositivo en

ese instante.

Despus de definir derivada en un punto has visto el concepto de funcin derivada.

A esta nueva funcin , asociada a tu funcin original , debes concederle toda la

importancia que realmente tiene.

Supongamos que has representado grficamente cierta funcin f representativa de

cierta magnitud interviniente en un fenmeno como funcin de otra magnitud , por

ejemplo el tiempo.

La sola visualizacin de la curva te permite obtener variada informacin sobre lo

que est ocurriendo en el fenmeno.

Conocers cundo la magnitud en cuestin aumenta y entre qu instantes , cundo

disminuye , cuando se producen sus mximos y/o mnimos y cuales son sus valores.

Pero puedes obtener an ms informacin cualitativa si imaginas como van variando



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Aplicaciones de la Derivada Introduccin- Captulo 1 las pendientes de las rectas tangentes en los distintos puntos de la curva.

Podrs concluir , por ejemplo , si aumenta o disminuye la rapidez con que la

funcin aumentaba o disminua sus valores , podrs decidir eventualmente que tu

funcin aumenta cada vez ms rpido hasta cierto instante a partir del cual si bien

sigue aumentando lo hace cada vez ms lentamente ( punto de inflexin de la

grfica) o a la inversa.

Tendrs entonces un panorama mucho ms completo del desarrollo del fenmeno

con toda la informacin adicional que te permite obtener la funcin derivada.

Es claro que si obtuvieras la expresin analtica de la funcin derivada podras

obtener datos cuantitativos de todo lo anterior , incluso la representacin grfica de

la funcin derivada te permitira tener una idea rpida y ms acabada de cmo

transcurre el fenmeno en estudio.

Esperamos que todo lo dicho te haga valorar , en su justa medida , el aprender a

interpretar grficas obteniendo de ellas toda la informacin que realmente contienen.

En muchos fenmenos , incluso , no es posible obtener una expresin analtica de la

magnitud a estudiar , recurrindose entonces a instrumentos adecuados para obtener

su representacin grfica , procedindose luego a la interpretacin de la misma.

Piensa , por ejemplo , en los electrocardiogramas , sismogramas , poligramas

(polgrafo o detector de mentiras ) , etc.



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Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 La Derivada como tasa de variacin - Enunciados

LA DERIVADA COMO TASA DE

VARIACION DE UNA FUNCION

ENUNCIADOS



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Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados

Ejercicio No. 1 Qumica ( Resolucin pgina 43 )

La ley de Boyle para los gases perfectos establece que a temperatura constante

P.V=K donde P es la presin, V el volumen y K una constante.

Si la presin est dada por la expresin: P(t) = 30 + 2t con P en cm de Hg ,

t en seg ; y el volumen inicial es de 60 cm3, determina la razn de cambio del

volumen V con respecto al tiempo t a los 10 segundos.

Ejercicio No. 2 -Contaminacin - ( Resolucin pgina 44 )

Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar 100 m3 de petrleo.

.

R

R espesor

Calcula con qu rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50m

si el espesor disminuye a razn de 10horacm en el instante en que R = 50 m .

Ejercicio No. 3 - Geometra - ( Resolucin pgina 46 )

El rea de un tringulo equiltero disminuye a razn de 4 cm2 por minuto . Calcula

la rapidez de variacin de la longitud de sus lados cuando el rea es de 200 cm2.

Se supone que el tringulo se mantiene equiltero en todo instante.


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Ejercicio No. 4 Electrotecnia - ( Resolucin pgina 46 )

Sean dos resistencias R1 y R

2 conectadas en paralelo. La resistencia equivalente R

21

111RRR

+= cumple:

Si R 1 y R 2 aumentan a razn de 0.01 y 0.02 / seg. respectivamente, calcula la razn de cambio de R cuando R1 = 30 y R2 = 90 .

Ejercicio No. 5 - Hidrulica - ( Resolucin pgina 47 )

Una tolva con forma de cono recto circular invertido de radio de base R y altura H

est siendo llenada con lquido con un gasto constante Q = 0.5 m3 por minuto.

A medida que se produce el llenado el nivel del lquido en la tolva sube.

Si R=2 m y H=3m: Q

a) Crees que ese nivel sube con velocidad constante?

Justifica tu respuesta sin efectuar clculos.

b) Calcula ahora esa velocidad, verifica tu respuesta anterior

e indica el valor de la velocidad cuando la altura del lquido

en la tolva es de 1,5 m. Qu condicin crees que debera cumplir el recipiente para

que el nivel subiera a velocidad constante? Justifica mediante clculo en el caso

que el recipiente sea un cilindro recto circular.

Ejercicio No. 6 Qumica - ( Resolucin pgina 48 )

Un globo esfrico se llena con gas con un gasto constante Q = 100 litros /minuto.

Suponiendo que la presin del gas es constante , halla la velocidad con que est

aumentando el radio R del globo en el instante en que R=0.3 m.


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Ejercicio No. 7 Descarga de granos ( Resolucin pgina 49 )

La caja de un camin transportador de granos est siendo llenada con el grano

proveniente de un silo a razn de 0.5 m3 / min.

El grano forma un cono circular recto cuya

altura es constantemente igual a 5/4 del radio

de la base. Calcula:

a) A qu velocidad est subiendo el vrtice del cono cuando la altura es de 1.50 m?

b) Cul es el radio de la base del cono en ese momento y a qu velocidad est

variando?

Ejercicio No. 8 Fsica - ( Resolucin pgina 51 )

Un cuerpo que pesa 0.5 toneladas es levantado verticalmente utilizando una eslinga

de acero que pasa por una polea colocada a 20 m de altura, como indica la figura.

Un extremo se une directamente al cuerpo y el otro, ( punto A), es arrastrado por un

vehculo que se mueve hacia la derecha con velocidad v=20 km / hora y a una altura

del piso de 1.50 m. La eslinga tiene una longitud de 50 m..

20m

V

A 1.5m

Te pedimos :

a)A qu distancia del cuerpo estar el vehculo en el instante de iniciar la maniobra?

b) En cierto instante t el cuerpo se halla a cierta altura h respecto del piso y el

vehculo a cierta distancia x del cuerpo. Encuentra la relacin entre x y h.

c) Cul es la velocidad del cuerpo en el instante en que su altura es de h= 6 m?


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Ejercicio No. 9 - Fsica - ( Resolucin pgina 52 )

Un foco de luz est colocado a una altura de H metros sobre el nivel del suelo.

Una persona de altura h metros pasa por la vertical del foco movindose a velocidad

velocidad constante u m / seg .

a) Calcula la velocidad V con que se mueve el extremo A de su sombra, en funcin

de H , h y u .

b) Cul es esa velocidad si el foco luminoso est situado a 4m del nivel de la calle,

la persona mide 1.75 de altura y camina a una velocidad de 1 m / seg ?

c) Supongamos ahora que una segunda persona camina acompaando a la anterior.

Investiga si es posible que la velocidad del extremo de la sombra de esta segunda

persona sea doble de la velocidad V de la primera .

F

H

O

u A V

Ejercicio No 10 Fsica ( Resolucin pgina 54 )

Un automvil recorre una carretera rectilnea con movimiento uniforme cuya

velocidad tiene mdulo v , mientras un reflector colocado en el punto F a distancia d

de la carretera lo ilumina constantemente, para lo cual se va girando sobre un eje.

Tomando tiempo t=0 cuando el mvil pasa por el punto O y suponiendo que en un

instante posterior t aqul ha recorrido una distancia x como se indica en la figura , te

preguntamos: a) Cul es la relacin entre el ngulo y la distancia x ?


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Aplicaciones de la De

rivada - Captulo 1 - Enunciados

O x A v

d

F

b) Recordando que la velocidad angular de un movimiento circular es:

dtd =

i)Crees que el movimiento del reflector es circular uniforme? Busca una

justificacin sin realizar clculos.

ii) Encuentra la relacin entre y x , bosqueja esa relacin y verifica tu respuesta a la pregunta anterior.

c) Calcula para x =0 y x = 50 m , siendo d = 100 m y v = 72 Km / h. d) Recordando que el movimiento del vehculo es rectilneo uniforme y por tanto

x = v.t , encuentra la expresin de (t) . e) Siendo la aceleracin angular del movimiento circular = d / dt , calcula esa aceleracin para x =0 y x = 50m.

Ejercicio No. 11 Demanda ( Resolucin pgina 56 )

Una fbrica vende q miles de artculos fabricados cuando su precio es de

p U$S /unidad.

Se ha determinado que la relacin entre p y q es:

Si el precio p del artculo es de 9 U$S y se incrementa a una tasa de 0,20 U$S por

031 2q- q 22 = pp

semana , te pedimos :


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a) Calcula el nmero de artculos vendidos a 9 dlares.

b) Con qu rapidez cambia la cantidad de unidades q , vendidas por semana cuando

el precio es de 9 U$S?

Ejercicio No. 12 Forestacin ( Resolucin pgina 57 )

Para estimar la cantidad de madera que produce el tronco de un rbol se supone que

el mismo tiene la forma de cono truncado como indica la figura.

Radio r

h

Radio R

siendo: r el radio de la base superior; R el radio de la base inferior y h la altura.

Recordando que el volumen V de un tronco de cono est dado por la expresin:

V = 1 /3 ..h.( R2+R.r+r2 ) te preguntamos: Cul es la rapidez de variacin del volumen V en el momento en que: r =60cm ,

R = 90 cm y h = 15m , si el incremento de r es de 10 cm / ao, el incremento de R

es de 15 cm / ao y el de h de 25 cm / ao?

Ejercicio No.13 Contaminacin ( Resolucin pgina 58 )

Estudios realizados han permitido determinar que el nivel medio diario C de

monxido de carbono CO2 en el aire , en partes por milln (ppm) , en una ciudad ,

est relacionado con la poblacin p expresada en miles de habitantes por la siguiente


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expresin :

172

)(2

+= ppC

El aumento de poblacin en esa ciudad en t aos se estima que est dado por la

relacin siguiente: p(t) = 3,1 + 0,1 t2 en miles de habitantes.

Con qu rapidez crees que estar variando la concentracin de CO2 en esa ciudad

dentro de 3 aos?

Ejercicio No.14 Variacin de volumen ( Resolucin pgina 59 )

Un camin descarga arena formndose un montculo que tiene la forma de cono

recto circular. La altura h va variando mantenindose constantemente igual al radio r

de la base.

Cuando la altura es de 1m. ella est aumentando a razn de 25 cm / minuto.

Con qu rapidez est cambiando en ese instante el volumen V de arena?

Ejercicio No.15 Fsica ( Resolucin pgina 60 )

Un nio sostiene el manojo de hilo de una cometa a 1,50 m del suelo. La cometa se

desplaza horizontalmente a una altura de 81,5 m.

Te pedimos que calcules a qu velocidad debe el nio soltar hilo en el momento en

que la cometa est a 100m de l si la velocidad de la cometa es de 20 m / min.


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Ejercicio No. 16 - Termodinmica ( Resolucin pgina 61 )

Una bebida se saca del refrigerador a una temperatura de 100 C y se deja en una

habitacin donde la temperatura es de 250 C.

Segn la ley de enfriamiento de Newton ( calentamiento sera en este caso el trmino

apropiado) la temperatura T de la bebida variar en el tiempo de acuerdo a la

expresin:

T(t) = 25 A.e-kt con A y k constantes.

a) Sabiendo que al cabo de 20 minutos la temperatura de la bebida es de 150 C,

calcula las constantes A y k.

b) Bosqueja el grfico de la funcin T para t 0 y encuentra la expresin de la rapidez instantnea de calentamiento de la bebida.

c) Encuentra el instante en que esa rapidez es mxima y el instante en que ella es la

mitad de la mxima.

d) Cul ser la temperatura de la bebida al cabo de una hora?

Ejercicio No. 17 Electricidad ( Resolucin pgina 64 )

La carga elctrica Q que atraviesa la seccin de un conductor est dada por la

expresin:

t) cos(AQ(t) = siendo A y constantes:

a) Grafica Q en funcin de t en un perodo.

b) Recordando que la intensidad I de la corriente indica la rapidez con que vara la

carga Q que atraviesa la seccin del conductor , deduce de la grfica de la parte a)

los instantes en que I es mxima y mnima.

c) Verifica con el clculo tus respuestas a la parte anterior.

d) Calcula en qu instante la intensidad I en valor absoluto es la mitad del valor

mximo.


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Ejercicio No.18 Propagacin de epidemia - ( Resolucin pgina 66 )

Un estudio realizado durante una epidemia que se propag entre los animales del

rodeo vacuno de nuestro pas mostr que el nmero de animales afectados, t das

despus de iniciado el brote, respondi a una expresin del tipo:

K.tA.e1Nn(t) +=

N y A constantes, A>1,donde N era el nmero total de animales del rodeo nacional.

a) Demuestra que la mxima velocidad de propagacin de la enfermedad ocurri

cuando se infect la mitad del rodeo.

b) Bosqueja la funcin n para t 0 , y la funcin velocidad de propagacin V.

Ejercicio No.19 Propagacin de rumor ( Resolucin pgina 68 )

En una poblacin de P habitantes se desea estudiar la velocidad de propagacin de

un rumor.

Se adopta para ello un modelo matemtico que indica que el nmero N de personas

que en un instante t han odo el rumor puede expresarse por la relacin:

N (t )= P (1 e-K.t) con: K cte., K>0, t en horas y K en ( 1 / hora )

a) Si K=0,1 , calcula el tiempo transcurrido para que el 60% de la poblacin

conozca el rumor, y la velocidad de propagacin del mismo en ese momento.

b) Grafica N (t ) para t 0 e indica en qu momento la velocidad de propagacin del rumor es mxima.

c) Demuestra que el modelo matemtico adoptado consisti en suponer que la

velocidad de propagacin del rumor fue proporcional al nmero de personas que en

un instante t todava no lo haban odo.


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Ejercicio.20 Poblacin de bacterias ( Resolucin pgina 70 ) La poblacin P de una colonia de bacterias con espacio y alimentos ilimitados, vara

con el tiempo de acuerdo a la expresin: P(t)= C. eK.t con C y K constantes, t en horas y K en 1 / hora.

a) Si en el instante inicial t = 0 la poblacin era de 1000 bacterias y al cabo de

1 hora la misma se duplic, determina los valores de C y K.

b) Bosqueja el grfico de la funcin P, halla la velocidad v de crecimiento de la

poblacin en funcin de t y determina el instante de mnima velocidad.

c) Calcula la poblacin al cabo de 2 horas y la velocidad de crecimiento en ese

instante.

d) Demuestra que el modelo matemtico adoptado para el estudio del problema

consisti en suponer que la velocidad de crecimiento de la poblacin en un instante

fue proporcional al nmero de bacterias en ese instante.

Ejercicio No.21 Variacin de la poblacin (Resolucin pgina 71)

Un modelo matemtico para estudiar la variacin de la poblacin mundial P ha

supuesto que la misma est expresada por :

P (T) = 5.e 0.0278 t

con P en miles de millones de personas y t en aos.

En este modelo se han considerado constantes la tasa de natalidad ( nacimientos por

ao ) y de mortalidad ( defunciones por ao ).

Tomando t= 0 en el ao l987:

a) Bosqueja P como funcin de t para t 0. b) Calcula la tasa de variacin instantnea de la poblacin en el ao l987.

c) Calcula la poblacin prevista para el ao 2005 y la tasa de variacin instantnea en

ese ao.

d) En qu tiempo se duplicara la poblacin existente en 1987 y cuando alcanzara

los 15.000 millones?

e) Crees adaptado a la realidad este modelo matemtico?


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f) Demuestra que en este modelo la tasa instantnea de crecimiento en un instante t

se ha supuesto proporcional a la poblacin existente en ese instante, y que la

constante de proporcionalidad vale 0.0278.

Ejercicio No.22 Iluminacin ( Resolucin pgina 72 ) Un terreno circular de radio R se ilumina con un foco colocado en el punto A como

indica la figura. B

X u S

P V A O

C

Un mvil recorre el segmento BC con movimiento rectilneo uniforme de

velocidad u mientras su sombra S proyectada sobre el muro perimetral describe un

movimiento circular de velocidad V. (u y V , mdulos).

En un instante t cualquiera el mvil se encuentra en un punto P, siendo x la

distancia BP y s la longitud del arco BS. Recuerda que: s = R.

a) Halla la relacin entre y y calcula en funcin de x . b) Encuentra la expresin de V como funcin de x.

c) Tomando t=0 cuando el mvil pasa por el punto B , bosqueja la funcin V e

indica en qu posiciones del mvil la velocidad de la sombra es mxima y mnima

para x variando entre 0 y 2R.

d) Calcula la velocidad de la sombra cuando el mvil pasa por el punto medio del

segmento BO, e indica cul es el porcentaje de esa velocidad respecto de la velocidad

mxima.

Ejercicio No.23 Electrotecnia ( Resolucin pgina 75 ) Considera el circuito de la figura donde una tensin constante de V voltios se aplica

sobre una resistencia R () cerrando instantneamente la llave S en el instante t=0. Se establece entonces en el circuito una corriente de intensidad I en Amp. que est

expresada por la ley de OHM:


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S R

I (t) =RV V

a) Grafica I (t ) ; t 0. b) Supongamos que ahora agregamos al circuito una bobina de autoinduccin

constante , de L Henrios, y repetimos la operacin.

S L

V

R

La corriente que circula viene expresada ahora por: I(t) =

t

e1RV

= L / R en seg , I en Amp., t en seg. Al valor ( ) se le llama CONSTANTE DE TIEMPO del circuito. c) Bosqueja el grfico de I(t) , t 0 . Deduce , comparando los bosquejos de las partes a) y b) cual ha sido el efecto de

introducir la bobina en el circuito.

d) Calcula la rapidez de variacin de I(t) en t=0 y en t= . e) Cmo actuaras sobre las constantes del circuito para , sin variar el valor final de

la corriente, lograr que ella aumente sus valores ms rpidamente ?

Ejercicio No. 24 Electrotecnia ( Resolucin pgina 78 )

Considera el circuito de la figura donde un condensador cargado de capacidad C

(Faradios) y tensin inicial de V (voltios) entre sus placas, se descarga sobre una

resistencia R ().


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Al cerrar la llave S comienza a circular una corriente de intensidad I dada por la

expresin:

t

eRVI(t)

= S R

( = RC constante. de tiempo) C

a) Bosqueja I ( t )

b) Cul es el valor mximo de I ( t ) ?

c) Calcula la rapidez de variacin de I en t = 0 y t = . d) Encuentra qu porcentaje del valor mximo de I alcanza la corriente para t=. e) Cmo actuaras sobre los elementos del circuito para , sin variar el valor inicial

de la corriente, lograr que ella disminuyera sus valores ms rpidamente?


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Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 La Derivada como tasa de variacin - Resoluciones

LA DERIVADA COMO TASA DE

VARIACION DE UNA FUNCION

RESOLUCIONES



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Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resolucione

Ejercicio No.1 Se te pide en este ejercicio que determines la velocidad de cambio del volumen

respecto del tiempo en el instante t = 10 seg , o sea , el valor de la derivada dtdV

calculada en t = 10.

La idea ser entonces expresar el volumen V en funcin del tiempo t.

Por un lado la ley de Boyle establece que P.V = K y por otro conocemos como vara

la presin con el tiempo: P(t) = 30 + 2.t

Basta entonces que despejemos el volumen de la ley de Boyle y luego sustituyamos

la presin por su expresin en t. Tendremos entonces:

P(t)KV(t) =

Sustituyendo P(t) obtenemos finalmente:

2.t30

KV(t) += (1)

Derivemos (1) y hallemos su valor en t = 10

( ) ( ) 22 50210

dtdV

2.t302K

dtdV K=+=

El dato de que el volumen inicial es de 60 cm3 nos permite calcular la constante K.

En efecto, para t=0 deber ser V= 60.

Sustituyendo en (1): 60 =30K K=1800

( )segcm 44.1

2500360010

dtdV 3== El signo negativo indica disminucin.

En definitiva el gas est disminuyendo su volumen a razn de 1.44 cm3 por seg a los

10 seg. de iniciado el proceso de compresin.

Veamos otra forma de resolver el ejercicio.



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Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

Como la presin y el volumen son funciones de t la ley de Boyle establece: (1) p(t).V(t) = K t 0 Derivando ambos miembros de la igualdad (1) obtienes:

0t dtdK

dtd(p.V) =

En el primer miembro tenemos la derivada de un producto y en el segundo de una

constante, por tanto:

dtdp

pV

dtdV 0

dtdpV

dtdVp ==+ (2)

Como nos interesa el instante t=10 debemos calcular , para sustituir en la relacin

(2): V(10) , p(10) y )(10dtdp .

De p= 30 + 2.t p(10) = 50 p(0)=30

2)(tdtdp = 2)(10

dtdp =

De Boyle: p(10).V(10) =K V(10) = 50K

p(0).V(0) = K K=30.60 =1800

Haciendo la sustitucin de valores en (2) encontramos la solucin ya conocida.

segcm 1.44(10)

dtdV 3=

De esta forma se resuelve el ejercicio sin explicitar V(t).

Ejercicio No. 2

Debes hallar en este ejercicio la velocidad con que aumenta el radio R a medida que

la mancha se expande sobre la superficie del mar, en el instante en que R = 50m.

Espesor h

R =50 m



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Podramos pensar en hallar la expresin R(t) para derivarla posteriormente.

Sin embargo no se te indica como dato del problema la forma en que el espesor h

vara con el tiempo por lo que no lograremos encontrar R(t).

Debes encarar el ejercicio partiendo de la relacin entre R y h que nos proporciona el

volumen de la mancha que sabemos se mantiene constante.

Tendremos:

V = .R2.h t0 (1)

Derivemos ambos miembros de la igualdad (1) respecto de (t):

+=dtdhR.h

dtdR2R

dtdV 2 (2)

Como V es constante, es decir independiente de t , sabemos que: 0dtdV = lo que nos

permite concluir de (2) que: 0dtdhR.h

dtdR2R 2 =+

Despejando dtdR obtenemos:

dtdR =

dtdh.

2hR (3)

Como tenemos el dato de que la altura de la mancha disminuye a razn de 10 horacm

ser : hora

m 10dtdh 2=

De la relacin (1) , h= 2RV

Como V = 100 m3, R =50 m h = 04.0

50.100

2 = m

Sustituyendo valores en la ecuacin (3) se tiene finalmente:

( ) horam 25.610.

04.0.2.50

dtdR 2 ==

La velocidad con que aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50 m ,

resulta entonces cercana a los 20hora

m .



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Ejercicio No.3

Si llamamos L al lado del tringulo equiltero, siendo su altura L23h = su rea A

ser:

h (1) 2

43 LA = L

con A=A(t) y L= L(t) .

Se te pide la rapidez de variacin de la longitud de los lados por lo que debes calcular

dtdL para A = 200 cm2.

Derivando respecto de t la igualdad (1) obtenemos:

dtdL.2L.

43

dtdA = (2)

De la expresin (2) debemos despejar dtdL y sustituir

dtdA y L por sus valores

correspondientes al instante en que A = 200 cm2

De (1): 2.L43200 = L 21.5 cm y teniendo en cuenta que

dtdA = -4

min.cm2

mincm 0.21

321,5.8

dtdL

Los lados estn entonces disminuyendo sus longitudes a la velocidad calculada.

Ejercicio No.4

Como 21

21

21 RR.RRR

R1

R1

R1

+=+= siendo R , R1 y R2 funciones de t.

Derivando la ltima expresin respecto de t tendremos:

( )( )221

212121

212

1

RRdt

dRdt

dR..RRRRdt

dR.R.Rdt

dR

dtdR

+

++

+=

Operando y simplificando obtienes:



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( )'

RRdt

dR.Rdt

dR.R

dtdR

221

122

221

++

=

Siendo: 90R , 30R , seg

0.02dt

dRy seg

0.01dt

dR21

21 ====

Sustituyendo valores obtienes:

seg

68,75.10120

8100.10900.2.10dtdR 4

2

22 +=

La resistencia equivalente R est entonces aumentando con la rapidez calculada.

Ejercicio No. 5 a) La respuesta a la pregunta es NO.

Tratemos de justificarla , para lo cual supongamos dos instantes diferentes t1 y t2

dh1

dh2 h2

h1

a los cuales corresponden niveles h1 y h2 respectivamente , como indica la figura.

Consideremos intervalos de tiempos iguales dt en ambos instantes.

Los volmenes que ingresarn sern iguales por ser el gasto de entrada constante , y

ocuparn los volmenes indicados.

Los troncos de cono deben ir disminuyendo sus alturas dh a medida que h aumenta

y consecuentemente la velocidad de la superficie ir disminuyendo a medida que h

aumenta.

El clculo de la parte b) nos confirmar que la velocidad v = dtdh es una funcin

decreciente con h.



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h H

R r

b) Consideremos que el lquido , en un instante t, ocupa el volumen sombreado.

Calculemos ese volumen, que ser el volumen ingresado al recipiente en el tiempo t.

Hemos considerado t =0 en el instante en que se comienza el llenado.

Tratemos de encontrar ahora la relacin entre r y h . Para ello podemos valernos

del teorema de Thales o del clculo trigonomtrico.

R

tg =H

R.hr hr

HR ==

H r

h

El volumen ser entonces: 322

.hHR.

3V = siendo V y h funciones de t.

Derivando respecto de t la expresin anterior se obtiene:

dtdh..h

HR

dtdh..3h

3HR

dtdV 2

2

22

2

2 ==

Como Q =dtdV de la expresin anterior conclumos:

22

2

.h.RQ.H

dtdhv ==

La velocidad resulta entonces funcin decreciente de h con lo que el clculo

confirma el razonamiento de la parte anterior.

Para los valores dados tendremos:

( )min.cm16

min.m0.16

.1.5.23 0.5

dtdh

22

2==



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c) El razonamiento hecho en la parte a) del ejercicio nos conduce a afirmar que el

recipiente debera tener seccin horizontal constante. En el caso de cilindro circular

tendremos: V =.R2.h con R constante.

Derivando respecto de (t): dtdh..R

dtdV 2= H

Finalmente: constante. vRQ

dtdhv 2 ==

2R

Ejercicio No. 6

Siendo el globo esfrico de radio R su volumen V ser:

3.R.34V = (1)

Ambos , V y R son funciones del tiempo durante el inflado del globo.

Como se te pide la velocidad con que vara el radio cuando su valor es de 0.3 m,

debers hallar el valor de la derivada de R respecto del tiempo para el valor de R

indicado.

Comencemos entonces derivando la expresin (1). Tendremos:

dtdR.R4

dtdR..3R

34

dtdV 22 == (2)

El gasto de gas para el llenado es :

mindm 100

dtdVQ

3==

Sustituyendo valores en (2) obtenemos

mindm

925

.34100

R4Q

dtdR

22 === gas

El radio aumenta entonces con una velocidad cercana a 9 mincm en el instante en que

R =30 cm.



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Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 Resoluciones

Ejercicio No. 7 A medida que se produce la descarga del grano la relacin entre el radio de la base y

la altura se mantiene constante e igual a 4 / 5 por lo que los distintos conos son

semejantes. El vrtice del mismo sube verticalmente mientras que la circunferencia

base aumenta su radio horizontalmente.

a) En esta parte se te pide que calcules la velocidad con que est subiendo el vrtice.

Llamando h a la altura del cono debers calcular dtdh en el instante en que h = 1.5 m

h

R

El volumen de grano en un instante t ser :

.h.R.31V 2=

Como .h54R .R

45h == Finalmente entonces:

3.h.7516V(t) = (1) con h=h(t)

Derivando la expresin (1) respecto de t obtienes:

dtdh..h.

2516

dtdV 2= (2)

Siendo minm 0.5Q

dtdV 3== Q gasto de descarga del grano, h = 1.5 m

sustituyendo valores en (2) y despejando tendremos:

minm 44.0

8.2,25.25

dtdh =

Esta es la velocidad con que sube el vrtice del cono de grano en el instante en que

h =1.5 m.



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b) Siendo .h54R = en todo instante t , derivando esta igualdad obtenemos la

relacin entre las derivadas de R y h.

dtdh

54

dtdR =

Como se te pide la velocidad de variacin del radio en el mismo instante en que se te

pidi la velocidad de variacin de la altura , tendrs:

minm 0.35 44,.0.

54

dtdR =

El valor correspondiente del radio es:

m 20,15,1.54R ==

Ejercicio No. 8

a) Posicin inicial Deseamos calcular la distancia AB para lo cual utilizamos el teorema de Pitgoras

en el tringulo ABC. C

20m B A v 1.5m

31.5m18.550d m 5.185.120d ddd ACBC2BC

2AC

2AB =====

m 5.255.185.31 22 =ABd b) Posicin en un instante t.

C

P h B X A V

:



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Utilizando el teorema de Pitgoras en el tringulo A BC obtienes: CP = 20 h AC = 50 (20 h )= 30 + h BC = 18.5 m

X2 = ( 30 + h )2 18.52 (1)

c) Las velocidades del vehculo y del cuerpo sern respectivamente:

velocidad del vehculo: dtdXv = Velocidad del cuerpo:

dtdhV =

Derivando respecto de t la relacin (1) se obtiene:

dtdhh).2(30

dtdX2.X. += (2)

En el instante pedido se cumple:

v= 3 Km / h h = 6 m ( ) m 3118.5630X 22 += Despejando

dtdh en (2) y sustituyendo valores encontramos que:

( )h

Km 82.5dtdX

h3018.5630

dtdX.

h30X

dtdh 22 +

+=+= La velocidad con que est subiendo el cuerpo cuando su altura es de 6m es entonces

de aproximadamente 2.58 Km / h 0.7 m / seg.

Ejercicio No.9 a)

F

OC = y OA= x

H B

h sombra O C v A V

Consideremos que en un instante t la situacin es la indicada en la figura.

Deseamos calcular la velocidad V del punto A, extremo de la sombra.



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De acuerdo a las notaciones elegidas tendremos

V=dtdx v=

dtdy

Usando la semejanza de los tringulos ABC y AFO o calculando la cotangente del

ngulo concluimos que CAB

hyx

Hx = (Recuerda que tg

1gcot = )

Despejando (x): hH

H.yx = (1) Derivemos la expresin (1) respecto de t :

dtdy.

hHH

dtdx

= Finalmente entonces:

vhH

HV = (2) Como H y h son constantes la relacin anterior indica que la velocidad de la sombra

es proporcional a la de la persona y por tanto constante , con lo que el punto A se

mueve con movimiento rectilneo uniforme.

Como H> h > 0 hH

H > 1 V > v lo que explica porqu la

sombra va aumentando su longitud a medida que la persona se aleja del foco

luminoso.

b) Siendo H = 4 m h = 1.75 m v = 1 m /seg obtenemos , sustituyendo en (2):

V 1.78 m / seg. c) Para responder a la pregunta tratemos de hallar la altura h de esta segunda

persona.

Despejando h de la expresin (2) obtenemos:

=Vv1 Hh

Aplicndola a la segunda persona ser H=4 m v=1 m/seg V=2.(1.78) m/seg

H 2.88 m Parece obvio que la respuesta es que lo planteado no es posible.



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Ejercicio No. 10 a) Para hallar la relacin pedida basta que consideres el tringulo FOA y apliques

definicin de tangente.

O x A v

d

F

==dx Arctg

dx tg (1)

b) i) Tomando intervalos iguales de tiempo t la distancia x recorrida por el vehculo deber ser la misma por ser su movimiento rectilneo uniforme .

O x x x

1 2 3 F

Hemos tomado intervalos de igual longitud x y hemos indicado en la figura los ngulos correspondientes. Parece claro que se cumplir: ........321 >> lo cual nos inclinara a afirmar que debe ir disminuyendo a medida que aumenta x .

ii) Como =dt

d derivamos la expresin (1) respecto del tiempo. Recordando la derivada de la funcin Arctg obtendremos:

dtdx.

xdd

dtdx.

dx1

d1

dtd

222 +=

+=



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Teniendo en cuenta que vdtdx = obtenemos finalmente:

22 xdv.d(x) += (2)

Para bosquejar la funcin calculemos (o) =

dv lim (x) = 0

x +

Es fcil deducir de (2) que la funcin es montona decreciente ya que al aumentar x aumenta el denominador mantenindose constante el numerador.

El bosquejo grfico ser entonces como el indicado.

(x)

dv

O x

La grfica nos confirma la impresin que habamos obtenido en la parte i).

c) Recuerda que 1m/seg = 3.6 Km / h v = 72 Km / h = 20 m / seg d = 100m .

Tendremos entonces en x = 0 (0) =segrad 20.

10020

dv

vv.d

2 ===

x = 50 (50)=segrad 10. 6,1

50100100.20. 2

2222+=+ xd

dv



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d) Como x = v.t , sustituyendo en (1) obtienes:

222 .tvdv.d(t) += (3)

e) Derivando respecto de t la expresin anterior

( )

+== 22222

.tvd.t2vv.d.

dtd

( ) 2222 3 .tvd .d.t2v+=

Si : x = 0 t = 0 = 0 x =50 t = 2.5 seg = - 2.56 . 10-2 2seg

rad

El signo de menos en la aceleracin angular indica que la velocidad angular

disminuye como puede deducirse de (3) observando que al aumentar t aumenta el

denominador mantenindose constante el numerador.

Ejercicio No. 11

a) Como la relacin entre q y p es:

031pp2.q.q 22 = (1)

si p = 9 U$S q2 6.q 112 = 0

Resolviendo la ecuacin obtenemos q = 14 unidades.

( La otra raz q = - 8 no tiene significado prctico ).

b) Como el precio p vara en el tiempo , q ser consecuentemente funcin del

tiempo.



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Se te pide calcular la rapidez de variacin de la demanda , o sea expresada dtdq

en semana

unidades de miles cuando el precio es de 9 U$S.

La tasa de variacin del precio por semana es constante e igual a 0.20 U$S.

En consecuencia semana

U$S 0.20dtdp = .

Derivemos la relacin (1) respecto del tiempo.

0dtdp2.p.

dtdp.

p2.1q.p.

dtdq2

dtdqq.2 =

+

( )dtdp2

pq

dtdq.p2-2q

= p

Sustituyendo valores: ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0.0.29.49

14dtdq92.14.2

=

Finalmente, despejando obtienes : semana

unidades miles 206.0dtdq

Habr entonces un incremento de 206 unidades demandadas .

Ejercicio No. 12

El volumen del tronco de cono al cual asimilamos la cantidad de madera que puede

extraerse del rbol , es:

( )22 rR.rR .h.31V ++= (1)



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Deseamos calcular dtdV , siendo h , R y r funciones del tiempo t.

Derivemos entonces la relacin (1) que se cumple t 0.

Obtenemos:

( ) ++++++= dtdr2.r.dtdrR.dtdRr.dtdR2R.h.rr.RR.dtdh.3dtdV 22 Sustituyendo los valores dados: h=4 m =400 cm , R=90 cm , r= 60 cm ,

aocm 10

dtdr ,

aocm 15

dtdR ,

aocm 25

dtdh === resulta:

aom 2,83.2,71

3dtdV 3=

Ejercicio No. 13

Como la concentracin C es funcin de la poblacin p y sta es funcin del tiempo

t, resulta ser C funcin compuesta de t.

Debes calcular la derivada de la concentracin respecto del tiempo, para lo cual

podemos previamente hallar la funcin compuesta y luego derivar.

Tendremos entonces:

( ) 1720,1.t3,1C(t)

2++= .

( )( ) 17

2.1,01,3.2

.2,0..011,3.222

2

+++=

t

ttdtdC



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Sustituyendo t por su valor 3 y operando resulta: ( )ao

p.p.m. 40,23dtdC .

Puedes resolver este ejercicio sin necesidad de encontrar la funcin compuesta como

hicimos lneas arriba.

Para ello basta partir de la relacin 172

pC(p)2+= (1) y tener en cuenta

que p(t)=3,1+ 0,1. t2 (2)

Derivando (1) y (2) respecto de t obtienes:

dtdp

172

p2.

pdtdC

2+

= (3) y t0.2dtdp =

Para =3 : p = 4 , 0.6dtdp = .

Sustituyendo estos valores en (3) reencontramos .ao

p.p

aplicaciones de la derivada

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