análisis funcional tema 2: ejemplos de espacios...

Analisis Funcional

Tema 2: Ejemplos de espacios normados

19-20-21-26-27-28 de septiembre y 3 de octubre

1 Desigualdades

2 Dimension finita

3 Sucesiones

4 Funciones continuas

5 Espacios de Lebesgue

Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue

Desigualdad de Young

Exponente conjugado

Trabajaremos con un parametro p , pudiendo ser

p ∈ R con p > 1 , o bien p = ∞ . Escribimos 1 6 p 6 ∞

Para 1 < p < ∞ , el exponente conjugado p∗ viene dado por1p

+1p∗

Se tiene 1 < p∗ < ∞ y(

p∗)∗ = p

Para 1 < p < ∞ y a,b ∈ R+0 se tiene:

ab 6a p

b p∗

Exponente conjugado

+1p∗

p∗)∗ = p

ab 6a p

b p∗

Exponente conjugado

+1p∗

p∗)∗ = p

ab 6a p

b p∗

Exponente conjugado

+1p∗

p∗)∗ = p

ab 6a p

b p∗

Exponente conjugado

+1p∗

p∗)∗ = p

ab 6a p

b p∗

Exponente conjugado

+1p∗

p∗)∗ = p

ab 6a p

b p∗

Exponente conjugado

+1p∗

p∗)∗ = p

ab 6a p

b p∗

Exponente conjugado

+1p∗

p∗)∗ = p

ab 6a p

b p∗

Desigualdades de Holder y Minkowski

Desigualdad de Holder

Para 1 < p < ∞ , N ∈ N y a1, . . . ,aN , b1, . . . ,bN ∈ R+0 se tiene:

∑k=1

ak bk 6

∑k=1

)1/p( N

∑k=1

b p∗k

)1/p∗

Desigualdad de Minkowski

Para 1 6 p < ∞ , N ∈ N y a1, . . . ,aN , b1, . . . ,bN ∈ R+0 se tiene:( N

∑k=1

(ak +bk)p)1/p

∑k=1

ak bk 6

∑k=1

)1/p( N

∑k=1

b p∗k

)1/p∗

∑k=1

(ak +bk)p)1/p

∑k=1

ak bk 6

∑k=1

)1/p( N

∑k=1

b p∗k

)1/p∗

∑k=1

(ak +bk)p)1/p

∑k=1

ak bk 6

∑k=1

)1/p( N

∑k=1

b p∗k

)1/p∗

∑k=1

(ak +bk)p)1/p

∑k=1

ak bk 6

∑k=1

)1/p( N

∑k=1

b p∗k

)1/p∗

∑k=1

(ak +bk)p)1/p

∑k=1

ak bk 6

∑k=1

)1/p( N

∑k=1

b p∗k

)1/p∗

Para 1 6 p < ∞ , N ∈ N y a1, . . . ,aN , b1, . . . ,bN ∈ R+0 se tiene:

∑k=1

(ak +bk)p)1/p

∑k=1

ak bk 6

∑k=1

)1/p( N

∑k=1

b p∗k

)1/p∗

∑k=1

(ak +bk)p)1/p

∑k=1

Algunos espacios de Banach de dimension finita

Definiciones

N ∈ N fijo, KN espacio vectorial producto

para x ∈KN escribimos x =(

x(1),x(2), . . . ,x(N))

Para 1 6 p < ∞ definimos: ‖x‖p =( N

∑k=1

|x(k)| p)1/p

∀x ∈KN

y para p = ∞ : ‖x‖∞ = max|x(k)| : k ∈ N , k 6 N

Propiedades

Para 1 6 p 6 ∞ , la funcion ‖ · ‖p es una norma en KN

Todas las normas anteriores son equivalentes.

Para 1 6 p 6 ∞ :

‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN

La topologıa de todas ellas es la producto, o topologıa usual de KN

Todas ellas son completas

Resumen

Para N ∈ N y 1 6 p 6 ∞ , KN con la norma ‖ · ‖p es un espacio de Banach

se denota por l Np y su topologıa es la usual de KN

Definiciones

x(1),x(2), . . . ,x(N))

∑k=1

|x(k)| p)1/p

∀x ∈KN

Propiedades

Para 1 6 p 6 ∞ :

‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN

Resumen

Definiciones

x(1),x(2), . . . ,x(N))

∑k=1

|x(k)| p)1/p

∀x ∈KN

Propiedades

Para 1 6 p 6 ∞ :

‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN

Resumen

Definiciones

x(1),x(2), . . . ,x(N))

∑k=1

|x(k)| p)1/p

∀x ∈KN

Propiedades

Para 1 6 p 6 ∞ :

‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN

Resumen

Definiciones

x(1),x(2), . . . ,x(N))

∑k=1

|x(k)| p)1/p

∀x ∈KN

Propiedades

Para 1 6 p 6 ∞ :

‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN

Resumen

Definiciones

x(1),x(2), . . . ,x(N))

∑k=1

|x(k)| p)1/p

∀x ∈KN

Propiedades

Para 1 6 p 6 ∞ :

‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN

Resumen

Definiciones

x(1),x(2), . . . ,x(N))

∑k=1

|x(k)| p)1/p

∀x ∈KN

Propiedades

Para 1 6 p 6 ∞ :

‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN

Resumen

Definiciones

x(1),x(2), . . . ,x(N))

∑k=1

|x(k)| p)1/p

∀x ∈KN

Propiedades

Para 1 6 p 6 ∞ :

‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN

Resumen

Definiciones

x(1),x(2), . . . ,x(N))

∑k=1

|x(k)| p)1/p

∀x ∈KN

Propiedades

Todas las normas anteriores son equivalentes. Para 1 6 p 6 ∞ :

‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN

Resumen

Definiciones

x(1),x(2), . . . ,x(N))

∑k=1

|x(k)| p)1/p

∀x ∈KN

Propiedades

‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN

Resumen

Definiciones

x(1),x(2), . . . ,x(N))

∑k=1

|x(k)| p)1/p

∀x ∈KN

Propiedades

‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN

Resumen

Definiciones

x(1),x(2), . . . ,x(N))

∑k=1

|x(k)| p)1/p

∀x ∈KN

Propiedades

‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN

Resumen

Definiciones

x(1),x(2), . . . ,x(N))

∑k=1

|x(k)| p)1/p

∀x ∈KN

Propiedades

‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN

Resumen

Definiciones

x(1),x(2), . . . ,x(N))

∑k=1

|x(k)| p)1/p

∀x ∈KN

Propiedades

‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN

Resumen

Primeros espacios de sucesiones

El espacio de las sucesiones de escalares

KN es el espacio vectorial producto, de todas las sucesiones de escalares,

o todas las funciones de N en K , con operaciones puntuales,

es decir, para cualesquiera x,y ∈KN , λ ∈K y n ∈ N , se tiene:(x+ y

)(n) = x(n) + y(n) y

)(n) = λx(n)

Para 1 6 p < ∞ definimos: lp =

x ∈KN :∞

∑n=1

|x(n)| p < ∞

y tambien: ‖x‖p =

∑n=1

|x(n)| p)1/p

∀x ∈ lp

Los espacios lp con 1 6 p < ∞

Para 1 6 p < ∞ se tiene que lp es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p

)(n) = x(n) + y(n) y

)(n) = λx(n)

x ∈KN :∞

∑n=1

|x(n)| p < ∞

∑n=1

|x(n)| p)1/p

∀x ∈ lp

)(n) = x(n) + y(n) y

)(n) = λx(n)

x ∈KN :∞

∑n=1

|x(n)| p < ∞

∑n=1

|x(n)| p)1/p

∀x ∈ lp

)(n) = x(n) + y(n) y

)(n) = λx(n)

x ∈KN :∞

∑n=1

|x(n)| p < ∞

∑n=1

|x(n)| p)1/p

∀x ∈ lp

)(n) = x(n) + y(n) y

)(n) = λx(n)

x ∈KN :∞

∑n=1

|x(n)| p < ∞

y tambien: ‖x‖p =(

∑n=1

|x(n)| p)1/p

∀x ∈ lp

)(n) = x(n) + y(n) y

)(n) = λx(n)

x ∈KN :∞

∑n=1

|x(n)| p < ∞

∑n=1

|x(n)| p)1/p

∀x ∈ lp

)(n) = x(n) + y(n) y

)(n) = λx(n)

x ∈KN :∞

∑n=1

|x(n)| p < ∞

∑n=1

|x(n)| p)1/p

∀x ∈ lp

)(n) = x(n) + y(n) y

)(n) = λx(n)

x ∈KN :∞

∑n=1

|x(n)| p < ∞

∑n=1

|x(n)| p)1/p

∀x ∈ lp

Vectores unidad

Para n ∈ N , el n-esimo vector unidad es la sucesion en ∈KN dada por:

en(n) = 1 y en(k) = 0 ∀k ∈ N\n

en : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes

Identificacion de dos espacios normados

X , Y espacios normados. Un isomorfismo isometrico de X sobre Y es

una biyeccion lineal Φ : X → Y tal que: ‖Φ(x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X

Cuando tal Φ existe, X e Y son isometricamente isomorfos,

y entendemos que son matematicamente identicos

Ejemplo

Para N ∈ N y 1 6 p < ∞ , Lin

e1,e2, . . . ,eN

, con la norma inducida por lp ,

es isometricamente isomorfo al espacio de Banach l Np

Vectores unidad

en(n) = 1 y en(k) = 0 ∀k ∈ N\n

Ejemplo

Para N ∈ N y 1 6 p < ∞ , Lin

e1,e2, . . . ,eN

Vectores unidad

en(n) = 1 y en(k) = 0 ∀k ∈ N\n

Ejemplo

Para N ∈ N y 1 6 p < ∞ , Lin

e1,e2, . . . ,eN

Vectores unidad

en(n) = 1 y en(k) = 0 ∀k ∈ N\n

Ejemplo

Para N ∈ N y 1 6 p < ∞ , Lin

e1,e2, . . . ,eN

Vectores unidad

en(n) = 1 y en(k) = 0 ∀k ∈ N\n

Ejemplo

Para N ∈ N y 1 6 p < ∞ , Lin

e1,e2, . . . ,eN

Vectores unidad

en(n) = 1 y en(k) = 0 ∀k ∈ N\n

Ejemplo

Para N ∈ N y 1 6 p < ∞ , Lin

e1,e2, . . . ,eN

Vectores unidad

en(n) = 1 y en(k) = 0 ∀k ∈ N\n

Ejemplo

Para N ∈ N y 1 6 p < ∞ , Lin

e1,e2, . . . ,eN

Vectores unidad

en(n) = 1 y en(k) = 0 ∀k ∈ N\n

Ejemplo

Para N ∈ N y 1 6 p < ∞ , Lin

e1,e2, . . . ,eN

Vectores unidad

en(n) = 1 y en(k) = 0 ∀k ∈ N\n

Ejemplo

Para N ∈ N y 1 6 p < ∞ , Lin

e1,e2, . . . ,eN

Vectores unidad

en(n) = 1 y en(k) = 0 ∀k ∈ N\n

Ejemplo

Para N ∈ N y 1 6 p < ∞ , Lin

e1,e2, . . . ,eN

Un subespacio denso en los espacios lp

Sucesiones de soporte finito

Los vectores unidad en : n ∈ N forman una base del espacio vectorial

K(N) = Lin en : n ∈ N

El soporte de una sucesion x ∈KN es el conjunto n ∈ N : x(n) 6= 0

K(N) esta formado por las sucesiones de soporte finito

Densidad de las sucesiones de soporte finito

Para 1 6 p < ∞ , cada x ∈ lp se expresa en la forma x =∞

∑n=1

x(n)en

serie que converge en lp . Este desarrollo en serie es unico, es decir:

si x =∞

∑n=1

αn en con αn ∈K para todo n ∈ N , y la serie converge en lp ,

entonces αk = x(k) para todo k ∈ N

∑n=1

x(n)en

si x =∞

∑n=1

x(n)en

si x =∞

∑n=1

x(n)en

si x =∞

∑n=1

x(n)en

si x =∞

∑n=1

x(n)en

si x =∞

∑n=1

x(n)en

si x =∞

∑n=1

x(n)en

serie que converge en lp .

Este desarrollo en serie es unico, es decir:

si x =∞

∑n=1

x(n)en

si x =∞

∑n=1

x(n)en

si x =∞

∑n=1

Relacion entre los espacios lp

Espacios normados no completos

Para 1 6 p < ∞ se tiene:

K(N) es un subespacio denso de lp , pero K(N) 6= lp

Por tanto, K(N) es un subespacio de lp que no es cerrado

K(N) (norma inducida por lp ) es un espacio normado no completo

Dependencia del parametro p

Para 1 6 p < q < ∞ se tiene:

x ∈ lp =⇒ x ∈ lq , ‖x‖q 6 ‖x‖p

Por tanto lp ⊂ lq , pero lp 6= lqlp es un subespacio denso de lp que no es cerrado

La restriccion de ‖ · ‖q a lp es una norma no completa

‖ · ‖p y la norma inducida por lq no son equivalentes

La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por lq

Espacios normados no completos

x ∈ lp =⇒ x ∈ lq , ‖x‖q 6 ‖x‖p

Espacios normados no completosPara 1 6 p < ∞ se tiene:

x ∈ lp =⇒ x ∈ lq , ‖x‖q 6 ‖x‖p

Dependencia del parametro pPara 1 6 p < q < ∞ se tiene:

x ∈ lp =⇒ x ∈ lq , ‖x‖q 6 ‖x‖p

Por tanto lp ⊂ lq , pero lp 6= lq

lp es un subespacio denso de lp que no es cerrado

x ∈ lp =⇒ x ∈ lq , ‖x‖q 6 ‖x‖p

El espacio de las sucesiones acotadas

El espacio l∞

El espacio de todas las sucesiones acotadas de escalares

l∞ =

x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞

es un espacio de Banach, cuya norma viene dada por

‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N

∀x ∈ l∞

Sucesiones convergentes a cero

K(N), visto como subespacio de l∞ , se denota por c00

c0 es el subespacio de l∞ formado por las sucesiones convergentes a cero:

x ∈KN : lımn→∞

x(n) = 0

, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞

Desarrollos en serie en c0

Cada x ∈ c0 se expresa en la forma x =∞

∑n=1

x(n)en

serie que converge en c0 . Este desarrollo en serie es unico, es decir:

αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞

∑n=1

αn en =⇒ αk = x(k) ∀k ∈ N

El espacio l∞

El espacio de todas las sucesiones acotadas de escalares

l∞ =

x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞

‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N

∀x ∈ l∞

x(n) = 0

, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞

∑n=1

x(n)en

αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞

∑n=1

El espacio l∞El espacio de todas las sucesiones acotadas de escalares

l∞ =

x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞

‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N

∀x ∈ l∞

x(n) = 0

, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞

∑n=1

x(n)en

αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞

∑n=1

l∞ =

x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞

‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N

∀x ∈ l∞

x(n) = 0

, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞

∑n=1

x(n)en

αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞

∑n=1

l∞ =

x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞

‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N

∀x ∈ l∞

x(n) = 0

, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞

∑n=1

x(n)en

αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞

∑n=1

l∞ =

x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞

‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N

∀x ∈ l∞

x(n) = 0

, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞

∑n=1

x(n)en

αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞

∑n=1

l∞ =

x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞

‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N

∀x ∈ l∞

x(n) = 0

, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞

∑n=1

x(n)en

αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞

∑n=1

l∞ =

x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞

‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N

∀x ∈ l∞

x(n) = 0

, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞

∑n=1

x(n)en

αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞

∑n=1

l∞ =

x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞

‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N

∀x ∈ l∞

x(n) = 0

, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞

∑n=1

x(n)en

αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞

∑n=1

l∞ =

x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞

‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N

∀x ∈ l∞

x(n) = 0

, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞

∑n=1

x(n)en

serie que converge en c0 .

Este desarrollo en serie es unico, es decir:

αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞

∑n=1

l∞ =

x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞

‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N

∀x ∈ l∞

x(n) = 0

, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞

∑n=1

x(n)en

αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞

∑n=1

El espacio de las sucesiones convergentes a cero

El espacio de Banach c0

c0 es el cierre de c00 en l∞Por tanto c0 es un espacio de Banach cuya norma viene dada por

‖x‖∞ = max|x(n)| : n ∈ N

∀x ∈ c0

Relacion entre c0 y lp

x ∈ lp =⇒ x ∈ c0 , ‖x‖∞ 6 ‖x‖p

lp es un subespacio denso en c0 , pero lp 6= c0

La restriccion de ‖ · ‖∞ a lp es una norma no completa

La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por c0

‖x‖∞ = max|x(n)| : n ∈ N

∀x ∈ c0

x ∈ lp =⇒ x ∈ c0 , ‖x‖∞ 6 ‖x‖p

c0 es el cierre de c00 en l∞

Por tanto c0 es un espacio de Banach cuya norma viene dada por

‖x‖∞ = max|x(n)| : n ∈ N

∀x ∈ c0

x ∈ lp =⇒ x ∈ c0 , ‖x‖∞ 6 ‖x‖p

‖x‖∞ = max|x(n)| : n ∈ N

∀x ∈ c0

x ∈ lp =⇒ x ∈ c0 , ‖x‖∞ 6 ‖x‖p

‖x‖∞ = max|x(n)| : n ∈ N

∀x ∈ c0

x ∈ lp =⇒ x ∈ c0 , ‖x‖∞ 6 ‖x‖p

‖x‖∞ = max|x(n)| : n ∈ N

∀x ∈ c0

x ∈ lp =⇒ x ∈ c0 , ‖x‖∞ 6 ‖x‖p

‖x‖∞ = max|x(n)| : n ∈ N

∀x ∈ c0

x ∈ lp =⇒ x ∈ c0 , ‖x‖∞ 6 ‖x‖p

‖x‖∞ = max|x(n)| : n ∈ N

∀x ∈ c0

x ∈ lp =⇒ x ∈ c0 , ‖x‖∞ 6 ‖x‖p

‖x‖∞ = max|x(n)| : n ∈ N

∀x ∈ c0

x ∈ lp =⇒ x ∈ c0 , ‖x‖∞ 6 ‖x‖p

‖x‖∞ = max|x(n)| : n ∈ N

∀x ∈ c0

x ∈ lp =⇒ x ∈ c0 , ‖x‖∞ 6 ‖x‖p

Bases de Schauder en espacios de Banach

Bases de Schauder

X espacio de Banach, un ∈ X ∀n ∈ NLa sucesion un es una base de Schauder de X cuando:

Para cada x ∈ X existe una unica sucesion αn de escalares, tal que

x =∞

∑n=1

αn un , serie que converge en la topologıa de la norma de X

en es una base de Schauder de lp para 1 6 p < ∞ , y tambien de c0 ,

la base de vectores unidad de lp o de c0

Subespacio engendrado por una base de Schauder

Si un es una base de Schauder de X , entonces:

un : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes

El subespacio Y = Lin un : n ∈ N es denso en X , pero Y 6= X

un es una base algebraica de Y , pero nunca de X

Bases de Schauder

x =∞

∑n=1

Bases de Schauder

x =∞

∑n=1

Bases de Schauder

x =∞

∑n=1

Bases de Schauder

x =∞

∑n=1

Bases de Schauder

x =∞

∑n=1

Bases de Schauder

x =∞

∑n=1

Subespacio engendrado por una base de SchauderSi un es una base de Schauder de X , entonces:

Bases de Schauder

x =∞

∑n=1

Bases de Schauder

x =∞

∑n=1

Bases de Schauder

x =∞

∑n=1

Espacios separables

Espacios topologicos separables

Un espacio topologico es separable cuando

contiene un conjunto denso y numerable

Caso de un espacio metrico

Un espacio metrico es separable si, y solo si,

su topologıa tiene una base numerable

X metrico separable, Y ⊂ X =⇒ Y separable (topologıa inducida)

Caso de un espacio normado

Un espacio normado es separable si, y solo si,

contiene un subespacio denso, de dimension numerable

Espacios separables y no separables

Todo espacio de Banach con base de Schauder es separable

El recıproco es falso (Per Enflo, 1973)

l∞ no es separable

Espacios separables

Caso de un espacio metricoUn espacio metrico es separable si, y solo si,

Espacios separables

Caso de un espacio normadoUn espacio normado es separable si, y solo si,

Espacios separables

Espacios separables y no separablesTodo espacio de Banach con base de Schauder es separable

Espacios separables

Espacios de funciones acotadas

Funciones acotadas en un conjunto arbitrario

Γ 6= /0 . KΓ espacio vectorial de todas la funciones de Γ en K ,

con las operaciones puntuales: para x,y ∈KΓ y λ ∈K se tiene:(x+ y

)(γ) = x(γ) + y(γ) y

)(γ) = λx(γ) ∀γ ∈ Γ

Consideramos el subespacio de KΓ formado por las funciones acotadas:

l∞(Γ) =

x ∈KΓ : sup|x(γ)| : γ ∈ Γ< ∞

El espacio de Banach l∞(Γ)

l∞(Γ) es un espacio de Banach, con la norma dada por

‖x‖∞ = sup|x(γ)| : γ ∈ Γ

∀x ∈ l∞(Γ)

La convergencia en l∞(Γ) equivale a la convergencia uniforme en Γ

Casos particulares ya estudiados

Si Γ = N , se tiene l∞(Γ) = l∞Si Γ tiene N ∈ N elementos, entonces l∞(Γ) = l N

)(γ) = x(γ) + y(γ) y

)(γ) = λx(γ) ∀γ ∈ Γ

l∞(Γ) =

x ∈KΓ : sup|x(γ)| : γ ∈ Γ< ∞

‖x‖∞ = sup|x(γ)| : γ ∈ Γ

∀x ∈ l∞(Γ)

)(γ) = x(γ) + y(γ) y

)(γ) = λx(γ) ∀γ ∈ Γ

l∞(Γ) =

x ∈KΓ : sup|x(γ)| : γ ∈ Γ< ∞

‖x‖∞ = sup|x(γ)| : γ ∈ Γ

∀x ∈ l∞(Γ)

)(γ) = x(γ) + y(γ) y

)(γ) = λx(γ) ∀γ ∈ Γ

l∞(Γ) =

x ∈KΓ : sup|x(γ)| : γ ∈ Γ< ∞

‖x‖∞ = sup|x(γ)| : γ ∈ Γ

∀x ∈ l∞(Γ)

)(γ) = x(γ) + y(γ) y

)(γ) = λx(γ) ∀γ ∈ Γ

l∞(Γ) =

x ∈KΓ : sup|x(γ)| : γ ∈ Γ< ∞

‖x‖∞ = sup|x(γ)| : γ ∈ Γ

∀x ∈ l∞(Γ)

)(γ) = x(γ) + y(γ) y

)(γ) = λx(γ) ∀γ ∈ Γ

l∞(Γ) =

x ∈KΓ : sup|x(γ)| : γ ∈ Γ< ∞

‖x‖∞ = sup|x(γ)| : γ ∈ Γ

∀x ∈ l∞(Γ)

)(γ) = x(γ) + y(γ) y

)(γ) = λx(γ) ∀γ ∈ Γ

l∞(Γ) =

x ∈KΓ : sup|x(γ)| : γ ∈ Γ< ∞

‖x‖∞ = sup|x(γ)| : γ ∈ Γ

∀x ∈ l∞(Γ)

)(γ) = x(γ) + y(γ) y

)(γ) = λx(γ) ∀γ ∈ Γ

l∞(Γ) =

x ∈KΓ : sup|x(γ)| : γ ∈ Γ< ∞

‖x‖∞ = sup|x(γ)| : γ ∈ Γ

∀x ∈ l∞(Γ)

)(γ) = x(γ) + y(γ) y

)(γ) = λx(γ) ∀γ ∈ Γ

l∞(Γ) =

x ∈KΓ : sup|x(γ)| : γ ∈ Γ< ∞

‖x‖∞ = sup|x(γ)| : γ ∈ Γ

∀x ∈ l∞(Γ)

Casos particulares ya estudiadosSi Γ = N , se tiene l∞(Γ) = l∞

Si Γ tiene N ∈ N elementos, entonces l∞(Γ) = l N∞

)(γ) = x(γ) + y(γ) y

)(γ) = λx(γ) ∀γ ∈ Γ

l∞(Γ) =

x ∈KΓ : sup|x(γ)| : γ ∈ Γ< ∞

‖x‖∞ = sup|x(γ)| : γ ∈ Γ

∀x ∈ l∞(Γ)

Casos particulares ya estudiadosSi Γ = N , se tiene l∞(Γ) = l∞Si Γ tiene N ∈ N elementos, entonces l∞(Γ) = l N

El espacio de las funciones continuas y acotadas

Los espacios topologicos que nos interesan

Ω sera siempre un espacio topologico que supondremos

de Hausdorff: cada dos puntos distintos de Ω tienen entornos disjuntos

localmente compacto: todo punto de Ω tiene un entorno compacto

El espacio Cb(Ω) de las funciones continuas y acotadas de Ω en Kes un subespacio cerrado de l∞(Ω)

luego es un espacio de Banach cuya norma viene dada por:

‖ f‖∞ = sup| f (t)| : t ∈ Ω

∀ f ∈Cb(Ω)

‖ f‖∞ = sup| f (t)| : t ∈ Ω

∀ f ∈Cb(Ω)

‖ f‖∞ = sup| f (t)| : t ∈ Ω

∀ f ∈Cb(Ω)

‖ f‖∞ = sup| f (t)| : t ∈ Ω

∀ f ∈Cb(Ω)

‖ f‖∞ = sup| f (t)| : t ∈ Ω

∀ f ∈Cb(Ω)

‖ f‖∞ = sup| f (t)| : t ∈ Ω

∀ f ∈Cb(Ω)

El espacio de las funciones continuas y acotadasEl espacio Cb(Ω) de las funciones continuas y acotadas de Ω en K

es un subespacio cerrado de l∞(Ω)

‖ f‖∞ = sup| f (t)| : t ∈ Ω

∀ f ∈Cb(Ω)

El espacio de las funciones continuas y acotadasEl espacio Cb(Ω) de las funciones continuas y acotadas de Ω en K

es un subespacio cerrado de l∞(Ω)

‖ f‖∞ = sup| f (t)| : t ∈ Ω

∀ f ∈Cb(Ω)

Funciones continuas de soporte compacto

Soporte de una funcion

El soporte de una funcion f : Ω →K viene dado por:

sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0

Se denota por C00(Ω) al conjunto de todas las funciones

continuas de Ω en K , cuyo soporte es un subconjunto compacto de Ω

f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

C00(Ω) es un subespacio de Cb(Ω)

Abundancia de funciones continuas de soporte compacto

Si K ⊂U ⊂ Ω , donde K es compacto y U es abierto,

entonces existe ϕ ∈C00(Ω) que verifica:

sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K

sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0

f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K

sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0

f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K

sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0

f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K

sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0

f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K

sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0

f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K

sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0

f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K

sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0

f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

Abundancia de funciones continuas de soporte compactoSi K ⊂U ⊂ Ω , donde K es compacto y U es abierto,

sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K

sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0

f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K

sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0

f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K

sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0

f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K

sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0

f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K

Funciones continuas que se anulan en el infinito

Una funcion continua f : Ω →K se anula en el infinito cuando

para todo ε > 0 , el conjunto t ∈ Ω : | f (t)|> ε es compacto

continuas de Ω en K , que se anulan en el infinito

f ∈C0(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

El espacio de Banach C0(Ω)

C0(Ω) es el cierre de C00(Ω) en Cb(Ω)

En particular, C0(Ω) es un subespacio cerrado de Cb(Ω) ,luego un espacio de Banach, cuya norma viene dada por:∥∥ f

∥∥∞

= max| f (t)| : t ∈ Ω

∀ f ∈C0(Ω)

f ∈C0(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

∥∥∞

= max| f (t)| : t ∈ Ω

∀ f ∈C0(Ω)

f ∈C0(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

∥∥∞

= max| f (t)| : t ∈ Ω

∀ f ∈C0(Ω)

f ∈C0(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

∥∥∞

= max| f (t)| : t ∈ Ω

∀ f ∈C0(Ω)

f ∈C0(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

∥∥∞

= max| f (t)| : t ∈ Ω

∀ f ∈C0(Ω)

f ∈C0(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

∥∥∞

= max| f (t)| : t ∈ Ω

∀ f ∈C0(Ω)

f ∈C0(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

∥∥∞

= max| f (t)| : t ∈ Ω

∀ f ∈C0(Ω)

f ∈C0(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

∥∥∞

= max| f (t)| : t ∈ Ω

∀ f ∈C0(Ω)

f ∈C0(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

En particular, C0(Ω) es un subespacio cerrado de Cb(Ω) ,luego un espacio de Banach, cuya norma viene dada por:

∥∥ f∥∥

∞= max

| f (t)| : t ∈ Ω

∀ f ∈C0(Ω)

f ∈C0(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω

∥∥∞

= max| f (t)| : t ∈ Ω

∀ f ∈C0(Ω)

Ejemplos de espacios funciones continuas

Un caso ya conocido

N , con la topologıa discreta, es un espacio topologico

de Hausdorff, localmente compacto

Cb(N) = l∞ , C00(N) = c00 y C0(N) = c0

Caso Ω = R

Para una funcion continua f : R→K , se tiene:

f ∈C0(R) ⇐⇒ lımt→+∞

f (t) = lımt→−∞

f (t) = 0

C00(R) 6= C0(R) , luego C00(R) es un espacio normado no completo

Caso Ω = RN con N > 1

Usando la norma euclıdea en RN , para f : RN →K continua, se tiene:

f ∈C0(RN) ⇐⇒ lım

‖t‖→+∞

f (t) = 0

C00(RN)

6= C0(RN)

Un caso ya conocido

N , con la topologıa discreta, es un espacio topologico

Cb(N) = l∞ , C00(N) = c00 y C0(N) = c0

Caso Ω = R

f ∈C0(R) ⇐⇒ lımt→+∞

f (t) = 0

‖t‖→+∞

f (t) = 0

C00(RN)

6= C0(RN)

Un caso ya conocidoN , con la topologıa discreta, es un espacio topologico

Cb(N) = l∞ , C00(N) = c00 y C0(N) = c0

Caso Ω = R

f ∈C0(R) ⇐⇒ lımt→+∞

f (t) = 0

‖t‖→+∞

f (t) = 0

C00(RN)

6= C0(RN)

Cb(N) = l∞ , C00(N) = c00 y C0(N) = c0

Caso Ω = R

f ∈C0(R) ⇐⇒ lımt→+∞

f (t) = 0

‖t‖→+∞

f (t) = 0

C00(RN)

6= C0(RN)

Cb(N) = l∞ , C00(N) = c00 y C0(N) = c0

Caso Ω = R

f ∈C0(R) ⇐⇒ lımt→+∞

f (t) = 0

‖t‖→+∞

f (t) = 0

C00(RN)

6= C0(RN)

Cb(N) = l∞ , C00(N) = c00 y C0(N) = c0

Caso Ω = RPara una funcion continua f : R→K , se tiene:

f ∈C0(R) ⇐⇒ lımt→+∞

f (t) = 0

‖t‖→+∞

f (t) = 0

C00(RN)

6= C0(RN)

Cb(N) = l∞ , C00(N) = c00 y C0(N) = c0

f ∈C0(R) ⇐⇒ lımt→+∞

f (t) = 0

‖t‖→+∞

f (t) = 0

C00(RN)

6= C0(RN)

Cb(N) = l∞ , C00(N) = c00 y C0(N) = c0

f ∈C0(R) ⇐⇒ lımt→+∞

f (t) = 0

‖t‖→+∞

f (t) = 0

C00(RN)

6= C0(RN)

Cb(N) = l∞ , C00(N) = c00 y C0(N) = c0

f ∈C0(R) ⇐⇒ lımt→+∞

f (t) = 0

‖t‖→+∞

f (t) = 0

C00(RN)

6= C0(RN)

Cb(N) = l∞ , C00(N) = c00 y C0(N) = c0

f ∈C0(R) ⇐⇒ lımt→+∞

f (t) = 0

‖t‖→+∞

f (t) = 0

C00(RN)

6= C0(RN)

Funciones continuas en un compacto

Caso compacto

Si K es un espacio topologico de Hausdorff, compacto, el espacio

C(K) = C00(K) = C0(K) = Cb(K)de todas las funciones reales o complejas, continuas en K ,

es un espacio de Banach cuya norma viene dada por

‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ K

∀ f ∈C(K)

Ejemplo: K = [0,1]

En el espacio de Banach C[0,1] de todas las funciones

reales o complejas, continuas en [0,1] ,las funciones polinomicas forman un subespacio denso,

luego C[0,1] es separable

Caso compacto

Si K es un espacio topologico de Hausdorff, compacto, el espacio

‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ K

∀ f ∈C(K)

Ejemplo: K = [0,1]

Caso compactoSi K es un espacio topologico de Hausdorff, compacto, el espacio

‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ K

∀ f ∈C(K)

Ejemplo: K = [0,1]

‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ K

∀ f ∈C(K)

Ejemplo: K = [0,1]

‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ K

∀ f ∈C(K)

Ejemplo: K = [0,1]

‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ K

∀ f ∈C(K)

Ejemplo: K = [0,1]

‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ K

∀ f ∈C(K)

Ejemplo: K = [0,1]

reales o complejas, continuas en [0,1] ,

las funciones polinomicas forman un subespacio denso,

‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ K

∀ f ∈C(K)

Ejemplo: K = [0,1]

Un espacio de funciones periodicas

Funciones periodicas continuas

z ∈ C : |z|= 1

es un espacio topologico de Hausdorff, compacto

Cada funcion continua g : T→ C se puede identificar con

una funcion continua y 2π-periodica f : R→ C , mediante

f (t) = g(e i t) ∀ t ∈ R y g(z) = f (arg z) ∀z ∈ T

C(T) se puede ver como el espacio de Banach de todas las funciones

continuas y 2π-periodicas de R en C , cuya norma viene dada por

‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ R

z ∈ C : |z|= 1

‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ R

z ∈ C : |z|= 1

‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ R

z ∈ C : |z|= 1

‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ R

z ∈ C : |z|= 1

‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ R

z ∈ C : |z|= 1

‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ R

Los espacios de Lebesgue (I)

Notacion y definiciones

Fijado N ∈ N , usaremos la medida y la integral de Lebesgue en RN

Ω sera un abierto no vacıo de RN

L(Ω) sera el espacio vectorial formado por todas las

clases de equivalencia de funciones medibles de Ω en K , entendiendo que

dos funciones son equivalentes cuando coinciden casi por doquier (c.p.d.)

Para 1 6 p < ∞ definimos: Lp(Ω) =

f ∈ L(Ω) :∫

| f (t)| p dt < ∞

∥∥ f

∥∥p =

(∫Ω

| f (t)| p dt)1/p

∀ f ∈ Lp(Ω)

Primeras propiedades

Lp(Ω) es un espacio vectorial, subespacio de L(Ω)∥∥λ f∥∥

p = |λ |∥∥ f

∥∥p ∀λ ∈K , ∀ f ∈ Lp(Ω)

f ∈ Lp(Ω) ,∥∥ f

∥∥p = 0 =⇒ f = 0

f ∈ L(Ω) :∫

| f (t)| p dt < ∞

∥∥ f

∥∥p =

(∫Ω

| f (t)| p dt)1/p

∀ f ∈ Lp(Ω)

p = |λ |∥∥ f

∥∥p ∀λ ∈K , ∀ f ∈ Lp(Ω)

f ∈ Lp(Ω) ,∥∥ f

∥∥p = 0 =⇒ f = 0

f ∈ L(Ω) :∫

| f (t)| p dt < ∞

∥∥ f

∥∥p =

(∫Ω

| f (t)| p dt)1/p

∀ f ∈ Lp(Ω)

p = |λ |∥∥ f

∥∥p ∀λ ∈K , ∀ f ∈ Lp(Ω)

f ∈ Lp(Ω) ,∥∥ f

∥∥p = 0 =⇒ f = 0

f ∈ L(Ω) :∫

| f (t)| p dt < ∞

∥∥ f

∥∥p =

(∫Ω

| f (t)| p dt)1/p

∀ f ∈ Lp(Ω)

p = |λ |∥∥ f

∥∥p ∀λ ∈K , ∀ f ∈ Lp(Ω)

f ∈ Lp(Ω) ,∥∥ f

∥∥p = 0 =⇒ f = 0

f ∈ L(Ω) :∫

| f (t)| p dt < ∞

∥∥ f

∥∥p =

(∫Ω

| f (t)| p dt)1/p

∀ f ∈ Lp(Ω)

p = |λ |∥∥ f

∥∥p ∀λ ∈K , ∀ f ∈ Lp(Ω)

f ∈ Lp(Ω) ,∥∥ f

∥∥p = 0 =⇒ f = 0

f ∈ L(Ω) :∫

| f (t)| p dt < ∞

∥∥ f

∥∥p =

(∫Ω

| f (t)| p dt)1/p

∀ f ∈ Lp(Ω)

p = |λ |∥∥ f

∥∥p ∀λ ∈K , ∀ f ∈ Lp(Ω)

f ∈ Lp(Ω) ,∥∥ f

∥∥p = 0 =⇒ f = 0

f ∈ L(Ω) :∫

| f (t)| p dt < ∞

∥∥ f

∥∥p =

(∫Ω

| f (t)| p dt)1/p

∀ f ∈ Lp(Ω)

p = |λ |∥∥ f

∥∥p ∀λ ∈K , ∀ f ∈ Lp(Ω)

f ∈ Lp(Ω) ,∥∥ f

∥∥p = 0 =⇒ f = 0

f ∈ L(Ω) :∫

| f (t)| p dt < ∞

∥∥ f

∥∥p =

(∫Ω

| f (t)| p dt)1/p

∀ f ∈ Lp(Ω)

Primeras propiedadesLp(Ω) es un espacio vectorial, subespacio de L(Ω)

∥∥λ f∥∥

p = |λ |∥∥ f

∥∥p ∀λ ∈K , ∀ f ∈ Lp(Ω)

f ∈ Lp(Ω) ,∥∥ f

∥∥p = 0 =⇒ f = 0

f ∈ L(Ω) :∫

| f (t)| p dt < ∞

∥∥ f

∥∥p =

(∫Ω

| f (t)| p dt)1/p

∀ f ∈ Lp(Ω)

Primeras propiedadesLp(Ω) es un espacio vectorial, subespacio de L(Ω)∥∥λ f

∥∥p = |λ |

∥∥ f∥∥

p ∀λ ∈K , ∀ f ∈ Lp(Ω)

f ∈ Lp(Ω) ,∥∥ f

∥∥p = 0 =⇒ f = 0

f ∈ L(Ω) :∫

| f (t)| p dt < ∞

∥∥ f

∥∥p =

(∫Ω

| f (t)| p dt)1/p

∀ f ∈ Lp(Ω)

Primeras propiedadesLp(Ω) es un espacio vectorial, subespacio de L(Ω)∥∥λ f

∥∥p = |λ |

∥∥ f∥∥

p ∀λ ∈K , ∀ f ∈ Lp(Ω)

f ∈ Lp(Ω) ,∥∥ f

∥∥p = 0 =⇒ f = 0

Los espacios de Lebesgue (II)

Desigualdad integral de Holder

Para 1 < p < ∞ , f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lp∗(Ω) , se tiene:

f g ∈ L1(Ω) con∥∥ f g

∥∥1 6

∥∥ f∥∥

∥∥g∥∥

Desigualdad integral de Minkowski

Para 1 6 p < ∞ y cualesquiera f ,g ∈ Lp(Ω) se tiene:∥∥ f +g∥∥

p 6∥∥ f

∥∥p +

∥∥g∥∥

Por tanto, ‖ · ‖p es una norma en Lp(Ω)

Teorema de Riesz-Fisher

Para 1 6 p < ∞ , Lp(Ω) es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p

fn→ f en Lp(Ω) , existe una sucesion parcial

fσ(n)

, tal que

fσ(n)→ f c.p.d. en Ω

Desigualdad integral de Holder

Para 1 < p < ∞ , f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lp∗(Ω) , se tiene:

∥∥1 6

∥∥ f∥∥

∥∥g∥∥

p 6∥∥ f

∥∥p +

∥∥g∥∥

fσ(n)

, tal que

Desigualdad integral de HolderPara 1 < p < ∞ , f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lp∗(Ω) , se tiene:

∥∥1 6

∥∥ f∥∥

∥∥g∥∥

p 6∥∥ f

∥∥p +

∥∥g∥∥

fσ(n)

, tal que

∥∥1 6

∥∥ f∥∥

∥∥g∥∥

p 6∥∥ f

∥∥p +

∥∥g∥∥

fσ(n)

, tal que

∥∥1 6

∥∥ f∥∥

∥∥g∥∥

p 6∥∥ f

∥∥p +

∥∥g∥∥

fσ(n)

, tal que

∥∥1 6

∥∥ f∥∥

∥∥g∥∥

Desigualdad integral de MinkowskiPara 1 6 p < ∞ y cualesquiera f ,g ∈ Lp(Ω) se tiene:

∥∥ f +g∥∥

p 6∥∥ f

∥∥p +

∥∥g∥∥

fσ(n)

, tal que

∥∥1 6

∥∥ f∥∥

∥∥g∥∥

Desigualdad integral de MinkowskiPara 1 6 p < ∞ y cualesquiera f ,g ∈ Lp(Ω) se tiene:∥∥ f +g

∥∥p 6

∥∥ f∥∥

p +∥∥g

∥∥p

fσ(n)

, tal que

∥∥1 6

∥∥ f∥∥

∥∥g∥∥

∥∥p 6

∥∥ f∥∥

p +∥∥g

∥∥p

fσ(n)

, tal que

∥∥1 6

∥∥ f∥∥

∥∥g∥∥

∥∥p 6

∥∥ f∥∥

p +∥∥g

∥∥p

fσ(n)

, tal que

∥∥1 6

∥∥ f∥∥

∥∥g∥∥

∥∥p 6

∥∥ f∥∥

p +∥∥g

∥∥p

Teorema de Riesz-FisherPara 1 6 p < ∞ , Lp(Ω) es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p

fσ(n)

, tal que

∥∥1 6

∥∥ f∥∥

∥∥g∥∥

∥∥p 6

∥∥ f∥∥

p +∥∥g

∥∥p

fσ(n)

, tal que

fσ(n)

→ f c.p.d. en Ω

∥∥1 6

∥∥ f∥∥

∥∥g∥∥

∥∥p 6

∥∥ f∥∥

p +∥∥g

∥∥p

fσ(n)

, tal que

Subespacios densos de los espacios de Lebesgue (I)

Funciones simples integrables

Para un conjunto medible E ⊂ Ω , su funcion caracterıstica es χE ∈ L(Ω)

Para 1 6 p < ∞ se tiene: χE ∈ Lp(Ω) ⇐⇒ E tiene medida finita

Una funcion simple integrable en Ω es una combinacion lineal de

funciones caracterısticas de subconjuntos medibles de Ω , con medida finita

Primer teorema de densidad

Para 1 6 p < ∞ , las funciones simples integrables en Ω

forman un subespacio denso en Lp(Ω)

Funciones escalonadas

intervalo acotado en RN = producto cartesiano de intervalos acotados en R

Una funcion escalonada en Ω es una combinacion lineal de

funciones caracterısticas de intervalos acotados contenidos en Ω

Primer teorema de densidadPara 1 6 p < ∞ , las funciones simples integrables en Ω

Subespacios densos de los espacios de Lebesgue (II)

Segundo teorema de densidad

Para 1 6 p < ∞ , las funciones escalonadas en Ω

Como consecuencia, Lp(Ω) es separable

Si vemos cada f ∈C00(Ω) como clase de equivalencia,

se tiene f ∈ Lp(Ω) para 1 6 p < ∞ ,

luego, como espacios vectoriales, podemos entender que C00(Ω)⊂ Lp(Ω)

Tercer teorema de densidad

Para 1 6 p < ∞ , C00(Ω) es denso en Lp(Ω)

Segundo teorema de densidad

Para 1 6 p < ∞ , las funciones escalonadas en Ω

Segundo teorema de densidadPara 1 6 p < ∞ , las funciones escalonadas en Ω

Funciones esencialmente acotadas

Supremo esencial

Para ϕ ∈ L(Ω) con ϕ(t) ∈ R+0 p.c.t. t ∈ Ω se define su supremo esencial por

ess sup ϕ = mın

M ∈ R+0 ∪∞ : ϕ 6 M c.p.d.

f ∈ L(Ω) es una funcion esencialmente acotada cuando ess sup | f | < ∞ ,

es decir, cuando existe M ∈ R+0 tal que | f |6 M c.p.d.

El espacio de las funciones esencialmente acotadas:

L∞(Ω) =

f ∈ L(Ω) : ess sup | f | < ∞

‖ f‖∞ = ess sup | f | ∀ f ∈ L∞(Ω)

Supremo esencial

ess sup ϕ = mın

M ∈ R+0 ∪∞ : ϕ 6 M c.p.d.

L∞(Ω) =

f ∈ L(Ω) : ess sup | f | < ∞

‖ f‖∞ = ess sup | f | ∀ f ∈ L∞(Ω)

Supremo esencial

ess sup ϕ = mın

M ∈ R+0 ∪∞ : ϕ 6 M c.p.d.

L∞(Ω) =

f ∈ L(Ω) : ess sup | f | < ∞

‖ f‖∞ = ess sup | f | ∀ f ∈ L∞(Ω)

Supremo esencial

ess sup ϕ = mın

M ∈ R+0 ∪∞ : ϕ 6 M c.p.d.

L∞(Ω) =

f ∈ L(Ω) : ess sup | f | < ∞

‖ f‖∞ = ess sup | f | ∀ f ∈ L∞(Ω)

Supremo esencial

ess sup ϕ = mın

M ∈ R+0 ∪∞ : ϕ 6 M c.p.d.

L∞(Ω) =

f ∈ L(Ω) : ess sup | f | < ∞

‖ f‖∞ = ess sup | f | ∀ f ∈ L∞(Ω)

Supremo esencial

ess sup ϕ = mın

M ∈ R+0 ∪∞ : ϕ 6 M c.p.d.

L∞(Ω) =

f ∈ L(Ω) : ess sup | f | < ∞

‖ f‖∞ = ess sup | f | ∀ f ∈ L∞(Ω)

Supremo esencial

ess sup ϕ = mın

M ∈ R+0 ∪∞ : ϕ 6 M c.p.d.

L∞(Ω) =

f ∈ L(Ω) : ess sup | f | < ∞

‖ f‖∞ = ess sup | f | ∀ f ∈ L∞(Ω)

Supremo esencial

ess sup ϕ = mın

M ∈ R+0 ∪∞ : ϕ 6 M c.p.d.

L∞(Ω) =

f ∈ L(Ω) : ess sup | f | < ∞

‖ f‖∞ = ess sup | f | ∀ f ∈ L∞(Ω)

Supremo esencial

ess sup ϕ = mın

M ∈ R+0 ∪∞ : ϕ 6 M c.p.d.

L∞(Ω) =

f ∈ L(Ω) : ess sup | f | < ∞

‖ f‖∞ = ess sup | f | ∀ f ∈ L∞(Ω)

Un nuevo espacio de Lebesgue

El espacio L∞(Ω)

L∞(Ω) es un espacio de Banach con la norma ‖ · ‖∞

Funciones continuas y acotadas

Para cada funcion continua f : Ω →K , sea f ∈ L(Ω) su clase de equivalencia.

Entonces: f ∈Cb(Ω) ⇐⇒ f ∈ L∞(Ω), en cuyo caso:

‖ f‖∞ = ess sup | f | = sup| f (t)| : t ∈ Ω = ‖ f‖∞

Por tanto el espacio de Banach Cb(Ω) se considera como

subespacio cerrado de L∞(Ω) , con la norma inducida

El espacio L∞(Ω)

Relacion entre los espacios de Lebesgue (I)

Abiertos de medida finita

Si Ω tiene medida finita K ∈ R+ , para 1 6 p < q 6 ∞ se tiene:

f ∈ Lq(Ω) =⇒ f ∈ Lp(Ω) , ‖ f‖p 6 K(q−p)/pq‖ f‖q

entendiendo que (q− p)pq = 1/p cuando q = ∞

Caso N = 1 y Ω =]0,1[

Se puede trabajar con funciones medibles en ]0,1[ o en [0,1] ,

pues las clases de equivalencia son las mismas para ambos intervalos

Por ello, para 1 6 p 6 ∞ , se escribe Lp[0,1] en vez de Lp(]0,1[

(]0,1[

)⊂C0

(]0,1[

)⊂C[0,1]⊂Cb

(]0,1[

)⊂ L∞[0,1] ⊂ Lp[0,1]

C[0,1] es un subespacio denso en Lp[0,1] para 1 6 p < ∞

y un subespacio cerrado de L∞[0,1]

Caso N = 1 y Ω =]0,1[

(]0,1[

)⊂C0

(]0,1[

)⊂C[0,1]⊂Cb

(]0,1[

)⊂ L∞[0,1] ⊂ Lp[0,1]

Caso N = 1 y Ω =]0,1[

(]0,1[

)⊂C0

(]0,1[

)⊂C[0,1]⊂Cb

(]0,1[

)⊂ L∞[0,1] ⊂ Lp[0,1]

Caso N = 1 y Ω =]0,1[

(]0,1[

)⊂C0

(]0,1[

)⊂C[0,1]⊂Cb

(]0,1[

)⊂ L∞[0,1] ⊂ Lp[0,1]

Caso N = 1 y Ω =]0,1[

C00(]0,1[

)⊂C0

(]0,1[

)⊂C[0,1]⊂Cb

(]0,1[

)⊂ L∞[0,1] ⊂ Lp[0,1]

Caso N = 1 y Ω =]0,1[

(]0,1[

)⊂C0

(]0,1[

)⊂C[0,1]⊂Cb

(]0,1[

)⊂ L∞[0,1] ⊂ Lp[0,1]

Caso N = 1 y Ω =]0,1[

(]0,1[

)⊂C0

(]0,1[

)⊂C[0,1]⊂Cb

(]0,1[

)⊂ L∞[0,1] ⊂ Lp[0,1]

Relacion entre los espacios de Lebesgue (II)

Relacion entre los espacios Lp[0,1]

Para 1 6 p < ∞ existe f ∈ Lp[0,1] tal que

si p < q 6 ∞ , se tiene f /∈ Lq[0,1]

Por tanto, para 1 6 p < q 6 ∞ se tiene:

Lq[0,1] es un subespacio denso de Lp[0,1] , pero Lq[0,1] 6= Lp[0,1]

Lq[0,1] (norma inducida por Lp[0,1]) espacio normado no completo

La topologıa de Lq[0,1] contiene estrictamente a la inducida por Lp[0,1]

Caso N = 1 y Ω = R

Para 1 6 p 6 ∞ , existe f ∈ Lp(R) tal que

si 1 6 q 6 ∞ y q 6= p , entonces f /∈ Lq(R)

si p < q 6 ∞ , se tiene f /∈ Lq[0,1]

Caso N = 1 y Ω = R

si p < q 6 ∞ , se tiene f /∈ Lq[0,1]

Caso N = 1 y Ω = R

si p < q 6 ∞ , se tiene f /∈ Lq[0,1]

Caso N = 1 y Ω = R

si p < q 6 ∞ , se tiene f /∈ Lq[0,1]

Caso N = 1 y Ω = R

si p < q 6 ∞ , se tiene f /∈ Lq[0,1]

Caso N = 1 y Ω = R

si p < q 6 ∞ , se tiene f /∈ Lq[0,1]

Caso N = 1 y Ω = R

si p < q 6 ∞ , se tiene f /∈ Lq[0,1]

Caso N = 1 y Ω = R

si p < q 6 ∞ , se tiene f /∈ Lq[0,1]

Caso N = 1 y Ω = RPara 1 6 p 6 ∞ , existe f ∈ Lp(R) tal que

Observaciones adicionales

Dependencia del abierto con el que se trabaja

Si N ∈ N , Ω es un abierto no vacıo de RN y 1 6 p 6 ∞ ,

Lp(Ω) es isometricamente isomorfo a un subespacio cerrado de Lp(RN)

dado por:

f ∈ Lp(RN) : f (t) = 0 p.c.t. t ∈ RN \Ω

Relacion con los espacios de sucesiones

lp es isometricamente isomorfo a un subespacio cerrado de Lp(Ω)

En particular, L∞(Ω) no es separable

dado por:

f ∈ Lp(RN) : f (t) = 0 p.c.t. t ∈ RN \Ω

dado por:

f ∈ Lp(RN) : f (t) = 0 p.c.t. t ∈ RN \Ω

dado por:

f ∈ Lp(RN) : f (t) = 0 p.c.t. t ∈ RN \Ω

dado por:

f ∈ Lp(RN) : f (t) = 0 p.c.t. t ∈ RN \Ω

dado por:

f ∈ Lp(RN) : f (t) = 0 p.c.t. t ∈ RN \Ω

dado por:

f ∈ Lp(RN) : f (t) = 0 p.c.t. t ∈ RN \Ω

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