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ANÁLISIS DEL INTERFERÓMETRO DE MICHELSON PARA LA MEDICIÓN DE DEFORMACIONES EN ELEMENTOS
CARGADOS AXIALMENTE
T E S I S P R O F E S I O N A L
Q U E P A R A O B T E N E R EL T Í T U L O DE :
I N G E N I E R O E N R O B Ó T I C A I N D U S T R I A L
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CARLOS ALFONSO MENDOZA BASILIO
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AGRADECIMIENTOS
A CONACYT por el apoyo otorgado durante el desarrollo de este trabajo, sin el cual no hubiera sido posible llevarlo a cabo.
A mi familia, quienes a pesar de la distancia me dieron su apoyo incondicional y en los momentos de flaqueza siempre encontré en ellos una palabra de aliento para seguir adelante.
A mis padres, María de la Luz Basilio González y Carlos Joel Mendoza Martínez, quienes me procuraron la oportunidad de tener una formación académica y cuyas enseñanzas me dieron las armas necesarias para enfrentarme a la vida: “Aprende con el maestro, sin el maestro y a pesar del maestro”
A Luis y Liliana, quienes compartieron conmigo la niñez y muchas experiencias en mi vida que me dieron rumbo y forjaron mi carácter, y sobre todo les estoy muy agradecido por lo que son: mis hermanos.
A mi musa, por su paciencia y apoyo incondicionales durante el desarrollo de este trabajo, y principalmente por que me ha llevado a descubrir las diversas tonalidades que posee el mundo.
A mis amigos: Pechan, Lucy, Omar, Berto, Mamre, Rodrigo y algunos que tal vez omití mencionar, con quienes compartí muchas vivencias dentro y fuera del aula.
A mis maestros por el tiempo y paciencia dedicados a mi formación como ingeniero, sin los cuales este trabajo no hubiera sido posible.
A todas aquellas personas que he omitido mencionar, que en su momento fueron o que siguen siendo partícipes de mi formación tanto personal como profesional, sepan que no hay suficientes palabras para expresar mi gratitud por todo lo que han dejado en mí.
Índice general i
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
ÍNDICE GENERAL
ÍNDICE GENERAL i
ÍNDICE DE FIGURAS v
ÍNDICE DE TABLAS vii
RESUMEN viii
ABSTRACT ix
OBJETIVO GENERAL x
OBJETIVOS PARTICULARES x
JUSTIFICACIÓN xi
INTRODUCCIÓN xiv
SIMBOLOGÍA xviii
CAPÍTULO I. GENERALIDADES 1
I.1. Introducción 2
I.2. Métodos de punto por punto 3
I.2.1. Extensometría mecánica 3
I.2.2. Extensometría óptica 4
I.2.3. Extensómetros eléctricos 6
I.2.3.1. Transductor de capacidad variable 7
I.3. Métodos de campo total 9
I.3.1. Recubrimientos quebradizos 9
I.3.2. Método de franjas de moiré 10
I.3.3. Fotoelasticidad 12
Índice general ii
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
I.3.4. Interferómetros y hologramas láser 15
I.3.4.1. Interferometría 16
I.3.4.2. Interferómetro de Michelson 18
I.3.4.3. Patrones de moteado (speckle) 19
I.5. Sumario 20
I.6. Referencias 20
CAPÍTULO II. MARCO TEÓRICO 23
II.1. Tracción axial 24
II.2. Esfuerzo 25
II.2.1. Plano generalizado de esfuerzos 25
II.2.2. Estado tridimensional de esfuerzos 26
II.2.3. Esfuerzos principales 27
II.3. Círculo de Mohr 27
II.4. Deformación 28
II.5. Módulo de Young 29
II.6. Ensayo a tensión 30
II.7. Medición de desplazamientos con el interferómetro de Michelson 32
II.7.1. Generalidades 33
II.7.2. Solución de la ecuación de la onda 34
II.7.3. Superposición de ondas 35
II.7.4. Interferómetro de Michelson 37
II.8. Sumario 38
Índice general iii
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
II.9. Referencias 38
CAPÍTULO III. ANÁLISIS EXPERIMENTAL 43
III.1. Procedimiento experimental 44
III.1.1. Descripción de funcionamiento 44
III.1.2. Montaje del dispositivo 45
III.2. Desarrollo experimental 46
III.3. Obtención de datos experimentales 48
III.3.1. Descripción del experimento 48
III.4. Interpretación del desplazamiento de franjas como deformaciones
mecánicas 52
III.5. Simulación del desplazamiento equivalente a una franja en una barra a
tensión 53
III.6. Ventajas y desventajas 54
III.7. Sumario 55
III.8. Referencias 56
CAPÍTULO IV. ANÁLISIS NUMÉRICO 57
IV.1. El método del elemento finito 58
IV.1.1. Introducción 58
IV.1.2. Antecedentes históricos 58
IV.1.3. Conceptualización del método 60
Índice general iv
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
IV.1.4. Ventajas y desventajas del método 60
IV.1.5. Procedimiento a seguir empleando el método del elemento finito 61
IV.2. Desarrollo de análisis por elemento finito 61
IV.3. Sumario 67
IV.4. Referencias 67
DISCUSIÓN DE RESULTADOS 69
CONCLUSIONES 73
TRABAJOS FUTUROS 76
ANEXO A 79
Índice de figuras v
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura I.1. Cuerpo en estado de deformación 2
Figura I.2. Extensómetro mecánico 4
Figura I.3. Extensómetro de espejos de Martens 5
Figura I.4. Extensómetro sin contacto 5
Figura I.5. Ilustración de una galga extensométrica 6
Figura I.6. Galga extensométrica aplicada en un componente 7
Figura I.7. Sensor infrarrojo y de gases basado en el principio de la celda de Golay 8
Figura I.8. Método de recubrimientos quebradizos 9
Figura I.9. Componente con laca agrietada 10
Figura I.10. Método de cuadrante de moiré 10
Figura I.11. Trayectoria del rayo principal 11
Figura I.12. Patrones de colores en una prueba de fotoelasticidad 13
Figura I.13. Barra de acero con cubierta de resina fotoelástica, sometida a flexión 13
Figura I.14. Polariscopio portátil de reflexión 14
Figura I.15. Hologramas láser 16
Figura I.16. Experimento de la doble rendija de Thomas Young 17
Figura I.17. Patrón de interferencia obtenido del interferómetro de Michelson 18
Figura I.18. Generación de patrones de moteado (speckle) 19
Figura I.19. Patrón de moteado 19
Figura II.1. Probeta para ensayo a tensión 24
Figura II.2. Plano generalizado de esfuerzos 25
Figura II.3. Estado tridimensional de esfuerzos 26
Índice de figuras vi
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Figura II.4. Círculo de Mohr 28
Figura II.5. Diagrama esfuerzo-deformación 29
Figura II.6. Barra de sección uniforme sometida a tensión axial 30
Figura II.7. Estado de esfuerzos de una partícula en una barra sometida a tensión axial 31
Figura II.8. Círculo de Mohr para esfuerzos a tensión axial 32
Figura II.9. Interferencia a) constructiva y b) destructiva 35
Figura II.10. Interferómetro de Michelson 37
Figura III.1. Esquema del montaje del interferómetro de Michelson 45
Figura III.2. Patrón de franjas obtenido en el interferómetro de Michelson 46
Figura III.3. Corrimiento de una sola franja respecto al punto de referencia 47
Figura III.4. Micrómetro 48
Figura III.5. Placa base 50
Figura III.6. Patrón obtenido de la diferencia nula entre caminos ópticos 50
Figura III.7. Registro del corrimiento de franjas 51
Figura III.8. Comparativo entre a) Patrón inicial y b) patrón final 51
Figura III.9. Especificación de probetas para ensayos a tensión 53
Figura IV.1. Modelo para simulación en elementos finitos 62
Figura IV.2. Mallado del modelo 62
Figura IV.3. Empotramiento de un extremo del modelo 63
Figura IV.4. Desplazamiento especificado sobre el extremo opuesto al empotrado 64
Figura IV.5. Elongaciones sobre la sección (MN-mínimo, MX-máximo) 65
Figura IV.6. Representación de esfuerzos sobre la barra 65
Índice de tablas vii
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla I.1. Patrones de color para pruebas de fotoelasticidad 14
Tabla III.1. Medidas de probeta redonda estándar para ensayos a tensión 53
Tabla IV.1. Unidades de elongación sobre el eje z correspondientes al color en la Figura IV.6 65
Tabla IV.2. Esfuerzos sobre la barra determinados por el programa de elementos finitos 66
Tabla IV.3. Esfuerzo y desplazamiento correspondiente a cada nodo en la cara opuesta al empotramiento, determinado por el programa de elementos finitos 66
Resumen viii
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
RESUMEN
En este trabajo se desarrolla la implementación de un sistema que trabaja mediante
interferometría de luz láser para medir pequeños desplazamientos, los cuales son interpretados a
manera de deformaciones en una probeta sometida a cargas axiales, con la finalidad de difundir
las nuevas tecnologías al desarrollo de las pruebas mecánicas en nuestro país, lo que conllevaría a
una mas precisa determinación de propiedades de materiales y por ende, una mejora en el estudio
de estos.
El sistema empleado es un interferómetro de Michelson, que trabaja mediante interferometría de
luz láser. El dispositivo genera patrones de franjas, debido a que hace interferir dos haces de la
misma fuente luminosa, mediante un arreglo de espejos perpendicularmente ubicados, con un
divisor de haz al centro. Los patrones obtenidos varían respecto a las modificaciones que se
tengan en ambos caminos ópticos (cambios en el índice de refracción, variación en la longitud del
camino óptico, vibraciones, entre otros), lo cual genera una transición de franjas directamente
proporcionales a estos cambios. El sistema se mantuvo en un ambiente estable, dejando
únicamente que la variación en el patrón de franjas estuviera afectado por el cambio de la
longitud del camino óptico; dichas variaciones nos dieron una lectura de 244 nanómetros en la
transición de una franja, lo que fue determinado de forma analítica y experimental.
En el apartado numérico, se realiza la modelación de una probeta redonda estandarizada de
acuerdo a la norma ASTM A 370, de 12.5 mm de diámetro y 50 mm de longitud calibrada, a la
cual le es aplicado un desplazamiento de 244 nanómetros, con lo cual se determina la carga
necesaria para obtener dicha deformación en el elemento, la cual es de 12.21 gramos, lo que
ilustra la alta sensibilidad del sistema para la medición de deformaciones de campo completo en
el rango elástico.
Resumen ix
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
ABSTRACT
In this paper the implementation of a system that works by laser light interferometry to measure
small displacements is developed, which are interpreted as deformation in a specimen subjected
to axial loads, in order to spread new technologies to the development of mechanical tests in our
country, which leads to a more accurate determination of material properties and thus an
improvement in the study of it.
The system used is a Michelson interferometer, which works by laser light interferometry. The
device generates fringe patterns due to two beams interference in the same light source through
an arrangement of mirrors placed at right angles with a beam splitter in the center of it. The
obtained patterns vary respect to the changes in both optical paths (change in refractive index
variation in the optical path length, vibration, etc.), which generates a transition slot directly
proportional to these changes. The system remained in a stable environment, leaving only the
variation in the fringe pattern were affected by the change of optical path length, and these
changes gave us a reading of 244 nanometers in the transition of a fringe, which was determined
analytically and experimentally.
The numerical modeling is performed in a standard round specimen according to ASTM A 370
standard, 12.5 mm in diameter and 50 mm gauge length, where it is applied a shift of 244 nm,
wherewith determining the load required to obtain this deformation in the element, it gave us a
value of 12.21 grams, that illustrates the high sensitivity of measurement system for full-field
deformations of elements in the elastic range.
Objetivos x
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Objetivo
En el presente trabajo se analiza el uso de un sistema óptico con el propósito de implementarlo en
la medición de deformaciones en elementos mecánicos, el cual es un método indirecto no
invasivo con el que se pueden determinar las características mecánicas de diversos materiales. La
evaluación de la eficiencia de este sistema es analizada por métodos numéricos y analíticos.
Objetivos particulares
Para llevar a cabo el objetivo general, es necesario cumplir con una serie de metas intermedias,
las cuales se presentan a continuación:
• Comparar y analizar los diversos métodos de medición existentes.
• Analizar la relación entre las deformaciones y los esfuerzos desde el punto de vista
elástico.
• Implementar un método que minimice la afectación de las mediciones por vibraciones
mecánicas en el dispositivo.
• Evaluar las ventajas y desventajas de un sistema interferométrico en el estudio de
deformaciones y esfuerzos mecánicos.
• Dar pie al desarrollo de un sensor de deformaciones que utilice el interferómetro de
Michelson en pruebas mecánicas cuya sensibilidad sea alta.
Justificación xi
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
JUSTIFICACIÓN
Al llevar a cabo pruebas mecánicas sobre ciertos materiales, se busca obtener y/o comprobar las
propiedades mecánicas del mismo, como son el módulo de Young, la razón de Poisson, etc.
Para que un elemento mecánico sea efectivo y confiable es importante realizar ensayos con los
materiales involucrados, esto nos proporciona seguridad y eficiencia en el diseño final; el ensayo
a tracción es uno de los más empleados, donde las elongaciones van del orden del 0.1% de la
longitud total de la muestra, lo que conlleva a utilizar métodos de medición precisos, con el
propósito de plasmar las variaciones lo más apegado a la realidad, para obtener de manera exacta
el comportamiento del material y así, sus propiedades.
Una de las tareas primordiales en el diseño mecánico es la evaluación de la integridad estructural
de diversos componentes mecánicos. A nivel ingeniería, esto puede realizarse experimental o
numéricamente. En el primer caso, se puede emplear técnicas puntuales (como por ejemplo
galgas extensométricas resistivas) o con técnicas de campo completo. En este último caso se
puede mencionar la fotoelasticidad.
La selección de la técnica adecuada debe considerar diversos aspectos, tales como la geometría
de la pieza estudiada y la severidad e interacción de los puntos de concentración de esfuerzos. Si
bien es cierto que la fotoelasticidad muestra estos casos, en términos generales tiende a ser una
evaluación cualitativa, ya que en el caso de grietas es difícil ubicar el centro de la franja, tal como
lo reporta Rodríguez y colaboradores [1]. Por lo tanto, se han desarrollado una gran cantidad de
trabajos para poder determinar con precisión el campo de esfuerzos, mediante programas que
complementen la evaluación experimental de los resultados.
Asimismo, la rapidez de variación de la carga es difícil evaluar, más si se tiene un campo de
esfuerzos complejo [2]. En este caso, se recomienda el uso de transductores que puedan ser
conectados a sistemas de adquisición de datos. Pero tampoco debe perderse de vista el carácter
viscoelástico de los materiales, lo cual se manifiesta en un aumento, tanto de rigidez, como de
fragilidad, al aplicarse la carga con mayor velocidad.
Justificación xii
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Por otra parte, el comportamiento de los materiales puede ser elástico, plástico o elastoplástico.
En cada uno de estos casos, se debe seguir un procedimiento adecuado para el análisis de
esfuerzos [3]. Esto también influye en la técnica de medición aplicada, ya que no es lo mismo
evaluar grandes o pequeñas deformaciones.
Tampoco debe perderse de vista que con el disminuir costos, se sigue un procedimiento híbrido
experimental-numérico. Esto es, los modelos numéricos se validan con resultados
experimentales.
De acuerdo a esto, se requiere una técnica que no perturbe al objeto de estudio y que tenga una
gran versatilidad para adaptarse a los aspectos antes mencionados. El análisis de esfuerzos con la
holografía, permite hacer este tipo de estudios, dando como resultado mediciones con gran
precisión, de ahí que en los últimos años se han enfocado una gran cantidad de recursos mediante
la aplicación de los rayos láser, óptica y mecánica para determinar la integridad estructural de
diversos componentes.
Aunado a lo anterior, es notable que para el desarrollo de sistemas mecánicos mundialmente
competitivos, se requiere proponer diseños y técnicas de caracterización a través de pruebas
experimentales sumamente sensibles, rápidas y de bajo costo; los equipos de interferometría láser
modernos son herramientas que sirven como base para el desarrollo de MicroNanotecnología con
aplicaciones potenciales en ésta y otras áreas de investigación, y que en su mayoría provienen del
extranjero. El hecho de no desarrollar investigación enfocada en estas nuevas técnicas daría lugar
a la dependencia tecnológica de nuestro país por tiempo indefinido. Con esta motivación, en este
trabajo se presenta el uso de un interferómetro tipo Michelson para la medición de
deformaciones, cuya principal ventaja es la utilización de la longitud de onda de la luz empleada
(nanómetros) como patrón para la determinación de elongaciones.
Referencias
1.- Rodríguez-Cañizo, R. G., Hernández-Gómez, L. H. y Urriolagoitia-Calderón, G., Análisis de
la interacción de grietas en placas, Revista Mexicana de Física, Vol. 51, México, pp. 5-10,
2005.
Justificación xiii
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
2.- Hernández-Gómez, L. H., Sauceda-Meza, I., Urriolagoitia-Calderón, G., Balankin, A. S.,
Susarrey, O., Evaluation of crack initiation angle under mixed mode loading at diverse strain
rates, Theoretical and Applied Fracture Mechanics, Vol. 42, pp. 53-61, Septiembre 2004.
3.- Hernández-Gómez, L. H., Urriolagoitia-Calderón, G., Urriolagoitia-Sosa, G., Sandoval-
Pineda, J. M., Merchán-Cruz, E. A. y Guardado-García, J. F., Assessment of the structural
integrity of cracked cylindrical geometries applying the EVTUBAG program, Revista Técnica
Ingeniería de la Universidad de Zulia, Vol. 32, No. 3, pp. 190-199, 2009.
Introducción xiv
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
INTRODUCCIÓN
Durante las etapas de diseño [1], resulta de vital importancia el conocimiento de las
características reales de los materiales para su correcta aplicación, dado que estas pueden ser
determinantes en la selección del mismo y pueden influir en aspectos como la ergonomía del
elemento, su costo, los tratamientos que se le darán al material entre otros.
Las características de los materiales pueden ser muy diversas incluso entre elementos de la
misma colada, por lo que no pueden ser generalizadas sus propiedades en casos en que el diseño
sea detallado o hecho con materiales de los que se desconozcan sus características.
El comportamiento mecánico de un material es el reflejo de la relación entre su respuesta o
deformación ante una fuerza o carga aplicada y de ello depende la determinación de sus
características [2, 3].
Las pruebas a realizar para examinar materiales depende en gran medida de las condiciones de
servicio en que se encuentre el elemento; hay 3 formas principales en las que podemos aplicar
cargas: tensión compresión y cizalladura, de las cuales la prueba a tensión es la de mayor uso.
El ensayo de tensión se utiliza para evaluar varias propiedades mecánicas de los materiales,
donde la muestra se deforma gradualmente hasta la fractura, con cargas aplicadas axialmente.
Durante la aplicación de cargas, en el material se producen elongaciones en dirección de las
fuerzas (deformaciones), las cuales tienen un vínculo directo con las fuerzas internas del material
(esfuerzos), que es donde radica la importancia de esta prueba, debido a que con estas variables
es posible determinar el módulo de elasticidad, el limite elástico, la resistencia máxima a la
tensión, el porcentaje de elongación y el porcentaje de reducción de área [2].
Los métodos para determinar los esfuerzos principalmente se basan en la medición de las cargas
aplicadas respecto a la elongación del material, pero estas deformaciones muchas veces son del
orden del 0.1% de la longitud total de la probeta, los que da principal importancia al sistema
utilizado para determinarlas.
Introducción xv
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Existen diversos métodos de medición de deformaciones pero actualmente el uso de los láseres
ha tenido un importante impacto debido a sus muy diversas formas de aplicarse.
En el caso de la interferometría, han sido propuestos diferentes métodos para determinar
propiedades y perturbaciones físicas que muchas veces requieren de fuentes de luz de muy alta
intensidad [4, 5, 6, 7, 8], materiales sensores con muy alta sensibilidad de respuesta [9, 10, 11,
12, 13, 14] o métodos sofisticados de modulación y detección [8, 15, 16, 17]; sin embargo, para
el caso específico del interferómetro de Michelson, puede emplearse la longitud de onda de un
láser de baja intensidad pero con muy alta estabilidad como patrón de referencia para la
determinación de desplazamientos, lo cual indica una precisión muy alta que puede bien
representar el comportamiento real de un material.
La precisión del método de medición de deformaciones juega un papel importante, ya que al ser
mayor de su exactitud, también lo será la representación del comportamiento del material, lo cual
hará una representación más apegada a la realidad sobre el material estudiado.
Referencias
1.- Norton, R. L., Diseño de Máquinas, Ed. Prentice Hall, México, pp. 1-5, 1999.
2.- Gere, J. G., y Goodno, B. J., Mecánica de Materiales, Séptima Edición, Ed. Cengage
Learning, México, pp. 3-27, 2009.
3.- Catalunya, Univesitat Politècnica de. Servei de Biblioteques i Documentació, Extraído el 14
de Abril de 2010 de http://hdl.handle.net/2099.1/3257, 2004.
4.- Torres-Torres, C. y Khomenko, A. V., Autodifracción vectorial de dos ondas degeneradas en
medios con efecto Kerr óptico, Revista Mexicana de Física, Vol. 51, No.2, pp. 162-167,
2005.
5.- Torres-Torres, C., Khomenko, A. V., Cheang-Wong, J. C., Crespo-Sosa, A.; Rodríguez-
Fernández, L., y Oliver, A., Absorptive and refractive nonlinearities by four wave mixing in
Au nanoparticles in ion-implanted silica, Optics Express, Vol. 15, pp. 9248-9253, 2007.
6.- Torres-Torres, C., Reyes-Esqueda, J. A., Cheang-Wong, J. C., Crespo-Sosa, A., Rodríguez-
Fernández, L., y Oliver, A., Optical third order nonlinearity by nanosecond and picosecond
Introducción xvi
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
pulses in Cu nanoparticles in ion-implanted silica, Journal of Applied Physics, Vol. 104, No.
014306, 2008.
7.- Torres-Torres, C., López-Suárez, A., Tamayo-Rivera, L., Rangel-Rojo, R., Crespo-Sosa, A.,
Alonso, J. C. y Alonso, A., Thermo-optic effect and optical third order nonlinearity in nc-Si
embedded in a silicon-nitride film, Optics Express, Vol. 16, No. 22, pp. 18390-18398, 2008.
8.- Torres-Torres, J. A. y Boullosa, R. R. Influence of the bridge on the vibration of the top plate
of a classical guitar, , Applied Acoustics, Vol. 70, pp. 1371-1377, 2009.
9.- Khomenko, A. V. y Torres-Torres, C., Optical Kerr effect in photorefractive Bi12SiO20
crystal, No. 4, Vol. 49, Journal of Physics of Ukrania, Naukova Dumka, Ukraine, pp. 371-
377, 2004.
10.- Reyes-Esqueda, J. A., Torres-Torres, C., Cheang-Wong, J. C., Crespo-Sosa, A., Rodríguez-
Fernández, L., Noguez, C. y Oliver, A., Large optical birefringence by anisotropic silver
nanocomposites, Optics Express, No. 2, Vol. 16, pp. 710-717, 2008.
11.- López-Suárez, A., Torres-Torres, C., Rangel-Rojo, R., Reyes-Esqueda, J. A., Santana, G.,
Ortíz, A., Alonso, J. C. y Oliver, A., Modification of the nonlinear optical absorption and
optical Kerr response exhibited by nc-Si embedded in a silicon-nitride film, Optics Express,
Vol. 17, No. 10056, 2009.
12.- Rodríguez-Iglesias, V., Silva-Pereyra, H. G., Torres-Torres, C., Reyes-Esqueda, J. A.,
Cheang-Wong, J. C., Crespo-Sosa, A., Rodríguez-Fernández, L., López-Suárez, A. y Oliver,
A., Large and anisotropic third-order nonlinear optical response from anisotropy-controlled
metallic nanocomposites, Optics Communications, Vol. 282, pp. 4157-4161, 2009.
13.- Reyes-Esqueda, J. A., Rodríguez-Iglesias, V., Silva-Pereyra, H. G., Torres-Torres, C.,
Santiago-Ramírez, A. L., Cheang-Wong, J. C., Crespo-Sosa, A., Rodríguez-Fernández, L.,
López-Suárez, A. y Oliver, A. Anisotropic linear and nonlinear optical properties from
anisotropy-controlled metallic nanocomposites, Optics Express, No. 12849, Vol. 17, 2009.
14.- Trejo-Valdez, M., Torres-Martínez, R., Peréa-López, N., Santiago-Jacinto, P. y Torres-
Torres, C., Contribution of the two-photon absorption to the third order nonlinearity of Au
nanoparticles embedded in TiO2 films and in ethanol suspension, Journal of Physical
Chemistry C, Ed. in press, 2010.
15.- Garcia-Weidner, A., Torres-Torres, C., Khomenko, A. V. y Garcia-Zárate, M. A.,
Polarization insensitive linear intensity modulation in a Sagnac fiber-optic loop with an
Introducción xvii
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
electro-optic cell and optoelectronic feedback, Optics and lasers in engineering, Vol. 39, pp.
567-579, Junio 2003.
16.- Torres-Torres, C., Khomenko, A. V.; Tamayo-Rivera, L.; Rangel-Rojo, R.; Mao, Y.;
Watson, W. H. Measurements of nonlinear optical refraction and absorption in an amino-
triazole push-pull derivative by a vectorial self-diffraction method, Optics Communications,
Vol. 281, pp. 3369–3374, 2008.
17.- Torres-Torres, C., Trejo-Valdez, M., Sobral, H., Santiago-Jacinto, P., Reyes-Esqueda, J. A.,
Stimulated emission and optical third order nonlinearity in Li-doped ZnO nanorods, Journal
of Physical Chemistry C, No. 13515, Vol. 113, 2009.
Simbología xviii
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
SIMBOLOGÍA
P Fuerza o carga
V Carga cortante
σ Esfuerzo normal
τ Esfuerzo cortante
A Área
D Diámetro
C Centro del círculo de Mohr
R Radio del círculo de Mohr
θ Ángulo entre el plano del esfuerzo principal y el esfuerzo normal
Sy Límite de la cedencia a la tensión
ε Deformación unitaria
E Modulo de Young
ν Razón de Poisson
l Longitud a una determinada carga P
l0 Longitud inicial
δ Deformación
∆δ Incremento en la deformación
E Campo eléctrico
B Campo magnético
ε0 Permitividad del vacío
μ0 Permeabilidad del vacío
∇ Gradiente
∇2 Operador Laplaciano
λ Longitud de onda
∆φ Ángulo de desfasamiento
m Número de transiciones franja de interferencia.
d Desplazamiento
Capítulo I Generalidades
En este apartado se lleva a cabo un análisis sobre algunos métodos de medición de deformaciones aplicados a los ensayos mecánicos de materiales. Se realiza una breve descripción de su funcionamiento, así como sus principales ventajas y desventajas.
Capítulo I 2
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
I.1. Introducción
En general, en toda actividad encuadrada dentro del análisis experimental de estructuras se
pretende determinar el comportamiento resistente de un elemento o parte estructural mediante la
medida de una serie de magnitudes físicas. Estas representan, por una parte, las acciones
actuantes sobre ella, y por otra, su respuesta frente a dichas acciones exteriores [I.1].
Se supone que un cuerpo está formado por partículas pequeñas o moléculas entre las cuales
actúan fuerzas. Estas fuerzas moleculares se oponen a cambios de forma del cuerpo cuando sobre
él actúan fuerzas exteriores. Si un sistema exterior de fuerzas se aplica al cuerpo, sus partículas se
desplazan y estos desplazamientos mutuos continúan hasta que se establece equilibrio entre el
sistema exterior de fuerzas y las fuerzas interiores. Se dice en este caso que el cuerpo está en
estado de deformación (Figura I.1) [I.2].
Figura I.1. Cuerpo en estado de deformación
En el caso de pequeñas deformaciones, se comprueba que en la mayoría de los materiales, el
proceso de deformación es reversible, cuando se habla sobre el comportamiento. Asimismo se
verifica en casi en todos los materiales elásticos la proporcionalidad entre tensiones y
deformaciones (comportamiento elástico lineal) [I.3].
Capítulo I 3
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
En la zona elástica de los materiales, las tensiones son proporcionales a los alargamientos
unitarios, lo cual se conoce como la ley de Hooke, la cual es una característica de los materiales
que es determinada, principalmente, mediante pruebas a tensión. Además de que en la zona
plástica del material, pueden ser ubicados el punto de cedencia, el esfuerzo último y el punto de
ruptura del material [I.4].
Las técnicas experimentales para la determinación de esfuerzos están comprendidas en dos
grandes grupos [I.5]:
Métodos punto por punto.- Donde se miden esfuerzos o corrimientos en posiciones
seleccionadas.
Métodos de campo total.- Los cuales miden en una región determinada.
A continuación se presenta en forma detallada cada uno de los métodos utilizados para la
determinación de esfuerzos y deformaciones.
I.2. Métodos punto por punto
Dentro del grupo de determinación de esfuerzos de métodos punto por punto se encuentran las
siguientes acepciones. Probablemente los métodos aquí presentados son los más utilizados por el
sector industrial y científico.
I.2.1. Extensometría mecánica
La aplicación de la extensometría mecánica es utilizada por medio de instrumentos de medición
que evalúan el corrimiento relativo entre dos puntos, siendo la distancia entre estos dos puntos la
llamada o conocida como longitud del extensómetro [I.5-I.7].
La operación típica de este tipo de aparatos se lleva a cabo por medio de apoyarse en dos puntos
fijos de la estructura, que constituyen los extremos de longitud del extensómetro. Por lo general
la oscilación entre los puntos de referencia se encuentra entre 5 a 200 cm. Durante la aplicación
de la carga, uno de los pivotes se mantiene fijo y el otro móvil, donde este último transmite la
Capítulo I 4
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
variación de la longitud a un arreglo de engranes, el cual a su vez amplifica la lectura y la
transfiere a un indicador de aguja (Figura I.2).
Figura I.2. Extensómetro mecánico [I.6].
a) Esquema de funcionamiento, b) Extensómetro MK3
Este tipo de dispositivos mecánicos cuentan con numerosas ventajas, dentro de las cuales están la
estabilidad y portabilidad del instrumento. Asimismo, las mediciones no se ven afectadas por
factores ambientales (como ruido, la temperatura y humedad). Sin embargo, sus principales
desventajas presentan la lentitud en la adquisición de datos, la ausencia de un registro automático
de lecturas y en determinadas circunstancias, la precisión de la lectura depende en la
visualización por medio del personal que realiza el procedimiento experimental.
I.2.2. Extensometría óptica
La extensometría óptica se encuentra fundamentada en instrumentos de medición de una gran
precisión [I.8]. Este tipo de instrumentos son utilizados en ensayos experimentales que requieran
la toma de lecturas con valores de gran exactitud. Dentro de los instrumentos ópticos de
medición, el más conocido es el de espejos de Martens (Figura I.3).
a) b)
Capítulo I 5
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Los extensómetros ópticos se aplican por medio de la utilización de las leyes físicas pertinentes,
con lo que son capaces de obtener lecturas amplificadas de magnitudes pequeñas. Las mediciones
que se pretenden obtener, pueden ser deformaciones o elongaciones de los cuerpos sometidos a la
acción de agentes externos durante el periodo elástico o elasto-plástico del material.
Figura I.3. Extensómetro de espejos de Martens
Actualmente existen extensómetros ópticos que utilizan el mismo principio, con mejoras
tecnológicas muy superiores que permiten realizar las mediciones sin necesidad de hacer contacto
con la pieza ensayada y en rangos de elongaciones altas con rangos que están cerca de los 0.15
μm (Figura I.4) [I.9]. Son extensómetros de alta precisión, sin embargo, el precio de estos
equipos es alto.
Figura I.4. Extensómetro sin contacto [I.9]
Capítulo I 6
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
I.2.3. Extensómetros eléctricos
Los instrumentos de medición que utilizan la medición de la resistencia eléctrica se basan en la
medida de la variación de esta resistencia, inductancia o capacidad en un transductor para medir
eléctricamente el desplazamiento [I.10, I.11]. Un ejemplo de este tipo de instrumentos son las
galgas extensométricas, las cuales son una serie de transductores de deformación que basan su
funcionamiento en la variación de la resistencia de un hilo o lámina de material conductor en
función de su deformación (Figura I.5).
Figura I.5. Ilustración de una galga extensométrica
Las galgas extensométricas al ser aplicadas en la superficie de un componente, deben ser
instaladas con una orientación y posición previamente determinada. La orientación y posición de
la galga extensométrica influencian directamente al tipo de medición que se va a determinar.
Asimismo, la geometría de la pieza a evaluar, como la dirección en la que se requieren realizar la
medición determinará el valor de la evaluación que se desea determinar. Es muy importante hacer
notar, que la galga extensométrica estará ligada a cualquier tipo de deformación y esfuerzo que
sufra el componente a evaluar. Las mediciones que la galga extensométrica realiza, son de
carácter de variaciones de resistencia eléctrica, las cuales se pueden medir mediante un puente de
Wheatstone y son convertidas en mediciones en deformaciones unitarias. Por lo que por medio de
relaciones Matemáticas y Físicas básicas pueden ser fácilmente transformadas en deformaciones,
elongaciones y cargas. También, es muy importante comentar, por medio de la utilización de
galgas extensométricas es posible determinar una gran variedad de funciones o parámetros. Sin
embargo, la aplicación de las galgas extensométricas está fundamentada a las condiciones de la
eléctrica para su óptimo funcionamiento y aplicación es de la barra (Figura I.6).
Capítulo I 7
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Figura I.6. Galga extensométrica aplicada en un componente
Las principales ventajas de este tipo de metodologías son la sensibilidad en el equipo que se
emplea y la precisión que es posible obtener en la realización de las mediciones. Asimismo, es
relevante indicar que las mediciones están enfocadas a un solo punto en el componente, por lo
que el dato que se obtiene es un promedio del área que cubre la galga extensométrica. Además,
por medio de la utilización de las galgas extensométricas existe la posibilidad de automatizar el
proceso de toma de mediciones. Sin embargo, su principal inconveniente es su susceptibilidad en
la toma de mediciones que ocasiona el cambio de humedad del medio ambiente.
I.2.3.1. Transductor de capacidad variable
Las técnicas capacitivas, como su nombre lo indica, se basan en la medida del cambio en la
capacitancia entre dos electrodos cuando uno de ellos se desplaza o deforma debido a la fuerza
aplicada. El tamaño y geometría de los electrodos depende de la aplicación particular, pero
usualmente el sensor se compone de un condensador de dos placas paralelas. Hay diferentes
formas de medir el cambio inducido en una capacitancia [I.12].
A manera de ejemplo esta técnica se ilustra en la Figura I.7, la cual corresponde un sensor
infrarrojo miniaturizado basado en el principio de la celda de Golay desarrollado en la
Universidad de Osaka, Japón. A la izquierda aparecen los niveles de los que consta este prototipo
y a la derecha se ve la sección transversal del dispositivo. El sensor consta de una cámara de gas
y un capacitor plano paralelo [I.12].
Capítulo I 8
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Figura I.7. Sensor infrarrojo y de gases basado en el principio de la celda de Golay [I.13]
Los transductores de capacidad variable ofrecen, sobre los demás tipos de componentes de
medición, la ventaja de simplicidad mecánica en el funcionamiento. En cambio, el circuito de
medición que utilizan es mucho más complicado, debido principalmente a su elevada
impedancia. La impedancia que se utiliza es considerablemente más alta, en relación a la que
ofrecen la mayoría de instrumentos comerciales indicadores o registradores. Esta elevada
impedancia da lugar también a dificultades asociadas al movimiento de los conductores o al
acercamiento de personas [I.5].
I.3. Métodos de campo total
Estos métodos determinan las deformaciones o corrimientos de una zona calibrada, generalmente
de una probeta o modelo del mismo material que la pieza a analizar, sometida a cargas para la
obtención de datos que proporcionen información sobre su comportamiento real.
Capítulo I 9
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
I.3.1. Recubrimientos quebradizos
Este tipo de técnica para la medición, consiste principalmente en recubrir la pieza que se quiere
evaluar mediante un barniz con características especiales [I.15, I.16]. El barniz al tiempo de
secarse acompañará a la pieza en cualquier tipo de deformación superficial que esta pueda sufrir.
La medición se realiza por medio de observar en desarrollo y crecimiento de las grietas que se
presentan en la capa de barniz y proporcionará la información necesaria sobre el estado de
deformación en los puntos específicos de la superficie del componente que se está ensayando
(Figura I.8).
Figura I.8. Método de recubrimientos quebradizos
El espesor del recubrimiento del barniz suele variar de entre 0.10 a 0.15 mm. En el desarrollo
teórico de este método, se admiten las hipótesis de que el barniz al ser aplicado no disminuye la
capacidad de deformación de la pieza y que el estado de deformación superficial de ésta se
manifiesta de forma idéntica con el barniz en la superficie.
El valor necesario de la deformación para originar uno de estos agrietamientos, depende en gran
medida de la composición de la laca que se utiliza y de las condiciones en las que se aplicó dicho
compuesto. En la actualidad, se disponen de lacas destinadas a romperse a deformaciones
unitarias de valor de 5x10-5. El método resulta muy adecuado para un análisis cualitativo, ya que
se ve afectada por variaciones pequeñas de la temperatura, humedad u otras variables que se
escapan del dominio del experimentador (Figura I.9).
Capítulo I 10
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Figura I.9. Componente con laca agrietada
I.3.2. Método de franjas de moiré
El método de franjas de moiré está fundamentado en la medición de superficies. A la superficie
de un componente se fija una reja consistente en barras y rendijas paralelas equidistantes de
constante de reja p (líneas/unidad de longitud).
Sobre la superficie se proyecta o coloca una reja de referencia igual a la anterior. Si son paralelas
las rejas de referencia y modelo, y coinciden las barras de ambas, cuando se deforma la reja
modelo perpendicularmente a las barras aparecerán bandas obscuras que corresponden a aquellas
posiciones en las cuales las rendijas de la reja de referencia quedan oscurecidas por las barras de
la reja deformada (Figura I.10) [I.3, I.5, I.17, I.18, I.19].
Figura I.10. Método de cuadrante de moiré [I.20]
Capítulo I 11
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Los patrones moiré pueden ser definidos como la superposición de dos ondas planas en ángulo
entre sus direcciones de propagación. En las regiones en que las dos ondas están en fase, ocurre
una interferencia constructiva, resultando en franjas claras y donde ellas están fuera de fase se
generan franjas oscuras, debido a la interferencia destructiva [I.21].
Debido a la capacidad de este método a la variación de su sensibilidad, puede ser empleado en la
medición de grandes deformaciones; esto se logra variando el arreglo de las líneas de
interferencia y empleando el procesamiento digital de los patrones de interferencia. La cantidad
de franjas de interferencia que se pueden emplear depende directamente del sistema de detección
de las mismas, dado que no se puede exceder la capacidad del mismo.
Los errores de perspectiva o de paralaje afectan de manera significativa sobre este método, por lo
que se recomienda el uso de sistemas telecéntricos (Figura I.11).
La Figura I.11 muestra la trayectoria del rayo principal (rojo) en dos sistemas formados por un
diafragma y una lente.
Figura I.11. Trayectoria del rayo principal: a) sistema telecéntrico; b) sistema no telecéntrico
Capítulo I 12
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
La Figura I.11a corresponde a un sistema telecéntrico, mientras que la Figura I.11b corresponde a
uno que no lo es. En el caso del sistema telecéntrico el rayo principal, a la salida del sistema, es
paralelo al eje, lo que significa que dicho rayo intersectará a la pantalla donde se capta la imagen
siempre a la misma altura aunque no esté siempre perfectamente enfocada [I.22].
Cuando el sistema no es telecéntrico (Figura I.11b), el rayo principal a la salida del sistema no es
paralelo al eje. En consecuencia, una variación en la posición de la pantalla donde se capta la
imagen comporta una variación de enfoque y una variación en el tamaño de la imagen [I.22].
Concretamente los sistemas telecéntricos son un arreglo de lentes en los cuales todos los rayos
incidentes son colimados, con lo cual los elementos pueden ser observados del mismo tamaño,
independientemente de la posición del punto de observación.
I.3.3. Fotoelasticidad
La técnica experimental conocida como fotoelasticidad proporciona información sobre los
niveles de esfuerzo presentes en los materiales, sobre todo cuando se trata de un análisis de
concentración de esfuerzos [I.23 - I.26].
El principio básico de la fotoelasticidad se debe al descubrimiento efectuado por David Brewster
en 1816. Utilizando una pieza de vidrio cargada y haciendo pasar a través del vidrio luz
polarizada, observó que aparecía un contorno coloreado causado por las tensiones presentes en la
pieza.
Existen dos maneras de realizar las pruebas de fotoelasticidad: por transmisión y por reflexión; en
el primero, se utiliza un modelo transparente de caras planas paralelas entre sí, que reproduce el
cuerpo en estudio o uno a escala, sometiéndole en su contorno a un sistema de fuerzas paralelas a
las caras planas del modelo, que se rige por las leyes de semejanza respecto al sólido real (Figura
I.12).
Capítulo I 13
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Cuando se observa a través del polariscopio, los esfuerzos a los que se encuentra sometida la
pieza se muestran en una distribución de colores, cada uno de los cuales corresponde a un valor
de la Tabla I.1.
Figura I.12. Patrones de colores en una prueba de fotoelasticidad
El segundo método es el de fotoelasticidad por reflexión. Con este método no es necesario
construir un modelo de la parte que se desea analizar, ya que es la misma pieza la que se utiliza.
Sobre ella y en la zona que interese se adhiere una capa delgada de material birrefringente
(Figura I.13).
Figura I.13. Barra de acero con cubierta de resina fotoelástica, sometida a flexión
El método necesita utilizar un polariscopio especial de reflexión (Figura I.14) que permite
observar los fenómenos fotoelásticos, ya que el material de la pieza que analicemos será, por
regla general, opaco [I.3].
Capítulo I 14
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Figura I.14. Polariscopio portátil de reflexión
Tabla I.1. Patrones de color para pruebas de fotoelasticidad
Color Retardación relativa aprox. Orden de
franja (N) nm 10-6 in
Negro 0 0 0
Amarillo pálido 345 14 0.6
Rojo degradado 520 20 0.9
Transición rojo/azul 575 22.7 1
Azul-verde
700 28 1.22
Amarillo 800 32 1.39
Rojo-rosado 1050 42 1.82
Transición rojo/verde 1150 45.4 2
Verde 1350 53 2.35
Amarillo 1440 57 2.50
Rojo 1520 60 2.65
Transición rojo/verde 1730 68 3
Verde 1800 71 3.10
Capítulo I 15
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Como la técnica requiere la utilización de fuentes luminosas existen algunas consideraciones
ópticas. Esta técnica ha servido para determinar niveles de esfuerzo sobre distintos materiales
utilizando algunas propiedades ópticas. Es en cierta forma una herramienta alterna al uso de
extensometría, para conocer niveles de esfuerzo presentes sobre distintos elementos mecánicos.
Al trabajar con modelos a escala de los reales, se pueden obtener las distribuciones de esfuerzos a
los que estará sometido el elemento original. También es un método ideal para conocer las
distribuciones de esfuerzos en análisis de fractura, además de ser económico en cuanto a los
prototipos se refiere.
Su principal desventaja es la dificultad al maquinar los modelos, dado que el material es
susceptible a ser deformado debido al calor generado por el maquinado, lo que puede generar que
un modelo presente patrones de colores aun sin ser deformado.
I.3.4. Interferómetros y hologramas láser
Los interferómetros ópticos se emplean para medir la deformación de placas planas y pulidas y
las variaciones de espesor de modelos fotoelásticos transparentes. Recientemente se han
sustituido los focos luminosos convencionales por fuentes de luz láser, y los interferómetros
presentan ciertas ventajas sobre otros tipos.
Sobre una placa fotográfica se reproduce una figura de interferencias, llamada holograma (Figura
I.15), la cual representa la interferencia entre la luz reflejada por el cuerpo deformado y un haz de
referencia procedente del propio foco [I.27-I.29].
Capítulo I 16
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Figura I.15. Hologramas láser [I.30]
Otros sistemas permiten determinar las tensiones principales individualmente, mediante la
medida punto por punto de la diferencia de caminos ópticos con la utilización de un
interferómetro.
I.3.4.1. Interferometría
La interferometría óptica es una técnica basada en la naturaleza ondulatoria originada por la
superposición de haces de luz. Este tipo de técnica permite realizar medidas precisas de las
formas o de las distancias, ya que proporciona una resolución extraordinaria y no requiere una
invasión física directa con la superficie sometida a estudio [I.30].
Cabe recordar que la expresión matemática que describe la perturbación óptica es una ecuación
diferencial que obedece al principio de superposición. La interferencia óptica se puede expresar
como la interacción vectorial de dos o más ondas de luz que producen una intensidad resultante,
la cual es diferente de la suma escalar de las intensidades componentes [I.8].
Capítulo I 17
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Un rayo de luz es una onda electromagnética, de campos E y B variables. Cuando dos rayos de
luz se encuentran, los campos se superponen, y en cada punto del espacio el vector E o B será la
suma vectorial de los campos de los rayos individuales.
Si los dos haces de luz provienen de fuentes distintas, en general no existe relación constante
entre los campos de cada haz y se dice que los haces no son coherentes, de manera que cuando
estos se superponen el campo resultante oscila con el tiempo, y el ojo humano percibe una
intensidad promedio uniforme.
Thomas Young fue el primero en diseñar un método para producir y visualizar los máximos y
mínimos de intensidad descritos anteriormente (Figura I.16). La luz que, procedente de una
misma fuente, llega a una pantalla tras haber atravesado dos rendijas estrechas y juntas, forma un
patrón regular de bandas brillantes y oscuras. Este patrón de interferencia constituyó una
evidencia concluyente de la naturaleza ondulatoria de la luz. La doble rendija de Young es el
primer y más simple interferómetro. Por una parte, si el espacio entre las rendijas es conocido, el
espaciado entre los máximos y mínimos interferenciales permite medir la longitud de onda. Por
otra parte, si se conoce la longitud de onda, se puede determinar el espaciado entre las rendijas
[I.32].
Figura I.16. Experimento de la doble rendija de Thomas Young [I.30].
Capítulo I 18
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
I.3.4.2. Interferómetro de Michelson
Un importante dispositivo experimental que utiliza la interferencia es el interferómetro de
Michelson. Hace un siglo, este aparato aportó uno de los puntales experimentales clave de la
teoría de la relatividad.
En tiempos más recientes, se han utilizado interferómetros de Michelson para realizar mediciones
precisas de longitudes de onda y de distancias muy pequeñas, como los minúsculos cambios de
espesor de un axón cuando un impulso nervioso se propaga a lo largo de ellos.
Al igual que el experimento de Young de las dos ranuras, un interferómetro de Michelson toma
luz monocromática de una sola fuente y la divide en dos ondas que siguen caminos diferentes. En
el experimento de Young, esto se hace enviando parte de la luz a través de una ranura y parte a
través de otra. En los interferómetros de Michelson se emplea un dispositivo llamado divisor de
haz. En ambos experimentos hay interferencia cuando se combinan de nuevo las dos ondas
luminosas (Figura I.17).
Figura I.17. Patrón de interferencia obtenido del interferómetro de Michelson
Aunque inicialmente Michelson diseñó este interferómetro en 1881 para detectar el éter, una vez
que fue imposible demostrar su existencia, este dispositivo ha sido utilizado para medir
longitudes de onda o para, conocida la longitud de onda de una fuente emisora, medir distancias
muy pequeñas o índices de refracción de distintos medios.
Capítulo I 19
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
I.3.4.3. Patrones de moteado (speckle)
Denominamos speckle, a la distribución de intensidad al azar que se forma cuando la luz
coherente se refleja en una superficie rugosa a escala de la longitud de onda o se propaga a través
de un medio con fluctuaciones del índice de refracción (Figura I.18) [I.35].
Figura I.18. Generación de patrones de moteado (speckle)
Desde los inicios del uso del láser HeNe, se ha conocido al moteado, al principio fue considerado
ruido en las mediciones, y se idearon múltiples formas para su eliminación, pero tiempo después
se observó que el patrón de manchas generado era inherente a la superficie que lo generaba
(Figura I.19).
Figura I.19. Patrón de moteado
Capítulo I 20
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Esta técnica basa la medición de deformaciones mediante el cambio de patrones de moteado,
dado que si la superficie cambia su forma, también lo hará el moteado y para la medición de
variaciones se emplea el procesamiento digital de imágenes para la evaluación de los esfuerzos,
haciendo comparaciones entre una imagen del estado inicial del patrón (sin carga) y el sucesivo
cambio de este a través de la aplicación de cargas.
I.5. Sumario
En el presente capítulo se clasificaron y explicaron brevemente distintos métodos de medición de
deformaciones en pruebas mecánicas, para la determinación experimental de esfuerzos en campo
total y punto por punto, así como sus principales ventajas y desventajas. También se incluyó una
elemental introducción sobre el estudio de métodos interferométricos, lo cual da pie al análisis
del interferómetro de Michelson como método de medición de deformaciones.
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Capítulo II Marco teórico
Se presenta el desarrollo analítico de las ecuaciones sobre tracción mecánica e interferencias ópticas, necesarias para llevar a cabo la interpretación de las mediciones llevadas a cabo en el Capítulo III, como deformaciones mecánicas de campo completo.
Capítulo II 24
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
II.1. Tracción axial
Las propiedades de los materiales por lo regular suelen ser determinadas en base a los resultados
obtenidos durante alguna prueba. Las pruebas más confiables son de tipo destructiva y con
condiciones de carga controladas. La prueba más utilizada para caracterizar a un material es el
ensayo de tensión axial. En este tipo de procedimiento experimental, se utiliza una probeta
estandarizada (Figura II.1), la cual es maquinada a partir del material que se quiere analizar [II.1-
II.4].
Figura II.1. Probeta para ensayo a tensión
El espécimen de tensión estandarizado según la norma ASTM A 370, tiene un diámetro de 0.5
pulgadas (ó 12.5 mm) y una longitud calibrada de 2.0 pulgadas (ó 50 mm) entre las marcas de
calibración, que son los puntos donde se fijan los brazos del extensómetro al espécimen.
Al iniciar el ensayo para caracterizar el material, se mide y se registra la carga axial que
monotónicamente se aplica, ya sea en forma automática o leyendo algún tipo de indicador. En
forma simultánea se mide el alargamiento en la longitud calibrada con métodos mecánicos o con
extensómetros (deformímetros o calibradores de deformación) de resistencia eléctrica [II.5]. El
espécimen es tomado de los extremos y se le aplica una carga que se incrementa lentamente
(cuasiestática) hasta llegar a la ruptura, con lo cual se habrán obtenido resultados de deformación
con respecto a la carga aplicada, los cuales son de utilidad para determinar algunas de las
características principales del material [II.2].
Capítulo II 25
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
II.2. Esfuerzo
El esfuerzo (σ) es definido como la fuerza aplicada (P) por unidad de área (A) y en realidad es la
respuesta del material con respecto a una carga aplicada. La aplicación de la carga o fuerza por lo
regular es perpendicular al área. Sin embargo, también puede ser del tipo cortante. La fórmula
que define al esfuerzo en forma general es [II.1-II.4 y II.6]:
σ =PA
II.1
El área que se debe de considerar, se refiere al de la sección transversal del espécimen. Los
esfuerzos de tipo cortante (τ) corresponden a cargas que se desplazan de forma paralela al plano
del área en cuestión (V) [II.1-II.4 y II.6]:
τ =VA
II.2
II.2.1. Plano generalizado de esfuerzos
En una pieza sujeta a algunas fuerzas, los esfuerzos se distribuyen como una función
continuamente variable dentro del continuo del material [II.1, II.5]. Cada elemento infinitesimal
en el material puede experimentar esfuerzos distintos al mismo tiempo. Por lo que se debe
considerar los esfuerzos como actuando sobre elementos infinitesimalmente pequeños dentro de
la pieza [II.2]. El primer análisis se realiza con los vectores en un solo plano y sobre un elemento
(Figura II.2).
Figura II.2. Plano generalizado de esfuerzos
Capítulo II 26
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Al analizar el plano, se tiene que los esfuerzos cortantes tienen una nomenclatura τxy, lo cual
indica que está actuando sobre la cara x con dirección paralela al eje y. Cada par de esfuerzos
cortantes deben ser iguales y de signos opuestos en cada plano. Esto para conservar el equilibrio
en el elemento [II.1].
II.2.2. Estado tridimensional de esfuerzos
Un elemento infinitesimal puede estar sometido a esfuerzos tridimensionales dependiendo de las
cargas a las que está sometido. Para efectos de análisis se considera al elemento como un cubo de
caras paralelas a un sistema de coordenadas x y z (Figura II.3), las cuales definen la dirección de
cada uno de los esfuerzos [II.2].
Figura II.3. Estado tridimensional de esfuerzos
De lo anterior se tienen las siguientes relaciones:
τ xy =τ yx II.3
τ xz =τ zx II.4
τ yz =τ zy II.5
Con lo cual se logra el equilibrio en el elemento.
Capítulo II 27
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
II.2.3. Esfuerzos principales
Durante el trabajo de diseño es importante la determinación de los valores máximos y mínimos
de esfuerzo sobre el material. Para un estado de esfuerzos en dos dimensiones, los esfuerzos
principales son obtenidos mediante la siguiente fórmula [II.1]:
σ max ,σ min =σ x +σ y
2±
σ x −σ y
2
2
+τ xy2 II.6
No existen esfuerzos cortantes sobre los planos de acción de los esfuerzos principales. Sin
embargo, existen esfuerzos cortantes en otros planos. El esfuerzo cortante máximo se calcula a
partir de [II.1]:
τ max =σ x −σ y
2
2
+τ xy2 II.7
El plano de acción del esfuerzo cortante máximo está orientado 45º del plano de los esfuerzos
principales [II.1].
II.3. Círculo de Mohr
El círculo de Mohr es una representación gráfica de los esfuerzos que emplea σ - τ como sistema
de coordenadas (Figura II.4) [II.1-II.2 y II.4-II.5]. Las coordenadas del centro del círculo (C)
quedan representadas de la siguiente manera [II.1]:
Cσ x +σ y
2,0
II.8
Capítulo II 28
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Figura II.4. Círculo de Mohr
El radio (R) del mismo esta dado por [II.1]:
R=σ x +σ y
2
2
+τ xy2 II.9
Los esfuerzos principales σ1 y σ2 tienen un plano de acción ubicado a 2θ en relación al plano de
los esfuerzos σx y σy respectivamente.
II.4. Deformación
En la práctica, la medición de esfuerzos nunca se lleva a cabo directamente, sino que esta es
obtenida mediante la relación de las deformaciones respecto a las cargas aplicadas en una prueba
mecánica. Para ello se recurre al estudio de las deformaciones unitarias (ε), que son el cambio de
longitud por unidad de longitud [II.6, II.7]:
ε=l− lo
lo
II.10
Capítulo II 29
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
De la Ecuación anterior, l representa la longitud final del espécimen al aplicar cualquier carga P
(la deformación unitaria es adimensional), y l0 corresponde a su longitud inicial. Al graficar este
comportamiento, se obtiene el diagrama de esfuerzo-deformación [II.1 y II.2].
Figura II.5. Diagrama esfuerzo-deformación
II.5. Módulo de Young
En la curva de esfuerzo-deformación es posible determinar un cierto número de parámetros que
son útiles para la caracterización del material. El módulo de Young (E) proporciona el llamado
límite elástico, donde el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación, según queda
expresado en la ley de Hooke [II.1-II.2 y II.7],
E =σε
II.11
Donde E se encuentra definida como la pendiente de la curva esfuerzo-deformación hasta su
límite de proporcionalidad y se conoce como módulo de Young (o módulo de elasticidad del
material). El módulo de Young es una medida de la rigidez del material en su rango elástico y
tiene las unidades de esfuerzo. La mayor parte de los materiales exhiben este comportamiento de
rigidez lineal y sus módulos elásticos varían muy poco con tratamientos térmicos o al agregar
elementos de aleación [II.1, II.2].
Capítulo II 30
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
II.6. Ensayo a tensión
El ensayo a tensión es una de las pruebas más difundidas y de mayor uso para el análisis de las
propiedades de los materiales, debido a que la aplicación de la carga es esencialmente uniforme
sobre toda la sección recta del elemento. Como primer paso, se sujeta por los extremos una barra
de sección uniforme. Posteriormente se carga cuasiestáticamente sobre su eje longitudinal (Figura
II.6) [II.2-II.3].
Figura II.6. Barra de sección uniforme sometida a tensión axial
En este caso, en la Ecuación II.10 se puede considerar a l – l0 como una variación o incremento
en la longitud ∆δ y despejarla de la Ecuación.
olεδ =∆ II.12
La Ecuación de esfuerzo II.1 es empleada para sustituir su valor en II.11 y se despeja la
deformación unitaria ε.
AEP
=ε II.13
Por último se reemplaza la Ecuación II.13 en la Ecuación II.12 para dejarla en función de las
deformaciones.
AEPl
=∆δ II.14
Capítulo II 31
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Con la Ecuación II.15, se muestra que es posible determinar una característica del material, como
lo es el módulo de elasticidad E, conociendo la longitud inicial del material, su elongación, la
carga aplicada y el área trasversal [II.1].
δ∆=
APlE II.15
Para el caso específico de tensión axial, el círculo de Mohr se simplifica, dado que no se
presentan esfuerzos cortantes ni a compresión, las ecuaciones pueden ser determinadas
fácilmente y los esfuerzos en la partícula quedan representados (Figura II.7) [II.2].
Figura II.7. Estado de esfuerzos de una partícula en una barra sometida a tensión axial
Donde:
AP
x=σ II.16
0===== yzxzxyzy τττσσ II.17
Los esfuerzos principales para este caso se deducen de la Ecuación II.6.
σ1 =σ x II.18
σ 2 =0 II.19
Capítulo II 32
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Y determinando el centro del círculo y el radio con las ecuaciones II.8 y II.9 respectivamente, se
tiene,
( )0,xC σ II.20
R = σ x II.21
Expresado gráficamente el círculo de Mohr queda como se muestra en la Figura II.8.
Figura II.8. Círculo de Mohr para esfuerzos a tensión axial
II.7. Medición de desplazamientos con el interferómetro de Michelson
El interferómetro de Michelson es un dispositivo que presenta múltiples aplicaciones, aunque en
sus inicios fue diseñado para comprobar la existencia del éter. Es un mecanismo que hace
interferir dos haces de una misma fuente de luz y que presenta una muy alta sensibilidad a
cambios en su configuración, lo que nos permite emplearlo para realizar mediciones
II.7.1. Generalidades
La propagación de la luz puede describirse mediante teorías de rayos, de ondas o de fotones
[II.8]. La complejidad de la teoría utilizada debe satisfacer los efectos que desean estudiarse. En
Capítulo II 33
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
el desarrollo del presente trabajo se utiliza la teoría ondulatoria de la luz para analizar su
propagación.
De acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, una carga puntual en reposo crea un campo E
estático, pero ningún campo B; una carga puntual que se desplaza con velocidad constante crea
campos tanto E como B [II.9]. Lo anterior indica que para el caso dinámico, los campos no son
independientes uno del otro, Las derivadas del espacio y tiempo para medios libres de cargas y
corrientes pueden ser interrelacionadas de forma diferencia,
tBE
∂∂
−=×∇ 0µ II.22
tEB
∂∂
=×∇ 0ε II.23
La permeabilidad del vacío μ0 por definición tiene el valor exacto de 4πx10 -7 henries por metro
(H/m) y la permitividad del vacío ε0 cuyo valor es determinado por mediciones, es de 8.854x10-12
faradios por metro (F/m). Ahora los campos pueden ser separados tomando el operador rotacional
y la derivada con respecto al tiempo de otra, usando el hecho de que la diferenciación con
respecto al tiempo o el espacio puede ser invertido [II.10, II.11, II.12].
( ) 2
2
00 tEE
∂∂
−=×∇×∇ εµ II.24
( ) 2
2
00 tBB
∂∂
−=×∇×∇ εµ II.25
II.7.2. Solución de la Ecuación de la onda
Los fenómenos de electromagnetismo e inducción electromagnética, que condicionan este
proceso tienen su expresión matemática breve en las ecuaciones de Maxwell, que establecen la
relación entre las alteraciones de intensidad de los campos eléctrico (E) y magnético (B). Los
razonamientos de Maxwell en correspondencia con los datos experimentales muestran, que las
Capítulo II 34
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
direcciones de los vectores eléctrico y magnético resultan ser perpendiculares uno al otro y a la
dirección de propagación de la onda electromagnética. En el caso más simple de onda plana,
cuando la dirección de los ejes de las coordenadas es tal, que el campo eléctrico E está dirigido a
lo largo del eje z, y el campo magnético B, a lo largo del eje y, las ecuaciones de Maxwell tienen
la forma [II.11],
xE
tB
c ∂∂
−=∂∂µ II.26
xH
tE
c ∂∂
−=∂∂ε II.27
Al derivar la Ecuación II.26 respecto a x y la Ecuación II.27 respecto a t y eliminando B de ellas
encontraremos:
2
22
2
2
xEc
tE
∂∂
=∂∂
εµ II.28
Lo cual representa la Ecuación diferencial de las ondas que muestra que el campo eléctrico E se
propaga en el espacio a lo largo del eje x con una velocidad [II.10]:
εµcv = II.29
De esta manera, la solución de esta Ecuación puede ser expresada como [II.9]:
( )vtxfE −= II.30
Una conclusión análoga puede ser obtenida también para la magnitud del campo magnético B
[II.11].
Capítulo II 35
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
a) b)
II.7.3. Superposición de ondas
Esta propiedad, conocida como principio de superposición, sugiere que la perturbación resultante
en cualquier punto de un medio es la suma algebraica de sus ondas constitutivas separadas
empleando una fuente de luz láser, llevando a cabo la superposición de haces, los cuales tienden a
sumarse o eliminarse, llevando a cabo interferencias constructivas o destructivas, como se ilustra
en la Figura II.9 [II.10, II.11, II.13].
Figura II.9. Interferencia a) constructiva y b) destructiva. En ambas figuras la onda C es
producto de la suma de las ondas A y B
Existen diferentes intervalos durante los desfasamientos, para los cuales las interferencias no son
totalmente destructivas o constructivas, sino estados intermedios donde el producto de la
interferencia es la suma algebraica de las ondas en cada punto.
Recuérdese que se puede escribir una solución de la Ecuación diferencial de onda en la forma
[II.10]:
( ) ( )[ ]εω +−= kxtEtxE sin, 0 II.31
Capítulo II 36
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Donde E0 representa la amplitud de la perturbación armónica que se propaga a lo largo de la
dirección positiva del eje x. Alternativamente, si:
( ) ( )εεα +−= kxx, II.32
Entonces,
( ) ( )[ ]εαω ,sin, 0 xtEtxE += II.33
Supóngase que se tienen dos de tales ondas:
( ) [ ]1011 sin, αω += tEtxE II.34
y
( ) [ ]2022 sin, αω += tEtxE II.35
Las dos con la misma frecuencia y velocidad, superponiéndose en el espacio. La perturbación
resultante es la superposición lineal de estas ondas. Entonces
21 EEE += II.36
La perturbación total queda:
( ) tEtEE ωααω cossinsin 00 ++= II.37
( )αω += tEE sin0 II.38
La onda representada por la Ecuación II.38 es armónica y de la misma frecuencia que las
constitutivas aunque su amplitud y fase son diferentes [II.10].
Capítulo II 37
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
II.7.4. Interferómetro de Michelson
Este dispositivo toma un haz de luz monocromática y se hace pasar por un vidrio de caras
paralelas denominado divisor de haz; parte de la luz pasa a través del divisor hacia el espejo
móvil M1 y es regresada hacia el divisor, donde se refleja hacia la pantalla. La otra parte del haz
es reflejada del divisor hacia el espejo fijo M2 y devuelta a su vez hacia el divisor y proyectada
sobre la pantalla (Figura II.10).
Figura II.10. Interferómetro de Michelson
Para un análisis cuantitativo, el interferómetro sin la placa compensadora puede ser usado con
una fuente cuasi monocromática. La inclusión del compensador evita el efecto de dispersión, de
tal modo que aún una fuente con ancho de banda grande puede llegar a generar franjas
observables [II.10].
En el divisor de haz los dos haces reflejados se superponen y la interferencia entre estas dos
ondas se lleva a cabo, y esta será constructiva o destructiva dependiendo de la diferencia de
camino que hayan recorrido. Para hacer más visible la disposición de las franjas se utiliza un
lente divergente que magnifica el tamaño de la figura de interferencia. Moviendo el espejo M1
una distancia d en un cuarto de longitud de onda (λ/4), los haces en pantalla estarán en oposición
de fase (desfasados λ/2). De esta forma, tendremos un modelo de interferencia que volverá a ser
Capítulo II 38
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
como inicialmente cada vez que el espejo M1 se mueva un múltiplo de la mitad de la longitud de
onda de la luz utilizada. Contando el número de veces que el patrón de interferencia vuelve a ser
como inicialmente m, respecto a la distancia d, se puede calcular la longitud de onda λ de la luz
utilizada [II.10, II.11, II.13, II.14].
md2
=λ II.39
Si se conoce la longitud de onda utilizada, la Ecuación se puede utilizar para medir
desplazamientos de la siguiente manera:
2md λ
= II.40
Y más específicamente, el ángulo de desfase queda expresado por la siguiente Ecuación,
d22λπφ =∆ II.41
II.8. Sumario
En este capítulo se llevó a cabo el desarrollo de las fórmulas sobre tracción mecánica e
interferencias ópticas, que se emplearán en el análisis de los resultados de las mediciones,
realizadas con el interferómetro de Michelson y su respectiva interpretación a manera de
deformaciones mecánicas.
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Capítulo III Análisis experimental
En este Capítulo se presenta la descripción del experimento y el montaje del dispositivo, así como la obtención de los datos experimentales y la posterior interpretación de los desplazamientos a manera de deformaciones en una probeta sometida a tracción axial, por medio de la sustitución de ecuaciones, desarrolladas en el Capítulo II. Estas ecuaciones son utilizadas en el Capítulo IV para el desarrollo simulación numérica.
Capítulo III 44
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
III.1. Procedimiento experimental
En el desarrollo de este trabajo de tesis se implementará un interferómetro tipo Michelson para la
determinación experimental del desplazamiento.
III.1.1. Descripción de funcionamiento
En el interferómetro de Michelson en un principio la luz es dividida por una superficie
semiespejada (o divisor de haz) en dos haces. El primero es reflejado y se proyecta hasta el
espejo del cual vuelve, atraviesa la superficie semiespejada y llega al detector. El segundo rayo
atraviesa el divisor de haz, se refleja en un segundo espejo, para luego es reflejado en el
semiespejo hacia abajo y llega al detector. El espacio entre el semiespejo y cada uno de los
espejos se denomina brazo del interferómetro. Usualmente uno de estos brazos permanecerá
inalterado durante un experimento, mientras que en el otro se colocarán las muestras a estudiar.
Hasta la pantalla de observación llegan dos haces, que poseen una oposición de fase dependiendo
fundamentalmente de la diferencia de camino óptico entre ambos rayos. Esta diferencia puede
depender de la posición de los espejos o de la colocación de diferentes materiales en cada uno de
los brazos del interferómetro. Esta diferencia de camino hará que ambas ondas puedan sumarse
constructivamente o destructivamente, dependiendo de si la diferencia es un número entero de
longitudes de onda (0, 1, 2,...) o un número entero más un medio (0,5; 1,5; 2,5; etc.)
respectivamente.
En general se emplean lentes para ensanchar el haz y que sea fácilmente detectable por un
fotodiodo o proyectando la imagen en una pantalla. De esta forma el observador ve una serie de
anillos, y al desplazar uno de los espejos notará que estos anillos comienzan a moverse. En esta
forma se puede explicar la conservación de la energía, ya que la intensidad se distribuirá en
regiones oscuras y regiones luminosas, sin alterar la cantidad total de energía.
Dentro de las aplicaciones, generalmente cuando se monta un interferómetro de Michelson se
observa una figura de interferencia inicial. En esta no se puede determinar cuál es la diferencia de
camino, porque si se observa una suma constructiva sólo se puede inferir que la diferencia es
múltiplo de la longitud de onda. Por esto el interferómetro se usa para medir pequeños
desplazamientos. Una vez que se tiene una figura de interferencia inicial, al cambiar la posición
Capítulo III 45
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
de uno de los espejos se verá que las franjas de interferencia se mueven. Si se considera un punto
de referencia, por cada franja que lo atraviese se habrá movido el espejo una distancia
equivalente a una longitud de onda (menor al micrómetro).
Hacia fines del siglo XIX, para el experimento de Michelson y Morley, se utilizó la luz
proveniente de alguna estrella. Actualmente en cualquier laboratorio de enseñanza básico se
puede montar uno de estos interferómetros utilizando un láser con potencia suficiente para
obtener patrones de franjas perceptibles a simple vista.
III.1.2. Montaje del dispositivo
Para el desarrollo de este trabajo se utilizó un interferómetro tipo Michelson. Es tipo de equipo
está conformado por un láser cian de 10 mW de potencia, con una longitud de onda de 488 nm
como fuente de luz, utiliza un par de espejos los cuales están posicionados en planos
perpendiculares entre sí. De estos dos espejos, uno de ellos es móvil y están separados una
distancia l1 = l2 con respecto al centro del divisor del haz, con la finalidad de tener una diferencia
de camino óptico en cero (Figura III.1).
Figura III.1. Esquema del montaje del interferómetro de Michelson
Capítulo III 46
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Este dispositivo responde a cambios existentes en el camino óptico de los brazos del
interferómetro. El camino óptico, se define como el producto del índice de refracción de la
trayectoria por la distancia que recorre el haz de luz [III.1, III.2]. De acuerdo a esto, cualquier
modificación en cuanto a la cantidad de recorrido que se tenga, ocasionará cambios en los
patrones de interferencia, asimismo también los cambios en el índice de refracción de la
atmósfera en los (cambios de temperatura, humedad, presión).
Cuando los espejos no están colocados perfectamente perpendiculares, en lugar de presentarse los
anillos de interferencia se observan franjas, sin embargo este efecto físico no influye en el
desarrollo del experimento y en la lectura de datos. Asimismo, cualquier cambio significativo en
el camino óptico de alguna de las trayectorias, ocasionará un cambio en el patrón de interferencia
resultante.
III.2. Desarrollo experimental
Los desplazamientos son datos que se pueden determinar a través del espejo móvil, con lo que es
posible conseguir una diferencia entre los caminos ópticos y así obtener patrones de franjas,
como se puede observar en la Figura III.2.
Figura III.2. Patrón de franjas obtenido en el interferómetro de Michelson
Con la finalidad de verificar y medir la sensibilidad del sistema de manera experimental, se
aplicaron desplazamientos sobre el espejo móvil con un micrómetro, el cual fue el aparato con el
Capítulo III 47
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
rango de medición mas pequeño que se pudo conseguir, procedimiento que se detalla más
adelante.
Para estar en condiciones de realizar las lecturas, el diámetro del haz es amplificado mediante una
lente y así poder visualizar las franjas de interferencia. Lo anterior se realiza sobre la pantalla,
donde ha sido colocada una hoja milimétrica para asistir a las mediciones y poder tomar puntos
de referencia en específico.
Al conocer la longitud de onda de la fuente empleada (488 nm), se puede emplear la Ecuación
II.39 (Capítulo II) para medir los desplazamientos d, dados sobre el espejo móvil M1. Se toma
como base un punto cualquiera en la pantalla y se identifica la posición respecto a la franja de
interferencia que se tiene (Figura III.3a).
Al realizar los desplazamientos del espejo móvil M1, se puede observar el corrimiento de las
franjas (Figura III.3b), por lo que los desplazamientos deben ser muy pequeños, para poder hacer
que una sola franja se traslade hasta la misma posición de la franja anterior, respecto a un punto
de referencia (Figura III.3c), con lo cual el valor de m será 1. Así sucesivamente se podrán
obtener sus valores subsecuentes.
Figura III.3. Corrimiento de una sola franja respecto al punto de referencia a) posición inicial, b)
transición de franja, c) ubicación de una nueva franja en el punto de referencia
Un resultado comparativo fue obtenido mediante este interferómetro en el trabajo [III.3]
cambiando el índice de refracción de uno de los brazos del interferómetro al introducir un
Capítulo III 48
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
portaobjetos de vidrio y observando el desplazamiento de las franjas, así mismo se verificó la
sensibilidad a la temperatura a través del efecto inducido por el calentamiento de una de las
trayectorias del haz, lo cual refrenda la sensibilidad del dispositivo a cambios de temperatura y a
vibraciones mecánicas.
III.3. Obtención de datos experimentales
En esta sección se presenta los datos y lecturas obtenidos de manera experimental por medio de
la aplicación del interferómetro de Michelson. Asimismo, se presenta la descripción del ensayo y
la instrumentación necesaria para llevarlo a cabo. Además, se especifican las herramientas
utilizadas en el desarrollo experimental.
III.3.1 Descripción del experimento
Para realizar el desarrollo experimental de este trabajo se utilizo un interferómetro de Michelson,
en el cual se adaptó un micrómetro para realizar las mediciones necesarias (Figura III.4). El
micrómetro está posicionado en la base del espejo M1. El micrómetro tiene una capacidad de
medición de 1 pulgada (25.4mm) y tiene una resolución mínima 0.0001 pulgadas (0.00254mm).
El micrómetro fue empleado para efectuar desplazamientos en intervalos conocidos para este
ensayo. Se dispuso de su uso, debido a que fue el dispositivo que aportaba la mayor precisión en
las mediciones, con el que podía contar al momento de llevar a cabo los experimentos.
Figura III.4. Micrómetro
Capítulo III 49
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Para el desarrollo analítico de un intervalo de desplazamiento equivalente a la lectura mínima del
micrómetro sobre el espejo M1, se emplea la ecuación III.2, donde se conoce la longitud de onda
de la fuente luminosa y el desplazamiento aplicado, por ende, la única incógnita es despejada, la
cual es el valor correspondiente a la transición de franjas, cuyo concepto está definido
ampliamente en la sección II.7.4.
)10488()00254.0(2
6 mmxmmm −= III.1
franjasm 41.10= III.2
Este valor obtenido se comparará ulteriormente con el obtenido experimentalmente.
Para el desarrollo de la fase experimental de este ensayo, fue necesario realizar la serie de
experimentos en condiciones libres de fuentes de ruido y agentes externos que generaran
vibraciones, por lo que se verificó, que cerca del montaje experimental no existieran
interferencias ocasionadas por ondas electromagnéticas, ondas acústicas y cambios de
temperatura.
Sin embargo, dado que el arreglo experimental no estaba montado sobre una mesa aislada de
vibraciones, fue necesario detener las perturbaciones mecánicas originadas por las máquinas que
producían movimientos en la mesa. Todos los experimentos fueron efectuados en ausencia de
vibraciones externas en laboratorios vecinos.
Para reducir al mínimo estas perturbaciones, se empleó una placa de acero de 1/2 pulgada de
espesor (figura III.5), a la cual se le dio un proceso de rectificado, para montar sobre ella el
dispositivo. La rigidez del material redujo en gran medida las variaciones producidas por
vibraciones. La fijación de los elementos a la base se hizo mediante imanes de tipo comercial de
1 x 2 x 10 cm.
Capítulo III 50
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Figura III.5. Placa base
Al inicio del ensayo experimental, mediante la aplicación de iteraciones se colocó la diferencia de
haces en cero (Figura III.6). Asimismo, se ajustó la posición de la base del espejo M1, lo anterior
se realizó hasta hacerla coincidir con una lectura exacta de la herramienta de medición
(micrómetro). La implementación del micrómetro se realizó asegurar que las mediciones
iniciarían en una referencia adecuada. A partir de esta etapa, se aplicaron desplazamientos d, en
una unidad mínima del micrómetro (0.0001 pulgadas) y se registraron paulatinamente el
corrimiento de las franjas m de manera simultánea.
Figura III.6. Patrón obtenido de la diferencia nula entre caminos ópticos
Capítulo III 51
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Asimismo, se llevó a cabo un registro en video del corrimiento de franjas (Figura III.7). Lo cual
se realizó para llevar un conteo ulterior, dado que las transiciones no eran muy claras a simple
vista. El valor de cambio de intensidad, también fue verificado por un circuito detector con un
fotodiodo como elemento sensor.
Figura III.7. Registro del corrimiento de franjas
Además dentro del desarrollo de este ensayo experimental, fue necesario tomar una serie de
evidencias fotografías sobre la diferencia del estado inicial y final del patrón de interferencia, lo
que fue utilizado y aplicado para realizar un análisis del corrimiento de la posición de la última
franja respecto a la inicial (Figura III.8)
Figura III.8. Comparativo entre a) Patrón inicial y b) patrón final
Capítulo III 52
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Durante el desarrollo de este trabajo, fue posible distinguir claramente el desplazamiento de
franjas ocasionado por movimientos del espejo y libre de otras perturbaciones. Un ejemplo típico
de nuestras mediciones, aquí reportadas, es el conteo realizado en pruebas donde se desplazaban
hasta un máximo de 10 franjas, más una fracción de desplazamiento final cuyo valor
correspondiente fue de aproximadamente 0.16 franjas. Sin embargo, se sugiere emplear un
sistema automatizado para la detección de franjas, así como, un laboratorio aislado de otras
perturbaciones físicas tal como se recomienda en el trabajo de [III.4].
III.4. Interpretación del desplazamiento de franjas como deformaciones mecánicas
De acuerdo a lo expuesto en las secciones anteriores de este capítulo, los desplazamientos d están
dados en semilongitudes de onda (λ/2) de la luz empleada. Lo cual sustituyendo los valores
conocidos en la Ecuación II.40, por lo que se tendrá:
( )md metros10244 9−×= III.3
Al sustituir el valor de d por él de la lectura mínima del micrómetro (0.00254mm) y despejando
m en la Ecuación III.3, se puede determinar analíticamente la cantidad de franjas en que existe en
ese intervalo.
franjas 41.10metros10244metros104.25
9
7
=××
= −
−
m III.4
La Ecuación III.3 de desplazamientos con respecto a las franjas de interferencia puede también
ser interpretada como la lectura de una deformación ∆δ de un elemento mecánico sometido a una
carga de tipo axial, con lo cual la Ecuación II.14 toma la siguiente forma:
AEPlm =
2λ III.5
Entonces de la Ecuación III.5 el modulo de elasticidad E puede ser despejado y determinado en la
prueba a tensión en función de los corrimientos de las franjas de interferencia.
Capítulo III 53
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
AmPlE
=
λ2 III.6
En el caso del uso del láser cian, la longitud de onda λ es conocida.
( )AmPlEmetros10244 9−×
= III.7
III.5. Simulación del desplazamiento equivalente a una franja en una barra a tensión
Para el desarrollo del análisis de este trabajo de tesis, se inicio con la simulación de una prueba a
tensión de una probeta redonda, con especificaciones de acuerdo a la norma ASTM A 370 (Figura
III.9), cuyas medidas están especificadas en la Tabla III.1.
Figura III.9. Especificación de probetas para ensayos a tensión [III.5]
Tabla III.1. Medidas de probeta redonda estándar para ensayos a tensión [III.5]
Diámetro nominal Estandarización del espécimen pulg. mm. 0.5 Ø 12.7 Ø
Longitud de prueba (A) 2 ± 0.005 50 ± 0.1
Diámetro de la sección calibrada (D) 0.5 ± 0.01 12.5 ± 0.25
Radio de filete (mínimo) (R) 3/8 10
Longitud de la sección de reducción (G) 2 1/4 60
Para el desarrollo del análisis propuesto en este trabajo, se aplican las consideraciones de las
condiciones conocidas del material, las cuales fueron obtenidas previamente por medio de un
Capítulo III 54
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
ensayo de tensión axial. Dado que el propósito de la prueba es la de cuantificar la mínima
cantidad esfuerzo que es capaz de detectarse mediante este método.
Se emplea un módulo de Young de 200 N/mm2, con lo que al emplear la Ecuación III.7, se puede
determinar el esfuerzo que existe para una elongación de la probeta equivalente a m = 1, y dejar a
él área y la carga como condiciones variables.
( )( )mm50
mm10244mmN200 6
2−×
=AP III.8
26
mmN10976 −×=
AP III.9
Sustituyendo el valor del área en la Ecuación III.9:
N1198.0=P III.10
kgf01261.0=P III.11
Lo cual indica que el sistema es capaz de detectar deformaciones provocadas por cargas de hasta
12.21 gramos-fuerza, aplicados sobre una probeta con geometría acorde a las medidas estándar de
la tabla III.1.
III.6. Ventajas y desventajas
Las características del dispositivo nos permiten identificar las siguientes características
favorables para el uso de este como medio para medir deformaciones mecánicas; la principal
característica del interferómetro de Michelson es el uso de la naturaleza ondulatoria de la luz, lo
cual nos permite llevar a cabo mediciones que son directamente proporcionales a la longitud de
onda de la luz empleada; las mediciones llevadas a cabo en este trabajo son del orden de los
244x10-9 metros por cada transición de franja, lo cual nos da la capacidad de examinar de mejor
manera experimentos sobre elementos donde las deformaciones son muy pequeñas, como es el
Capítulo III 55
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
caso de la determinación de deformaciones debidas a efectos térmicos, o en los casos donde se
lleven a cabo estudios sobre elementos con deformaciones en el rango elástico, con aplicación de
cargas con el propósito de identificar dislocaciones en la pieza, por mencionar algunos casos.
Estudios anteriores han sido llevados a cabo con este aparato, en la medición de deformaciones
debidas a cambios de temperatura, en materiales piezoeléctricos, tal como se muestra en el
trabajo de [III.6].
La elaboración del dispositivo consta únicamente de dos espejos y un trozo de vidrio comercial
de 5 x 5 cm. cada uno, una lupa para proyectar el haz expando, una base sólida para el montaje y
un láser cian, el cual puede ser sustituido por un apuntador láser, lo cual hace que la fabricación
del dispositivo sea muy económico y le proporciona flexibilidad al diseño para ser reproducido
fácilmente.
En contraparte, entre los inconvenientes del dispositivo esta su alta sensibilidad, dado que las
franjas de interferencia pueden ser afectadas por cambios en la temperatura sobre la trayectoria
de los haces, perturbaciones en el medio como lo son las vibraciones a causa de maquinaria en
funcionamiento, ruido excesivo, inclusive la voz, por lo que se requiere de un ambiente
controlado que establezca condiciones optimas para el desarrollo de las pruebas, además de una
base lo suficientemente plana para no perder la superposición de los haces en el interferómetro.
La implementación del dispositivo en una prensa para pruebas a tensión requiere de una
instalación de lo más meticulosa, dado que el arreglo de espejos debe quedar de manera
perpendicular, de lo contrario se estarían midiendo desplazamientos fuera del plano de
elongación de la probeta, así como también la disposición del aparato debe quedar en una base
libre de vibraciones mecánicas, como ha quedado especificado.
III.7. Sumario
En este capítulo se presentaron los resultados obtenidos de las lecturas obtenidas en transición de
franjas, respecto a los desplazamientos d realizados en uno de los brazos del interferómetro,
como se muestra en la Figura III.1.
Capítulo III 56
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
El desplazamiento dado fue de 0.0001 pulgadas (0.00254mm) aplicado con un micrómetro
adaptado en la base de uno de los espejos del interferómetro. Los corrimientos de franjas se
registraron en video para poder ser contados en cámara lenta, dado que los cambios se daban de
manera muy rápida.
III.8. Referencias
III.1.- Carreño S. F., Antón R. M., Ezquerro R. J. y Gómez, C. O., Experiencias de Óptica Física,
Editorial Complutense, Madrid, pp. 143-147, 2001.
III.2.- Hecht, E., Optics, 4ª. Edición, Ed. Addison Wesley, San Francisco, USA, pp. 393-409,
2002.
III.3.- Morales-Bonilla, S. Evaluación de las propiedades ópticas de medios biológicos mediante
interferometría y sensores nanoestructurados, Tesis de Maestría, SEPI-ESIMEZ, Instituto
Politécnico Nacional, México, 2010.
III.4.- Ruiz-Boullosa, R. y Pérez-López, A., Interferómetro láser y conteo de franjas aplicado a la
calibración de acelerómetros y calibradores de vibraciones, Revista Mexicana de Física,
No. 4, Vol. 36, México, pp. 622-629, 1990.
III.5.- American Society for Testing and Materials, ASTM A 370 Standard Test Methods and
Definitions for Mechanical Testing of Steel Products, ASTM, U.S.A., 2003.
III.6.- Duarte, J., Fernández, F., y Moreno-Sereno, M., Técnicas de medida para pequeños
desplazamientos, Dyna, Vol. 76, No. 158, pp. 167-176, 2008.
Capítulo IV Análisis numérico
En este Capítulo se simula la aplicación de un desplazamiento equivalente al corrimiento de una franja en el patrón de interferencia sobre una probeta estandarizada, para evidenciar la sensibilidad del dispositivo por medio de un paquete de cómputo que emplea el Método del Elemento Finito.
Capítulo IV 58
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
IV.1. El método del elemento finito
IV.1.1. Introducción
Las limitaciones de la mente humana son tales que no puede captar el comportamiento del
complejo mundo que la rodea en una sola operación global. Por ello, una forma natural de
proceder de ingenieros, científicos, e incluso economistas, consiste en separar los sistemas en sus
componentes individuales, o "elementos", cuyo comportamiento pueda conocerse sin dificultad, y
a continuación reconstruir el sistema original para estudiarlo a partir de dichos componentes
[IV.1].
El método de elemento finito es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales,
primero, discretando las ecuaciones al describir el problema en sus dimensiones espaciales. Esta
discretización se lleva a cabo sobre las pequeñas regiones de formas arbitrarias. Estos resultados,
en matrices relacionan la entrada de puntos específicos a la salida de todos los puntos en el
dominio. Para resolver las ecuaciones sobre grandes regiones, las ecuaciones en matrices para
regiones más pequeñas son sumadas nodo por nodo. Esto resultará en el desarrollo de ecuaciones
matriciales globales [IV.2].
Este método nos permite llevar a cabo modelos del sistema real, lo cual resulta ser una alternativa
más eficaz, económica y fácil de modificar que el desarrollo de prototipos, aunque no deja de ser
un método de aproximación, dado que basa su precisión en la cantidad de elementos en los que
esté dividido el componente, aunado a las hipótesis básicas sobre el comportamiento del mismo,
por lo que los prototipos no dejan de ser necesarios, pero en menor medida.
IV.1.2 Antecedentes históricos
En sus inicios, el elemento finito fue empleado por los primeros geómetras para la determinación
del numero trascendente π, haciendo uso del método exhaustivo de Arquímedes, empleado para el
cálculo de áreas y volúmenes de modelos geométricos. Siglos después, Sir Isaac Newton y G.W.
Leibniz desarrollarían el cálculo infinitesimal [IV.3]. Sin embargo, el método tomaría forma
principalmente en las décadas de los cincuenta y sesenta del siglo pasado, debido en gran manera
a la necesidad de realizar cálculos para diseños cada vez más complejos en ingeniería civil,
aeronáutica y en otras ramas de la construcción en general. Con el desarrollo de las
Capítulo IV 59
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
computadoras, el análisis y la simulación numérica se vieron fuertemente favorecidos en este
aspecto.
No obstante de todo lo anterior, las bases matemáticas no habían sido formalmente establecidas
para el método del elemento finito, y no fue sino hasta que el interés en la solución de problemas
en ingeniería, tal como lo muestran los primeros trabajos realizados en este campo por Turner y
Argyris en el diseño de estructuras complejas para alas de aviones, así como Alley y Gerringer
que crearon métodos para el diseño de vehículos de lanzamiento espacial.
El origen de este método se puede hallar en el grupo que la casa Boeing puso a trabajar bajo la
dirección del profesor Turner, para encontrar un método numérico que superase las limitaciones
de otros métodos más clásicos, como el de diferencias finitas. Con la aparición del motor de
reacción aparecen unas solicitaciones superiores en las estructuras de los aviones acordes con las
características de seguridad y ligereza propias de la industria aeronáutica se necesitaban métodos
de cálculo más precisos. Fruto de ese trabajo es la publicación en 1956 en el Journal of
Aeronautics del artículo "Stiffness and deflection analysis of complex structures" de M.J. Turner,
R.W. Clough, H.C. Martin y L.J. Topp donde aparecen formulados los aspectos básicos que van a
configurar con el tiempo el nuevo método de los elementos finitos.[IV.4]
Otros ejemplos merecen ser citados como son "A finite element approach for the analysis on thin
shells" publicado por R.W. Clough en 1960, donde se menciona por primera vez como elemento
finito. La primera prueba de convergencia del método en la literatura de ingeniería, fue
presentada por R.J. Melosh en 1963 en "Basis of derivation of matrices for the direct stiffness
method", utilizando el principio variacional de Reissner. El caso axisimétrico fue tratado por P.E.
Grafton en 1963 en "Analysis of axisymetrical shells by the direct stiffness method". Por lo que
cabe al estudio de los problemas no-lineales, y soluciones transitorias, han contribuido
fuertemente Turner, Zienkiewicz y Davis en 1969 con su trabajo "The damped transient behavior
of finite beams and plates". Otra contribución matemática que cabe mencionar, fue hecha por G.
Birkhoff en 1968 en "Piecewise hermite interpolation in one and two variables with applications
to partial differential equations".
Capítulo IV 60
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Especial importancia tiene el libro de O.C. Zienkiewicz en 1967: "The Finite Element Method in
Structural and Continuum Mechanics" que recoge el estado del arte hasta el momento sobre el
método y sus aplicaciones [IV.5].
Con la llegada de las computadoras digitales, los problemas discretos pueden resolverse
generalmente sin dificultad, aún cuando el número de elementos sea muy elevado. Como la
capacidad de las computadoras es finita, los problemas continuos sólo se pueden resolver de
forma exacta mediante manipulaciones matemáticas. En este aspecto, las técnicas matemáticas
disponibles suelen limitar las posibilidades a casos extremadamente simplificados.
Actualmente este método es ampliamente utilizado en la industria y se encuentra en vías de
expansión, aunado a la contribución de los ordenadores en la solución a la multitud de ecuaciones
que se plantean en el MEF, cuyo desarrollo va a la par con el mejoramiento de la arquitectura de
los ordenadores, lo que ha facilitado la evolución en el campo del modelado y la síntesis de
resultados. En nuestros días la relación entre las técnicas de análisis estructural, las técnicas de
diseño y las técnicas de fabricación ha sido cada vez mayor.
IV.1.3. Conceptualización del método.
El concepto fundamental del método es la aproximación mediante un modelo discreto a uno
contínuo, el cual se efectúa dividiendo al dominio o región, en subdominios llamados “Elementos
Finitos”, de tal forma que la solución en cada uno de ellos (solución local), al ser ensamblados,
constituyan una solución global discreta, la que será una aproximación a la solución analítica en
la región no discretizada [IV.3].
IV.1.4. Ventajas y desventajas del método
La principal ventaja que presenta el método es su capacidad para analizar cuerpos compuestos de
diversos materiales, con diversas propiedades como el módulo de elasticidad, la conductividad
térmica y eléctrica, capacidad calorífica, anisotropía, entre otros, y en cuanto a las condiciones de
fronteras, el cuerpo puede ser continuo o discontinuo, con esquinas o bordes rugosos sin que esto
afecte de manera considerable el resultado [IV.3].
Capítulo IV 61
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
En cuanto a las limitaciones, la necesidad de un paquete computacional de cálculo resulta
indispensable, debido a la gran cantidad de cálculos involucrados en la solución de problemas
prácticos.
IV.1.5. Procedimiento a seguir empleando el método del elemento finito
La solución de cualquier problema utilizando el Método de los Elementos Finitos contempla los
siguientes pasos [IV.4]:
1. Especificar la geometría. Esto puede hacerse dibujando la geometría directamente en el
paquete o importando el modelo desde un modelador sólido.
2. Definir el tipo de elemento y las propiedades del material.
3. Enmallar el objeto. Consiste en dividir el objeto en pequeños elementos.
4. Aplicar las condiciones de frontera (restricciones) y las cargas externas.
5. Generar una solución.
6. Postprocesamiento. Los datos obtenidos como resultado pueden visualizarse a través de
gráficas o dibujos.
7. Refinar la malla. El método de Elementos Finitos es un método aproximado, y en general la
precisión de la solución se incrementa con el número de elementos usado. El número de
elementos requerido para obtener una respuesta confiable depende del problema específico;
sin embargo, es recomendable siempre incrementar el número de elementos en el objeto y
observar la variación en los resultados.
8. Interpretación de los resultados. Este paso es el más importante de todo el análisis, pues
requiere de los conocimientos y la habilidad del ingeniero para entender e interpretar los
resultados arrojados por el programa. Este paso es crítico para lograr la aplicación de los
resultados en la solución de los problemas reales, o para identificar los posibles errores
cometidos durante la etapa de modelamiento.
IV.2. Desarrollo de análisis por elemento finito
Para la simulación, se desarrolló el modelo en un programa de diseño por elementos finitos con
las dimensiones especificadas en la Tabla III.1, y sólo se utilizó la mitad de la longitud de prueba
debido a su simetría, dado que las condiciones de carga y son las mismas en ambos extremos del
elemento (Figura IV.1) [IV.7].
Capítulo IV 62
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Figura IV.1. Modelo para simulación en elementos finitos
Se empleó el elemento SOLID185, el cual es empleado para el modelado de estructuras en 3D y
está definido por 8 nodos con 3 grados de libertad en cada uno (traslación en los ejes x, y y z) y
presenta versatilidad de ser tetraédrico o prismático, dependiendo de las características de la
geometría.
Posteriormente se llevó a cabo el mallado del modelo, el cual corresponde a un estilo de barrido
(Figura IV.2).
Figura IV.2. Mallado del modelo
Capítulo IV 63
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Se llevaron a cabo otros tipos de mallado, pero en base a las iteraciones realizadas, este presentó
mejores características para la prueba que se realizó, dado que las condiciones de mallado
proporcionaron caras con mallado simétrico, lo que eliminó condiciones no deseadas de rotación
y desplazamientos fuera del eje de axial, situaciones que prácticamente no se presentan en una
prueba real.
El programa trabaja en ausencia de unidades de medición, por lo que los valores que se
introduzcan en este, deben estar todos especificados en el mismo sistema de medición (métrico,
inglés) y en las mismas unidades (metros, milímetros, pies, pulgadas). Para nuestro caso se
emplearon todos los valores en milímetros.
Paso seguido, se establecen las condiciones de frontera. En un extremo de la barra se colocó una
condición de empotramiento, lo cual simula el extremo de la probeta por el que se le está
aplicando la carga (Figura IV.3).
Figura IV.3. Empotramiento de un extremo del modelo
En el paquete de computo empleado se puede llevar a cabo el ensayo mediante la aplicación de
una carga al elemento, y así determinar los esfuerzos y por ende, las elongaciones que esta
provoca; sin embargo este procedimiento puede ser invertido, aplicando una deformación en el
Capítulo IV 64
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
elemento para calcular el esfuerzo al que se encuentra sometido, y con ello conocer las
condiciones de carga. Este último procedimiento fue empleado en esta prueba con la finalidad de
conocer la sensibilidad del interferómetro para la medición de cargas aplicadas.
El otro extremo representa la parte media de la probeta, donde ocurriría la falla debido a la carga
aplicada, pero en este caso es aplicado un desplazamiento equivalente a la variación en una franja
m=1 sobre toda el área transversal de la probeta, que para este caso, de acuerdo a la Ecuación
III.8 correspondería a 244 nanómetros (nm) o sea 0.000244 mm.; al emplear la mitad del modelo
original, la elongación estaría repartida entre las dos partes, por lo cual el desplazamiento
aplicado es de 122 nanómetros (0.000122 mm.) (Figura IV.4).
Figura IV.4. Desplazamiento especificado sobre el extremo opuesto al empotrado
La Figura IV.5 muestra en franjas de colores las elongaciones correspondientes a cada sección de
la barra sobre el eje z, y la Tabla IV.1 especifica los valores correspondientes.
Capítulo IV 65
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Figura IV.5. Elongaciones sobre la sección (MN-mínimo, MX-máximo)
Tabla IV.1. Unidades de elongación sobre el eje z correspondientes al color en la Figura IV.6
Colores
Unidades
(mm) 0 .136-4 .271-4 .407-4 .542-4 .678-4 .813-4 .949-4 .108-3 .122-3
Una vez que se ha resuelto el problema en el programa de elementos finitos, se pueden ilustrar
los esfuerzos correspondientes a la elongación inicial dada, tal como se muestra en la Figura
IV.6, y sus correspondientes valores en la Tabla IV.2.
Figura IV.6. Representación de esfuerzos sobre la barra
Capítulo IV 66
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Tabla IV.2. Esfuerzos sobre la barra determinados por el programa de elementos finitos
Deformación máxima 0.122-3 mm.
Esfuerzo mínimo 0.976-3 N/mm2
Esfuerzo máximo 0.976-3 N/mm2
Con lo anterior, podemos verificar que para una prueba a tensión, toda la barra se encuentra
sometida a la misma cantidad de esfuerzo. Conocida el área de la sección transversal de la
probeta y empleando la ecuación II.1, se logra obtener la carga necesaria para conseguir esta
deformación.
223
72.12210976.0
mmP
mmNx =− IV.1
NP 1198.0= IV.2
kgfP 01221.0= IV.3
El desplazamiento de cada uno de los 47 nodos correspondientes al área de elongación máxima
(MX), se obtuvo del programa de elementos finitos, así como el esfuerzo correspondiente sobre
el eje z; los resultados se presentan en la Tabla IV.3.
Tabla IV.3. Esfuerzo y desplazamiento correspondiente a cada nodo en la cara opuesta al
empotramiento, determinado por el programa de elementos finitos
Nodo Desplazamiento Esfuerzo Nodo Desplazamiento Esfuerzo
1 0.12200E-03 0.976E-05 25 0.12200E-03 0.976E-05
2 0.12200E-03 0.976E-05 145 0.12200E-03 0.976E-05
3 0.12200E-03 0.976E-05 146 0.12200E-03 0.976E-05
4 0.12200E-03 0.976E-05 147 0.12200E-03 0.976E-05
5 0.12200E-03 0.976E-05 148 0.12200E-03 0.976E-05
6 0.12200E-03 0.976E-05 149 0.12200E-03 0.976E-05
Capítulo IV 67
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
7 0.12200E-03 0.976E-05 250 0.12200E-03 0.976E-05
8 0.12200E-03 0.976E-05 251 0.12200E-03 0.976E-05
9 0.12200E-03 0.976E-05 252 0.12200E-03 0.976E-05
10 0.12200E-03 0.976E-05 253 0.12200E-03 0.976E-05
11 0.12200E-03 0.976E-05 254 0.12200E-03 0.976E-05
12 0.12200E-03 0.976E-05 255 0.12200E-03 0.976E-05
13 0.12200E-03 0.976E-05 340 0.12200E-03 0.976E-05
14 0.12200E-03 0.976E-05 341 0.12200E-03 0.976E-05
15 0.12200E-03 0.976E-05 342 0.12200E-03 0.976E-05
16 0.12200E-03 0.976E-05 343 0.12200E-03 0.976E-05
17 0.12200E-03 0.976E-05 344 0.12200E-03 0.976E-05
18 0.12200E-03 0.976E-05 345 0.12200E-03 0.976E-05
19 0.12200E-03 0.976E-05 430 0.12200E-03 0.976E-05
20 0.12200E-03 0.976E-05 431 0.12200E-03 0.976E-05
21 0.12200E-03 0.976E-05 432 0.12200E-03 0.976E-05
22 0.12200E-03 0.976E-05 433 0.12200E-03 0.976E-05
23 0.12200E-03 0.976E-05 434 0.12200E-03 0.976E-05
24 0.12200E-03 0.976E-05
El esfuerzo obtenido en la simulación, es el mismo que se obtuvo de manera analítica en la
Ecuación III.9, lo cual corrobora los resultados mostrados en la Ecuación III.10 en cuanto a la
capacidad del sistema para detectar cargas.
IV.3. Sumario
Se realizó una simulación numérica de la aplicación de un desplazamiento equivalente al de la
lectura del corrimiento en una franja del patrón de interferencia, sobre una probeta normalizada,
con lo cual se muestra la capacidad del sistema para la detección de cargas de un rango muy
pequeño sobre un elemento normalizado.
Capítulo IV 68
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
IV.4. Referencias IV.1.- Zienkiewicz, O. C. y Taylor, R. L., El Método de los Elementos Finitos, Vol. 1, 4ª Edición,
Ed. McGraw-Hill, Barcelona, pp. 1-7 ,1994.
IV.2.- Sánchez Toca, T. M., Análisis de esfuerzos y deformaciones en contenedores a presión
mediante el método de elemento finito, Tesis de Licenciatura en Ingeniería Mecánica,
Escuela de Ingeniería, Universidad de las Américas, Puebla, México, pp. 41-45, 2003.
IV.3.- Ortega, J. A., Hernández Gómez, L. H., Análisis del Elemento Finito y sus Aplicaciones a
la Ingeniería, Vol. 6, Ed. Sección de Graduados de ESIME, México, pp. 6-17, 1985.
IV.4.- Roa Garzón, M. A. y Garzón Alvarado, D. A., Introducción al Modelamiento por
Elementos Finitos con ANSYS, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Colombia,
pp. 1-4, 2002.
IV.5.- Michavila, F., y Gavete, L., Programación y Cálculo Numérico, Ed. Reverté, España, pp.
274-276, 1985.
IV.6.- Daryl, L., A First Course in the Finite Element Method, 4a Ed., Ed. Thomson
IV.7.- Madenci, E., y Guvan, I., The Finite Element Method and Application in Engineering
Using ANSYS®, Ed. Springer, pp. 82-170, 2006.
Discusión de
resultados
Discusión de resultados 70
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
En el presente trabajo pudieron ser determinados desplazamientos del orden de los 244nm,
empleando el láser cian de longitud de onda de 488nm, esto debido a que las variaciones del
camino óptico d realizadas sobre el espejo M1 del interferómetro, son cuantificadas como el
doble de la longitud de onda entre cada cambio de posición m en el patrón de franjas.
Originalmente el diseño del dispositivo incluye el uso de un compensador, que es una réplica del
divisor de haz colocado de manera paralela a éste, del lado del espejo M2, pero en este caso su
uso fue omitido, debido a que la fuente de luz empleada es monocromática y el propósito del
compensador es el de reducir la dispersión de la luz y ajustar la diferencia de caminos ópticos.
También se pudo observar que el interferómetro tiene una sensibilidad muy alta a cambios
locales de temperatura, debido a que el patrón de franjas registraba corrimientos ocasionados por
cambios de temperatura sobre los espejos y los brazos del interferómetro, lo cual encierra la
posibilidad medir deformaciones tan pequeñas como las debidas a cambios de temperatura en los
materiales.
El dispositivo puede ser implementado utilizando materiales de bajo costo, como son los espejos
y el vidrio como divisor de haz; el láser cian puede ser reemplazado por un láser diodo
(apuntador), el cual puede no contar con especificación exacta de su longitud de onda, pero se
puede determinar una vez montado en el interferómetro al calibrar correctamente la distancia d
recorrida, llevando el conteo de las franjas m y empleando las fórmulas correspondientes. Sin
embargo la estabilidad del láser debe ser en este último caso monitoreada utilizando un haz de
referencia.
Este método utilizado para medir desplazamientos puede ser implementado en una prensa de
pruebas a tensión o compresión, únicamente colocando un espejo sobre uno de los cabezales de la
prensa para la medición de las deformaciones durante los ensayos, obteniendo así lecturas más
exactas y por ende, características que representan de mejor manera las propiedades de los
materiales estudiados. Este método muestra ser conveniente para realizar análisis de carácter
cualitativo, esto debido a que el sistema es muy sensible y puede ser afectado por cambios de
temperatura y vibraciones que no pueden ser del todo controladas.
Discusión de resultados 71
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
La capacidad del sistema para medir deformaciones del orden de media longitud de onda de la
fuente de luz, le da la capacidad para ser implementado para la determinación de esfuerzos muy
pequeños, tal es el caso de los esfuerzos térmicos, así como se ha reportado anteriormente en
trabajos como en [1].
El sistema presenta limitantes en cuanto a su entorno, ya que este debe estar libre de vibraciones
y con una atmosfera de temperatura y presión controlada, debido a que estas variantes pueden
influir en la lectura de la cantidad y posición final de las franjas; sin embargo, las vibraciones
pueden ser reducidas con el montaje del dispositivo en una mesa flotante.
Una gran ventaja de utilizar un láser de tan alta estabilidad (menor al 2% de variación en su
intensidad) y una longitud de onda corta (488nm) es que la sensibilidad del interferómetro es muy
superior a la que puede obtenerse con luz roja o radiación IR asociada a láseres semiconductores
comerciales (650nm-800nm). El láser cian que se utilizó para el desarrollo de esta tesis ha sido
diseñado con la más alta tecnología. La cavidad láser utiliza un doblador de frecuencia de efectos
no lineales que permite convertir la energía de cada par de fotones generados en el semiconductor
en un solo fotón de 488nm que será utilizado para hacer las mediciones. Este láser ha sido
precisamente diseñado para aplicaciones biomédicas y mediciones de muy alta sensibilidad y
estabilidad.
La velocidad de respuesta ultra-rápida del interferómetro de Michelson se ve afectada por el
tiempo de respuesta del conteo de franjas, ya que en nuestro caso este conteo fue realizado
después de capturar la imagen en video. Sin embargo cabe mencionar que el detector de energía
que utilizamos durante la calibración fue un detector fotodiodo con velocidad de respuesta de
cerca de 2ps, así que con el debido desarrollo de una interfaz y un software computacional
argumentamos que mediante este sistema pueden medirse desplazamientos con alta sensibilidad
en tiempo real.
Discusión de resultados 72
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Referencias
1.- Rodríguez Vera, R., Rayas, J. A. y Dávila, A. Algunas aplicaciones industriales de la
interferometría electrónica de patrones de moteado, Centro de Investigaciones en Óptica,
Guanajuato, 2006.
Conclusiones
Conclusiones 74
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
La determinación de algunas propiedades mecánicas de un material mediante pruebas a tensión es
una práctica muy frecuente, donde las deformaciones obtenidas juegan un papel muy importante.
La medición de dichas deformaciones mediante el interferómetro de Michelson representa un
método que ofrece una precisión alta en el cual se emplea la longitud de onda de la fuente de luz
como referente para la determinación del desplazamiento, lo cual nos permite obtener datos
mucho más cercanos a la realidad y así poder determinar las características que definan de mejor
manera las propiedades de los materiales estudiados.
Durante el armado del interferómetro se pudo omitir el uso de un compensador, dado que la
fuente utilizada en el experimento es monocromática y fue ajustada experimentalmente la
diferencia de caminos ópticos en los brazos del sistema.
Las vibraciones mecánicas se lograron disminuir en gran medida con la colocación de una placa
de acero de 32cm X 51cm con 1 pulgada de espesor, lo que proporcionó estabilidad al dispositivo
debido a la rigidez del elemento; la geometría de la placa de acero fue obtenida en base
iteraciones realizadas de forma experimental, y esta fue seleccionada de acuerdo al material con
el que se contaba. Un desarrollo analítico sobre la rigidez y la propagación de ondas a través del
material, pueden determinar las características geométricas que se requieren para la base y el tipo
de material de la misma de manera específica.
Los resultados obtenidos en la simulación de desplazamiento, muestran la capacidad del sistema
para poder dar lecturas de 244 nm, lo cual puede dar como resultado la medición de
deformaciones permanentes debidas a cargas cíclicas o análisis de pruebas a fatiga, lo cual
indicaría la capacidad de detectar el rompimiento de enlaces con la aplicación de cargas en el
rango elástico. También presenta importantes posibilidades de aplicación en el ámbito de la
metrología y la biomecánica.
El uso de un láser con una longitud de onda relativamente corto, como el empleado en este
trabajo (488nm), representa una ventaja sobre otros de mayor longitud de onda, como el caso del
rojo, el cual oscila entre los 620 y los 750 nanómetros, dado que el patrón de medida que se
emplea para la determinación de los desplazamientos, es la longitud de onda de la luz empleada,
Conclusiones 75
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
y al ser este mas pequeño, proporciona al elemento una incertidumbre menor y por ende, una
determinación mas específica de las elongaciones.
Trabajos futuros
Trabajos futuros 77
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Como trabajo futuro se puede concluir que este dispositivo puede ser implementado en una
prensa de ensayos a tensión con materiales como espejos y vidrio, además de la posibilidad de
utilizar diodos láser de baja coherencia como fuente de luz con monitores de intensidad de
referencia, lo que adiciona el carácter de economía al diseño.
La implementación de sensores para la lectura de franjas puede ser de la arquitectura mostrada en
trabajos como en [1] o pueden ser implementados sensores de respuesta ultra-rápida como los
que funcionan a base de nanoestructuras [2], esto para sustituir el uso de cámaras CCD en el
proceso.
Figura 1. Esquema propuesto para la implementación del sistema en una prensa de ensayos a
tracción.
El diseño de la detección de franjas indica que el sistema puede ser automatizable, lo que implica
que puede ser aplicado al análisis no sólo de lecturas de deformaciones debidas a cargas cuasi
estáticas, sino también a cargas dinámicas, de impacto y cíclicas.
Trabajos futuros 78
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Referencias 1.- Torres-Torres, J. A. y Boullosa, R. R. Influence of the bridge on the vibration of the top plate
of a classical guitar, Applied Acoustics, Vol. 70, pp. 1371-1377, 2009. 2.- Morales-Bonilla, S. Evaluación de las propiedades ópticas de medios biológicos mediante
interferometría y sensores nanoestructurados, Tesis de Maestría, SEPI-ESIMEZ, Instituto
Politécnico Nacional, México, 2010.
Anexo A
Anexo A 80
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
Anexo A.- Código del programa de elementos finitos y descripción. Código Descripción
/input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1
/GRA,POWER
/GST,ON
/PLO,INFO,3
/GRO,CURL,ON
/CPLANE,1
/REPLOT,RESIZE
WPSTYLE,,,,,,,,0
!*
/NOPR
/PMETH,OFF,0
KEYW,PR_SET,1
KEYW,PR_STRUC,1
KEYW,PR_FLUID,0
KEYW,PR_MULTI,0
/GO
!*
/COM,
/COM,Preferences for GUI filtering have been
set to display:
/COM, Structural
!*
/PREP7
!*
ET,1,SOLID185
!*
DOF,UX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ
!*
MPTEMP,,,,,,,,
Se define el tipo de análisis estructural.
Se define el tipo de elemento a utilizar.
Se agregan las condiciones de frontera.
Se definen las características del material:
Anexo A 81
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
MPTEMP,1,0
MPDATA,EX,1,,200
MPDATA,PRXY,1,,
CYL4,0,0,6.25
!*
VOFFST,1,25, ,
/VIEW,1,1,1,1
/ANG,1
/REP,FAST
CM,_Y,VOLU
VSEL, , , , 1
CM,_Y1,VOLU
CHKMSH,'VOLU'
CMSEL,S,_Y
!*
VSWEEP,_Y1
!*
CMDELE,_Y
CMDELE,_Y1
CMDELE,_Y2
!*
FLST,2,1,5,ORDE,1
FITEM,2,1
!*
/GO
DA,P51X,ALL,
FLST,2,1,5,ORDE,1
FITEM,2,2
!*
/GO
DA,P51X,UZ,0.000122
estructural, lineal, elástico e isotrópico y se
asigna el valor del módulo de elasticidad.
El coeficiente de Poisson se valora en cero.
Dibuja un círculo de 6.25 mm. de radio.
Extruye el círculo en 25 mm.
Cambia la vista a isométrico.
Aplica un mallado tipo barrido sobre la pieza.
Empotra uno de los extremos de la pieza.
Aplica un desplazamiento de 0.000122 mm. sobre
Anexo A 82
Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente
FINISH
/SOL
/STATUS,SOLU
SOLVE
el eje z.
Resuelve el análisis.
º
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