análisis procesos 2012 gchacónv
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ANÁLISIS DE PROCESOS(CASO DE LA INGENIERÍA QUÍMICA)
GERARDO CHACÓN VALLE
2da Ed. Revisada
UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
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ANÁLISIS DE PROCESOS(CASO DE LA INGENIERÍA QUÍMICA)
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K
Distancia , x / L
200
300
400
500
0,0 0,5 1,0
Tubo, interno
Carcaza, externo
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ANÁLISIS DE PROCESOS(CASO DE LA INGENIERÍA QUÍMICA)
GERARDO CHACÓN VALLE
Universidad de Costa RicaCiudad Universitaria “Rodrigo Facio”, San José, Costa Rica
2012
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Análisis de procesos ii G. Chacón V.
660.281.5Ch431a Chacón Valle, Gerardo
Análisis de procesos (caso de la In-geniería Química) Gerardo Chacón Va-lle. 2. ed. San José, C. R. : G.Chacón V. , 2004-2012.
384 p. ; 22 cm
ISBN 9977-12-755-7
1. Procesos químicos. 2. Modelos ma-temáticos. 3. Ingeniería Química. I. Título.
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Análisis de procesos iii G. Chacón V.
INTRODUCCIÓN
El contenido de este documento se ha establecido sobre la base de que el IngenieroQuímico, tanto en su formación como en su práctica profesional, requiere del análi-sis de sistemas en los que se llevan a cabo transformaciones regidas por fenómenosfísicos, químicos y biológicos; aspecto que junto con el análisis económico, social yambiental, representa la etapa básica para poder realizar el cálculo, diseño y desa-rrollo de equipos y procesos, es decir, la síntesis de la Ciencia y de la Ingeniería enlos sistemas de interés práctico y académico.
La orientación con que se presenta el material pretende formar ingenieros quetomen decisiones cuantitativas, no sólo en su desenvolvimiento en investigación y
desarrollo, sino también en su labor cotidiana de análisis, evaluación, estable-cimiento de relaciones de causalidad y control de procesos reales.
La actitud con que se maneja la información, intenta convencer al lector de que sulabor como ingeniero es racionalizar sus actividades, investigando, tomando encuenta el origen o causas de los efectos, determinando el sentido físico de losresultados y definiendo las limitaciones y alcances. Así como, basándose en lacapacidad de los sistemas para adaptarse a las transformaciones, escogiendo entrelo importante y lo superfluo y ofreciendo resultados confiables y realistas. Por loque se hace énfasis en el procedimiento o metodología para alcanzar el resultado.
Los principios y métodos estudiados en este tema, forman el pilar para desarrollarlas Ciencias y Métodos de la Ingeniería, como: Procesos y Operaciones Unitarias,Cinética y Dinámica de Procesos, Análisis y Simulación del comportamiento de los
procesos individuales y de los sistemas productivos, Investigación en IngenieríaQuímica, Evaluación y Control de variables y productos en procesos etc.
Las unidades están ordenadas de tal forma que puedan ser estudiados en paralelo o posteriormente de cursos clásicos de Ecuaciones diferenciales, Matemática Apli-
cada, Matemática superior o Métodos matemáticos. Los conocimientos previosnecesarios, son los de Física General, Química General y Cálculo y GeometríaAnalítica.
Los casos presentados, tanto en el texto como en los ejercicios, son tomados de losdesarrollos de los cursos en la carrera de la Ingeniería Química, para un primergrado académico, de tal forma que sirvan como apoyo para los mismos.
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Análisis de procesos iv G. Chacón V.
“En todo asunto la precipitación engendra errores, delos cuales suelen nacer grandes daños, mientras eldetenimiento contiene mil bienes que aunque no se nosaparezcan en el mismo instante los hallamos a sutiempo”.
Herodoto (Artabano) 7-10
“Cuando los hombres forman planes razonables, suelencumplirse; pero cuando no forman planes razonables,no se suelen favorecer las decisiones humanas”.
Herodoto (Temístocles) 8-60
“La calidad se hace; y bien desde la primera vez”.
Sociedad Japonesa de Control de la Calidad
“La respuesta no está en que cada uno haga lo mejorque pueda, primero es necesario que las personasconozcan lo que deben hacer”.
W. E. Deming (1986)
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Análisis de procesos v G. Chacón V.
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN iii
1 PRINCIPIOS CIENTÍFICOS PARA EL ANÁLISIS DE PROCESOSIntroducción 1
1.1 Diferencial 11.2 Dinámica 41.3 Difusión 71.4 Equilibrio másico 131.5 Ley de conservación 15
2 PRINCIPIOS METDODLÓGICOS EN EL ANÁLISIS DE PROCESOSIntroducción 16
2.1 Definición del sistema 162.2 Observación 182.3 Definición de las variables del sistema 182.4 Formulación del modelo o hipótesis 202.5 Estandarización y conclusión 212.6 Comprobación del modelo 222.7 Presentación del modelo y análisis 232.8 Asignaciones 24
3 ANÁLISIS MACROSCÓPICO DE PROCESOSIntroducción 25
3.1 Balance de masa 253.2 Balance de energía 363.3 Balance de masa con reacción química (discontinuo) 413.4 Balance de masa con reacción química (continuo) 453.5 Balance de masa con difusión 52
3.6 Balance de masa con equilibrio de fases 563.7 Ejercicios 62
4 ANÁLISIS MICROSCÓPICO DE PROCESOSIntroducción 72
4.1 Balance de masa total 724.2 Balance de energía térmica 754.3 Balance de masa de una sustancia 814.4 Balance de cantidad de movimiento 86
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Análisis de procesos vi G. Chacón V.
4.5 Reactor continuo tipo flujo de pistón 934.6 Aleta recta 984.7 Absorción de la masa de una sustancia 1034.8 Aplicación de la Ecuación de Bessel 1084.9 Ejercicios 112
5 ANÁLISIS DE PROCESOS CON MÁS DE UNA VARIABLEIntroducción 118
5.1 Formulación del modelo 1185.2 Solución por Transformadas de Laplace 1225.3 Solución por el método de Separación de variables 1245.4 Solución para una longitud infinita 1315.5 Solución por métodos numéricos 134
5.6 Ejercicios 140
6 ANÁLISIS DE PROCESOS EN ETAPASIntroducción 143
6.1 Extracción o absorción 1446.2 Reactores en serie 147
7 COMPROBACIÓN DE UN MODELOIntroducción 152
7.1 Variables y regresión 1527.2 Modelo 1547.3 Ajuste 1587.4 Comprobación del modelo 1617.5 Parámetros para la evaluación de un modelo
con los datos observados 1637.6 Técnicas de análisis de datos 1677.7 Análisis de un caso sin repetición 1787.8 Análisis de un caso con repetición 1847.9 Análisis de tendencias 193
Referencias del capítulo 7 195
BIBLIOGRAFÍA 198
APÉNDICE: SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOSAnálisis macroscópico de procesos, Cap.3 201Análisis microscópico de procesos, Cap.4 284Análisis de procesos con más de una variable, Cap.5 341
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Análisis de procesos vii G. Chacón V.
ANEXO: COMPLEMENTOS MATEMÁTICOSEcuación de Bessel, generalizada 386Ecuación en diferencias finitas 386Inversión de transformadas de Laplace, por medio deldesarrollo de los residuos 387Ejercicios con la Ecuación de Bessel 388Ejercicios con la ecuación de Euler o de Cauchy 398Ejercicios sobre transformadas inversa de Laplace,con el método de los residuos 400Proporciones usuales 413
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Análisis de procesos viii G. Chacón V.
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Análisis de procesos 1 G. Chacón V
CAPÍTULO 1
PRINCIPIOS CIENTÍFICOS PARA EL ANÁLISIS DE PROCESOS
INTRODUCCIÓN
El propósito de este capítulo es presentar las leyes científicas que describen losfenómenos físicos de interés en Ingeniería Química; empleados para el análisis,formulación de modelos y resolución de problemas.
Solamente se enuncian las definiciones, conceptos, principios, propiedades y pára-metros que se relacionan con ellas, para que sirva como manual de referencias, yaque su estudio pertenece a cursos básicos en Física, Química y Matemática.
1.1 DIFERENCIAL
1.1.1 Conceptos de derivada y diferencial
Sea una función continua f( x) de una variable independiente x y de valores y, de lacual se conoce su derivada en cualquier punto (Fig. 1.1):
δ 0 δ 0
d f f δ f δ df lím lím
δ d δ d x x
x x x x y y x
x x x x
En la expresión, significa un incremento finito de la variable x o de la y.El límite cuando x, y, etc., tiende a cero, un incremento infinitesimal, sedenomina diferencial de la variable x, y, etc., según corresponda y se expresa como:
δ 0lím δ d 0 x
x x
,δ 0lím δ d 0 y
y y
, etc.
La diferencial de la variable una dependiente, y, en términos de la variable indepen-diente, x, está dado por
x x y df d
Establece el efecto que se produce al incrementar una cantidad diferencial de lavariable independiente o causa d x, sobre la variable dependiente d y.
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Principios científicos G. Chacón V.
1.1.2 Fórmula o teorema de Taylor
Para una función continua f( x), derivable indefinidamente (Fig. 1.1), el valor de
dicha función, en un punto x0 más un incremento finito x, se puede calcular a partir de la función y sus derivadas evaluadas en el punto x0 por:
0
3
0
2
000 f !3
δf
!2
δf
!1
δf δf x
x x
x x
x x x x
En forma reducida
4( ) ( )
0 0 00 0
(δ ) (δ )f( δ ) f ( ) f ( )
! !
n nn nn n
n n
x x x x x x
n n
Notas:
-
El valor entre paréntesis (n) indica el orden de la derivación.
- La relación es válida, si la serie es convergente hacia un valor límite.
- Este resultado se puede generalizar para más de una variable.
- En la práctica se emplea cuando0
0,005f( δ ) x x
x
f’( x) = tan
y x x
y x
y
x
f( x)
y
x
x x
Figura 1.1. Efecto que produce aumentar en x, la variable independiente ocausa x, sobre la dependiente o efecto y.
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Análisis de procesos G. Chacón V.
1.1.3 Áreas infinitesimales
Con la ayuda de la figura 1.2 se establecen las áreas y el volumen infinitesimales:
Coordenadas rectangulares Coordenadas cilíndricasCoordenada Arco Área Coordenada Arco Área
Cambio perpendicular Cambio perpendicular x x x A x = y z r r r Ar = r z y y y A y = x z r A = r z z z z A z = x y z z z A z = r r
Volumen V = x y z Volumen V = r r z
Coordenadas esféricasCoordenada Arco Área perpendicular
Cambior r r Ar = r 2 sen r A = r sen r r sen A = r r
Volumen V = r 2 sen r
P x A x
x
y
z
x
y
z
r r
z
r
z
r
Ar
Pr
r
r Ar
Pr r sen
Figura 1.2. Áreas infinitesimales expresadas en diferentes coordenadas.
r sen
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Principios científicos G. Chacón V.
1.2 DINÁMICA
1.2.1 Dinámica de la partícula y del flujo de masa
Para una masa, m, en movimiento con una velocidad dada se le asocian las propie-dades siguientes:
Propiedad Partícula Flujo de fluidos
Velocidadt
xv x
d
d
t
xv x
d
d
Masa m x x Avm
Masa de una sustancia A M A Ax x Ax x
A Ax J vC
A
M N
Cantidad de movimiento M = mv x x x x x v Av M
Fuerza
t
mvF x
x d
d x x x x x v Av M F
Energía cinética 220
2
vvmE C
220
2
vvvAE C
Energía potencial 0 z zmgE P 0 z zgvAE P
Energía interna 0uumE U 0uuvAE U
Trabajo xF W x dδ x x vF W dδ (Potencia)
Nota: El punto sobre la propiedad indica el flujo o tasa, de cambio respecto al tiempo, dedicha propiedad
Figura 1.3. Movimiento de una partícula y de un conjunto o flujo de partículas.
F x v x m
x x x x
x x x x
F x v x m A x
Partícula Flujo de masa
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Análisis de procesos G. Chacón V.
1.2.2 Acumulación
Cuando una masa contenida en un recipiente cambia, se dice que se acumula o des-acumula, su variación con el tiempo hace que las propiedades dentro del volumen
varíen proporcionalmente, acumulándose o desacumulándose también.
Rapidez de la acumulación de una propiedad
Volument
V
d
d
Masat
m
d
d Energía cinética
t
vvm
d
d
2
120
2
Masa de unasustancia A t
M Ad
d Energía potencial
t
z zmg
d
d 0
Cantidad demovimiento
t
mv x
d
d Energía interna
t
uum
d
d 0
1.2.3 Cinética de reacciones químicas
La rapidez con que una sustancia (reactivo) se descompone o consume para formarotras sustancias (productos), es proporcional a la cantidad de moléculas reactivas
presentes. Los modelos cinéticos básicos son:
m mt t mt
t
m
t
mt d
d
δ
δlím
0δ
t
t t mt t = mm
mt = m
Figura 1.4. Análisis de la acumulación.
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Principios científicos G. Chacón V.
Primer orden (poblacional)
Segundo orden (acción de masas)
Segundo orden monomolecular (-r A) k ’ M A2 k C A
2 V
Orden cero (regida por la difusión o por la concentración del catalizador)
Figura 1.5. Modelos de la cinética de las reacciones químicas.
En las reacciones reversibles del tipo
N n M m Bb Aak
k
1
2
Se consideran de acuerdo con su naturaleza, se cumple que la constante de equi-
librio, termodinámico, de reacción es K = k 1/k 2.
La nomenclatura usada es:
k o k ’ : coeficiente de rapidez de reacción o tasa de consumo(-r A) : rapidez o tasa de consumo o producción kmol/s
M A : masa molar (moles) de A presentes kmolV : volumen del sistema m3 C A : concentración de la sustancia A kmol/m3
reactivos productos
Sistemacatalítico
(-r A) k ’ k V k = kmol/m3 s
(-r A) k ’ M A M B k C A C B V
A + B productos
k = m3/kmol s
A productos
(-r A) k ’ M A k C A V k = 1/s
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Análisis de procesos G. Chacón V.
1.3 DIFUSIÓN
1.3.1 Difusión de la cantidad de una sustancia (masa)
El fenómeno que se manifiesta cuando un flujo de una sustancia A, componente deuna mezcla, atraviesa una masa en una dirección dada, mientras el resto de la masano se traslada en la dirección del flujo de A, se denomina difusión de masa. Secumple que: el flujo de la masa de A es directamente proporcional al área trans-versal al flujo y a la diferencia de concentración de la sustancia A (o al potencialquímico) e inversamente proporcional al camino recorrido.
Se puede generalizar como: que la intensidad del flujo (flux) de la cantidad de unasustancia A es proporcional al gradiente de concentración de dicha sustancia
A AB A C D J
Cuando J Ax y D AB son constantes, se simplifica así
A AC A C C K J 0
Las cuales emplean la siguiente nomenclatura:
m A : masa de A dentro del sistema, kmolV : volumen del sistema, m3
Figura 1.6. Movimiento de un componente por difusión.
y
z
x
J Ax A x
x 0 x
Las moléculas de A se mueven de lazona de mayor concentración, de la masa
de A, hacia la de menor concentración.
C A0
C A
x
C
D A
j
J A
AB x
Ax
Ax d
d
(Ley de Fick)
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Principios científicos G. Chacón V.
C A : concentración de A (m A/V ), kmol/m3 A x : área perpendicular a la dirección del flujo, m2 j Ax : flujo de la masa de A, en la dirección dada, kmol/s J Ax : intensidad del flujo de la masa de A, kmol/s m2
: longitud o espesor característico, m D AB : difusividad másica, de A en otra sustancia B, m2/sK C : coeficiente global de transferencia de masa, m/s
1.3.2 Difusión de la cantidad de carga o electricidad
El fenómeno que se presenta cuando un flujo de carga eléctrica atraviesa una masaen una dirección dada, mientras la masa no se traslada en la dirección del flujo de
carga, se define como difusión de carga o corriente eléctrica. Se cumple que: elflujo de carga es directamente proporcional al área transversal al flujo y a la dife-rencia de concentración de carga eléctrica (o al potencial eléctrico) e inversamente
proporcional al camino recorrido.
Se puede generalizar de la forma siguiente: que la intensidad del flujo (flux) de lacantidad de carga o que la corriente eléctrica, es proporcional al gradiente deconcentración de la carga eléctrica.
QC J
x 0 x
y
z
x
J x A x
La corriente se traslada de la zona demayor concentración, de carga eléctrica,hacia la de menor concentración.
x
C
A
i J Q
x
x x d
d
C Q0
C Q
Figura 1.7. Difusión de carga eléctrica.
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Análisis de procesos G. Chacón V.
Cuando J x y son constantes, se simplifica como
QQC C C K J 0
Con la siguiente nomenclatura:Q : carga eléctrica en el sistema, A s = CoulombV : volumen del sistema, m3 C Q : concentración de carga (Q/V ) , A s/m3
A x : área perpendicular a la dirección del flujo, m2 i x : flujo de carga, corriente, eléctrica, en la
dirección dada, A = Amperio J x : Intensidad de flujo de carga A/m2 : longitud o espesor característico, m
: difusividad eléctrica, m2/sK C : coeficiente global de transferencia de electricidad, m/s
Como la carga eléctrica no se puede medir, pero si el potencial eléctrico, entoncesse usa la ley de Coulomb,
E C Q
Al introducirla en la relación para el flujo de carga, anterior
x
E
A
i
J x
x x d
d
y en la forma integrada, con J x y constantes,
12
1E E
Ri (Ley de Ohm)
Donde:E : potencial eléctrico, V = VoltioC : capacidad, capacitancia, eléctrica, A s/V = Faraday
: conductibilidad eléctrica ( C V ) , A/m Vi : corriente eléctrica, A
R : resistencia eléctrica, V/A = Ohmio
1.3.3 Difusión de calor (Calor por conducción)
El fenómeno en el cual un flujo de energía térmica, o calor, atraviesa una masa enuna dirección dada, mientras la masa no se traslada en la dirección del calor, se
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Principios científicos G. Chacón V.
denomina difusión de energía térmica o calor por conducción. Se cumple que: elflujo calor es directamente proporcional al área transversal al flujo y a la diferenciade concentración de energía interna (o al potencial térmico) e inversamente propor-cional al camino recorrido.
Se puede generalizar así: la intensidad del flujo (flux) de la energía en forma de
calor es proporcional al gradiente de concentración de la energía interna
U C q
Cuando q x y son constantes, se simplifica como
U U C C C K q 0
En las cuales se usa la siguiente nomenclatura:
U : energía interna dentro del sistema, J = JouleV : volumen del sistema, m3 C U : concentración de energía (U /V ), J/m3
A x : área perpendicular a la dirección del flujo, m2
xQ : flujo de calor, en la dirección dada, W = Wattq x : intensidad de flujo de calor, W/m2 : longitud o espesor característico, m : difusividad térmica, m2/sK C : coeficiente global de transferencia de calor, m/s
z
x 0 x
y
x
q x A x
La energía se traslada de la zona en que lasmoléculas poseen mayor concentración, deenergía, hacia las de menor concentración.
x
C
A
Qq U
x
x x d
d
C U 0
C U
Figura 1.8. Difusión de energía en forma de calor.
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Análisis de procesos G. Chacón V.
Como la energía interna no se puede medir, pero si la temperatura, entonces se usala relación termodinámica
T C V U V
Al introducirla en la relación de calor, aproximando con y C V como constantes,
x
T k
A
x
x x d
d
(Ley de Fourier)
En la forma integrada con q x y k constantes,
T T hq 0 (Ley de Enfriamiento de Newton)
Donde:T : temperatura, K = KelvinC V : capacidad calorífica (calor específico), J/kg Kk : conductibilidad (conductividad) térmica ( C V ), W/m Kh : coeficiente de película o de transferencia de
calor, W/m2 K
1.3.4 Difusión de cantidad de movimiento
Figura 1.9. Difusión de cantidad de movimiento.
x 0 x F y
y
z
x
A x
En régimen de flujo laminar, la fuerza defricción crece de la zona en que las moléculas
poseen mayor concentración de cantidad demovimiento, hacia la de menor concentración.
x
C
A
F My
x
y yx d
d
C My0
yx
v y
C My
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Principios científicos G. Chacón V.
El fenómeno producido por la fuerza de fricción que actúa sobre una masa, quefluye, en régimen de flujo laminar en una dirección dada, mientras la masa no setraslada en la dirección de la fuerza de fricción, se denomina difusión de cantidadde movimiento, pérdidas por fricción o debido a fuerzas viscosas. Se cumple que:
la fuerza de fricción es directamente proporcional al área transversal al flujo demasa (velocidad) y a la diferencia de concentración de la cantidad de movimiento(o al potencial mecánico) e inversamente proporcional al camino recorrido.
Se generaliza estableciendo: que el esfuerzo, que es la intensidad del flujo (flux) dela cantidad de movimiento, es proporcional al “gradiente tensorial”, de concen-tración de la cantidad de movimiento.
M C
Cuando yx y son constantes, se simplifica como
My MyC x C C K 0
Las cuales emplean la siguiente nomenclatura:
M y : cantidad de movimiento dentro del sistema, kg m/sV : volumen del sistema, m3 C My : concent. de cantidad de movimiento ( M y/V ), kg/m2 s
A x : área perpendicular a la dirección del flujo, m2 F y : fuerza viscosa o de fricción, N = Newton yx : esfuerzo cortante, intensidad de flujo de la Pa = Pascal
cantidad de movimiento : longitud o espesor característico, m : difusividad mecánica o viscosidad cinemática, m2/sK C : coeficiente global de transferencia de la can-
tidad de movimiento m/s
Expresando la cantidad de movimiento en términos de la velocidad,
y y vV M
Al introducirla en la relación de esfuerzo cantidad de movimiento, se tiene
x
v
A
F y
x
y yx d
d (Ley de Viscosidad de Newton)
Y en la forma integrada, con yx y constantes
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Análisis de procesos G. Chacón V.
0 0 0 x F f K v v C v v v v
Donde:
v : velocidad, m/sC f : coeficiente de fricción adim.K F : C f v v , conductancia mecánica, kg/m2 s Pa s/m : viscosidad -dinámica- ( ) o conducti-
bilidad mecánica, kg/m s Pa s
1.4 EQUILIBRIO MÁSICO
1.4.1 Equilibrio de reacciones químicas
Para las reacciones químicas del tipo:
a A + b B + · · · m M + n N + · · ·
En el equilibro las actividades se relacionan por
b B
a A
n N
m M
aa
aa
K
En la práctica se emplean, los coeficientes empíricos:
Para líquidos Para gases
b
Ba
A
n N
m M
x x x
x xK n
b B
a A
n N
m M
P P y y
y yK
En las cuales los términos significan:
K : coeficiente o “constante” de equilibrio de la reacción químicaK = K(temperatura, naturaleza de las sustancias)
a : actividad de una sustancia componente en la mezclaP : presión del sistema
x : composición molar de la sustancia en la fase líquida y : composición molar de la sustancia en la fase gaseosan : m + n + . . . - a b ...
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Principios científicos G. Chacón V.
1.4.1 Equilibrio entre fases
Cuando un sistema constituido por varias sustancias (especies químicas), que seencuentran, como componentes, distribuidos entre varias fases, está en equilibrio, la
actividad de cada una de ellas, ai, es igual en todas las fases.ai
I = ai II
Para efectos de cálculo se usan las siguientes relaciones
Para líquidos Para gases
iii xa 0ˆ iii f f a
Solución diluida( xi 0)
iii H (Ley de Henry)
iii yK f ˆ
Solución concentrada( xi 1 o yi 1)
10 ii iii y f f ˆ
Solución ideal( xi 1 o yi 1)
1i (Ley de Roult)
iii y f f ˆ (Regla de Lewis
y Randall)
Gases perfectos o ideales(P 0 y f i P) iii PyP f ˆ (Ley de Dalton)
En la práctica se usa yi = mi xi
Ejemplos:Solución gaseosa Lewis y Randall y la líquida normal m = i f i
0/ f i Solución ideal de gases ideales y la líquida ideal m = Pi
0/P
interfase
i f
i
yi 0 1
ase II
xi
ase I
i
Figura 1.10. Equilibrio entre fases.
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Análisis de procesos G. Chacón V.
En las cuales se emplea la siguiente nomenclatura:
ai : actividad de la sustancia i componente de la mezcla.a = a(temperatura, naturaleza de las sustancias, concentración)
i : coeficiente de actividad de la sustancia i en la mezclai f : fugacidad de la sustancia i en la mezcla
f i : fugacidad de la sustancia i pura a las condiciones de la mezcla f i
0 : fugacidad de la sustancia i pura, a la temperaturay presión estándar o de referencia
K i, i0: parámetros
P : presión del sistema xi : composición molar de la sustancia i en la fase líquida yi : composición molar de la sustancia i en la fase gaseosa0 : (supraíndice) indica estado de referencia o estándar.
1.5 LEY DE CONSERVACIÓN
Cuando un sistema (masa de control) realiza un proceso, en que se presentan losfenómenos de transferencia, se cumple que las propiedades extensivas queintervienen no se crean ni se destruyen, solo se transforman. Esto se expresa como:
cantidad cantidad cantidad cantidad cantidadde de de de de
ACUMULACIÓN ENTRADA SALIDA PRODUCCIÓN CONSUMOde la de la de la de la de la
propiedad propiedad propiedad propiedad propiedadextensiva extensiva extensiva extensiva extensiva
Se aplica a propiedades tales como:masa o cantidad de materia de una sustanciacantidad de movimiento
energía (térmica, mecánica, etc.)cantidad de piezascantidad de dineroetc.
En el caso de la masa total, no se transforma, entonces:
Acumulación
Entrada
Salidade la masa total de la masa total de la masa total
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Análisis de procesos 16 G. Chacón V.
CAPÍTULO 2
PRINCIPIOS METODOLÓGICOS EN EL ANÁLISIS DE PROCESOS
INTRODUCCIÓN
Se dice que se lleva a cabo un análisis de procesos cuando se realizan una serie deactividades que conllevan a la descripción o caracterización de los procesos queintervienen en un sistema dado; y que se emplea en la evaluación, categorización,control, predicción o diseño de procedimientos de manufactura, equipos o líneas de
producción y en la resolución de problemas en general.
Al efectuar el análisis, se debe seguir una secuencia lógica de etapas y actividades.Para ello, se deben desarrollar los conceptos, principios y metodologías adecuadas
para lograr las metas planteadas y comunicar los resultados. Como en toda laborhumana, pueden existir diferentes criterios y aún los métodos más rígidos pueden ircambiando con el tiempo y la madurez que se va adquiriendo. En esta unidad se
presentan los principios de la metodología empleada, normalmente, en Ingeniería Química, para el análisis de sistemas con procesos regidos por fenómenos físicos,
principalmente: mecánicos, químicos y de transporte.
2.1 DEFINICIÓN DEL SISTEMA
La primera etapa del análisis, consiste en distinguir, con claridad, su propósito y elsistema a que se refiere. Se debe mostrar la importancia del caso, el contexto(físico, económico, social, legal, etc.) y sus antecedentes. El análisis, debe ser
expresado en términos concretos. Las siguientes definiciones son útiles paradesarrollar esta etapa:
Propósito: Definición del uso que se le va a dar al análisis.
Ejemplos:Caracterizar el comportamiento de un fenómeno o proceso, comparar resultadoscon otro proceso similar, predecirlo, simularlo, etc. Comparar el producto que salede un sistema al variar sus condiciones, evaluarlo, controlarlo, predecir su calidad,certificar su calidad, etc. Diseñar un proceso o equipo, simularlo o proyectar sufuncionamiento, controlarlo, etc. Etc.
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Análisis de procesos G. Chacón V.
Estado: Conceptualización que se establece por la intuición y que permite definirla condición en que se encuentra un ente.
Equilibrio: es un estado en el cual no se denota cambio. Nota: En Ciencia e Ingeniería se evalúan las propiedades en el equilibrio. En Ingeniería se
utiliza para modelar procesos en estado estacionario, como un estado en pseudoequilibrio y para efectuar procesos que aprovechan ciertas características del mismo.
Fenómeno: Una o más transformaciones o cambios de estado, que se llevan a caboen una masa, debido a fuerzas naturales.
Proceso: Una o más transformaciones o cambios de estado, que se llevan a cabo enun ente o mecanismo, natural o artificial, debido a fuerzas inducidas por elmedio, natural o artificialmente.
Sistema: Es el conjunto de elementos, delimitado física o imaginariamente, esco-gido en forma arbitraria, para realizar un análisis. El sistema describe total o
parcialmente un ente o mecanismo, en el cual se lleva a cabo un proceso. Loselementos del sistema pueden interaccionar entre sí y con el medio oalrededores. La definición de sistema genera tres conceptos más:
Masa de control: es el sistema cuya delimitación se hace con base enuna masa fija (cantidad de materia).
Volumen de control: es el sistema que se delimita mediante un volumen
fijo (cantidad de espacio que contiene una cantidad de materia dada,aunque ésta cambie durante el proceso).
Prototipo: es el ente real, puede ser ideal o imaginario también, del cualse está definiendo el sistema o se está haciendo el análisis.
Producto: Beneficio u objeto útil, material o abstracto, generado por un proceso.
Insumos: Son los elementos materiales, recursos económicos, tecnología, materias primas, personal, etc., con los que se cuenta, para que el prototipo obtenga un
producto dado.
Recursos para el análisis: Son los instrumentos de medición, herramientas detrabajo, tecnología de la información y de cálculo, tiempo, dinero, etc., conque se cuenta, para desarrollar el análisis, para un propósito dado.
Medio: Es el ambiente o medio que rodea (alrededor) el sistema y con el cual puede interactuar, del cual recibe los insumos y al que aporta los productos.
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Principios metodológicos G. Chacón V.
2.2 OBSERVACIÓN (Aprendizaje)
El concepto de análisis se refiere a un examen. Lo cual, consiste en la investi-
gación de las características específicas del caso desde una amplia gama de puntosde vista, en prototipos existentes y en condiciones reales de su medio. Es de notarque, para las situaciones en las que se involucran la Ciencia y la Ingeniería físicas,sólo se consideran observaciones que partan de la realidad.
Paralelamente, se realiza una investigación de los principios científicos que rigenlos procesos, los criterios de diseño, la tecnología y los procedimientos de la opera-ción del ente, equipo o mecanismo; así como, de la experiencia cotidiana de todaslas personas que interaccionan con el prototipo, con sus insumos o sus productos.
En la práctica, se ocupa gran cantidad de tiempo en las pacientes y rutinariaslabores de recolección de muestras, evaluación de propiedades y análisis de losdatos y otros resultados; asimismo, en la investigación bibliográfica y de experien-cias previas. En muchos casos se requiere, también, de una labor de ensayo yverificación de modelos para clasificar la información.
En esta etapa el ingeniero debe adquirir toda la información posible y familiarizarsemuy bien con todos los detalles, pues nada sustituye al conocimiento, escogiendolos factores más importantes y desechando los menos importantes. De tal manera,
que se pueda identificar los aspectos más significativos y definir un sistema real yconcreto.
2.3 DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES DEL SISTEMA
El acto del análisis, también se refiere a la identificación y separación de las partesde un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos; en el contexto de laformulación de modelos y la resolución de problemas, corresponde a definir lasvariables que describen un sistema y rigen el comportamiento de los procesos involucrados. Por lo que, se deben plantear las principales variables, que han sidodescubiertas. Deben ser clara, cuidadosa y objetivamente establecidas; también, sedeben definir, sí existen, las relaciones entre ellas. La siguiente clasificación, esmuy útil para el análisis de procesos.
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Análisis de procesos G. Chacón V.
Variables del sistema: Son las propiedades, características o atributos que definenuno y sólo un estado, del sistema.
Variable o factor independiente, causa o estímulo: es aquella variable que está determinada por el medio o alrededor y puede ser cambiada
por influencias del mismo o por el usuario.Ejemplos: Temperatura, presión, volumen, flujo de entrada, concentración dela materia prima, tipo de materia prima, casa fabricante, tipo de reactor, etc.
Variable dependiente, efecto o respuesta: es aquella variable que estádelimitada por el proceso que se realiza en el sistema y la gobiernael principio o ley de conservación. Este tipo de variable debe sermedible o evaluable por la cuenta o proporción de un atributo, esdecir cuantitativa.Ejemplos: Densidad, concentración, rendimiento, color, porcentaje de
defectuosos, fracción de elementos aceptados, cantidad tolerada, etc.
Relaciones constitutivas: Son las relaciones funcionales, o modelos, entre dos omás de las variables involucradas en el proceso, que suelen encontrase en elanálisis (son diferentes a las leyes de conservación), formuladas en formamecanicistas o empírica. También, se refieren a las relaciones entre los
parámetros con las variables de interés.Ejemplos: Las que relacionan propiedades energéticas con propiedadesmensurables: energía interna con la temperatura, potencial químico con laconcentración, cantidad de movimiento con la velocidad, etc.; las leyes
fenomenológicas: de Newton, Fourier, Fick, etc., la capacidad calorífica con latemperatura, el volumen de exceso con la concentración, etc.
Parámetros: Son los factores o coeficientes que ayudan a formar las funcionesentre las variables, de las relaciones constitutivas. Los parámetros puedenestar afectados por las mismas variables o por otras causas externas alsistema, formando a su vez relaciones constitutivas (situación que lasdiferencia de las constantes).Ejemplos: Capacidad calorífica, conductividad térmica, porosidad, viscosidad, parámetros empíricos de una relación constitutiva o de un modelo, etc.
Condición de contorno, frontera, límite o cota: Es el valor que adquiere unavariable dependiente para una magnitud específica de una variable inde-
pendiente. Es el valor que toma una función (o variable dependiente), suderivada, su integral, etc. en un punto o valor fijo de una de las variablesindependientes, par ordenado, durante el proceso, que realiza el sistema; suconocimiento se intuye de las condiciones físicas del sistema estudiado.
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Principios metodológicos G. Chacón V.
2.4 FORMULACIÓN DEL MODELO O HIPÓTESIS
El análisis se concluye con la explicación, descripción o caracterización cuantitati-
va o cualitativa del comportamiento y de las cualidades del fenómeno o proceso queel sistema lleva a cabo, que se denomina hipótesis o modelo. Establece, también, larelación con los insumos, los productos y el medio del sistema que representa un
prototipo dado y cuyas características queremos conocer.
Modelo: Es la descripción de los fenómenos o procesos que se llevan a cabo en unsistema dado, utilizando las variables que se consideran que lo afectan mássignificativamente y las interacciones entre ellas. Se expresa en forma desímbolos: verbales, escritos, imágenes, esquemas, relaciones funcionalesmatemáticas (gráficos, cuadros o funciones analíticas) o un ente similar al
prototipo pero en otra escala o tamaño, denominado piloto.La formulación generalizada de una realidad física, mediante el modelo, para unsistema, es una percepción humana desarrollada a partir de hechos imaginarios,conceptos, definiciones y procedimientos abstractos, el cual, no es exactamente unaréplica de esa realidad. Se debe, entonces, definir aquellas condiciones del sistema,en cada una de las etapas de su formulación, que ayudan a simplificar el modelo, sucomunicación, su utilización y, en el caso de modelos matemáticos, facilitar lasolución de la ecuación obtenida. Aunque, esta actividad restrinja el uso delmodelo.
Condiciones del modelo: Es el conjunto de consideraciones y aproximaciones, quecomplementan y simplifican la descripción del prototipo, para facilitar ladescripción de los procesos del sistema.
Para que un modelo sea útil debe de tomarse en cuenta que:
- sea eficaz en su propósito u objetivo- tenga sentido físico- sea eficiente en la exactitud deseada, para describir el comporta-
miento del prototipo - sea matemáticamente consistente- sea dimensionalmente consistente- sea sencillo y de fácil empleo- sea físicamente completo y consistente- cumpla las condiciones de contorno - represente adecuadamente el proceso y el sistema
En este documento se trata el desarrollo de modelos matemáticos de procesos físicos. Aunque en principio, se podría obtener una descripción matemática de
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Análisis de procesos G. Chacón V.
cualquier fenómeno o proceso de un sistema, no siempre es posible o se tiene unsistema muy complejo para ser tratado matemáticamente.
La formulación de un modelo matemático para el proceso efectuado por un sistema
dado, consiste en el resultado de su análisis, realizado por medio del Principio oLey de conservación, expresado en forma de símbolos matemáticos. El principio dela conservación se relaciona con fenómenos de transferencia y de generación demasa, cantidad de movimiento, energía, dinero, elementos y otras propiedadesextensivas, físicas o no. La que utiliza ecuaciones en términos de potenciales y devariables del sistema; algunas no son mensurable, para las cuales, se debenestablecer las relaciones constitutivas necesarias, entre las variables de interés.
Modelo matemático: Es el grupo de ecuaciones, que bajo ciertas condiciones y paraun propósito dado, provee una descripción adecuada de los fenómenos o
procesos de un sistema físico, para el producto de interés. La formulación del modelo es un procedimiento inherentemente sencillo, pero esnecesario un "entrenamiento" para acostumbrarse a expresar la realidad física ensímbolos matemáticos.
El modelo matemático se representa, por lo general, con ecuaciones diferenciales,algebraicas, en diferencias, etc. cuya complejidad aumenta al complicar y refinar elmodelo. La cual, deben resolverse en forma de relaciones operativas: funcionesanalíticas, cuadros, gráficos, etc.
Nota: En este documento, se analizan procesos en sistemas de una etapa, equipo o ente;los cuales se representan, generalmente, mediante ecuaciones diferenciales y sussoluciones. En otros tipos de análisis, como en el de redes de elementos eléc-tricos, tuberías, sistemas energéticos, procesos en varias etapas, plantas químicas,sistemas de producción, etc., se obtienen ecuaciones matriciales y grafos; loscuales forman el campo de la modelización llamado Simulación y se utilizan lasecuaciones finales o modelos obtenidos en cada etapa.
2.5 ESTANDARIZACIÓN Y CONCLUSIÓN
El modelo debe ser generalizado y verificado teóricamente, asegurando su con-gruencia con el prototipo. Además, debe ser dimensionalmente consistente ycumplir las condiciones de contorno.
En el caso de un modelo matemático, el resultado debe ser propuesto agrupando susvariables, parámetros y constantes, en variables adimensionales o normalizadas, de
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Principios metodológicos G. Chacón V.
tal forma que se represente por medio de ecuaciones algebraicas, gráficos ocuadros. Para tal efecto, la forma de la ecuación, modelo matemático, obtenida,normalmente indica el camino a seguir. Esto tiene como objetivo:
- generalizar los resultados, más fácilmente- proponer relaciones de “escalamiento” para sistemas análogos y para el
diseño.- formular modelos con base en el principio de analogía de fenómenos y
procesos - proponer refinamientos empíricos del modelo teórico o mecanicista- obtener variables normalizadas del orden de uno; para que, según los
expertos, se facilite la evaluación o ajuste de los coeficientes o parámetros del modelo a partir de datos experimentales.
Por último, debe informarse los resultados, adecuadamente, e indicarse los datos yámbitos de aplicación de las variables y resultados. Deben ser tan explícitos yclaros como sea posible para poder ser usado sin equívocos. Luego, plantear situa-ciones sin analizar, problemas sin resolver y planear el trabajo futuro para elinvestigador mismo o un posible usuario del modelo.
2.6 COMPROBACIÓN DEL MODELO
Una vez propuesto el modelo, se procede a verificarlo o compararlo con la realidad, para evaluar su reproducibilidad. Con tal propósito se utilizan los datos obtenidosen el prototipo original o en uno piloto. Éste, es un proceso de prueba, compa-ración, verificación y refinamiento del modelo, en forma sistemática, hasta alcanzarla satisfacción proyectada. Cuando este proceso de investigación, se repite paraotras escalas de equipos o procesos reales, en diferentes épocas, se denominavalidación.
No existe una estrategia general para desarrollar la experimentación, pero se debe
planificar siguiendo criterios similares a las etapas y metodología del análisis oformulación de modelos indicada en este capítulo. Para lo cual, la filosofía delMétodo científico, el Diseño estadístico para experimentos y las obras sobreExperimentación, presentan los criterios y métodos para organizar y evaluar lainformación. La parte experimental, además, debe reflejar las circunstancias,condiciones y variables, del sistema de interés.
Las propiedades medidas deben identificarse cuidadosamente, tener relación con el propósito y las variables del modelo definido. Su valoración debe apegarse a los
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Análisis de procesos G. Chacón V.
procedimientos, normas y sistemas de medición basados en la Ciencia, la Metro-logía y el campo de su disciplina profesional o científica. El tratamiento de losresultados experimentales, datos, su análisis y comparación, así como la evaluaciónde los parámetros, deben ser matemática y estadísticamente válidos
Decidir en qué grado se satisface el modelo y la aptitud para el uso del mismodepende, como actividad propia del ejecutante, de los criterios que establezca paratomar sus decisiones sobre:
- el propósito (del análisis), eficacia - la reproducibilidad, del prototipo, que se pretende, eficiencia - la exactitud para reproducir los variables - la precisión con que se desean los resultados - la disponibilidad de recursos con que se cuente.
2.7 PRESENTACIÓN DEL MODELO O ANÁLISIS
En este curso y en general en la carrera, el estudiante no va a completar todas lasetapas, específicamente la etapa experimental de toma de datos y comprobación delmodelo; pues éstas, requieren de mucho tiempo y recursos físicos. Por lo que, losejercicios, en los diferentes cursos, son para ejemplarizar, familiarizar y entrenar alestudiante en los conceptos y metodologías.
En la práctica profesional, el ingeniero, debe usar los fundamentos aprendidos en launiversidad, para resolver problemas que le son poco familiares, de un mayoralcance e incompletamente conocidos. Razón por la cual, el estudiante de
ANÁLISIS
MODELO PROTOTIPOS APLICACIÓN
CONSIDERACIONES
APROXIMACIONES
COMPROBACIÓN
USO
Figura 2.1. Ciclo de la comprobación de un modelo.
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Principios metodológicos G. Chacón V.
Ingeniería, debe adquirir hábitos correctos en la solución de problemas y en la presentación de los mismos. Para ello, se le recomienda:
- Conocer todo lo posible sobre el proceso y equipos- Seguir cuidadosamente las etapas planeadas, según una metodología eficaz- Desarrollar una secuencia lógica de pasos- Presentar nítidamente el desarrollo del modelo o problema, según los
métodos y normas de su disciplina- Definir cada variable, con sus dimensiones- Indicar cada etapa claramente- Verificar, revisar y cerciorarse, cuidadosamente, de la correcta ejecución
de cada paso.
2.8 ASIGNACIONES
Lecturas:
2.1 Capítulo 1; Kessler, D. P. and Greenkorn, R. A. Momentum, Heat and Mass
Transfer . Marcel Dekker Inc., New York, 1999.
2.2 Capítulo 2; Himmelblua, D. M. Principios básicos y cálculos en Ingeniería
Química. Prentice Hall Hispanoamericana., México, l997.
2.3 Capítulo B; Jones, J. B y Dugan, R. E. Ingeniería Termodinámica. Prentice
Hall Hispanoamericana., México, l997.2.4 Capítulo 4; Baird, D. C. Experimentación. Prentice Hall Hispanoamericana.,
México, l988.
2.5 Capítulo 2; Russell, T. W. F y Denn, M. M. C. Introducción al análisis en
Ingeniería Química. Limusa, México, l976.
2.6 Capítulo 10; Kume, H. Herramientas Estadísticas básicas para el mejora-
miento de la calidad . Norma, Bogotá, l992.
2.7 Aris, R. “Mathematical Modeling Techniques” en Research Notes in Mathe-
matics. Pitrman, Londres, 1978.
Ensayos:
2.8 Teoría, experimento, experiencia y práctica.
2.9 Ciencia, Tecnología e Ingeniería.
2.10 Análisis, diagnóstico, evaluación, control, diseño.
2.11 Trabajo: técnico, profesional, académico.
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Análisis de procesos 25 G. Chacón V.
CAPÍTULO 3
ANÁLISIS MACROSCÓPICO DE PROCESOS
EN ESTADO UNIFORME TRANSITORIO
una variable independiente
INTRODUCCIÓN
En la presente unidad se desarrolla el procedimiento para formular modelos desistemas en los que se lleva a cabo un proceso, cuyas propiedades de estado varíancon el tiempo, estado transitorio, pero se considera que en cada instante, éstas, no
varían con la posición,estado uniforme
. Por ello, se denominaanálisis
macros-
cópico o poblacional. En algunos casos, el estado estacionario, permanente oestable del proceso, es el límite cuando ha transcurrido un tiempo relativamentegrande.
Los modelos matemáticos que describen los sistemas estudiados en esta unidad,usualmente, generan una ecuación diferencial de primer orden.
3.1 BALANCE DE MASA
OBJETIVO
En esta unidad se muestra la técnica del balance de masa, que consiste en aplicar laLey de conservación de la masa al sistema en estudio. Esta primera sección seaprovecha, como ejemplo, para mostrar en detalle el desarrollo de:
- los aspectos que se presentaron en el capítulo dos y que se usarán en elresto del documento
- las técnicas de análisis, que luego se aplicarán en forma resumida- la forma en que la ley de conservación, que científicamente está for-
mulada para un sistema de masa constante e independiente del tiempo,se pueden convertir para razones de propiedades con respecto al tiem-
po, con el objeto de ser aplicadas a volúmenes de control- el concepto de infinito- el concepto de comprobación del modelo- el concepto de analogías entre los procesos de interés en Ingeniería
Química
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
SISTEMA
DescripciónUn recipiente se emplea para acondicionar una solución de sulfato de
amonio. Encuentre una relación entre la cantidad de la sal, existente en eltanque, y el tiempo. Considere que el flujo volumétrico de entrada esigual al de salida y que la solución en el tanque se mantiene agitada.
DatosVolumen de solución en el tanque 0,4 m3 Cantidad de sal al inicio en el tanque 80 kgFlujo de entrada (y salida) 0,3 m3/ksConcentración de sal en la entrada 100 kgde sal/m
3
Volumen de control
DEFINICIÓN DE VARIABLES
Variable independientet : tiempo, ks
Variables dependientes
C : concentración instantánea de sulfato de amonio (A), en el tanque,kg de A/m3
C S : concentración de A en la salida, kg de A/m3
Variables fijasV : volumen de la solución en el tanque, m3
E V : flujo volumétrico a la entrada, m3/ks
S V : flujo volumétrico a la salida, m3/ksC E : concentración de A a la entrada, kg de A/m3
E V
C E
S V
C S
V
C
Como volumen de control, se considerael líquido contenido en el recipiente.
S V
C S
E V
C E
V
C
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Análisis de procesos G. Chacón V.
RELACIÓN CONSTITUTIVA
= (C , T )
La densidad es función de la concentración y la temperatura.
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN (FORMULACIÓN DEL MODELO)
A partir de la Ley de conservación para la masa de una sustancia A, que está cien-tificamente planteada en forma independiente del tiempo, se establece el balance demasa.
ACUMULACIÓN MASA MASA ENTRADA SALIDA DE = ACTUAL - ANTERIOR = DE - DE
MASA DE A DE A DE A MASA DE A MASA DE A
Primero, se describe la "historia" de la masa dentro del sistema o volumen decontrol, al transcurrir un periodo t . Para lo que se sigue una de las dos técnicas deanálisis diferencial de procesos, a saber: la de Euler o riguroso o, bien, la deLagrange o de Ingeniería, (en Ingeniería se suele usar más frecuentemente la segun-da, de allí su nombre):
Método de Lagrange,La función en t + t , se evalúa con el teorema o fórmula de Taylor.
Tiempo t t + t anterior actual
Masa dentro del sistema VC
2
δ
d
dδ
d
d 2
2
2 t
t
VC t
t
VC VC
6
δ
d
d 3
3
3 t
t
VC
(m3) (kgA/m3) kgA
Flujo de masa que entra E E C V
E E C V
(m3/ks) (kgA/m3) kgA/ks
Flujo de masa que sale S S C V
2
δ
d
dδ
d
d 2
2
2 t
t
C V t
t
C V C V S S S S
S S
6
δ
d
d 3
3
3 t
t
C V S S
(m3/ks) (kgA/m3) kgA/ks
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
Segundo, se aplica la ley de conservación para la masa de la sustancia A,
VC
t
t
VC t
t
VC t
t
VC VC
6
δ
d
d
2
δ
d
dδ
d
d 3
3
32
2
2
2
δ
6
δ
d
d
2
δ
d
dδ
d
dδ
3
3
32
2
2 t t
t
C V t
t
C V t
t
C V C V C V t C V S S S S S S
S S S S E E
Efectuando las operaciones y dividiendo por t
6
δ
d
d
2
δ
d
d
d
d 2
3
3
2
2 t
t
VC t
t
VC
t
VC
12
δ
d
d
4
δ
d
d
2
δ
d
d 3
3
32
2
2 t
t
C V t
t
C V t
t
C V C V C V S S S S S S
S S E E
Calculado el límite cuando t tiende a 0, se obtiene
S S E E C V C V
t
VC
d
d (3.1.1)
Nótese, que al plantear el análisis con el método de Lagrange, los términos con
derivadas de orden dos o superior se cancelan al hacer esta operación, por lo cual,tradicionalmente, no se incluyen.
Método de Euler 1 (Indicando la variable independiente)
Balance de masa en un periodo t ,
Tiempo t , anterior t + t , actual Dimensiones
Masa dentro del sistema t VC t t VC δ kgA
Flujo de masa que entra E E C V E E C V kgA/ksFlujo de masa que sale
t S S C V t t S S C V δ
kgA/ks
Aplicando la ley de conservación para la masa de la sustancia A,
2δδδδ
t C V C V t C V VC VC t S S t t S S E E t t t
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Análisis de procesos G. Chacón V.
Efectuando las operaciones y dividiendo por t
2δ
δδ t S S t t S S E E
t t t C V C V C V
t
VC VC
Obteniendo el límite cuando t tiende a 0, se llega a la ecuación 3.1.1
Método de Euler 2 (En términos de la variable dependiente)
Balance de masa en un periodo t ,
Tiempo t , anterior t + t , actual Dimensiones
Masa dentro del sistema VC VC VC δ
kgA Flujo de masa que entra E E C V E E C V kgA/ks
Flujo de masa que sale S S C V S S S S C V C V δ kgA/ks
Aplicando la ley de conservación para la masa de la sustancia A,
2δδδδ t C V C V C V t C V VC VC VC S S S S S S E E
Efectuando las operaciones y dividiendo por t
2
δ
δ
δ S S S S E E
C V C V C V
t
VC
Evaluando el límite cuando t tiende a 0, se obtiene, de nuevo, la ecuación 3.1.1
En la ecuación del balance de masa se observa cómo, la forma de la Ley de con-servación se convirtió de relaciones entre propiedades independientes del tiempo,en relaciones con razones de propiedades con respecto al tiempo, que se puedeaplicar a un volumen de control, acción denominada Teorema del transporte.
VELOCIDAD FLUJO FLUJO DE DE DE
ACUMULACIÓN ENTRADA SALIDA DE DE DE
MASA MASA MASA
En forma resumida:
VAmasa FE masa FS masa
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
Se puede generalizar, este procedimiento, al balance de energía, cantidad de movi-miento, etc. También, se puede aplicar a los términos de producción y consumo dela ley de conservación.
Vale recordar, que sin los conocimientos empleados en este desarrollo, al ejecutantedel análisis no le sería tan fácil comprender la razón de la forma matemática decada término; como se puede apreciar en el hecho, de que aunque la masa de salidavaría, se usa el valor de una función y no su derivada con respecto al tiempo.También, con este caso, es importante que se observe la diferencia conceptual ymatemática entre acumulación y flujo.
Para el caso del análisis macroscópico, como la velocidad de acumulación, el flujode entrada y salida y la velocidad de producción y consumo, siempre se expresan dela misma manera, esta relación se puede aplicar directamente, sin todo el desarrollo
efectuado; el cual se hizo, para efectos de demostrar que el método está correcto. No así, para el análisis microscópico, que se estudia en el siguiente capítulo, en elque si hay que detallar un poco el análisis.
CONDICIONES DEL MODELO
1.- Agitación perfecta. Se supone que la masa es uniforme.
C S = C
Esto propone, como aproximación, que la concentración de la saldentro del tanque es igual que la de su salida, en cualquier instante.
2.- El volumen del tanque es mucho mayor que el flujo de masa.
V >> E V
Lo que supone que el tiempo de residencia, de una partícula en eltanque, es lo suficientemente largo para que se haya logrado lahomogeneización y que la masa salga con una concentración diferente ala que entró.
3.- La densidad es constante.
= cte. con lo que V = V 0 = cte.
Indica que las variaciones en la densidad debido a la concentración y latemperatura se pueden considerar despreciables para efectos de cálculo.
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Análisis de procesos G. Chacón V.
4.- El flujo de salida es constante y es igual al de entrada.
E V = S V = cte.
Lo que considera que el flujo de masa total está en estadoestacionario que la densidad es constante y que el flujo desalida no depende de la altura del líquido en el tanque.
0d
d t V
Entonces, la ecuación del modelo, simplificada con estas condiciones es:
C C V t
C V E E
d
d (3.1.2)
AGRUPAMIENTO DE CONSTANTES
Acción que se emplea para simplificar el tratamiento matemático. Se debe tenercuidado de que:
- Los valores sean constantes durante el proceso, es decir, no dependande las variables independientes, ni de las dependientes.
- Que el grupo de constantes sea positivo.
Se define tiempo de residencia o retención como
E V V = 1,33 ks
y la ecuación queda
C C
t
C E d
d (3.1.3)
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
Arreglando la ecuación 3.1.3, en forma canónica,
E C C
t
C
d
d (3.1.4)
Integrando, esta ecuación diferencial ordinaria lineal, queda
t C C C TE E exp (3.1.5)
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
CONDICIONES DE CONTORNO
Para evaluar las constantes de integración se utilizan condiciones físicas intuidasdel proceso mismo, llamadas condiciones de contorno, límites o cotas, en este caso
un valor o punto de una función,cuando t 0 entonces C C 0 200 kg de A/m3 (Condición inicial)
Con las que se evalúa la C TE C 0 C E
Sustituyendo la constante y arreglando, se obtiene la relación operacional
/exp0
t C C
C C
E
E
(3.1.6)
Otra forma de expresarla es
t
C C
C C
E
E
0
ln (3.1.6)
NORMALIZACIÓN, VARIABLES ADIMENSIONALES.
Para convertirla en una ecuación con variables adimensionales, se sigue la forma dela ecuación obtenida, 3.1.6, así:
0
*C C
C C C
E
E
* E t V t t
V
Con lo que se obtiene la ecuación en variables adimensionales,
*exp* t C (3.1.7)
VERIFICACIÓN
En las ecuaciones 3.1.6 y 3.1.7 se puede observar que:
- El modelo es dimensionalmente consistente (Análisis dimensional).- En el estado inicial: cuando t 0 entonces C C 0 - En el estado estacionario: cuando t entonces C C E
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Análisis de procesos G. Chacón V.
COMPROBACIÓN DEL MODELO
La comprobación del modelo no se desarrolla, para cada caso, en este documento, pues los sistemas más complejos e interesantes requieren arduas labores de inves-
tigación en planta o planta piloto, los prototipos no siempre son asequibles y lareproducción física del sistema requiere de recursos económicos altos. En loscursos de laboratorio de la carrera, en los proyectos, en los trabajos de graduación einvestigación y en la práctica profesional, se presentarán casos en los cuales seefectúa esta etapa del proceso de análisis. Sin embargo, en este capítulo semuestran sistemas sencillos, de los cuales algunos son fáciles de reproducir en
planta o en el laboratorio, por lo que se pueden desarrollar como proyecto tutorialdel curso.
Para lo que, en el capítulo 7, se presentan la teoría y casos, a manera de ejemplos,sobre la comprobación del modelo. Del cual se reproduce la figura 7.14 modificadacomo Fig. 3.1, con datos correspondientes al caso discutido en esta sección.
Figura 3.1 Variación de concentración del sulfato de amonio en un tanque agitado conflujo constante de 0,3 m3/kg, con una concentración de 100 kg/m3 y unacapacidad efectiva de 0,4 m3.
Se observa que los datos experimentales se distribuyen en forma exponencial, comose espera por el modelo. Al inicio se presenta una curvatura y la condición inicialse cumple pasados 0,38 ks, que se podría interpretar con un retardo o “una especiede inercia” del proceso; lo cual, se describe matemáticamente como undesplazamiento del tiempo o “tiempo de retardo”. En este periodo se manifiesta unmecanismo diferente al propuesto y que no se contempló en las condiciones delmodelo. El estado estacionario coincide con el comportamiento asintótico delmodelo, aunque los datos experimentales son ligeramente mayores que los queofrece el modelo.
75
100
125
150
175
200
225
0 1 2 3 4 5 6 7 8Tiempo, ks
C o n
c e n t r a c i ó n ,
k g / m 3
Ensayo 1Ensayo 2Modelo 1Modelo 2 : Ec 3.1.6
Modelo 1: 38,075.01100 t eC
Modelo 2: t eC 75.01100
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
CONCEPTO DE INFINITO
Aunque matemáticamente se represente una condición límite como infinito, en la práctica significa un valor relativamente grande. En el caso del problema de esta
sección, es muy importante porque representa el estado estacionario del proceso.De la misma forma, cuando una cantidad es pequeña comparada con otra, alsumarse o restarse se considera 0 o infinitamente pequeña.
Para el análisis del concepto de infinito, se usa la ecuación 3.1.6 con los valoresnuméricos sustituidos y despejando el tiempo.
1,333 ln /100 1t C (3.1.8)
Los valores para diferentes grados de aproximación a la concentración correspon-
diente al infinito, C E , son:Aproximación C t t
% C E kg/m3 ks horas min. seg.
10 110 3,07 51 10
1 101 6,14 1 42 20
0,1 100,1 9,21 2 34 30
0,01 100,01 12,28 3 25 40
0,001 100,001 15,35 4 16 51
Como se muestra en los resultados, el tiempo infinito en realidad corresponde a unamagnitud relativamente grande, entonces, se puede asegurar, con el 1% deaproximación, que el estado estacionario se alcanza en 6 ks (1 hora: 40 minutos).La decisión de cuándo se alcanza un estado dado, depende de la precisión oincertidumbre de las variables experimentales o reales. En los casos de ingeniería
práctica, normalmente es entre 1 y 5 % de error, en otras actividades puede sermejor la aproximación.
ANALOGÍAS ENTRE LOS MODELOS DE LOS SISTEMAS
Se puede observar, que los modelos de los procesos de interés, para un sistemasimilar en su forma y condiciones, presentan características en común, como:
- Descripción física del sistema- Forma del modelo matemático- Naturaleza dimensional del resultado.
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Análisis de procesos G. Chacón V.
Lo cual es muy útil en Ingeniería para la simulación, tanto física como matemáticade los procesos, la evaluación de propiedades y para el control y el diseño de pro-cesos.
En el caso de un sistema tipo recipiente en el cual entra o sale masa, energía o cargaeléctrica se puede comprobar este hecho, al realizar el balance de conservaciónrespectivo, como se ilustra a continuación.
Masa Energía Carga eléctrica
C C
t
C E d
d
T T
t
T E d
d
t
Q E d
d
E V V / PE V C V VC / RC
0
*C C
C C C
E
E
0
*T T
T T T
E
E
0
QQQ
E
E
t V
V t t E
* t VC
C V t t
V
PE
* t RC
t t
1*
*exp* t C *exp* t T *exp* t Q
Donde:t : tiempo, sC : concentración de la
sustancia A, kmol/m3 C E : conc. a la entradaV : volumen de la masa
en el recipiente, m3
E V : flujo volumétricoen la entrada, m3/s
t : tiempo, sT : temperatura, K
T E : temp. a la entrada,V : volumen de la masa
en el recipiente, m3 C v: y C P: capacidad
calorífica, J/kg K
E V : flujo volumétricoen la entrada, m3/s
t : tiempo, sQ: carga, A s
QE : carga a la entradaC : capacidad eléctrica,
A s/V R: resistencia eléctrica,
V/A
QE Q
E V T E
S V
T S
V
T
E V
C E
S V
C S
V
C
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
3.2 BALANCE DE ENERGÍA
OBJETIVO
Se muestra la técnica para efectuar el balance de energía, mediante la ley de conser-vación, al sistema en estudio.
SISTEMA
DescripciónEn un sistema de tanque agitado sin flujo se calienta una solución, me-diante vapor condensante que fluye externamente dentro de la chaqueta,que rodea al tanque metálico. Se desea encontrar el periodo en que lasolución alcanza una temperatura dada.
Datos:Temperatura inicial de la masa en el tanque 25 CTemperatura del vapor condensante 100 CDensidad de la solución a 30 C 1012 kg/m3 Capacidad calorífica de la solución a 25 C 4,3 kJ/kg KCoeficiente global de transferencia de calor, sobre la base
del diámetro del tanque, para todo el sistema, a 50 C. 0,5 kW/m2 KAltura del líquido en el tanque 2 mRadio del tanque 1,2 m
Volumen de control
Ts1
Ts2
T T V
q
Vapor
MTq
T V
As
As2·
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Análisis de procesos G. Chacón V.
DEFINICIÓN DE VARIABLES
Variable independientet : tiempo, s.
Variable dependienteT : temperatura instantánea de la solución en el tanque, K
Variables fijasT V : temperatura del vapor condensante en la “chaqueta”, K
M : masa de la solución en el tanque, kg AS : área de transferencia de calor, m2.
Variables intermediasE : Contenido energético de la solución, kJ
T S1-2 : temperaturas de la pared del recipiente, CQ : flujo de energía o calor del vapor hacia la solución, kW.
ParámetrosC : capacidad calorífica de la solución, kJ/kg KhS : coeficiente de transferencia de calor de la solución, kW/m2 KhV : coeficiente de transferencia de calor del vapor, kW/m2 KhP : conductancia (k / ) térmica del material de la pared, kW/m2 KU : coeficiente global de transferencia de calor del sistema, kW/m2 K.
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN (FORMULACIÓN DEL MODELO)
Aplicando el principio de conservación a la energía y usando la forma resumida, setiene:
VAenergía FE energía FS energía RPenergía RC energía
Velocidad de acumulación de energía, VAenergía = t E dd (1/s)(kJ)
Flujo de energía a la entrada, FE energía
= Q kW
Flujo de energía a la salida, FS energía = S Q kWRapidez de producción de energía, RPenergía = no hay
Rapidez de consumo de energía, RC energía = no hay
En términos algebraicos, el balance de energía queda:
S QQt
E
d
d (3.2.1)
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
Para poder resolver esta ecuación, las variables energéticas deben ser transformadasen variables medibles, mediante relaciones constitutivas. También, debenestablecerse las condiciones de contorno y del modelo del sistema.
RELACIONES CONSTITUTIVAS
Las relaciones para los fenómenos involucrados en este sistema son:
La definición de capacidad calorífica REF T T MC E
La definición de coeficiente de transferencia f S S S T T AhQ
de calor o Ley de enfriamiento de Newton
La densidad es función de la temperatura = (T )
La capacidad calorífica es función de la temperatura C = C(T )
Variación del coeficiente de transferencia de calor h = h(T, , Agitación, etc.)
Sustituyendo las relaciones constitutivas en el modelo, Ec. 3.2.1, se tiene:
S S S S
REF QT T Aht
T T MC
1d
d (3.2.2)
Pero la energía que entra al tanque es igual a la que sale del vapor y la que atraviesa
la pared, entonces
1 1 1 2 2 2S S S P S S S V S S V V h A T T h A T T h A T T U A T T (3.2.3)
Resolviendo este sistema de ecuaciones para U , el coeficiente global de transfe-rencia de calor, se tiene
1 2
1
S S P S V S
U A A A
h A h A h A
(3.2.4)
CONDICIONES DEL MODELO
1.- Agitación perfecta. Se supone que la masa es uniformeT = es homogénea.
2.- Las propiedades de la materia no dependen de la temperatura = es constanteC = es constante
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Análisis de procesos G. Chacón V.
3.- Los coeficientes de transferencia de calor no varían con las variables del proceso,
U = es constante, lo mismo hS , hV y hP.
4.- Los efectos energéticos entre el sistema y el medio son despreciables
S Q = Transferencia de calor con el medio, es despreciable
S W = Potencia del eje, es despreciable.
5.- No hay evaporación
Entonces, la ecuación simplificada del modelo es:
T T UAt
T MC V
d
d (3.2.5)
AGRUPAMIENTO DE CONSTANTES
Sea: UA MC , s.
y la ecuación del modelo se modifica como:
T T
t
T V d
d (3.2.6)
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
Separando variables
t
T T
T
V
dd
(3.2.7)
Integrando
TE V C t T T
ln (3.2.8)
CONDICIÓN DE CONTORNO
Cuando t = 0 T = T 0: (condición inicial)La temperatura inicial de la masa, en el tanque, K
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
Con las que se evalúa la 0ln T T C V TE
Y se obtiene la relación operacional
t
T T
T T
V
V
0
ln (3.2.9)
Otra forma, más común, de expresarla es
t
T T
T T
V
V exp
0
(3.2.10)
NORMALIZACIÓN, VARIABLES ADIMENSIONALES
Se definen las siguientes variables adimensionales, siguiendo la forma de laecuación obtenida, así:
0
*T T
T T T
V
V
t t
UA
MC t *
Con lo que se obtiene la ecuación en variables adimensionales
*exp* t T (3.2.11)
VERIFICACIÓN
1.- Análisis dimensional: en las ecuaciones 3.2.9 y 3.2.10 y 3.2.11 se
observa que el modelo es dimensionalmente consistente.2.- El estado inicial: cuando t = 0 entonces T = T 0.
3.- Cuando t entonces T = T V ; que es la condición de equilibriotérmico.
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Análisis de procesos G. Chacón V.
3.3 BALANCE DE MASA CON REACCIÓN QUÍMICAReactor transitorio
OBJETIVO
Se muestra la técnica para efectuar el balance de masa de las sustancias compo-nentes de una mezcla, cuando existe reacción química. Se muestra el reactor tipotransitorio o “batch”, que es utilizado en el laboratorio y en la industria.
SISTEMA
DescripciónEn un reactor “por tandas”, que consiste en un recipiente o tanque, se co-loca una cantidad de un reactivo A junto a otra de reactivo B, este últimoen exceso. Entre ambas sustancia ocurre una reacción irreversible desegundo orden. Se necesita encontrar la variación de la cantidad de A conel tiempo, durante la reacción.
Volumen de control
DEFINICIÓN DE VARIABLES
Variable independientet : tiempo, ks
Variables dependientes M A : cantidad de masa de A presente, kmol de A M B : cantidad de masa de B presente, kmol de B.
Variables fijas M : masa total en el tanque de reacción, kmol.
M A
M B
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
Parámetro : parámetro cinético o coeficiente de rapidez de la reacción,
(kmol ks)-1.
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN (FORMULACIÓN DEL MODELO)
Aplicando el principio de conservación a la masa de cada sustancia, A y B, se tiene:
VAmasa de A FE masa de A FS masa de A RPmasa de A RC masa de A
Para A Para BVelocidad de acumulación de masa, VAmasa t M A dd t M B dd
(kmol) (1/s)
Flujo de entrada de masa, FE masa 0 0Flujo de salida de masa, FS masa 0 0Rapidez de producción de masa, RPmasa no hay no hayRapidez de consumo de masa, RC masa Ar Ar
(kmol/s)
El balance de masa queda:
Para A Para B
A
A
r t
M
d
d
A
B
r t
M
d
d
(3.3.1)
RELACIONES CONSTITUTIVAS
Las relaciones para los fenómenos involucrados en este sistema y que se emplean para resolver el sistema de ecuaciones, anterior, son:
La reacción es del tipo A + B productos
La cinética es de segundo orden (-r A) = M A M B El parámetro cinético depende de la temperatura = (T )
Restando las ecuaciones del modelo 3.3.1, se tiene:
0d
d
d
d
t
M
t
M B A (3.3.2)
Que es la aplicación de la Ley de la Estequiometría.
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Análisis de procesos G. Chacón V.
CONDICIONES DEL MODELO
1.- Agitación perfecta. Se supone que la masa es uniforme M A y M B están distribuidas en forma homogénea
2.- La reacción es irreversible y con cinética de segundo orden.
3.- El coeficiente de rapidez de reacción no varía con las variablesdel proceso.
= es constante
Sustituyendo las relaciones constitutivas en la ecuación del modelo 3.3.1, seestablece la relación para A,
B A A M M t M dd (3.3.3)
AGRUPAMIENTO DE CONSTANTES
No es útil en este caso.
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
Integrando la ecuación estequiómétrica, 3.3.2
1C M M A B (3.3.4)
Entonces, la ecuación para el balance de la sustancia A es:
1d
dC M M
t
M A A
A (3.3.5)
Separando variables e integrando
211
ln1
C t C M
M
C A
A
(3.3.6)
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
CONDICIÓN DE CONTORNO
Cuando t = 0 M A = M A0 ; M B = M B0 ; tal que M B0 > M A0 M A0 : masa molar de la sustancia A en el tanque al inicio, kmolA. M
B0 : masa molar de la sustancia B en el tanque al inicio, kmol
B.
Se sustituyen en la Ec. 3.3.4 para evaluar la C 1 y se obtiene,
001 A B M M C
Evaluando C 2, se tiene
000
0
002 ln
1
A B A
A
A B M M M
M
M M C
Sustituyendo en la Ec. 3.3.4, se obtiene la estequimetría de la reacción,
00 B A A B M M M M (3.3.7)
Aplicando C 1 y C 2, en la Ec. 3.3.6 y arreglando, se tiene
t
M M
M
M
M M M
M
A B
A
B
B A A
A
00
0
0
00
ln
(3.3.8)
VERIFICACIÓN
1.- Análisis dimensional: en la ecuación 3.3.8 se observa que el mo-delo es dimensionalmente consistente.
2.- El estado inicial, cuando t = 0 entonces
10
0
00
A
B
B A A
A
M
M
M M M
M M
A M
A0
3.- Cuando t entonces, se agota el reactivo limitante,
00
0
00
A
B
B A A
A
M
M
M M M
M M A 0
Lo cual es concordante.
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45
Análisis de procesos G. Chacón V.
3.4 BALANCE DE MASA CON REACCIÓN QUÍMICAReactor continuo tipo tanque agitado
OBJETIVO
Mostrar el balance de masa de una sustancia para el reactor continuo tipo “tanqueagitado”, RCTA.
SISTEMA
DescripciónUna reacción irreversible de primer orden de una sustancia A, con unavelocidad específica de ks-1, se lleva cabo en un reactor continuo tipo“tanque agitado” (RCTA), de V m
3 de capacidad. La sustancia entra conuna concentración dada, C E kmol de A/m3, y se requiere obtener un 80%de conversión en el estado estable. Determine la variación de la concen-tración con el tiempo durante el “arranque”; esto es, el tiempo necesario
para que se alcance el estado estacionario, considerando para ello, elsiguiente procedimiento o protocolo:
i) Comenzar cuando el tanque se encuentra vacíoii) Llenarlo hasta que se alcance el nivel adecuado dentro del tanque,
con el flujo igual al del estado estacionarioiii) En el momento que se llena, se deja salir la masa, también con el
flujo igual al del estado estacionarioiv) La reacción da inicio en el momento en que A cae en el tanque.
Volumen de control
V
C
E V C E
S V
C S
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
DEFINICIÓN DE VARIABLES
Variable independientet : tiempo, ks.
Variables dependientesV : volumen de la masa en el tanque, m3 C : concentración de A en el tanque, kmolA/m3 C S : concentración de A en la salida del tanque, kmolA/m3.
Variables fijas
V : Capacidad efectiva del tanque, m3
E V : flujo de entrada, m3/ks
S V : flujo de salida, m3/ks
E C : concentración de A en la entrada, kmolA/m3 : conversión en el estado estacionario.
Parámetros : coeficiente de rapidez de reacción, ks-1
: densidad de la solución, kg/m3.
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN (FORMULACIÓN DEL MODELO)
Aplicando el principio de conservación a la masa de la sustancia A.
VAmasa de A FE masa de A FS masa de A RPmasa de A RC masa de A
Velocidad de acumulación de masa, VAmasa t CV /dd (kmolA/m3) (m3) (1/ks) kmolA/ks
Flujo de entrada de masa, FE masa E E C V (m3/ks) (kmolA/m3) kmolA/ks
Flujo de salida de masa, FS masa S S C V
(m3/ks) (kmolA/m3) kmolA/ksRapidez de producción de masa, RPmasa no hayRapidez de consumo de masa, RC masa V R A
(1/ks) (kmolA/m3) (m3) kmolA/ks
El balance de masa de la sustancia A es:
V RC V C V
t
CV AS S E E
d
d (3.4.1)
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Análisis de procesos G. Chacón V.
En este caso, el volumen y la concentración varían con el tiempo, por lo que senecesita plantear un balance de masa total.
VAmasa FE masa FS masa
Velocidad de acumulación de masa, VAmasa t V /dd (kg/m3) (m3) (1/ks) kg/ks
Flujo de entrada de masa, FE masa E E V (m3/ks) (kg/m3) kg/ks
Flujo de salida de masa, FS masa S S V
(m3/ks) (kg/m3) kg/ks
El balance de masa total queda:
S S E E V V
t V
dd (3.4.2)
RELACIONES CONSTITUTIVAS
Las relaciones para los fenómenos involucrados en este sistema, que se emplean para resolver el sistema de ecuaciones anterior, son:
La reacción es del tipo A productos La relación cinética es de primer orden (-R A) = C A
El coeficiente depende de la temperatura = (T )La variación de la densidad = (T , C )
Sustituyendo las relaciones constitutivas en el modelo, se tiene:
CV C V C V
t
CV S S E E
d
d (3.4.3)
CONDICIONES DEL MODELO
1.- Agitación perfecta. Se supone que la masa es uniforme, C S = C
2.- La reacción es de primer orden e irreversible.
3.- El coeficiente de rapidez reacción y la densidad no cambian conlas variables del proceso.
constante constante
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48
Análisis macroscópico G. Chacón V.
4.- C E constante E V constante
5.- Se cumple el procedimiento o protocolo de “arranque” establecido.
Con lo que la ecuación del balance de masa total, Ec. 3.4.2, queda:
S E V V t
V
d
d (3.4.4)
Al sustituir esta ecuación en la del balance de A, Ec. 3.4.3, se tiene
CV C C V t
C V E E
d
d (3.4.5)
NOTA: Curiosamente, el balance de masa queda independiente del flujo de salida.Debe evitarse el error de creer que el volumen, en este caso general, es constante, pues aparece fuera del operador derivada.
AGRUPAMIENTO CONSTANTES
C I : concentración de A a la salida del tanque,en el estado estacionario, kmolA/m3
E V V
/ : tiempo de residencia o retención, ks
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN EN EL ESTADO ESTACIONARIO( t )
En este caso particular, no se enuncia el flujo de entrada, pues en el estado estacio-nario se tiene un grado de libertad fijo por la reacción química, lo que permitecalcular el flujo en términos de otras variables de diseño, como la conversión y el
volumen de la masa en el tanque, para esta situación. Por lo que, como preámbulo,se realiza el balance de masa en estado estacionario, a partir de la Ec. 3.4.5.
CONDICIONES DE OPERACIÓN (en estado estacionario)
constanteV E I C C constanteV V
Entonces la Ec. 3.4.4 y la Ec. 3.4.5 quedan, respectivamente
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Análisis de procesos G. Chacón V.
0d
d S E V V
t
V (3.4.6)
y
d
0d I
E E I I
C V V C C C V t
(3.4.7)
Resolviendo la ecuación 3.4.7 y despejando C I ,
11E E
I
C
V V
C C (3.4.8)
Nota: La conversión en el estado estacionario es
11 1E
I E
C C C
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DURANTE EL LLENADO
0 < V < V ; 0 < t < E V V /
Durante este periodo no sale masa, 0S V , la ecuación 3.4.4 es
E V t
V
dd
(3.4.9)
Separando variables e integrando, la Ec. 3.4.9
1TE E C t V V (3.4.10)
La Ec. 3.4.5, para el balance de A queda igual
CV C C V
t
C V
E E
d
d
(3.4.5)
Sustituyendo el valor del volumen de la ecuación de llenado, 3.4.10, y efectuandooperaciones
11d
d
TE E
E E
TE E
E
C t V
C V C
C t V
V
t
C
(3.4.11)
Resolviendo esta ecuación diferencial lineal y acomodando términos
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
1
2
1
exp
TE E
TE
TE E
E E
C t V
t C
C t V
C V C
(3.4.12)
CONDICIÓN DE CONTORNO
Cuando t = 0; V = 0
Al inicio el tanque está vacío, con estos valores se determinan la constantes.
Con la Ec. 3.4.10 01 TE C y con la Ec. 3.4.12
E E TE
C V C
2
Sustituyendo las constantes en las ecuaciones 3.4.10 y 3.4.12 quedan respecti-vamente
t V V E (3.4.13)
y
t t
C C E
exp1 (3.4.14)
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CUANDO EL TANQUE SE HA LLENADO
E V V t / ; V V (constante) ; E S V V
En este caso la ecuación 3.4.5 queda
CV C C V t
C V E E
d
d (3.4.15)
Arreglando y sustituyendo las constantes, y C I de la Ec. 3.4.8,
I
E E E E
C C C C
V V
V C V
t C 1
dd
(3.4.16)
Separando variables e integrando
3ln TE I
E I C t
C
C C C
(3.4.17)
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Análisis de procesos G. Chacón V.
CONDICIÓN DE CONTORNO
Cuando E V V t /
exp1E C C C
El tanque se ha llenado y con la ecuación 3.4.14, se obtiene la concentración en eseinstante, con la cual se evalúa la constante C TE 3,
I
E I TE C
C C C C ln3
Con la cual, la relación de operación, de la Ec 3.4.17, es
t
C
C
C C
C C
I
E
I
I ln (3.4.18)
RESUMEN DE RESULTADOS
Periodo Volumen Concentración de A Masa de A
0 < t < t V V E t
t C
C
E
exp11
t C V
M E E A
exp1
t V V
1exp
t
C
C
C C
C C
I
E
I
I C V M A
t V V
1
1
E
I
C
C
1E
A
C V M
VERIFICACIÓN
1.- Análisis dimensional: en la ecuación 3.4.18 y en la Ec. 3.4.19, seobserva que el modelo es dimensionalmente consistente.
2.- El estado inicial: cuando t = 0 entonces C = 0
3.- El estado intermedio: cuando t = entonces C = C
4.- En el estado estacionario: Cuando t entonces E I C C C 1
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
3.5 BALANCE DE MASA CON DIFUSIÓN(En la interfase)
OBJETIVO
Se muestra la técnica para efectuar el balance de masa de sustancias componentesde una mezcla y distribuidas en dos fases, cuando existe difusión entre las fases.
SISTEMA
DescripciónEncuentre la relación entre la masa de solvente, perdida en el aire, y eltiempo, para N recipientes de diámetro interno D m, abiertos a la atmós-fera. La composición de saturación del solvente en el aire es Ye fracciónmol de solvente y el coeficiente de transferencia de masa es K m/s(obtenidas en el laboratorio).
Considérese que la presión es de P kPa y la temperatura de T K , las cualesse mantienen constantes durante el proceso y que el área de transferenciade masa se aproxima a la de la “boca” del recipiente.
Volumen de control
DEFINICIÓN DE VARIABLES
Variable independientet : tiempo, ks
Ye
VY
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Análisis de procesos G. Chacón V.
Variable dependienteY : composición del solvente, A, en el aire, fracción molar.
Variables fijasT : temperatura del medio, KP : presión en el medio, kPaV : volumen de aire en el medio, m3
N : número de recipientes A : área de contacto aire-líquido, de cada recipiente, m2.
Parámetros : coeficiente global de transferencia de masa, entre el solvente y el
aire, m/ksYe : composición al equilibrio o de saturación del solvente en el aire,
fracción mol de solvente A : densidad molar del aire, kmol/m3
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN (FORMULACIÓN DEL MODELO)
Aplicando el principio de conservación a la masa de la sustancia A, en la fasegaseosa, se tiene:
VAmasa de A FE masa de A FS masa de A RPmasa de A RC masa de A
Velocidad de acumulación de masa, VAmasa t M A /dd kmolA/ks
Flujo de entrada de masa, FE masa A M kmolA/ks
Flujo de salida de masa, FS masa 0Rapidez de producción de masa, RPmasa no hayRapidez de consumo de masa, RC masa no hay
En términos algebraicos, el balance de masa queda:
A A M
t M d
d (3.5.1)
RELACIONES CONSTITUTIVAS
Las relaciones para los fenómenos involucrados en este sistema y que se emplean para resolver la ecuación del modelo, son:
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
La relación de transferencia de masa Y YeKN A
M N A
A
El coeficiente global de transferencia de masa K = (T , P)
La composición al equilibrio o de saturacióndel solvente en el aire, Ye = Ye(T , P)
Densidad molar del aire P R T R : Constante universal de los gases, 8,31... kJ/kmol K
Por lo que M A V Y
Sustituyendo las relaciones constitutivas en la ecuación del modelo 3.5.1
Y YeKAN t
VY
d
d
(3.5.2)
CONDICIONES DEL MODELO
1.- La concentración del solvente en el aire, en la interfase, es igual a lasolubilidad del solvente en el aire: Ye
2.- Las condiciones dentro del sistema son homogéneas
3.- La temperatura y la presión del sistema son constantes4.- El coeficiente de transferencia de masa es constante y representa
todos los efectos difusivos del solvente en el aire
5.- El volumen, V , del aire en el cuarto es constante
6.- La mezcla aire solvente se comporta como gas perfecto o ideal
7.- El coeficiente de transferencia de masa en el sistema es igual al obte-nido en el laboratorio.
Por lo que la Ec. 3.5.2 se transforma en
V
Y YeKAN
t
Y
d
d (3.5.3)
AGRUPAMIENTO DE CONSTANTES
V (K A N ), ks
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Análisis de procesos G. Chacón V.
Quedando la ecuación 3.5.3 así:
Y Yet
Y
1
d
d (3.5.4)
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
Separando variables e integrando la ecuación 3.5.4
TE C t Y Ye ln (3.5.5)
CONDICIONES DE CONTORNO
cuando t = 0 ; Y = 0
Se evalúa la C TE , con la Ec. 3.5.5 YeC TE ln
Que se sustituye en la Ec. 3.5.5 y se obtiene,
t
YeY Ye
ln (3.5.6)
O bien
t
Ye
Y exp1 (3.5.7)
La masa de solvente A en el aire, se expresa como
t V
KAN
RT
PVYe M A exp1 (3.5.8)
NORMALIZACIÓN, VARIABLES ADIMENSIONALES.
Siguiendo la forma de la ecuación obtenida, se tiene:
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
Ye
Y YeY
* y t
V
KAN t *
Con lo que se obtiene la ecuación en variables adimensionales
*exp* t Y (3.5.9)
VERIFICACIÓN
1.- Análisis dimensional: en la ecuación 3.5.7 y 3.5.9 se observa queel modelo es dimensionalmente consistente.
2.- El estado inicial, cuando t = 0 entonces Y = 0
3.- En el estado: Cuando t entonces Y = Ye, se saturaría el airede solvente, que es el equilibrio de fases.
Lo cual es concordante.
3.6 BALANCE DE MASA CON EQUILIBRIO DE FASES
OBJETIVO
Se muestra la técnica para efectuar el balance de masa de las sustancias de unamezcla binaria, en aquellos procesos en los cuales se alcanza el equilibrio de fases.Las composiciones de una especie química en cada una de las fases presentes esdiferente, pero están relacionadas entre sí (su potencial químico es igual).
SISTEMA
DescripciónEn una columna de destilación, para separar benceno del tolueno, se deseaobtener la variación de la composición del benceno con respecto al tiem-
po, durante el periodo de “arranque” (es decir el periodo necesario paraque se alcancen las composiciones del estado estacionario).
El procedimiento de “arranque” es el siguiente:i) El flujo másico, F kmoles/s, a la entrada es igual al de la salida por el
destilado. El cual, corresponde al del estado estacionario
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Análisis de procesos G. Chacón V.
ii) No se retira nada por el fondoiii) La composición a la entrada, X F fracción molar de benceno, se man-
tiene constante durante el proceso.iv) La composición al inicio, en el recipiente, es igual a la de la entrada
v) Al inicio la columna está llena de la mezcla, de M kmol, en estadolíquido
vi) Por el destilado, solamente, sale vapor (que luego, fuera de la colum-na, se condensa totalmente)
vii) La volatilidad relativa, , se puede aproximar como constante.
Volumen de control
DEFINICIÓN DE VARIABLES
Variable independientet : tiempo, ks
Variable dependiente X : composición del benceno (B) en la fase líquida, en un instante da-
do, fracción molar de B.
Variable intermediaY : composición del benceno (B) en la fase vapor, en equilibrio con su
respectiva composición en la fase líquida X , en un instante dado,fracción molar de B.
VY V
D X D
W X W
F X F
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
Variables fijasF : flujo de entrada, total, kmol/ks
D : flujo de destilado, total, kmol/ksW : flujo de vapor de salida o “fondos”, kmol/ks
M : masa total en la columna, kmol. X F : composición de benceno a la entrada, fracción molar X D : comp. de benceno a la salida por el destilado, fracción molar X W : comp. de benceno a la salida por el fondo, fracción molar
Parámetros B : coeficiente de distribución en el equilibrio para el benceno, adim. T : coeficiente de distribución en el equilibrio para el tolueno, adim. : volatilidad relativa, adim.
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN (FORMULACIÓN DEL MODELO)
Aplicando el principio de conservación a la masa de benceno, se tiene:
VAmasa de B FE masa de B FS masa de B RPmasa de B RC masa de B
Velocidad de acumulación de masa, VAmasa t MX /dd (kmol) (kmolB/kmol) (1/ks) = kmolB/ks
Flujo de entrada de masa, FE masa F X F kmol/ks
(kmol/ks) (kmolB/kmol) = kmolB/ksFlujo de salida de masa, FS masa D Y
W X W (kmol/ks) (kmolB/kmol) = kmolB/ks
Rapidez de producción de masa, RPmasa no hay
Rapidez de consumo de masa, RC masa no hay
El balance de masa de B, queda:
W F WX DY FX
t
MX
d
d (3.6.1)
Debido a que los flujos de masa totales se relacionan entre sí, se necesita plantearun balance total de masa.
VAmasa FE masa FS masa
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Análisis de procesos G. Chacón V.
Velocidad de acumulación de masa, VAmasa t M /dd kg/ks
Flujo de entrada de masa, FE masa F kg/ks
Flujo de salida de masa, FS masa D kg/ks
W kg/ks
El balance de masa total es:
W DF t
M
d
d (3.6.2)
RELACIONES CONSTITUTIVAS
Las relaciones para el fenómeno de equilibrio, en este caso, son:
Para el benceno Y = B X
Para el tolueno 1 Y = T (1 X )
Los coeficientes de distribución al equilibrio B = B(T , P o X ) T = T(T, P o X )
La volatilidad relativa para este caso está definida por
Y X X Y T
B 11
Expresándola en términos de la composición en el vapor Y o del líquido X
X X
X Y
1
Y Y
Y X
Sustituyendo las relaciones constitutivas en la ecuación del modelo 3.6.1
W F WX
X X
X DFX
t
MX
1d
d (3.6.3)
CONDICIONES DEL MODELO
1.- Las composiciones en cada fase del sistema son homogéneas
2.- La volatilidad relativa , se aproxima como constante
3.- La salida de la torre, antes del condensador, está en condiciones deequilibrio líquido vapor
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
4.- No se presenta arrastre del líquido en el vapor
5.- La masa dentro de la torre M , es constante
6.- No se retira nada por el fondo, W = 0
7.- El flujo de masa total está en estado estacionario 0d
d
t
M
Con los cuales, la ecuación 3.6.2 del balance total, queda:
0 DF (3.6.4)
Por lo que la ecuación para el balance de B, 3.6.3 se transforma en
X X
X F FX
t
X M F
1d
d
Arreglando
X X
X X X X X X
t
X
F
M F F F
1d
d (3.6.5)
AGRUPAMIENTO DE CONSTANTES
a = 1 ; b = 1 ; q = X F ; p = X F X F
Todos adimensionales y = M /F , ks
Los cuales se sustituyen en la ecuación 3.6.5 y una vez separadas las variablesresulta:
t X q pX
baX d
1d
(3.6.6)
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
Integrando la ecuación 3.6.6, con ayuda de un cuadro de integrales, se tiene
TE C t q pX
p
aqbp X
p
a
1ln
2 (3.6.7)
CONDICIÓN DE CONTORNO
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Análisis de procesos G. Chacón V.
Cuando t = 0; X = X F y la C TE , con la Ec. 3.6.7, es
q pX
p
aqbp X
p
aC F F TE
ln
2
Que se sustituye en la Ec. 3.6.7 obtiene,
t q pX
q pX
p
aqbp X X
p
a
F F
1ln
2
(3.6.8)
O bien, sustituyendo valores, con
F F X X
t X X
X
X F
F
1
/1ln11
2 (3.6.9)
VERIFICACIÓN
1.- Análisis dimensional: en la ecuación 3.6.9 se observa que el modeloes dimensionalmente consistente
2.- El estado inicial, cuando t = 0 entonces( X / X F 1) = 0 y (1 X / X F )/(1 ) = 1
por lo que X = X 0 = X F
3.- En el estado estacionario: cuando t , se cumple que
1 X / X F = 0queda un valor de
X = X = X F / = X F /( + X F X F )
Por lo que la composición en el vapor a un tiempo largo, o en el estadoestacionario, esY = X / (1 X + X ) = X F
Lo que indica que en estado estacionario, si no se saca nada por el fondo, se evaporiza completamente
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
3.7 EJERCICIOS
3.1. Determine el tiempo que dura en vaciarse un recipiente lleno de agua, de 3 m
de diámetro y 3 m de altura; por medio de un orificio de 25 mm de diámetro, practicado en el fondo; si el tanque es:
a) cilíndrico, con el eje vertical. b) cilíndrico, con el eje horizontal.c) cónico, con el vértice hacia abajo.d) esférico, de 3 m de diámetro.
Nota: La velocidad de paso de un fluido a través de un orificio estáregida por la ecuación de Torricelli
ghmv 2
Donde:h: diferencia entre las alturas del nivel del líquido en el
recipiente y del orificiov: velocidad linealm: coeficiente ( 0,61)g: aceleración de la gravedad.
3.2. Dos tanques A y B están conectados por medio de una tubería corta. Origi-nalmente, el tanque A está lleno con una solución coagulante y el otro está vacío.
Determine el tiempo transcurrido hasta que el nivel del líquido sea el mismo enambos tanques. Los dos tanques son cilíndricos y están abiertos a la atmósfera, susfondos se encuentran al mismo nivel y se comunican sólo por gravedad (para lavelocidad de salida rige la relación de Torricelli, use nota del problema 3.1).
Los datos son:Radio de A 3 mRadio de B 4 mAltura original en A 6 mDensidad del líquido 1050 kg/m3 Área transversal de la tubería 2165 mm2.
3.3. Calcule el tiempo en que un cuerpo, que desciende en paracaídas, alcanza 1/5de la velocidad inicial. Considere que la fuerza de resistencia del aire es propor-cional al cuadrado de la velocidad, del paracaídas.
Datos:Masa total 75 kgVelocidad inicial 30 m/sCoeficiente de la fuerza de resistencia 18 kg/m.
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Análisis de procesos G. Chacón V.
3.4. (*) Una cinta de elastómero está sometida a una fuerza oscilante. Si elmaterial tiene una fuerza reactiva proporcional al desplazamiento, calcule lafrecuencia de resonancia. Desprecie las fuerzas por fricción.
Datos:Masa total 2 kgCoeficiente del resorte 2 kN/mlongitud de la cinta 0,5 mPosición inicial libreFuerza externa 50 cos( t/ 60) kN
3.5. (*) Un cilindro conteniendo un gas licuado A, se desea transportar desde elfondo de un depósito, lleno de líquido de enfriamiento, hacia su superficie, propul-sado por la misma sustancia. Para lo cual, éste se le deja escapar, en forma de gas,
en sentido contrario, con velocidad constante. Calcule la velocidad de salida míni-ma, para que el cilindro llegue a la superficie en 15 s.
a) considerando el flujo de masa a la salida apreciable. b) considerando el flujo de masa a la salida despreciable.
Datos:Masa inicial total 1,5 tVolumen del cilindro 0,5 m3 Densidad del líquido externo 1012 kg/m3
Profundidad del depósito 20 mdensidad de A, como gas 1,32 kg/m3
Área de salida del gas 300 mm2
Velocidad del gas 10 m/s.
3.6. Una bola de acero, que se encuentra a una temperatura alta T A0, se sumerge enun líquido cuya temperatura inicial es T L0. Encuentre la relación entre la tempera-tura de la bola y el tiempo. Considere que el proceso de transmisión de calor estácontrolado por el coeficiente de película del agua y la variación de la temperaturade la bola, a lo largo de su radio, es despreciable.
3.7. En un tanque agitado, en proceso “batch”, se calienta una solución medianteun fluido térmico, que fluye dentro de un serpentín interno, con temperatura cons-tante T V . Encuentre la relación entre la temperatura y el tiempo, hasta alcanzar unatemperatura TC, si la temperatura inicial es T 0. Considere que el aislamiento deltanque es perfecto y que se cumple la siguiente relación empírica, para el coefi-ciente global de transferencia de calor:
U (T V T )n
(*) Nota: los problemas marcados con (*) son de un nivel más complejo, que el resto.
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
Donde:U = coeficiente global de transferencia de calor, kW/m2 C = constante, (kW/m2) C -n-1 n = constante, adimensionalT = temperatura del sistema, CT V = temperatura del fluido térmico, C.
3.8 Un tanque cilíndrico de altura L m y diámetro D m, al inicio está lleno delíquido a una temperatura T 0. De pronto, comienza a fluir una corriente, de dichasustancia, a la misma temperatura, con un flujo de G kg/s y, también, a calentarse
por medio de vapor que condensa en una "chaqueta", el cual mantiene una tempera-tura T V en las paredes del tanque (El vapor no se mezcla con el líquido). Encuentrela variación de la temperatura del líquido con el tiempo, antes de llegar al estadoestacionario.
3.9. Se tiene una solución que se debe esterilizar, llevándola a una temperaturaT M . Para ello se cuenta con un tanque de diámetro D y de altura L, al cual debeentrar un flujo de masa G, con una temperatura T 0. Halle una relación entre latemperatura y el tiempo, hasta que se llene el tanque; si para llevarlo al estadoestacionario:
i) Se inicia cuando el tanque está vacíoii) Se hace fluir la solución, a T 0, con un flujo de G, hasta llenar el tanque
(con la válvula de salida cerrada)iii) Mientras tanto, se transfiere calor por medio de un serpentín, que
mantiene la superficie en contacto con el líquido a una temperatura T V ,constante. Durante el llenado, el área de transferencia de calor A, varíaen forma directamente proporcional a la altura del líquido contenido enel tanque
iv) Una vez que se llena, se abren las válvulas y se mantiene el flujo en suestado permanente y la temperatura del serpentín en T V .
3.10. En un tanque de M kg de capacidad se lleva a cabo una reacción química, quegenera H kW/kg de energía. Para poner en marcha el reactor:
i) Se colocan los reactivos en él (al inicio), a una temperatura T 0, hastallenarloii) Se ponen en contacto con el catalizador, con lo que se inicia la reaccióniii) A su vez, se hace pasar una corriente a razón de G kg/s con una tempe-
ratura, a la entrada, de T 0 iv) Mientras la temperatura esté variando, se genera calor en forma propor-
cional al tiempo.Considere que el aislamiento del tanque es perfecto. Primero, determine el flujo demasa G, a una temperatura T 0, necesario para mantener la temperatura, en T R, en el
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Análisis de procesos G. Chacón V.
estado estacionario. Luego, evalúe el tiempo requerido para alcanzar la temperaturaT R, durante el arranque, para:
a) H = H 0. b) H = H 0 ( B A t).
c) H = H 0 [1 + B exp(- A t)] .
3.11. A un tanque que contiene agua, se le suministra una corriente de salmuera, permitiendo un flujo de salida tal que, sea la mitad que el de entrada. Si el tanqueestá agitado, determine la concentración de la salmuera en él, cuando contiene eldoble del volumen inicial.
Datos:Volumen inicial en el tanque 100 m3 Caudal de entrada 20 m3/ksConcentración de sal a la entrada 5 kg/m3 Flujo de salida 10 m3/ks.
3.12. (*) En un tanque se lleva a cabo una precipitación por medio de doscorrientes A y B, que forman una tercera C. Para asegurar la precipitación, se debemantener, en él, una acidez de N 0 ± P kmol/m3. La cual, se logra adicionando ácidoal tanque, en una cantidad despreciable, en la corriente A. Esto se efectúa, Auto-máticamente, de una sola vez y cuando la concentración en el tanque es N 0 P.Determine el periodo de reposición del ácido.
3.13. Se necesita mezclar dos soluciones, almacenadas en sendos tanques A y B.Al inicio, ambos contienen una misma cantidad de una solución, la solución del primero está con una concentración alta de soluto, mientras que la del segundo estácon una concentración baja. La bomba que traslada la masa del tanque B al A,tiene el doble de capacidad de flujo, que la que la envía en sentido contrario. Si seconsidera que en todo momento la mezcla es homogénea, determine la cantidad desoluto que tendrá el tanque A al cabo de una hora y el tiempo en que lasconcentraciones en ambos tanques llegan a ser iguales.
Datos:
Volumen de solución al inicio, en cada tanque 10 m
3
Capacidad de la bomba del tanque A al B 3 m3/ksCapacidad de la bomba del tanque B al A 6 m3/ksConcentración inicial en A 200 kg/m3 Concentración inicial en B 50 kg/m3.
3.14. Un producto fluye hacia un tanque de depósito con agitación, de allí se bom- bea a otro proceso. Debido a un error en la planta, el material que fluye se mezclacon un contaminante. Si la corriente de entrada al tanque, se mantiene contaminada
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
durante una hora, establezca la concentración máxima en la descarga y el tiempoque transcurre antes de que la concentración alcance el valor permitido.
Datos:Flujo hacia el tanque 1 kg/s
Capacidad del tanque 10 tConcentración de contaminante en el flujo 1 %Concentración tolerable de contaminante 0,05 %.
3.15. Una solución de almidón rectificado se enriquece al fluir a través de dos tan-ques, con una solución concentrada. Encuentre una relación entre la concentracióninstantánea de almidón, a la salida del sistema, y el tiempo; considerando el flujovolumétrico de salida es igual al de entrada y si:
a) las capacidades de los tanques son diferentes. b) las capacidades de los tanques son iguales.
Datos:Flujo de entrada (y de salida) 1,5 m3/ksConcentración de almidón, a la entrada despreciableCapacidad del primer tanque 6 m3 Concentración inicial de almidón en el primer tanque 10 %Capacidad del segundo tanque 8 m3 Concentración inicial de A. en el segundo tanque 15 %.
3.16. En la separación de sal por evaporación, los tanques (evapo-cristalizadores)reciben en forma continua, durante el día, energía solar equivalente a A W/m2. Par-
te de la energía recibida, evapora W kg/s m2 de agua, y el resto, consecuentemente,aumenta la temperatura de la solución. Determine la relación entre la temperaturade la salmuera y el tiempo. Aproxime la capacidad calorífica como constante, asícomo, el calor latente de evaporación y desprecie el calor de disolución y las perdí-das de calor al ambiente.
3.17. (*) Un evaporador, que normalmente trabaja en estado permanente, paraconcentrar una solución de sulfato de sodio, hasta X W , se desea "arrancar". Para locual:
i) Se llena con la solución, con una concentración X F y una temperatura T
F
ii) Se hace pasar vapor, dentro de los tubos de la "calandria", que se man-tienen a una temperatura T V .
Establezca la relación entre la temperatura y el tiempo, a partir del momento en quela solución hierve por primera vez, hasta alcanzar la concentración del estado esta-cionario; considerando las siguientes aproximaciones:
Capacidad calorífica C P a b X c X 2 kJ/kg KTemperatura de ebullición T k m X C
X concentración en fracción peso
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Análisis de procesos G. Chacón V.
El calor latente de evaporación y los parámetros a, b, c. k y m, con unavariación despreciable con la temperatura.
3.18. (*) Para preparar una solución de ácido sulfúrico al 45 por ciento en peso, se
agrega una solución concentrada, de 95 por ciento de ácido sulfúrico, a un tanqueque contiene originalmente 1000 kg de agua pura. La masa se enfría mediante laextracción de calor con un flujo, constante y continuo, de 100 kW. Para podermantener la temperatura constante en 30 C, el flujo de entrada debe ser variable.Encuentre la variación de la concentración del ácido sulfúrico con el tiempo si latemperatura inicial en el agua es de 30 C y la entalpía de la solución de ácido sulfú-rico a 30 C se puede expresar por:
H = 750 x (1 x2)(1 0,5 x) 0,5, kJ/kg, x : fracción peso
3.19. Calcule el tiempo de residencia, para descomponer el 99% de una cantidaddada de almidón en un reactor "por tandas". El almidón se descompone con unavelocidad proporcional a la cantidad presente, usando un ácido inorgánico comocatalítico.
Datos:Coeficiente de velocidad de reacción 5,07 ks-1
(en 0,5 kg HCl/m3 a l50 C)Concentración inicial de almidón 20 % pesoDensidad de la masa 1150 kg/m3 Volumen del reactor 10 m3.
3.20. Un reactor "por tandas" contiene V 0 m3 de un reactante A, con una concen-tración C A0 kg/m3. Esta solución se lleva hasta una temperatura tal que se inicia lareacción. Dicha reacción es irreversible y de segundo orden para A. Encuentre unaexpresión que relacione la concentración de A con el tiempo, si el volumenespecífico de la solución posee una variación lineal con la concentración, que no
puede despreciarse, = 0/(1 + C A). El coeficiente de velocidad de reacción, seconsidera constante.
3.21. (*) Encuentre una relación entre la concentración de una sustancia A y eltiempo, si ésta se descompone en un reactor “batch” de volumen constante, con unacantidad inicial de N A0 kmol de A, mediante las siguientes reacciones consecutivas,de primer orden,
k 1 k 3 A B C
k 2 k 4
3.22. Un esterilizador con agitación, de M kg de capacidad, contiene una cantidad N 0 de microorganismos (o) por kilogramo. Si la solución se lleva a la temperatura
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
en que se inicia la destrucción, halle una expresión que relacione la concentraciónde microorganismos con el tiempo, hasta alcanzar 10-9 o/kg, si el proceso es:
a) “Batch”. b) Continuo, con una entrada a razón de G kg/s con N 0 o/kg, saliendo
el mismo flujo.DatosSe acepta técnicamente, que la velocidad de destrucción térmica de los microorga-nismos (o) es proporcional al número presente de ellos, a temperatura constante.
Coeficiente de velocidad destrucción de o (pH 7,0 y l21,1 C) 0,19 s-1 Masa inicial 0.3 Mg.
3.23. Un reactor continuo con agitación (RCTA), contiene una solución de unasustancia orgánica A con una concentración dada. Cuando la temperatura alcanzacierto valor, se inicia la inversión en medio ácido, la cual es irreversible y de pseu-do primer orden. Al comenzar la reacción, se suministra al mismo, continuamente,una solución de A con una concentración dada; saliendo, el mismo flujo volumétri-co. Si el coeficiente de velocidad de reacción se considera constante, desarrolle unaexpresión que relacione la concentración de A a la salida del reactor, en función deltiempo; para una concentración a la entrada de:
a) C AE (constante). b) C AE (1 + sen t ).c) (*) C AE [1 + 0(t )]
0 (t) es la función impulso unitaria, de Dirac.
Datos:Capacidad del reactor 200 m3 Concentración inicial en el reactor 50 kg A/m3 Flujo de masa a la entrada 20 m3/ksConcentración a la entrada del reactor 50 kg A/m3 Coeficiente de velocidad de reacción 5.32 ks-1.
3.24. En un auditorio con N personas, se introduce un flujo de aire fresco (que con-tiene CO2). Si se considera que la respiración de las personas, que se encuentran
presentes, es constante (y su generación de anhídrido carbónico y calor puedenrepresentarse por sus valores promedios); determinar, en el auditorio, la variacióncon el tiempo, de:
a) La concentración de CO2. b) La temperatura.
Datos:Temperatura inicial en el auditorio 25 C Número de personas 1000 pers.Flujo de aire 10 m3/sTemperatura del aire a la entrada 25 C
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Análisis de procesos G. Chacón V.
Concentración de CO2, del aire a la entrada 0,04 %Volumen del auditorio 50 30 10 m3.
3.25. Una reacción química, irreversible y de segundo orden, entre dos sustancias
A y B, tiene lugar en un reactor tipo tanque agitado, según el siguiente mecanismo, A + B ProductosDurante el proceso, entran dos corrientes al tanque, ambas con un caudal de R kmol/ks. Una, contiene 4 X 0 fracción molar de A y la otra 2 X 0 fracción molar de B.El material abandona el tanque continuamente, con un caudal 2 R kmol/ks, de modoque el tanque siempre contiene M kmol de material. El coeficiente específico dereacción es k m3/kmol ks. Durante la "parada" del reactor, se cierra (entrada y sali-da) y se deja lleno, completándose la reacción, por lo que queda X 0 fracción molarde A sin reaccionar. Al arrancar, nuevamente, el reactor empieza con las corrientesen estado estacionario. Determine, la variación de la concentración de B con eltiempo, al arrancarlo.
3.26. Una corriente de flujo Q m3/s, constante, y de concentración C A0 kmol A/m3,se suministra a un reactor continuo, tipo tanque agitado de V 0 m
3 de capacidad. Lasustancia A se descompone según la reacción reversible, de primer orden en ambasdirecciones:
k 1 A B
k 2
Si, el tanque, inicialmente está vacío, formule la relación entre la concentración deA y el tiempo hasta que se llene.
3.27. (*) Para producir una sustancia B a partir de una materia prima A, se ocupaun reactor continuo del tipo tanque agitado (RCTA), el cual tiene una capacidadefectiva de V m3. El mecanismo del proceso se basa en las siguientes reacciones,todas de primer orden,
k 1 k 3 A B C
k 2
Se desea encontrar la relación entre el número de moles de B y el tiempo durante el"arranque", hasta alcanzar el estado estacionario, si se logra de la siguiente manera:
i) Se inicia lleno de la solución con una concentración C 0 de A y nada deB ni de C
ii) Se suministran, al reactor, Q m3/ks de una solución de A, con unaconcentración C 0, manteniendo un volumen V m3 de la solución en eltanque.
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Análisis macroscópico G. Chacón V.
3.28. Una sustancia A reacciona con otra B, mediante una reacción de pseudo primer orden. El sistema consiste en una batería de dos reactores en serie, con el propósito de obtener el 90% de conversión. Las dos sustancias entran por líneasseparadas al primer tanque (B en exceso). Si los dos tanques se inician llenos de la
solución, con la misma concentración que la de la entrada y con el flujo igual a delestado estacionario, describa la relación entre la concentración a la salida del sis-tema y el tiempo hasta alcanzar el estado estable, si los dos tanques tienen:
a) diferente volumen y diferente temperatura. b) el mismo volumen y la misma temperatura.
3.29. Un tanque rectangular se encuentra lleno de un solvente A y abierto a laatmósfera, con fuerte ventilación. Se desea encontrar la relación entre la masa desolvente, perdida en el aire, y el tiempo, considerando que la presión P y latemperatura T se mantienen constantes y la composición de solvente en el aire esdespreciable.
Datos:Temperatura del sistema 30 CPresión del medio 90 kPaProfundidad del recipiente 5,2 mAncho del recipiente 4,5 m.Para el solvente en el aire
Concentración al equilibrio, 0,29 frc.molCoeficiente global de trasnf. de masa 0.354 m/s.
3.30. Se deja dializar una solución de un soluto A, colocada en bolsitas cerradas dematerial semipermeable, en un tanque lleno de solvente. La membrana permite el
paso de la sustancia A, de la solución en la bolsa hacia el solvente en el tanque.Considerando que el paso del soluto A, a través de ambos medios y de la membranase explica por el coeficiente global de transferencia de masa, que se aproxima comoconstante, encuentre una relación entre la concentración de A en la bolsa y el tiem-
po, si el proceso es:a) “batch”, no entra ni sale masa al tanque.
b) continuo, con un flujo de entrada al tanque, a razón de
0,01 m3
/ks de solvente puro, saliendo el mismo flujo.En este caso, se puede despreciar la concentración del solutoen el solvente fuera de la bolsa, con respecto a la correspon-diente dentro de ella.
Datos:Sistema:
Soluto (A) sulfato de amoniosolvente agua
Coeficiente global de transferencia de masa 1,2 mm/ksConcentración inicial de la sal en las bolsitas 200 kg/m3 Capacidad de solvente en el tanque 1 m3
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Análisis de procesos G. Chacón V.
Número de bolsitas 500Diámetro de las bolsitas 20 mmLargo de las bolsitas 1 m.
3.31. Sobre la base de la ley de la transferencia de masa, se puede establecer que lavelocidad de disolución de una sustancia sólida es proporcional a la cantidad nodisuelta y a la diferencia entre: la concentración del soluto en el solvente cuandoestá saturado de él y la concentración en un momento dado en la solución. Expresela relación entre la masa de azúcar que no está disuelta en el agua y el tiempo, paracantidades iniciales dadas de ambas sustancias.
Datos:Cantidad inicial de azúcar 10 kgCantidad inicial de agua 50 kg
Solubilidad del azúcar en agua, (25 oC) 70 %peso
Coeficiente de velocidad de disolución 0,1 s-1.
3.32. En un sistema de destilación "flash", para una mezcla binaria (donde A es elcomponente más volátil), el suministro es de F kmol/ks, con una concentración X F de A, se precalienta hasta su temperatura de ebullición, entrando al separador. Enel dispositivo se separa el líquido (que sale por el fondo) del vapor, en equilibriocon éste (que sale por la parte superior). Durante el estado estacionario se mantieneun flujo de vapor a la salida (o destilado) D, con una composición y D fracción molde A, un flujo de líquido (fondos) W y una cantidad M kmol de líquido en el sepa-rador. Determine el tiempo de arranque, si:
i) Al inicio la masa en el separador es de M kmol, con una concentraciónigual que la del suministro en el estado permanente
ii) El flujo másico en la entrada, durante el arranque, se mantienen igualque en el estado estable
iii) La concentración a la entrada es igual que la del estado permanenteiv) No sale líquido por el fondov) La volatilidad relativa se puede considerar constante.
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Análisis de procesos 72 G. Chacón V.
CAPÍTULO 4
ANÁLISIS MICROSCÓPICO DE PROCESOS EN ESTADO
ESTACIONARIO O ESTABLE
unidimensional
INTRODUCCIÓN
Esta unidad se dedica al análisis de sistemas en los que se lleva a cabo un proceso,cuyas propiedades de estado varían con la posición, estado continuo, pero seconsidera que en cada punto éstas no varían con el tiempo, estado estable. Para lo
cual, se emplea un volumen de control diferencial o microscópico, en el que seconsidera que la masa se comporta como un continuo; el resultado, una ecuacióndiferencial, se integra para obtener el modelo para todo el volumen de control .
Los modelos matemáticos que describen los sistemas estudiados en esta unidad yque presentan el fenómeno de difusión, usualmente generan una ecuación diferen-cial de segundo orden.
4.1 BALANCE DE MASA TOTAL
OBJETIVO
Aplicar la ley de conservación de toda la masa al sistema en estudio. Se utiliza elmétodo riguroso como técnica de análisis, desarrollado en la sección 3.1.
SISTEMA
DescripciónPara un fluido que atraviesa un conducto cerrado, en estado estacionario,determine la relación de la velocidad, en dirección del flujo, con la densi-dad del fluido y el área, del conducto, transversal al flujo.
DatosDensidad a una distancia z, kg/m3 Velocidad en dirección z v z m/sÁrea transversal a z A z ( A z v z) m2
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Análisis de procesos G. Chacón V.
Volumen de control
DEFINICIÓN DE VARIABLES
Variable independiente z : posición a partir de la entrada del conducto, m
Variables dependientes : densidad a una distancia z, kg/m3
vz: velocidad (intensidad de flujo volumétrico) en dirección z, m/s Az : área transversal al flujo de masa, m2
zm : flujo de masa en la dirección z, kg/s
Relaciones constitutivasDensidad = (T , r , z)Área A z = A(r , , z)Velocidad v z = v(r , , Z )
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN (FORMULACIÓN DEL MODELO)
Aplicando el principio de conservación de la masa, en forma resumida, al volumende control diferencial, a una distancia z de la entrada al tubo,
VAmasa FE masa FS masa
Utilizando la técnica de análisis rigurosa o de Euler (Sec. 3.1).
z + z
z
v z A z
VOLUMEN DE CONTROL TOTAL
Volumen de control diferencial
Líneas de flu o
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Análisis microscópico G. Chacón V.
Acumulación de masa VAmasa 0 (Estado estacionario)
Flujo de entrada de masa FE masa en z z z z Avm kg/sFlujo de salida de masa FS masa en z + d z z z mm d
z z z z Av Av d
kg/s
El balance de masa queda:
0dd z z z z z z z z z Av Av Avmmm (4.1.1)
En términos de v z A z (kg/m3) (m/s) (m2) kg/s
0d z z Av (4.1.2)
Efectuando la operación diferencial
0ddd
z
z
z
z
A
A
v
v
(4.1.3)
CONDICIONES DEL MODELO
1.- Estado estacionario o permanente
2.- Las variaciones de la velocidad, con el ángulo y con el radio del tubo,son despreciables.
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
Integrado la ecuación 4.1.2,
TE z z C Av (4.1.4)
CONDICIÓN DE CONTORNO
Cuando z = 0 entonces = 0 ; v z = v z0 ; A z = A z0
Quedando, la solución, luego de evaluar la constante,
000 z z z z Av Av (4.1.5)
Esta relación es conocida como la ecuación de continuidad , unidireccional y para elestado estacionario (unidimensional).
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Análisis de procesos G. Chacón V.
4.2 BALANCE DE ENERGÍA TÉRMICAConducción de calor
OBJETIVO
Aplicar la ley de conservación de la energía, en su manifestación como calor, a unsistema en estudio. En este apartado se muestra el método de análisis, desarrolladoen la sección 3.1, con la técnica denominada de Lagrange, de Ingeniería o apro-ximada. Asimismo, se muestra el uso de coordenadas cilíndricas y dos tipos decondiciones de contorno, la del valor de una función y la de la derivada de unafunción.
SISTEMA
DescripciónUn conducto, cuyo material es de conductividad térmica k kW/m K,transmite electricidad por el espacio anular entre dos cilindros coaxiales ygenera energía, uniformemente, a razón de S kW/m3. Describa el perfil detemperaturas en la masa sólida, con la posición radial, para el estadoestacionario, considerando que se conoce la temperatura en la cara inte-rior del conducto y la del medio externo (al mismo).
Volumen de control
Volumen de control diferencial
·T f
·T R1
VOLUMEN DE CONTROL TOTAL
r
r+ r
r
R1
·T 0
R0
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Análisis microscópico G. Chacón V.
DEFINICIÓN DE VARIABLES
Variable independienter : posición radial a partir del centro, m
Variable dependienteT : temperatura, en cualquier posición radial de la varilla, K
Variable intermediaqr : intensidad de flujo de calor en la dirección radial, kW/m2
Variables fijas R0 : radio interno del anillo ( D0/2), m R1 : radio externo del anillo ( D1/2), mT 0: temperatura en la pared interna del anillo, K
T f : temperatura en el medio externo al anillo, K L : longitud de los anillos anulares, m
Parámetros : densidad del material, kg/m3 k : conductividad térmica del material, kW/m KS : generación, volumétrica, de energía en el material, kW/m3 h : coeficiente de transferencia de calor del medio que lo rodea,
kW/m3 K
RELACIONES CONSTITUTIVAS
Ley de Fourier r T k qr dd
Ley de enfriamiento de Newton qS h (T S - T f )
Densidad = (T , r )
Conductividad térmica k = k(T , r )
Generación de energía S = S(T , r )Coeficente de transferencia de calor del medio h = h(T , r , v)
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN (FORMULACIÓN DEL MODELO)
Aplicando el principio o ley de conservación para la energía,
VAenergía FE energía FS energía RP energía RC energía
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Análisis de procesos G. Chacón V.
Para lo cual, se establece la descripción respecto a la posición dentro del sistema ovolumen de control, utilizando, a su vez, un volumen diferencial de control a unadistancia r del centro. En este caso, se aplica la técnica de análisis de Lagrange ode Ingeniería, por medio del teorema o fórmula de Taylor, con dos términos, para
evaluar la función en r + r y cuyos principios se establecieron en la sección 3.1Velocidad de acumulación de energía VAenergíar 0 (estado estacionario)
Flujo de entrada de energía FE energíar zr qr δδ (kW/m2) (m) (m) kW
Flujo de salida de energía FS energíar +r zqr δδ
r r
zr qr δ
d
δδd
(kW/m2) (m) (m) kWRapidez de producción de energía RP energíar r zSr δδδ
(kW/m3) (m) (m) (m) kWRapidez de consumo de energía, RC ener ía no hay
Aplicando la ley de conservación de la energía:
0δδδδd
δδdδδδδ
r zSr r
r
zr q zr q zr q r
r r
Simplificando
0d
d Sr r r qr
(4.2.1a)
Efectuando la operación diferencial
01
d
d S q
r r
qr
r (4.2.1b)
CONDICIONES DEL MODELO
1.- Estado estacionario
2.- Masa como un continuo
3.- Geometría cilíndrica perfecta
4- Material homogéneo, isótropo
5.- Variación despreciable de los parámetros ( , k , S ) con la temperatura
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Análisis microscópico G. Chacón V.
6.- La variación de la temperatura con el ángulo (simetría geométrica) ycon el largo del cilindro ( L) son insignificantes
0
r
T k q 0
z
T k q z
7.- Efectos de contacto entre materiales (varilla-ambiente) desprecia- bles.
AGRUPAMIENTO DE CONSTANTES
Para este sistema, por su naturaleza, se deja para el final.
Aplicando la ley de Fourier y la relación para el área a la ecuación del modelo, asícomo, las condiciones del mismo; luego de simplificar, queda,
0d
d1
d
d2
2
k
S
r
T
r r
T (4.2.2)
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
Se puede resolver la ecuación 4.2.1 o bien la Ec. 4.2.2.
Sr r r qr
dd
(4.2.1)
Quedando
12 2 TE r C Sr r q (4.2.3)
Aplicando la ley de Fourier y despejando
kr
C
k
Sr
r
T TE 1
2d
d (4.2.4)
Integrando, de nuevo
212 ln
4 TE TE C r k
C r
k
S T (4.2.5)
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Análisis de procesos G. Chacón V.
CONDICIONES DE CONTORNO
Para evaluar las constantes de integración se utilizan condiciones físicas del proce-so o condiciones de contorno
Cuando r R0, T T 0 (Condición esencial )
Que es la condición evaluada por la función (variable dependiente) paraun valor fijo de la variable independiente o punto.
Se evalúa la C TE2. con la Ec. 4.25, en términos de la C TE1.
012
002 ln4
Rk
C R
k
S T C TE
TE (4.2.6)
Como es una ecuación diferencial de segundo orden (y posee dos constantes), senecesita otra condición de contorno.
Cuando r R1, f Rr Rr
Rr r R T T hr
T k qq
11
11 d
d (Condición natural )
Que es la condición evaluada en la interfase por la derivada de la función,con respecto a la variable independiente, la cual es proporcional al mismovalor de la función, para un valor fijo de la variable independiente o
punto.
Aplicando las ecuaciones 4.2.3 y 4.2.5 en esta condición de contorno
f TE
TE TE
Rr Rr r T C R
k
C R
k
S h
R
C R
S
r
T k q 21
121
1
11
11
ln42d
d (4.2.7)
Resolviendo el sistema de ecuaciones 4.2.6 y 4.2.7, se evalúan las constantes.
k
R R
hR
T T k
SR
k
SR
h
SR
C m f
TE 01
1
0
20
211
1 /ln1442
(4.2.8)
Sustituyendo, para dejar la Ec. 4.2.5 en términos de m (C TE1)
0020
2 /ln4
T Rr k
m Rr
k
S T (4.2.9)
Siendo útil también, el valor del flujo de calor, de la ecuación 4.2.3
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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80
Análisis microscópico G. Chacón V.
r
mSr qr
2 (4.2.10)
NORMALIZACIÓN, VARIABLES ADIMENSIONALES.
Para tal efecto, se sigue la forma de la ecuación obtenida, así:
0
0*T T
T T T
f
1
* R
r r
1
00*
R
R R
Las constantes se emplean más fácilmente, si son adimensionales,
k
hR B
21 0
1
2 T T h
SRG
f 0
21
4 T T k
SR BG
f
Con lo que se obtiene la ecuación en variables adimensionales
0
0
202
02
*
*ln
*
1ln
2
1
*11***
R
r
R B
R BGG Rr BGT (4.2.11)
El flujo de calor por unidad de área
*1
*/1ln21*11*
0
20
0 r R B R BGGGr T T hq f r (4.2.12)
y el flujo de calor total, a la salida1
2 Rr r rLqQ
0
20
01 */1ln21
*112
R B
R BGGGT T Lh RQ f (4.2.13)
VERIFICACIÓN
1.- Análisis dimensional: En la ecuación 4.2.11, se puede observar queel modelo es dimensionalmente consistente.
2.- Cuando r = R0 entonces T = T 0
3.- En la pared externa: cuando r = R 1 entoncesq R1 h (T 1 - T f ) h (T 1* 1) (T f T 0 )
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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81
Análisis de procesos G. Chacón V.
4.3 BALANCE DE MASA DE UNA SUSTANCIADifusión de masa
OBJETIVO
Aplicar la ley de conservación de la masa de una sustancia que se difunde a travésde otra dentro de un sistema. Se utiliza el método riguroso como técnica deanálisis, se usan coordenadas esféricas y se observa una condición límite en un
punto de simetría.
SISTEMA
DescripciónUna reacción química, de un compuesto A, ocurre en una cama catalíticaformada por partículas bastante esféricas. La reacción ocurre al ponersela sustancia A en contacto con el material, tanto en la superficie, como enel interior de dichas partículas. La rapidez de la reacción está regida porla concentración de catalizador presente, esto es, se lleva a cabo unareacción de orden cero. Determine el perfil de concentraciones del reac-tivo con la distancia radial de la partícula, en estado estable; considerandoque se conoce la concentración en la superficie externa de la misma.
Volumen de control
Volumen de control diferencial
·C AR
VOLUMEN DE CONTROL TOTAL
r sen
r+ r
r
R
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82
Análisis microscópico G. Chacón V.
DEFINICIÓN DE VARIABLES
Variable independienter : posición radial a partir del centro, m.
Variable dependienteC A : concentración del A en una posición radial dada, kmol/m3.
Variables intermedias N Ar : intensidad del flujo de masa de A en la dirección radial,
kmol/ks m2 ar : área transversal al flujo de masa, m2.
Variables fijas R : radio, ( D/2) de la esfera, m
C AR: concentración de A en la pared externa, kmol/m3
. Parámetros
: coeficiente de velocidad de reacción, kmol/m3 ks
Relaciones constitutivas
Reacción química A Productos
Cinética de la reacción, generación (- R A) =
Difusión, Ley de Fick r C D J A AB Ar dd Coeficiente de reacción, = (T , r , sust .)
Difusividad másica D AB = D(T , r , sust .)
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN (FORMULACIÓN DEL MODELO)
Aplicando el principio de conservación a la masa a la sustancia A, mediante elmétodo de análisis riguroso o de Euler (Sec. 3.2), se tiene:
VAmasa de A FE masa de A FS masa de A RP masa de A RC masa de A
Velocidad de acumulación de masa VAmasar 0 (estado estacionario) Flujo de entrada de masa FE masa r N Ar r sen r r
(kmolA/m2 ks) (m2) (kmolA/ks) Flujo de salida de masa FS masa r +r N Ar r sen r r +r
(kmolA/m2 ks) (m2) (kmolA/ks) Rapidez de producción de masa RP masar no hay
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83
Análisis de procesos G. Chacón V.
Rapidez de consumo de masa RC masar ( R A) r sen r r (kmolA/m3 ks) (m3) (kmolA/ks)
En términos matemáticos, el balance de masa queda:
0δδδsenδδsenδδsenδ
r r r Rr r N r r N Ar r Ar r Ar
Efectuando operaciones
0δ
2
2
δ
2
r Rr
r N r N A
r Ar r r Ar
Evaluando el límite cuando r 0,
0d
d2
2
r Rr
r N A Ar (4.3.1)
O bien, efectuando la derivación del producto y haciendo N A N Ar
02
d
d A A
A R N r r
N (4.3.2)
CONDICIONES DEL MODELO
1.- Flujo de masa en estado estacionario2.- Masa como un continuo
3.- Geometría cilíndrica perfecta
4.- Material homogéneo, isotrópico
5.- Variación de los parámetros, con C A y r , despreciable
6.- No existe variación de la concentración con el ángulo (simetría)
0sen
r
C
D N A
AB A 0
r
C
D N A
AB A
7.- Efectos de contacto con el ambiente no significativos
8.- La reacción se comporta como de orden cero
9.- El flujo de masa ( N A = J A + vr C A) lo rige la difusión. Esto es, nohay convección apreciable de masa (vr = 0).
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84
Análisis microscópico G. Chacón V.
AGRUPAMIENTO CONSTANTES
Por ser tan pocas, se deja para el final
Aplicando las relaciones constitutivas y las condiciones del modelo, la ecuación4.3.2 se convierte en:
0d
d2
d
d2
2
AB
A A
Dr
C
r r
C (4.3.3)
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
Se puede resolver primero la Ec. 4.3.1, en lugar de la Ec. 4.3.3, 2
2
d
dr
r
r N A (4.3.1)
Integrando
132 3/ TE A C r r N (4.3.4)
Aplicando la ley de Fick y despejando
2 13d
d
r
C r
r
C D N TE A AB A
(4.3.5)
Separando variables e integrando
21
26TE
TE AB AB
C r C C
D D r
(4.3.6)
CONDICIONES DE CONTORNO
Las condiciones de contorno para evaluar las constantes de integración, son:
a: r = 0 ; N A = N A0 = 0 (Condición de simetría)
Sustituyendo estos valores en la Ec. 4.3.5, se evalúa la 01 TE C
Y a: r = R ; C A = C AR (Condición de esencial )
Con la Ec. 4.3.6, se evalúa la
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85
Análisis de procesos G. Chacón V.
2
2 6TE AR AB
RC C
D
Sustituyendo estos valores en la Ec. 4.3.6, se obtiene22
16 A AR
AB
R r C C
D R
(4.3.7)
NORMALIZACIÓN, VARIABLES ADIMENSIONALES
Para tal efecto, se sigue la forma de la ecuación obtenida, así:
AR
AR A A C
C C C
*
R
r r *
AR ABC D
RG
6
2
Con lo que se obtiene la ecuación en variables adimensionales
1** 2 r GC A (4.3.8)
La intensidad del flujo de masa de la sustancia A
r r R
C GD N
AR AB A 3*
2
(4.3.9)
El flujo de masa total que sale por la esfera, Rr Ar A r N M
24 ,
3
3
48 RC RGD M AR AB A (4.3.10)
VERIFICACIÓN
1. Análisis dimensional: En la ecuación 4.3.80 se muestra que el modeloes dimensionalmente consistente.
2.- En el centro, cuando r = 0 N A = 03.- En la pared externa: en r = R AR A C C
4.- Decreciendo hasta que r = 0 AB
AR A D
RC C
6
2
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86
Análisis microscópico G. Chacón V.
4.4 BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTODifusión de cantidad de movimiento
OBJETIVOAplicar la ley de conservación de la cantidad de movimiento (momentum) para elflujo, incompresible, de un fluido.
SISTEMA
DescripciónUn fluido se traslada, incompresiblemente y en estado estacionario, cum-
pliendo la Ley de viscosidad de Newton, por un tubo, "muy largo". Lalongitud del tubo es L y su radio R. El fluido, está sometido a una presión
P 0 en la entrada y a una P L en la salida. Determine el perfil de velocidadcon respecto a la distancia radial.
Volumen de control
Variables independientes s: posición en dirección del flujo, mr : posición, radial, perpendicular al flujo, m
rs
r
r
r
z
s s
P
v s
g
g sen
r
rs
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Análisis de procesos G. Chacón V.
Variables dependientesv s: velocidad en dirección axial, en s, m/s
intensidad de flujo de volumen P : presión en el fluido, Pa
rs: esfuerzo viscoso, PaVariables fijas
R: radio del conducto, m L: longitud del conducto, m : ángulo de inclinación,
Parámetros : densidad del fluido, kg/m3 : viscosidad del fluido, kg/m s
Condiciones de contornoa s 0 P P 0
s L P P L
r 0
0
r
v s (Condición de simetría)
r R v s 0 (Condición de esencial )
Relaciones constitutivas
Ley de viscosidad de Newtonr v s
yx
Flujo de masa r r vm s s δδδ
Principio de continuidad entre fases 0 Rr sv
o de no deslizamientoDensidad = (T )Viscosidad = (T )
Balance de masa
Ecuación de continuidad o balance de masa en estado estacionario, Ec,4.1.2, Sec. 4.1
0δδd r r v s
Simplificando 0d sv (4.4.1)
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88
Análisis microscópico G. Chacón V.
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN (FORMULACIÓN DEL MODELO)
Aplicando el principio de conservación a la cantidad de movimiento, mediante elmétodo aproximado o de Ingeniería (Sec. 3.1), se tiene:
VA s cantidad movimiento FE s cantidad movimiento FS s cantidad movimiento F s
Velocidad de acumulación decan-tidad de movimiento VA s cant. mov. s r 0 (estado estacionario)
Flujo de entrada de cantidad demovimiento convectivo
FE s cant. mov. s s s rvr v δδ
(kg/s) (m/s) NFuerza debido a la fricción,cantidad de movimiento difusivo
FE s cant. mov.r sr rs δδ
(Pa) (m2) N
Flujo de salida de cantidad demovimiento convectivo
FS s cant. mov. s s srvr vrvr v s s s s δδδδδ
(kg/s) (m/s) N
Fuerza de fricción, cantidad demovimiento difusivo
FS s cant. mov.r r
r r
sr sr rs
rs δδδ
δδ
(Pa) (m2) NFuerzas que actúan sobre el sistema Fx
Fuerza en la entrada F s1 s r Pr δδ
(Pa) (m2) N
Fuerza en la salida F s2 s s sr Pr r Pr δ
δδδδ
(Pa) (m2) N
Fuerza sobre la masa F s3 s r senδδδ g sr r
(kg/m3) (m3) (m/s2) N Notas:
δ21
00 sr r sr r límlím
r r r r límr lím sr r sr r
δ21
00
El operador derivada actúa sobre lo que está a la derecha
δ sδr r
r r r
r
sr sr rs
rsrs
rs
δδ
δδδδ
Efectuando las sumas correspondientes
0senδδδ
δδδ
δδδ
δδ
g sr r δ s s
r Pr r
r
sr s
s
vrvr v rs s s s
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89
Análisis de procesos G. Chacón V.
0δδδsenδδδδδδδδδ
2
sr r g sr r s
P sr
r
r sr r
s
v rs s
Simplificando
0sen
12
g s
P
r
r
r s
v rs s (4.4.2)
CONDICIONES DEL MODELO
1.- Flujo del fluido en estado estacionario
2.- Flujo del fluido en régimen laminar
3.- Masa, fluida, como un continuo4.- Fluido newtoniano (cumple la Ley de viscosidad de Newton en
régimen laminar)
5.- Geometría perfecta
6- Masa homogénea
7.- Variación despreciable de los parámetros densidad ( ) y viscosidad( ) con la temperatura y la posición (flujo incompresible)
8.- El fluido sólo se desplaza en la dirección s. La velocidad en otrasdirecciones (y el esfuerzo de fricción) son despreciables
vr 0, v 0
9.- Efectos de contacto entre fases están regidos por el principio demasa continua o no deslizamiento, la velocidad del fluido encontacto con el sólido es igual al del sólido.Interfase líquido sólido v sr =R = 0
10.- Se considera que la caída de presión es aproximadamente lineal:
0 L P P P s L
11.- Flujo desarrollado y efectos de entrada y salida despreciables.
Con la ecuación de continuidad, Ec. 4.4.1, y las condiciones del modelo, laecuación del modelo, Ec. 4.4.2, queda (con una variable independiente).
sen
d
d1 0 g L
P P
r
r
r Lrs
(4.4.3)
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90
Análisis microscópico G. Chacón V.
Aplicando la ley de viscosidad de Newton, se obtiene
sen
d
d
d
d1 0 g L
P P
r
vr
r r L s
(4.4.4)
Considerando la viscosidad constante
L
L g P P
r
vr
r r L s
sen
d
d
d
d1 0
(4.4.5)
AGRUPAMIENTO DE CONSTANTES
Se agrupan los parámetros:
L
R L g P P v L
Máx
20
4
sen
m/s
Con lo cual la ecuación 4.4.3 queda
r
R
v
r
vr
r r
r Máx srs2
4
d
d
d
d
d
d
(4.4.6)
Y la ecuación 4.4.5, así
22
2 4
d
d1
d
d
R
v
r
v
r r
v Máx s s (4.4.7)
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
Resolviendo la 4.4.6, se obtiene
1
22
2d
d Cter R
vr vr r Máx s
rs (4.4.8)
Sustituyendo en términos de la Ley de viscosidad de Newton
rs
Máx s
r
Cter
R
v
r
v
112
d
d 12
Integrando, con constante
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91
Análisis de procesos G. Chacón V.
212
2ln
1Cter Cter
R
vv Máx
s
(4.4.9)
CONDICIONES DE CONTORNO
Las condiciones de contorno, para evaluar las constantes de integración, son:
a: r 0 ;
0d
d
0
r
s
r
v (Condición de simetría)
De la ecuación 4.4.80
10
20 1
2
Cte
R
v Máx 01 Cte
ya r R 0
Rr sv (Condición de esencial )
De la ecuación 4.4.9 212
2ln
10 Cte RCte R
R
v Máx
MáxvCte 2
Sustituyendo las constantes, y arreglando
r Rv Máx
rs 22 (4.4.10)
2
1
R
r
v
v
Máx
s (4.4.11)
L
R L g P P v L
Máx
20
4
sen
(4.4.12)
NORMALIZACIÓN, VARIABLES ADIMENSIONALES.
Para tal efecto, se sigue la forma de la ecuación obtenida; nótese que cuando r = 0 setiene la máxima velocidad
Así que, si se definen los números adimensionales:
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92
Análisis microscópico G. Chacón V.
Rr s MAX
Rr s s s vv
vvv *
R
r r *
Con lo que se obtiene la ecuación de la velocidad en variables adimensionales
2*1* r v s (4.4.13)
El esfuerzo de fricción
*2
r R
v Máxrs (4.4.14)
El flujo total de masa es
R
s r r vm 0
2
0 dd
r r R
r v
R
Máx d12 0
2
L
L g P P R R
vm L Máx
8
sen
2042
( Ecuación de Hagen Poiseille)
Y la fuerza total en la pared del conducto, fuerza de fricción o de piel
L
Rr rs s sr F 0
2
0 dd
L Máx
s R R
v0
2
2 d
2
2
L
Máx sv0 d22
L g P P R Lv F L Máx s sen4 02 (4.4.16)
VERIFICACIÓN
1.- Análisis dimensional: En las ecuaciones 4.4.13 y 4.4.13 se muestraque el modelo es dimensionalmente consistente.
2.- Cuando r 0 entonces 0d
d r
v srs , Máx s vv
3.- Cuando r R entonces 0 sv
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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93
Análisis de procesos G. Chacón V.
4.5 REACTOR CONTINUO TIPO FLUJO DE PISTÓNAnálisis semidiferencial
OBJETIVOAplicar la ley de conservación de la masa de una sustancia reactiva en un sistema,formado por un reactor tubular, cuyo flujo se considera con perfil de velocidad yconcentración constantes con el radio, denominado flujo de pistón o “plug flow”.
SISTEMA
DescripciónUna sustancia gaseosa A se descompone generando dos tipos de productos, tambiéngaseosos en un reactor tubular. La reacción química es irreversible y de segundoorden. Encuentre una relación entre las concentraciones de A y la distancia en elreactor a partir de la entrada, en el estado permanente. Considérese que A entra
pura, el reactor es isotérmico e isobárico, la difusión es despreciable y los gases secomportan como “perfectos” o “ideales”.
Volumen de control
DEFINICIÓN DE VARIABLES
Variable independiente z : posición a partir de la entrada, m
Variable dependienteC A : concentración de la sustancia A en una posición z, kmol/m3.
Variables intermedias N A: intensidad flujo de masa de A en la dirección z, kmol/s m2
V
z+ z
z
Volumen de control diferencial
a
C A v
z
D
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94
Análisis microscópico G. Chacón V.
N : intensidad de flujo de masa total en la dirección z, kmol/s m2 V : flujo volumétrico total en la dirección z, m3/s
Variables fijas
R : radio ( D/2) del conducto, mL : largo del conducto, ma : área transversal al flujo de masa, m2
Parámetro : coeficiente de rapidez de reacción, m3/kmol ks.
Relaciones constitutivas
Reacción química A B + C Cinética de la reacción, generación (- R A) = C A
2 Coeficiente de reacción, = (T , r , sust .)Ley de los gases “perfectos” o “ideales” M = P V /( R T )Área a = D2
4Flujo de masa de A A A A C V a N M
Estequiometría (que es el balance total de masa, como un flujo)
Masa de A en z a N M A A kmol/s
Masa de B en z a N a N M A A B 0 kmol/s
Masa de C en z a N a N M A AC 0 kmol/s
Masa total en z a N a N Na M A ATotal 02 kmol/s (4.5.1)
CONDICIONES DE CONTORNO
Las condiciones de contorno para evaluar las constantes de integración, son:
cuando: z = 0 ; C A = C A0 = P /( R T ) y 0V V
C A0: concentración de A a la entrada, kmol/m3
0V : flujo volumétrico total a la entrada, m3/s
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN (FORMULACIÓN DEL MODELO)
Aplicando el principio de conservación a la masa de la sustancia A, mediante elmétodo aproximado o de Ingeniería (Sec. 3.1), se tiene:
VAmasa de A FE masa de A FS masa de A RP masa de A RC masa de A
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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95
Análisis de procesos G. Chacón V.
Velocidad de acumulación de masa VAmasa z 0 (estado estacionario) Flujo de entrada de masa FE masa z a N A
(kmolA/m2 ks) (m2) kmolA/ks
Flujo de salida de masa FS masa z z
z z
a N a N
A A δd
d
(kmolA/m2 ks) (m2) kmolA/ks
Rapidez de producción de masa RP masa z no hay
Rapidez de consumo de masa RC masa z za R A δ (kmolA/m3 ks) (m2) (m) kmolA/ks
Efectuando las operaciones correspondientes, el balance de masa queda:
0d
d a R z
a N A A (4.5.2)
CONDICIONES DEL MODELO
1.- Flujo de masa en estado estacionario
2.- Masa como un continuo
3.- Geometría cilíndrica perfecta
4- Material homogéneo
5.- Los parámetros no varían apreciablemente
6.- La variación de la concentración con el radio (longitud infinita) y conel ángulo (simetría geométrica) es despreciable, flujo tipo pistón
0
r
v z 0
r
C A 0
r
v z 0
r
C A
7.- Efectos de entrada y salida no significativos
8.- La reacción se comporta como de orden dos unimolecular para A eirreversible
9. El flujo de masa ( N Az = J Az + v z C A) lo rige la convección. Esto es,no hay difusión apreciable de masa ( J Az 0 )
10.- Sistema isotérmico
11.- Caída de presión despreciable, isobárica, P / P 0,1
12.- Comportamiento “ideal” o “perfecto” de los gases.
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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96
Análisis microscópico G. Chacón V.
Aplicando las relaciones constitutivas y las condiciones del modelo en la ecuación4.5.2, en términos de la concentración, se convierte en:
Con A A A C V a N M
0d
d 2 A A aC
zC V
(4.5.3)
Aunque el área, a, es constante, la velocidad varía, porque los moles varían. Escri- biendo la ecuación 4.5.1, en términos de la concentración y el flujo,
A A ATotal C V C V C V V RT
P Na M 000 2
Con lo que se obtiene que
A A
A
C C
C V V
0
002 (4.5.4)
Y la derivada del flujo volumétrico
z
C
C C
C V
z
V A
A A
A
d
d2
d
d2
0
00
AGRUPAMIENTO DE CONSTANTES
Sea:0
0
AaC
V
, m
Realizando operaciones en 4.5.3, se obtiene
30
20
2 2
1
d
d1
A
A
A A A C z
C
C C C
(4.5.5)
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
Resolviendo la ecuación 4.5.5
TE
A
A A
A A A
A A A C z
C
C C
C C C
C C C
2ln2
2 0
0
00 (4.5.6)
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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97
Análisis de procesos G. Chacón V.
CONDICIÓN DE CONTORNO
Con las condición de contorno,
a: z = 0 ; C A
= C A0
(Condición esencial )
Se evalúa la constante de integración, con la ecuación 4.5.6,
2ln22
3TE C
Sustituyendo en la ecuación 4.5.6 se obtiene
0 0
0 0 0
1 2 / 1 / 32 ln
/ 1 / 2 / 2 2
A A A A
A A A A A A
C C C C z
C C C C C C
(4.5.7)
NORMALIZACIÓN, VARIABLES ADIMENSIONALES.
Para tal efecto, se sigue la forma de la ecuación obtenida, así:
0
* A
A
C
C C
0
0
* AaC z z z
V
Con lo que se obtiene la ecuación en variables adimensionales es
1 2 * 1 * 3 *2 ln
* 1 * 2 * 2 2
C C z
C C C
(4.5.8)
El flujo de la sustancia A, como C A no se puede expresar en forma explícita de z,queda en términos de ésta:
00 11
2 A A
A A A C C
C V a N M
(4.5.9)
VERIFICACIÓN
1.- Análisis dimensional: En la ecuación 4.5.8 se muestra que elmodelo es dimensionalmente consistente.
2.- A la entrada: cuando z = 0 entonces C A = C A0
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98
Análisis microscópico G. Chacón V.
4.6 LA ALETA RECTAAnálisis semidiferencial
OBJETIVOConsiderar el caso del análisis de un sistema de transferencia de calor que se lleva acabo en mediante la técnica del elemento semidiferencial, y que produce resultadosaceptables para las necesidades de la Ingeniería.
SISTEMA
DescripciónEstablezca el perfil de temperaturas en una aleta rectangular de largo L, espesor Wy ancho B, hecha de un material cuya conductividad térmica es k . Por dicha aleta sedisipa calor, desde una pared plana que está a T 0, con la ayuda del fluido que larodea, el cual tiene un coeficiente de película h y mantiene una temperatura T f ensu seno.
Volumen de control
DEFINICIÓN DE VARIABLES
Variable independiente x : posición a partir de la pared, dentro de la aleta, m
VOLUMEN DE CONTROLTOTAL
W
B
T 0
T f
L
x+ x
x
Volumen de control
semidiferencial
x+ x
q h
·T f
T x
q x q x+
x
x
A x
W
T x+
x
q h
A
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99
Análisis de procesos G. Chacón V.
Variable dependienteT : temperatura, en cualquier posición a lo largo de x, K
Variables intermediasq x: intensidad de flujo de calor en la dirección x, W/m2
qh: intensidad de flujo de calor de la placa hacia el ambiente, W/m2
Variables fijas
T f : temperatura en el medio (que rodea la aleta), KT 0: temperatura en la pared o base de la aleta, KW : espesor de la aleta, m
B : ancho de la aleta, m L : largo de la aleta, m
Parámetros
: densidad del material, kg/m
3
k : conductividad térmica del material, W/m Kh : coeficiente de transferencia de calor del medio, W/m2 K
Relaciones constitutivasLey de Fourier qr = k (d T /d x)Ley de enfriamiento de Newton qh h (T S T f )
Área a x = B W Perímetro p x = 2( B + W )
Coeficiente de transferencia de calor h = h(T , r , v)Conductividad térmica k = k(T , r )Densidad = (T , r )
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN (FORMULACIÓN DEL MODELO)
Aplicando el principio de conservación a la de energía, mediante el método aproxi-mado o de Ingeniería (Sec. 3.1), se tiene:
VAenergía FE energía FS energía RP energía RC energía
Velocidad de acumulación de energía VAenergía x 0 (estado estacionario)
Flujo de entrada de energía FE energía x x xaq
(W/m2) (m2) W
Flujo de salida de energía FS energía x x
x x
aqaq x x
x x δd
d
(W/m2) (m2) W
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100
Análisis microscópico G. Chacón V.
Flujo de salida de energía FS energía x x pq hh δ
(W/m2) (m) (m) WRapidez de producción de energía RP ener ía x no hay
Rapidez de consumo de energía RC energía x no hay
El balance de energía queda:
0
d
d xh
x x pq x
aq (4.6.1)
Efectuando la operación diferencial, con a x constante
0
d
d h
x
x x q
a
p
x
q
CONDICIONES DEL MODELO
1.- Estado estacionario
2.- Energía como un continuo
3.- Geometría perfecta
4- Material homogéneo, isótropo5.- Variación despreciable de los parámetros ( , k ) con la temperatura
6.- La variación de la temperatura con y y z son insignificantes
0
y
T k q y 0
z
T k q z
En este caso se desprende calor de la aleta al medio, por las caras WB y WL.Esta aproximación, considera que la temperatura se toma como constante entodo el espesor, generándose un volumen de control semidiferencial.
7.- Efectos de contacto entre materiales (pared-aleta-ambiente) despre-ciables.
Aplicando la ley de Fourier , la de enfriamiento de Newton y las relaciones para el perímetro y el área, a la ecuación del modelo queda:
02
d
d2
2
f T T k
h
BW
W B
x
T (4.6.2)
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101
Análisis de procesos G. Chacón V.
AGRUPAMIENTO DE CONSTANTES
m = 2 ( B W ) h / ( B W k )1/2 m-1; = (T T f ) K
La ecuación 4.6.2 se transforma en
0d
d 22
2
m x
(4.6.3)
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
Resolviendo la ecuación 4.6.3,
mxC mxC TE TE
coshsenh21
(4.6.4)
CONDICIONES DE CONTORNO
Con las siguientes condiciones físicas del proceso o condiciones de contorno,
a x = 0 T = T 0 y 0 = (T 0 T f ) (condición esencial )
Evaluando con la Ec. 4.6.4 la 02 TE C
a x = L q x = q x x= L = h x= L (T x= L T f ); h x= L h L
L x L L x L x
L x x h x x
T k q
d
d
d
d (condición natural )
La derivada de la temperatura, Ec. 4.6.4
mxmC mxmC x x
T TE TE senhcosh
d
d
d
d21
(4.6.5)
Evaluando con la ecuaciones 4.6.4 y 4.6.5 la C TE 1 mLC mLC hmLC mLC km TE TE LTE TE coshsenhsenhcosh 2121
Despejando
mLkm
hmL
mLkm
hmL
C L
L
TE
senhcosh
coshsenh
01
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102
Análisis microscópico G. Chacón V.
Sustituyendo las constantes de integración, se obtiene el resultado:
Si
2/12
BWk
hW Bm 1/m (4.6.6)
mLkm
hmL
x Lmkm
h x Lm
T T
T T
L
L
f
f
senhcosh
senhcosh
0
(4.6.7)
NORMALIZACIÓN, VARIABLES ADIMENSIONALES.
Para tal efecto, se sigue la forma de la ecuación obtenida, así:
f
f
T T
T T T
0
* mx x * mL L * km
h L
Con lo que se obtiene la ecuación en variables adimensionales
*senh*cosh
**senh**cosh*
L L
x L x LT
(4.6.8)
El valor del flujo de calor, con la Ley de Fourier y la ecuación 4.6.6
*senh*cosh
**cosh**senh0 L L
x L x LT T kmq f x
(4.6.9)
El calor total transferido, se calcula en la base de la aleta,0
x x x aqQ
mL
mLT T kBWmQ f x tanh1
tanh0
(4.6.10)
VERIFICACIÓN
1.- Análisis dimensional: En la ecuación 4.6.6, se puede observar queel modelo es dimensionalmente consistente.
2.- Cuando x = 0 entonces T = T 0
3.- En el extremo de la aleta cuando x = L entonces q L = h L (T L T f )
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103
Análisis de procesos G. Chacón V.
4.7 ABSORCIÓN DE LA MASA DE UNA SUSTANCIAAnálisis semidiferencial
OBJETIVOAplicar la ley de conservación de la masa de una sustancia para el flujo,incompresible, de un fluido, usando la técnica del análisis semidiferencial. Con el
propósito de proponer un modelo simplificado del caso.
SISTEMA
DescripciónUn líquido, solvente, con una sustancia B en disolución, fluye por uncanal abierto, de área constante, La cara abierta está en contacto con ungas, del cual absorbe otra sustancia A. Dentro del fluido, la sustanciamencionada reacciona con la sustancia B, en proporción de un mol por unmol de A, con una rapidez de reacción de primer orden, para B.Determine el perfil de concentraciones de A a lo largo del conducto,considerando que ni la velocidad ni la concentración varían con el anchoni el espesor del canal y que el flujo de masa está en estado estacionario.La tasa de rapidez de reacción es de k , 1/s, y el coeficiente detransferencia de masa de la sustancia A en el fluido es K L, m/s. Considere
que la concentración de la sustancia A, la temperatura y la presión total enel gas son constantes, con lo que la concentración de A en la interfaselíquido gas, del lado del líquido, es su saturación (solubilidad) y, también,es constante.
Volumen de control
h v C C C
C S N As
A
A
N Ax
x x x
h
b
w
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104
Análisis microscópico G. Chacón V.
DEFINICIÓN DE VARIABLES
Variable independiente x : posición a partir de la entrada, m
Variables dependientesC A: concentración de la sustancia A en el líquido, kmolA/m3 C B: concentración de la sustancia B en el líquido, kmolB/m3
Variables intermedias N Ax: intensidad de flujo de masa convectivo de la sustancia A, en la
dirección del flujo del líquido, kmolA/s m2 N As: intensidad de flujo de masa de la sustancia A, en la interfase
líquido gas, kmolA/s m2
Variables fijasv x: velocidad en la dirección del flujo, m/sw : ancho del conducto, longitud en contacto con el gas, mb : ancho del fondo del conducto, m
L : longitud del conducto, mh : profundidad del líquido en el conducto, m
Parámetros : densidad del fluido, kg/m3 k : coeficiente de velocidad de reacción, 1/s.
K L : Coeficiente global de transferencia de masa, entre el solvente y elaire, m/s
C As : Composición al equilibrio o de saturación de A en el solvente,fracción mol de solvente A, kmolA/m3
Relaciones constitutivasReacción química Productos B A k
Cinética de la reacción, B B kC R sust xT k ,,k
Área 2bwhaa x Ancho en contacto con el gas w
Flujo de masa de A A A A C V a N M
Flujo de masa de B B B B C V a N M
Relación de la transferencia A AS L As C C K N sust T K L ,K de masa en la interfase
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105
Análisis de procesos G. Chacón V.
Balance de masa total
Ecuación de continuidad en estado estacionario
0ddd x x x x x avavm (4.7.1)
(Se obtiene por el balance de masa, Sec. 4.1)
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN (FORMULACIÓN DEL MODELO)
Aplicando el principio de conservación a la masa de la sustancia A, mediante elmétodo aproximado o de Ingeniería (Sec. 3.1), se tiene:
VAmasa de A FE masa de A FS masa de A RP masa de A RC masa de A
Velocidad de acumulación de masa VAmasa x 0 (estado estacionario)Flujo de entrada de masa FE masa x a N Ax kmolA/s
Flujo de salida de masa, FS masa x x
x x
a N a N Ax
Ax δd
d
Flujo de entrada de masa, FE masa x xw N As δ kmolA/sRapidez de producción de masa RP masa x no hayRapidez de consumo de masa RC masa x xa R A δ kmolA/s
Efectuando las operaciones correspondientes, el balance de masa queda:
0
d
d a Rw N
x
a N A As
Ax (4.7.2)
Para la masa de la sustancia B:
Velocidad de acumulación de masa VAmasa x 0 (estado estacionario) Flujo de entrada de masa FE masa x a N Bx kmolB/s
Flujo de salida de masa FS masa x x x z a N a N Bx Bx δdd kmolB/s
Rapidez de producción de masa, VP masa x no hayRapidez de consumo de masa VC masa x xa R B δ kmolB/s
Efectuando las operaciones correspondientes, el balance de masa queda:
0
d
d a R
x
a N B
Bx (4.7.3)
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106
Análisis microscópico G. Chacón V.
CONDICIONES DEL MODELO
1.- Flujo de masa en estado estacionario
2.- Masa como un continuo
3.- Geometría perfecta
4- Material homogéneo
5.- Los parámetros no varían apreciablemente
6.- La variación de la concentración y la velocidad con y y z son despre-ciable, los efectos de fricción y convección por fuerza boyante sondespreciables, flujo tipo pistón
0
y
C A ;
0
y
C B ;
0
y
v x
0
z
C A ;
0
z
C B ;
0
z
v x
7.- Efectos de entrada y salida no significativos
8.- La reacción se comporta como de orden uno para B e irreversible
9.- La rapidez de consumo de A, es igual a la rapidez de consumo de B. (-R A) = (-R B) = k C B.
10.- El flujo de masa ( N Ax = J Ax + v x C A) lo rige la convección. Esto es,no hay difusión apreciable de masa ( J Ax 0 ), lo mismo para B.
11.- Sistema isotérmico, C As constante
Aplicando las relaciones constitutivas y las condiciones del modelo en las ecua-ciones 4.7.1-3, en términos de la concentración, se convierten en:
0d xv aV vv x (4.7.4)
Con A A x Ax A C V aC va N M y B B x Bx B C V aC va N M
0
d
d B
B kaC x
C V (4.7.5)
0
d
d wC C K kaC
x
C V A As L B
A
(4.7.6)
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Análisis de procesos G. Chacón V.
AGRUPAMIENTO DE CONSTANTES
ka
V
w K
V
L
m
Con lo cual las ecuaciones quedan
0
1
d
d B
B C x
C
(4.7.7)
B
As A
A C C
C x
C
11
d
d (4.7.8)
SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES
Resolviendo las ecuaciones 4.7.7-8, se obtiene
xCteC B exp1 (4.7.9)
xCte
xCteC C As A
exp1
exp21 (4.7.10)
CONDICIONES DE CONTORNO
Las condiciones de contorno, para evaluar las constantes de integración, son:
a: x = 0: C B = C B0 ; C A = C A0
Con la Ec. 4.7.9 01 BC Cte
Con la Ec. 4.7.101
1002
B As A C C C Cte
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones 4.7.9 y 4.7.10, se obtienen:
x
C
C
B
B exp0
(4.7.13)
x x
C C
C
C C
C C
As A
B
As A
As A exp111
exp10
0
0
(4.7.14)
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108
Análisis microscópico G. Chacón V.
VERIFICACIÓN
1.- Análisis dimensional: En las ecuaciones 4.4.13-14 se muestra queel modelo es dimensionalmente consistente.
2.- Cuando x 0 entonces C A C A0 y C B C B0
3.- Cuando x entonces C A C As y C B 0
4.8 APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE BESSEL
OBJETIVO
El propósito de esta sección es analizar y desarrollar casos en que aparecen lasecuaciones y funciones de Bessel.
ECUACIÓN DE BESSEL, GENERALIZADA
Es una ecuación del tipo
0
2
d
d221
d
d2
2222
2
2
y x
pqxqa pqxcn+abcx
x
y
x
pqxa+
x
y qqcq
b 0 , c 0 y q 0
Cuya solución es c
nTE c
nTE qa bxC bxC px x y ΩΘexp 21
CASO n(b xc
) n(b xc
)n entero o cero b real Jn(b xc) J-n(b xc)n = entero o cero b real Jn(b xc) Yn(b xc)n entero o cero b imaginario In(-i b xc) I-n(-i b xc)n = entero o cero b imaginario In(-i b xc) K n(-i b xc)
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109
Análisis de procesos G. Chacón V.
EJEMPLO 4.8-1
Considérese el caso de la reacción química, de primer orden para un compuesto A,en una partícula por la cual se difunde. Con la descripción del sistema propuesto enel problema de la Sec. 4.3.; con la diferencia de que la reacción es de primer orden.
La ecuación del modelo de la Sec. 4.3
02d
d A A A R N
r r N (4.3.2)
Con la relación constitutiva dada por laCinética de la reacción, (- R A) = C A
Se convierte mediante la relación para la difusión de la sustancia A, de Fick , y lacinética de la reacción establecidas, en
0d
d2
d
d2
2
A AB
A A
C Dr
C
r r
C
(4.8.1)
La cual es, probablemente, una ecuación de Bessel, comparándola con la ecuacióngeneralizada:
1 2 a 2 p 0 a 1/2
b2 c2 r 2c-2 - /DAB c 1 b i (/ D AB)1/2
a2 n2 c2 0 n2 a2/c2 1/4 n = 1/2
Volumen de control diferencial
·C AR
VOLUMEN DE CONTROL TOTAL
r sen
r+ r
r
R
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110
Análisis microscópico G. Chacón V.
Seam ( /DAB)1/2
Con lo que se obtiene
mr C mr C r C TE TE A 2/122/112/1 II (4.8.2)
Sustituyendo las relaciones para las funciones de Bessel de orden ½
mr Bmr Ar C A coshsenh1 (4.8.3)
Con las condición de contorno
a: r = 0; N A = N A0 = 0 (condición de simetría)
Por lo que C Ar 0 y con la Ec. 4.8.3 se obtiene la constante 0coshsenh
000
r r r A mr mr ArC B
Con las condición de contorno
a: r = R; C A = C AR (condición esencial )
y la Ec. 4.8.3 Se obtiene la constante
mR RC A AR senh
Sustituyendo las constantes se obtiene la relación final
r
R
mR
mr
C
C
AR
A
senh
senh (4.8.4)
EJEMPLO 4.8-2
Utilizando el problema de una aleta recta, de la Sec. 4.6, pero con sección trans-versal circular y decreciente, en forma de cono; cuyas dimensiones son R, el radiode la base, que está unida a la pared, y L el largo.
Con las relaciones constitutivas dadas para:Distancias (Thales) r = ( R/ L) ( L x)Área a x = r 2 Perímetro p x = 2 r
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111
Análisis de procesos G. Chacón V.
La ecuación del modelo de la Sec. 4.6
0
d
d xh
x x pq x
aq (4.6.1)
Se convierte, mediante la Ley de Fourier , las relaciones para el área y el perímetro,en
02d
d
d
d2d
d2
22
f T T k
hr x
T
x
r r x
T r (4.8.5)
Agrupando los siguientes parámetros y variables:
= L x mm = 2 h L/(k R)1/2 m-1
y = (T T f ) K
Se transforma en
0d
d2
d
d 2
2
2
m (4.8.6)
La cual es, probablemente, una ecuación de Bessel , comparándola con la ecuacióngeneralizada:
1 + 2 a = 2 p = 0 a = 1/2
b2 c2 2c-2 = - m2 -1 c = 1/2 b = 2 m i
a2 n2 c2 = 0 n2 = a2/c2 = 1 n = 1
VOLUMEN DE CONTROLSEMIDIFERENCIAL
T x
q x q x+ x
x+ x
qh
qh
·Tf
A A
R T x+ x
x
r x r x+ x
VOLUMEN DE CONTROLTOTAL
R
T 0 T f
L
x
x+ x
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Análisis microscópico G. Chacón V.
Con lo que se obtiene
2/112
2/111
2/1 2K 2I mC mC TE TE (4.8.7)
Con la condición de contornocuando x = L ; = 0 q x = q x x= L = h L (T L T f ) = h L L
T x= L = T L T = finito y = finito
Y la Ec. 4.8.7 Se obtiene la constante
02K 2I0
2/110
2/1110
2/12
mmC C TE TE
cuando x = 0; = L T = T 0; = (T0 T f )
2/1
10
2/1
1 2I mLT T LC f TE
Se obtiene la relación final
2/1
2/1
2/11
2/11
0 2I
2I
x L
L
Lm
x Lm
T T
T T
f
f
(4.8.8)
4.9 EJERCICIOS
4.1. Para un recipiente de diámetro D y profundidad L, conteniendo un fluido dedensidad , describa la distribución de la fuerzas que soporta su pared lateral.
4.2. Encuentre una relación entre la presión atmosférica y la altura sobre lasuperficie terrestre, para cada uno de los siguientes modelos del comportamiento dela atmósfera (considerando que el gas se comporta como Gas perfecto o ideal):
a) la temperatura es constante: T T 0. b) comportamiento adiabático del proceso: T T 0 ( P / P 0)
.c) la temperatura varía linealmente con la altura: T T 0 (1 h).
T = temperatura, P = presión, h = altitudT 0, P 0, ( 2,25 10-5 m-1) y ( 2/7) constantes
4.3. Una sustancia de densidad , fluye, unidireccional e incompresiblemente, enestado estable, por un conducto cerrado debido a una diferencia de presión. Pormedio de un balance de fuerza-cantidad de movimiento, formule una relación entre:
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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113
Análisis de procesos G. Chacón V.
la densidad, la posición, la velocidad y la presión, evaluadas en dos puntos dados.Considere que la velocidad promedio no varía con la distancia perpendicular al tuboy que la resistencia a la fricción es despreciable.
4.4. Entre dos placas paralelas y horizontales, de longitud L, se encuentra unacapa de fluido, newtoniano, de espesor 2 W . La placa superior se desplaza con unavelocidad U y la inferior V en sentido contrario. Si el flujo se puede considerarincompresible, en régimen laminar y en estado estacionario, determinar el perfil develocidad y la caída de presión que provoca.
4.5. Una película de líquido de espesor W , constante, desciende por una placainclinada, con un ángulo , con la horizontal. Determine el perfil de velocidadesdel fluido con respecto al eje perpendicular al plano de la placa, en flujo de régimen
laminar y en estado estacionario.4.6. Una masa fluye incompresiblemente, en estado permanente y en régimenlaminar, dentro de la región comprendida entre dos tubos cilíndricos coaxiales. Losradios de los tubos son R0 y R y su longitud L (para ambos tubos). Si el conductoestá colocado horizontalmente y el fluido está sometido a presiones P 0, en la entra-da y P L a la salida, determine la variación de velocidad con respecto a la distanciaradial.
4.7. Determine el espesor de una pared plana de arcilla refractaria, que sirve como
aislante, para una carga de calor dada; si se conoce la temperatura de la paredinterior y la del fluido que rodea la cara externa (coeficiente de película h W/m2 K).
4.8. Determine el perfil de temperaturas, a lo largo del radio, en estado estable, para un cilindro hueco, con el radio externo R y el interno A. El cual, posee unafuente de energía en el núcleo que genera Q kW de energía. Considere que seconoce la temperatura de la circunferencia o cara externa T R.
4.9. En una esfera sólida, se produce un flujo de calor debido a una fuente que
genera energía a razón de S W/m
3
, en todo su volumen. El radio de la esfera es R,su conductividad térmica k y la superficie de la esfera se mantiene a una tempe-ratura T R. Derive una expresión entre la temperatura y la distancia desde el centro,en el estado permanente, para:
a) k = k 0, constante. b) k = k 0 (1 + T ). (T = temperatura, k 0 y = constantes)
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114
Análisis microscópico G. Chacón V.
4.10. Desarrolle una relación que represente la distribución de temperaturas con elradio, en estado permanente, para una varilla sólida de longitud "infinita", con unafuente de energía que produce calor a razón de S kW/m3. Considere que su radio es
R, su longitud L, su conductividad térmica k y que el sistema está rodeado por un
fluido con temperatura T f . Para cuando:a) S = S 0, constante.
b) S = S 0 (1 - T ) kW/m3 (T = temperatura, S 0 y constantes)
4.11. El espacio anular, que queda entre dos cilindros coaxiales, está relleno de unmaterial de conductividad térmica k . En él se lleva a cabo una reacción químicaque genera calor uniformemente, a razón de S kW/m3. Evalúe el perfil de tempera-tura en la masa reaccionante, si el proceso se efectúa en estado estacionario. Latemperatura de la pared externa, de radio R1, se mantiene a T 1 y la pared interna se
puede considerar que está perfectamente aislada. Desprecie la transmisión de caloren sentido axial.
4.12. Un tanque esférico se emplea para almacenar oxígeno líquido en su punto deebullición. El tanque está cubierto por una capa de material aislante de conduc-tividad térmica k , con radio interior R0 y radio exterior R1. La temperatura en lasuperficie exterior de la capa aislante es de T 1. Si se considera la conductividad delmetal "infinita", determine la distribución de temperaturas en el aislamiento y lacantidad de oxígeno que se evapora por unidad de tiempo, cuando se trabaja enestado estable.
Propiedades del oxígeno a la presión de 3,0 MPaCoeficiente de transmisión de calor (de película) 5,2 kW/m2 KDensidad como líquido 0,79 Mg/m3 Temperatura de ebullición 132 KCalor latente de evaporación 118 kJ/kg
4.13. Dos fluidos se desplazan, en contra-corriente, por el espacio interno y el anu-lar, respectivamente, de dos tubos concéntricos. Considerando que el fenómeno detransferencia de calor se puede explicar mediante el coeficiente global de transfe-rencia de calor (U ), basado en el radio del tubo interior, y que las velocidades de losflujos son lo suficientemente grandes para no desarrollar gradientes radiales detemperatura; desarrolle una relación entre la temperatura de la corriente interior y ladistancia.
Características del sistema: tubo interior tubo exteriorMaterial cobre termoplásticoRadio interno 19,9 mm 38,1 mmRadio exterior 25,4 mm 48,3 mmFlujo de masa 0,50 kg/s -- kg/sTemperatura de entrada 225 C 25 C
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115
Análisis de procesos G. Chacón V.
Temperatura de salida 45 C 35 CLongitud del tubo 5,3 m
4.14. Una alambre eléctrico de longitud L y diámetro D, está unido a dos compo-
nentes de un equipo; los cuales, se hallan, respectivamente, a T 0 y T L C, en cadaextremo del mismo. La corriente que pasa, genera calor a razón de S W/m3 (= I 2 R con: I corriente, R resistencia por unidad de volumen y factor de conversión deunidades). El calor generado se disipa en parte por los extremos del cable y en
parte por al aire que lo rodea; siendo el coeficiente de película del aire h y su tem- peratura T f . Despreciando la transferencia de calor en sentido radial, determine ladistribución de temperatura, en las condiciones de estado estacionario, si el alambrees:
a) recto. b) curvo, con un radio de curvatura R.
4.15. En un intercambiador de tubo y carcaza de un solo paso, se desea enfriar unaceite comestible, que pasa por el tubo (interno), de 20 a 5 C. Considerando: que
por su lentitud y viscosidad la transferencia de calor se lleva a cabo, tanto por con-vección, como por conducción en sentido axial; que la salmuera de enfriamiento,mantiene su temperatura constante (a todo lo largo) en -5 C y que el tubo es losuficientemente delgado, para que no se desarrolle perfil de temperaturas en sentidoradial, encuentre la relación de la temperatura con la posición a lo largo del tubo.
4.16. A un reactor tubular (flujo de pistón) entra una sustancia a razón de G conuna temperatura T 0, saliendo a T L. La longitud del reactor es L y su diámetro D. Enla reacción se produce calor a razón de
S = H 0 exp(- x) x = posición, H 0 y = constantes.La capacidad calorífica de la masa reaccionante, es c y su densidad . Considéreque la conducción de calor a lo largo del reactor no es despreciable, pero sí lo es enla dirección radial; que la variación de las propiedades de la sustancia con latemperatura y con la concentración es despreciable. Describa la distribución detemperatura a lo largo del reactor si:
a) está rodeado por un fluido de coeficiente de película h ytemperatura T f .
b) se desprecia la transferencia de calor al medio.
4.17. Determine la distribución de temperaturas a lo largo de una aleta, de áreatransversal recta, con espesor 2W y longitud L, anular a un tubo de radio R0. Si, seconoce la temperatura en la base (en el tubo) y la del fluido que lo rodea.
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116
Análisis microscópico G. Chacón V.
4.18. Calcule el flujo de un electrolito a través de una membrana plana y semiper-meable (al electrolito). De la cual, se conocen las respectivas concentraciones (dela sustancia), en su superficie interna y en el medio externo.
4.19. Un producto A fluye, en solución con una concentración dada, dentro de untubo de material celulósico; cuyo radio interno es R0 y el radio externo R . El solu-to genera una concentración C 0 en la cara interna del tubo, se difunde a través de su
pared, hacia otro medio con concentración C f , en el cual está inmerso. Encuentreuna relación entre la concentración de A y la distancia radial del tubo, considerandoque ambas concentraciones (C 0 y C f ) no varían con el tiempo ni con la longitud.
4.20. Una sustancia aromatizante se desea esparcir por medio de un tubo (aleta)cilíndrico, de largo L, unido en un extremo a la fuente y tapado en el otro. La
sustancia se difunde a través del cilindro y sale a la atmósfera a través de la caralateral del mismo. Halle la variación de la concentración de la sustancia, en estadoestacionario, a lo largo, z, del cilindro, despreciando la difusión en dirección delradio, si el coeficiente de transferencia de masa, hacia el ambiente, es
a) K = K 0 (constante). b)(*) K = K 0/(1 z/ L).
4.21. (*) Una sustancia A, gaseosa, desprendida como residuo, se descarga a laatmósfera por medio de una chimenea. Encuentre la relación entre la concentraciónde A y la distancia vertical del conducto. Considere que el proceso se lleva a cabo
por convección natural, sólo A (y no el aire) se traslada, la concentración en la basees la solubilidad de A en el aire, la de la salida se conoce y ambas se mantienenconstantes.
4.22. (*) Un conducto de área rectangular, de A m2 y largo L mantiene un extremocerrado por una pared catalítica y el otro abierto a un medio con un gas A. La sus-tancia A se transfiere a lo largo del conducto y cuando alcanza la pared catalítica seconvierte en B, también gaseoso, mediante la reacción del tipo 2 A B. En-cuentre la variación de la concentración de A con la distancia a partir de la entrada
de A, en el estado estable. Se conocen la concentración de A en la entrada, C 0 kmol/m3 y la difusividad efectiva de la sustancia A en la mezcla gaseosa, D m2/s.Considere que: sólo se transfiere masa por difusión, la reacción se lleva a caboinstantáneamente, el calor de reacción es despreciable, la temperatura se mantieneconstante y la difusión de A en dirección perpendicular al flujo es nula.
4.23. (*) Una corriente líquida de una sustancia A, en forma de película, entra auna torre de absorción en contracorriente con un flujo de un gas inerte, en el cual sedifunde A; considere que el gas es insoluble en la fase líquida. Formule unarelación que exprese la variación de la concentración de A, en la fase gaseosa, con
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Análisis de procesos G. Chacón V.
relación a la distancia vertical. Considere que A entra pura a razón de L0 kmol/s, elflujo del gas, en la entrada, es de G0 kmol/s, la altura de la torre es de H m, laconcentración de A en el gas de entrada es despreciable, la difusión sólo se realizaen dirección perpendicular a la interfase y se puede expresar por el mecanismo de
coeficientes globales de transferencia de masa.
4.24. Un reactor químico, tubular, de longitud L m y de radio R m, relleno con unacama catalítica porosa; se emplea para llevar a cabo una reacción en la que unmaterial A en solución, se convierte en otro B, mediante una reacción irreversiblecon una cinética de primer orden, en fase líquida. Si la carga lleva una velocidadde v m/s, con una concentración de C A0 kmol/m3 a la entrada y sale con 60% deconversión, determine la variación de la concentración de A con la distancia, en elestado estacionario. Suponga que la difusión de la sustancia A en el catalizador yla masa en sí, es de D m2/s y que ni el perfil de velocidad ni el de concentraciónvarían con el radio.
4.25. Un gas puro, A, entra a un reactor tubular, empacado con un materialcatalítico. En el cual se filtra A, reaccionando irreversiblemente con una cinéticade primer orden para A y un mecanismo del tipo A B. Obtenga la relaciónentre la concentración de A y la distancia a lo largo del conducto, en el estadoestable. Suponga que el flujo de gas se debe solamente a la difusión en sentidoaxial.
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Análisis de procesos 118 G. Chacón V.
CAPÍTULO 5
ANÁLISIS DE PROCESOS
CON MÁS DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
INTRODUCCIÓN
Esta unidad se dedica al estudio de los sistemas en los que se involucran más de unavariable independiente y las soluciones de las ecuaciones diferenciales parciales,del modelo, generadas. Las variables independientes más usadas en Ingeniería son
el tiempo y las coordenadas de la posición.Para formular el modelo se procede de manera análoga que en los casos con unasola variable. Para lo cual, se suman los efectos parciales de cada una de las varia-
bles, partiendo del supuesto de independencia de los efectos. Este método se puededesarrollar para el caso general, sin embargo se prefiere dejar esa forma para cursosespecíficos de procesos con Fenómenos de transferencia. Al igual que los otroscasos, cada tema, se desarrolla sobre la base de un ejemplo.
Se emplean, en esta unidad, dos de los métodos de solución analíticos de lasecuaciones diferenciales parciales, a saber: empleando transformadas de Laplace y
por separación de variables. Los métodos analíticos se aplican a pocos casos, pero permite la descripción física en forma más clara, de allí su interés académico.
Por otro lado, se presenta una introducción a los métodos numéricos de solución,que usan diferencias finitas. Estos métodos son más generales, pero requieren másdetalle y las soluciones son específicas para cada tipo de ecuación y condiciones decontorno, lo cual requiere de profundización en el tema.
5.1 FORMULACIÓN DEL MODELODifusión o conducción de calor
OBJETIVO
Aplicar la ley de conservación, en este caso específico de la energía, a un sistemadado, afectado por el tiempo y la posición.
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Análisis de procesos G. Chacón V.
SISTEMA
DescripciónDesarrolle una relación de la temperatura con el tiempo y la posición en una placa,
extendida indefinidamente a lo largo y lo ancho, con un espesor 2 W . Inicialmentela placa se encuentra a una temperatura T 0, de pronto, la temperatura en ambascaras cambia a T W , manteniéndose por un tiempo dado.
Volumen de control
DEFINICIÓN DE VARIABLES
Variables independientest : tiempo, s
x : posición, m.Variable dependiente
T : Temperatura, en cualquier posición a lo largo de x, K.
Variable intermediaq x: intensidad del flujo de calor en la dirección x, W/m2.
Variables fijasT 0: temperatura inicial en la placa, K
T W
Tx
T x+ x y z
x
VOLUMEN DE CONTROLDIFERENCIAL
VOLUMEN DE CONTROLTOTAL
q x+ x q x
2 W
x
q s T f
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Análisis de procesos con más de una variable G. Chacón V.
T W : temperatura en las caras de la placa, K2 W : espesor de la placa, m
B : ancho, m L : largo. m.
Parámetros : densidad del material, kg/m3 C P : capacidad calorífica del material, J/kg Kk : conductividad térmica del material, W/m K.
Relaciones constitutivasLey de Fourier q x = - k (T / x)energía de la masa e = C V T
Densidad = (T , r )Capacidad calorífica C P = CP(T , r )Conductividad térmica k = k(T , r )
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN (FORMULACIÓN DEL MODELO)
Aplicando el principio de conservación a la de energía, en la dirección x, medianteel método aproximado o de Ingeniería (Sec. 3.1), se tiene:
VAenergía FE energía FS energía RP energía RC energía
Velocidad de acumulación de energía VAenergía x z y xt
eδδδ
(J/m3) (1/s) (m m m) WFlujo de entrada de energía FE energía x z yq x δδ
(W/m2) (m m) W
Flujo de salida de energía FS energía x x
x x
z yq z yq x
x δδδ
δδ
(W/m2
) (m m) WRapidez de producción de energía RP ener ía x no hay
Rapidez de consumo de energía RC energía x no hay
El balance de energía, en un volumen x y z queda:
x z y x
q z y x
t
e x δδδδδδ
Sustituyendo las relaciones constitutivas y simplificando
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Análisis de procesos G. Chacón V.
x
x
T k
t
T C V
(5.1.1)
CONDICIONES DEL MODELO
1.- Masa como un continuo
2.- Geometría perfecta
3- Material homogéneo, isotrópico
4.- Material sólido, C V C P
5.- Variación despreciable de los parámetros ( , k , C P )6.- La variación de la temperatura con y y z son insignificantes
0
y
T k q y 0
z
T k q z
7.- Efectos de contacto entre los materiales (pared-ambiente) despre-ciables
8.- El sistema no presenta cambio de fase.
Considerando las aproximaciones del modelo, se llega a:
2
2
x
T k
t
T C V
(5.1.2)
AGRUPAMIENTO DE PARÁMETROS Y CONSTANTES
Se agrupan los parámetros: = k/ C P m2/s
se denomina difusividad térmica
Con lo que se obtiene
2
2
x
T
t
T
(5.1.3)
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Análisis de procesos con más de una variable G. Chacón V.
5.2 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIALUSANDO TRANSFORMADAS DE LAPLACE
ECUACIÓN DEL MODELO
Para el caso de la placa, del problema anterior (Sec. 5.1)
2
2
x
T
t
T
con = k/ C P m2/s (5.1.3)
Se escoge el método de resolución usando las trasformadas de Laplace, dado que seconocen las condiciones iniciales, en este caso para la variable tiempo.
Se hace un cambio de variable para simplificar la solución, con base en el valor della temperatura al inicio (tiempo 0).
0
0
T T
T T
W
CONDICIONES DE CONTORNO
a t = 0 T = T 0 x = 0 (Condición inicial )
a x = 0 T = T W t = 1 (Condición esencial )
a x = 2 W T = T W t = 1 (Condición esencial )
a t T = T W x = 1 (Condición de estabilidad )
La ecuación. 5.1.3, se transforma en
2
2
xt
(5.2.1)
Aplicando las Trasformadas de Laplace, en la variable tiempo
L t
t =
L t
2
2
x
Si se define L t = ~
Entonces, aplicando los teoremas sobre transformadas de Laplace
2
2
0
~~
x s
t
Reordenando, se convierte en una ecuación diferencial ordinaria
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Análisis de procesos G. Chacón V.
0~d
~d2
2
s
x (5.2.2)
Resolviendo esta ecuación, por los métodos convencionales
x
sC x
sC TE TE
coshsenh~
21 (5.2.3)
CONDICIONES DE CONTORNO
Con las siguientes condiciones de contorno, se evalúan las constantes:
Cuando x = 0 = 1 s1~ sC TE 12
cuando x = 2W = 1 s1~
W
s
W s
sW s
s
C TE 2cosh
2senh
1
2senh
11
Sustituyendo las constantes y arreglando el resultado, se tiene
W s
s
xW s
W s
s
x s
2senh
2senh
2senh
senh~
(5.2.4)
la transformada inversa, con ayuda de un cuadro de transformadas, es
xW
W
n x
W
nt
W
n
nn
n
2
2
sen
2
sen
4
exp)1(-2
+1=
1=
2
22
(5.2.5)
Efectuado operaciones, se obtiene el resultado final:
xW
nt
W
n
nT T
T T
nW
W
2
12sen
4
12exp
1-2
14=
1=2
22
0
(5.2.6)
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124
Análisis de procesos con más de una variable G. Chacón V.
5.3 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIALPOR EL MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES
INTRODUCCIÓN
El método de separación de variables, permite aplicarse a casos en los que por laslimitaciones de las transformadas de Laplace no es posible, aunque el métodoanterior es de más fácil aplicación.
Este método consiste en expresar la variable dependiente como un producto defunciones, cada una dependiendo de una sola de las variables independientesinvolucradas, de tal forma que se convierta en ecuaciones diferenciales ordinarias,de manera análoga al método anterior. Se limita, a las ecuaciones diferenciales
parciales lineales y cuyas soluciones, para las variables de interés, son funcionesortogonales.
FUNCIONES ORTOGONALES
Funciones ortogonales, son aquellas dos relaciones de la variable de interés, quetienen la misma forma, pero que difieren entre sí en un índice, n o m.
m( x) y n( x) en un intervalo de valores de x a,b, dado.
Las cuales, y con respecto a una función de peso ( x), cumplen que
0d)(φ)(φ)ρ( b
a mn x x x x para n m y ( x) 0
Ejemplo: la función n( x) = sen(nx), en el intervalo x 0, con ( x) = 1
0d)sen()sen(1 xmxnx
SERIES DE FUNCIONES ORTOGONALES
Usualmente las funciones ortogonales se presentan en series, para un conjunto devalores f( x).
0
221100 φφφφφf n
nnnn x A x A x A x A x A x
n( x) se manifiesta en un intervalo de valores de x a,b, dado.
Ejemplo: la serie de funciones de Bessel
1
k k 0 YJ
2f
nnnnn x B x A
A x
= 0 para n m= ara n = m
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Análisis de procesos G. Chacón V.
Ejemplo: la serie de Fourier 0
1
f cos sen2 n n
n
A n n A x B x
b a b a
De la definición de funciones ortogonales, se puede demostrar que los coeficientesde dichas series se evalúan por:
b
a n
b
a n
n
x x x
x x x x A
d)(φ)ρ(
d)f()(φ)ρ(
2
Ejemplo de ellas, es en la serie de Fourier :
1f cos d
b
n a
n x A x x
b a b a
1
f sen db
n a
n x B x x
b a b a
ECUACIÓN ( PROBLEMA) DE STURM-LIUOVILLE
Es una ecuación diferencial ordinaria, del tipo
0ρQd
dP
d
d 2
y x x x
y x
x n
Donde:P( x), Q( x) y R( x) son funciones exclusivamente de la variable independiente
x, es decir es una ecuación diferencial lineal.n ( 1, 2, 3, ... n, ...): valores “eigen”: fijos, característicos, esenciales,intrínsecos.
Cuyas soluciones, m( x) y n( x), son funciones ortogonales en un intervalo devalores de x a,b, si cumple con algún juego de las siguientes condiciones decontorno:
i) x = a x = b y = 0 (Condición esencial )
ii) x = a x = b 0d
d
x
y (Condición de simetría)
iii) x = a x = b y x y
dd
: constante (Condición natural )
iv) combinaciones de i, ii y iii.
v) P(a) =P(b) = 0 con y x=a = y x=b vi) y x=a = y´ x=a = 0 con y x=b = y´ x=b = 0
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126
Análisis de procesos con más de una variable G. Chacón V.
NOTA: Para convertir la ecuación diferencial lineal típica en la forma de la ecuación de Sturm- Liouville , se transforman las funciones, así:
0GGd
dG
d
dG 3
2212
2
0 y x x x
y x
x
y x n
x
x x x d
GGexpP
0
1
x x x x P
GGQ
0
2
x x x x P
GGρ
0
3
ECUACIÓN DEL MODELO
Para el caso de la placa, del problema anterior (Sec. 5.1)
2
2
x
T
t
T
con = k/ C P m2/s (5.1.3)
Se escoge el método que usa separación de variables, cuando, al separarlas, una delas funciones genera una ecuación de Sturm-Liouville, es decir, con solucionesortogonales. En este caso se escoge la función con variable x.
CONDICIONES DE CONTORNO
Se varía una de las condiciones de contorno, para x, con respecto al ejercicio ante-rior (Sec. 5.2); con el propósito de observar la aplicabilidad del método y observarel análisis de este tipo de condición límite.
Con T W > T f
a t = 0 T = T 0 x Condición inicial
a x = 0 T = T W t Condición esencial
a x = 2 W f W xW x
W x x T T h x
T k q
2
22 t Condición natural
a t Estado estacionario x Condición deestabilidad
CAMBIO DE VARIABLE
Para poder resolver la ecuación diferencial parcial, normalmente se debe hacer uncambio de la variable, para asegurar que las condiciones de contorno, satisfagan lasnecesidades de la ecuación de Strum- Liouville, de la siguiente forma.
, , x t x t xT Θ V
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Análisis de procesos G. Chacón V.
En este caso, para que la variable V sólo dependa de x, deberá resolverse la ecua-ción, en el estado estacionario (t )
0
d
d2
2
2
2
x
V
x
V (5.3.1)
Resolviendo dicha ecuación,bxaV
Con las condiciones de contorno, en el estado estacionario, se evalúan a y b.
a x = 0 V = T W t a x = 2 W q x x=2W = k dV /d x x=2W = h (V x=2W T ) t
La función queda xT V W
DondeWhk
T T h f W
2
(5.3.2)
La nueva variable se define por
xT T Θ W (5.3.3)
Y la ecuación diferencial, 5.1.3, en términos de es
2
2
x
Θ
t
Θ
(5.3.4)
Con las condiciones de contorno para , con la ecuación 5.3.3:
x = 0 T = T W = 0
x = 2W f W xW x
T T h x
T k
2
2
W x
W x
Θk
h
x
Θ
22
Nota : En el extremo de la placa el flujo de calor es
a W x 2 f W xW x
W x x T T h x
T k q
2
22
Sustituyendo el valor de T en función de , con la ecuación 5.3.3
f W W xW x
T W T Θhk x
Θk
22
2
Sustituyendo el valor de de la Ec.5.3.2, se obtiene W x
W x
Θh x
Θk
22
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Análisis de procesos con más de una variable G. Chacón V.
SEPARACIÓN DE VARIABLES
El método consiste en separar la variable dependiente, , mediante el producto dedos variables una, , sólo dependiente de x y la otra, , sólo de t , bajo el supuesto
de que son independientes, es decir no hay efectos combinados con las dosvariables independientes. El procedimiento se puede generalizar para más variablesindependientes. Se hace
, x t x t Θ (5.3.5)
La ecuación del modelo, 5.3.4, se convierte en:
2
2
xt
(5.3.6)
Separando variables
22
211na
xt
(5.3.7)
El primer miembro de esta ecuación sólo depende de t y el segundo sólo de x, por loque se igualan en una serie de puntos, an, que se denominan valores “eigen” o
propios.
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
Resolviendo la ecuación que depende de x,
0d
d 22
2
na x
(5.3.8)
para an 0 = C 1 sen(an x) + C 2 cos(an x)
para an = 0 = C 3 x + C 4
Resolviendo la ecuación que depende de t ,
2
d
dna
t (5.3.9)
para an 0 = C 5 exp(-an2 t )
para an = 0 = C 6
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129
Análisis de procesos G. Chacón V.
La solución de la ecuación, por el Principio de superposición, es la suma de todaslas soluciones posibles,
62
54321 expcossen C t aC C xC xaC xaC Θ nnn
EVALUACIÓN DE LAS CONSTANTES
Primero, se evalúan los coeficientes de la ecuación 5.3.8, del tipo de Sturm- Liouville; que en este caso, es la que sólo depende de x, comparándola:
P( x) = 1 Q( x) = 0 ( x) = 1
Con las condiciones de contorno:
a: x = 0 = 0a: x = 2W d /d x = (h/k )
Que son las condiciones combinadas i) y iii) de la Ecuación de Sturm-Liuoville, loque comprueba lo afirmado.
Se necesita la derivada de respecto a x:
62
5321 expsencos C t aC C xaaC xaaC x
Θ
nnnnn
Evaluando la función en las condiciones de contorno ( t ):
Cuando x = 0 = 0 = C 4 + C 2
cuando x = 2W 321 2sen2cos C W aaC W aaC nnnn
4321 22cos2sen C W C W aC W aC k h nn
Para an = 0 4323 2 C W C C k hC
0213
W
k hC
Por lo tanto C 3 0 y en consecuencia C 4 y C 6 son también nulos, lo queindica que sólo hay solución para
an 0 (5.3.9)
Resultado que se puede generalizar para toda ecuación del tipo Sturm-Liouville.
Entonces por la condición de contorno a x 0, C 2 = 0
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130
Análisis de procesos con más de una variable G. Chacón V.
Con lo que la relación evaluada en 2W queda
an cos(an 2W ) = (h/k ) sen(an 2W )
Y las an, se determinan, si se define n = 2 W an, como
n ctg( n) = 2 W h/k (5.3.10)
La solución, con el Principio de superposición, para todos los valores de n, con An = C 1 C 5 es
22
=1
= sen exp2 4n n n
n
t Θ A
W W
(5.3.11)
Con la condición de contorno para t , se evalúan las An,
Cuando t = 0 entonces T = T 0
W
x A xT T xΘ
n
nnW t t 2
senf 1
000
La función sen( n x/2W ) es una función ortogonal en el intervalo x = 0, 2W , confunción de peso ( x) = 1, por lo que
nnn
n f W
W
n
W
nW
n T T T T
xW
x
x
W
x xT T
A
cossencos2
d2
sen
d
2
sen00
2
0
2
2
0
0
Con lo que el resultado final queda:
xW
t W
T T T T
T T k hW
xh
T T
T T nn
nnn
n f W
W f W f
W
2sen
4exp
cossen
cos+-2
2=
1=n2
200
En la cual, los n, son las raíces de k
Whnn
2ctg (5.3.10)
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131
Análisis de procesos G. Chacón V.
5.4 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIALPARA UNA LONGITUD INFINITA
INTRODUCCIÓN
En este problema, la solución por separación de variables no es posible porque nose puede transformar en una ecuación de Sturm-Liouville, puesto que la solucióntiende a un valor asintótico para x grande; por lo que se intenta otro tipo de solu-ción, con la idea de que se convierta en una ecuación diferencial ordinaria:
ENGLOBANDO LAS DOS VARIABLES INDEPENDIENTES EN UNA SOLA
Este método solamente ofrece soluciones particulares, por lo que no se generaliza para la solución de ecuaciones diferenciales parciales.
ECUACIÓN DEL MODELO
Para el caso de la placa, del problema anterior (Sec. 5.1)
2
2
x
T
t
T
(5.1.3)
con = k/ C P m2/s
CONDICIONES DE CONTORNO
Se varía una de las condiciones de contorno, para x, con respecto al ejercicio ante-rior (Sec. 5.2); con el propósito de observar la aplicabilidad del método.
con T W >> T
a t = 0 T = T 0 x Condición inicial
a x = 0 T = T W t Condición esencial
a x T = T : Finito t Condición asintóticaa t Estado estacionario x Condición de estabilidad
UNIÓN DE LAS VARIABLES
Luego, se intenta la solución del tipo:
, x t T
Con
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132
Análisis de procesos con más de una variable G. Chacón V.
m xt En la que, es la variable globalizada, que representa a T por medio de una varia-
ble y de un parámetro m, a evaluar.
Para sustituirla se debe derivar implícitamente:
x x
T
d
d
d
dmt
2
22
2
2
2
2
d
d
d
d
x x x
T
2
22
d
d
mt
d
d
d
d 1
mmxt
t t
T
d
d1 t m
Al sustituirlas en la ecuación del modelo, 5.1.3
2
221
d
d
d
d
mt t m
Se define la solución para el caso en que m -1/2
d
d
2d
d2
2
(5.4.1)
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
Resolviendo la ecuación, por sustitución
4exp
d
d 2
1TE C (5.4.2)
Integrando otra vez
20
21 d)4/exp( TE CTE C C
(5.4.3)
Nota: La función error se define como
x
uu x0
2 d)exp(2
)fer(
confer(0) = 0 y fer() = 1
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133
Análisis de procesos G. Chacón V.
Por lo que, sustituyendo las relaciones para y , la ecuación queda
212
fer TE TE C t
xC T
Con las condiciones de contorno
Para x = 0 T W = C TE1 ( )1/2 fer 0 + CTE2
para t = 0 T 0 = CTE1 ( )1/2 fer + CTE2
La solución, final de la ecuación es :
t
x
T T
T T
W
W
2fer 0 (5.4.4)
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CON TRANSFORMADAS DE LAPLACE
También se puede emplear transformadas de Laplace, lo cual sería más sencillo.Aplicando las Trasformadas de Laplace en la variable tiempo, de la ecuación 5.1.3
t T = 2
2
xT
Si T T ~
Entonces
2
2
0
~~
x
T T T s
t
Reordenando, se convierte en una ecuación ordinaria
02
2 ~
d
~d T T
s
x
T (5.4.5)
Resolviendo esta ecuación, por métodos convencionales
s
T x
sC x
sC T TE TE
021 expexp
~
(5.4.6)
(NOTA: Mejor en términos de la función exponencial y no de funciones hiperbólicas)
Lt
Lt
L t
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134
Análisis de procesos con más de una variable G. Chacón V.
Con las condiciones de contorno, se evalúan las constantes:
x T = Existe Existe~
T 01 TE C
x = 0 T = T W
s
T T W ~
s
T
s
T C W
TE 0
2
La ecuación queda
s
T x
s
s
T T T W 00 exp~
(5.4.7)
La transformada inversa, con ayuda de un cuadro de transformadas, es,
t xT T T T W 2fer 1
0
0 (5.4.8)
Que es la misma ecuación 5.4.3
5.5 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL
POR MÉTODOS NUMÉRICOS
INTRODUCCIÓN
Cuando no es posible obtener la solución analítica se emplean varios métodosnuméricos o gráficos. El uso de cálculo automático facilita la resolución de
problemas por este método.
En uno de los métodos se emplean diferencias finitas para aproximar las derivadas;
y cuanto más pequeña sea esta diferencia, mejor será la estimación de la solución.Existen otros métodos para usar exclusivamente con ordenadores digitales, comolos métodos con elemento y con volumen finito.
A manera de introducción a estos métodos, se estudia el método de diferencias finitas, en forma simplificada y su versión grafica, con la esperanza de que el lector prosiga con este tema en un curso de Métodos numéricos.
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135
Análisis de procesos G. Chacón V.
ECUACIÓN DEL MODELO
Para el caso de la placa, del problema anterior (Sec. 5.1)
2
2
xT t T (5.1.3)
con = k/ C P m2/s
Si la pared es de arcilla diatomeas y cemento refractario, de 50 mm de espesor,inicialmente se encuentra a 300 K y de pronto una de sus caras se pone en contactocon un medio a 1000 K, mientras que la otra se mantiene en 300 K. Determine eltiempo en que un punto situado a 40 mm de la cara caliente, alcanza los 330 K.
DatosDifusividad térmica del material = 2,1 10-7 m2/sCapacidad calorífica del material C P = 0,952 kJ/kgDensidad del material = 1250 kg/m3 Coeficiente de película del ambiente h = 20 W/m2 K
CONDICIONES DE CONTORNO
Los datos numéricos de las condiciones de contorno, para el ejercicio anterior (Sec.
5.1 y 5.3), sonCon Tf = 1000 K
a t = 0 T = 300 K x a x = 0 q x x=0 = h (T x=0 T ) t a x = 0,05 m T = 300 K t a t Estado estacionario x
APLICACIÓN DE LAS DIFERENCIAS FINITAS A LA ECUACIÓN
Para establecer las diferencias finitas, dentro del material de la placa, se escogen n puntos o divisiones para el espesor, espaciadas x, y m intervalos de tiempo, t ; conayuda de su representación gráfica.
2
,1,,1,1,
δ
2
δ x
T T T
t
T T ji ji ji ji ji
(5.5.1)
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Análisis de procesos con más de una variable G. Chacón V.
Con el propósito de resolver la ecuación diferencial, se formula un sistema deecuaciones lineales, que genera una matriz tridiagonal para los n m puntos, con lasiguiente relación de recurrencia, para los valores de la temperatura, T ,
ji ji ji ji T x
t T T x
t T ,2,1,121,δ
δ21δ
δ
(5.5.2)
La solución es estable, termodinámica y matemáticamente, para:
2
1
δ
δ2
x
t (5.5.3)
Escogiendo,
t / x2 = 1/2 (5.5.4)
La ecuación 5.5.2 queda
2,1,1
1, ji ji
ji
T T T
(5.5.5)
El valor para un tiempo t + t , representa el promedio alrededor de los puntosnodales, en un tiempo t .
t
x
i, j1 i1, j1
i1, j
i1, j1
i1, j1
i1, j
i, j1 i1, j1
i, j
x
t
El punto de i corresponde al valor en x y el j para el de t .Lo que genera un nodo i, j centrado.
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137
Análisis de procesos G. Chacón V.
Y las condiciones de contorno definen, finalmente, la solución. Las dos cotas proveen los valores extremos, con las que se forma un sistema de ecuaciones tri-diagonal.
En este caso, considérese que la pared en contacto con el ambiente, es la condiciónlímite cuando, x = 0, entonces
f x x
xT T h
t
T k q
0
00
en diferencias finitas
f j j j T T h
x
T T k
,0
,1,0
δ (5.5.6)
Despejando T 0, j
k xh
T k xhT T f j
j /δ1
/δ,1,0
(5.5.7)
En la otra cara x = W = 0,05 m , entonces T = T W = 300 K y
T W , j = T W (5.5.8)
Ambas condiciones se cumplen para todo valor de t .
SOLUCIÓN NUMÉRICA
Con el propósito de ilustrar el método se toma
n = 5 x = 0,01 m
En la práctica se usa un valor grande, con el propósito de que el espaciado sea pequeño y así aumentar la precisión, para usar ordenadores digitales.
Para el primer valor se usa, la ecuación 5.5.6, con los datos suministrados
J/kg952kg/m1250/sm102,1
m0,01 K W/m20δδ327-
2
P C
xh
k
xh
80,0δ
k
xh
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138
Análisis de procesos con más de una variable G. Chacón V.
La recurrencia se muestra en el siguiente cuadro
80,01
K 1000080,1,0
j
j
T T K
2,1,1
1, ji ji
ji
T T T
T 5, j = 300 K
i( x) j(t )
0 1 2 3 4 5
0 300 300 300 300 300 3001 611 300 300 300 300 3002 698 456 300 300 300 3003 722 499 378 300 300 3004 750 550 399 339 300 3005 764 575 444 350 319 3006 780 604 462 382 325 300
7 790 621 493 394 341 3008 801 641 507 417 347 3009 808 654 529 427 358 300
En el cuadro se observa que la posición n = i = 4, (0,04 m), alcanza 330 K en elintervalo, j = 6 (6,3 interpolando).
/sm102,12
m0,016,3
2
δδ
27-
22
xnt nt
Con lo que la respuesta es
t = 1,5 ks = 42 min
SOLUCIÓN GRÁFICA O DE SCHMIDT
La forma gráfica de resolver esta ecuación se conoce como “ Método gráfico de
Schmidt ”.
Usando cinco divisiones de x = 0,01 m
Y la condición de contorno, de la ecuación 5.5.6, despejada de la siguiente manera:
x
T T
hk
T T f
δ/1,11,01,0
(5.5.8)
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139
Análisis de procesos G. Chacón V.
De tal forma que k /h, es una especie de longitud o un tramo antes de la pared.
K W/m20
J/kg952kg/m1250/sm102,12
32-7
h
C
h
k P
k /h = 0,0125 m (5.5.9)
Para los puntos intermedios,
K 2
,1,11,
ji ji ji
T T T
Con lo que se construye el gráfico. Obteniéndose los mismos resultado numéricosque con el método anterior.
x, mT 0=300
T =1000
100
0,01
T , K
T 1,1
T 1,2
(0) (1) (2) (3) (4) (5)
k /h
T 2,1
x=0 =0,05
T 0,2
T 0,1
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140
Análisis de procesos con más de una variable G. Chacón V.
5.6 EJERCICIOS
5. 1. Resuelva la ecuación de onda para una banda fija en sus extremos, que parte
del reposo estirada en forma de semicírculo.a) Usando exclusivamente trasformadas de Laplace.
b) Usando exclusivamente el método de separación de variables.
2
2
2
2
t
ya
x
y
y(0, t ) = 0 y( L,t ) = 0 y/t ( x,0) = 0 y( x,0) = h sen( x/ L)
5.2. Encuentre la variación de la temperatura con el tiempo y la longitud, axial, enuna barra de largo L, cuyas superficies laterales están aisladas. Inicialmente latemperatura es T 1 y de pronto, uno de sus extremos no aislados, se cambia a T 0,manteniéndose así indefinidamente, y el otro extremo está a una
a) temperatura T 0. b) longitud "infinita".
5.3. Defina la distribución de temperaturas con la posición, en estado estable, parauna placa rectangular, plana y homogénea. La longitud de ella es A, su ancho B, suespesor C y está aislada por las caras superior e inferior. La temperatura de uno desus bordes se cambia a T
0( x), mientras que los otros tres se mantienen en T
1.
5.4. Obtenga la variación de la temperatura con el tiempo y la posición, radial, enun material de forma cilíndrica y de longitud "infinita", con conductividad térmicaconstante. Si, la temperatura inicial en toda la masa es T 0 y
a) la superficie curva cambia, de pronto, a una temperatura T 1, que semantiene constante.
b) de pronto se sumerge en un medio con temperatura T f y coeficientede película h.
5.5. Encuentre la variación, con el tiempo y la posición, de la concentración deuna sustancia A que se difunde a lo largo de una barra de longitud L y radio R.Considere que la masa sólo se mueve por difusión, que no tiene flujo radial y que lasuperficie lateral de ella, está impermeabilizada. En el tiempo cero, se tiene unaconcentración de A de C 0; de pronto, una cara se pone en un medio que genera unaconcentración de C 1 y la otra está a una
a) concentración C 2. b) longitud "infinita.
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141
Análisis de procesos G. Chacón V.
5.6. Una sustancia A se difunde dentro de otro material, con forma de esfera deradio R. Encuentre la variación de la concentración de A con el tiempo y la distan-cia desde el centro. La sustancia se encuentra a una concentración inicial de C 0,dentro de toda la esfera; luego, se coloca en un medio que mantiene la concen-
tración en su superficie exterior en una cantidad despreciable.
5.7. Una de las soluciones propuestas al problema de impermeabilizar un tubo"sólido" de material poroso, de longitud, L, "infinita" y radio R, consiste en ponerloen contacto con un barniz (resina), A, durante un tiempo dado, extraerlo y luegosecarlo. Para realizar estudios económicos se necesita conocer la absorción de laresina con el tiempo y el radio Considérese que al inicio el tubo no contiene resina,durante el tiempo de contacto, siempre habrá resina en el exterior y su densidad es
, el coeficiente global de difusión efectivo es D, la porosidad es (razón entre el
volumen del espacio libre al volumen total) y se conoce la concentración de Aa) en la pared externa, . b) en el medio que lo rodea, el cual posee un coeficiente de transfe-
rencia de masa, para A, de k C .
5.8. Una película de líquido, de longitud L "infinita" y espesor constante W , ori-ginalmente reposa sobre un plano horizontal. De pronto, se pone en movimientodebido a una diferencia de presión, P L P 0. Determine el perfil de velocidad delfluido, respecto al eje perpendicular al plano, con el tiempo, si éste se desplaza conrégimen de flujo laminar.
5.9. Un fluido está almacenado en un tubo "muy largo" en posición vertical, conlongitud L y radio R. De pronto, el fluido, se somete a una presión P 0 a la entrada ya una P L a la salida. Determine el perfil de velocidad con respecto a la distanciaradial y el tiempo. Considere que el flujo es incompresible y cumple la Ley deViscosidad de Newton.
5.10. Determine la relación de la temperatura con el tiempo y la posición, dentro deuna placa de espesor W , extendida indefinidamente a lo largo y a lo ancho. La cual
tiene, inicialmente, una temperatura T 0. De pronto, se enciende una fuente quegenera energía a razón de S kW/kg, en toda la masa, mientras las temperaturas ensus dos caras se mantienen en T 1.
5.11. Una sustancia A, lleva a cabo una reacción del tipo A B dentro de una esferade material catalítico, de radio R. Al inicio, no hay masa de A dentro de la esfera y de
pronto, se sumerge en un fluido, de tal forma que la concentración, de A, en la super-ficie se mantiene indefinidamente en C R. Obtenga el perfil de concentraciones con elradio, en estado transitorio, si la velocidad de reacción se puede aproximar como de
a) orden cero. b) primer orden para A.
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142
Análisis de procesos con más de una variable G. Chacón V.
5.12. Encuentre el perfil de temperatura con respecto al tiempo, a lo largo de unaaleta recta; con un espesor W , un largo L y un ancho, "infinito", A. La aleta estásumergida en un fluido y al inicio, posee una temperatura igual que la del medio, T f .De pronto la temperatura de su base cambia a T 1, permaneciendo constante por un
tiempo dado. Considere que las propiedades del material de la aleta: su conduc-tividad térmica k , su capacidad calorífica c y su densidad , así como, el coeficientede película del medio, h, se mantienen prácticamente constante.
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Análisis de procesos 143 G. Chacón V.
CAPÍTULO 6
ANÁLISIS DE PROCESOS EN ETAPAS
con parámetros constantes
INTRODUCCIÓN
En Ingeniería Química se utilizan frecuentemente procesos en etapas, que son ob- jeto de estudio en esta unidad. Se utilizan para aprovechar diversas circunstancias,en especial el equilibrio termodinámico, para realizar operaciones químicas y deseparación. Los modelos matemáticos que describen los sistemas en etapas generan
ecuaciones, algebraicas o diferenciales, en diferencias finitas. En este capítulo seestudian procesos en etapas que producen ecuaciones en diferencias finitas, linealesy de coeficientes constantes.
ECUACIÓN EN DIFERENCIAS FINITAS, LINEAL Y DE COEFICIENTES CONSTANTES
Ecuación complementaria 012 nnn qy py y
usando el operador E : 02 n yq pE E
factorizando 021 n yE E
la solución es nTE
nTE n C C y 2211
Casos:raíces repetidas: 1 = 2 = n
TE TE n nC C y 21
primer orden: 1 = , 2 = 0 nTE n C y
raíces imaginarias,si ir i exp nC nC r y TE TE
nn sencos 21
donde: 2122 r arctan
Es válida para orden superior.
La solución particular se calcula por medio de coeficientes indetermi-nados, operadores inversos o prueba y rectificación.
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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144
Análisis de procesos en etapas G. Chacón V.
6.1 EXTRACCIÓN O ABSORCIÓN
SISTEMA
DescripciónSea un sistema de N separadores en serie para una sustancia A, que sedistribuye entre dos fases inmiscibles, con los flujos respectivos en con-tracorriente. La fase aceitosa fluye a razón de E kmol/s, rico en el soluto,con una concentración a la entrada de Y 0 kmol de A/kmol de aceite y laacuosa entra con un flujo de R con una concentración de X N +1 kmol deA/kmol de agua. Encuentre una relación entre la concentración de solutoy el número de la etapa.
Volumen de control
DEFINICIÓN DE VARIABLES
Variable independienten: número de la etapa
Variable dependiente X n : concentración de soluto en la fase recuperadora, en la etapa n,
kmol de A/kmol de solvente recuperador.
Variable intermedia
Y n : concentración de soluto en la fase extractora, en la etapa n,kmol de A/kmol de solvente extractor.
Variables fijasE : flujo de la fase extractora, sobre la base libre de soluto, kmol/s.
R : flujo de la fase recuperadora, en la base libre de soluto, kmol/s.
Parámetrom : coeficiente de distribución o reparto entre fases.
E Y 0
1 n N
E Y 1 E Y n-1 E Y N -1 E Y N
R X 2 R X n R X 1 R X n+1 R X N R X N +1
E Y n
· · ·· · ·· · ·
· · ·
NOTA: Lo que sale, lleva el número de la etapa y lo que entra, el de la anterior.Las entradas a todo el sistema lleva el número 0 o X N +1, que son etapas ficticias.
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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145
Análisis de procesos G. Chacón V.
RELACIONES CONSTITUTIVAS
Relación de equilibrio entre fases Y * = m X
El coeficiente de distribución es función
de la concentración y la temperatura m = m( X , T )
CONDICIONES DEL MODELO
1.- Flujo de masa en estado estacionario
2.- Fluidos perfectamente inmiscibles
3.- Variación despreciable de los parámetros con la concentración y latemperatura, m = constante
4.- Agitación perfecta, la masa es uniforme
5.- El valor del volumen del recipiente es mucho mayor que el del flujode masa
6.- Razones de flujo constantes
7.- Los flujos de salida, en cada etapa, están en equilibrio de fases.
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN (FORMULACIÓN DEL MODELO)
Aplicando el principio de conservación a la de masa de la sustancia A, en la etapa n del proceso, se tiene:
VAmasa de A FE masa de A FS masa de A RPmasa de A RC masa de A
Velocidad de acumulación de masa VAmasa 0 (estado estacionario) Flujo de entrada de masa FE masa E Y n-1 + R X n+1
(kmol/s) (kmolA/kmol) kmolA/s Flujo de salida de masa FS masa E Y n + R X n
(kmol/s) (kmolA/kmol) kmolA/s Rapidez de producción de masa RPmasa no hay Rapidez de consumo de masa RC masa no hay
En términos de diferencias finitas, el balance de masa queda:
011 nnnn RX EY RX EY
Aplicando las relaciones constitutivas, las condiciones del modelo y ordenando
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146
Análisis de procesos en etapas G. Chacón V.
011 nnnn X R
Em X X
R
Em X (6.1.1)
Agrupando factores constantes,
Factor de absorción = m E / R (Factor de recuperación o extracción = R m/E )
Con lo que 01 11 nnn X X X (6.1.2)
Trasladando las etapas para facilitar la solución
01 12 nnn X X X (6.1.3)
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
La ecuación 6.1.3 en diferencias finitas, es del tipo lineal de coeficientes cons-tantes. Aplicando el operador .
012 n X E E
Las raíces de la ecuación 012 E E son:
1 = y 2 = 1
La solución es
21 TE n
TE n C C X (6.1.4)
Para evaluar las constantes de integración se emplean las siguientes condiciones decontorno:
Cuando n = 0 entonces X = Y 0/m
cuando n = N +1 entonces X = X N +1
Y se obtiene la relación operacional
1
1
/
/1
01
0
N
n
N
n
mY X
mY X
(6.1.5)
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147
Análisis de procesos G. Chacón V.
6.2 REACTORES EN SERIE
SISTEMA
DescripciónPara un conjunto de N reactores continuos, tipo tanque agitado (RCTA),dispuestos en serie, se desea determinar la relación entre la concentracióndel reactivo A y el número de la etapa. Considere que se lleva a cabo unareacción irreversible con una cinética de primer orden para la sustancia Ay que el flujo de entrada es de Q m3/s.
Volumen de control
DEFINICIÓN DE VARIABLES
Variable independienten: número de la etapa.
Variable dependienteC n : concentración del reactivo A en cada etapa, kmol de A/m3.
Variables fijasQ : flujo de entrada al sistema, m3/sV : volumen de cada reactor, m3 T : temperatura, K.
Parámetrosk : coeficiente de la cinética de reacción, s-1 : densidad de la solución, kg/m3.
· · · · · ·
Q C 0 Q C n-1
Q C 1
Q C N -1
Q C n Q C N
(n) N1
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148
Análisis de procesos en etapas G. Chacón V.
RELACIONES CONSTITUTIVAS
Cinética de la reacción (- R A) = k C
Coeficiente de velocidad de reacción k = k(T , C0)
Densidad = (C , T )
CONDICIONES DEL MODELO
1.- Variación despreciable de los parámetros con la concentración y latemperatura, k y , constantes
2.- Agitación perfecta, masa uniforme
3.- El valor del volumen del recipiente es mucho mayor que el del flujo
de masa4.- Razón de flujo constante
5.- Los parámetros, variables fijas y condiciones de operación soniguales en todos los N reactores.
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN (FORMULACIÓN DEL MODELO)
Aplicando el principio de conservación a la masa de la sustancia A, en la etapa n del proceso, se tiene:
VAmasa de A FE masa de A FS masa de A RPmasa de A RC masa de A
Velocidad de acumulación de masa VAmasa d (V C n)/d t (m3) (kmolA/m3)(1/s) kmolA/s
Flujo de entrada de masa FEmasa Q C n-1 (m3/s) (kmolA/m3) kmolA/s
Flujo de salida de masa FS masa Q C n (m3/s) (kmolA/m3) kmolA/s
Rapidez de producción de masa RPmasa no hay
Rapidez de consumo de masa RC masa (- R A) V (kmolA/m3 s) (m3) kmolA/s
En términos de diferencias finitas, el balance de masa queda:
V kC QC QC
t
VC nnn
n 1d
d (6.2.1)
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Análisis de procesos G. Chacón V.
Con las condiciones del modelo, se tiene
nnn C k
V
QC
V
Q
t
C
1d
d
Para resolverla, es más práctico trasladarla a n 1
11
d
d
nnn C k
V
QC
V
Q
t
C (6.2.2)
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA EL ESTADO ESTACIONARIO
La acumulación, en este caso es nula y la ecuación 6.2.2 queda:
01
nn C V
QC k
V
Q (6.2.3)
Agrupando constantes = 1 + k V /Q, adim
La ecuación 6.2.3 en diferencias finitas, es del tipo lineal de coeficientes constan-tes. Aplicando el operador .
01
nC E
(6.2.4)
La raíz de la ecuación 01 E es: = 1/
La solución queda:n
TE n C C
1 (6.2.5)
La constante de integración se evalúa con la siguiente condición de contorno
Cuando n = 0 entonces C = C0
y el resultado es:
n
0
n
Q
kV1
C
C
(6.2.6)
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Análisis de procesos en etapas G. Chacón V.
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA EL ESTADO TRANSITORIO(ARRANQUE DE LOS REACTORES)
El proceso es representado, entonces, por la ecuación 6.2.2.
0d
d1
1
nnn C
V
QC k
V
Q
t
C (6.2.2)
Para resolverla se reduce la expresión diferencial a una ecuación en diferencias,mediante las transformadas de Laplace.
Si C C ~
Entonces
0~~~ 1011
nnt nn C
V QC k
V QC C s
Considerando la condición de contorno,
Cuando t = 0 Cn = 0 n
Y agrupando constantes = V /Q s
= 1 + k V /Q = 1 + k s, Adim.
Se tiene 0
~~1 nn C C s
Que es una ecuación en diferencias finitas, del tipo lineal de coeficientes constan-tes. Aplicando el operador .
0~1
nC s
E
La raíz de la ecuación es: = 1/( + s)
Por lo que la solución es
nTE
ns
C C
~
La constante de integración se evalúa con la siguiente condición de contorno
L t
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Análisis de procesos G. Chacón V.
Cuando n = 0 entonces C = C 0 ys
C C n
0~ con lo que
s
C C TE
0
Obteniéndose
nnssC
C
0
~
(6.2.7)
Efectuando la trasformada inversa de Laplace, con ayuda de un manual de fórmulasmatemáticas
t n
t t
C
C t n
nn d!)1(
)/(exp0
1
0
Calculando la integral, también con ayuda de un cuadro de integralest
n
mmn
mmnnn
m
nt t
nC
C
0
1
01
1
0 !)(
!)1(
)/(
)1(
)/(
)/(exp
!)1(
Efectuando operaciones y simplificando
1
00 !
//exp1
/1
1 n
m
m
nn
m
t k V Qt k V Q
QV k C
C (6.2.8)
6.3 EJERCICIO
Estudiar y analizar las secciones “Balance de materia” y ”Etapas”, capítulo 5,
del libro: Treybal, R. E. Operaciones de Transferencia de Masa. Libros McGraw Hill, México, l988.
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Análisis de procesos 152 G. Chacón V.
CAPÍTULO 7
COMPROBACIÓN DE UN MODELO
INTRODUCCIÓN
El propósito de esta sección es mostrar las técnicas del análisis para la compro- bación de un modelo para la regresión, al comparar los valores con los datosobservados, experimentales o empíricos. Se consideran aquí solamente los modelos matemáticos.
Este análisis, es la etapa en que se apoyan las actividades del proceso de obtener unmodelo, curva o función para regresión, con el propósito de juzgar lareproducibilidad del modelo, su bondad del ajuste, eficacia y utilidad . Con ello se
pretende acumular criterios cuantitativos, que puedan usarse para tomar decisionescuando se verifica, evalúa, clasifica, controla, mejora, etc. el modelo; de acuerdocon las necesidades que el usuario tenga como meta.
Los otros temas o actividades del modelado de procesos o fenómenos de sistemas físicosy de regresión, no se cubren en este capítulo. Pero, para ubicar el tema, expuesto aquí,
en su contexto, se presentan las definiciones siguientes.
7.1
VARIABLES Y REGRESIÓN
Debido a que los diferentes autores usan diferente nomenclatura, se escoge aquí una y,cuando se considere necesario, se usan otros nombres, de seguido, aunque searedundante.
Variable
Es una propiedad, característica o atributo que define uno y sólo un estado, de lamateria que compone un sistema.
Variable cuantitativa
Es la variable mensurable. Es decir, que se obtiene por comparación con un patróncalibrado para tal efecto; o bien, evaluable por la cuenta o proporción de unatributo, es un número.
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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153
Análisis de procesos G. Chacón V.
Variable cualitativa
Es la variable que describe un atributo.
Variable independiente, causa o estímulo
Es aquella variable que está determinada por el medio o alrededor y puede sercambiada por influencias del mismo. Puede ser cualitativa o cuantitativa.Ejemplos
Variables cuantitativas: temperatura, presión, volumen, flujo de entrada, concentración,velocidad, etc.
Variables cualitativas: clase de materia prima, casa fabricante, parcela, zona, tipo dereactor, operario, etc.
Variable dependiente, efecto o respuestaEs aquella variable que está delimitada por las interrelaciones que se dan en un
proceso o fenómeno. Para la formulación de modelos debe ser cuantitativa.EjemplosDensidad, concentración, resistencia a la ruptura, dureza, rendimiento, color,viscosidad, porcentaje de defectuosos, fracción de elementos aceptados, cantidadtolerada, elementos producidos por unidad (hora, parcela, lote, metro, etc.).
Coeficientes o parámetros
Son los factores que se encuentran en las relaciones constitutivas o en los modelos yque forman la función entre las variables. Pueden afectarse con las variables del sistema.
Regresión
La regresión es la acción con la cual se obtiene el valor de una variable depen-
diente, a partir de otras variables independientes. De acuerdo con su empleo, tomadiferentes nombres: estimación, interpolación, predicción, proyección, diseño,función de control, etc. Las cuales, presentan diferentes necesidades de exactitud y
precisión para representar la información en estudio.
Dependencia
La dependencia es la declaración de que existe una relación entre la causa definida,variable independiente, y el efecto obtenido, variable dependiente. Se establece
por razones o demostraciones científicas, tecnológicas, intuitivas, etc.
Correlación
La correlación es la afirmación de que al variar una variable, otra varía. Noestablece que la relación o correlación entre las variables sea aceptable o no,simplemente que “covarían”. Tampoco indica que, necesariamente, existe depen-
dencia entre ellas.
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154
Comprobación de un modelo G. Chacón V.
7.2 MODELO
Modelo
Es la descripción de la relación entre la variable dependiente y las variables inde- pendientes, que se consideran que lo afectan más significativamente. Se expresa enforma de símbolos: verbales, escritos, imágenes, esquemas, relaciones funcionalesmatemáticas (gráficos, cuadros o funciones analíticas), etc.
La función analítica, f( x) , , ,, propuesta para la regresión, por medio de unavariable independiente, x, se conoce como modelo matemático, o bien, función ocurva de regresión. En la cual, , , , · · ·, son los coeficientes o parámetros de laregresión
Se considera que el valor real, y, es el calculado con el modelo y un residuo .
,,,f x y (7.1)
El residuo , se espera que posea las siguientes características:
-
Distribución de probabilidad aproximadamente normal, con media 0 ydesviación estándar
,0, NPr (7.2)
-
Es independiente de (o no existe covarianza con) cualquier variable, depen-diente o independiente o con ella misma, autocovarianza.
0,Cov (7.3)Donde: x, y, , etc.
-
Representa la desviación natural, al azar, no explicada o no conocida, del proceso o fenómeno
-
No incluye la desviación del modelo con respecto a los datos observados.
Formulación del modelo
Esta es una actividad en la cual el investigador propone un modelo, con el propósitode describir un proceso, que se lleva a cabo en un sistema, un fenómeno o un casodado, de acuerdo con los objetivos propuestos, Box et all (2005), Russell y Denn(1976), Mickley et all (1957), Davis (1965).
El modelo es el producto del esfuerzo por describir el sistema en estudio medianteun conjunto de hipótesis, descripciones y aproximaciones que generan la relaciónentre las variables; la cual, es útil para resolver el problema. Puede ser satisfactorio
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155
Análisis de procesos G. Chacón V.
o no, según sirva para hacer las predicciones o realizar las tomas de decisionesesperadas.
Por otro lado, la formulación del modelo, es el resultado de un proceso iterativo deformulaciones, análisis, comprobaciones, aplicaciones, diagnósticos y verifica-ciones, hasta satisfacer las necesidades para un uso dado (calidad ).
Tipos de modelo
Las formas que se suelen emplear para plantear el modelo, que a su vez puedeservir de clasificación para los mismos, Bogarín, (1994), Box et all (2005), son
Modelo mecanicista o teórico
El modelo mecanicista está formulado sobre la base de fundamentos científi-cos, tecnológicos y en paradigmas que permiten establecer en forma intuitiva ylógica las relaciones de causa efecto entre las variables y los mecanismos queintervienen un proceso o fenómeno de interés.
Se utiliza cuando el caso que se estudia, se conoce lo suficiente como paradescribirlo por medio de una función entre sus principales variables.
Presenta las siguientes características, algunas son desventajas como:-
Normalmente, son ecuaciones diferenciales, algunas veces de difícilsolución o sólo con soluciones numéricas
-
En muchos casos, las soluciones, presentan funciones que requieren detécnicas complejas o iterativas, para obtener los coeficientes
- En algunas soluciones, la variable dependiente no queda en formaexplicita
- En la formulación se pueden cometer errores de concepto, aprecia-ciones físicas y otros razonamientos que generan modelos falsos, quecompensan errores o son ineficaces.
Pero también, ofrece ventajas como:- Facilita la comprensión de los procesos y las relaciones de causalidad
entre las variables que intervienen en un proceso -
Permite describir el fenómeno o proceso en una gama más completa devalores, incluyendo las condiciones de frontera
- Como consecuencia de lo anterior, permite la posibilidad de realizarextrapolaciones confiables
- Permite realizar generalizaciones, para otros casos y sistemas análogos- Permite una representación del modelo, en forma más compacta, es
decir, sólo con las variables y coeficientes estrictamente necesarios
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Comprobación de un modelo G. Chacón V.
- Permite una representación cercana a la realidad, si el modelo es bienfundado y verificado
- En muchos casos, se pueden obtener los coeficientes del modelo porconsideraciones teóricas, al menos su orden de magnitud.
Ejemplos:
Ecuación de Van Hoff para la presión de vapor o saturaciónT P
PSat
Sat
0
ln
Fórmula para el desalojo de un fluido en un tanque cilíndrico, por gravedad t h
h 1
0
Modelo empírico o curva de ajuste
Consiste en proponer un modelo, basado en el comportamiento de los datos
observados, al compararlo con la “forma” de alguna función conocida o unaserie polinomial. Para las técnicas y un conjunto útil de “formas” defunciones, véase las obras de Bronshtein, I. y Semendiaev, K Sexta parte(1982), Hoerl (1954), Ingels, R. M. (1980), Davis (1965), Lipka (1961), Box et
all (1978) y Hyames (2010). Se utiliza cuando:
-
No se conoce el comportamiento (“forma” de la función) de las varia-
bles de interés que describen el sistema- Usar un modelo mecanicista es muy complicado, es costoso o lleva
mucho tiempo
-
El usuario requiere estimaciones poco precisas, aunque con una exacti-tud apropiada- Se desea interpolar o predecir en un subintervalo pequeño o región
inmediata, al valor de la variable de interés.
EjemplosFórmula para el cálculo de la capacidad calorífica de los gases perfectos o ideales conla temperatura
2
2'
T T T C P
Relación entre la viscosidad, V , de la materia prima y la dureza, D, de una pieza
plástica moldeada (con esa materia prima). V D El porcentaje de elongación a la ruptura, E , como función de la proporción de azufre,S , en una pieza de hule vulcanizado.
S E ln
Es práctica común usar polinomios, por la facilidad de obtener sus coeficientes y su familiaridad con la Fórmula de Taylor . Como regla de la experiencia, serecomienda:
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157
Análisis de procesos G. Chacón V.
- Que el polinomio no sea mayor de cuarto grado-
Que no presente oscilaciones (máximos, mínimos y puntos deinflexión) no deseadas, en el intervalo de interés
- Como los modelos empíricos, por lo general, no reproducen bien los datos
fuera de la zona donde se obtuvo los datos experimentales; no usarlos paraextrapolar; a no ser que se pruebe lo contrario.
- No se pueden comparar los coeficientes, aunque el polinomio sea delmismo grado, cuando se usa un método diferente de ajuste o cuando seajustan grupos de datos diferentes, aunque sea unos cuantos.
Tendencias
Establecer una tendencia, consiste en proponer un modelo para la regresión,hacer un análisis grafico del comportamiento y evaluar el coeficiente de co-
rrelación para dicho modelo; por ello se suele llamar análisis de correlación.Se utiliza cuando
- Los datos presentan una dispersión tal que, no se puede intuir una función de regresión que los ajuste satisfactoriamente
- También es muy útil, en las secuencias de investigación con muchasvariables, para “tamizar” aquellas que tienen importancia, de las que no
presentan un efecto significativo- Se trabaja en un intervalo relativamente pequeño, de las variables, de
tal forma que su relación se aproxima bien con un modelo simple.Ejemplos:
Gráficos de control con variación de la media, pronósticos de ventas, respuestas deequipos industriales, análisis de desviaciones, efectos pequeños de la temperatura(T 10 K) sobre la capacidad calorífica, la presión de vapor, la viscosidad, etc.
Los modelos para formular tendencias, más populares son con dos coeficien-
tes: el lineal, el de la potencia, el logarítmico y el exponencial.
Modelos cualitativos
Es el que se utiliza para predecir el valor de una variable respuesta con varia-bles independientes cualitativas. Se establece como la suma de la media (estadística) y los efectos de los componentes asociados con las fuentes devariación, provocadas por las variables independientes.Ejemplos:Para una variable independiente y Para dos variables independientes , y
Donde : media de las observaciones , : efectos provocado por cada variable independiente sobre la dependiente ( ,): efecto combinado producido por dos variables.
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Comprobación de un modelo G. Chacón V.
La obtención de este tipo de modelo y el análisis de comprobación, forma partede la disciplina Modelos y superficies de respuesta, empleado en el Diseño
estadístico de experimentos y se puede encontrar en obras como Box et all (2005), Spiegel et all (2001), Chacin (1998), Box y Draper (1987).
Modelo semi-empírico
Consiste en utilizar un modelo teórico, que no ajusta como se desea a los datosy hacerle modificaciones, ajustándolo para mejorarlo.
Ejemplos:Ecuación para la presión de vapor(Van Hoff-Cox-Antoine-Kirchof-Miller-Willsak-Thodos)
T T
T P
PSat
Sat
lnln
0
Fórmula para el desalojo de un fluido en
un tanque cilíndrico, por gravedad
32
0
t t t
h
h
También, se puede obtener un modelo de este tipo, utilizando la técnica degrupos adimensionales de las variables o del análisis dimensional de modelosmecanicistas.
Ejemplos:Ecuación de Stokes (1850) y Osen (1910) para la velocidad de caída de una partículaesférica dentro de un fluido viscoso.
1f 1
Re ReFr B
212
3118
v Dg Dv B
Ecuación de Seider y Tate (1936) para el coeficiente de transferencia de calor de unflujo de fluidos en régimen laminar, dentro de un conducto.
14,031
86,1
w
b
L
DPr Re Nu
14,031
86,1
w
b
b
bPb
b
bb
b L
D
k
cv D
k
Dh
7.3
AJUSTE
Ajuste
Una vez que se ha propuesto un modelo para el estudio en cuestión, la etapasiguiente es el cálculo de los coeficientes que conforman la función, a partir dedatos observados; acción que se suele llamar, obtener la curva de ajuste o deaproximación, o bien estimación de los parámetros.
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Análisis de procesos G. Chacón V.
Entre los métodos que se pueden utilizar en esta actividad se encuentran:Polinomios de Newton, de Lagrange, prueba y rectificación, valores promedios,mínimos cuadrados, análisis gráfico, etc.
El método más utilizado para obtener los parámetros de la curva de regresión es elde mínimos cuadrados. Este tema es tratado en Miller y Freund (1993), Daniel(1980), Russell y Denn (1976), Spiegel et all (2001), Chacin (1998), Box y Draper.(1987); adelante se presenta un resumen de la teoría de mínimos cuadrados.
En los modelos mecanicistas, los coeficientes pueden obtenerse por consideracionesteóricas, en cuyo caso, esta etapa se ocupa para hacer comparaciones, dar apoyo yfortalecer posiciones respecto al modelo, verificarlo, graduar, calibrar o controlar loscoeficientes y, así, proponer una representación más cercana a la realidad.
Ajuste con transformación de variables
Cuando:- se tienen variables que, presentan un comportamiento o naturaleza cono-
cida- se necesita obtener una variable con varianza estable, estadísticamente- se desea mejorar la reproducibilidad del modelo-
se desea obtener una variación lineal, para facilitar el ajuste de la curva; locual, se denomina “linearización” de funciones
Se suele transformar alguna variable, dependiente o independiente. Esto facilita elanálisis para tomar decisiones o para el cálculo de los coeficientes de la curva parala regresión. En general, lo que se pretende, es que las desviaciones de lasvariables trasformadas se comporten con una distribución de probabilidad lo másnormal posible.
Ejemplos:Temperatura
T w 1
Viscosidad lnw
Altura del líquido en el desalojo de un tanque hw Proporción de casos conformes o favorables pw 100arcosen
0 p 1; 0 w 100
Los criterios para realizar las transformaciones, se pueden encontrar en Hald(1952), Lipka (1961), Mickley (1957), Hoerl (1954) y Bronshtein y Semendiaev(1982), cuatro ejemplos típicos, son:
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Comprobación de un modelo G. Chacón V.
Forma de la función Transformación Resultado
Exponencial y = ·exp( ·x) w = ln( y) w = ln( ) + ·x
Potencia y = ·x w = ln( y); u = ln( x) w = ln( ) + ·u
Recíproca y = + (1/ x) u = 1/ x y = + ·u Hiperbólica y = x/( + · x) w = 1/ y; u = 1/ x w = ·u +
Ajuste por medio de mínimos cuadrados
Debido al uso de esta técnica, se presenta aquí la teoría, sin los detalles y uso, quese pueden encontrar en cualquier obra de Estadística, también en Bogarín (1992),Hirata y Ohe (1975), Russell y Denn (1976). Draper y Smith (1981). Por otro lado,se encuentra ya instalada en hojas de cálculo electrónico y programas especia-lizados y de métodos estadísticos.
Este método se emplea para calcular los coeficientes de una función dada, que seajusta a los datos de un conjunto de pares ordenados, ( y, x) de la forma
,,,
f
x y Modelo
Utiliza las distancias “verticales” entre la curva y los datos experimentales (de lavariable dependiente), llamadas diferencias o residuos.
,,,, )f( iiObsi x ye Considera que el mejor un grupo de coeficientes, de la función, es la que se hacemínima la suma de los cuadrados de dichos residuos (de allí el nombre).
0)f(2
1,,,,
1
2
n
i
iiObs
k
n
i
i
k
x ye
Para todo coeficiente k : k = 1, 2, ··.·,
Que es un sistema de ecuaciones no lineales, que se resuelve por métodos
iterativos, tipo Newton Raphson.
Para el caso de una función del tipo lineal o “linearizada”, la solución es más fácil,definiendo
1
332211 ggggghk
k k x x x x x y
Donde h( y) es una función o una trasformada de la variable dependiente y las gk ( x)son funciones o transformadas de la variable independiente. Con lo que se generaun sistema de ecuaciones lineales
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161
Análisis de procesos G. Chacón V.
,1
j k k j
k
A B
Para cada coeficiente j : j = 1, 2, ···,
Con
ik
n
i
i jk j x x A gg1
,
j = 1, 2, ···,
,1
g hn
j k i Obs i
i
B x y
k = 1, 2, ···,
El sistema se resuelve por los métodos clásicos. Como se mencionó, la solución seencuentra instalada en varios programas de ordenador.
Las características del método de mínimos cuadrados, y que limitan su uso, son:-
Considera que la variable independiente posee un error o desviaciónestándar despreciable (comparado con el de la independiente); en otras
palabras, sólo establece estadígrafos para la variable dependiente; conel propósito de obtener relaciones y realizar evaluaciones
- La dispersión o “error”, debido al modelo, es menor en el “centro” delos datos y mayor en los “extremos” y produce oscilaciones en lavariable que atraviesan un número de veces y = 0, según el número de
parámetros.
7.4 COMPROBACIÓN DEL MODELO
Comprobación del modelo
Cuando se ha escogido el modelo y se han evaluado sus parámetros, en forma meca-nicista, arbitraria o por ajuste con los datos observados, el paso siguiente es confrontar
el modelo con la realidad y establecer criterios para evaluarlo, actividad denominadacomprobación, bondad o idoneidad del ajuste.
La definición de residuo, , establecida en la ecuación 7.1, permite realizar análisisestadísticos, Cook y Weisberg (1982), Chatterjee y Price. (1977), Daniel y Woods(1980), Chacín (1998), y tiene las siguientes características:
- Es un instrumento para cuantificar la diferencia con respecto a un patrón(pre) fijado arbitrariamente
-
Permite evaluar cuantitativamente, si la diferencia entre el modelo y losdatos observados (los desviaciones) es significativa o no; si se tiene un
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162
Comprobación de un modelo G. Chacón V.
valor veraz y eficaz, de la desviación estándar de la población, . Conanálisis tipo prueba de hipótesis, F, 2, etc.
- Utiliza los desviaciones, que “amplifican” el efecto de la regresión, lo que permite realizar análisis gráfica o tabularmente, con mayor facilidad, tanto,
cualitativa, como cuantitativamente- Permite evaluar el riesgo de la decisión tomada, hipótesis-
No establece la relación de causalidad o dependencia, esto lo hace elinvestigador por consideraciones físicas del caso
- Las decisiones son congruentes, si los datos e información, suminis-trados, son representativos
- Se debe tener suficientes puntos, observados, y distribuidos homo-géneamente. Cuando la función presente curvaturas se debe aumentarel número de puntos para esa “zona”
-
Si las desviaciones tienen un valor, absoluto, menor que el especificadoo considerado como “error” experimental, se considera que el modelo es aceptable; lo cual se emplea para comprobar, verificar, etc., elmodelo
- No formula modelos, eso lo hace el investigador-
Genera parámetros que pueden usarse para categorizar y juzgar losmodelos, pero no escoge los modelos, eso lo hace el usuario.
Existen otras pruebas desarrolladas para analizar la bondad de ajuste, especialmente para regresión lineal y multilineal, Draper y Smith (1981), Daniel y Woods (1980),
Chacín (1998). Por otro lado, se pueden hacer análisis cualitativos o gráficos ocualquier otra forma razonable de análisis.
La propuesta de la Estadística a los requerimientos de criterios o parámetroscuantitativos, para que el usuario pueda efectuar pruebas de comprobación delmodelo se muestran en la sección siguiente.
Diagnóstico.
La aptitud para el uso y la satisfacción del usuario (calidad ) del modelo en estudio,se establece evaluando el grado de aproximación de los resultados de la regresión (de las desviaciones) con la variabilidad natural o experimental del proceso o
fenómeno. Para que un modelo sea útil debe de tomarse en cuenta que:- sea eficaz en su propósito u objetivo- tenga sentido físico- sea eficiente en la exactitud deseada, para describir el comportamiento
estudiado- sea matemática y dimensionalmente consistente- sea sencillo y de fácil de empleo
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163
Análisis de procesos G. Chacón V.
- sea completo y consistente- cumpla las condiciones de contorno - represente adecuadamente el proceso y el sistema.
La decisión de si un modelo es aceptable o no, para ciertas condiciones y para un propósito dado, es función del investigador, el usuario y sus pares académicos. Porlo que, deben establecerse metas concretas sobre la precisión, la exactitud y lareproducibilidad, que el modelo debe poseer para representar aceptablemente la realidady satisfacer las necesidades del usuario.
La labor del evaluador es aportar evidencias o pruebas que permitan juzgar, al pro- ponente y al usuario, si el modelo o función de regresión satisface las necesidades para un uso dado y que apoye las estrategias y metodologías empleadas por el proponente, del modelo, para la toma de decisiones, Box et all (2005), Bowker yLieberman (1981), Ingels (1980), Kume (l992). Para ello:
- establece el “error” experimental o natural, para tomar decisiones- somete a prueba los modelos, confrontándolos con los datos observados- critica la competencia del modelo con el sistema, en las diferentes
etapas de su formulación- prueba, compara y verifica diferentes modelos, para que el usuario
pueda escoger-
realiza análisis gráficos de los datos y desviaciones y otros formasvisuales, inspeccionando la información detalladamente
-
aporta y evalúa parámetros cuantitativos: estadísticos, físicos,matemáticos y económicos para comparar, escoger y juzgar la bondad
de ajuste del modelo con los datos observados- intenta, cada vez, de asegurar que los desviaciones se deben al azar y
no a una variable del proceso o fenómeno o a otras causas asignables- verifica los modelos, repetidas veces, analizando nuevos datos.
7.5 PARÁMETROS PARA LA EVALUACIÓN DEL AJUSTE DE UN MODELOCON LOS DATOS OBSERVADOS
Desviación de la estima o precisión
Con la desviación de la estima se pretende evaluar la cercanía entre los valoresobservados y la regresión, hecha con el modelo estudiado o desviación del modelo. Ladesviación, eij, es el valor que se obtiene de efectuar las diferencia entre el valor
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164
Comprobación de un modelo G. Chacón V.
observado, de la variable dependiente y la regresión, para un valor, correspondiente, de
la variable independiente.
La desviación se relaciona con el residuo del modelo, , Ec. 7.1, y la desviación del
modelo, , propiamente dicha.
ji ji jie ,,,E (7.4)
ji jie ,
2
, VV (7.5)
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Aditivo, kg/m
3
C o n s i s t e n c i a , a d i m
.
Ensayo 1Ensayo 2Modelo
Variación de la estimae j ji ji
s y ye ~,,
nk esk
j
n
i
jie /1 1
2
,
2
Variación de la réplicad j ji ji s y yd ,,
1/1
2
,
2
nk d sk
j
n
i
jid
Variación de las observaciones
y ji ji s y yb ,,
1/1 1
2
,
2
nk bsk
j
n
i
ji y
Media y
j ym j
c j
ei,j
d i,j bi,j
F gura 7.1 Conceptos en e aná s s e a uste e un mo e o a os atosobservados
Variación del modelo Variación de la correlación
m j j j s y ym ~ c j j s y yc ~
222
d em sss
222
e yc sss
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Análisis de procesos G. Chacón V.
Sea: j: cada uno de los datos correspondiente a cada variable independiente x j: variable independiente correspondiente a un datok : número, total, de datos ( j)
i: cada una de las repeticiones (ensayos, “corridas”) para cada x j n: número repeticiones (i), para cada x j
yi,j = yObs i, j: variable dependiente observada o experimental
j y~ : regresión, para cada x j
,,,
f j x : modelo
: número de coeficientes o parámetros del modelo.
Se define desviación
,,,,,, f ~
j ji j ji ji x y y ye (7.6)
La desviación de la estima, se, se define, figura 1, como:
nk
e
nk
y y
s
k
j
n
i
ji
k
j
n
i
j ji
e
! 1
2,
1 1
2,
2
~
(7.7)
Las desviaciones, se usan como criterio de comparación de la regresión con los datosobservados, para diferentes análisis y evaluaciones. La definición de desviación de la
estima posee las siguientes características:-
Sólo está definida para la variable dependiente. En su uso se considera quela variable independiente posee un error despreciable
- Amplifica el efecto de la regresión, lo que permite realizar análisis gráficao tabularmente, con mayor facilidad
-
Es una medida del ajuste (precisión): de la regresión, esto es, lavariabilidad aleatoria, o no explicada, más la desviación con respecto almodelo, Ec. 7.5
- Permite usarse para comparaciones y evaluaciones estadísticas
-
Permite intuir comportamientos o definir tendencias con el objeto de proponer modificaciones o “mejoras” al modelo - Se limita su interpretación, física, matemática y estadística, para cuando las
desviaciones tienen el mismo orden de magnitud entre sí.- Cada repetición ( yi,j), de una observación, debe tener un mismo valor de la
variable independiente ( x j)
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166
Comprobación de un modelo G. Chacón V.
Desviación de la réplica o control
Para obtener un criterio de control, es decir de comparación con la varianza naturalo de la “muestra”, referencia interna, se hacen réplicas de la medición, del proceso
o fenómeno, y con los valores de la variable dependiente observados se estableceun parámetro denominado la desviación de la réplica.
La desviación de la réplica, sd , figura 1, se interpreta como la de una muestra tomada alazar, de una población con varianza,
2; que se considera, aproximadamente, lavariabilidad o desviación de la variable dependiente, de los desviaciones, natural o noexplicada.
22 VE d s (7.8)
La media (de las replicas), para el dato j, es
n
y
y
n
i
ji
j
1
,
(7.9)
La distancia, de la réplica, respecto a la media es
j ji ji y yd ,, (7.10)
para la que se debe tomar en cuenta que, cada observación de yi,j, debe tener un mismovalor de la variable independiente x j,La varianza de cada dato, j, es
111
2,
1
2,
2
n
d
n
y y
s
n
i
ji
n
i
j ji
j (7.11)
Y la desviación de la réplica, sd se define como
k
s
nk
d
nk
y y
s
k
j
j
k
j
n
i
ji
k
j
n
i
j ji
d
1
2
1 1
2,
1 1
2,
2
11 (7.12)
Se puede interpretar, que la desviación de la estima, se, incluye la desviación de la
réplica, sd , más la desviación del modelo, sm2 (Fig. 1).
j j j y ym ~ (7.13)
Con lo que la desviación del modelo es
222d em sss (7.14)
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167
Análisis de procesos G. Chacón V.
Desviación estándar, de las observaciones
La media de todas las observaciones o gran promedio es
nk
y
y
k
j
n
i
ji
1 1,
(7.15)
La variación total es la diferencia entre el valor observado y la media de todas lasobservaciones, como se muestra en la fig. 1.
y yb ji ji ,, (7.16)
Expresada como una varianza es la desviación estándar, s y
111 1
2,
1 1
2
,2
nk
b
nk
y y
s
k
j
n
i
ji
k
j
n
i
ji
y (7.17)
La variación de la correlación, sc, se considera como la diferencia entre el valorestimado y la media de todas las observaciones, fig. 1.
y yc j j ~ (7.18)
Con lo que222
e yc sss (7.19)
7.6 TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE LOS DATOS
Análisis de la dispersión y las tendencias de las desviaciones
Un análisis de desviaciones (Ec. 7.6) o de residuos (Ec. 7.1), que en la práctica produceel mismo efecto, se realiza con el objetivo de inspeccionar el comportamiento de lasdiferencias en cuestión, para juzgar la calidad o bondad de la regresión. Se utiliza,además, para intuir términos que sirvan para mejorar, agregándolos para formular unmodelo, de acuerdo con la tendencia de los desviaciones. Las técnicas para el análisisestán desarrolladas, en detalle, en Ingels (1980), Cook y Weisberg (1982), Chatterjeey Price. (1977), Daniel y Woods (1980), Chacín (1998), Draper y Smith (1981),Hoerl (1954), Gallant (1987).
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168
Comprobación de un modelo G. Chacón V.
El análisis de desviaciones, consiste en graficar los valores de las mismas en función delas magnitudes de la variable dependiente, las independientes o en cualquier formarazonable. Luego, analizar su comportamiento, basado en los conocimientos que sobreel caso tenga el investigador, y proceder a tomar decisiones con base en ello. En el caso
de que el modelo se comporte adecuadamente, para un propósito dado, el gráfico nodebe mostrar ningún patrón de comportamiento.
En las figuras 7.2 a 7.5, se muestran cuatro casos de la distribución de desviaciones que presentan comportamientos con alguna tendencia de la dispersión de las desviaciones.
La distribución de desviaciones que se muestra en la figura 7.2, representa unadispersión que aumenta al incrementarse el valor de la abscisa. Esto sugiere que lavariable dependiente puede manifestar un comportamiento logarítmico.
En el caso de la figura 7.3, es lo contrario a la anterior, en la que los valores de lasdesviaciones disminuyen, al aumentar los valores de la variable independiente, y tiendea un valor fijo (que puede ser asintótico), lo que podría ser un comportamientoexponencial.
Fig. 7.4. Ejemplo de distribución linealde las desviaciones.
-7
-5
-3
-1
1
3
5
7
0 2 4 6 8
Variable independiente
R e s i d u o
Fig. 7.5. Ejemplo de distribución en formade U o parabólica.
-7
-5
-3
-1
1
3
5
7
0 2 4 6 8
Variable independiente
R e s i d u o
Fig. 7.2. Ejemplo de distribución cre-ciete de las desviaciones.
-7
-5
-3
-1
1
3
5
7
0 2 4 6 8
Variable independiente
r e s i d u o
Fig. 7.3. Ejemplo de distribución decre-ciente de las desviaciones.
-7
-5
-3
-1
1
3
5
7
0 2 4 6 8
Variable independiente
r e s
i d u o
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169
Análisis de procesos G. Chacón V.
En la situación de la figura 7.4, las desviaciones muestran una tendencia lineal. En elcaso de la figura 7.5, se ilustra un análisis que presenta una distribución con forma de U,que sugiere un comportamiento parabólico.
En la figura 7.6, se muestra un comportamiento típico de distribución al azar de lasdesviaciones.
Se debe recordar, que cuando se usa mínimos cuadrados para calcular los coeficientes deun modelo, Sec. 7.3, los desviaciones tienden a ser menores en el “centro” y mayores enlos “extremos”, en valor absoluto o presentar oscilaciones, cuyos “cero” dependen delnúmero de parámetros empleados en la regresión.
Análisis de desviaciones ordenadas
El principio establece que si se tienen una serie de observaciones al azar, n, y se ordenansegún su magnitud, presentan intervalos de probabilidad (fractiles) iguales, Daniel yWood (l980), Miller y Freund (1993). Lo que permite realizar una prueba, en formagráfica, de que los datos están distribuidos, aproximadamente, con una probabilidad
normal. En el tema que se trata aquí, es la distribución de las desviaciones o residuos.
Para realizar esta prueba, lo primero que se hace es ordenar los datos, de las desvia-ciones, de menor a mayor y se procede a asignarle una probabilidad a cada uno; la cual,se obtiene dividiendo el área bajo la curva de la distribución normal estándar en n 1
intervalos o fractiles de igual probabilidad. La probabilidad acumulada para cada dato(intervalo), i, es
1
n
iP ó
n
iP 2
1 (7.20)
y la calificación normal, que representa el valor de la variable de una muestra idealizadacon distribución normal, es
1,0, N 1n
i INV P z ó 1,0, N 5,0
n
i INV P z (7.21)
Este principio tiene las siguientes limitaciones:
-
Es recomendable que el número de datos sea mayor de quince, en la práctica se usan más de cinco.
La probabilidad de tener cinco datos, tomados al azar, en un orden dado esP = 1/5! 0,0014
La probabilidad de que un dato de diez, no forme parte del resto, por casualidades P = 1 - B(9;0,5,10) 0.0010
- Para muchos datos, más de ciento cincuenta, es mejor usar otras pruebas denormalidad, en la práctica se usa para menos de 30.
-
La distribución de los datos (de las desviaciones en este caso), no debemostrar relación o correlación con ninguna de las variables. Pues, en los
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170
Comprobación de un modelo G. Chacón V.
casos en que se presente una tendencia, la prueba no tiene sentido físico nimatemático.
El paso siguiente, consiste en graficar los pares ordenados formados por la calificación
normal, colocado en el eje horizontal (a manera de abscisa) y en el eje vertical losvalores de los datos (como ordenada). También, se puede usar escala (papel) de proba-
bilidad para hacer esta operación, quedando los ejes al contrario. En este gráfico, los puntos que pertenecen a una misma población y que se comportan con distribución de probabilidad normal, se agrupan con una tendencia de línea recta. Como se muestra enla figura 7.7, con los datos de la figura 7. 6.
El procedimiento permite realizar análisis, a manera de prueba de hipótesis, con lassiguientes características:- Si el conjunto de datos sigue una tendencia en forma de línea recta, indica
que el comportamiento de la variable es, aproximadamente, normal.-
Si uno o más valores de los datos, se separan de los que predice la línearecta, indican un comportamiento significativo o anormal (para una abscisadada la ordenada es de mayor valor absoluto que la que predice la recta deajuste).
- Por lo general, en la práctica, los primeros y últimos datos (5 al 10%) hacenque el comportamiento tenga forma de S , lo cual es de esperar.
-
Para datos de las desviaciones, con un comportamiento normal, su mediacoincide con el intercepto al origen de la recta de ajuste, y su desviación dela estima, se, con la pendiente de dicha recta, ambas aproximadamente. Nose deben usar como sustituto de los, respectivos, valores calculados.
-
Cuando no se tiene un estimado aceptable de la variabilidad, , (si lavariable es el residuo o la desviación sirve como un criterio (entre otros),
para comparar la calidad del modelo propuesto, su bondad de ajuste a losdatos observados; aunque es un análisis es subjetivo y no robusto.
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
Calificación normal
R e s i d u
Pen. = 1,29
Fig. 7.7. Análisis de normalidad de des-viaciones ordenadas
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Variable independiente
R e s i d u
Se = 1.33
Fig. 7.6. Distribución de desviacionestípica
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171
Análisis de procesos G. Chacón V.
Análisis de varianza, con referencia interna ( desconocida)
Cuando se tiene un conjunto de datos referidos a una misma característica y que fueronobtenidos de tal modo que sean representativos de la población y que se pueden
comparar, se cuenta, entonces, con una muestra. La cual, se puede evaluar o analizarcon alguna herramienta estadística, acción conocida como análisis estadístico. El
propósito de ello, es comparar diferencias o variabilidades y evaluar si son significativaso no, con un riesgo establecido para la decisión o hipótesis propuesta.
La Estadística establece una prueba formal para comparar si dos muestras provienen deuna misma población o que tengan la misma varianza, 2. Los criterios establecidos acontinuación son adaptados de los usados en diseños estadísticos de experimentos conrepeticiones, Box, Hunter y Hunter (1978), Miller y Freund (1993) y de los gráficos de
control estadístico con variación de la media o de pendientes, Cowden (1957).El principio es el siguiente:
Los cocientes de las varianzas de dos muestras, s22/s1
2, que provienen de unamisma población de individuos, que poseen distribución de probabilidad normalcon varianza 2, presentan distribución de probabilidad F (Fisher) con n1 1 yn2 1 grados de libertad.
1,1,F 2121
22
21
22 nnF F P
S
S
S
S (7.22)
Comparación entre las desviaciones de dos modelos
Este teorema se puede aplicar a las desviaciones de dos modelos, considerando que sondos poblaciones con la misma varianza
2 y distribución normal de probabilidad de susindividuos, con el propósito de comparar las respectivas desviaciones de la estima, se,Ec. 7.7, con una prueba de hipótesis.
Para comparar dos modelos, 1 y 2Prueba de hipótesis H0: e1
2 = e22
Con el criterio de comparación F = se22/se1
2
Comparación de las desviaciones con una referencia interna (repetición)
Con el propósito de obtener una valoración del ajuste de un modelo de la regresión, conlos datos observados, se pueden realizar réplicas del proceso, fenómeno o caso, paradeterminar la varianza natural del mismo, desviación de la réplica, sd , Ec 7.12,denominada referencia interna. La medición de la desviación del modelo con respectoa los datos observados, se establece mediante la variación de la estima, se, Ec 7.7.
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172
Comprobación de un modelo G. Chacón V.
Para comparar la variabilidad de las desviaciones con la réplica:Prueba de hipótesis H0: e
2 = d 2
Con el criterio de comparación F = se2/sd
2
Para comparar la variabilidad del modelo con la réplica:Prueba de hipótesis H0 : m
2 = d 2
Con el criterio de comparación F = sm2/sd
2 = se2/sd
2 1
Análisis de varianza, con referencia externa ( conocida) o inspección
Se trata de evaluar la cercanía de los valores de la regresión, con los de una población patrón. Para lo que se plantea una prueba formal para comparar si una muestra provienede una población con varianza, 2, dada, llamada varianza de una población patrón;siguiendo la forma clásica de la prueba de hipótesis, que se basa en el siguiente
principio de la Estadística:Las varianzas de las muestras tienen distribución de probabilidad 2 ( ji cuadrada),con n 1 grados de libertad, si la distribución de probabilidad de los individuosde la población es normal; por lo que se estandariza el cociente
1,Χ
12
212
2
22
n
sn
P
sni
(7.23)
Como criterio de evaluación de la variancia del ajuste del modelo, a los datos obser-vados, se establece la variación de la estima, se, Ec 7.7, que tiene k·n , grados delibertad.
Comparación de las desviaciones con una referencia externa, conocida
Tiene como objetivo evaluar la bondad de ajuste de un modelo de regresión con lavarianza,
2, de los datos reales de una población, considerada representativa del proceso, fenómeno o caso, denominada referencia externa.
El valor, de 2, se obtiene de experiencias anteriores con una cantidad suficiente de
muestras (más de 150 individuos).Ejemplo: los datos de los Gráficos de control estadístico, usados en la industria y en
otras actividades.
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173
Análisis de procesos G. Chacón V.
Para comparar con la población de referencia:Prueba de hipótesis H0 : e
2 = 2
Con el criterio de comparación 2 = (k·n )se
2/ 2
En la práctica, este procedimiento es poco usual, debido a la dificultad, sobre todoeconómica, de obtener suficiente cantidad de datos para tener un buen estimado de 2.
Comparación de las desviaciones con una referencia arbitraria, 0 conocida
Por lo general, entre las partes interesada, se suelen establecer criterios de calidad o dediseño, para definir la aptitud para el uso o para aceptación de un modelo. Se puedeutilizar, una variabilidad permitida o tolerancia, T , en forma arbitraria, como sirepresentara la varianza de la población de referencia, 0.
Tolerancia: T 2 0 (7.24)En este caso, el valor de una medida, de las observaciones, se puede interpretar comoque pertenece a una población teórica con distribución de probabilidad normal, conmedia, 0, y desviación estándar, 0, ambas arbitrarias. El subíndice 0, indica que serefiere a parámetros estadísticos arbitrarios: de referencia, teóricos, ideales, etc.
El valor de representa el número de veces que cabe la desviación estándar de una población, de una propiedad o variable, dentro de un margen permitido o especificado,es decir la tolerancia. La probabilidad, , de encontrar un valor fuera de un intervalo,
0 0, es llamada proporción de resultados significativos (casos favorables, noconformes, etc.).
11,0, N
0
0
0
0 x xP (7.25)
Es práctica común usar 2 3 con 0,02275 0,00135
Ejemplo: Las tolerancias se usan en la Industria, Metrología y en otras actividades:La tolerancia; T , se especifica como los parámetros para el diseño de piezas yequipos, junto con el valor nominal o central, VN
VN T 2
También se define en normas y especificaciones de productos, como un límite supe-rior de especificaciones, valor máximo permitido o tolerable, LSE , y uno mínimo, LIE .
T LSE LIE y VN LSE LIE 2
En los patrones para la calibración de equipos para medición o para procesos, senorma con un valor patrón (esperado), m0, y una incertidumbre, T 2.
medida m0 T 2
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174
Comprobación de un modelo G. Chacón V.
El procedimiento con una variabilidad arbitraria o patrón es
Para comparar tolerancia:Prueba de hipótesis H0 : e
2 = 02
Con el criterio de comparación 2
= (k·n – )se2
/ 02
Análisis de correlación
Análisis de la varianza de correlación
Se suele llamar análisis de correlación al empleo de la variación de la correlación, sc Ec. 7.19, como variación explicada y la variación no explicada se establece por mediode la variación de la estima, se, Ec 7.7.
Para comparar con la varianza de correlaciónPrueba de hipótesis H0: c
2 = e2
Con el criterio de comparación F = sc2/se
2 = (s y2 1)/se
2
Como se puede apreciar en la figura 1, si existe correlación, el valor de F siempre esmuy grande (se es pequeño, por naturaleza, mientras que s y es grande, puesto queaumenta al alejarse del promedio), lo que puede dar una idea falsa del ajuste del modelocon los datos observados. Pese a esta limitación, es empleado como mucha frecuencia.
Coeficiente de correlación
El coeficiente de correlación, r , se suele emplear para cuantificar la calidad de modelo(la efectividad o bondad del ajuste), con referencia a los datos observados. Queinterpreta la desviación de la correlación como un coeficiente y se define.
1
~
1
1 1
2,
1 1
2,
2
22
2
22
nk
y y
nk
y y
s
ss
s
sr
k
j
n
i
ji
k
j
n
i
j ji
y
e y
y
c
(7.26)
y 222 1 r ss ye (7.27)
El coeficiente de correlación es un número entre 0, ausencia de correlación, y 1, corre-lación perfecta.
10 r (7.28)
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175
Análisis de procesos G. Chacón V.
Aunque el coeficiente de correlación es impreciso como parámetro de criterio paraevaluar la bondad del ajuste de un modelo de regresión, es muy popular; sobre todocuando no se dispone de información suficiente para definir la varianza natural delcaso, , y tiene las siguientes limitaciones
-
Si existe dependencia implica una correlación alta. Pero, una correlación alta no implica, necesariamente, dependencia entre las variables.
- La variabilidad explicada, sc, generalmente, es muy grande con respecto ala variabilidad de la estima, se. Con lo que resultan coeficiente de corre-
lación altos, aun cuando el modelo presente desviaciones, que el usuarioconsidere no aceptables. Sólo son del mismo orden de magnitud cuando lacorrelación es nula.
- En su uso, se considera, puesto que se basa en se, que la variableindependiente, x, no posee variabilidad significativa.
-
Se puede hacer la prueba de hipótesis para el coeficiente de correlación,H0: r = = 0,desarrollada para la línea recta, a otros casos de curva o modelo deregresión, como aproximación aceptable Esta prueba indica si no haycorrelación, pero no que la correlación es aceptable.
Correlación simple o de Pearson
Se llama coeficiente de correlación simple o de Pearson al coeficiente de correlación para la regresión con la función de línea recta.
x y (7.29)
: coeficiente de la variable dependiente o pendiente : ordenada o intercepto al origen
Se define con base en la covarianza, Moreno y Jauffred (1969), Miller y Freund (1993),Spiegel et all (2001) como.
k
j
n
i
ji
k
j
i
k
j
n
i
jii
y y x x
y y x x
r
1 1
2
,1
2
1 1
2
,2
(7.30)
Posee las siguientes características- Se pueden formular interpretaciones físicas y matemáticas de los datos o
del sistema original- Puede ser aplicado cuando la variable independiente, x, también presenta
variabilidad
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176
Comprobación de un modelo G. Chacón V.
- Cuando se emplea el método de mínimos cuadrados para evaluar los coefi-cientes, los datos observados y la regresión proveen el mismo valor de susrespectivas medias, exactamente.
x y MinCua MinCua ˆˆ
Lo que provoca que la desviación sea cero en la media y máximo en losextremos de los datos.
-
Se pueden establecer pruebas de hipótesis para el coeficiente de corre-lación, para no correlación
Prueba para el coeficiente de correlación de Pearson
Prueba de hipótesis H0: r = = 0
Con el criterio
21
2
2
1
2
r
k r
t
El estadístico t posee distribución de probabilidad que tiende a la T deStudent, con k 2 grados de libertad.
También, con la trasformación de Fisher
r
r k z
1
1ln
2
3
Prueba para el coeficiente de correlación de Pearson
Prueba de hipótesis H0: r = = 0
Con el criterio
r
r k z
1
1ln
2
3
La distribución de probabilidad del estadístico z, tiende a la normal
Los valores de t de Student y de z normal, aumentan con el número deobservaciones k .
-
Se encuentran relaciones para los intervalos de confianza de los coeficien-
tes de la recta ( , y r ) y para los valores predichos o regresión y.
Puntos retirados, “outliers”
Se consideran como puntos retirados, aquellos que no se ajustan a la población de losdatos analizada. Algunas veces se pueden encontrar causas asignables, es decir, razo-namientos que justifiquen su comportamiento, como errores humanos, de calibración, deoperación, cambios inesperados en las variables del proceso, cambios en el ambiente,etc. Por lo general, una inspección visual del análisis grafico del ajuste muestra la
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177
Análisis de procesos G. Chacón V.
discrepancia. Por otro lado, usarlos en el cálculo de los coeficientes del modelo ofunción de ajuste, afectan la toma de decisiones con respecto a las regresiones efec-tuadas.
No existen pruebas formales, para rechazar o no dichos puntos, sin embargo, seacostumbra efectuar la eliminación de ellos para el cálculo de los coeficientes (cuandose ajustan los datos al modelo) con base en algún criterio, Norma ASTM DesignaciónE178-08 (2010), Zanker (1984), Daniel (1980), Chacín (1998), Cook y Weisberg(1982).
Nótese que, el análisis de normalidad de desviaciones ordenadas, figura 7.7, permiteconsiderar aquellos puntos que se retiran mucho de la recta, , como anormales osignificativos.
Como regla de la experiencia, no se deben eliminar más del 10% de los puntosobservados de ninguno de los cálculos.
Si bien es cierto, que se acostumbra eliminarlos del cálculo de los coeficientes de lacurva de regresión, no debe hacerse de ningún análisis, estadístico o de otro tipo.
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178
Comprobación de un modelo G. Chacón V.
7.7 ANÁLISIS DE UN CASO SIN REPETICIÓN
Definición del caso
Se analiza la viscosidad para solucionesde glicerina al 28 %, medida en unviscosímetro de Oswlald con relación ala temperatura. En el cuadro 7.1, semuestran los datos obtenidos.
Para la medición en cuestión, se estimaque la variabilidad (incertidumbreestadística) es de 0,015 mm2/s. Aunquela variabilidad, se puede evaluar porrepetición, en este caso, queda dentrode la precisión, la tercera cifra, delinstrumento y método de la medición(incertidumbre técnica); por lo que nose puede distinguir entre ambas.Considerándose, entonces, como unamedición única, para cada valor de la
variable independiente.
Cuadro 7.1. Viscosidad, cinemática, dela solución acuosa de glicerina al 28%
Orden Temperatura Viscosidad C K mm2/s
1 20 293 2,0692 25 298 1,7893 30 303 1,5594 35 308 1,373
5 40 313 1,2256 45 318 1,0977 50 323 1,0008 55 328 0,921
9 60 333 0,854
Se decide usar dos modelos meca-nicistas modificados, referidos en laliteratura y un modelo o curva deajuste, con transformación de y, todoscon tres coeficientes para
V : viscosidad, mm2/sT : Temperatura, K
Modelo A
2
6102856,17,60704779,6expT T
V
Modelo B
78,200
98,2722260,2exp
T V
Modelo C
T V 153783,0745,27ln 24101020,2 T
Los coeficientes se obtuvieron, usando elmétodo de mínimos cuadrados.
Análisis gráfico
En las figuras 7.8 y 7.10 se muestranlos gráficos de los valores obtenidos dela viscosidad cinemática, con respecto ala temperatura y en la figura 7.9 semuestran los resultados al transformarla variable dependiente, viscosidad, ensu logaritmo.
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Análisis de procesos G. Chacón V.
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
290 300 310 320 330 340
Temperatura, K
V i s c o s i d a d , m m 2 / s
ExperimentalModelo AModelo B
Modelo C
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5Viscosidad calculada, mm
2/s
V i s c o s i d a d , m m 2 / s
Modelo AModelo B
Modelo C
Figura 7.9. Viscosidad (logaritmo) de una solución acuosa de glicerina al 28% v/v.
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
290 300 310 320 330 340
Temperatura, K
l n ( V i s c o s i d a d )
ExperimentalModelo AModelo BMdoelo C
Figura 7.9. Viscosidad de una solución acuosa de glicerina al 28% v/v.
Figura 7.10. Viscosidad de la una solución acuosa de glicerina al 28% v/v, encomparación de la estimada con tres modelos de regresión.
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180
Comprobación de un modelo G. Chacón V.
Las figuras sirven como instrumento,cualitativo, para comparar el compor-tamiento de los valores obtenidos conlos tres modelos propuestos, como
primer análisis.
Se observa que, dentro de la precisiónde los gráficos en cuestión, tienen unatendencia suave tipo curva de segundogrado.
Análisis de los residuos
En el cuadro 7.2 y la figura 7.11 semuestran las desviaciones con relación ala variable independiente, la temperatura.En el mismo cuadro 7.2, se presenta ladesviación de la estima, se, la cual seemplea para comparar los modelos entresí, Sec. 7.5.
Prueba de hipótesis
H0: eN 2 = eC 2 Criterio de comparación entre los
modelos:
A con C 5,32
2
eC
eA
s
sF
B con C 9,62
2
eC
eB
s
sF
A con B 4,12
2
eA
eB
s
s
F
Con el análisis de variancia por mediode los valores del estadístico F , semuestra que no existe suficiente eviden-cia para rechazar la hipótesis, nula, deque las desviaciones de la estima de lostres modelos sean iguales.
Cuadro 7.2. Análisis de residuos, de lostres modelos, para la viscosidad de lasolución acuosa de glicerina al 28 %v/v.
Temperatura Desviaciones de la regre-
sión para la viscosidadK mm2/sModelo
AModelo
BModelo
C
293 -0,0047 -0,0046 -0,0008298 0,0047 0,0074 0,0030303 0,0036 0,0054 0,0016308 0,0009 0,0008 0,0005
313 0,0011 -0,0004 0,0028318 -0,0058 -0,0080 -0,0029
323 -0,0031 -0,0048 -0,0004328 0,0006 0,0005 0,0016333 0,0027 0,0050 0,0001
EstadísticosDatos 9 9 9g. l. 6 6 6se
2105 (Ec. 7.7) 1,82457 3,6142 0,52044se 0,00427 0,00601 0.00228F = seN
2/se32 3,51 6,95 1
F INV (0,05,6,6) 4,28
F INV
(0,01,6,6) 8,47Tolerancia, T 0,015 0 T /6 0,0025
2=(n-)se2/ 0
2 16,8 33,4 4,8
2(0,05,6) 12,6
2(0,01,6) 16,8
s y (Ec.7.17) 0,41509r =1-seN
2/s y21/2 0,9999 0,9999 1,0000
F corr = seN 2/s y
2 >100 >100 >100
Correlación de PearsonCor(e, x) -0,0338 -0,0977 -0,1896Cor(e, y) 0,0227 0,1237 0,1618Cor (ei,ei+1) 0,1290 0,2829 -0,2679
Sin embargo, al comparar el modelo Bcon el C, queda en un margen deindecisión; lo cual sugiere que se debeaumentar la información con más datos
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181
Análisis de procesos G. Chacón V.
experimentales, para tener una decisiónsegura.
Como decisión no formal, el estadís-
tico F , permite usarse como parámetro(cuantitativo) para clasificar losmodelos, aunque, como en este caso, ladiferencia no sea muy clara.
El otro análisis que se puede hacer, escomparar la variación de la estima conuna varianza, 0
2, de una poblaciónteórica (puede ser ideal), formulada
sobre la base de una tolerancia o de unaincertidumbre de los datos (Sec. 7.6).
La varianza arbitraria se estima, enton-ces, con la incertidumbre de los datos,sugerida por el autor, que se muestra enel cuadro 7.2, según la Ec. 7.24
0025,06
015,0
60 T
Prueba de hipótesisH0: e
2 = 02
A
1720
22
eAsnk
B
3320
22
eBsnk
C
520
22
eC snk
Con lo que se concluye que no haysuficiente evidencia para rechazar lahipótesis de que el modelo C, tienediferente varianza que la de una
población teórica, con distribución de probabilidad normal y desviaciónestándar, arbitraria, de 0,026. Por otro
lado, no existe evidencia suficiente paraaceptar que el modelo A y el modelo B,
posean esa misma varianza.
Cabe reiterar, que las decisiones lasrealiza el usuario, de acuerdo con susobjetivos, por lo que en este docu-mento, no se toman decisiones, sólo sedesarrolla un procedimiento paraapoyar las evaluaciones, en formacuantitativa, con la información obser-vada.
El análisis grafico de los residuos seefectúa con la ayuda de la figura 7.11. Enella, se muestra una tendencia cúbica, conun punto de inflexión cerca de la media(“centro”) de los datos, lo que sugiere quese puede mejorar los modelos agregandoun término más, como la temperatura a la
potencia cúbica. El modelo C presentamenores valores de los residuos que losotros dos y un comportamiento más esta-
ble de los mismos.
Nótese que, el hecho de que exista mayordiferencia en los extremos, que en elmedio del intervalo de temperaturas yvarios cambios de signo, de las diferen-cias y pasa cerca del centro del intervalode los datos, se puede atribuir, en parte, aque los coeficientes fueron calculadasmediante el ajuste, de los datos, pormedio de los mínimos cuadrados.
En la figura 7.12, se muestra la mismavariación de los residuos, pero expre-sado en forma del porcentaje de ladiferencia (“error”) con respecto a lamedición. La información suministra-da, es muy similar al análisis deresiduos, sin embargo como estableceuna referencia relativa, es muy usada en
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182
Comprobación de un modelo G. Chacón V.
Ingeniería y en otras actividades huma-nas, para tomar decisiones.
Análisis de los residuos ordenados
En el cuadro 7.3 y en la figura 7.13 semuestran los valores de las desvia-ciones ordenadas, como función de lacalificación normal, para su análisis,Sec.7.6.
Cuadro 7.3. Análisis de residuos, orde-nados de los tres modelos, para laviscosidad de la solución acuosa de
glicerina
n P ZDesviaciones
ordenadasModelo
A B C Ec. 7.20 Ec. 7.21 Ec. 7.6
mm2/s 1000
1 0,0556 -1,59 -5,8 -8,0 -2,92 0,1667 -0,97 -4,7 -4,8 -0,83 0,2778 -0,59 -3,1 -4,6 -0,44 0,3889 -0,28 0,6 -0,4 0,15 0,5000 0,00 0,9 0,5 0,56 0,6111 0,28 1,1 0,8 1,67 0,7222 0,59 2,7 5,0 1,68 0,8333 0,97 3,6 5,4 2,89 0,9444 1,59 4,7 7,4 3,0
Recta de los residuos
r
2
Ec.7.26
0,909 0,932 0,969 r 0,954 0,966 0,984 Intercepto 0,16 0,26 0,77
Pendiente 4,23 5,81 1,84
Dicho análisis, dado que no se tienerepetición (esto es, un estimado repre-sentativo de la variabilidad de lasobservaciones), puede servir a manera
de prueba de hipótesis, subjetiva yaproximada, para valorar la calidad delmodelo o función de ajuste analizada.
Se puede observar que el modelo C posee una tendencia más recta, de losresiduos, que los otros dos modelos.Así como, valores menores de losresiduos que los modelos A y B.
Por otro lado, el modelo A presenta unadistribución de residuos con más formade S que las otras, lo que indica que sudistribución es menos normal que la delos residuos de los otros modelos.
Las pendientes, como es de esperar, presentan valores cercanos a los respec-tivos valores de se. Los interceptos alorigen, tienen magnitudes del orden dela última cifra significativa de los datosobservados.
El coeficiente de correlación de larelación entre los residuos ordenados yla calificación normal, se muestra en elcuadro 7.3, para su análisis.
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Análisis de procesos G. Chacón V.
Figura 7.11. Análisis de residuos para el caso de la viscosidad de la soluciónacuosa de glicerina, para los tres modelos.
Figura 7.12. Análisis de la variación porcentual del caso de la viscosidad de launa solución acuosa de glicerina, para los tres modelos.
Figura 7.13 Análisis de normalidad de los residuos ordenados para el caso de la vis-cosidad de la una solución acuosa de glicerina, para los tres modelos.
-0,010
-0,005
0,000
0,005
0,010
290 300 310 320 330 340
Temperatura, K
D e s v i a c i o n e
s , m m 2 / s
Modelo A
Modelo B
Modelo C
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
290 300 310 320 330 340
Temperatura, K
E r r o r , %
Modelo AModelo BModelo C
-0,020
-0,010
0,000
0,010
0,020
-3 -2 -1 0 1 2 3
Calificación normal, Z
D e s
v i a c i o n e s o r d e n a d a s ,
m m
2 / s
Modelo AModelo BModelo C
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184
Comprobación de un modelo G. Chacón V.
7.8 ANÁLISIS DE UN CASO CON REPETICIÓN
Definición del sistema
Descripción del problema (Ver Sec. 3.1)
Un recipiente se emplea para acondicio-nar una solución de sulfato de amonio.Para el cual se desea encontrar unarelación entre la cantidad de la sal,existente en el tanque, y el tiempo.Considérese que el flujo volumétrico deentrada es igual al de salida y que lasolución en el tanque se mantieneagitada.
Volumen de control
Variable independiente
t : tiempo, ks
Variables dependientesC : concentración instantánea de
sulfato de amonio ( A), en eltanque, kg de A/m3
C S : concentración de A en lasalida, kg de A/m3
Variables fijas
V : volumen de la solución en eltanque, m3
E V : flujo volumétrico a la entra-
da, m3/ks
S V : flujo volumétrico a la salida,m3/ks
C E : concentración de A en la en-trada, kg de A/m3
Procedimiento y equipo experimen-
tales
El recipiente usado posee un volumende 0,4 m3 y con una concentracióninicial de 200 kg/m3 y recibe un flujode 0,3 m3/ks con una concentración desulfato de amonio de 100 kg/m3
El diámetro del tanque es de 0,8 m y su
altura 0,8 m, de acero inoxidable 316con 10 mamparas de 0,1 m. El fluido esagitado con un propulsor de 0,03 m, pormedio de un motor de 1,1 kW. El flujoentra por un conducto de diámetronominal 1’’#40, se reguló con unaválvula de globo y se controló con unrotámetro calibrado. La salida es por elfondo, con un tubo de diámetro nominalde 1 1/2’’#40, regulada con una válvula
de globo. Las soluciones fueron prepa-radas con sulfato de amonio calidadcomercial y el agua empleada para ladisolución fue de calidad potable.
La concentración se midió con unrefractómetro de Abbè, con una curvade calibración preparada con soluciones
S V
C S
E V
C E
VC
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Análisis de procesos G. Chacón V.
en agua destilada, entre 90 y 210 kg/m3 de sulfato de amonio calidad reactivo.
Formulación del modelo
Los flujos y masa del compuesto A enel sistema sonVelocidad de acumulación
t
VC
d
d kg/ks
Flujo de masa que entra E E C V kg/ks
Flujo de masa que sale S S C V kg/ks
Con Ley de conservación para la masade la sustancia A, se obtiene
S S E E C V C V
t
VC
d
d (7.31)
Condiciones del modelo
- Agitación perfecta. Se supone que lamasa es uniforme C S = C
- El volumen del tanque es mucho ma-yor que el flujo de masa E V V
- La densidad es constante = cte
-
El flujo de salida es constante y esigual al de entrada
3,0S E
V V
m
3
/ksCon lo que el volumen de fluido enel tanque se considera constante
V = 0,4 m3
-
La concentración de la sal a laentrada se considera constante
C E = 100 kg de A/m3
Condición de contorno
Cuando t = 0 entoncesC = C 0 = 200 kg de A/m3
Solución de la ecuación
Entonces, la ecuación del modelo sim- plificada con esas condiciones es:
C C V t
C V E E
d
d
Se define tiempo de residencia oretención como
33,1/ E V V ks
La solución o integración de la ecua-ción diferencial con las condiciones decontorno indicadas es
/exp0
t C C
C C
E
E
El modelo para el sistema en estudiocon las condiciones normales deoperación, es
t C 75,0exp1100 (7.32)
Resultados experimentales
En el cuadro 7.4 se muestran los datosexperimentales obtenidos durante dosensayos o “corridas” en el prototipo.
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Comprobación de un modelo G. Chacón V.
Cuadro 7.4. Variación de concentra-ción del sulfato de amonio en untanque agitado
Capacidad efectiva 0,4 m
3
Flujo de entrada 0,3 m3/ksConcentración’ entrada 100 kg/m3
No Tiempo Concentraciónmin. ks kg/m3
Ensayo 1 Ensayo 2
1 0 0,0 200,0 200,02 5 0,3 192,8 196,4
3 10 0,6 182,8 189,64 15 0,9 166,4 170,25 20 1,2 155,8 158,4
6 25 1,5 143,2 140,67 30 1,8 133,0 134,48 35 2,1 124,0 122,69 40 2,4 119,8 117,6
10 45 2,7 115,6 116,2
11 50 3,0 114,4 112,812 55 3,3 110,0 111,613 60 3,6 107,6 110,814 70 4,2 108,8 104,215 80 4,8 106,0 102,2
16 90 5,4 103,6 101,817 100 6,0 102,8 101,618 110 6,6 101,6 101,619 120 7,2 101,6 101,6
Estadísticos y Ec. 7.15 131.2s
2 Ec. 7.17 1102,52s 33,2
Análisis grafico
En el gráfico de la figura 7.15, seobserva que los datos se distribuyen en
forma exponencial, como se espera.Durante el primer kilosegundo, se pre-senta una curvatura, que no es descrita
por el modelo teórico, lo cual manifies-ta un mecanismo diferente al propuesto.El efecto producido se interpreta comouna ordenada al origen diferente decero, que se podría acreditar a unaespecie de “inercia” del proceso; locual, se puede describir, matemática-mente, como un desplazamiento deltiempo, a partir del cual se cumple elmodelo, “tiempo de retardo”.
El proceso termina asintóticamente,según la expectativa, pero más rápida-mente y a un valor un poco mayor de lo
predicho por el modelo.
Por consiguiente, se propone modificarla ecuación original de la siguienteforma
38,075,0exp1100 t C (7.33)
para 0,64,0 t ks
En las figuras 7.15 7.16 y 7.17. secomparan los datos observados con elmodelo propuesto.
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187
Análisis de procesos G. Chacón V.
Figura 7.14. Variación de concentración del sulfato de amonio en un tanque agitado conflujo continuo, con 0,4 m3 de capacidad y un flujo de 0,3 m3/ks
-6,0
-5,0
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Tiempo, ks
l n ( C / 1 0 0 - 1 )
Ensayo 1Ensayo 2Modelo Teórico
75
100
125
150
175
200
225
0 1 2 3 4 5 6 7 8Tiempo, ks
C o n c e n t r a c i ó
n ,
k g / 3
Ensayo 1Ensayo 2Modelo Teórico
38,075,01100 t eC
38,075,01100
ln
t C
75
100
125
150
175
200
225
75 100 125 150 175 200 225 250
Concentracion, de la regresión, kg/m3
C o n c e n t r a c i ó n ,
k g / 3
Ensayo 1Ensayo 2
Figura 7.15. Variación (logarítmica) de concentración del sulfato de amonio en untanque agitado con flujo continuo.
Figura 7.16. Comparación de la concentración del sulfato de amonio, en un tanqueagitado con flujo continuo, con el modelo propuesto.
38,075,01100 t eC
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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188
Comprobación de un modelo G. Chacón V.
Cálculo de los coeficientes por ajuste, con
mínimos cuadrados
El cálculo de los coeficientes, y , de
la función de regresión, t C exp1100
con los datos observados, en lugar deusar los obtenidos con las variables deloperación del proceso, se muestran enel cuadro 7.5
Cuadro 7.5. Valores de los coefi-
cientes de la curva de regresión t C exp1100 para 0,64,0 t kscon los datos de la concentración delsulfato de amonio en un tanqueagitado, del cuadro 7.4, usandomínimos cuadrados,
Ajustenormal linearizada
0,79 0,70 0,42 0,33
k·n (datos) 30 30se Ec. 7.7 2,19 3,12sd Ec. 7.12 2,0 2,0
F =se2/sd
2 1,20 2,43F INV
(0,05,28,18) 2,08 2,08r Ec. 7.26 0,998 0,996
Nótese que en la evaluación de los parámetros, se presenta una dificultad; pues, al ser una función exponencial, elorden de magnitud de los datos, varía conla variable independiente, en este caso eltiempo. Por lo cual, si se “lineariza”,“pesan” más los valores más pequeños(cuyos logaritmos son más grandes envalor absoluto), Fig. 7.15, y si se usa en
forma normal, influyen más las mag-nitudes grandes (exponenciales negativosmás pequeños en valor absoluto), lo queafecta los resultados, como se aprecia en
el cuadro 7.5 y la Fig. 7.14,. El modelomecanicista predice un valor intermediode los parámetros, de los obtenidos conlos dos métodos de ajuste, por lo que,
para efectos prácticos, se consideraaceptable.
En el cuadro 7.5, también, se muestra ladesviación tipo de la estima, se, paracomparación.
Desviación de la réplica
En el cuadro 7.6 y en la figura 7.17, semuestran las desviaciones estándar alvariar con el tiempo, durante los dosensayos. Al inicio presentan diferen-cias de hasta del doble del promedio.
Posteriormente, un ensayo es ligera-mente más lento que el otro y luego secruzan, para acercarse al final, hastaque la diferencia es casi nula. A pesarde este comportamiento, poco estable,se toma la variancia de la repeticióncomo medida de la variabilidad (“error”o “ruido”) experimental, para efectos deevaluación.
Con las varianzas, del cuadro 7.6, secalcula la variabilidad de la repetición,sd
2, Ec. 7.12, que se indica en el mismocuadro.
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189
Análisis de procesos G. Chacón V.
Cuadro 7.6. Medias y desvia-ciones estándar para los datosexperimentales de la concentracióndel sulfato de amonio en un tanqueagitado
No x j j y s j
Ec. 7.9 Ec. 7.11
ks kg/m3 kg/m3
1 0,0 200,0 0,02 0,3 194,6 2,53 0,6 186,2 4,84 0,9 168,3 2,75 1,2 157,1 1,8
6 1,5 141,9 1,87 1,8 133,7 1,08 2,1 123,3 1,09 2,4 118,7 1,6
10 2,7 115,9 0,4
11 3,0 113,6 1,112 3,3 110,8 1,113 3,6 109,2 2,314 4,2 106,5 3,315 4,8 104,1 2,7
16 5,4 102,7 1,317 6,0 102,2 0,818 6,6 101,6 0,019 7,2 101,6 0,0
Estadísticos y Ec. 7.15 131.2sd
2 Ec. 7.12 4,00sd 2,0
Análisis de los residuos
En el cuadro 7,7 se muestran lasdesviaciones, Ec. 7.6, con respecto amodelo de la regresión, Ec. 7.33, juntoa los datos observados. Los cuales se
muestran en la figura 7.18, graficadoscon la variable independiente, tiempo.En dicha figura, se presenta el mismocomportamiento mencionado en la
sección anterior (“ampliado”), para lavariable dependiente. Nótese que, losdos primeros valores, de cada ensayo,se separan del comportamiento general.Los otros valores, muestran unatendencia oscilatoria, que luego seestabiliza alrededor del valor de 1,0.
Se plantea la siguiente prueba dehipótesis, para comparar la variación dela estima, se
2, con la de la réplica, sd 2,
variación que se supone o postula como el“error experimental”, desviación natural,al azar o no explicada, criterio, que puedeusarse para evaluar el ajuste,
H0: 22d m
Con 2,1712
2
d
e
s
sF
F crítico F INV (0,05,28,18) = 2,08
F INV (0,01,28,18) = 2,86
Esta prueba se muestra en el cuadro 7.7,en forma resumida. El análisis formal es,que no existe suficiente evidencia paraaceptar la hipótesis nula. En la práctica,esto se interpreta, como que la varianzadel modelo no es de la misma magnitud
que la de la repetición y se rechaza elhecho de que el modelo represente losdatos experimentales, dentro del errorobservado.
Como se mencionó anteriormente, seobserva que los datos se pueden repre-sentar adecuadamente con el modelo en elintervalo entre 0,4 y 6,0 ks, por lo que se
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190
Comprobación de un modelo G. Chacón V.
puede realizar el análisis de varianza, endicho intervalo, como se muestra en elcuadro 7.7. En este caso, no haysuficiente evidencia para rechazar la
hipótesis nula, de que en el ámbito de 0,4a 6,0 ks, la variabilidad de la estima, se
2,es de la misma magnitud que la de larepetición, sd
2.
Se pueden utilizar otros criterios deanálisis, como se indica en la Sec. 7.4 yel de referencia arbitraria Sec. 7.6.
Análisis de la normalidad de la distri-
bución de los residuos
Es conveniente verificar el compor-tamiento normal de la distribución de
probabilidad de los residuos ordenados,Sec. 7.6, , que es un requisito para elanálisis de variancia, prueba F, cuyocomportamiento se muestra en la figura
7.18. La recta para la comparación, sedibujó con pendiente igual a sd , desvia-ción de la réplica y la intersección alorigen de 0.
Considerando que el error permisible,eij, sigue una distribución normal y elcriterio
H0: 22d m
Con 0,63 d ij se ks
z crítico N INV (0,0027) = 3,0
Solo los dos puntos iniciales de cadaensayo no cumplen con esta norma. Elresto de los residuos posen distribución,aproximadamente, normal con desvia-ción estándar, sd , de 2,0 ks.
Cuadro 7.7 Cálculo de los residuos para losdatos de la concentración del sulfato deamonio en un tanque agitado, con el modelo,mecanicista, de regresión
38,075,0exp1100 t C 0,64,0 t ks
Tiempo Estimado Residuosks kg/m3
Ec. 7.33 Ensayo 1 Ensayo 2
0,0 232,98 -32,98 -32,980,3 206,18 -13,38 -9,780,6 184,79 -1,99 4,810,9 167,71 -1,31 2,491,2 154,06 1,74 4,34
1,5 143,17 0,03 -2,57
1,8 134,47 -1,47 -0,072,1 127,53 -3,53 -4,932,4 121,98 -2,18 -4,382,7 117,55 -1,95 -1,35
3,0 114,02 0,38 -1,223,3 111,19 -1,19 0,413,6 108,94 -1,34 1,864,2 105,70 3,10 -1,504,8 103,63 2,37 -1,43
5,4 102,32 1,28 -0,52
6,0 101,48 1,32 0,126,6 100,94 0,66 0,667,2 100,60 1,00 1,00
Estadísticos
No. de datos total Depurados0,4< t< 6,0 ks
k·n (datos) 38 30g. l. de e. 36 28se
2 Ec. 7.7 72,67 5,84g. l. de d .. 18 18
sd
2
Ec. 7.12 4,0 4,0F = se
2/sd 2 18,18 1,46
F = se2/sd
2-1 17,18 ----
F INV (0,05,gle,gld ) 2,95 3,03
F INV (0,01, gle ,gld ) 2,12 2,16r Ec. 7.26 0,9665 0,9975
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Análisis de procesos G. Chacón V.
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8Tiempo, ks
C o n c e n t r a c i ó n ,
k g / 3
Sd = 2,0
-10
-5
0
5
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Tiempo, ks
C o n c e n t a c i ó n ,
k g / 3
Ensayo 1Ensayo 2+ 3 Sd
- 3 Sd
-33.98,-13,38
-32,98, -9,78
Figura 7.17. Análisis de las desviaciones estándar de la concentración del sulfato deamonio, en un tanque agitado con flujo continuo, con el modelo propuesto.
-10
-5
0
5
10
-3 -2 -1 0 1 2 3
Calificación normal, Z
R e s i d u o o r d e n a d o ,
k g / m 3
Ensayo 1Ensayo 2
+ 3 Sd
- 3 Sd
33.98,-13,38-32,98, -9,78
Figura 7.19. Análisis de la normalidad de los residuos, al comparar la concentracióndel sulfato de amonio observada, con el modelo propuesto.
Figura 7.18. Análisis de los residuos al comparar la concentración del sulfato de amonio,en un tanque agitado con flujo continuo, con el modelo propuesto.
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Comprobación de un modelo G. Chacón V.
Propuesta de un modelo semi empírico
Usando las estrategias y metodologíassugeridas por diferentes autores,
Bronshtein, I. y Semendiaev, K (1982),Hoerl (1954), Ingels, R. M. (1980),Davis (1965), Lipka (1961), Box et all (1978) y Hyames (2001), Mickley et all (1957), Davis (1965).y con una buena“dosis de paciencia”, se propone elsiguiente modelo para la regresión, conla intención de que represente mejor losdatos, incluyendo el periodo de arran-que (su curvatura) pero que tambiéncumpla con las condiciones decontorno.
t
t t
t C 75,0exp
28,24,18,111100
2
Obteniéndose los resultados resumidosen el cuadro 7.8. Como se puedeobservar, en los resultados el modelo
representa mejor los datos, especial-mente los iniciales; al final, losreproduce con valores similares almodelo mecanicista.
Se deja al lector, realizar los otrosanálisis mencionados en esta sección.
Cuadro 7.8. Análisis de los residuos para los datos de la concentración delsulfato de amonio en un tanque agitado,con el modelo, semi-empírico, deregresión
t
t t
t C 75,0exp
28,24,18,111100
2
k·n (datos) 38g. l. de ei 34se
2 Ec. 7.7 4,03g. l. de d ij 19sd
2Ec. 7.12 4,0
F = se2/sd
2 1,01F = se
2/sd 2-1
F INV (0,05,34,19) 2,09
F INV (0,01,34,19) 2,94
r Ec. 7.26 0,9982
75
100
125
150
175
200
225
0 2 4 6 8Tiempo, ks
C
o n c e n t r a c i ó n ,
k g / 3
Ensayo 1Ensayo 2
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Análisis de procesos G. Chacón V.
7.9 ANÁLISIS DE TENDENCIAS
Se establece un modelo de predicción para el porcentaje de elongación a laruptura (variable de calidad) de lasláminas de poliuretano moldeado. Paralo cual, se preparó un molde plano y sesiguió el proceso típico de la produc-ción de suelas con este tipo de material.Los resultados obtenidos en el proceso,en condiciones normales de operación,se presentan en el cuadro 7.9.
El gráfico de los datos observados semuestra en la figura 7.20. Como se
puede apreciar, presentan una tenden-cia, que puede ser de línea recta o
parabólica, que es difícil de establecer,debido a la variabilidad natural de lamedición y/o del proceso. Por lo cual,
se realiza un análisis, mediante laevaluación de la correlación, Sec. 7.6.
Se estima, entonces, su comportamiento por medio de la recta
D E 16,553,441
O usando una parábola
21,1200,3497,754 D D E
E : Elongación a la ruptura, % D: razón masa por área,
“densidad”, kg/cm2.
Los coeficientes se evaluaron por mediode mínimos cuadrados. Y los resulta-dos de la correlación se muestran en elcuadro 7.10.
Cuadro 7.9. Efecto de la densidad de lasmaterias primas en la elongación de una
pieza moldeada de poliuretano.
Orden Ensayo Masa/Área Elongación No. kg/cm2 %
1 23 1,042 5442 5 1,045 5443 17 1,073 490
4 11 1,082 5405 16 1,088 515
6 9 1,102 4977 20 1,158 5208 24 1,163 4849 22 1,201 529
10 4 1,243 506
11 10 1,312 513
12 12 1,335 50313 2 1,365 46214 6 1,373 50515 13 1,619 499
16 18 1,659 47117 14 1,898 55318 15 1,901 54119 3 1,916 540
20 8 1,946 517
21 19 1,952 53822 1 1,979 55523 21 2,116 54524 25 2,467 62825 7 2,508 620
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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194
Comprobación de un modelo G. Chacón V.
Cuadro 7.10. Estadísticos en la evalua-ción de los modelos del efecto de ladensidad de las materias primas en laelongación de una pieza moldeada de
poliuretano.
Modelorecta
Modelo parábola
Datos 25 25g. l. 23 22se
2 (Ec. 7.7) 30,1 20,3s y
2 (Ec.7.17) 38,8r de Pearson 0,6514F corr = se
2/s 2 1,67 3,65
r =1se2 /s y21/2 0,6319 0,8520
zr 3,49 5,79t r 3,91 7,63
Los criterios de comparación con losestadísticos, F corr , t r y zr son:
Prueba de hipótesisH0: e
2 = y2
Criterios de comparación entre losmodelos:
005,27,1 23,25,05,0
2
F s
sF
2
eRecta
y
corr
028,26,3 22,25,05,02
2
F s
sF
eParábola
y
corr
Lo que indica que, en el caso de la recta,la variancia de la estima no es losuficientemente pequeña, para distinguirlade la de las observaciones de laelongación, por lo que no hay evidenciaclara de que exista correlación (rechazarla hipótesis) entre las variables encuestión. Mientras que en el caso de la
parábola, si es suficientemente diferente.
Prueba de hipótesis
H0: = 0
180,19,31
223,05,02
2 21
t r
k r t Recta
182,16,7
1
222,05,02
2 21
t
r
k r t Parábola
960,15,31
1ln
2
305,0
z
r
r k z Recta
960,16,71
1ln
2
305,0
z
r
r k zParábola
Estos valores sugieren que no existeevidencia suficiente para aceptar (lahipótesis de) que no existe correlación,entre la elongación y la razón de la masa
por área de los reactivos en las láminas de poliuretano.
Para comparar los dos modelos entre sí,
Sec. 7.6.Prueba de hipótesis
H0: e Recta2 = e Parábola
2
Criterio de comparación entre losmodelos:
038,22,2 22,23,05,0 F s
sF
2
eParábola
2
eRecta
776,22,2 22,23,01,0 F s
sF 2
eParábola
2
eRecta
No se establece una decisión segura, para aceptar o rechazar la hipótesis deque las respectivas desviaciones de laestima, de los dos modelos comparados,sean iguales.
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195
Análisis de procesos G. Chacón V.
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450
550
650
1,0 1,5 2,0 2,5Masa/Área
%
d e e l o n g a c i ó
ObservacionesRecta
Parábola
Figura 7.20. Efecto de la razón de la masa al área de los reactivos, sobre laelongación a la ruptura de láminas de poliuretano.
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- Jenson, V. G. y Jeffreys, G. V. Mathematical Method in Chemical Engineering.
2nd
. Ed. Academic Press, London, 1975.
- Jones J. B. y Dugan, R. E. Ingeniería Termodinámica. Prentice Hall, México,
1997. Capítulos 1 y B.
- Kells, L. K. Ecuaciones diferenciales elementales. McGraw-Hill, New York-
Madrid, 1965.
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 213/430
199
- Kessler, D. P. and Greenkorn, R. A. Momentum, Heat and Mass Transfer .
Marcel Dekker Inc., New York, 1999.
- Kume, H. Herramientas estadísticas básicas para el mejoramiento de la
Calidad . Norma, Bogotá, 1992. Capítulo 10.
- Loney N. W. Applied Mathematical Method for Chemical Engineers. CRC press
LLC, Boca Raton, Florida, 2001.
- Mickley, H. S., Sherwood, T. K. and Reed, C.E. Applied Mathematics in
Chemical Engineering. McGraw-Hill, Tokyo, 1957.
- Rice, R. G. and Do, D. D. Applied Mathematical and Modelling for Chemical
Engineers. John Wiley and Sons, New York, 1995.
- Russell, T.W.F. y Denn, M.M. Introducción al análisis en Ingeniería Química.
Wiley-Limusa, México, 1976.
- Sokolnikoff, I. S. and Redheffer, R. M. Mathematics of Physics and
Engineering. McGraw-Hill, New York-Yokyo, 1966.- Spiegel, M. R. Ecuaciones diferenciales aplicadas. 3
ra Ed. Prentice Hall Hispa-
noamericana, México, 1983.
- Spiegel, M. R., Liu, J. y Abellanas, L. Fórmulas y tablas de Matemática
aplicada. 2da
Ed. McGraw-Hill, Madrid, 2000.
- Treybal, R. E. Operaciones de Transferencia de Masa. Libros Mc Graw Hill,
México, l988. . Capítulo 5.
- Walas, S. M. Modelling with Differential Equation in Chemical Engineering.
Butterworth Hinemann, Boston, 1991.
- Welty, J. C., Wicks, C. E. and Wilson, R. E. Fundamentos de Transferencia de
Momento, Calor y Masa. 2da. Ed. Limusa (3rd .Wiley), México, 1999. Capítulos:
14, 15, 16, 17, 24, 25, 26.
- Wylie, C. R. and Barrett, L. C. Advanced Engineering Mathematics. 6th
. Ed.
McGraw-Hill, New York, 1995.
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 214/430
UNIVERSIDAD DE COSTA RICAFACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA QUÍMICA
ANÁLISIS DE PROCESOS(CASO DE LA INGENIERÍA QUÍMICA)
APÉNDICESOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
GERARDO CHACÓN VALLE
Universidad de Costa RicaCiudad Universitaria “Rodrigo Facio”,
2012
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 201 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
3.01 Desalojo de un tanque
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientesh: altura del líquido, mV: volumen del líquido, m3 vs: velocidad de salida, m/s
Variables fijas As: área de salida, m2 D: diámetro del tanque, mH: altura del tanque, m
Parámetros
: densidad del fluido, kg/m3 m: coeficiente de fricción, adim.
Relaciones constitutivas
gh2mv s : Ecuación de Torricelli 2
s4s D A
Condiciones del modelo
parámetros constantes, y m
Todos las pérdidas de energíadebido a la fricción (en la salida)
se representan por (1/m2
– 1) vs2
.
Balance de masa total
VA FE FS
t
VVA
d
d (1/s) (m3) (kg/m3)
0FE
ssv AFS (kg/m3) (m2) (m/s)
Sumando los términos
ssv A
t
V
d
d
Sustituyendo vs y As
gh2mD
4t
V 2
s
d
d
3.01 a) Caso del cilindro vertical
Relación constitutiva
El volumen es
hD4
V 2
2D4h
V d
d
Con lo que, representando el mode-
lo en términos de la altura, h, con constante
gh2mD
4t
hD
4
2s
2
d
d
h
D
vs Ds
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 202 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
Solución de la ecuación diferencial,despejando y separando variables
tg2mD
D
h
h2
2
s dd
Integrando
Ctetg2mD
Dh2
2
2
s
Condición de contornoa t 0 h h0 H
Y se obtiene la constante
H2Cte
La solución es
tg2mD
DH2h2
2
2
s
En forma adimensional
tH2
g
D
Dm1
H
h2
2
s
3.01 a)
Verificación
a t 0 h H
a h 0
g
H2
D
D
m
1t
2
s
2
“Constante” de tiempo del sistema
3.01 b) Caso del cilindro horizontal
Nuevo volumen de control
Relación constitutiva
La altura del líquido en el tanque
cos2
D
2
Dh
y
D
h21arcos
send
d
2
Dh
2
22
D
h4
D
h41 cossen
El volumen, es el área del seg-
mento por la altura
H2
D
2
D
4
DV
2
cossen
cossen4
HDV
2
h
D cos
/2
D
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 203 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
22
2
14
HDVcossen
d
d
4
2HD 22
sen
Con respecto a la altura
h
V
h
V
d
d
d
d
d
d
sen
sen
d
d
D
2
2
HD
h
V 22
Sustituyéndola en la ecuación dife-rencial del modelo y simplificándola,con densidad constante
gh2mD4t
hDH 2
s
d
dsen
Reunión de constantes
2
g
H4
mDk
2
s m3/2/s
Sustituyendo las últimas ecuacionesy separando variables
tkhhD dd
Integrando
CtekthD3
22
3
Condición de contorno
a t 0 h h0 D
y 0Cte
La solución es
3
2
2
s t2g
HmD
23Dh
En forma adimensional
3
2
2
s tD2
g
DH
mD
2
31
D
h
3.01 b)
3.01 c) Caso del cono
Volumen de control para el caso
Relaciones constitutivas
La altura del líquido en el tanque
D
r 2
H
h (Thales)
El volumen
3
2
22 h
H
D
12hr
3
1V
2
2
2
hH4
D
h
V
d
d
h
D
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 204 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
Sustituyéndola en la ecuación dife-rencial del modelo, con densidad
constante
2
22
s
2
D
Hg2mD
t
h
h
h
d
d
Reunión de constantes
2
s
D
HDg2mk
m5/2/s
Sustituyendo y separando variables
tkhh2
3
dd
Integrando
Ctekth5
22
5
Condición de contornoa t 0 h h0 H
y2
5
H5
2Cte
La solución es
5
2
2
22
s2
5
t2
g
D
HmD5Hh
En forma adimensional
5
2
2
2
s tH2
g
D
mD51
H
h
3.01 c)
3.01 d) Caso de la esfera
Volumen de control para el caso d)
Relaciones constitutivas
El volumen del casquete esféricoes
hD2
3h
3
1V 2
2hDhhV
dd
Sustituyéndola en la ecuación dife-
rencial del modelo, con constante
gh2mD4
1
t
hhDh 2
s
2 d
d
Reunión de constantes
2
g
2
mDk
2
s m5/2/s
Sustituyendo y separando variables
tkhhDh 2
3
2
1
dd
D
h
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 205 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
Integrando
Ctekth52Dh
32 2
5
2
3
Condición de contorno
a t 0 h h0 D
y2
5
D15
4Cte
La solución es
2
5
2
5
2
3
D15
4kth
5
2Dh
3
2
en forma adimensional
2
5
2
3
D
h3
D
h5
tD2
g
D2
Dm152
2
s
3.01 d)
3.02 Tanques conectados
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientesh A: altura del líquido, en el
tanque A mhB: altura del líquido, en el
tanque B mvs: velocidad por el conducto,
m/s
Variables intermediasV A: volumen del líquido,
en el tanque A m3 VB: volumen del líquido,
en el tanque B m3
Variables fijasD A: diámetro del tanque A, mDB: diámetro del tanque B, mD0: diámetro del conducto
intermedio, m
Parámetros
: densidad del fluido, kg/m3 m: coeficiente de fricción, adim.
D A
h A
DB
V A VB hB
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 206 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
Condición de contorno
a t 0 h A h A0 y hB hB0
Relaciones constitutivas
B As hhg2mv 2
04s D A
A
2
A4 A hDV B
2
B4B hDV
Condiciones del modelo
constante
m 1.
Balance de masa total, en el tanque A
VA FE FS
t
VVA A
d
d (1/s) (m3) (kg/m3)
0FE
ssv AFS (kg/m3) (m2) (m/s)
Con lo que
ss
A v At
V
d
d
Sustituyendo las relaciones consti-
tutivas, con constante.
B A
2
0 A2
A hhg2mDt
hD
d
d
Como se tienen dos variablesdependientes se requiere de otraecuación.
Balance de masa total, en el tanqueB
VA FE FS
t
VVA B
d
d (1/s) (m3) (kg/m3)
ssv AFE (kg/m3) (m2) (m/s)
0FS
Con lo que
ssB v At
V d
d
Sustituyendo las relaciones consti-
tutivas con constante
B A
2
0B2
B hhg2mDt
hD
d
d
Sumando ambas ecuaciones, paraevaluar hB en términos de h A.
0
t
hD
t
hD A2
AB2
B d
d
d
d
Integrando la ecuación
1 A2 AB
2B CtehDhD
Evaluando la constante con las con-diciones de contorno
0 A2 A0B
2B1 hDhDCte
se tiene
0B A0 A2
B
2
AB hhh
D
Dh
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 207 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
Reunión de constantes
g2mDDk 2
A
2
0 m1/2/s
2
B
2
A
D
D1a adim.
0B0 A2
B
2
A hhD
Db m
Sustituyéndolas en la ecuación dife-
rencial del balance en el tanque A.
bahkt
h A
A d
d
Separando variables
tkbah
h
A
A dd
Integrando
2 A Ctektbaha
2
Condición de contorno
a t 0 h h A0
y 0B0 A2 hha
2Cte
La solución es
0 A
0B
0 A
A
0 A
A
2
B
2
A
h
h
h
h1
h
h
D
D
th2
g
D
1
D
1mD
0 A
2
B
2
A
2
0
El tiempo, te, en que las alturas delos líquidos, en sendos tanques, son
iguales, con
a
b
1D
D
hhD
D
hh
2
B
2
A
0B0 A2
B
2
A
AB
Es decir, el tiempo en que se al-canza el equilibrio mecánico, es
2
B
2
A
2
0
0B0 A
e
D
1
D
1mD
g
hh2
t
3.02
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 222/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 208 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
3.03 Descenso en paracaídas
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientesF: fuerza neta, N
v vy: velocidad, m/s
Variable fijam: masa del sistema, kg
Parámetrok: coeficiente de fricción, kg/m
Condición de contorno
a t 0 v v0
Condición de contorno adicional
a t v v
Relaciones constitutivas
mgPeso 2kvFricción
Condiciones del modelok constanteTodos los efectos de resistenciase representan por kv2.
Balance de fuerza-cantidad de mo-vimiento
VA FE FS + F
t
mvVA
d
d (1/s) (kg) (m/s)
0FE 0FS
FricciónPesoF (N)
Con lo que
FricciónPeso
t
mv
d
d
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas
2kvmgt
mv
d
d
Solución de la ecuación diferencial
Con k constante, separando varia-bles
tm
k
k
mgv
v
2
dd
Reunión de constantes
k
mgv m/s
Quedando
tv
g
vv
v222
dd
F+
Fricción
Peso
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 209 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
Integrando, con v v,
Ctetvg
vvvv
v21 2
ln
Con la condición de contorno a
t 0, se obtiene la constante
vv
vv
v2
1Cte
0
0ln
La solución es
tv
g
vv
vv
vv
vv
v2
12
0
0
ln
tv
g2
1vv
1vv
1vv
1vv
0
0 exp
3.03
Verificación
Cuando
0t 11vv
1vv
1vv
1vv
0
0
y 0vv
Cuando
t 01vv
1vv
1vv
1vv
0
0
yk
mgvv
3.04 Cinta elástica
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientesF: fuerza neta, Nv = vy: velocidad, m/sx = desplazamiento, m
Variable fijam: masa del sistema, kg
Parámetrosk: coeficiente del resorte, N/ma: coeficiente de la fuerza, N
: frecuencia de la fuerza, rad/s
Condiciones de contornoa t 0 x 0 v 0
Relaciones constitutivas
Velocidadt
xv
d
d
Peso mgW
Fuerza reactiva kxR
Fuerza externa taF cos
F+
F reactiva
F peso
F externa
apoyo
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 210 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
Condiciones del modelo
k, a y constantes
Efectos de resistencia o friccióndespreciablesSe desprecia el peso de la cinta
Balance de fuerza-cantidad de mo-vimiento
VA FE FS + F
t
mvVA
d
d (1/s) (kg) (m/s)
0FE 0FS
RFWF (N)
con lo que
RFW
t
mv
d
d
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas
kxtamgt
xm
t
cos
d
d
d
d
Solución de la ecuación diferencial
Con los parámetros constantes ydespreciando el peso de la cinta,se arregla la ecuación
tm
ax
m
k
t
x2
2
cosd
d
Reunión de constantesNo es útil en este caso
Resolviendo la ecuación diferenciallineal de segundo orden
t
m
kCtet
m
kCtex 21 cossen
2mk
ta
cos
Con la condiciones de contorno seobtienen las constantes
a t 0 x 0 22mkaCte
a t 0 v 0
t
m
k
m
kCte
t
xv 1 cos
d
d
22
mk
tat
m
k
m
kCte
sensen
0Cte1
La solución es
tt
m
k
mk
ax
2coscos
3.04)
Frecuencia de resonancia
Cuandom
k x
Verificación, cuando
0t 0x y 0v
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 211 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
3.05 Cilindro cohete
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientesF: fuerza neta, Nv: velocidad del cilindro, m/s
m: masa del sistema, kgx: desplazamiento, m
Variables fijasu: velocidad del gas a la
salida, m/s As: área del orificio de
salida del gas, m2 V0: capacidad del cilindro, m3
Parámetros: densidad del líquido enel depósito, kg/m3
: densidad del gas quesale, kg/m3
Condición de contorno
a t 0 v v0 m m0
Relaciones constitutivas
Velocidad: t
xv
d
d
Masa que sale u Am SS
Peso mgW
Fuerza boyante gVB 0
Condiciones del modelo
y constantesFricción o resistencia al movi-
miento, despreciable.
Balance de fuerza-cantidad de mo-vimiento
VA FE FS + F
t
mvVA
d
d (1/s) (kg) (m/s)
0FE
umFS S (kg/s) (m/s)
BWF (N)
Con lo que
umBW
t
mvS
d
d
Sustituyendo las relaciones consti-
tutivas y arreglando
uu AgVmg
t
mvS0
d
d
u
F+ W
B
v
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 212 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
Caso 3.05 a) Considerando el flujode masa a la salida apreciable.
La masa de la sustancia, entonces,varía y se necesita un balance demasa total.
VA FE FS
t
mVA
d
d (1/s) (kg)
0FE
SmFS (kg/s)
Con lo que
Sm
t
m
d
d
Sustituyendo las relaciones cons-titutivas y arreglando, con u y
parámetros constantes
u A
t
mS
d
d
Solución de la ecuación diferencial
1S Cteut Am
Con la condición de contorno at = 0, se obtiene la constante
01 mCte
La masa es
ut Amm S0
Sustituyendo la masa en laecuación de fuerza cantidad de
movimiento
uu AgVmg
t
mv
t
vm S0
d
d
d
d
ut Am
u AgVgv
ut Am
u A
t
v
S0
2
S0
S0
S
d
d
Resolviendo
tut Amgut Amv S0S0 d
tu AgV 2
S0 d
Integrando
2
tu Atmgut Amv
2
S0S0
1
2
S0 Ctetu AgV
Con la condición de contorno at = 0, se obtiene la constante
001 mvCte
La solución es
t
xv
d
d
ut Am
tgVu Agm2
tu Agmv
S0
0
2
S0
2
S00
En términos de la distancia x,
22
S
2
0
S
0
S
02
Cteu A4
gm3t
u A2
gm5
u A
gVu
4
gtx
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 213 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
ut Am
u A
mv
u A2
gm
u A
gVm
A
mS0
S
00
2
S
2
0
2
S
00
S
0
ln
Con la condición de contorno
a t 0 x x0 0
2
S
2
02
u A4
gm3Cte
0
S
00
2
S
2
0
2
S
00
S
0 mu A
mv
u A2
gm
u A
gVm
A
mln
Sustituyendo la constante se obtie-ne la solución
tu A2
gm5
u A
gVu
4
gtx
S
0
S
02
u A
mv
u A2
gm
u A
gVm
A
m
S
00
2
S
20
2
S
00
S
0
0
S
m
ut A1ln
3.05 a)
Caso 3.05 b) Considerando el flujode masa a la salida despreciable.
La masa de la sustancia, entonces,es, prácticamente, constante
La masa es
0S0 mut Amm
Sustituyendo la masa en laecuación de fuerza cantidad de
movimiento
uu AgVgm
t
vm S000
d
d
Arreglando
0
0
0
2
S
m
gV
m
u Ag
t
v
d
d
Resolviendo, con la condición decontorno
a t 0 x v0
0
0
0
0
2
S vtm
gV
m
u Ag
t
xv
d
d
En términos de la distancia x, con lacondición de contorno
a t 0 x x0 0
tv2
t
m
gV
m
u Agx 0
2
0
0
0
2
S
3.05 b)
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 214 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
3.06 Enfriamiento de una bola demetal
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientesTB: temperatura de la bola, KTL: temperatura del líquido
que rodea la bola, K
Variables fijasmB: masa de la bola, kgmL: masa del líquido, kg
A: área de contacto entrela bola y el líquido, m2
ParámetroscB: capacidad calorífica, a
volumen constante, del
material de la bola, kJ/kg KcL: capacidad calorífica, avolumen constante, dellíquido, kJ/kg K
hL: coeficiente de transferenciade calor del líquido, kW/m2 K
Condición de contorno
a t 0 TB TB0 TL TL0
Relaciones constitutivas
Ref
TTmcE
f s TThAQ
Tc c
Condiciones del modelo Agitación perfecta, T homogéneaTB no varía con el radio de la bola
(k o hf Vs(ks As) 0,1)cB y cL constantes
TB > TL Transferencia de calor al medio
despreciable
Balance de energía en la bola, B
VA FE FS + RP RC
t
EVA B
d
d (1/s) (kJ)
0FE QFS kW
Con lo que
Q
t
EB d
d
Balance de energía en el líquido, L
VA FE FS + RP RC
t
EVA L
d
d (1/s) (kJ)
QFE kW0FS
Con lo que
Qt
EL d
d
mB
TB
mL
TL
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 229/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 215 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas,
LBBBB TThA
t
Tcm
d
d
LB
LLL TThAt
Tcm
d
d
Con parámetros constantes
LB
L
LL
B
BB TThAt
T
cmt
T
cm d
d
d
d
Solución de la ecuación diferencial
Para encontrar una relación entrelas temperaturas de la bola y dellíquido se resuelve las dos primerasecuaciones.
t
Tcm
t
Tcm L
LLB
BBd
d
d
d
Integrando
1LLLBBB CteTcmTcm
Condición de contorno
a t 0 TB TB0 TL TL0
0LLL0BBB1 TcmTcmCte
Resolviendo para TL
B0B
LL
BB0LL TT
cm
cmTT
Sustituyéndola en el balance deenergía
t
Tcm B
BBd
d
0LB0B
LL
BBB TTT
cm
cmThA
Reunión de constantes
LLBB cm
1
cm
1hA
1/s
LLBB
0LLL0BBB
cmcm
TcmTcmT
K
Con lo que
B
B TTt
T
d
d
Despejando y separando variables
tTT
T
B
B dd
Integrando
2
B Ctet1
TT
ln
Se obtiene la constante con la con-dición de contorno
a t 0 TB TB0
0B2 TTCte ln
El resultado es
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 230/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 216 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
t1TT
1TT
0B
B
exp 3.06
Verificación
a t 0 TB TB0
a t TB T (Equilibrio térmico)
3.07 Calentamiento “batch”
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientesT: temperatura de la solu-
cuón en el tanque, K
Variables fijas
TV: temperatura del vaporcondensante dentro delserpentín K
m: masa de la solución, kg A0: área de transferencia
de calor, m2
Parámetrosc: capacidad calorífica, a
volumen constante, de la
solución, kJ/kg KU0: coeficiente global de
transferencia de calor delsistema,basado en A0
kW/m2 K
Condición de contorno
a t 0 T T0
TV
m
T
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 231/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 217 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
Relaciones constitutivas
Ref
TTmcE
2f 1f 00 TT AUQ
n
V0 TTU , empírica
Tc c
Condiciones del modelo Agitación perfecta, T homogéneaTV, la temperatura del fluido
térmico, no varíac constanteTV > T
y n constantes
Balance de energía en la solución
VA FE FS + RP RC
t
EVA
d
d (1/s) (kJ)
QFE kW0FS
Con lo que
Q
t
E d
d
Sustituyendo las relaciones consti-
tutivas
1n
V0Ref TT A
t
TTmc
d
d
Con parámetros constantes
1n
V0 TT At
Tmc
d
d
Solución de la ecuación diferencial
Reunión de constantes
mc
A0 1/Kn s
Arreglando y separando variables
tTT
T1n
V
dd
Integrando
Ctet
n
TTn
BV
Condición de contorno
a t 0 T T0
n
TTCte
n
0V
Sustituyéndola y arreglando seobtiene la solución
n
0V
n
V TTtnTT
En forma adimensional
tmc
TT An1TT1TT1
n
0V0
n
V
V0
/
/
3.07
Verificación
a t 0 T T0
a t T TV
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 232/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 218 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
3.08 Calentamiento continuo
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientesT: temperatura del líquido
en el tanque, K
Variables fijasTV: temperatura del vapor
que rodea el tanque, KM: masa del líquido, kg
A0: área de de transferenciade calor, m2
TE: temperatura del líquido
a la entrada del tanque, KG: flujo de masa a la entradadel tanque, kg/s
Parámetrosc: capacidad calorífica, a
volumen constante, dellíquido, kJ/kg K
U0: coeficiente de transferen-cia de calor del sistema,
basado en A0 kW/m2
K
Condición de contorno
a t 0 T T0 TE
Relaciones constitutivas
fgRef uTTcu
Ref P TTch
2f 1f 00 TT AUQ
Tc c
PTc PP ,c
sustanciasagitación,P,T,U0 U
Condiciones del modelo Agitación perfecta, T homogénea
T = TS
TV la temperatura del fluidotérmico no varía
c cP,c y U constantesTV > T A Flujo de entrada y salida cons-
tantes e igual a G
0
t
M
d
d
Flujo total de masa en estadoestacionario
No existe evaporación ni conden-sación en el líquido.
Efectos cinéticos y potencialesdespreciables
G
TE
TV M
T
GS
TS
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 219 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
Balance de energía en el líquido
VA FE FS + RP RC
t
MeVA
d
d (1/s) (kg) (kJ/kg)
EEeGQFE
(kW) + (kg/s) (kJ/kg)
SSeGFS (kg/s) (kJ/kg)
Con lo que
SSEE eGeGQ
tMe
dd
Considerando los efectos cinéticosy potenciales despreciables
SSEE hGhGQ
t
Mu
d
d
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas
TT AU
t
TTMcV00
Ref
d
d
Ref SPSSRef EPEE TTcGTTcG
Con parámetros constantes.
TTGcTT AUt
TMc EPV00 d
d
Solución de la ecuación diferencial
Reunión de constantes
00P AUGc
Mc
s
00P
V00EP
AUGc
T AUTGcT
K
(Que es la temperatura delestado estacionario, térmico)
Sustituyendo y separando variables
t
TT
T dd
Integrando
Ctet
1
TT
ln
Condición de contorno
a t 0 T T0
0TTCte ln
Sustituyéndola y arreglando seobtiene la solución (en formaadimensional)
tTT1
TTTT
0
00 exp/
// 3.08
Verificación
a t 0 T T0
a t T T
Estado estacionario
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 234/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 220 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
3.09 Esterilizador “batch”
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientesT: temperatura del líquido
en el tanque, K
M: masa del líquido, kg A: área de transferencia
de calor, m2
Variables fijasTV: temperatura del vapor
dentro del serpentín, K AL: área de de transferencia
de calor total, m2 TE: temperatura del líquido
a la entrada del tanque, KG: flujo de masa a la entrada
del tanque, kg/sML: capacidad del recipiente, kg
Parámetrosc: capacidad calorífica, a
volumen constante, dellíquido, kJ/kg K
U0: coeficiente de transferen-cia de calor del sistema,
basado en A0 kW/m2
K
Condición de contorno
a t 0 M 0
Relaciones constitutivas
fgRef uTTcu
Ref P TTch
2f 1f 00 TT AUQ
Tc c
PTc PP ,c
sustanciasagitación,P,T,U0 U
DL AL
Condiciones del modelo Agitación perfecta, T homogénea
TV la temperatura del fluidotérmico no varía
c cP,c y U0 constantesTV > T A Flujo total de masa en estado
estacionarioNo existe evaporación ni conden-
sación del líquido
El área de transferencia de calores proporcional a la masapresente en un instante dado
LM
M A A
L
L
mientras el tanque se llenaEl área de transferencia de calor
es igual al área geométrica.
G
TE
TV
M
T
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 221 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
Balance de energía en el líquido
VA FE FS + RP RC
t
MeVA
d
d (1/s) (kg) (kJ/kg)
EEeGQFE
(kW) + (kg/s) (kJ/kg)0FS
Con lo que
EEeGQ
t
Me
d
d
Como la masa varía durante elllenado, se debe hacer un balancede masa total
VA FE FS
t
M
VA d
d
(1/s) (kg)
EGFE (kg/s)
0FS
Con lo que
GG
t
ME
d
d
Resolviendo las ecuaciones dife-renciales, primera la del balance demasa
1CteGtM
Cuando t 0 M M0 0,
entonces 0Cte1
yGtM
Resolviendo la ecuación del balan-ce de energía
EGhQ
t
Mu
t
uM
d
d
d
d
Con las relaciones constitutivas
t
M
TTct
TTc
M Ref Ref
d
d
d
d
Ref EPV
L
L0 TTGcTT
M
MAU
Considerando las condiciones delmodelo y el balance de masa
TTGcTTGt
M
AU
t
TGtc EV
L
L0 d
d
Reunión de constantes
L0
L
AU
cM s
Sustituyendo y arreglando en forma
canónica
VE T
t
TT
1
t
1
t
T
d
d
Integrando, la ecuación diferenciallineal, con el factor integrante
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 222 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico
ttt1
t
1expdexp
Sustituyendo y arreglando
ttTt
expd
d
ttT
tT VE expexp
Integrando
tTttT E expexp
2V CtettT exp
Condición de contorno
a t 0 T , finito
EV2 TTCte
Sustituyéndola y arreglando seobtiene la solución (en formaadimensional)
t
t1
1TT
1TT
VE
V exp
/
/ 3.09
Con GtM
Verificación
a t 0 T y M 0
Cuando se llena el tanque,
a t tL T TL y M ML
G4
LD
G
Mt
2L
L
Gc
AU
Gc
AU1
1T
T
1T
T
L0
L0
V
E
V
L
exp
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 223 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
3.10 Generación de calor
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientesT: temperatura de la masa
en el tanque, K
Variables fijasM: masa dentro del tanque, kgTE: temperatura de la masa
a la entrada del tanque, KG: flujo de masa a la entrada
del tanque, kg/s
TR: temperatura de la masaen el tanque al estadoestacionario, K
Parámetrosc: capacidad calorífica a
volumen constante, kJ/kg KcP: capacidad calorífica a
presión constante, kJ/kg KH0: generación de energía kW/kg
Condición de contorno
a t 0 T T0 TE
Relaciones constitutivas
fgRef uTTcu
Ref P TTch
tHH 0 f
PTc ,c PTc PP ,c
Condiciones del modelo Agitación perfecta, T homogénea
T = TS Pérdidas de de calor al ambiente
despreciables
c cP c y H0 constantesFlujo de entrada y salida cons-
tantes e igual a G
0t
M
d
d
Flujo total de masa en estadoestacionario
No existe evaporación ni conden-sación en el líquido.
Balance de energía en la masa deltanque.
VA FE FS + RP RC
t
MeVA
d
d (1/s) (kg) (kJ/kg)
EEhGFE (kg/s) (kJ/kg)
SShGFS (kg/s) (kJ/kg)
RP MH (kg) (kW/kg)RC 0
GS
TS
G
TE
V
T
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 238/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 224 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Con lo que
MHhGhGt
MeSSEE d
d
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas
tMH
t
TTMc0
Ref f d
d
Ref SPSSRef EPEE TTcGTTcG
Considerando las condiciones delmodelo
tMHTTGc
t
TMc 0EP f
d
d
Reunión de constantes
PGc
Mc s;
c
H0 K/s
Sustituyendo y arreglando en formacanónica
t
TT
1
t
T E f d
d
Integrando, la ecuación diferenciallineal, con el factor integrante
tt1
expd exp
Con lo que se obtiene
tTt
expd
d
tttTE expf exp
Integrando y arreglando
tCteTT E exp
tttt d expf exp
Caso del estado estacionario
0VA
1t f
RS TTT
Con lo que, el balance de energíaqueda
0SSEE MHhGhG0
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas
0MH0
Ref SPSSRef EPEE TTcGTTcG
Considerando las condiciones delmodelo
0REP MHTTGc0
El flujo en estado estacionario es
ERP
0
TTc
MHG
kg/s
Nota:
ER
P
0 TTGc
MH K
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 225 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Caso 3.10 a) f (t) 1
Sustituyendo en la ecuación de latemperatura
tCteTT E exp
ttt d expexp
Efectuando la integral
tCteTT E exp
Condición de contorno
a t 0 T T0
R0E0 TTTTCte
Sustituyéndola y arreglando seobtiene la solución (en formaadimensional)
tTT
TT
R0
R exp 3.10 a)
ER TT
Caso 3.10 b) f (t) = B – A t
Sustituyendo
tCteTT E exp
tt AtBt d expexp
Efectuando la integral
t ABtCteTT E exp
Condición de contorno
a t 0 T T0
ABTTCte E0
Sustituyéndola y arreglándola seobtiene la solución (en formaadimensional)
t
ABGcTMH1
TT
t ABGcT
MH1
T
T
E
0
E
0
E
0
E exp
0 t 3.10 b)
Caso 3.10 c) f (t) = 1 + B exp(– A t)
Sustituyendo en la ecuación de latemperatura
ttCteTT E expexp
tt AtB1 d expexp
Efectuando la integral
tCteTT E exp
A1
AB
1
exp
Condición de contorno
a t 0 T T0
A1
B1TTCte E0
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 226 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Sustituyéndola y arreglando seobtiene la solución (en forma
adimensional)
t
A1
B1
GcT
MH1
T
T
A1
AtB1
GcT
MH1
T
T
E
0
E
0
E
0
E exp
exp
3.10 c)
Verificación
Para los tres casos
a t 0 T T0
Para los casos a) y c)
cuando t 0 T TR
Esta condición no es verificadapara el caso b) y no tiene
sentido físico para t
3.11 Mezclado con acumulación
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientesC: concentración de la
sal A, kg A/m3 V: volumen de la salmuera
en el tanque m3
Variables fijas
EV : flujo de salmuera a la entra-
da, m3/ksCE: concentración de la sal
a la entrada, kg A/m3
SV
: flujo de salmuera a la salida,m3/ks
V : capacidad del tanque m3
Parámetro
: densidad de la solución,kg/m3
SV
CS
EV
CE
VC
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 227 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Condición de contorno
a t 0 C C0 V V0
Relaciones constitutivas
VM
CVM A
E21
S VV
CT, ρ
Condiciones del modelo
Agitación perfecta, C = CS, homo- génea
constante
EV y SV constantes (el último,
tampoco, varía con la alturadel liquido en el tanque)
Balance de la sal, A, en el sistema
VA FE FS + RP RC
t
VCVA
d
d (1/s) (kg A/m3) (m3)
EECVFE (m3/s) (kg A/m3)
SSCVFS (m3/s) (kg A/m3)
RP RC 0
Con lo que
SSEE CVCV
t
VC
d
d
Nota: como existen dos variablesdependientes, se requierendos ecuaciones.
Balance de masa total
VA FE FS
t
VVA
d
d (1/s) (kg/m3) (m3)
EEVFE (kg/m3) (m3/s)
SSVFS (kg/m3) (m3/s)
Obteniéndose
SSEE VVt
V
d
d
Solución de la ecuación diferencial
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas, con la densidad constante.
SE
VVt
V d
d
Integrando
1SE CtetVVV
Condición de contorno
a t 0 V V0 Cte1 V0
Resolviendo
0SE VtVVV
Resolviendo la ecuación delbalance de la sal
CVCV
t
VC
t
CV SEE
d
d
d
d
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 242/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 228 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Sustituyendo el volumen
SE0SE VVCt
CVtVV
d
d
CVCV SEE
Simplificando
0SE
E
E VtVV
V
t
C
CC
1
d
d
Reunión de constantes
E
0
V
V
s
2
1
V
V1
E
S
adim
Sustituyendo y separando variables
t
tCC
CE
d d
Integrando
E 2
1l n C C l n t Ct e
Condición de contorno
a t 0 C C0
lnln1
CCCte 0E2
Sustituyendo y arreglando
E
E 0
C C 1 tl n l n
C C
En forma adimensional
1
E
0 E
C C 11 t
C C 1
t1V
V
0
3.11
Verificación
a t 0 C C0 V V0 Solo tiene sentido físico, hasta que
se llene el recipiente V V
aSE
0
VV
VVt
1
E E 0
0
VC C C C C
V
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 243/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 229 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
3.12 Control de la acidez
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variable dependienteN: concentración del ácido,kmol A/m3
Variables fijasV: volumen de la solución m3
B AE VVV : caudal total a la
entrada m3/ksN0: concentración media del
ácido en el tanque kmol A/m3
P: variación permitida, tolerada,del ácido en el tanque
kmol A/m3
Parámetro
: densidad del líquido, kg/m3
Relaciones constitutivas
VM
NVMäcido
CT, ρ
Condiciones del modelo
Agitación perfecta, N NS, homo- génea
constante
AV , BV y EV constantes (el último,
tampoco, varía con la alturadel liquido en el tanque)
SE VV
0t
M
d
d
Flujo total de masa enestado estacionario
El problema se puede plantear dedos formas
Primera forma
Balance del ácido, en el sistema
VA FE FS + RP RC
t
VNVA
d
d
(1/s) (m3) (kmol A/m3)
0FE SSNVFS (m3/s) (kmol A/m3)
RP RC 0
Con lo que
SSNV
t
VN
d
d
AV
BV
Control
2PV
a t 0
VN
SV
NS
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 244/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 230 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas y con las condiciones del
modelo
NV
t
NV E
d
d
Reunión de constantes
EV
V
s
Sustituyendo y arreglando
N
1
t
N
d
d
Separando variables
t
N
N d d
Integrando
Ctet
N
ln
Condición de contorno
a t 0 C N0 P
Se considera que el procesocomienza cuando ya entró todo elácido.
Con la que se evalúa la constante
PNCte 0 ln
El resultado es
t
PN
N
0
exp 3.12
Segunda forma
Como se adicionan 2PV kmol deácido de una sola vez, al inicio delciclo del proceso, la concentraciónse puede representar por la función
impulso unitaria de Dirac, . Lo queexplica mejor el hecho, es decirtiene más sentido físico.
0t para 0
0t para 1
0t para 0
t
La cual puede ser manejada fácil-
mente con trasformadas de Laplace
Balance del ácido, en el sistema
VA FE FS + RP RC
t
VNVA
d
d (1/s) (kmol A/m3) (m3)
tPV2FE (kmol A/m3) (m3) (1/s)
SSNVFS (m3/s) (kmol A/m3)RP RC 0
Con lo que
SSNVtPV2
t
VN
d
d
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 245/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 231 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas y con las condiciones del
modelo
NVtPV2
t
NV E
d
d
Reunión de constantes
EV
V
s
Sustituyendo y arreglando
tP2N
1
t
N
d
d
Aplicando trasformadas de Laplace
tP2N
1
t
N
LL
d
d L
Si NsNtNN ~~LL
P2NNNs0t
~~
Condición de inicial
a t 0 N N0 P
Nótese que se considera que elproceso comienza cuando termina
el ciclo anterior y se vierte el ácidoen ese momento.
Sustituyendo
P2NPNNs 0 ~~
Despejando la transformada de La-place de la variable dependiente
1s
PNN 0~
Obteniendo la trasformada inversade Laplace, con ayuda de un ma-nual de fórmulas matemáticas
t
PN
N
0
exp 3.12
Verificación
a t 0 N N0 P
El ciclo se forma hasta que laconcentración del ácido es
N N0 P
a un tiempo, tR, de reposición
PN1PN1t
0
0R ln
que es el nuevo inicio del proceso.
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 232 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
3.13 Mezclado en dos tanques
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientesC A: concentración del soluto
en el tanque A kgS/m3
V A: volumen de la soluciónen el tanque A m3
CB: concentración del solutoen el tanque B kgS/m3
VB: volumen de la soluciónen el tanque B m3
Variables fijas
AV : flujo de la solución a la
salida del tanque A, m3/ks
BV : flujo de la solución a la
salida del tanque B, m3/ks
Parámetro
: densidad del líquido, kg/m3
Condiciones de contorno
a t 0
C C A0 V V A0 V0
y C CB0 V VB0 V0
Relaciones constitutivas
VM
A A A VCM BBB VCM
AB V2V
CT, ρ
Condiciones del modelo Agitación perfecta, C A y CB,
homogéneas
constante
AV > BV y constantes
tampoco, varían con la alturadel líquido en el tanque
Nótese que con cuatro variables depen-
dientes, se necesitan cuatro ecuaciones,debe tenerse en cuenta que no seancombinación lineal ente sí.
Balance del soluto en el sistema
VA FE FS + RP RC
en el tanque A en el tanque B
t
CVVA A A
d
d
t
CV BB
d
d
(1/s) (kg A/m3) (m3)
BBCVFE A ACV
(m3/s) (kg A/m3)
A ACVFS BBCV
(m3/s) (kg A/m3)RP RC 0 RP RC 0
BV
V A C A
AV
VB CB
AB
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 233 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Con lo que
A ABB A A CVCV
tCV
d d (i)
BB A A
BB CVCVt
CV
d
d (ii)
Balance de masa total en el sistema
VA FE FS
en el tanque A en el tanque B
t
VVA A A
d
d
t
VBB
d
d
(1/s) (kg/m3) (m3)
BBVFE A AV
(m3/s) (kg/m3)
A AVFS BBV
(m3/s) (kg/m3)
Con lo que
A ABB
A A VVt
V
d
d (iii)
BB A A
BB VVt
V
d
d (iv)
Solución del sistema de ecuacionesdiferenciales
Sumando los balances totales (iii yiv), suponiendo densidad constante
0
t
V
t
V B A d
d
d
d
Integrando
1B A
CteVV
Condición de contorno
a t 0 V A V A0 VB VB0
0B0 A1 VVCte
Con lo que, despejando para VB
A0B0 AB VVVV (v)
Sumando los balances de soluto (i yii),
0
t
CV
t
CV BB A A d
d
d
d
Integrando
2BB A A CteCVCV
Condición de contorno, a t 0
0B0B0 A0 A2 CVCVCte
Sustituyendo y despejando para CB
A0B0 A
A A0B0B0 A0 AB
VVV
CVCVCVC
(vi)
Continuando con la resolución delsistema, ahora con la ecuación delbalance de masa total en el tanque A (iii), considerando la densidadconstante.
AB
A VVt
V
d
d (vii)
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 234 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Integrando esta ecuación (vii)
3 AB A CtetVVV
Condición de contorno
a t 0 V V A0 Cte3 V A0
Sustituyendo
0 A AB A VtVVV (viii)
Usando la ecuación del balance desoluto en el tanque A (i)
A ABB
A A
A A CVCV
t
VC
t
CV
d
d
d
d
Sustituyendo las ecuaciones: viii,para V A, vii para d (V A)/d t y vi paraCB, y arreglando, se tiene
t
C A
d
d
tVVVtVVV
CVVCVCVV
AB0 A AB0B
A0B0 A0B0B0 A0 AB
Reunión de constantes
AB
0 A AVV
V
s
AB
0BB
VV
V
s
0B0 A
0B0B0 A0 AM
VV
CVCVC
kgS/m3
2VV
V
AB
B
adim.
Sustituyendo y separando variables
AB
B A
M A tt
t
CC
C
d d
Integrando
4
A
BM A Cte
t
tCC lnlnln
Condición de contorno
a t 0 C C A0
A
BM0 A4 CCCte lnlnln
Sustituyendo y arreglando
t
t
CC
CC
A
B
B
A
M0 A
M A lnln
O bien
A
B
M0 A
M A
t1
t1
1CC
1CC 3.13
Verificación
a t 0 C C A0
Para C A CM t B
La mezcla es homogénea y el volumenen el tanque A es, de la ecuación viii
V A VB0 V A0
La concentración llega a ser igual,cuando toda la solución está en eltanque A.
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 235 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
3.14 Flujo contaminado
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientesC: concentración del conta-,
minante, C kgC/kgVariables fijas
M: masa total en el tanquekg
CE: concentración del contami-nante a la entrada, duranteun periodo T kgC/kg
m : flujo de masa total a laentrada, kg/s
T: periodo de contaminacións
Condición de contorno
a t 0 C C0 0
Relación constitutiva
MCMC
Condiciones del modelo Agitación perfecta, C = CS, homo-
géneammE
y Sm constantes (el
último, tampoco, varía conla altura del liquido en el
tanque)Flujo de entrada y salida cons-
tantes e iguales
0
t
M
d
d
flujo total de masa en estadoestacionario
El problema se puede plantear dedos formas
Primera forma
Se considera el proceso en dosetapas, una durante la contamina-ción y otra después, en la que sediluye el contaminante.
Balance del contaminante, C, en elsistema, durante el periodo decontaminación
0 < t < TVA FE FS + RP RC
t
MCVA
d
d (1/s) (kg) (kgC/kg)
EECmFE (kg/s) (kgC/kg)
SSCmFS (kg/s) (kgC/kg)
RP RC 0
m
CC
MC
Sm
CS
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 236 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Con lo que
SSEE CmCmt
MC d
d
Tomando en cuenta las condicionesdel modelo
CmCm
t
CM E
d
d
Reunión de constantes
mM s
Sustituyendo y separando variables
t
CC
C
E
d d
Integrando
1E CtetCC ln
Condición de contorno
a t 0 C C0 0
E1 CCte ln
Sustituyendo y arreglando
t1C
C
E
exp
La concentración al final del periodode contaminación es
a t T
T1CCC ET exp
Que es el inicio de la segunda eta-pa, el proceso de dilución.
T < t <
VA FE FS + RP RC
t
MCVA
d
d (1/s) (kg) (kgC/kg)
0FE
SSCmFS (kg/s) (kgC/kg)
RP RC 0
Con lo que
SSCm
t
MC
d
d
Tomando en cuenta las condiciones
del modelo y la definición de , yseparando variables
t
C
C d d
Integrando
2Ctet
C
ln
Condición de contorno
a t T C CT
T2 CCte ln
Con lo que
tC
C
T
exp
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 237 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Sustituyendo CT,
t1TCC
E
expexp
para t > T3.14
t1C
C
E
exp
para 0 < t < T
Verificación
a t 0 C C0 0
a t T
T1CC ET exp
a t C 0
Segunda forma
Como se adiciona el contaminantepor un periodo T, se puede expresarla entrada mediante la función esca-lón de Heaviside. Lo que explicamejor el hecho.
0t para 1
0t para 0
tu
y
Tt para 1
Tt para 0Ttu
La cual puede ser manejada fácil-mente con trasformadas de Laplace
Balance del contaminante, en elsistema
VA FE FS + RP RC
t
MCVA
d
d (1/s) (kg) (kgC/kg)
TttCmFE EE uu
(kg/s) (kgC/kg)
Nótese que
para 0 t T EECmFE
para t T 0FE
SSCmFS (kg/s) (kgC/kg)
RP RC 0
Con lo que
SSEE CmTttCm
t
MC uu
d
d
Considerando las condiciones delmodelo
CmTttCm
t
CM E
uud
d
Reunión de constantes
mM s
Sustituyendo y separando variables
Ttt
CC
1
t
C E
uud
d
Aplicando trasformadas de Laplace
Tt
Ct
CC
1
t
C EE uLuLLd
d L
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 238 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Si NsNtCC~~
LL
Con la condición de inicial
a t 0 C C0 0
s
Ts
s
s0CC
1CCs E
0t
expexp~~
Simplificando y aplicando la técnica defracciones parciales
1s
Ts
s
Ts
1s
1
s
1
C
C
E
expexp~
Obteniendo la trasformada inversa deLaplace, con ayuda de un ma-nual defórmulas matemáticas.
t
ttC
C
E
expuu
TtTtTt expuu
Factorizando
tt
1C
C
E
uexp
3.14
TtTt
1
uexp
Que es, en otras palabras,
t1TC
C
E
expexp para t > T
t1C
C
E
exp para 0 < t < T
3.15 Dilución de almidón
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientesxI: concentración de almidón
en el tanque I kg A/kgxII: concentración de almidón
en el tanque II kg A/kg
Variables fijasVI: volumen de la solución
en el tanque I m3 VII: volumen de la solución
en el tanque II m3
EVV : flujo de la solución
a la entrada al sistemam3/ks
Parámetro
: densidad del líquido, kg/m3
Condiciones de contorno
a t 0 x xI0 x xII0
VI xI
V
VII XII
EV
xE
SV
xS
I
II
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 239 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Relaciones constitutivas
VM
VCM A A
xT, ρ
Condiciones del modelo Agitación perfecta,
xSI xI y xSII xII homogéneas
constante
EVV Flujo de entrada cons-tante
Flujo total de masa en estadoestacionario
0
t
V
t
V IIIIII
d
d
d
d
ES VV Flujo de salida
constante e igual al de
entrada; tampoco, varía con laaltura del liquido en el tanque
Balance de almidón en el sistema
VA FE FS + RP RC
en el tanque I en el tanque II
t
VxVA III
d
d
t
Vx IIIIII
d
d
(1/ks) (kg A/kg) (m3) (kg/m3)
0FE SISISIVx
SISISIVxFS SIISIISIIVx
(m3/ks) (kg A/kg) (kg/m3)RP RC 0 RP RC 0
Con lo que
SISISI
III Vxt
Vx
d
d
SIISIISIISISISI
IIIIII VxVxt
Vx
d
d
Solución del sistema de ecuacionesdiferenciales
Tomando en cuenta las condicionesdel modelo y separando variables
Vx
t
xV I
II
d
d
VxVx
t
xV III
IIII
d
d
Reunión de constantes
V
VII
V
VIIII
s
Sustituyendo y arreglando el siste-ma de ecuaciones diferenciales
0x
1
t
xI
I
I
d
d
Resolviendo
t0txII
d expd
Integrando
III Ctetx exp
Condición de contorno
a t 0 xI xI0 Cte I xI0
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 240 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Sustituyendo
I0II
txx exp
Resolviendo la otra ecuación
I0I
II
II
II
II tx1
x1
t
x
exp
d
d
tt11x
tx III
II
0IIIII d expexpd
Integrando
II
III
III
II
0IIIII Cte
11
t11xtx
expexp
Condición de contorno
a t 0 xI xII0
0I
IIIII
0IIII x11
1xCte
Sustituyendo y agrupando
II
0I
II tx
xexp
III
IIIII
0I
0II
1
t11
x
x exp
3.15 a)
I
0I
I txx exp
Caso b)
VI VII V; I II
Se puede obtener con el resultadoanterior y con
III
IIIII
01 1
t11
III
explím
IIIIIII
01tt1t
III
explím
Con lo que se obtiene la ecuación3.15 b). O bien, con el balance dealmidón con las nuevas condicionesdel sistema.
VA FE FS + RP RC
SISISI
III Vxt
Vx
d
d
SIISIISIISISISI
IIIIII VxVxt
Vx
d
d
Tomando en cuenta las condicionesdel modelo y separando variables
Vxt
x
V I
I
d
d
;
VxVxt
x
V III
II
d
d
Resolviendo las ecuaciones en
forma análoga, con IVV
0x
1
t
xI
I
d
d
tx1
x1
t
x0III
II exp
d
d
Entonces
txx 0II exp 3.15 b)
t
t
x
x
x
x
0I
0II
0I
II exp
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 241 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
3.16 Evaporador atmosférico
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientesM: masa de la salmuera
en el tanque kgT: temperatura de la salmuera
en el tanque K
Variables fijasS: área de evaporación, m2 r: energía solar absorbida
W/m2 W: intensidad del flujo del
agua evaporada kg/m2 s
Parámetros, para la salmuerac: capacidad calorífica, J/kgK
: entalpía (calor latente)de vaporización, J/kg
: densidad, kg/m3
Condiciones de contornoa t 0 T T0 M M0
Relaciones constitutivas
Ref TTce K 0TRef
mbiente ATr ,r
ACTc ,c , ACT, λ
Condiciones del modeloTemperatura homogénea en la
salmueraParámetros: r,.c y constantes
no dependen de la tempera-tura ni de la concentración
S, el área de transferencia decalor es igual a la respectivageométrica
Balance de energía en el sistema
VA FE FS + RP RC
t
MeVA
d
d (1/s) (kg) (J/kg)
rSFE (W/m2) (m2) WSFS (kg/m2s) (m2) (J/kg)
RP RC 0
Con lo que
WSrS
t
Me
d
d
Como la masa M varía se efectúaun balance de masa total en elsistema
VA FE FS
tMVA
d d (1/s) (kg)
0FE WSFS (kg/m2s) (m2)
Con lo que
WSt
M
d
d
r w
S
T, M
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 242 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Solución del sistema de ecuacionesdiferenciales
Comenzando con el balance demasa
WSt
M
d
d
Integrando
1CteWStM
Condición de contorno
a t 0 M M0 01 MCte
Con lo que
0MWStM
Resolviendo el balance de energía,
WSrSt
MeteM
d d
d d
Sustituyendo el balance de masa
WSet
eWStM0
d
d
WSrS
Con las relaciones constitutivas
cTWSt
cTWStM0d
d
WSrS
Reunión de constantes
WS
M0 s y
W
r
c
1 K
Sustituyendo y separando variables
t
t
T
T d d
Integrando
2CtetT lnlnln
Condición de contorno
a t 0 T T0
lnlnln 02 TCte
Sustituyendo y arreglando
t
T
T
0
lnln
O bien
MM
t11
1T1T 0
0
3.16
Verificación
a t 0 T T0
a t M 0
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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3.17 Arranque de un evaporador
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientes
x: concentración de la sal S,kgS/kgM: masa de la solución, kg
V : flujo de masa evaporada(a la salida), kg/s
T: temperatura de la solución,K
Variables fijasTV: temperatura de calenta-
miento (serpentín) K A: área de transferencia de
calor m2
Parámetros, para la solucióna, b y c: capacidad calorífica,
J/kgKk y m: temperatura de ebullición
K
: entalpía (calor latente)de vaporización del agua,
kJ/kgU: coeficiente global de trans-
ferencia de calor kW/m2 K
Condiciones de contorno
a t 0 x xF T T0 M M0
Relaciones constitutivas
Ref TTCe ; K 0TRef TTUAQ V
xmkT 2xcxbaC
T λ
etc.agitación,x,T,U U
xT, ρ
Condiciones del modeloTemperatura homogénea en la
salmueraParámetros:
a, b, c, , U, constantesno dependen de la tempera-tura ni de la concentración
A, el área de transferencia decalor es igual a la respectiva
geométricaC cV cP El sistema se mantiene en
ebullición durante el proceso
Balance de energía en el sistema
VA FE FS + RP RC
Sm
xS
Em
xE
Mx
V
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 244 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
t
MeVA
d
d (1/s) (kg) (kJ/kg)
QFE (kW)
VFS (kg/s) (kJ/kg)RP RC 0
Con lo que
VQ
t
Me
d
d
Aunque la energía, e, o mejor dicho latemperatura, T, y la capacidad calorífica,C, cambia con la concentración, comoforman relaciones constitutivas entre sí,no se necesita otro balance de energía.
Como la concentración de la sal y lamasa M varían, se efectúan balan-ces de masa de la sal y total en el
sistemaVA FE FS + RP RC
t
MxVA
d
d (1/s) (kg) (kgS/m3)
0FE 0FS
RP RC 0
La relación es
0
t
Mx
d
d
Balance de masa total
VA FE FS
t
MVA
d
d (1/s) (kg)
0FE
VFS (kg/s)
El balance se representa por
V
t
M
d
d
Solución del balance de masa total
V
t
M
d
d
Integrando
1CtetVM d
Condición de contornoa t 0 M M0 01 MCte
t
00 tVMM d
Solución del balance de sal
0
t
Mx
d
d
Integrando
2CtexM
Condición de contorno
a t 0 x x0 xF M M0
F02 xMCte
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 245 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Con lo que
xxMM F0
Por otro lado, del balance de masatotal
t
x
x
xM
t
MV
2
F0
d
d
d
d
Solución del balance de energía.Sustituyendo las relaciones consti-tutivas
VTTUA
t
TTMCV
Ref
d
d
Poniendo las variables en términosde la concentración, x
xmkxcxbax
xMt
2F0
d d
t
x
x
xMxmkTUA
2
F0V
d
d
Reunión de constantes
m VTk
ka mbkc
mc2 AUxM F0
Sustituyendo, queda
t
1x
xx
xx2
32
d d
Integrando, con la condición decontorno
a t 0 x xF
F
F
xxx
1
x
1
F
22 x
xln
t
xxF
2ln
3.17
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3.18 Concentrador “semibatch”
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientes
x: concentración de ácidoen el tanque kg A/kg
M: masa de la solución kgF: flujo de la solución a
la entrada al sistema kg/s
Variables fijasxF: concentración de ácido
a la entrada, kg A/kg
Q : flujo de calor, kWT: temperatura del sistema,
K
Parámetro0
0H : entalpía de la solución,
estándar kJ/kg
Condiciones de contorno
a t 0 x x0 M M0
Relaciones constitutivas
2x1x1xHh
20
0 TTUAQ S
etc.agitación,x,T,U U
Condiciones del modeloTemperatura homogénea en la
solución
Parámetros: y U constantes0
0H constante
Q constante
e h, es decir cP cV Pérdidas de calor al medio,
despreciablesTrabajo o potencia que entra
al sistema, despreciablesNo hay evaporación
A, el área de transferencia decalor es igual a la respectivageométrica.
Balance de masa total
VA FE FS
t
MVA
d
d (1/s) (kg)
FFE (kg/s)0FS
Con lo que
F
t
M
d
d
FxE
Mx
Q
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 247 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Balance de masa del ácido
VA FE FS + RP RC
t
MxVA
d
d (1/s) (kg) (kg A/kg)
FFxFE (kg/s) (kg A/kg)
0FS RP RC 0
Con lo que
FFx
t
Mx
d
d
Balance de energía en el sistema
VA FE FS + RP RC
t
MeVA
d
d (1/s) (kg) (kJ/kg)
FFeFE (kg/s) (kJ/kg)
QFS (kW)
RP RC 0
Con lo que
QFe
t
MeF
d
d
Solución del sistema de ecuacionesdiferenciales
El balance de masa total,
F
t
M
d
d
Integrando
1CtetFM d
Condiciones de contorno
a t 0 M M0 01 MCte
0
t
0MtFM d
El balance del ácido,
FFx
t
Mx d
d
Sustituyendo la relación para F
Fx
t
M
t
Mx
d
d
d
d
Integrando
2F CteMxMx
Condiciones de contorno
a t 0 x x0 M M0
F002 xxMCte
Sustituyendo queda
F
F0
0 xxxx
MM
Y, el balance de energía
QFe
t
MeF
d
d
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 262/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 248 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Con e h y la relación de F
Qht
M
t
MhF
d
d
d
d
Integrando, con el flujo de calorconstante,
3F CtetQMhMh
Condiciones de contorno
a t 0 x x0 M M0 F003 hhMCte
Sustituyendo
F00F hhMtQhhM
Arreglando
F
F0
F
F0
0 xxxx
hhtQhh
MM
Sustituyendo la relación par h entérminos de la concentración.
F
F20
0
xx
h2x1x1xH
F0
0
F0
xx
tMQhh
3.13Con
2x1x1xHh F
2
FF
0
0F
2x1x1xHh 0
2
00
0
00
La concentración no queda explícita
Despejando el tiempo
F00 hh
Q
Mt
F
20
0
F
F0 h2x1x1xHxx
xx
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 249 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
3.19 Descomposición de almidón
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variable dependientex A: concentración del almidón, A
kg A/kgVariable fija
M: masa de la solución, kg
Parámetrok: coeficiente de velocidad
(tasa) de reacción, 1/s
Condición de contorno
a t 0 x A x A0
Relación constitutiva
Mkxr A A
Condiciones del modelo Agitación perfecta: concentración
homogéneaParámetro: k constante, durante
el proceso
Proceso “batch”, masa M cons-tante
Balance de masa del almidón en elsistema
VA FE FS + RP RC
t
MxVA A
d
d (1/s) (kg) (kg A/kg)
0FE 0FS
RP 0 RC r (kg A/kg s) (kg)
Con lo que
A
A r t
Mx
d
d
Sustituyendo la relación constitu-
tiva, para la cinética de la reacción
A
A kMxt
Mx
d
d
Solución de la ecuación diferencial,considerando la masa, M, constante
0kxt
x A
A
d
d
Con el factor integrante, se tiene
Ctektx A exp
Condición de contorno
a t 0 x A x A0 Cte x A0
Mx
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 250 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Sustituyendo y arreglando
ktxx
0 A
A exp 3.19
Verificación
a t 0 x A x A0
a t x A 0
3.20 Reacción con densidad varia-ble
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientes
C: concentración de lasustancia A, kmol A/m3
V: volumen de la solución, m3
Variable fijaM: masa de la solución
en el tanque, kg
Parámetrosk: coeficiente de velocidad
de reacción, m3
/kmol A s y 0: densidad, kmol/m3
: parámetro de la densidad,m3/kmol
Condición de contorno
a t 0 C C0
VC
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 251 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Relaciones constitutivas
RXN: A Productos
2
A kCR
Tk k
C10
T0 0 ρ Tα
Condiciones del modelo Agitación perfecta: concentración
homogéneaParámetro: k constante, durante
el procesoProceso “batch”, masa M
constanteReacción de segundo orden
mono-molecular para A
k, 0 y , constantes
Balance de masa de A en el sistema
VA FE FS + RP RC
t
VCVA
d
d (1/s) (m3) (kmol/m3)
0FE 0FS
RP 0
ARC R V (m3/kmol A s) (m3)
Con lo que
VR
t
VC A
d
d
Sustituyendo la relación constitutivay desarrollando la derivada del pro-
ducto.
0kC
t
V
V
C
t
C 2 d
d
d
d
Balance de masa de total
0
t
V
t
MVA
d
d
d
d
Como la masa del sistema es cons-tante y la densidad varía, entoncesel volumen debe variar, también.Desarrollando el producto y arre-lando
t
1
t
V
V
1
d
d
d
d
Integrando
MCteV1
Sustituyendo estos resultados en larelación para el balance de A
0kC
t
C
t
C 2
d
d
d
d
Por otro lado
C10
Derivando
t
C
C1t 2
0
d
d
d
d
Sustituyendo en la ecuación anteriory separando variables
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 252 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
tkC
C1C
C212
d d
Integrado
2CtektC1
C
C
1
ln
Condición de contorno
a t 0 C C0
0
0
0
2C1
C
C
1Cte ln
con lo que
tkCC1
C1
C
CC
C
C1 0
0
0
00
ln
3.20
Verificación
a t 0 C C0
a t C 0
3.21 Reacciones complejas
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientes
N A: masa de A, kmol A NB: masa de B, kmolB NC: masa de C, kmolC
Variables fijasM: masa de la solución en el
tanque kg
Parámetrosk1, k2, k3, k4,: coeficientes respec-
rivos de reacción 1/s
Condición de contorno
a t 0
N A N A0
NB 0 NC 0
N A NB NC
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 253 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Relaciones constitutivas
III Nkr I = A, B, C
Tk k
Condiciones del modelo Agitación perfecta: concentración
homogéneaParámetros: kI constantes,
durante el procesoProceso “batch”, masa M
constanteReacciones ,I, de primer orden
Balance de masa de cada sustan-cia, componente, en el sistema
VA FE FS + RP RC
Para A
t
NVA A
d
d (1/s) (kmol A)
BRP r (kmol A/s)
RC r (kmol A/s)
0FE 0FS
Con lo que
AB A r r t
N
d
d (I)
Para B
t
NVA B
d
d (1/s) (kmolB)
CRP r r (kmolB/s)
B BRC r r (kmolB/s)
0FE
0FS
Con lo que
BBC A
B r r r r t
N
d
d
(II)
Para C
t
NVA C
d
d (1/s) (kmolC)
BRP r (kmolC/s)
CRC r (kmolC/s)
0FE 0FS
Con lo que
CB
C r r t
N
d
d (III)
Sumando las tres ecuaciones, I, II,y III
0
t
N
t
N
t
N CB A d
d
d
d
d
d (IV)
Integrando
1CB A CteNNN
Condición de contorno
a t 0 N A N A0
NB 0 NC 0 0 A2 NCte
0 ACB A NNNN (V)
A B Ck1
k2 k4
k3
RXN :
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 254 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Solución de las ecuaciones delmodelo, sustituyendo las relacionesconstitutivas
A1B2
A NkNkt
N
d
d (VI)
B3B2C4 A1
B NkNkNkNkt
N
d
d
(VII)
C4B3C NkNkt
N
d
d (VIII)
Para eliminar una variable se derivala ecuación VI
t
Nk
t
Nk
t
N A1
B22
A
2
d
d
d
d
d
d (IX)
Sustituyendo
t
NB
d
d de la ecuación (VII)
NB de la ecuación (VI)
NC de la ecuación (V)
Arreglando con las siguientes cons-tantes
4321 kkkk
4321 kkkk
42 kk
2
41
Se obtiene
0 A A
A
2
A
2
NNt
N
t
N
d
d
d
d (X)
Cuya solución es
2tNN 0 A A exp (XI)
tCtetCte 32 coshsenh
Condición de contorno
a t 0 0 A0t A NN
0 A1
0t
A Nkt
N
d
d
Con la ecuación XI
0 A30 A NCteN
Derivando la ecuación XI
tCte2t
t
N2
A coshexpd
d
tCtetCte 23 senhsenh
2t2tCte3 expcosh
Evaluando a t 0
2CteCteNk 320 A1
Sustituyendo
1
0 A
A k
222t
N
Nexp
t1t coshsenh
3.21
Verificación
a t 0 N A N A0
a t N A N A0
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 255 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
3.22 Esterilizador
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variable dependienteNm: concentración de micro-
organismos, μo/kg
Variables fijasM: masa de la solución, kgG: flujo de masa (caso b),
kg/s
Parámetro
k: coeficiente o tasa dedestrucción, 1/s
Condición de contorno
a t 0 Nm Nm0
Relación constitutiva
m A kNR
Condiciones del modelo Agitación perfecta: concentración
homogéneaDestrucción de microorganismos
de primer ordenParámetro k constante, durante
el procesoFlujo de masa total en estado
estacionario, M constante,
G GS
Caso a) proceso “batch”
Balance de microorganismos en elsistema
VA FE FS + RP RC
t
MNVA m
d
d (1/s) (kg) (μo/kg)
0FE 0FS
RP 0
A ARC r R M (μo/kg s) (kg)
Con lo que
MR
t
MN A
m d
d
Sustituyendo la relación cons-titutiva, para la cinética de ladegradación de microorganismos
m
m kMNt
MN
d
d
Solución de la ecuación diferencial,considerando la masa, M constante
MNm
GNm0
GNmS
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 256 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
0kN
t
Nm
m d
d
Integrando queda
CtektNm exp
Condición de contorno
a t 0 Nm Nm0 Cte Nm0
Sustituyendo y arreglando
ktN
N
0m
m exp 3.22 a)
Verificación
a t 0 x A Nm0
a t x A 0
Caso b) proceso continuo
Balance de masa de microorga-nismos en el sistema
VA FE FS + RP RC
t
MNVA m
d
d (1/s) (kg) (μo/kg)
0mGNFE (kg/s) (μo/kg)
mSSNGFS (kg/s) (μo/kg)
RP 0
A ARC r R M (μo/kg s) (kg
Con lo que
MRNGGN
t
MN AmSS0m
m d
d
Sustituyendo la relación constitu-tiva, para la cinética de degradaciónde microorganismos y aplicando lascondiciones del modelo
mm0m
m kMNGNGNt
NM
d
d
Solución de la ecuación diferencial,considerando la masa, M constante,con
GM s
0mm
m NNk
1
t
N
d
d
Integrando queda
tk
1Nm exp
ttk1N 0m d exp
tk1
Nm exp
Cte
k1
tk1N 0m
exp
Condición de contorno
a t 0 Nm Nm0
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 257 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
k1
NNCte 0m
0m
Sustituyendo y arreglando
k1
NN 0m
m
tk1
k1
NN 0m
0m exp
Simplificando
k1
tk1
k1
N
N
0m
m
exp
3.22 b)
Verificación
a t 0 Nm Nm0
a t Nm Nm01 k
3.23 Arranque de un reactor
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, ks
Variable dependiente
C = C A: concentración de Ainstantánea en el tanquekmol A/m3
Nota: la concentración a la entrada,también varía, pero mediante unarelación constitutiva con el tiempo.
Variable fija
V: volumen de la soluciónen el tanque, m3
Parámetrosk: coeficiente de velocidad
de reacción, 1/ks
C AE, y : coeficientes parala concentración a la entrada
Condición de contorno
a t 0 C C0
eV Ce
VC
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 258 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Relaciones constitutivas
RXN: Productos A
kCR A
TCk ,k tCCe AE f
Condiciones del modelo
Agitación perfecta: concentración
homogénea, C Cs
Reacción de primer ordenParámetros k y constantes,
durante el procesoFlujo total de masa en estado
estacionario, sVeV
V: volumen de la soluciónconstante
Balance de la masa de A, en elsistema
VA FE FS + RP RC
t
CVVA
d
d (1/ks)(m3)
(kmol A/m3)
eCeVFE (m3/ks)(kmol A/m3)
sCsVFS (m3/ks)(kmol A/m3)RP 0
ARC R V (kmol A/m3 ks)(m3)
Con lo que
VRsCsVeCeV
t
CV A
d
d
Solución de la ecuación diferencial
Sustituyendo la relación constitu-tiva, para la cinética de la reacción,y las condiciones del modelo
kCVsCVeCeV
t
CV
d
d
Reunión de constantes
eV
V
ks
Sustituyendo y acomodando comouna ecuación diferencial lineal
Ce
Ck1
t
C
d
d
Con el factor integrante
tk1
Ct
expd
d
tk1Ce
exp
Integrando
tk1Cexp
ttk1Ce
d exp
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 259 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
a) Caso de Ce C AE constante
Sea eVVk1 eVV
Sustituyendo y arreglando la ecua-ción anterior
ttC
tC AE d expexp
Integrando
CtetCtC AE expexp
Condición de contorno
a t 0 C C0
AE
0
CCCte
Sustituyendo y arreglando en formaadimensional
tC
C
CC
AE0
AE
exp 3.23 a)
Verificacióna t 0 C C A C0
a t C C A C AE/
b) Caso de Ce C AE 1 sen t
Sea eVVk1 eVV
Sustituyendo y arreglando la ecua-ción anterior
tCexp
ttt1C AE d expsen
Efectuando la integral, con ayudade un manual de integrales.
tC
tC AE expexp
Cte
ttC
222 AE
cossen
Condición de contorno
a t 0 C C0
222
AE AE0
CCCCte
Sustituyendo y arreglando
222 AE
0
222 AE
1
C
C
tt1
C
C cossen
texp 3.23 b)
Verificación
a t 0 C C0
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 260 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
a t
2
AE
1
tt1
CC
cossen
c) Caso de Ce C AE 1 0 t
Sea eVVk1 eVV
Sustituyendo y arreglando la ecua-ción anterior
tCexp
ttt1C AE d expδ 0
Es mejor resolver la ecuación diferencialpor medio de trasformadas de Laplace
Efectuando la integral
Tomando en cuenta que para lafunción impulso de Dirac
a t 0 Ce C AE
a t 0 Ce C AE 1 0 t
a t 0 Ce C AE
y 10tttt
0 expd expδ 0
Entonces
tC
tC AE expexp
CteC AE
Condición de contorno
a t 0 C C0
AE AE
0
CCCCte
Sustituyendo y arreglando
t1
C
C
1
C
C
AE
0
AE exp 3.23 b)
Verificación
a t 0 C C0 C AE
a t C C AE
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 261 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
3,24 Auditorio
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientesC: concentración de CO2 (A)
en el aire, kmol A/m3
T: temperatura del aire, K
Variables fijas
V: volumen del aire en el cuartom3
Ce: concentración de CO2 en elaire a la entrada, kmol A/m3
Te: temperatura del aire,a la entrada, K
N: número de personas, pers.
Parámetrosk: coeficiente de velocidad de
generación de CO2 m3/kmol A s pers.
G: generación de calor W/pers.
: densidad de la mezclagaseosa, kg/m3
CV: calor especifico de lamezcla gaseosa, J/kg K
Condiciones de contorno
a t 0 C C0 T T0
Relaciones constitutivas
PTkr A ,k
otrosPTG ,,G
REFV TTCe
otrosCPTCV ,,,C V
otrosCPT ,,, ρ
RCCVP
Condiciones del modelo
Masa, C y T, homogénea
Cs C, Ts T
Parámetros: k, , CV Y Gconstantes, durante el proceso
Proceso en estado estacionario
se VV
TREF = 0 KGeneración de CO2, por
el modelo propuestoGeneración de calor, por
el modelo propuesto
a) Balance de masa de CO2
VA FE FS + RP RC
t
CVVA
d
d (1/s)(m3)(kmol A/m3)
eeCVFE (m3/s)(kmol A/m3)
ssCVFS (m3/s)(kmol A/m3)
ARP r N (kmol A/pers. s)(pers.)
RC 0
eV CeTe
VCT
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 262 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Con lo que
NRCVCVtCV
Assee
d d
Solución de la ecuación del balancede masa de A
Sustituyendo la relación constitu-tiva, para la cinética de la reacción,y las condiciones del modelo
kCNCVCV
t
CV eee
d
d
Arreglando con las siguientes cons-tantes
eVV , s
VkN , kmol A/m3 s
eC
1C
1
t
C
d
d
Con el factor integrante
tC1
tCt
e expexpd
d
Integrando
1e CtetC1
tC
expexp
Condición de contorno
a t 0 C C0
e0 CCCte
Sustituyendo y arreglando
tCCCC
e0
e exp
3.24 a)
b) Balance de energía
VA FE FS + RP RC
t
eVVA d
d
(1/s)(kg/m3)(m3)(J/kg)
eee eVFE (kg/m3)(m3/s)(J/kg)
sss eVFS (kg/m3)(m3/s)(J/kg)
RP GN (W/pers.)(pers.)
RC 0
Con lo que
GNeVeV
t
eVssseee
d
d
Solución de la ecuación del balancede energía
Sustituyendo la relación constitu-tiva, para la cinética de la reacción.
GNTVCTVCt
TVCssPeeP
V
d
d
Reuniendo constantes y arreglando
Pe
V
CV
CV
, s
VC
GN
V
, K/s
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 263 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Con las condiciones del modelo
eT
1T
1
t
T
d
d
Con el factor integrante
tT1
tTt
e expexpd
d
Integrando
2e CtetT1tT
expexp
Condición de contorno
a t 0 T T0
e0 TTCte
Sustituyendo, arreglando
tTT
TT
e0
e exp
3.24 b)
Verificación
a t 0 C C0 y T T0
a t C = Ce T = Te
3.25 Reactor de segundo orden
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, ks
Variables dependientesxB: concentración instantánea
de B, kmolB/kmolx A: concentración instantánea
de A, kmol A/kmol
Variables fijasM: masa de la solución
en el tanque kmolR: flujo de masa a la entrada
del tanque kmol/ksxBe = 2 X0: concentración de B
a la entrada, kmolB/kmolx Ae = 4 X0: concentración de A
a la entrada, kmol A/kmol
Parámetrok: coeficiente de velocidad de
de reacciónkmol2/kmol A kmolB ks
x A xB M
x Ae = 4 X0 R
RxBe = 2 X0
xBs 2 R
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 264 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Condición de contorno
a t 0
x A x A0 X0 xB xB0 0
Relaciones constitutivas
B AB A xkxRR
0B0 A xxTk ,,k
Condiciones del modelo Agitación perfecta: concentración
homogénea, xBs = xB Reacción de segundo irreversibleParámetro: k y flujo R constantes,
durante el procesoBalance total de masa en estado
estacionario
Balance de masa de cada sustan-cia, componente, en el sistema
VA FE FS + RP RC
Para B
t
MxVA B
d
d
(1/ks)(kmol)(kmolB/kmol)
0X2RFE
(kmol/ks)(kmolB/kmol)
BxR2FS
(kmol/ks)(kmolB/kmol)RP 0
BRC R M
(kmolB/kmol ks)(kmol)
Con lo que
MRRx2RX2
t
MxBB0
B d
d
Para A
t
MxVA A
d
d
(1/ks)(kmol)(kmol A/kmol)
0X4RFE
(kmol/ks)(kmol A/kmol)
AxR2FS
(kmol/ks)(kmol A/kmol)RP 0
ARC R M
(kmolB/kmol ks)(kmol)
Con lo que
MRRx2RX4
t
Mx A A0
A d
d
Solución del sistema de ecuacionesdiferenciales del modelo, conside-rando sus condiciones y tambiénsustituyendo las relaciones consti-tutivas, con la siguiente constante
R2M , ks
AB0BB xkxXx
1
t
x
d
d
AB0 A
A xkxX2x1
t
x
d
d
Para sustituir x A en términos de xB,se suman ambos balances de masa(Estequiometría)
A B Productosk
RXN :
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 279/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 265 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
0 A
A0B
B X2x1
t
xXx
1
t
x
d
d
d
d
Separando variables con ayuda delfactor integrante
tX2xt
tXxt
0 A0B expd
d exp
d
d
Integrando
tXx 0B exp
CtetX2x 0 A exp
Condición de contorno
a t 0
x A x A0 X0 xB xB0 00Cte
Entonces
0 A0B X2xXx y
0B A Xxx
Sustituyendo en la ecuación delbalance de B
0BB0B
B XxkxXx1
t
x
d
d
Arreglando, para separar variables
tXxkX1kx
x
0B0
2
B
B d d
Integrando, con ayuda de un cuadrode integrales
2
0
2
0
2
0B
2
0
2
0
2
0B
XkkX61kX1kx2
XkkX61kX1kx2ln
CtetXkkX61 2
0
2
0
2
Arreglándola, con los parámetrosadimensionales
k2kXkX61 2
00
2
0
kM2
MXkMRkX12R4 220
20
2
k2kX1 0
02
X
kM
R 0
Condición de contorno
a t 0 xB xB0 0
lnCte
Sustituyendo y arreglando
tk2x
x
B
B
exp
3.25
Verificación
a t 0 xB 0
a t xB
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 280/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 266 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
3,26 Reacción reversible
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, ks
Variables dependientesC A: concentración de A instan-tánea en el tanque kmol A/m3
CB: concentración de B instan-tánea en el tanque kmolB/m3
V: volumen de la solución, m3
Variables fijasV0: capacidad del tanque, m3 Q: flujo a la entrada, m3/ks
C Ae C A0: concentración de Aa la entrada kmol A/m3
Parámetrosk1: coeficiente de velocidad
de reacción AB, 1/ksk2: coeficiente de velocidad
de reacción AB, 1/ks
: densidad de la soluciónkg/m3
Condición de contorno
a t 0 V 0
Relaciones constitutivas
A1 A CkR B2B CkR
TCk ,k CT, ρ
Condiciones del modelo Agitación perfecta: concentración
homogéneaLa reacción inicia cuando A cae
al tanqueFlujo total de masa a la entrada
constante Ambas reacciones de primer
orden
Parámetros k1 k2 y constantes,durante el proceso
Otras sustancias inertes
Balance de masa de la sustancia A,en el sistema
VA FE FS + RP RC
t
VCVA A
d d (1/ks)(m3)
(kmol A/m3)
AeQCFE (m3/ks)(kmol A/m3)
0FS
BRP R V (kmol A/m3 s)(m3)
ARC R V (kmol A/m3 s)(m3)
Q
C A0
V
C A CB
RXN : A Bk1
k2
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 281/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 267 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Con lo que
VRVRQCt
VC AB Ae
A d
d
Balance de masa de B
t
VCVA B
d
d (1/ks)(m3)
(kmolB/m3)0FE 0FS
ARP R V (kmolB/m3 s)(m3)
BRC R V (kmolB/m3 s)(m3)
VRVR
t
VCB A
B d
d
Balance de masa total
t
VVA
d
d (1/ks)(m3)(kg/m3)
QFE (m3/ks)(kg/m3)
0FS
Q
t
V
d
d
Solución de las ecuaciones diferen-
ciales suponiendo constante
Q
t
V
d
d
Integrando esta ecuación
1CteQtV
Condición de contorno
a t 0 V 0 Cte1 0
El volumen queda
QtV
Sumando el balance de masa de Acon el de B (Estequiometría)
t
VCQCt
VC B Ae
A
d d
d d
Separando variables
B Ae A VCtQCVC d d d
Integrando
2B Ae A CteVCtQCVC
Condición de contorno
a t 0 V 0 Cte2 0
Sustituyendo esta constante y elvalor del volumen
B Ae A QtCtQCQtC
Con lo que
A AeB CCC
Incluyendo estos dos resultados ylas relaciones constitutivas en elbalance de A
VCkVCkQC
t
VCB2 A1 Ae
A d
d
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 282/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 268 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Derivando el producto y sustituyen-do el valor de C A en términos de CB
A1 Ae A A CkC
V
Q
t
V
V
1C
t
C
d
d
d
d
A Ae2 CCk
Sustituyendo el volumen, arreglan-do y simplificando
Ae2 A21
A Ck
t
1Ckk
t
1
t
C
d
d
Acomodando con factor integrante
t
tkktC 21 A
d
expd
tkkCtk1 21 Ae2 exp
Integrando
21
21 Ae21 A
kktkkCtkktC
expexp
3
21
22 Cte
kk
ktk1
Evaluando la constante cuando t 0
21
2
21
Ae3
kk
k1
kk
CCte
Al sustituirla se obtiene el resultado
21
2
Ae
A
kk
k
C
C
t
tkk1
kk
k 21
2
21
1
exp
3.26
Verificación
a t 0 V 0 C A C Ae
a t V0Q C A C A
21
2 Ae A
kk
kCC
QV
QVkk1
kk
k
0
021
2
21
1 exp
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 283/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 269 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
3,27 Reacciones consecutivas
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientesCB: concentración de B instan-tánea en el tanque kmolB/m3
C A: concentración de A instan-tánea en el tanque kmol A/m3
Variables fijasV: volumen de la solución
en el tanque, m3 Q: flujo a la entrada, m3/s
C Ae C0: concentración de A a laentrada kmol A/m3
Parámetrosk1, k2, k3: coeficientes de veloci-
dad de reacción, 1/s
: densidad de la mezcla kg/m3
Condición de contorno
a t 0 C A C0 CB 0
Relaciones constitutivas
A1 A CkR
B2B CkR B3B CkR
TCk ,k CT, ρ
Condiciones del modelo
Agitación perfecta: concentraciónhomogénea, CBs = CB
La reacción inicia cuando A eltanque está lleno
Flujo total de masa a la entradaconstante
Flujo total de masa en estadoestacionario
V = Cte Qs = Qe = QTodas las reacciones de primer
orden
k1, k2 , k3 y constantes,durante el proceso
constanteOtras sustancias inertes
Balance de masa para la sustanciaB, en el sistema
VA FE FS + RP RC
t
VCVA B
d
d (1/s)(m3) (kmolB/m3)
0FE
BsCQFS (m3/s)(kmol A/m3)
ARP R V (kmolB/m3 s)(m3)
RC R V R V
(kmolB/m3
s)(m3
)
QC Ae
V
C A CB
A B
k2
k1 k3
CRXN :
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 284/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 270 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
VRCQ
t
VC ABss
B
d
d
VRVR BB
Balance de masa de A,
t
VCVA A
d
d (1/ks)(m3)
(kmol A/m3)
AeeCQFE (m3/ks)(kmol A/m3)
AssCQFS
BRP R V
(kmol A/m3 s)(m3)
ARC R V (kmol A/m3 s)(m3)
Ass Aee
A CQCQt
VC
d
d
VRVR AB
Sustituyendo las relacionesconstitutiva y la condiciones delmodelo
VCkVCkVCkQC
t
VCB3B2 A1B
B d
d
y
VCkVCkQCQCt
VC A1B2 A Ae
A d
d
Reunión de constantes
Q
V s
Simplificando y arreglando
B32 A1
B Ckk1
Ckt
C
d
d (I)
B2 A1 Ae
A CkCk1
C1
t
C
d
d (II)
Para poder sustituir la variable C A en el balance de B, Ec. I, se debederivar la de este balance Ec. II.
t
Ck
t
C A12
B
2
d
d
d
d
t
Ckk
1 B32
d
d
(III)
Se sustituye la derivada de laconcentración de A, Ec. II, en estaúltima, Ec. III; por otro lado. el valorde la concentración de A sereemplaza con la Ec. I y se tiene
Ae
1B
B
2
B
2
Ck
Ct
C
t
C
d
d
d
d (IV)
Definiendo las siguientes constan-tes
2kkk 321
31321 kk1kkk
31
2
3212
kk2
kkk
4
Se resuelve la ecuación diferencialde segundo orden lineal de coefi-cientes constantes
tCtet
2C 1B senhexp
Ae12
CktCte cosh
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 271 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Condición de contorno
a t 0 CB 0
01
0t
B Ckt
C
d
d
Hay que derivar la ecuación paraevaluar la constante Cte1
tCtetCtet
2t
C21
B
senhcoshexp
d
d
tCtetCtet
2221
coshsenhexp
Con lo que
Ae1
2
CkCte
01 Ae11
Ck
2
CkCte
El resultado es
t2Ck
CkC
Ae1
Ae1B
exp
tt
C
C
2 Ae
0 coshsenh
3.27
Verificación
a t 0 CB 0
a t CB k1C Ae
3,28 Reactores en serie
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientesC1: concentración de A en el
tanque 1 kmol A/m3 C2: concentración de A en el
tanque 2 kmol A/m3
Variables fijasV1: volumen de la solución
en el tanque 1, m3 V2: volumen de la solución
en el tanque 2, m3
eV : flujo a la entrada, m3/s
Ce: concentración de A a laentrada kmol A/m3
Parámetrosk1, k2,: coeficientes de velocidad
de reacción en los tanques1 y 2 respectivamente, 1/s
V1 C1
eV
Ce
V2 C2
s1V
C1s
s2V
C2s
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 286/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 272 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
: densidad de la mezcla kg/m3
Condición de contornoa t 0
C1 C0 Ce; C2 C0 Ce
Relaciones constitutivas
111 A CkR 222 A CkR
TCk ,k CT, ρ
Condiciones del modelo Agitación perfecta: concentración
homogénea,
Cs1 C1 Ce2; Cs2 C2 La reacción inicia cuando el
tanque está lleno
Flujo total de masa a la entradaconstanteFlujo total de masa en estado
estacionario
2s1se VVV
Todas las reacciones de primerorden
Parámetros k1, k2 y constantes,durante el proceso
V1 y V2, respect. constantesOtras sustancias inertes
Balance de masa para la sustancia A, en el sistema
VA FE FS + RP RC
Tanque 1 Tanque 2
t
VCVA 1
d
d
t
VCVA 2
d
d
(1/s)(m3) (kmol A/m3)
1e1e CVFE 2e2e CVFE
(m3/s)(kmol A/m3)
1s1s CVFS 2s2s CVFS
(m3/s)(kmol A/m3)RP 0 RP 0
11RC R V 22RC R V (kmol A/m3 s)(m3)
Quedando los balances de A y B,respectivamente:
11 A1s1s1e1e
11 VRCVCVt
CV
d
d
22 A2s2s2e2e22 VRCVCV
tCV d
d
Reunión de constantes
1e
11
V
V
2e
22
V
V
s
1
1
1e
1
kV
V
1
2
2
2e
2
kV
V
1
s
Sustituyendo estas constantes, lasrelaciones constitutiva y la condi-ciones del modelo.
1
e1
1
1 CC
1
t
C
d
d
RXN : Ak3
Productos
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 287/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 273 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
2
12
2
2 CC
1
t
C
d
d
Se resuelve primero la del balancedel tanque 1, puesto que la deltanque 2 queda en función de laprimera, es decir de C1. Arreglandocon el factor integrante
1
1
e11 t
CtC
t
expexp
d
d
Integrando
11
1
e111 Ctet
CtC
expexp
Condición de contorno
a t 0 C1 Ce
1
e1
e1
C
CCte
Sustituyendo
1
1
e1e
1
e11 t
CC
CC
exp
Simplificando se obtiene el resulta-do
1
1
1
1
1
e
1 t1C
C
exp
Primer tanque 3.28a)
Sustituyéndola en la ecuación delsegundo tanque
2
12
2
2 CC
1
t
C
d
d
1
1
1
1
1
2
e t1C
exp
Arreglándola con el factor integrante
2
1
1
2
e22 t
CtC
texpexp
d
d
12
1
1 tt1 exp
Integrando
2
1
21
2
e22 t
CtC expexp
2
12
12
1
1 Cte11
tt1
exp
Condición de contorno
a t 0 C2 Ce
1
21
2
ee2
CCCte
12
1
1
11
11
Sustituyendo y arreglando
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 288/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 274 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
2
21
21
21
21
e
2 t1C
Cexp
21
21
21
11
21 tt expexp
Segundo tanque 3.28a)
Verificación
a t 0 C1 Ce C2 Ce
a t C1 1Ce1 C2 1 2Ce(12
Caso b) cuando los tanques son deigual volumen y velocidad dereacción, se puede obtener con elresultado anterior
2
21
21
21
21
e
2 t1C
C
exp
2
21
21
21
21
21
11 t
1t
exp
exp
Calculando el límite cuando
1 2 0
entonces 1 2
y 1 2
Aplicando L’Hopital
t1C
C2
2
2
2
e
2 exp
tt2
exp
Segundo tanque
t1C
C
e
1 exp
Primer tanque
3.28b)
También se puede obtener la soluciónhaciendo el balance del tanque 2
t1
CCC
1
t
C e2
2 expd
d
Integración
1t
C
tCt
e
2 expexpd
d
Ctet1tC
tC e2
expexp
Condición de contorno
a t 0 C2 Ce
e
e
CCCte
Resultado
t1tt
C
C2
2
22
2
e
2 expexp
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 275 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
3,29 Difusión de un solvente
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, ks
Variables dependientesM A: masa del solvente A instan-
tánea en el tanque kmol A/m3
Variables fijas A: área de transferencia de
masa, m2 T: temperatura, KP: presión, Pa
ParámetrosK: coeficiente de transferencia
de masa, m/sy*: composición de saturación
del solvente en el aire,kmol A/kmol
: densidad del aire kmol/m3
Condición de contorno
a t 0 M A M A0
Relaciones constitutivas
yyKAM A * PTy ,y* *
RTP PTK ,K
Condiciones del modeloComposición en el aire
homogéneaSólo se evapora el solventeLa concentración en la interfase
es la solubilidad y*El gas se comporta como gas
ideal o perfectoLa composición del solvente en el
aire es despreciable, y 0
Parámetros k, y* y constantes,durante el proceso
Balance de masa de A, en el tanque
VA FE FS + RP RC
t
MVA A
d
d (1/ks)(kmol A)
AsaleMFS (kmol A/ks)
0FE RP 0 RC 0
Con lo que
Asale
A Mt
M
d
d
Resolviendo la ecuación, sustitu-
yendo las relaciones constitutivas ytomando en consideración lascondiciones del modelo, se tiene
*
d
d yKA
t
M A
Integrando
CtetyKAM A *
y*
M A
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 276 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Condición de contorno
a t 0 M A M A0 Cte M A0
Sustituyendo esta constante y arre-glado
tM
ykA
M
MM
0 A0 A
0 A A
*
3.29
Verificación
a t 0 M A M A0
a M A 0 t M A0kAy*
3,30 Dializador
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientesC: concentración de A instan-
tánea en la bolsita kg A/m3 CT: concentración de A instan-
tánea en el tanque kg A/m3
Variables fijas
V: volumen de la soluciónen la bolsita, m3
VT: volumen de la soluciónen el tanque, m3
A: área lateral de cadabolsita, m2
Parámetros
KOG: coeficiente global de transfe-rencia de masa de A, m/s
: densidad de la soln. kg/m3
Condición de contorno
a t 0 C C0 CT 0
VT CT
VC
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 277 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Relaciones constitutivas
TOG A CC AKM
flujoagitaciónCTKOG ,,,K OG
CT, ρ
Condiciones del modeloComposición homogénea
Parámetros KOG y constantes,durante el proceso
El flujo de masa de A se rige porla relación constitutiva dada.
El área de transferencia de masade A coincide con el áreageométrica de la bolsita
VT >> V
Balance de masa para el soluto A
en la bolsitaVA FE FS + RP RC
t
VCVA
d
d (1/s)(m3) (kg A/m3)
AMFS (kg A/s)
0FE RP 0 RC 0
Con lo que
AM
t
VC
d
d
Balance de masa de A en el tanque
t
CVVA TT
d
d (1/s)(m3) (kg A/m3)
AMFE (kg A/s)
0FS RP 0 RC 0
A
TT Mt
CV
d
d
Caso a) “Batch”
La concentración en el tanque varía,por lo que, se suman las dos ecua-ciones para obtener la relaciónentre ambas.
0
t
VC
t
CV TT d
d
d
d
Integrando
1TT CteVCCV
Condición de contorno
a t 0 C C0 CT 0
Cte1 C0V
Quedando
CCV
VC 0
T
T
Sustituyendo este resultado y lasrelaciones constitutiva, en elbalance de A en la bolsita
TOG CC AK
t
VC
d
d
CC
V
VC AK 0
T
OG
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 278 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Reunión de constantes
AK
V
OG s,
TV
V
adim.
Sustituyendo las constantes y lascondiciones del modelo
0CC1
1
t
C
d
d
Separando variables e integrando
20 Ctet
1CC1
1
1
ln
Condición de contorno
a t 0 C C0
02 C
1
1Cte ln
Sustituyendo
t1
C
CC1
1
1
0
0
ln
Arreglando
1
t1
CC
0
exp
3.30 a)
Verificación
a t 0 C C0
a t C CT
VV1
C
11
CC
T
00
Nota
Si TVV 0V
V
T
entonces
t1
C
C
0
exp
Caso b) Flujo de solvente en el
tanque continuo, C CT C
Sustituyendo las relaciones consti-tutiva, en el balance de A en labolsita
ACK
t
VCOG
d
d
Reunión de constantes
AK
V
OG
s
Sustituyendo la constante y lascondiciones del modelo
C1tC
d d
Separando variables e integrando
3Ctet1
C
ln
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 279 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Condición de contorno
a t 0 C C0
03
CCte ln
Quedando
t1
C
C
0
ln
Arreglando
t
1
C
C
0 exp
3.30 b)
Verificación
a t 0 C C0
a t C 0
3,31 Disolución de azúcar
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, s
Variables dependientesx: concentración instantánea
del azúcar en el agua,kg A/kgagua
M: masa de azúcar, instantánea,sin disolver, kg A
Variables fijasW: masa de agua kgagua
ParámetrosKOG: coeficiente de transferencia
de masa del azúcar al agua,1/s
x*: concentración del azúcar enel agua a la saturación osolubilidad, kg A/kgagua
Condición de contorno
a t 0 M M0 x 0
Wx
M A
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 280 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Relaciones constitutivas
xxMKM OG A *
agitaciónxTKOG ,,K
Tx x* *
Condiciones del modelo Agitación perfecta: concentración
homogénea, en la soluciónParámetros: k y x* constantes,
durante el proceso
La relación constitutiva para elflujo de masa de azúcar, secumple en este proceso
Balance de masa de azúcar en lafase sólida
VA FE FS + RP RC
t
MVAd
d (1/s)(kg A)
AMFS (kg A/s)
0FE RP 0 RC 0
Con lo que
AMt
M
d
d
Balance de masa de azúcar en lafase líquida
VA FE FS + RP RC
t
WxVA
d
d
(1/s)(kgagua)(kg A/kgagua)
AMFE (kg A/s)
0FS RP 0 RC 0
Con lo que
AM
t
Wx
d
d
Solución el sistema de ecuacionesdiferenciales del modelo.
Para evaluar la concentración totalen ambas fases, se suman lasecuaciones de los balances de lasustancia a en las dos fases.
0
t
Wx
t
M
d
d
d
d
Integrando
1CteWxM
Condición de contorno
a t 0 M M0 x 0
Cte1 = M0
Sustituyendo
WxMM 0
W
MMx 0
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas en el balance de azúcar enla fase sólida.
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 281 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
xxMK
t
MOG *
d
d
W
MMxMK 0
OG *
Reunión de constantes
W
KOG , 1/kg s
0MWx * kg A
Sustituyendo
MM
t
M
d
d
Separando variables y resolviendo
tMM
Md
d
Integrando
2CtetM
M1
ln
Condición de contorno
a t 0 M M0
0
0
2 M
M1
Cte ln
Sustituyendo y arreglando
tM
M
M
M
0
0
ln
Sustituyendo constantes y simplifi-cando
1tM
Wx
1M
Wx
M
M
0
0
0
exp*
*
3.31
0MWx * kg A
Verificación
a t 0 M M0
a t
si * xW
M0 0 0M
si * xW
M0 0
* WxMM 0
para * xWM0 0
No se cumple la ecuación anterior.La ecuación diferencial es
t
M
M2
d d
Integrando, con la condición inicialdada.
tM1
1
M
M
00
a t 0 M M0
a t M 0
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 282 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
3,32 Arranque de un destilador
Volumen de control
Variable independientet: tiempo, ks
Variable dependientex: concentración instantánea
de A en la fase líquida,fracción mol kmol A/kmol
Variable intermedia
y: concentración instantáneade A en la fase gaseosa,fracción mol kmol A/kmoldepende de x
Variables fijasM: masa total en el destilador
kmol
F: flujo de masa total a laentrada kmol/ks
xF: concentración de A a laentrada, kmol A/kmol
D: flujo de masa destilado o desalida kmol/ks
Parámetrosm A: coeficiente de distribución
para A, adim.mB: coeficiente de distribución
para B, adim.
m AmB volatilidad relativa
Condición de contorno
a t 0 x x0 xF
Relaciones constitutivas
x1
x
y1
y
PT,xα
Despejando y
x11
xy
Condiciones del modelo
concentración homogéneaParámetro constante,
durante el procesoFlujo total de masa en estadoestacionario: M constantey y x siempre en equilibrio
de fasesNo sale nada por el fondo: W = 0
DXD
WXW
F
XF
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 283 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico
Balance de masa de la sustancia A
VA FE FS + RP RC
t
MxVA
d
d (1/s)(kmol)(kmol A/kmol)
FFxFE (kmol/s)(kmol A/kmol)
WxDyFS (kmol/s)(kmol A/kmol)
RP 0 RC 0
Con lo que
WxDyFx
t
MxF
d
d
Balance de masa total (estadoestacionario)
VA FE FS
0t
MVA d
d (1/s)(kmol)
FFE (kmol/s) WDFS (kmol/s)
Con lo que
0WDF
t
M
d
d
Uniendo los dos balances, con lascondiciones del modelo, la relación
constitutiva y W 0.
yxF
t
xM F
d
d
Solución de la ecuación diferencial
x11xxF
txM F
d d
Reunión de constante
F
M s,
0x1 F adim.
Sustituyendo y separando variables
t1
xxx
x11
F
d d
Integrando
Ctet
1xx
x1x
1F2
F
ln
Condición de contornoa t 0 x x0
0F2
F0 xx
x1x
1Cte
ln
Sustituyendo y arreglando
t
xx
xxxx
1
0F
F
20 ln
3.32
Verificación
a t 0 x x0
a t x xF yD se evapora todo
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 284 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
4.1 Estática de fluidos
Volumen de control
Variable independiente
z: profundidad, mVariables dependientes
F: fuerza reactiva sobre lapared en dirección x,perpendicular a la pared
(área) y en la posición z NP: presión en el fluido en la
posición z Pa
Variables fijas
A: diámetro del depósito, mL: profundidad del fluido
Parámetros
: densidad del fluido kg/m3
Condición de contorno
a z 0 Fx 0 P P0
Relaciones constitutivas
área 24 D A
perímetro D
volumen zDz AV 2
4
peso VgW d
presión APF d
densidad PT, ρ
Condiciones del modeloFluido en reposoLa fuerza no depende del tiempoDensidad constanteEl lado seco de la pared está
en contacto con la atmósferaLa superficie del fluido está
en contacto con la atmósfera.
Balance de fuerzas en la pared
VA FE FS + FN (fuerza neta)
0VA
xzFFE (N)
xxxzFFFS
(N)
zPPFN 0 (Pa) (m) (m)
Nota:
PPPP21
Con lo que
0zPPF 0x
z 0
z
z z
P
P P
P0 P0
Fx
Fx Fx
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 285 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Arreglando
0x PPz
F
Obteniendo el límite cuando z 0
0
x PPz
F
d
d
Balance de fuerzas en el fluido
VA FE FS + FN (fuerza neta)
0VA
APFEz
(Pa) (m2)
AP APFSzz
(Pa) (m2)
z AgFNz A
(kg/m3) (m/s2) (m2) (m)
Nota: 21
Con lo que
0z Ag AP
Arreglando
Ag
z
AP
Obteniendo el límite cuando z 0
Ag
z
AP
d
d
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas y tomando en consideraciónlas condiciones del modelo, se tieneel siguiente sistema de ecuaciones
0
x PPDz
F
d
d
g
z
P
d
d
Resolviendo el sistema de ecua-ciones,
1CtezgP
Condición de contorno
a z 0 P P0 Cte1 P0
0PzgP
Sustituyendo la presión, en laecuación de la fuerza sobre la pared
zgD
z
Fx d
d
Integrando
2
2
x Cte2
zgDF
Condición de contorno
a z 0 Fx 0 Cte2 0
Sustituyendo esta constante y arre-glado
2
zDgF
2
x
4.01
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 286 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
La fuerza total, F, sobre la pared es
APPFF 0x d d
Que se considera que actúa sobre
el centro de fuerza, F
APPzFzF 0xF d d
Sustituyendo el valor de la presión yel área
L
0zzgDF d
L
0
2
F zzgDF d
Integrando y el arreglado
2
LgDF
2
L32
F
A partir de el nivel superior del líquido.
4.2 Presión atmosférica
Volumen de control
Variable independienteh: posición vertical, m
Variables dependientesP: presión, PaT: Temperatura K
Parámetros
: densidad del aire kg/m3
: coeficiente adiabático
R/CP. adim.
: coeficiente de la función detemperatura 1/m
Constantesg: aceleración gravita. m/s2 R: Constante universal de
los gases J/kg K
Condición de contorno
a h 0 T T0 P P0
Relaciones constitutivas
RTP
hT
h
h P
P P
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 287 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Condiciones del modeloPropiedades de la atmósfera
homogéneasSistema en reposo estable
(h) es conocida y realComportamiento ideal operfecto del gas.
Balance de fuerzas
VA FE FS + FN
0VA APFE
h (Pa) (m2)
APPFShh
(Pa) (m2)
h AgFNh A
(kg/m3) (m/s2) (m2) (m)
Con lo que
0h Ag AP
Simplificando, arreglando
gh
P
Obteniendo el límite cuando h 0
g
h
P
d
d
Caso a) T T0 constante
Sustituyendo la densidad con larelación de los gases ideales
g
RT
Pg
h
P
0
d
d
Separando variables
0RT
g
h
P
P
1
d
d
Integrando
a
0
CtehRT
gP ln
Condición de contorno
a h 0 P P0 Ctea ln(P0)
Sustituyendo
h
RT
g
P
P
00
exp
4.02 a)
Caso b) T T0 (P/P0)
Sustituyendo la temperatura con larelación de la Termodinámica, paraun proceso adiabático para gasesideales
1
0
0 PRT
gP
RT
Pgg
h
P
d
d
Separando variables
hRT
gPPP
0
1 d d
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 288 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Integrando
b
0
0 CtehRTgPP
Condición de contorno
a h 0 P P0 Cteb P0
Sustituyendo
1
00
hRT
g1PP
Asimismo 4.02 b)
hRT
g1
T
T
00
Caso c) T T0 (1 h)
Sustituyendo la relación lineal detemperatura con la altura y con laley de los gases ideales,
h1RT
gPg
h
P
0
d
d
Separando variables
h1
h
RT
g
P
P
0
d d
Integrando
c
0
Cteh1RT
gP
lnln
Condición de contorno
a h 0 P P0 Ctec ln(P0)
Quedando
0RT
g
0
h1P
P
4.02 c)
Nota:
Los dos casos b) y c) proponen unarelación lineal para la temperatura con lavariación de la altura.
0RT
g
Con la temperatura de la base a 25 C es
3,9 10-5 1/m 2,25 10-5 1/m.
Verificacióna h 0 P P0
para los tres casos
Caso a)
a h P 0
Caso b)P tiene sentido físico para
h gRT0
Caso c)P tiene sentido físico para
h 1
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 289 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
4.3 Ecuación de Bernouilli
Volumen de control
Variable independientex: posición en dirección del
flujo, m
Variables dependientes
v vx: velocidad, m/sP: presión en el fluido en la
posición x Pa
Variable fija
: ángulo de inclinación
Parámetro
: densidad del fluido kg/m3
Condición de contorno
a x x0 v vx v0
z z0 P P0
Condiciones del modeloFlujo de fluidos en estado
estacionarioDensidad, , constanteEfectos de fricción despreciables
0
Balance de fuerzas cantidad demovimiento en el fluido
VA FE FS + FN (fuerza neta)
0VA
vwyvwyPFEx
(Pa) (m) (m); (kg/m3) (m/s) (m) (m) (m/s)
x
x
wyPwyPFS
xx d
d
x
x
vwyvvwyv
d
d
(Pa) (m) (m); (kg/m3) (m/s) (m) (m) (m/s)
sengxwyFN x (kg/m3) (m) (m) (m) (m/s2)
Nota:
21 vvvv
21
Sumando términos y simplificando
0g
x
vv
x
P sen
d
d
d
d
Obteniendo el límite cuando x 0
0g
x
vv
x
P sen
d
d
d
d
Por otro lado
z
x
xP
v
g
g sen
y
w
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 290 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
send
d
x
z
Sustituyendo, queda
0
x
zg
x
vv
x
P
d
d
d
d
d
d
Arreglando y separando variables
0zgvvP d d d
Integrando
Ctegz2
vP
2
Condición de contorno
a x x0 v vx v0
z z0 P P0
0
2
00 gz
2
vPCte
El resultado, entonces, es:
0zzg2
vvPP0
2
0
2
0
4.03
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 291 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
4.4 Placas deslizantes
Volumen de control
Variables independientes
x: posición en direccióndel flujo, m
y: posición perpendicularal flujo, m
Variables dependientesvx: velocidad, m/sP: presión en el fluido en la
posición x Pa
xy: esfuerzo viscoso Pa
Variables fijas2W: separación entre placas, mL: longitud de las placas, m
Parámetros
: densidad del fluido, kg/m3
: viscosidad del fluido, kg/m s
Condiciones de contornos
a x 0 P P0 x L P PL
y W vx V
y -W vx -U
Relaciones constitutivas
y
v xyx
PT, ρ PT, μ
Condiciones del modeloFlujo de fluidos en estado
estacionario
y : densidad y viscosidadson constantes
vy 0 vz 0Régimen de flujo laminarFluido newtonianoFlujo desarrollado y efectos de
entrada y salida despreciablesCondición de no deslizamiento
La velocidad del fluido en contactocon la placa es igual al de la placa.
Flujo desarrollado y efectos deentrada y salida despreciables
L
P
L
PP
x
P 0L
Balance de masa (total)(Ecuación de continuidad)
0zy
x
v x
Con la densidad constante
0
x
v x
Balance de fuerzas cantidad demovimiento en el fluido, en ladirección de flujo, x.
VA FE FS + FN (fuerza neta)
U
V
x
yP yx P Px
yvx
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 292 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
0VA
xxxvzyvzyPFE
(Pa) (m) (m); (kg/m3) (m/s) (m) (m) (m/s)
zxFE yxy (N/m2) (m) (m)
zyPzyPFSxx
xxxx vzyvvzyv (Pa) (m) (m); (kg/m3) (m/s) (m) (m) (m/s)
zxzxFS yxyxyy
(N/m2) (m) (m)
00gxzyFN x sen (kg/m3) (m) (m) (m) (m/s2)
Nota:
21 vvvv
21
Sumando términos y simplificando
0yx
vv
x
P yxxx
Obteniendo el límite cuando
x 0 y y 0
0
yx
vv
x
P yxxx
Sustituyendo las relaciones delbalance de masa y de la presión
L
P
y
yx
d
d
Sustituyendo la Ley de viscosidadde Newton.
L
P
y
v2
x
2
d
d
Integrando esta ecuación
21
2
x CteyCteyL2
Pv
Reunión de constantes
L2
PW 2
m/s
Condición de contorno
a y W v V
21
2
2CteWCteW
WV
a y -W v -U
21
2
2CteWCteW
WU
Resolviendo el sistema de ecua-ciones para evaluar las constantes,sustituyéndolas y arreglando
2
x
W
y1
v
W
y
UV
UV
2
UV
4.04
La ecuación para el esfuerzocortante
W2
UVy
L
Pyx
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 293 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
4.5 Flujo sobre una placa
Volumen de control
Variables independientes
x: posición a partir de la entrada,en la dirección del flujo, m
y: posición a partir de la placa,perpendicular al flujo, m
Variables dependientesvx: velocidad, en la dirección
del flujo, m/sP: presión en el fluido, Pa
yx: esfuerzo cortante, debido a la
fricción, en la dirección y(perpendicular a x), Pa
Variables fijas
: ángulo de la placa conla horizontal, rad.
W : espesor de la capa de fluidoa partir de la placa, m
B : ancho de la capa de fluido, mL : largo de la capa de fluido, m
Parámetros
: densidad del fluido, kg/m3
: viscosidad del fluido, kg/m s
Condición de contorno
a x 0 P P0
x L P PL
a y = 0 vx = vxy=0 = 0
y = W yx = yxy=W = 0
Relaciones constitutivas
r v xyx d d
PT, ρ PT, μ
Condiciones del modeloFlujo de fluidos en estado
estacionarioMasa, fluida, como un continuo
y : densidad y viscosidad
son constantesvz 0 vy 0Régimen de flujo laminarFluido newtonianoFlujo desarrollado y efectos de
entrada y salida despreciablesCondición de no deslizamiento
La velocidad del fluido en contactocon el sólido es igual al del sólido.
0v0yx
Interfase líquido gas
yxy =W = 0Geometría perfectaMasa homogénea
Flujo desarrollado y efectos deentrada y salida despreciables
sengL
PP
x
P 0L
Fx W
vx
gg sen
x
x
y
yx
y + yy
x + x
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 294 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Balance de masa (total)(Ecuación de continuidad)
0zyvzyv xx
Con la densidad constante
0
x
v x
Balance de fuerzas cantidad de
movimiento en el fluidoVA FE FS + FN (fuerza neta)
0VA x
xxxx vzyvzyPFE
(Pa) (m) (m); (kg/m3) (m/s) (m) (m) (m/s)
yxFE yxyx
(N/m2) (m) (m)
xx
zyPzyPFS xxx
x
x
vzvyvzvy xx
xx
(Pa) (m) (m); (kg/m3) (m/s) (m) (m) (m/s)
yy
zxzxFS
yx
yxyyx
(N/m2) (m) (m)
sengzyxFNyx
(kg/m3) (m) (m) (m) (m/s2)
Notas:
2
1
0sr r 0sr r límlím
El operador derivada actúa sobrelo que está a la derecha
Sumando términos
zyx
yzyx
x
vv yxxx
0zgyxzyx
x
P
sen
Simplificando
0g
x
P
yx
vv yxxx
sen
Sustituyendo las relaciones del
balance de masa y de la presión
0gL
PP
y0Lyx
sen
Reunión de constantes
2
W
gL
PP
v
20L
MAX sen m/s
sen2
Wg
2
0W
2v
y 2MAX
yx
Sustituyendo la Ley de viscosidad
de Newton
0W
2v
y
v
y 2MAXx
d
d
d
d
Considerando la viscosidad cons-tante
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 295 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
0W
v2
y
v2
MAX
2
x
2
d
d
Integrando la ecuación tras anterior
1TE2MAXyx CyW
2v
1TE
2MAXx
yx
Cy
W
2v
x
v1
d
d
Integrando de nuevo, con cons-tante
2TE1TE2
2
MAXx Cy
Cy
W
vv
Condiciones de contorno
a y = W yx = yxy=W= 0
W
2vC MAX1TE
a y = 0 vx = vxy=0 = 0
0Cte2
Sustituyendo las constantes, y arre-glando, con
2
W
gL
PP
v
20L
MAX sen
1W
y
W
v22
MAXyx
4.05
2
MAXxW
y
W
y2vv
Verificación
a y = 0 vx = 0
a y = W yx = 0vx = vMAX
El flujo total de masa es
B
0
W
0x ydzvm d
3
BWv2m
MAX
El esfuerzo de fricción y la fuerza totalen la pared de la placa
FS = B L yxy =0
WBLv2F MAXS /
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 296 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
4.6 Conducto anular, horizontal
Volumen de control
Variable independientez: posición en dirección
del flujo, mr: posición, radial, perpen-
dicular al flujo, m
Variables dependientesvz: velocidad en dirección
axial, z, m/sP: presión en el fluido Pa
rz: esfuerzo viscoso Pa
Variables fijasR: radio externo del conducto,
interno m
R + : radio interno del conducto,externo m
L: longitud del conducto, m
Parámetros
: densidad del fluido, kg/m3
: viscosidad del fluido, kg/m s
Condición de contorno
a z 0 P P0
z L P PL
r R vz 0
r R + vz 0
Relaciones constitutivas
r
vzrz
PT, ρ PT, μ
Condiciones del modeloFlujo de fluidos en estado
estacionario
y : densidad y viscosidad
son constantesvr 0 v 0Régimen de flujo laminarFluido newtonianoFlujo desarrollado y efectos de
entrada y salida despreciablesCondición de no deslizamiento
La velocidad del fluido en contactocon el sólido es igual al del sólido.
L
PP
z
P 0L
Balance de masa (total)(Ecuación de continuidad)
0r r v z
Con la densidad constante
rz
r
r
R
R
r
z
P vz r
rz
z
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 311/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 297 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
0
z
v z
Balance de fuerzas cantidad demovimiento en el fluido
VA FE FS + FN (fuerza neta)
0VA
zzzzzvr r vr r PFE
(Pa) (m) (m); (kg/m3) (m/s) (m) (m) (m/s)
r rzr zr FE (N/m2) (m) (m)
zzzzzzzzvr r vr r PFS
(Pa) (m) (m); (kg/m3) (m/s) (m) (m) (m/s)
r r rzr r zr FS
(N/m
2) (m) (m)
0gzr r FN sen
Notas:
2
1
0sr r 0sr r límlím
r r r límr lím 2
1
0sr r 0sr r
Sumando términos y arreglando
z
vv
z
PPz
2
zzz
2
zzzz
0r r
r r r rzr r rz
Obteniendo el límite cuando r 0
y z 0
0
r
r
r
1
z
v
z
P rz
2
z
Sustituyendo las relaciones delbalance de masa y de la presión
L
PP
r
r
r
1 0Lrz
d
d
Reunión de constantes
0L PP Pa
R
R Adim.
Sustituyendo la Ley de viscosidadde Newton
r
Lr
vr
r r
r zrz
d
d
d
d
d
d
Sustituyendo y desarrollando laderivada del producto, con laviscosidad constante
Lr
v
r
1
r
v z
2
z
2
d
d
d
d
Integrando la ecuación tras anterior
1
2zrz Cter
L2r
vr r
d
d
r
1Cter
L2r
v1 1zrz
d
d
Integrando de nuevo, con cons-tante
21
2
z Cter Cte1
r L4
v
ln
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 312/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 298 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Condiciones de contorno
a r R vz 0
21
2 CteRCte1
RL4
0
ln
a r R vz 0
21
2CteRCte
1R
L40
ln
21
2
Cte
R
Cte
1R
L40
ln
Resolviendo el sistema paraobtener las constantes y luegosustituyendo
22
z r R
1R
L4v
lnln r R
1 2
4.06
El esfuerzo cortante de fricción
ln2
1
r
R
R
r
L2
R 2
rz
Verificación
a r R vz 0
a r r R vz 0
El flujo total de masa es
R
R
2
0z dr r vm d
ln
224
41
1L8
Rm
La fuerza sobre la pared delconducto, fuerza o fricción o de piel
L
0
2
0 Rr rss dsr F d
L
0
2
0 Rr rs dsr d
22
s 1RF
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 299 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
4.7 Pared aislante
Volumen de control
Variable independientex: posición en dirección del
flujo de calor, m
Variable dependienteT: temperatura, K
Variables fijas
L: espesor de la placa, m-: ancho y largo de la placa
Parámetrok: conductibilidad (conducti-
vidad) térmica, W/m K
Condiciones de contorno
a x 0 T T0
a x L qxxL h (TxL Tf )
Relaciones constitutivas
x
Tkqx
d
d
xTk ,k
Condiciones del modeloFlujo de calor en estado
estacionario
qy 0 y qz 0Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropo
k constante
Balance de energía
VA FE FS RP RC
0VA
zyqFE xx (W/m2) (m2)
xx
zyqzyqFS xxxx
d
d
(W/m2) (m2)RP 0 RC 0
Sumando términos y simplificando
0
x
qx d
d
Solución de la ecuación diferencial
Sustituyendo la Ley de Fourier conk constante
0
x
T2
2
d
d
x 0
x
x L
T T
T
qx qx qx
x
T T0
Tf
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 300 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Integrando
21
CtexCteT
Condiciones de contorno
a x 0 T T0 Cte2 T0
a x L qxxL h (TxL Tf )
f LxLx
TThx
Tk
d
d
f 211 TCteLCtehCtek
Con lo que
f 01 TThLk
hCte
El resultado es:
Lh
k
x
TT
TT
f 0
f
4.07
k
L
h
1
TTq f 0
x
Verificación
a x 0 T T0
a x L
f Lx
f 0x TTh
k
L
h
1
TTq
4.8 Capa aislante
Volumen de control
Variable independienter: posición radial en dirección
del flujo de calor, m
Variable dependienteT: temperatura, K
Variables fijas A: radio del núcleo, mR: radio externo del arreglo
núcleo aislante, mL: longitud del cilindro, m
Parámetro
k: conductibilidad (conducti-vidad) térmica, W/m K
Condiciones de contorno
a r A qr Q(2 AL)
a r R T TR
Relaciones constitutivas
r
rqr
R
A
TR
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 301 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
r
Tkqx
d
d r Tk ,k
Condiciones del modeloFlujo de calor en estado
estacionario
qz 0 y q 0Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropok constante
Radio interno es igual al radio delnúcleo
Balance de energía, en la capaaislante
VA FE FS RP RC
0VA
zr qFE r r (W/m
2
) (m
2
) zr qzr qFS r r r r
(W/m2) (m2)RP 0 RC 0
Notas:La producción de energía está en elnúcleo, no en la masa del aislanteEl operador derivada actúa sobre loque está a la derecha
zr qr qzr qzr q r r r r
Sumando términos, simplificando y
dividiendo por r
0
r
rqr
Obteniendo el límite cuando r 0,se tiene
0q
r
qr
r
rqr
r r d
d
d
d
Solución de la ecuación diferencial
Sustituyendo la Ley de Fourier conk constante.
0r
T
r
1
r
T2
2
d
d
d
d
Integrando, la ecuación en términosdel calor
1r Cterq
r
Cteq
r
Tk 1
r d
d
Integrando de nuevo, con k cons-tante.
21 Cter
k
CteT ln
Condiciones de contorno
a r A
ACte
r Tk
AL2Qq 1
Ar
r d
d
L2
QCte1
a r R T TR
21
R CteRk
CteT ln
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 302 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
RkL2
QTCte R2 ln
Sustituyendo las constantes
R
r
kL2
QTT R ln 4.08
r
1
L2
Qqr
Verificación
a r R T TR
a r A AL2
Qqr
4.9 Esfera térmica
Volumen de control
Variable independienter: posición radial en dirección
del flujo de calor, m
Variable dependienteT: temperatura, K
Variables fijasR: radio de la esfera, m
Parámetrosk: conductibilidad (conducti-
vidad) térmica, W/m Ks: generación de calor, W/m3
Condiciones de contorno
a r 0
0r
Tkq
0r
r d
d
condición de simetría
a r R T TR
r
r
R
qr
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 303 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Relaciones constitutivas
r
Tkqr
d
d
r Tk ,k
Condiciones del modeloFlujo de calor en estado
estacionario
q 0 y q 0Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropo
k constantes constante
Balance de energía, en la capaaislante
VA FE FS RP RC
0VA
senr r qFE r r (W/m2) (m2)
sen2
r r r r qFS
r
r
r q 2
r
d
send
(W/m2) (m2)RP sr r sen r
(W/m3) (m3)RC 0
Efectuando operaciones
0sr
r
qr 2r
2
d
d
Solución de la ecuación diferencial
Sustituyendo la Ley de Fourier
0sr Tk
r 2
r Tk
r
dd
dd
dd
Integrando, la ecuación en términosdel calor
1
3
r
2 Cte3
r sqr
y
2
1r
r
Cte
3
r sq
r
Tk
d
d
Integrando para
21
2
Cter
Cte
6
r sTk d
Caso a) k k0 constante
21
2
0 Cter
Cte
6
r sTk
Condiciones de contorno
a r 0
0
r
Tkq
0r
r d
d
0Cte1
a r R T TR
6
RsTkCte
2
R02
Con lo que
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 304 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
2
0
2
RR
r 1
k6
sRTT
4.09 a)
r 3
sqr
Caso b) k k0 1 T
21
2
0 Cter
Cte
6
r sTT1k d
Integrando
21
22
0 Cter
Cte
6
r sT
2Tk
Condiciones de contorno
a r 0 0r Tkq
0r
r d
d
0Cte1
a r R T TR
6
RsT
2TkCte
22
RR02
Sustituyendo
RR TTTT2
1
2
0
2
R
r 1
k6
sR
4.09 b)
r 3
sqr
Notas:
Si 0, se obtiene el mismo casoa), anterior.
Si
R0Prom TT2
1kk
Entonces
2
Prom
2
RR
r 1
k6
sRTT
Verificación
a r 0
0r
Tkq
0r
r d
d
a r R T TR
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 305 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
4.10 Barra con generación de calor
Volumen de control
Variable independienter: posición radial en dirección
del flujo de calor, m
Variable dependienteT: temperatura, K
Variables fijasR: radio de la barra, mL: largo de la barra, m
Parámetrosk: conductibilidad (conducti-
vidad) térmica, W/m Ks: generación de calor, W/m3 h: coeficiente de Transf. de calor
(película) del aire, W/m2 K
Condiciones de contorno
a r 0
0r
Tkq
0r
r d
d
condición de simetría
a r R
f Rr Rr
r TThr
T
kq d
d
Relaciones constitutivas
r
Tkqr
d
d r Tk ,k
T1ss 0
PvTTh aireW ,,,h
Condiciones del modeloFlujo de calor en estado
estacionario
q 0 y qz 0Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropok constanteh constante
T1ss 0
Balance de energía, en la barra
VA FE FS RP RC
0VA
zr qFE r r (W/m2) (m2)
zr qzr qFS r r r r (W/m2) (m2)
RP sr r z (W/m3) (m3)RC 0
Sumando términos, simplificando y
dividiendo por r
r
r
qr
R
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 306 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
0r s
r
rqr
Obteniendo el límite cuando r 0,se tiene
sq
r
1
r
q
r
rq
r
1r
r r d
d
d
d
Solución de la ecuación diferencial
Sustituyendo la Ley de Fourier
0s
r
Tk
r
1
r
Tk
r
d
d
d
d
d
d
Caso a) s s0 constante ( 0)
0r s
r rq
r 1 d
d
Con k constante
k
s
r
T
r
1
r
T 0
2
2
d
d
d
d
Integrando, la ecuación en términosdel calor
1
2
0r Cte2r srq
y
r
Cte
2
r sq
r
Tk 1
0r d
d
Integrando, con k y s0 constantes.
2120 Cter
k
Cter
k4
sT ln
Condiciones de contorno
a r 0
0r
Tkq
0r
r d
d
0Cte1
a r R
f Rr Rr
r TTh
r
Tkq
d
d
201
0 Rk4
sh
R
Cte
2
Rs
f 21 TCteR
k
Cteln
Con lo que
f
2002 TR
k4s
h2RsCte
Sustituyendo
h2
Rs
R
r 1
k4
RsTT
2
0
22
0f
4.10 a)
r 2
sq 0
r
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 321/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 307 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Caso b) s s01 T
T1sr
rqr 1
0r
dd
Con k y s0 constantes
T1k
s
r
T
r
1
r
T 0
2
2
d
d
d
d
Integrando, la ecuación en términosdel calor. Realizando los siguientes
cambios de variables o constantes,para facilitar las operaciones
1 T adim.
m2 s0k, 1/m
Quedando la ecuación, de la forma
0θmr
θ
r
1
r
θ 2
2
2
d
d
d
d
Que es una ecuación de Bessel,integrando
mr Ctemr CteT1θ 21 00 KI
La derivada, que se usa en lascondiciones de contorno, es
mr mCter
T
r
θ
1 1Id
d
d
d
mr mCte2 1K
Condiciones de contorno
a r 0
0r
Tkq
0r
r d
d
0Cte2
a r R
f Rr Rr
r TThr
T
kq d
d
f
Rr Rr
Tθ1
hr
θk
d
d
f 1
1 TmRCte1
hmRCtekm 0
1
II
Despejando
mRhmRkm
T1hCte f
1
01 II
Sustituyendo
mRmRh
km
mr
1T
1T
f 01
0
II
I
4.10 b)
mk
mR
h
mR
mr 1
T
qf
r 01
1
II
I
Verificación
a x 0 0r Tkq
0r
r d
d
a x R
f Rr
f
r TTh
mR
mR
mk
1
h
1
1T
q
1
0
I
I
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 308 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
4.11 Reactor anular
Volumen de control
Variable independienter: posición radial en dirección
del flujo de calor, m
Variable dependienteT: temperatura, K
Variables fijasR0: radio de la pared interna, mR1: radio de la pared externa, mL: longitud del cilindro, m
Parámetrok: conductibilidad (conducti-
vidad) térmica, W/m K
S: generación de calor, W/m3
Condiciones de contorno
a r R1 T T1
a r R0 qr 0
Relaciones constitutivas
r
Tkqr
d
d r Tk ,k
Condiciones del modeloFlujo de calor en estado
estacionario
qz 0 y q 0Efectos de contacto despreciablesGeometría cilíndrica perfectaMaterial isótropok y S constantes
Balance de energía, en la capaaislante
VA FE FS RP RC
0VA
zr qFE r r (W/m2) (m2)
r
r
zr qzr qFS r
r r r
d
d
(W/m2) (m2)
RP Sr r z (W/m3) (m3)RC 0
Sumando términos y simplificando
0Sr
r
r qr d
d
Solución de la ecuación diferencial
Sustituyendo la Ley de Fourier conk constante
r
S
r
T
r
1
r
T2
2
d
d
d
d
rqr
R1
r
R0
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 309 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Integrando, la ecuación en términosdel calor.
r Sr r qr dd
12
r Cter 2
Sr q
1r Cter
2
Sq
r
Tk
d
d
Integrando de nuevo, para T
2
12
Cter k
Cte
r k4
S
T ln
Condiciones de contorno
a r R0 qr 0
2
01 R2
SCte
a r R1 T T1
1
2
0
2
112 RRk2
SRk4
STCte ln
Sustituyendo las constantes
1
2
1
0
2
12
1
1
R
r
R
R2
R
r 1
k4SR
TTln
4.11
r R
Rr
2SRq 0
0
0r
Verificación
a r R0 qr 0
a r R1 T T1
4.12 Tanque esférico
Volumen de control
Variable independienter: posición radial en dirección
del flujo de calor, m
Variable dependiente
T: temperatura, K
Variables fijasR0: radio de la pared interna, mR1: radio de la pared externa, mTb: temperatura de ebullición del
oxígeno, a la presión detrabajo (constante) K
R1
R0
rr
qr T
T
T
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 324/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 310 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Parámetrosk: conductibilidad (conducti-
vidad) térmica, W/m Kh: coeficiente de transferencia
de calor del oxígeno,W/m2 K
: calor latente de vaporizacióndel oxígeno a la Tb, W/m K
Condiciones de contorno
a r R0 qr r=Ro h Tr=Ro Tb
a r R1 T T1
Relaciones constitutivas
r
Tkqr
d
d r Tk ,k
f ss TThq
.,,,h etcagitaciónTTTh f ss
Condiciones del modeloFlujo de calor en estado
estacionario
qz 0 y q 0Efectos de contacto despreciablesGeometría esférica perfectaMaterial isótropo
k, h y constantesTanque lleno de líquido, saturadoConductividad térmica del metal
muy grande k o espesor
muy delgado 0
T1, a R1, conocida.
Balance de energía, en la capaaislante
VA FE FS RP RC
senr r qFE r r (W/m2) (m2)
sen
r r qFS r r r senr r qr (W/m2) (m2)
RP 0 RC 0
Sumando términos, simplificando y
dividiendo por r
0
r
qr r
2
Obteniendo el límite cuando r 0,se tiene
0rq2
r
qr
r
qr r
r 2r
2
d
d
d
d
Solución de la ecuación diferencial
Sustituyendo la Ley de Fourier con
k constante
0
r
T
r
2
r
T2
2
d
d
d
d
Integrando, la ecuación en términosdel calor
1r
2 Cteqr
2
1r
r Cteq
r Tk
dd
Integrando de nuevo
21 Cte
kr
CteT
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 325/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 311 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Condiciones de contorno
a r R0 qr r=Ro h Tr=Ro Tb
b2
0
1
2
0
1 TCtekR
Cteh
R
Cte
a r R1 T T1
1
112
kR
CteTCte
Despejando las constantes
2
010
1b1
hR
1
kR
1
kR
1
TTCte
Reunión de constantes
k
RR
R
R
h
1
1U
01
1
0
0
Sustituyendo
1
0000
1b
1
R
R
r
R
k
UR
TT
TT
4.12
1b
20
0r TTr
RUq
Consumo de energía evaporación
r
2
0 qR4m
Flujo de masa evaporada
1b0
2
0 TTUR4m , kg/s
Verificación
a r R1 T T1
a r R0
1
000
1b
10
R
R1
k
UR
TT
TT
0b1b0r TThTTUq
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 326/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 312 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
4.13 Intercambiador de calor de unpaso
Volumen de control
Variable independientex: posición dirección
del flujo de masa, m
Variable dependientet: temperatura del fluido en el
conducto interno, K
T: temperatura del fluido en elen el espacio anular, K
Variables fijasr: radio del tubo interno, mR: radio del tubo externo, mL: longitud del cilindro, m
m : flujo de masa en el tubointerno, kg/s
M : flujo de masa en el espacio
anular, kg/s
Parámetrosc: capacidad calorífica del
fluido interno J/kg KC: capacidad calorífica del
fluido externo J/kg KU: coeficiente global de trans-
ferencia de calor, basado enel radio interno, W/m2 K
Condiciones de contorno
a x 0 t t0
a x L T TL
Relaciones constitutivas
Ref ttch (entalpía)
Ref TTCH (entalpía)
TtUqs
.,c sustTc .,C sustTC
Condiciones del modeloFlujo de masa y calor en estado
estacionarioFlujo tipo pistón
0
x
v x d
d
0
r
T
d
d
0
r
v x d
d
Pérdidas de calor hacia el medio(conducto externo)despreciables
Flujo de fluidos desarrolladoGeometría perfectaC y c constantesU constante
T t
Balance de energía, en el conductointerior
VA FE FS RP RC0VA
hmFEx
(kg/s) (J/kg)
x
x
hhmFS
xx d
d
(kg/s) (J/kg)
xr 2qFS sx
(W/m2) ((m m)
RP 0 RC 0
m
M
T
T
t t t
T
x xx
R
r
qs
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 313 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Balance de energía, en el espacioanular
VA FE FS RP RC
0VA
HMFEx
(kg/s) (J/kg)
xr 2qFE sx
(W/m2) ((m m)
x
x
HHMFS
xx d
d
(kg/s) (J/kg)
RP 0 RC 0
Sumando términos, simplificando y
dividiendo por x
0rq2
x
hm s
d
d
0rq2
x
HM s
d
d
Solución de las ecuaciones diferen-ciales
Sustituyendo la relación térmicas,con la capacidad calorífica cons-tante
TtrU2
x
tcm
d
d (I)
TtrU2
x
TCM
d
d (II)
Resolviendo el sistema de ecua-ciones diferenciales, sumándolas.
0
x
TCM
x
tcm
d
d
d
d (III)
Integrando esta ecuación (III)
1CteCTMctm
(IV)
Despejando T.
tCM
cm
CM
CteT 1
Sustituyéndola en la ecuación (I)
t
CM
cm
CM
CtetrU2
x
tcm 1
d
d
Reunión de constantes
cmCMrU2
cmCM
, m
Con lo que se obtiene
1CtecmCM
1
t
1
x
t
d
d
Acomodando variables (factor inte-grante)
xcmCM
Cte
x
xt 1 expd
expd
Integrando
21 Ctex
cmCM
Ctext
expexp
Despejando t
xCte
cmCM
Ctet 2
1 exp
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 314 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Condiciones de contorno
a x 0 t t0
021 tCteCtecmCM
1
(i)
a x L T TL
Lx
1L t
CM
cm
CM
CteT
LCte
cmCM
Ctet 2
1
Lx
exp
1CtecmCM
1
CM
cm
CM
1
L2 TCteLCM
cmexp
(ii)
Resolviendo el sistema de ecua-ciones (i) y (ii) para las constantes
L11cm
CM
LtTcm
CM0L
exp
exp
, K
cmCMCte1
02 tCte
Sustituyendo en las ecuaciones (i) y(ii)
xtt 0 exp
tCM
cm
CM
cm1T
Desarrollando , el resultado enfunción de t, se tiene
xt
t
0
exp
x1
L2cm
CM
Lt
T
cm
CM
0
L
exp
exp
exp
4.13
Verificación
a x 0 t t0
a x L T TL
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 315 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
4.14 Alambre eléctrico
Volumen de control
Variable independiente
z: posición en direccióndel flujo de calor, m
Variable dependienteT: temperatura, K
Variables fijasTf : temperatura del medio, KD: diámetro del alambre, m
L: largo del alambre, m
Parámetrosk: conductibilidad (conducti-
vidad) térmica, W/m Kh: coeficiente de Transf. de calor
(película) del medio, W/m2 K
Condiciones de contorno
a z 0 T T0
a z L T TL
Relaciones constitutivas
Sólido:z
Tk
Tkq
d
d
d
d
Medio: f s TThq
Generación: RI 2S
r Tk ,k
PvTTh medioW ,,,h
área:2
z D4
a
perímetro: DPz
Condiciones del modeloFlujo de calor en estado
estacionario
q 0 y qr 0Efectos de contacto despreciablesGeometría cilíndrica perfectaMaterial isótropoS, k, y h constantes
Balance de energía, en el alambre
VA FE FS RP RC
0VA
zzzaqFE (W/m2) (m2)
zzzzzaqqFS
(W/m2) (m2)
zhz
PqFS (W/m2) (m2)
zRP Sa (W/m3) (m3)
RC 0
Sumando términos, simplificando y
dividiendo por r
0s
a
Pq
q
z
zz
z
Obteniendo el límite cuando 0,se tiene
T Tqh
T
qz
D
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 316 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
0s
a
Pq
q
z
zh
z
d
d
Solución de la ecuación diferencial
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas, con k constante
0
k
STT
kD
h4Tf 22
2
d
d
Cambiando variables y reuniendoconstantes
dd z
kD
h4m
h4
DSTT f
0mr
2
2
2
d
d
Integrando, la ecuación diferencialordinaria lineal
mzCtemzCte 21 coshsenh
Condiciones de contorno
a z 0 T T0 0
02Cte
a z L T TL L
mL
mLCte 0L
1senh
cosh
Sustituyendo se obtiene la relaciónfinal
2f 0
2f
km
STT
km
STT
mL
mz
km
STT
km
STT
2f 0
2f L
senh
senh
mL
zLm
senh
senh
4.14
El flujo de calor
mL
mz
km
STTkmq 2f Lz
senh
cosh
mL
zLm
km
STT
2f 0senh
cosh
Verificación
a z 0 T T0 0
a z L T TL L
Para el caso a), recto, se sustituyela variable
z z y L L
Para el caso b), curvo, se sustituyela variable
z y L
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 317 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
4.15 Intercambiador de calor confluido lento y viscoso
Volumen de control
Variable independientex: posición en dirección del
flujo de masa, m
Variable dependienteT: temperatura, K
Variables fijasD: diametro del tubo interno, m
m flujo de masa, kg/sL: longitud del tubo, mTf : temperatura del medio K
Parámetrosc: capacidad calorífica del
fluido interno J/kg Kk: conductibilidad térmica
del fluido interno, W/m KU: coeficiente global de trans-
ferencia de calor, basado enel radio interno, W/m2 K
Condiciones de contorno
a x 0 T T0
a x L T TL
Relaciones constitutivas
x
Tkqx
d
d
.,k sustTk
Ref ttch .,c sustTc
(entalpía)
TtUqh vsustTU .,,U
Condiciones del modeloFlujo de masa y calor en estado
estacionario
0xv x
Flujo tipo de pistón
0
r
T
0r
v x
0
θr
T
0θr
v x
Flujo de fluidos desarrolladoGeometría perfecta
, c, k, y U constantesTf constante
Balance de energía, en el conductointerior
VA FE FS RP RC
0VA
4DqhmFE 2xx (kg/s) (J/kg); (W/m2)(m2)
x
x
hhmFS
xx d
d
4Dx
x
qq 2x
x
d
d
(kg/s) (J/kg); (W/m2)(m2)
xDqFS hx
(W/m2)(m2)
m
T T T
r
x
xx
qx
qh
Tf
D
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 318 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
RP 0 RC 0
Sumando términos, simplificando ydividiendo por x
0q
D
4
x
q
x
h
D
m4h
x
2
d
d
d
d
Solución de las ecuaciones diferen-ciales
Sustituyendo las relaciones térmi-cas, con parámetros constantes
0TT
kD
U4
x
T
kD
Cm4
x
Tf 22
2
d
d
d
d
Reunión de constantes y variables
f TT
kD
U4m , 1/m
kD
Cm42
, 1/m
Sustituyendo
0m
xx
2
2
2
d
d
d
d
Integrando esta ecuación, con
kD
U4
kD
Cm2m
4
2
2
22
xCte2x 1senhexp
xCte2 cosh
Condiciones de contorno
a x 0 T T0 0
02Cte
a x L T TL L
L
L2LCte 0L
1
senh
coshexp
Sustituyendo y haciendo el trabajo
algebraico, se tiene
f 0
f
TT
TT
xL2L
x
TT
TT
f 0
f L expsenh
senh
2
x
L
xLexp
senh
senh
4.15
Verificación
a x 0 T T0
a x L T TL
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 319 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
4.16 Reactor tubular
Volumen de control
Variable independientex: posición en la dirección
del flujo de masa, m
Variable dependienteT: temperatura, K
Variables fijasD: diámetro del tubo interno, m
m flujo de masa, kg/s
L: longitud del tubo, mTf : temperatura del medio K
Parámetrosc: capacidad calorífica del
fluido interno J/kg Kk: conductibilidad térmica
del fluido interno, W/m KU: coeficiente global de trans-
ferencia de calor, basado en
el radio interno, W/m2 KS: generación de energía,
W/m3
Condiciones de contorno
a x 0 T T0
a x L T TL
Relaciones constitutivas
x
Tkqx
d
d
.,k sustTk
Ref ttch .,c sustTc
TtUqh vsustTU .,,U
xHS 0 exp .,H sustTH0
Condiciones del modeloFlujo de masa y calor en estado
estacionario
0
x
v x
Flujo tipo de pistón
0
r
T
0r
v x
0
θr
T
0θr
v x
Flujo de fluidos desarrollado
Geometría perfecta, c, k, y U constantes
H0, T f y constantes
Balance de energía, en el conductointerior
VA FE FS RP RC
0VA
4DqhmFE
2
xx
(kg/s) (J/kg); (W/m2)(m2)
hhmFSxx
4Dqq 2
xx
(kg/s) (J/kg); (W/m2)(m2)
xDqFS hx
(W/m2)(m2)
2RP S D 4 x (W/m3)(m2 m)
RC 0
x xx
m
T T
T
r qx
qh
Tf
D
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 320 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Sumando términos, simplificando y
dividiendo por x.
0Sq
D
4
x
q
x
h
D
m4h
x
2
Obteniendo el límite cuando x 0,se tiene
0Sq
D
4
x
q
x
h
D
m4h
x
2
d
d
d
d
Solución de las ecuaciones diferen-ciales
Sustituyendo las relaciones térmi-cas, con parámetros constantes
f 22
2
TTkD
h4
x
T
kD
Cm4
x
T
d
d
d
d
0x
k
H0 exp
Caso a) qh h(T Tf )
Reunión de constantes y variables
f TT
kD
h4m , 1/m
kD
Cm4
2
, 1/m
x
k
Hm
xx02
2
2
expd
d
d
d
Integrando esta ecuación, con
kD
U4
kD
Cm2m
4
2
2
22
xCte2x 1senhexp
xCte2 cosh
xm
kH22
0
exp
Condiciones de contorno, con
22
0
m
kHC
a x 0 T T0 0
22
0f 02
m
kHTTCteB
a x L T TL L
1Cte A
22
0f L
m
LkHTT
exp
L
2L
senh
exp
L
L
m
kHTT
22
0f 0
senh
cosh
Con lo que
x A2xTT f senhexp
xCxB expcosh
4.16 a)
Verificación
a x 0 T T0
a x L T TL
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 321 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Caso b) qh 0
xk
HxT
xT 0
2
2 exp
dd
dd
Integrando
xCxB AT expexp
4.16 b)
En los cuales:
kD
Cm42
2
0 kHC
a x 0 T T0
a x L T TL
L1
L1kH
TT
B2
0L0
exp
exp
0T A
L1
L1kH
TT2
0L0
exp
exp
2
0 kH
Verificación
a x 0 T T0
a x L T TL
4.17 Aleta anular
Volumen de control
Variable independienter: posición radial en dirección
del flujo de calor, m
Variable dependienteT: temperatura, K
Variables fijasR0: radio de la pared del
conducto, mRL: radio de la aleta, mL: longitud de la aleta, m2W: espesor de la aleta, mT0: temperatura en la base de
la aleta KTf : temperatura en el medio K
RL R0
2W
L
rr
qh
R0 qr
T TT
Tf
T0
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 322 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Parámetrosk: conductibilidad (conducti-
vidad) térmica del materialde la aleta, W/m K
h: coeficiente de transferenciade calor del medio, W/m2 K
Condiciones de contorno
a r R0 T T0
a r RL qr r=R L he Tr=R L
Tf
Relaciones constitutivas
r
Tkqr
d
d r Tk ,k
f h TThq
.,,,h etcagitaciónTTTh f
W2r 2 A r 2r 2Pr
Condiciones del modeloFlujo de calor en estado
estacionarioEfectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropok y h constantes
q 0
qz 0 ,T no varía con z 0
z
T
Balance de energía, en la aleta
VA FE FS RP RC
r r r AqFE (W/m2) (m2)
r
x
Aq AqFS r r
r r r r
d
d
(W/m2) (m2)
r PqFS r hr
(W/m2) (m2)
RP 0 RC 0
Sumando términos, simplificando y
dividiendo por r
0Pq
r
Aqr h
r r d
d
Desarrollando el producto
0Pqr
A
qr
q
A r r r
r r
r d
d
d
d
Solución de la ecuación diferencial.
Sustituyendo la Ley de Fourier conk constante, la Ley de enfriamientode Newton y las relaciones geomé-tricas
0TT
kW
h
r
T
r
1
r
Tf 2
2
d
d
d
d
Reunión de constantes y variables
f TT , KkW
hm , 1/m
Sustituyendo
0m
r r
1
r
2
2
2
d
d
d
d
Resolviendo la ecuación de Bessel
mr Ctemr Cte 21 00 KI
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 323 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Condiciones de contorno
a r R0 T T0 0
02010 mRCtemRCte 00 KI
a r RL
L
L
L Rr e
Rr Rr r h
r kq
d
d
Nota: se considera que en el borde
el coeficiente de transferencia decalor es diferente que sobre odebajo de la superficie de la aleta.
hhe
Derivando la ecuación del modelo
mr mCtemr mCte
r 21 11 KI
d
d
Aplicándola a la condición de con-torno en RL
L2L1 mRCtemRCtekm 11 KI
L2L1e mRCtemRCteh 00 KI
Despejando las constantes, con
kW
h
m
Le
L
Le
L
mRkm
hmR
mRkm
hmR
C
01
01
KK
II
00f 0
f
mRCmR
mr Cmr
TT
TT
00
00
KI
KI
4.17
Flujo de calor
00
f 0r mRCmR
mr Cmr TTkmq
00
11
KI
KI
Verificación
a r R0 T T0
a r RL qr r=R L he Tr=R L
Tf
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 324 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
4,18 Membrana semipermeable
Volumen de control
Variable independiente
x: posición en la dirección delflujo de soluto, dentro de la
membrana, mVariable dependiente
C A: concentración del soluto,kmolA/m3
Variables fijas A: área de la lámina, m2 L: espesor de la lámina, m
Parámetros
D AB: difusividad másica del solutoen el material, m2/s
kC: coeficiente de transferenciade masa en el medio, m/s
Condiciones de contorno
a x 0 C A C A0
a x L N Axx=L kC C Ax=L C Af
Relaciones constitutivas
x
CDJ A AB Ax
d
d
xTD AB ,D AB
Af AsC As CCkN
..,,,kC etcagitCCCk Af A AC
Condiciones del modeloFlujo de masa de A en estado
estacionario
N Ax J Ax; vx 0;
N Ay 0; N Az 0Geometría perfectaMaterial isótropoD AB y kC constantesC Af constante
Balance de masa del soluto A
VA FE FS RP RC
0VA zyNFE Axx
(kmolA/m2 s)(m2)
zyNzyNFS Ax Axxx
(kmolA/m2 s)(m2)RP 0 RC 0
Sumando términos, simplificando y
dividiendo por xyz.
0x
N Ax
Obteniendo el límite cuando x 0,se tiene,
0
x
N Ax d
d
x xx
C A C A C A
N Ax
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 325 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Solución de la ecuación diferencial
Sustituyendo la ley de Fick, condifusividad constante.
0
x
C2
A
2
d
d
Resolviendo esta ecuación,
2
A Cte
x
C
d
d
Integrando otra vez.
xCteCteC 21 A
Condiciones de contorno
a x 0 C A C A0 0 A1 CCte
a x L
Lx
A ABLx Ax
x
CDN
d
d
Af Lx AC CCk
Af 21C2 AB CLCteCtekCteD
LkD
CCkCte
C AB
Af 0 AC2
Sustituyendo
LkD
x
CC
CC
C AB0 A Af
0 A A
4.18
El flujo de sustancia soluto del A através de la membrana es
ABC
Af 0 A Ax
DLk1
CCN
Verificación
a x 0 C A C0
a x L N Axx=L kC C Ax=L C Af
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 326 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
4.19 Tubo de diálisis
Volumen de control
Variable independienter: posición radial, en dirección
del flujo de A, m
Variable dependienteC A: concentración de A, dentro
de la pared del conductokmolA/m3
Variables fijasR0: radio de la cara interna, m
R: radio de la cara externa, mL: longitud del conducto, m
ParámetrosD AB: difusividad másica de A en el
material del conducto, m2/skC: coeficiente de transferencia
de A en el medio, m/s
Condiciones de contorno
a r R0 T C Ao
a r R
qr r=R kC C Ar=R C Af
Relaciones constitutivas
r
CDJ A
AB Ar d
d r TD AB ,D AB
Af AsC As CCkN
..,,,kC etcagitCCCk Af A AC
Condiciones del modeloFlujo de masa de A en estado
estacionario
N Ar J Ar ; vr 0;
N A 0; N Az 0Geometría cilíndrica perfectaMaterial isótropo
D AB y kC constantesC Af constante
Balance de la masa de A, en lapared de tubo.
VA FE FS RP RC
0VA
zr NFE Ar r (kmolA/m
2
s)(m
2
)
r r
zr Nzr NFS Ar
Ar r r
d
d
(kmolA/m2 s)(m2)RP 0 RC 0
Sumando términos, simplificando y
dividiendo por r.
R
R0
r
r
N Ar
C A C A C A
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 327 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
0rN
r
Nr
r
rN Ar
Ar Ar d
d
d
d
Solución de la ecuación diferencial
Sustituyendo la Ley de Fick con D AB constante.
0
r
C
r
1
r
C A
2
A
2
d
d
d
d
Integrando, la ecuación en términosdel flujo de masa.
1 Ar CterN
r
CteJ
r
CD 1
Ar A
AB d
d
Integrando esta expresión
2
AB
1 A Cter
DCteC ln
Condiciones de contorno
a r R0 C A C Ao
0
AB
10 A2 R
D
CteCCte ln
a r R
Rr
A ABRr Ar
r
CDN
d
d
Af Rr AC CCk
Af 2
AB
1C
1 CCteRD
Ctek
R
Cteln
Despejando la constante
Rk
1
D
R
D
R
CCCte
C AB AB
0
0 A Af 1 lnln
Reunión de constantes.
AB
000
C
0
D
RRR
R
R
k
1
1K
ln
Sustituyendo
0
AB
00
0 A Af
0 A A Rr D
KR
CC
CCln
4.19
r
CCKN Af 0 A
0 Ar
Verificación
a r R0 T C Ao
a r R
qr r=R kC C Ar=R C Af
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 342/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 328 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
4.20 Cilindro difusor
Volumen de control
Variable independientez: posición en la dirección del
flujo de masa de A, m
Variable dependienteC A: concentración de A kmolA/m3
Variables fijasR: radio del cilindro, m
L: longitud del cilindro, mC Af : concentración de A en
el medio, kmolA/m3
ParámetrosD AB: difusividad másica de A en el
material del cilindro, m2/sK: coeficiente de transferencia
de A en el medio, m/s
Condiciones de contorno
a z 0 C A C A0
a z L N Az 0
Relaciones constitutivas
z
CDJ A
AB Azd
d zTD AB ,D AB
f A As CCKN
..,,,K etcagitCCCKf A A
Condiciones del modeloFlujo de masa de A en estado
estacionario
N Az J Az; vz 0;
N Ar 0; N A 0Geometría perfectaEfectos de borde despreciablesMaterial isótropo
D AB y K constantesC Af constante
Balance de masa de A
VA FE FS RP RC
0VA 2
AzzRNFE (kmolA/m2 s)(m2)
2 Az
2 Azzz
RNRNFS
(kmolA/m2 s)(m2)
zR2NFS Akx
(kmolA/m2 s)(m2)
RP 0 RC 0
Sumando términos, simplificando y
dividiendo por R2z.
0NR
2
z
N Ak Az
Obteniendo el límite cuando x 0,se tiene
0N
R
2
x
N Ak
Az d
d
C A C A C A r
z zz
N Az
N Ak
C Af
R
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 329 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Solución de las ecuaciones diferen-ciales
Sustituyendo las relaciones de latransferencia de masa, con difusi-vidad constante.
0CC
RD
K2
z
C Af A
AB2
A
2
d
d
Caso a) K K0, constante
Reunión de constantes y variables
Af A CC AB
0
RD
K2m
Sustituyendo en la ecuación del
modelo general, se tiene que
0m
z
2
2
2
d
d
Resolviendo esta ecuación, diferen-cial ordinaria lineal de coeficientesconstantes
mzCtemzCteC 21 A coshsenh
Condiciones de contorno
a z 0 C A C A0
f 0 A02 CCCte
a z L N Ax 0
Derivando la ecuación del modelo
mzmCte
z
C1
A coshd
d
mzmCte2 senh
mLCtemDz
CD 1 AB
Lz
A AB cosh
d
d
0mLCte2 senh
mL
mLCCCte Af 0 A1
cosh
senh
Sustituyendo
mL
zLm
CC
CC
Af 0 A
Af A
cosh
cosh
4.20 a)
El flujo de sustancia A a través de lamembrana es
mL
zLmCCmDN Af 0 A AB Az
cosh
senh
Verificación
a z 0 C A C0
a z L N Az 0
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 330 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Caso b) K K01zL
Reunión de constantes y variables.
Af A CC , kmolA/m3
Lz1 dd Lz
AB
0
RD
K2L
Sustituyendo en la ecuación delmodelo general, se tiene que
0
2
2
2
d
d
Resolviendo la ecuación, de Bessel
211
21 Af A 2CteCC 1I
212 2Cte 1K
Condiciones de contornoa z L 0
0
Lz
CN
LzLz
A
Lz Az
d
d
d
d
Derivando la ecuación del modelo,con
d
d
21
2
21
1 2Cte2Cte 00 KI
0Cte2
a z 0 1 C A C A0
2
CCCte Af 0 A
1
1I
Sustituyendo
2
Lz12
L
z1
CC
CC 2121
Af 0 A
Af A
1
1
I
I
4.20 b)
El flujo de la sustancia A a través dela membrana es
Af 0 A AB Az CCLDN
2
Lz1221
1
0
I
I
Verificación
a z 0 C A C A0
Verificacióna z L N Az 0
No cumple esta condición decontorno.
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 331 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
4.21 Chimenea
Volumen de control
Variable independiente
z: posición dirección del flujode masa de A, m
Variable dependienteC A: concentración de A kmolA/m3
Variables fijasR: radio de la torre, mL: longitud de la torre, m
Parámetros
D AB: difusividad másica de A enel gas, m2/s
: densidad molar kmol/m3
Condiciones de contorno
a z 0 C A C A0
a z L C A C AL
Relaciones constitutivas
N: intensidad de flujo de masatotal en la torre, kmol/s m2
z
CDJ A
AB Azd
d zTD AB ,D AB
Nv z ACT,
B A NNN
Az Az A JCvN
Condiciones del modeloFlujo de masa de A en estadoestacionario
El aire no se difunde, NB 0
N Ar 0; N A 0, flujo homogéneoGeometría perfectaEfectos de borde despreciables
D AB, , P y T constantes
Balance de masa de A
VA FE FS RP RC
0VA
r r NFE Azz (kmolA/m2 s)(m2)
z
z
r r Nr r NFS Az
Azzz
d
d
(kmolA/m2 s)(m2)
RP 0 RC 0
Sumando términos y simplificando
0
z
N Az d
d
Integrando la ecuación diferencial
1 Az CteN
z
z z
C A
C A C A
N Az
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 332 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas
Az Az Az JCvN
z
CDC
N A AB A
Az
d
d
Despejando N Az,
1
A
A AB
Az Cte
C1
z
CD
N
d
d
Integrando esta relación
21
A
AB CtezCte1
C1
D
ln
Condiciones de contorno
a z 0 C A C A0
0 A AB2
C1DCte ln
a z L C A C AL
AL0 A AB1
C1
C1
L
DCte lnln
Sustituyendo
L
z
0 A
AL
0 A
A
C1
C1
C1
C1
4.21
El flujo de la sustancia A dentro dela chimenea es
0 A
AL AB Az
C1
C1
L
DN ln
Verificación
Condiciones de contorno
a z 0 C A C A0
a z L C A C AL
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 333 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
4,22 Difusión gaseosa
Volumen de control
Variable independiente
x: posición dirección del flujode A. m
Variable dependienteC A: concentración de A, kmolA/m3
Variables fijas A: área del conducto, m2
L: longitud del conducto, mParámetros
D AB: difusividad másica de A, m2/s
: densidad molar kmol/m3
Condiciones de contorno
a x 0 C A C A0
a x L C A 0
Relaciones constitutivas
RXN: 2 A B
Bx Ax N2N
Ax Ax Ax JCvN
z
CDJ A
AB Azd
d zTD AB ,D AB
N: intensidad de flujo de masatotal en la torre, kmol/s m2
Nv x ACT,
Bx Ax NNN
Condiciones del modeloFlujo de masa de A, en estado
estacionario
N Ax J Ax
N Ay 0; N Az 0, flujo homogéneo
Geometría perfectaEfectos de borde despreciables
D AB y constantesVelocidad de reacción rápida
Caída de presión pequeña
Balance de masa de A
VA FE FS RP RC
0VA
zyNFE Axx (kmolA/m2 s)(m2)
zyNzyNFS Ax Axxx
(kmolA/m2 s)(m2)RP 0 RC 0
Sumando términos, simplificando y
dividiendo por xyz.
0x
N Ax
Obteniendo el límite cuando x 0,se tiene
0
x
N Ax d
d
x xx
C A C A C A
N Ax NBx
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 334 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Balance de masa total
VA FE FS 0
zyNFEx
(kmol/m2 s)(m2)
zyNzyNFSxx
(kmol/m2 s)(m2)
Sumando términos, simplificando y
dividiendo por xyz.
0x
N
Obteniendo el límite cuando x 0,se tiene
0
x
N
d
d
Integrando las ecuaciones diferen-ciales
1 Ax CteN 0CteN
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas
x
CDC
NJCvN A
AB A Ax Ax Axd
d
Por otro lado
2N2NNNNN Ax Ax AxBx Ax
Con lo que,
x
CDC
2
NN A
AB A Ax
Axd
d
Despejando N Ax,
1
A
A AB
Ax Cte
2
C1
xCD
N
dd
Integrando esta relación.
21
A
AB CtexCte21
2
C1
D
ln
Condiciones de contorno
a x 0 C A C A0
2
C1D2Cte 0 A
AB2 ln
a x L C A 0(velocidad de reacción instantánea)
2
C1
L
D2Cte 0 A AB
1 ln
Sustituyendo
L
z
0 A0 A
A
2C11
2C12C1
4.22
El flujo de la sustancia A dentro delconducto
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 335 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
2
C1
L
D2N 0 A AB
Ax ln
Verificación
Condiciones de contorno
a x 0 C A C A0
a x L C A 0
4.23 Torre de absorción
Volumen de control
Variable independientez: posición en la dirección del
flujo de masa de A, m
Variable dependienteC A: concentración de A, kmolA/m3
Variable intermediaG: flujo total del gas, kmol/s
Variables fijasR: radio de la torre, mH: altura de la torre, mG0: flujo de gas inerte
(“en base seca”), kmol/s
ParámetroskC: coeficiente de transferencia
entre las fases, m/sC As: concentración de A en la
ineterfase kmolA/m3
: densidad molar kmol/m3
z
z z
N Az
N Ak C A C A
C A
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 336 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Condición de contorno
a z 0 C A 0
Relaciones constitutivas
A2 Az CG
R
4N
A
0
GCGG ACT,
A AsC Ak CCkN
..,,,kC etcagitCCCk A As AC
Condiciones del modeloFlujo de masa de A en estado
estacionario
N Az vz C A; J Az 0;
N Ar 0; N A 0flujo homogéneoEfectos de borde despreciables
kC y constantesLos gases se comportan como
gas ideal o perfectoGeometría perfecta y el espesor
del líquido sobre la pared esdespreciable para los cálculosrequeridos para el gas.
Balance de masa de A, en el gas
VA FE FS RP RC
0VA
4RNFE 2
Azz (kmolA/m2 s)(m2)
4Rz
z
NNFS 2 Az
Azzz
d
d
(kmolA/m2 s)(m2)
zR2NFE Akz
(kmolA/m2 s)(m2)
RP 0 RC 0
Sumando términos y simplificando
0RN2
z
N
4
R Ak
Az2
d
d
Solución de la ecuación diferencial
Sustituyendo las relaciones consti-
tutivas, con constante.
0CCRk2z
GC1 A AsC
A d
d
z
GC
z
CG A
A
d
d
d
d
A AsC CCkR2
Por otro lado, expresando el flujo entérminos de C A.
A
0
C
GG
Derivando
z
C
C
G
z
G A
2
A
0
d
d
d
d
Sustituyendo en la ecuación delbalance de masa.
z
C
C
GC
z
C
C
G A
2
A
0 A
A
A
0
d
d
d
d
A AsC CCkR2
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 337 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Simplificando
zG
Rk2
CCC
C
0
C
A As
2
A
A dd
Integrando, la ecuación
A As C
1
C
1
A
A As
As C
CC
C
1ln
CtezG
Rk2
0
C
Condición de contorno
a z 0 C A 0
As
As As
C
C
11
C
1Cte ln
Sustituyéndola
A
As A
As A
A
C1
CC1
C1
1
C1
Cln
zG
CRk2
0
AsC
4.23
4.24 Reacción con difusión
Volumen de control
Variable independientex: posición en la dirección
del flujo de masa de A, m
Variable dependienteC A: concentración de A, kmolA/m3
Variables fijasR: radio del reactor, mL: longitud del reactor, m
vx: velocidad de lamasa, m/s
: conversión a la salida.
ParámetrosD AB: difusividad másica de A en el
material del cilindro, m2/sk: coeficiente de velocidad
(tasa) de reacción, 1/s
Condiciones de contorno
a x 0 C A C0
a x L C A C0
Relaciones constitutivas
x
CDJ A
AB Axd
d zTD AB ,D AB
C A C A C A
x xx
N Ax
R
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 338 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Ax Ax Ax JCvN xr v x ,v x
RXN: Productos A k
A A kCr
Tk k ACT,
Condiciones del modeloFlujo de masa de A en estado
estacionarioTemperatura constante: calor de
reacción y disolución despre-
ciables(RXN 0 y Dis 0)
N Ax vx C A + J Ax
N Ar 0; N A 0flujo homogéneoGeometría perfectaEfectos de borde despreciables
D AB, k y constantesvx constante
vr 0; v 0
Balance de masa de A
VA FE FS RP RC
0VA
r r NFE Axx (kmolA/m2 s)(m2)
r r Nr r NFS Ax Axxx
(kmolA/m2 s)(m2)RP 0
AxRC r r r z
Sumando términos, simplificando y
dividiendo por r r z.
0r x
N A
Ax
Obteniendo el límite cuando x 0,se tiene
0r x
N A
Ax d
d
Solución de la ecuación diferencial
Sustituyendo las relaciones cons-titutivas con vx y parámetrosconstantes
0CD
k
x
C
D
v
x
C A
AB
A
AB
x
2
A2
d
d
d
d
Reunión de constantes
AB
2
AB
x
D
k
D2
vm
1/m
AB
x
D2
v
1/m
0Cmx
C2
x
C A
22 A
2
A2
d
d
d
d
Resolviendo esta ecuación, diferen-cial ordinaria lineal de coeficientesconstantes
mzCtexC 1 A senhexp
mzCte2 cosh
Condiciones de contorno
a x 0 C A C0 02 CCte
a x L C A C0
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 353/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 339 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
mL
mLC
mL
LCCte 00
1senh
cosh
senh
exp
Sustituyendo las constantes
mL
mx
C
C
0
A
senh
senh
mL
xLmsenx
senh
hexp
4.24
El flujo de la sustancia A dentro dedel reactor
A AB Ax CD2N
mL
mxmCD 0 AB
senh
cosh
mL
xLmxmsenh
coshexp
mL
xLmsenx
senh
hexp
Verificación
a x 0 C A C0
a x L C A C0
4.25 “Filtro” químico
Volumen de control
Variable independientez: posición en dirección del
flujo de masa de A, m
Variable dependienteC A: concentración de A kmolA/m3
Variables fijasR: radio del reactor mL: longitud del reactor, m
ParámetrosD AB: difusividad másica de A en el
material del reactor, m2/sk: coeficiente de velocidad
(tasa) de reacción 1/s
Condiciones de contorno
a z 0 C A C0
a z L C A C0
Relaciones constitutivas
RXN: Productos A k
A A kCr Tk k
ACT,
z
CDJ A
AB Azd
d zTD AB ,D AB
C A C A C A
z zz
N Az
R
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 340 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico
Condiciones del modeloFlujo de masa de A en estado
estacionarioN Az J Az; vz 0;
N Ar 0; N A 0Flujo homogéneoGeometría perfectaEfectos de borde despreciables
D AB, k y constantesEfectos térmicos despreciables
(RXN 0 y (Dis 0)
Balance de masa de A
VA FE FS RP RC
0VA
r r NFE Azz (kmolA/m2 s)(m2)
z
z
r r Nr r NFS Az
Azzz
d
d
(kmolA/m2 s)(m2)
RP 0
AzRC r r r z
Sumando términos y simplificando
0r
z
N A
Az d
d
Sustituyendo las relaciones consti-
tutivas, con parámetros constantes.
0C
D
k
z
C A
AB2
A
2
d
d
Reunión de constantes.
ABD
km 1/m
0Cm
z
C A
2
2
A2
d
d
Resolviendo esta ecuación, diferen-cial ordinaria lineal de coeficientesconstantes.
mzCtemzCteC 21 A coshsenh
Condiciones de contorno
a z 0 C A C0 02 CCte
a z L C A C0
mL
mLC
mL
CCte 00
1senh
cosh
senh
Sustituyendo
mL
xLmsen
mL
mx
C
C
0
A
senh
h
senh
senh
4.25
El flujo de la sustancia A dentro del“filtro”
mL
mzCmDN 0 AB Az
senh
cosh
mL
zLm
senh
cosh
Verificación
a x 0 C A C0
a x L C A C0
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 341 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
5.01 Banda vibrante( Ecuación hiperbólica o de onda)
Sea el caso de una banda sopor-tada en dos puntos, sometida a unatensión T.
Volumen de control
Variables independientes
x: posición en dirección de lossoportes mt: tiempo s
Variable dependientey: deformación o posición en
la dirección del movimientoo deformación m
Variables fijasA: área trasversal de la
banda, m2 L: longitud de la banda, m
Parámetro: densidad kg/m3
Condiciones de contorno
a x 0 y 0 ta x L y 0 t
a t 0 y h sen xL xa t 0 y’ 0 x
Condición adicional de contorno
a t y 0 x
Relaciones constitutivas
Longitud del arco
2122 yxs
Ángulo
x
yarctg
Masa sAm T ρ
Aceleración 2
2
y t
ya
Condiciones del modeloEfectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropo y constantesA constante, la deformación no
afecta el área.
1x
s
El peso es despreciable con res-pecto a las otras fuerzas
Balance de fuerza, en la dirección y,vertical, (Ley de Newton)
VA FE FS + FN (fuerza neta)
AFExy sen N
AFSxxy sen
x
x
A
sen
N
y
y + y
h
s
x x + x
L
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 342 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
yyxFasAsgAFN
N
Sumando términos y simplificando,despreciando el peso de la banda yotras fuerzas, también dividendo porA, se tiene
0
xx
say
sen
El arco y el ángulo se evalúan con
212
x
y1
x
s
s
x
x
y
s
y
sen
Como el desplazamiento es peque-ño,
1x
y
1x
s
x
s
Sustituyendo estas aproximacionescon las relaciones constitutivas, seobtiene la ecuación del modelo
xx
y
t
y2
2
Considerando el esfuerzo, , y ladensidad, , como constantes yreuniéndolos
a , m/s
2
2
22
2
t
y
a
1
x
y
a) Solución usando transformadasde Laplace
Cambio de variable
L
xhyyy
0tsen
a x 0 0 ta x L 0 t
a t 0 0 x
a t 0 ’ 0 xDerivando
L
x
Lh
x
y
x
2
2
2
2
2
sen
2
2
2
2
t
y
t
Sustituyendo
2
2
2
2
2
2
ta
1
L
x
Lh
x
sen
Aplicando trasformadas de Laplacepara la variable t.
L
x
Ls
h
x
2
2
2
sen
0t
0t
22 t
ssa
1
Condiciones de contorno, para t
a t 0 0 ’ 0
Sustituyendo
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 357/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 343 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
Lx
Lsh
as
x
2
2
2
2
2
send
d
Se resuelve esta ecuación diferen-cial, en términos de la trasformadasde Laplace, por medio de losmétodos tradicionales
xa
sCtex
a
sCte 21 coshsenh
L
xh
sL
a
Lash
22
2
sen
Condiciones de contorno, para x
a x 0 0 s0 0Cte2
a x L 0 s0 0Cte1
Con lo que
L
xh
La
Lass
12
22
sen
Obteniendo la transformada inversade Laplace, para st, con ayuda deun cuadro de transformadas deLaplace
t
0
2
t
La
tL
a
L
xh
La d
sen
sen
Integrando
1tLaxLh cossen
Con lo que se obtiene el resultado
tLa
xL
hy cossen
5.01
b) Solución con el método de sepa-ración de variables
Cambio de variable
xVtxy ,
De tal forma que
0
x
V2
2
d
d
Integrando
xV
a x 0 V y 0 0
a x L V y 0 00V
y
Sustituyendo el valor de .
2
2
22
2
ta1
x
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 358/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 344 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
Separando variables
tx
2n2
2
22
2
ta
1
x
1
d
d
d
d
Resolviendo, para n 0,
xsCxC n2n1 cosen tasCtaC n4n3 cosen
Condiciones de contorno para x
a x 0 0 00C2
a x L 0 0 0LC n1 sen
Que se cumple para
nLn n 1, 2, 3,
Sustituyendo
tCx n5n sensen
tsC n6 co
Condiciones de contorno para t
a t 0 ’ 0 x
atCxat n5nn cossen
atC n6 sen
0C5
Sustituyendo y aplicando el principiode superpoción.
1n
nnn atsxA cosen
a t 0
L
xhx senf
Comparando la ecuación en térmi-nos de , con la Ecuación de Sturm-Liouville
0x
2n2
2
d
d
Se obtiene la función de peso
1x ρ
L
0
2
L
0
n
xL
xn
xL
xn
L
xh
A
d sen
d sensen
Como son funciones ortogonales,las An son diferentes de cero, sólopara n 1, por lo que A1 1; y lasolución queda
tL
ax
Lhy cossen
5.01
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 359/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 345 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
5.02 Barra aislada( Ecuación parabólica o de Fourier )
Volumen de control
Variables independientes
z: posición en la dirección delflujo de calor m
t: tiempo s
Variable dependienteT: temperatura, K
Variables fijasA: área del conducto, m2 L: longitud del conducto, m
Parámetrosk: conductibilidad (conducti-
vidad) térmica, W/m KCV: capacidad calorifica a
volumen constante, J/kg K: densidad kg/m3
Condiciones de contorno
a t 0 T T1 z
a z 0 T T0 t 0a z L T T0 t 0
Condición adicional de contorno
a t T T0 z
Relaciones constitutivas
z
Tkqz
d
d
zTk ,k
f V TTCe Re TCV V C
T ρ
Condiciones del modeloqr 0 y q 0Efectos de contacto despreciablesGeometría perfecta
Material isótropo y k constantesCV CP, constante.
Balance de energía
VA FE FS RP RC
zr r t
eVA
z
(J/kg) (1/s) (kg/m3) (m3)r r qFE zz
(W/m2) (m2)
z
z
r r qr r qFS z
zzz
(W/m2) (m2)RP 0 RC 0
Sumando términos, simplificando.
zq
te z
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas
z
z
Tk
t
TTC ref V
z zz
T T T
qx
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 360/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 346 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
Suponiendo parámetros constantesy reuniéndolos.
PCk m2/s
2
2
z
T
t
T
5.02a) Caso de la longitud finita
(Se usan transformadas de Laplace)
Cambio de variable
10
1
0t0z
0t
TT
TT
TT
TT
a t 0 0 z
a z 0 1 ta z L 1 t
Sustituyendo
2
2
zt
Aplicando trasformadas de Laplacepara la variable t.
2
2
zs
Arreglando
0s
z2
2
d
d
Se resuelve esta ecuación diferen-cial ordinaria, en términos de la
trasformadas de Laplace, por mediode los métodos convencionales.
z
sCte1senh
z
sCte2 cosh
Condiciones de contorno, para za z 0 1 s1
s1Cte2
a z L 1 s1
L
s
s
Ls
1
Cte1
senh
cosh
Con lo que
zs
Ls
s
Ls
1
senh
senh
cosh
zss1cosh
Arreglando
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 361/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 347 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
L
ss
zs
Ls
Ls
s
zs
senh
coshsenh
senh
senh
Ls
s
zs
Ls
senh
senhcosh
Se tiene
Ls
s
zLs
Ls
s
zs
senh
senh
senh
senh
Obteniendo la transformada inversade Laplace, para st, con ayuda de
un cuadro de transformadas deLaplace,
1n
2
22n
tL
n
n
12L
z
exp
Lz
nsen
1n2
22n
tL
n
n
12L
zL
exp
Lzlnsen
Simplificando
1n2
22n
tL
n
n
121 exp
z
L
nnz
L
nsensen
1n
2
22n
tL
n
n
121 exp
z
L
nnz
L
ncossensen
z
Lnn sencos
Entonces queda
1n
2
22n
tL
nn12
1 exp
z
L
n11 n
sen
para n par 011 n
para n impar 211 n
Lo que resulta
1n2
2
01
0 tL
1n24
TT
TTexp
Lz1n2sen
5.02a)
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 362/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 348 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
5.02b) Caso de la longitud infinita
(Se usan transformadas de Laplace)
Cambio de variable
10
1
0t0z
0t
TT
TT
TT
TT
a t 0 0 za z 0 1 ta z L 1 t
Sustituyendo
2
2
zt
Aplicando trasformadas de Laplacepara la variable t
2
2
zs
Arreglando
0s
z2
2
d
d
Se resuelve esta ecuación diferen-cial ordinaria, en términos de la
trasformadas de Laplace, por mediode los métodos convencionales
z
sCte1exp
z
sCte2 exp
Condiciones de contorno, para z
a z 1s1
0Cte1
a z 0 1 s1
s
1Cte2
Con lo que
s
ts
exp
Obteniendo la transformada inversade Laplace, para st, con ayuda deun cuadro de transformadas deLaplace,
t2
z
1 fer
t2
z
TT
TT
10
1 fcer
t2
z
t2
z1
0d exp
5.02b)
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 363/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 349 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
5.03 Placa térmica en estado esta-cionario
( Ecuación elíptica o de Laplace)
Volumen de control
Variables independientes
x: posición horizontal my: posición vertical m
Variable dependienteT: temperatura, K
Variables fijas A: longitud horizontal mB: longitud vertical, m
Parámetrosk: conductibilidad (conducti-
vidad) térmica, W/m K
Condiciones de contorno
a x 0 T T1 y
a x A T T1 y
a y 0 T T0x x 0
a y B T T1 x 0
Relaciones constitutivas
x
Tkqx
y
Tkqy
zTk ,k
Condiciones del modelo
qz 0Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropok constantes
Balance de energía
VA FE FS RP RC0VA
zyqFE xx (W/m2) (m2)
zxqFE yy
x
x
zyqzyqFS x
xxx
(W/m2) (m2)
yy
zxq
zxqFSy
yyy
RP 0 RC 0
Sumando términos, simplificando,
0y
q
x
q yx
T1
x
xxT
T Tqx
T1
T1
T0x
qy y
y y
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 364/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 350 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas.
0y
y
Tk
x
x
Tk
Suponiendo k constante.
0
y
T
x
T2
2
2
2
Resolviendo la ecuación
(Se usa el método de separación devariables)
Cambio de variable
xVyxT ,
De tal forma que
0
x
V2
2
d
d
Resolviéndola.
baxV
a x 0 V T1 b T1 a x A V T1 a 0
1TV
1TT
Sustituyendo el valor de .
2
2
2
2
yx
Separando variables
yx
2
n2
2
2
2
y
1
x
1
d
d
d
d
Resolviendo, para n 0,
xsCxC n2n1 cosen
yCyC n4n3 coshsenh
Con lo que
xsCxC n2n1 cosen
yCyC n4n3 coshsenh
Condiciones de contorno para x
a x 0 0 0
0C2
a x A 0 0
0 AC n1 sen
Que se cumple para
n An n 1, 2, 3,
Sustituyendo
yCx n5n senhsen
yC n6 cosh
Condiciones de contorno para y
a y B 0 x
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 365/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 351 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
BCBC0 n6n5 coshsenh
BBCC A
n
n65n
senhcosh
Por el principio de superposición.
1n
nnn yx A senhsen
yB
Bn
n
n
coshcosh
senh
Simplificando
1n n
nnn
B
Byx A
cosh
senhsen
a y 0 10 TxTx f
1n n
nnn
B
Bx A
cosh
senhsen
10 TxT
Con las propiedades de la series defunciones ortogonales y comparan-
do la ecuación en términos de ,con la Ecuación de Sturm-Liouville
0
xn2
2
d
d
Se obtiene la función de peso
1x ρ
B
B A
n
nn
senh
cosh
A
0
2
n
A
0n10
xx
xxTxT
d sen
d sen
Resolviendo y sustituyendo
A
2TT 1
1n
A
010 xx
AnTxT d sen
A
Bn
A
Byn
A
xn
cosh
senh
sen
5.03
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 366/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 352 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
5.04 Cilindro térmico
Volumen de control
Variable independienter: posición radial en dirección
del flujo de calor, m
Variable dependienteT: temperatura, K
Variables fijasR: radio del cilindro, mTf : temperatura del medio, K
Parámetrosk: conductibilidad (conducti-
vidad) térmica, W/m K
CV: capacidad calorifica avolumen, J/kg K
: densidad kg/m3
Condiciones de contorno
a t 0 T T0 r
a r 0 T’ 0 t 0
a r R t 0
5.04a) T T1
5.04b)Rr
Rr r r Tkq
f Rr TTh
Relaciones constitutivas
r
Tkqr
r Tk ,k
f V TTCe Re TCV V C
T ρ
Condiciones del modelo
qr 0 y q 0Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropo
y k constantes
CV CP, constante.
Balance de energía
VA FE FS RP RC
zr r t
eVA
r
zr qFE r r (W/m2) (m2)
r r
zr qzr qFS r r r r
(W/m2) (m2)RP 0 RC 0
Sumando términos, simplificando
r
r qr
t
e r
r
qr
R
r
T1
Tf
T T T
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 367/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 353 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas
r
r r Tk
r
1
t
TTC Ref V
Considerando parámetros constan-tes y reuniéndolos
PCk m2/s
r T
r 1
r T
tT
2
2
5.04a) Temperatura en la paredconocida
(Se usa transformada de Laplace)
Cambio de variable
01
0
0tRr
0t
TT
TT
TT
TT
a t 0 0 r
a r 0 ’ 0 t
a r R 1 t
Sustituyendo.
r r
1
r t 2
2
Aplicando la trasformada de La-place, para la variable t,
r r
1
r s
2
2
Arreglando
0s
r r
1
r 2
2
d
d
d
d
Se resuelve esta ecuación de Bes-sel, en términos de la trasformada
de Laplace, por medio de losmétodos convencionales
r
sCter
sCte 21 0 0 K I
Condiciones de contorno, para r
a r 0 ’ 0 s0
La derivada
r s
Cter s
Ctes
r 1211 K I
0Cte2
a r R 1 s1
R
ss
1Cte1
0 I
Con lo que
R
ssr
s0 0 I I
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 368/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 354 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
Obteniendo la transformada inversa
de Laplace, para st, con ayuda de
un cuadro de transformadas deLaplace
1TT
TT
01
0
1n n1n
n2
2
n
R
r t
R2
J
J exp 0
5.04a)
Las n, son las raíces positivas de
0n 0 J
5.04b) Temperatura del medioconocida
(Se usa transformada de Laplace)
Cambio de variable
0f
0
0tf
0t
TT
TT
TT
TT
a t 0 0 r
a r 0 0r 0r
t
a r R
1k
h
r Rr Rr
t
Sustituyendo
r r
1
r t 2
2
Aplicando la trasformada de La-place, para la variable t,
r r
1
r s
2
2
Arreglando
0sr r
1r 2
2
d d
d d
Se resuelve esta ecuación de Bes-sel, en términos de la trasformadade Laplace, por medio de losmétodos convencionales.
r s
Cter s
Cte 21 0 0 K I
Condiciones de contorno, para r
a r 0 ’ 0 s0
La derivada
r
sCter
sCte
s
r
1211 K I
0Cte2
a r R
s
1
k
h
r Rr Rr
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 369/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 355 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
R
sCteR
sCte
s1211 K I
s
1R
sCteR
sCte
k
h21 0 0 K I
Rss
Rs
k
hs
khCte
10
1
I I
Con lo que
Rss
h
kR
ss
r s
10 I I
I 0
s
s
g
h
Obteniendo la transformada inversa de
Laplace, para st, por el método de losresiduos, para los polos
0sn g
tss
sn
n
n expg
h
Derivando con respecto a s
R
s
s2
Rss 1I g
R
ss
h
k0I
R
ss
h
kR
s10 I I
Sustituyendo
tsr
s
1TT
TTn
n
0f
0
expI 0
R
ss
h
kR
s n1
nn1 I I
R
ss
h
kR
s n1
nn0 I I
Los polos son
0s0
0Rss
h
kR
s n1
nn0
I I
Sea Rsn
n i
Sustituyendo
k
hR21
TT
TT
0f
0
1n
n0
2
n
n2
2
n
1hR
k
R
r t
R
J
J exp 0
5.04b)
Las n, son las raíces positivas de
n0n1nk
hR J J
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 370/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 356 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
5.05 Barra difusora
Volumen de control
Variables independientes
z: posición dirección del flujo demasa de A, m
t: tiempo, s
Variable dependienteC A: concentración de la sustancia
A, kmol A/m3
Variables fijasR: radio de la barra, mL: longitud de la barra, m
ParámetroD AB: difusividad másica, m2/s
Condiciones de contorno
a t 0 C A C0 z
a z 0 C A C1 t 0a z L C A C2 t 0
Relaciones constitutivas
z
CDJ A
AB Az
zTD AB ,D AB
Condiciones del modelo
N Ar 0 y N A 0
N Az J Az Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropoD AB constante
Balance de masa de A
VA FE FS RP RC
zr r t
CVA A
z
r r NFE Azz (W/m2) (m2)
z
z
r r Nr r NFS Az
Azzz
(W/m2) (m2)RP 0 RC 0
Sumando términos, simplificando.
z
N
t
C Az A
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas.
z
z
CD
t
C A
AB
A
Suponiendo difusividad constante.
2
A
2
AB A
z
CD
t
C
x xx
C A C A + C A
N Az
C1
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 371/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 357 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
5.05a) Caso de la longitud finita
(Se usa el método de separación devariables)
Cambio de variable
zVtzC A ,
De tal forma que
0
z
V
2
2
d
d
Integrando
bazV
a z 0 V C1 b C1
a z L V C2 a C2 C1L
112 Cz
L
CCV
112
A CzL
CCC
Sustituyendo el valor de
2
2
ABz
Dt
Separando variables
tz
2
n
AB2
2
tD
1
z
1
d
d
d
d
Resolviendo para n 0
zczc n2n1 cossen
tDc2
n AB3 exp
zctD n4 AB
2
n senexp
zc n5 cos
Condiciones de contorno para z.
a z 0 0 0
0c5
a z L 0 0
0Lc n4 sen
Que se cumple para
nLn n 1, 2, 3,
Sustituyendo, con el principio desuperposición.
1n
n AB
2
nn ztD A2 senexp
Condiciones de contorno para t.
a t 0 z
zzL
CCCC 12
10 f
Comparando la ecuación en térmi-nos de , con la Ecuación de Sturm-Liouville.
0z
n2
2
d
d
Se obtiene la función de peso
1z ρ
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 372/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 358 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
n A
L
0
2
L
0
12
10
zL
zn
zL
z
nzL
CC
CC
d sen
d sen
L
0
10nL
znCC
n
L A cos
n
L
L
CC 12
L
0L
znz
L
zn
n
L
cossen
n
10n 11CCn
L A
n
12 1CCn
L
Con lo que se obtiene la solución
L
z
CC
CC
CC
CC
10
12
10
1 A
1n
2
AB
2
1n2
tL
D1n2
4exp
L
z1n2sen
1n
2
AB
22n
L
zn
n
tL
Dn1
2sen
exp
5.05a)
5.05b) Caso de la longitud infinita
Se usa un método específico paraeste caso englobando las dosvariables independientes en unasola, dado que las funcionesortogonales tienen valor cuando
z
Uniendo las variables
qtzC n
A f f
Conntzq
Derivando para sustituirla:
qt
z
q
qz
C n A
f f
2
2n2
2
22
2
2
2
A
2
qt
z
q
qz
q
qz
C
f f f
qnqt
qznt
t
q
qt
C 11n A
f f f
Sustituyendo en la ecuación delmodelo
2
2n2
AB
1
qtD
qnqt
f f
Considerando n -½, se obtieneuna ecuación diferencial ordinaria
qD2
q
q AB
2
2
d
df
d
f d
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 373/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 359 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
Resolviéndola, haciendo
qd
df p
ABD2
q
q
p
d
pd
Separando variables
qqD2
1
AB
d p
dp
Integrando
AB
2
1D4
qCte
qexp
d
f d p
Integrando otra vez
2
q
0 AB
2
1
CteqD4
qCte
d expf
Empleando las definiciones de lafunción error y de la de q
2
AB
21
1 CtetD2
zDCte
fer f
Condiciones de contorno
a z 0 C A C1 fer 0 0
12 CCte
a t 0 C A C0 fer 1
D
CCCte 10
1
Sustituyendo
tD2
z
CC
CC
AB10
1 A fer
5.05 b)
Nota:
tD2
z
CC
CC
AB01
0 A cfer
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 374/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 360 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
5.06 Difusión en una esfera
Volumen de control
Variable independienter: posición radial en dirección
del flujo de A, m
Variable dependiente
C A: concentración de la sus-tancia A, kmol A/m3
Variables fijasR: radio de la esfera, m
ParámetroD AB: difusividad másica, m2/s
Condiciones de contorno
a t 0 C A C0 z
a r 0
0t
C A
t 0
a r R C A CR 0 t 0
Relaciones constitutivas
r
CDJ A
AB Ar
; zTD AB ,D AB
Condiciones del modelo
N A 0 y N A 0
N Ar J Ar Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropoD AB constante
Balance de la sustancia A
VA FE FS RP RC
r r r t
CVA A
r
sen
(kmol A/m3) (1/s) (m3)
r r NFE Ar r sen
(kmol A/m2 s) (m2)
sen2
Ar r r r NFS
r
r
r N 2
Ar
sen
(kmol A/m2 s) (m2)RP 0 RC 0
Sumando términos, simplificando
r
r Nr
t
C 2
Ar 2 A
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas
r
r r
CD
t
Cr
2 A AB
A2
Suponiendo difusividad constante
r
N Ar
R
r
C A C A C A
CR
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 375/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 361 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
r
C
r
2
r
CD
t
C A2 A
2
AB A
Solución de la ecuación del modelo
(Se usa transformada de Laplace)
Cambio de variable
0R
0 A
0t ARr A
0t A A
CC
CC
CC
CC
a t 0 0 r
a r 0 ’ 0 t
a r R 1 t
Sustituyendo
r r
2
r
D
t2
2
AB
Aplicando la trasformada de Lapla-ce para la variable t.
r r
2
r Ds
2
2
AB
Arreglando
0D
s
r r
2
r AB2
2
d
d
d
d
Se resuelve esta ecuación de Bes-sel, en términos de la trasformadade Laplace por medio de losmétodos convencionales
r
D
sCter
AB
211
21 I
r
D
sCte
AB
212 I
Con las funciones de Bessel de ½.
r
D
s Ar
AB
1 senh
r
D
sB
AB
cosh
Evaluando las constantes, con lascondiciones de contorno para r.
a r 0 ’ 0 s0
La derivada
r
D
s A
D
sr
r AB AB
1 cosh
r
D
sB
AB
senh
r
D
s Ar
AB
2 senh
r
D
sB
AB
cosh
0B
a r R 1 s1
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 376/430
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 362 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
RD
s
s
R A
ABsenh
Con lo que
RD
s
s
r D
s
r
R
AB
AB
senh
senh
Obteniendo la transformada inversa
de Laplace, para st, con ayuda deun cuadro de transformadas deLaplace
1n
n
0R
0 A
n
1
r
R21
CC
CC
R
r ntD
R
n AB2
22
senexp
5.06
5.07 Barra porosa
Volumen de control
Variable independienter: posición radial, en dirección
del flujo de calor, m
Variable dependienteC A: concentración de A kmol A/m3
Variables fijasR: radio del cilindro, mL: longitud del cilindro, m
ParámetroD AB: difusividad másica, m2/skC: coeficiente de transferencia
de masa en el medio, m/s
Condiciones de contorno
a t 0 C A C0 0 z
a r 0
0t
C A
t 0
a r R t 0
Caso a) C A CR
Caso b) N Ar kCCR Cf
r
N Ar
R
r
C AR
C Af
C C A C A
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 363 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
Relaciones constitutivas
r
CDJ A AB Ar
; zTD AB ,D AB
Condiciones del modelo
N Az 0 y N A 0
N Ar J Ar Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropoD AB constante
Balance de la sustancia A
VA FE FS RP RC
r zr t
CVA A
r
(kmol A/m3) (1/s) (m3)
zr NFE Ar r
(kmol A/m2 s) (m2)
r
r
zr Nzr NFS Ar
Ar r r
(kmol A/m2 s) (m2)RP 0 RC 0
Sumando términos, simplificando
r
r N
r t
C Ar A
y sustituyendo las relaciones consti-tutivas
r
r r
CD
t
Cr
A AB
A
Suponiendo difusividad constante
r C
r 1
r CD
tC A
2
A2
AB A
Solución de la ecuación diferencial
(Se usa el método de separación devariables)
Cambio de variable
r Vtr y ,
De tal forma que
0
r
V
r
1
r
V2
2
d
d
d
d
Integrando
br aV ln
5.05a) Caso en que se conoce laconcentración en la pared(cara lateral)
Condiciones de contorno
a r 0 V’ 0 a 0a r R V CR b CR
RCV
R
0 R
C C
C C
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 364 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
Sustituyendo el valor de , con
AB
D
2
2
1
r r tr
Separando variables
tr
2
n2
2
at
1
r Ρr
1
r
1
d
d
d
d
d
d
Resolviendo para an 0
r acr ac n2n1 0 0 Y J
tac 2
n3 exp
Efectuando el producto
r acr acta n5n4
2
n 0 0 Y J exp
Condiciones de contorno para r
a r 0 ’ 0 0
r actaar
n14
2
nn J exp
r ac n15 Y
0c5
a r R 0 0
0Rac n4 0 J
Que se cumple para
Rann
n 1, 2, 3,
Sustituyendo, con el principio desuperposición
1n
2
2
nnn t
RR
r A expJ 0
Condición de contorno para t.
a t 0 r 1 f r
Comparando la ecuación en térmi-
nos de , con la Ecuación de Sturm-Liouville
0ar r
1
r
2
n2
2
d
d
d
d
Se obtiene la función de peso
r r ρ
R
0
2
n
R
0n
n
r R
r r
r Rr r 1
A
d J
d J
0
0
Integrando y simplificando
2
n
2
n
n
2
n
2R
R
A
1
1
J
J
Con lo que se obtiene el resultado
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 365 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
R0
R A
CC
CC
1n nn
n2
AB
2
n
R
r t
R
D
21
0
J
J exp
5.07a)
Los n son las raíces positivas de la
ecuación 0n 0 J
5.07b) Caso en que se conoce laconcentración en el medioque lo rodea
Condiciones de contorno
a r 0 0
r
V
d
d a 0
a r R f C AB Cbkr
VD
d
d
pero 0r
a
r
V
d
d entonces
f CbV
Haciendo el cambio de variable
f 0
f A
CCCC
Sustituyendo el valor de , con
ABD
tr r
1
r 2
2
Separando variables
tr
2
n2
2
at
1
r r
1
r
1
d
d
d
d
d
d
Resolviendo para an 0
r acr ac n2n1 0 0 Y J
tac 2
n3 exp
Efectuando el producto
r acr acta n5n42n 0 0 Y J exp
Condiciones de contorno para r,derivando la ecuación del modelo
r actaa
r
n14
2
nn J exp
r ac n15 Y
Por lo tanto
a r 0 0r 0r
0c5
a r R
f Rr
AC
Rr
AB CCkr
D
RactaaD n14
2
nn AB J exp
Ractak n42nC 0 J exp
Simplificando
RakRaDa nCn1 ABn 0 J J
Que se cumple para
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 366 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
Rann n 1, 2, 3,
Sustituyendo, con el principio desuperposición
1n
2
2
nnn t
RR
r A expJ 0
Condición de contorno para t
a t 0 r 1 f r
Comparando la ecuación en térmi-
nos de , con la Ecuación de Sturm-Liouville
0ar r
1
r
2n2
2
d
d
d
d
Se obtiene la función de peso
r r ρ
R
0
2
n
R
0n
n
r R
r r
r R
r r 1
A
d J
d J
0
0
Integrando
2
n0
22
n
2
nn
2
n
2
R
2
R
R
A
J J
J
1
1
Simplificando
n
2
n0nnn
n
1 A
1
1J
J J
Con lo que se obtiene el resultado
f 0
f A
CCCC
1n
n1
2
C
ABnn
n2
AB
2
n
Rk
D
R
r t
R
D
2
J
J exp 0
5.07b)
Los n son las raíces positivas de laecuación
0D
Rkn
AB
Cn1n 0 J J
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 367 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
5.08 Flujo sobre una placa
Volumen de control
Variables independientesy: posición perpendicular a la
dirección del flujo mt: tiempo s
Variable dependientevx: velocidad m/s
Variables fijas
W: espesor de la capa, mL: longitud de la placa, m
Parámetros
: viscosidad, kg/m s
: densidad, kg/m3
Condiciones de contorno
a t 0 vx 0 x
a y 0 vx 0 t 0
a y W
0y
v x
t 0
Relaciones constitutivas
y
v xyz
r T, μ PT, ρ
Condiciones del modelovy 0 y vz 0Geometría perfectaFluido homogéneoFlujo de fluido en régimen laminar
y constante
L
PP
x
P 0L
Balance de fuerza cantidad demovimiento
VA FE FS FN
zyxt
vVA x
(m/s) (1/s) (kg/m3) (m3)
xxxzvyvzyPFE
(Pa) (m2) + (kg/m3) (m/s) (m2) (m/s)
zxFE yxy (Pa) (m2)
xx
zyPzyPFS
xx
x
x
zyvzyv
2
x2
x
(Pa) (m2
) + (kg/m3
) (m/s) (m2
) (m/s)
yy
zxzxFS
yx
yxyy
(Pa) (m2)
0FN
Sumando términos, simplificando
vx0 x xx
vx vx vx
yx
y
y y
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 382/430
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 368 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
0
yx
P
x
v
t
v yx2
xx
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas.
y
y
v
L
PP
x
v
t
v
x
0L2
xx
Por otro lado, tomando en cuenta el
balance de masa.
x
v
tx
Para densidad constante
0
x
v x
Considerando parámetros constan-tes y las siguientes definiciones.
0L
PP 0L
m/s2
m2/s
vv x m/s
Se obtiene
2
2
y
v
t
v
(Se usa transformada de Laplace)
Cambio de variable
vvvv x0txx queda igual.
Aplicando la trasformada de Lapla-ce para la variable t
2
2
y
v
svs
Arreglando
s
vs
y
v2
2
d
d
Se resuelve esta ecuación, entérminos de la trasformada deLaplace por medio de los métodosconvencionales.
y
sCtev 1senh
22s
ys
Cte
cosh
La derivada
ysCtes
yv 1cosh
d d
y
sCte2 senh
Con las condiciones de contornopara y.
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 369 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
a y 0 vx 0 s0v
22 sCte
a y W
0y
v x
s0
y
v
Ws
Ws
CteCte 21
cosh
senh
Sustituyendo las constantes.
ys
Ws
s
Ws
v2
senh
cosh
senh
22 sys
s
cosh
Arreglando
Ws
s
yWs
sv
2
2
cosh
senh
Obteniendo la transformada inversa
de Laplace para st, con ayuda deun cuadro de transformadas deLaplace.
t
WyW
2
1tv
22
1n
3
n
3
2
1n2
1W16
t
W4
1n22
22
exp
W2
yW
2
1n2cos
Simplificando y sustituyendo lasconstantes
22
0L
W
y
2
1
W
y
L
WPPv
1n
3
n
31n2
116
t
W4
1n22
22
exp
W2
yW
2
1n2cos
5.08
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 384/430
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Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 370 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
5.09 Flujo en conducto cilíndrico
Volumen de control
Variables independientesr: posición radial mt: tiempo s
Variable dependientevz: velocidad m/s
Variables fijasR: radio interno del conducto
(de la capa de fluido), m
L: longitud del conducto, mParámetro
: viscosidad, kg/m s
: densidad, kg/m3
Condiciones de contorno
a t 0 vz 0 r
a r 0 0r v z t 0
a r R vr 0 t 0
Relaciones constitutivas
r vzrz
r zT ,, μ PT, ρ
Condiciones del modelo
v 0 y vr 0Fluido homogéneoFlujo de fluido en régimen laminarCondición de no deslizamiento
0vRr z
y constante
L
PP
z
P 0L
Balance de fuerza cantidad demovimiento
VA FE FS FN
zr r t
v
VA
z
(m/s) ) (1/s) (kg/m3) (m3)
zzzzvr r vr Pr FE
(Pa) (m2) +( kg/m3) (m/s) (m2) (m/s)
zr FE rzr (Pa) (m2)
zz
r Pr r Pr FS
zz
zz
r r vr r v2
z2z
(Pa) (m2) + (kg/m3) (m/s) (m2) (m/s)
r r r
r r FS rz
rzr r
(Pa) (m2)zr gr FN
Sumando términos, simplificando
z
vz vz0
r
r
rz
r
z z
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 371 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
g
r
r
z
v
z
P
t
v rz
2
zz
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas.
g
r
r
vr
z
v
L
PP
t
vz
2
z0Lz
Por otro lado, tomando en cuenta elbalance de masa,
z
v
tz
Para densidad constante
0
z
v z
Considerando parámetros constan-tes y las siguientes definiciones
0gL
PP 0L m/s2
m2/s
vv z m/s
Se obtiene
y
v
r
1
y
v
t
v2
2
(Se usa el método de separación devariables)
Cambio de variable
r Vtr v ,
De tal forma que
0
r
V
r
1
r
V2
2
d
d
d
d
Integrando
br ar
4
V 2
ln
a r 0 V’ 0 a 0
a r R V 0
2R4
b
Con lo que
22
Rr 1
4RV
y
22
R
r 1
4
Rv
Sustituyendo el valor de
r r 1
r t 2
2
Separando variables
tr
2
n2
2
at
1
r r
1
r
1
d
d
d
d
d
d
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 386/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 372 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
Resolviendo para an 0
r acr acP
n2n1 0 0 Y J
y
tac 2
n3 exp
Sustituyendo
r acr acta n5n4
2
n 0 0 Y J exp
Condiciones de contorno para r.
a r 0 0r r
v r
t 0
La derivada
r acr actaar
n5n4
2
nn 11 Y J exp
0c5
a r R vz 0 t 0
0r ac n4 0 J
Que se cumple para
Rann n 1, 2, 3,
Sustituyendo, con el principio desuperposición,
1n
n2
2
nnR
r
R
t A 0 J exp
Condiciones de contorno para t.
a t 0 r
r R
r 1
4
R0
22
f
Comparando la ecuación en térmi-
nos de , con la Ecuación de Sturm-
Liouville
0r ar r
r 2
n2
2
d
d
d
d
Se obtiene la función de peso
r r ρ
R
0
2
n
R
0n
22
n
r R
r r
r
R
r
R
r 1
4
Rr
A
d J
d J
0
0
2
n
2
n
n
n
2
n
2
4
4
R A
1
1
J
J
Con lo que se obtiene la solución
22
R
r 1
4
Rv
1n2
2
n
n
3
n
n
R
tR
r
8 expJ
J
1
0
5.09
Las n, son las raíces 0n 0 J
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 387/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 373 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
5.10 Placa Plana caliente
Volumen de control
Variables independientes
x: posición en dirección delflujo de calor m
t: tiempo s
Variable dependienteT: temperatura, K
Variables fijasW: espesor de la placa m
A: área transversal de la palca,
T: temperatura, KParámetros
k: conductibilidad (conducti-vidad) térmica, W/m K
S: generación de energíaW/kg
CV: capacidad calorifica avolumen constante, J/kg K
: densidad kg/m3
Condiciones de contorno
a t 0 T T0 x
a x 0 T T1 t 0
a x W T T1 t 0
Relaciones constitutivas
x
Tkqx
xTk ,k
f V TTCe Re TCV V C
T ρ
Condiciones del modelo
qy 0 y qz 0Geometría perfectaMaterial isótropo
y k constantes
CV CP, constante.
Balance de energía
VA FE FS RP RC
zyxt
eVA
x
(J/kg) (1/s) (kg/m3) (m3)
zyqFE xx (W/m2) (m2)
x
x
zyqzyqFS x
xxx
(W/m2) (m2)
zRP S x y z
RC 0
Sumando términos, simplificando
Sx
q
t
e x
T1
T1
x
xx
T T Tqx
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 388/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 374 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas
S
x
xTk
t
TTC ref V
Suponiendo parámetros constantesy reuniéndolos.
PCk m2/s
PCS K/s
2
2
x
T
t
T
Resolviendo la ecuación
(Se usa el método de separación devariables)
Cambio de variable
xVtxT ,
De tal forma que
0
x
V2
2
d
d
Integrando
baxx2
V 2
a x 0 V T1 b T1
a x W V T1 W2
a
1
22
TW
x
W
x
2
WV
Sustituyendo el valor de
1
22
1W
x
W
x
2
WTT
La ecuación del modelo queda.
2
2
xt
Separando variables
tx
2
n2
2
ax
1
t
1
d
d
d
d
Resolviendo para an 0
xaCxaC n2n1 cossen
tac 2n3 exp
Con lo que
xaCxaC n5n4 cossen
ta
2
nexp
Condiciones de contorno para x
a x 0 0 c5 0
a x W 0
0Wac n4 sen
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 389/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 375 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
Que se cumple para
nWann
n 1, 2, 3,
Sustituyendo, con el principio desuperposición
1n2
22
nW
tn A exp
W
xnsen
Condiciones de contorno para t
a t 0 T0 V f (x) x
1n
nW
xn A sen
W
x
W
x
2
WTT
22
10
Con las propiedades de la series defunciones ortogonales y comparan-
do la ecuación en términos de ,con la Ecuación de Sturm-Liouville.
0ax
2
n2
2
Se obtiene la función de peso.
1x ρ
n A
W
0
222
10W
x
2
W
W
x
2
WTT
W
0
2
xW
xnx
W
xn d send sen
2
W
11n
W
n
WTT
A
n
33
3
01
n
Resolviendo y sustituyendo.
W
x
W
x
2
WTT
22
1
1n33
201
1n2
W
1n2
TT
W
x1n2sen
2
22
W
t1n2exp
5.10
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 390/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 376 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
5.11 Esfera catalítica
Volumen de control
Variable independienter: posición radial en la dirección
del flujo de A, m
Variable dependiente
C A: concentración de la sustancia A, kmol A/m3
Variables fijasR: radio de la esfera, m
ParámetrosD AB: difusividad másica, m2/sk: coeficiente de velocidad
de reacción,
Caso a) m
3
/kmol AsCaso b) 1/s
Condiciones de contorno
a t 0 C A C0 0 z
a r 0
0r
C A
t 0
a r R C A CR t 0
Relaciones constitutivas
r
CDJ A AB Ar
r TD AB ,D AB
n
A A kCR 0 ACTk ,k
Condiciones del modelo
N A 0 y N A 0Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótopo
D AB constanteN Ar J Ar
Balance de la sustancia A
VA FE FS RP RC
r r r t
CVA A
r
sen
(kmol A/m3) (1/s) (m3) r r NFE Ar r
sen
(kmol A/m2 s) (m2)
sen2
Ar r r r NFS
r r
r N 2
Ar
sen
(kmol A/m2 s) (m2)RP 0
ARC R r sen r r
(kmol A/m3 s) (m3)
Sumando términos y simplificando
r R
r
r N
t
Cr A
2
Ar A2
r
N Ar
R
r
C A C A C A
CR
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 391/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 377 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas
n
A
2 A AB
A2 kCr
r r
CD
t
Cr
Suponiendo difusividad constante.
n
A A
2
A
2
AB A kC
r
C
r
2
r
CD
t
C
Resolviendo la ecuación
(Se usa el método de separación devariables)
5.11 a) Caso (R A) k, n 0
Cambio de variable
r Vtr C A ,
De tal forma que
0
D
k
r
V
r
2
r
V
AB2
2
d
d
d
d
Resolviéndola
2 AB r
a
r D3
k
r
V
d
d
br
ar
D6
kV 2
AB
Con las condiciones de contorno.
a r 0
0r
V
d
d t 0
0a
a r R V CR t 0
2
AB
R RD6
kCb
Se obtiene el valor de V
1R
r
D6
kRCV
2
AB
2
R
Sustituyendo el valor de
1R
r
D6
kRCC
2
AB
2
R A
Entonces
r r
2
r
D
t2
2
AB
Separando variables
tr
2
n2
2
AB
ar r
2
r
1
tD
1
d
d
d
d
d
d
Resolviendo para an 0 r acr acr n2n1
1 cossen
taDc 2
n AB3 exp
Con lo que
r ascr acr n5n4
1 cosen
taD 2
n ABexp
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 392/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 378 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
Condiciones de contorno para r.
a r 00
r
La derivada
r acr acr ar
n5n4
1
n sencos
taDr acr acr 2
n ABn5n4
2 expcossen
0c5
a r R 0
0Rac n4 sen
Que se cumple para
nRann n 1, 2, 3,
Sustituyendo, con el principio de
superposición, con c4 An
1n2
AB22
n tRDn A2 exp
r
R
r n
sen
Condiciones de contorno para t
a t 0 C C0 0
r 1R
r
D6
kRCV
2
AB
2
R f
1n
nr
R
r n
A2
sen
R
2
AB
2
CR
r 1
D6
kR
Con las propiedades de la series defunciones ortogonales y comparan-
do la ecuación en términos de ,con la Ecuación de Sturm-Liouville.
0ar r
2
r
2n2
2
d
d
d
d
Se obtiene la función de peso
2r x ρ
R
0R
3
AB AB
2
n r Cr D6
kr
D6
kR A
R
0
2
r R
r n2r
R
r n d send sen
R
1nD
kRC
n
R
A
n
33 AB
4
R
2
n
Sustituyendo
1R
r
D6
kRCC
2
AB
2
R A
1n
n2
AB
R
2
n
1
n
R
D
kC
r
R2
2
AB22
R
tDn
R
r n expsen
5.11a)
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 393/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 379 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
5.11 b) Caso (R A) k C A, n 1
Cambio de variable
r Vkttr C A exp,
De tal forma que
0V
D
k
r
V
r
2
r
V
AB2
2
d
d
d
d
Integrando la ecuación diferencial
r
D
kar V
AB
1 senh
r
D
kb
AB
cosh
a r 0
0
r
V
t 0
La derivada
r
D
kbr
D
kar
D
k
r
V
AB AB
1
AB
senhcoshd
d
r D
kbr
D
kar
AB AB
2 coshsenh
0b
a r R V CR
RD
k
RCa
AB
R
senh
Con lo que
R
D
k
R
1
r D
k
r
1
CV
AB
ABR
senh
senh
Sustituyendo el valor de .
kt
RD
kr
r D
kR
CC
AB
AB
R A exp
senh
senh
Al sustituirla en la ecuación diferen-cial se obtiene
r r
2
r D
t 2
2
AB
Separando variables
tr
2n2
2
AB
ar r
2
r
1
tD
1
d
d
d
d
d
d
Resolviendo para an 0
r ascr acr n2n1
1
cosen
taDc 2
n AB3 exp
Con lo que
r acr acr n5n4
1 cossen
taD 2
n ABexp
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 394/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 380 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
Condiciones de contorno para r.
a r 00
r
La derivada
r acr acr ar
n5n4
1
n sencos
r acr acr n5n4
2 cossen
taD 2
n ABexp
0c5
a r R 0
0Rac n4 sen
Que se cumple para
nRann n 1, 2, 3,
Sustituyendo, con el principio desuperposición, con c4 An
1n
2
AB22
nR
tDn A2 exp
r
R
r n
sen
Condiciones de contorno para t
a t 0 C C0 0
r
RD
k
R
1
r D
k
r
1
CV
AB
AB
R f
senh
senh
1nn r
R
r n
A2
sen
RD
kr
r D
kR
C
AB
AB
R
senh
senh
Con las propiedades de la series de
funciones ortogonales y comparan-do la ecuación en términos de ,con la Ecuación de Sturm-Liouville.
0ar r
2
r
2n2
2
d
d
d
d
Se obtiene la función de peso
2r x ρ
RD
kr
RC A
AB
Rn
senh
R
0
2
R
0 AB
r
R
r n2
r R
r nr
D
k
d sen
d sensenh
R
R
n
D
k
1R
nRC2
A
2
AB
n
R
n
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 395/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 381 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
Sustituyendo
RD
k
r D
k
r
R
C
C
AB
AB
R
A
senh
senh
1n
AB
n
R
r n
R
n
nD
kR
12 sen
tkR
Dn
2 AB22exp
5.11b)
5.12 Aleta recta
Volumen de control
Variables independientesx: posición a lo largo de la
aleta mt: tiempo s
Variable dependienteT: temperatura, K
Variables fijasL: largo la aleta, mW: espesor de la aleta mB: ancho la aleta, mTf : temperatura del medio, K
Parámetrosk: conductibilidad (conducti-
vidad) térmica, W/m KCV: capacidad calorífica a
volumen constante, J/kg K
: densidad kg/m3 h: coeficiente de transferencia
de calor del medio, W/m2 K
Tf
x xx
T T T
qx
qh
W
B L
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 396/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 382 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
Condiciones de contorno
a t 0 T Tf x
a x 0 T T1 t 0
a x L 0x
Tkqx
t 0
Relaciones constitutivas
x
Tkqx
xTk ,k
Ref V TTCe TCV V C f h TThq
airev etcCvTh .,,,h T ρ
Condiciones del modelo
qy 0 y qz 0Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótopo
, k y h constantes
CV CP, constante.
qxxL 0
Balance de energía
VA FE FS RP RC
xWBt
eVA
z
(J/kg) (kg/m3) (m2)
WBqFE xx (W/m2) (m2)
WBxx
qqFS x
xxx
(W/m2) (m2)
xWBq2FS hx
(W/m2) (m2)
RP 0 RC 0
Sumando términos, simplificando
hx qBW
WB2
x
q
t
e
Sustituyendo las relaciones consti-tutivas
x
x
Tk
t
TTC ref V
f TTh
BW
WB2
Suponiendo parámetros constantesy reuniéndolos.
PCk m2/s
BW
WB
C
h2
P
1/s
f 2
2TT
xT
tT
Resolviendo la ecuación
(Se usa el método de separación devariables)
Cambio de variable
xVttxT exp,
Tal que
f 2
2
TVx
V
d
d
Resolviendo
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 397/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 383 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
f TxbxaV
coshsenh
Condiciones de contorno
a x 0 V T1 b T1 Tf
a x L 0x
Vk
xbxa
x
Vsenhcosh
LLTTa f 1 coshsenh
Con lo que se obtiene el valor de V
xTTTV f 1f cosh
x
L
L
senh
cosh
senh
Sustituyendo el valor de
f TTtexp
xTT f 1 cosh
x
L
L
senh
cosh
senh
Sustituyendo en la ecuación delmodelo
2
2
xt
Separando variables.
tx
2n2
2
ax
1
t
1
d
d
d
d
Resolviendo para an 0.
xaCxaC n2n1 cossen
taC 2
n3 exp
Con lo que
xaCxaC n5n4 cossen
ta2nexp
Condiciones de contorno para x.
a x 0 0 C5 0
a x L 0x
xaCxaCaxn5n4n sencos
ta2
nexp
0LaC n4 cos
Que se cumple para
2
1n2Lann n 1, 2, 3,
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 398/430
Universidad de Costa Rica Análisis de procesos
Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 384 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables
Sustituyendo, con el principio de
superposición, con C4 An.
1n
n2
2
nnL
x
L
t A2 senexp
Condiciones de contorno para t.
a t 0 Tf V f (x)
f 1
1n
nn TTL
x A2 sen
xcosh
x
L
L
senh
cosh
senh
Con las propiedades de la series defunciones ortogonales y comparan-
do la ecuación en términos de ,con la Ecuación de Sturm-Liouville.
0ax
2
n2
2
d
d
Se obtiene la función de peso.
1x ρ
L
L
xTT AL
01f n
cosh
senh
cosh
W
0
2
nn xL
xx
L
xx d send sensenh
2
L
1
L
LTT
A
n
2n
n1f
n
Sustituyendo
L
xL
TTTT
f 1
f
cosh
cosh
1n
n2
n
n
n
2 L
x
L
1
L
2sen
tL2
2
nexp
5.12
Con
2
1n2n
PC
k
BW
WB
C
h2
P
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 399/430
Análisis de procesos 385 G. Chacón V
UNIVERSIDAD DE COSTA RICAFACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA QUÍMICA
ANÁLISIS DE PROCESOS(CASO DE LA INGENIERÍA QUÍMICA)
ANEXOCOMPLEMENTOS MATEMÁTICOS
GERARDO CHACÓN VALLE
Universidad de Costa RicaCiudad Universitaria “Rodrigo Facio”,
2012
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 400/430
386
Complementos matemáticos G. Chacón V.
SECCIÓN 1ECUACIÓN DE BESSEL, GENERALIZADA
Es una ecuación del tipo
0
2
d
d221
d
d2
2222
2
2
y x
pqxqa pqxcn+abcx
x
y
x
pqxa+
x
y qqcq
b 0 , c 0 y q 0
Cuya solución es c
nTE c
nTE qa bxC bxC px x y ΩΘexp 21
CASO n n
n entero o cero b real Jn(b xc
) J-n(b xc
)n = entero o cero b real Jn(b xc) Yn(b xc)n entero o cero b imaginario In(-i b xc) I-n(-i b xc)n = entero o cero b imaginario In(-i b xc) K n(-i b xc)
SECCIÓN 2ECUACIÓN EN DIFERENCIAS FINITAS,
LINEAL Y DE COEFICIENTES CONSTANTES
Ecuación complementaria 012 nnn qy py y usando el operador E : 02 n yq pE E
factorizando 021 n y E E
la solución es nTE
nTE n C C y 2211
Casos:raíces repetidas: 1 = 2 = n
TE TE n nC C y 21
primer orden: 1 = , 2 = 0n
TE n C y
raíces imaginarias, si ir i exp
Con: 2122 r arctan
nC nC r y TE TE n
n sencos 21
Es válida para orden superior.La solución particular se calcula por medio de coeficientes indetermi-nados, operadores inversos o prueba y rectificación.
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 401/430
387
Análisis de procesos G. Chacón V.
SECCIÓN 3INVERSIÓN DE TRASFORMADAS DE LAPLACE POR MEDIO DEL
DESARROLLO DE RESIDUOS DE HEAVISIDE
Transformada inversa de Laplace t F = L-1 sf
Si la transformada se puede separar como:
s
s s
Q
Pf
tal que 0f
y presenta n puntos que producen singularidad
o ceros de la función; llamados polos: 0Q s k sf
pero que no sean puntos de ramificación
la función se evalúa con
n
k k
k
k t s s
st
1
expQ
PF
cada sumando se llama residuo
Caso de polinomios
El grado del denominador sQ debe ser mayor que
el del numerador sP y se puede factorizar
n
k k k s s s
1
Q
entonces
k
k k
k
k
s
s s s
s
s
Q
P
Q
P
Caso de polinomios con polos o ceros múltiples
Cuando una raíz o polo sk tiene
multiplicidad m, entonces
!1Q
P 1
1
i
t
A s
s im
ii
k
k
donde
k s s
mk im
im
i s
s s s
dsim A
Q
Pd
!
1
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 402/430
388
Complementos matemáticos G. Chacón V.
SECCIÓN 4EJERCICIOS CON LA ECUACIÓN DE BESSEL
Ejercicio 4.1. 2 2 1 0t y t y t y Con 1 2 y y 0 y
2
2 2
d 1 d 11 0
d d
y y y
t t t t
1 2 1a 0a
2 0q p q x 0 p
21 1cbc x 2 2 0c 1c
1 1J Y y A t B t
2 1bc 1b
2 2 2 1a n c 2 21n a c 1n
@ 0t 0
d
d t
y
t
1 10 0
0 0
1J 1YJ Y
t t
t t A t B t
t t
01
0 0 A B
0 B
@ 1t 0 01 1 1
2 J Yt t t
y A t B t
1 1J 1 Y 1 2 A B
12 J 1 4,544932 A
14,54J y t
(4.1)
1
0Jd J
dt y A t
t t
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
0,0 0,5 1,0
t
1,5
2,0
2,5
'
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 403/430
389
Análisis de procesos G. Chacón V.
Ejercicio 4.2. 2 2 194 0r z r z r z Con 0 z y 1 1 z
2
2 2
d 1 d 14 0
d d 9
z z z
r r r r
1 2 1a 0a 2 0q p q x 0 p
21 4cbc x 2 2 0c 1c 1 3 1 3J 2 J 2 z B r C r
2
4bc 2b
2 2 2 1 9a n c 2 21 9n a c 1 3n
@ 0r 1 3 1 30 0J 2 J 2
r r z B r C A r
0 B C 0C
@ 1r 1 3 1 31 1 11 J 2 J 2
r A r r z B r C r
1 3 1 3J 2 J 2 1 B C
1 31 J 2 2,257643 B
Ejercicio 4.3. 2 3 1 0 x y x y x y Con 1 1 y y 2 0 y
2
2 2
d 3 d 1 10
d d
y y y
x x x x x
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
r
z
1 32,26 J 2 z r (4.2)
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 404/430
390
Complementos matemáticos G. Chacón V.
1 2 3a 1a
2 0q p q x 0 p
21 1cbc x x 2 2 1c 1 2c 1 2 1 2
0 0
1J 2 Y 2 y A x B x
x
2
1bc 2b
2 21n a c 2 2 2 1a n c 0n
@ 1 x 1 2 1 20 01
1 1
1 11 J 2 Y 2
x x x
y A x B x x x
0 0
1 1J 2 Y 2 1
1 1
A B
0
0
1 J 2
Y 2
A B
@ 2 x 1 2 1 20 02
2 2
1 10 J 2 Y 2
x x x
y A x B x x x
0 0
1 1J 2 2 Y 2 2 0
2 2 A B
0
0
J 2 2
Y 2 2 B A
00 0
0
12,1829
J 2 2J 2 Y 2Y 2 2
A
00 0
0
11,0018
Y 2 2Y 2 J 2J 2 2
B
0,0
0,1
0,20,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
x
y
1 2 1 20 02,18J 2 1,00Y 2 x x
y x
(4.3)
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 405/430
391
Análisis de procesos G. Chacón V.
Ejercicio 4.4
2 4 0t v v t v Con 0v y / 4 1v
t en radianes
2
2
d 2 d
4 0d d
v v
vt t t
1 2 2a 1 2a
2 0q p q x 0 p
21 4cbc x
21 4cbc x 1c 1 2 1 21 2
1J 2 J 2v A t B t
t
2
4bc 2b
2 2 2 0a n c
2 20n a c 1 2n
1 2
1 2
2J 2 sen 2
2t t
t
1 2
1 2
2J 2 cos 2
2t t
t
1
sen 2 cos 2v C t D t t
@ 0t 00
1
sen 2 cos 2t t v C t D t t
0 1
0
C D
0 D
@ / 4t /4
/4
11 sen 2 cos 2
t t
v C t D t t
4
1 0 1C D
/ 4C
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
t
v
sen 2
4
t
v t
(4.4)
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 406/430
392
Complementos matemáticos G. Chacón V.
Ejercicio 4.5. 2 4 0 f rT rT r T T Con 00T T y 0T
Cambio de variable0
T T Θ
T T
2
2
d 2 d4 0
d d
Θ ΘΘ
r r r Con 0 1Θ y 0Θ
1 2 2a 1 2a
2 0q p q x 0 p
21 4cbc x 2 2 0c 1c 1 2 1 21 2
1I 2 I 2Θ A r B r
r
2 4bc 2b i
2 2 2 0a n c 2 20n a c 1 2n
1 2
1 2
2I 2 senh 2
2r r
r
1 2
1 2
2I 2 cosh 2
2r r
r
1
senh 2 cosh 2Θ C r D r r
@ 0r
0
d 2cosh 2 senh 2
d r
ΘC r D r
r r
20
1senh 2 cosh 2
r
C r D r r
2
0
d2 0 1 0 0 1 0
d r
Θr C D C D
r
0 D
@ 1r
1
1
11 senh 2 cosh 2
r r
Θ C r D r r
1
senh 2 cosh 2 11
C D 1 senh 2 0, 275721C
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 407/430
393
Análisis de procesos G. Chacón V.
Ejercicio 4.6. 2 2 1 4 0r C rC r C Con 0C y 1 1C
2
2 2
d 1 d 11 0
d d 4
C C C
r r r r
1 2 1a 0a 2 0q p q x 0 p
21 1cbc x 2 2 0c 1c
1 2 1 2I IC A r B r
2
1bc b i
2 2 2 1 4a n c 2 21 4n a c 1 2n
1 2
1 2 2 senhr r r
1 2
1 2 2 coshr r r
1
senh coshC D r E r r
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
r
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
senh 2
0,275r
Θ
r
(4.5)
2
2 cosh 2 senh 2d
d senh 2
r r r Θ
r r
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 408/430
394
Complementos matemáticos G. Chacón V.
@ 0r 0
0
1senh cosh
r r
C D r E r r
00 1 0
r r C D E
0 E
@ 1r 1
1
11 senh cosh
r r
C D r E r r
1
senh 1 cosh 1 11
D E 1 senh(1) 0,850918 D
Ejercicio 4.7. 44 0t N N t N Con 1 1 N y 1,5 0 N
t en radianes
24
2
d 1 d4 0
d d
N N t N
t t t
1 2 1a 1a
2 0q p q x 0 p
21 44cbc x t 2 2 4c 3c 3 32 2
1 3 1 33 3J J N A t B t
2
4bc 2 3b
2 2 2 0a n c 2 20n a c 1 3n
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
r
C
senh0,851
r C
r (4.5)
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 409/430
395
Análisis de procesos G. Chacón V.
@ 1t 3 32 21 3 1 33 31 1
1 J Jt t
N A t B t
1 3 1 3J 2 3 J 2 3 1 A B
1 3
1 3
1 J 2 3
J 2 3
A B
@ 1,5t 3 32 21 3 1 33 31,5 1,5
0 J Jt t
N A t B t
1 3 1 3J 9 4 J 9 4 0 A B
1 3
1 3
J 9 4
J 9 4
A B
1 3
1 3 1 31 3
1J 9 4
J 2 3 J 2 3J 9 4
A
0,463 884 A 0,748 957 B
Ejercicio 4.8. 2 21 1 0 x y x y x y Con 0,2 0 y y 0,5 1 y
2
2 4 2
d 1 d 1 10
d d
y y y
x x x x x
0,0
0,1
0,2
0,30,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
t
N
3 32 21 3 1 33 30,464 J 0,749J N t t
(4.7)
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 410/430
396
Complementos matemáticos G. Chacón V.
1 2 1a 0a
2 0q p q x 0 p
21 4cbc x x 2 2 4c 1c 1 1
1 1J Y y A B
x
21bc 1b
2 2 2 1a n c 2 21n a c 1n
@ 0,2 x 1 10,20,2
1 10 J Y
x x
y A B x x
1 1J 5 Y 5 0 A B
1
1
J 5
Y 5 B A
@ 0.5 x 1 10,50,5
1 11 J Y
x x
y A B x x
1 1J 2 Y 2 1 A B
1
1
1 J 2
Y 2
A B
11 1
1
12,944 616
J 5J 2 Y 2Y 5
A
11 1
1
16,523 564
Y 5Y 2 J 2J 5
B
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0,2 0,3 0,4 0,5
x
y
1 1
1 12,94J 6,52Y y
x x
(4.8)
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 411/430
397
Análisis de procesos G. Chacón V.
Ejercicio 4.9. 2 2 0r C r C r C Con 1 1C y 0 0C
2
2
d 1 d0
d d
C C C
r r r
1 2 1a 0a
2 0q p q x 0 p
21 1cbc x 2 2 0c 1c
0 0I K C A r B r
2
1bc b i
2 2 2 0a n c 2 20n a c 0n
@ 0r
01
0 0
0Id0 I
d r r
r C A r
r r
0
1
0
0K K
r
r B r
r
1 10 0
0
dI K
d r r r
C A r B r
r
0 0 A B 0 B
@ 1r 0 01 1 1
1 I K t r r
C A r B r
0 0I 1 K 1 1 A B 01 0,289848I 1 A
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
r
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
C C' 00,290IC r
(4.9)
1
d IdC r r
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 412/430
398
Complementos matemáticos G. Chacón V.
SECCIÓN 5
EJERCICIOS CON LA ECUACIÓN DE EULER O DE CAUCHY
Ecuación de Euler o Cauchy Cambio de variable w x e
2
2 2
d dS
d d
y y y x
x x x x
2
2
d d1 S
d dw y y
y ew w
Nota: Por su analogía, con la ecuación de Bessel, se puede confundir.
Ejercicio 5.1.
2 1
9 0r z r z z
expr w lnw r 2
2 2
d 1 d 10
d d 9
z z z
r r r r 1 1 0
1 9
2
2
d 10
d 9
z z
w
2 1
0
9
m 1
3
m
exp 3 exp 3 z A w B w
3 3 z A r B r (6.1)
Ejercicio 5.2. 2 342 0r C r C C
expr w lnw r 2
2 2
d 2 d 30
d d 4
C C C
r r r r 2 1 1
3 4
2
2
d d 30
d d 4
C C C
w w
2 30
4m m
1 3 11 1 4 1
2 4 2m
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 413/430
399
Análisis de procesos G. Chacón V.
exp 2 exp expC w A w B w 1 1
C Ar Br r
3 21C A r B r (6.2)
Ejercicio 5.3. 2 0r T r T
expr w lnw r 2
2
d 1 d0
d d
T T
r r r
1 1 0
0 0
2
2
d0
d
T
w 2 0m 0m , 0m
exp 0 exp 0T A B w
ln z A B r (5.3)
Ejercicio 5.4.2 2 0r v r v
expr w lnw r 2
2
d 2 d0
d d
v v
r r r 2 2 1 1
0
2
2
d d0
d d
v v
w w 2 0m m 0m , 1m
exp 0 expv A B w
1v A B
r (5.4)
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 414/430
400
Complementos matemáticos G. Chacón V.
SECCIÓN 6EJERCICIOS SOBRE TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE,
POR EL MÉTODO DE LOS RESIDUOS
Ejercicio 6.1.
senhf
cosh s
s
Para averiguar si s pertenece al denominador o al numerador, se expresa lafunción, trasformada, en su serie
3 5 7
2 4 6
3! 5! 7!f
12! 4! 6!
s s s
s s
s s s s
Se cumple que el Lím f 0 s
s
, sin modificarla
Expresándola en términos del teorema de los residuos
senh Pf cosh Q
s s s s
Que dice que
Pρ
Qn
s t n
s s
st e
s
Entonces, por comparación
P senh s Q cosh s s s
Los polos, raíces o puntos singulares de sf son, los que cumplen las ecuaciones,
Q 0n s
cosh 0n s y 0 0 s
En la zona real, de s, no se presentan raíces, pero en la imaginaria sí
cosh cos 0 cosn n n s i s
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 415/430
401
Análisis de procesos G. Chacón V.
Que se cumple para
2 12n ni s n
; para n -, ···, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ···,
2 12n ni s n y
2 1
2n
n
n s
i i
Derivando el denominador de la función y sustituyéndola en la definición deresiduo.
P senhρ
Q senh coshn n
s t s t n
s s s s
s st e e
s s s s
Para el polo 0 0 s
0
0
senh 0ρ 0
0 senh 0 cosh 0t t e
Para los otros polos nn s
i
senh
ρ
senh cosh
n
n
t i
n
n n n
it e
i i i
Racionalizando en los argumentos de las funciones trascendentales
senh
ρ
senh cosh
n
ni
t
nn n n
i
t ei i
i
Aplicando las relaciones para las funciones de variables complejas
senh senn nii
; cosh cosn ni
sen
ρ
sen cos
n
ni
t
nn n n
it e
i
i
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 416/430
402
Complementos matemáticos G. Chacón V.
Por las propiedades de las funciones trigonométricas de los ángulos negativos ysimplificando.
sen senn n
cos cosn n
senρ
sen cos
n
ni
t
nn n n
it e
Por la definición de los polos
cos cos 2 1 0
2
n n
sen sen 2 1 12
n
n n
senρ
1
n
ni
t
n n
n
it e
Aplicando el teorema de los residuos
1
senL f
1
nt nn i
nn n
i s e
01
1
sen senL f
1 1
n nt t n nn ni i
n nn nn n
i i s e e
Por las propiedades de las sumas (de series), se cambia límites,
1
1 0
sen senL f
1 1
n nt t n nn ni i
n nn nn n
i i s e e
Por las propiedades de las sumas (de series), se cambia negativos por positivos
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 417/430
403
Análisis de procesos G. Chacón V.
n
n
t i
nn
nn
n
t i
nn
nnn
e
i
e
i
s01
1
1
sen
1
sen
f L
δ 0
δf lím
δ x
y x
x
Por las propiedades de las funciones trigonométricas de los ángulos negativos, ycomo da lo mismo dividir que multiplicar por (1),
sen senn n
1
1 0
sen senL f
1 1
n nt t n nn ni i
n nn nn n
i i s e e
Factorizando, racionalizado y multiplicando y dividiendo por 2
1
0
1 senL f 2
2
n n
n t t i inn
n n
e e s
i
Se tiene, por la definición se la función seno en números complejos, que
sen 2
n nt t
i i
n
t e e
i
1
0
1 sen senL f , 2
n
n nn
n n
t
s f t
Con lo que, sustituyendo el valor de n
0
4 1, sen 2 1 sen 2 1
2 1 2 2
nn
n
t f t n n
n
(6.1)
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 418/430
404
Complementos matemáticos G. Chacón V.
Ejercicio 6.2.
senhf
senh s
s
Para averiguar si s pertenece al denominador o al numerador, y si tiene puntos deramificación, se expresa la función, trasformada, en su serie
3 5 7
3 5 7
3! 5! 7!
f
3! 5! 7!
s s s s
s s s s
s s
Si se divide por s el numerador y el denominador, se eliminan los puntos deramificación
3 5 7
3 5 7
1
3! 5! 7!
f
3! 5! 7!
s s s s
s s
s s s s s
s
3 5 2 7 3
3 5 2 7 3
3! 5! 7!f
3! 5! 7!
s s s
s s s s
s
Se cumple que el Lím f 0 s
s
, así modificarla
Expresándola en términos del teorema de los residuos
1senh
Pf
Qsenh
s s s s
s s
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 419/430
405
Análisis de procesos G. Chacón V.
Que dice que
Pρ
Qn
s t n
s s
st e
s
Entonces, por comparación
1
P senh s s
Q senh s s s
Los polos, raíces o puntos singulares de sf son, los que cumplen las ecuaciones,
Q 0n s
Q senh 0n n s s y 0 00 : 0 s s
En la zona real no presenta raíces, pero en la imaginaria sí
senh 0 sen 0 senn n ni s i s
Que se cumple para
n ni s n ; para n 0, 1, 2, 3, ···,
n n y
22 2
2n
nn s
Derivando el denominador de la función y sustituyéndola en la definición deresiduo.
1senh
Pρ
1 1Q cosh senh2 2
n
n
s t s t n
s s
s s
s s st e e s s s s
s s
2 senhρ
cosh senhn
s t n
s s
st e
s s s
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 420/430
406
Complementos matemáticos G. Chacón V.
Para el polo 0 0 s
00
2 senh 0ρ
0 cosh 0 senh 0
t t e
Indeterminado, aplicando el teorema de L’Hopital
2
12 cosh
2ρ
1 1 1senh cosh cosh
2 2 2n
s t n
s s
s st e
s s s s s s s
2
1
2 cosh 2ρ
1 1 1senh cosh cosh
2 2 2n
s t n
s s
s st e s s s s
s s s
0
2
2 cosh 0ρ
0 senh 0 cosh 0 cosh 0
t n t e
Para los otros polos
2
nn s
nn s i
22 senhρ
cosh senh
n
n
t
nn n n
it e
i i i
Aplicando las relaciones para las funciones de variables complejas
senh senn nii
; cosh cosn ni
22 senρ
cos sen
n
n
t
nn
n n
it e
i i
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-procesos-2012-gchaconv 421/430
407
Análisis de procesos G. Chacón V.
Por la definición de los polos
sen sen 0n n cos cos 1n
n n
22 senρ
1
n
n
t
n n
n
t e
Aplicando el teorema de los residuos
2
1
0
2 senL f
1
n
nn t
n
n n
s e
Nota: sen senn n
n n
y
2 2n n
Con lo que, sustituyendo el valor de n
2
0
2 1, senn nn
t
n
f t n e
(6.2)
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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408
Complementos matemáticos G. Chacón V.
Ejercicio 6.3.
2
senhf
cosh s
s
Nótese que por el teorema de la división por s, la transformada inversa de estafunción es la integral de la correspondiente a la del ejercicio, anterior, 6.1.
1 12 0
senh senhf ,
cosh cosh
t s st L L dt
s s s s
Por otro lado, parece que tiene un polo con multiplicidad 2, para s 0; paraaveriguarlo (averiguar si s pertenece al denominador o al numerador), se expresa
la función, trasformada, en su serie
3 5 7
2 4 6
2
3! 5! 7!f
12! 4! 6!
s s s s
s s s s
s
3 5 7
2 4 6
1
3! 5! 7!f
12! 4! 6!
s s s
s s s
s s s s
3 2 5 4 7 5
2 4 6
3! 5! 7!f
1 2! 4! 6!
s s s
s s s s
s
Se cumple que el Lím f 0 s
s
, así modificarla
Expresándola en términos del teorema de los residuos
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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409
Análisis de procesos G. Chacón V.
1senh P
f cosh Q
s s s
s s
Que dice que
Pρ
Qn
s t n
s s
st e
s
Entonces, por comparación
1
P senh s s
Q cosh s s
Los polos, raíces o puntos singulares de f son, los que cumplen las ecuaciones,
Q 0n s
cosh 0n s y 0 0 s
En la zona real no presenta raíces, pero en la imaginaria sí
cosh cos 0 cosn n n s i s
Que se cumple para
2 12n ni s n
; para n -, ···, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ···,
2 12n ni s n
con
2 1
2n
n
n s
i i
Derivando el denominador de la función y sustituyéndola en la definición de
residuo.
1senhP
ρQ senh cosh
n
n
s t s t n
s s
s s
s s st e e s s s s
2
P senhρ
Q senh coshn n
s t s t n
s s s s
s st e e
s s s s s
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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410
Complementos matemáticos G. Chacón V.
Para el polo 0 0 s
0
0
senh 0ρ 0
0 senh 0 0 cosh 0t t e
Indeterminado, aplicando el teorema de L’Hopital
2 2
coshρ
2 senh cosh cosh senhn
s t n
s s
st e
s s s s s s s
2 2
coshρ
3 senh cosh coshn
s t n
s s
st e
s s s s s
2 2
cosh 0ρ
3 0 senh 0 0 cosh 0 cosh 0o t
n t e
Para los otros polos nn s
i
2
senhρ
senh cosh
n
n
n
t i
n
n n n n
s s
it e
i i i i
Racionalizando en los argumentos de las funciones trascendentales
2
senhρ
senh cosh
n
n
ni
t
n
n n n n
s s
i
t ei i i
Aplicando las relaciones para las funciones de variables complejas
senh senn nii
; cosh cosn ni
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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411
Análisis de procesos G. Chacón V.
2
senρ
sen cos
n
n
ni
t
n
n n n n
s s
it e
ii
Por las propiedades de las funciones trigonométricas de los ángulos negativos ysimplificando.
sen senn n
cos cosn n
2
senρ
sen cos
n
ni
t n
n n n n
i
t ei i
Por la definición de los polos
cos cos 2 1 02n n
sen sen 2 1 12
n
n n
2
sen
ρ1
n
ni
t n n
n
t e
Aplicando el teorema de los residuos
1
2
senL f
1
n
nin t
nn n
s e
01
2 21
sen senf 1 1
n n
n n
i in nt t
n nn nn n
s e e
Por las propiedades de las sumas (de series), se cambia límites,
1
2 21 0
sen senL f
1 1
nn
n nit n ni t
n nn nn n
s e e
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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412
Complementos matemáticos G. Chacón V.
Por las propiedades de las sumas (de series), se cambia negativos por positivos
12
21 0
sen senL f
1 1
nn
n nit n ni t
n nn nn n
s e e
Por las propiedades de las funciones trigonométricas de los ángulos negativos, ycomo da lo mismo dividir que multiplicar por (1),
sen senn n
1
2 21 0
sen senL f 1 1
n nt t n nn ni in n
n nn n
s e e
Factorizando, racionalizado y multiplicando y dividiendo por 2
12
0
1 senL f 2
2
n n
n t t i inn
n n
e e s
Se tiene, por la definición se la función seno en números complejos, que
cos2
n nt t i i
n
t e e
12
0
1 sen cosL f , 2
n
n nn
n n
t
s f t
Con lo que, sustituyendo el valor de n
2 2
0
8 1, sen 2 1 sen 2 1
2 22 1
nn
n
t f t n n
n
(6.3)
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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413
Análisis de procesos G. Chacón V.
SECCIÓN 7PROPORCIONES USUALES
7.1 PRESENTACIÓN
Son valores de proporciones, normalmente obtenidas de la Geometría, que se emplean,comúnmente, en la toma de decisiones sobre:
-
Divisiones o secciones- Reparto o distribución- Clasificación o caracterización de las partes, de un todo-
Ponderación o calificación.- Definición de valores de negociación y contractuales- Rendimientos o índices del desempeño-
Etc.
Se aplican en actividades humana, como criterio para:-
Iterar en la resolución ecuaciones por prueba y rectificación- Proyectar en los métodos no analíticos para obtener máximos y mínimos-
Proyectar secuencia de datos usando valores “históricos o estadísticos”-
Compartir o distribuir bienes o actividades- Establecer márgenes o índices de aceptación o rechazo, en característica de
un bien o de una actividad.
-
Escoger dentro de las proporciones de un recurso disponible, físico oabstracto, de acuerdo con su frecuencia o proporción de aparición omanifestación
- Establecer márgenes de ganancia, de pago por castigos, por no cumplircontratos, costos por material rechazado, servicios incompletos, etc.
- Definir valores máximos o tolerables de capacidad u operación de artefactoso dispositivos
-
Establecer dimensiones de un objeto con base en una dimensión dada o yaestablecida, por ejemplo: tarjetas, papelería, paredes, ventanas, recipientes,
equipos electro domésticos, etc.-
Etc.
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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414
Complementos matemáticos G. Chacón V.
7.2 CUADRILÁTEROS CON NOMBRE PROPIO
7.2.1 cuadrado, 7.2.2 Rectángulo raíz de dos,
1ab
, 12
ad
12
ab
, 13
ad
7.2.3 Rectángulo del valor medio 7.2.4 Rectángulo áureo Sección áurea,
1
2
a
b ,
1
5
a
d
1 5 1
2
a b
b a b
5
2
c
a :
2
5 5
a
d
a
b
d
a a
b
ad
a2 a2 b a
c
b a
a
b
d
a
a
b
a
d
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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415
Análisis de procesos G. Chacón V.
7.3 TRIÁNGULOS CON NOMBRE PROPIO
7.3.1 Triángulo egipcio, 7.3.2 Triángulo equilátero,
3
4
a
b ,
4
5
b
d
1 4 2 1
3 3
a a
b d
7.4 SUCESIÓN DE NÚMEROS DE FIBONACCI, F n
1 2n n n F F F
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N n 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 N n 1 2 3 5
1
1 5
2n
nn
F Lím
F
1 1
5
nn
n F
7.5 NÚMERO ÁUREO,
1 1 5
2
b a b
a b
a
b
4 a/3
a
b
d
b2 b2
a
b
d
5
7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV
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416
El número áureo, , es el valor que se presenta cuando un todo o longitud total, b, sedivide por su segmento mayor o sección, a, y resulta de igual valor que dividir la sumade ambos, a b sobre la totalidad, b.
Conocido desde la antigüedad y su relación con el rectángulo áureo, y la estrella decinco ramas, fue estudiado por los griegos, desde 600 a. C. y se le dio muchaimportancia por los matemáticos, otros científicos, artistas y arquitectos, del siglo XII alXIX. Se descubrieron, en dicha época muchas propiedades matemáticas. También semostró que representa, aproximadamente, algunas proporciones (es el inverso de la
sección áurea, ) de las características de los cuerpos tanto biológicos como minerales.El símbolo , se designó en honor a escultor Fidias (Siglo V a. C) que los usó en las
proporciones de sus esculturas y del matemático Fibonacci (Siglo XII), quien presentólos aspectos matemáticos del número áureo.
Pentágono regular Estrella de cinco ramas o pentagrama,
2º72
a
b
3º54
3º108
1º36
a
b
c
d
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