analisis de sistemas de tiempo continuo
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7/28/2019 Analisis de Sistemas de Tiempo Continuo
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ANLISIS DE SISTEMAS DE
TIEMPO CONTINUOCARLOS ZEPITA
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PRELIMINARES
Introduccin a los conceptos bsicos y mtodosde anlisis de SLIT continuos.
Todo sistema puede ser representado por lafuncin de transferencia o funcin del sistema,
(). Los polos y ceros gobiernan el funcionamiento de
un sistema.
Ejemplos del uso de la TdL para determinar ZIR yZSR. Respuesta al impulso.
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DEMOSTRACIN DE
Una seal puede ser representada como lasuma infinita de exponenciales complejosapropiadamente escalados.
Escribamos la TdL como una suma de Riemann(tcnica de integracin numrica):
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() = 12
+
() 12
= ()
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= 12
+ =12
+()
DEMOSTRACIN (cont.)
Ya sabemos que los exponenciales complejosson eigenfunciones para un sistema SLITContinuo.
Utilizando esta propiedad podemosdesarrollar
():
SLIT
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= ()
() 12
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() es la transformada inversa de (). Por lo que queda demostrado que:
= ()
DEMOSTRACIN (cont.)
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() caracteriza completamente al sistema.
Si se conoce () para todos los valoresposibles de se puede encontrar la respuestaa todas las posibles entradas exponencialescomplejas.
Con la TdL cualquiera seal puede serrepresentada como la suma de exponencialescomplejas; dado
(), se puede encontrar la
salida (respuesta) a cualquier seal deentrada posible.
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ESO SIGNIFICA QUE:
Conocida () y la(), la salida puede serobtenida de la siguiente relacin:
= ()H(s)
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()
()
=()()
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Sea:
polinomio de s de orden mpolinomio de s de orden n
Donde () se denomina ECUACIN CARACTERSTICA:sus races (polos) caracterizan el comportamiento delsistema.
=()()
()
()
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POLOS
Singularidades, en los que la funcin detransferencia tiende a INFINITO.
Depende del denominador de ().
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=
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CEROS
Singularidades, en los que la funcin detransferencia tiende a CERO.
Depende del numerador de ().
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=
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EJEMPLO 1
= 1
=()()
= 1
= 1
= 10 0.01 10 0.01 1
= 0.1
0.1 1 = 10 =
Si consideramos = 0, esmas sencillo calcular los
pares ordenados de:
, ()
= 10, = 0.01
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= 1
= 0 = 0
La respuesta del sistema anterior a = es infinita.
La respuesta del sistema anterior a = (DC) tiende a cero.
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DIAGRAMA DE POLOS Y CEROS
Se destaca la posicin de un polo con una X. Se destaca la posicin de un cero con un O. Los X y O pueden ocurrir en cualquier punto del plano
s. Los polos y ceros:
Son las races de polinomios con coeficientes reales. Fuera del eje real siempre ocurren en pares de conjugadas
complejas.
Puede haber ms de un polo o cero en la mismalocalizacin Un polo y un cero en el mismo lugar se cancelan.
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DADO EL DIBUJO DE POLOS Y CEROSENCONTRAR H(s)
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2 ceros en = 0.2 polos en = 1
=
( )( ) (1 ) (1 ) = 1 1 =
1 = 2 2
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DADO EL DIBUJO DE POLOS Y CEROSENCONTRAR H(s)
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= 2 2
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DIBUJOS DE POLOS Y CEROS
El nmero de polos en un sistemacorresponde al nmero de variables de estadoindependientes en el sistema, esto define
cuantas condiciones iniciales se debenespecificar.
El nmero de polos es conocido como elorden el sistema.
El numero de ceros no afecta el orden delsistema.
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ED A FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
Una ED es una forma de describir sistemas.
() es otra forma de describir sistemas. Debera ser sencillo convertir de una representacin a
otra. Para lograrlo se utiliza la TdL a ambos lados de la ED,
manipulando el resultado se puede encontrar:
()= () La ED puede ser recuperada aplicando unprocedimiento parecido con la Transformada inversa.
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EJEMPLO
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2 3 5 = 10 7Considerando que todas las condiciones iniciales son cero:
2 3 5 = 10 7 2 3 5 = 10 7
=()()= 10 72 3 5
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ZIR
Termino dado a la salida de un sistema cuandola seal de entrada es cero.
ZIR corresponde a la manera en la quecualquier condicin inicial presente secomporta.
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= 10, = 0.01= 5, = 5
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CMO SE ENCUENTRA LA ZIR?
Dado que: = () Si = 0 = 0?, NO! Un valor de
= 0cuando
= 0slo es
posible si () es infinitamente largo,significando que la seal () contiene unafrecuencia compleja que es un polo de ().
As ZIR slo contiene frecuencias que son polosde (), estas frecuencias son conocidas comofrecuencias naturales del sistema. Porque elsistema tender a oscilar o decaer en esasfrecuencias en ausencia de una seal de entrada.
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COMO SE ENCUENTRA LA ZIR?
Para encontrar la ZIR de un sistema expresado enun cociente de polinomios siga los siguientespasos:
1. Encuentre el denominador de ()2. Haga 1/denominador3. Realice la transformada inversa, obtendr la
forma del ZIR
4. La ZIR se encuentra dadas las condicionesiniciales para despejar las constantesdesconocidas
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EJEMPLO
Encuentre el denominador de ()
denominador = 20 10
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EJEMPLO (cont)
Haga 1/denominador
Encuentre la transformada inversa
Conocidas las condiciones iniciales se puedendespejar A, B y C.
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1 20 10=
20
10
10
= 20 10
10
= ()
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ZSR
La ZSR es la salida del sistema en presencia deuna seal de entrada, asumiendo que todasotras las variables de estado estn en cero (ej.
Capacitores, Inductores sin carga). La forma ms directa de encontrar la ZSR es
resolviendo la ED o encontrando la
transformada inversa del sistema.
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= = = ()
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EJEMPLOEncontrar la
()(ZSR) si se conoce
(): 3 = 4, = sin 6 3 = 4
=()()= 4 3
= 6 36
= = 24( 3)( 36)
=
3
36
36 3 3 = 24 3 36 3 = 24
= 0; 3 = 0; 3 = 24
=815 ; = 815 ; =85
=8/15 3 8/15 36
8/5 36
= 815 815 cos 6 415 sin(6)
=
=
-
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
(8/15) exp(-3 t)-(2/3) cos(6 t)+(4/15) sin(6 t)El termino exponencial
de la ZSR parece ser untermino de la ZIR, estono es una coincidencia.La entrada del sistemaes una onda sinusoidal(que aparece en t=0), el
sistema comienza en unacondicin inicial que
comienza a decaer talcomo lo hace la ZIR.Despus de un largoperiodo de tiempo la
seal de entrada es unafuncin estable y lasalida es otra funcinestable.
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RESPUESTA AL IMPULSO
La seal de salida de un sistema cuando laseal de entrada es una funcin impulso(delta de Dirac) tiene un significado especial
en teora de SLIT.
H(s) = () ()
= = = 1 = ()
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RESPUESTA AL IMPULSO
Si () caracteriza al sistema, entonces ()es la seal caracterstica del sistema cuando
= () Podemos asignar a esta respuesta (()) comola respuesta del sistema al impulso.
() Se puede encontrar la funcin detransferencia con:
= ()
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EN RESUMEN
Ahora sabe:
Dibujar diagramas de polos y ceros.
Llevar una ED a funcin de transferencia.
Encontrar la ZIR y ZSR de un sistema.
Encontrar la respuesta al impulso de un sistema.
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