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Análisis de la ecuación vectorial deSwift-Hohenberg

por

Matías G. dell`Erba

Director: Miguel Hoyuelos

Introducción

Estabilidad y bifurcaciones

Ecuaciones de amplitud

Ecuación vectorial de Swift-Hohenberg Ecuaciones de

amplitud

Ecuaciones de amplitud: describen la dinámicade un conjunto de sistemas físicos entorno desu inestabilidad.

Para R < Rc sistema estable

Para R > Rc

sistema inestable

Sistema físico

Para R = Rc bifurcación

Bifurcación de Hopf:

Im0

Re│R = Rc > 0R

Solución (R)1/2

Bifurcación: cambio cualitativo en la solución deuna ecuación diferencial.

Ventaja de las ecuaciones de amplitud:

Deducción de las ecuaciones de amplitud:

Se parte de las ecuaciones de un sistema físico particular.Se linealiza el sistema en torno de una solución conocida.Se toman en cuenta las no-linealidades apartir de un escaleo apropiado.

Cada ecuación de amplitud describe un conjunto de sistemas físicos de naturaleza diferente. Esto se debe al número restringido de tipos de bifurcaciones.

Deducción de la ecuación vectorialde Swift-Hohenberg

Ecuaciones vectoriales de Maxwell-Bloch (MB).

Linealizando en torno de E±= P±= N±= M = 0,la solución queda:

Con ella se puede obtener

El cálculo de autovalores conduce a:

Escribimos i ,y hacemos y

Modo más inestable k = 0, rc = 1,

Curva de estabilidad neutral o marginal

Para tomar en cuenta los términos no-lineales:

R: parámetro de control del sistema. ( )

Escaleamos las variables espaciales y temporales:

Escribimos las ecuaciones de MB como:

donde

Igualando términos del mismo orden en llegamos a:

con

Ecuación vectorial de Swift-Hohenberg

Análisis de casos particulares

Estabilidad de soluciones homogéneasInestabilidad de Eckhaus en solución de onda plana

Dependencia en los parámetros y

Estabilidad de soluciones homogéneas

Proponemos como solución:

Buscamos soluciones estacionarias. ( )

Calculamos los autovalores de la matriz jacobiana.Para

donde I: solución inestable, E: solución estable, PE: punto de ensilladura, X: sin solución.

Campo vectorial:

Campo vectorial:

Campo vectorial:

Inestabilidad de Eckhaus en solución de onda plana.

Proponemos como solución:

Hacemos una perturbación en A±

donde

Analizamos los casos y

Escribiendo

Caso k+ = k- = k:

Definimos y

Reemplazando en el sistema se llega a ± = 1 ±

Ecuación de difusión

La estabilidad de la onda plana esta dada por:

además, como Q > 0:

Para , los autovalores (aproximados) son:

Caso k+ = -k- = k:

Escribiendo en función de q << 1, las ecuacionesparaquedan:

La estabilidad de la onda plana esta dada por:

Como antes Q > 0, entonces:

Dependencia en los parámetros y

Para soluciones con poca dependencia espacial:

Para , el sistema converge a la solución nulaPara , el sistema diverge.Para y una componente del campo se anula.

Análisis numérico

Resolución numérica y análisis de solucionesVelocidad de los defectos

Resolución numérica y análisis de datos.

Gráfico modelo

Región principal de análisis:

Defectos topológicos:

Región A:

El sistema diverge o se anula:

a partir de :

A± se anula

A± diverge

A± se anula

Región B:

│A+│2 +

(

│A+│2 +

(

│A+│2 │A-│2

(

Región C:

│A+│2 +

(

│A+│2 │A-│2

(

Región D:

│A+│2 │A-│2

(

+ +

Esquema de las regiones A, B, C y D en el plano

Velocidad de los defectos.

Láser clase C He-Ne: m, P torr

s-1, s-1

cm256 pixels

Escaleo en las coordenadas x y t:

xsd = x × # pixels = 1 × 85 = 85tsd = 2 × t × # iteraciones = 2 × 0.2 × 50 = 20

vdef = 5.4 105 m/s

Conclusiones

AnálisisNumérico

Nuevas estructuras:defectos móviles espirales de doble brazo

Los resultados más importantes obtenidos son:

SoluciónHomogénea

Fuerte dependencia de laestabilidad en y

Onda Plana

El carácter vectorial modi_fica la estabilidad respectoal caso escalar