algebra de baldor

7/21/2019 Algebra de Baldor

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A L G E B R A a . b a l d o r

ONCEPTO DE NUMERO EN LOS PUEBLOS PRIMI-

VOS ( 2 5,0 00 5 ,00 0 A. C. I M tdit y contar lucronpr imen) « t iv id jdo t mi tomiHca t de l hombre p r i-tivo. Haciendo marcas en los troncos de los árbolesraban, estos primaros pueblos, la modJelén del trem-

ito y el conteo del número de animales que pojcian;

así surgió la A ritmé tica. El origen del Algebra os poster io r. Pasaron cie nto s do siglos para que el hom - bre alc ansa ra un concepto abstr acto del núm ero , basoindispensable para la formación de la ciencia algebraica.

PRELIMINARES

O ALGEBRA C4 la ram a di* Ja M atem ática <jt!c estu dia la cantida d consi-derada del modo más general posible .

2 ) C A R A C T E R D E L A L G E B R A Y SU D IF E R E N C I A

C O N L A A R I T M E T I C A

El concepto de la cant idad en Algebra es mucho más amplio que enAritmética.

En Aritmética las cantidades se representan por números y éstos expresan valo res dete rm inados. Asi, 20 expresa un so lo valo r: vein te; paraexpresar un valor mayor o menor que este habrá que escribir un númerodistinto de 20.

En Algebra, para lograr la generalización, las cantidades se represen-tan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores.Así. a representa el valor que nosotros le asignemos, y por tanto puede re-

presen tar 20 o más de 20 o m enos de 20, a n uestra elecció n, a u n q u e con-viene adver t i r que cuando en un problem a as ignamos a u na le tra un va lordeterminado, esa le tra no puede representar , en el mismo problema, otrovalor distinto del que le hemos asignado.

( 3 ( N O T A C IO N A L G E B R A I C A

Los símbolos usados en A lgebra para rep resen tar las cantidad es son losnúmeros y las letras.

• AI «i 11 •• A

l a * m u se e m p i c a n p a r a r e p r e s e n t a r c a n t id a d e s c o n oc id a s y d e

frn i inadai .l a» se em p lean p a ra r ep rese n t a r t o d a c la se d e can t id ad es , ya

an conocidas o desconocidas .I .ts . . .ikí.I.kIc ', con ocidas se ex pr es an p o r las prim era s le tra s d el a lfa-

to : n, b , c , d . . .l a s . .un idad es do con uc¡d as se* rep rese n tan po r l as ú l t im as le tras de l

fabe to : ti. v, w. x, y, z.Un a m ism a l e t r a p u ed e r ep resen t a r d i s t i n to s v a lo res d i f e ren c i án d o lo s

>r medio de comi l las ; por e jemplo : a', a" , a’", q u e s e leen a p r im a , a se-n d a , a t e rce ra , o t am b ién p o r m ed io d e su b ín d ices ; p o r e j em p lo : «2.

q u e s e l een a su b u n o , a su lx lo s , a su b t re s .

4 ) FOR M ULA S

Co n secu en c i a d e l a g en e ra l i zac ió n q u e im p l i ca l a r ep resen t ac ió n d es can t idades por medio de le t ras son las fó rmulas a lgebra icas .

Fó rm u la a lg eb ra i ca e s l a r ep resen t ac ió n , p o r m ed io d e l e t r a s , d e u n a

g l a o d e u n p r i n c i p i o g e n e r a l .

As i, la G eo m et r í a en señ a q u e e l á rea d e u n r ec t án g u lo es A — b X hual a l p ro du cto de su base por su a l tu ra ; luego , l lam an do A

á rea de l rec tángu lo , \> a la base y h a l a a l tu ra , l a fó rmula /

p r e s e n t a r á d e u n m o d o g e n e r a l ‘ e l á r e a d eu a lq u ie r r ec t án g u lo , p u es el á rea d e u n r ec-

n g u l o d a d o s e o b t e n d r á c o n s ó l o s u s t i t u i r A = b x h ~ 3 m X2 m = 6 m *.y h en la fó rmula an ter io r por s t i s va lo res

n el caso da do . A si, si la base de un rec „ng ido es 3 n i . y su a l tu ra 2 m. , su áre a será: /

E l á r ea d e o t r o r e c t á n g u l o c uy a A = b x h —8 m . x 3 í m .= 2 8 r a .*‘. <)

ase fu e ra 8 m . y su a ltu ra 3J m . se ría : /

5 ) SIGNOS DEL ALGEBRAlx>s s ignos em plea do s en A lgebra son de t res c lases: Signos de O pe -

ción , S ignos de Relac ión y S ignos de Agrupac ión .

SIGNOS DE OPERACIO N

En Algebra se ver i f ican con las can t idades las mismas operac iones que Ar i tmét ica : Suma, Res ta , Mul t ip l icac ión , Div is ión , E levac ión a Po ten-a; y E x t racc ión de Raíces , q u e se ind ican con lossignoss iguientes :

E l S igno de la S um a es + , qu e se Ice más . As í a - r b se lee "a más b " .

< ) l .n e l Cap X V I I ! . página 270 , se cun día ampliamente todo Jo relacionado con Uiinulai iilMcbtaiut

El S ign o de l a Re s ta es —, q u e se lee m enos . As í. a — b se lee "a m e -n o s b " .

E l S i gn o de l a M ul t ip l i c a c i ón e s X , q u e se l e e m u l t ip l i c a d o p o r . A sí.

a X /; se lee "a m u l t i p l i c a d o p o r b " .

E n l u g a r d e l sig n o x s u e le e m p l ea r se u n p u n t o e n t r e l os fa c to re s y

t a m bi é n s e i nd i c a l a m u l t ip l i c a c i ón c o l oc a n do lo s f a c to re s e n t r e pa ré n t e s is .Así, a .b y («)(í>) equivalen a a X b .

E n t r e f a c to r es l it e ra l e s o e n t r e u n f a c to r n u m é r i c o y u n o l it e ra l e l

s i gno de m u l t ip l i c a c i ón s ue l e om i ti rs e . A s i a b e e q u i v a l e a a x . b x . c - , 5 x y

eq uiv a le a 5 X x X y.

El S igno d e la D iv i s ión es t, q u e se l ee d iv id ido e n t re . As í, a + b se

lee ‘‘<i d iv id id o c n ire b ' \ T a m b i é n se i n d ic a l a d i v is ió n s e p a r a n d o e l d i -

v i de nd o y e l d i v i so r po r u n a ra ya ho r i z on t a l . A s í, — e q u i v a l e a m f n .

E l S i gno de la E l e va c i ón a P o t e nc i a e s e l e xp on e n t o ,

q u e es u n n ú m e r o p e q u e ñ o c olo c ad o a rr ib a y a la de a * = t « w b ‘ -r e c ha de u n a c a n t i da d , el c u a l i nd i c a l a s veces q u e d i c ha ,c a n t ida d , l la m a da ba se , se t o m a c om o f a ct o r. A s í,

C u a n d o u n a le tr a n o t ie n e e x p o n e n t e , su e x p o n e n t e es la u n i d a d .

Asi, a e q u i v a l e a m r t x e q u i v a l e a m , » lx 1.

E l S i gno de R a í z e s V 7 l la m a do s igno r a d i c a l , y b a j o e st e s igno se c o-

loca l a ca n t id ad a la cua l se l e ex t rae la ra íz . As i , v rJTequ iva le a ra íz cu a-d r a d a d e a, o s e a , l a c a n t i d a d q u e e l e v a d a a l c u a d r a d o r e p r o d u c e l a c a n -

t i d a d a; y b e q u i v a l e a r a íz c ú b i c a d e ó , o sea la c a n t i d a d q u e e le v ad a

a l c u b o r e p r o d u c e l a c a n t i d a d b.

COEFICIENTE

E n e l p roduc t o de dos f a c t o re s , c ua l qu i e r a de l o s f a c t o re s e s l l a ma doc oe f i c i e n t e de l o t ro f a c to r .

As i , en e l p roduc to ‘¿a e l fac tor 3 es coef ic ien te d e l fac to r « e ind icaq u e el f a c t o r a s e t om a c om o s um a n do tr e s vece s, o s ea 3a = « + fl + el producto r»ó, el factor b e s c oe f i c ie n t e d e b e i n d ic a q u e b b — b + b A- b + b + b . Es tos son coef ic ien tes numér icos .

E n e l p r o d u c t o a b , e l factor a e s coe f ic ien te de l fac tor b, c i nd i c a quee l fac tor b s e t o m a c o m o s u m a n d o a veces, o sea a b = b \ b b b . . . a veces. Este es u n co eficien te l i teral .

E n e l p roduc t o de má s de dos f a c t o re s , uno o va r i o s de e l l o s s on e lcoe f ic ien te de los res tan tes . As í. en e l p ro d uc to abed, a es e l coef ic iente

d e bed; ab e s e l coef ic ien te de cd \ abe e s e l coef ic ien te de d.( a r a ndo una c a n t i da d no t i e ne c oe f i c i e n t e numé r i c o , s u c oe f i c i e n t e

es la u n ida d . Así, b e q u i v a l e a Ib ; ab e eq u iva le a 1abe.

• ALGUNA

8 ) SIGNOS DO R ELACIO N

S e e m ple a n e s tos s ignos pa r a ind ic a r l a r e l a c ión que e x i s t e e n t r e dosa n t ida de s . Los p r inc ipa le s son :

= , q u e s e le eigu a l a . As í, a —b selee "a i gua l a b " .> , q u e se le em a y o r q u e . A s i.x + y > m se lee " x 4 y m a y o r q u e ni" .

<, qu e se le em e n o r q u e . A sí,u < b + c se lee "a m e n o r q u e

9 \ SIGNOS DE AGRU PACION

Los s ignos de agrupac ión son: e l pa rén tes is o rd inar io { } , e l pa rén te-

is an g u lar o co rche te [ J . las l laves { ¡ y la ba rra o vín cu loEstos s ignos ind ican que la operac ión co locada en t re e l los debe e fec-

ua rse p r im e r o . As i, (a + b )c i n d i c a q u e e l r e s u l t a d o d e l a s u m a d e a y b e b e m u l ti p li c a rs e p o r c ; [ a - b ] m i n d ic a q u e l a d i f e re n c i a e n t r e a y b d e b e

m ul t ip l i c a r se po r m ; ( « + ir} + {c — d ] i n d i c a q u e l a s u m a d e a y i> d e b e d i -

v id i r se e n t r e l a d i f e r e nc ia de c y <í.

Í o ) m o d o d e r e s o l v e r l o s p r o b l e m a s

EN ARITMETICA Y EN ALGEBRA

E x p o n e m o s a c o n t i n u a c i ó n u n e j e m p l o p a r a h a c e r n o t a r l a d i f e r e n c i a

e n t r e e l m é todo a r i tm é t i c o y el a lge b r a ic o e n l a r e so luc ión d e p r ob le m a s ,f un da do e s te ú l t im o e n la no ta c ión a lge b r a ic a y e n la ge ne r a l iz a c ión q u e

ésta implica .Lí ts eda des de A y 1! su m an 48 años. Si la ed ad d e B es 5 veces la

e d a d d e A , ¿ q u é e d a d t i e n e c a d a u n o ?

M E T O D O A R I T M E T I C O

E d a d d e / I m á s e d a d d e B = 48 a nos.

C o m o l a e d a d d e f í es b vecen la de A . t e nd r e m os :

E d a d d e A más ú veces la edad de A = 48 años.

O sea, ü veces la ed ad de A = 48 años ;

u e go , E d a d d e A = 8 a ño s. R .

E d a d d e B = 8 a ñ o s x 5 = 40 a ñ o s . R .

M E T O D O A L G E B R A I C O

C o m o l a e d a d d e A e s una c a n t ida d de sc onoc ida l a r e p r e se n to po r x .

S ea x = e d a d d e A .Entonc e s 5x - e d a d d e B.

C om o a m ba s e da de s sum a n 48 a ños , t e nd r e m os :

x + 5x = 48 años:

CAH TID AD U POSITIVAS V MLCATIVAS # 9

Si fi vetes x e q u i v a l e a 48 a ñ o s , x va ldrá la sexta par te de 48 años,

En t o n c e s

( n ) CA N T ID A D ES P O SIT IV A S Y N EG A TIV A S

En Al g e b ra , c u a n d o se e s t u d i a n c a n t i d a d e s q u e p u e d e n to r na rse end o s s e n t i d o s o p u e s t o s o q u e so n d e c o n d i c i ó n o d e mo d o d e s e r o p u e s t o s ,se expresa e l sen t ido , cond ic ión o modo de se r (va lo r r e l a t ivo) de l a can t id a d p o r m e d i o d e los s ig n o s + y —. a n t e p o n i e n d o e l s i g n o + a la s c a n t id a -d e s to m a d a s e n u n s e n t i d o d e t e r m i n a d o ( c an t id a d e s p o s iti v as ) y a n t e p o n i e n -do e l s igno — a las can t idad es tom adas en sen t ido o pu es to a l an te r io r ( c an -t idades negat ivas) .

As i , e l habe r se des igna con e l s igno + y l a s deudas con e l s ignoPa r a e x p r e sa r q u e u n a p e r so n a t i e n e $ 1 0 0 d e h a b e r , d i r e mo s q u e t i e n e•I $100, y para expresar que debe S10U, diremos que t iene —$100.

l a » g r a d o s so b r e c e r o d e l t e r mó me t r o s e d e s i g n a n c o n e l s i g n o + ylos g rado s ba jo ce ro con e l s igno —. As í , p a ra ind ica r qu e e l t e rm óm et rom a r ca 1 0* so b re c er o e sc ri b ir e m o s + 1 0 ° y p a r a i n d i c a r q u e m a r c a 8 ° b a joce ro e sc r ib i remos —8a

El c a mi n o r e c o r r i d o a l a d e r e c h a o h a c i a a r r i b a d e u n p u n t o s e d c s i g

n a c o n e l s i g n o + y e l c a mi n o r e c o r r i d o a l a i z q u i e r d a o h a c i a a h a j o d run p u n to se repres en ta con e l s igno —. Asf, s i hem os rec orr id o 200 ma l a d e r e c h a d e u n p u n t o d a d o , d i re m o s q u e h e m o s r e c o r r i d o + 200 m .y s i r ecor rem os 300 m . a l a izq u ie rda de un p u n to e sc r ib i rem os —300 m .

E l ti em po t r a ns cu r r ido desp ués de C h is to se con s ide ra pos it ivo y elt iem po t r ansc ur r ido an te s d e C r is to , nega t ivo . As i, + 25 0 años s ign i fi ca150 años D. C. y —78 años signif ica 78 años A. C.

E n u n p o s t e i n t r o d u c i d o en e l sue lo , r ep resen tam os con e l s igno + la p o rc ió n q u e se h a lla d e l su e lo h ac ia a r r ib a y c o n e l s ig n o — la p o rc ió n q u e

se ha l l a de l sue lo hac ia ab a jo . As í , pa ra exp resa r qu e la lon g i tud de l post e q u e s e h a l l a d e l su e lo h a c ia a r r i b a m id e 15 m ., e sc r ib i re m o s + 1 5 m .y si la po rc ión in t rod uc ida en e l sue lo e s de 8 m . , e sc r ib i rem os —8 m .

L a l a t i t u d n or t e se des igna con e l s igno + y la l a t i t ud su r con e l signo —; la longi tud es te se considera posi t iva y la longi tud oeste , nega t iva .P o r l o t a n t o , u n p u n t o d e l a T i e r r a c u y a s it u a c ió n g e o g r á f ic a s ea : + 4 5 1d e l o n g i t u d y — 1 5 ° d e l a t i t u d se ha l la rá a 15* a l es te de l p r im er m er id ia-n o y a 1 5 ° b a j o e l Ec u a d o r .

x = 8 a ñ o s , e d a d d e A . R .

5x = S a ñ o s x 5 = 40 a ñ o s, e d a d d e B . R ,

12/ ELECCIO N DEL SENTIDO POSITIVOLa f i j a c i ó n d e l s e n t i d o p o s i t i v o e n c a n t i d a d e s q u e p u e d e n t o ma r se e n

d o s s e n t i d o s o p u e s t o s e s a r b i t r a r i a , d e p e n d e d e n u e s t r a v o l u n t a d ; e s d e c i r .

1 0 O A i r . I lil i A

q u e p o d e m o s l o m a r c o m o s e n tid o p o s itiv o e l q u e q u e r a m o s ; p e r o u n a ve?f i j ado e l s en t ido pos i t ivo , e l s en t ido opues to a és te se rá e l nega t ivo .

A s f , s i t oma mos c omo s e n t i do pos i t i vo e l c a mi no r e c o r r i do a l a de re -c ha de un pun t o , e l c a mi no r e c o r r i do a l a i z qu i e rda de e s e pun t o s e r á

n e g a t i v o , p e r o n a d a n o s i m p i d e t o m a r c o m o p o s i t i v o e l c a m i n o r e c o r r i d oa la i z qu i e rda de l pu m o y en t onc e s e l c a m i no r e c o r r ido a la de re c ha de lp u n to se ría n eg a tiv o .

As i , s i sobre e l s egmento A t í t oma mos c o rno pos i t i vo e l s e n t i do de A hacia t í , e l s e n t i do det í hac ia A serfa nega-t ivo , p e ro si f i jam os >

c o m o s e n t i d o p o s i t i v o A ---------------------------------- B A -------

d e t í hac ia A , e l sent i-d o d e A ha c i a t í seria * *

nega t ivo . N o o b s ta n te , e n la p rác tic a se a c e p ta n g e n e ra lm e n te los sen tid o s posi-

t i vos de que s e t r a t ó e n e l núme ro a n t e r i o r .

1 3 ; CERO e s la a us e nc i a de c a n t ida d . A s í , r e p re s e n t a r e l e s t a do e c onó m i -c o d e u n a p e r so n a p o r 0 e q u i v a l e a d e c i r q u e n o t ie n e h a b e r n i d e u d as .Las can t idades pos i t ivas son mayores que 0 y l a s nega t ivas menores

q u e 0 . A s í, + 3 es un a c a n t i da d q ue e s tr o s un i da de s m a yor que U; + 5 esu n a c a n t i d a d q u e e s c i n c o u n i d a d e s m a y o r q u e 0 , m i e n t r a s q u e — 3 e s u n ac a n t i d a d q u e e s t r e s u n i d a d e s m e n o r q u e 0 y — 5 e s u n a c a n t i d a d q u e e s

c i n c o u n i d a d e s m e n o r q u e 0 .D e dos c a n t i da de s pos i t i va s , e s ma yor l a de ma yor va l o r a bs o l u t o ; a s i .

+ 5 es m a y o r q u e + 3 , m i en t ra s q u e d e d o s c a n ti d a d e s n e g a t iv a s es m a y o rla de m e n or va l o r a bs o l u t o : —3 es m a yo r q u e — 5; 0 e s m e nor q u e — 4.

EJERCICIOS SOBRE CANTIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS

L) U n ho m bre c ob ra $180. P a ga u n a de ud a d e $80 y l ue go ha ce c om -pras jx>r v a lo r d e $90. ¿ C u á n to tiene?

T e n ien d o ' $130, pago $60; luego , se q u ed ó con $50. D espués hace ungas to de $95 y com o só lo ti ene $50 inc u r re en u na de ud a de $45. P or lo

tan to, t ien e ac tua lm en te —$15. R.

m - EJERCICIO 1l’etho debía (10 bolívares y recibió 320. Expresar su estado económico.Un hombre que tenia 1170 sucres hizo una compra por valor de 1515.l'.xprnAr su estado económico.T if $200 C b ó $50 é d d $169 C á ?

4. C om pro rop as po r va lor de 665 soles y alime ntos po r 1178. Si despuésrecibo 22B0. ¿cuál es mi estado económico?

ó. T en ia $20. Pagu é $10 que debia, después cobró $40 y lueg o hice gastos por. $75. ¿C uánto tengo?

0 En rique hace mía com pra por $67; después recibe $72; luego hace olíacompra por 516 y después recibe $2. Expresar su estado económico.7. Después de rec ib ir 200 colone s hag o tres gastos p o r 78, 61 y 93. Recibo

entonces 41 y luego hago un nuevo gasto por 59. ¿Cuánto tengo?8 . Pe dro tenia tres de ud as de $45, $66 y $79 respectivam ente. Entonces

recibe $200 y hace un gasto de $10. ¿Cuánto tiene?

2 ) A las 6 a . m . e l t e rm óm et ro m arca —4 o. A las 9 a . in . h a sub id o7o y de s de e st a ho r a ha s t a la s 6 p . n i . lia ba j a d o 11 ° . E xp r e s a r la t e m pe -ra tura a l a s 5 p . m .

A las 6 a . tu . m arca —4 " . Com o a las 9 a . m . ha s ub ido 7° , con tamoss ie te d iv i s iones de la esca la desd e —4° hac ia a r r iba y t end rem os 3° sobrec e r o ( + 3 ° ) ; c o m o d e s d e e sta h o r a h a s ta l as 5 p n i. h a b a j a d o I P , c o n t a n d o11 d iv i s iones de la esca la des de + 3° . hac ia ab a jo l l egaremo s a 8 , :. L u e-go, a las 5 p . u i. la te m p e ra tu ra es d e — R .

fl»- EJ ERCIC IO 21 A lar. ■) a . m. el term óm etro m arra 112o y de esta hora a las 8 p. tu. ha

b a jado 15°. E xpresar la tem pera tu ra a la s 8 p . n i.2. A las 6 a. tn. el term óm etro m arca —3 o. A las 10 a. m. la tem pe raturaes 8 ° más alta y desd e esta ho ra hasta las 9 p. m. ha b aja d o 6 o. Expresa!la tem pe ratu ra a las 0 p. m .

3 A la l p. u». el term óm etro m arca + 1 5 ° y a las 10 p. m . m arca —3°.¿Cuántos grados l ia bajado la temperatura?

4 A Jas 3 a. ni. el term óm etro m arca —8o y al m ed iod ía + 5 °. ¿C uántosgrados l ia subido la temperatura?

l\. A las '$ a. ni. el term óm etro m arca —J D; a las 9 a. m . ha sub ido 7 ° ; alas 4 p. m. h a su bid o 2° más y a las 11 p . m . ha bajarlo 11°. Expresar

la tem pe ratu ra a las 11 p. ni.6. A las 6 'a . m. d term óm etro m arca — 8o. De las 6 a. m. a las 1.1 ¡l.m .

sube a razón de 1^ por ho ra. Ex presa r la te m pe ratu ra a las 7 a.n»., alas 8 a. tu. y 3 las 11 a. m .

7. A las 8 a. m . el term óm etro marea —I o. De las 8 a.m . a las 11 a. ni. bajaa razón d e 2C po r ho ra y de 11 a .m . a 2 p. m. sube a razón d e 3o jhjihora. Expresar la temperatura a las 10 a.m., a Jas II a.n»., a las 12 a.m,y a las 2 p. m.

8. El día 10 de diciem bre un barco se ha lla a ,5 6 1 al oeste del pr imer m erid ian o. Del d ía 10 al 18 reco rre 7o ha cia ?el este. E xp resar su Ion

gitud este día.9. El día pr im ero de febrero la s i tuación de un ba rco es: 71° de longitud

oeste y 15° de latit u d su r. Del d ía prim ero al 26 ha reco rrido 5' hiiciuel este y su latitud es entonces de 5o más al sur. Expresar su situaciónel «lía 26.

C M T W A D t S P O S IT I V A S Y H E Q A T I V A S • ] I

2 ® A Hit'IIH A

JO. El día ¡3 de m ayo la situació n de u n viajero es 18° d e lo ng itud este y65 ° de lat itu d no rte. Del d ía 5 al 31 ha reco rrido 3 C hac ia el este y seha acercado 4 o al E cuador. E xp resar su situació n el día 31.

11. U na ciuda d fun da da e l año 75 A. O. fue d estruid a 135 años después.

Expresar la fecha de su destrucción.

3 ) U n m óv i l r e c o r r e 40 n i. e n l íne a r e c ta a l a de re c h a de un pun -o A y luego re t roced e e n l a m ism a d i recc ión a razón de 15 m. j to r segun -o. E xp resa r a qu é dis tancia se hal la de l p u n to A a l cabo d el l ' \ 2 '1, 3'.*4V seg un do .

El móvi l ha rec or r ido 40 m. a la de rec ha de l p u n to / f ; luego , su po -ic ión es + 40 n t , tomando como pos i t ivo e l s en t ido de i zquie rda a de recha .

E n t onc e s e mpi e z a a move r s e de l a de re c ha ha c i a l a i z qu i e rda ( s e n t i do

ega t ivo) a razón de 15 m . por segun do ; luego , en e l p r im er segun do secerca 15 m. a l punto A y como es taba a 40 m. de ese punto, . se hal la a0 —15 = 25 m . a la d erec ha de A ; lueg o, su posición es I 25 m . R.

En e l 29 segundo se acerca ot ros 15 ni . a l punto A ; luego, se bai lará25 — 15 = 10 m. a la de rech a d e A ; su p o sic ió n a h o ra es I .1(1 m . R.

En el 3W segundo recorre otros 15 m. hacia A , y como es taba a0 m. a l a de recha de A , h a b r á l l e g a d o a l p u n t o A (con 10 tn.) y recorri-o 5 m . a l a i z qu i e rda de A , es d e cir , 1 0 1 5 = 5 m . S u p o sic ió n a ho ras 5 m . R .

E u e l 4‘* seg un do re co rre ot ro s 15 tn . más hacia la izq uierd a y ro m oa es taba a 5 m. a l a i zquie rda de A , s e ba i l a rá a l rabo de l 49 segundo a0 m. a l a i zquie rda de A , o sea 0 — 1 5 = 2 0 tn .; l u eg o , su p o sic ió nh or a es —20 tn. R.

m- E J E R C I C I O 3

IS E N T I O O P O S I T IV O : D E IZ Q U I E R D A A D E R E C H A Y D E A B A J O A A R R I B A I .

1. Expresar que un móvil se hal la a 32 m. a la derecha del punto A ; a

16 ni, a la izquierda de A .2. Expresar que la parte de un poste que sobresale del suelo es 10 m, y

t iene enterrados 4 m.3. Después de caminar 50 m. a la derecha del punto A recorro 85 m. cu

sentido contrario. ¿A qué dis tancia me hallo ahora de A'<

Si corre* a la izquierda del punto ¡i a razón de í> ni. po r segundo, Jaqué dis tancia de B me hallaré al cabo de 11 segs.?

5. Dos corredores pa rten del pu n to A en sentidos opuestos. El que correhacia la izquierda de A va a 8 ni. por scg. y el que corre hacia la derecha

va a 9 ni. por scg. Expresar sus distancias del punto A al cabo de 6 seg.6 P artien do de la línea de salida hacia la derecha un corre do r da dos vueltasa una pis ta de 400 nt . de longitud. Si yo parto del mismo punto y doy3 vueltas a la pista en sentido contrario, ¿qué distancia hemos recorrido?

7. U n poste de 40 pies de longitud ten ía J 5 pies sobre el suelo. Días despuési t d j 3 i á E l t b l l t d

g. U n móvil recorre 55 m . a la derecha del p un to A y luego en la mismadirección retrocede 52 m. ¿A que distancia se halla de A ?

3 U n móvil recorre 32 m . a la izquierda del pin ito A y luego retrocedíen la misma dirección 15 m. ¿A que distancia se halla de A e

10. U n móvil recorre 35 ni. a la derech a de ¡i y luego retrocede en la misin.idirecció n 17 m. ¿A qu é distan» ia se halla cíe JJ?

1L. U n m óvil recoi re 3!) m . a la izqu ierda de M y luego retrocede en t.imisma dirección 5(j m. ¿A qué distancia se Italia de Ai?

12. A part i r del pu nto H una persona recorre 00 m. a la derecha y retrorede, en la misma dirección, primero :'iS m. y luego 3G m. ¿A qué discmriiise halla de /í?

13. U n móvil recorre 72 m. a la derech a de A y entonces empieza a retro-ceder en la misma dirección, a razón de 30 m. por scg. Expresar m i

distancia del punto A al cabo del l<\ 9/J, 3 ? y 41? scg.

14 U n au to recorre 120 Km. a la izquerd a del pu n to Ai y luego retrocedea tazón de 00 Km. jxn hora. ;A que distancia se halla «leí punto M al cab o de la 1*. 2 , 3? y 4* hora?

VALOR ABSOLUTO Y RELATIVO

V a l o r a b s o l u t o d e u n a c a n t i d a d e s e l n ú m e r o q u e r e p r e s e n t a l a c a n -t idad p resc ind iendo de l s igno o sen t ido de l a can t idad , y va lo r r e l a t ivo e se l sen t i r lo de Ja can t idad , r ep resen tado por e l s igno .

A sí , e l va lor ab so lu to d e f 38 es $8 , y e l va lor re la t ivo ha be r , exp rcsad o p o r el sign o ; e l va lor ab so luto d e — $20 es S2Í), y e l va lor re lat ivode ud a , expresad o p or e l s ign o —.

Las cant idades 17° y —7° t ienen e l mismo va lor absolu to , pero suva lo r r e l a t ivo es opu es to , pues e l p r im ero expresa g rados sobro ce ro y elseg un do ba jo ce ro ; —8° y 13° t i enen e l mism o v a lo r r e l a t ivo {grados b a jo ce ro ) y d is t in to v a lo r ab so lu to .

E l v a l o r a b so l u t o d e u n a c a n t i d a d a l g e b r a i c a c u a l q u i e r a s e r e p r e se n t ac o l o c a n d o e l n ú me r o q u e c o r r e sp o n d a a d i c h o v a l o r e n t r e d o s l i n c a s v e r -

tic ale s. As i, e l v a lo r a b so l u t o d e + 8 s e re p r e se n t a | 8 ¡.

CANTIDADES ARITMETICAS Y ALGEBRAICAS

D e lo e x p u e s to a n t e r io r m e n t e se d e d u c e l a d i f e re n c i a e n t r e c a n t i d a -des a r i tmét icas y a lgebra icas .

Cav. iñbule i a r i tmét icas son las que expresan solamente e l va lor abso-l u t o d e l a s c a n t i d a d e s r e p r e se n t a d o p o r l o s n ú me r o s , p e r o n o n o s d i c e n e lsen t ido o va lo r r e l a t ivo de l a s can t idades .

As i , c u a n d o e n Ar i t mé t i c a e sc r i b i mo s q u e u n a p e r so n a t i e n e 5 5 , t e -nemos so lamente l a i dea de l va lo r abso lu to S5 de e s t a can t idad , pe ro cone s to n o sa b em o s s i la p e r so n a ti e n e $5 d e h a b e r o d e d e u d a . E sc r ib i e n d oq u e e l t e r mó me t r o ma r c a 8 o , n o s a b e mo s s i so n so b r e c e r o o b a j o c e r o .

CAHTIOAOÍS POSITIVAS Y M ÍCATIVAÍ • I 3

4 • Ai r^r nn a

( :.í n i! ' i i íK", a lgebra icas son las que expresan e l va lor absolu to <lc lasan t idad es y adem ás su s en t ido o va lo r re la t ivo por m ed io d e l .signo .

A si, esc rib ien d o q u e un.a person.» tie n e + $"> ex pre sam os el va lor a b -

o lu t o y e l s e n t i d o o v a l o r r e l a ti v o ( h a b e r ) e x p r e s a d o p o r e l s ig n o + ;

sc r ib iendo — $8 expresam os e l va lo r abso lu to S8 y e l s e n t ido o va lo r re la-v o ( d e u d a ) e x p r e s a d o p o r el s ig n o —; e s c r ib i e n d o q u e e l t e r m ó m e t r o m a r -a + 8" t enemo s e l v a lo r abso lu to 8 ° y e l va lo r re la t ivo ( sobre ce ro ) ex pr e-ado p o r e l s igno y e sc r ib iendo —9° t enemo s e l va lo r abso lu to 9o y ela lor re la t iv o (ba jo cero) exp resado p o r e l sig i lo —.

Los s ignos + y — t i enen en Algebra dos ap l i cac iones : una , ind ica r l a sperac iones « le suma y res ta , y o t ra , indicar e l sent ido o condic ión de las

antidades.E sta doble apl icac ión se d is tingue po rqu e cuand o los s ignos p i> —

enen la s igni f icac ión de suma o res ta , van ent re té rminos o expres iones in-

u idas en pa rén te s i s , com o por e jem plo en ( + 8 ) + (— 4) y en (— 7) — ( | 6 ).

uando van precediendo a un té rmino, ya sea l i te ra l o numérico , expresan e l

en tido pos i tivo o nega tivo, como po r e jemp lo en — a, + b . 7. ~8

©REPRESENTACION GRAFICA DE LA SERIE ALGEBRAICA DE LOS NUMEROS

T e n i e n d o e n c u e n t a q u e e l 0 e n A l g eb r a e s la a u se n c ia d e la c a n t i-

ad . que l a s can t idades pos i t ivas son mayores que t i y l a s nega t ivas meno-es que 0 , y que l a s d i s t anc ia s med idas hac ia l a de recha o hac ia a r r iba den p u m o s e c o n s i d e r a n p o s itiv a s y h a c ia la i z q u ie r d a o h a c ia a b a j o d e u nu n to n eg ativ as , la se rie a lg eb ra ica d e los n ú m e ro s se p u e d e re p re se n ta r

e es te nuxio :

5 4 3 2 1 0 I “ 2 + 3 14 ■* 5• • • I 1------------------i----- 1----- 1 i 1----- ¡------i * • *

OMENCLATURA ALGEBRAICA

17^ EXPRESION ALG EBR AICA es la r e p r e s e n t a c ió n d e u n s ím b o l o a l g e -

b ra ic o o d e u n a o m ás o p erac io n es a lg eb ra icas .

Ejemplos \ ^ ^ üXa.

18 ’ ER M IN O « u n a e x p r e s ió n a l g e b r a ic a q u e c o n s ta d e u n s olo s ím b o l oo de va r ios s ímb olos no sepa rados en t re si po r el s igno + o —. Así,

, 4a .'.ib, '¿xy, ----- son té rminos .

NOMENCLATURA ALGCDRAICA • 15

Los e lem entos de u n t é rm ino son cu a t ro : e l s igno , e l coef ic ien te , la p a r te l i te r a l y e l g rad o .

Po r e l s i g n o , s o n t é rmi n o s p o s i t i v o s l o s q u e v an p reced i d o s d e l s i g -

n o + y n eg a t iv o s lo s q u e v an p reced id o s d e l s ig n o As í, 4 a, + &x, + 9ab3aso n térm ino s posi tivos y — x , —5b e y — — s o n t é rm i n o s n eg a tiv o s .

— yE l s i g n o + s u e le o m i ti r s e d e l an t e d e lo s t é rm i n o s p o s itiv o s . A sí,

a e q u i v a l e a + a; 3a b e q u i v ale a + 3 ab .Po r t am o , cu an d o u n t é rm i n o n o v a p reced i d o d e n i n g ú n s ig n o •••■

|>OS¡IÍVO.

E l co e f i c i en t e , co mo s e d i j o an t e s , e s u n o cu a l q u i e ra , g en e ra l men t e e l p r im e ro , d e lo s fac to res d e l té rm in o . A si, e n el té rm in o 5a el coefic ien te

es 5; e n — 3aax a el c o ef icie n te es —3.L a p a r t e l it e r a l l a co n s t it u y e n las l e tr a s q u e h ay a en e l t é rm ino . As í,

3*®/ x*y‘en b xy la p ar te l i tera l es x y ; e n —— la p a i te l i te ra l es — — .

' 2ab r ab

19 ) EL GRADO DE UN TERMINO p u e d e s e r d e d o s cla ses: a b so lu to y conre l ac i ó n a u n a l e t r a .

G r a d o a b s o l u t o d e u n t é r m i n o e s l a s u m a d e l o s e x p o n e n t e s d e s u sf ac to r es lit er a le s . A s í, e l té r m i n o 4 a e s d e p r i m e r g r a d o p o r q u e e l e x i s -t ien te de l fac to r l i t e ra l a es 1; e l t é rm ino ab e s d e s e g u n d o g r a d o p o r q u ela su ina d e los ex po ne n tes d e sus fac to res l it e ra les es 1 + 1 = 2 ; el t é rm inoa?b e s d e t e r ce r g rad o p o rq u e l a s u ma d e l o s ex p o l í en l e s d e s u s f ac t o re sl it e ra les es 2 + 1 = 3 ; 5a<51ea es de no ven o g rado po rq ue la sum a de los ex -

p o n e n te s d e sus fac to res lite ra le s es 4 + 3 + 2 = 9.E l g rad o d e u n t é rmi n o co n r e l ac i ó n a u n a l e t r a e s e l ex p o n en t o t i c

d i ch a l e t ra . A s i e l t é rm i n o b x l e s d e p r i m e r g r a d o c o n r e l a c ió n a b y dete rcer g rado con re lac ión a .v ; 4x9y* es d e s eg u n d o g rad o co n r e lac i ó n a x

y d e cu a r t o g rad o co n r e l ac i ó n a y .

20 ) CLASES DE TER M INO ST é r m i n o e n te r o e s e l q u e n o t i e n e d e n o m in a d o r l it e ra l c o m o 5a.

2afia * b \ — .

5 _ _ . 3aT é r m i n o f r a c c io n a r io e s e l q u e t ie n e d e n o m i n a d o r l i te r a l c o m o ——.

T é r m i n o r a c i o n a l e s e l q u e n o t ie n e r a d ic a l, c o m o l os e je m p l o s a n t e -

r i o re s , c i r r ac i o n a l e l q u e t i en e r ad i ca l , co mo V a b , ■■ y /H a

T é rm i n o s h o m o g én eo s so n lo s q u e t ien e n e l m i si n o g rad o ab s o l u to .Así . 4xJy y (ix''y1 son hom ogén eos p o rq ue am bos son de q u in to g rad o

abso lu to

m - EJERCICIO 4

I. Oigase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, asi t ienen o no denominador y a si t ienen o no radical:

2a 50° jorT5 4aa6;i5 fl2, —4a’b, —, —. vGT, W , — jprr-3 6 6 VC«

2 Dígase el gra do absoluto de los térm inos siguientes:5a, <fib*, —rU^b'c, fíx:y '1, 4m2n8, —xyi*

3 . Dígase el grado de los término s siguientes respecto a cad a un o de susFactores literales:

—/i*/;2. —á x 'v 1, 6aai»*st —4abcy3, 10m*»a¿ric5,i. De los térm ino ssiguientes escoger cuatro que sean homogéneosytres

heterogéneos:

— ln*b*. te b ', - x'-, 6x4}\ —2a*x\ -a b a, i abcx - , 2ac5 . Escribir tres térm ino s ettteios: dos Fraccionarios; dos positivos, entero s y

racionales; iré» negativos, fraccionarios e irracionales.G Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: de

tercer grado, de quinto grado, de undécimo grado, de décimo quintogrado, de vigésimo grado,

y Escribir u n térm ino de dos Factores literales qu e sea de cuarto gra do conrelación a la x; otro de cuatro Factores literales que sea de séptimogrado con relación a la v; otro de cinco factores literales que sea «ledécimo grado con relación a la b.

CLA SIFICA CIO N DE LAS EXPRESIONES ALGEB RAICAS

q u e c o n s t a d e u n so l o t é r mi n o , c o mo /

. 2 2 POLINOMI O es u n a e x p r es ió n a l g e b r a ic a q u e c on s ta d e má s d e u nt é r m i n o , c o m o a + b, a + x — y , x :t I 2 x- + x -5- 7.

* a 3 5 mx*B in o m io es u n p o lin o m io q u e a + b , x — y , — —

cons ta de dos t é rminos , como: _____________________ /

«2T r in o m i o es u n p o lin o m io q u e a + b + c , x 2 —5j í+ '6 , 5xi 6y3+ —.

cons ta d e t re s t é rm inos , como /*

G r a d o a b s o l u t o d e u n p o l i n o m i o e s e l g r a d o d e s u t é r m i n o d e m a y o r

grad o. Así. en el po l ino m io x* - 5x* + x z 3 x e l p r i m e r té r m i n o es d ecua r to g rado ; e l segundo , de t e rce r g rado ; e l t e rce ro , de segundo g rado , ye l ú l t im o , de p r im er g rado ; l uego , e l g rad o abso lu to d e l p o l inom io es e lcua r to .

1 6 • ALQCURA

•lo*'

N O M EN CLA TU RA ALGEBRAIC A • | 7

G r a d o d e u n p o l i n o m i o c o n r e l a c i ó n a u n a l e t r a e s e l m a y o r e x p o

t ie n t e de d i c ha l e t ra e n e l po l ino m i o . A s í, e l po l ino m i o a " + a*x?- a2*4 esde s e x t o g ra do c on r e l a c i ón a l a a y de c ua r t o g ra do c on r e l a c i ón a l a x.

0» EJER CICIO 5! Dígase el gra do abso luto de los siguientes polinom ios:

2- Dígase el grado de los siguientes polinomios con relación a cada unade sus letras:

c ua ndo no c on t i e ne r a d i c a l e s , c ou t o e n l o . s e j e mpl os a n t e r i o r e s ; ¡ na c i ona lc ua ndo c on t i e ne r a d i c a l , c omo V 5F + VU—Vc'—Vñbc; homogéneo cuando i«dos sus t é rm ino s son de l m ismo gra do ab so lu to , com o 'lci3 + 5«sb+Ca/>s l b \

y he t e rogé ne o c ua n do s us té rm i nos no s on d e l m i sm o g ra do , conu> xx + x -1- x - r>.P o l in o m i o c o m p l e to c o n r e la c i ó n a u n a l et ra es e l q u e c o n t i e n e to d o s

l os e xpone n t os s uc e s i vos de d i c ha l e t r a , de s de e l má s a l t o a l má s ba j o quetenga d ic ha l e t ra en e l p o l ino m io . As í, e l p o l in o m io xa + x« — x 3 + x3 .'t.ve s c ompl e t o r e s pe c t o de l a x , p o r q u e c o n t i e n e u x i o s l o s e x p o n e n t e s s u c e s i -vos de la x d esd e el m ás al to ñ, h as ta el m ás b a jo 1, o se a :>, 4, 3, 2, 1; el

p o lin o m io o* —a^b I a t y — a b 3 4 b* e s c o m p l e t o r e s p e c t o d e a y b.

P o l i n o m io o r d e n a d o c o n r e s p e c to a u n a l e t ra e s u n p o l in o m i o e n elc ua l lo s e xpo ne n t os de un a l e n a es c og ida , ll a ma d a l e t r a o rd e n a t r i / , va na u m e n t a n d o o d i s m i n u y e n d o .

A sí. el p o lin o m io x* 1xBI 2x2 — 5 x + 8 e stá o r d e n a d o e n o r d e n d e s -c e n d e n t e c o n re la c ió n a la l e t ra o r d e n a t r i / x ; e l p o l in o m io —2n*fi i I mi'I*

r>a-b* I Znb* — I/' e s tá o r d e n a d o e n o r d e n d e s c e n d e n t e r e sp e c t o d e l a le tr ao r d e n a t r i z a y e n o r d e n a s c e n d e n t e r e s p e c t o d e l a l e t r a o r d e n a t r i / b.

O r d e n a r u n p o l in o m i o es e s c r i b i r su s té r m i n o s d e m o d o q u e lo s cx|x>

n e m e s d e u n a l e tr a es co g id a c o m o le t ra o r d e n a t ri z q u e d e n e n o r d e n d e sr e n d e n t e o a s c e nde n t e . A si. o rd e n a r e l p o l i no m i o —5x8+ x° 3 x l x4 x :'+ (! eno rd e n de s c e n de n t e c on r e la c i ón a x s e rá e s c r i b i r x5+ x l —5x3 x - —3x + (¡.

O r d e n a r e l p o l i n o m i o x*y — 7 x 2y3 — !5xn 4Gxy* + y 3 — x 'y - e n o r d e n a s -d t l ió á ib i l

a) x*+x*+x. b) ílfl—Sa'+ 't /í*—(i.

c) u*b—a~ b--\ab 3— b4.

d) x ' f i x y —á c T t y + x y S y 0.

a) <v'-\-a'¿—ab*.

b ) x'f1x3—bxy*—Ixy*.c) (jci '/>• —4u2x-l ab" - 5aab*x*.d) m 4n 2—m«*+»w x, y3—x H|y,B—»nM.

24 | CLASES DE POLINOMIOS

(2 6 i T é rm in o in d ep en d ie n te «le un po l ino m io con re l ac ión .« un a l e tr a ese l t e r m i n o q u e n o t i e n e d i c h a l e t r a .

As í , e n e l p o l i n o mi o a 1 — a - •}• 3a —5 e l té rm in o ind ep en die nte conr e la c i ó n a l a a e s 5 p o r q u e n o t i e n e a: cji x* —Ox3 + 8xa — 9x + 20 el té rm i-

n o in d e p en d ie n te es 2 0; en as «2¿ 1 '¿ab'1 f b ” el t é r m i n o i n d e p e n d i e n tecon re l ac ión a l a a e s b \ y e l t é r m i n o i n d e p e n d i e n t e c o n r el ac ió n a la b es o3. E l t é rm ino in de pe nd ien te con re lac ión a u na l e t r a pu ed e cons ide ra r seq u e t i e n e e sa l e t r a c o n e x p o n e n t e c e r o , p o r q u e c o mo se v e r á má s a d e l a n t e ,t o d a c a n t i d a d e le v a d a a c e r o e q u i v a l e a 1 .

As í, en e l p r im er e j em plo an te r io r , —5 equ iva le a — 5nu, y en e l ú l t i-m o e j e m p l o , e q u i v a l e a a"b3.

& EJERCICIO 6

1. A tendiendo a si tienen o no den om inado r li teral y a si t ienen o no rad i-cal, dígase de que clase son los polinomios siguientes:a) aJ+2«--Ua. c) V ü » x/ZT— 2c 1 Vt i .

“ > 4’ + V; <iO + 1;

2 Escribir un p ol inom io de tercer grado absoluto: de qu into grado abso-luto; de octavo grado absoluto: de decimoquinto grado absoluto.

. Escribir u n trinom io de segundo gra do respecto de la x ; un pol inomiode quinto grado respecto de la a; un pol inomio de noveno grado respecto de la »«.

■V D« los sig uien tes |K)I¡>.ornios:

a ) 3fl“ó+4«»56» . d ) 4« 5 f t+6r3 8d , 6 . b) «*—«3Í> tflU''laU3. c) y*~ayt +o?y:'—a iyx—a ,y+ya.c) x5—óx4+ afrx3+«Z>8x2. f) —<jii3f/ l—5o<lb+&ai bs—b‘t .

escoger dos que seau homogéneos y dos heterogéneos.5. De los siguientes polinomios:

a) //*—«2| « —«3. d) m4—r7i4Hw3—m + 5. b) 5x4—8x s+ x —6 c) y :' - b y i~ b ty :,—b:'y -+ b ,y.c) x 'y —x 3ya|xaj J —y*.

dígase cuáles son completos y respecto de cuáles letras,ü. Escribir tres polinomios homogéneos de tercer grado absoluto; cuatrode cpúiuo grado absoluto: «los polinomios completos.

7. O rd en ar los siguientes polinom ios respecto de cu alqu ier letra en ordendescendente:

a) tn9+ 6m —m *+ m 4. b ) 6ff.v2—5«3l2a2x + x 4.c) —rt26:i4(i4f>4a3//'—(>&♦.d) 5«-rC«8—9«2+G.c) x ^y’Kv' "+3x 'ly'!—s d y + x 2)*.

f) —3m ,t’n*+4m , 2«!‘—8m *n4 ll lm !,ne I»’ m ,sn.Ordenar los siguientes polinomios respecto «le cualquier lena en ordenascendente:

a) <r*~5(»a|l><i. d) fla¿»‘+«r‘f»3— tí*b3+a*b+ba. b ) x —óx J+ 6 x 2+ 9x4. c) y1'—x 'y ’+ .v '2)1' —x 3yUl.

) 2 4 K4 4 0 +2 2+ñ 3

1 8 • ALQCBRA

■ EDUCCION DC Y H M iN O t « M I JA N T 1 S • 1 9

(27) TERMINOS SEMEJANTES

D o s o m á s t ér m i n o s so n s e m e j a n te s c u a n d o t ie n e n l a m i sm a p a r t e l it e -ra l , o sea , cuando t ienen igua les le t ras a fec tadas de igua le» expónentes .

Ejemplos 2o y a¡ - 2 b y 8fa; -50*6* y - 8 a 3b»; x " '1 y

Los té rmino» lab y 6fl*6 n o son sem ejan tes , po rqu e au n q u e t iene nigua les le t ras , é s tas no t ienen los mismos expol íen les , ya que la a de l p r i-m e r o t i e ne de e xpo l í e n te 1 y l a « de l s e gundo t i e ne de e xpone n te 2 .

Los térm ino s 6 .v‘ y «b* no son se m e ja n te s , po r qu e a u n q u e t ie ne n lo*mismos exponentes , la s le t ras no son igua les .

28 ) RED UCC ION DE TERM INOS SEM EJANTES es u n a o p e r a c ió n q u e n e -n e p o r o b j e to c o n v e r t i r e n u n s o lo t é r m i n o d o s o m á s t ér m i n o s se

m e ja n te s .En l a re duc c ión de t é r m inos se m e ja m o s pu e de n o c u r r i r lo s tre s

siguientes:

J ) R e duc c ión de dos o m á s t é r m inos se m e ja n te s de l m ism o s igno

S e sum a n lo s c oe f i c i e n te s , pon ie ndo de la n te de e s t a sum a e l m ism os i g n o q u e t i e n e n t o d o s y a c o n t i n u a c i ó n s e e s c r i b e l a p a r t e l i t e r a l .

Ejemplos

11» 3a + 2o = So. R.

(2 ) —5b —7b = — 12b. R.

O I —o * ? a * = — 10a, R.

(4) 3 a - " -1 5a*-¡i — 8o’ «. K.

(5 ) — 4o“ ** —'/a " • * = • lio " *1. R

% EJERCICIO 7

Reducir:1. x+ 2x . e.2. &M-9a. 7. -la^+ria*.3. 11b+96. 8 lyi* • i+8<i-r*.4 —6—56 9 in' * 5m" ’ '.

(61 iob + Jab = jab . R.

( 7 ) = R

(S) 5x I x + 2x = 8*. R.

(9 ) — m —3m —éoi 5m lf«

1 1 0 ) ; * * y + V y t ^ y / " y . R

1 2 ± a b + ± a b .

1 6 T ^ 7

2 0 • A LCUKA

17. 8a+9a+6«. 29. — x yy - 8x*y—9x''y20x3y.

15x+20x+x. 30.

3 a » 5 a " 6 a « —9a“ .

4/•*<?/»» JT/t. —a~b—aJb—'¿<¡'b.

31. —«+7^1+—a+ a.

2 1 1 121. a*+ü«*+8a*. 32. <2x+i t>x + ~flx+ ax.

33. 0.5w+0.6m+0.7m|0.8m.22. —5a, “ , ~3a*'*1—5a*1*.

1 2 34. ——«6— -ab— —a6 — ab.23. a + V f a . t i. a»

v s2 1

—X -----X-----X.35. 2 i » 1 . * .

7 * 2y T x * > ' x * y x » y .n 4 30. ‘ <i6* +«6*+7«6*+íla 6*+ 21a 65.

25. ~ a x + ~ o x + a x . 37. —m—m—8/n—7m —3tn.S 10 38. x » ' >8 x * *■4 x» * 1 .r>x*11x * • 1.

28 _ 1 rHx—^a2x r i2x.30.

i , i , i , i~a+ a + —a + —« + —a.27. l l f l + 8a + 9a + l l a . 2 3 4 i 1 _ Vct5 _ L a 5 _ l a 6 _ i <Ib _ l 4,5.28. m ’,+ ,+3w»,‘ 1+4r>»*' *+Gwi,<**. 40

2 ) R e d u c c i ó n il c d o s té rm in o s s e m e ja n t e s d e d i s t in t o « g n o .

R E G L A

Se re s t an los coe f i c i en te s , pon iendo de lan te de e s t a d i fe renc ia e l s ignode l mayor y a con t inuac ión se e sc r ibe l a pa r t e l i t e ra l .

Ejemplos

(1 ) 2o —3a = —o. R. (51 2 5a *'1 5 4 o 1 = 290*“ ,

(2 ) t

í I I XT < 2 R. 16)

I V Io — o = — o . R.2 3 e

(3) 2 0 o b + 1 1 o b = 9 a b . R. 17) — Jo*b + o:b —^a*b. R.

(41 B o + 13a‘ = 5a*. R. (8 ) _ 5 0 « .» . f *0 » .i = — ia"41.12

Do lo regla anterior Je deduce que dos términos seme/ontru do iguales coefi-cientes y de signo contrario se anulan.

Atí: B a b + 8ob = 0. R.i

i , í » _ „J X V X 7 0 . R.

EJERCICIO S

Reduci r :1 . 8 f l 6 a .2 . 6a —8a.3. 'Jab—lvab. 4 15a6—Onb.

ó 2a—2a.6. 7 6 + 7 6 .7 . 1 4 x y + 3 2 x y .H. 2 5 x ay+32x*jt.

9 . d O x ^ y ó l x yJO. —m:n+6rn3n.H . —15x>*+40xy.12. 5fia!,6 a—81a:i63.

M DU C CIO M D I T D tM IM O í 3 IM C M N T Q • 2 1

13.14.

16.1718.

x ^ + x 2?. —y<jí>+9at>.7x=y7x2y.

—lO lm n + U S m n .502«b 4Ü5 «b. 1 0 2 4 x | 1 0 1 8 x .

15«b+13aí>.i s

7 a 7 a

L j b - f r b .

23. - ±x S y + L x *y.

s r.¿4 —úm am.K 4

20. —ani4-*-am, r*

2Í». m « i;

27. —n7,+ %¿».

28. 3.1o 7 , (Vi'fA29 1.2y£+S.4jW.3 0 . I a« 2 a \3 1 — S o * • ' + 8 / 1* «

32. 2r>Hí, , 3 2 » í ‘ ».

—a"1' *— a 1" •.C IR

—5'm »i+ |m n.

8a*+s6** í_2>

■^vi"b*+a,,b".

O.SSntxy——rn.xy.

3 ) R ed u c c ió n d e m ás d e d o s t én a faa w sem e jan t e s d e s ig n o s d is ti nto* .

Se red u c en a u n so lo t é rm in o to d o s lo s p o s it iv o s , s e r ed u cen a u n v i l oté rmino todos los nega t ivos y a los dos resu l tados ob ten idos se ap l ica la i r g l a d e l ca so an t e r io r .

Ejemplos

l 1 I Reducir 5a —8o + o —6a I 21o.Reduciendo los positivos! 5ci + o + ? lo —27n.Reduciendo los Rogativos: —15o 6a = 14o.Aplicondo o estos resultados obtenidos, 27o y — ’4o, la tcgla d o l c o j o a n b :

rior, se tiene: 27o— 14o = 13o. R.Eslo reducción también suele hacerse té rm in o a te rm in o , de e:tu monrmi

5o —8o = 3o; 3o + o = 2 o . - ? a - 6 a = eo; 8 o + 21o^ 13o, R

(2.) Reducir — fbx2 + rbx" I ^bx- — 4bx2 + bx\i .■ 4

Reduciendo los positivos: l¿>x + ^bx* + 6x2 —^ b x .

Reduciendo los negolivos: —^bx: —4bx2 = —'."bx2.

Tendremos: —bxJ — —bx2 = —* 'bx*. R.so n 20

m - EJERCICIO 9

Reducir:i. 9 a 3 n + 5 n . 5. 19wi—IOm1 (¡w.2 . —8 x+ 9 x—x. 6. lla& 1 5ab +2 6af> . 9. 2 . •

j y + r y - y -

2 2 • AlGIORA

11. \ n-b v ~ y b - a 2b.W 1 23. —0*6 — ¿ a'ÍM *n: 6 — a:b.

.12. —«+8«+9«—15«.13. 7n 6—1 la 6 l20ob 31o6.

25x*—50x 24llx *4 14x s.

3.r>. —xy—8xy—19x)'+40xy.1C. 7a6+21o6— a b —80«6.i 7 —25xys+llxy* 4G0x )i282x)>s.13. 72nx+87«x—101«x+243<ix.30 . 826x7 l6x536x | 20G6x .20 105o3—lG4«a+58rt3+30l«*. * . 2 7 . i

30. T x + T x ~ x + T x ~ x -

25. a + 8 o —l lú + 1 5 a 7 5 o .

26. —7c +2 lc+ 14 c—30c+82 f.2y. — 14w n—3 1w n —nj«420m «.28 . «“>* 7fl'J),9 ? a sy+51 a*y+ 48 ¿2y.20, -o+fl—o-r«—3<x+Go.

31, 2x4 ®Xh—X4X —yX.32. 7o* 30a* 41fl*9a*473a*.22 .

3 y 3^ * 0^ 11? '

i í . i 1

33. o*4‘1+7o*'t l —llfl* 4 ’ 2 0 0 * '1 l26a‘ *134. o+6a—20a+150o—S0o+31o.35. 9 5 115 17581664110 5 .3 6 —/2 B6 h l 5 o * 6 4 0 * 6 — í> .V j3 6 — 1 : í 1 o 7 6 4 3 9 « í 6 .

37. B4mx—501 tn-x OOtoix 7l,r»wx4231m2x4165»J*x.

33. ^0*6*4j 0 35 * V b * A r35*~4«*62.

80. 40o 81o 4-I30o 4-11o - 8 3 o - 9 1 o 4-16o .40 21o6452o6CO <i6484o631o6o6 23o6.

REDUCCION DE UN POLINOMIO QUE CONTENGA TERMINOS

( ! ) Reducir el polinomio 5a — 4b 4 8c 4- ?cj —20c —b 4 4b —c.

(2 ) Reducir el polinomio;Sa3# 4 4a«b3 4 ¿o V a 8!)2 9o*b3 15 5ob5 4 8 6a b \

Tendremos: — 5o4b* 4 13a8b3 — 11 ob5 —7 R.

(31 Reducir el polinomio;

|x ‘ ;x*y 4 3x4 /* + Jy‘ 0 3** \x * y 6 4 x»y 14 + 2\y*

SEMEJANTES DE DIVERSAS CLASES

Tendremos; 14o —b — 13c. R.

Se reducen por sepnrodo los de codo elose: 4o*kP - W b * Sob3.8aBba 4 ¿o*bs - o’b2 = 13o36s.

— 5a b8 —4ob’ —— lla b s.

1 5 8 = 7.

VAIOR MUMKMICO 9 2 3

Tendremos: rx'1+ 3x' —0.3.x4 = 3 —x4.r» i»'

l * ' / = ” x'^y!

2ij^ y = 2 ’y*.

6 —14 — —20.

EJERCICIO 10

Reducñ lo» jxjlinomios siguiente»!1 . 7 jv-ÍI¿>+«x i-4¿>.% a li» c b —c 2c a.3. b x - I ly —0+ 20* 1 y 4. —Gtn+gM+G— m —n— $ro—11.D. o + 5 + 2 ¿ > 2 e + 3 « + 2 c 3 6 .6 - S I x+19 , 30r+0) +80x+ .x25) .7. íóo* 6 e 5 —B fl"+ 20 íjci5'31+ aa—ai».B. 3 a + 4 ¿ » ~ f l o + 8 l ¿ r n 4 í > + í i l a a 6 .

». —71a8l>—64o4í»*+50o3¿+ 8 4 a 46*—45<i3£>+18a*ft.10 o + f i e + 8 t 2< i+2 6~ |9~ 2c —So—3 3¿>4 3c.11. tu 71tu n —14 wi~—ifoni »i— ni*— mi3—115rn 0mJ.J2 x ,y —x3y s+ xíy —8 x 4y —x y —JO+x*y-—7x:iy s—0+ 2tx*y-‘y;’+5O.13 5a, +1—3 6 * 8c*“ 3—5o , + 1— 50+45* :2—G5-!>' - ,4 1)0+ c ‘ 4 ¡H7C • *.14 a"' *B x " ** 5 + 8 —3úm,9+ 5xr* • 96 + tí"»9 5 x in'5.10 0.3o : 0.4¿» t O.ác—O.fiu U.76 0.!)c | 3a 3 6 3 c .

1G. i a + y 6.+2a —36 —y<2—^^+7— j

17. wi9 2mw+ S u * mii 2 m n 2«i.

18. —^ o 9+ ji«6 —^*»9+ 2—o9—■” o6 + ^ 6 s ! b - 2 a b .

10. 0 . 4 x ^ + 3 l + j x Jy 0 . 2 x / J+ |y > f>.

20. 3 —? ¿,n 3+ i l/<n-S j . L¿,11.2,f! K pas so s ti r,

VALOR NUMERICO

V a l o r numé r i c o de una e xp re s i ón a l ge b ra i c a e s e l r e s u l t a do que s eob t ien e a l su s t i tu i r l as l e tras p or va lores num ér icos dad os y e fec tuar despuéslas operaciones indicadas .

2 4 A L G O RA

3 0 ) VALOR NUM ERICO DE EXPRESIONES SIMPLES

Ejemplos

(I I Hallar el valor numérico de Sab pora a —I, b —2.Sustituimos la a por su valor 1, y la b por 2, y tendremos:

5o6 = 5 X 1 X 2 = 10. R.

(, ) Valor numérico de a ’bsc‘ para a = 2, b = 3, c.——.

o263c* = 2a x 3a X \{\* = 4 X 27 X = ó | R.

<3 ) Valor numérico do 3cc v' 2ab poro a = 7, b — 9, c =

3ac \ZfcS = 3 X 2 X \ X V 2 X 2 X 9 2 X V 2 6 = 2 X 6 = 1 2 . R.

4o3fe3 . , L lnumérico de paro a = j , b c = 2, d = 3.

4q*b» 4 x ) i )5 X 1;\ )3 4 X 1 X / • W77~ ' R

5cd 5 X 2 X 3 3 0 30 810'

EJERCICIO 11Itri l lar el valor numérico de las expresiones siguientes para

<1= 3, b = 2. c = S, m = y, ti - ¡>—

1- 3«b.2. 5«3Mc .3. 0-mn.

® VALOR

7. tnhrp*.13.

8. J o ' 'm * .

0 V,2íe5. 14.10. 4m <T12//?.11. « f l s / R fl,6 3

3&e’ir».

2 v V p *

J \ / ñ p P _

f ' í /l 2 o 7 ñ ñ

31 ) VA LOR NU M ERICO DE EXPRESIONES COMPUESTAS

Ejemplos

1 1 ) Hollar el valor numérico do oz — 5ab + 3b3 pora a — 3, b — A.o2 5ob + 3b* = 3* —5 X 3X 4 + 3 X 4« = 9 6 0 l 192= U l . R.

V A lO ll N UM IR IC O • 2 5

, 7 1 u , . . , 3o» Sob b 1 I{¿¡ Voior numérico d o -------------- b ----- paro a — 7, b ~ —, x = —.

4 x ox 3 6

3üs Sob . b ........... 10

4 x ox 4 ¿ 2 X * i ]= 3 2 0 1 1 = 1 6 . R.

m - EJERCICIO 12

Hallar e l valor numérico de las expresiones siguientes para

a — 3, b = 4. c = i , ti — ] . m — 0, n _ _1_

a 2 — « '

a- — 2ab 1 b~. 7.ab + ae bd

13. «4 b b+ mti d ni c d

c2 + 2cd + <f. 8 . v 'b f V n 1 vBrñ . 14. b - a , m —b , ,-------- + — —4 óa.

TI d a

— Ib

0 . e —d V ÍO b 4 « v'fid". IfS. 12<r—a IG n—a lc ti ' 2b m * d c m

—• 1 2 10.m*

16. V 5 F + ^ ^d « d» ‘ _ 3 6á> b2 m~ ——•{. ■i■ 11.

3d» 4 «*17.

V W + V 2 d '/ÜcI'/Hí/

3 2 6 ' 4 rrj 2 I

—c — —b + '¿d. 12. 4d 1G«2 18. 2 Va*b* 3 V 2 4 ^--------------- h ~ ......... — — ar. a 2 + 2 3 4

( 3 1 Volor numérico do 2(2a —b) |x2 + y) lo2 + b) |ü —o) paro

a 2 . b = 3 , x - 4, y - y .

la s operaciones indicadas 2(2o —b) = 2 X |2 X 2 —3) = 2 X |4 —3 | = 2 • Identro do Jos paréntesis de , i , i iben efectuarse onfes que , x ' 4 y —4 • + ” —16 + — 16—

ninguna olio, o s ! : / 03 + b = 7a 4 3 = 4 »• 3 = 76 —o = 3 —2 = 1

Tendremos:

2(2o —b | |x a + yj — (o5 4 b|<b —o) = 2 X 16— — 7 X 1 = 2 x ” 7 = 33 — 7= 26

EJERCICIO 13

H alla r el valor num érico de las expresiones siguientes pa ra

« = 1. b = 2, c — 3. d = 4 . m = * , II = y , p — , x = 0.

1 (a+b)t.—d. !') (|;/iiS p)( (7 |//X C rid ). » +

2 <a4b)<ba ). 0. ( c - b ) ( d - c ) ( b - a ) ( m - p ) . 1Q

3 ( b - m)(c—n)f4a*. 7. b 3(cfr/)«(nH »)42 x. 4 (m ib ) «H fr*

2 6 ® AIGCIIfcA

rn+3M+lp)(8/ ;+b«4ní)(!)«+20p).

(m+n)<í2(m+p)+¿>i{w4p).

v ^ T d 7 2 x--------------+ — — )"* •

a y f d '

p+2¿»)(l8n24p)+2(8m+2)(40p+a).

d . 2+ T 54—

& v ____

- b p»+ ¿ )) \ / ? > 8Í —m v /tt7.

V a + c V 6ñ \ , .— + — ) K c 4 r f > V > .

• 20 .

3<cí») v S 2 < d r t ) v l 6p

V G a U c cdnp

2{b—a) abe2 V S 5

21. +3(a+¿»)(2a+36)

2, „ + ( i + l ) ( i 4 ) + ( i + ¿ ) :

(2»n+3n)(4p42e)—4m*n*.23

b * £3

2 t i b — m

b—tn

(32 ) EJERCICIO S SOBRE N OT AC ION ALGEBRAICA

C o n Jas ca n t id ad e s a lg eb ra icas , rep resen t ad as p o r l e tr a s, p u ed en h a -ce rse la s m i sm as o p e rac io n e s q u e co n los n ú m ero s a r i tm é t ico s . C o m o lar e p r e s e n t a c i ó n d e c a n t i d a d e s p o r m e d i o d e s í m b o l o s o l e t r a s s u e l e o f r e c e rd i f i cu l t ad es a l o s a lu m n o s , o f recem o s a co n t in u ac ió n a lg u n o s e j em p lo s .

EjemplosI ¡ ) Escríbase la suma del cuadrado de a con el cubo d e b.

a 2 4 b3. R.

12) Un hombre tenío Sa; después recibió $8 y después pag ó una cuenta d e $c.¿Cuánto le quedo?Teniendo $o recibió $8 luego tenía S |a 4 8). Si entonces gasta Se le quedon$ { a 4 8 c | . R.

(3 ) Compré 3 libros a $a coda uno; ó sombreros a $b coda uno y ni trajes a $*coda uno. ¿Cuánto he gastado?

3 libros o $a importan $3a.6 sombreros a $b importan $ób.m trajes a $x importan Jrox.

Luego el gasto totol ba sido de $<3o 4 áb 4 n>x). R.

(4 ) Compro x libros iguales por $m. ¿Cuánto me ha costado cada uno?

Cada libro lia costado . R.x

( 5 ) Tenía $9 y gaste $x. ¿Cuánto me quedo?Me quodon $(9 —x). R.

EJERCICIO 14

lúi lb t l ti b

N O TA CIO N A L C U IR A IC A • 27

3. Siendo a un número entero, escríbanse los dos números enteros conse-cutivos jxistcriorcs a a.Siendo x un número entero, escríbanse los dos números consecutivosanteriores a x.

•i. Siendo y un número entero par , escríbanse los t res números paics consccutivos posteriores a y.

6. Pedro tenía $«. cobró Sx y le regalaron $m . ¿C uán to tiene Pedro?7 Escríbase la diferenc ia en tre m y ti.B D eb ía x bolívares y pagué G. ¿C uán to de bo ahora?9. De un a jorn ad a de x Km. ya se ha n recorrido m Km. ¿Cuánto (alta

por andar?10. Re cibo $x y despu és Ja. Si gasto $m , ¿cu ánto m e qu eda ?!1 T en go que recorrer m Km. El lunes ando a Km., el martes b Km y

el miércoles c Km. ¿Cuánto me falta por andar?

12. Al ve nd er un a casa en $ n ga n o $300. ¿Cu ánto m e costó la casa?i 3 Si h an transcu rrido x días de un año . ¿cuántos días faltan po r transcurrir?14 Si u n soujh icro cuesta So, ¿cuán to im po rtarán 8 som breros; 15 som bre

ros; m sombreros?1 5 Escríbase la sum a de! du p lo de a con el triplo de b y la mitad de c.16. JExpresar la sup erficie de u na sala rectan gu lar qu e m ide a m. de largo

y b ni. de aneno.17. l in a extensión rectangu lar de 23 m. de laigo m ide n m. de ancho. Ex

p resar su superf ic ie .13. ¿Cuál será la sup erficie de u n cu ad rad o de x m. de lado?19 Si un so m brero cuesta So y u n traje %b, ¿cuánto importarán 3 sómbrelos

y G trajes?, ¿x sombreros y ni t r a jo?Escribase el producto de a + b po r x + y.

2) Vendo (x + 6) trajes a $8 cada uno. ¿Cu ánto im po rta la venta?22 Co m pro (« —8) caballos a (x + 4 ) bolívares cada uno. ¿C uánto im|Kirt.i

la compra?23 Si x lápices cuestan 75 sucres; ¿cuánto cuesta un lápiz?

Si por ja compro m kilos de azúcar, ¿cuánto importa un kilo?Se compran (n 1) caballos po r 3000 colones. ¿C uán to im po rta cada

caballo?Compré a sombreros por x soles. ¿A cómo habría salido cada sombrciosi hubiera comprado 3 menos por el mismo precio?

27 1.a superficie de un cam po rectang ular es m m.* y el largo mide M mExpresar el ancho.

2 Si mi tren lia rec orrid o x + 1 Km. e n a horas, ¿cuál es su velocidad porhora?T en ía $« y cobré 5b. Si el dinero q u e ten go lo em pleo tod o en com prar( m — 2) libros, ¿a cómo sale cada libro?I.n el piso bajo de un hotel hay x habitaciones. En el segundo piso haydoble número de habi taciones que en el primero; en el tercero la mitadde las que hay en el primero. ¿Cuántas habitaciones t iene el hotel?

1 Pedro tiene a sucres; Juan tiene la tercera parte de lo de Pedro; Enriquela cuarta parte del duplo do lo de Pedro. La suma de lo que t ienenlos tres es menor cpic 1000 sucres. ¿Cuánto falta a esta suma para serigual a 1000 sucres?

2 8 • A t e t a KA

NOTAS SOBRE EL CONCEPTO DE NUMERO

El concepto de número natural (véase Aritmética TeóricoPráctica, 33).que satisface las exigencias de la Aritmética elemental no responde a la gene-ralización y abstracción características de la operatoria algebraica.

En Algebra se desarrolla un cálculo de validez general aplicable a cual-quier l ifw» especial de número. Conviene pues, considerar cómo se ha ampliadoel campo de los números por Ja introducción «le nuevos entes, que satisfacenlas leyes que regulan las operaciones fundamentales, ya que. como veremosmás ad elan te, el n úm ero na tura l (1) no n os sirve pa ra e fectua r la resta y ladivisión en lodos los casos. Baste por el momento, dado el nivel matemáticoq u e alcanzaremos a lo largo de este texto, exp licar cóm o se ha llegad o alconcepto de número real .

Para hacer más comprensible la ampliación del campo de los números,adoptaremos un doble criterio. Por un lado, un criterio histórico que nos haga

conocer la grad ual ap arición de las distintas clases de núm eros; po r olio, uncriterio intuitivo nue nos ponga de manifiesto cómo ciertas necesidades mate-riales han obligado a Jos matemáticos a introducir nuevos entes numéricos.Este doble criterio, justificable por la índole didáctica de este libro, |>ennitiráa) principiante alcanzar una comprensión clara del concepto formal (abstracto)de los números reales.

E L N U M E R O E N T E R O Y E L N U M E R O F R A C C I O N A R I O

M uch o an tes de qu e los griegos (En doxio, Euclides. Ap olonio, etc.) rea-

lizaran la sistematización de los conocimientos matemáticos, los babilonios(según muestran las tablil las cuneiformes que datan de 20001800 A.C.) y losegipcios (como se ve en el papiro de Rhind) conocían las fracciones.

I.a necesidad de medir magnitudes; continuas tales como Ja longitud, elvolumen, e) peso, etc. , l levó al hombre a introducir los números fraccionarios.

Cuando tomamos una unidad cualquiera , por e jemplo, la vara , paramedir una magnitud cont inua (magnitud escalar o l ineal) , puede ocurri r unade estas dos cosas: que la unidad esté contenida un número entero de veces,o q ue no esté c onten ida u n núm ero en tero de veces. í?) En el prim er caso,representamo s el resu ltado de la m edición con un núm ero entero. .En el se-

gundo caso, tendremos que fraccionar la unidad elegida en dos, en tres, o encuatro partes iguales; de este modo, hallaremos una fracción de la unidad«pie este contenida en la magnitud que tratamos de medir. El resultado de estaúltima medición lo expresamos con un j>ar de números enteros, distintos decero, l lamados respectivamente numerador y denominador. El denominadornos dará el número de partes en que hemos dividido la unidad, y e l nume-rador, el número «le subunidades contenidas en la magnitud que acabamosde medir. Surgen de este modo los números fraccionarios. Son números frac-cionarios 1/ 2, 1/3. 3 /5. etc.

11) P . I <1. D irk h lc t (alem án. IDOf,!&&!>), h a sostenido q u e n o es nec esa riam ente indiste am pliar el m ne ep to «le núm ero natu ral, ya «pie —según ¿I cualquier principio

iíc la más alta matemática puede demostrarse por medio de loa nútttCiOS naturales.

(2) E n la práctica y hablando ton r igor, ninguna medida resulta exacta, en ratón delo ¡ui|Ktfcctn de nuestros instrumento* de medida y dr nuestros sentido».

K O f A S l o s a c t L CO NCEPTO D I NUMCRO • 2 9

Todciuos decir también, que son números fraccionarios los que nos pertniu.ni expresar el cociente de una división inexacta, o lo que es lo mismo, unadivisión en la cual el dividendo no es múltiplo del divisor.

Como se ve, en o|Kisición a los números fraccionarios tenemos los nú-meros enteros, que podemos definir como aquellos que expresan el cocientede una división exacta, como por ejemplo, ] , 2. 2. etc.

5 | j ¡ _ 8 1 I 6 + 2 = 3.0 1 0 2

E L H U M E R O R A C I O N A L Y E L N U M E R O I R R A C I O N A L

Siguiendo el orden histórico que nos hemos trazado, vamos a ver ahinacuándo y cómo surgieron los números irracionales.

l is indudable que fueron los griegos quienes conocieron primero los nú-m eros irraciona les, i.os his toria do res d e la m atem ática, están el»? acu erdo enatribuir a l’i tágoras de Santos (540 A.C.), el descubrimiento de estos números,a) establecer la relación entre el lado de un cuadrado y la diagonal del mismo,Más tarde, Teodoro de Cirene (400 A.C.). matemático de la escuela pitagó-rica, dem ostró g eom étricam ente cpic s/5T v i?, Vfi. VTT etc., so n irracionalesEne lides (300 A .C.). es tu d ió en el I.ib ro X de sus ■ 'Elementos'*, cierta»magni tudes que a l se r medidas no encont ramos n ingún número entero n ifraccionario que las exprese. Estas magnitudes se llaman inconmensurables, vlos núm eros qu e se orig inan 3l m edir tales m agn itudes se llam an irracionales. *Ejemplos de: tales magnitudes son la relación del Jado de un cuadrado conla diag on al del m isino, que se exp resa con el n úm ero irrac ion al s/ñ* > >■'.

y la relación de la circunferen cia, al diám etro que se exp resa con la leti.it: = 3.1415 92..

riGUIA i

C = circunferencia

D = diámetro

d A / a ' + b ' - g . = 7Y = 3 . 1 4 1 5 9 .

( ¡) Al exponer siucm iticam encc Iro ni 'nncros iraxiofialcs. E ud itlet los llamó aiym m eiioi,i.i radonale* los llamó syntinclroa, palabras «pie ágnifknn sin medida y « m i medida,

i'.u.i uúulur el li« lm de <|uc t a t a ndmcmi (los irracionales) no tenían expresión los designaba,in l.i s o r alngoi. llo co » (<75551 n . C.). al «r.idurir em pleó com m cn tm ab ilit e lueommcn•uiabllU Sin enilstrgo. C eñ ud o de C reinona <11111187). en u na traducc ión de un come ntarloArabe subte Eurlido. militó erróneamente r . i t ioiulis c irracionalu, ni lomar loros y ¿dugosinmii tarón v no en U acepción de pa U bm (vcihum ), Ufada |w r E udide s. Elle error «edifundió u lo lamo «le «oda la Edad Media, prevaleciendo en nuestras din» el nombre denibiirrot irracionales.

3 0 • ALCCOKA

Como consecuencia de la introducción de los números irracionales, con-sideramos racionales el conjunto de los números fraccionarios y el conjuntode los números enteros. Definimos el número racional como aquel númeroque puede expresarse como cociente de dos enteros. Y el número irracional cornoaquel número real que no puede expresarse como el cociente de dos enteros.

Llamamos número redes al conjunto de los números racionales c irra-cionales.

L O S N U M E R O S P O S I T I V O S Y N E G A T I V O S

J jOí números negativos no fueron conocidos por los matemáticos de laantigüedad, salvo en el caso de Diofanto (siglo III D.C.?), que en su Aritmética,al explicar el producto de dos diferencias, introduce un número con signo +.En el siglo VI, los hindúes Braliraagupia y Bháskara usan los números negativos

de un modo práctico, sin llegar a dar una definición de ellos. Durante laEdad Media y el Renacimiento los matemáticos rehuyeron usar los númerosnegativos, y fue Ncwton el primero en comprender la verdadera naturaleza deesto» núm eros. P osterio rm ente H a tri o l (15601G21) in tro du jo los signos I y — para caracte rizar los núm eros positiv os y negativos.

La significación de los números relativos o con signos (positivos y nega-tivos) se comprende claramente, cuando los utilizamos para representar elresultado de medir magnitudes relativas, es decir, magnitudes cuyas cantidadespueden to m arse e n sentidos opuestos, ta l corno sucede cuando tr atam os demedir In longitud geográfica de una región determinada; o de expresar el

grado de temperatura de un lugar dado. En el primer caso, podemos hablarde longitud este u oeste ton res |«cto a un meridiano fi jado arbitrariamente(Greenwich). En el segundo caso, podemos referirnos a grados sobre cero ogrados bajo cero. Convcndonalmcntc fijamos los números positivos o consigno f e n un a dire cción , y los núm eros ne gativos o con signo —, en la dilec-ción opuesta.

Si sobre una semirrecta fijamos un punto cero, a partir del cual, hacia laderecha, señalamos puntos que representan una determinada unidad, nos re-sultan los punto3 A, B, G, etc. Si sobre esa misma semirrecta, a partir «leí puntocero (llamado origen), procedemos del mismo modo hacia la izquierda, tendre-mos los puntos a, 1), c, etc. Si convenimos en que los pumos de la semirrecta indi-cados a la derecha del punto cero representan números positivos (A. B, C. etc.);los pu nto s señalados a la izquierd a (a, b, c. etc.), represe ntarán núm erosnegativos.

. . . c b a | * ? | -----

3 2 1 0 1 1 I 2 i 3

H istóricamente, los núm eros negativos surgen para hacer po-sible la resta en todos los casos. De este modo, la resta se convierte en unaoperación inversa de la suma, y se hace posible restarle a un minuendo menorun sustraendo mayor.

NOTAS SOBRE EL C0NC4HO OE HUMERO 0 3)

Las números y los símbolos literales negativos se distinguen por el signo — <|iio llevan antepuesto. Los números positivos y su representación literal llevanel signo I, siempre que no inicien una expresión algebraica.

F.l número cero. Cuando tratamos de aprehender el concepto t ic númeronatural, vemos cómo éste surge de la comparación de conjuntos equivalentes

i. coo nlinab les en tre si. Por exten sión llamam os co nju nto al epte tiene u n soloelem ento y que se représenla por el nú m er o '1. Aho ra, consideramos el núm erocero romo cxprcsión'dc un conjunto nulo o vacío, es decir , un conjunto quecarece de elementos.

Por otra parte, el cero representa un elemento de separación entre losnúmeros negativos y positivos, de modo que el cero es mayor que cualquiernúmero negativo y menor que cualquier número posi t ivo.

El siguiente diagrama nos aclarará las distintas clases de números conlo\ males vamos a trabajar:

NUMEROS KKAI.F.S

í ^ ]X'i'ijíitivVxí t. e e i l'ín ili iviv

I l I ---------- ------------

Kno<m »lo Irracionales Itntaouakz tu».

1 . I 1I'XaiVi<i:i:iií<i> [i'.Kordi lui'Cli/ü.iil '11

I t m F O H M A t . E S O E L A S O P E R A C I O N E S F U N D A M E N T A L E S

C O N N U M E R O S R E A L E S

Memos visto sumariamente cómo a través del curso de la historia de lasm. i temáticas, se h a ¡do am plia nd o sucesivamen te el cam po de los núm eros,h.nt.i l legar al concepto do nú m ero real. F.l cam ino reco rrido h a sido, u n aices, el geométrico, que s iempre desemboca en ía Ari tmética pura, formal;olí u veces, el camino puro, formal ha iniciado el recorrido para desemboca»■o lo intuitivo , en lo geom étrico. C om o ejem plos de! p rim er caso, tenemos

lio números ¡nacionales, introducidos como razón de dos segmentos con eli o • »|>ósiio de rep resen tar m agn itudes inconm ensu rables, y q u e hacen posiblel.i expresión del resultado de la radicación inexacta. Y también, los númerosi i .udona»ios que surgen para expresar el resultado de medir magnitudes conMKTiairables. y que hacen posible Ja división inexacta. Como ejemplo delHj'.uudo caso, están los números negativos que aparecen por primera vez comoi ii« de ecuacion es, y ha cen po sible la resta en lodos los casos, ya qu e cu an do■I minuendo es menor tjuc el sustraendo esta operación carece de sentido• ii.iiulu trabaja m os con núm eros n aturales. Más tard e, estos nú m ero s negativos. 11 luíivm ) servirán pa ra ex pre sar los pun tos a uno y otro lado de un a recta

indefinida.Sin pretensiones de profundizar prematuramente en el campo numérico,unos a exponer las leves formales (esto es, que no toman en cuenta la iiatu

i ib /.» de los números) de la suma y de la multiplicación, ya que las demás opei.o lonrs fun dam entales pu ede n exp licarse com o inversas de éstas, así, la resta,

3 2 • AIGLBRA

la división, la potenciación, la logaritmación y la radicación. Conviene iradaptando la mental idad del principiante al carácter formal (abstracto) de estasleyes, pues el lo co ntrib uirá a la comp rensión de los problemas q ue ul teriorm entele p lan teará n las m atem áticas superiores. Por otra parto, el co njun to de estas

leyes formales co ns tituirá u na dc iinición indirecta de los núm eros reales y delas operaciones fundamentales. Estas leyes que no requieren demostración, puesson de aprehensión inmediata, se l laman axiomas.

IGUALDAD

Axioma de ident idad: a — a.

II A xiom a de reciprocidad: si a = b, tenernos que b = a.

i i A xio m a d e trans itivid ad : si « = // y b = c, tenemos q ue a —c.

S U M A O A D I C IO N

i Ax ioma de un iform idad : la sum a de dos núm eros es siempre igual,es decir, única; asi, si a = b y c — d, tenemos que a + c — b + d .

Axioma de comnutai ividad: a + b = b a.

! 11. A xio m a d e aso cia tivid ad : (fl + b) I c — a (b I c).

Axioma de identidad, o módulo de la suma: hay un número y sóloun número, el cero, de nimio que a + O — O + a — a, para cualquier valor de a. De ah í qu e el cero reciba el nom bre de elem ento idént ico o m ódulo de la suma.

M U L T I P L I C A C I O N

i Axiom a de uniform idad: el prod ucto de dos núm eros es siempre igual,es decir, único, asi si a — b y c — d, tenernos «pie ae = bd .

Axioma de conmutat iv idad: ab = bu.

Axioma de asociatividad: («ó) c — a (be).

IV. A xioma de distributivida d: ron respecto a la suma tenernos qu ea (b I c) = ab + «c.

V. Axioma de identidad, o m ód ulo del producto: hay un n úm ero y sóloun número, e l uno (1) . de modo que a . J ~ / .a = a, para cualquier valor de «.

V I. Axioma de existencia del inverso: pa ra todo núm ero real a ¥ - 0 (a dist into de cero) corresponde un número real , y sólo uno. x. de modo queox = / . Este nú m ero x se llama inverso o recíproco de a, y se representa por 1/a.

A X I O M A S D E O R D E N

Trico tom ía: Si tenemos dos números reales a y b só lo puede hab er unarelación, y sólo una, entre atnliov, que a > b; a — b o a < b.

11. M on oto nía de la sum a: si a > b tenemos que a + c > b + c.

M t í d l lti l i ió i > b > 0 t b

MOTAS SOBRE EL CONCERTO O t NUMIRO • 3 3

A X I O M A D E C O N T I N U I D A D

I Si tenem os dos co nju nto s de nú m ero s reales A y B, «le m od o qu e lodonúm ero de A es m enor que cua lquier núm ero de B, ex ist irá s iempre un núm eron .il c con el que se verif ique a ¿ c ¿ b. en q u e «i es un nú m ero q ue estádentro del conjunto A, y b es un número que es tá dent ro de l conjunto B,

O I ’ E R A C I O N E S F U N D A M E N T A L E S C O N L O S N U M E R O S R E L A T I V O S

SUMA DE NUMEROS RELATIVOS

F.n la suma o adición de números relativos podemos considerar cuatro«aros: sumar dos números positivos; sumar dos números negativos; sumar un posit iv o co n o tro negativo, y su m ar el cero con u n núm ero posit iv o o negativo.

I) Suma de do; núm eros positivos

P ar a su m ar tíos nú m eros pos itivos se pro ced e a la su m a (f 4) r ( I '.?)aritm ética «le los valores al «o lm os de ambos núm eros, y al ,Maullado obtenido se le antepone e l signo I . Asi tunemos:

Podemos representar la suma de dos números positivos del siguiente modo:

• 4- «■2

1 O h i z 3 x 4 + 5 6 7

FIGURA 2

2) Surna de «los muñeren negativos

Para sum ar dos núm eros negativos se procede a la sum a (— 4) I (~ '*)uritmética «le los valores absolutos de ambos, y al resultarloobtenido se le antepone el signo — Así leñemos:

Podemos representar la suma de dos números negativos del siguientemodo:

3 2 1 0 1 2 * 3 * 4

FIGURA 1

O ALGEBRA

.S) Sui i i:i «Jo un munero positivo y «lio negativo

Para sumar un número posit ivo y un número negativo

rocede a hallar la «lifcrencia ari tm étic a de los valoreslutos «le ambos números, y al resultado obtenido se lepone el signo del número mayor. Cuando los dos mímeicnen igual valor absoluto y signos distintos la suma es

Asi tenemos: ______________________ 1 _________ Z i

Podemos representar la suma de un número posit ivo y otto negativo deiguientes modos:Representación gráf ica de la suma de un número posit ivo y un número

tivo, en q u e el núm ero posit iv o tie ne m ayor valor abso lu to que el negativo:

6 ) + ( —2) = + I

(—6) + (•!• 2) = — 4( « ) + ( + 0 ) = 0<+G) + ( G ) = 0

3 2 I 0 *1 2 .3 *4

FIGU R A 4 Representación gráf ica de la suma de un número posit ivo y un númerotivo, en q u e el nú m ero negativo tiene m ayor valor absoluto q ue el ¡«ositivo:

. 2 >¡i

0 Vi * ? « 3

FIGU R A S

attvo,Representación gráf ica de la suma de un número posit ivo y un número¡vo, en que el valor absoluto «le ambos números es igual.

6 5 4 3 2 1

♦ 6 »■

------------------- o--------------------- iI

’i ,*2 + 3 + T / s t T

FIGU R A 6

4) Suma de cero y un n úm ero posi tivo o negativo

La suma de cero con cualquier número posi t ivo o negat ivo nos dará

el mismo número positivo o negativo.. . < + 4 ) + 0 = + 4

A s. te n e m o s : > ( 4> + 0 = 4

En general: -------------------- # « + ü = <) + « = «

En que a puede ser positivo, negativo o nulo.

SUSTRACCION DC NUMEROS RELATIVOS

Llamamos opuesto de un n úm ero al mismo núm ero con ( í m) I (—m) tisigno contrario. Así, decimos que ni es opuesto de + m .Ya vimos en un caso de la suma q u e : ________________________ T '

l a sustracción es un a op eración inversa de la suma qu e _ consiste en ha llar un n ú me r o x (l lama do diferencia), tal qu e,sumado con un número dado ni, dé un resultado igual a otronúmero ti. d e mo d o q u e s e v e r i f i q u e : _________________________

Llamando itt‘ al opuesto de m , podemos de te rm ina r , _ ,la diferencia x , sumando en nnihos miembro* de la x + m + m — n + m ()

igualdad (1), el número ni'; en erecto: _________

/*Si observam os el prim er m iem bro de esta igu aldad (2), x = n + rn' (.1)

velemos que aplicando el axioma de asociatividad tenernos:m I ni ' ~ 0 , y como x + 0 = x . tendremos : _ _________________ Z1

que es lo que queríamos demostrar, es decir, que para hallar la diferenciac n l ie m y ni basta sumarle a n el opuesto de tn (mr). Y como hemos visto que para h a lla r el opuesto de un n ú m ero basta cam biarle el sig no, podem os en u n -ciar la siguiente

NOTAS SOIIRI IL CONCEPTO OE NUMERO • 35

Para hal lar la diferencia entre dos nú-meros relativos se suma al minuendo el susi i .mido, cambiándole el signo.

As í : __________________ /*

< + 8 ) ( + 4 ) = ( + 8) + ( —4) = t 1( + 8) ( 4) = ( I 8) + ( + 1) + 1 2( 8 ) < + 4 ) = < 8 ) I ( l > 12( . 8 ) < 4 ) = < 8 > + ( + 4 > = 4

•ir « M E NTA C ION C R A I IC A DE IA SUSTRACCION DE NUMEROS RELATIVOS

Por medio de la interpretación geométrica de la sustracción de números'dat ivo*, podemos expresar la distancia , en unidades, que hay entre e l puntoipii rrpicscnta al mintiendo y el punto que representa al sustraendo, así como• I u ntido (negativo o positivo) de esa distanc ia.

l*;ira ex pres ar la diferencia (+ 4 ) —(—8) = + 12, tendremos:

ALGEBRA

---------------------------------------- •* 12---------------------------- ;---------- M

. e - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 M - 2 ‘ 3 * 4

FIGURA 7

Para ex pres ar la difere ncia { 8} —( + 4 ) = — 12, tendremo s:

* ---------------------------------------- n ---------------------------------------- i■ •

T » 1 ' 7 - 6 4 3 2 1 0 * 1 T j n *4*

FIGURA 5

LTIPLICACION OH NUMEROS RELATIVOS

£1 producto de dos números relativos se halla multiplicando los valoresolmos «le am bo s El p rod uc to halla do lleva rá signo positivo (+ ), si losos de ambos factores son iguales; llevará signo negativo (—). si los (ac-s tien en signos distin tos. Si u n o de los factores es o el pro du cto será U.

C u an d o ojx:ramos con símbolos literales ( I 2) (1 3) = I t» {f(i (1 3 ) = üprod ucto es siempre indicado, bien en la ( _ <¿i ( —3) = + (i ( 0) ( — 3) = í |na a X b\ bien en la forma n . l>; y m ás i + 2 } ( — 3 » = — 6 0 0=11

( — 2) ( + 3 > = 6almente ab.

l.l siguien te cu ad ro es u n m edio de re I po r • «la + + p o r dadal fácilm ente la ley de los signos en la — p o r — «la I — p o r I da — l tiplicación de los núm eros relat ivos. _ /

ISE NT AC ION GRAFICA DEL PRODUCTO D t DOS N UM IHO I RELATIVOS

I ' l producto de dos uúmeios relativos puede expresarse geométricamentemo el área «le un rectángulo cuyo largo y cuyo ancho vienen dados por

tos números. A esta área poelemov atribuirle un valor positivo o negativo,

según que sus lados tengan valores de un mismo sentido o de sentidos dis-tintos respectivamente.

« .•O TA S S O B R E r t C O N W F T O D t M U M t R O • 3 7

1-------

FIGURA 9

FOTIHCIA Dt HUMEROS RELATIVOS

Llamamos potencia de un número relat ivo al productoilp lomarlo como factor tantas veces como se quiera. Si a

mi número re la t ivo cualquiera y n > 1 es un núm ero

Matinal, tendremos la notación nn, que se lee a elevado a la a* = a . a . a .................

«ni lima |>o tcn tia. <• ind ica u u e a debe lomarse como factor nvrtc». A s i : _________________________________________________ y

Kn la notación a ' — x , l lamamos potencia al producto x , base aliniiiirio que tomamos como factor a. y exponento a n, que nos indica11» w «r, q u e <lel>emos tom ar com o fac tor a a. A la op era ción de h al la r 1J 101■l |.indocto x , la llamamos potenciación o elevación a potencia.

Ejemplo: ________

1ii este ejemplo, 4 es la base; 5 es el exponento, y 1024 es la potencia.

RegloI . i po tenc ia de un nu m ero p os i t ivo s ie m pre es po s i tiva . La po

!• ni la de un nú m ero nega t ivo se rá pos i t iva s i e l expo nento es en te ro

■ put nega tiva s i e l expo nen te en te ro es im par . As i:

• ALOlllRA

CTO OI DOS POTENCIAS OC IGUAL BASE

ReglaPara multiplicar dos potencias de igual base, a " .o * —u r,,nva dicha base a la potencia que resulte de la (3)s (3V* = 3a*4 3° 729

«le los exponentes icspcctivos. Ejemplo: _________

CIA Dt UNA POTENCIA

ReglaPara h alla r la (xnencia de una potencia se mui ■<i” 1

can los expolíenles y se m antiene la base pr imi ( ( 23);' “ 2; ‘* A!'5 (¡ IEjemplo: ________________________________________ /

Hay qu e poner especia l cuidado en no coníun , _ a pote ncia de un a jHjtencia, con la elevación de t / ~

ú m ero a un a po ten cia cuy o exp olíen te. a la ve / /ja*. 4» —GGí>36afectado por otro expolíente. Asi, no es lo mismo

que (•I**). Ejem plo : / *

ON DE NUMEROS RELATIVOS

Ya vimos, al trata r d e las leyes formales de la m ultiplicación, q ue dedo con el axioma VI (existencia del inverso), a todo número real «•/•<),spoiule un número real, y sólo uno, x , d e m odo que ax — I; Este núx se llama inverso o reciproco de <1 . v se representa por l / n .

El inverso de I I es I {

El inven to «» recip roc o de u n nú m ero reía j.| jn v v rw ,jt. _ ,j cs _ .cu alq u iera d isti n to de cero tiene su m ism o ”, , — 11 ^ 1:1 m v<:iso de — v .T c * __

El inverso de I J es + 2

l.a div isión es 1111:1 op era ció n inversa de la m ultip lica ció n que consistea llar u no «le los factores, conocidos el o tro factor yel prod uc to. Es decir,

el dividendo d y el divisor d ‘ hallar el cociente c, de modoq ue se veue d ’c — d.

Reco rda m os q ue esta ojie ració n sólo es posible si «/' es d ist in to <!«■ cero.Aplicando el axioma de existencia del inverso, tenemos «|uc:

1/d ' (d'c ) = l / d ‘ d

Sabemos que: 1 / d ' (d'c) — (1 /d ' d ‘) c = ( + l ) c — c

El iminando queda : c = 1 / d ' d

De lo cual deducimos la siguiente

ReglaPara dividir un número cualquiera d por otro número dist into «le cero d\

¡p ida m os d jx>r el reciproco d" (l/« l') *'■! cocien te que resulte será positivos dos números son del mismo signo: y negativo, si son de signos contrarios.

Con el siguiente cuadro podemos recordar fácilmente lade los signos de la división con números relativa*. ___ / "

1 *e n t r e - f 4 l a +

i -c u n e — d a - 1-

l +c u t r e — t í a —

c u i t e - E d a

NOVAS SODIO rt CONCEPTO DE NUMERO 3 9

Ahora que estudiamos Ja división, podemos enunciar eres casos «Ir lae levación a potencia de un número cualquiera .

I ) Si u n nú m ero cu alq uie ra <i 0. se

e leva a la potencia 0 es ¡pia l a + 1 . A sí : _______________

r t"3"

2 ) Si un número cua lquie ra a ¥ 0, se eleva a un exponentenegativo cu alqu iera — m es igual al reciproco de la potencia am. deexpórtente positivo. Así: ____________ _ ________________________________

t r " = —

1 = _ L3*

3 } La división de dos po tencias de igual base es iguala la base elevada a la potencia que dé la diferencia de ambos

exponentos. Así: __________________

_ _____________________

UNIIOKMIDAD ot LAS OI ' tHACIONU lUMDAMrNTAirS CON NUMEROS RELATIVOS

17 — = r t ' <i‘

3= 3 ' 2 3*

Hem os visto en las operacion es estudiad as, a saber: sum a, resta, m u ltipli-cación, potenciación y división, que se cumple en todas ellas el axioma deuniformidad. Quiere esto signif icar que cuando sometemos dos números rela-tivos a cualquiera de las operaciones mencionadas, el resultado es uno, y sólo

uno, es decir , único. Sin embargo, cuando extraemos la raía cuadrada de unnúmero positivo, tenemos nri resultado doble. Pues como veremos, al estudiarla extracción de las raíces, un número positivo cualquiera siempre tiene dosi a lees d e g ra d o pa l .un a posi tiva y otra negativa .

Así: V f o — ± a '

del mismo m odo: v/ + 64 — ± 8

po rque: g (4 rt')3 ( f a ') <+ a ') = f a

1 ( - fl')2 = ( - a') <• - a') es 4 a poique: | (+ 8>* = (+ 8) {+ 8) = + (i-1

( 8 ) = f 8 ) { 8 ) ^ + 64

P O O i niL ID A O D E A M P L tA t t E L C A M P O N U M E R I C O

Los números reales no cierran la posibilidad de ampliación del camponumérico. Tal posibilidad se mantiene abierta para la introducción de nuevosrutes, siempre que tales entes cumplan las leyes formales. Dentro de los limitesdr este texto, el estudiante todavía se enfrentará con una nueva ampliaciónilr l r .mipo numérico. Se trata del número complejo, que es un par de númerosdados en un orden determinado y que está const i tuido por un número rea ly un nú m ero imaginario. Co n estos núm eros podremos rep resentar un pun to■ualomera en el plano. En el capítulo XXXII se presentará una discusiónmiplia sobre estos números.

los lloraron a perfeccionar la A rlím o tlcj y la Goomo- trl». En el papiro A» Rh ind, debido «I «acriba Ab«n** <1650 A . C .I , el m is val ioso y antiguo documento matemático que exalto, se presentan entre múltiples problemas, soluciones de ecuaciones do segundo grado.

A E N E L A N T I G U O E G I P T O <5 , 00 0 -5 0 0 Egipto, maravilloso pueblo de faraones y

encontramos los primeros vestigios del deuna ciencia matemática. Sus exigencias vial a las periódicas inundaciones del Nilo,

C A P I T U L O

3 ) LA S U M A O A D ICIO N es un a ope ra c i ón qu e t ie ne po r ob j e t o r e t iñ i rdos o más expres iones a lgebra icas ( sumandos ) en una so la expres ión

gebra ica ( suma) .

Asi , la suma de a y b e s « + b , po i que e s t a ú l t i ma e xp re s i ón e s l a r e u-ión de l a s dos expres iones a lgebra icas dadas : a y b.

La suma de a y - b es « i r , po rqu e e sta ú l ti m a e xp re s ión e s la

eunión de l a s dos expres iones dadas : a y —b.

4 ) CARACTER GENERAL DE LA SUM A ALGEBRAICA

F.n Ar i tmét ica , l a suma s iempre s ign i f i ca aumento , pe ro en Algebra sum a es u n con cepto m ás gen era l , pues pued e sign i fi ca t au m en to o d i s-i nuc i ón , ya qu e ha y s uma s a lge b ra ic a s c omo la de l ú l ti m o e je m pl o , qu e

quiva le a una res ta en Ar i tmét ica .Re s u l t a , pue s , que s uma r una c a n t i da d ne ga t i va e qu i va l e a r e s t a r una

ant idad pos i t iva de igua l va lor abso lu to .

As í . l a suma de m y —n es m — n , q u e e q u i v a l e a re s ta r d e m el valorbs o l u t o de — ti que es |n|.

L a s u m a d e — 2 x y — '¿y es — 2x —3 y , q u e e q u i v a l e a r e sta r d e 2 x ela lo r a b so l u to d e 3 y que es |3y|.

35 J REG LA GENERA L PARA SUMAR

Pa ra su m ar d o s o m ás ex p res io n es a lg eb ra icas s e e sc rib en u n as a co n -t in u ac ió n d e l a s o t r a s co n su s p ro p io s s ig n o s y s e r ed u cen lo s t é rm in o s s e-mejan tes s i los hay .

JUX»A • 4 1

t . SUMA DE M ON OM IOS

) ) S u m a r ¡5fl, 6 b y Be.

Los escr ib i rnos un os a co n t inu ac ión d e o t ros co n sus 5 a '+ 6b + be, p ro p io s signos, y co m o w=+Z>a, G b = + 6 b y B c = +8c la s um a s e rá : / 1

E l o r d e n d e lo s s u m a n d o s n o a l te r a la su m a . A s i, 5a t (ib I Se es lo

m i sm o q u e 5a I 8c 4 6b o q u e 8b —8c + 5a.

E s t a e s l a L e y C o n m u t a t i v a d e l a s u m a .

'!) Su m ar 3a¿b, 4aba, t rb , 7ab2 y fibs.

T e n d r e m o s ::ia-h l iab- l a-b I l ab" + 6b3.

R ed u cie n do los térm ino s la^b + l l a b 11IOb1.t c m e j a n t e s , q u e d a : __________________________________ /

:) S um ar 5a y — 2b.

Cu an d o a lg ú n su m an d o e s n eg a t iv o , su e l e i n c lu i r s ed e n t ro d e u n p a rén t e si s [ ra ra i n d i ca r l a su m a ; as i: __ /

L.a suma será:3 a 2 b . R .

) Suma la, —5b, — 15«, Ob, —'le y &.

Pen d rem o s :

/ a i ( 8 b ) + { - 15fl)+ ítb I{ - 4 c) + 8 7« 8 b 1 5a • » Í JÍ ~ < f c 4 8 8 tH b — f c + 8.

) S u m a r . a2, { ab , —2b1, -ab, {á*, b 2.«• m I d D

+ {ab + ( 2 b 3) + ( *«b) r {a- t ( | 6 2)

= rfl3 + -.ab - 2 b 2 -ab + V 2 - b * ~ a - - -a b “ b 3. K..1 2

EJERCICIO 15

Sumar:n\, n. II . l l m , 8m. 18.m , —n. 12. <1ab, 15<ib.

3a. Ib. 13. - x y , - O x y . 19.(ib, ( l a .

14. m n , • 1Lnin.7. C. 1 2 i 20.a. ID. 7 a ~ T

2x. \\y. %. 3 21.Dtnri, —r».fui la

LB. - b , r .22.

- j* ? > ~ 7 X>

{a be, 2 abe.O 5

-4x~y , ~x*y .

i , I —m n . mK 4a, b, c.

24. a, —b, 2c.

25. 3m, —2n. •!/26. 7ab,

27.x3, —3x y,

28. x1. x 2)'. 620 . 2«. —b, 3a.

30. —» j . —Su, 4

31. 1 a s 1

• A i c ,i r n . \

, m . —ron. 42. wa, 4 m “><, G»i:i, 5 « ias 43. 9x, — l ly , — x , — Gy, 4s, — 6*.

&a6, 36 a, a 2. 44. 7 6 a, 1 1 . i w 6, 9a', 86*.n2, —5rn. I7 m «3. —4;». 46. - x y * , Gxy», 4y‘, 7 xy*. Ó, xy*.

8x=y. 5. 7 x » , 4x*y. 46 3<J> . U _ 4< 6.9xy, 6xy. 7 f , j e 2. i j 5 « o6, 5n62, —a*b, 1 1 a 62. 7 6 a. 47 T x a. x y . 7 7 a. j x y , T x a. y * .

—8m'n, 7m »2, n » , 7m *i. 48 5 a \ Ga>*>, 8o > '2, «*•», Ga«*J. 8a‘.

6 , 7 0 , 7 6 . 6 . 49. * x2 jx y , ly*. ^ xy. x2. Gy2.

6 , 8c. 46, a ; 8c. 50. -V '6. \ ab* V b . ^ i 62. a26 ,

H. SUMA DE POLINOMIOS

1) Sumar a —b, 2a 4 36 —c y — 4a + 56.

I .a sum a sue le ind ica rse inc luyend o (a b ) 4 (2 a I 36 —c) + {—4a I

s sumandos dent ro de pa rén tes i s ; a s í : Z Ahora co locamos todos los t é rminos de es tos po l inomios unos a cont i-

ac ión de o t ros con sus propios s ignos , y t endremos :

a — b + 2 o + 36 — c — 4a + 56 = — a + 76 — c . R.

E n l a p r á c t i c a , s ue l e n c o l oc a r s e l o s po l i nomi os unos de ba j o de l o s

o s d e m o d o q u e l os té r m in o s s e m e j an te s q u e d e n e n c o l u m n a ; s e h ac e laducc ión de és tos , s eparándolos unos de o t ros con sus propios s ignos .

a — 6

Así , la sum a an ter io r 2 a + 36 — <r

ve r i f i ca de es ta manera : Z — 4o + 56- « + 7 6 - C . R.

2 ) S u m a r 3 m — 2 « + 4, fin + 4 p - 5, 8« fi y m n 4 / j .

T e nd re m o s : 3m — 2 » + 4G71 + 4 / / 58 n 6

m — n — i p

4w + U n - 7 . R .

6 )PRUE8A DE LA SUMA POR EL VALOR NUMERICO

Se ha l l a e l va lor numér ico de l c i s sumandos y de l a suma para los mis-os valores, q u e f i jam os nosotros , de las le tras . Si la op era ció n está co-ec ta , la sum a a lgebra ica de los va lores num ér icos de l os s uma ndos de ber igua l a l va lor n um ér ico d e la suma.

SUMA • 4 3

Ejemplo

S u m a r I J a — 3 b f 5c — d, —2b + c — 4d y —' 3a | Só — c y p r o b a r e l r e s u l t a d o

p o r e l v a l o r n u m é r i c o p a r o a = l , b = 2 , C = 3 . d ~ 4.

Tendremos: 8 a — 3b 5c — d — 8 — 6 + 15 — 4 = 1 3

— 2 b + c 4 d = 4 + 3 1 6 = 1 7

— 3a + 5b — c = - 3 ID - 3 = 4

5o + 5c —5d 5 I 1 5 2 0 = 0

Lo suma de los valores numéricos de los sumandos 13 —17 —4 —0, igual que el velor numérico de la suma que lombién es cero.

E J E R C I C I O 1 6

Hallar la suma de:

,'kr+ 2b c; 2u + 3b + c. 7. ?x 4y I 6z; 10*—20y —8z: —5x+24yl 2r 7«—4 b —5c: —7s44¿> <¡c. 8. 2 m + 3 # 6 : 3 m 8 » + 8 ; _ 5 m + ii10 iin \ n-p; -m-ti+p. D. 5 « 26~3c; 7« 3&+5c : 8 n + 5 b 3 f .9x 3y + 5 : x y >4; 5 x4 4y—9. 10. ab+bc+ cd; -M l>-\}bc :icd; 5áb+2bt 1« I b e: 2 « + 2 6 2 e; —3n—b + 8c. n a x - a y - a x ; — J > b x — 7áyG«z: 4r»x+9«y * p+ q + r. 2 / r G r / +3 r ; p , Stj- Hr. 12. 5x 7y + 8 : y + G 4 x ; 9~3x+8y .

13. /ini Gmn I»; (5j— a tn—óm n: —'¿t—5n tn+3 am .2a +36 ; G 64 r : «+S c .I: Ci/i— :\n; 4 ; ; | 5p; - rn-Hp.I . 2 a + M ; üc4: 8«+<¡: 7c9.17 2x —Liy: 5 z 9 ; Gv 4; S y 5 .

8«43be; 6«— b+ c; —a —b —c ; l a —b I 4c.i 7x +2 y4 ; 9y G z +5 ; y | 3z 6 : 5 + 8 x 3 y .

>» » - p : » i + 2 » 5 ; 3 / i 6 » i t 4 ; 2 » 4 5 » » 8 .5a* 3rt '' 7 n "; 81?* f«?"9rta; 1 b i,+ 5 « ,,+l(j«".Gu r*' 7t;j*»*—5?«v , í : jw i* "1— l m %+—«* ** ; —5ma ' l+3w r*• ' 3.8x+y+z+«; :jx 4y *2zI3m; 4 * + ñ y + Z t - 4 u : 9 x y + x 4 2 « .

a i b c i d : a—b + t—fii - ‘¿ a+ 'ib- ' lc \ d; — 3o 3b f4c — d.5ab—Hbc+4ed; \lbc+2cd 3d e; 16c—2rtb+3rlc: 3 be Gcd ab. a - b ; b c ; cld: a - c : c —d i d ~ a : a - d .

3) Su m ar 8x2 4xy I f . 5x y 6 xa 3y y Gy* 8x y 9 x: .

S i J o s po l i nomi os que s e s uma n pue de n o rde na r s e c on r e l a c i ón a unale t ra , deben ordenarse todas con re lac ión a una misma le t ra an tes deturnar .

3x* — 4 x y + yaAs i,, e n es te caso vamos a o rd en ar en ord en 6x s — 5xy — 3y9

«leu «ud er i te con re lac ión a x y ten d rem os : ___ 9xM— Bxy —6 y 7

— l l x y — Hy3.

4 ® A to riiK .v

■>) S u m ar

/i3b — b A+ aba, —2a*if: ‘ 4a b:,+ .<¿b'> y 5rt3í> —4fló* —<¡4Jó 2 6 * — ü.

a 3¿/' + í j 6 * — O4

Or d e n a n d o c o n r e l a c i ó n a l a a — 2asb * + ia b 9 + 2b4e t i ene : ______________________ Z 1 5a3¿ tía 2¿ 2 l a fr3 fr4 ~ 6

6a iíi> 8 a ai»*+ aí>3 t í . R .

EJERCICIO 17

Hallar la suma lie:4x; —5x4x2. 8 . 3x rxn; —4xsl5; x 3+ 4x 2 6 .ab\ -2/ib+fjV. n. x 3xy+y2; —2y2+ 3 x y x 2; x2 r3 x y y 2.

a2—3ab+b"-, —5«i>+«i —<»*; 8ab—b'-- :2t t2.2 x; x 2|4. 10.3a2: (i*+4tí. .1L. —7x245x—6;, 8x—9+ 4x 2; 7 x r l4 x 8.+3x; x !,+fi. 12. a*-4a+5: a3-2<?-'-lfi; « * 7 « + 4 .4x: 7 x+ (J: 3x2 5 . 13. —x'+ x —tí: x37 x * + 5 ; —x :H 8 x5 .

+n-: —3»»«l4n2; —5»i*—5«*. 14. «3—&J; 5a»b—)ab3; (¡«-lab'-b*.

5 xMxy2 l y3: —5x8y+x3— y"; 2xs4xy‘2—5y*.6 —7w«*»+4m*; m s+ 6nin ft—wa: —«’ií +7»n*n+0na.7 x4—x 2 lx ; x3 4 x 3+ 5 : 7x5—1x~G.

a ‘+f l°+6: fl*8«*+8: «9 « a1 4 .9. xs+ x —9; ax ’ 7 x a+ 6: 3 * 34x+5.

20. <i3+ a ; «*+ 5; 7«s+ 4 « ; —8«3—6.21. x4~ x 2y2; 5x® y+6 xy:i; ~4 xy *+ y‘; 4 x 2y8 6 .2. xy+ x2; 7 y a+4 xy ~x 2: 5y2 x 2+6xy ; 6 x 24xy+y* .3. a3 &ix2 hx 3: 5«2x —6«x2—x3: 3o* 5 aax x 3: «3+ 14ax 2 x 3.4. —8a*f« + 6fl»»s—m 3; a a—5arn2+ m 3; —4e*+4aam —3«wn2: 7a*»w—4ams—6.

25 x 3 •x:iy, x y ‘; 2x4y r3 x2y1 y 8; 3x*y2 4 x y 4y * ; x*+ yxy4 |2y*.26. a '+ a°+ a2: a«+fla4fi; 3o2+ S á 8 : «iB 4 « 25a+ G .27. a 4 b 4; a» í»+ «#í»*fl6a: S aM Sa" ** #* *9: 4 a* fj+ 3 fl9frs~3i»4.

6 m s—« 3+6 »J* n; — \m “v ••5mn2+ « a: >«*—nM (imn: ; —2m 3— 2m*n+n9.29. a ' Sc*2; .wj^ + G u — 3; Ta—’ la'* ; a* ‘ lO a* 3.

30 «*■»2—a*fa**-fla*+*-a*-l+a*-*'.

a ' + í a ' 43 5fl* f2 ;u’-~l -<ix- y+ ax' - .

7) SUMA DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS

3) S u m a r V + 2y3 - \ x * y + 3, ¿ x ' 'y + J x / S y + ¿ * y * 5 .

T e n d r e m o s :

J x * ? x 2y + 2y* + 3

* * • . Lx2> + ! x>a + i S y i _ 2 . R .

EJERCICIO 18

Hallar la suma de:

SUMA * 4 5

. 1 1 . 1 ..l xy; xy I

2. a« + i ab: U + l¿=: - \ a b - \ b 3.

3. x2 4 \ x y ; - [ x y + y3; ¡xy + \ f .

4.- \ f ¡ h * y + \y '-

5. «* + lo!; í»2: - a 2 - - a b + - b 3: - - a 2 + - a b M .r. 2 U 10 « 12 » 3

6. r. ..Xac

s . 3 i i , i .. n y * + xy : x y — x 4 y* x y

a ♦ a 2 0 8 tí ——xa 4y*.

a * •

7. « * + |« V > J « M 2 & 3: \ a * ~

3 x ‘ x M ' ii i j X » ¡ x 3 ; ¡ x í + í x » s

0. i"»3 ¡m « a 1 ¡ n 3: ¡ 0 ^ 0 + |m n ! —7«3; m* — \ n — >i2.

JO. X4 + 2x*y2 4 y<: ¡ x * h x 2) ¡x y 1 _L,«; _ i xay _ l x V 4.

11. X » 2 .. . 4 . . . . 11 .. 1 2 .¡x* + ¡x ; a x t. + x _ _ x; x . 4 Í X 4 V ; ¿ x » +

12. ?«’ •!,5 i , a „ v , i , a . . i i 0

—; x*; —a*x —« xa —¡x*; -a* 4 o ax --<¡x3.

13. o " a* 4 a; — ¡« 3 — ‘,o: j a 2« n • I 8 + 6: — ¡a — 6.

14. x n „ yB; x 3y 2 ¡ x y ‘ ¡ y n; ¡ x 4y ¡ x y 3 ~ \ f - 2x*y — ¿x*y2 —

EJERCICIO 19

Sumar las expresiones siguientes y hallar el valor numérico del resultado

para a = 2, l / = 3 , c — 10. x = 5, y = 4, m = « = p

1 4x—5y: —3x4GyS; —x+ y.x 2 5 x + 8 : * * + 1 0 x 3 0 ; R x 2 + 5 x 5 0

x '}•*: —5x'y 8+2x‘: - 4 x ,+ 7xiy i I0xys.3 o t~ 5 h + 6 : —6r« + 8—20n; 2(ln + 12wt—12.n x + e n —a b ‘. -ab-t-8nx—2cn: —itb- \-n x~ 5.

-3aib+&ab*-b*; 5fl86«fc5+8; ‘¿a2b-2b*.27»i*+l25na; —$m-¡i-r'25m>i2; \4i>in-—$; l l»in9+lOm2R.x. H .y»a+,n*i: 2x° > • d y ^ - V n *

1 fiM '’y m 'a l lO; 4 r ^ , 45mx * l8 .x »y—xy»+ 5; x ‘—xylóx1)»—6: G x y J4x2y'‘42: y '4 3 x y * + l.

i f l a + i f r2; 4 iGí; i a t J fc a .i n a ® o 8

T ' “ 1 5 m n + ~ ; —«»'*'— y: —¡¡m 3—30»m43.

'•'* y!»’ m — a- fn -2 : ~ b 3rn+6—j¿cn; — ~bam + ~c n+ 4; 2cn4~—

C A P I T U L O IIRfSTA

8 ) LA R ESTA O SU S TR A C CIO N e s u n a o p e r a c i ó n q u e t ie n e p o r o b j e -t o . d a d a u n a s u m a d e d o s s u m a n d o s ( m i n u e n d o ) y u n o d e e l l o s ( s u s

raendo) , ha l l a r e l o t ro sumando ( re s ta o d i fe renc ia ) .Es ev iden te , de e s ta de f in ic ión , qu e l a sum a de l sus t raeu do y l a d i fe-

e n c i a t i e n e q u e s e r e l m i n u e n d o .S i de ti ( m i n u e n d o ) q u e r e m o s r e s t a r b ( sus t raendo) , la d i fe renc ia será

l>. En efecto: a b se rá la d i fe renc ia s i sumada con e l sus t raendo b ep r o d u c e e l m i n u e n d o a, y en efecto: a b I b — a.

3 9 ) REGLA GENERAL PARA RESTAR Se e scr ibe e l m inu en d o con sus p rop ios signos y a con t inu ac ión el

us t raendo con los s ignos cambiados y s e reducen los t é rminos s eme jan te s ,i los hay.

. RESTA DE M ON OM IOS

1) D e — 4 re s ta r 7.

Esc r ib imos e l m inu en do 4 con su p ro p io s igno . i cont inuac ión e l sus t raendo 7 con e l s igno cambiado

la re s ta s e r á : _________________________________ /

I m i efec to : 11 es la d i fe ren c ia p or q u e sum adaon el nm t rao i ido 7 rep rod uc e e l m inu en do —4:

— 4 — 7 = — 11. R .

— 1 1 + 7 = — 4.

L O E N C A L D E A Y A S I R I A 15 .0 0 0- 50 0 >No lia «ido ííno recicntomcnti! que se ha

mjniliosto la «norme contribución dv loaririoa y babilonio! al acorvo matemático dodad. En tablilla» doscifradai hace muy poco

t iempo <1930), f iguran Operación» algebraica» cocecuaciones do «cguudo grado y labias de potencianque requieren un dominio de la matemática elemen-tal , pero no supone esto que los caldeos tuvierantoda una con cepción ab stracta do tac matem ática».

2 ) . Res t a r 4 b d e 2a.

E scr ib im o s el m in u en d o 2« co n su s ig n o y a co n t in u a 2a — 4b.. ¡.>ii el sustraendo 16 con el signo cambiado y la resta será: . /

En efecto : 2a — 46 es la d i feren cia , p o rq u e su 2« — 4 b i Ih

m a d a c o n e l s u s tr a e n d o 4 6 r e p r o d u c e e l m i n u e n d o : /

3> Restar 1a*b de —5o26.

E sc r ib o el m in u en d o —5a-b ya rom i linac ión el sus t raendo 4azb c o n e l s i g n o c a m b i a d o y t e n g o : ____________ ✓

RUTA O 47

- 5«26 — 4o26 = —!)«'-'6.

Da-b e s la d i fe ren c ia , p o rq u e sum ada con I 4/rh = ire l su s t r aen d o 1a-b r e p r o d u c e e l m i n u e n d o : _____________ /

.1) D e 7 re s ta r —4.C u a n d o el su s tr aen d o es n eg a t iv o su e le i n c lu i r se d e n -

t ro d e u n p a rén t e s is p a ra i n d i ca r la o p e rac ió n , d e e s te «no „ _ . j —nd o d is tin g u irn o s el s ig n o q u e in d ica la re s ta del s ig n ó — 1 ~<|iie señala e l ca rác ter n eg at iv o d el sus t rae nd o. Así: ^

El s igno d ela n te del pa rén tes is es tá pa ra ind ica r la res ta y es te stgi r >n o t i en e m ás o b j e to q u e d ec i rn o s , d e acu e rd o co n la r eg la g en e ra l p a rare s ta r , q u e d eb em o s c am b ia r e l s i g n o a l su s t r aen d o —4. P o r e so ’a co n ti

mi .u ion <lcl m inu en do 7 escr ib im os + 4 .4 De 7x*yl r e s ta r R x V .

r e m i r e m o s : 7x*y* - ( S.x 'y') = Ixí'y* + R .

il) l) e 4 «6 re sta r —3 «6 .

leitd remos : — —{— J 06 ) = —%nb + ¡}fl6 = { a b . R .

( 4o ) CARACTER GENERAL DE LA RESTA ALGEBRAICA

El) Ar i tmét ica la res ta s iempre impl ica d i sminución , mien t ras que la" •a i a lgebra ica t i ene un ca rác te r más gen era l , pu es pu ed e s ign i f icar d i s-m i n u c i ó n o a u m e n t o .

May res tas a lgebraicas , com o las d e los e jem plos 4 y J> an ter iore s , enun la d i f e ren c i a e s m ay o r q u e e l m in u en d o .

I os ejemplos 4, i> y G nos d ice n q ue re s ta r u na c an t idad n eg at iva eqn i i lr a su m ar la misma c an t idad pos i tiva .

EJERCICIO 20D e:

A L G E B R A

Restar

—7 o3m 2. 22. fia restar 8ab*. 23. —45a*1 f *

—4Gx2y. 24 . 546—» 41 8 4 a ’ b

5b*42. 25. —35m* f f

11. 26. 6 f t

2 . 43. a de7. 44. 3 b • •

8. 45 . l l x * »»5. 46. 14a*b !•

7 . 47 . —43nJy >»2 a . 43 9«b •»

—3x. 49. S l x 2? y* —2«. 50. n* • *

3b. 81. _ 7n»fi8 b. 52. 9/»* M

7 n . 83 . f t

2fmb. 84. —19rW* t%

—fia»Do".

COa«~>.

«6b*>.

GOro*.i

3a.-4b.5lxJl&a’b.

-Ciia'y.

-ab. ' 3lJe*y.3a*.31 l a * " .I05rn*

314»*.~234im*.

27. — restar

26. ± x t O

29. ±x*y

3 0 . ~ r t b 2n

55. 54a*4 3 de

56 —6a

59. J W

00. J5«*bj

?•4*

i , * .

- 4 * *

85 a» • *

m > .10

- la3*2.0

. RESTA DE POLINOMIOS

®C . » a n d o e l s u s t r a e n d o e s u n p o l i n o m i o , h a y q u e r e s t a r d e l m i n u e n d oc a d a u n o d e l o s t é r m i n o s d e l s u s t r a e n d o , a s i q u e a c o n t i n u a c i ó n d e l

m i nu e n d o e s c r i b ir e m os e l s u s tr a e ndo c a m bi á ndo l e e l s igno a to rio s sus

é rmi nos .

i ) De 4x — 3y H 2 restar 2x + 5 z ~ 6.La sustracción so indica incluyendo el suslroendo en un paréntesis procedido del signo —. oséAhora, dejamos el minuendo con sus piapías sig-nos y O continuación escribimos el sustroendocambiándole el signo o todos sus términos y tend/em os:Reduciendo los términos semejantes, tendremos:En 'a práctico suelo escribirse el sustraendo con sus signos cambados riohn

jo dol minuendo, do modo que los lúnninos semejantes queden en columna yso hoce la reducción do éstos, separándolos unos do otros con sus propios signos.

4x —3y + 7.Asi. lo resta anterior so ver ¡(ico de esta manera: 2* —5z + 6

4x — 3y + 7 — |2x r 5z — 6).

4x —3y I 2 —2x —5r + 6.

2x — 3y —<lz i 6. R.

KtilA • 49P R U E B A

to diferencio fumado con el sustraendo debe dar el minuendo.

En el ejemplo anterior, sumando lo dilc 3 y — Az + 6rencici 2x —3y —4x + 6 con el sustraen 7* + 5z • 6

d o 2x I Sx — 6, tend rem os : ______________

/ ’ 4x —3y + ¿ |minuendo)

(2) Resiar — ia-b — abB4 6o■1b9 — o 2b4 — 36* de eo 'b 1 I o° —4o''b' 4* 6c b 4.Al escribir el sustraendo, can sus signos combiodos, deba¡u del minuendo,

deben ordenarse ambos con relación a una misino letra.

Así, en oüe coso, ordenan o" 4 Ekéb3 —4o*6‘ I 6obr‘do en orden descendente 4* 4o46 —6o*6*4 ó*b*+ obB43b*con^eloción a l a o t e r v ^ + + * ,« * _ W _ w + Job* i

la diferencio suero üú 4 4o»b 4 80^ ' ¿o’b4 3a 3b* 4 7o 64 436*da con el sustraen. _ ^ + ^ _ Q, b s _ a{>!1 _ ^da, debe darnos elminuendo: / o* 4IJcdb* — 4o2b‘ 4 60b '1 (mlnuom

<31 Restar —8a*‘x 4 6 — 5ax3 — x3 de 7a3 4 8a3x 4 7ox2 4 y probar el resul-tado por el valor numérico.

lar? 4 8a‘~x + 7 o1 — 1Efectuemos la resta ordenando con relación x1 4 box3 4 Ba3x

° l a X r 10

lo p/ueba dot valor numérico sr; efectúa hallando el valor numérico del mi-nuendo, del sustrnendo con los signos combicdos y de lo diferencio poraun mismo valor de los letras |el valor de coda letra lo escogemos nosotros).Reduciendo el valor numérico de minuendo y suslracndo con el signo cambiado, debe darnos el voloi numérico do la diferencia.

Asi, en ef ejemplo 7ox2 4 8a'x 4 7a:t — 4 284 1 6 4 7 — 4onterior poro o = l, xs 4 5ox34 8o3x — 6 — 8 4 7 0 4 16 - 6 x —2, tendremos: / '

x3 4 l?ox2 4 16a5x 7o4 10 = 8 + 48 4 37 i 7 1 0

EJERCICIO 21

De:11 /> te star a—b.

v :ty res tar —x + 2y.fu lb re star, —3rr 4 4.» :ix re star —5x46.<r ’ a-b restar 7a3bl9«b3.

9. x3—x?—G restar f>x‘—1x46.LO ys+ 6y:l 8 re sta r 2y*3 y3+ 6 y. i s. a*—6rí//J49n re sta r Ifw b—80+5.

\ y4z resta r x —ytx.\ l y z re sta r —x —y4sv , by33 x y resta r —y s43x'—4xy.

12. x4+ 9x y:l ll v ' restar 8 x « y 6 x 3y3420y4.13. a+b+c—d restar — a — bic d.14 aO >2ac '.icd-ñ>l'- restar — 4<¡c+$ab—GcdlúLfi. x3—9x+ 6x3—19 resta r —1 lx 3 121x43 +6 x* .10 y!‘ 9 y :,4 «y23 1 resiai U y ‘431y38y''~L!>y

17. On>*—9 » ! rGm2n —8m «2 re star I4m «*—•2lm*ti45»i*—18.18 4x3y 1 9 x y 34y4 6 x zy s restar —x 4—5 1 x y H 3 2 x y 2 5 * 1)!.10. Wlm *»1'—9«i3h 4119 resta r — 13w»3»*436ínrt5—30 ma« 4—61.20 6 6* *6* 18*& H4 2 S ° 9b0 1lfl b l l * b 4

i — xi «+3 *. e>!5 r es ta r x IJ+ 8 x t ~ 3 0 x 2+ l 5 x 2 4 .V 1 8 restar —yB+9x y1+ $0 21 x3yi!G lx 4Y.

r«*'—Sm4 m2+*21 w2n 4+ 6—fiwm6 res tar —23 m 5n+14 wi8n*—24 »m B+8 n* —14xi~ Sx +H ’,x62 3 xs 1 5 restar 8 x ,,+2 5x ,3Üx8+51x18.art*—I5fl46»+31«*&4—6aM4 restar 25ePb— \ba ^b2-rb2<v'br •9<i&8+3t*0.

n*12 res tar 5«‘ 6 a ‘ **—nxT.m" ni’r~,+Sm'-~2 res ta r 3m‘ 1 4m,+ 57n,“ |8w' r~8.<j*'t"*7íi‘"» 9 8a “+ 6«'«*1 restar 5 a “ 314tf“ + i l l« m‘, , 8ffIt‘~lx x *-—7xM9x*~1+25x*~'2 íestar —ll x ’" , ll!)x"+45x*’ ’ lGOx*'*.m ” f1—6in:na+8»»*r8—19»i“ 6 «estar 8»j" +y »ta '2I Bwí’, *+ m "^+ 9» i"B.

EJERCICIO 22

Restar:b—n.

2x+3y.de: —7<H5.de —x2+fi.tle x=y ‘5xy*.

«3 de 7n2fc «fwi/Ae d e (t \-'¿b—3c. p de —3n+4 m+5 />.

—r d e x! 3 y—6z.Gb 2 de —5&2+& *6 +u a.

m 2— « * — 3 m » e le — 5 w» 2— » i * + 6 » i n .

x 3 x + 6 de —Bx2+5x 4r«8+l4m*+9 de 14m*8n+16.ab—bc-rfícd de 8o6+56c + 6cd .25a*b-8ak *-b* de <i3<tas6b *.

12.13.14.15 . ------- 10. *>’*—6yB+ 4 de 6 x3—Sx^ yG xy2.17.18.19.20 .

v/ 1* ,v v ' / “ / wis+7n—8e+d de m*-9M-l lle~14.7ti86+Ga5:' -8a*W+b* de 5<r,+9rt8&40u6:,+G&4.6x:i—9x+6x''—7 de xB 8 x 4+25 x2+1 5.x8—x yA+ Gxy4 f25y' de —3x y4—fix V —I9>,r,I18

25x+ 25**—18*"’—llx *—46 de x3fix ‘| gx29+ lG x. H a 'b + a W -l O a 'W 45«b4B de /r12G «:'6J+8 rt54 5 B+0 .23y 8+8 y4—15ys—8y—5 de y,,+ y:,l y3+ 9.7*I+5x í 23 xa +5l v+ 36 de x* x8+3x* 3x29 .y r é O x y I 90x3y450 xy « x2ys de x23 x Jy2 l35x,yn8 x 2yH 60.

i « 6b* de «“ 1''Bt?1' > 5.Sa0-1+&*-'- ■|7fl*+fln 3 de 8a M l<k »'^+ 15 #*‘2+ «n7!l.Slx ** 1—9x* ' x 1** —lí x 11 de l:ix ’*3 |5x t2 ~Gx"+41x'~’.12am~s—!iam"*—rt!n—8a“ 1 de 9fl"‘ , 2 lf l" 2 l2C«'"“»+14 «“*6.—tw*+«~6r»’ETl—23wi‘ ' 2—m*1 de IG w r^H SO m *41—14mx'«rnx, +8 jnx"íí.

( 4) De 1 restar x2 + x + 5. — 5 — x — — 4 — x —x*. R

£1 sustraendo x2 + x 5 sumado con la di-ferencio — 4 —x ~ x2 nos da el minuendo,

( 5 ) Restar 9ab3 11a*b + 8o*b* - b * d e a * - 1.

xa + x + 5 x2 — x —4

1 (minuendo).

Tendremos:

EJERCICIO 23

De:1 restar «—1.O restar j - 8.

lla*b — (1 er br — 9aba + b4

O* + 1ío3b fiab2 9ob* + b4 I. R..

-9 restar 3r>+aa-5 . f¡ • lfi restar 5xy x*+ 16.

1 restar nl—azbl-nb2. x3 restar x 3 8xsy Cxya.

R O T A • 5 1

7. a2 restar $.i/-b (ytO z— b*.8. y* restar — üx:ty+ rix >!y -- ft x y \ 9. >n‘ resta r <isr«—«*+ 7«2/h2—lSom^ +g m4.

JO. 16 restar b—a+cI d 14.11 . x 2— 1 resta r xy+y '2.12. «:,+G «esta r 5«í6 —8<i6a+&8.)3. Re star 5x2y lI7xy2'5 de x8+y*14. Restar 9x3y 15 xy > Sx 2y2 de x* 1.16. Re star lía*6+ 2ci268+8a*63— éab* de t f+b*.16. Restar $x*—25x de x '+ x 2t50.17. Restar 9y’+1 7y4y 3+18y* do •/'+>•41.18. R e s ta r l 5n s6+17«W 14f f6" 6* de / j«+9a*b*+aab*. .19. Restar x 2+5 x—34 de x4+x:, l l x .20. Restar mn+ 7m ns3 n J de ma—1.

<1 I De Jx3 lestur r> \x y 2 + ¡x»y \ y \

Tendremos: ^x115

?y Íxíy +

I ) Resta r —4 tPlr' —~-ob + ;¡a2h 2 — 9 de —|a b + ¿a 2b2 —8.

Tendremos: o'Jb* — a b 8d r.

4o:ib:l *-a"b- + fofa + 93 14

4a:ib8 | a 9b* |oí> I 1. R.

B> E JE RC IC IO 24

1 r es ta r — n 2 — — ab + — 6a. 4 *a — r es ta r —rt + —b — —.* * a » 2 >. i ii a

ló re sta r ‘.vy ’ yz — D. j'x 2 ■? y2 íe sta r ^x y + —ys *•.

■bc testa l —~ s ib + ‘ b/ ~«l . 6. »i3 «estar — ’

2 • AKMttRA

7 .4rt + jdí> —j6 resta r ^f l* -~-^ab — .

8. I x + ~xy ¿y * t es tar ¡ x - •»■ 2y* Jjxy.

9 . re sta r Ja* + A t + j.

10. »ia I l .m n - - yn* re sta r 4 * m»* + »t3 — y

H . i x ' + yxay - ± x f + | y ‘ resta r x< + yx*y* ixy3 + yy‘.

12 * 1 + f f c f e + f d restar $ f

EJERCICIO 25

Restar:

1. d e * a2 — —a. ,¡ — * 6 + ye de a + b — c.

2. i« i / / de 8« + 66 6. b - m + n - p de =»i + + ~p.

3. ^x2)! de x"- I yx*y — 6. 6 . i a 3 ——ab2 6 de yo2b + jab* —j.

7. —»t< + y m 2n2 — "ra n1 de ym2» + £•»!*»* + j m i é —6.

«• y + | * y “ T x i tlc f ■**>’ + + f * V + T*>* 7 0 x" ¿ x 2y2 I ■~xay4 yu I xy 6 d e y x ry + yx^y2 yx^ 3 —x 2y* »• xy r !• ~y°.

10. ix2)1+ ~xy* ~ x 3 + 6 de Jxy* yx2) + ix» ¿ y 3 J.

11. — —r/t” + —«* — —»t4« 2 + —m*«4 —— de —m 'n 2 * m2»* I *I» í S» 14 t 10 T *

12. ±c 'd + ~d-- - i ^ d 2 + ±cd* d e d* l c ' d 2 + ~ c ‘d 35.

[> EJERCICIO 26Efe ctuar las restas siguientes y h alla r el valor nu m érico del resoltado

ara a = l , 6 = 2, c = 3 , x = 4,y = 5, m = , n = —.

De:l a*—nb re star 3n 6+ b3.2. a^lb 3 resta r —Cia26+$a£>2—26a.3 1 i , B

■^i restar —b ——c + a.

4. 3m B—5«* re sta r m 2+ 8 m « + 1 0 «16x*18xy+l5y« res ta r IG.v 'y Gxy^+Oy*.G. a J—7a;n*+iM* re star —5«wi*+8a*m—5»ia.

7. - -n i + --nl) — J - ^ 2 rc 5t;,r ‘ a2 + «6 — ~b~. j « s « 10

Restar:

í). a * b *-& W de a*--¿a?b*+b*. 11 . lla*e>9fl&*+¿>1' d e a \

10- 15nfc de —aÍA-l- 10m«—8wjc. 12. .1*3-j. JLX _ iL j e JLX4,

S U M A Y R ES TA C OM I! I M AD A S 0 5 3

13 ± ¿ ~ ± Xy 3 - 2 p * (|e *3 +

14. «»-> — !»<*» a -|- fl*~= de 4 a - 1+ «« - —«*-» + axt B

SUMA Y RESTA COMBINADAS

®SUMA Y RESTA COMBINADAS DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS

Ejemplos

< 1) De oa restar la suma He 3ab —6 y 3a'*‘ — Bob + 5.

3a2 — Gafa 4 5Efectuemos primero la sumai 3af> —6

3o2 —í»ob —I

a’Esta sumo, que es el susliaendo, hay que restada de o5 que _ 30 ?+ 5 05 q. )es el minucrvdo, luego debajo do a 2 escribo 3a3 — 5ob — 1coa los signos cambiados, y tendremos! _______ , / 9a~4- 566 + I

I ) De xs —dx5? 4 5ya reslor la suma de —x* + 5x2y —6xy2 + y3 con 6x*y 4 9xy3 l<Sy".

— x* + 5x*y — 6xy3 + y*Efectuemos primero la suma: —dx^r 9xy2 —16v3

x 3 x2y + 3xy2 —15y3.

Fsta sumo, que es el sustraendo, tengo que restada xn —4x2y 4 5yhde x3 —4x2y + 5yB que es el minuendo, luego do x* 4 x ,Jy 3xy3 4 15y* bajo do este minuendo escribiré el sustraendo con , _ . ; nn ,los signos cambiados y tendremos: ______ / 2x * * * " ^ + 20y '

(3 ) De lo suma de x3 + 4x3 — 6 y — 5x3 —I lx4 5 restor x4 — 1.

x* 4 4x2 — 6Efectuemos la sumo: — 5x2— 11x45

x3 x2 — 1lx —1xs _ xs _ jix — 1

Esto suma es el minuendo, luogo debajo de ello es _ x< .j. ]cribiré el sustraendo x4 — 1 con los signos cambia-dos y tondrcmosi _____________________________________ —x4 4 Xa —x3 —ÍTx

4 '■ A t f l í B H A

D e la sum a de x3—y* co n —14x5)'+5.vv2 res ta r 3x*4 19y3.De la sum a d e x 4—éx'yH )'1 con Sx2>l3 1y ' restar x*f 2x s)<2+ 32y4.

EJERCICIO 27

1. De a- restar la suma de ab¡-bs con «2—Ofr22. De 1 res tar la sum a «le « + 8 con —alG.3. De —Ix ^ y restar la suma de 4xy2‘x8 con Sx^+y3.

•1. De 5m 4 re sta r la su m a de —3n**«+,l>nna—w3 con 3m 3« —4m«2f5«3.6. De (¡<i re s ta r la su m a de 8a49¿» 3c co n i7«—9¿>+3c.i! De n+b—c restar la suma de a—b+c con —¿a-\-b—c.7. D e m —n I p restar a suma de - m - V n — p con 2>n—2u-~2p.3 De x 3—5ax +3 a* restar la sum a de Ü ox o3 con 2(ix29 « x + 7 « 2.

D e « * 1 restar la sum a de 5fls+ 6 a —4 con 2/r*— 8«+l>.10. De x *—1 re sta r la sum a de 5x3—Ux®+4 con — llx * 7x3 <>x.j; i. De o3 ; b1 resta r la su m a d e —7oi»a |35o2&—11 con —7a3+ Sab-—2íía-b[f>.12. D e n 5—'7«3+1n res ta r la su m a «le —l l t ^ + M n 2—2¿ml8 con lí)n*—Gn2

+ 9 n —4.

L3. D e n4—8d*ma+ m 4 re sta r la sum a de —6«sm + 5 flm * 6 c on 7<r’—l l « ?m 2 f w ' m G w d 14. De x 5—30x:iyaH O xyH >’* restar la su m a de —1x4yl 18x2y3—ítxy4 co n

C)Xn+ 8x 3>'2+ x v 1—2v5.10 De la sum a de « \ b con a —b restar 2a—b.1(1. De la sum a de 8x + 9 con C>y—5 restar —2.17. De la su m a d e x2—Gys con —7xyM0)'“ resta r —9>*l 3<>.13 De la su m a de 4«"+8«i&—5¿i2 co n a- i fíb- la b restar \a2+ab—b~.19.2021 De la sum a de n*—tjn^+n* con 7n3—8 n —ñ ,J—6 res tar —3n4—«e—ft«al 39.

255. R esta r 5a4¿»—7a26 8+ í »8 «le la suma de a5—8a 3¿>2+(¡<JÍ>4 con 22«4/H10n*fo2 —l lu / r 1— b*.Restar 5— m* de la suma de —5tttB+4»n3—2m con •7 m *+ 8m +4 .

24. R es tar —4 de la sum a de 7«BlI«Mf>B con — 7«::+1 8.20. Restar a—b—2c de la suma de 3o— i b+ñc; —7af8¿»—ll; - a + 2 b — l c .2G. R esta r a 4—3«3+ 5 de la sum a de :)«3+ 14«2—19<r+8: rrr,|9rr—1 y — a* i 3«2 l .:7 R es tar la sum a d e wi4+10 »iB«“+lí>? t' con •• l l m 8n —ldm*»!*—S w t^ + n 4

de 6m 4+7» iBHB+8»» n3 •«*.Restar la suma de fl8+4/i3J>*+B«&4— br-, 7a*b-\-15at bi —25ab*+'¿b6 y- b a b ' + Z a W - á ' b * de 3o°(J<r2/c*21u/r4G.

20. Restar la su m a de x5+ y 5 con 3x4)'+ 21 x :iy2H 8x 2>* '&de x8+32x*y2f>x3ya+ \ $ x Jy * - 2 x ? 4y>.

3(1. R es tar la su m a de S^'don11 con a* 7<r l 1 Io 1"2 de &r' ' 2— 7ax> az

14 ) Restar la sumo d e 5x',ys + 6x2/ 4 —5y° con —3x* I x2y ‘ ” HyB de lo sumade x° I 7 x Y ~ / ' 4x*y" I 3xBy4 + 3y,J.

Sx*y: + óx''y* — 5 /Efectuemos la primera suma que será el —3x° 4 xJy‘ — 11 y®sustraendo: __________________________ / _ „ . ■" . 7 T7~l

3x° + Sx V I 7x-y* ~ 1¿Y

x" + ?x2y* “ Y°Efectuemos la segundo suma que scró el mi —4x4y® ’+ 3*V* + 3y"nuttndoi _________________________________ / " , , ,V ' , ~ „

x4 — 4x'yJ + 5x*y* 4 2y”

SUMA Y HtSTA COMIIINADAS • 'j'j

Comoestasumo os el minuendoescribimosdebajodeello,con lossignoscambiados, lo sumo anteriorque es el sostroendo y t e nemos : _______________

x° —4 * y + 5 x V + V3x"- 5x4y3- 7x 'V -I- I6y*

/ 4x *- ? * V “ 2x2y4 I 18y*

EJERCICIO 28

De la sum a de x 2j5 con 2x —6 resta r la sum a de x — 4 con — x + 6 .De la sum a de 3«~ 5brc co n a b ~ 3c restar la suma d e 7«l6 con —8¿>~3r.De la sum a de x2+ l con 5x3+ 7 —x2 restar la suma d e 9x + 4 con —3x2—x l lDe la suma de o2+ l con o3 l restar la suma de a4|2 con a —2.

' De la sum a de tib+bc+tic con —7¿»r+8ac—9 resur la suma de iac- 'Mn +5ab co n 3 b e+ .W— ab.

»¡. ' r la sum a de n2x —3x3 con n’+ÍUrx2 re star la su ma d e —5«2xfllene* l l x * con a*l8x8 4 a 2xd6ox2.

De la suma de x4+xa—3: —3x+5—x3; —5 x r+ lx + x 4 res tar la suma de —7x*+8x2—3 x + 4 con x4—3.De la su m a d e m 4—n 4; —7»r«3+.17m 3M—4m 2na >• —rn4+ 6m*w9—80n4re s u r la sum a de (¡—r« 4 co n —ítj2ti2+ i/ ih 3—4.

9 De la sum a de a 7 + a * ; a'1 a 4l>a::+fi; —fia2—ll<i+26 res tar la sum a«le —I a 3+tt*—a 4 co n —15+16«3—8«2—7«.R estar la sum a de 3x*—y* co n — 1Ixy i 9>'2—14 de la su m a de x a—3xy

—y2 con 9y3—8x y+ l9x 2.Restar la suma de « I con - a : I de la sum a de a: —3: a —4; 3 a í 8.R es tar la sum a de a 2+ 6 2—rió: 7b2—8a¿»+3 a2: —5a*— 17 b2 + l l a b de lasum a de 3b9—«u+9« bu> u —8«b —7beR esta r la sum a de m 4—1; m :H8m 2—(Iwt 15; —7 m —m24 l de la sumade m r>—16 con 1I>»í4+ 7 m 2 3 .R estar la suma de x6 y 5; 2 x 4y + 5x íy2 7x2y* 3y 5; G x y ^ T x V S «le lasu m a de —x3ya+7 x4y4 l lx y 4 con —xy4—I.R estar la sum a de 7«4—«•—8 «; —Ua5+ l l « 3—n2+ 4 : —Git*—l i a 4—2a+ 8:—5oJl5as 4«ill de la sum a de —W - r la ? —8al5 con r>or'—7a3 M la 3 —G O o+8.R es tar la sum a de a & 7 a 3xa+9 ; 2 0 a 4xl2 1a 2x* ~l! )ax 4; x tt~ 7 o x 4 i9a>xa 8 0 de la suma de 4 x 2+1 8« 3x2 8 ; 9 « 4x 1 7 n 8x2+ l l « 2x»: «°+Üt>.

S UM A Y RESTA C OM B IN A D A S DE P OL IN OM IO S CON COEFIC IENTES FRACC IONAR IOS

<i ) Do Jci2 — roslar la mina de a 2 + b 2 — jo b con — j a 2 + ' b- — ^ob.

Efocluontos lo lomo quo será o l suslrocndo: ’

' - a * - \ a b + -¡b»

i o2 2ab + >

6 • A ic ro G A

Debajo dol minuendo -d* — 6a escribimos el

resultado de esta suma con los signos combio

dos y tendremos: _______________________

r.a2 _ ! 5*

—s ° 8 + o b ~ \ b i

J o 2 + o b ~ b 2. R.

(2 ) Restar lo suma He m 3 —mi^ + b con -ni*n I m rr — n 3 de la suma de

3 . , 1 , 2 3 » , , 1 I-m s i n* — mrr con o rn t ----

i " * rnn2 + ‘.n3

Efectuamos la segunda suma que seráel minuendo. /

*nrn + mn] —•r.

3 1 . 3 ^ro* + m n — ntn2 + ; n a \ 0

mn2 + 6

Efectuamos la primero sumo que será >el sustraendo: _____ - /

m''n + • 3m n - — ~ n

3 X 1 3 " 1-w ¡ 1 mn 1 mrr —jo* + 6

Ahora, de la primera sumarestamos esta último sume y tendremos:------------ — --------- /

/»* + m®n —mrr I jn s — 7

—:m :i —^m "o— rrmn1 + n3 — 6s«

—m3ir.13 T i 31 omn3 + n » 7 . R.

EJERCICIO 29

1. De -—a restar );• sum a de a I ‘ b con —

'.í. De a * I —a* re star la sutn a de — G co n o 2 — o " ,u s s o n

1 1 '2 'J 3 Resta r —vi b de la suma de a + 3b con 6 ----- « b.

r. ii (i .1

Resta r la surtía de jx 3 f — ~xJ con (¡ —jjx + ^ x 2 de —jx4.

De la suma de con — + —o2 —G res ta r 7a — j---7a4.f t .

U. Restar la suma de - ’x - I —y - jr con 3 — ~ z - j y «le —y y .

V De |o J jb* restar la suma de - <ilb+ abs b* con ^a b 2 +~ b ^

SUMA Y RRTA C OMBINA DAS • 5 7

8. De Ja sum a de —%-b con —b — ~e restar la suma de —b + --c con2 v J O » t,

9. Re sta: la sutna de -~al + jc I ■— con — —a — -—a" — — d e la sum a d r * n u < r. 10

~ á - — 7 a + 7 con _ £ , * + 1 *3 1 ,

10. De la sum a de jjx2 - I x y + -¿y3 co n j*>'“ 7 ?* + 1 rcstar ,a »»,IM

de ± x u - l y * + l - xy

R estar la sum a de 1 «3 1&» con — ia*i» + *■ab2 + l& a de la suma d<

+ con — + ~ ab 3 — 1¿<8 — —

12. De r ^ n 4 — —n* res ta r la suma de -¿ - tn n a — n*: ^-m* + m*m” 2 4 1 6

—jm®»* + jn t conym4 —^in*n + | rws«s — ln * .

De 5 restar la suma de jx + l y ; * y ¿z: r1 + ~n» ; —1 ro + l f» +

] R es tar — 1 «3 + <r4 de la sum a de l a * — w : + <r*; — - a + f> —a*; — ‘ o*A *• 2 n 4 N } 4

+ T * -7 ' - > + V‘a+ 5a + ¿-EJERCICIO 30

i H allar la expresión q u e sum ada c < j i i x 3—x* +5 d a:jx—G.H al la r la cxjne sión qu e sum ada con —&a+í»fr—6c d a 8x + 9.¿Qué expresión sumada con a1— b* da S & b + S a b 3 —4¿r*?

Para o bte ne r como resto x 5 , ¿qué expresión debe restarse de x*—4x*+8?¿Qué expresión hay que restar de m*— '¿rnna lfín4 para que la diferencia

sea 4m3n8—8?Si 4x*—9 x + 6 es el resto y óxs “ lx —8 el sus traen do , ¿cuál es el m inuen do?

V ¿De q ué exp resión se ha resta do a3—ó 3 si la dife ren cia h a sido 4/t*T8fl&2 l l ?

Siendo el sustraendo 1 * — 7 ¿cuál ha de ser e l m inuen do para que

la diferencia sea —1?¿Qu é expresión hay qu e sum ar con —7x y+ 5x s—8y* pa ra q u e la sum a sea 1?Si 9j»3 8 msn + 5 mn*—n* se resta de n B, ¿qué expresión hay que sutnala la diferencia para obtener ro*?Si a3—JñH8 es el su stra en do d e un a dif ere nc ia y el re sto es —a 3 |f»a—B.¿de qué expresión se ha restado la primera?

7a'TON

DE MILETO 1640535 A. C.). Cl primeromoso do los siflo uliios de Greca», Su vidjulta en la bruma do la leyenda. Fue cl prifo jónico. Recorrió Egipto, donde hlxo ctnléndojp en contacto de cito modo con lo»

misterio! de la religión egipcia. So lo atribuye cl haber prcdicho cl eclipse de Sol ocurrido en el año 585.Tambicn »e le atribuye el habor rotlix.ido la mediciónde las pirámides, mediante les sombras que proyectan.Fue el primero en dar una explicación de loi eclipses.

CAPITULO

G N O S D E A G R U P A C I O N5 ) Los s ignos de a g r up a c ión o pa r é n te s i s son d e c u a t r o c la se i: e l pa r é n -

tesis o rd in a r io ( e l parén tesis a n g u lar o co rch ete [ ] . las l laves | ¡

e l v ínc u lo o ba r i a

6 ) USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIONI />s s ignos de a g r upa c ión se e m ple a n pa ta ind ic a r que l a s c a n t ida de s

ncer radas en e l los deben cons idera r se como un tor io , o sea , como una so la

n t i d a d .As i. « l (l> c}. qu e e qu iva le a n + ( r h c ) .

d i c a que l a d i f e r e nc ia b — c de be sum a r se c on (t, ya sabemos que para e fec tuar es ta suma esc r ib i-

o s a c o n t i n u a c i ó n d e a l a s demás can t idades con

p r op io s igno y t e nd r e m os : ________

l a e x p re s ió n x 1 ( 2y + 2)

a + (b c) — a r b — C.

x + { 2y 4 ¿) = x 2y + x.d i c a q u e a x

hay q u e su m a rle 2 y + z;

ego , a cont inuac ión de x , e sc r ib imos2y x c on sus prop ios s ignos y tendrem os:

Vemos, pues , q u e hem os sup r im ir lo e l pa rén tes is p reced ido r ie l s ig-o • de ja n do a c a da un a de las c a n t ida de s qu e e s taba n d e n t r o ríe é l con

La expres ión

a — (l> I c), q u e eq u iva le a a — (4 b 4 c),

i n d i c a q u e d e <1 h a y q ue t e s ta r la s um a b + C y com o ( . _ ^ ^ p a ra re s ta r esc rib im o s el sn s ira e n d o con lo s signos cam ^

h ia d o s a c o n t in u a c i ó n d e l m i n u e n d o , t e n d r e m o s : ____ / ’La ex pre sión .v ( — y + z)

i n d i c a q u e d e x h a y que r e s t a r — y l ;; luego, x — (— y I z) = \ 1* yr a tnh iando los s ignos a l sus t r aendo , t endremos : _______ /

Vemos , pues , que l i emos supr imido e l pa rén tes i s p reced ido de l s igno c a m bi a ndo e l s igno a c a da t ina de las c a n t i da de s q ue e s ta ba n c m ■i rad as en, el pa rén tesis.

El pa rén tesis an g u la r | . las l laves ¡ y e l v incu lo o ba r ra

t i enen l a misma s ign i f i cac ión que e l pa rén tes i s o rd inar io y se supr imende l m i s m o m odo ..Se usan es tos s ignos , q u e t iene n d is t in ta form a pe ro igual s igni f ica

<ión . pa ra m ayor c l a ridad en los casos en q u e u na exp res ión q u e ya t ieneuno o m á s s ignos de a g r up a c i ón s e inc l uye e n o t ro s i gno d e a g r upa c i ón

P A RE N TC SI S • 5 9

I. SUPRESION DE SIGNOS DE AG RUP AC ION

(47^)REGLA GENERAL PARA SUPRIMIR SIGNOS DE AGRUPACION

I > Para su p r im i r s ignos de a gru pa c ión preced idos de l s ign o 4 se de j a

<1 m i s m o s igno q ue t e nga n a c a da u na de la s c a n t i da de s qu e s e h a l l a n de nn o d e é l .

?.) P a r a s u p r i m i r s ignos de a g r up a c i ó n p r e c e d i dos de l s i gno — se c am - bia el s ig n o a cad a u n a d e la s c a n tid a d e s q u e se h a lla n d e n t r o d e él.

Ejemplos <1 > Suprimir los signos He agrupación en la expresión!

o I |b — cj 4 2c — fa t b).Esto expresión equivale a

4 a 14 b — c ) + 2a — (4 o 4 b ),Como el primer paréntesis va precedido tlol signo 4 lo suprimimos dejandoo lus cantidades que se hallen centro con su propio signo y como el segundo paréntesis va procidido del signo — lo suprimimos cambiando oí signo o lascantidades que so hallan dentro y tendremos:

o 4(b —e|t2 a —|o 4 b | —n 46 — c 4 2a —a b — '2a — c. R.

(i!) Suprimir los signos da agrupación en 5x 4 (— x — y ) — {— y I 4x) I {x 6J.El paréntesis y las llaves están pieccdidos del signo 4 , luego los supri-

mimos dejando los cantidades que 5x ~• x — y) ~ 1 y | { xso hallun dentro con su propio signoy como el corchete va precedido dotsigno . lo suprimimos cam biando elsigno o las cantidades que se hallandentro, y lundremo);

~ 5x — x — y 4 y — 4 x 4 x — 6 = x - 6 . R.

0 ' 1 a l c í b i i a

(i?) Simplificar in + 4n —6 + 3m —n 2/n —1.

B vínculo o borra equivale a un paréntesis que encierra o las cantidades quese hallan debajo de él y su signo es el signo de la primera de los cantidadesque están debajo de él.

Así, la expresión onterior equivale a: ni + [4n —6) + 3m (« + 2m — 1).

m + 4» — 6 f 3 m — n + 2m — 1

Suprimiendo los vínculos, tendremos: = m + 4n —6 + 3m — ;i 2/n + 1

= 2 m ! 3 n 5 . R.

- EJER CICIO 31

S i m p l i f i c a r , s u p r i m i e n d o l o s s i g n o s d e a g r u p a c i ó n y r e d u c i e n d o t é r m i n o s

e m e j a n t e s :

1. x ( x y ) 0 x 2+)P*(x2t2xy|y)f (—x iy3].2 . x * + ( 3 x x 3+5 ) . 10 {—5?h -t 6)-í-(—» r+5)—C.3. < i + 6 ( 2 a + 3 i . i i . x + y + x > fz x + y z .4 . d m — ( — 2m — n ) . 1 2 .

5. 2 x | 3 y4 x + 3y . 13. ( x 2 y " ) + x y + < 2 x l : J x y ) [ / 4 x ) ] .I» « + (a i> )+ ( a + b ). 14. 8x2 1( 2A>r>'2] ^ x h x y :f ) ^ (x23x y)7. íT' l j ■bí + 2« 2] [f l2í > 2]. IB. { ra + ft> + ( rt b ) ( ft+«t)+(3rt+b).8. 2 a { x + a lH { a + x 3 } .

{ ' . ) Simplificar la expresión: 3a+ ^ — 5 x— [ — a - r |9x— o - h x [ |

Cuando unos signos de agrupación están incluidos dentro do otros, como eneste ejemplo, se suprime uno en cada paso empezando por el más interior.Así, en este caso, suprimimos primero el vínculo y tendremos:

3a + ¡ —5x — [ — o + (9x — a — xj] f.

Suprimiendo el poróntcsn, tenemos: 3a + { — 5x — [ —a I 9x —a —xj ¡

Suprimiendo el corchete, tenemos: 3a + ■• — 5x i a — 9x + a ~ x ¡'

Suprimiendo las llaves, tenemos: 3a — 5x f o — 9x I a + x.

Reduciendo términos semejantes, queda: So— 13x. R.

( t Simplificar la expresión:

[ 3 a ¡ b + [ a l | 2 a b | | a + fo)l I 3b} + 4o],

Empozando por los — i —3a — { b 4 | — o 4 2a — b t a —b + 2b } + 4o.m á s interiores que —— I —3er — ¡ b — a I 2a b + o — b + 3b ¡ i 4oson los párenle= — [ — 3o —b h o —2o + b — a + b 3b I 4osis ordinarios, te ^ = ?o I b —o f?o —b I o b t 3b — 4anemos; __ / = a 4* 2b. R.

EJERCICIO 32

S i m p l i f i c a r , s u p r i m i e n d o l o s s i g n o s d e a g r u p a c i ó n y r e d u c i e n d o t é r m i n o s

e m e j a n t e s :

I 2 n+ (a(a+ í / )J . 4 . 4x *+ [(x2 x >)+ (3 /* ,+ 2 x y ) ( 3 x 2fy2)].

: i x ( x + y 5 x + j ¡ | . 5 ( - 2 a + b ) - ( - a + b - c)+a }■

I’A Sí MT CS IÜ 0 6 1

7. 2 x + [—5x —(~ 2 y f {—x + y j)).8. x2 { —7 x y + (—y2+ ( —x 2+ 3xy —2ys))9 . ~ ( a +6 ) +[ - 3 a +b - { - 2 a +b - ( a - b ) } +2 a ] .

10. ( x i y ) f lx f 2 y + f x y x + y ] j.

11. —(— (ú + b)—( —2«l3b)+(—b + «—b)].12. 7 m * H —(m2+ 3 n —(5—« )—(—3+ m»*)J j —{2n +3 ).13. 2 a—( —4 fl+ b )—j ( 4 a + ( b a ) ( b + « ) ] } .

1 4 . 3 x - ( ñ y - f [ — 2 x + { y — G T x } — ( — x + > ') ] ) •

1C. Gc~[(2<Hc)+{ —(a+c)~2a~a+cY+'2<i\.

16. —(3»tln)—[2 m +{ —m|(2m—2?i—íí)}—(« + ü)] .

17. 2< H{—[.r>b|(3n—c)+ 2 —(—a + b —c+ 4 )] —(—« + b ) j.

18. - | - 3 x - K - x - £ F 5)]H ~ (2x + y)+ (—x—3 )v 2—x + y j .

20. [ ( « l b ) ) H + [ ( * « > 1 ► «+*.21. ~{-Ha+b-c)] >-j +[-(c-fl+b)j }+H —o4*(—b)\).22. —[3m+ —tu —(n—hH-4) —(»«+«)+(—2n (-3) ¡-].23. - [x+ l —(x + y )—[—xb(y —z)—{—x + y ) |—y \].

24 —[—a + { —«}•(«—b)—¡i—b + r—[—{—«) I bjj].

11. INT RO DU CC ION DE SIGNOS DE AG RUP AC ION

•18 } S ab em os q u e -------------- « + {— b i c) - n — b + c

lu eg o, r e c í p r o c a m e n t e : ----------------- * a — b + c = a I b + c).

H e m o s v is to ta m b ié n q u e — > a — fb — c ) - a — b + c

l uego , r ec íp rocamente : ----- > a — b I c = a — ( b — c).

Del p ro p io m od o , — a + b - c — d — c = a + (b el

Lo a n t e r i o r n o s d i c e q u e ¡os té r m i n o s d e u n a e x p r e s i ó n p u e d e n a gr u

|w r se d e c u a l q u i e r m o d o .l i s ta es la Ley Asocia t iva de la suma y de la res ta .Podemos , pues , enunc ia r l a s igu ien te :

EN SIGNOS DE AGRUPACION

1) P a r a i n t r o d u c i r c a n ti d a d e s d e n t r o d e u n s ig n o d e a g r u p a c i ó n p ri rd ido de l s igno • ! • se de ja a cada una de l a s can t idades con e l mismo s ig-

n o q u e t e n g a n .9.) P a t a in t r o d u c i r c a n t i d a d e s d e n t r o d e u n s ig n o d e a g r u p a c i ó n p r e -

ced ido d e l s igno — se cam bia e l s igno a cada t i na d e l as can t idades «pie seinc luyen en é l .

REGLA GENERAL PARA INTRODUCIR CANTIDADES

2 < • A « : r . i i H A

Ejemplos

(1 I Introducir los fres últimos términos de la expresión: x:l — 2xa f 3x —<t en un paréntesis precedido del signo + .Dejamos a cada cantidad con cl signo que x3 f | —?x3 :• 3x —<t). R.tiene y tendremos: ________________________ /

4Z ) Introducir los Ires últimos términos d e la expresión: x - — o z 2nb b- en tn paréntesis preced ido del signo —.Cambiemos el signo a coda ana de las tres x7 — (o " — ?<t ¿ i b‘ ). R.últimas canlidodes y tendremos: _________ /

- EJERCICIO 33

Introducir los tres últimos términos «le Jasxpresiones siguientes dentro de mi paréntesis preedido del s igno + : ________________ . _____________ /*

1. o—Mc— d.2. x s9 x y v1 ti.3. x344x23x+1.4. /t»r>(j¿>| 3 fd ' /AB. x4 xa+ 2 * = 2 x + l .

Introducir los tres últimos términos tic las

xpresiones siguientes dentro de un paréntesisreced ido d d sig no —: ___________________________ / "

2n+b- ft-d. x*+x*+8x—1.

x * - 5 x ' $ + ' ¿ x y * >J.«*—Xa 2x y—y3.( P + W - i b c - c * .

(31 Introducir todos los términos menos el primero, He la expresión

3cr + ?b —(a + 6 | — ( —2a r3 b|

en un paréntesis precedido del signo .

Cambioreñios el signo o 2b y pondremos —2b, y cambiaremos los signos quees'ón Helante de los porcnlesis, porgue cambiondo estos signos cambian los

signos de las cantidades encerrados en ellos, y tendremos:3a — [—2b + {o + b | I ( —2a + 3b H .

EJERCICIO 34

Introducir torios los términos, ilíc-tos el primero. de las expresiones si-uientes, en un paréntesis precedido deligno —: f

Introducir las expresiones siguien-es cu un paréntesis precedido deligno —: ______________________________ S

1. xl2y t(x—y).2. 4 w —2n |3 (—«!+ » ) ‘ (2m —n).3 x 3 x y + [(x a—xyjiy*].4. **3xa+l4*+2]8x(a*+3).6 . 2n 43¿* { 2 « + [o l ( b « ) }

0 . 2 a + ( 3 a + í » ) .7. 2x1:tvy—<>,=4 xy)+{—x iy*).8. x3—[—3x5 r4 x —2).11. [ m i 4— (3w3+2/» t18)]H{2w»+3).

ri i AitOKAS (5 8 5 5 0 0 ) A. C.) . Cólobrc fl lótolo• ••»«i» nacido on Snmov y muerto en Mctopontc.

da tcaliur iu« prtmuros csludiot en »u ciudul natal » l a j ó por Eg ip to y olio » paívea de Or ie nt e.A a ••ututo tun do U E»cuola de Crotona, que era

una sociedad acerola de tipo potiflco-rnliqloio, la alcanzó gran ptepondorancia. Fuu «I primorn locar .t l.t li.i*o do las cip oc ula cio nc i trlm nlu ti con cep to! fundam éntale» du l« maternal., a dol número el principio universal por «»i»l»«

C A P I T U L O

M U L T I P L I C A C I O N

( 50 MULTIPLICACION rs un a o jm-iu i i ú n q u e t ie n e p o r o b j e t o , l la -

l l a s dos can t idades l l amadas mul t ip l i cando y mul t ip l i cador , ha l l a r unai r t . i ia c a n t i d a d , l l am a d a p r o d u c t o , q u e se a r e sp e c to d e l m u l t ip l i c a n d o , e nva lo r abso lu to y s igno , lo q u e e l m ul t ip l i cado r es re spec to d e la u n idad

positiva.I I m ul t ip l ica nd o y m u l t ip l ica d or son l lamados fac tores de l prod ucto .

'■I MI or d en de los factores no al te ra el pr od uc to. Esta pr o pie da d, dem o s t r a d a e n A r i t m é t i c a , s e c u m p l e t a m b i é n e n A l g e b r a .As í , e l producto ab puede e sc r ib i r s e ba; e l p roduc to a b e puede e sc r i-

b irse ta m b ié n bac o<rd>.E-.i .i es la I .ey Conmuta t iva de la mul t ip l icac ión .

5 2 ) Lo s f a c t o r e s d e u n p r o d u c t o p u e d e n a g r u p a r s e d e c u a l q u i e r m o d o .

Así . en e l producto n b ed - a X {b a l) — {ab) x ( cd ) - ( ab e ) X d. abed , t enem os : /"

Esta es la Ley Asociat iva de la mult ipl icación.

A A L 6 U K A

3 )3 LEY DE LOS SIGNOSDis t ingui remos dos casos :

1) S igno del p ro d u cto de do s fac tores . E n es te caso, la regla es:

S i gnos i gua le s da n + y s ignos d i f e r e n t e s d a n _

En efecto:

1. (+ a ) x (+ b) = + ab,

o rq u e según la d e f in ic ió n d e m u ltip lic a r , e l s ig no d e l p ro d u c to tie n eue s e r r e spe c t o de l s igno de l m u l t ip l i c a nd o l o qu e e l s igno de l m u l t i p l i -ad or es resj>ecfo de la u nid ad pos i t iva , pe ro en es te caso, e l m ul t ipl ica do rene el mism o s igno q u e la un id ad p os i tiva : luego , e l p rod uc to necesi tan e r e l m i s mo s igno qu e e l m u l t ip l i c a ndo , pe ro el s igno de l m u l t ip l i c a ndo

s + , luego, e l s igno de l pr od uc to será I.

2 . ( a) X (+ b) = — ab,

o rq u e te n ie n d o e l m u ltip lic a d o r el m ism o signo q u e la u n id a d positiva ,l p rod uc t o ne c e s i ta t e n e r e l m i smo s igno qu e e l m u l t ip l i c a nd o , p e roste t i ene luego , e l p rod uc to t end rá

3 . ( 4 / i ) x ( b ) = - a b ,

o rq u e te n ie n d o el m u ltip l ic a d o r s ig n o c o n tra r io a la u n id a d p o sitiv a ,l p rod uc t o te n d rá s igno c on t r a ri o a l m u l t ip l i c a nd o , pe ro el m u l t i p l i-a ndo t i e ne + , l ue go , e l p roduc t o t e nd rá — .

4 . ( a ) X (— + ab,

o rq u e te n ie n d o el m u ltip lic a d o r s ig n o c o n tra r io a la u n id a d positiva , p roduc to ha de t ener s igno cont ra r io a l mul i tp l i cando; pe ro és te t i ene —.

u eg o , e l p r o d u c t o t e n d r á + . „ .+ p o r d a + .

I .o a n te rio r p od em o s re su m i rlo d ic ie n d o q u e _ ~ ~ ^ 1 ‘

p o r j_ da

2) S igno del pro du cto de más de dos fac tores . En es te caso, la regla es:

a) lil Signo del pro du cto de vat ios fac tores es | c u a n d o t i e n e u n n ú -mero par i l e fac tores nega t ivos o n inguno .

Así, (— a) x ( — b ) x (—c) X (—d) = abed

E n e fec to : Según se dem os t ró an tes , el s igno de l p rod uc to de dos fac-ores negat ivos es + ; luego, tend rem os:

( ti) x { b) x ( c) x ( d ) = { « . f>) x ( c .— rf) = (+ «f/)x(K:d)= abed.

h) f'.l Mgtio del p ro d u cto de v ar ios fac tores es — cu au d ó t iene u n a d -icio i i t ipur de factores negativos.

Asi , (—a) x { — b) X {—c) = —abe.

En efecto:( «) x ( /;) x {—c) = [ ( a ) X (—b)J x (—c) (+ «/;) X ( c) = abe

5 4 J LEY DE LOS EXPO NEN TESJ’ara m u l t ipl ic ar jx i tcncias de la m ism a base se escr ibo la m isma busf:

y no le jiyiie ]>r>r ex p o n en to la su m a d e los ex jám en los d e los factore s.

Asi, X a 2 = a i '* tS = a,J.

En efecto: a ' X a 1 X a 2 — nana X aaa x a a = aaaaaaoaa = a°.

M U L TIP LIC A CIO N • 6 5

(551 LEY DE LOS COEFICIENTES■' F.l coe f ic iente de l pro d u cto d ed os fac tores es e l p ro d u cto d e Ion m e

(¡cientos de los factores .

Asi, da x ib — 12ab.

E n e fe c to : Co m o e l o rd e n d e f a c to re s no da x i b = 3 x l x n ■ h • 1a l t e r a e l p roduc t o , t e nd re mos : / "

( 5 6 ) CASOS DE LA M ULTIPLICAC IOND is tingu i rem os t res casos : 1) M ul t ip l i cac ión de m ono m ios . 2 ) M ul-

t ip l ic a c ió n d e u n p o li n o m i o p o r u n m o n o m io . 3) M u l ti p li c a c ió n d e p o -l inomios .

I MU LTIPLICACION DE MO NOM IOS

( 5 7 ) REGLA

S e m ul t i p l i c a n lo s c oe f ic i en t e s y a c o n t i nua c i ón de e s te p rod uc t o sec i t r ibcn l as Ie t r . t s de los fac tores en orden a l fabé t i co , poniéndole a cadal e da un e x |H » i e n t e i gua l a l a s uma de l o s e xpone n t os que t e nga e n l o sla i to tes . E l s igno de l p ro d uc to v en dió d ad o po r l a lx :y d e los s ignos (B3).

Ejemplos< i 1 Multiplicar 2o* po i 3o:i.

2a* X 3o3 “ 2 X 3a'** —6 o \ R .O signo del produelo ns J porque + por + da t.

( J Multiplicar — xy- por — Smrfy9 \ — >.yi ) X { 5inx’V J = 5mx l *‘ y*‘ s = 5t» x V . R.

El signo dol producto es I poique — por — <la + .

< • I Multiplicar 3cr¿> por — 4f>*x.3o5fc X (— 4b 'x ) — — 3 X Aa'b l *3x = - I ?o*f>3x. R.

El signo del producto os — porque I por — da —.

I ) Multiplicar —ab- por 4o“i>ncs.| - o b 3 ) X v l o - b V = - 1 X 4 a 1“ 'f>2* t,c 3= - 4 a m ‘ 1b - V . R.

El signo del producto es — porque — por + do —.EJERCICIO 35

Multipl icar:|»or 3 . 3. —15 jx>r 1G. ü. 2x* po r 3 x . 7. S x 3)» jx>i x

8 I h h G 1 ‘b h3 8 *b 3 b

4m*, po r - f y n t f i p . 13. —lú x ,y1 p o r IG nV . 17. <>"!>" po r —ah.f)«“)' p o r —l>v. 14. 3rt2¿ :¡ («»r —tx“y. 18. —¡io"b" por —6a2bttx.- x - y * por —ly 'z4. II). 3«SÍ>* po r 76ax*. 10 x uy°c |««r — x"y"e*.abe po r a i. 16 —8»ri);1|h>i —9«a»iJf '. 20. —i» 'n y por — 6msn.

(5 ) Mulliplicor por —3 a " 2b*.(o * * '^ ’2 ) X ( — 3o "*b* ) — — 3a**, ' ” "b’”"‘:i 30**6“*. R.

(61 Mullip licor — o " " ,b " " * por -

| o” ,1b " ) X | 1= 4o*" 'b*' . R.

EJER CIC IO 36

Multipl icar:a"‘ po r o'" *1. 6. Sx2)'1 po r 4x", ,y" ‘ 2.—x ' p o r —x " ' . 7. 4x* • Vr* *•* po r -^^x ’" . ‘>b í ^ , .

4a"b* p o r —«i» * '1. 8. a"'b"c po r —n"b'in.— an , l b " r> po r a n*sb" . 9. —x* " ')>*• po r — -3 ií"• •/»"-* por — 4 « "' "/) * * :i. 10. ó w ’o" >c j io i — 7 r« -*_i' n t’ “ J.

M JJ17 > Multiplicar j o sb por • ‘o*/».

I O7b 11 — icr'm ) = —; X ;Oflbm = —,*ar,bm. R.Ü 4 . 1 4 «

18) Mulliplicor — j x V por — x uy ', ,i

i * x v ) f S * v * ) = * .* y ,I ,a = 7 « "* V “ *■

EJE RC ICIO 37

Elcctuar:

— a - ] K > r - - a * ! ) .

{/n 'a por — r t,J» i!l.

*x2y* p o r — {a2x«y. /i ••

— ‘ «sn■, po r — ~a*in3r/.

— - -abe por ~o:i .

- ± x y p o r « * < 7 * .

PRODUCTO CONTINUADO

M u ltip lic a ció n «le m;«s «le «los m on om ios.

• A tC ÍB R A

7. 7 « por n

8. — —si" i [»or { a b * .

9. —amb nc por -*üab*c .

10. — —a'bti»• *i po r *a*“ , frni.

11. —amb" M

por - {« s» 6*

12. - i . . . ibi~aci j>or —

Ejemplos (11 Efectuar ( 2 a | | - 3 o sb | | - o b * | .

< 2 o | |-3 o Jb H - o b ,) - « ío ' b ' . R.

12) Efectuar ( x * y ) \ - 3 x » ) f jo V ) .

(— xy I I Jx“ ) ( J o V J = V ' 1 R

El signo dol producto os — porque tiene un número impar de {adores negativos

MULTIPLICACION • 6 7

EJERCICIO 38Multiplicar:

1. (a)(3 a)(a ). 7. »').

(3 x* ){-x*yX -a*x).

^ 7/\ “ *V* « %(_ m2nX_ 3m iK _ 5 m n l). 8. ( T m > )(r,ü^ ) ( a «m‘).

>. (—a'*)(—2«lr)(—3«a¿r*). 1L. (n "6* )( a s) (2 a í» ) (3 a ax).

«. < £ * * ) < i 2.

I I M UL TIPLICAC ION DE POLINOMIOS POR MONOM IOS

5 9 1 S ea e l p r o d u c to (a I b)c.

M ult ipl ica r (n i b ) p o r c eq u iv ale a tom ar la su m a {fl 4 b) c omo s um an do c veces: luego:

(a + b)c — {n + b) + ( a b) p (ti t b ) c veces

( f l + i i a c veces) + (6 + b + b . . . . c veces)= ac + be.

Sea e l p roduc to ( a - b ) c .

T e n d r e m o s : ( o - b ) c - { a - b) + (« — &) + {« —b ) . . . . c veces= (a + a + a . . . c vec es) (0 + b + b . . . c veces) — ac — be.

Podemos , pues , enunc ia r l a s igu ien te :

6 0 ) REGLA PARA M ULT IPLICAR UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

S e mul t i p l i c a el m o n o m i o p o r c a d a u n o d e l o s t é r m i n o s d e l p o l i n o -mio , t en iendo en cuenta en cada caso l a reg la de los s ignos , y se separanlos productos parc ia les con sus propios s ignos .

Es ta es l a Ley Dis t r ibu t iva de l a mul t ip l i cac ión .

Ejemplos( I ) Multip licar3xs— óx+ 7 por 4ox®.

rendremo»: (3xa — 6 x + 7|X A a x2 — 3x2(<1oxs} — 6 x { 4 v x J \ + 71= 12a** 24ar* + 2 W . R

3x2 ó * + 74ax2

lo operación suele disponerlo olí: /

• A L C i& O A

a3*- 4aV + 5ax4- x4) M u ltip lic ar a :lx 4 o2x 2 + 5 a x ! x4 ~ 2t*X _____________________________ _____

p or - 2 o 2x . -------------------------------- _ 2 a V . + Ba4¡(, _ 1 0 o V + 2 o*x

) M u ltip lica r x Mly 3x*y2 + 2 x * V x l' V p or 3 x2y ” .

x '" V 3x°y5 + 2 x ‘ V *“ V 3x2y“

3x"»y“ »« H _ óx'y®*» |. 3 * y » 4. R.

ERCICIO 39

ult ipl icar:

*—x 2 ]>or —2x. 10. a” —«“ H n” 2 po r 2«.ay~3y2 p o r 2<*x3. 11. x m r+ S x 1"!*” ’ po r 3x Jt”.— 4 x + 3 po r —2x. 12. a ’' íi » + a » i i " i » ú , ,=itn ' ! po r —4a-+(\a por 3a£». 13 xs—3x2+ 5 x —6 p or —4V2.- 2 «b+b- ¡xn —afc. 14. a* 6tí*x i ÍM1* 2—8 [K>r 3l»x*.

» 6 x 3 8 x p o r 3r?x2. 10 a " 3—3 a "'24<J*4' 1— a" po r a ^x2 .•'—3t»s«s + 7 n 4 po r —4w»*x. 16. x 6x*48x2—7 x + ó p o r 3 a 2x3.—4x*)'+6xy* por axay. L7. —3x*+5x2y—7x)'2—4y3 po r f>a2xy2.—5«2&— V<¡b* por —ta4m2. 18. x » * 4—3x* * 4+ x * 4 *—5x*' i por 2 x 2.

lü «*— 8«*6*+i »n po r ~Saay2.20. « ' " i » ' 3—a"~9b* 4 6 p o r 4a ,,¿ 3.

) M u ltip lica r p c V — V y 4 + V p ar ? o 2x*y9.i «• l* 4*

f « y J x V + ; y*

= o V y 4 + f a V y ’ o V y * . R.z» ' ir» «¡i

ERCICIO 40

ult ipl icar:

2 , 2a •"& po r ,a* . G. 3a 5b + Gr.‘ p o r ^fl2Xa.

3 , a ai« — jx>r 7. l x« _ xy + i y « po r * * y .

1 , 2 n „a —0 t —r p o r —jflí*. 8. ^ V l V ’ ^ 2 p ° r —

a* + /tb — —b- p o r 3a’x. 0 7 » n * + — 7 rwn2 — ~M3 ]tor y / n 2» 8.

o 2 * o „ 3 %* * 7 1 7 751® IK) 7 7 10

M U L T I P L I C A C I O N 69

I I I . MU LTIPLICACION DE POLINOM IOS POR POLINOM IOS

61 ) S ea e l p r o d u c t o (a + b — c){m + n) .

H a c i e n d o rn -i-u — y t e n d r e m o s :

(a + í; —c) {m + « ) = {« + b — c)y = ay + b y — cy

{sus t i tuyendo y p o r —d (m + n ) d b (m + r¡: m >,

su v a lo r m + » ) ------ — ------------------------------------► - a»¡ \ a n b tn i bu e tn

— am + Itm — cni an hn

P ode mos , pue s , e nunc i a r l a s i gu i e n t e :

6 2 ) REGLA PARA MULTIPLICAR DOS POLINOM IOS

S e m u l t i p l i c a n t o d o s l o s t é r m i n o s d e l m u l t i p l i c a n d o p o r c a d a u n o d r

l o s t é rmi nos de l mu l t i p l i c a do r , t e n i e ndo e n c ue n t a l a L e y de l o s s i gnos , yve reducen los t é rminos semejan tes .

Ejemplos( ! I Multiplicar a 4 par 3 T rr.

Los dos factores daban ordenarse con lalación a uikjmisma la Ira.

Tendremos: a —4a + 3

a 4 o + 3

o |cr| — 4(a )•I 3(o) — 3|4) o sea u 4 a3 a 1?

9 » a — 12. R.

Hemos multiplicado el primer término del multiplicador a por los dos tórminos del multiplicando y el segundo término del multiplicador 3 por los dostérminos del multiplicando, escribiendo los productos porcioles de modo quelos términos semejantes queden en columna y hemos reducido los términossemejantes.

( 2 ) Multiplicar 4x — 3y por — 2y + 5x.

Ordenando en orden descendente con relación o lo x tendremos:

4x 3y5x — 2y

4x 3y5x 2y

4x(5x) — 3y|5x)4 x |2y j + 3y(2y)

o seo 20x2 —15xy. 8 xy + 6y :

20x* —23xy + 6y-. R.

EJERCICIO 41

Multipl icar:n+3 por a—1.n 3 p o r n+1.x + 5 po r x —1.mi — 6 por, mi —G-

6.7.8.fl.

—a—2 jior —« —3.3x2y por y+2x. —Iy+f>.v por 3 x + 2 y .5a—7b por CI+3Ó.

11. — a + b por 12 Owi—5» p<13 fin—9mi j k I!. —7)'3

® ALGfORA

<31 Multiplicar 2 4 o2 — 2o — a 5 por o 41 .

Ordenando en orden ascendente ^con relación a la a tendremos /

2 ?o + o5 o 31 + o

2 — 2a + o * o 32a 2a* + rr1 — o4.

2 - a 3

(4 ) Multiplicar 6y3 42x2 —5xy por 3x3 — 4y3 4 2xy.

2 x * 5 xy + 6 y23x3 • 2 xy 4y*

a4. R.

O r d e n an d o e n o r d en d e sc en d en te , ^ x 15 x y 4 ' '® * V ‘

c on r e la c i ón a l a x te nd re m os : / ^ ~ 1° XJ + 8x7y 4 20xy3 24y4

6x‘ I IxV

< 5 1 M ul tip l ica r x 4x2 t x* 3 po r x* 1 H 4x2.

x* 4x* + x 3x3 4*1 I

4 3?xys — ?4y4. R.

Ordenando en orden descendente 4x* I x4 3x*

con relación a x, tendremos: Z ' *x" ~ 'óx4 44x3 — 12xa x3 + 4x J x 4 3

x* — 15x4 8x* — x 4 3. R.

(6 I Multiplicar 2x — y + 3z por x — 3y — 4r

EJERCICIO 42

Multiplicar;xa4xy4y* por x —y. a¿ \b -—2ab p or a —fe./ií+feíf2fffe por «4fe.

x, 3 x s+ l p or x+ 3.<**—«4a* p r a 1 .w 4f w 3« at «4 jK>r tn¿—n ,

x*~2xa|3x—l por 2x43dy'+Süy por y i 2.

13.14.15.

16.17.18.19.20 .

2x y * 3zx — 3 / — 4z

2x2 xy i 3 xz 6xy t 3 y 2 — 9y z

8 x 7 | 4yz — 12z*

2 xa 7 xy 5 x z 4 3y= 5 yz 12 r* . R.

x*42xa x por x*—2x45.w 3—3» "n-i-2mri- p or ma—2 m « 8 » 2. x i + ) J x po r xa— x — 1.

2 3 x lx ' |>or xa—2x43.rw*4rnrwr—1 por «1*41.a3 óa42 por a a—ad5.x:‘ 2x>Hy por xy—x*'|3y2.ny 2m41 por « a—1.

M U LT IP LIC A CIO N • ^ |

O J L . 7 7 1 .7 77 1 (7 17 1 0 7 1 1 — ¿ 7 7 1 1 I

32. 7í:, í i+ / izt 1 po r <r'+rt»—2(1 I.33 Sx3lL ^ ' < ix y l > ' por :tx" i 1 / 84. —3«+2«2—4«3— I poi a '-35. x1 x 3K v x ll por x»2xst3x ni

36. 3«4— b a + , ¿' i 2— 4 j«>i <!*+«’ J.i i I37. 5>'1—'{)■•l>' l2y p o r33. ro 1—2ni*M +3inBrt*—4 n 4 por h " ¡5mn1 3mH m 3.39. x e—3x’,)ia— x^y '+ y0 po r x s—2xay*+8x>''.40. 30<‘C « r42 n 3 « (2 p or «< 3 fl+ 4« 5 .41 . a+b—c por a—6 r C .

42. x r 2 y ~ : (K>r x —y‘ z.43. 2x - 3 > t 5 l |K i r y+2i x .44. x1 ) y 112' xy x z - y z por x+ y+ z.

(63 jM U LTIPL íCA CIO N DE POLINOMIOS CON — EXPO NEN TES LIT ER ALE S

o 11’ — ?o ,r" ' —4o" 2 o

<I 1 Multipl icar o” , ! - 4a"1- So " '* por o8- 7a. o" " 1 - 2a" "3- 4a ,, ,:2a« »a |4 a“ ,s I O.. *

o1" ' — 4a""3 +8 d"*

< I M ul ti pl ic ar x l t i - 3x“- *■** + x s por x"’1 4 x* f 4X*1.x*‘ £- x “ *- 3x'•+ x ' - ‘x*” + x ‘ + 4x* 1

x ü ».2 _ XS » I _ 3 x 2 .. + „ 2u l

^x31’ *1 - 4x,n- 12x3"- ' + 4x-’" “

x!l» l 6x^ _ | R

EJERCICIO 43

Multiplicar:1. <l' ' ‘ t « ' *2 |*)i «+1 .2. x " ', + 2 x ,»!£—x “ 3 po r x|x.3. /ti’ ’ , |i/ix f , |jrí* **—« ' p o r m -—2m+3.i. «" ' *2 rt"+í)/ir' ' jio r ri‘+ /r" •fi x’“ .v‘ I 2x“*1 ]K>r x ^ ^ x * * ’ .6. 3rt*J 2 r t ‘~ulri‘ po r a*l2a—1.7. 3rt*'* .nt - '2A' por a*~axti. m “ ' ‘—2 mi* * m ‘ 1 1' p o r ‘ *r 9. x*M2x‘ 3x * x« * po r x* : v - x '

10 n"b—/>" ,5a+2rj"*fc1 |xji /¡' b ^—a"~sb ,.

11. «*+6* po r a l"+ 6 “ .12. /i’ l—0a~l Jior a—b.13. ri?"' • 1—5aJ"' * ®+3o'" po r 14 x*•7 ' 1 . 3 x»y • ' | x * • '>•• pro -2X8* - ') '* - I0 x 5" 3y«— tx5*’ ; y ' >.

• AtCIBKA

4 ) .4 J M U LTIP LICA CIO N DE POLINOM IOS CON C O EF IC IE N TE S FR AC CIO NA RIO S

Ejemplos

( 1 ) Multiplicar * xa— jx y por \ x — pr. * í * *~ Xo — V*'x*y

j x 8y + ¿ x y a

1 .. as , , < .. „;x « x * y | . x /s. R.

lo s productos de los coeficientes deben simplilicoise. Así, en este coso, tei , , i 2 _ 1 *. 1 i a

nemos: 5 X 5 — ; ¿ X; = = .

(2 ) Multiplicar ^o3 I |b*' —£cb por ^|az —y.db —] b 2.

5°B > + - >

! a a _ l ah - l y

i y - L 03b + ‘# a V

Jcr’b + ¿ e r b ' ' J o b 8

8» EJER CIC IO 44

Multiplicar;

1 . í . i ,

* ” 7 P °r r , + T &S 6 , I

j 7 p o r ,¡y + T x .

x'j + p °r } * - i? -

a8 — ob + ^62 po r ^

! por \ a - f b. 8. fx 8 + ^ * y * — Jxay |>or Jx2

i, 1 , 1 , 1 , 1 , * „ 1 , x7 + T " 7 X + “7X I*,r T x “ 7 + u x>

• imP + S

: + ± x _ i . po,. 2X3 ¡x + 2

(tx - 4 x2+ \ * n T * * “••• 3 * s

1 , 1 , —Y x *y iK,r 7 x •

MULTIPLICACION POR COEFICIENTES SEPARADOS

L a m u l t i p l i c a c ión de po l inom ios po r e l Mé todo de c oe f i c i e n t e s s e pa -rados abrev ia l a operac ión y se ap l ica eu los dos casos s igu ien tes :

1 ) M ul t ip l i c a c ión de dos po l inom ios q u e c o a t e ng a n un a so la l e t ra )es tén 01 den ado s en e l m ismo o rde n con tc lac ión a esa l e t r a .

M UL TI PL IC AC ION • 7 3

(1 ) Multiplicar 3x3 — 2x» + 5x — 2 por 2x* + 4x —3 por coeficientes separados.

3 2 + 5 22 1 4 3

Escribimos solamente los coeficientes con sus , 6 — 4 + 1 0 4signos y efectuamos lo multiplicación: '' I 12 — 8 I 20 — 8

9 + 6 1 5 + 6

6 + 8 7 + 22 23 + 6

Como el primer létmino del multiplicando tiene x3 y el primer termino delmultiplicador tiene x3, ol primer término del producto tendrá x5 y como en lo»factores el exponente de y disminuyo uno unidad en coda término, en el pro-ducto el exponento de x dismiouirá también una unidad en codo létmino, lar-go el producto será:

6x* + 8x* 7x* + 22*» 23x + 6. R.

Ejemplos

(¿) Multiplicar o1— 6a1 + 2o — 7 por o* —2 a + 4 pot coeficientes separados.

Escribimos solamcnto los cooficicntes, j Q _ 2 + 4 pero como en el multiplicando falta —— el término en a* y en el multiplica 1 + 0 —612 — 7dor falta el término en adscribimos —2 —0 + 1 2 — 4 + 1 4cero en los lugores correspondientes . + 4 + 0 —24 | 6 —28a esos términos y tendremos.

1 + 0 6 1 6 5 28 + 22 28

Como el primer término del multiplicando tiene o'* y el primoro del multipli-

cador tiene a”, el primor término del producto tendrá aT y como en los facto-res el exponenle de a disminuye de uno en uno, en el producto también dis-minuirá do uno en uno, luego ol producto será:

a T 8oB+ 6o« + 5o3 — 28o= + 72a 78. R.

O B S E R V A C I O N

Si en ambos foetoros el exponento do lo letro común disminuye do dos en dos,de tros on tros, do cuatto en cuatro, etc., no es necesorio poner cero en loslugotes correspondientes o los términos que falten; sólo hay que tener presen-to quo en el producto, los exponentos también bajarán de dos en dos, de lie»

en lies, de cuatro en cuatro, etc.2 ) M ul t ip l icac ión de dos |K>Iinomim hom ogéneos qu e co nten ga n só lo

I c u a s c o m u n e s y «a tén ordena do s en e l m ismo ord en c on r e lac ión .1 un alas letras.

7 4 • AL6 CUHA

U n p o l i n o m i o e s h o m o g é n e o c u á n d o t o d o s s u s t é r m i n o s s o n h o m o g é -neos , o sea , cuando la suma de los exponen tes de las l e t ras en cada té rminoe s u n a c a n t i d a d c o n s t a n t e .

E l p ro d u c to d e d o s p o l in o m io s h o m o g én eo s e s o t ro p o l in o m io h o -

m o g én eo .

Multiplicar a4— 5a8in+ 7a2rns— 3m4 por 3a2— 2m- por coeficientes seperodos.

El primer polinomio es homogéneo,porque la suma de los expórtenlesde las letrasen todos los términos es 4 y el segundo también os homogéneo, porque lo o tienede exponente 2 y lo m también tiene de exponente2.

Escribimossolamente loscoeficientes,poniendoceroen elmultiplicando enel lugar correspondiente ol término en om;l que falta y partiendo ceroen el mulliplicodor en ol lugar correspondiente al término n i ato que falto, y tendremos: / "

El primer término dol producto tondró o4 y, como el producto es homogéneo, lusumo de los cxponcnlcs de las letras en coda término soró 6.Corno en los factores, el exponento de a disminuye una unidad en cada término

yelden ioumenta uno unidodencada termina,en ct producto se cumplirá la misma ley, luego el producto será:

3oe 15o5m + l?a1m* + ICa’m1 X<rm* + 6 m «. R.

■>- EJERCIC IO 45

Multiplicar por coeficientes separados:

1. xa- x 3+x por x'2—1.2. x ‘+3xa—f>xa+J) |ror x* —2x*—7.

3. a4+3u*6 2irEí»2l3«í»8— b* jhw az—üab+b*.4. »i3+M3+6»»na 5mn por rwa—4w»n'—rr1.5. x4—Sxa+ 3 por x 'G x' 'ñ .0 a*—3e4—<xi3+10 por a*—la^+Se4— 2a-.7. x*—4x*+3x*—2 por 3xrt 8 x a+;l0.8. m ,a —7m Hl9m4 15 po r m**—5w ,a+íl««*—lt/ r4+3.9. xR—3x4y—6x:iy>-4x'-!y, --y* p o r 2x=+4y*.

tO- C«B—l/i -rtío—2 por a4—2«s+a 7.11. ne-3n«+5n! -S«+4 por n4—3wa+4-12- 3x4-4 x ay -y ' jx»r xs-5xy?-r3yí-13. x 1"—5.v'ly4t 3xJyM(i>,,<‘ p o r x " 4 x 4y ? y * jx Jy4.14 n " —3a,,,“,+5a"’~s |sor ICi a* • *—5 a '' 7«,_l |>or dxf6a*^,+ 7 a í* s.10. x* ♦a—5x*—(íx*-2 |xrr Gx* * ,-4x»+2x*-, +x4“».17 t r r )(Ju t |Mjr a J ^x« r rtS•+G<»*■•

1 5 + 7 + 0 33 I 0 2

3 - 15 + 21 + 0 - 9 2 + 1 0 1 4 0 + 6

3 - 1 5 + 1 9 + 1 0 - 2 3 - 0 + 6

Ejemplo

66 JPRODUCTO c o n t i n u a d o d e p o l i n o m i o s

M UL TI CL IC ACt OH • 7 5

EjemploEfectuar 3x(x+ 3)(x- 2) |x I- \\.

A l poner los factores entre paréntesis la multiplicación está indicada.La operación sedesarrolla efectuondoel producto dedos factores cualesquiera; estoproducto se multiplica por el tercer factor y este nuevo producto por el factorque queda.Así, en esto caso efectuamos el producto 3x(x4-3|“ 3x"+ 9x. Este producto lomultiplicomos por x—2 y tendremos:

3x2+ 9x 3x*+ 3x2 - 1 8 x

x — 2 _ * + 1------------- Este producto 50 *3x3+ 9x- multiplico por x+ 1: X 3 xH -3x3- 18xz

— ¿x *— 18x 3x*-h 3xg— 18x

3x*+ 3 x * - l8 x 3x«+ ¿ x » -1 5 x 4 - | 8 x . R.

Envirtudde la Ley Asociativade lomultiplicación,podíamostambién hober halladoe l producto3 xfx-b3) ; después el producto ( x — 2 ¡(x + l | y luego multip licar ambosproductosparciales.

EJERCICIO 46

Simplificar;

1- 4(n f-5)<«-3) . 8- ( x *— x-|-l )( x 2+ x — l ) ( x — 2).3- 3a8( x + l ) < x - I ) . »• (a“ -3 ) (a « -H -2 )(< i" '- , ~ l ) .3. 2 (tj3 )(« J) (fl+ 4> . 10. a (a —!)(« —2)(«—3>4. (x8+ l) ( x 8 l) ( x * + l) . 11 (x —3)(x | 4)(x—5>(xf 1).ú. m (m — 4 )(r»— 6)(3nr+2 ). 12- (x8- 3 ) ( x - + 2 x + l ) ( x - l ) ( x z-l-3).■i 13. <i„?(3a-2)(2a-l-i ) ( « -1 ) (2a- 1 ) .V 3x (x8- 2 x -H )< x - 1 ) ( x + l ) . 14. a * ( a * - ' + b ' •*>(«»■»

( 6 7 ) M U L T I P L I C A C I O N C O M B I N A D A C O N S U M A Y R E S T A

1) S impl i f icar (x l 3 )(x —4 ) + 3(.v l) (x + 2).

E f e c tua r e m os e l p r i m e r p r od uc t o ( .v i 3 )( x 4 ); e f e c tua r e m os e l s e gun-do p r od uc t o Ü(x — ! ) ( x 4 2 ) y s um a r e m o s e ste s e gund o p r o du c t o c on e l p r im ero .

Efec tuand o e l p r im er p ro du c to : (x + 3 ) (x — 4) = x 8 — x — 12.

E f e c t ua nd o c l s e gundo „ p ro d u c to : r 3 ( * l ) ( * + 2 ) = 3(*> + , 2 ) = 3*» + 3 * 6 .

S u m a n d o e s t e s e g u n d o p r o d u c t o c o n e l p r i m e r o :

( x J x 12) I (3x* f 3x t i ) x* x 12 + 3*a I 3x 6 4x® + 2x 18. R.

7 6 A U G tB RA

2) Simpl i f icar x (a b j- 4 x(« + 6 ).

E l e v a r u n a c a n t i d a d a l c u a d r a d o e q u i v a l e a mu l t i p l i c a r l a p o r s í mi s-

m a; as í (o — b y eq u iv ale a (a — 6 )(« — 6).

D e s a r r o l l a n d o x ( n — b)- . x(a — b f — xfa2 2ab + b'¿) = a- x 2a b x + b ' x .

D es ar ro llan d o 4x(fl I b)-.

4x(fi + 0 )' — 4x(a 2 + '¿ab + bv) — 4a¿x I üabx + 4 6 a*.

a -x —2a b x i b'-x {4a7x + 8 a b x + 4 6 a* )= a 2x 2a b x I b -x - ia - x - 8a b x - 4 b 2x - - 3«* 1 Oa/>x 362x. R .

R e s t a n d o e s te s e g u n d op ro d u c to d e l p r im e ro :

» E JE RC IC IO 4 7

Simplificar:

+3)+5(x+2).*+4)-3(x-+ l)-l-5(x*+2>.-x ) t3 fl(x + 2« )« (x —3«).y*+l)-Ht*(x*+l)~ 3 x V .*—5»m 3+3 m '-(m2+>( ' ) —3 m (>« n i). + xy -*» (x*+ l)+y s(x* f 1 )— 1 >. +2)—(x+l)(x+4)—6x.

5Va—5)—3(a + 2)(« —2)+ 5 (e + 4 ).6)(4 «3 6) (y e2 6)(3 f l r6)+6)(3aC,6) .-c)--(a—c)2.

11.12 .

13.14.13.16.17

18.1Ü.

3{x+y)=4<xy)a+3 x2 3 ^ .(w + « )4—(2fnlw)a+(w i—4«)2.

x(a \ x ) | 3 x (a + l> ( x !)(«■12x) (/ ix>*«I6—«r)?.+(<r—6N:)a—(rt+6+e)“.x’l x .3>l ( x * 2 + *)*+(**■ x —3>*.'x+y+í)»(xly)(xy>+3(xs+xjt I >)•■v+{2x—3)l [3x—(x + l)] l4x— x2.

3<xl 2)4{x+l)][3(x+4)2(xl2)] .(rntn)(r/í—fi){m|»){”l+«)][2(»»ln)- 3 ( 0 ) - 7 i) {.

[{xty)a3 {xy )2)[(x+y)(xy)+x0'>)]

SUPRESION DE SIGNO S DE AG RUPA CION CON PRODUCTOS INDICADOS

jemplos { i ) Simplificar 5a -I-( a — 2 [a + 36— 4(a+ b )] }.

Un coeficiente colocado ¡unto a un signodo agrupación nos indica que hoy que mul-tiplicarlo por coda uno de los tómanos en-conados en el signo do agrupación. Asi.en esto coso multiplicamos • 4 por a h h, __

y tendremos: _____________

Sa + ^ o —2 ( a + 3b — 4o — 4b ] }.

Un ol curso de la operación podemos reducir térmi-nos semejantes. Asi, reduciendo los términos seme-

jantes dentro dol corchete, leñemos:.

Efectuando la multiplicación de —2 por| 3o b ) tenemos: /

5a + {a — 2 [— 3a —b j }.

Í a l í a 6a I 2b}&H ( 7a I 2b}5a I 7a I 2b »2o I 2b R

CAMBiOS OE 1ICN05 » 7 7

(Z l Simplificar — 3|x I y) —4 [ —x + 2 { —x I 2y — 3 |x —/ I 2) ¡ —2x].

3(x + yJ 4 ( x + 2{ x t 2 y 3 | x y 2) — 2*|3x 3y 4 | x I 2 ] —x f 2y 3x + 3y + 6 } • 2« |

3x —3y —4 [— x I 2 4 x + 5y d 6¡ 2x|3x —3y 4 [ — x —8x + lOy 1 12 2 x ]3x — 3y — 4 [ —llx l 1 0 /+ 12]3x 3 / I 44x 40/ 4841x —4 3/ —48. K.

EJERCICIO 48

Simplificar:

1. x —|3a42{—x+ 1)].2. <rH b) 3[2af¿>(—a+ 2)]

8. —[3x2y I (x —2y)—2(x—y)—3(2xT 1)}.

4. 4x2— 3x+ 5—(—x+ x(2—x)]

5 2 a—¡ —3 x+ 2[—a|3x - 2 ( - a + b - 2 T á ) ) } .

6. «—(x + y )—3(x —y )+ 2 [—( x 2 ) ’)—2(—x —y)J.

7. m ( m + » ) 3 ( 2 m i [ 2 m + n I 2{ 2 +w )— m - r n —1¡

8 —2(a —6)—3(<t+2b)—4{ a~'¿b+2[—a+li—l-i-2(a—b)1}.

9. —5(x|y) (2 x—yr2{ —xly 3 —x —y—l}]i2x.

10. m — 2 m + « —2 3( t w—»+l J ) +m}) .

u . —3(x —2 y)+ 2^ —4(—2x—3 { x + y ) ) ( x + y ) ]

12. 5 ^ ( f l+ b ) 3 ( 2 f l+ 3 6 ( fl + ¿ » ) + < < i 6 )+ 2 ( fl + f r )) o ^

J4. ^ + í — 2 (a í» )l3 {[2 «lb 3 (íj fb l} ] } ; i ( a d 2 ( l+ « } ] ^

í 6 9 ) CAM BIOS DE SIGNOS EN LA MU LTIPLICACION

Las reglas genera les para los cambios de s ignos en la mul t ip l icac iónson las s iguien tes : (+«) (+b) = + „¿, y ( ~a ) ( - b ) = + a b .

I) Si «¡e cam bia el signó a u n n ú m ero p a r de factores, e l sign o del p io d u c to no varía .

Un efec to : Sabemos que

( + a ) = + ab y ( — a) (—b) = + ab.

donde vemos que cambiando e l s igno a dos fac to re s e l s igno de l p ro-duc to no va r í a .

Suprimiendo prime-ro el vinculo, ten-dremos: y

2) S i se cam bia e l s igno a u n nú m ero im pa r de f acto re s , e l s igno de l

duc tn var ia .

En e f ec to : Sabemos que

( + a) ( + b ) - \-ab y ( + « ) ( b ) = — fíb o { a) (+ b ) = — a b,

t dc ve m os que c a m b i a ndo e l s i gno a un f a c t o r e l s i gno de l p r oduc t ota.

C ua nd o los fac to re s sean po l inom ios , pa ra cam bia r le s e l s igno hay qu em bi a r e l s igno a c a da un o de s us t ér m i nos . A sí, e n e l p r o du c t o (a — b )

d). p a r a c a m b i a r e l s igno a l t a ct o r (a b), hay que e sc r ib i r (b a), donvemos que a, que t en ia + , ahora t i ene —, y b , qu e tenia —. t iene ah o -

I ; p ara ca m b iar e l s ig no a (c d) h a y que e s c r i b i r (d — c).

P or t a n t o , c om o c a m bi a ndo e l s i gno ( a - b ) ( c - d ) = ~ ( b - a ) { c - d )

m h e m o s 0 r p ro d U r t° U & M ' < a f e ) ( c d ) = < * b ) ( d c >

o tilo c a m b i an d o el s ig no a tíos fac to res f a b U c — = )(d — r\ pr o du c t o n o va r ia de s igno , t end r em os : ' ' r \ r

Tratándose de más de dos fac tores apl icamos las reglas genera les ques d i c e n qu e c a m b i a nd o el s igno a u n nú m e r o p a r de f ac to re s e l p r oduc t o

v a r ia de .signo y ca m bian do e l s igno a un nú m ero i tn ju i r d e f ac to re s elo d u c to varía d e sign o .

Asi. tend rem os : (i a) (+ b)<+ c) = — ( n) (•! b )(r c)

(+ « ) (+ & )(+ C) — ( I a ) ( b)(+ c)

( + « ) ( + b ) ( + e ) = ( « > ( 6 > ( e)

tam b ié n : ( + « ) (+ 6 ) (+ c ) = { a ) ( 6 ) ( + c )( + « ) (+ b ) (+ t :) = ( + a ) ( 6 ) < C >( + « ) (+ b ) ( | c ) = ( « ) < + b ) ( - c ) .

. .. (<i 6)(c — d)(m — »)=* —(6*o){c —d)(m —n)Si se t ra ta de poluto (q b )( c _ _ „ j _ _ _ b){d _ c){m _ „ )

os , te nd r e m os : / ^ ^ _ d ) { m = a)(</ _ _ m)

ta m b ié n : (<i b) (c — d ) ( m — n) — (b — á )(d — e ) (m ; : n)( í t b)(c — </)(ni — « )= { « 6 ){ d —c )(u — m)(« b ) \c - d )( m - » i = {f* « ) (c — d ) (u m ).

7 8 • ALCIRHA

P L A T O N 1 4 2 9 - 3 4 7 A . C . l U no do l oj m i i f i i i u l n lil.'. iofoi do ta Antigüedad. Alumno predilecto do Só- i ' i i n , dio a conocer las doctrinas clol Maestro y las lu v n propias «n los famosos Diálogos, entre los que • - In u la n el Timeo, Fedón, el Banquete etc. Viajó

por el m undo griego de tu ¿po ca, y recibo la m il,., cia de los sabios y matemáticos contomporánror ¿I . A lca m ó pleno dominio de las ciencias da su tUa po. A l fundar la Acade m ia bis o inscrib ir en el Ir... tispicio: "Que nadie entre aquí si no sabe Gcomalna

CAPITULO

D I V I S I O N

7O) 1A DIVISION es u n a ope rac ión q ue t iene p o r obje to , «lado e l pro-du c to d e dos fac to res (d iv idend o) y u no de los (ac to res (d iv i so r) , ha l la r

e l o t io factor (cociente) .

D e e s t a d e f i n i c ió n s e d e d u c e q u e e l c o c i e n t e m u l t i p l i c a d o p o r e l d iv i-s o r r e p r o d u c e e l d iv id e n d o .

Asi , la operación de dividir G/t- e n tr e :•!», q u e se in d ic a (¡re r ?,n ó ~ .

m u s i s t e e n h a l l a r u n a c a n t i d a d q u e m u l t i p l i c a d a p o r :Ut dó (jt r . Esa ca n-t idad (cociente) es 2a. f.flS

Es ev id en te q u e = — — 3a, d o n d e v e m o s q u e s i el d i v id e n d om- d i v id e e n t r e e l c o c ie n t e n o s d a d e c o c i e n t e l o q u e a n t e s e r a d iv i so r .

cación: .Signos iguales <lan )■ y .signos dife ren tes da n

En e lec to :

• , + ab1. ! « />!+«=•

p o iq u e el c o c ie n te ' \ ‘ 1 > por e l d iv i so r t i ene qu e dar e l d iv iden docon su s igno y s iendo e l d iv ide nd o pos i tivo , cu ino e l d iv i so r o pos i tivo , el

01112095

oc ie n te t ie ne qu e se r pos it ivo pava q ue m ul t ip l i c a do po r e l d iv i so r r e p r o-

duz c a e l d iv ide ndo : (+ a) X (1 b ) = + ab.El c oc ie n te no pue de se r - b porque mult ipl icado por e l divisor 110

ep rod uc e e l div ide nd o: (+ tf) X (— b) = —ab.

2. — ab ■— a = — = -i b p o r q u e ( — a)X (4 b) — — ab.

3. + ab í— a — = — b p o rq u e (—a)x (— b) — + ab. —a

h. — ab + + a = ~~ ~ ~ = ~ b p o rq u e ( + «) x ( b) = — ab.

E n r es u m e n : + e n tr e + d a + .

e n tre — d a +•

+ e n tr e — d a —•

— e n tre + d a —•

LEY DE LOS EXPONENTES

P ara d iv id ir poten cias d e la mism a base se de ja la m isma l iase y se 1>

p o n e d e e x p o n e n to la d ife ren c ia e n tr e e l e x p o n e n te d e l d iv id e n d o y el exla m e n te de l d iv i so r .

Sea e l cociente a i s «l . D ecim os q u e

a>+ a i = - =u3

a ase n ie l coc iente de esta divis ión si m ult ip l icad a po r e l divisor a6 r e p r o-duce e l d iv idendo, y en e fec to : a2 X «3 = er.

LEY OE LOS COEFICIENTES

El coef ic ien te de l coc ien te es e t coc ien te de d iv id i r e l coef ic ien te de ld iv idendo en t re e l coef ic ien te de l d iv isor .

En efecto:20ztJ 4 5a = 4a

•ln es e l cociente porque 4a x 5a — '¿Oa2 y vemos cjuc el coeficiente delco cien te 4 . es el c ocien te de div idir '¿0 entre 5.

CASOS DE LA DIVISION

E stud iarem os t res casos: 1) D ivisión de m ono m ios. 2) D ivis ión deun p o l inom io jx ir un m onom io . 3 ) D iv i sión de dos po l inom ios.

8 0 • > A l c c o i i A

D IV IS IO N • 8 1

I. D IV IS IO N DE M O N OM IO S

De acuerdo con las l eyes an te r io res , podemos enunc ia r l a s igu ien te :

7 5 ) REGLA PARA DIVIDIR DOS MO NO MIOSSe d iv ide e l coef ic ien te de l d iv idendo en t r e e l coef ic ien te de l d iv inen

Y a cont inuac ión se esc r iben en orden a l f abé t ico las l e t r as , poniéndole ac ada le t r a u n e xp one n te i gu a l a la d i f e r e nc ia e n t r e e l e x po ne n te q u e t i c n re n e l d iv ide n do y e l c x j t on e n t c c p ie t ie ne e n e l d iv is o r . E l s igno l o dala I .cy de los signos.

Ejemplos( I ) Dividir 40*1»* entre — 2ob.

4a8b84 o 8b s 5 2 ofa = — — — = • 2 a sb . R.

poique (— 2ob)X( 2o'-’bJ= do’b3.

(2 ) D iv id ir — 5o 'bsc en tic — o?b.

— 5ó*b*c — 5o*b3c - i — o 2fi = ------ - — = 5oi b'Jc. R.

— o-b

poique 5a"b'-’cX| — a-'b)= - 5a*b8c.

Obsérvese que cuDndo en el dividendo hny uno letra que no existe en eldivisor, en csic coso c, dicha letra cporece en el cociente. Sucede lo mismoque si lo cestuviera enel divisor con exponento cero porque tendríamos:

c+ c® — c1 0 = c.

( 3) D ividir - 2 0m xV + ‘ixy3.

- 2 0 -®-4xy3 — !>1Í= - Smx. R.4xy'

poique 4xyl X(— 5mx)= — 2Crnx*yJ.

Obsérveleque lelros iguales en el dividendo y divisor se co/icelun porque sucocientees 1. Asi,en este coso, y 1 del dividendo se cancelo con y3de: divisor, igual que en Aritmética suprimimos los rodares comunes en el numerador y denominador de un quebrado.Tombién, de acuerdo con la Ley do los exponentos y '1 <■y 1— y-1 '3= y ° y veremos más adelanto que y° ~ 1 y l como factor puede suprimirse en elcociente.

(4) Dividir X my ‘ z ' entro 3x y* t8. — x"y"z’i:_ i

ALGEBRA

EJERCICIO 49

Dividir:21 entre 8.

—G3 entre —7.—ña2 en t re —a. 1|«3&4 enere —2ab2. —a'*b*c entré a^ó4.—ai» en tre —ab. >4xyV<

en t re —

8 —fir/i8» en tr e »n*n. 15. —2ni2ni> entre 3wr»i".

0 S a 8x 3 e ntre 8 o 8x3. 1C. a ' etnre a8.LO —x>,! enere 2y. 17. —3«*ó" e n u e <¡b,¿.11. 5x4y5 entre —6x4y. 18. M "b"c entre ~Ciaab*c.12 ~ a " b V en tre 8r*. 19. a 'b" entre —la,r,6l.13 Ifim ^i’ entre 5 « 3. 20 —3m "n’x814 —108aT¿>V‘ entre —5»i‘«8xa.

entre: —2(1£•«*,

( 5 1 Dividir o 4,3b “ ‘2 en l re a**sl>“ *1.

o ' ’b—2

o,,9fe",‘

<6> Dividir 3 , c ^* V ~ = en tre S x V ' 1.

= S y 2 » * l <•' « y í » í í » l » — _ v 2 » . 1 i . « y 3 * a » .I — _ „ » . T y J ii I U

— 5x*'4 y* '1 n 5

■ E JE RC IC IO 50

Dividir:]. a " 1* entre2. 2 x * 4 en eré —x*3 ■Ja"**8 enere —5«"r_5.4 x 8n ' 3 en tre . —4x**4.:i 4 a ' s¿»® cu tre —5a3í>*.

r. 7xniJyi"> entre -$x*y2.7 ña8" , b '~ 3 en tre tx i2'" 8/;*'.8 —4x’“‘y’ ' s én tre .rx" 'y " ' .0. a«**<>** en tr e a3,¿>\

10. 5 a 6 V entre 6a'*bv*.

I 7 t Dividir "o 8b:lc e nt re — rr8bc.

EJERCICIO 51

Dividir:

20*b*c

—T.o*bc = y

L. A r* en t re A 7* **

2 — ^ n lre — ~a¿b. 8. y r.

u i3 — x y * i 3 e n t r e — — z * . 9 .

i — en tre —A i/ ;8. 10.

¡ xy entre 2 , 11.

— ja*b*c* e n t r e — a b V .

entre — * í»

— entre

ianb" entre ——i»1.

—2ax* 4ba i en t re —

II . DIVISION DE POL INOM IOS POR MO NOM IOS

DIVISION • 8 3

7 6 jS c A ( a + 0 — c) fr m . T e n d r e m o s :

a + b - c a b c( a+ b — c) • m — = — + ----------

m m m m

E n e fe cto : l es e l c o c ie n te d e la d iv is ió n p o r q u e m u ltip li , m m m r 1 r

c a d o p o r e l d i v i s o r r e p r o d u c e e l d i v i d e n d o :

t a b c , a b c[ — I------------- 1 ra = X m + — x m ------- X m = a + b — c.

m m m ni m m

P o d e m o s , p u e s , e n u n c i a r l a s i g u i e n t e :

( 7 7 ) REGLA PARA DIVIDIR UN POLINO M IO POR UN M ONO MIOS e d i v i d e c a d a u n o d e l o s t é r m i n o s d e l p o l i n o m i o p o r e l m o n o m i o

sepa rando los coc ien te s pa rc ia le s con sus p rop ios s ignos .Es ta e s l a Ley Dis t r ibu t iva de l a d iv i s ión .

Ejemplos

( I ) Dividir 3os —órr'ó + 9ob“ onlrc 3o.

r ,.c 3er1— ócr'b + 9oba 3a8 6o8b 9ab2

= oa 2 o b + 3b*. R.

( ) Dividir 20*6” — éo l,1b 'u*1 — 3a‘*2b“ ' 2 entra —2o*b4.2a'b"

[2a'‘bro é a '^ b ®*1 3ar,2b" “*) + 2o*b* = -2a*b<

63"4>,‘-1 3o,,2b“ ’8 3+ r r r + = o**bm 4 + R.

2o*b4 2oab*

EJERCICIO 52

Dividir:

1 ar—ab entre a. 8m*ns—10m7n ‘—20m*n*+12m*ri*I yx2y8—5«2x1 en tr e —3x*. en tr e 2m*.1 ya*—Sflft9—6a*b3 en tre —2a. 5Í' entre a: .

x3—4* *+ x en tre x. ! i 2 « " 8 a "+*+ 6o“ f 4 en tre —3o*.G 4 x "1 0 x 6r jx ‘ en tre 2x3. 12, <r'*b"+an 'b n • ao " ,*bn • 4 en tre a*b*

G. 6m"8m*>if20mn* en tre 2 m. l3> * " ' * 5 x'" |6x "+ , x n’* en tre x"**.7. f a W - S a W - a ’b* entre 3a*b8. 14 la*♦ «¿“- ‘-Ra* *\«b*-*+8a*♦í¡ x * 5 x B—10x*+16x en tre —5x. en tre —2a**abm~i.

• ALC.ÍHÜA

<3) Dividir — jx - 'y2+ ¿xy* - 'y * entre ¿y.

(a , 2 ., i . \ . 3 x V _ . x . r , . . xy.. . y ) y =

= x v i * V ?*/* ; r ‘

o r. 3 r,¡y ¿y ¡y

= V _ W + x r - 7y . r.

EJERCICIO 53

Dividir:

1. —x" — x e ntre ~-x. s e a

2 * * * . . . I . , aat — - a- .|. —a entre ——.Z «• 4 5

3. — m 1 —— r?i*w + — jn*n2 e n tre —m".i :i s «

4. — y 3y ' + — xy* entre - W -

5.a ifls _ —.«3^3 _ afrr, en tre 5a.»• z

0. .(. Lflti i en tr e ~a.•1 *• ¿

7. 2 1 2 1 a 1*’’ — ent r e —a*®.3 4 * c

8. '*0" * >Xm4 » :i entre —

I. DIV ISION DE DOS POLINO MIOS

La división de dos polinomios se verifica de acuerdo con la siguiente:

8 ) REGLA PARA DIVIDIR DOS POLIN OM IOSS e o r de na n e l d iv ide ndo y e l d iv i so r c on r e l a c ión a una m ism a l e t r a .S e d i v i d e el p r i m e r t é r m i n o d e l d iv i d e n d o e n t r e el p r im e r o d e l d i v i -

r y t e n d r e m o s e l p r i m e r t é rm i n o d e l c o cie n te .Es te p r im e r t é r m ino de l c oc ie n te se m u l t ip l i c a po r todo e l d iv i so r y

produc to se res ta de l d iv idendo, pa ra lo cua l se le cambia e l s igno , e sc r i-e n d o cada té rm in o d e b a jo d e su se m e ja n te . S i a lg ú n té rm in o d e esteo d u c to n o tie n e té rm in o se m e ja n te e n el d iv id e n d o se e sc r ib e e n e l lu g a r

e l e c o r r e spon da de a c ue r do c on la o r de na c ión d e l d iv ide n do y e l d iv i so r .S e d i v i d e e l p r i m e r t é rm i n o d e l r e sto e n t r e e l p r i m e r t é rm i n o d e lv isor y tendremos e l segundo té rmino ( le í coc ien te .

Este segundo término del cociente se multiplica ¡wr todo el divisor y producto se resta del dividendo, cambiando los signos.

DIVIS ION • 8 5

S e d i v i d e e l p r i m e r t é rm i n o d e l s e g u n d o r e sto e n t r e e l p r im e r o d e ld iv i so r y se e fec túan l a s ope rac iones an te r io re s ; y a s í suces ivamente has t aque e l r e s iduo sea ce ro .

Ejemplos3x2 5 2x — 8 | x + 2

(1 > Dividir 3x2 + 2 x 8 entre x + 2. 3x7 6x 3* A' R’ — 4x — 8

4x I 8

E X P L I C A C I O N

El dividendo y el divisor cslón ordenados en orden descendente con relación

a x.Div id imos el primer término d d d iv idendo 3x“ cnlre el primero del div isorx y leñemos 3x--<■x= 3x. Este es el primor termino del cociente.

Multiplicamos 3x por codo uno de los términos del divisor y como estos produelos hoy que restarlos del dividendo, tendremos; 3xX x= 3x-, pora rcslot — 3X2; 3xX 2= 6x, poro rostor — 6x.Eslos producios con sus signos cambiados los escribimos debajo de los términos semejantes con ellos del dividendo y hocemos lo reducción; nos da — 4x y bajamos el — 8.

Dividimos — 4x enlíe x; — 4x-5-x= — 4 y esto c-s el segundo termino del cocíenle. Este — 4hay que multipl icarlo por coda unode los términos del divisor y restar los productos del dividendo y tendremos:

( - 4|X x = — 4x, poro restar + 4x; (— 4 ) X 2 = — 8, poro restar 8-

Escribimos estos términos debajo de sus semejantes y hocicndo la reducciónnosda cero de residuo.

R A Z O N O E L A R E G L A A P L IC A D A

Dividir 3xs-I-2x— 8 entre x+ 2 es hallar uno cantidad que multiplicada por

x I 2nosdé3x2+ 2x— 8,de acuerdo con la definición de división.El término 3x2 que contiene la mayor potencio dé x.cn el dividendo tiene queserelproductodel términoquetiene la mayor potenciado xen el divisorqueosx porel términoquo tenga lamayor potenciadex en el cociente, luegodividiendo 3x2 x = 3x tendremos el término quo contiene la mayor potenciadexenelcociente.Hemosmultiplicado3x por x+ 2 quo nosda 3x2-I-óx y este producto lo rostamos del dividendo. El residuo es — 4x— 8.Esto residuo — 4x— 8, te considera como un nuevo dividendo, porque tieneque ser el producto dol divisor x-I-2 por lo que oón nos lol to del cociente.

Divido — 4x entrex ymeda de cociente — 4.Esto os o l segundo termino del cociente. Multiplicando — 4 par x+ 2 obtengo — 4x— 8. Restando esto producto de» dividendo — 4x— 8 me da cerodo residuo, luego 3x— 4 es lacantidad quomultiplicada por el divisor x+ 2nosdo el dividendo3xa+ 2x— 8, luego3x— 4ese l copíente do la división.

® / OCt DKA

{?.) D iv id ir 28x2 -30y2— 11xy entre 4x— 5y.

Ordenando dividendo y divisor en orden descendente con relación a x tendremos: ___________________________ / "

28x-- 1 lx y - 30y2

- 2Bx9+ 35xy

24xy- 30y*- ?4xy+ 30ys

Dividimos 28x94 -4x= 7x. Este primer termino del cociente lo multiplicamospor coda uno de los lérminos del divisor: 7xX 4x= 23x-, para restar — 28x2;7xX {— 5y)— — 35xy, para reslar + 35xy. Escribimosestos términosdebajo de sos semejantes en el dividendo y los reducimos. El residuo es24xy— 30y2. Divido el primertérminodel residuoentroe lprimerodel divisor:

24xy4-4x— + ¿y. Este es el segundo término del cociente.

Multiplico 6y por codo uno de los términos del divisor. 6y X 4x— 24xy pararestar — 24xy; 6yX (— Sy)= — 30y2, para restor + 30y2. Escribimos eslostérminos debajo de sus semejantes y haciendo la reducción nos do cero deresiduo. 7x+ óy es el cociente de la división.

EJERCICIO 54

Dividir:

. a3+2«J—3 entro a+3. 12 5»»9—1Imnl fim2 entre rn—n.. a2 2« “ 3 e n tre fl+1 13. 32n2—54«t7+ l2 m « en tre 8n !)m.

xs—20 + x entre x + 5. 14. 14y*+33+71y e n t r e 3~7>\. r«9—ll»i+30 entre m - 6 . LD x 3—y° entre x y.

. x 1 1 5 8 * e n t re 3 x . 10. cr*|3«!>2—3«2Ó—ft* entre a—b.

. 6+fl9+3<j e n tre ci 12. 17 x*—9x*+3+x e n t r e x+3 .

. fix2- x y - 2 y 2 entre y+2x. 18. a‘+<t entre a+1. —15x9—8y9+ 22xy e n tre 2>’ 3 x . 19 m«—n® entre ni9—n2.. 5a9l8a*21&9 entre rt+3fc 20. 2x*~xs~347x entre 2x+3.. 14x9 12+22x e n t r e 7x 3 . 21 3yB+5y 3—12 y+ 10 en tre y2| 2.

f i a 9 H 2 oó ~4 fc2 e ntre b—a. 22. am*—am—2a entre am-ra.

23 1 2 ^+ 3 3 0 0 * —35fl8¿»—10&* e n tr e 4o—5l>.24. l.íni4 í)msns —5nj<»j+3wrs«3+ 3 m « 4— en tre 3» t—1>.

9 \ PRUEBA DE LA DIVISION

P ue de ve r i f i c a r se , c ua ndo l a d iv i s ión e s e xa c ta , m u l t ip l i c a ndo e l d iv i-r po r e l c oc ie n te , de b ie ndo da r nos e l d iv ide ndo s i l a ope r a c ión e s t á c o-cta .

< ) Div id ir 2x*— 2— 4x entre 2+ 2x.

Alordenareldividendoyeldivisor debemos tener presentoqueeneldividendofaltaeltérminoen x2,luegodebemosdejar un lugar pora ese término

2x* 2x3 2x*

4x - 2 2x4-2

- 2x*- 4x2x9-I-2x

<4> Dividir 3a® I 10a:,fa"+ 64a*b*— 21a4b+ 32o6* entre o 3— 4ab2— 5a! b.

Ordenando con relación a la a en orden descendente:

3a* 21a*b + 10a3 + 64o7b* + 32ab< [ o* 5cr b 4ab2

3o> + 15 o« b+ 12o ab* 3o* — 6ab 86*. R.- 6o lb + 22o:,6*+ 64o:b 3

6o*b— 30o36* — 24a*b3

- 8a3b2+ 40o2bs+ 32ab<8a:,l>2 40a'bl - 3?ab*

D I V IS I O N • 8 7

<5» Dividir X1* + * y x V x2y,ü entre x" + x“y= x*y« * V

Al ordenar el dividendo tenemos x12 —x3y* + xV* — x2y10.

Aquí podemos observar que fallan los términos en x"'y2 y en X*y*; dejaremos pues un espacio entre x1J y —x’y* paia el término en x,0y2 y otro espe-cio entre x*y° y x V ° para término en x*y* Y tendremos:

x«2 x V + x°y® x V ° L * il+ *V x V x*y“ x ,2 x ‘V + x V + x V X1 - x2y* + y'*. R.

x ‘V + 2 x Vx,0y* + x9y* — x®y° —x*y"

x V + ^ x V x V " x V x y + * V + * V >

f 6) Dividir 1la :l —3ofi — 4¿a~ 4* 32 entre 8 — 3<r2 — 6a.

Ordenaremos en orden ascendente porque con ello logramos que el primertérmino del divisor sea positivo, lo cual siempre es más cómodo. Además,como en el dividendo fallan los términos en o* y en o dejaremos los lugaresvacíos correspondientes y tendremos:

32 —46a2 + 1 la3 3 a ° 8 6a 3o2 _____

3 2 + 240+1 20* 4 + 3a — 2a3 + a 3. R.

2 4 a 34o* + l ia 3 2 4 0 + 18 0* + 9a3

16a2 + 20a'116a* — 12o3 — 6o*

8o3 — 6o* — 3o° 8a3 + ¿a* + 3or'

EJERCICIO 55

Dividir:

ai—a"—2a—1 en t re o2+a+l .x * + l 2 x » 5 x e n t r e x 2 2 x + 5 .1 rn45m */ i+20 »i í«*—16»t»4 ent re m*— 2 m n —8n*.i x*—x * 2 x —1 e n tre x * x —1.

f¡ x« + 0x »2x» —7x a—4x +C en tre x*—3x*+2 .

8 9 A I G C O R A

6. mc+m*— 4m4—4rn+m-~l en tre rrrs fm'—4 w —1.7. a s a 4+ 10 —27n t7as cu tre a8+ 5 —fl.8 3x3y 5 x y 3+3y 4—x 4 en tre x 8—2xy+y*.

2 n —2« 3+ n 4—1 e n tre «*—2 n + l.

O. 22a 64—;!kr4b + a°b —lOcb8 en tre a*b—2o b2 10b 3.31. 16*1—27y42 4 x ay8 en tre 8x*9 y*+G xy*12x2y.12. 4y1 I3y2+4y33 y 2 0 entre 2y4513. 5a*x8 3 x * l l a x 4+3 a4x 2 a° ent re 3x3 a 3+2 ax2.4. 2xtty—x°—Sx2)1' xy5 en tr e x 43 x*y+ 2x2y2|xy*.

30. a°—5«°l3]a2—8«+21 en tre a3—2a~7 6. t o®— rn5+ 5 w 8—Gtn+9 en tre m 4+ 3 —m24m*.7. a'Mb*—a*b—•la4b2+6 oBb:i—3ab° en tr e a2—2ob+ b3.8. xR 2 x 4y2+ 2x 3ys2 x 2y*+3xyn2 y ° entr e x22 y 2.| xy.9. 4y3—2y0ly,,—y4 4 y í2 en tre y4 12—2y3.0. 3m T—l l m B4M»4+ 1 8 m 8—8m —3m 3+ 4 e n tr e ni4—3m2+4.

1. aH 2 a°—3a8—2«4+ 2 a 2— a —1 en tr e a3+ a 2—all.2. 24xí 5 2 x 4y+36x*y23 3 x 2y:,2 6 x y ‘f4yr; cn tn> 8x * ! 2x » y 6xy2+ y 3.3 5«*+Ga4+ 6 aB—4«v8an—2a3H a 2—6a en tr e a 4—2as+ 2.4. x7—3x*+Gxs lx2—3x+G en tre x 3—2x2+ 3x+ 65. 3«°+5a* —9a4—I0 a3 l8a2+ 3 a—4 entre 3 a * + 2 a 5 a 4 .6. 5yH—3yT—1 ly* | I ly °—17y4—3yB—4y2 2 y en tre 5y4 3 y ’+ 4y2 • 2y.7 — m 1 I 14»r»8n2+20»n ‘n:l 13w8n ‘—9m 2n5+20»?ri® 4«1 en tre

n 5+ 3 m 2« —5r»w8—m a.ü x1«5x8y2+8x 7y4 6 x 'y ^ 5 x V + 3 x y i« entre x°2x* y2l3xy4.0. 3a3 1 5 a Il l4 a« 2 8 a4 l47a*28a2l23a1 0 en tre 3a! G «3 I 2a = 3a + 2.

0. a*— l/v+2bc—cx en t re a + b —c.1 2 x 2+5xy—xz—3ys—yr+10z* en tre 2x 3y+5z.2. xa+y a+z 3~3xyz entre x2+y 2+zsx y x z y z .3 afi|bft en tr e « I b.4. 21x5—21y5 en tr e 3x—3y.6. 16x*—lGy11 en tre 2x 2+2y 2.6 x lu y 10 en tre x3—y2.7. x ,r,+ y ls en tre x*+y*.8. x*lyI,+ 3 x 8y+3xy,í I entre x*+ 2xy +y8+ x + y + l.9. x’+ y 5 en tre x4— x^y+x^y*- xy'-ry*.

PO LINO M IOS CON EX PONE NTES LITERALES

11 > Dividir 3u” ° I 19o*’* 10o” 4 8o” 2 I So*’1entre a s —3o + 5.

Ordenando en orden descendente con relación o la a, tendremos:

3a” 0 10a” 4 + 19a” 3 8a” J + 5a” « 1 o2 3a + 5 ______

— 3o**J + 9o**4 — ISo” 8 3o*4* —a**8 + a*‘1. R.

a ’ ,4 + 4a"* —8a” 2a**4 3o” * + So” 9

o ” 8 3a” 2 + 5o” 1 o"* + 3a” 2 5 o " 1

DIVISION DE

DIVISION • 8 9

La división 3o*,8+ a *= 3o,,,“ 2 — 3a**3.

La d ivisión - a " * + a * = - o * * * '* - - a*’ *.

La división a ‘ *a + a 3 = a **s-2= a**‘ .

( 2 | Div id ir x»* - I7x**-S+ x"**1 I-3X3*-4+ í x "*-3 - 2x!u-5 entro x5" *- 2x5*3 - : i . '

Ordenamos en orden descendente con relación a x y lendicinos:

xa»+ xn i- i_ J7x»*-2+ - f 3 *3-4 _ ¡ « M x2*-1 - 3x**s- 2«B**

— Xs*+ 3x3*-1+ 2x3*~2 x ’ * ‘ + 4 x " -3 x * - ,d x* '

4x3 t l —15x8**2+ 2X3 3- 4 x ’1*-, + 12xn*-2 + Bx3*'3

3x**2 + 10xB*s + 3x**^3x**'s — 9x8*'* óx3 4

x¡ii» _ Sr1*'4 — 2xs,_a x“ * + 3x*"‘>+ ?x*' 3

Lo división x5*-t-x2*'1 - * u -< í . - i> = x»*-2*“ = x-« .

Lo división 4x3* 1-t-x2*-1 = 4x3- i - i f i - » i = 4)ri»-i-e».i - 4^ .

La división - S x ^ + x ^ = - 3x**-*~«*» = - 3X3" 2-2»-1 - - 3x*-’ .La división x3*’3 i x3* 1 = x» * < í l> = x*»a*«.« _ * 3 .

■ EJE RC ICIO 56

Dividir:

I « ' •*+« * ent re a+ 1.

x ' , 2+ 3 x “ 4 * + x "44- x " f ! ' entre x * + x .

m» • *— i j mM' Sm**0 en tre m 2—2m +3.

a*»' *+4«2* ' *+a3"*t—2ata en tre «■+«■ + *.x:* - ®—3x2»' 8+2x1* * 4-4 x -*♦2+2xs"* 1 entre x**3-2x» ' >.

a*» 2—2a, + 8 a ,_ l—3«‘ i e n tre 3o*“*—2a*~,+a*.

| fls« s+ 5as. 3+ 2rt3»t j»o2‘« cu t re a* a* ’+ a 8

»n2“ 2» n !ta , 4 » t3‘+ 2 m 24' •+ 2m I*42~ m 2»+!l en tre » i* * » i—1’+w t*2.

x s*a+X 2*3 4 x 2* 4—x1* 1 e n tre —x*3+ x ‘ , x * 8.

,1 a tc¿» _a J*t¿,4^.a2>, 2¿,s_ 2a*m cnt t c a ' b - n ^ - ' b * r 2 aa ‘b3 a " l>bi .

' a '"f , + a" 'b ,+ (l'b u + b ,"*'* e n tre a*|6*.I " a ' — ab*-1—al~lb+bn entre a—b.

l 3 a » » ^ 2 3 aBn 445aB , 44 6a 0o,30fls" * > entre >8n*" 2.

2x*.♦iyt- « _ . iXM),t.-f_2flxs--3y».+:j0xs*-3y2*♦• entre - x * * ay«- ,“ ?x4)i, * ,+4x44y

0 " í u c i h a

1 ) D IVISIO N DE POLINOM IOS CON CO EFICIEN TES FRACCIONARIOS

EjemploD ividir I *8- g x ’2y+ f x>r - ‘ y1 entre ^x— |y .

I 8S , 2 J , i 8 8 _ x. . _ _ x V + . x r _ . y.3 | T / _ _ y ___________

• \x 3 - \ x Y + y R.

; x V + y

1 í 8 J

Obsérvese que lodo quebiodo que se obtengo en el cociente ol dividir, lo mismoque los quebrados que se obtienen ol multiplicar el cociente por el divisor, debenreducirse a so más simple expresión.

m - EJERCICIO 57

Dividir:

1, ~<*a + ~f lb — ~ b i en t re ' a + ^ b .u ln *1 l >

2. j* * + ¿ x y — p * cn u c x f y .

3 * x3 £* )• + y x y 1 l y * en tre ix* Jxy + Jy*.

Lrt4 _ ~ aí(, — 0:i t \ ab- entre -^a — 4b.1H I» 3 * 1 2

6. j m 4 + —^ m 3n- I ‘ w n 1 —?i* e n tr e jt/i* + 2 n*— fon.

6. J x8 + Jx* gx » + f x2 i I g x en tre 2x* Jx i 2

Y ? „« 0:ix ^ f lx3 —^«2x2— ^x 1 e n t re — ns —«x + x2.• J S 1 - ¡1 ' ¿ 3

»• Ti** + f * v S ^ ‘7 + W c" ‘re T * * t x7? + t* > ,sü i .x» + « X4_ 4T_X3 .Ü X2 . _LX _ i . cnlrc I .¿_x* _ ‘ . « so ^ 4 0 | J . , X + 12 »» + I 0 * 1 0 e n , r C S + 3 X 4 4

' ' 1 .i."1’" J — ~ m 2n* + —tn1' ——tn*n + ~m n‘ — 5 n8 e n tr e ~ /nJ — 'm nw Z II (I p 1 2

COCIENTE MIXTO £ 9 ]

DIVISION DE POLINOMIOS POR EL METODO DE COEFICIENTES SEPARADOS

L;« d iv is ión por coef ic ientes separados, que abrevia mucho la opc iac ión , puede usa r se en los mismos casos que en l a mul t ip l i cac ión .

1) D ivisión d e dos |>o 1í i h >i ii ío s q u e c o n t e n g a n u n a so l a l e t r a y e s t éo rdenados en e l mi smo o rden con re l ac ión a e sa l e t r a .

Ejemplo DWidir 8x°- 16x“ + 6x4+ 24xs+ 18x- 36 entre 4v»+ 3, — 6 por coeficientes sepurodos.

Escribimossolamente loscoeficientes con sussignos teniendo cuidodo de poner corodondo folie algún termino y se efectúa lo división con ellos:

8 1 6 1 6 1 0 + 24 + 1 8 3 6 ] 4 + 0 + 3 6 8 0 6 + 12 2 4 + 0 + 6

1 6 + 0 + 1 2 + 2416 + 0 + 1 2 24

+ 2 4 + 0 + 1 8 3 6 24 0 1 8 + 36

El primet término del cociente tiene x3 porque proviene de d iv id i r x" enlre x3 yco m o en eldividendo ydivisor ci exponentode xdisminuyeuna unidad en cada tér

mino, en el cociente también disminuirá uno unidad en coda término, luego el cociente es:?x® — 4x* + 6. R.

• ' • ) Divis ión de* dos pol inomios homogéneos que contengan solamented«s% letras.

Ejemplo Dividir a 6 7o«6 + 2 lc rV 37 0*6 * + 3Bob4 24b> entre o5 — 3ob + 4 lr por coeficientes sepurados.

Tendremos: 1 7 + 21 3 7 + 38 24 | 1 3 + 4 1 + 3 4 I 4 + 5 6

4 + 1 7 3 74 121 16

5 2 1 I 38 5 + 1 5 2 0

6 + 1 8 2 46 1 8 + 24

Elprimertérminodelcocientetieneo"porqueprovienedodividiro5onlro0a.Como el cociente c» homogéneo y en ol dividendo y divisor el exponento deo disminuyeunaunidad en coda término yeldeb oumcnla una unidad en codo término,ol cocíanlo será:

o *- 4o’ b+ 5ob* - 6b». R.

2 O ALUCUMA

ERCICIO 58

ividir por coeficientes separados:

n— x i+x'¿—x entre x 3—x 7+x.

H x * n * 5+8 *413x *+ 19x S!5f> entre x:'2 x 27 .

-ra*!)—'¡a*b'¿-\-12i t 'b ’ - 13«2ó4l7aO’---bc entre «*— 2«ó+i>2.

i°+2 tw'na—5»»#rH20m*i»*—lUm 2»*—lOmn®—« • en tre m s 4 m n ' n B,

_ 2 x 'í—50x‘+ 58x2—1!) en tre x ‘+Gx2S .

‘ t Do10—7al24-23r(B—52o°+42ai—20fl* entre a1,-4« e+3w,-2oa.

xlJ—20x12—70x°+51xt'+4Gxi —20 en tre 3 jc* -8 x *+10.

3ni’ft1 2 » rz* + n i» l 2 7 t» ,«+187m,23£>2»n“+87»rj< 4 5 en tre tn ‘7w »| £)ffi«]5.x t - 6 x ")!-8x ;',>i,- - 2 0 x -*>- j — 24x:y lfi.vy1—4yJ entre 2x2ll>.

o°—12av l 2rt" ■3GíT*| fKr‘ lfi«3|3 & t* 4 4«+ M en tre a* 2« I « —7.

1'1 Gns |5n7 • 18 nd—23 ns —8w*+£4m3— 32wllG e ntre w°—3tr, + 5 « 8—8 n +4 .

x7 4x"y 15x3y’ i2!.lx<y:‘—13x;'y ‘—Gxy0—3y7 en tre xi 5xy2+3yí .

"’ 4 x 14y2—lü x 12>i*+21xl'1)iu+28xíl)vS—23xa)i,04 9x*yl'+33x2y11G)f10 entren 4xt )' s>x2y* I y".

“ ' * 3 « " 1, 5<t',1+20am 1—25 a"1 entre a2—5.

«2‘ 1-—3C>a'-'' '+ 6 a"x *■:,-7R g - ‘ ■»2- 5 a 2*4 * -42rt2‘ -7 o 2- * entre ox+(íux * 1+7nx ’-3.

x2" áxa* '* 2 8 x 81' l+21xy’~iG x ^ 'M O x 2* 2—12x2*1—Gxn * en trexA lx M ^ x ^’ l x*2.

a’’1' s2 3i7 ,,,+ |1 2 a i' 4 I 34<Ja*r22fe!’< , 1 5 fl 5x' " entre o2*' 2 « 2' 0 n ^ ' ñ a 2*1 .

En todos los casos de d iv i s ión e s tud iados has t a ahora e l d iv idendo e ra

v is ib l e e x a c t a m e n t e p o r el d iv iso r. C u a n d o c l d i v i d e n d o n o es d i v is ib l e

x a c t a me n t e p o r e i d i v i so r , l a d i v i s i ó n n o e s e x a c t a , n o s d a u n r e s i d u o y

to o r ig ina los coc ien te s mix tos , a s i l l amados porque cons tan de en te ro y

uebrado.C u a n d o l a d i v i s i ó n n o e s e x a c t a d e b e m o s d e t e n e r l a c u a n d o e l p r i m e r

r m i n o d e l r e s i d u o e s d e g r a d o i n f e r i o r al p r i m e r t é r m i n o d e l d iv i so r co n

la c ió n a u n a m ism a l e tr a , o s ea , c u a n d o e l e x p o n e n t e d e u n a l e tr a e n c l

s id u o e s m e n o r q u e e l e x p o l íe n t e d e la m isma l e tr a e n c l d i v iso r y su m a -

o s a l c o c i e n t e e l q u e b r a d o q u e s e f o r m a , p o n i e n d o p o r n u m e r a d o r c l r e -

d u o y p o r d e n o m i n a d o r el d iv i so r .

COCIENTE MIXTO

V A IO R N U M E R I C O • 9 3

x " x 6 | x + 3 — x3 —3x

x 4 + — R.

l l > Dividir x3 —x —6 entre x + 3. 4x + 12

El residuo no tiene x, así quo os do grado coro ccxi relación o la x y el divisores de primer grado con relación a lo x, luego aquí detenemos la división

porque el residuo os do grado inferior ul divisor. Ahora añadimos al c<>6

den te x — 4 el qu eb ra d o —, do modo semejante a como procedemos enx “4*3

Aritmético cuando nos sobro un residuo.

( • ') Dividir — 4m3n2— 3rrrn4-| 4mnn— nM entre 2m2— n4

6m* - 4 rr rV - 3m2n«-I-4n.r."- ' 2rn3- n '

- 6m* + 3m*n* 2mn° — n* „ 3w*— 2rnrr -|-------------- — . R.

— 4manr f 4mtj* 2m —n4m8i>* — 2mn*

?mn° n*

Hemos detenido la O p e r a c i ó n al set el primer término del residuo 2mnn en oí

cual la m tiene de exponento I mientras que en el primer termino del divisorla m tiene de exponente 2 y hornos oñedido ol cociente el quebrodo quo soforma poniendo por numerador el residuo y por denominudor el divisor.

N O T A

En el número 190, uno vez conocidos los cambios de signos en las fracciones,se tratará esta malerio más ampliamenle.

EJERCICIO 59

I Inflar e l cociente m ixto de:

1. á1 \ b'¿ entre <r2. 8. x2—Gxy+y2 en tre x + y.% «*+2 entre a3. y. x 3 x 2+ 3 x + 2 e n tr e x 2 x + l .21. ílx" t Gx2 17 en tre 3x2. 10 x 3 |ys en tre x —y.4. lGa4—20«3ó+8rt3í»*47<tó* entre 4ri*. 11. x r'+y* entre x—y.r». x3l7x+10 en tre x I G. 12. x?| 4 x * 5 x + 8 en tre x*—2 x + l.o x3—5x+7 entre x —i. 13. 8n3—lia’ó+iVií»3—91>3 entre 2fl—367. rn*—11 rw2»34 en tre rn- 3. 14. x &—3x* l!)x2+ 7 x —4 en tre x23 x t

VALOR NUMERICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICASCON EXPONENTES ENTEROS PARA VALORES

POSITIVOS Y NEGATIVOSCo n o c ien d o y a l a s o p e rac io n es fu n d am en ta l e s co n can t id ad es n eg a t i-

vas. así co m o las reglas ríe los signos en la m ultip licac ión y div isión , pcxlcmos hal lar e l valor de expres iones algebraicas para cualesquiera valores r ie-

5 J POTENCIAS DE CANTIDADES NEGATIVAS

1) T od a po te nc ia pa r de un a c a n t ida d ne ga t iva e* pos itiva . po r qu eu i v a l e a u n p r o d u c t o e n q u e e n t ra u n n ú m e r o p a r d e T acto res n eg a tiv o s.

As i. ( ~ 2 )a = + 4 po r qu e ( 2 )2 = ( 2 ) X ( 2) = + 4.( —2)* — + 16 p o r q u e ( 2 )‘ = ( 2)a X { 2)a = <+ 4 ) x ( + 4 ) + 1G.< 2 )« = + 64 p o rq u e 2)" = < 2)4 X { 2)a = { + 1 6 ) X( + 4 ) = + G4.{ 2>* = + 256 po r qu e < 2 )H= < 2 f X { 2)a = (+ 64) X( + 4 ) = + 256.

as í suces ivam ente .

K n g e n e r a l, s i e n d o A ' u n n ú m e r o e n t e r o s e ti en e : ( — a)**

2 ) T o d a p o t e n c i a i u i p a r d e tin a c a n t id a d n e g a t iv a es n e g a ti v a p o r q u e

u i v a le a u n p r o d u c t o en q u e e n t ra u n n ú m e r o i m p a r d e ( a cto re s n e -tivos.

Asi, {—2) l = 2.

( 2)* = 8 p o r q u e ( 2>* = ( 2 )a x ( 2) = <+ 4 ) X ( 2 ) as 8.( 2) 5 = 82 p o rq u e (—2)® —(— 2)4 X (—2) “ ( I 1G) X ( 2) —— 32.

( '¿Y = 128 p o r q u e ( 2 )7 ( 2)° X ( 2) = ( I 64) X ( 2 ) 128.

así sucesivamente .

E n g e n c ra l.s e tie n e : (— a)***1 = — ti2**1.

4 • ALGEBRA

Ejemplos ( I t Volor numérico de xs —3x: + ?x — 4 poto x = — 2.

Sustituyendo x por —2, tenemos:

( —2)* —3(—2)2 + 2 |—2) 48 —3(4} l2( — 2 ] — 4

= 8 1 2 4 4= 28. R.

1 Volor numérico de — — ^ b* poro o = — 2, b = 3.

4 6 3o® 3< r b , 5ob2

Tendremos:---------------- 1------------ b r'4 6 3

_ í - 2 t 1 3 ( 2 )* { 3 | . 5 Í 2 K —3lM . Ai, — i — ( J'

= 16 _ 3Í4 H—3) + 5 ( 2 | (9 ) _ (_ 27|

=‘ - ( ^ ) + F r ) +»= 4 ( 6 1 + | 3 0 | f 2 7

= 4 + 6 3 0 + 27 = 7. R.M O T A

» E JE RCICIO 60

Hallar el valor numérico de las expresiones s iguientes para

a = - L b = 2. c = j :

1. á1 2ab\-b*. 6 ^ A - n f - { b ~ c y - { a - c ^ .2. 3a4,—4fl?b+ 3ab3—b a. „ [ ac be

3. a*—3«*+2«c— '¿be. c b a i. o » 8 a ' í4 4 6 o V 2 0 « aci'+40ac<~e« 8 . (n-ri>+r:)2-(t,~b-cyj+<

B. (a—¿>)*+(6—c)'‘—(a—c)2. 9 8( 2<z+í»)—l« (h + c )—2 r(<i//),

Hallar el valor numérico delas expresiones siguientes pa ra

a = 2. ¿ = - j . x = — 2 , y = 1, m = 3 , n = j:

x4 x*y 3xy210. -------- i- | --------^---- y*.8 2 2

11. {« x}2 + (x y)2 +• (x* y2)(m + x n).

12. —(x — y) + (x z + y2} (x —y — vi) + 3b (x + y t t i ) .

18. (3x 2 y) (2n - 4m) + lx^ 2

Ax x1 /1 U----------------- M ------- --- x + x ' r a .

3)' 2+y» ' w b )

1 &• x2(x y + w») (x y) (x2 + y2 n) I (x Iy)2 (ms 2»)., „ 3« 2y 3n mlfl _ H. d .,------------- + o(x2 y 2 + 4).

x m y n

EJERCICIO 61

M I S C E L A N E A

S O B RE SU M A , R E S T A , M U L T I P L I C A C I O N Y D I V IS IO N

1 A las 7 a.m . el termó m etro m arta I5o y de las 7 a las 10 a. m. baja

a razón de 3a por hora. Expresar la te m pe ialura a las 8 a.m . , 0 a.m .y 10 a . ni.T o m an d o como escala 1 can rr 10 m, represe ntar gráficam ente qu e un pun to ¡{ está situ ad o a I 10 m de A y o t ro pu nto C es tá s ituado a —35 111tle B.

1 S um a r x2—3xy c on 3x y — y2 y el resultado restarlo de x2.I ¿Qué expresión hay q u e añ ad ir a 3x2—6xKi para qu e la sum a sea 3x?II R esta r —2it2+3<z—5 de 3 y su m ar el re su lta do con &H5.

11 Simplificar 3x2 { [ ‘lx2+ 5 x ( x 2x "l G) |}.

'f* Sim plificar (xT y){x —y ){ x + y )2.8 * V alo r n um é ric o d e 3(a+b)—1(c-b)+ */—— para a = 2. b=3, e=l .

V —aRcstai x2—3xy+ y* de 3x2—5ys y su m ar la d iferen cia co n el resu ltad ode restar 5xy+x2 de 2x*f5xy+6y2.

MISCfLANCA DE LAS OPEKACIOMtS lUNOA MtNT AUS • 9 5

LO. M u ltip lic ar -jaz —-^ab + jfr2 P °r ~ a s -h-~ab — <2b2.

D ivid ir la sum a de Xa—x*+ 5x2, 2x4+ 2 x a—10x. 6xa—6x + 30 en trexa—2x+6.R estar el cociente de w j3 — —ab* + —b* en tre —a 1 ~ b d e l-a- -l ab ! 1 b'¿.

■I «•» 15 2 8 3 r.Restar la suma de —3trft*—5a y 2aa5+3«í»*— b3 de a3—a2¿»+63 y la dife-rencia mult ipl icarla por a2— ab+bs.

R es tar la sum a de x"—5xa+ 4 x . —6x3—6 x + 3, —8xa+ 8 x —3 de 2x * lt>x 2+ 5 x + 1 2 y d ivid ir esta diferencia en tre x x • 3.

Ib. P ro b a r q u e (2 +x )2( l + x 2) (x 22 ) (x 3+ x 3 )= x 2{ 3 x + 1 0 )+2 (3 x l) .

l lj H a llar e) valor num érico de (x+ y);( x—y)'+2(x+)'){x—y) para x = —2. y = l.

V¡- ¿Qué expresión hay «pie sum ar a la sum a de x+ 4, x—6 y x2+ 2 x + 8 para

ob tener 5xs—4x+ 3?R esta r —{ 3 a+ (—&+«)—2(<t+&)} de —2[(n i 6 ) { a —i»)].

19. M u ltip lic a r 5 x + [ —< 3 x x ^ ) ] p o r 8 x + [ 2 x | ( x + y ) j .

20. R est a r el cocien te d e jx3 f ~ x 3y I ~xy~ I [ y 1 en tre * x ^ x y + y 2 de

2 x + [ 5 x { x y ) ] .

21. Pro bar q ue {x2 {3x I 2» [x2 |( x + 3 )J x 2(x24 x + 4 )( 7 x + G ).

22. ¿Qué expresión hay que sumar al producto de

[x(xHy)—x{x—y)][2(x2 ly2)—3(x s—y3)] p ara o b te ne r 2x íy+3xy*?23. R estar x a3x y+ y* de cero, y m ult ipl icar la diferencia |>or e) cocientede div idir x*—y* en tre x —y.

2 1. Simplificar ( x y )( x 2+ xy + yíf) (x + y )( x 2x y + y 2).

20 H alla r el valor num érico de - \ / U- I '$ b — a) \ / — — 3(c — b) i f i - p a ra a =4. b= 9, c—25 v c v <r2 v b

¿Por cuál expresión hay que dividir el cociente de x*+3x*4x 12 cutrex + 3 para ob tener x —2?

27. S im plificar 4x2 —{ 0 x—(x2—4 + x) ^t( x2—{x+ { 3)}J y h a lla r su va lor p a ra x — 2 .

38. ¿De cu ál ex pre sión h ay qu e resta r —18x3+ 14 x2+ íH x —45 para q ue ladi ferencia d iv idida ent re x2+ 7 x 5 dé como cociente x2 9 r

29. P ro b a r q u e (<ra4 &2)(<i+i>)(<i6)=fl4—(3 n+ 2(rt+ 2)—4(0 + 1 )—«+&*].

Restar —x 3—5x2+ fi de 3 y stun ar la diferen cia con la su m a de x 3—x + 2y ( x 2 l ( 3 x + 4 ) (—x +3 )J.

l U O I D E S < 3 6 S -2 7 5 A . C . l l in o de I o j m .i j grande: « oi ría «s el Postulado: "Por un punto citerio r ,Hiatnmit leoi griego:. Fue el primero quu «embícelo recta sólo puede tr.ix .nj i' un a per pend icular o I ■ ■.. . 'Método riguroso d e demo stración geo m étrica. La tna y jólo u n a" . El libro en qu e recoge »u» U1 . . . 1 lioimilila construida por Euctidca tu man tuvo incó - cio ne : lo tituló "E lem en to j", e : conocido r n lu1 mi. tinto el jiglo X IX . La piedra angular de su geo- loa ám bito: y ha sido traducido a lo: idiomai m lfi

C A P I T U L O

P R O D U C T O S Y C O C I E N T E S N O T A B L E SI. PROD UCTOS NOTABLES

86 S« l lam a p ro du c to r no tab le s a c i e rtos p rod uc tos q u e cu m ple n reg la sl ij a s y cuy o re su l t ado pu ed e se r e sc r i to po r s im ple inspecc ión , es dec i r,

s in ver i f icar la mul t ip l icac ión .

87) CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES

I levar al cuadrado a I b e q u i v a l e a m u i d \a + b)" = {a ~ b ) {>i t p lit .u este b in o m io p o r sí m ism o y te n d re m o s : . /

a » b

E fec tu an do es te pro —.d u e l o , t e n e m o s : ___________ / a'' + al/

ab 1 1>- o sea (á i" ai r 2flfr 4 I r

lue g o ,e l (I ia ih i ido de la sum a t ic dos can t idade s es igua l a l cu ad rad o de la p itille ra c a n tid a d más e l d u p lo d e In p r im e ra can tid ad p o r la seg u n d a m ásel 1ii .i i l iatln ríe la segunda cantidad,

98 • ALUIB* A

Ejemplos Cuadrado del primero..................................................... * -Duplo del primero por ol segundo 2xX 4= 8xCuodrodo dol segundo................................................... 16

1 1 ) D e s o r r o l la r | x I 4 ) \

Luego |x + 4)"= x=+ 8 x - I - 16. R.

Eslos operaciones deben hacersemenlalmenfú y ol producto escribirse directamente.

Cuadrado de un monomio . Para elevar unmonomio alcuadrado soelevo su coeficiente oJ l 2» -_ i.aua.e— </cuadrado >• se multiplico eJ oxponenlede cada ' * 16o-b ./otropor 2. Sea elmonomio4ob*\ Decimos que-'"’

En electo: (.tc-b2)2= 4ab2 X 4ob2=: 16a2b4.

Del propio modo: (5 xY x» )s= 25>.,’y V >-

Cuarirado del 1® ............................... (4o|2= 1óo'-’.(/.) Dosarrollar |4a+ 5f>” p . — Duplo del I* por el 2 * . . . . 2 X 4oX 5b-'= 40oír.

Cuadrado del 2* .............................(5b-|== 25b*.

Luego (4a+ 562)2= 16<r+ ¿ teb2+ 25b4. K.

Losoperaciones,quose han detalladoporamayorfacilidad ,nodeben escribirsesi l» verificarse mcaln/mente.

13) Desarrollar (3o2+ 5x*)2.

(3o2 I-5x*}2= 9a4-I-3úo-V»+ 25x°. R.

(•’) Efectuar (7ox4 + 9yz,)[7ax4+■9yr'J.

|7ax4-I 9 / ' ) |7ax4 I-V I = |7ox^+ 9 y f = 49a'-'xí‘+ 126ux4/ - + Bly10. R.

EJERCICIO 62

Escribir, por simple inspección, el resultado de:

■ (m + 3>*. G (x+y)'’. 11 (4trjr,+í>«n)2. 1G. («''•+«")’.- (5 + x )2. 7. (1+ 3 x 3)2. 12. { I r f i bHb x * ) * . 17. (< f+ 6 * ^ ) 2. (6f f+b)=. 8. (2x í fiy)-*- 13. (.|<i¿>'-+r>x)-»)2. 18- (*» • >+y’ 2)2.

( Í IH r t i ) 2. 9 (a -'x+by-y-. U . (dx2y + 9m n)2.( /x+l iy , 10. (HoHSO4)-. IB (x ’V lO v 1'}2

EPRESENTACION GRAFICA DEL CUADRADOLA SUMA DE DOS CANTIDADES

K l c u a d r a d o d e l a s u m a d e d o s c a n t i d a d e s p u e d e r e p r e s e n t a r s e g e o -étricamente cuando los valores .son posi t ivos. Véanse los s iguientes pasos:

(a + by*= a*+ 2n6 + ir3.

f k o o u c t o s n o i a j i u j • 9 9

C o n s t r u i m o s u n c u a d r a d o d e a un idades de l ado , e s dec i r , de l ado a:

f l C UKA IU

C o n s t r u i m o s u n c u a d r a d o d e b un idades de l ado , e s dec i i . de l ado b:

F I G U R A I I

Const r t i imos dos rcc

t i n t i ll o s d e l a rgo a y anchoh : --------- *

FIGURA 12

Un iendo e s t a s cu a t ro f iguras como se índ ica en l a f igu ra 13. l on n a rc i iu i ’

u n c u a d r a d o d e (« + b ) u n i d a d e s d e l a d o . E l á r e a d e e s t e c u a d r a d o r »(u l b) <a l b ) = (<i + f i) :, y co m o p ued e v erse en la f igu ra 13. es ta ár ea esta

f o r m a d a p o r u n c u a d r a d o d e á r e a a", u n c u a d r a d o d e á r e a I r v dos rcc tán

iMilus d e á r e a a b cada uno o sea 2uí>). Luego:

(« i h )! = «•* t la b I Ir .

FIGUR A I J

0 9 A t c i a u A

) CU A D RA D O D E L A DIF EREN CIA D E DOS CA NT ID A D ES

E l e va r {a — b ) a l c ua d ra do e qu i va l e a { a - b ) 2 = ( a — b ) ( a — b).ul t ip l i ca r e sta d i fe ren c ia po r si m ism a; luego: / '

E fe c t ua ndo e s t e p roduc t o ,« - b a — b

ndremos : / a ' ~ ab. , ° * a ( a l » ) 2 a ¿ a b h* — ab + b~

« —2 ab + b-

cgo, e l cu ad rad o de la di feren cia dt: dos can t idad es es igu al ni cu ad iado1 l a p r i me ra c a n t i da d me nos e l dup l o de l a p r i me ra c a n t i da d po r l a s i m í a m á s e l c u a d ra do de l a s e gun da c a n t i da d .

11 1 Desarrollar (x —5|2.

Ejemplos | ix-s)8=*3-i0x + 25. r.

= = = = « = » (2 ) Efectuar H a2 —3b?)1.

Me* - 3bap = 16á' 24 cW + 9h". R,

EJER CICIO 63

Esrxilnr, por simple inspección, e) resultado de:

. («:<)*. 5. {.Jax iy . 9. (X:- 2ay-)2. 13. ( x " - y r )2 .. (.v—7)*. <5 ( r r ' b 1)2. 10. p d b 2)*. 14 { rn ’ÓV.

7. (3 o*ñ b2)J. 11 (2 í» - 3 m)=. 15. (*’• • »3x»*>*. (2a —3b )a. 8. ( x l ) 3. 12. (10x8y x y 0)2.

9 ) PRODU CTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIADE DOS CANTIDADES

S e a e l p r o d u c t o {a I b) (n b).

a i- ba — bE f e c t u a n d o e s t a m u í —r~,— r , , • >. , ,

. . . . / i a--\at> o s e a (a + b j fa ■b ) ~ a b zp l i c a c i on , l e ñe mos : ---------- /

~ flP ~ b s a2 b -

ego, la sum a d e do s ca nt idad es m ul t ipl icar la p o r su di ferenc ia es igual al

mdrado de í mimicndo t en l a d i fe renc ia ) menos e l cuadrado de l sus t raendo .

Ejemplos <1| Efectuar (ci+ Xjfo —X|.

|a + x,'(a — xf = q8 — x*. R

{2) Eíccluor (2o + 3b )1 2 o 3 b )

(2 + 3b||2 3l>) ) “ |3b }* 4 9b2 R

rBO OU CT OS N O T AB U S • 1 0 1

( 3 ) Efecluor|5an° + 3 o 'r ) ( 3 o « - 5 o n*‘ |.

Corno el orden de los sumandos no ol leta la suma, 5o" 1 + 30" es lo mismoque 3o" — 5 c ' " ', pe ro tengase presente que 3o" - 5o"*1 no es lo mismoque 5o"*1--3a ” . Po r e so h ay que l i jarse en la di ferenc ia y escribir

e l cu ad rad o d e l m in u en d o m en o s e l cu ad rad o d e l su s t r aen d o .Tendremos:{ 5c"1+3 0'" X3n"‘ 5 a " "> |3o'‘f - (5o»*>)- 9a-™ - Kb***». R.

EJERCICIO 64

t. (x ~y)(x—y). 6. < * l ) (n + l) . 11.2. (m—»)(m ■n). 7. (1—3flx)(3flx-!-l). 12.3. (a -x ) ( x+a) . 8. (2rn+9)(2w—9). 13.4. (xa l rt)(x=an. 9. ( « * 6 W + 6 a). 14.

a. (2 a l ) ( l+2 f l ) . 10. <ya3y)<y|3y). 15.

(1 Xxy)(Hxy ! I).(6 x—w sv)(t>x' | ío J \ i Ía t'+t>')(aa - b n). (3x»5y"')(5y" t2.V).

{<»*♦> 26* l)(26‘ >l ./•

<•11 Efectuor (o+ b+ c|(o E b — c|.

Este producto puede convertirse en lo sumo de dos cualidades nr jlhplicoda por sudiferencio,de esto rnedo: /

donde hemos desarrollado |a+ b|* por lu reglo del 1er. cato.

I5> Etcctuar |o+ b+ c)|a— 6— c).

Introduciendo los dos últimos términos del primer trinomio en un paréalos.)precedido del signo -1-, lo cuol no hoco vorior los signos, y los dos últimostérminos del segunda trinomio en un paréntesis precedido del signo — , poralo cuol hay que combior los signos, tendremos:

(61 Efectuar (2x I 3y —4¿|(2x 3y t .iz¡.

|? / + 3y —4z|(?x — 3y + 4z) = (2x + <3y — Iz}) \7x - (3y »z)]= | 2x ) " <3y A z ?

= 4xz (Py 2<5yz + 1(>z7) — 4xa — 9y- I 2 4 y z 16xa. R.

EJERCICIO 65

<x l y»z1(x+yz).(.vy+z)<x+>—z).(x 1yfzWx y - i ) . ( n i | M + 1 ) ( m + n —1 ).(ni—m— i y j n - nl1).

0.7.89.10.

(x I >—2)(x y l 2).( » « + 2 » + l ) ( n * 2 n 3 ) .(o 2al 3)(fl+2fl l3).(m7—m —1 )(«ta+ » i 1 ) .(2 fl 6 í )( 2 « —0 »<).

11 <2xl yz )(2x yrZ )12. (x?5 x + 6)< x slr.x ft)13. (a3~«6+6*)(da,+6a+af14. (xa—x a—x)(\ilxí i x)

2 O A t e t a r a

EPRESENTACION GRAFICA DEL PRODUCTO DE LA SUMAOR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

Ll p r o d u c t o d e l a su ma p o r l a d i f e r e n c i a d e d o s c a n t i d a d e s p u e d eresen i a rsc geo m ét r icam ente c ua nd o los va lo res d e d i chas c an t idad es son

sit iv os. V éanse los s ig u ien te s pasos:

Sea (<i t b ) (n --!> ) = a- — b-

URA 16

C o n s t r u i m o s m i c u a d r a d o d e a

u n i d a d e s d e l a d o , e s d e c i r , d e l a d o a:

FIGURA 14

C o n s t r u i mo s u n c u a d r a d o t l eun idades de l ado , e s dec i r , de l ado b:

FIGURA i$

Al cuadrado de l ado u l e q u i t a mo s e l c u a d r a d o d e l a

d o b (f igura 161. y t ra zan do la l ínea de pu nto s ob tenem os

el rec tángulo c, cuyos l ados son h y (« — h) . S i aho ra t r a s l a-

d a mo s e l r e c t á n g u l o c en la forma indicada por la f lecha en

la li gu ra 17. ob tenem os e l r ec t ángu lo A B C I) . cuyos l ados

son la + b) y ( í j— b), y cuya área ( l igura IR) será :

(« • /,) (u — b ) = a : — b

(«x l b ) ( u - b ) = a * - b - (1 0 + 6) (10 —(1) —(10) (O)2

1 6 X -1 = 1 0 0 - 3 6

= 6 4 R .

PRODUCTOS HOTAB l l J • 1 0 3

9 0 ) CUBO DE UN BINOM IO

1) Elevemos « + b al-cubo.

T en dre m os : <« + £)* ~ (ti I í»)(« I b)(a + 0) = (<i + b)2(a + b) ~ (a1 + 2ab • /»*)(« • a: + ‘¿ab + b 2

E fe c t ua nd o e sta a + b

multiplicación, a ' - ' ¿ t f b + a b * o sea (a + b / - a-’ : ¡Urb I l.ibHtenemos: ______________ / ' a*b + 2ab2 + b 3

o»* &i*6 +

lo (p ie nos d ice que C1 c i i I k i de la suma de «los r.miirfadf.s es igual al c u Imi

de l a p r i m e ra c a n t ida d má s e l t r ip l o de l c ua d ra do de l a p r i m e ra po r lacg imdn. más o l t r ip lo do l a p r imera por e l cuadrado de l a segunda , más

e l «ubo de la s egunda .

Elevemos « - b al cubo. Tendrem os: > {« — b )s = (tt — b)- (a — b) = (« —'¿ab +

E fe c t ua ndo e s t a mu l t i p l i c a c i ón , t e ne mos :

vrs — 2a b 4 b '

a — b .« ' ln -b ¡ a b- o sea (a b) a = a 1 —&r’b + 3;d>" — b*

— á-b é 2a b* — b 3

a ' - Áa-b 1 -lab- b3

|o <IMC no s d ice q u e el c u b o d e la d ifere m ia d t des c an tida d es es igual .<1

c u l m de l a p r i me ra c a n t i da d , me nos e l t r i p l o de l «ua d ra do de l a p r i me ra

|Mn la segund a , más e l t r ip lo de la p r im era po r e l cu ad rad o de la segunda ,

me nos e l c ubo de l a s e gunda c a n t i da d .

Ejem píos (1 I Ocsauollor (a + 1)*.

{a •!• I |a = o* I 30*111+ 3o |l* | + 1:» cr1 + 3o + 3o + I. R

121 Dcsorrolloi |x —2Jr*.

|x 2)* = x* —3<*|2| + 3x|2*J —V = x4 —6x'*' + I2x — 8. R.

131 Dovmrollor |*tx + 5)a.

|4* + sy» = |4xJ* I 3<4x)s|5) »• 3|4x)Í5a)+S* = 64*' I 240x2 + 300* + 125. R

141 Dosouollor jx* —3y)V

<x1 ■3 /P = |*»|3 3(x*p(3y| + 3x2|3y |2 |3y|* =»•’ 9x*y + 2 7 « y 27y*. R.

4 • A L G E B R A

EJERCICIO 66

Desarrollar:

1 («4-2)*. -i («—4)3. 7- (2+yT- 10 (fl3-2i»)s.2. (x 1 )* 5. <2x tl)s. «■ ( I —2m)L 1L (2x43y)3.

3- (m4-3)a. C. (1—3)-)3. 9- (4rH3)a. 12. <1

) PRODUC TO DE DOS BINO MIOS DE LA FORMA U I j H x b)

L a m u l t i p l i c a c ión nos da :

x 42 x — 3 x 2 x 4G x + 3 x —4 x + 6 x —4

■y* —2x x 2 3x x a 2x x 1 + fix

3 x + G - 4 x + 12 4 - á x - lO - 4 x - 2 lx 2 4 5 x 4 fi x J 7 x 4 12 x* 4 3x —11) x l 4 2x 24

En los <uUKi e jem plo s exp ues tos se cu m p len las s igu iente s reglas :

1) E l p r im er t é rm ino de l p rod uc to es e l p ro du c to «le los p r imeros té r-nos de los b inomios .

2> E l c od i c í e n t e de l se gundo t e r m ino de l p r od uc to e s la s um a a lge -aica d e los seg un dos té rm in o s d e los b in o m io s y e n e ste té rm in o la x estáva da a un e xpo l í e n t e que e s l a m i t a d de l que t i e ne e s t a l e t r a e n e l p r i-

e r t e r m i n o d e l p r o d u c t o .

3) E l t e r ce r t é rm ino de l p rodu c to es c l p ro du c to de los segundos té r-nos de los b inomios .

O D U C TO D E D OS O IN O M IO S D E L A F OR M A l n « + r l <nx | b>.

E l p r od uc to de dos b inom ios de e s t a f o r m a , e n l os c ua l e s lo s t é r m ino s

t t i enen d i s t in tos coef ic ien tes , puede ha l la r se f ác i lmente s igu iendo los

n q u e s < ind ican en e l s igu ien te esquema.

Sea . h a llar cl p ro d u c to de (3.x • 5) (4.x + 6 ):

l(3a 4 -'I ( lx 4- ft) - 13U*-*-20x-I8X--30.

1 Ha- f i g u r a 19

K rdm ienilo los té rm ino s sem ejan tes tenem os: l!ix* 4 3*x t 30 R.

Ejemplos j (1) Mulliplicor |x + 7) \ x 2).

Codicíenlo del segundo leonino .....................7 2 Tercer término............................................. 7 X | 2) 14

luego (x I 7|(x —7 | x8 + 5x — 14 R.

IZ ) Efccluor (x — 7|(x —6).

Coeficiente del 7' término .............. | 7) I ( —61 —— 13Tercer término .................................... j —7 ) X ( 6 | I 42.

luego |x —7)|x —6) = x - — 13x + 42. R.

Los posos iiiteimcd ios deben suprimirse y c* producto escribirse director» nlosin escribir losoperaciones intermedias.

(31 Efectuar (a —l l ) |a + 9).

{o — 11) (a + 9) = o* —2o —99. R.

(4 ) Efectuar |*! + 7|(xs + 3).

Ix3 I 7 ) { x i — 31 = x ‘ + 10/.’J + 21. R.

PRODUCTO! HOTAUin • 105

Obsérvese que como el cxpnnente de x en el primer término del productoes 4, el exponento do x en ol segundo término es lu mitad de 4, o se a x.

(5 ) Efectuar |x* —!?)(x'J —3|.

(x:i —12)1** —3) ~ x,! —15x3 + 3£. R.

EJERCICIO 67Escrib ir, p o r simp le inspección , « I icsulu tdu «le:

</i t l){«+2). 7. (x—:j)(x—1). 13 (« í lK » 1120). 19.(xt2)(x| 4). 8 (x fr)(x + 4 ). 14. 20.( * + ; ' . ) ( * — 2). 9. (rill)(< » H 0). 15 (x« l 7)fx:i <¡>. 21.(m —G )(m 5). 10. <H l ! l ) (nH0) . 1G. (ri< + 8 ) (« ' l). 22.(x47>(x3). 11. {«*+5)(ri2—!)). 17. (n!—2){wn 17). 23.(x + 2 > (x l). 12. (x3 l ) ( x * —7). 18. (n«+7)(n«U). 24.

(rrArl Ci)(tib- (i).

(.\v«i>(xy,d 12). ■;

( * y - 6 ) ( x V i *)

( a " ’é H " ’ ' '

EJERCICIO 68M I S C E L A N E A

1. (x <‘¿y . 14. ( x + y + l K x —) l > . 27. (2 a * - W ) -.2 (x+ 2)(x+ 3). 10. (1 ■«)(« i 1). 28. {«:lll2)<rr:‘—15).3. (x 1l ) ( x 1). 18. (m 8)(n r + 12). 29. f»M3—w+n)(n * m i-n4. ( x 1 >*. 17. (v I)(x= 13). 30. lx*+7)(x>-11).D. (n I 3)(n i 5). 18 (.v'+C){x’ d ) . 31. (11G. (;«—3)(« j +3). 19. (SxHGwi*). 32 (.vy!.s)(xVEC).

(/!+//)(« -0)(nJ-//J).7. (/i+ /» l)(n t ¿» l 1). 20. (x«2}(x<+5> 33.8 (1 + o y . 21. (1— 34. (x +IW x - I H x’ -S ) .9. (n* M)<«*-4). 22 {a, E6n)(<i‘—¿/"). 35. (n • 3)<na+9)(fl—3).

10. (.IrifcfiX*)». 23. { x " * - S ) { x ' " - • ) ) . 3C. (x|5)(.v—f>)(x'J+ l) .11. (rtíH 3)(3ri¿»). 24 (a'Jb’+<*)(a:b*-c*). 37. (n El ) ( r» lK« +2 ) (a

Í ( 4 2) ( 3)( j 2)(

AtC tUKA

CO CIEN TES NOTABLES

) Se ll am a coc ien tes no tab les a c ie r tos coc ien tes q u e obed ecen a reg lasf i j a s y que pueden se r esc r i tos por s imple inspecc ión .

) CO CIEN TE DE LA D IFERENCIA DE LOS CUADRADOSDE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA O LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES

a * - 0 S 1) Sea el cociente

—a 2 — ab

- b2 | a + b

a — b

- a b - b" ab + b 1

2) Sea el cociente

a- - b -

— a 3 + a b

ab — b-

— ab + b-

a z — b 3

a - b '

a — b

Efec tuando la d iv i s ión , t enemos :

a 2 - l>=o sea ----- — —a — b.

Efec tuando la d iv i s ión , t enemos :

a* l>o se a — = a + b , .

L o anterior nos dice que:

1) L a d i f e r e nc i a d e lo s c ua d r ados de dos c a n t ida de s d iv id ida po r lam a de las can t idad es es igua l a l a d i f e renc ia de la s can t idades .

2) L a d i f e ren c ia de los cuadrado s d e «los can t idade s div idid a p o r lae renc ia de la s can t idades es igua l a l a suma de las can t idades .

Ejemplos 111 Dividir 9x- — y 3 entro 3x+ y.?x*— y*

( 2 ) D ividir 1 — x 4entre 1 x".

I - x ‘

s l + j * . R.

= 3 * - y - K.

<3 1 Dividir lo+ b f — c* entre (o+ b)+ c.

|o + b)2 —c-

(o + b j he

<4) Dividir 1 — |a + n|* entre 1 —|o fn ).

1 | o dnl*

= o + b - c. R.

I — (o + n)= 1 r n + n , R.

EJERCICIO 69

Hallar, por simple inspección, el cocieijte de:

C OCI tNTES H O T A UI U 0 ( 0 7

1. x * - l

5x * 4

0. A x '—9 ,1 1 *1 1 *

13. X Í*-yS «*

17.!(«•» t

x + 1 x —2 2x+'¿mrP x"+ y“ ’1 H " »<

2.1.K*

!>.v‘

:¡ .v10

6 w —7»x214

• 2—IOO

/1‘ ' '] (>18.

•I(wi+»

2 l (m •

1 « • *

7.a*-40"

11.81a'1—100Í»'1

15.11>X * ‘

10..v® <\

x+ y a+2 b ’ 3aa+I0¿»‘ l+ 3 * m ■ *■!•(» •

4. 8.2 5 3 6 * '

12. 10.(x,y>=—2=

20. y - x Cx a-b3-i- 2x3)i8 (vly>—2 («H »)«

( 94 ) CO CIEN TE DE LA SU M A O D IFERENCIA DE LOS CUBOSDE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMAO DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES

a3 4- b 3 ' ) Sen e l co ciente — —, . K fcctuando la divis ión, leñemo s:

a3 4 f>3 |_ <[+ P — a3 — a -b a - — ab I b~

a-b-i- ab - u3 + bn . o sea — — = a 4 al» t bi*.ab - + /, ' a r b

a b 2 / , 3

a 1 — í»32) Sea e l c o c ie n te , . K fec tuando la d iv is ión , tenemos:

a — b

a3 — ¿»? I a — b

— a3 + atb az + ab + b"

<izb — aí b + ab - a3—l>"

—7 ; . 8 o sea — a 11+ al» + b*ab* — b“ a —b

— a b * + b *

1.0 anterior nos diec que:

1 ) l a sum a de lo s c ubos de dos c a n t ida de s d iv id ida po r la sum a dela s c a n t ida de s e s igua l a l c ua d r a do de l a p r im e r a c a n t ida d , m e nos e l p r o-

duc to de l a p r im e r a po r l a s e gunda , m á s e l c ua d r a do de l a s e gunda c a n-t idad .■) La dife ren cia d e los cu bo s d e «los ca ntid ad es d iv id id a p or la «lile

leticia «le las can tidad es e.s igu al al c ua dra do d e la prim era rantida<l. másel producto «le la pr imera por la segunda, más el ta ladrado t ic la segunda

AIGIBRA

Ejetn píos( i l D ividir 8* °+ y ' entre 2x I y.

8*a + y3 — - i2x)x - 7.x | y | -V y - = 4x - 2xy + y". R .2 x + y

(21 Dividir 27xfc+ 125y" entre 3x- I 5y>.7/x" I I25y!l

- (3x3P- 3x={5y:‘ |+ \ 5 / f = 9x-- 15x»y* I 25/-.3x-+ 5y:i

( 3 ) D ividir 1 — 6-k r’ entre 1 — >40.

1 d k r 1= l + 4 o + 1 6 a s. R.

1 —40

(•",! DividirÜxl - - 7 29 /- entre7.x' 9y".

8x'~- ’/ " / ) / — ------------ — 4xHI 16 xV + 81 y4. K.2x* — 9y2

Loi ( X j ío s ¡nlcrnicdioi d e b e n s u p r i m i r s e y e s c r ib i r d i r e c t a m e n t e ' c : r e s u l t a d o

íinol.

E JERC IC IO 70

Hallar. por simple inspección, cl cociente dé:

a x t + t f y ?

í+a 'Hy'

.xt—27>';‘17

C¡)rr'|6"

2 x l-Hy } + o b x —Uy 1 1 * 4o+6a

27w<:*—125«810.

7295126»14.

8r?f+yf 18

o°—6°

:i>n~l»t ü 8 6 •M ' \y '

<j4«3+34311. IR

1 —x l19

125 M43.v:n

4«+7 «x+6lu .

1 x*i .* / -

¡i—7x*

216—125y»12.

na—wi*x*1G.

27**+ l9C\

«“+1

6 —5y m — imjc 3.\2+ rAUt

« - + 1

' COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE POTENC IASIGUALES DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMAO DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES

l.a divis ión nos da:

« ' — b* , • <r I a-b i a b - i Ir1

tfi 6 n

0* + « 86 r (t-b- I a b 3 : 6 ‘.

a • b 1o + 6

= «■' «*6 1 a b 2 - b \

c o c i i h u s h o t / . u u s • 1 0 9

0? + Ir-I. — = rt4 — axb I a-b- — /ib* — b*. IV.

a + b ¡

a 1 I b*

no es exacta la d¡v |»

«10 es exacta la divU

[ /> an t e r io r n o s d i ce q u e :

1) La d ifere nc ia de poten cias iguales , ya sean p ares o ¡ñ ipares, ess iempre d iv i s ib le por l a d i fe renc ia de las bases .

2 ) La d i fe renc ia de po tenc ias igua les pares es s iem pre d iv i sib le poila suma de las bases.

3 ) La sum a de po tenc ia» igua les im pa res es s iem pre d iv i s ib le por l.i

suma de las bases.4 ) La sum a de po tenc ias igua les pares nunc a es d iv i s ib le por l a suma

ni por la d i ferencia de las bases .

L o s r e su l t ad o s an t e r io re s p u ed en ex p resa r se ab rev i ad am en te d e e s t e

1) a" — b" es s iempre d iv i s ib le por a — b, s i e n d o n c u a l q u i e r n ú m e r oen tero , ya sea par o impar .

2) u ” — 1>" es d iv i s ib le por a 4 1> s i e n d o n u n n ú m e r o e n t e r o p a r .

3 ) a" -r b" es d iv i s ib le por a + b s ie n d o n u n n ú m e r o e n t e r o im p a r.

1) a" tu tuca es d iv i s ib le p o r a I b n i p o r a — b s i e n d o n u n n úm ero en t e ro p a r .

N O T A

L a p ru eb a d e e s t a s p ro p ied ad es , fu n d ad a en e l T eo rem a d e l Res id u o ,en e l n ú m ero 1 0 2 .

96) LEYES QUE SIGUEN ESTOS COCIENTES

L os r e su l tad o s d e 1, II y I I I d e l n ú m ero a n t e r io r , q u e p u ed en s e r co m - prob ad o» cad a u n o d e ello s e n o tro s casos d e l m ism o tip o , nos p e rm ite nestablecer induct ivamente las s iguientes leyes:

l ) Ll cociente t iene tantos térm inos com o un idades t ien e el exponen*te de las letras en el dividendo.

l i l p r im er t é rm in o d e l co c i en t e s e o b t i en e d iv id i en d o e l p i i i u e rt é rm in o d e l d iv id en d o en t re e l p r im er t é rm in o d e l d iv i so r y e l ex p ó r t en -

t e d e a d i s m i n u y e 1 e n ca d a té r m i n o .3) El exponento d e b en e l segundo término del cociente es I, y CMC

cX|>oncntc aumenta ] en cada término posterior a éste.' ) C ua nd o e l d iv iso r es a — b lod os los signos de l co cie n te son i y

i li d l d i i $ <? I b l i d l i t l t t i t I

AL0I8RA

< 1) Hollar el cocientedo x1— y1 entro x — y.

Aplicando los ioycs anteriores, tenemos:

x7— y

1 — _ - x c+ x6y + x V + x 'Y + x V + xyr> I y ” . R.x y

Como el divisor esx— y, todosk>S signosdel cociente seo -K

(21 Hal larelcocientedem ' n*entreen+ n.

-------------- — m 7 — irfln + m ñr r — m W + n r 'n '* — m V I m n l¡ — « T. R.m 4n

Comoel divisor es m I-/i los signos del cocienteolternun.

( 31 Hallarel cociente dox5+ 32 entrex+ 2.

Como 32= 2% tendremos:

x5 32 xu+ "¿‘ = - — = x«— 2x;i t-2-x *- 2‘x- f 7*- x* - 2x*-I d x^-S x-t-16. K.x+ ? x t 2

14) Hallarel cocientedeMn " 729b'1entre2o4-3h.

Como 64or'— {2a I" y 7296°= {3b I", tendremos:

M u " - 729b*= (2o|c (3b?2a + 36 ~ 2a-i 3b

rs (2o|fl (2 o)‘(3i)| + 12o)■*(3¿>)* <2op(3í»)® + (2o) |3b) ' (3*)*

- 32ar' - 4Bo'6 + 7?crxb: 103ü-fc:' + \67ob*- 243br\ R.

EJERCICIO 71lliillai, |>or simple inspección, el cociente de:

a7— in~

1—n»

x7—128

x6+243j>6 .

a —rrt l « x 2 M . x+3y

nd—0:' 14. 20.

«JH21326.

a \ 0 | « e+ 3 2« 366

9.xn ._y ie

1 r»1+n7

04xc729

r*G4?nB—729«,;

x ~ ylo .

I d a21.

x —3¿ f •

‘¿m + 3 »

wrf+w"

wHit16.

l » i*

1+n?22.

625 x '

*+;»28.

102'lx"1—1

11. 17.x4—16

23.w8—256 AA 512a"+6*

' m —n ni 2 2n+h

a i « - x i o18

x*G424.

x « J30.

o"—72!)

a l x x + 2 x 1 n 3

Ejem píos

C OC IiN HS NO TA BltS • 1 1 1

I5> Hollaro l cocienle de a l0 + b 10 entre o3 T b J.

En loscosos estudiados hasta ahora los exponemos de! divisor han sido siempre 1. Cuando los exponentos del divisor sean 2, 3, 4, 5, etc., sucederá queel exponento do a disminuirá en cada término 7, 3, 4, 5, etc.; la b aparece

en el segundotérminodel cocienteelevada a un exponento igual al que tieneen el divisor, y este exponente rn codo término posterior, aumentará 2, 3.4, 5, etc.

a1" + b ,(lAsi, en este coso, tendremos: = a '— onb"- r o^b*- o3b° I b ‘ K

o- + b-

donde vemos que ol exponento do 0 disminuye 2 en codo término y el do tiaumento 2 en cada termino.

(61 Hal lar el cociente de xlR— y15 entro x*— y9.

= X» + x y + x V + * V + y,s *•X y ’

EJERCICIO 72

Escribir, poc simple inspección, el cociente de:

1. x*+y*

x -+ yü ‘ rt^+b1i » « + l

m‘ l l .io.

xa+y*13.

r i« . |b«

ríJ tM~'

2. «■ —X

mI ,f n 1'1

»»*+«“14.

O1** rn"'

n J+ i; ’ r«1—n ‘ rl°—rfl*

3.IW,M—»*• « x,4+>“ 0 a»9—6»« jo ^ 1m~ a" xHy* <*»+&» ' x " l

► EJERCICIO

MISCELANEA

Inscribir el cociente sin efectuar la división:

1.x * l

7.1+**

13.32x°|.243yn

19.1 + x "

2.8m:iln*

I6x 2y‘2 5m «14.

25—(«+1>*20.

xin_ytu

2w i+ m- •lx),i!+ñr/i:i 5+(a+]> ' x*y*

3.1—«r

9.x » + y »

jq l x «

■>19—3G.v10

]rr Va iy*1U«

1 —X* 3+0xa

4.xu—27y8

x33yJO.

„ar+ysr

r r> T Y * *

1C.64X*—ai:!/1

•lx3—7y9 *22.

x#—259

x°—49y®

rr’b4—04x*

17.xH7yJ asfr3+8x* a ' + b * '

n.a u - b u

ns—¿»s '12

1-a'-b*c»

I -a l f ic* ' 18.

<«Hx)3 y 3

( a + x ) y

mano». Fuo autor de innumerable» inventos mecánico»,entre los qun catán el tornillo sinfín, l.i rueda dentada,ele. Fue asesinado por un soldado enemigo mientrasresolvía un problema matemático. Fundó la Hidiostátie.s ol descubrir el principio quo lleva su nombre.

DES ( 2 B 7 2 I 2 A. C. ) El más genial de lo»s de la Antigü eda d. Fue el prinsoro enódicamente las ciencias a los problema» del. Por espacio de tro» años defendió a Siciudad natal , contra el ataque de los 10

CAPITIILO

T E O R E M A D E l R E S I D U OVil

971 POL INO M IO ENTERO Y RACIONAL

U n p o l i n o m i o c o m o x :| + Ox 3x + I e s e n te r o po r qu e n in gu no de susté rminos t iene le t ras en e l denominado! y e s r a c iona l po r que n inguno t i c

sus té rminos t iene ra id inexac ta , l t s tc es un pol inomio en te ro y rac iona l enx y su grado es :¡ .

El po lin o m io I fin' • 3a1 ! 3a I I 3 es u n po lin o m io e n te ro y

r a c iona l e n n y su grado es ó .

® RESIDUO DE LA DIVISION DE UN PO LINO M IO ENTERO YRACIONA L EN x POR UN B INOM IO DE LA FORMA x n

!) Vam os Si hal lar e l re sidu o d e la divis ión d e x s 7.x1 l?.x b e n -tre a - 3.

E f ec tu e m o s la d iv is ió n : x1— 17x — <i x —J*

— x y' + 3x Xa — d x + 5

4 x- i 17.x

4x* 12.x _____

5x tí — 3 \ !1 3

í)1 d i i ió l id !

Si a h o r a , e n e l d i v i d e n d o x * 7 x z + 17* — 6 su s ti tu i m o s la * p o r 3, t r n

tirem os: 3* _ + 0 = 27 63 + 51 6 = 0

y v em o s q u e e l r e s id u o d e d i v i d i r e l p o l in o m i o d a d o e n t r e * —3 se o b t ie n e

su st i tuy en d o en el ]H>Iluomio da d o la .* p o r l 3.

2 ) V am os a ha l la r e l res id u o de la d iv is ión d e 3*a — 2x" —18x —1 et re * + 2.

E fectu em os la divisió n: 3* 8 —2x — Ifi* — I | * 1 2

3x* C,x- 3* 6* 2

8* 18*8x z + 16x

—2x —12x + 1

Si ah ora , en e l d iv id en d o 3x* —2x9 — I8x —1 su st i tu im os la x por 3,

t endremos : 3 | , _ 2y _ 2(_ 2), _ l8 (_ 2) l = _ 2 4 8 + 8 6 1 = 3

\ v emo s q u e e l r e s id u o d e d i v i d i r e l p o l in o m i o d a d o e n t r e x + 2 s e o b tie n etu mi l u y e n d o e n e l p o l in o m i o d a d o k t x p o r — 2 .

l .o e x p u e s t o a n t e r io r m e n t e s e p r u e b a e n el

TtOHfMA DO. RCSIOUO • 1 1 3

99) TEOREM A DEL RESIDUO

El re s iduo de d iv id i r u n po l inom io en te ro y rac ion a l en x po r un I»1i iont in d i la form a x ií s e o b t i e n e su s t i t u y e n d o e n e l p o l i n o mi o d a d o l a> por (/,

.Sea el po lino m io A x m I l ix " , - C xm~s + ................. + Al.* + . \ \

D i v i d a mo s e s t e p o l i n o mi o p o r x - a y c o n t i n u e mo s l a o p e r a c i ó n h a s t a

(p ie e l res iduo R sea ind ep en d ien te d e .*. Sea (¿ el coc ien te d e es ta d iv is iónC om o cu toda d iv i sión inexac ta el d iv id en do es igua l a l p rod uc to de l

d iv isor por e l coc iente más e l res iduo, tendremos:

A x " /¿ .v » + C’x In= + .............. + M x + jV = (x u)Q + R .

Esta igua ldad es c ie r ta p ara todos los va lores d e x . Su st ituyam os la x

po r ,r y ten d re m o s : A a „ ^ + Ca„.g + .........+ M fí + N = (a _ tíyQ J{

P e ro ( « « ) = O y ( « « ) Q ~ 0 x Q = 0; lu eg o, la ig u ald a d a n t e rio r se

co nv ier te en . , , A i j” + B a " 1 I C a ° - ¿ + .............. + M a + jV = R .

i gua ldad (p i e p rueba e l t eo rema , pues nos d i ce que R , e l r e s i d u o d e la d i -v i s ión , e s i gua l a l o que se ob t i ene sus t i t uyendo en e l po l inomio dado l a

t l ( i í d t

4 # AL GEB KA

N O T A

U n p o l i n o m i o o r d e n a d o e n x s u e l e e x p r e s a r s e a b r e v i a d a m e n t e p o r l at a c i ón P(x) y e l resu l t ado de sus t i tu i r en es te po l inomio l a x por « se

cr ibe P{a).Si el divisor es x + a , co m o x + « = x —(—«), e l re s iduo d e l a d iv i s iónl p o l in o m i o o r d e n a d o e n x e n t r e x + a s e ob t i e ne s us t i t uye ndo e n e l po-

nomio dado l a x por —a.En los casos an te r io res c l coef ic ien te de x e n x — a y x n es 1. Estos

n o m io s p u e d e n e sc r ib irse lx « y lx l« .S a b e m o s q u e e l r e s i d u o d e d i v i d i r u n p o l i n o m i o o r d e n a d o e n x e n t r e

a ó l x « s e o b t i e n e s u s tit u y e n d o la x p o r a. o sea. |>or y y el residu o

d i v id i d o e n t re x + a ó 1 x + a se ob t i e ne s us t it uye nd o la x po r —a, o

a p o r — y

Por t an to , cuando e l d iv i sor sea l a fo rma Ox — a. d o n d e b , que es e le f i c i e n t e de x , e s d i s t i n t o de 1 . c l res iduo de l a d iv i s ión se ob t i ene sus

y cu an d o e l divisor sea de la

rma b x I a e l r e s i duo s e ob t i e ne s us t i t uye ndo e n e l po l i nomi o da do l a x

o r £ .

E n g e n e r a l , e l r e s i d u o d e d i v i d i r u n p o l i n o m i o o r d e n a d o e n x p o r u nn o m io d e la fo rm a bx —n s e ob t i ene sus t i tuyendo en e l po l inomio « ladox po r e l q u eb ra d o «juc resul ta «le d ivid i r el segund o té rm ino «leí b ino -o c on e l s igno c a m bi a do e n t r e e l c oe f i c ie n t e de l p r i m e r t é rm i no de l

no m io .

t•) Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir

x -— 7x+ 6 entre x 4.

Sustituyendo la x por A, tendremos:

4-' - 7(4) I ó - 1 6 - 7 3 - 6 = - 6 . R.<2> Hollar,por inspección, o: residuo de dividiro* + 5u--I-a- 1 entreo I-5.

Sustituyendo la a poi — 5, tendremos:

( — 5|:i I 5( Sp ! 1 - 5 1 - I - - 125+125 - 5 - 1 - - ó - R-

Hollar, por inspección, el residuo de 2xs+ óx- 12**1* I entre 2x1-1.

Sustituyendo le x por — -7-, tendremos:

21— 5V + 6 | — i ) * — 12| —¿ ) + l = - ¿ + * + 6 + 1 = . R.

<4 1 Hallar, por ¡nr.poceión, cl residuo de o*— 9o*— 3o+ 7 entre 3o— 2.•*

Sostituycndo la o por — , tendremos:

E jem ph s

u yend o en el po linom io d ad o la x [mr —

EJERCICIO 74T IOX IMA D IL R IS IOU O • I I 5

Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir.1. x2—2 x + 3 en tre x —1. 7. a 5—2e* +2« —4 en tre a - 5.?. xs—3x*+ 2x—2 cn u e x + 1 . 8. <5x*+x2+ 3 x + 5 en tre 2 x + l.3. x '—x*+5 entre x 2 . 9. 12x3~2 1x+ 90 en tre 3x 3 .

•1. <r*—r>a*+2<i2—6 c n u e <i+3. 10. 15x*—l l x 2+ 1 0 x + 1 8 en tr e :i« *25. wi, +»n*— en t re m —4 . 11. 5X4 12xa+9 x 2—2 2 x 3 l cu t i r ó»0 vn+ 3x *2 xs+4x2 2 x + 2 entre x+3 12. a’,+fl48 fls+ 4 « + l cn tie 2a *.1

D I V I S I O N S I N T E T I C A .(100) REGLA PRACTICA PARA HALLAR EL COCIENTE Y EL RESIDUO DI

LA DIV ISION DE UN PO LIN O M IO ENTERO EN x POR x a.x* —5x + 3x + 14 j x —3

— x 3 + 3x2 x* —2x —3I) D iv ida m os x* — 5x* + 3 x + 14 —'•>x' + 3x

en tre x —3. ________ /2 x fix

—3x + 148x — 9

5A q u í v em o s q u e e l co c i en te x 2 2 x —3 es n n p o l in o m io en x cuy o

grado es 1 menos q u e e l g rado de l d iv iden do ; qu e e l coef ic ien te de l p r iinc ité rm ino d e l coc ien te es igua l a l coef ic ien te de l p r im er té rm ino de l div i

«leudo y que el residuo es 5.•Sin efectuar la d iv is ión , e l cociente y el res iduo pueden hal larse por

l.i s igu ien te regla práctica l lama da división sinté tica:t ) E l coc ien te es un po l inom io en x cuyo g rado es 1 m enos qu e el

g rad o d e l d iv id en d o .2 ) E l coef ic ien te de l p r im er té rm ino de l coc ien te es igu a l al coef i-

c i en t e d e l p r im er t é rm in o d e l d iv id en d o .3 ) E l coef ic ien te de u n té rm ino cu a lqu iera de l coc ien te se ob t iene

m u l t i p l i can d o e l co e f i c i en t e d e l t é rm in o an t e r io r p o r e l s eg u n d o t é rm in od e l b in o m io d iv i so r cam b iad o d e s ig n o y su m an d o e s t e p ro d u c to co n e l

co e f i c i en t e d e l t é rm in o q u e o cu jw e l m i sm o lu g a r en e l d iv id en d o .4) E l res iduo se ob t iene m ul t ip l icand o e l coef ic ien te de l ú l tim o té r-

mino de l coc ien te por e l segundo té rmino de l d iv i so r cambiado de s igno y« t im an d o e s t e p ro d u c to co n e l t é rm in o in d ep en d ien t e d e l d iv id en d o :

A pliquem os es ta regla a la d iv is ión an ter ior . Para el lo escr ib imo s so-lamente los coef ic ien tes de l d iv idendo y se p rocede de es te modo:

D i v i d e n d o . . .. x 3 — üx 2 + 3 x + 1 4 D iv is or x

C o ef ic ie n te s . .. 1 5 + 3 + 1 4 1 3 ► ¡ScRundo t#..,

1 x 3 = 3 (— 2 ) x 3 = — 6 (— 3 ) x 3 = 9

2 3 + G'c a m t iU i lo ) .

9 A i c c e n A

E l co c i en te s e rá u n p o l in o m io en x d e 2 ? g rad o , p o rq u e e l d iv id en d ode 3er grado.

El co e f i c i en t e d e l p r im er t é rm in o d e l co c i en t e es 1, i g u a l q u e en e li d en d o .

E l coef ic ien te de l segun do té rm ino de l coc ien te es 2 , q u e se lia ob -

id o m u l t i p l ica n d o e l s eg u n d o t é rm in o d e l d iv i so r co n e l s ig n o cam b ia-

l 3 , p o r e l co e f i c i en te d e l p r im er t é rm in o d e l co c i en t e y su m a n d o e ste

d u c to , 1 x 3 = 3, c o n el co efic ien te de! té rm in o q u e o cu p a e n el d iv id e n -

e l m i sm o lu g a r q u e e l q u e e s t am o s h a l l an d o d e l co c i en t e , e l s eg u n d od i v id e n d o 5 y te n em o s — 5 + 3 — 2.

E l co e f i c ien t e d e l te rc e r t é rm in o d e l co c i en t e e s 3 , q u e se h a o b t e-

o m u l t i p l i c a n d o e l s e g u n d o t é r m i n o d e l d i v i s o r c o n e l s i g n o c a m b i a -

+ 3, p o r e l co e f i c ien t e d e l s eg u n d o t é rm in o d e l co c i en te —2 y su m an d o

e p rod ucto : ( 2) x 3 — —6, con e l coe f ic ien te de l t é rm ino qu e ocup a en

d iv id e n d o e l m i sm o lu g a r q u e e l q u e e s tam o s h a l l an d o d e l co c i en t e , elce ro del d iv id en d o + 3 >' tenemo s i 3 — 6 = — 3.

E l r e s id u o e s 5, q u e s e o b t i en e m u l t i p l ican d o e l co e f i c ien t e d e l ú l t im om i n o d e l c o c ie n t e 3 , p o r e l s eg u n d o t é r m i n o d el d iv i so r c a m b i a d o d<?n o 3 y s u m a n d o e ste p r o d u c t o : ( 3 ) X 3 = 9 . c o n el té r m i n o in d e p e n -n te d el d iv id e n d o + 1 4 >' leñemo s +■ 14 = + 5.

Por lo t an to , e l coc ien tela d iv is ión es __________________________ S f ” 2 x “ 3 y el * * ‘d u o

e son e l coc ien te y e l res iduo q u e se ob tuv iero n e fec tuan do la d iv i sión .

Co n e s t e m é to d o , en r ea l i d ad , l o q u e s e h ace e s su s t i t u i r en e l p o l i-m io d ad o l a x p o r I 3.

2 ) Hallar, por división sintética,

cociente y el resto de las divisiones 2x* — 5x* + 6xa —4 x 305 e n t r e x + 2,

( 2 o . t e r m i n o r li - l d i v i t o i

<©n ct signo iMinbiaüo'i G + 6 — 4 J05

4 ( 0 ) x ( 2) 18 2 4 X ( 2 ) = 4 $ ( 52)X ( - 2 ) ~ 1042

9 + 24 52 1(residuo)

Como el d iv idendo es de 4"? grado, e l cociente es de 3er grado.

Los coef ic ien tes de l coc ien te2 . 9 , * 24 y 5 2 ; luego, e l 2 xs — 9 x ,J + 24* 52 y e l r e s id u o e s 1 .

í en t e e s ______________ __________ /

C o n e s te m é t o d o h em o s s u s ti tu i d o e n el p o l i n o m i o d a d o la x p o r 2

T IO R E M A O tL l l t S ID U O • | 1 7

3) H a l la r , por d iv is ión s in té t ica , x l 16x* 202x + 81 c u t i r x

e l coc iente y e l res id uo de d iv idi r —/

O rn o e ste po l ino m i o es inc om pl e to , pue s le f a l ú n lo s t é rm i no» e nx* y en x , a l escr ibi r lo» coef ic ientes po ne m os 0e n lo s l uga re s q ue de b

ocupar los coef ic ientes de es tos términos .

T e n d r e m o s :

1 + 0 l f i I0 2 0 2 81 + 4

4 1 0 0 0 8 0 8

1 M 0 0 2 0 2 7 2 7

(residuo)

Como e l d iv idendo es de 5? grado , e l coc ien te es de 4? grado .

Los coef ic ientes del cocientes on 3, M , 0 , 0 y 2 0 2 : lue go , el x ‘ + 4xa 2 0 2 y e l r e s iduo es 727.cociente es /

4) H a lla r j>or división s intét ica el coc iente 2x* —3x* — 7x 6 e n tre

y e l res to de la d iv i s ión d e ------- S

Po ngam os el d iv i sor en la fo rma x + « d iv id ien do sus dos t é rm ino»2x

|M»r 2 y cendremos ~ + i x + £. A h o r a b i en , c o m o el d i v is o r lo h em o s

div id ido en t re 2 . e l coc ien te quedará mul t ip l i cado por 2 : luego , los coc í it i e n te s qu e e nc on t r e m os pa ra e l c oc ie n te t e nd re m os qu e d i v i d i r lo s e n t r e 2

p.ir a d e s t ru ir esta o p era c ió n :

2 3 0 7 61 12 l 4

2 4 + 2 R 2(residuo)

2, 4 . 12 y —8 son los coef ic ientes de l co ciente m u l t ip l i-

cados po r 2 : luego , pa ra d es t ru i r e sta op erac ión hay q u e *» —2x*l .»d i v i d i r l o s e n t r e 2 y te nd re m o s 1, 2 , + 1 y 4 . C o m o elcoc ien te es de t e rce r g rado , e l coc ien te se rá : /

y e l res idu o es —2 po rq u e a l res idu o n o le afecta la div is ión d el divisorm i re 2.

EJERCICIO 75

H allar, po r división sin tétic a, el cocien te y el resto de la» divisiones

siguientes:1 x a—7 x + 5 e n tr e x 3 . 4. x 1 2 x ‘+ x —2 e n tr e x 2 .2 nJ—íirt+1 en tre n+ 2. fi. o*3 fla—6 e n tre n+ 3.:s. xax *+ 2x —2 entre x+ 1. C. n‘ 5 « a+ 4 n —48 en tre n+ 2 .

8 * A l C I B R A

x+5 entre a—1. 11. .v"—3x5+4x4—3x*-xJ+2 «ntrc x+3.*—12xa—x=—l x 2 en tre x+ 4. 12. 2x *3 x* +7 x—ó en tre 2x —1.aa+4d—6 ent re a—2. 13. :toJ—4a5+ ó a+ 6 en tre 3a+ 2.08x3+2076 ent re x —5. 11. 3x «4 xM 4x a—lOxl8 en tre 3x—1.

10 x®—x ,*+ “ xa+x* —1 en tre 2x + 3.

OROLARIOS DEL TEOREMA DEL RESIDUO

01) D IVISIBILIDA D POR x - aU n po l i nom i o e n t e ro e n x q u e s e a n u l a pa ra x = <i, o s e a s us ti tuye nd o

é l l a x |>or a . es divis ible |x>r x — a.

S e a e l po l i nomi o e n t e ro P\x) . q u e s u p o n e m o s s e a n u l a p a r a x = n. esc i r , sus t i tuyendo l a x por a. D e c im o s q u e P{x) e s d iv i s ib le p or x - a .En e fec to : Según lo dem os t rado en e l T eo rem a del R es iduo , e l res i-

u o d e d i v i d i r u n p o l i n o m i o e n t e r o e n x p o r x — a s e ob t i ene sus t i tuyendon e l p o l i n o m i o d a d o l a x p o r a; pe ro po r h i pó t e s i s P(x) se anula a l sus t i-i r l a x p o r a, O'sea Pin) — 0 ; luego , e l re s id uo de l a d iv i sión de Pt x ) e n -e x — a es cero; luego. P(x ) es divis ible por x — a .

D e l p rop i o modo , s i P(x) s e anula pa ra x = — a. P ( x ) es divis ible por a /i

( a) * I n ; si -P(x) se anula para x —y acta divis ible p o r x — o

o r b x — a ; si P (x ) se anula para x = ^ será divisible ¡K»r x — ( • * ) =

a• ^ o por b x + a.

Reciprocamente , s i Pix) e s d iv i s ib le por x —a t i e ne que a nu l a r s e pa ra= « . e s dec i r , sus t ituye nd o la x po r a; si P(x) es divis ible p o r .v + « t iene

u e a n u l ar se p a r a x = — a; si P(x) e s d iv i s ib le p o r b x — a t ie ne q u e a nu l ar se, »• • •• •

ara x —— y si es d iv is ib le p o r b x - r a t ie n e q u e a n u l a rs e p a r a x = —

Ejemplos<1 I Hnlfnr, sin cfccluor la división, si x1 4x" + 7x — 6 es divisible

por x —2.

Este polinomio será divisible po r x —2 si se onulo pa ta x = 12.

Sustituyendo lo x poi 2, tendremos:

2rt—4(2|3l 7 12|—6 = 8 —16 + 14—6 = 0luego es divisible po r x — 2.

( 2 1 Hollar, por inspección, si jij — 2x* + 3 es divisible por x I 1.Esto polinomio se ró divisible por x + 1 si se cn ula po ra x — — 1.

Sustituyendo la x por — 1, tendremos:<— 1)* —2 | — l p + 3 = — I — 2 + 3 = 0

luego es divisible por x + I.

T Í O X I M A D 1 L K t S t O U O 9 1 1 9

(3 ) Hollar, por inspección, si x4+ 2xa— 2xa+ x— 6 es divis ible por *+ 3 y onconlror el cociente de lo división.

Aplicaremoslodivis iónsintcticadcl nómerolOO con la cual hallamos simul

táneamenteel cociente yel residuo,si lo hay.

Tendremos! 1 + 2 2 1+ 3 3

6i / 3 3 *r 6

T 1 + 1 2 0fresiduo)

lo antciioi nos dice que el polinomio se anulo o! susliluif lo X por —3; lunfl'>es divisible por x + 3.

El cocienle es de leicer gra do y sus coeficientes son 1, '1 , + 1 y —2, luegoel cociente es

x* — x* + x — 2.

Por tonto, si ol dividendo es x4 + 2x* — 7xf + x — 6, el divisor x + 3 y el co-ciente xs —x2 x 2, y la división es exocla, podemos escribir!

x4 + 2x* — 2x* + x — 6 — |xf 3 )|x * x'J x —2|.

CONDICION NECESARIA PARA LA DIVISIBILIDAD DE UN POLINOMIO

EN x POR UN BINOM IO DE LA FORMA x a .

F s condic ión necesa r ia pa ra que un po l inomio en x sea d iv i s ib le por

u n b i n o m i o d e la f o im a x —a, q u e e l té r m i n o i n d e p e n d i e n t e d el p o l i-n o m io sea m ú l t ip l o d e l t é r m i n o a de l b i nomi o , s i n t e ne r e n c ue n t a l o s

%,K"os Asi, el p o lin o m io 3x 1I 2x* —6xs + 8x + 7 n o es div isible

p or el b in o m io x 3, p o rq u e el té rm in o in d e p e n d ie n te d e l p o lin o m io 7,no e s d i v i s i b l e po r e l t é rmi no numé r i c o de l b i nomi o , que e s 0 .

Es ta condic ión no es suf ic ien te , e s dec i r , que aun cuando e l t é r-m ino ind ep en dien te de l po l ino m io sea d iv i s ib le po r e l té rm ino ri riel

b in o m io , n o p o de m o s a f i rm a r q u e e l p o lin o m io e n x sea d iv is ib le p o r

e l b i nomi o x — a.E JERC IC IO 7 6

Hallar, sin efectuar la división, si son exactas las divisiones siguientes:

1 x*—x —6 entre x 3 . 4. xD+ x 45 x * 7 x + 8 en tre x+ 3.x4M x* x —10 entre xl2. B. 4x*—8xa+ l l x 4 en tre 2x —1.2x‘—5x*+7xa—9x + 8 en tre x—1. 6. 6x" | 2x« :ix 3 x2l-3x+3 entre 3x-I-

Sin efectuar la división, probar que:

7. a+1 es fac tor de «tR—2fla+ 2u + 5 .«. x —5 divid e a y B6x«+G x»5xa4 2 x 1 0 .0. lx 3 d iv ide a 4x47x *+ 7x a7 x + 3 .

10. 3 n + 2 n o es factor de 3n 8+2n *—30*—2n* +G n+7.

0 • A I C t O M A

Sin efectuar la división, hallar si las divisiones siguientes son o no exactasdeterminar el cociente en cada caso y el residuo, si lo hay:

13. la+1 6 entre o+2 .12 r t ' - f l - l2o i 2 e ntre a + 1 .

13. x« + 5x —G e n tre x —1.Id. x"3í>x '+26x*52x,+ 2D x~3ü en tre xG .15 . ae4«6— «' • 4o*+•«*— 8«+25 en t re a —4.16. 1 6 x ' 2 l x ' + 3 7 x ’ 2 4 x l 4 e n t re 4 x l .17. 15>»n l25n*—18na— 18«*+17> j —11 en t re 3n+5 .

En los ejemplos siguientes, hallar el valor de la constante K (términodependiente del pol inomio) para que:

Vamos a ap l i ca r e l Teorema de l Res iduo a l a demos t rac ión de l a s r e *

as es t ab lec idas en e l n úm ero 95.

S i end o n u n nú m ero en t e ro y jto s itivo , s e ve r if ica :

1) fl’ —b ' e s s i empre d iv i s ib l e po r a — 0, y a s e a n p a r o i m p a r .

E n e l e c to : D e a c u e r d o c o n e l T e o r e m a d el R e s i d u o , a" — b" será d iv i-

b le p o r a b , si se a n u la sus ti tuye nd o fl p o r + 1>.

S u s t i t u y e n d o a p o r \ b c u a" b", a" - b" - b° - b n = 0.nemos: /

Se anu la ; l uego , a” — ba e s s i empre d iv i s ib l e po r a — b.

2) o* I b* es d ivis ible p o r « I b s i n es impar .

S i e n d o n i m p a r , an + b" será d iv i s ib le por <t + b s i se anula al sust i-i r a p o r — b.

S u s t i t u y e n d o a p o r —b e n «’ + í>“, a*+f>a=(~ 6)*+ ¿> *= —6" + b " = 0 .nemos: /

Se anu la ; l uego , tin + b* e s d iv i s ib l e po r «+ í» s i endo n impar .

—&)* = - b a ¡Ki rque n es impar y toda cant idad negat iva e levada a un ex-

o n e n te im p a r d a u n a c a n tid a d negativa .

3) a" — b n e s d iv i s ib l e po r a b s i n es par .

S i e n d o n p a r , a* — b" será d iv i s ib le por a + b s i se anula a l sus t i tu i r

13. 7x2 5 x • K. sea div isible p or x —5.10. x a—3x3+ 4 x + K sea div isible ¡x>r x 2 .20. 2fl‘t2fxi+K sea divisib le pin «+ 3.21. 20x*—7x*+29xlK sea divisible por 4 x + l

DIVISIBILIDAD DE .V I b" y a " b POR a b v a b

TtOXIMA on. RISIDUO • 12)

S us t i t uye ndo l a a p o r —b e n an — bx, a” —ba=(—b)x- b a~b" bt enemos : ___ _ ___________________________________ /

Se anula; luego, a" b" es divisible por a l b siendo n par . (—b)'' b‘ p o rq u e n es p a r y to da ca n tid ad negativa elevada a un ex pon en te p a r da

una cantidad positiva.

4) «“+ b“ no es divisible por a f -b si n es par.

S iendo n pa r , pa ra que a" + b" sea divisible por a + b es necesario quese anule al sustituir la a p o r —b.

S us t i t uye ndo l a a p o r — b , a " + b " — (—b ) ° i - b ' ' - b " \ b ' :

t e n e m o s : ____ _ /

N o se an u la ; lu ego, un + b" 110 es divisible por a + b cuando n es par.

B) « » -| b “ n u n ca es divisible por n — b, ya sea n p a r o im par.Siendo u par o impar , para que «" + b ‘ sea divisible por a — b es noce

sario que se anule al susti tuir la u p o r + b.

Sustituyendo, a -+ b‘ = b - + b ° = tb -.tenemos: . y

N o se anula; luego, + b r‘ nunca es divis ible por a — b

Sh E JERC IC IO 77

Diga, [>or simple inspección, si son exacta» las divisiones siguientes y cu<.uo negativo, diga tn.il es el residuo:

x » + lo

x " l u"i6a5

xa8 a5+U2 | 1 16a«~81¿*

X —1o.

* * + 1 ' 7‘ xt2 «—211.

2a+'Jb

npfr 4.

xa—168. — — . tO.

x7—128

x + 212.

a»x«+b*

ax*+b%

a" ± b"DIVISIBILIDAD D E ------- — J l b

1)«»— b 1'

a — bs ie m pr e e s d iv is ib le . 2 ) — es divisible si

a + bn es impar.

3)a' — b*

a + bes divisible si n es par q j .1? . I1UIU. . c s div is ib le ,

a —b

TOLOMEO O 0 0 1 7 5 O. C .l El m.i* lo-de loa ¿itrónomoi de la époc,> hcIcnUtica.

gipto, confluencia du do* cultura*, Orfennle, influyó igualmente *obre ambaa. Sucéntrico dominé I» Autonomía duranto

catorce ilgloi haato I.* aparición do Copórnico. Aunquee t m il conocido por cito i trabajo», Hie uno de lo*fundadores de la Trigonometría. Su obra principal, elAlmagealo, en quo to abordan cuotlionr* ciintilir**,ai: utilizó «n la* unireraidadet hasta el siglo XVIII.

C A P I T U L O VIIIU A C I O N E S E N T E R A S D E P R I M E R G R A D ON U N A I N C O G N I T A

03; IGUALDAD es la expres ión de que dos can t idades o expres iones a l

' g eb ra i cas t ien en e l m i sm o v a lo r.

Ejemplos a — b I c. 3 ^ d x + 15.

0 4 E CUACION es u n a i g u a ld ad en l a q u e h ay u n a o v a r i a s can t id ad esdesconocidas l lamadas incógni tas y que sólo se veri f ica o es verdadera

a ra d e te rm in a d o s v a lo res d e las in có g n ita s.Las incógni tas se representan por las ú l t imas le t ras f ie l a l fabeto:

, y , z. ti. v.

Así. 5x + 2 = 17

s u n a ecu ac ió n , p o rq u e e s u n a i g u a ld ad en l au e h ay u n a i n có g n i t a , l a x , y es ta igualdad sólo

e ver i f ica , o sea que só lo es verdadera , para e la lo r x = 3 . Fn efec to , si sus t itu imo s la x p o r 3 ,

eñemos:-------------------------------------------------------------- '

Si damos a x un va lo r d i s t in to de 3 , l a igua ldad no se ver i f ica o no es

5(3) + 2 = 17, o sea: 17 = 17.

ECUACIONES ENTERAS D{ PRIMER GRADO • 123

La igua ldad y 2 —5y= —6 es un a ecua ción po rqu e es 2a —9(2) ¡un a i gua lda d q u e s ólo se ve r if ic a pa r a y = 2 e y = 3. E n e fe e 4 10«o, sus t i tuyendo la y por 2 . tenemos: / — (I

S i l iaremos y = ¡5. te nem os: 3a —5(3) = • t>9 1 5 = 6

- 6 = —r>Si d a m o s a y u n va lor d i s t in to de 2 ó 3 , l a igua ldad no se vc r ií ii a.

1,105) IDENTIDAD es un a igua ldad q u e se ver if ica para cu alesq uiera valo-res de la s l e t r as que en t r an en e l la .

Asi, ( a - b y = ( a - b ) ( a - b )

a- — n r —( « I m ) ¡a - m )son ident idades porque se ver i f ican para cualesquiera valores de las le t raso y l> en e l p r imer e jemplo y de la s l e t r as a y m d e l s e gundo e j e m plo .

El sign o d e id e n tid a d es = , q u e se lee “id én tico a” . (x í >)' x I :!x■, •Así . la ident idad de ( x + y ) 2 c on x : 2x y+ 31a se e s c r ib e /

y se le e ( x + y ) 8 i dé n ti c o a xa 4 2 x y I y?

(106) MIEMBROS

S e l l a m a p r im e r m ie m br o de una e c ua c ión o r í e una i de n t ida d a l aexpres ión que es tá a l a i zqu ie rda de l s igne* de igua ldad o iden t idad , ) s e-gundo m ie m br o , a l a e xp r e s ión que e s t á a l a de r e c ha .

A si. en la e cu ac ió n 3 x _ 5 = 2 x _ 3

el p r im er m iem bro es H.v y y e l segun do m iem bro 2x — 3.

( ' 0 7 )107) TERMINOS son cada u na de las can t idad es qu e es tán con ec tadas m uot ra por e l s igno + o —, o la ca n t id ad q u e es tá so la en un m icm lmi ,

As i, en la ecuac ión „ _ „o X — ¿ X — o

los t é rm ino s son 3x , —5, 2x y 3 .

N o d e b e n c o n fu n d irs e los m iem b ro s de u n a ecuac ión con los té rm inosde la misma, e r ror muy f r ecuente en los a lumnos .

Miembro y te rmino son equiva len tes só lo cuando en un miembro de

t ina ecuación hay una sola cant idad.

Así. en la ecu ac ión _ «ÍX — ¿X *r «i

t e ne m o s q u e 3x es e l p r im or m ie m br o de la e cua c ión y ta m b ié n e s unté rmino de la ecuac ión .

2 4 • A L G t B R A

08y CLASES DE ECUACIONES

U n a e c u a c i ó n n u m é r i c a c$ u n a e c u a c ió n 4 x 5 = x + 4.

e no t ie ne m á s le t r a s q u e la s incógn it as , c om o

nde la ún ica le t ra es la incógni ta x .Una e c ua c ión l i t e r a l e s una e c ua c ión

e adem ás de la s incóg ni tas t iene o t ras le tras , Hx + 2 a —5b - b x .

e r e p r e se n ta n c a n t ida d e s c onocida s, c om o /

U n a e c u a c i ó n e s e n t e r a c u a n d o n i n g u n o d e s u s t é r m i n o s t i e n e d e -om ina dor c om o e n lo s e j e m plos a n te r io r e s , y e s f r a c c iona r i a c ua ndo a l-

u n a s o t o d o s s u s t é r m i n o s t i e n e n d e n o m i n a d o r , c o m o

3x 6x xT + - = >+ T

09 ) GRADO de un a ecuac ión con u na so laincóg ni ta es e l m ayo r exp on en te q u e 4x — l>= 3x —1 y a x -k,0 — b'¿x I c,

ene la incógnita en la ecuación. Asi , /

on e c u ac io n e s d e p r i m e r g ra d o p o r q u e e l m a y o r e x p o n e n t e d e x es 1.

L a e cu ac ió n * * 5 * 4 6 = 0

s u n a e c u a c i ó n d e s e g u n d o g r a d o p o r q u e e l m a y o r e x p o n e n t e d e x es 2.

as e c ua c ione s de p r im e r g r a do se l la m a n e c ua c ione s s im p le s o l ine a le s .

10 RAICES O SOLUCIONES de un a e cua ción son los valores de las in -cógni tas que ver i f ican o sa t i s facen la ecuac ión , e s dec i r , (p ie sus t i tu i-

os en lugar de la s incógni tas , convie r ten la ecuac ión en ident idad .

A s i, e n la e c u a ci ó n G x _ 6 = 3 x + 8

a r a í z e s 7 po r que ha c ie ndo x - 7 se t iene

5(7) fi = 3(7) + 8, o sea 2!) = 29,

onde vemos que 7 sa t i s face la ecuac ión .

La s e c ua c ione s de p r im e r g r a do con u n a inc ógn i ta t ie n e n u n a sola ra íz .

l l ) RESOLVER U NA ECUACION es ha l lar sus ra íces , o sea e l va lo r o losva lores de la s incóg ni tas qu e sa t is facen la ecuac ión .

12)112) AXIOMA FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES

Si ccm cant idades iguales se ver if ican operaciones iguales los resul ta-

E C UA C IO N E S E N TE RA S O í P R IM E R G R ADO • 125

REGLAS QUE SE DERIVAN DE ESTE AXIOMA

1 ) S i a los «Tos m iem bro s fie u n a ec ua ción se sum a l ina m isma caur i

dad , pos i t iva o nega t iva , l a igua ldad subs i s te .

21 S i a lo s dos m ie m br os de u na e c ua c ión s e r e s t a un a m i s m a c au ri

dad . pos i t iva o nega t iva , l a igua ldad subs i s te .

3) .Si los dos m iem bros d e u n a ecu ación se m u l t i p l i c a n p o r u n a m i s

ma can t idad , pos i t iva o nega t iva , l a igua ldad subs i s te .

.1) S i los do s m iem bros d e u n a ecu ac ión se d iv iden po r u n a misma

cant idad , pos i t iva o nega t iva , l a igua ldad subs i s te .

i> Si los dos m iem bros de u n a ecu ac ión se e l e va n a una m i s m a po-tenc ia o s i a los dos m iem bros se ex t r ae u na m ism a m iz , l a igu a ld ad subs is te .

113 . i RANSPOS1CION DE TERM INOS con siste en ca m b iar los térmi

nos d e u na ecu ació n d e 1111 m iem b ro al otro.

C u a l q u i e r t é r m i n o d e u n a e c u a c i ó n m i p u e d e p a s a r d e u n m i e m b r o a

o t r o c a m biá ndo le e l s i gno .En efecto:

1) Sea la ecua ción á.v = 2 a b.

S u m a n d o b a los dos miembros de es ta ecuación, la igualdad subs is te

(Regla 1) , v tendremos:5x + b - 2a — b + b

y c o m o b i b — 0. q u e d a5 x *| b = ' 2 (i

donde vemos q u e — b , que es tabaen e l segundo miembro de la c c i i .k ióndada, l ia pasado al primer miembro c o n signo k

2 ) Sea la ec ua ció n 3x f b — 2a.

R e s t a n d o b a los dos m iem bro s d e esta ecuac ión , la igu a ldad subs is te

(Regla 2) , y tendremos:3 x + b — b — 2a — b

y c om o b — l>— 0 . qu eda

3x = ‘ M - I >d o n d e v e m o s q u e + b , tj ti e e s taba cu el p r im er m iem bro de la ecuación

dada , lia p asado a l segun do m iem bro con s igno —.

1 4. T é r m i n o s i g u a le s r o n s ig n o s ¡ gu a le s e n d i s ti n t o m i e m b r o d e u n ae c ua c i ón , pue de n s up r i mi r s e .

As i . en l a ecuac ión x + b = 2a + b

e n e m o s e l t é r m i n o ¡> con s igno I en los dos m iem bros . Es te t é rm ino pu edeu p rim ir se , q u e d a n d o ^

o iq u e e q u iv a le a re s ta r b a los dos miembros .

E n la e c u a ció n . , . . . .•>.v x = lx x - + •>

e ne mos e l t é rmi no x - con s ign ox 1 en los dos m iembros .

P o d e m o s s u p r i m i r l o , y q u e d a5 x = 'i .v + r«,

o rq u e e q u iv a le a su m a r x'~ a l o s dos mi e mbros .

15) CA M BIO DE SIGNOS

L os s ignos de todos lo s t é rm i nos de un a e c ua c i ón se pu e d e n c a m bi a rin q u e la e c ua c i ón va r íe , po rque e q u i va l e a m u l t i p l i c a r lo s dos mi e mb rose la ecua c ión p o r —1, con lo cua l la igu a ldad no var ia . (R egla 3).

A s í. si e n la e c u ac ió n ^ 3 = y — 15

m u l ti p li c a m o s a m b o s m ie m b r o s p o r — I , p a r a l o c u a l h a y q u e m u l t i-lic a r p o r — 1 tod o s lo s té rm in o s d e cada m ie m b ro , ten d rem o s:

2x 4 3 = x r 15,

u e es la ecuac ión dad a con los s ignos d e todos sus té rm inos cambiados .

RESOLUCION DE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADOON UNA INCOGNITA

116) REGLA GENERAL

1) Se e íe c tú an las op eracion es ind icad as , s i las hay .

2 ) S e h a c e l a t ra n s p o sic ió n d e t ér m i n o s, r e u n i e n d o e n u n m i em b r o«orlos lo s té rm i nos q u e c o n t e nga n l a inc ó gn i ta y e n e l o t ro m i e m bro t oda sas can t idades conoc idas .

S e r e du c e n t é rm i nos s e me j a n te s e n c ada m i e mb ro .

4) Se desp e ja Ja incóg ni ta d iv id ien do am bos m iem bros de La ecuac ión

p o r e l c o e f ic ie n te «le la in có g n ita .

26 • AiGtm*

C CUACIOHES E NT ER AS DE PR IM E R C R A OO 9 1 2 7

f J > R e so lv er l a e c u a c i ó n 3 x — 5 ~ x + 3.

P a s a n d o x a i p rim e r m i e m b ro y 5 ols e gundo , c a m b ió rid o lc s lo s sig nos, ten em os, 3x — x = 3 + 5.

t é rminos sem ejantes:2x= 8

D e s p e j a n d o x p a r a lo c u a l d iv id im o s lo s d o s y ? ? . ! y s im p l if ic a n do . ami e mbros de l o e c ua c i ón po r 2, t enemos : 2 2

VERIFICACION

L o ve r i f i c a c i ón e s l a p rue bo de que o l va l o r ob t e n i do po ro l o i nc ógn i t a o sc o r r e c t o .

l o vtvib 'cacrór? se reo l iza sus t i tuyen do en los dos m iem bros de la ecua ción

d u d a l a incógni ta po r el va lor ob tenido , y si á s ie es cor rec to , lo ecuac ióndor i a s e c onve r t i r á on i de n t i da d .

As í , en e l coso an te r ior , hac iendo x — 4 en lo ecuaciónda do t e ne mos :

El v a lor x = 4 sa t i s face lo ecuac ión .

f?.) Resolver la ecuac ión: 35 2?x -4- 6 — 18x = 14 — 3Dx + 3?.

Posando — 2Qx a l p r i me rmiembro y 35 y 6 o l s egundo:

22x 18x I 3 0x = Id + 32 3 5 6.

Reduciendo: — lOx= 5.

Dividiendo por — 5; 2x= — I.

D e s pe j a ndo x po ra l o c ua l d i X = — v id i mos ombo s mi e mbros p o r 7 : _____________ _______

VERIFICACION

H a c i e ndo x = — 4 e n lo e c ua c i ón r i odo , s e t ie ne s

3 5 2 2 1 1 ) + 6 1 8 | $ ) H — 3 0 Í D + 32

3 5 + 1 1 + 6 + 9 = 1 4 1 15 + 3261 - 6 h

8 . « x 4 + 3 x = 7 x + x + . l 4 .8. 8x+0—12x=4x—13 ~5x .

10. jjjr+fiy81=7)1+102+G5y

11 1 0 + 7 x 5 + x = l I x —3 — x .12 3.v +101 —4 x 33 = IOS—16.v—100.

1 1 E2x + 3< Jx 18x=2 5G —fiOx 857*.1 ' 8 x ~ l 5 .v ~ 3 0 x C Í * = S 3 * + 3 1 x 1 7 2 .

■ EJERCICIO 78

Resolver las ecuaciones:

1. f>x=8x—15.2. 1x11=2.3. y —5 = 3)'—25.

•1 5x + 6= 10 x+ 5.5. !>)'—! 1 = —lO+lZy .8. 21—Gx=27—8x.7 11.v+5x—1 = 65x—36.

3(4) —5 = 4 + 31 2 5 = 4 + 3

7 = 7 .

Ejemplos

Reduciendo

1 2 8 • Al Gt URA

RESOLUC ION DE E CUAC IONES DE P RIM ER GRADO

C ON S IG NO S DE A GRU P AC IO N

( 1 ) Resolver 3x— I2x— 11= 7x— |3■ 5x)+ (— x-r 74)

Suprimiendo los signos de agrupación:

3x— 2x+ 1 — 7x— 3+ 5x— x+ 24.

T romponiondo: 3x'— 2x— 7x— 5x+ x= — 3+ 24— 1.

Reduciendo: — 1Ox~ 20

(2) Resolver 5x + { 2 x I ( x + 6] } = 18 ¡ l7x + ó! 13x 24) i

Suprimiendo los paréntesis interiores:

5x + { ? x x + 6 ^ —18 — ! —7x —6 — 3x + 24 }

Suprimiendo las lleves:

5x 2x —x + 6 = IB + 7x + ó + 3x — 24

5x —2x —x 7x 3x 18 I 6 - 2 4 - 6 8x = 6.

Multiplicando por —1: 8x —6.

Dividiendo por 2: 4x = 3.

K = l R.

E JERC IC IO 7 9

Resolver las siguientes ecuaciones:

1 . x ( 2 x + l ) ^ 8 ( 3 . v + 3 ) .

2 . 15x—10=6x—{x+2)+{—x+3).

3 . ( 5 3 x ) ( l x + 6 ) = < 8 x + l l ) ( 3 x 6 ) .

4. 30x x + 6 )+ (—5 x + 4 )= —(Gx+ 6)+(—8+ 3x ).ft. 1 5 x r ( G x + 5 ) S H x l 3 ) = (T.vl23)—x|(3—2x).

6. 3x+[—5x—{x+3))=8x+(—5x—9).

7. 16x—[3x—(6—9 x ¿ = 3 0 x + [—(3 x + 2 )—(x+ 3)) .8 x í 5 + 8 x ^ x ( 6 + x ) } J = 3

0. ! )x~(5x l 3 ) {2+ 8x (7x$ )}+ í*x= 0

10. 71 I | .•»x h (2 x + 3 )]= 2 J [{ 3 x + 4 )( lx + 3 )J .

Ejemplos

E C U A C I 0 N 15 E N TE R AS O t P RI M E R • 1 2 9

1 17J RESOLUC ION DE ECUAC IONES DE PR IMER GRADO

CON PRODUCTOS IN D IC ADOS

Ejemplos( I> Resolver lo ecuación

ICíx— 9 i— 9 |5— 6xJ= 2 I4x— I + 5 1 1 + 2 * '.

Efectuando los productos indicados:

10x -50 - 45 I 54x - 8x - 2+ 5+ lOx.

Suprimiendo 10* en ambos ^ 45 1' ~ Bxmiembros por sor comidodes 54*- 8x= - 2+ 5+ 9 0 + 4 5

iguales con signos ¡guales e n , 4 6 x “ 1 3 8

distintos miembros, queda:------ / m . _ . p x ~ tu _ K'

VERIFICACION

1013 9) 9(5 — 18) =2 ( 1 2 — 1)+ 5|1 + ó|Nociendo x= 3 en la I0 (- 6 ) - 9|- 131= 2(111+ 5 |7 )ecuación dado, so tiene: •> — 6 0 +117 = 22+ 35

57 57.x - 3 satisface lo ecuación.

(2 ) Resolver 4x- (2x+ 3; I3x- 5 1= 49- Óx- 1}Ix- 2 1.

cr , . , . , • . (?x+ 3)|3x— 5}= 6x*— x— 15E fec tu an do los p rodu ctos rn d.cod os: -> ^ x _ ? | _ 6xS _ , 3 x + ?

El signo — delante de los producios indicodos en coda miembro de lu ecuación nos dice que hoy queefectucr los producios y cambiar c.t signo o endauno de sus términos; luego una vez efectuados los productos los introducimosenporénfasis precedidos del signo — y tendremos que lu ecuación dada seconvierto en:

4x— {6x~ — x — 15)= 49 |6x* - 13x+ 2 |

Suprimiendo los paréntesis: •

4x- ó*--i-x+ 15~ 49— 6x-+ 13x4* I x - 13x - 4 9 - 2 - 1 5

- 8x - 32x= — 4. R.

(3 ) Resolver í x + l l ( x - 2 l - M x - l J 0 x + S Í- 6= 8x- 11(x- 31Ix+ 7I.

Efectuando los productos indicados:

— x— 2— ( 12x=+ I7x— 5 )— 6 = Bx— 11|x*+ 4x— 21|

Suprimiendo los paréntesis:

x-‘- x- 2- 12xs- 17x+ 5- ó = 8x- 1Ix*- 44x + 231.

En ct primer miembro tone- — x— 2— 17x+ 5— 6 — 8*— 44x+ 231mos xs y — 12xJ quo reduci- — x— 17x— 8x+ 44x =23 1 + 2— 5+ 6dosdon- l lx * . ycomo enel 18*— 234

segundo miembro boy otro I!)4 — llx®, los suprimimos y . x = ~ = 1 3 . R.queda: y

(41 Resolver ¡3x- 11*- 3(?x+ 31*4-42= ?x{- x- 5 ) - { x - 1J2.

Dcsorrollnndo los cuadrodos de los binomios:

9x- — 6x 1 - 3 ( 4 x 2. 4 - 1 2 x 4 - 9 1 + 4 2 = 2 x ( -x - 5 ) - ( x 2 - 2 x 4 - 1 )

Suprimiendo los paréntesis:9**- 6x I - 1 - 12** - 36x - 274-4?= - 2x*- 10*- x *+ 2x- »

— 6x— 36x4- 10*— 2x~ — 1— 1 + 27— 42- 3 4 * = - 17

34x = 17

I T 1 r ,

* = £ = ? R'

EJERCICIO 80

1. x43(x~l)=G4(2x43).2. 5(xl)416(2*43>3(2x 7) x.3. 2(3x 13)—4(5x—3)=x(x—3)—x{x45).1. 1847<2x45)30l46(xl)~G..*». 7(18—x)—6(3—5x)= < 7x49)3(2x45 )12.C 3x(x —3)4!>(x+7) ~x(x |l ) 2(x2 l7)+4=0.7 3{2x47)4(—5x46)—3(1—2x)—(x—3)= 0.8. (3x—4)(4x—3)= (6x—4)(2x—5>.0. (4 >5x)(4x—5)=(10x—:{)(7—2x).

10. (xH)(2x4G)(2x4 3)(x4)+5.11. (x—2)2—(8—x )* = l.12. 14—(5x I)(2 x + 3 )= 1 7 ( 1 0 x + 1 )(x 6 ).i 3. (x—2)®+x(x —3)= 3(x •>4)(x—3)—(x42)(x—1)+214. fí tx 1 jP—5(x —2)—(2x48)®—(5x ~ 2)(x—1)—0.15 2(x—3)'’—3(x41)' {x 5)(x—3)44(x—5x 4-1)=Ix 2—12.16 ft(x - 2 Y 5(x+3)s+(2x 1M 5x +2 ) 10x20 .17 x2—5x+15=x(x —3) 14 i5 (x—2)43(13—2x).18. 3(ñx G)(3x—2)—0(3xH)(x—I)—3(í)x I l) (x 2 )= 0 .15). 7(x - 4 ) * - 3 (x 4-5)"=4(x i 1>(x - 1 ) - 2 -20. 5(1-*)2-<H*s - : íx - 7 ) = x (x - 3 ) - 2x (x 4-5)~2.

EJERCICIO 81

MISCELANEA

1 14x—(3x—2)—[5>x4 2 (x—1))—0.2. (3x 7)s—5(2 x+l)(x —2 )= —x2—[—(3x+ 1)J.3. 6x—(2x41)— I ( (—2 x—l)]).4. 2x + 3( x*—1 )= —{3x s4-2(x — 1)—3(x+ 2> )•

.*>. x2—( 3xf [x(x41) I 4(x2 1 )—4x2))—0.6. 3(2x l) (—x+ 3)—(2x+5)*= [ { 3 (* 5)) • lOx^.7 (x4l)(x+2)(x—3)—(x2)(xH)(x4l>.8. (x42)(xl*3)( x—1)= (x 4-4)(x 4-4)(x —4)4-7.0. (x4 í ) ‘ (x l )»=6x(x3) .

10 3( 2)2( 4 ) 3( 4 l) ( 1)4 3

Q A L Cf RH A

i ; a n d q i a

til i i i A (ITO t 3 2 5 4 0 9 D. C .l Famoio matem áticoM iti | . .rf«n rcion to a U Escuela do Alejandría, SeU I h i > l i a r l a bac o po<o como e l fundador del Alge-bra, (*•■<• 10 aalie hoy qu e los babilonio s y caldeos» • mi m,iaban ning uno d* les problemas que abordó

Diofan lo. Fuo, sin em barg o, ol primero onuna teoría clara sobre las ecuaciones d* primar «do. Ta m bién ofreció la fórm ula para l< i » ición ds las ecuaciones de segund o grado. Sor uejercieron una considerable influencia sobie v.

I IC A P Í T U L O

P R O B L E M A S S O B R E E C U A C I O N E S E N T E R A S D EP R I M E R G R A D O C O N U N A I N C O G N I T A

118,' Ii su m a d< la» ed ad es «le A y 14 es 84 a ñu», y 14 ti e n e 8 añ os m en osqu e A . H a l la r a m ba s e da des .

Sea .v = ed ad <l<e /I .

C o m o tí t ie n e K a ñ o s x —8 = e d a d d e tí .

m e n o s q u e A :

I i su m a d e am b as ed ad es es ¿44 añ os : x 4 x —8 = 84.luevroi tenemos la ecuación:

Reso lviendo: ,v + x = S4 + &

2x = i>2

x = „ = 10 años, eda d d e A . R.

I i ed a d d e 14 se rá : x •“> •»« 8 :iH años. R.

I .a ver i ficación en los prob lem as consisto en v er s i los resul tado s ob te-nidos sa t is facen las condic iones det problema.Asi. en este caso, liemos o b te n id o q u e la eda d d e 14 es 3Í4 añ os y la

•le \ 4 ti a ftos ; luego, se cu m ple la condic ión dad a en el prob lem a d e q ue

3 2 • A L C Í B M A

i en e 8 añ o s m en o s q u e A y am b as ed ad es su m an 4 6 + 3 8 = 8 4 añ o s, q u el a o t r a co n d ic ió n d ad a en e l p ro b l em a .

Lue go los resu l tados ob ten idos sa ti sfacen las cond ic ione s de l p rob lem a.

) Pa g u é 5 87 p o r u n l ib ro , u n t r a je y u n so m b re ro . E l so m b re ro castó 55 m ás q u e e l l ib ro y 520 m enos q u e e l tra je .¿ C u á n t o p a g u e p o r

a cosa?

Sea x = p rec io d e l l ib ro .

Co m o e l so m b re ro co s tó 5 5 x I 5 = p re c io de l som brero .s q u e e l l i b ro : ______________________________ f

E l so m b re ro co s tó 5 20 m en o s q u etraje ; luego el t ra je costó 520 más x + 5 + 20 = 25 = p rec io d e l t ra j e,

e e l so m b re ro f C om o to do costó 587. la sum a dé los precios

lib r o , tr a je y s o m b r e ro tie n e q u e se r ig ual x + x + 5 + x + 2 5 = 87.587: luego, tenemos la ecuación; ____________

Reso lviendo: 3x + 30 = 873x = 8 7 3 03 x = 57

x = y = $10, p rec io d e l l ib ro . It.

x + 5 = l!J + 5 — 524, precio de! som brero . R.x + 25 = 19 4 25= 514. pre cio de l traje . R.

0 i L a sum a de t res núm eros en teros consecu tivos es 156. H al la r los n ú -

m ero s

Sea x = n ú m e r o m e n o r x + 1 = n ú m e r o in te rm e d iox + 2 = n ú m e r o m a y or.

C o m o la su m a d e los tres n ú m e ro s x + x + l + x + 2 = 156.156, se tien e la ecu ació n /

R esolviendo : 8* + 3 = 1563 x = 156 33x = 153

x - ~ = 5 1 , n úm e ro m e no r. R .

x + 1 — 51 + 1 = 52, n ú m er o in termedio . R.

x + 2 = 5 1 + 2 = 53, n ú m e r o m a y or. R . NOTA

Si des ignam os por x el núm ero mayo r , e l nú m er o in te rm edio ser ía— 1 y el m en or x —2.

Si des ignam os por x el núm ero in term edio , e l m ayo r ser ía x t I y e l

p r o o l s m a k s o b r e i c u a c i o m l s c n t e i i a s # ) 3 3

EJERCICIO 82

La suma «Ir dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallarlos números.

I.a suma de dos números es 540 ) ' su diferencia 32. Hallar los números.Entre A y f í tienen 1154 bolívares y fí tiene 50G menos que A . {Cuán 10tiene cada uno?Dividir el numero 106 en dos partes tales que la mayor exceda a la me-nor en 24. A t iene 14 años menos que H y ambas edades suman 56 años. {Que edadtiene cada uno?Repart ir 1080 soles entre A y fí de modo que A reciba 1014 más que fí Hallar dos números entejes consecutivos cuya suma sea 103.I'rcs números enteros consecutivo» suman 204. Hallar los números.Hallar cuatro número» enteros consecutivos cuya suma sea 74Hallar dos número» enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.

Pagué >325 por un caballo, un coche y sus arreos. El caballo costó $80m ás qu e el coche y los arreos $25 m en os qu e «1 coche. H a lla r los precio»icq»cciivos.La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32y al menor en 65. Hallar los números,

i T res cestos con tiene n 575 m am an**. El pr im er cesto tiene 10 manzana*

más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzana» hay encada testo?Dividir 454 en tres parte» sabiendo que la menor es 10 unidades menorque la del medio y 70 unidades menor que la mayor.Repartir 310 sucres entre tres personas de modo que la segunda reciba 20menos que la primera y 40 más que la tercera.l a sum a de las edad es de tres personas es 88 artos. La m ayor tiene 20uño* más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor.Hallar las edades respectivas.

Dividir G42 en dos partes tales que una exceda a la otra en 36.

I I . i e da d de A e s do b l e q u e la d e B , y a m ba s e da de s s um a n 36 a ños.

Hallar tres número* enteros consecutivos tuya suma sea 186.

H a l l a r a mba s e da de s .

Sea x = edad de fí.

Como, según l as condic iones , l a edad de A

r » d o b l e q u e l a d e f í , t e nd re mos :

Como l a s uma de a mba s e da de s e s 36 a ños ,u t iene la ce na ción : . ______ ___ ______________

2x = e d a d tic

x 1 2x

Resolviendo: 3 x = 36x = 12 a ños , e d a d de f í . R .

2x = 2*l año s , edad de A . K.

*1 • A IG CI IR A

2) Se lia com prad o un coche, un c aba l lo y sus a r re os po r $350. E l cochocos ió e l « r ip io de los a r reos , y e l caba l lo , e l dob le de lo que cos tó e l

che. H al la r e l cas to d e los a r reos , de l coche y de l caba l lo .

Sea x = cos io d e los a r reos .

C o m o e l co ch e co s tó e l t r i p lo d e lo s a r r eo s: 3 x = co s to d e l co che .

C o m o e l cab a l lo co s tó e l d o b le d e l co ch e : 0 x = co s to d e l cab a llo .

C om o los a r reos , e l coche y e l cab a l lo x + 3x + 6x = 350.s taro n S350, se t ien e la e cuac ión: f

R eso lv iendo : 10x = 35ü

jflOx — —5 35, co sto d e los a rreo s. R .

3x = 3 x 535 —511)5, costo d el c oc he . R.Ox = 6 x§35 = $210, costo d el caba l lo . R.

3j R ep .m i i 180 bo l ívares en t re A, I I y C «lo m odo q u e la p ar te d e A seal a m i t a d d e la d e B y u n t e rc io d e l a d e C .Si la p a r te d e A e s la m i tad d e l a d e B , l a p a r t e d e B e s d o b l e q u e

de A ; y s i l a par te de A e s u n t e rc io d e la d e C , l a p a r t e d e C es e l t r i-o d e la d e A . E nton ces , sea:

x p a r t e d e A .

2x = p a r te d o B .3x = p a r t e d e C.

Como ia can t idad repar t ida es bs . 180 . l a sumalas parces de cada u no t i ene «pie ser igua l a x + 2x + 3* = lgo ,

180: lu eg o , te n d re m o s la ecuació n* /*

R eso lv ien d o : fix 1 8 0

1M»x = — = bs. 30, p a r te d e A . R .

2x = bs . 60. p ar te de B . R.3x = l>s. 00, p a rt e d e R .

E JERCIC IO 83

1 La eda d de Ped ro es el trip lo de la d e Ju a n y am bas edades sum an 10años. Hallar ambas edades.

2. Se ha comprado un caballo y sus arreos por StjOO. Si el caballo costó4 veces los arr ea r, ¿ c a lm o costó el caba llo y cu.luto los a r T c o s ?

3. En m i hotel de 2 pisos hay 48 hab itacione s. Si las ha bitacio nes del segundo

piso son la m itad de la s d e l p rim ero , ¿cuántas habitaciones hay en cada piso? c

Repartir 300 colones entre A , II y C de modo que la par te de II seadoble que la de A y la de C e l t r ip lo de la de A .

Ii R ep ar tir 133 sucres en tre A , H y C d e m o d o q u e l a p a r t e d e A sea la

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES ENIEKA3 • I 3 S

i. El m ay or «le <l«x« m iníe los es G veces el m en or y am bo s núm eros sum an147 H alla r los núm eros.

7 R ep ar tir 140 «picuales en tre A . ¡i y C de modo que la pa r te de U sea l.imitad de la de A y un cuarto de la de C.

jl D ivid ir el núm ero 850 en lies parte s de m odo q u e la p i in ic ia sea elcuarto de la segunda y el quinto tic la tercera.El duplo de un número equivale al número aumentado en 111. I la l la i e lnúmero.1.a edad de Marta es el triplo de la de Rosa mis quince años y ainb.itedades suman 5!) años. Hallar ambas edades.

II. .Si u n nú m ero se m ultiplica po r 8 el res ultad o es eln ú m e r o a u me n ta d oen 21 Hallar el número,

i ' Si al triplo de mi eda d aña do 7 años, tend ria 100 años. ¿Q ué edad tengo?i | D ividir Oti en tres partes tales q u e la prim era sea el trip lo de Ja segund a

y la tercera igual a la suma de la primera y la segunda,i : 1.a ed ad de En riqu e es la m itad tic la d e Pedro: la de Ju a n el triplo

d e la d e E nriq ue y la «le Eugenio el dob le «le la «l« Ju an . Si las cu atmedades suman 132 años, ¿qué edad tiene cada uno?

124) La sum a do las ed ad es «le A, l i y C es C9 año». L a ed ad «le A es do b le«juc la d e II y G añ o s m ay or q u e la «le C . H a lla r las c«la«les.

2.v = eda d d e A .

Si la edad de A e s G añ os m ayor q u e la de C . l a ed ad d e C es G añosmenor que la « le A : l uego , 2x —6 = ed ad de C .

* EJERC IC IO 8 4

Dividir 254 en tics partes tales «jue la segunda sea el triplo de la primeray Ul unidades mayor «pie la tercera.Entre A . II y C tienen 130 balboas. C t iene el doble de lo que t iene A y 15 balboas menos que II. ¿Cuánto tiene cada uno?

La suma «le lies números es 238. El primero excede al duplo del segundoen K y al tercero en 18. H alla r los núm eros,i Se h a com pra do un tra je, im b astón y u n som bren» p o r $2511. El trujo

costó 8 veces lo «pie el sombrero y el bastón $30 menos que el traje.Hallar los precios icipcetivos.

Sea x — e d a d d e II.

Como las t res edades suman G9 años,tendremos la cc i iacnm

x + 2x + 2x G

Reso lv iendo :

x = ™ = 15 año s,e d a d d e II . R .2x = 3U año s,e d a d d e A . R .

2x — G 24 an os ,e d a d d e C. R .

5. La sum a de tres núm eros es 72. Ll segu nd o es ¿ del terce to y el prim eroexcede al tercero en tí. Hallar los números.

<>. lin t re A y H t ien en *.)!> bolívares. L a p ar te d e D excede al triplo de lade A en 19. Hallar la parte de cada t ino.

7. U na varilla de 74 cm de long itud se h a pin tado de azul y blanco.L a parte pintad a de azul excede en 14 cin al du plo de la p arte pintadade blanco. Hallar la longitud de la parte pintada de cada color.

9. R ep art ir S152 en tre A , H y C de modo que l a pa r te de f í sea $8 menosque e l duplo de l a de A y $32 más que la «le C.

9. F.l exceso de u n núm ero sobre rtf) eq uiva le al exceso de 22(1 Sobre elduplo «leí número. Hallar el número.

10. Si me pag ara n 00 sucres ten dr ía el d ob le «le lo qu e teng o ah ora m ás 10sucres. ¿Cuánto tengo?

1. El asta «le un a ba nd era d e 9.10 m de a ltu ra s«; ha p ar tid o en dos. La p arte separada tien e 30 cm menos q u e la o tra porte. H a lla r la long itudde ambas [«otes del asta.

2 L is edades de u n pad re y su hijo sum an 83 años. La edad «leí padreexcede en 3 años al triplo de la edad del hijo. Hallar ambas edades.

3. En una elección en que había 3 cand idatos A , H y C se emitieron 9000votos. I! obtuvo 500 votos menos «pie A y 800 votos más. qu e C. ¿Cuán tosvotos obtuvo el candidato tr iunfante?

4 El exceso «le 8 veces u n n úm ero sob re 00 eq uiv ale al exceso de fi<) sob re7 veces el número. Hallar el número.

5. Pre gu ntad o un ho m lue |*>r su edad, respo nd e: Si al do ble de 1111 edadse quitan 17 años se tendría lo que me falta para tener 100 años. ¿Qué«:<la«l tiene el hombre?

25y D iv id i r 85 en dos p a ru * t ales q u e e l t r ip lo de l a pa r te m enor equ¡ .va l ga a l dup l o de l a ma yor .

Sea x - la pa r t e m e nor .

T e n d r e m o s : 85 — x = la pa r t e ma yor.

Kl p rob l e m a m e d i c e que e l t r i p l o de l a pa r tee no r , 3.v. e qu i va l e a l d l i p lo de l a pa r l e m a yor , 3x = 2 (8 5 x ) .85 —x); luego, ten em os la ecuación

R esolvien do : 3x = 170 —2x3x I 2x = 170

5* = 170

3 6 • ALCM M A

x — = 3 4 , p a r t e m e n o r . R .

85 — x — 85 34 51 , pa r t e m a yor. R .

26)]26 ) E n tre A y 1$ t ie n e n 581. Si A pie rd e $3G. el d u p lo d e lo q u e le «jueda e q u i va l e a l t r ip l o d e lo que t i e ne II a h o ra . ¿ C uá n t o t ie ne c a da uno?

S ea x = n ú m e r o d e p eso s q u e ti en e A .

81 ú d i i fl

Si A p i e rd e $36, se qu ed a co n $(x —36) y e l du plode es ta ca n t idad 2(x —3G) equ iva le a l t r ip lo d e lo qu e' iene b aho ra, , o sea, al t r ip lo de SI — x; lueg o, tenem osla ecuación: /

R e s o lv i en d o : 2 x 7 2 = 243 3 x2x 3x = 243 + 72

5x = 31á

x — = 5 6 3 , lo q u e t ie n e A . U.

81 —x = 8 1 —6 3 —$18, l o qu e t ie n e b . K

EJERCICIO 85

i La sum a de dos núm eros es 10U y el d u plo riel m ayo r eq uiv ale al triplodel menor. Hallar los números.

Las edades de un pa dre y su h ijo sum an 60 años. Si la edad del pa dir se dism inuy era en 15aúcxr se ten d ría cl do ble de la ed ad del h ijo. Hallar ambas edades.

Dividir 1ÜK0 en dos partes tales que la mayor disminuirla en 132 cqulvalga a la menor aumentada en 100

Kntre A y I! tienen 150 soles. Si A pierde 46, lo qu e le que da equivalía lo que tiene U. ¿Cuánto tiene cada uno?

Dos ángulos suman 180° y el duplo del menor excede en 4ó° al mayor.Hallar los ángulos.

I.a suma de dos números es 510 y el mayor excede al triplo riel menore n 88. I lallar los nú meros.

'i La difere nc ia «le do s nú m ero s es 36 Si el mayor se dis m inu ye en 12se tiene el cu ad ru p lo «leí menor. H all ar los núm eros.

l ’ii |»erro y mi colla r h an c:ostad«> S54» y el p e n o co stó S veces lo queel collar. ¿Cuánto costó el |x*rro y cuánto el collar?

Entre A y li tienen $84. Si A pierde $]6 y B gana $'20. ambos tienen lo

mismo. ¿Cuánto tiene cada uno?En una ríase hay 60 alumnos entre jóvenes y señoritas. El número deseñoritas excede en 15 al duplo de los jóvenes. ¿Cuántos jóvenes hay enla clase y cuántas señoritas?

Dividir Ifit) en dos partes tales que el triplo de la pane meiioi disminuirloen la parte mayor equivalga a 16.

La suma de dos números es 506 y el triplo del menor excede en 50 almayor aumentado en 100. Hallar íos números.

L'na estilog ráfica y un lap icero ha n costado 18 bolívares. .Si la estilográfica

hu biera c os tad o 6 bol (va re s m enos y el lapicero 4 bolívares m ás. h ab ríancos tado lo mismo. ¿Cuánto cos tó cada uno?

i I Una v arilla de 84 en» de lon gi tud está pin tada d e ro jo y neg ro 1.a parte roja es I cm m enor que la parte pin ta da ríe negro . H allar lslongitud de caria parir,

r R O D t r w A J j o * n r c c u a c i o h u i h i i i a i # 1 3 7

• A C C IO NA

) L n e d a d de A es dob l e q u e l a de B y ha c e 15 a ños la e d a d de A e rae l i i iplc» d e la de B. H alla r las ed ad es actua les .

Hace 15 anos , la edad de A era 2.v —15 añ o s y lad de II c ra (x ló )años y com o e l p rob lem a m e di< e

l a e da d de A hace 15 años , (2x —15. )e ra igua l a l ¿x —15 = 3(x 1 5 ) .i o d e l a e d a d d e II hac e 15 año s o sea el t i ¡píox 15, t end rem os l a ecuac ión : /

R eso lvien do : 2x —15 = 3x — 15

L a c tl ad d e A es el t r i p l o de l a de B y d e n n o d e 20 a ño s s e rá e l dob l e .

H a l la r l as edades ac tua les .

Dent ro de 20 años , l a edad de A s e r á (8x 20) a ños de II s crá(.v 20)años . E l p ro blem a m e d ice qu e la

d d e A d e n t ro d e 20 anos . :¡x + *20, será igual a l d o b le I 2 0 = 2 (x 2 0 ) .

a «dad de II den t ro de 20 años , o sea , igua l a l doble

E JE RCICIO 86

La ed ad actu al de A es doble q u e la de II, y hace 10 años la edad «le A era el triplo de la de II. Hallar las edades actuales.I .i edad <l« A es uiple que la de II y dentro de 5 años será el doble.Hallar las edades actuales.

.i t iene dob le dinero qu e II. Si A pierde 510 y II pierde S>5, A t e nd rá 820más que II. . ( .ná i i to t iene cada uno?

A t iene la l imad de lo que t iene II. Si .1 ga na <¡(¡ colones y II pierde ÍHl. A tendrá el doble de ln que le quede a D. ¿Cuánto t iene cada uno?

>. Eli un a clase el n úm ero de señoritas es del nú m ero de varones. Siingle sara n 20 señ oritas y de jaran de asistir ]n varones, hab ría tí seño ritas

á C á t h á t ñ it ?

Sea \ = n ú m e r o d e a ñ o s < |uc tie n e II ahora .

2 x = n ú m e r o d e a ñ o s q u e t ie n e A ahora .

2x —3x ~ —45 + 15

X = 20x = 20 a ños , e da d a c t ua l de 11. R .

2 x ~ G 0 a ñ o s, e d ad a c tu a l d e A . R.

Sea x —número de años que tiene II ahora. 3x = número de años que tiene A ahora.

x + 20: luego , te n d re m o s la e c ita iiú n y

Resolv iendo: rix 20 2.v + 10

3x 2x 10 20

x —20 año s , edad ac tua l d e / ' . R .

3x —00 año s , ed ad ac tua l de A . R .

PftÜCLÍMAS JOORC CCUACIOMtS CUTCRAl • \ 3 9

La edad de un padre es el triplo de la edad de su hijo. l ,a edad qmtenia el padre hace 5 años era el duplo de la edad que tendrá su hijodentro de 10 años. Hallar Jas edades actuales.La suma de dos números es 85 y el número menor aumentado en 30

equivale al doble del mayor disminuido cu 20. Hallar los números.Enrique tiene ó veces lo que tiene su hermano Si Enrique le diera .isu hermano 50 cas., ambos tendrían lo mismo. ¿Cuánto tiene cada uno?Un colono tiene 3400 sucres en dos bolsas. Si de la bolsa que tiene másdinero saca 200 y los pone en la otra bolsa, ambas tendrían igual cantidadde dinero. ¿Cuánto tiene cada bolsa?

10. El núm ero de dias q u e ha trab ajado Ped ro es 4 veces el núm ero dedías que ha trabajado Enrique. Si Pedro hubiera trabajado 15 dias menosy Enrique 21 dias más, ambos habrían trabajado igual número de días.¿Cuántos días trabajó cada uno?Hace 14 años la edad de un padre era el triplo de la edad de su hijoy ahora es el doblo. Hallar las edades retjxiciivas hace 14 años,

i',;, Dentro de 22 años Ja edad de Juan será el doble de la de su hi jo y actual-mente es el triplo. Hallar las edades actuales.Ent re A y f¡ tienen 584 Si A gana $80 y H gana $4, A tendrá el t r iplode lo que tenga H. ¿Cu ánto tiene cada uno?

1 2 9 ; U n h a c e n d a d o h a c o m p r a d o d o b l e n ú m e r o d e v a c a s q u e d e h u e v e s .P o r cad a vaca pagó 570 y p o r cada h uev 585. Si e l im p o r te d e la com -

p ra fu e d e 52700, ¿cuán ta s vacas c o m p ró y cu án to s bueyes?

Sea x s n ú m e r o d e bueyes.2.x = nú m ero de vacas .

S i se han comprado x bue yes y cada bu ey costó $85,los x bu eye s cos taron ?H5x y si se han co m pr ad o 2x vacasy cad a vaca cos tó $70. las 2x vacas costaro n 57 0X 2x ~ S l40 x. 85x + MOx —270C om o e l im po r te to ia l de la co m pra lia s ido $2700. ten-d r e mo s l a e c u a c i ó n : ___ Z '

R eso lv iendo : 225* = 2700

SJTCOx = — 12, n ú m e r o d e b u ey e s. R .2ÍJ

2 * = 2 X 1 2 = 24, n ú m e r o d e vacas. R .

(ÍBO) .Se ha n com prado 90 aves en t re ga l linas y pa lom as . O íd a ga l l ina cos-tó 80 c ts . y cada p a lom a 65 c ts . .Si e l im po r te d e la com pra ha s ido

$09.30, ¿cuántas ga l l inas y cuántas pa lomas se han Comprado?

S e a x = n ú m e r o d e g a llin a s.90 x = n ú m e r o tic p alo m a s.

Si se han comprado x ga l l inas y cada ga l l ina costó 80 c ts . , l as x ga l l i-nas co sta ron 80* c ts . x

A i . c c n *

S i s e lia n c o m p r a d o 9 6 x p a lo m a s y c a d a p a lo m a c o s tó 6 5 c ts ., las

—x pa lom as costaro n 65(96 —x ) c ts .

C om o e l im p or te to ta l de la co m pra fue 80x + 65(96 —x) = 6930.

.30, o sea 6930 cts. , tendremos la ecuación:

R es o lv ien d o : Büx + 6210 —6óx = 693080x 65x = 6930 6240

láx = 690

x ~ = 4 6 , n ú m e r o d e g a ll in a s . R.

9 6 x = 9 6 4 6 = 50. n ú m e ro d e p alo m as. R.

EJERCICIO 87

Compró doblenú m ero de sombreros qu e de trajes |>or 702 balboas. Cadasombrero costó 2 ycada traje 50 ¿Cu ántos sombreros y cuán tos trajescompró?

Un hacendado compró caballos y vacas j>or 40000bolívares. Por cada caballo pagó 600 y po r cada vaca 800 Si com pró 0 vacas m enos que caballos,¿cuantas vacas y cuántos caballos compró?

Un padre pone 16 problemas a su hijo con la condición de que por cada problem a qu e re suelv a el m uchacho rec ib irá 12 cts. y po r cada pro ble m aque no resuelva perderá » cts. Después de trabajar en los 16 problemas

el m uch ach o recibe 73 cts. ¿Cuán tos problema s resolvió y cuántos noresolvió?Un capataz contrata un obrero por 50 dias pagándole 53 por cada «liade trabajo con la condición de que por cada día que el obrero deje deasistir al trabajo perderá S2. Al cabo de los 50 dias el «/lucro recibe S<H).¿Cuántos días trabajó y cuántos no trabajó?

Un comerciante compró 35 trajes de a 30 quetzales y ríe a 25 quetzales, pagando por todos O. 1015 ¿Cuánto s trajes de cada precio compró?

6. U n c om ercian te com pró trajes tic dos calida des p or 1621 balboas. D e la

calidad mejor compró 32 trajes y de la calidad inferior 18. Si cada trajede la mejor calidad le costó 7 balboas más que cada traje de la calidadinferior, ¿ctiál era el precio de un traje de cada calidad?

Un muchacho compró tr iple número de lápices que de cuadernos. Cadalápiz le costó a 5 « s . y cada cua de rno 6 cas. Si p or rodo pagó S i.47. ¿cuántoslápices y cuántos cuadernos compró?

3. Pag ue $582 po i cierto nú m ero de sacos de azúcar y de frijoles. Por cadasaco de azúcar pague $5 y por rada saco de frijoles 56. Si el número desacos de frijoles es el triplo del número de sacos de azúcar más 5. ¿cuántossacos de azúcar y cuántos de frijoles compré?

1 Se h an com prado 80 pies cúbicos de m adera po r $68.40. Ia m adera com- p rada c» cedro y caoba. Cada pie cúbico de cedro costó 75 cts. y cada pie cúbico de caoba 90 cts. ¿Cuánto s pies cúbic os he com prado de cedroy cuántos de caoba?

d D ividir el nú m ero 1050 en dos partes tales qu e el tr iplo de la parte m ayor

PROBLEMAS SOUtC ECUACIONES ENTINAS • | ' t I

EJERCICIO 88

M I S C E L A N E A

Dividir 190 «n tres partes tales que la segunda sea el duplo de la primera

y Ja suma de las dos primeras exceda a la tercera en 20.l a edad de A es triple que la <l<: 11 y hace 5 artos era el cuadruplo do lade B . Hallar las edades actuales.

Un comerciante adquiere 50 trajes y 35 pares de zapatos por IGOOOsoloCada traje costó el doble de lo que costó cada par de zapatos más'50 solerHallar el precio de un traje y de un par de zapatos.

<> personas iban a com prar una casa contr ibuyendo p o r partes iguale» pero dos de ellas desis ti eron del negocio y ento nces cada una de l.nrestantes tuvo qu e po ne r 2000 bolívares más. ¿Cuál era el valor de lacasa?

lar suma de dos números es 10R y el doble del mayor excede al triplo drlmenor en 156. Hallar los números.

El largo de un bu qu e, q u e es 461 pies, exce de en 1] pies a 0 veces elancho Hallar el ancho.

Tenia $85. Gasté cierta suma y lo que me queda es el cuádruplo «le loque gasté. ¿Cuánto gaste?

Hace 12 años la edad de A era el doble de la de II y dentro de 12 artos,la edad de A será (¡8 años menos que el tr iplo de la de ¡i. Hallar lasedades actuales.

I 'engo SUS» en monedas de 10 y 5 centavos. Si en total tengo 22 monedas,¿cuántas son de 10 centavos y cuántas de 5 centavos?

Si a un número se rcsta 21 y la diferencia se multiplica por 12. el resul-tado es el mismo que st al número se resta 27 y la diferencia se multiplica

jm r 24. H alla r el núm ero.

Un hacendado compró 35 caballos. Si hubiera comprado 5 caballos más

r i el mismo precio, cada caballo le habrá costado $10 menos. ¿Cuántocostó cada caballo?

El exceso del triplo de un número sobre 55 equivale al exceso de 233

sobre el número. Hallar el número.Hallar tres números enteros consecutivos, tales que el duplo del menormás el tr iplo del mediano más el cuádruplo del mayor equivalga a 710.

l ’n hom bre ha recorrido 150 kilómetros. En auto recorrió u n a distanciatriple que a caballo y a pie. 20 kilómetros menos que a caballo. ¿Cuántoskilómetros recorrió de cada modo?

Un hom bre deja una herencia de 16500 colones pam rep artir entre 3hijos y 2 hijas, y m and a qu e cada hija reciba 2Ü0ü más qu e cada hijo.Hallar la parte de cada hijo y de cada hija.

l i diferencia de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es 31.Hallar los números.

L.a edad (le A es el triplo tic la de H, y la de It 5 veces la de C. B tiene12 años más que C. ¿Qué edad t iene cada uno?

, . Dentro de 5 años la edad de A será el triplo de la de B , y 15 años des- pués la edad de A será el duplo de la de B. H alla r las edades actuales.

9. F.l m artes gané el d ob le de lo q u e ga né el lun es; el m iércoles el dob lede lo «jue gané el manes; el jueves el doble de lo que gané «1 miércoles;

el viernes 330 menos que el jueves y el sábado Slü más que el viernes.Si en los 6 días he ganado $911. ¿cuánto gané cada din?

0. H alla r dos nú m eros euya diferencia es 18 y cuya suma es el triplo desu diferencia.

1. F.ntrc A y B tienen §36. Si A perdiera $16, lo que tiene H sería el triplode lo qu e le qu eda rla a A . ¿Cuánto tiene cada uno?

2. A t iene el tr iplo de lo que tiene B, y B el doble de ¡o de C. Si A pierdeSi y B pierde $3, la diferencia de lo qu e les qu ed a a A y a B es el doblede lo que tendría C si ga na ra $20 ¿C uán to tiene cada u no?

3 5 personas lian comprado una tienda contribuyendo por partes iguales.Si hubiera habido 2 socios más, cada uno hubiera pagado 8(X) bolívaresmenos. ¿Cuánto costó la tienda?

l’n colono compró dos caballos, pagando por ambos $120. Si el caballo peo r hubiera costa do $15 más. el m ejor hab ría costado doble q ue él.¿Cuánto costó cada caballo?

5. A y B empiezan a jugar con 80 quetzales cada uno. ¿Cuánto ha perdido A si B t iene aho ra el tr iplo de lo qu e tiene A?

G /(y B empiezan a jug ar teniendo A doble d ine ro que B . A pierde S400y entonces B tiene el d oble de lo q u e tiene *4. ¿Con cuá nto empezó a ju g a r cada uno?

7. C om pré c uád ruple núm ero de caballos qu e de vacas. Si h ub iera com - p rad o 5 caballos más y 5 vacas m ás ten d ría trip le n úm ero «le caballosque de vacas. ¿Cuántos caballos y cuántas vacas compré?

8. En cada día, d e lunes a jueves, gan é S6 más qu e lo qu e g ané el tifaanterior. Si el jueves gané el cuádruple «le lo que gané el lunes, ¿cuántogané cada «lia?

9 Tenía cierta suma de dinero. Ahorró una suma igual a lo que tenía y

gasté 50 soles; luego ahorré una suma igual al doble de lo que mequedaba y gaste 390 soles. Si ahora no tengo natía, ¿cuánto tenía al principio ?

0 U na sala tien e dob le largo qu e anch o. Si el largo se dism inuy e en G my el anc ho se au m en ta en 4 m , la superficie de la sala no varia. H allar¡as dimensiones de la sala.

.1. Hace ó años la edad de un padre era tres veces la «le su hijo y dentro«le 5 años será el doble. ¿Que edades tienen ahora el padre y el hijo?

Dentro de 4 años Ja edad de A será el triplo de la «le B, y hace 2 años

era el quíntuplo. Hallar las edades actuales

A L G E B R A

H ri 'A flA (D 70 4I5 D. C. l Una excepcional mujer j .i , >•• i< do! (iló iof o y m ate m átic o T cón. Se Klxo

. I.■ iior su saber, por su elocuencia Y ?or *u bo-íl • • Marida en Ale jandría , ria ja a A ten as donde■ o stu dio s; al regresa» a A le jan dría fu n da u na

escuela donde ense ña las doctrina s de fía te » » Atoldes y se pone al (rente del pensamiento n*mtónico. Ilypalia es uno de los últ imos miilrmngriego*. Se distinguió po r los com entarios ,t I .. de Ápolonioy Oiolanto. Murió asesinada birbir«m«

C A P I T U L O

DESCOMPOSICION FACTORIALFACTORES

Se l lama factores o divisores e le mía expres ión a lgebraica a las expíes io itcs a lgebra icas qu e m ul t ip l icadas e n t r e si. da n com o p rod u c to la p r im era expres ión,

As i , m u l t i p l i c a ndo « p o r a — b t enemos :

rti.rt I b) - i r I «/ia y n + b, q u e m u l t i p l i c a d a s e n t r e s i d a n c o m o p r o d u c t o a- - r a l ) , sonfactores o divisores de i r i ah.

De l p r op io m odo .

(a- + 2) {.v 3} x - I 5x + G

luego, x + 2 y .v í a son factores d e x - • úx + fi:

y 32) DESCOMPONER EN FACTORES O FACTORAR u n a e xp res ió n a lge b ra ica es c o n v e rtirla en e l p ro d u c to in d ic a d o d e sus fac to res.

1 5 a b 3 . 5 a b.

) 4 4 • A l ' . Í B R A

(134) FACTORAR UN POLINOMIO

N o lo do po linom io se puede d esco m p o n er e n d o s o m ás (ac to re s d istin

los de 1 , pues del mismo modo que, en Ar i tmét ica , hay números pr imos que

sólo son divis ibles por e l los mismos y por 1 . hay expres iones a lgebraicas quesólo son d ivis ibles po r e l las mismas y p or 1, y q ue. po r tan to , n o son e l pro-

duc to d e otra s expres iones a lgebraicas . Así a l b no pue d e de s c om pone r se e n

do s fac to res dis t in tos de 1 porque sólo es divis ible po r a + b y por 1.

E n e s t e c a p i tu lo e s tud i a re m os l a m a ne r a de de s c om pone r po l inom ios en

dos o m ás f ac tores d i s tin tos de I.

CASO ICUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIOTIENEN UN FACTOR COMUN

a ) F a c to r c o m ú n m o n o m i o

1. D escom pon er en f actores a + 2a.

a3 y 2 a c on t i e ne n e l f a c to r c om ún a. Escr ibimosel Tactor común a com o coe ficiente de un parén tesis; , ... „. . . , . . . . . j j • i a - + ¿a - a(a + ¿). R.den t ro de l pa rén tes i s e sc r ib imos los coc ien tes de d iv id i r

aT -r-a — a y 2 a- i -a = 2 . y t endremos

2. D e s c om pone r 100 30ab'J.

Los coe f ic ientes 10 y 30 t ienen los fac tores co m un es 2. 5 y 10. T o -m am os 10 p o rq u e s iem pre se saca e l m ayo r fac tor co m ún . De las le tras , e lú n i c o f a c t o r c o m ú n e s b p o rq u e esta e n lo s d o s té rm in o s d e la ex p resió nda da y l a t om a m os c on s u m e nor e xpone n to (>.

El facto r co m ú n es lü¿>. Lo escr ibim osc om o c oe f i c ie n t e de un pa r é n te s is y d e n t r o . . . . . _

i • . , j . ' . . . . . 10Ó 3 0 a h 2 =. 10ó (l 3ab). R.(sonemo s los coc ien tes d e d iv id ir 10t>•: 100=1y —30wr/>2 10¿/ = —3«ú y te nd re m os: /

3. D cs co m ponei' 10a3 — 5a 4 15a*.

F.l fac tor co m ún es 5a. T en dre m os:

10rti - 5 a + lSa» = 5fl(2a-l-l-3fl*). R.

. D escom pon er l tim xy 2 — 54m 3x*y* + Sfimy2.

F.l (ac to r c o m ú n es 18 my*. T e n d r e m o s :

IBm x y 3 54m *xa)a 1 3fimy3 = 18 my3(x 3;«.v3 i 2) . R.

5. Facturar ftey" — 9nx*y* + 12u.\:ly3 3n*x4y*.

Factor común Sxy4.

l i ' D ' f I I2 ') j 3 * )J 3 *(2 3 4 * * *) R

D r i C O W rO S IC I O N r A C T O M I A l • | 4 5

135) PRUEBA GENERAL DE LOS FACTORES

lin cualquiera de los diez casos que estudiaremos, la prueba consiste en

mult ipl icar los fac tores que se obl icúen, v su produelo t iene que ser igual .1la expresión que se factoró.

EJERCICIO 89

Factorar o descomponer en dos factores:

a?+ab. 16. 29. n': 3aM fia3 In3.5+5*. 17. 4 x * 8 x + 2 30 25 x7— 10x 3+ 15x 1 5* *.x*+x. 18. 15>':,+20>'—ay. 31. x 's—x ,s+ 2 x * 3.x'1.

3a*—a*. 19. «3—a2x+rtx*. 32. Da3—12a5+3úa ,5 V—2l<d>1x*4x«. 20. 2azx+2«x2—3ex. 33. ICx*y::8 x í y24x*y 'J

—40x2y3.5m3+15m*. 23 . x*+xa—XT.t i b - b c . 22. 14x*>i28x*+56x*. 34 1:!/'i ; n +21 ni3» 3 3(¡ni • >1* x*y+ x-z. 23. 34axalSl«Iy—G8«ya +48»»#n 4.2a2xll>axs. 24. 96 —48m«‘*+ 144»8. 35. lDOrtó V —IGOaf^e* ! MkiM 8ma—12m». 25. o--b-c- a-c-x- í ffr),:. —200abe1.9<iV>16«x>. 26. 5á í/ í' -7( ílx - f 1 10f«- ,n nx" 36. x i - x '+ x * — x''+x.

l 60cstP. —220m sy*. 37. a- 2a* 13<i5 4a#Mi<i\35«i*«*—70wa. 27. 93«3xíyG2n'’xJys 38 3«*ó+6«ó— óa3bv * 811"/*•abr-\ a />/ -. 124/»* 44nh’*m.24oxy!í 3 « x y . 28 X — x*+x3— X*. 39. aM'fliBlflisrtHa4 <t‘

b ) F ac tor co m ún ]K>linomio

De s c om pone r x (o + b ) + m yr + h \

L os dos t é r m inos de e s t a e xp r e s ión t i e ne n de f a c to r c om ún e l b ino-m io (« + b).

E s c r ibo + c om o c oe f i c ie n t e de un pa r é n te s is y d e n t r o de l pa r é n -tes i s e sc r ibo los coc ien tes de d iv id i r los dos té rminos de la expres ión dada

e n t r e e l f a c t o r c o m ú n (a + b ), o sea:

x{n + b) m(a + b)- x y _ m y tendrem os :

( a F 6 ) (a + b)

x(a I b) \ m{a + b ) = {a + b) { x I rn ). R .

D escom pon er 2x(a —1) — y{a — 1).

F a c to r c om ún f n 1 ) . D iv id i e ndo lo s dos t é rm inos de la e xp re s ión

dada t ru te e l f ac tor común (a — 1), tenem os:

2x(a — 1) > < < i I )

l T W m 2 x y 5 = 1r >

3. D escom pon er m¿x + 2} + x I 2.

Ksta ex pre sión po de m os escrib irla: r»»(x + 2) + (x + 2) = m (x 12 ) I l (x I 2).

F a c t o r c o m ú n (x + 2). T e ndre m os :

m ( x + 2) I ]{x •!• 2) = (x + 2) (m + 1). R .

4 . D e s c ompone r a (x + 1 ) —x — 1.

In t roduc i e ndo l o s dos ú l t i mos t é rmi nos e n un pa ré n t e s i s p r e c e d i dol s igno se t iene:

rtíx + 1) —x 1 a ( x 4 1) (.x 1 )= «(x I 1) • l (x + 1) = <x + 1 )(« 1). R.

5. Fa ctura r 2 x 'x + y + z, ~ x - y - z.

T e n d r e m o s :

x(x + >' I z ) — x — y — z = 2 x (x + y + z) (x 4 y f z ) = (x + y + z )(2x — 1).. R .

6 F a c tu ra r (x —«'*<y + 2) + b (y + 2>.

Fac tor com ún (y • 2 ). D iv id iendo los do s t é rm inos de l a expresión

a da e n t r e (y + 2) t enemos :

( x « ) ü » + 2> b ( y + 2)

( x - n ) (y + 2) b (y I 2) = (y + 2 )(x a - h b ). R .

7. D escom pon er (x + 2v > —1: — i x 1 '■ x —3i.

D i v i d i e ndo e n t r e e l f a ct o r c om ún (x 1 ) te ne mos :

(x 2 )(x — 1) , _ ( x l ) ( x 3 )

x " T > <x + 2> y < « D = ~ (X ~ 3>P or t a n t o :

(x + 2){x 1) (x l ) (x 3) = ( x 1) f(x + 2 ) (x 3))

■ { * i ) ( x + 2 .x + :n = ( . v i ) ( r > ) ñ ( x i ). R.

8. F ac to n ir x(fí — 1: + yia — 1) — a + 1.

— la lV x + v — R

6 • A L C t O R A

x(rt 1) 1 y(fl — 1) — a + 1 = x { f l lH > { « ! ) { «

- EJERCICIO 90

Facturar o descomponer en dos factores:

Í»(X + 1)+&(X+1). 7. x < « + l ) e J . 13.

x(«M |) :» (« +]). 3. as+16(r ts+l>. 142(v—l)y(.x—1). 9. 3x(x—2)—2y(x—2). ir>.10. l x + 2 d ( l x ) . 16

2x (n 1 )—3y(« —1). 11 4x(iw—« ) + « —m. 17.« ( n + 2 ) + » + 2 . 12 —»n—»ilx(r« 4 >»). 13.

O U C O M r O i t C I O N F A C T O R I A L • 1 4 7

19. (xs+2)(wí n)+2( /n —«). 27 {«+ h -c )( x —:i)—(b r —«)(.v 3).20. n(x —I)—(<i+2)(x— 1). 28. 3 x (x l ) 2 y (x l )4 z (x 1 ).2L. Sx (rt2 + l)r(x H X «2 +l) . 20 «(«*1)—/a(»i — 3>—zz—1.22. ( n - i- h ) { r t- í, ) -( n - b ) ( a - 0 ) . 30. x (a 4 -2 )-« -2+ :» (a + 2> .

23. (r« -ru ){« — 2 )-l-(w — «)(«»— 2). 31. ( l+ 3 n > ( x + l )- 2 « ( x - f l ) + 3 ( x + l ){ x 4 ; n ) ( x 4 1 ) - { x 4 l) ( x - n ) . 32- ( 3 x 4 2 K x ly -z )- ( 3 x 4 2 )25. (x —3)(x—4)+ (x—3)(x+4 ). < x + y l)( 3 x + 2 > .

(rHbl )(n4l)f l ' J I .

CASO I I

FACTOR COM UN POR AG RUPA CION DE TERMINOS

| l ) Descomponer rrx4-bx4 oy4 by.

Los dos primeros términos tienenel factor común x y los dos úl timos el loclor común y. Agrupomos los dos primeros términos en ox 1 a? 1 ^ x 1 ***) 1 ‘ *un paréntesis y los dos últimos — x (o 4 b | 4 y (a ! b

en o tro precedido del signo Iporque el lercor término tiene el .signo I y tendremos:

La agrupación puede hacerse generalmente de más de urt tnodo con tal quolos dos términos que so ogrupon tengon olgún (ocror común, y siempre que/oscon/rdai/os qoequedan de/rJrode /os paréntesis después de socor el fa tu*común en codn grupo, seon oxaríomonfo iguo/os. Sr esto no es posible logra tlo lo expresión duda no se puede descomponer por este mélodo.

Asi en el ejemplo anterior podemosagrupar el 1* y 3er. términos qoe ax ■ bx4 oy 4 by= (ox+ oy)4-(b* 1tienenol(odorcomúna yol 2"y 4* = a (x 4 y | 4 b | « * yque tienen c4 (actor común b y ten- — í * I y }|n- b ) 1dromos: — — /

resultado idéntico a l anterior, ya qoe el orden de los factores es indiferente.12) Focloror 3nr2— 6am4 4m— 8».

losdosprimeros términos t ic- 3m2— ómn4 4m— 8n— )3m"• ■órrin j4 ( 4 m

non el foctorcomún 3m y los = 3m|m— 2n|4 4|m -3' - • - t M ) , “dos últimos el factor común . - |m — ? n |{3 ‘n 1 4 ) 1

4. Agrupando, tenemos: /

I 1I Descomponer 2x‘-'— 3xy— 4x4 6y.

los dosprimeros términostienen elloctor común x y los dos últimos

ol factor común 2, luego los agru-pomos peto introducimos los dos 2x'-‘ 3xy— 4x 4 Oy= (2x*— 3xy | - (4 x -últimos términos en un paréntesis = x(2x — 3/1 ~2 {2x precedido del signo — porque el ¡signo del 3«r. término os — , poro

1 4 8 A L C tU K A

También podíamos Itaberag rupadoel 1®y 3'quelie-neoelfactorcomún 2x.y el2’ y f tienen el factor ^ común 3y y tendremos:

( ) Descomponerx + i * - 2ox - 2oz3.

Agtupondo|vy3*,2®y4',tenemos:

(5) Factorar 3ox— 3x 4y 4ay.

2x2- 3*y - -tx 4 óy- (2xs- 4x| |3xy - 6y)- 2x |x - - 21— 3y |x — 2)

— i> —?)i2x 3/i . y.

x 4 z2 ?ox 2oz2 = |x + 2-) - (2ox + 2oz2|= lx 4 z 2) 2 a ( x + z2>= Ix l z2) |l 2 a } . K.

x 4-z2 ?ox - 2az2 - fx - 2ax) I (z2 - 2oz2}^ x ( l 2o) + z2| l 2 o ) — (1 — ? o |(x 1 -z2). R.

3ax —3x 4- 4y 4oy — (3ox —3x) + |4y —toy |= 3 x |o — 1| 4-4y{l — o)

= 3 x | o l ) 4 y f o l |= f a l | ( 3 x - 4 y \ R

Obsérvese que en lo segunda lineo del ejemplo anterior los binomios(o— 11y ( I - o | tienen loss if/nosd is tin tos: pora hacerlos iguotcs combiomoslossignoS OI binomio l 1 — o ) conviniéndolo en |u— 1 |, pero poro que ol producto 4y {l — o) no variaro dosigno le cambiamos el signo o l otro /actor ■‘•yconviniéndoloen — Ay. De este modo, comoliemos cambiadolossigno a unnúmero por de factores,ol signo delp roductono vorio.

Fnelejemploanterior,agru

pando 1* y 4’, y 2®tenemos:

3o* — 3x i Ay— doy— (3ux— doy) -- |3x— 4y]

= u(3x— 4yJ— |3x— 4y)= |3x —4y | (o — I). R.

(6 ) Faclororo * — a y I-oz »4-x— y 4-z. X

ox— oy4-oz4-x — y • z= lox— ay+ oz|4-(x— y 4 - 1 1 — o lx — y4 -z )- l (x — y 4 -z )= (x — y —z) (o 4 1)• R

(7 ) Descomponer oex ox2— 2a"y4-?axy4-x*— 2x3y.

Agrupando T y 3*,2* y 4’, 5®y 6 \ tenemos:

o2x — o* 2— 2n2y F2oxy4-x2- 2x*y= |ovx 2cr y ) — (ox2 2uxy)4- | *x- 2x^1

— a-‘ |x — 7y)— ox (x — 2 y| -* x2 | x - 2 y |= | x — 2y | ¡ o2 — a x 4 x2 | . R.

Agrupando de Otro modo:

c rx — ox 2— ?a"y F2oxy4-x*- 2x2y = {abe- ox2+ x: l)- (?a~y- 20 *y4-2x2y) — x (o2— ox 4-x1) - 2 y (o ::— o x Fxs) —{o2 ox I x*| {x — 2y|. R.

m - EJERCICIO 91

- l -ab+a x+b x.m—bm • an—bn. x 2bx—2nyi- \by . :x" —3bx " \ o2y2 3 6 y s.m —2n —2nx * 4 3m x4.2 24 2

7. 4a:i~l—a244a.8. x4x*—xy2—y2.9. 3a6x*—2y*—2x24*3a t*ya.

10. 3fl—(r342í»2x —6ox.11 la3x —' AaVi+Ubm—3arnx.12 C 4 3 4 14 2

13. 3x39ax2xF3a.14. 2a*x—5aíy415by—66Ib 2x*y 42x2*4y*is xy*.¡6 Grn—9 n + 2 1 « x —H m x17. n*x—5a2ya—Msy245fl918 14 4 3 64 36

D U C 0 M I-0 5 I C I0 M F AC T O R IA L • 1 4 9

19. •law 3—12hf«« —«i®+3». 20.20. 20/ j x —.»fcx—2í»y+8rty. 2621. 3 —x 2+2«f»x2—6uf». 27.22 28

23. 3a—70*xl3<ix7a¿»*. 29.24. 2/i m —2« «+ 2n —vi+ « —1. 30.

3ox-26>i-26x-6a+3rty+í¿/. al+a+o-+1+xs+a2xs.

2x:i—u x z t 2 x ¿2— fu * :J n y •'+Gx y.

3x al2dxy+2uys—3xy* 2ax2 :tv'’y,tí-b'<'—H*+(i'b’x'—n1*1'—:t/JJ/Avl: I n S

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

1 36 ) U n a c a n t id a d os c u a d r a d o p e r fe c to c u a n d o es e l c u a d r a d o d e o tr a t a nt idad , o sea . cuando es e l producto de dos fac tores igua les .

Asi, 4as e s c u a d r a d o p e r fe c to p o r q u e es e l c u a d r a d o d e 2«.En efecto : (2a)s —2fl X 2fl = 4« y 2«, q u e m u ltip lica d a p o r si nm in.ida In2, es la raíz cu ad rad a de I

O bsérvese q u e ( 2ti)s = í—2«) X (—2») = 4«*; luego . —2o es tam biénl.i raíz cu ad ra d a de •lo*.

Lo an ter ior nos d ice <juc la ra íz cua dra da d e un a can t ida d posi tiva l i rmdos s ignos, t y —.

En este capí tulo nos referimos sólo a la ra íz posi t iva.

(137) RAIZ CUADRADA DE UN MONOMIOPara ex t rae r l a r a í z cuadrada de un monomio se ex t rae l a r a í z cuad ia

t ía «le su coeficiente y se divide el exponento de cada le tra |x»r 2.Así, la raíz cuadrada de ítti2Í>‘ es 3ab- p o rq u e (íW /2)1 —3/W/' x ’.iah-

k !l/i2ó \

L.i raíz cu ad ra d a d e 36x"y* es (¡x:V .

138138) l n t r ino m io es cuad rado p e r fec to cu an do e s e l cuad rado d e un b ino

m ío, o sea . el pro du cto c íe dos b inom ios igua les.Así, a- + 2nb + O1 e s c u a d r a d o p e r f e c to p o r q u e es el c u a d r a d o d e a + b .

E n efecto : ^ + ^ + ^ + b ) = a t + 2(t[) +

De l p ro p io m o d o . (2x I •ty)2' — lx + 12xy + l>y lu e g o l.v r 12xy‘ I í)>o u n t ri n o m i o c u a d r a d o p e rf ec to .

139) REGLA PARA CONO CER SI UN TR INO M IO' ES CUA DRA DO PERFECTO

Un t r inomio ordenado con re lac ión a una le t ra es cuadrado perfec toii .mdo el primero y tercero términos son eumlrados perfectos fo t ienen rui/

.11 ailiii11ii ex ac ta) > positivos. > el segun do térm ino es el do ble pro iluetn • I>

•n i r a le e s e u u d r a d a t .

0 A l C I D R A

Así. n 7— ifílt + 41}^ e s c u a d r a d o p e r f e c t o p o r q u e :

R a í / c u a d r a d a d e a*. ............................. «R a íz c u a d r a d a d e 4bs ................................ 2 b

D ob le p ro d u cto de es tas ra íces: 2 X « X2/> “ 4«fc, se cu n d o térm ino.

a 0 . v 1 8 x / + 4y* n o es c u a d r ad o p e r fe c to p o r q u e :

R a íz c u a d r a d a d e 3 l * x ........................... íi.vR aíz c u ad ra d a de 4 y ' ................................

D o b l e p r o d u c t o d e e s t a s raíces: 2 X fix X 2v* ~ 4 .v y ‘. q u e n o es el

1 t é n u ii io .

CUADRADO PERFECTO

Se ex t rae l a ra íz cuadrada a l p r imero y t e rce r t é rminos de l t r inomiose sepa ran estas i aire s |H»r el s igno de l segu n do térm ino . El b ino m io asiuinado, que es la ra íz cuadrada del t r inomio, se mul t ipl ica j»or s í mismose e leva a l cuadrado .

EjemplosI 1 ) Fnctnrcr m" f 2/n 4 1.

m*+ 2/o+ 1 = |m+ 1 l(/i i+ !) = («■• I I ) Rir . 1

Í 2 I Descomponer 4x* I 25y* 20xy.

Ordenando el Irinomio, tenernos:

4 /- - 20xy+ 25y = |?x - 5y li2x - Sy)= {2x - 5y)!. Y,.3* Sr

I M P O R T A N T E

Cualquiera de los dos roíces puede ponerse do minuendo. Asi, en el ejemplo anterior se tendrá también:

4xs - 20xy • 2Sy-= |Sy - 2x|(5y - 2x)- ¡Sy 2x)2. iy

porquo desarrollando este binomio se tiene:

|5y— 2x)2= 25y2 — 20xy I

expresión idéntica o 4t*- TOxy+ 25y- yo que tiene los mismos canlidodescon los mismos signos.

I3 ) Descomponer 1 — K íox2+ ó-lcéx1.

1 - 16ox2+ 6- io V = (1 - 8ax*'|s~ |Br.<: i- RI t o x a

D r S C O M F O S I C l O M I A C T O N I A I 1 5 1

b-( 4 j Füc lo rc ' x2+ bx+ — .

4Este trinomio es cuo dro do perfecto porque: Raiz cuadrad u de xJ xj tOÍJ

6* b bcua drad a d e — = — >• el dobló producto de estas raíces: 2 X x X I»,

luego:b2 / b\ •

1 b fe2(5 ) Factoror — — + — .

4 3 91 1

Es cuadrado perfecto porque: Raiz cu adra da d e = «oíx cuadrado «tn4 2

b2 b 1 b b — y 2 X X = luego:

9 3 2 3 3

CASO ESPEC IAL

<ó) Descomponer o2 + 2a (a — b j + (o — b / \ .

La reglo anterior puede aplicarse a caso s en que d primero o tercer lérmirmdel trinomio o ambos son expresiones compuestos.Así, en este coso se tiene:

x£* + 2 a ( a l > > + f o 6 ) 2 = [a + | o b ) P = |a + o b | 2 = (2o b |: i.lo - b j

(VI Fa dora r (x + y)2 — 2(x + yjf o r X¡+ lo + x |2.

fx 4 y)2 2(x 4 y |(o + xj + (o x]2 = | (x + y } (a I xj j r ¡ 0 i •• — (x T / O x)“

= ( y o | 2 = | a y ) ’. R.

E JERC IC IO 9 2

Fqciorar o descomponer en dos factores:

rtJ2a--\-2ab+bs.

x'J—’¿x+\ . y,4l+2y2.n » 1 0 a + 2 5.9 6 x + x 2 .161 I0x2+2f»x«.

I ■.Iti-I 12;rt2 l-wi‘ ,

I 2«# l rií .«’ fl8r»‘+8 1.n°—2rj96 ll4b0.Ix» 12xv 4 !)ys

15.10.17.18.19.20 .

21.22 .

l + M x :> + 49 x1 \ a "> -2 a \ 4ü»*M—?(tow»:l« 2*l 2&isn 4.LOOx,uGOrr‘x Y + < Jn ‘)i '2.121+198x'M81x12.a 24a>nix + 14 4 m ,x 1. 101 04 .dHr>!).vJ.KlOx"11 IOx H I .

20 1 25x4 25 3G

27. y416xn — 2x*y*+ 77.

a* nb+b-.•I

2 b //<H -------1—.

30.31.32.33.34.35

9cr2|'2a(a b¿») F(a+b)*.

4 —1{1—« ) + ( l—«)2.• I » j 3 — W n ( n — » « ) ■ ! • { « — w i )* .

(rn—n)*+6(r«—n)4*9.(n +x )2—2(n f x)(x l y )+ (x 4(m h n ) 3 — 2 ( « ni)(m + n ) * (

•l(l+a)® l(l+<t)(b 1)4 (b

CASO IV

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

®Kii los productos notables (80) se v io que lasuma i le t íos cant idades mult ip l icadas por su d i-

erencia es igual a l cuadrado del minuendo menos el

m ad ra do de l sustraend o, o sen, (u + /*) (a h) =

= <r — b ’- : luego, recíprocamente. /*

Podemos , pues , enunciar l a s igu ien te :

REGLA PARA FACTORAR UNA DIFERENCIA

5 2 • ALdlHNA

DE CUADRADOSSe ext rae Ib ra ir. c uadrada al m i nuendo y a l sn.Stracudo y se m u l tip l ic a

a suma de estas ra íces cuadradas p or ln d i fe renc ia en t re la r a íz de l m inuendo

y la de l s us traendo .

11) Foctoiar I — o2.

La raíz cuadrada de 1 es 1; la ra ircuadrada de a" es o. Multipl ico la sumode estas raíces (1 + 0 ) par Ja diferencio (1 - a) y tendremos:

1— a2= |1 + a '> | l — oL R.

12 ) Descomponer Idx2— 25y4.

la raíz cuadrada de 16x- es 4x; la rair cuadrada de75/‘ esSy-,Multipl ico lo suma de estas raíces (4x+ 5y2| por su difcrcnciu (4x— 5y-'| ytendremos:

I6x2- 2Sy<= |4x+ 5y *M x - Sy"). R.

<3> Factorar 49xV z "> - o12.

49xVz»®~ = | 7xy:'z?+ a1' 117xynz8- o«|. R.

a2 b4( ! ) Decomponer------------ .

o" a b4 b 2l a ra íz cuadradade — es — y la ra íz cuadradade — es — . Tendremos:4 2 9 3

a * t>4 , o , b \ , a b2 , d

t _ t = ( 2 t ) ( r r ) ■ ' •(5 ) Factorar ou — 9b4m

a2” — 9b ‘ ” = ' a * + 3b * " |i'o " - 3b2" ) . R.

m - EJERCICIO 93

a10—49fc,a.25*V-121 .100m'-n4— 169y- .a-m4n0—144.l9 ( ix V —225r'*.

1. x2~y2. 8. 1jt». ir».2. a3—1. 9. 4«2—!). 16.3 a 2—1. 10. 25—36x*. 17.4. 9 b 2 11. l49a*b». 18.5 1—lm 2. 12 •lx»6ly*. 10

OUCOMPOMCIOH FACTORIAL • I 53

22. 361x” - l 27.X1 y W

loo T í '32. o1" 225b*.

23 Do. 28. Xa 4 a »

33. yh.

IOx" ' " ¿—.4!)4 4 y 121

24.> s 2f). 100wi*B4 ---- —X*.

b ' ‘ ‘4 ! ^ ' “ »------------.

25.1 1x

rtJ"i L'Jn /.l’nf.tn _ ^ir, ít>* Ju . ti —V . oO. li i/ "*

9F,«- _ x«

•Ix»" ÍI

rin<t\F-

36 25vi* olí.

CASO ESPECIAL

1. Fac torar (a + 0 ) - - c*.

l i reg la empleada en los e jemplos anter iores es apl icable a las r l i feM i n i a s d e c u a d r a d o s en q u e u n o o a m b o s c u a d ra rlo s so n e x p re sio n e srom pues tas .

Así . en es te caso, tenemos:

La r a í / c u a d r a d a d e (a Ifc)a es ( « I b).

1.a r a í/ cu ad ra d a d e r:s es C.

M ult ip l ico la sum a de es tas ra íces (a + b)~ - (r = [(a I h ) 4c]({« l b) • j

(íi + b ) I c p o rla d i fe renc ia {n + b ) —c = ■'« + b + c)(á + b - i Iy tengo: ____________ ___ _ _________ /

2 . Descomponer ¡x r — (x I y)8.

I^i raízcu ad rad a d e 4x* es 2x.1.a raízcu ad rad a d e (x + y)* es (x + y).

M u lt ipl ic o la sum a de es tas raí 4xJ {x I y)1 = [2x 4 (x I y )][2x • (x ' y«es 2x f (x+ y ) p o r la d i f e re n c i a = Í2x Ix + y)(2x x y)’Jf (x + y) y tene m os: / —.;3x ■+ y) í x y ). R .

3 Fac torar (a t x) (x H 2).

1.a raí/cu ad rad a d e (a + x)2 es (rt + x) .La raízc u a d r a d a d e í x + 2 ) 3 e s (x + 2).

M u l t ip l i c ó l a s um a (a + x)2 (x + '¿ f = |(<i t x ) I (x + 2)] |{« + x ) (x l 2)

r íe esta* ra fees <a + x) + = ( « > x + x + 2)(n + x x 2 )i \ 1 2 ) p o r la d i fe r e n c ia t = f« + 2 x 4 2 ) ( f l 2 ) . R .l«i ♦ x ) ( x *2) y t engo :

5 4 • , U G t U * A

>- EJER CIC IO 94

Dcsconqroner en dos factores y simp lificar. si es posible:

J. (x4),)n2. 13. <a->l>y-ix+y)~. 25. (2fl4í> c)s~(« 1b]¿.

2. 1 (a v 1)'' 14. (2a / ) - - { / / Ir)2. 2G. lU(>(x>42)3. ¡)—(«i4«)'i. 15. ix4 1)*<lx*. 27. x' (y x)-.4. ( w n f l f i . 1G 3 fix* —•(«•#• 3x)a. 28. (2v 43)'—(á.v —1)Jó (xyV*—n*. 17. 20. ( x - y 4 s)»(jp*+ 2x)» .6 (<H2Í>) 1. 18. (n l) (m 2 )= . 30. (2x41)*—(x 44)’"’.7. l ( x 2 y > * . 19. (2x—•')) —(x —5>s. 31. (ft42x4l)2(x 1a l)2.8. (x I LMV 4x* 20 I( .V i2 x )2. 32. 4(x4n)2—49)'*.Ü. (a+by1—(c4f/)B. 21. (7x4y)*—81. 33. •.?.")(x — y)- 4(xly)5.

10. ( a - b ) (c /i)-. 22. w'! (>«—1). 34. 3(¡(m + n f —121 ( n i n ) ’.11. (x4l)*lCx*. 23 1 na"'—(2ff“4:l)s.12. Glm 2 <m 2v)-. 24 (x y)2 (r 1 /!)-

CASOS ESPECIALES

COMBINACION DE LOS CASOS III Y IV

43! Es tud iam os a con t inu ac ión la descom pos ición de expres iones com - p u esta s e n las cua les m e d ia n te u n a r re g lo c o n v e n ie n te d e sus té rm in o s

e ob t i ene uno o dos t r inomios cuadrados pe i l cc tos ) de scomponiendo e s tosr inomios (Caso J I Í ) se ob t i ene una d i fe renc ia de cuadrados (Caso IV) .

1. Factorar a- + 2ab 4 —1.

A q u í t e n e m o s q u e a" + 2 a b + b s es u n t r in o m i o c u a d r a d o p e r fe c to :

a- I 2a b I b- - I = (a- 4 2ab 4 (») 1( ía c t o r a il d o e l t r in o m i o ) = {a 4 £>)’ —1

fac to rand o la d i fe renc ia de cu adrados) = ¡a ~ b + 'I pn 4 b — 1;. R.

2 . Descomponer a- 4 wi: —•!// — 2 a m .

O rd en an d o es ta expresión , pod em os escr ib i r la : n ' 2n»w 4rw1 // . yv em o s q u e a- — 2a m I n i e s un t r inom io cu ad rad o pe r fec to : l uego:

a- —2/i/n 4» //' —4b* — (a — 2/uii 4 wi2) — \b '¿

( f ac t o r a n d o e l t ri n o m i o ) ( n m i- - ib-

fac toran do la d i fe ren c ia de cu ad n tdo s)= (a — »w 42ój (f l — v i — 2ft). R.

3. F a c to r ar 9rtB x ' * 4 2 x l .

In t roduc iendo los t r e s ú l t imos t é rminos en un pa rén te s i s p reced idoel s igno — para qu e x y 1 se bagan posi t ivos , tendrem os:

9a- x : I 2.v I 9a- (x; 2x 4 I )( f a c to r a n d o e l t ri n o m i o ) = 9a- —(x — I) 2

fa c to r a n d o la d if e re n c ia d e c u a dr ad o s ) = [3 a + ( x l ) J | 3 / i ( x 1)J= (3a 4 x —1 )(3a — x 41 >. R.

D ES CO MP OS IC IO N F A C T O f ll A l • 1 S Ü

*• D esc o m pon er 4 x 2 — a2 1 y* -Ixy + 2ai> — b- .

E l t é r m i n o 4 xy nos s ug i e r e que e s e l s e gundo t é rmi no de un t r i nomi oCua dra do pe r f e c t o c uyo p r i me r t é rmi no t i e ne x • y cuyo tercer término l ic-

u é y y e l t é rmino ‘¿/ib n o s s u g i e r e q u e e s e l s e g u n d o t é r m i n o d e u n t r i n o -m io c u a d r a d o p e rf ec to c u y o p r i m e r t é r m i n o t ie n e ti- y cuyo t e rce r t é rminot iene 62 ; pe ro como — n: y - b" son negativos, tene m os qu e intro du cir cMcú l t im o t r ino m io en u n parén tes is p reced ido de l s igno — para h acerlos p<si (¡vos. y ten dre m o s:

4x - a - + y" — 4x y I 2a b - b" — (4x2—4xy + y*) — {a- — 2ab 4 62)

(fac tora nd o los tr ino m ios) = (2.x —y) — (a —0)(descotnp. la di ferenc ia de cu adra do s) = [{¿x — y ) • (/i — b)][(2x >') —(« '•

■2x - y - l - a b ) { 2 x - y - a I b K

0 Kac tora r 9> j = 6 M n + 10a0 I 256* ni1.

E l t e rm i no l ü«6 nos sug i e r e qu e es e l s e gundo t é rm i no de un t r inom ió c u a d r a d o p e rf ec to c u y o p r i m e r t é r m i n o t i e n e <r y c uyo t e r c e r t é rmi not i e ne b s, y (¡mn nos s ug ie r e q u e e s e l 2? t é rm i no ríe un t r ino m i o c ua d ra do p e rfe c to c u y o p rim e r té rm in o tie n e rrí1 y c uyo t e r c e r t é rm i no t ie ne uluego, tendremos:

ii- - 9n ¡ - Cmu I 10ít6+ 256‘* m-~ - ( n 7 + 1U«6 I 256-')— (m - I iUm

(descom po niend o tos t r in o m io s)—(« I 56)- —( > « í 3n}(descom p, la dife ren cia de cu ad rad os) = [(« 4 56) I (m 4 2»)] [(« I 56) (ni t il» — a + 56 t m 1 3 « :< t + 56 vi Un , )

m - EJERCICIO 95

1. a - i-2ab+b'¿—x2. 20 25—xa—!6>'8+Sxy.2. x2—2xy|yu— m*. 21 9x2—«2 1 m'’llan i.3. vi- |2»»«4m2—1. 22. 16x2)'*+ 12 a6 4 «2 9 6 2.

—u2+25»?2 1 2 a.4. 23.3 Ji‘lGur 9 c 2. 24 4 9 x '—25x*—9>,2r30xy .0. a 2+ x 242üx—4. 20. a* 2 « 6 1b ' - c - - 2 / < t - t l - .7. ii- 14—4<i—Íl62. 2(¡. x '- \2 x y + y -—iriz-i-2mrt n*\8. x3+4y3—lx y 1 . 27 <¡+4b3+ 4 ab —x — 2ax-<¡".9. «2—6ay+9y2—4xi. 28. x - ■ 4fl2—1 ax—y*—9 62l 66y.

10, íx=+25y2 36+20xy9x2—1 t16(i*—24nx.

29. r«2—x^tOn2 !6win —4 nx —la 3.11. 3 0 . 9x1 l),2a * l 2 x y 2 5 6 2 10fl6.12 ]+64«262- x ‘ - 1 « í j 6. 3 1 2<»«—x2!H«2lni2~Gx.1 3 . - b - - 2 be-e*. 3 2 . x2 9a* 4" l>a*04142x 62.14. 1 —«2+ 2 ax —x 2. 3 3 16á8—1—lü m f 9xa—2lnx—25m2.15. ni2—x2—2xy—y*. 3 4 . 9 m i 2— f l2l 2< Jííf —{?<P1 1 0 0 — 60/»».16. c - -a¿y ‘>a- \ . 3 5 . •ln2—9x2F l962—30xy—25)*~2!vt6.17 9 r t * — 2 5 — 1 0 m . 30. 225u, lG 9 6 2M+ 30ri+266r—c*.18 •ln2—X*+4x—4. 37 x s y * + 4 + 4 x —1—2y.1 9 . 1—o2—l)n2—dan. 38. a * lG x » + 3 6 h ! 2a 8 x.

6 • A LU CIIK A

RINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIONY SUSTRACCION

1. Factorar x* i x2y2 I y*.

Ve a m os s i e s te t r ino m io es c u a d r a do pe r f e c to . La r a íz c ua d r a da de x '

x 3; la r a íz c u a d r a d a d e y* es y * y e l doble producto de estas rafees esx-y": l uego , e s te tr ino m io no e s c u a d r a do p e rf ec to .

P a r a q u e sea c ua d r a d o pe r f e c to ha y qu e log r a r que e l 29 te r m ino x 2y2

c on v ie r t a e n 2x y , l o c ua l se c ons igue sum á n do le x*y*. pe r o pa r a q u e e l

inom io no va r í e ha y que r e s t a r l e l a m ism a c a n t ida d que se sum a , x y2 , yndr e m os :

x ‘ + x '-y + y '+ x -y - - xíy*

x J I 2x*y: + y‘ x y = (x4 I 2 x y I y ‘ ) x -y -

a c to r u n d o e l t r in o m i o c u a d r a d o p e rf e cto ) = { x2 + y - f — x y

( f a c to r a n do l a d i f e r e nc ia de c ua d r a dos ) — \x - )• y2 I xy)(x2 ‘ y2 xy)

(or d en an d o ) = íx2 + xy •) y2)íx2 —xy + y*). R.

2. D esco m po ne r 4a4 + &r*b* + 9b4. .

La ra íz cu ad rada d e 4a4 es 2a : ; l a r a íz cua drad a de 9b'1 es 3b* y e l d o -

e p ro d u c to d e estas ra íce s es 2 X 2 a 2 X 8b* = 12a*ba; lue go , este tr in o m io

o es cu ad rad o p er fec to p o rqu e su 2? té rm ino es 8n"b'‘ y pa ra q u e sea cu a-

rad o p erfec to d eb e ser 12a*b2.

Pa ra q u e & rb 2 se co n vie r ta en 12(t3b* le sum am os 4«’b 2 y pa ra q u e e l

inomio no var íe le res tamos 4a2/ / ' y tendremos:

4<x '+ fifl'b2 + 9b4

4 4«2b 2 —4a*bí

•la ' I 12a'b2 + 9b1 4a*b* = (4«4 + 12o3b J + 9b 4) l a 2//2

(íact. el tri n o m io cu a d ra d o pe rfecto ) = (2a2 + 3b'')* —4<*3bs

( ía c t. la d i f e r e nc ia de c ua d r a da s ) = ( 2a *+ 3& * r 2ab ) (2a 2 + 3 b * 2ab)

(ord en an do ) = (2o* + 2ab + 3b 2)(2a2 —2a b I 3b*l R.

3. D es co m p o n er a4 — ltia2b * + 36 'b4.

La r a í z c ua d r a da d e « ' es a"; la d e 3f»b‘ es f ib2. P ara q u e este tr in o m io

uc r a c u a d r a do pe r f e cto , su 29 t é r m ino d e b ía se r — 2 x « “ x Gb*= 12a *b*

es l(!a2b 2: p e ro lí¡«*ba se co n v ie rte e n — 12a2/;2 su m án d o le 4a2b 2, pu es

tendre m os: — I6e2ba + 4aaba —12a*ba, y para q u e no va r íe le res tamo s•Iaab \ igua l ( jue en los casos anter iore s y tendrem os:

a* - 16rt36a + 36b4

t 4 a* b i — l a " b¿ a • 12aab a 3fib4 lflab a (a* 12o9i»« + 3Gb*) AtPb*

■ (« * 6 6 * + 2a b . . a* 66* 2flb¡= í a2 + 2ab 6b9;<(a2 2ab fiIr:. R.

■1. F a c to ra r 4!)m* —.151»«*n* + 8 l« H.

L a raíz cu ad rad a d e 49m 4 es 7»»*; la de 81«Mes i)n*. F.l 2? térm inod e b ía se r — 2 X 7>na x 9«* = — 126m an* y es —151 mM1, p e ro —151 m an 4 ve

co nv ierte en —12G»isn 4 su m án d ole 2r»m*«4, p u es se tien e: —l ó ím 2;»* ♦2b m -n4 — — 12Gm2n ‘. y p ara q u e n o va ríe le res tamo s 25m a«4 y tend rem os;

•líltw4 —151w*2» 4 t 81»*+ 2 0 m í tt4 2,‘im''»4

49wi4 I26m *»4 + U n * 2 .W -n ‘ = (49 j n ‘ I26m *n4 + 81 tt“) 25m *n4= (7n r9— 9n4)2 — 25m*ri4 —:7 m K—9n* ■ 5 » m B)í7 m 2 —9 n 4 í>mnT

7m s I 5» m * —9n 4,'i7» í2 — Vmiu'1 — 9»4) K

m - EJERCICIO 96

D ES CO MP OS IC IO N f A C T O K I A l • 1 5 7

Factorar o descomponer cu «los factores:

1 11. 2íio4+M«tab2+49b4. 21. 144 i 23«*+8n»2. wt4F»»2» !!+ » 4. 12 3G.v1 ■109xa>'*+49y4 22. l G - W + c * .n. x*+3x4 }4. 13 81*i"+2»*«+l. 23. 64«4<109d*6«+8l6*•i. «i4+2«r*F9. 14. «• 4 5c B+ 100. 24. 225+5m'Fm4.r» a4—lUt'b2+b*. 10. ■1 53<»4b 4+ 49 b*. 2á. 1—,12<Niaí>4 rl69fl4b*.ti x4—6x9+ 1. 16. 491 76n a+6 4n 4. 26. x4y4+ 21 x2ya| 121.

7. •Ia4+3<i::b, + 9 b 4. 17. 2 5 x 4 1 3 9 x y + 8 1 y f . 27. 49c*l7!5f4man H |8 6 r i4m8 lx‘29xal25. 18. •Ií».v*+76x4y4+100y*. 28. 81rt4b *2 92 a* b4x*K!ó0xU x h |.4x4y4}lG>’8. 19 4 —l08x2+ 121x4.

lll 16m *—2 5m aMa+ 9 « 4 20. I21x4 l33x V +U G y4

CASO ESPECIAL

f a c t o r a r u n a s u m a d e d o s c u a d r a d o s

í 3 > l ín g e n e r a l u n a s u m a ele «los c u a d r a d o s n o t i e n e d e s c o m p o s i ci ó n e nfac tores rac ionales , es dec i r , fac tores en que no haya ra íz , pero hay su-

m a s d e c u a d r a d o s q u e , s u m á n d o l e s y r e s t á n d o l e s u n a m i s m a c a n t i d a d , p u e -den l levar te a l caso anter ior y descomponerse .

8 • A L G E B R A

Ejemplos

11 ) haclo ia f o ' + 4b*.La ra licuadrado de a"1 c i o::; la de 4b* es 2b1'. Pata que esiu expresión seaun trinomio cuadrado pcdocto hoce la-'lo que so segundo término r.ra-2 X a -X 2b1' = 4o*b:'. Entonces, igua l que en los casos anteriores, ci ¡aexpresión a* I-4b* le sumamos y restamos 4c 'b} >• tendremos:

o ‘ + 4b‘I 4 o ‘ó ’ 4c’¿r

O1+ 4o6J 4 Ab* ítpfp" |cr‘ r 4a'b" + 4b ') 4a1'b | r r 2bP 4o V

= ¡o* + 2b1' + 2o b i|o :' I 2b1' 2obl- :< r • 2ab I2b - )lo1' - 2ob -I-2b ’ l R.

b EJERCICIO 97

Eactoiar o <le$con>|X>nc» en dos factores:

1. x '+ 64y* . 1. Irn1—8ln*.2. 4x *+ y * . 5. 4-IG25X'.3. a , +324b í . (¡ ( i4+ rt12-

ASO VI

RINOMIO DE LA FORMA x 1 + bx + c

1 r in o m io s d e la fo rm a x '4 l>x c s o n t r i n o m io s co m o

x - t bx + t>. m z + 5>» — 14a- — 2a — 15, y" — 8 y + IT»

u e cu m plen las cond ic iones s igu ien tes :1. E l coef ic ien te de l p r im er té rm ino es I.

2. lil p r im er t é rm in o e s u n a l e t r a cu a lq u i e ra e lev ad a a l cu ad rad o .

3. Iil s eg u n d o t é rm in o t i en e la m i sm a l e t r a q u e e l p r im ero co n ex -ó rten te I y su c o e fic ie n te es u n a c a n tid a d c u a lq u ie ra , p o s itiv a o neg a tiv a .

•1 E l t e r c e r t é r m i n o CS i n d e p e n d i e n t e d e Ja l e tr a q u e a p a r e c e e n cly u? (¿im in os y e s u n a c a n tid a d c u a lq u ie ra , p ositiva o n ega tiv a .

46! REGLA PRA CTICA PARA FACTORAR UN TR INO M IO DE LA FORM A x I bx I c

I) lil t r in o m io s e d esco m p o n e en d o s f acto re s b in o m io s cu y o p r im eri l i d d d l i é i d l i i

7 1+4»«.8.9. yia'HMb*.

D ÍS CO MP OJ IC IO M Í A CT O R IA L • 1 5 9

2) E n e l p r im er fac to r , desp ués «le x s e e sc r ibe e l s igno de l s egundo

té rm ino « leí t r inom io , y en e l s egun do fac to r , despu és de x s e e sc ribe el

.sig no q u e r e s u l t a d e m u l t i p l i c a r e l s ig n o d e l 2 ^ t é r m i n o d e l t r in o m i o | k » i

e l s i g n o d e l t e r c e r t é r m i n o d e l t r i n o m i o .

.'!) Si los «los factores b ino m ios tie n e n en el me«Iio sig no s iguale se

bu scan dos n ú m e ro s cu y a su m a se a e l v a lo r a b so lu to d e l s e g u n d o te rm in o

«leí t r ino m io y cuyo p ro du c to sea e l va lo r abso lu to de l t e rce r t é rm ino de l

t r ino m io . Es tos núm eros son los s egu ndo s t é rm inos d e los b inom ios .

4) .Si los do s fac tore s b in o m io s tien en en el m ed io sign os «listóm e *«•

bu scan d o s n ú m e ro s cu ya d ife re n c ia se a e l v a lo r a b so lu to d e l seg u n d o lé i

m ino de l t r ino m io y cuyo p ro du c to sea «'1 va lo r abso lu to de l t e rce r t é rm ino

de l t r ino m io . E l mayor de es tos nú m eros e s e l s egun do t é rm ino «leí p r i-m e r b i n o m i o , y el m e n o r , e l se g u n d o t é r m i n o d e l se g u n d o b i n o m i o .

If .s ta regla práct ica, muy sencil la en su aplicación, se aclarará con los

s iguientes

Ejemplos

11 I Faciera ! x'J4-5x+ 6.

El trinomiosedescompone- en dosb inomiosco/o primer término es la raiz coadradodex-oseax:

x2 5x + 6 | x ) ( x 1

En el ptimerbinomio despuésde x se panesigno 4- porque ol segundo tcrmino del binomio l-Sxtiene signo 4- En el segundo binomio,después He x, soescribe el signo quo resulta de multiplicar el signo de 4- 5x por ol signo d<-4-6 y so tiene que- I- por 4- do 4- 0 SOO:

x-'-fr5x4-6 1 x4 -|( X4- I

Ahoro, como en estos binomios tenemos signos igunios buscomos dos númerosquecuya sumosea 5 ycuyoproducto sea 6. Esos números son 2 y 3. luego:

xs 4 5x 4 6 = ( x 4 21: x 4 3s. R

<2 1 Facloior x: — 7x4- 12.

Tendremos: x - ~ 7x 12 |x— ! l x - I

En el primor binomio Sé pone — porque — 7x tiene signo — .En el segundobinomioso pono — porquemultiplicando el signo do 7x po««íls ignodo 4-12so tieneque: — poi I da — .

Ahora, como en los binomios tenemos signos igooles buscomos dos númeroscuyo sumo sea 7 y cuyo producto sea 12. Estos números son 3 y 4, luego:

x*— 7x4- 12=1x— 3ifx— 41. R.

160 ♦ A L G E B R A

(3 ) Factorar x- I- 2a— 15.

Tenemos: x - + 2x — 15 Ix I l *x — I

In el primer binomio r.c pone -1- porque + 2x liené signo -f .En el segundo binomio so pono— porquemultiplicando el signo de + 2x porol signo de — 15 so l ioneque+ por — dn — .Ahora, como en los binomios tenemos signos distinto! buscamos dos númeroscuyo diferencia sea 2 y cuyo producto seo 15-Estos números son 5 / 3 . El mayor 5, se escribe en el p rimer b inomio , ytendremos:

x* + 2x —15 = lx | 5 i: x —3!. R.

I .) Foctoror xs— Sx— 14.

Tenemos-. x- -5x— 14 |x — }¡x +

En el primer binomio se pone — porque — Sx tienes igno — .

Ert el segundo binomio se pone + porquemultiplicando el signode- 5x porel signo de — Id se tiene que — por — do F.Ahora como en los binomios tenemos signos distintos se buscandosnúmeroscuyo diferencie sea 5 y cuyo producto sea 1-1.Estos númoros son 7 y 2. El mayor 7, se oscrihe en el primer binomio y setendrá:

_ x2— Sx— 14 = (x — 7> Ix + 21 R.

<5 ) roctoror a"— 13o+ <0.

a- 13o-T-40 {o 51( o - 3 ) . R.

(6 ) Factorar ms— l l m — 12.

m3 — llm —12 = I m 12 j|«n + 11. R.

f7) Factorar n*+ 28n— 29.

n*+ 28n— 29= (n3-29)Ir)— I I . R.

(8 ) Factorar x! + 6x— 216.

x*+ 6x— 216 ¡x+ l l x - !

Necesitarnos dosnúmeros cuya cítfercorin sea6 y cuyo producto seo716.Estos números no se veo /adúnente. Paro hallarlos, descomponemos en susfactores primos el tercer término:

Ahora, formomos eco estos tortores piinvos dos productos.Por tanteo, variando los factores de coda producto, obtendremoslosdos números que buscamos. Así:

216 2108 254 227 39 33 31

2 X 2 X 2 = 82 X 2 X 2 X 3 = 24

2 X 2 X 3 = 12

3 x 3 X 3 = 273 X 3 - 9

2 X 3 X 3 = 18

27 — g =. l«7/ n o nc* sirven

24— 9= 15, r"-’ «>v«i18— 12= 6,sirven.

18y 12 sonlosnúmerosquebuscamosporque su diferencio es 6 y sup'orfucfonecesariamente es 216 ya que poro obtener estos números hemos empleadolodos los factores que obtuvimos en la descomposición de 216. Por tonto:

x3 + 6 * 2 1 6 = I* I 18 Ix — 121 R.

D ES CO M PO S IC IO N F A C T O R I A L • 1 6 1

(91 Foctorar cr —¿ón 4 IC80.o* —6ío 41 OSO l o | ( a )

Necesitamos dos números cuya urna sea 66 y cuyo producto seo ÍOGO.Descomponiendo 1CG0, tendremos:

1030 2540 7270 2135 3 2 X 2 X 2 = 8 3 X 3 X 3 X 5 = 1 0 545 3 2 X 2 X 2 X 3 = 24 3 X 3 X 5 = 4515 3 2 X 3 X 5 = 30 2 x 2 X 3 X 3 = 3651

105 4 6 = 113, ............

45 4 24 69, ............

30 4 3 6 = Gri, Uno,

Los números que necesitamos son 30 y 36 porque su suma es 66 y su p/odui i

necesariamente es 10150 ya que pora obtener estos números hemos empleadotodos los (adoros que obtuvimos en la descomposición do 1080, luego:

cr 66a 4 1080 = (a 36)io 30). R.

EJERCICIO 98

Iaclorar o descomponer en dos factores:

1 x247x410V.. x*—5x46

x*43x—10.■ x*4x—2

• < o' I •lo43.'i «j*f5m—147. y» !)>• | 20.H x3—G—x.0. x*—Í)x48.0 <• I V —21.1 x *3 x+ 2

19 a*47u46.

13 y2—4y43.1L 12—8nfn2.15 **410x421.16. «2470 18.17. m 2 Í 2 w + l l .18. x 3—7x—3019. ns4*8n—16.20 204rt2—21«.21. y3|y—30.22. 234a*—U«2 3 . n 2 6 n 4 0 .24 x2—5x—36.

25. «22fl3.r».20 x24Mx413.27 . «243,‘| —14n.28. wt2418wi—80.29. c2—13c14.30 x?415x450.91 xa15x+54.32 á247n—6033 . x a—17x—G034 x248x—18035. m2—20m—30036 x'fx—132.

37. ma—2 m U 1'38 c*4-24c4-13&.30. m3— 41r;M KM40. ii2fn—380.41 x’412x—36442. «2H2<H~I.T¿.43. w2—30m—07544. v24.r>0y4330.45. x3—2x—528.40 ti'’443«443247. c3—4c—32048. m3~8mlO08.

CASOS ESPECIALES

(147 ) E l p roc e d i m i e n t o a n t e r i o r es a p l ic a b l e a la ( a do ra c i ón d e t rinom iosq u e s iendo d e la form a x 2 4 b x 4 c d i f i e r e n a lgo de lo s e s tud i a dos a n -

t e r i o rme n t e .

(1 ) Foclorar x4 Sx2 50.

Ejemplos

x4 —5x2 —50 !x2 — llx2 4 ).

El primer término de codo laclar binomio seró lo raízcuadiada de x4 o seo x1:

Buscamos dos números cuya diferencia (signos distintos en tos binomios) seo5 y cuyo producto sea 50. Esos números son 10 y 5. Tendremos:

x4 5x3 50 =(x * 10) (x3 4 5) R

(/-> Federar x*+ 7x:i — 44.

El primer término de codo binomio será lo raíz cuodrado de x* o sea x:¡.Aplicando las reglas tendremos:

x " I-7x3 -4 4 = (x8+ U IU * -41 . R.

f3) Factoror <i*b2— ob— 42.

El primer términodocodnfactor será la raíz cuodradode a-b- o seo ab:

a~b 2— ab— 4? (ab— > iob+ I

Buscomosdos números cuya diferencia sea I |quo os ol coeficiente de ab,1 ycuyo producto sea 42. Esos números son 7 y 6. Tendremos:

ü 2be_ ab- 42= <ob- 7 1fofo+ 61 R.

(4 | Foctorar (5x|* — ?¡5x)+ 8.

Llamamos la atención sobre este ejemplo porque usoremos esto descomposiciónen el cososiguiente.El primertérmino de cada hinomio será lo raíz cuadrado de|5xP o seo 5x:

|Sx|2 -9 l5 x ) - | - 8 Í5x— |(5x— )

Dosnúmeroscuya suma (signos ¡guales en los binomios) es 9 y cuyo productoes B son B y 1. Tendremos:

(5x|2- 9(5x| I 8 - <5x— aiíSx- U R.

<5> Factoror x-’ -S ¡ox - 36o2.

x2— Sox— 36o2 | x — ) |x -I* )El coeficientedex en el segundo término es 5o. Buscamosdos ccntidcdcscuyo diferencio seo 5a ¡que es el coeficiente de x en el segundo término)y cuyo producto sea35o2. Esas cantidades son 9a y 4a. Tendremos

x2— Sox— 36a2— (x— 9a|(x 4o). R.

f6 ) Factoror ¡o + 6 )*— 12|o + b ) + 20.

El primer término de coda binomio será !o raíz: cuadrado de (a+ b)-'que es|o-I-b).

{o + b p — 12(a+ b |+ 20 l l o l b l - |.<o+ 6 ) - ]

Buscomos dos números cuyo suma sea 12 y cuyo producto sea 20. Esos números son 10 y 2. Tendremos:

( o - by*- 1 2|o + b )-t- 20= 11a -I-6 )- 10||lo - b¡ - 7

- ( a ü 1 0 K o+ b— 2). R.

|7 ) Factoror 28 I 3x * -¡ir.

Ordenando en orden descendente respecto de x, tenernos:

— x *-|-3x+ 28.

Para eliminar el signo — de — x2 introducimos d trinomio en un paréntesisprecedido del signo — :

— (x 2— 3x -2 8 )

6 2 • ALGEORA

O JS C O M K W I C IO K F A CT O RIA L • 163

Foctorondo x —3x ?8 —(x —7|(x + 4 1, pero como el trinomio está procodido de — su descomposición también debe ir precedida de — y tendremos

—(x ~ 7Hx I 4)

Paro que dcíoporozco cl signo — del producto —|x — 7)(x 4| o seo, poroconvertirlo en I basta cambiado cl signo a un /odor, por ejemplo, a ( x 7 |y quedará:

28 l - 3 x - x ' - = ( 7 - x l ( x l 4|. R.

raclorar 30 l y2 — y*.

30 + y" y « = (y> y ' 3 0 | = ( y í ó | ( y 2 + 5 | ( ó y 2)ly2 r5 ). R.

EJERCICIO 99

Factorar:1. n M.Vv''M2. fix*7.3. .vs—2x‘—80.4 xv Fx>— 12.6. < l .v)* 2U x) l5.0. {.»x)’+l3(:>v)l42.7. X 2rt.V—lórr*.8. o'J-4oO-2\b" .0. fv v ) +2 ( x y ) 24 .

10. .'i 41 v —x*.II . > ,04x5—20.12. mi: »/«—5fin*.

13 x* + 1 a x'- -m a z.14. (2.v)3—4{2x)t3.15 (mn)"+5{rn—»)—21.16. x* l x 1-2 40.1 7 . l 5 + 2 y y * .18 . a*b•- 2a-0- - 9».19. c * + l l c d + 2 v n20. 25x3f>(5x)íi4.21 os21fl&+98í>1.

22 xy+x=>'*182.23. 48 12x®x*.24 . ( c +d) * l8 ( í+d ) +65 .

25. a|2r»xy—I4í)x;vj26. 21«i*tJ11 lili27. 14 I-5m — w3.28. xr*+x»!>30.29. (4.V2)'—8(4v3) I0.‘30. x^+Sflitx2— 3 1 . a * - a * & ? - l , r>Cf<*.

32. 21oI 4.4rT.v—x5.33 x V lÓ d v 'T ' I íh m

34. („_ !)* .:n .; | , |l35. m*-Tttbcm —56n •36. (7x y+ 2l(7 v ) . 11

CASO VII

T R IN O M IO DE LA FORM A ax f b x c

'148,1 Son t r ino m ios d e es ta form a: 2xa + l l x + 5

3 a* + 7o 610«s n 2l m - - 23m I 6

• | < se d i f e r e nc ia n de ¡os t rinom ios e s tud ia dos e n e l Caso a n te r io r c u q uet i p r im er té rm ino t iene un co ef ic ien te d is t in to de 1.

0 DESCOMPOSICION EN FACTORES DE U N TR INO M IODE LA FORMA ax bx I c

( I ) Factorar 6xs —7x —3.Multipliquemos el trinomio por el coeficiente de x* que o»6 y dejando indicado ol producto de 6 por 7x se tiene:

3óxs 6j7x) 18.

Ejemplos

6 4 © A L C I B K A

Descomponiendo esle trinomiosegúnsev io enel cosoon lerio r,el 1er.terminode codo fac to r será ía ra i r coudrcdu de (óxj- o sea 6x: |6x— | {6x4 - |.

Dos números cuya diferencia seo 7 y cuyo producto sea 18 son 9 y 2. Tendremos: (<Sx— 9)fóx-I-2).

Como ol principio multiplicamos el trinomio dcido por ó, ahora tenemos que(6x - ? ) |6 x - 2 )

dividir por 6, poro no ollcror el trinomio, y tendremos: -----

pero como ninguno de los binomios es divisible por 6, descomponemos 6 en2X3ydividiendo [6x — 9|entre 3y |6xt 2| entro 2se tendrá:

^ - 9)(í x 4-2) = 12x_ 3113x + 1)

Luego:

6x:!— 7x— 3 - ( 2 x ~ 3 )1 3 *4 -1 !. R.

12) Foclorar 20x*'4-7x~ 6.

Multiplicando el trinomiopor 20, tendremos: |20x|*4 7(20x|— 120.

Descomponiendo este trinomio, tenemos: |20 x4- 15|{20x— 8).

Poro cancelar lomultiplicación por 20. tenemos quedivid ir por 20,perocomoninguno de ios dos binomios os divisible por 20, descomponemos el 20 en5x A ydividiendo el factor |20x4* 15| entre 5 y (20x- 81 entreA tendremos:

|M .4 1 5 ) |2 0 x 8 U m x + 3i(S(c_ ?1SX4

20x*+7x— ó = (4x-I-3 ) ISx— 2 ). R.

(3 ) Foc lorar 18cr— 13o— 5.

Mult iplicando por 18: ( I8n|*— 13(18a)— 90.

Focloiundo este tr inomio: | l8n — 18)( 18a + 5).

Dividiendo por 18, paro lo cual, como el primer binomio 18a.— 18 es divisible por 18 basta dividir esle factor entre 18, londromos:

v t a - m n o + s i 1 )(1 B g, sl

Luego íeo2 13o —5 = i o — 1|{ 18o4 5) R.

»■ EJERCICIO 100

Factorar:

1. 2x*|3x2. 10. 20)1*4)'—1 19 m —1)4 lñrn*.2. : t \ —;>x —2. 11. 8«B—1Jrt—15. 20. I5rr2— 12.3. 6x*47x+2. 12. 7.vE M x35. 21. 9x*437xM.4. 5x*í13x~6. 13 lGm+15»t8—15. 22. 4 4 » + 2 0 » s 15.

D Gx=(ióx. 14. 2a*4 5fl+2. 23. 14w»*31m10.G. I2xz—x —G. 15. 12x9—7x—12. 24 2x*429x400.7. 4<r*415<J+9. 10. 9«'*’4'10n+l. 25. 20a*7r r l0 .8. 341 Irt l lOn*. 17. 20na—!)»»—20. 20. 4na+ n —33.9. 18. 2lx*fll.v—2. 27. 30x9+ I3 x—10.

CASOS ESPECIALES

1. F¿iCtonir 15x* — l l x z —12.

M u lt ip l ica n d o p o r 15: (15x2)2 — ll(1 5 x 2) — 180.

D e s c om po n i e ndo e ste t r ino m i o , e l p r i m e r t é rm i no {15x2 ~20) ( l G .v ,de cada factor será la raíz cuadrada de (15xz)2, o sea 15x5: /

(15x* — 20} (15xs + 9)D i v id i e n d o p o r 15: — ------------ (Sx2 —4)(5x + 3). R.

O X <1

2. Fac tora r 12x'*y2 + x y 20.

M ul t ip l i ca n do po r 12: (12xy)2 + 1(12x j i) — 2-10.

K actorando es te t r ino m io: (12xy I I f i ) { i2 x ^ 15).

(12x>' í l< l)(l2 xy —15)D iv id ie n d o p o r 12: — — — (3xy + 4 ) (4xy — 5). R .•1X3

a. F a ct o ra r (ix2 —llrr x — 10«”.

M u lt ip l ica n d o p o r f>: (6x)2 —ll«(6 x ) C0«".

K actorando es te t r ino m io: (6x —15fl)(6x + 4a) .

(Ox — 15a) (6x I 4a)D iv i d i e n d o p o r 6 : •------------= (2x 5 « )(3 x + 2 aj. R .

o X ¿

•í. F a c to ra r 20 —3x Ox2.O r d e n r fh d o el t r in o m i o e n o r d e n d e s c e n d e n te r e sp e c to d e x : o . v ’ u

In t rod u cié n do lo en u n pa rén tes is pre ce did o del s igno —: —(Ox I : t \ •

M u lt ipl ic an d o p o r í>: '(9x)* + 3(9x) 130J.

K acto ran do este t rin o m io : —(ílx I 15){9x —32).

— (9x + 15)(9x — 12)D iv id ie n d o p o r Ó: ■ (3x + 5)(3x 4 ) .

l ’.un q u e desaparezca el s igno de este p iiid iic to , o sea p a ra c o n v e r t ir lo en I , hay• |n . <ainl) ia i e l s igno a un fac tor , p o r e jem 20—3 x ~ 9x2=(3 x 15)( t 3 \ }.

a (3x 1), q u e se co n v er t irá en (4—3x),» t e n d r e m o s : ____________________________ /*

D r sC O M P O i l C IO N F A C TO II I AI • 1 6 5

EJERCICIO 101

Factorar:li.v* K5x*6. 9. lSniu —15av. 17. l&i*+17«y—15ya

.r».vuF lxJ—12. 10. 14x‘ i;>.\21 4 . 18. IÚ+2X1 8.\*.J , lOx* ■29x‘+l(l. 11. 3(to213«í»3G2. 19 6—26x*+5x1.4. <;/i.vu|5/j.v21. 12. 7x«33xa 10. 20. 30x‘" 9 1 : 3 0 .(1 2Üx• v; ‘ !>\y2o. 13. 30+13«—3«2. 21. 30m2+l7m>i2l<i:0 láx2— a x —2<i*. 14. .VI 7x'(¡x". 22. 16a—1—1 :Vi2.T» 12 7.v—I0x2. 16. fin2—í ix —láx2. 23 IUyí iy2 lxJ

6 • A LG EO RA

ASO VIII

UBO PERFECTO DE BINOMIOS

M . (a + b )3 — a* 4 3a"b 4 3ab~ + b'J 50. E n los pr od uc tos no tab les (90) se vio q u e Stafr* ó*.

L o a n t e r i o r n o s d i c e q u e p a r a q u e u n a e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a o r d e -a d a co n res |>ec to a u n a l e tr a s ea e l cu b o d e u n b in o m io , t ien e q u eu m p l i r l as s igu ien tes cond ic iones :

1 . T e n e r c u a t r o t é r m i n o s .

2 . Qu e e l p r im ero y e l ú l t im o t é rm in o s s ean cu b o s p e r fec to s .

3 Q u e el 29 t é rm in o s ea m ás o m en o s e l t r i p lo d e l cu ad rad o d e l aí/, cú b i ca d e l p r im er t é rm in o m u l t ip l i cad o p o r la r a íz cú b ica d e l ú l t im orm in o .

‘1. Q ue e l U " ' t é rm ino sea más e l t r ip lo de la ra íz cúb ica de l p r im errm in o p o r e l cu ad rad o d e la ra íz cú b ica d e l ú l tim o .

Si todos los t é rminos de la expres ión son pos i t ivos , l a expres ión dadas e l cu b o d e l a su m a d e la s ra íces cú b icas d e su p r im ero y ú l t im o t e rm in o ,

s i los té rm inos son a l te rna t ivam en te pos i tivos y neg a t ivas l a expres ión

ada es e l cubo de la d i fe renc ia de d ichas ra íces .

R A IZ C UB IC A DE UN MONOMIO

L a r a í z c ú b i c a d e u n m o n o m i o s e o b t i e n e e x t r a y e n d o l a r a í z c ú b i c ae su co e f i c i en t e y d iv id i en d o e l ex p o n en to d e cad a l e t r a en t r e y .

A si, la ra íz cú b ica de ,vr’/rc es 'lab'2. E n efec to :

(2afc*)« = lab* x 2ah* X la b 1 = 8a*b*.

©HALLAR SI UNA EXPRESION DADA ES EL CUBO DE UN BINOMIO

( 11 Hollarsi Sx*+ 12x*+ 6x 4 1 esol cubo de un binontio.

Veamos si cumple loscondiciones expuestos antes.La expresión tiene cuatro términos.

lo ro iz cúbicado 8xl es ?x.Lo toíz cúbico de 1 es 1.

3 |2 x )*(l)= 12x-, segundo término.3(2x) |1Ia= 6x, tercer termino.

Cumple los condiciones, y comotodossus términos sonpositivos, to expresióndada es el cubo de (2x I- I |, o de o tro modo, |?x • I | e i lo taíz cúbicado la expresión

Ejemplos

t l t S C O M f O S I C I O H I A C T O f t f A l • 167

( 2 ) Hallar si 8** + 5Axy* — 27y°— ’Jóx4)-3 es el cubo de un binomio.

Ordenando la expresión, se tiene: 8x*— 3óx‘ y*+ 54xay* — 27y*.

La raiz cúbica de 8x4 es 2x2.

La expresión tiono cuatro términos: < !£ /? ( * ,í Uj. 'C0 d* 77 X ' cs 3y'-3(2x-)-|3y J) — 36x4y®. segundo término3(2x2J |3y*): — 54x'-V', tercer termino

y como los términos son a/temotivomenfe positivo* y negativos, la expresióndada es el cubo de |2x2— 3y3|.

153) FAC TO RA R UNA EXPRESION QU E ES EL CUBO ^ DE UN BINOMIO

Ejemplos

(1 ) Factorar 1 4- 12oT 48o*+ 64a*.

Aplicando el procedimiento anteriorvemos que esla expresión os d cubo de { 1 I 4a luego:

1 + 12a -1-480=+ 64o*= (1 + 4a|:‘. R.

I ’1 Faclorar o»- 18cW + IM a W " - 216b's.

Aplicando el procedimiento onterior, vemos que esla expresión cs el cubode(o :‘— 6kfi); iuego:

a“ - 18o*6*+ 108oH>>*- 2140**=( o » - 6b413. R.

m - EJERCICIO 102Kactorar por el método anterior, si cu posib le , las expresio nes siguientes,

• •nlrnAtidolas prev iam ente :

1. o»+3n*+3n+l . 12. 843l>x+54x*427x3.a 27 27x49 ;**—xa. 13 S—12/I—lio* a0.

a. r/i*F3man+8>/t«*+n*. 1 4 . n*+3a«¿r»+3fl8¿«+ó<'.4 1K3n43a«*, 15. xn_9 x") .‘ 4 2 7x:i)'H—27y'*.9. «t12/l3+6rt‘+rl« 16. 64x*+240x2>+300x>'*+Í2ór1.(1 I2Bx* >!l7:>x* l láx. 17. 216—7f>6«* í 8S2« *—343 a4.7 tb i' :j(í«sí>+54« fc*—27bx. 18. 12T>x,3+<i(K)x*)irl+!)6ü.v4>i,p+532y”R. 27n i1f 108m*;M 114»J»2+B4n :i. 19 yn*'»14:ín,,|rtl".

II.xa:ix'i:ixdi. 20. ni' :iri!"'!ti+-‘¿<rrii» 2—n 'n :l.

10 1 1 rin'^ó—(inb—8a:i¿>*. 21. MISff'ó'é I08n4í>li 121«**bu.II 12r>rJ:l+ 1 r>Ons/> f 60nbs+ 8 ó3 22. C4x*,125y,3240x°}'*+300xy.

CASO IX

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

*1* //** (l* ***154).Sabemos (94) cinc: = /js —ab + b* V — a~ + ab + b'i

a + b a — b

v n >iiKi cu toda división exacta el dividendo cs igual al producto del divi* •<>i |Mir el cociente, tendremos:

a ' l Ir = C « + b K t J a b + b » ) <1>t " l i ( a - b ) C * J ■ a b > <2>

6 8 • A t e m e *

La f ó r m ula ( 1 ) nos d i c e que :

REGLA 1

I a sum a de dos c ubos pe r f e c tos se de sc om pone e n dos f a c to r e s :

19 1a sum a d e sus ra íces cúbicas . 29 El cua drad o d e la p r im era ra íz ,ue rtos e l p ro du c to d e la s dos ra íoes, m ás e l cu ad rad o ele la segu nda ra íz .

La f ó r m ula ( 2 ) nos d i c e que :

La d i fe renc ia de dos cubos pe r fec tos se descompone en dos fac tores :

19 L a d i f e r e nc ia de sus r aíc es c úb ic a s. 29 E l c ua d r a do de l a p r im e r aa íz , más e l p roduc to de la s dos ra íces , más e l cuadrado de la segunda ta i / . .

(Z f Factoror o* — 8.

La raíz cúbica dea * es o.- la de 8 es 2. Según lo Reglo 2:

aa - 0 = ( a - 2 ) [ a « + 2 |o )+ 2í l = : í o - 2 ) | o * + 2o+ 4). R.

(3 ) Factora r 27a“ I -b " .

La raíz cúbico de 27a:i es 3a; la de b° os b2. Según la Regla 1 tendremos:

27a*+ b°= |3o+ - 3o<b3)+ |b2|2)= (3o+ W l * * - 3ab?+ 6<J. R.

<41 Factoror 6x3-1 2 5 .

La laiz cúbica deOx3es 2x; la de 125 es 5. Según la Reglo2 tendremos:

Bx»- 125= [2x- 5) [ |2x) ‘- + 5 |?x)+ 5*)- ¡2x- 5K4x* + lOx+ 251 R.

O J Factoror 27m°+ 64riu.

REGLA 2

FACTORAR UNA SUMA O UNA DIFERENCIADE CUBOS PERFECTOS

(1 I Factoror x4+ 1.

La raíz cúbica de x:l es x; la raízcúbicade I es ISegún la Regla 1:

x3+ 1 = (x+ l| [x=- x11 1+ 1*1= (x + 1J(x*- x+ 1 1.

27m® + <Mn*= 1 3ms + 4n*l(9m4 - I2m3rr» + 16n°! R.

EJERCICIO 103

Descomponer en 2 factores:

1+a».1 - a * .x »+)'*.man*.

7 y 3 ! .8 8xa—l.0 I—8x*.

JO. x3—27.II 3+27

13. 27a3—b 3. 19. 8x*27y*.14 64+«3. 20. l+ 3'l3 n* .15. a 3—125. 21. Gffl3—729.l(i. l 21«rn*. 22 <r*6»x*.17 8 * +27b4 23 5I2l 27

O t ¿ CO M P O S IC IO N f A C T O R I A t 1 6 9

25. l+72í)x«.20. 27m 3+64 m".27. 343x*+512y«.28. x'yr—21G)'*.

29. a*¿>*xyH .30. x«+y*.31. lOOÓx’ l .32. «°+125í' ,i

33. x 'a+ y ‘a.34 1 - 2 1 a m . 3! ¡. 8x«+729.3C. «*+8***.

37. 8x«*-l25y'i«.38 27m*+341n*.39 216—x**.

CASOS ESPECIALES

1. Factorar (a + b)* + 1.

La ra íz cúbica <le (a r í / )* es (a I b); la de 1 es 1. T en dre m o s :

(a 4 b )s + l = ((a + b ) r 1] [(a I b y (a + í /) ( l ) + I a] (a + b + 1)(a 2nb + b " - u - b + l R .

2. Factorar 8 - (x y)*.

L a m iz c ú b ic a tic 8 es 2 ; la d e (x —>)* es (x — y). T e n d r e m o s :

8 (x >)’ = [2 (x y )) [2S + 2 (x y ) I (x y ? \ - . 2 - x f y ) OI + 2 x 2 y + x - 2 x y I y 1 R.

3. Factorar (x +1)» + (x - 2)*.

( x l 1)y + (x - 2>* [ ( x - l ) + (x - 2)] |{x + I y - (a- + 1) (x - 2) I (x - 2)aJ = (x +1 + x - 2)(x- + 2x 4-1 r X a + x I- 2 I X a - 4x + 1)

(reduciendo) = (2x - 1 ;.r.\ - - x + 7). R.

F ac to ra r (a — />)’ — (a + b)*.

(a ~ b y (n + b y = [(a - b ) (a + />)] [(o - b y + (a l>){a + b) + (a + í/)*]= ( a — b - a b) (a a —2«í> + ¿;2 4 a- b 2 a a + 2ab + b ‘)

(reduciendo) = (—2b) (3a* + b'1 R.

EJERCICIO 104

Descomponer en dos lactorcs:

I I < x+ y)\ 6 l(2« < /)*l («+&)y. 7. ay+ (a f l) 3.27 ) u)». 8. 8«*—(a—l) 3.

(v y )* 8 . 9. 27x:i—(x —y)3(x+'¿yy+l. 10. ('¿a—by—27.

12 .13.

x*—(x+2)8.(a t( x 3 ) * ( x l 2 ) *

(x—y):l—(x+y)3.

16. (2x- y)» | (8*4 y)17. 8(n|-ú)3*(a /')■13. 11! >

15. (/m- 2 ) j + (w -3)».

CASO X

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

156) Kn el número (95) establecimos y ap licando L.| Teorem a del Residuo (102), probamos que:

I. /i" b" e s d i v is ib l e p o r a — b s i endo / / pa r o impar .

IIa" I b n es div is ible por a + fi s iend o a irnjuir.I I! a ' I r es d iv isib le |M»r a .+ b c u a n d o n es [«ir.IV. a" //" i iu n ra es div is i lde | h ii a —//

» vimos el modo de bailar el cociente cuando la divisiún era exacta.

7 0 • ALGURA

57 ) F AC TO R AR U N A S UM A 0 D IF ER EN C IA DE P OTEN CIAS

IMPARES IGUA LES

Ejemplos11) Fcctoror ro1 I n \

Dividiendo entretn+ it (9 6 , 4®> los signos del cocientesonoflornníivnmcnfc -I- y —

/r7> * f' ~ — m* —m3n + m V —mn1 + n*m + n

luego tnB+ n6 = (m + n Jim4 —m*n + m2ns — mn3 + n‘ L R.

(2 ) Factoror x3+ 32.

Esto oxprosión puede escribirse x8+ 2°. Dividiendo por x+ 2, tenemos:

x*+ 32

x»+ 32o seo

= x4 - x 3(2)+ x2| 2 * ) - x ( 2 3) + 2 '

- x4- ?xa+ 4x- - Ux+ 16x + 2

luego xl + 3 2 = lx + 2) k4 2 x ‘ + <1x2 8 x + 16X R.

<3 > Factoror a 8 —b B.

Dividiendo por o — b <96, 4 9 ) los signos del cociente son todos + :

° a 4 + a 3b + o2!?2 + ob3 + b*o —b

luego o 1 —b 6 = ¡a —b ) ¡o4 + o!1b + o*b* + ob* + b41. R.

<4) Foclorar x7 — 1.

Esta expresión equivale o x7 —l 1. Dividiendo entre x — 1, se tiene:

= x8 + x* (l) + x4112| + x»| l* | + x"( I4) + x ( l“| + I*x — 1

x7 lo sea = x*+ x8+ x4+ Xa+ x2+ x+ 1

x — 1

luego x7 l = f x l ) | x e + x* + x4 + x:, + x2 + x + l | . R.

N O T A

Expresiones que corresponden al caso anterior x"I y* o x" —y" en quo nes impar y múltiplo do 3, como x* + y8. x3 y3 x“ + /', x* - y* x,s + y,#,

x16 —y18, pueden descomponerse por el método anteriormente expuesto o comosumo o diferencio de cubos. Generalmente es mós expedito esto últimoLas expresiones de lo formo x" y* en que n es par , como x4 y1, x* —y1'. x* — yB son divisibles por x + y o x — y, y pueden descomponerse por el mé-todo onlerior, pero mucho mós fácil es faciorarlas como diferencio de cued d i

DI-COMPOSICION fA CTO CIA L • 1 7 1

Factorar:

1. a“+I.

2. «51.3. 1—xn.4. a ' + b 7.

* • E J E R C I C I O 1 0 5

I). m T—n T.

6. ur'+243. 7- 32—m4.8. l+243x*.

0. x»+128.

10- 243-32b \ 11. «4+ 6 4c».1 2 . n r - t f x ' .

13. l + x T.

14. x 7 y 7.10. a 7 42187.16. 1—128a7.

17. x ">+:J2;

18. 1+128*

1.2.3.4.6.6.70.U.

111210.

17.1010 .00.

¡u .82.2.104.

10.80f t .

8H80.«).• I .n03.

8480008780.,T.I

EJERCICIO 106

M I S C E L A N E A S O B R E L O S 1 0 C A S O S D E D E S C O M P O S I C IO N E N F A C T O R E S

Descomponer en factores:5a “ Ffl. 40. I + (a —3/;)*. 80. xa—4xJ—480.m 7+ 2 r» x + x 2 41. x l + x a+25. 81. ax —l>x \ b~ a —hy \ n>

a2 1 o — ab— 0. 42. a ' ' - 28a4+ 36. 82. (ia?« —3»i—2rt+ l.x 7—36. 43. 843+8a*. 83. 15+14x8x* .íl.v—G.vy+y2. 44. ]2d*6x—15fl'’6y. 84.x7—3x 1. 45. x2+2xy—15ya. 85 2x(«—l ) a +1.Gxa.\* 2 46. 6íimt—la n 2m+ 3 i«. 8G. (m + »)(;»—»)+3M(»i

a a— 6 s | 2 6 ‘ix ' ' 2 i i 3» *1+x». 47 . 81a*—46*c8 87.•JTo1—1. 48. 16—(2a 16)a. 88. 2<im—3 /; < • c»ix*+m4. 40. 20 —x —x2. 3 6 » i + 2 a .a » 3 a 2/;+r>a6a. 60 «'•*+«—42.

89.•» a i

2xj (¡y+xz—3x. 61. a-—rf*+«s— c¿~2an—2cd. x — X *{' .. 1 * 1 n*

I 46+46*. 52. l+216x'J. 90. •la2"—/;4*.

lx'43x> 63. x*—64. 91. 81x“—(a+x)*,x H 6 x 4y*+y8. 54. x a6 4 x 4. 92. oa +9 —6n—I6x*.o3—«—30. 66. lSax 'y ' 3 6 x * y * ó 4 x y . 93. 9«3—x3—4+4x.ir> m * + llm 1 4 . 66. ■I9a26a—14a6+l. 04 í)\a—y * + 3 xy ,«"+1. 67. (x+1)2 81. 96. x 2— x —72.Hw"—27y®. 58 a a ( 6+e ) a . 06. 36n4 l:W7/* r l'i/i*l<¡a7~2f«6+96a. 59 {"•' 1 n)- 6(«i+«)+<!. 07 a2—«i2—0»a—6m»1+a7. 60 . 7x*+ 3lx—20. +1a/;4l/;7.8a3—12aa+ fía—1. 61. 9«*+63a—15a2. 41—m a. 62. a x + a —x —1. 98. í - j á * .

x H 4 x * 2 1 . o a 81x1+25y8—ÍK)x*y. 09 Bla* ¡ 6 46 ,a.I25a"+l . 64. 1—2762+ 6«. 100. •I9xa—77x + 30 .a'7+2a/;+6a—»ta. 65. m4+mana+»4. 101. x*—2a6x—35aa6*.8n76+16rta624a26a. 60. c*-4d*. 102. 125x!,2 2 5 x a+ l 3 5 x ~x*x*+x—1. 67. 15x* l f ix«+20x2 103. ( a 2 ) a(» +3 )* .«x j I19x - 2 0 . 25x‘—Hly7.

68.69.

f t «•' __ \ ’• __ i j _ s 104.106.

41 «\ «1 A •x4—8x2 24U

«|rJ /n T 1nfix* in.v6.

| — » n a . 70. Cm*+7«ia—20. 106. a4+3rt'7;—|0f;a.vJ a7+2 xy+ ya+ 2 a 6 / ;7. 71. 9»3+4aa—12a». 107. ih :,+8«:ix4.2lm*M ~lt»4n9+7mhfi 72. 2xa+2. 108. l9 x» +2 4x ylC y *.

7»ian. 73. ?a (x+ y •!) —36 (x+ y—1). 109. l + l l x + 2 4 x a .

a(x 1 l ) 6 ( x + l ) + ^ x + l ) . 74. x a+ 3 x —18. 110. í>x'yn—27x3ya—9x*y\(a a+ 6 a~ c 2)*—9x*y*.1 1 4(x —y )+ (x —y)*. 76. (a+;a)'7—(/; | »}*. 111.1 u a / ; * . 70. x:,+6xay+12xya+8r1. 112 8 ( a + l ) * l ./>»» 12<lfr+26fla. 77 . 8na—22a—21. 113. I O O x V l 2 l m * .

lx»77. 78. l + 18a 6 + 81a263. 114. (fl*+l)2+R (aa+ l ) —24Ift*4—l? x a—4 70. 4 a * l 116 1+lOOOx*

1 7 2 ® A t O E O R A

110. 49a8—x*~9y3+6xy.117 x 4^ = + 4 x 2+ 4 —4y2—4xs.118. «a(i4.110. «®rx5.

120. a*-¿a?l>-54b*.121 l65+4xx*1 2 2 . « 4 + « ,l l .

x 2 y*123. ------- —

B.vy y212' lf>x2 + — + — •

:» 25

125. I 4naí<29 6 .126. 8a2x+7y+21 b y — l a y - ñ á ' x l24«2í>x.127. x * + ll x 2—390.

128 7l33wi lO m *.129. 4(fl+6>*í)(cM>3.1 3 0 . 7 2 9 l 2 5 x y .

131 (x • ?)" \-x+y.132 4~{«-+l>-)+2ab.

133. x n—ys |x—y.134. <t2 ú 2+ri3—63.

COMBINACION DE CASOS DE FACTORES

158) DESCOMPOSICION DE

EN TRES FACTORESUNA EXPRESION ALGEBRAICA

Ejemplos< 1) Descomponer en tres factores 5a2— 5.

lo primero que debe hoceue es ver si hoyalgún factor común, y si lo liay,socordicho fac.'orcomún.

Asi, en esto caso, leñemos cl factoi común 5, luego-.

5a2— 5— 51o2— 1)

peioul (actor |a2 I )= (a+ 11(a— I ), tungo:

So2— 5= 5iq -I- 1i |0— 1| R.dondo vemos que 5o2— 5 está descompuesto en tres factores.

( .1 Descomponeron tresfactores3x*— 18x-'y-I-27xy2.

Socando cl /actor común3x:

3x’ - 18x-'y+ 27xy2= 3x(x 2- 6xy4-9y2)

petoelfactor{x- 6xy + 9y :J es un trinomio cuadredo perfecto quedeseom-puesto da ( x2— 6xy-i 9y2 )= |x— 3y|-, luego:

3x:‘- 18x'*y I-27xy2= 3x(k- 3y¡4

(3) Descomponer en Ires factores x*— y*.

x* — yi = (x2 + y*,|x2 — y2)

pero (x‘ y2| = (x r y) |x y}, luego:x‘ -y« = |x*+ y2 ; . | x - t - y i | x - y i

<4) Descomponer en tres factores éox2 -F I2ax— 90a.

Socando el factor común ío :

óox2 t l2ox— 90n— 6c:|x'-’+ 2x- 15|

pero (x2+ 2x— 15)= |x-t-5)|x— 3), luego,

6ox2 I 12ax— 90o— 6a:x-b5;.¡((— 3> R.

(51 Descomponer en tresfactores 3x‘— 26x2— 9.Factorando esta expresión: 3x*— 2óx2— 9= |3x'*‘ • l) (x ‘J — 9)

= ^x2 + I)|x-I-3||X — 3;.

<6 ) Doscomponer on tros factores Bx^-FS.

8 3 FB 8 ( M I)

OEÍCOMPOSICIOH FACTORIAL • 1 7 3

(71 Descomponer en tres (oc-iaros o4 — So + o® — 3 . f

(8 ) Descomponer en tros factoresx * - 4 x - x * + 4. / "

m - EJERCICIO 107

Descomponer en tres factores:

1 3i7x2- 3 a .U 3 x * 3 x C .

2o-x 4«í*xH-262x .¡'«i*—2.< i '~3a - -28a .x 3— 4 x + x 2— 4.3r?xa~3rry*.4«í**— ia lm+an*. x * -3 x * -4 . rr*—ii2—«il1.2r»x3— 4<tx+2d.x #— x-Hx?y — y .•Jn’+Cfl2—8a.

lGx*4fix*y+3tt*yB.3 x » - x 2y - Úxy*+y».5fl*+5a.(«ix3— o x— 2a.n *— 81.Hrrx3— 2ff.

" <tx*+10ax*+25<ix.Xa— 6x3— 7x.

o* — 8o + o ’ B = fo‘ — Boj+ |o *- B)o (o :, 8 | (o* 8 )= | o + J ) | o 3 - B |

= | o + l ) | o - 2 ) | o 2 + 2 o + 4

X"1 — 4x — x 2 + 4 = (x 3 — 4 x) — (x a .1)

= x ( x 2 - 4 | - | x - - 4 )

= ( x - l ) | x * - 4 J

~ | x — 1 | | x + 2 | x ? ' l

22.28.

m*+3ms—16»» 4b’.x3—6x2y+12xy2—8y3.

(x2xy)<(H 1) t \ '(n •x:l+2x2y3xy“,

24. { a+ 6 )(a I 6 2) ( a 1 6 2). 40. a * x 4 6 2x + 2 rt'y Hft 25 32a'-x -4Q'>ibx+18a/>i x. 40. 45«2x ‘—20r»'‘.20 x * - x :' \ - x - - x . 47. •« ( « 1 2 ) * .27. 4x*+32x3« . 48. f*x2—¿*—x''fl.28 a ' (a ) 2)=. 49 2x4+6xa—;»6x#.29. xc—25x3—54 50. 30a2—55a—50.30 . < 7 B - f f l . 61. 9 ( x y ) » ( x y ) .31 atb+2asbx+abxs—uby*. 62. 6a2x —9(7S—rix1.32. 3abm 3~3ab. 63 64n— 125a*.33. S lx 'y r3 xy*. 64. 7 üx '+ 26 .v » :M>134. «J—«r*+a—1. w . rt2+Gr7f— üEin».38. x —3x''—18.x3. 50. I6rr6 56 (i»6 1 » »!•(»/»•30. tiax —2b x — (¡ab—2Í/2. 57. 7x «+32(7*.v ‘- I.ViS*.37. am a—7flms+ 12 am . 08. x - " '- - x - y -" 38 4íj -.x *—4«2. 1*9. 2x« +5x3R tv l i .39- 28x3y —'7xy*. 00. «x*+flx*y 4 nxy0 2<i*•40. 3 n b x '~ 3 a b x—l&ib. — 2<¡xy-2ny‘,41. x1*—8x*—128 81. ( x + y ) * -1.42. 18x*y+ 60xy* + 5Uy*. 62. 3rr‘+3r7*+3(7.

(159) DESCOMPOSICION DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA EN CU ATR O FACTORES

Ejemplos( I ) De scom poner en cu cl ro f ac ió les 2x ‘ — 32 .

2 x « 3 2 = 2 | x ' 1 6 )- ? | x 2 l-4 |(x 2 4)= 2 |x s+ 4 |{x + ? | ( x - 2 j . R.

(21 Doscomponor en cuatro factores o 11— bB.

Esta oxprcsíón puedo foelorarse como diferencio do cuadrados o como difr

reacia de cubos. Por los dos métodos obtenemos resultados idénticos.Foclororvdo como diforencio d e cuadrados:

7 4 • A l Gt Bt tA

Faclorondo como diferencia decubos:

o* b* = lo2 b3|(a ‘ + <Á * + Jb1)= la 4 b; ¡o b |(o ! I ab f b") |o : —ab ' br';. R.

lo ' + o2í> + 6', se descompone como trinomio cuadrado perfecto por adición

y sustracción).El resuliado obtenido por este método es idéntico al anterior, ya que el ordende los foctorcs no altera el producto.Descomponer en cuatro factores x4 — 13x* 4 36.

x4 13xs 4 36 = (x2 —9|(x 2 —4)Ifociorondn x7 9 y ** «1 ^ lx + 3)lx 3)lx + 2 1íx 2). R.

• 81 x4.Descomponerencuatrofactores 1 — I8 x* I

I 18x2 I 81x4~ (1— 9xs|2t lo c w * > i - 9<-1 = (|1 +3x1(1 3x)12

= {1+ 3x11’ — 3 x r . R.f5) Descomponerencuatrofactoresdxs— x3+ 32x-— 8.

4x"'- x3 f 32x-- 8= ( 4xs- x3)+ |3?x7- 8)■ I )+ 8(4x2— 1}

= |4x2 —1)(xB+ 8)Ifotlwnnitn 4«*— I y x>+ 3| ~ Í2x+ 1)t2x— 1 l lx + 2 MxB— 2x 4). R.

(6 ) Descomponer en cuotrofactoresx3 — 2SxB— 54x2.

x8- 25 **- 54x* - x : (xr'- 25x* 541= x3|x*— 27)1x3+ 2|

a > - 7 7 \ =x2lx- 3)lx2+ 3x+ 91ix*»+25. R.

EJERCICIO 108

Descomponer en cuatro factores:14 (ic‘—oabi —a, b s+b*.

8x4+0x2— 2.r r ‘ -25d2+144. a W - a y + Z a x t - V a y * .r t‘ +2 f la-< íB-2 f l .12H1 \a ".m * -729.

x3—x.

».. 4ix*+ 40 0.2 a W + b * . x3—2x.+(Jx*2x6 .

—248.

1—8x2y2+)t4.+9xsy—x2—xy.x‘+3:)/ix2—Os.

7x»8 .x" .

ly .ífi.17.18.19.20 .

23.22 .

23.24.25.20 .

v - 5 — v J * ; - X v Í m ' I —

<v4¿> a W - a W + a b * . 5a4—3125.( a 2 r 2« ) 2 — 2 ( « 2 + 2 a ) — 3 .

at x*+'¿ax"J—8«£ 1(¡«

27.28.29.3033.3233.

34.35.36.37.38.

3-a*b*.£m»x *+10wx*— 5<tx— 10a.a2x2+fr2y2 b 2x * « 2>'*x'fX4—2ff‘+ «s—9«*—Ó».a-x*+a-x (xt* —x 2—xl 6lf .m<25m'+9.

3«foc* 12af»+3f»x2—22f».3as»n+ 9ú» t—30»»+3«*+ !)<?a:ix2 Dflax+(io3+ x*—5x + 6.xJ(x3—y3) —(2x—1 )(x2—y2).rr(xa+l)+3/Jx(x+1).

EJERCICIO 109

Descomponer en cinco factores:1. x*—xy9. 6. 2r»4—2a®—4< js _ 2 í i!624 2«¿>2+4f»2:

2. x°—40x n+144x. 7. x®+5x#—81xa—ltí5x.3. «®+rt*/>1—«4— ab3. 8. 33a* .4. 4x4~8xa+4. 9. •lax2{«2—2ax+x2)—a*+2«''x— axa.D. u ' - a b " . 10. x7+ x ‘ 8 1 x* 8 1 ;

Descomponer cu seis factores:

DESCOMPOSICION POR (VA LU AC ION 175

(160) DESCOMPOSICION DE UN POLINOMIO EN FACTORES POR EL METODO DE EVALUACION

E n «a D i v is ib i li d a d p o r x a (101) h e m o s d e m o s tr a d o q u e si u n p o l i -n o m i o e n t e r o y r a c i o n a l e n x s e a n u l a p a r a x = a , e l pol inomio es d iv is ib le] r »i - x — a . A p l ica rem os e se p r in c ip io a la descom pos ic ión de un po l inom iocu fac to re s por el M é todo de E va luac ión .

Ejemplos(1 ) Descomponer por evaluación x9 + 2x — x — 2.

los valores que daremos a x son los factores del término independiente 2 quisan I I, — 1, + 2 y —2. Veam os si el polinomio so anu lo pora x = 1, x — 1,x —2, x ~ 2 yr.i se anula poro o lguno d e estos valores, el polinomio será

divisible por x .nonos ese valor.Apl icando lo divisicr s intét ico expl icada en el número | tO O | y (1 0 1 , o ) . 3veremos sí el polinomio r.c anula pora estas valores de x y simultá-

neam ente hallarnos los coeficientes de l cociente de la división. Fn este coto,tendremos:

Coif'ticftleidtl piilinntnín

CoeficicMrtrftil «ofiínlc

i t2I X 1 = + 1

13 X 1 = + 3

2 X 1 : ?

El residuo es 0, o sea que el polinomio dado se C.nufa pora X = I , luego r idivisible por |x — I).

Dividiendo xJ + 2x'‘ — x — 2 entre x — I el cocien te será de 2‘ g ra do y uncoeficientes son I, 3 y 2, luego el cociente es x 3x f 2 y corno e¡ divide: li.es iguol a l producto del divisor por el cocien te, tendremos:

x:<+ 2x x —2 = | x — 1 V|x I 3 x + 7 |IlúClolondo el Ii .-<*t i¡o ) = i' a - 11 ( x + 1 1 ÍX + 2 |. R.

f 2) Descomponer por cvoluación x9 —3x‘ — 4x + 1 2 .

los factores de 12 san i ¡I, 2, 3, 4, 6 ,12).

PRUEBAS

Cort.-.ionio:rtol foU'onio

3 4 + 1 2I X 1 + 1 ( —2 | X 1 — —7 ( 6 1 X 1 6

- 2 ~ 6 + 6

El r e s i d u o e » ó , l u e g o e l p o l in o m i o n o Se a n u l a p a r a x — I, y n o OS ílivisi b l o p o r | x 1 |.

CoH i(i<inl«i 1 — 3 4 + 1 2 1■<•1 |Hl lnoniu | yr ( __ 1 ) = __ 1 ( ~ 4 |X I —1| = + 4 0 X | l | = 0

1 4 0 112

El ro iid uo o* 12, luego el polinomio no se anulo par a x = — 1 y no es divi-sible po r x — | — 1) = x I 1.

Caal.c.«nt«td*\ ro<-«nt«

I - 3 - 4 -112J _ X 2 1 2 ( 1 1 X 2 = 2 1— 6) X 2 = 1 2

- 1 - ó 0

El r e s id uo e s 0 lue go e l po l inom io d a d o se a nu la po r a x = 2 y e s d iv is i

b le p o r |x — 2 ).

El coc ien lc d e d iv id i r e l pol inomio d a d o xs — 3X2 — 4x + 12 entre x — 2 serúd e 2 ’ g r a d o y s u s c o o b o c e le s so n 1 , — 1 y — 6, l ue go e lcoc iente se rá

xa x 6.Por tonto:

x s _ 3*8 _ I 12 = jx 2 | (x2 X 61(lutlcnord» «I trinomio| = ¡X — 21 (x — 3 | <X | 2 | R.

( 3 1 De sc om pone r po r e va lua c ión x* — l l x 2 — 18x — 8.l o s ( o d o r e s d o 8 s on ± ( I T 4, fí).Al esc r ib i r los coef ic ien tes de l pol inomio dodo bay que pone / ce /o en e l lugarcor respon diente a los té rminos qu e fa llen . En es to coso , ponem os ce ro en e lluga r c o r r e spond ie n te o l t é r m ino e n x8 que fo l la .

P R U E B A S

A I C . Í R R *

Co*rk¡«-M<n 1 0 1 1 18 - 8 + 1 X — 1dpi polinoirio + 1 + 1 10 - 2 8

1 + 1 10 — 28 3 6 no se anula

1 0 - 1 1 - 1 8 8 1 x 1

1 4 1 + 10 + 8

de! reciente - I 1 0 8 0 1

So onulo poro x = - 1 . lu e go e l p olirto niiu d u d o e s d iv is ib l e p or

x - ( - » ) = x - f- 1.

El cociente de dividir x* —llx 2 —18x —3 entre x I 1 serú de 3er. gra do y

sus coeficientes son 1, —1, —10 y —8, luego el cociente será xn —x3 — lOx —8.

Po rten to: x* —ll x 2— lBx — 8 = (x + l | | x 2 —x2 — lOx —8). (1.)

Ahora vamos a descomponer x 3 — x2 — lOx —8 por el mismo método.El valor x — \, que no anuló of polinomio dado, no so ptuebo porque ng pue-de anular o esto polinomio.El valor x = — 1, que anuló ol polinomio d ado, so prueba rKtevomcníe. Ten-

dremos: x = - I1 - 1 - 1 0 - 8 - 1- 1 + 2 + 8

1 - 2 — 8 0Coptiricnlcsü«l cocionln

Se anula pora x= — 1, luego x* — x- — lOx —8 es divisible por x + 1. El co-ciente serú x2 —2x —8, luego

x* - x2 tOx 8 = (x + 1| | x * “ 2x 8).

Sustituyendo en (1) este valor, tenemos:

x1 l lx 2 18x 8 = (x + 1 )lx + 11 {x* —2x —6|(lorwtnroo el Iriiioir.o) = jx + 11 (x |1 ) |X — 4) (x + 2)= lx + l l ’fx + 21 ; * —4\. R.

I I Descomponer por evoluoción x* — x* —7x* —7x3 + 22x + 74.lo» factores de 24 son ± (l , 2, 3, 4, 6, 8, 12. 24).

DESCOMPOSICION POR EVALUACION 1 7 7

P R U E B A S

G>cf»ci*fticsd*1 polifonía

1 - 1 - 7 + 1 0

- 7 + 22 + 24 + » x = 1 — 7 — 14 + 0

1 0 - 7 - 1 4 + 8 + 32 v> se anula

1 - 1 - 7 - 1 + 2

- 7 + 22 + 24 - 1 X=+ !> + 2 - 7 4

drt oocifiM» 1 - 2 - 5 2 + 24 0

Se anula^ - 2 x 3 -

pora x = — 1, luogo5x3— 2x+ 24, luego:

es divisible por x + 1. El cociente seró

x 6 - x « - 7 x * - 7x3+ 22x+ 24= | x + l ) ( x « - 2 x 3 - 5xs— 2x + 24). <11

Ahora descomponemos X*— 2x3x = — 1.

- 5 x = - 2x+ 24. Se prueba nuevamente

Codicíente!del (Mlironio

1 - 2 - 5 — 2 + 24 — 1 x - — l- 1 + 3 + 2 0

1 - 3 - 2 0 24 m> se anula

1 - 2 - 5 - 2 + 24 + 2 x = 2

l Ilf llClfnlf1 + 2 0 - 10 - 2 4

d*> cecmt* 1 0 - 5 - 12 Ó

So anulo paro x — 2, luego x* - ?x:i— 5x" — 2x + 24 os d iv is ib le por x ■ 7H cociente os x3— 5x— 12, luego.

x * - 2 x 3 - 5 x 3 - 2 x + 24= ( x - 2 ) | x * - 5 x - 12).

Sustituyendoestadescomposición e n ( 1 1 , tenemos.-

x» x1 7x3 7x* I 22x I 24 = |x + 1J( x 2} |x* 5x 1 2 ). (2)

Ahora descomponemos x3— 5x— 12. Se prueba nuevamente x= 2, poniendoceroonel lugarcorrespondienteo x'J, que íolla. Tendremos:

tU\ |Xilinomio1 0

+ 2 S+ 4

+ 2 x 2

1 + 2 1 14 no te anula

1 0 S 1 2 2 x ——2 2 + 4 + 2

1 2 1 1 0 no se anula

1 0 5 1 2 + 3 X 3+ 3 + 9 + 12

1 + 3 + 4 0CMl i inn ln(Ipi «otionlp

Se anula pora x = 3 , luego xB— 5 x — 12 osdivisible por x — 3. El cocionlo osx3 ‘ 3x t 4, luego:

x4— 5 x — 12= ( x — 3 ) ( x 2 + 3 x + 4|.

Sustituyendo osto descomposición on ( 2 ) , tenemos:

xB - x < - 7 x * - 7 x , + 22x+ 24= !x+ I )Ix - 2 J 'a - 31,x3+ 3x+ 4!. R.

(El trinomio x3 + 3 x + 4 no tiene descomposición).

78 • ALGEBRA

( 1>.1 Descomponer por evaluación 6xr'+ 19x4— 59x3— lóOx2— 4x+ -48.

los facieres ele 48: io n i (1,2, 3, 4. 6, 8,1?. 16, 74. 4H|

Probando poro x = 1, x— — 1, x= 2,veríamos que el polinomio no no anulo.

Probando paro x— — 2:

Cotríllenle»<lpl pc-'-ítonío

CoHInanleidel eotienln

Se anula, luego:

6x>+ 19x*- 59x3- l<S0x-- 4x-I-43= (x+ 7)lóx4+ 7x3- 73x=-1 4 x + 24J. (1 )

Aboro descomponemos óx ' + 7x8— 73x"— I4x I 24. Probando x = — 2, veríamos que no se cnuta. Probando x — 3.

6 + 1 9 - 5 9 1ÓO - 4 + 48 2 1 2 1 4 + 14Ó + 28 4 8

6 + 7 - 7 3 - 14 1 21 0

6 + 7+ 13

7 3+ 75 +

A + 24 2 4

+ 3 x = 3

6 + 25 + 2 - 3 0

Se anulo, luego.

6x4+ 7x3- 73x3- 14x+ 24= (x- 3|<6x3-I-25x* i 2x- 8|.

Sustituyendo esla descomposición « i ( 1 ) :

6xB I- 19x->- 59xs- 160xl - 4x+ 48= <x-I-2|[x- 31|6x:' + 25x3+ 2x- 8). (2 )

Ahora descomponemosóx3 I-25xs-I-2x— 8.

x— 3nor.e prueba,aunqueanulóo l polinomioanferior, porque 3no es foclordel lérmino indcpcndicnie 8.

Siprobamosx= 4,veríamosquenoanulaa estepolinomio. Probandox = — 4;

6 + 2 5 + 2 - 8 - 4 x = — 4- 2 4 - 4 + 8

ó + 1 - 2 0 ISo anula, luego:

<5x3+ 25x?+ ? * - 8 = ( * 4 4 )(6x=+ x— 2).

Susliluyendo esto descomposición en (21, leñemos:

6xs+ I9 *1 59x3- lóOxK- 4x i 48 = |x + 2} fx - 3 |(x 4 4| {6x-+ x - 2)

llnclntanda «I Irmomía) = lx + 2 llx — 3 l(x + 4rI3x+ 2 lÍ2x— 1). R.

(61 Descomponer por evoluocicn 3ul¡— 47o1— 21a3+ 80.Al escribir los coeficientes tonemos que poner cero como codicíenle de lostérminos en o r’, en a r’ y en o, que íailon.

Haciendo o = l , a = — 1, a —7, a — — 7 veríamos que el polinomio no seanulo

DCSC0MP05 IC I0N POR I VA IU AC ION • 179

Probando u = 4 :

3 0+ 12

- 4 7 + 48

- 2 1 + 16

0- 2 0

+ 80- 8 0

3 + 1 2 + 1 + 4 - 5 - 20 o !So anula, luego:

3an 4 7 a * 2 1 c a + 8 0 = ( a 4 H 3 o » + 1 2 a * + o* + 4os 5 o 20). 1 1!

Para descomponer cl cociente,síprobornosa - 4 veremos que no se anula

Probando a= — 4:

3 + 12 + 1 + 4 - 5 - 2 0 - 4- 1 2 0 — 4 0 + 20

3 0 + 1 0 5 6 ~

Se anula, lucgor3or-+ 12o*+ a3+ 4aK- 5a- 20= |a+ 4}|3o*+ a2- 5|.

Sustituyendo en (1 ) :

3o°- 47a*- 21a»-I-80= (a - 4 l (o 4 1Í3a*+ o2- S>. R.

|CI trinomio 3a*+ a - — 5 no tiene descomposición.)

w EJERCICIO 110

Descomponer por evaluación:

1. xa+ x 2—x —l. 17. x*—22xa—75o x3—4x2+x+G. 18. 15x*+ 94 x3—5x2—164xi G0.3. 19. x1—21x*+lG x* + I08x —144.4 m» 1 2 » » + l 6 . 20. 23ua—6a a+112 «+9G.0. 2xa—x2 I8 x d 9 . 2.1. 4x*+3x * 1 08x325x =+ 522 x+360.0. 22 . n 6—30ns—2G»2—3 Gh —180.7. x " + 2 x a + x + 2 . 23. GxB—I 3 x '—81 x* +1 12 x8+ l8 0 x —144.R. »*—'7nl6. 24. xB—25x3+ x a—25 .

9 x1—Gxa+32. 25. 2nJ—8o* |3 a—12.10. 6xa+23xa+9x—18. 2G. xs + 2 x 4—15x*—3x a—6x+ 45.11. x*4 x» +3 xa+ 4x —4. 27 x*+ 6x* +4 x*—4 2 x3—113x2 108x 3G .13. x * 2 x » 1 3 x a + 1 4 x + 2 4 . 28. a°—32rt‘+18«a+247a*—162U—360.13. r t« 15n! 10«+24 . 29. x°—4 1x *+ 184xa—14414. ti *—27 na—14«+120. 30. 2x°—10x5—34x *+ 146 x3+ 22 4x a4 2 4 x 11A. x‘+Gx»+3x+140. 31. a®—8flB+Crt*+103a3—344a2l*396a—144.III 8 a‘ ~18fl»“ 75a2+4G<i+120. 32. x7—20x*—2x* +64 x* +40 xa—128.

/ |iB R H H n u aG U ? rja i| |P w b b h á it j r

GEBRISTAS DE LA INDIA (S ig lo V, VI y.l Tres nombre* te pueden MÚ xbr como Historia de b m stomít ie* india: A ryab hib,

upta y Bkiskira. Aryabhib, del l ig io V, co-resolución completa d e j a ecuación de se

gundo grado. BrahmnrjupU, del siglo V I , fue alum-no de Aryabbala, expuso en tu s obras “ Ganita" y"Cutraca" la resolución do las ecuaciones indetermi-nadas. Y Bhitkaea, da! siglo XII, recogo los conoci-mientos de su ¿poca on su obra "Sidhanta Ciromani".

CAPITULO

M A X I M O C O M U N D I V I S O R

( í ¿ | \ FACTOR COM UN O DIVISOR COM UN d e d o s o m ás ex p resio n es « I

' g eb ra i cas es t o d a ex p resió n a lg eb ra ica q u e e s t á co n te n id a ex ac tam en -te en cada un a de las p r im eras .Asi . x es d iv isor común de '¿x y x2; 5a2b es d iv i so r común de 10a*b3

y 1ba*b.Un a ex p res ió n a lg eb ra i ca e s p r im a cu an d o só lo e s d iv i s ib l e p o r e l l a

m i sm a y p o r l a Un id ad .Asi. a, b , a + b y 2x 1 so n e x p r e sio n e s p rim a s .Dos o más expres iones a lgebra icas son p r imas en t re s í cuando e l ún i-

co d iv i so r co m ú n q u e t i en en e s l a u n id ad , co m o 2x y 3b; a + b y o — x.

(162) MA XIMO C OM UN DIViSOR de dos o m is expres iones a lgebra icas esla expres ión a lgebra ica de mayor coef ic ien te numér ico y de mayor

g rad o q u e o s la co n ten id a exac ta m en te en cad a u n a d e e lla s.As i, el m .c .d . d e 10n*¿> y 20a* es lOrt9; el m .c .d . d e 8a"«9, 24an* y

MAX IMO COMUN O IV ISOR • 1 8 )

1. M. C.D. DE MONOMIOS

j 6 3\ REGLA

Se ha lla el m. C- <1. de los coeficientes y a continuación de éste se escriben las letras comunes, dando a cada letra el menor exponente que tenga en las expresiones dadas.

Ejemplos

f 1) Hallarel m. c. d.de a2x2 y 3oabx.

El m. c. d. de loscoeficientes es I . Las lelroscomunes son o y x. Tom oun a con sumenor exponento:a 1 y x con su menor exponento: x> la bno se tomnporque no es común. El m. c. d. será a-x. R.

Hollar el m. c. d. de Súrrb4, 4Ba8b*c y óí.Vfx’m.36n2b 4 = 2".3,x>*b4

Descomponiendo «n factores primos los ooefi- 4B0M A — 243o8b*ccientos, tenemos: 6Wb * w = 2 3.3.Sx¡ibtr»

El rr¡. c. d. de loscoeficientes es 22.3. las lelros comunes son a y b Toma

moso con sumenorexponento: a2 y b con su menor cxponenle: b"; c y ni nose lomon porquo no son comunes. Tendremos:

m. c. d.= 2 3J x isb * = 12oab3. R.

m - EJERCICIO 111

Hallar el m. c. d. de:

í . a** , ox3. 8. I2x2>'is. 18x/'J. 24 x-yz3.

2. iib*c, a3be. 9. 28o=úV, 35a8fr4c®, 42«4ú5C».

3 2 x y . x y \ 10. T ¿ x y z \ 9 6x* y-i\ 120 xY *T.4 Ca‘b \ 15n3ú4. 11. 42a»J2M, 5fimanax, 70 M hi3?.

5. 8«;nsn. 2<>x2m2. 12. 7ña*b3c*. 150aBó Tx', 22áa1b y .

fl. 18m«a. ' ¿ l a h n W . 13. 4a3b. 8an¿»-, 2a2bc, lOnM c2.

7. Un i*6sc . 2labx, 3GÚ4x2. ■14. 38fl2xV > 7Gwx4yT flux8)*

II . M.C. D. DE POLINOMIOS

Al ha l l a r e l m. c . d . de dos o m ás po l inom ios puedo o cu r r i r q u e los

|Hi linomios pu edan fac tu ra rse f ác i lm en te o q u e su descompos ic ión no seasem i lla . Eii e l pr im er caso se ha l la e l m .c .d . fac torand o los pol inom iosdados; en el segundo caso se hal la e l m. c . d j>or divisiones sucesivas.

4} M. C. D. DE POL INO M IOS POR DESCO M POSICIONEN FACTORES

Se descomponen los po l inomios dados en sus (ac tores pr imos . • 'E l c. d . e s el p r o du c to de lo s f ac to re s c om une s c on su m e no r e xpon e n te .

2 ■ * ALGEBRA

Ejemplos

(1 I Hollar el m. c. d. de 4cr I 4ub y 2u‘ —2crb2.

Foctorando estas expíe 4o2 + 4db = 4a |o + b) = 2 2d |o + b)ñones: _ / * 2o1 2o2/)2 = 2o21a2 b| = 2o21o + b) |u b )

Los factores comunes son 2, a y (a I 6), luego:

m. c. d. = 2 a(u + b |. R.

(2 ) Hallar el m. c. d. do x2 — A, x2 —x —6 y x* + 4x + 4,

x2 —4 = (x + 2)lx —2>Faclorando: • x2 —x —6 = |x — 3) (x + 2)

x* | 4x + 4 (x + 2JS

Ef faclor común es (x 2) y se tomo con su menor exponento, luego:

m. c. d. x 1 2. R.

<31 Hallar el rn. c. d. de 9u:lx2 I 9x2, 6 a V 12crx2 IBox2 , 6o>X + 21a»X + 15a

9o*xs + 9x* = 9x2|oa + 1 1 = 32x2(o + 1|| o 2 a + 116o*x3 — ljíorx8 — 18ox2 — 6ax:[os —2a 3) = 2.3ax2(o 3) (a + 1>

6a4x + 21a2x + 15o2x = 3a*x(2os + 7o + SI = S o f i to + 5) lo + 1}.

los factores comunes son 3, x y (a + 1), luego.

m.c. d. = 3x(a + l). R.

14 ) Hallar el m. c. d. de x6 x2, x* X1 + x8 x* y 2x" + 2x* 2x* 2x.

x « - x 2 = x 2 ( x ‘ - l l = x - , |x 2 + l l ( x + l M x - l ) .

x 5 - x 4 + x9 - *= = x 2 ( x s - x 2 + x - 1» = x 2 | x 2 + 1 1( x - 11

2 x * + 2 x ' — 2 x3 — 2 x = 2 x | x * + x-1 — x'-' I ) = 2 x | x 2 - l ) ( x 3 - l ) —2x(x2 + 11(x —1) |x2 + x + I )

m. c. d. = x | x * + l ) ( x l ) . R.

EJERCICIO 112

Hallar, por descomposición

1. 2a*+2ab, 4a2-4nb.

2. Gx3y —6x*)i, f ix ^ ^ + lS x 2)''.: 12a*b*. 4 a W -8 a 2ba.4. rib + b, a z+<?.O» "X «. 3Gaxa—15x3, 10axy2 2 0 x 2y*.7 18 * 4 W ^ ' l W *

en factores, el m. c. d. de:

9. 3x*+15x2, «x*+ 5ax.

10. «2 b 2. a2—2nb t b2.11 i»*+ n3, 3am +3 an .12. x'‘—1. x #—8.13. 2f»x*+4«x. x*—x2—Ox.14. 9 x * l , 9 x * 6 x + l .IT la2+ 4rt b+ b 2 2 a* 2 ab + flb b *

MAX IMO COMUN P IVIJOB • 1 8 3

17. Bx*+y»f i»x'¿-ccf.IB. 2aJ- \ 2 a zb \-lfUib-, a :'x-[) ab -x.19. ac+ttd-2bc- '¿bd. 2c*+icd+2d*.

20. 15a*. 6am'¿x+24amx—30ax.

21. \ x * - y \ <2 x * - y f .22. 3* *3 x, yx39 x .23. u-+<tb, ab +tí* , a?-+u~b.24. 2x»2x* 3x=3x, 4x »4 x2.20 x^O x, x4—5xal6x2, x 4—6x 3+ 9 x 2.20. oW+2a***+afr*, a*b-a*b*.

27 2x *+ 2x—1. 2x2—Sx+G. 2 x * 2 .23. ax*—2ax=—Bax, ax- ax Ga, a2xa3 a * x * 1 0 a 2x.29. 2mi4—I6 a« 2+3 2a, 2 a« *& m . 2a*íiJr l6 a 2.

30 4a2l8a—12, 2o" Ga+4, 6a2+ l8 « 2 4 .31 i t f i - b * . 8«2+ó*. 4a2+4aó+¿>*.3 2 x * 2 x — 8 , X X 1 2 , x 3 f l x 2 | 2 ü x .

33. a*+ a , a3—l>ux— ’ía , a*+a.

34. xH 27, 2xG x l 18, x43 x * + » x 2.' x?+<*xGfl2, x2+ 2 «x—3«2, xa+6 n x+ 9« 3.1 &1x3+ 25 0, lBnx1.^ )» . 50 lBOxM8x".1 < x 2 l ) 2 , x 2 — 4 x — 5 , x ' l .

4 a x 2 — 2 8 < j x , a 2x a — 8 < j2 x s + 7 a 2 x , a x * I f i a x 3 l O f i a x 2 .

3a2—6a. a '—4a . d*b—2ab, ti1—a—2.' 0 . 3 x = x , 2 7 x a — 1 , ! ) x 2 6 x + l , 3 a x a + f i x 2 .

51 «4—1. «*+<»a+ « + l . a sx + « 2xH«x+x, aM«*+«2+ l .2wi2+ 4m n4 2n: , w '+ n í'n + m n ’ln3, n»3+ n :i, m3 mu1. a33 a ' l ¡ ta l , «2 2 a | 1, a3 a , n24«43.1 6 a » x + r » 4 x , 1 2 a 2x 2 — 4 2 a x '— Í K ) x 2 , 3 2 a 3 x + 2 4 a : x 3 6 a x , 3 2 a ' x 1 4 4 « 2 .v i l 6 $ *

'.!• <xy+y*)2 x 2)’—2xy2—3y3, ax3y + a f , x ^y - y 3.2a3—a m + ia —2m , 2am 1—rn3, 6a2+5 am —4wt2, 16o2 t72awi 40m 2.12ax—Gay !2 46x 12by, ''¿a*\'¿4b\ ‘Ja2+ 9 aí» 1 8 H 12a2+24a5.

> 5« *+ 6ax +S ay+ 5x )', 15o*—15ax2+3 5a sy—lS x ^ , 20a:i—20ay2+ 2 0a 2x —20x>'*.6aD+ 5«4x45o:iy*+5oxy!1.

i’165) M .C .D . DE DOS POLINOMIOS POR DIVISIONES SUCESIVAS

C ua nd o se qu ie re h a l l a r el m. e . d . de dos po l inom ios qu e no puedendescomponerse en fac to re s f ác i lmen te , se emplea e l mé todo de d iv i s ionessucesivas , de acuerdo con la s iguiente :

.Se o rdenan ambos po l inomios con re l ac ión a una misma l e t ra y se d i-v ide e l po l inom io de m ayor g rado en t re e l de g rado m eno r . S i am bos sonde l m ism o g rado , cu a lqu ie ra pu ede tom arse com o d iv iden do . S i la «livi

84 O AL01BRA

ón es ex acta , e l d iv iso r es e l m. c. d . ; s i n o es ex acta , se d iv ide el d iv isoro r e l p r im e r re s id u o , éste p o r e l seg u n d o res id u o y así su cesiv am en te has-a l lega r a u na d iv is ión exacta . F.l ú l t im o div isor es e l m . c . d . buscado.

T o d as l a s d iv i s io n es d eb en co n t in u a r se l i a s t a q u e e l p r im er t é rm in oe ! r e s id u o s en d e g rad o in fe r io r a l p r im er t é rm in o d e l d iv i so r .

Ejemplo

Hallar por divisiones sucesivos el m. c. d. de 16x~ + 3óx~ —12* — 18 y 8x 2x 3.

Id*3 + 36x 12x 18 L 8x‘ — 2x —3 _ Ambos polinomios eslán ordeno 16x:l J 4 x2 + 6 x 2 x + 5dos con relación o x. Dividimosel primero, que es de tercer gro — 6 x — 18do, entre el segundo que es de . — ¿Ox2 ! lOx + 15segundo grado: ---------- -------' 4 x — 3

Aquí detenemos la división porque el primer término dol residuo, 4x, es de gradoinferior al primer termino del divisor 8x*.

. B x " 2 x 3 | 4x —3 — 8x'' + óx 2x 1

Ahora dividimos el divisor 8xs 2x —3 entre el . —— residuo 4x —3: ^ 4x —3 — 4x + 3

Como osla división es exacto, ol divisor 4x —3 es el m. e. d. buscado. R.

ó ó ) REGLAS ESPECIALES

En la p rác t ica de es te método hay que tener muy en cuen ta las s i-uientes reglas :

1 ) Cu a lq u ie rade los p o lino m ios d ad o s se p u e d e d iv id ir p o r u n fac-o r q u e n o d i v id a a l o t r o p o lin om io . Esefac to r , por no ser fac to r com úne am b o s p o l in o m io s , n o i o rm a p a r t e d e l m .c . d .

2 ) E l res iduo de cu a lqu ier d iv i sión se pue de d iv id i r p or un fac to rue no d iv ida a los dos pol inomios dados .

3 ) Si e l p r im er t é rm in o d e cu a lq u i e r r e sid u o e s n eg a t iv o , p u ed e cam -iarse e l signo a to rios los té rm in o s d e d ic h o res idu o .

•) Si e l p r im er té rm in o d e l d iv id en d o o e l p r im er t é rm in o d e a lg ú nes iduo n o es d iv i s ib le por e l p r im er té rm ino de l d iv i so r , se m ul t ip l icanodos los t é rminos de l d iv idendo o de l res iduo por l a can t idad necesar iaara h a ce rlo d iv is ib le .

MAX IMO COMUN D IV ISO * • I H 5

Ejemplos( 1 i Holla r, pordivisionessucesivos, el m. e. d. de

12xs — 2 6 x * t 2 0 x 12y — x " — 3x.

Dividiendo elprimerpolinomio por 2 y el segundo por x quedo:

6xs 13x2+ lOx 6 y2x- • x 3.

Dividicndoi óx8— 13x2 -t 1Ox•• 6 ?x2— x— 3

- & * • + 3x2 I 9x 3x - 5

— 10x2+ 19x— 6I Qx2 - 5x— 15

14x — 21

Dividiendo el residuo 14x— 21 entre 7 queda ?x— 3.

2x2— x— 3 [ 2 . - . — 2xs+ 3x xt 1

Alioro div idimos el d iv isor 2x2•—x 3 mireol residuo?x- 3: / ’ 2 x ~ 3

Comooslodivisión es exacto,el divisor2x— 3es el m. c.d . R.

17.) Ha lla r, pordivisiones sucesivas, e l m. c. d.de 3x8— 13x*+ 5x - -I r2x2- 7x- 4.

Como3x3 no os divisible entro 2x8, mulliplicamos el primer polinomio porparo hacerlodivisible y quedará:

6x3— 2óx"+ 1Ox— 8 y 2x*- 7x- 4.

Dividiendo:6x:i— 2óx5+ lOx- <1 | 2x27x - 4

— áx8+ 21x2+ 12x 3x

- S x 3 + 2 2 x — 8

— 5x2 no osdivisible por 2x2.Cambiondo elsigno al residuo tenemos:Sx--’ 22x • 8 ymultiplicando este residuo por 2,pnraque su primer término

seo divisible por 2x2.queda 10x2— 44x+ 16. [Ambos operaciones equivalenamultiplicarel residuopor — 2). Estaexpresión lo dividimosentre2x*— 7x— 4:

10x2- 44x -1- 16 2x27x- 4

— 10xs - f 35x+ 20 5

9X + 3Ó

Cambiando el signo al residuo: 9x— 3ó¡ dividiendo por 9: x — 4. (Ambasoporacionos oquivalcn o dividir por — 9).

2x: - 7x- 4 | • t

, —2x2 + 8x 7x + íAhora dividimos 2x2 —7x —4 entre x —4:x —4

Comooito división es oxodo, olm. c. d. os x— 4. R.

8 6 9 A i r . t u ü A

13) Hallar, por divisiones sucesivos, el in. c. d. de 6x6— 3x*+ 8xJ— x?— ?x y3x-1 6x‘ 4- I0xa— 2x3 4-3x.

Cuando lospolinomios dados tienen un mismo factorcomún, debo socorsoestofactor común, que seró un (actor del m. c. d. buscado. Se baila el m. c. d.de lasexpresionesquequedandespuésde sacarelfacto rcomún y estom. c.d.mu/lr'pficadopor el factor comúnserá el m. c. d. de las expresionesdados.Así, en esto coso, ambos polinomios tienen cl factor común x. Sacando estefactor en cada polinomio, queda:

óx<- 3x3 I-8x*- x4-2 y 3x^- óx3+ 10x2- 7x 4-3.

Dividiendo: 6x* - 3 xH - 8x3 - x+ 2 I 3x< 6x?- 4 lOx2 2x I 3

—¿x*4- 12xB—2Qxa+ Ax—6 2

9x*- 12x2+ 3x- <1

Ahora dividimos el divisor entro el residuo, pero 9x1— lOx11-I-30x* •éxI-9 9 x a — I 2x2 + 3x— 4como 3x* no es divisiblo _ 9^ .p j? *»_ 3x2 -| -4x xpor9xahoyquemultiplicareldivisorpor3yten- , ó* ' — 2-*■ — ?x•' 9d r e m o s :---------------------- /

Como dx» no es divisible ,0 * * " * * + “ 77 I ^ + 3* “ 4por9x3, multiplicamosel re- . I 3x j + 24x"6x+ B 9s id u o p o r •— 3 y t e n d re m o s : / 5 / x ' 19

Dividiendo el residuo por — 19 queda 3x*4-1.

9x3 - l2 x * 4 - 3 x * - 4 |3 x 2 1- 9x3 - 3x 3x~ 4

Ahora div id imos cl divisor entre elresiduo. __________ / — 12x* — 4

12 j c* -I-4

3xB+ 1 es el m. c. d. de las expresiones que quedaron después de socar el

factorcomún x. Entonces, hoyquemultiplicar3x24- 1 porx y cl m. c. d. delas expresiones dadas será:

m. c d. = x |3 x a + 1). R

m - EJERCICIO 113

H al la r, po r divisione s sucesivas, el m. c. d. de:

1. 12x*+8x + l y 2x »B x3.2. M 2—‘2a- 20 y 2a *-rt3- 8 a.

. B«8—6ra2x + u x 2 y 3o!l—•la2x+«xa.•V 2x H 4x 3—4x+G y x8+x*x42 .0. 8«4—6a3x4?asx8—Sax3 y 2<Ja43aí x — 2ax3.f,. I2 ax‘—3ax*42Sox8—í>ax410<J y 3x443 x*4 x*45 xl5 .7. 3x*—2xIy+ 9x y2G y3 y 6x*—•1x3y 3 x 2ys+5xy a2 y*.

n x ‘430X1—2ax* 46tfx8a y x« +4* s—x *4 x .9. 2»>4—4m*—n**4Gm—3 y 3r«5— 6 r / J 4 f 8 r » n — 10w»94*5m.

10. 3fl6tKiHlGfl, 2 a 2+rirt y T c ^ M ^ + a & t3lJxi=—10«.11. 45 ax *+ 75 flx* lflax 30 ff y 21rtxH4(V»x230 íw c5 0a .12. 2x*f2fl*x|2<ix2 \ 2 a ' v lOxJ+dd.^flOíAcMfl3.13. 9x*+lñ«x2 3as v 12x3+21«x2|*Gá2x —3«®.14. 8a«6+4fl*fc*+4«&4 y 12a<fc 1 8a1i»a+12ú3&*Gfl¿*.15. 9fl5n233fl*n»+27n3«46<i1ns y í t o n i H ^ i i S ^ l a ^ + G a 3!!8.16 a3 ^a'+ a’+ n —1 y a7—a ^ + a '+ l.17. Cax"'—4axa+ 6fl*8—10ttx+4« y 36o*4—24ax íl* Í8 «x 2+4 & jx —24n.

(l6 7 )M . C. D. DE TRES O MAS POLINOM IOS PORDIVISIONES SUCESIVAS

E n es te caso , igua l q u e en A r i tm é t ica , ha l lam os e l m .c . d . de dos cil-ios po l inom ios dados ; luego e l m .c . d . de o t ro de los po l inom ios dados ye l m .c . d . ha l l ado a n te r io rm en te , y a sí suces ivam ente . E l ú l t im o n i. c. d .

es e l m . c . d . d e las expres io nes dadas .

M AX IMO COMUN D IV ISO * • 1 8 7

Ejemplo Holla r,por divisionessucesivas,elm.c.d . de2x®— l l x 2 I 10a+ B, 2x* + x* - 8x ■-4 y óox2+ 1lox + 4o.

u . . . . , 2x*— l l x 2+ lOx - r 8 ?x3+ x* — 8x— 4Hallemos olm c. d. de lasdos _ _ primerasexpresiones: /

— 1?x* — 1 8x I 12

2x*+ x *— 8x— 4 2 x = - 3 x - 2 .Dividiendo el residuo por —6 queda — 2x34 -3 x -+ 2x x+ 22x2— 3x 2. Div id iendoeld iv isorpor ¿esla e x p r e s ió n : ______________ 4x2 4- óx 4- 4

El in. c. d. do lus dos primeras expresionos es 2x2 3x —2. Ahora hallamos el ni <d. del tercer polinomio da do 6ox2 + H ox + 4a y de este m. c. d.

6 x * + ll x + 4 2x2 —3x 2Dividiendo 6ax* + 1lax I 4a entre u queda — ¿x- q. px q. ¿ 36x2-I- l l x + 4. Tendremos: _____________ / *

20x + 10

2x2 — 3x —2 — 2x* — x x —2

Dividiendo el residuo por 10 queda 2xl 1:. / ’ — q * —2

4x + 2

El m. c. d. de las tres expresiones da da s es 2x + 1. R.

EJERCICIO 114

H al la r, po r division es sucesivas, e l 111. d . c. de:x a—2x2—5x| fi, 2x*—5x2—Gx+ 9 y 2x 2 5 x 3 .2x a—x*y2xy*Mi3. 8x a+ 6 x 2y 3 x y 2 y 3 y Ux2—xy —y*.x ‘+ x* —x3—x, 2xJ+ 2 x2—2 x —2 ,y 5x ® 5 x* + 2 x 2.8n , t9a3xd '1a2x *3 ax n+ 2 x 4, aM3at,x + a ax2—3dxa2 x ‘ y •la"+8flí.v rjx *2x a2 x#+ 2 x ‘ 2 x l 2 x 3 x " ~ t x * ~ 8 x H 4 x y | x ‘ 4x »4 3 x2 3 x

A DE BAGD AD (S ig lo . IX «I X I I ) Lot on lot verdaderos ú ilcm at ixa d om dnl A l. ines del Siglo V IH -floreció la Escuela do que pertenecían Al Junri.mi, Al Dotan. y

y a n . Al Juarltmi, persa del siglo I X , es

cribió el primer libro de'Algebra, y le dio nombre esta ciencia. Al Daten!, t ir io (8 5 8 -9 2 9 ), aplicó *1 Al- gnbra a problemas astronómicos. Y Ornar Khay yan, porta del siglo X II , conocido por tus poemas escritos en "rubayat", escribió un Tratado de Algobra.

I N I M O C O M U N M U L T I P L O CAPITULO J i 1 1

68 ) CO M UN MU LTIPLO e le dos o m ás exp resiones a lgebra icas es toda ex

p re s ió n a lg eb ra ica q u e es d iv is ib le e x a c ta m e n te p o r c ad a u n a d e las

x p r e s i o n e s d a d a s.Así , 8<i*b* es co m ún m ú lt ip lo d e 2aJ y 4<r‘b p o r q u e da1!?* es divisible

x a c t a me n t e j i o r 2a- y p o r 4«'!¿r; 3x 3 — 9x + 6 es co m ú n m ú l ti p lo d e x 2 ye X - 3x I 2 p o r q u e 3 x t ) x 4 (i es d i v is ib l e e x a c ia m c n tc p o r x 2 y p o r

1 3x 4 2.

6S0 M INIM O COM UN MULTIPLO de do s o m ás expres iones a lgebra icase s l a e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a d e me n o r c o e f i c i e n t e n u mé r i c o y d e me n o r

r a d o q u e e s d i v i s i b l e e x a c t a me n t e p o r c a d a u n a d e l a s e x p r e s i o n e s d a d a s .Así. el m .c . n i. d e 4 a >• (¡a3 es 12a; el n i.c . m . d e 2x “, 6xn y !)x‘ es 18 x4La t eo r ía d e l m .c . i ti . e s de sum a im po r t anc ia p a ra la s f racc iones y

cuac iones .

C. M. DE MO NO M IOS

7 0 ; KEGLASe ha l la e l m .c . m. de los coef ic ientes y a co nt inu ac ión «le és te se es-

r iben todas l a s l e t r a s d i s t in t a s , sean o no comunes , dando a cada l e t r a e lmayor cx jKmcnte que t enga en l a s expres iones dadas .

EjemplosCl 1 Hollar el m. c. m. de rrx2 y a3x.

lomamos O Con su mayor exponento a3 >■x con su moyoicxponenle x y tendremos: m. c. m. —a 3x'\ R.

(21 Hallar ol m. c. m. do 8ob*c y 12 aV . • =

El rn. c. m. do los coeficientes os 23.3. A continuación escribimos a con sumayor oxponenle o3, b can su mayor exponento b2 y c, luego;

m. c. m. = 23.3a:,Jrc = 24a8b sc. R.

M IN IMO COMUN MULT IPLO • 1 8 9

10a>x = ?.5o3x( 3 1 Hallar ol m. c, m. de ^ 36a"mx'J = 22.32a 2/nx2

lOcr’x, 36o3mx y 24b''m\ ' 24b2m* ~ 2:,.3bLVm. c. m. — 23.33.5o’írai4xJ — 36QcPbfttfxs. R

S> EJER CIC IO 115Hal lar el ni. c. m. de:

I . a* ab-. 14. ax 'y- , d¿xy. a-x 'y .2. x-y , x y '. ir». 4uh, Ga", 3b2.3. ab"c, d¿br. 10. 3*3, f,x". 9x*y*.4. d-x\ d-bx" . 17. [id'bx, 32ab-x1. lfia3b3.v.5. fírn"n, 4m3. 38. 10m*. láani*, 20a3.6. 9 ax *y \ 15xy5. 10. 18a», 24b2, 3&ib*.7. a 1, r ib", d-b. 20. 20rn2n:i, 2l/aJn. :¡0nm.

8. x¿y, xy". xyhx 23. ab', be-, a V .0. 2a b2. 4d-b, fia1. 22. '¿ x y. 8 x f \ 4a2*3. 12a310. O*2)'**, 4x*yW. 6x3. 23. 6a2. í)x, 12ay2, lfixV31. Gmng, ¡)/u*> j3, 12wi*h. 24. lá m » 2, 20 ij3, 2ÜMIM-1.12. 9a*, 4b". 8x3. 2b. 24a3*3. .36r.V, lO*2). «OaV.13 r,x-, 10)ty . 15xy*. 20 3fl3. Sab, 10b2. 12ab3, i6 o2b2.

I I . M . C . M . DE M O NO M IO S Y PO L INO M IO S

( l 7 1) REGLA

Se desco m pon en Lis exp res iones da da s en sus fac tores pr imo s . Eln i. c . m . es c l p ro du c to d e los fac tores pr imo s , com unes y no com unes , con«i mayor ex |Kincntc .

( i ) Hallar el m. c. m. de 6 , 3x —3.

Descomponiendo: 6 = 2.33x —3 = 3(x —11

m .c.m . = 2 . 3 | x l) = 6 ( x l ) . R.

(21 Hollar ol m. c. m. do 14a* , 7x — 21.Descomponiendo: 14u2 — 2.7a*

7x —21 = 7 |x — 3}

Ejemplos

m. c. m, —2.7,o2(x — 3) = 14a2(x —3). R

190 • Aicmn*

(3 ) Mollar e l m. c. m. de 15x2, 10x2+ 5x r 45x3.

Como 15x2 está conicnido en 45x*, prescindimosde 15>r.

Descomponiendo: 10x" I 5x = 5 x | 2 x + l |4Sx“ 3*.5.jr!

m. c. m. = 3*.5 x"[2x + 1) = 45x3|2x + 1 >. R

( i ) Ho llo r ol m. c. m. de tk r'b , 4o*— 4a , ¿ t r — 12o+ 6.Descomponiendo; Bo2b= 2n.n2b

4o3— 4a~ 4o|o?— 11 = 2'*’ .o | o I 1|( o — 1)6a= - 12a+ 6- ¿ (a : - 2a+ 1)= 2 .3 |o - 113

m.c.m.= 21 .3 .a*'b(o- l J * |o + 1 ]= 24o26 |a - 1f ( a + l | . R.

<5) Hollarel m. c.m.-de24a2x, lSxy2,2x*+ 2X2— 40x. 8x*— 200x-.

24<rx- 23.3o2x

IBxy2= 2.32xy22X3 + 2x2- 40x= 7x | x -+ x - 20|~ 2x | x + 5 | (x - 4)8 * ' - 2 0 0 x 2 - S x ’ f x 2 251 — 2 * . x í ( x + S ) ( x 5 )

m. c. ni. = 23.3*x)*xV(x + 5)(x 5|(x 4)= 72a2x V | x » - 2 5 | ( x - 4 ) . R.

EJERCICIO 116

H a lla r el >». c. m. de:2a -, (iab. ?,a--<job. x y 2. x*ya, 5xsf>x‘.9cr.s. l3 b 'J. 27«4b I81<isb2.

10, 6x2, Ílx^’+Sxy*.4x. xs+x2. x ^ - x y .24. fiíw l 18m. 8*» 212a2b2. :j/ix l3rr. üx18.x 2. x 3| x 2—2x. x2 |4x+4Gal», x’ 4 .\y i4y2. íto: x~ V&fiy.Ox3. 3x*~3x*18x, Ux'yGx2a-x2. 4x*—12x2y+ 9 xys, '¿x*~:ixJy.& x\ I2x 2y2. 9x2 45x.

:<f¡ m i1, 2« . ti'’x2 1n2ys, nx- IVnxy+ny*.20. 8x=. x:i l x'—6x, 2x s—8x*+ 8* i 4x* +24 x2+3Gx.27. 3x3, x H l. 2x22 x + 2 . 6x3+6x*.28. 4xv2, Sx1—3x2, as l-2ab+bs, a x -a + b x -b .29. 2a , i b . 6 a b , I2<i3 2 1 a b + l 2 & 2. 5 « b 3 5 b L30 28x, x2+ 2 * + l. x* +L 7x2)7, 14x+1 4.

III. M . C. M . DE POLINOM IOS

172,1 La reg la e s la m ism a de l t a so an te r io r .

{ 1 1 Hollar elm.c.m. de 4ax2— 8oxy I 4oy2 . 6b2x- 6b*y.

1. 2a. 4x 8 . 13.2. 3b2, a b - b - . 14.

3 . x-y. x*y+ xy2. Ib .

4. 8. 4+8*. 16.B. G«*6, Srf'b’d Gab*. 176. Mx2, Gx2+4xy. 38.7. ílr/r. 6rnn'*—I2»iw. 19.8. 13, 3x+6. 20.0. 10. 5—'15b. 21.

10. 36«2. 4ux—I2ay. 22.11. 12 x f . 2 a x n-y*+hx2y*. 23.12. mn , m", >nti3- m u 2. 24.

Ejemplos Descomponiendo:

■1ox2 8axy + 4oy2 4a(x* 2xy + yf) = 23.a(x yF6b2x 6 b 2y = tó 2( x y | = 2 J b 2( x y )

m c m = 2* 3o b2(« y |3 l2ob3(* y)* R

(2 ) Hollar el m. c. m. do x3 4 2bx3, x3y — 4b-xy, x3y* + 4bxy- 4 •163y*.

x3 + 2bx- = x3(x + 2b) x*y4b'xy = xy|x3 ~ 4 b 3| = xy(x 4 2b|(x 2b)

x3y2 I 4bxy3 + 4b*y3 = y2|x 3 + 4bx + 4b*) = y2(x + 2fo)3

m. c. m. = x3y3|x + 26)2|x —2b). R.

<3 > Hallar el m. c. m. de m3 — mn, mn + n* , ni2 — n2.

M IN IM O COMUN M U L IIH .0 • 1 9 1

m.c. m. = m n(/iHn)|m —n )= m n (m * n3). R.

(4 ) Hallar el m.c. m. d e (a b)s, o3 b3, (o + b)3 o3 4 b3.

El alumno debo notar que no es lo mismo cuadrado de una diferencia quodiferencia de cuadrados ni es lo mismo cuadrado de una suma quo sumo dncuadrados. En efectos

(o — b)3 = (o — b)*o3 — b3 —(u I b |( a —b)fa~f b )3 —(a + b)3O* + b3 “ (o3 + b 3)

m.c.m. = lofb/*(ot>J*(o* + b3|. R.

(5 > HaHor elm.c.m.de (x 4 -113,x*+ 1, x3— 2x— 3.

El alumno debo nolor que no es lo mismo sumo do cubos quo cubo do l/rs.isumo. En efecto:

| X + l p s s ( x + l | "xs 4 \ = (x 1)(xs — x 4 1 1

x2 —7x —3 = (x —3|(x 4 11

ni. c. m. = (x M )*(x —3l(x* — x + 1). R.

(61 Hollar ol m. c. m. de (x —y)3, xl —y*, x3 —xy2 + x3y —y3 , 3o3x 4 3o*y.

El alumno debo notar que no es lo mismo cubo de uno diferencio quo dife-

rencia de cobos.( x y ) * = |x y ) »rr, y '= ( x y K x 3 + x y fy 3)

x» xy3 4 xV y* = x |x y3| i y |x3 y2) = Ix3 y3)(x + y)= [x + y)3| x y l

3o2x 43o3y = 3a2|x 4 y)

m. c. m. = 3o2(x 4 y)2|x y/*(x3 + xy 4 y3). R.

(71 Hallar el m. c. m. de 15x3 + 20x3 Sx, 3x* 3x + x * l , 77x« 4 18*« 4 3x3

15x3 4 20x3 4 5x = 5x(3x3 + 4x + 1) = 5x(3x 4 1 |(x 4 1)3xs 3x + x* I = 3x(x3 — I) 4 |x2 —1) — |x2 — I)|3x 4 I )= í x + f ) f x l | | 3 x + l |

27x* + I8xj 4 3x* = 3x*|9x* 4 6* 4 I) = 3x3(3x + 1J».m.c.m. I5x3(3x + l |*(x 4 l)|x — 11

I5x3(3*4 l | 3(x3 1 ) . R.

• A IG SO H A

(S ) Hollar el m .cjn. de 2x3 ~ 8 x , 3x*4-3x8- lBx2. 2xn • IO.t* I-12x*6x -- 24*+ 74.

2xs- 8x= 2x(x*'- 4) = 2x|x I-2| (x- ?|3x‘ 4-3xs— 1ílx"= 3«*(* *+ x- 6 )- 3x"(x I-3) |x — 2 |

?xr- i 10x*4-12x*= 2xJ(x'J-I-Sx4-6)= 2x3(x4-3 )|x 4-2|¿x3 - 7.4x ! 24= 6[x- - 4 x + 4 ) ~ 6 \x 2\-.

ni.c.m.= 6x3{x4-2)(x — 2)2(x+ 31. R.

o lo que es igual

m.c.m.— 6x ' [x - — 4 )|x — 2 ](x 3). R.

EJERCICIO 117

ilulhn el m. c.. m. de:

1. 3x43. fixB. 12. x3 / 1. (x—y)8.2. 5x410, 10x3—40 13. x*43x —10. 4x*'—7x—2.3. xJ+2 \y , x2~4y3. 14. a2l «—30, fl843rt—18.4 3«2x—9«8, x2—6xl9. 15. x3—9x 4-5x 2 15, x'iOx3—15x':.5. •IíJ 962. W - l t o b + M " . 16. x°—4xs—32. ax,+2ax:,l 4«x2.B. a9+a"b, á*+2á*b -tib-. 17. S ( x - y ) - . 12{x2—y2).7 3/ix I 12a, 2/>x2460x—fi¿>. 13 Ó(x|>')J. l(Kx2+y}.8. **—25*. xa+2x—ir». 19. Bu(mI n)5, 4«2t(»/i34»3).0. f x 1)2, x * l . 20. «x{m »)3. .v3(wj8- »8). '

10. (xfl)2 x24 1. 21. i!a~ 12a. 3a8—3«, « '—a3.11. x34y3, {xl>•)«. 22. x2 1 2.v. x3—2x3, x 2—4.

23. x x —2. v~—1x48, x'’ x—G.24. 6<J*l13rt l G, 8a *+ 14«+ 8. 4 + l2 a + 9 a s.26. 10x+10. 15x415, 5x2—5.20 ax- '¿bx-\-/rj—'¿l>y, x-+xy, x2—xy.27. <ki |>6, 15«31 5l»2.2«. x8—25, x 1—125. 2x~10.23. a '—2«¿>35, a,b—<$«-b-+Qab3r abz+b-'.30. 2rni +1¡mn, 4 » i«—4«B, Om8» —6>«r<8.

3 1 . 2 0 ( x - y - ) . 1 5 ( x —y ) * . 1 2 ( x 4 - > ) = .32. «x345ax—14o, x: , l 14x244!)x. .x‘+ 7 x > - IRx,33. 2xs 1 2 x 24lSx. 3x ‘27 .v, 5x;, K't0x2445x.34 04Gu, 9 Iki. 12412«B.35. 2(3n - ' ¿ y , I33na4a, 12» S.3C. I2»?n íS»í—3«—2, 4S»i'h—3»l32>»2—2, G»;:—5»i—ij.37. I8x3+ 60xs+y0.v, 12ax8l 2(k.x. ]5A»x«+l4¡<ftc«]3a*x*.33. IG x*. lG4Sx2lx'. l( i 8 x lx ‘.30. l+ s ! , (1 + r f , I u> .■10. 8 n 3—10«—3. 20»''l13»+2, 30n2—11«—6

41. (¡a--\-ab~2b-. 15<i3+ 2 2 a& + 8 & 10a'‘ l3«¿>4&242 I2x5—5x>'—2y, 15.VI I3xy42y3. 2ÚxX)'>'.•53. fi(/x ;■r,fc*x* 3tfJx3«i*x*. I x*.44. x '+ B x Ix’ 32. «2x ‘2 /»2x»8a3x% 2x i~4x»+ 8x*.•IB. x3—üxHe?—9. x ' 10x i 9. x2+ 4 x + 3 , x2 1x43.40 I a » l « l « 2 1 2a+fls

JfVJllA

l a '. MATEMATICAS EN LAS UNIVERSIDADES Tro* nombres pued en toffaUrse come re p ra im ioHISPA NOARABES <S*3«os VIII al XV> L» c ultu ra do la cu ltura i rabo en EspaS a: G eb er Ibn A ph U . (i . t l . a lo m a elevado desarrollo en du da do s como vil la , siglo X I), que rect if icó las TaWas de l i ' . Sevilla, Córdoba y Toledo. De las universidades bis A na q ue l, (T oledo, 1080), a u to r d e u na s l a m m i farnJrabas Huya la cultura musulmana hacia Europa, blas; y Den Eira, (C alah orr a,!089), rabino de Tele

CAPITULO

F R A C C I O N ES A L G E B R A I C A S . R E D U C C I O N D E F R A C C IO N E S

173) ( ¡(ACCION ALGEBRAICA es e l coc ien te in d icad o d e dos expres ionesalgebraicas .

As i . — es una f r acc ión a lgebra i ca porque es c l coc ien te ind icado de l a

e xp r e s i ón a ( d i v i de ndo ) e n t r e l a e xp r e s i ón b (divisor).l i l d i v i de ndo a se ll am a n u m era d o r de l a fr acc ión a lgeb ra i ca , y e l di

visor b , d e n o m i n a d o r . E l n u m e r a d o r y c l d e n o m i n a d o r s o n los té r m i n o sde la f racción.

174 ] E xp r e s i ón a lge b r a i c a e nc e r a e s la qu e no t ie ne de no m i na d o r l i te r a l.3 2

Así. n, x i y , m — ti, — a + — b son expres iones en te ras .2 i j

I Jn a e x p r e s ió n e n t e ra p u e d e c o n s i d e ra r se c o m o u n a f ra c c ió n d e d e n o -m i na do r 1 .

t i aAsi , o — — ; x + )■= — — .

175 E xpr e s i ón a l ge b r a i c a m i x t a e s l a que c ons t a de pa r t e e n t e r a y pa r t e

f raccionar ia .» , . b 3

A s í, < H ~ y x — ‘— — s on e xp r e s ione s m ix ta s .

4 • A tt í t n K A

76) PR INC IPIOS FUNDA MEN TALES DE LAS FRACCIONES

Los s igu ien tes p r inc ip ios demos t rados en Ar i tmét ica se ap l i can igua l-ente a l a s f racc iones a lgebra icas y son de cap i t a l impor tanc ia :

1) S i e l nu m e ra d or de un a fr a c c ión a l ge b ra ic a se m u l t ip l i c a o d i v i deo r u n a c a n tid a d , la fracc ió n q u e d a m u ltip lic a d a e n e l p r im e r caso y d iv i-da e n e l s e gundo |>o r d i c ha c a n t i da d .

*2) S i e l de no m inad or de un a f racc ión a lgebra ica se m ul t ip l i ca o d i-de j>or u na c a n t i da d , l a fr a c c ión q ue da d i v i d i da e n e l p r i m e r c as o y m u l -p l i c a da e n e l s e gundo po r d i c ha c a n t i da d .

3) S i e l nu m e ra d or y e l de no m i na do r de un a f ra c c ión a lge b ra ic a seu l t i p l i c a n o d i v i de n po r una mi s ma c a n t i da d , l a f r a c c i ón no s e a l t e r a .

7 7) SIG NO DE LA FRA CC ION Y DE SUS TERM INOS

En un a f racc ión a lgeb ra ica hay qu e con s idera r t res signos : E l s ignoe la f r a cc i ón , el s igno d e l n um e ra do r y e l s igno de l de no m i na dor .

E l s igno d e la f racc ión es e l signo + o e sc r ito d e lan te d e l a raya de fr a c c ión . C ua nd o de l a n t e de la ra ya no ha y n i ng ún s igno , se s ob re n-en de q u e e l s igno de l a f racc ión es + .

Asi , en la f racción — el s igno d e la f racción e s I; e l s ign o del nu m e-

ador es I y e l s igno de l denominador f .En la t racc ión — — el s igno de l a f racc ión es —, e l s igno de l nu m e-

a d o r — y e l sig n o d e l d e n o m i n a d o r + .

78)78 ; CA M BIOS QUE PUEDEN HACERSE EN LOS SIGN OS DE UNAFRACCION SIN QUE LA FRACCION SE ALTERE

D e s ig n a n d o p o r m el c<»cientc de divi a _ a

r a e n t re l> se ten d rá según la Le y de los — — m ( i ) — - = m (2)i gnos de l a d i v i s i ón : ______________________________ }

- a apo r tan to , • — = — m y Z T f,* ~ m '

C a m b i a n d o e l s ig n o a l os d o s m ie m b r o s ~~a — m (3 y y (4)e es tas do s ú l t im as igua ldades , tenemos : / 0 — b

Como (1). (2), (3) y (4) t ienen el segundoi e mbro i gua l , l o s p r i me ros mi e mbros s on i gua l e s

tenemos : _________________________________________

a —a —a a

b — b b —b

7 9 ) L o a n t e r i o r n os d i c e q u e :

1) S i s e c a m bi a e l s igno de l nu m e ra d or y e l s i gno de l de no m i na do re una fracción, La fracción 110 se altera.

ff tA C OO N f J . C AMB IO * D t IIG NO ] 9 1 9 5

::) S i se cam bia e l s igno de l nu m era d or y e l signo d e la f racc ión , laf racc ión no se a l te ra .

) S i s e cam b ia e l s i g n o d e l d en o m in ad o r y e l s i g n o d e l a fr acc ió n ,la f racc ión no se a l te ra .

En resum en: Se pued en ca m biar tíos de los t res signos q u e hay «pieco n s id e ra r en u n a f r acc ió n , s i n q u e é s t a s e a l t e re .

( l80)CAMBIO DE SIGNOS CUANDO LOS TERMINOSDE LA FRACCION SON POLINOMIOS

C u a n d o e l n u m e r a d o r o d e n o m i n a d o r d e la f ra c ció n e s u n p o lin o m io , p a ra c a m b ia r e l s ig no al n u m e ra d o r o a l d e n o m in a d o r h ay q u e c a m b ia r els igno a cad a u n o d e los térm ino s del |M>linoinio .

As i. s i en la f racc ión — cam biam os e l s igno a l nu m era do r y al

d en o m in ad o r l a f r acc ió n n o v a r i a , p e ro p a ra cam b ia r e l s i g n o a > 1 1 n hayq u e c a m b i a r el s ig n o d e m y d e tt y q u e d a r á tu I tt ti ?n. y para rain b íar el s ig n o a x — y h a y q u e c a m b i a r e l s i g n o d e x y d e y y q u e d a r á —* + y —y — x y t en d rem o s :

m - n - m + tt n — m

x - y - x + y y - x

x — 3Si en la fra cc ión <( ca m b iam o s el sig no de l * — 3 — x I l

n u m er ad o r y de la fracción, és ta 110 se al te ra y x + 2 ~ ~ xtendremos: _______ ___________________ / ’

D e l p r o p i o m o d o , si e n la f ra c c ió n ^ ^

c a m b i am o s el s ig n o a l d e n o m i n a d o r y a la j _ x ¿ ~ ~ ” 7 + x :f racc ión , ésta no var ia y t endrem os ; _ /*

(En la p rác t ica , e l paso in te rmedio se supr ime) .

2 » c a c u e r d o c o n l o a n t e r i o r , la f ra cc ió n

p u e d e escrib irse d e los c u a tro m o d o s x — 2 _ 2 — x _ 2 —x

1u n t e s : ______________________ ______________ / * “ 3 3 " * * " 3 ~

(181)CAMBIO DE SIGNOS CUANDO EL NUMERADOR O DENOMINADOR SON PRODUCTOS INDICADOS

C u a n d o u n o o a m b o s t é rm i n o s d e u n a f ra c c ió n so n p r o d u c t o s i n d i t a t lo r , se pueden hacer los s igu ien tes cambios de s ignos , de acuerdo con lasreglas anter iores , s in que la fracción se al tere:

l ) Se p u ed e cam b ia r e l s ig n o a u n n ú m ero p a r t ic fac to re s s in ca

6 • ALGEBRA

abA s í. d a d a la f r a c c i ó n p o d e m o s e s c rib ir :

ab ( — o)b ab

xy ~ (-* )>' *>• “ x'~y)ab ( — a ) (— b ) ab db

x y xy x y ( x ) l y )

o b _ { - * ) ( - > > )

x y ~ ( * ) ( > ) ■

En los cua t ro pr imeros e jemplos cambiamos e l s igno a dos fac tores ;

e l ú l t im o, a cu a t ro fac tores , n ú m er o p ar e n iodos los casos , y e l s ignol a f r a c c i ón no s e ha c a mbi a do .

2) S e p u e d e c a m b i a r el sig n o a u n n ú m e r o i m p a r d e f ac to re s c a m -nd o e l signo d e Ja fracc ión .

abAsí , dada l a f racc ión ----- podemos esc r ib i r :

x y x y x y x ( - y)

ab ( — « ) ( b) ab (~ «)&

x y { —*)>• xy {—x ) { y)

E n l o s dos p r i me ros e j e mpl os c a mbi a mos e l s i gno a un f a c t o r ; e n l o ss ú l ti m os e j em pl os c a m bi a mo s el si gno a tr e s fa c to re s, nú m e ro i m pa r e ndos los casos , y en todos los casos cambiamos e l s igno de la f racción.

A p l iqu e m os lo s p r i nc i p i os a n t e r io r e s a la f ra c c i ón — _ .

Como e s t o s f a c t o re s s on b i nomi os , pa ra c a mbi a r e l s i gno de c ua l qu i e -de e l l o s I ia y qu e c a m bi a r e l s igno a s us dos t é rmi nos .

T e n d r e m o s :

(fl — l) ( d —2 ) (1 « ) ( « 2 ) {« — 1)(« — 2 ) ( l r t ) < 2 « )

( x - 2 ) ( .v - - l ) ” (3 — x){x — 4)' ( x - 3 ) ( x - 4 ) “ ( x ~ 3 ) ( x - 4 ) *

( « — 1 ) ( « — 2 ) ( 1 a ) ( « — 2 ) ( a — l ) ( a 2 ) ( e l ) ( 2 o )

( x - 3 ) ( x - 4 p “ (x —3)(x —4)' (x — 3 )(x - 4 ) ~ ~ ( 3 - x > ( 4 - x ) ¡

Es tos pr inc ip ios son de suma impor tanc ia pa ra s impl i f i ca r f racc ionese fec tuar operac iones con e l l as

(18 3) REDUCIR UNA TRACCION ALGEBRAICA es ca m b iar su form a sin _ c a m b ia r su va lo r.

I . SIM PLIFIC AC ION DE FRACCIONES

(184)SIMPLIFICAR UNA FRACCION ALGEBRAICA es convert i r la en unaf racc ió n eq u iv a l en t e cu y o s t é rm in o s s ean p r im o s en t re s í .Cuando los t é rminos de una f racc ión son p r imos en t re s í , l a f racc ión

es i r r ed u c ib l e y en to n ces l a f r acc ió n e s t á r ed u c id a a su m ás s im p le ex p re-s ió n o a su m ín im a ex p res ió n .

SIMPLIFICACION DE FRACCIONES CUYOSTERMINOS SEAN MONOMIOS

S e d i v i d e n e l n u m e r a d o r y c l d e n o m i n a d o r p o r s u s f a c t o r e s c o m u n e s basta q u e sean p rim o s e n tr e si.

4o2b8(1 ) Simplifico! .

ó c r b r m

4o2b8 2 .1 . fe* 2b'

3 .0 .1 .m 3am

Hemosdividido 4y6 entre 2 y obtuvimos 2y3;a s y o* entre o2 y obtuvimoslos cocientes 1 ya,-b* y b* entreb B y obtuvimos loscocientesbs y 1. Como2b2 y 3om no tienen ningún foetor común, esta fracc ión que resulta osirreducible.

9x3y3(?.) Simplificar

3 6 x V

9xV 1 1.1 _ 1 _

3 6 * y ~ 4.xa.y * ~ 4 x V

Dividimos9y36entre9;x*yx8entrox3;y3cy®entrey3.

Obsérvese quo cuondo ol simplificar desaparecen lodos los factores dol nu-merodor,quedaencl n u m e r a d o r 1, queno puede suprimirse. Si desaparecenlodos los (odores del denominador, quedo en éste 1 , que puede suprimirseEl resultadoes unaexpresiónentera.

EJERCICIO 118

Simplificar o reducir a su más simple expresión:

o» _2a_ x V ax*_ Cmar»» 9 » V

SIM PLIF IC ACIO N DE FR ACCIO NE! • 197

REDUCCION DE FRACCIONES

Ejemplos

Tendremos:

98 ■i ALGEBRA

21«h » ¥ - 10.2lwm?x*

28w,»2x2‘13.

4íía:ix'zn16.

6 3 x 1 ^ 1 ^ 6

12 x y z *

42f lV«

lba^íi’^c30

32 xy"z 2G«V'm

Vla-b*12.

17x3y‘z«15.

21a»¿»»cia18

60fl3&6x3 ' M x'yH 'O lOOfJ8OT,2n"

86) SIM PLIFICA CIO N DE FRACCIONES CUYOSTER MIN OS SEAN P OLINOM IOS

Se descomponen en fac tores los po l inomios todo lo pos ib lec n l o s f a c t o r e s c o m u n e s a l n u m e r a d o r y d e n o m i n a d o r .

y se supn

Ejemplos jI Simplificar

4o2— 4ab

Faclorando el denominador, se tiene:

2 a * _______ 2o» _ ü

«lo*— 4ob 4o(o — b | 21o- M

Hemosdividido2y4entre?yo 2yoentrea.

4*y(?.) Simplificar

? 4 xV - 3 6 * V '

Focloiando:

4x2y* 4x2y* I

(3 ) Simplificar

24x3yil- 3 ó * y 1 ? /V ( 2 - 3y) 3x(2 3y)

x2- 5x-I-6

( ! ) Simplificar

2a x —6a

x* — 5x + 6 _ (x — 2 |( x — 3) x — 2

2< j x ¿o 2a(x— 3J

8as + 27

f ) Simplificar

4o2 + 1 2 o + 9

8o3 + 27 (2o + 3)(4oa 6a + 9] 4o2 6o + 9

^ * + 1 2 o f .9 “ (2o I 3 pa3 — 25o

2o I 3

2oJ+ 8a2- ICb

a * — 25o o(o*— 25) o (o + 5)(o — 5J± R

SIM PLIF ICACION 0 5 FRACCIONAS • 1 9 9

I 6 > Simplificar2 x y 2 x + 3 3 y

</ - 1 M2x — 3} _ y — 1

3x(3x + 7)\2x — 3) 3x|3x rV |

18x3 + 15x2 —63x

2xy —2x + 3 — 3y_ 2 x ( y l ) + 3 |l y )

18x* + 15x3 á 3 x ~ 3x(6x2 5x —21J

t-,K r- 3 x * l 2 x ~ x 2y 44 y(7) S.mphf.co, |c, _ 5>, _ , 4>. ■

3 x * — 12 x — x * y - I - Ay _ ( x 3 — 4 | < 3 x — _ ( x + 2 ) | x - 2 ) | 3 x - y )

x4 — 5x* — ]4xt ~ x 3 ( x 2 — 5x — 1 4 ) _ x * T x - 7 H x + 21

lo2 — 1)(o* + 2o — 3 )

| x - 2 1 ( 3 x - y )

x*’(x — 7|

( ) Simplificar

lo2 —2a | 1) |a 3 + ¿a 4 3)Ic r 1Jla 2 + 2o 3) |o + 1 |( o 1l( a + 3 )(a 1)

|o2 — 2o + 1|(o3 + 4o + 3|

x8 + x2 5x + 3

|o — 1 |2(o + 3)(o + 11= I. R.

<91 Simplificar x‘ + x * 2 x 2 + 9 x 9

Descomponiendo por evofuació/i «e liene;

1+ x2 5x + 3 ( x 1 H x l ) | x + 3)

x* + x3 2x3 + 9x 9 (x 1 | (x + 3J(x3 x + 3)

EJERCICIO 119

Simplificar o reducir a su más simple expresión:

---------------

R,X3 X r 3

1.’te b a 15a35w—15a35m

1 Ü2axfay4¿rx~25y

2a2x+2a*O*

I0 ^ b " n -3 0 a " b 'm ax—lrr2¿>xf8/<

*y 9. 1G.o2—«6—65*

«•3xy- Z x - f x - \ - 2 x y \ y 2’ riax —6así<xH'ítófc*x

•» 2ax+4i>x10.

3 x - y 1 i bxy17.

m 2 + n 2J.

3oy4C5y x*25 m * ~ n 4

4.x 3 2 x 3

x —311.

at—iab+'i&2

a3-&b318.

x a+y3

(x hy>3

(I.10fi25 8C x 8+ 4 x 2—21x

í a( m - n ?

H0{<J3—n2/r)" XJt»

x 3 9 x m2—n*

0.X*—1

13. 6x2+5x—6 <ax>*frrixtlUfl 15x*—7 x —2

Át\/‘a*—x*

7.Hx*—lx —15

14.<t»+l

21«*—n —20

x*—ftx+6 rr4— 1 a*7f l+10

0 '3> ALCtOHA

< lt í2)2

<a2+ 2 a + l39.

3xa+19x+20

6x2+17xH2'56.

a2—a 2—1+a

a2+ l —a3—a

a4b*-a-b440.

•t«4—15a2 407.

8x*+l2x2yH6xy2+y*

a4—b4 a2—8a—20 G x H x y - f x * -y *

41.125a+o4

58. 8n3—125 x * - y l 2a3120a"l50a 25—20 n+ 4« 3

24«35+8a25*42.

a 2n2—3Go259.

G x x =

3G«4+ 24 n35+4fl25:: an 24an 30a 1542x x2

n 3 — n43.

3m2+5wn—8«a60.

3 4 2 x 8 x 2

n-—5n—G m 3— n :i 41 5x6x2

8«34l 44.I 6 a a b — J 8 a s b

61m3«3+3wm—10

8rt*4«2+2» 2 Ó a a b a — 2 4 a b 3 ‘ 4—4m«fm2a2

a- - {b~c)~45.

9x*—24x416 62.x ' + x ^ x í ^

(«45)2 c 2 Ox4—16x2 4 b - - 45x|x2

(<i+6)s—(c—d)246.

16«ax—25x03.

x*+x3—2

(a + c y - ( b - , I ) t 12a*—7a2—10a x*—x3)'—x + y

3xa+9xs47.

6x4—xy364.

< x a x 2 ) ( x ’ 9 )

x2+6xl9 4x4 4 x 3>fx2>'2 {x3—2x—3){x2+xG)

10a2<aa| 6a)4H.

3aw—4 a— 6 b n + 8 b Gí». (a24tí+4){4tí24«+.l)

6a 4 6 t í35 + 6 a 2¿>2

a(4.a--Sab)

x{3a96a6> '

x3—6x2

x2—12x436( x 4 y y _

x « 6 4 x V '

x33xy2

x ' - G x - y ' i i t f '

» í3 n +3 m s« +0 m n

ra8—27 '

x4 8 x 2HG

a4+6a37

Gn-3—,5n—4

x4—I9x3

x3+2x2—63x

00. i l í í i í f a .

x3— xr-x'^y+y

2x*-fCx2—x—3

x3+3x2+x+3 '

a3;n 4am+a*n— la?i

a4—la*—12a2

66 (x8—3x){x8—1)

(x 4+ x 34*x*)(x2—I) '

(4na+ 4 n —3)(n2 l 7n —30)

<2n2-77J+3)(4n*+12rt+9)¿(x«-y*)(x+y)

5 3 4 ^ < x 3 ) 2

(2 a+ x )a—9 '

m - a m - \ n ~ a n

1 3a 4 3 n 2—o3

42 * 9 * 15

(x a y 3) ^ 3 | x2)’ I x) '2 }'!1)'

x 3 l 3x2 4

xslx2—8x—12

x3—x2—8x412

x«2x*~7x2420x12 ‘

x4—7x2—2xf8

x4—2x s—9x3f 10x4 24"

« ° « 3 a 24 l

2 4 6 4 Hfl 4 5 6

ÍI87 ) SIMPL IFICA CION DE FRACCIONES. CASO EN QUE HAYQUE CAMBIAR EL SIGNO A UNO O MAS FACTORES

SIMPLIFICACION DE FRACCIONES • 2 0 1

Ejemplos (1 ) Simplificor —3b — 3o

. 2a —2b 2|o —b| 2 |a b) 2Descomponiendo:------------ — ----------- = — = R

3b—3o 3 ( b n ) 3 ( a b | 3

Al descomponer vemos que no hay simplificación porque el fcclor (o b) dolnumerador es distinto del loctor ( b o) del denominador, pe ro Cüfltbiamí >el signo u (b u) se convierto en |o —b | y este loclor se concela con el(a — b ) del numerador, pero como le hemos cambiada cl signo a un (acloi{ número impar) hay que cambiar ef signo de fo boccióo, pota que ésta i >varío y por eso ponemos — delante de la fiacción.

.... ax 2 —9a(21 Simplifico!

3x — 3y — x2 + xy

ax2 —?o a(xí3)|x — 3) a |x |3 )|x —3) rr{x + 3|K.

3 x - 3 y - x 2+ xy ( x - y | ( 3 - x ) ( y - x ) | x - 3 ) y - >

Le cambiamosef signoa l factor |3 x) convir iiéndolo en (x— 3| que su cuncola can cl (x— 3J del numerador, y también le cambiamos el signo ol (n k -|x— y) que so convierte en (y— x¡. Como le hemos cambiado cl signo <«

dos factores (númeropnr| cl signo de la fracción no se cambio.Si le cambiamos cl s igno solamente a (3 — x) hoy que cambiarle cl signa nla fracción, y tendremos:

ox —9a o|x + 3)|x —3) _ olx + 3 )(x —3) o|.» •

3x - 3 y - x 3+ x y ~ f x - y ) | 3 - x ) “ ( x - y ) | x - 3 )

Ambas soluciones son legitimas.

2a2 - h a - 3I i Simplificor — ----- — .

I — a3

2a24-a— 3 [2 a - I-3 ) |o - 11 _ (2o+ 3 H o - l )

1 — o 3 ~ |1 - o ) | l + o + o2) “ ( o - 1)|1+ 0 + 0*1 " I+ ( r I

. ._. .... x2— 4x+ 4( I S i m p l i f i c a r -------- .

4xJ— x4

x*- 4x+ 4 . (x- 2 p _ |x — 2 )- (x — 2 12

4 x*- X* “ x-(.t x-l~ xí (2 + x )(2 - x | ” x-12 hx )( x- 2 ) “

Aquí le cambiamos el .signo ol foctor (2— x) y a la fracción.

También, como lo descomposición del trinomio cuadrado padeció x2— 4* • 4puedo osc/ibirso (x— 2|2 o (2— x)2, usondo oslo último formo, tondremost

x2— 4*+ 4 |2 - x |2

4x2 - x « “ x2[2 + x )(2 - x ) “ x-Tí * -|

0 2 • ALGÍ3RA

EJERCICIO 120

Simpl i f icar o reduci r a su más s imple expres ión:

1—lx

9—6x + x321.

( x y ) 2 z 2

Gx6 x2—7x412 (yfz)2—x * 'a*—b9

«2/>222

3a=3 ab

b*-a* '

m-—n3

l>3—a3 '

3ax3f»x6«+6¿r

bd~ad—bc+oc

(x—5)3

(n—rn)2 2b—'M—bx+ax¿id-

125x»

x*—x —1214.

rt2X 224.

1 3 x G G x 2

16—x2 x2— ax—3x+3o 6x2—13x+6

3y—6x 15. 3óx—Gx 2x*—2xy*+x2—y22 m x -m y —‘¿tix+ny B P

iáú*2 x f + y t - 2 x 3- X2

2 x e 9 x 516.

(1- a ) ‘26.

3()x2y—45xy2—20xJ

10+3x—x2 a—1 8xa+27y8

8 a *17.

2x*—2x2y—2xy2 07 >iFl—«*— n-

a*+2r i b 3ya f3xy2 3 x 2>'' AJI •

n8—n—2n2+2

a*+a—218.

( a - b ? (x —2)*(x2+ x —12)

n —a n — m +am (6 —a)2 ‘¿t 0•

( 2 x M 3 x )2

4x2—lxy4y2

5y—lOx10.

2x222x+60

75—3x229.

5x31 5 x 2y

90xay2—10xft

3mx—nx—3wy4ny20.

6an2—8í»2n3qn

(x2—l)(x2—8x41G)

ny3—«xa—3w»y243mx2 6«4a6*+4aaoU.

(x2—4 x )(l—x2)

8 ) S IM PLI FICACI ON DE FRACCIONES CUY OS TERMINOSNO PUEDEN FACTORARSE FACILMENTE

REGLAH á l le s e e l i n . c . cl. de l nu m e ra do r y de no m i na d or p o r d i v is ione s s uce -

as y d iv í d a n s e n u m e r a d o r y d e n o m i n a d o r p o r s u m . c. d .

EjemploSimplificar

x*- 2xB-I-5x*- xa+ 2x2- 5x

x6- 2jr* 4-6x%- 2x‘ + 5x

liollond o el m. c. d. del numerodor y denominodor por divisiones sucesivossehallaqueclm.c.d. es x(x2— 2x4-5)= x:l— 2x2+ 5x.

Ahora dividimos losdos términosde lo fracción por sum. c. d. xa— 2x'-'4-5xy tendremos:x” — 2xB4-óx1*— x* 4-2x2— 5x

x*— 2x*+ óx3— 2x3+ 5x

SIMPLIF ICACION 01 IBACCtONCS 2 0 3

EJERCICIO 121

Sim plificar las fracciones siguientes ha lland o el in. c. d . tic los do»términos;

a*—d3x \ a-x^—ax 3

a-, —ntx —2a1x :i+2ax*

x 4+ 3 x a+ 4 x 3 3 x 5

x < + 3 x * + G x H 8 x + 5 '

2ax*~ ax*—ax2—2tixf2fl

3a x‘,—4ax3-\a x2+'Jax—liñ

6x3—!3 x H 18x—8

10x3—9x3+ ll x f 12

x*—2xny|2x2y3— xy3

2ai -a * + '2(i3 \-2a-+ti

3«4<d43a!,+4«i45‘

l x x 3 f x 4

1—2x—x2—2xa4x4

2w al2í7i2n — mn2—n 3

3 m * + 3 » » * n + m F i + w a

Gfl3! 3o4 4 n 3 2 « 3 l10a+ 5

3rí<>+7a«~fl*+15 '

5xa~10x 4+ 2lx *—2x |4

2x¿- 6 x * + llx n h2x—4 ’

n6—3«c—« i + 3n* l7 n2—21n

n*+ 2n*—n <—2n *+ lri i '\- 1iñ'

a7|2afi—5«tl l8gt 4ailF2a3—f><H8

a°+2flr*—r«r‘+1 0«,+ 4 c 2—KVHlG

II. REDUCIR UN A FRACC ION A TERM INOS MAYORES

189,i Se t r a t a d e con ve r t ir un a f racc ión en o t ra f racc ión eq u iv a len te do nu

m e r a d o r o d e n o m in a d o r d a d o , sie n d o e l n u e v o n u m e r a d o r o d e n o in in a d o r m ú l t i p l o d e l n u m e r a d o r o d e n o m i n a d o r d e l a f r a c c i ó n d a r l a .

Ejemplos2o

( I ) Reducir — a fracción equivalente de numerodor6o*.3b

Pora que 2o se convierta en ócr hay que mullip licarlo par 6a3+ 2a a.,luego pora que la fracción no varíe hay que multiplicar el denominador por

3a: 3bX 3a= 9ob, luego2o _ 6o8

3b~9a¡> '

La fracción obtenida es equivalente a ta fracción dada porque una fracciónno varía si tusdos términos se multiplican por uno misma cantidad.

(2 ) Convertir — - en fracción oquivalentcdodenominador 20cry4.4y

_ 5 _ _ ______

4 y 3 2 0 n ' y *

Potaque4y* teconvierta en200^ hayquomultip licarlo por 20a3y4+ 4y*— 5a luego paro que lo fracción no varíe h ay que multiplicar el numerador por5X 5o*y= 25o3y, luego

1 • A I .G I E R A

(3) Reducir 2

o fracción equivalente d e denominador x2 —x —6.

x — 2

x —3 x" — a — 6

Para que x —3 se convierta en x2 — x — 6 hay que multiplicarlo por( x2 — x —6) í1x — 3} = x + 2, luego el numerador hoy qu e multiplicarlo por

x + 2, y tendremos:

x — 2 _ fx — ? 1( x + 2)

x —3 x2 — x — 6 x" x 6R.

EJERCICIO 122

Completar:

1.3 o d2 2a’

2o ~ la2'©•

a+2 2 x + y •lx2+lxy+yi

2.r» 20rt o :ia

10.x + 3 x 2—9

9x2V•

a+i> a2+ 2ab+ ba x 1

i q . x —4

ab* 2a*b*' xl3 x*+ 5x+6 a+ 1 a J l l

4.Ux Ox-y- i « 2a 2a3 tfi i

Sy X JL«

x+ aLO.

3x 9x2y

e 4m \o x - y19.

x 1 x2 lu.

5n2 5»3 0 12 x+1

6.2 x + 7

13.r»x on

, i - l ,

5 15 a-l>ov*

G3(r'b

•/ ¿x14.

x —0 3x2—15x 01 X 11

Ix 1 x » x <t

« *•

x + 5 x*+3x 10

I. REDUCIR U N A FRACCION A EXPRESION

NTERA O MIXTA

90} C o m o u n a fr ac c ió n r e p r e s e n ta l a d i v is ió n in d i ca d a d e l n u m e r a d o r e n -t r e e l d e n o m i n a d o r , p a r a r e d u c i r u n a f r a c c i ó n a e x p r e s i ó n e n t e r a o

ix ta a p l i c a m os l a s igu ie n te :

.Se d i v i d e e l n u m e r a d o r e n t r e e l d e n o m i n a d o r .S i la d iv is ión es exac ta , la f racc ión equiva le a una expres ión en te ra .S i l a d iv i sión no e s e xa c ta , se c o n t inú a ha s ta q ue e l p r im e r t é r m ino

a l c o c i e n te u n a f r a c ci ó n c u y o n u m e r a d o r e s c l r e s id u o y c u y o d e n o m i n a d o !es cl divisor .

REDUCCION A FORMA M IX T A • 2 0 5

Ejemplos (] j Rcdücír a Mpfwión cntcra f** - g«3 _______ I 2x

Dividiendo coda termino dol numerador por el denominador, so licnc;

4x® — ?x2 4X3 2x2 ; = T ------ — = 2x* x. R.

2x 2x 2x

. 3 e r* 1 2 a2 4( / ) Reducir o e x p r e s i ó n mulo ----------- .

Dividiendo cl numerador por ol denominador:

3o3 1 2 a 2 4 3a

—3o3 a 2 — 4a

1 2 o 3 4l?o2 4

3o3 12o2 4 = a 2 4<i + . 4 3o

Cambiando el signo al numerador —4 y cambiondo cl signo a la fracción,tendremos:

3a3 — 12a3 — 4 = o2 — 4a — R.3a

6x* — 3x* — 5x + 3(3 j Reducir a expresión mixto — — --------

6x3 3x2 5x + 3 í 3x2 — 2 6x3 + 4x 7x I

— 3x2 — x + 33x2 2

x + 1„ , 6x* —3x2 —.5x + 3 „Tendremos: = 2x —1 +

3x2 — 2 3x2 —2

Cambiondo el signo ol numerador (a cado uno de sus términos) y o la frac-ción, tendremos:

ó x * 3 x a 5 x + 3 „ , x 1

3x2 2 * 3x* —2

EJERCICIO 123

Reducir a expresión entera o mixta:

6a*—10a2 P x » y 6 x y + 3 x y » ( x»+ 3 ^ 10a2+ l.f> a2

2a 3xy x

6 • ALG ÍBUA

:?x»(ix::+:)xá

x*—5x—16

x + 2I2x2—6x—2

■lx—1

«r’+Sfr9

x3—x —G xr 1

Xa—3

3 x 54 lx2y42xy2 6 y :i

3x—2>'2 x 8—7xa+ 6 x —8

2x ”—x + 1

2»<3«3+«a

a s a + J

x * 4 x — 3x

x‘—2

10«3 1 8 ?í= -5 m+ 3

2»"—3'» I IBx4

4*2+r>x+6

6m5+3»M'l«

3w>*—wtn2+M3

V. REDUCIR UN A EXPRESION M IXTA

FRACCIONARIA

91 REGLA

Se m u l t i p l i ca l a p a r t e en t e ra j x > r e l d en o m in ad o r ; a e s t e p ro d u c to s ee su m a o r e s t a e l n u m erad o r , s eg ú n q u e e l s i g n o q u e h ay a d e l an t e d e l a

acc ión sea f o —, y se pa r te todo po r e l den om inado r .La f racc ión que resu l ta se s impl i f ica , s i es pos ib le .

jemplos j m Rk1ucí, , - j + J L „ „oed6*

3 |x 2 J ( x — 1 1T3 x2 — 3x 4 ? 4 3 x2 3x + 5 nx —2 ■!' ■ — — — — . — _ • t .

x —1 x — 1 x —1 x —l

o2+ b2121 Reducir o+ b ---------------- o fracción.

a — bo 2 4 b 2 | a f b | ( o —b | —I r r f b 2 ! a í t 2 o b 2 2b

a + b — = ---------------------- r *■a— o o — b a— b a — b

I M P O R T A N T E

Obsérvese que corro la fiaccicn tiene signo — dclonio, para rcsiar c l numerador o ' + b2 hay que cambiarle oí signa a codu viro de sus términos yestose indica incluyendoa" I-b - en un poténlews precedido dof signo — .

x3 + 5x2 — 18 ,I :!) Reducir x + 1 — a fracción

x I bx I 6

_ x 3 + 5x2 1 8 |x + 1) | x2 4 Sx + 6 > (x3 + Sx IB)* * *x'' + Sx |6 x2 I Sx I 6

«3 + 6 xa + n x + ¿ x » 5 x 3 + 1 8 _ «a M l x + ? 4 _ ( x + B H x 4 3 ) _ x + 8

x2 I 5x + 6 x2 4 5x + 6 (x + 3 1{ x + 2) x + 7

REDUCCION A FRACCION • 2 0 7

1. «H

EJERCICIO 124

Reducir a fracción:

n+'¿'

2. w —n .m

3 . x+5— .v—2

4. r.+<ib

0. 1 a+x

a —x

7 . 2 + 2 1.r t+x

8 . x+2 ----

9- x * -3 x —

10. x+ y

x : —(¡x x + 2

3«i ii11. + m —2n.

m —n

12. 2«—3.\ — 5ax—(¡x*

« + 2 x

13. »«2—2»«+4—

14. x r— 5x—

3x(x+2)

x —2

10. «,,+3 'i6 f > 2+7« 6 a -b*

•¿a-b

16- í S ! í ~ <x+i ) -

x3—2x*+117. x + 3 -

18. Sa+

X -— íx + 3 ‘

3<Ja6+3«6-'

19. x—3 —

20. «2—3r/+5+

« 6 a

xJ—27

x * - o x + y ‘

2aJ—l l d l :i

«•+«2

V. REDUCCION DE FRACCIONES AL M INIM O

COMUN DE NOMI NADOR

I92J REDUCIR FRACCIONES AL MINIMO COMUN DENOMINADOR «»

c onve r t i r l a s e n f r a c c ione s e qu iva l e n t e s que t e nga n e l m i s ino de nom i-nador y que es te sea e l menor pos ib le .

Para rcdu c i i f racc iones a l m ín im o co m ún d en om inad or se s igne l.i .1gu í e n t e r e g l a , i dé n t i c a a l a que e m ple a m os e n Ar i tm é t i c a :

1) Se sim plif ic an las f raccion es da da s, s i es po sible.

:2) S e ha l l a e l m ín im o c om ún m ú l t i p lo de lo s de n om ina do r e s , qu es e r ú e l d e n o m i n a d o r c o m ú n .

3j P ara h a lla r los nu m era d o res , se div id e el 111. c. 111. d e los de n o m i-na dor e s e n t r e c a da de nom ina dor , y e l c oc i e n t e s e m u l t i p l i c a po r e l num e *rador rosjteciivo

Ejemplos 2 3 5I 1> Kcducif , — — ol mínimo común denominador.

O 2o <Jx

Mnllornos el m. c m. de a , 2o : y 4xa que es 4aJx:'. Ene oí el denominadorcomún. Ahora dividimos 4a*x,J entre los dcnominodoies o. ?o* y 4xa y cadacocienlo lo multiplicamos pof su numerodor respectivo, y tendremos.

4oaxJ + a - 4ax‘J 2 X 4axa

Ai’x*

0 8 A U I M A

4o3x3e2a3 = 7x:!

4a3x3 s 4x® = a B — —

3 3 x 2¡r 6x3

?cr _ 4o3x3 4o*x*

5 5 X o * 5a3

4x3 ” 4a3x3 4aV

Los fracciones, reducidos ol mínimo común denominador, quedo:):

8o¿* 6x* 5a

4aV ' 4aV ' 4> x 3‘R.

Estos fracciones son equivalentes a los fracciones dadas porque no hemos he-cho más que ntuiliplicor los dos términos de cada fracción por cl cociente dedividir el m. c. m. entre su denominador respectivo, con lo cual los fraccionesno se alteran (176).

] x | 2x —3(2 ) Reducir , ------ , ---------- al mínimo común denominodor.3x2 6x 9x*

El m c. rn. de 3x*, 6x y 9xs es 18xs. Este es cl denominodor común.

„ . „ * 1 1 * * * 6xTendremos: I8x5 t3 x= 6x ———

18xs ráx = 3 x 3

18x3 + 9 x !, = 2

3x 18x* lBx3

x — 1 _ 3xa (x —) 3x* — 3xa

6x = I8x* * lBx3 '

2x —3 2 ( 2x — 3 j 4 x 69x~ 18x* 18x:i

6x 3x* —3x2 4x — 6

18x3' 18xs ' lBx3R.

a —b 2o 3b( :•) Reducir — al mínimo común denominador.

ob ab + b3 o2 + ob

Hollemos cl m. c. m. de los denominadores, faclorondo los binomios:

ab — obo b + b3 = b ( a f b | m.c,m. = o b ( a + b j .

a * + a b = a ( a + b )

Afiora dividimos cl m. c. m. ab (a + b j entre coda denominador o lo que eslo mismo, entre la descomposición da codo denominador:

o b |a T b | o —b (a —b) |o + b | a 3 —b*■= a l b ----------- — -------------- -

ab | a + b)

b (a + b)

o b |o I b | ^

a | a + b)

ob 0 6 10 + b | ob (a + b )

2o 2a X a 2o-

ob + b3 o b1 0 + b | o b ( o + b )

3b 3b X b 36»

a3 + ab a b | a + b ) a b | a + b )

fUDUCCIOK AL M I N IMO COMUN O ÍNUM INA IIOA 209

(4 ) Reducir* + 3 ?x x + 4

o l mínimo común donominodor.x~ 1' x*+ 3x+ ? ' Xa+ x- 2

Hallemos el m. c.m laclorondo los denominadores:

x3— I = ( x + I )(x l | x - 1-3x1 2 = ( x + 2 ) |x + l ) m.c m.— { x+ I )( x l ) ( x + 2)x8+ x - 2 = ( x + 2 ( x - l )

Dividiendo el m. c. m. | x I 1) | x 1 | ( x I 2) entre lo descomposición de cadadenoininudor, tendremos:

x H H x l ) | x + 2)

| x + l ) | x l |

x + 1|( x— I |( x + ?|

( x + 2 | ( x + l |x I l H x I M x I 21

= x + 2

— x — 1

x + 3 (x + 3 ) (x + 2) x*+ 5x+ 6

x “ — 1 | x + 1 | ( x — 1 ) | x + 2 | | x I l ) (x 1 ) 1 x 1 7 » '

2 x 2x | x — 1 I 2x2 —2x

Ix • 2) | x— I ):X + 1

x l x 2 (x + 1) |x I | (x + 2) ( x + 1)1 x —1»|x t 2 1

EJERCICIO 125

Reducir a l mini ino coniún denominador:1

13.x 1 9R X X x l

V ab' x * r x*—x —2¿0*

2 ' 5x +15* 10» • ti*

x 4 14. «—3 3« 26. 2x—1 3 x + 1 l* i . la 3 a2x ' 4(<H5)* 8 x + 4 3.V + 12 «U * tfi

1 3 5IB.

X1 X27

3 2x*‘ l x ' 8x 3’ 3 { o * ) ' G ' a + 4 * 0 a* 2 B ' .M •

Ix x 3LO

3 2 x+328.

x + 1 x + 2

/<>.’ a3b ’ a 9' X*' x* x3—X x*—4* x J+ x t ¡ ' x1i »*

i 5*17.

1 a b20.

a + 3 5 a

iv5' !Jx> ’ 12y’ ‘ M + 2b ’ 4 a—45* 8 «2+ a —20 ’ a 7 « i r.:'íl f» a|2

18. x y 3 0+ 1

Ha ’ 6a’ a 1 ' xy’ xl + x y ’ xy+ y8 o'+20—15'

x y x + y ,10.

2 1 «30.

a + 1 2a 1

x*y ’ 3xy3' az - b'J ‘ a f+ ab ' a'J—ab o 8—1 ' a s+ n + l o —l

ri» n m—n 120.

'Ax x* xs31.

2m ' 5rn3ri’ lOri* x + 1 ’ x l ' x¡ - \ ' x i ' x * r 3

a i b a —b aJ-\-b'J 21. 1 rn n 32. 3 b(1 ’ L'n ' 36* »lB—h 2' m *+ m n' m 2—mn 2aa+2a6 ' a2x+afcx '

n b 'Ab-a a—’ Ab22

n + 1 n 1 n2+ l 1

3a» ' 4/;* * 2 >1—1* H+ l ' >l9—I >|ox2—|í»x*

S«v¡llj , Toledo, efe. Se dsrtacaron como traductorei:Juan do Eipaüi , que puso on la tín I» obra t do AlJuarlsmi; Juan de Saoroboico o Hollywood, que tradujodiversos tra tados; y Adelardo de Dath, d m is dist inquido de éstos, que dio una Torsión latina de EucMdoa.

ORES EUROPEOS DE LA MATEMATICAARABE (Siqlo XIII) La matemitle* hit

se introdujo en Europa a través de lass que hicieron numerosos eruditos que se

a las universidades árabes do Córdoba,

P E R A C I O N E S C O N F R A C C I O N E S

i . SUMA

C A P I T U L O XIV

193) REGLA GENERAL PARA SUMAR FRACCIONES

1) S e s impl i f ican las f raccione» dadas s i es pos ible .

2) S e reducen las fracciones dadas al mínimo COiuún denominador,

i son de distinto denominador.3} Se efe ctú an las m ul t ipl icacio ne s indicadas .

') S e s um a n l os num e ra dore s de las f ra c c ione s q u e r e s u l t e n y s e p a r-e e s t a s u m a p o r e l d e n o m i n a d o r c o m ú n .

i) S e r e d u c e n t é rm i n o s s e m e ja n te s e n e l n u m e r a d o r .

<",) S e s im plifica la fra cc ió n q u e re su lte , si es po sible .

194) S UM A DE FR AC CIO NES CO N D ENOM IN ADORE S M O NOM IO S

Ejem píos 3 o - 2<11 Sumor — y — — — .

7a 6a2

Elm. c. m. de losdenominadores es6a 2. Dividiendo 6a- entro los denominodores, tenemos: 6o2+ 2a = 3o >• 6o2 -:-6o2— 1. Estos cocientes los mulliplicamos por los numeradores respectivos y tendremos:

3 | o 2 3 ( 3 a ) , o _ 2 _ ? c o 2

2o 6a :: 6o 2 6afl 6o2 6a 2

9a+ a - 2 10o — 2

SUMA DE n : A CC I ON » O 2 1 1

(sumando los numeradores) — ¿o1 <M¿

2( 5a— 1 ) 5a IIsimpltficondo! = — — = . R.

6o2 3n-

x— 4o y.— 2 1< I S imp lific ar------------1------- — -i-------.

2ox Sx2 lOx

El rn. c. m. de los denominadores es 10nx=. Dividiendo IGox2 entre cada denominadof y multiplicando loscocientespor el numerador respectivo, tenernos

y— -1a x — 2 ^ I _ 5x / x — Ho|+ 2a( x — 2 ) + ox

2ox 5x2 lOx 10ox2

Sx2 /Xlox+ 2ox— «lo+ ay

lCax-|mullipliconco| -

, . . . . . . ¿xA I7ax -tn

Ireducionoo términos serneianlés) = — . R.lOux2

EJERCICIO 126

Simpl i f ica r :

x ~ 2 3 x+ 2 « 3 2 m - nI. —— + — — . — + — + — . l i

1 i> m- mn m

‘ 1 . - Í L + _ L . 7. Í Z Í . H. í ± ? . + _ i _ . 1 2 .ón* Sab 2.v x * :jnx2

.1. + 8. * I ? + ! í ± * + ? Z !L . 13.lftn 20¿ lOx 5ax a t/ « í /5 a 10

0+3¿» . a - b - i a l )2 3 , x + 2 **+2 a+3b 2a— 3mT ---------------------- . U * ------------h 4 * , 1 4 . ■ 4

:tab 5oV>2 f, 2.X 0x2 af, T am

,, + 1 io . *~ ? + 2*+y , ? « *8 <¡ 12 12 15 30 4

195) SUMA DE FRAC CION ES CON DENOM INADORES COMPUESTOS

vi n + 4........

x + 2 x 2—2 2

3x 5xa * ¡)X

Uí»s—a 1 nb \

Ejemplos( 11 Simplificar

3x+ 3 2x- 2 x1 - I

• ALGEBRA

Hallemosel m. c.m. de los denominadores, íado rando los binomios:

3x+ 3= 3 (x + l ] .........

2x — 2 = 2( x — 1) m.c.m.. 6 ( x 1 1) (x 1).x2 — 1 = | x + l | ( x l ]

Dividiendo el denominador comOn 6(x- i - 1 1( x— 1) entro cada denominador,o loque es lomismo,entre la descomposición de codo denominador,y multip licando cada cociente porol numeradorrespectivo, tendremos:

1 1 1 2 | x - 1 ) + 3 ( x + M + 6

3x+ 3 + 2x— 2 + x2— 1 ~ 6 ( x + l | ( x - 1 |

, . . . . 2 x - 2 + 3*+ 3+ 6(m u M 1c o n d o ) = - ó u + i H x _ ] )

5x-I-7(reduciendo términos semejantes)= ¿ | -------7)’

a— I o — 2 a+ 6<2) Simplificar — — - + — ---------- -I-— —

o * - 4 o2— a — 6 a2— 5 a + 6

Hallemos el m.c.m. de los denominadores:

a 2 — 4 = (a + ?] ( a —2)a2— a — 6= |o — 3 ) | a + 2 | m .c.m .: ( o + 2 } ( a - 2 ) l a - 3 ) .

o2— 5o+ é = (o — 3 | (a — 2 )

Div id iendo el denominador común (a + 2 | ( o — 2 ) ( a — 3) entre la descomposición do coda denominador, y mulliplicando los cocientes por los numeradores respectivos, tendremos;

a — I o - 2 a + 6 ( o - l ) ( a - 3 ) + ( o - 2 p + í o + 2 H o +

a2 - 4 + o2 - o - 6 + o !!- 5 o + 6 ( a + 2) ( a - 2 ) ( o - 3 )

a2 —4a + 3 + o* —4o + 4 + a ' + 8a + 12( multiplicando)=

< a + 2 ) ( a 2 ) ( a 3 )

3er1 I 19I reduciendo términos semejantes]= 7 ------- 77 ri-

t a — 4 ) | a — 3 )

EJERCICIO 127

Simplificar:

1 , 1 » i+ 3 , m + 2 n 1 , x - y

SUMA DE fK A C CIO M U • 2 1 3

o3—b 33

x2+?2 <x+y)3

x + £ ± L +a2—iix ax

«X—X2

2x—4 x2 4

xlx2 X—x3 1—X3

;9. x~y | *+y , 4*y

x l y x ~ y “ * •*’x3 v 3

20.+ —

a + 5o —ú o2—la —y a 3+ 2 n + l

31. 3 2 + ---------

a 5 a 3

1—85a

2 2 .x+ 1 x—3

10 * 5x—10

x —2

x + 5 x+ 4 x —3

x2+ x —12

■+ —r ~ ~ 4

x2l2x—15x

x*+9x+20

x—2 x*—8

x3|2x+4

o + l (o + l )3

( o + l ) 3 '

. + Ü ± I . , . _ J _ .3x3+ ll x + 6 x3—9 3x+2

X+1 ' x*x+ l

1 x+ 1

x 1 (x—l)(x+ 2 ) (x—l)(x+ 2)(* i 3

x—2 x 3 2x—1

2x3—yx—3 2x*—3x—2 x3 6x i 0

o—2 o+3 a+1

a—1 o+2 0—3'25a3—9

II. RESTA

(l 9 6 } REGLA GENERAL PARA RESTAR FRA CCIO NES

) Se s im pl i f ican las fracciones dad as s i es posib le .

’.) Se r ed u c en l as f racc io n es d ad as a l m ín im o co m ú n d en o m in ad o r ,n i t i en en d i s t i n to d en o m in ad o r .

0 Se e fec tú an la s m u l t ip l i cac io n es i n di cad as .

4 ) Se re s tan los nu m erad ore s y la d i fe ren c ia se pa r te |>or e l den om i-n a d o r c o m ú n .

: ) Se r e d u c en t é rm in o s s em e jan te s en e l n u m erad o r .

) Se s impl i f ica el resul tado s i es posib le .

197) RESTA DE TRACCIONES CO N DENOM INADORES MO NO M IOS

Ejemplosn > D e

o + 2bretío/

4 0 ^ 3

3o 6o*b

El m. c. m. do lo» denominodores es 6a'b. Dividiendo 6a*b caire coda deno-minador y multiplicando coda cociente por el numerodor retpoclivo, tonomon

o I 2b 4ob3 3 2ab(o + 2h) 4obs 3

2o*b + 4ob'- 4ob- - 3

ALGEBRA

( multiplicando)=

( restando los numeradores|—

(quitando cl poréntesis)=

6a8b 6c rb

2a-b I-4ob2 - ( 4 a ü 2 - 3 )

2crb I-4ab2- -lab24-3

ón-'b

i a , , * » * & + 3 „( reduciendo]= - . K,óo*b

IMPORTANTE

Obsérvese que para restar Aab*— 3 del primer numeiador hay que cambiare/signo a cada unode sus términos y esta operación la indicamosincluyendoJob2— 3 on un paréntesis procedido del signo — .

(2 ) «o«or de Í Z l*x2 3x

El m. c.m. de los denominadores es3x2, queserá el denominador común.

l Z Í _ 2L Í Í - x | x _ 1 J 3 1x4-2 )en remos: ^ ^ - — f ^

. . . . x2— x 3x4-6|multiplicando)=

(restondo los numeradores)=

3x2 3x2

x2 — x — 1 3x+ 6 )

|quitando el paréntesis)=J a

x2- A x — 6 Ireduciendo)= ----- -------

. . . . .... x2+ 3x— 2 2x+ 5Simplificar ------------------- .

2x* 4x

En la práctico suelen abreviarse algo los pasosanteriores, como indicamos acontinuación.Elm.c.m.es4x2.

x2+ 3x— 2 2x4 - 5 2 ( x * 4 - 3 x - 2 ) - x ( 2 x 4 - 5 )

2X2 4x Ax-

2x¿+ 6x - 4 - ?x2 - 5x|multiplicando|=

x — A( reduciendo)= . R.

Obsó/veso quo al efectuar el producto — x{ ?x+ 5 1 f>ay quo fijarse on efsigno — do la « y decimos: | — x ) 2x = — 2x2; ( — x ) 5 = — 5x.

H U T A D I IRACC10MU # 2 1 5

EJERCICIO 128

S i m p l i f i c a r :

x 3 X+24.

a —3 4 3 ab2 7 x 1 x —2 x + 3

4 8 5a b 3aab»

3 4 tí 'fi+áb b 3

5.2a+ 3 a 2

8.3 2 a + l 4 a » + 1

n* ab 4a 8a 5 l()a 20ti* '

y —2x 1

X 1 4 ?

3 x 1 x*+2x+3

3orn2 2 m'Jn 20x 24y 5x 3x*

1 2 +b

2fl 3flb (l'i'M'

198) RESTA DE FRACCION ES CO N DENO MIN AD ORE S COMPUESTOS

( 1) Simplificar Ejemplosab - b- b

Hallemos el m. c. m. da los denominadores:

a b — b 2 = b ( o — b )

b — b m. c. m.t b ( o —b).

Dividiendo b ( a b ) enlre la deseorr.pósición de cad a denominodor y mullí* plicando cada cociente por el numerador reípeclivo, leñemos:

a I a — | o —b | _ o —o + b _ b _ I

(21 Simplifica

ab — b2 b b | o —b ) b (a — b ) b ( a — b J a í ■

2 1 1 3 *

* + X a * — X * X — X 3

Hallemos el denominador común:

x + x* = x |1 + x | m. c. m.¡ x (1 + x ) (1 * *)X — X a — X I I — X I

X X* = X ( 1 X 2 ) = X | ) i x | | l x |

Dividiendo x ( l l x ) ( l x | entre la descomposición de codo denominado:leñemos:

2 1 1 — 3x 2 |1 — x | | 1 + x ) — | l 3 x )

x + x* x — x — X3 X | 1 + X I I 1 — X I

2 —2 x — 1 x — 1 + 3 * 0

— : = 0 . K.x ( 1 + x ) ( l — x ) x | l + x ) ( l — x |

Al reducir los términos semejantes en el numerador, se anulan todos los té»minos, luego queda cero en el numerador y cero partido por cualquier cantidod equivale o coro.

1 6 • AlGtBPA

(3> Simplif icar4 x2 — 1 [ x + 1 ) 2 x + 3

2x* — 8 x2 + 4x + 4 x 2 '

Hollemos el denominador comúni

2x2 —8=^2(x2 — 4) = 2 |x + 2 ) ( x — 2)

x* + 4x + 4 = | x + 2 )* _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ x 2 = (x 2 )

Dividiendo 2 ( x + 2 P ( x —2 | enlre lo descomposición de codo denominador,leñemos:

4x2 — J (x + l p x + 3 | x + 2M4xa l ) 2 ( x 2 M * + 1 ) * 2 < x + ? |2 (x + 3)

m.c.m .t 2 ( x + 2 1*Ix — 21.

2x* 8 x2 + 4x + 4 x —2 2 (x + 2 p < x 2 )

(x + 2 H 4 x * i ) 2 | x 2 H x 2 + 2 x + l ) 2 (x2+ 4x i 4 ) (x + 3|2 (x + 2 p | x —2 ) ~

4x» + 8 x » x 2 2 ( x « 3 x 2 ) 2 | x » + 7«> + 1 6 x + 1 2 )

2 1 x ••• 2 J* | x — 2)

4x3 + 8x2 —x —2 — 2x* + 6x + 4 2x* 14x2 32x 24

|reduciendoJ—

W - EJERCICIO 129

1. De ------- restar .x —1 x —3

„ _ ; / »— n r r t + n

2. De restar -------- .m + n m — n

.. . \ 1—* 1 + x

3. De-------

restar .1 + x 1 xTv a+¿> b - a

4 De —— r resta r

2 (x + 2 12 ( x —2)

6x2 27x 22 ¿x2 + 27x + 22

2 ( x + 2 ) * { x 2 J ~ 2 lx + 2)2 |2 —

G. R estar —— • de — —.x—x 2 x + x 2

«2+a¿> al/+b2

TO+N m:+n*O. De -------- restar .

m —n m 2—n-

SimpUIican

7 Restar

8. Restar

ÍI. Restar

a 2—x 2

1*2 +<5o + 3

<«x>2‘

de«—4

a2+ a —12 «2t¡« + 0

b a*+4a6—3¿a10. R e s t a r de

x—1 x+2

a+Bb fl2 9b2

_ 2a—3 <21

SUMA T CESTA C OM BINADA-. # 2 1 7

20.1 1 1

25.3 x+2 l <Jx

4a | 4 8 a b 12o*+12 x' '+x+l < * ! ) ’ ( x » l ) ( x D

y 1 12C.

«2+ b 2 a + b 1

Xa—xy x

a*b* 2 a 2+ 2 a b + 2 b * 2 a 2 ba i i

27.3a a —1 1 0 a 1

a*+ab a a+ b 2a2—2a4 4a2+ 8 a —32 Be.' I 1(M l

1 1 2y28.

1 a2+9x2 a

x2xy x2+xy x*~x>* 4 « 1 2 x a*—27x3 2(a* • i :i\ •.

X 3 x 2a2—3 a+1 9a*—14

lOaHO 50 50a+50x " + x ~ 2 x 8+ 2 * 3 x H S x + 6 '

III . SUM A Y RESTA COM BI NA DAS DE FRACCIONES

o9 + b2Ejemplos(1) Simplificar

o — o í ) a b n :,6 — a b :!

Hallemos el común denominodor:

o* —ab = o (a — b )

crb = ob m. c. m.: ab (o + b | {a b )ir'h —ab8 = ab ( cP — 6*) “ ab | o + b H a b |.

Tendremos:

1 1 a + b' + — ■

o" —ab ab a 8b —ab1

b ( a + b ) + | a + b } { n - b l - ( a 2 + b - )

a b | o + b ) j er ~ b )

................. ob + b* + o * b * o * b *I multiplicando) =

Ireduciendo)=

a b j o + b | ( u — bj

ab —b1o b ( a r b J ( a — b)

b ( o b ) I j simplificando | = ----

a b ( o + b J f a —b ) o l o + b lR.

I > Simplificar x + 3 + xa + I2 x+ 16

x x* + 3x 1 x* + 3xa 4x'J

Hallemos el denominador común:

x2 x = x ( x I)x* + 3x —4 — | x + 4 11 x — 1)

x* + 3xJ 4x7 x3| xa + 3 x 4 ) = x5(x + 4>| x I »m. c.m.i x* ( x — 1 11 x + 4 J.

• M G tB R A

Tendremos

x — 7 x + 3 x1 + I2x + 16

Xa x x1 1 3x A xA+ 3x» 4x3

( multiplicando)'

( reduciendo)■

( simplificando | •

JE RCIC IO 130

Simplificar:

Í + Í J ^ 7x—3 x + 2

xlx + 4)|x —2| —x (x + 3) + x ' I 12x 16

xl ( x l | ( x + A)

xJ + 7xl - Bx xs 3x I X I 17x+ 16

x31x —1) | x + 4 )

4x + 16

x3( x l ) | x + 4)

4 í x 4 4 1

x*—x—6

3«—G

G«+12 12n|24

+ L - L .xa+ l 3x x2

a + 3 + a —1

al ~ l

a—b----------1«3+« b

la—1

x + y x —y

x ‘ ~ y -

_ C + 1 + 1 .

«x a xx + l x + l x+5

x2—x —20

2 x + lx3—4x—5x 3

x3+5x+4

2xI2 x I 8 6x3+ x —2

1 1 • 1«+x

l G x 8

I X a2 f ax

x+y x - y ' x3+y3'a —1 _________ __ a2+2a 6

3a+3 C a6 ^ 9«3 0

Xa ( x — 1) | x + 4) x3 ( x 1 |■. R.

x4 2y*+y __________

xy *y+y a x9+x y'

a* ( a+3 « 1

<ia+ l

a-- (H 1 a + I

2x 3x3

x 1 x3 1

(i+b _a 2 - a b + b a a+ b

2 . 2x+3

x*—1

1 , 3a(1* ir'

x—2 x '+ 2 x |4 x :i—8 ’

3 x + 2 Qx+1 4x—1

x s+3 x—10 " x* +4 x—5

1 . 1 1

x 3x 12

( n - \ f » - l ( n - i y n1 aa~G a*+5

a3+.> (d*+5)3 « ' 2 5 '

1 x 3 X 3 Gx

y x * 9rGx+x3 9 -G x + x ®

X x + l x 1 5

2x+2 3x 3 6x+« lSx—18

a+ 2 7a «—3

2a+2 Ra3—8 la 4

20«+102

40u+20

4a—1

fiíto+30'

CAMBIOS DE SIGKOS ® 2 1 9

« —1

fld3 <il

2 + 3« 2 3 a a

2 - 3 a 2+3 fl (2— 3«)-

' 5—5a

lO-IIOfl*

3—3x 3|3x 0lfix'2 22x*

(199 ) CA M BIOS DE SIGNO S EN LA SUMA Y RESTA^ DE FRACCI ONES

Los cambios de s ignos en las f racciones se usan en la suma y res ta di-f racciones cuando los denominadores 110 es tán ordenados en e l mis inoo r de n .

Ejemplos (1 I Siinplificor ---------

1-----

* .xd- 1 x — I 1 - x2

Cambiandoelsignooldenominador de:aúltima fracción 1 — x3quedo x'— 1,peropnrn quoesecombio no altereel valorde la fracción l iuy que cambialel signo de la frccción, y tendremos:

J _ + _ ! _ + l ± LX + I x- 1 X2 - 1

El m.c . m. es x2— 1= |x+ IJ(x— 1). Tendremos:

2 < x - l > d - 3 ( x d l | + x+ 52 3 x d 5

X + 1 X — 1 X2 — 1 | x + l | ( x — 1 1

2x 2 d 3x d 3 d x f 5

( x d - 1 ) { x— 1 )

6x d-6 6 \ x I I )

(. ’ ) Simplificor1

( x d l ) l x l )

{x d 1) | x i J X i ■R.

xr — 5x+ 6 2— x 13— x )(1 — xJ

Descomponiendo x2— 5x+ ó— |x 3) |x— 2 1. Enloncer.le enmbiomos o¡signoa 2— x quedando x— 2, cambiamos el signo do la fracción y cambiamos el signode los dos foctcres deltercerdenominador 13 x )f I — x ) quedando |x— 3 1 ( x— I | y como son dos (odores|númeropor de factores)nohoy quecambiar el signo de la última 'rocción y tendremos:

<x— 3 )|x— 2 | x— 2 |x — 3 J ( x— 1)

x ( x - I l - H x — 1 ) | x - 3 ) - 2 x | x — 2 )

| x — 1 ) | x — 2 | { x — 3 )

x2- xd-xg- dxd-3- ?xgd-dx

| x - l ) | * - 2 ) f x - 3 »

— x + 3

| x - l ) | * - 2 ) | x - 3 )

_______

| l | ( 2 | | 3 ) | l i)

• ALGEBRA

EJERCICIO 131

Simplificar:

1 , », Q 2a 3a ( 2a

m —n »*— m" O' a 43 a—3 9—a*

o x2 2.v0.

x l 3y 3 y 2 x

x ' —x y y—x y4x x2—y3 y—x

3. 1 4 X 10. * I + 12 x - x - ' x2—4 x242x— 3 (1—x)(x42) ’ x|2

4.olb ( a

11.3 1 t

a2—ab b-—a'J 2a|2 4«—4 8—8a®

5. x —4 x 19 1 041 2x2—2x—3 6— 2x a 3 ' (3— a)(«—2) ' (2 « )( l a )

6. 1 , 1 2 x 2x342x2 1

x*+2x—3 (2—x)(x43)i*>.

x 1 ' l x 3 x24x+l

71 2 7

14.X42 x+1 4x246x43

2x1 2 1 x 4x—4 3 x l 3—2x Gx2 11x43’

MUL TIP LIC ACI ON DE FRACCIONES

0! REGLA GENERAL PARA MULT IP LI CAR FRACCIONES

1) Se desco m po nen en factores , tod o lo pos ib le , los té rm ino s de la s

c c ione s que se va n a m u l t ip l i c a r .

2) S e s im p l if ic a , sup r im ie nd o lo s f a cto re s c om une s e n lo s nu m e r a do -

s y de nom ina dor e s .

3) .Se m ul t ip l i c a n e n t r e s í la* e xp r e s ione s qu e qu e d e n e n lo s nu m e -dores después de s impl i f ica r , y es te produc to se pa r te j>or c l p roduc to de

s e xp r e s ione s que que de n e n lo s de nom ina dor e s .

Ejemplos jl ?a 3b- ..11 ) Multiplicar — — , —

7o . 3b* _x*

3¿>n 4x X 2oa

3b1' 4x

2 x 3 X a X b 2 X x 2

3 X 4 x 2 x o ! x y x x|simplificando1 =

•labR.

I2 ) Mult iplicar3x 3 x2 + 4x + 4

por r R ,2x + 4

Faclorando, tendremos:

3x — 3 x2 + 4 x | 4 3 [x — 1) l x » 2 | - X

3 ( x + 2 |

_3x4<4

2* '2x + 4 x2 x 2 |x 4 2 ) x<x — 1)

MULTIPL ICACION PE FRACCIOHLS • 2 2 1

<3 > Mult ipl icar a 2 — 1 á* ~ o — 6 3o+ 4

o* + 2o ' 3as + 7o |4 cr2 — 4 a + 3

ci2 1 a 2 — a — 6Factorando, tendremos: _ ■X

3a + 4

o2 42a ' 3a2 + 7a 4 4 a2 4o + 31. I b - H H q - 1) ( o 3 ) ( o + 2> 3 al4

o (a 4 2) ( o + l H 3 a + 4 )* J a l ) l o 3 » = o/

EJERCICIO 132

Simplificar:

2 a » , G ¿ 2

3b X 4a ' 8.

5x425 7x47• X •

2. x -y 10a3

~ 5 ~ X i m 2" X x 3"3-

10x450

l ! i .2a—2 w a- lu

~ X ’

mn—ii1 X

s _ „ s?ri— nw .

2fl2—;>0

2x2 3 x —2 3a 43. 3x 4 <1Gx|3 x*—4

3.5x2 4y2 1lm

Ty *'X Tm2 X _5 Ír ‘

5 x 2f y 36

fl ' b 2 ' 1 0 '

10.xy2y= x*+2xy+y2

• X *x'lxy í *-*,2xy 17

y240y418 <( &> ■' X 1

1 1 .x2 4 x y I Ay-

2x3 3a- 6x2 X x ,

15a® y 7xy*'12.

x*+2xy x2*4y2

x®42x*3x

r.y l Ift

2x®4 .U

4x248x43

2x2|2x x2:jx•X

2x2 x2—2x 3 19.

x 8—27 » t' X

7« 3m 5« 4

Gm2 107i2 ' Max13.

a^—nb+d—b

a 242«4l Gu2 Guír 20.

a8+4afr-|-l¿>B " i i

3 X (t-f f2x*+x

4x4214.

( x y ) " % x 2+ x + l*X *

X*—1 (xy>221

1 x n ! « v1 X X«41 x x J 1/

x*|2x x2—2x—8' x X

x 2 IB x*4x= x 2+ 4 x + 426-

a2—5a 4-6 X

6« a®-25

3 a I 5 a2 « ~ 3 0 2a —I

«3. (iM 4n)3—x 3 (im—rif—x 2X *(rrt+x>3~ « 8

2a»42a¿>2

m *+ m n—m x

x8—x x

26. x2—3xy—lOy2 ^ x 2— 16y2x2—2xy—8y2 x244xy

2ax2 2«x fl2x|¿>2x xl1 27.x’ | 4ax44«2 2 ax —l a 2

X --------------- X

6ó+6x3ox—G«2 «x I a x 2|3ax •

a2—81 w a 4 l l . . 2a —12 _ a8 Isla2X 1 X • X '

2a*410a «23G 2a418 2a422

a*+ 7a+ 10 a2—3a—4 a3 2 a a3 a

•X — -------------

xa2—6a—7 a2|2a15

3 0 .x‘ 427x x*4x

a 2—2a—8

1xx8—xv4 x x 4—3xa49x2 ' x{x I 3)2 x 3

22 Att.uikA

Se red u ce n la s expres iones m ix ta s a f racc iones y sé m u l t ip l i ca n es tasacciones.

0 l ) MULTIPLICACION DE EXPRESIONES MIXTAS

Ejemplo Multiplicar a I 3 por a — 2 + •a — 1 a + 4

Reduciendo las expresiones mixtos o tracciones, tendremos:

5 (o + 3 ) | o — I ) —S oa + 2o —3 — 5 _ <rl + 2a —8

° a — 1 a — l o l o — 1

5 _ ( a — 21 (aI 4) + 5 t f + 2a 8 + S _ o a + 2 o ^ 3

a + 4 o l 4 o + 4

Aitoro multiplicamos los fracciones que hemos obtenido:

5 w 5 \ o2 + ?o —8 o'‘ + 2 o 3

i. « + 3 0— -------- — xo — 1 o l 4

EJERCICIO 133

Simplificar:

K ) ( * T5 T ) -2

n + x .

) ( - ^ >

) K ) -

° + ñ ) ( ^ y

| r . + 4 ) | o 2¡ (o I 3 | (o I I

o — l a I 4

= (a —2 | (a + 3 ) — a s l n 6. R.

, mtt \ / , , n* \

I 0 . ( a + 2X- ^ - ) ( - * + £ + * * ) \ 2 t f + X / V ri+4x )

«■K*)o 4 ) t ó ) -* (2+ r ) ( 3- ^ ) ( 1+j ) '

DIVISION O t FKACCIOHIS • 2 2 3

V. DIVISI ON DE FRACCIONES

(202) REGLA

S e m u l t i p l i c a e l d iv ide ndo po r e l d iv i s o r i nve r t i do .

Ejemplos 4o* 2ox<1 > Dividir ----■entre .

36 9b'

4o: 2ox 4o2 96* 6n6. R.

36* 9b-' 36 2nx X

. . . . . . X* + 4x x: — 16IZ.I Dividir ---------- entro — B 4

x* + 4x x — 16 x I 4x 4 x 1x + 4) 4 — —

6 4 8 * • 1 6 8 ( x | 4 ) ( x 4 )

m - EJERCICIO 134

Simplificar:

i. Xa 2x 11.20 x“—3üx 4 x—0

Sy» ? ' IOxMlGx x+1

2.3 _ —A. /i.’Jiv 12.

« lxiH5 . «2+2 « —35. • H v •

5x* a~— lG a+06 a'*'—5a—24

3.5»n2 lür«a

7»8 lltw*13.

8x3+2 6x+ 15 6x=+ 13x5Hix ' y 9x* l

4... , <¡-x 11

x8—121x x * ll x

x: —4Í) xl 7

o. ir. i/i 20v3fla8x*

ID. ¡ix'+'o a 8x 2+y a*4a*—1 2//1

0.l m 2

10.«J I a *+4a l 3

a :i 1a" 3e*+íla

7.x l , 2 x—2

17.x3 i 125 x, 5x =+ 25 x

:« « x*—64 ' x l x —56

8.3a* óa* 16xs—24xy+9y* 64x32 7 y ’

a'+HiaO+íW/8lO.

l« x 12)’ 32x*+24xy+l8> '*

0x 8—x Gx*—Ox

19n 8—(¡« , t»*+3c—"54

2x8+ «x ' 2x+G ' (t! + 3a a'’lOa

10. 1 + 2 20.15x2 |7x—2 6x *+ 13 x+ 6

n ' u 3(1 a*+a 12 25x’~x 25x*+IOx+] ’

2 4 • A K ifD R A

x » l 7x*+7 x+7 XCXI9 ** +6 *2 421. — -í— — . 23.

2 x * 2 x + 2 7x3+ 7 l x * l 2 x* + 17 *+ 8

2mx—'¿rny+nx—ny 2a"-i-lab— 15b* ns— Zab—40bs22. ------------- ----------- ~ 8 m + ln. 2 4 . ---------------- --------- — -------- ---------- .

3x— '¿y <t*+4«9b «*— i a b —Íj2b8

03) DIVISION DE EXPRESIONES MIXTAS

Se reducen a f r acc iones y se d iv iden como t a l e s .

Ejemplo 1+Dividir 1 + ......... — entre 1 4— .

x- r yReduciendo estos expresioneso fracciones, tenemos:

I | _ x J + y * + 2 x y x * + 2 x y + y *

x * + y ' * x * + y 1 x 1 + y -

1 + X = y + * = X t y y y y

Tendremos:

. 2xy \ Y . **+ 2 x y+ y t x + y( '+ ? + ? ) * v + j r , . + y . —

_ ( * + y ) 8 y _ x y + y » r

x 1"+ y '" x -I- y x1 I y -

EJERCICIO 135

Simp l i f i ca r :

*■ K r r ) ^ ) - “ (‘ +‘ +£ r M ^ ) -s- 6 ( , - > - 4 ) i- ( ' + ¿ r ) -

3 ( 1-* T5 r M »' 3 C 5 )• 7 ( ' +¿ r M 1+¿ T )

3 ( - £ ) * < - £ ) • 8 ( - « — )•

VI. M ULT IPLICA CION Y DIVISION COMBINADAS

2 0 4 Cuando haya que efectuar operaciones en las quese combinen multiplicaciones y divisiones se procederá a convertir los divisores en

factores, inviniéndolos, y procediendo segün la regla de la multiplicación.

M U L T i r t lC A CIO N V D IV IS IO N C OM BINADAS • 2 2 5

Ejemplo I o —3 o* 49a 4 20 o*—16Simplilicor X - — ----- — + — -r- „

4u —4 o* 6o 4 9 2o2 —2o

Convertimos lo división en multiplicación iiwirliendo cl divisor y tendremos:

a 3 . o2 + 9 o + 20 o2 16■X -----------------• •

4o — 4 a 2 —6o + 9 2a2 2o 4o —4

0 —3 | o 4 5 ) l a M ) 2a ( a l------------ X --------------------- X

o 3 o* + 9 o + 20 , v

o 2 —6o 4 9 o ; —16

a ( o 4 5}

= 4 ( 0 - 1 )

EJERCICIO 136Simplificar:

3x 8> i*1 _ X r — .

4) 9x 3x

> 50 / ^ v ^LN

(o —3)2 o 4 4) ( a — 4 | 2 ( a — 3) (o — 4 |

q= <•5o t' 2o2 14a 424'

«■■8047 a 3 6 o 12

a- 1la+8 0 X a- 1 a2—la

x* 27 x x*+2Qx+ 100 x31 0 0

x2 I 7x—30 x34 3x2r9x ’ x I

«41 3a—3 «24«

u l 2fl+2 ' «24«—2 'G4a3—81b2 (x—9)2 • 8a*+9ab

x2—SI X 8 « 9 b ' (x49)2

x 2—x —12 x2—x —56 x 2—5 x —21X

a*4a0 a*+l ( «*+« %# 4x + 8 \

3a—6 ~ V iin—12 X x 3 ) ’

v2 49 x4x—20 x 15

8x 2—lOx—3 4x*—9 8x ' • 1 '* 19

6x*413x46 X 3x*42x 9x*4 l"

(fl+b)2 c 2 («4c)2—i»2 a l b i r

(a —b)3— c7 as I ab—ac « ’

11 n‘~&1 ■/•«'•+fia—35 ax+'Ja \■ V 6 Í 1 x 7 t ¿ + 11¿*) '

b+ b* V 6 * 1

«ía+6»»3«+9»Jn2

«b»+l lb*

4ms—n3 wt3+27n82«i*n+7mn!+3M:i 8m3—2wti n- I6m.*+8»»n4n*

, ,, (a3—ax)3 1 / a»a*x a2x* \a2+ x 8 X «34a*x ( aa+ 2 a x + x 3 o84«x2/

14(a2—3a)2 27—a* a * - 9 a 3

9 —a* {at3)2:J n ' <aa+3a)*

FRACCIONES COMPLEJAS

Z05j FRACCION COMPLEJA a u n a f r acc ió n en l a cu a l e l n u -

m erad o r o c l d en o m in ad o r , o am b o s , so n f r acc io n es a lg e-

b ra icas o ex p res io n es m ix tas , com o

l + ‘

Una Tracc ión comple ja no es más que una d iv is ión ind icada ; la rayade Ja f racc ión equiva le a i s igno de d iv id i r y e l la ind ica que hay que d iv id i r ' lo que es tá enc ima de Ja raya por lo que es tá deba jo de e l la .

A s i , la f racción ante r io r — — equ ivale a I — ——) + | 1 + — )

2 06 ) S IM PL I F ICA C ION DE FRACC IONES COMPLEJASREGLA

1) Se e fec túan las o jrcrac iones ind icadas en e l nu m era do r y denomi-na do r de l a fr a c c ión c om ple ja .

2 ) Se d iv ide c l r e su lt a do que se ob te nga e n e l num e r a do r e n t r e elr e su l t a do que se ob te nga e n c l de nom ina dor .

226 • A k C I M A

Ejemplos(1 ) Simplificar

i T 7 'X

o x o3 — x*

Efectuando ef num erador:----------

=x a ax

o a + xEfecluundo el denominador: 1 +

Tendremos:

o x a -— ;

x a ox

a a + x1 + -

(dividiendo cl numerador _ O* ~ x3 x (o 4* « |(o —x) X o ~~ * _

entre cl denominador) ax ' 0 + x ~ ox o + x ~ a ’

x 1 — x — 2

( 2 ) S imp lific ar-------------------- i-,

„ + 6 + üx — 2

Numerador:

x 1 12 _ f x — 1 ) | x — 2 | —1 2 x * 3 x + 2 1 2 _ x3 3 x 1 0x — 2 x — 2 x — 2 x — 2

Denominador:

16 | x + é ) ( x 2 ) + 16 x3 + 4x — 12 + 16 ** + Ax + 4x+ 6+ ■

FRACCIONES COMPLEJAS 2 2 7

Tendremos:

12x — 1

x 2 — 3 x — 1 0

x f 6 +

2 _ x — 2 _ x8 — 3x — 10 f x — 51 ( x 2|

16 x3 + 4 x + 4 x= + 4 x + A ~ [x + 2 ) a ~ . v + 2

2 x — 2

Obsérvese que como la fracción del num erador y la fracción de l denominad oífunian d mismo denom inador x — 2 Jo Isemos suprimido po rqu e al dividir osea al multiplicar el numerador por el dcnoininodor invertido, tendríomosi

x* — 3 x — 10 x — 2

x — 2 x* + 4x + .<

donde vemos que se cancela el factor x — 2.

E J E R C I C I O 1 3 7

Simplificar:

x2 — 3x — 10

x2 + 4x + 1

° ~ b

x l 4 1 x

Z ¡ I TX

a —4f

i 3 'a

2a-—b-- b

9.4«!!+¿>2

20x2+7x—6

2 8 AlGIBHA

207) Ah ora trabajaremos fracciones complejas más complicadas.

0. ..... X - l x + 13) .S impl ihcar -----------------

x - 1 x+ 1

Numerador:

1 1 x + 1 - ( x - l ) x + 1 - x + 1 2

* — 1 ~ x + l “ (x + l)(x 1) “ ( x + l ) { x - l ) “ ( x + l ) ( x - I)'

Denominador:

X 1 x(x + 1) — (x — 1) x- + X X + I X * + 1x - l ~ x + l “ ( x + l ) ( x - l ) " ( X + l")(x - 1) ~ I . V I 1 ) (x - 1 ) ’

Tendremos:

: —11 2R .

x —1 x + 1 (x + l ) (x - l )

X 2 + l X " I 1

X I x + 1 £x + l ) ( . v l )

« + 2b a + b

4) S i m p l i f i c a r ° ^0 2a - b

+a — b 4 ( i 6

.Numerador:

a + 2 b a + b a(a + 2b) — (a + b)(a — b) a* + 2ab —(a1 — b7)

a — b a ií[( t-b) a(a b>a 2 I 2 a b - a - + b * 2 a b I h -

a(a - 0 ) a{a - b)

Denominador:

b 2 a - b l>(lu —b) + ( a - b ) ( 2 a - b ) -lab — l*a + 2a2 —3ab + b: + ■

a - b 4a - b ( f l -6 } (4<i-6 ) (a - 6)(4a - b)

2a- + a b (a - b )( 4a - b)

fR AC CIO NU C O M riU A S • 2 2 9

T e n d r e m o s :

a + 2b a-\- b

a — b

2ab + b*

2a — b

a(a — b)

2a- I ab

2ab + b * ( a - b ) ( 4 a - b )

a ( a — b ) X 2as + ab

a — b 4a ~ b (a — b)(4a — b)

b(2a + b ) (u — b) (4a — b) b(4a — b) 4a b — b2

a(2a + b) a* a'J

x — 2

a(a — b) X . R .

5) S impl i f i ca r

Las fr acc iones de e s ta fo rm a se l l am an con t inu as y se s im pl i fi can e f e ttu an d o la s ope rac iones ind icadas em peza nd o de ab a jo hac ia a r r iba . Asi.

cu es te caso, tendremos:

x — 2 x ~ 2 x —2 x 2

x 2 x• X s

x 21 ~ x * - x - 2 ' 1 (x —2)(x + 1) a I 1'

EJERCICIO 138

Simplificar:I I

x+1 x+3 x+1X—1

4.x + 1 x + 2

x l x—37.

1+x*2x°+2

10. a+x 2f l+2

EVALUACION O I F R A C C I O N » • 2 3 1

Sea la f racción en q u e a e s una can t idad cons tan te y x es una va-

r iab le . C ua nto m en or sea x , m ayor es e l va lor d e la fracc ión . En efec to :

( 20 9 ) I N T E R P R E T A C I O N D E LA F O R M A ”

P a ra x —

P a r a x =

Para x

1 0 • X

1 0 0 ’ X

1 0 0 0 ' X

iI IK«>

V e mos , pue s , que ha c i e ndo a l de nomi na dor x s u f i c i e n t e me n t e pe que -

ño , e l v a lor de la f racción — será tan gra n d e com o qu eram os , o sea, (jur

m c i k Io <i con s tan te , a me dida qu e e l den om inad or x se apro xim a a l lim i te o

e l va lor d e la f racc ión au m en ta ind c l in idam en tc . <i

l is te pr in cipio se expresa de es te m odo: 0

El s ímbo lo » se llama in fini to y no t iene u i i va lor de term inad o; o.m una rnn tuU d, s ino el s ím bolo que usamos p ara e xpresar , abrcviadanu nii

e l pr incipio anter ior .

Em iéndasc q ue la ex pres ión — —*¡ no p uede tom arse en un sen t ido

ar i tmét ico l i t e ra l , porque s i endo 0 l a ausenc ia de can t idad , l a d iv i s ión deo e iu te 0 es inconceb ib le , s ino com o la expres ión de l p r inc ip io d e q u e si el

nume ra dor de una f r a c c i ón e s una c a n t i da d c ons t a n t e , a me d i da que e l de

no ii iin. ido r disminu ye indefinidam ente, acercándose «I l im ite 0 pero s in llega*• valer 0. el valor de la fracción aumenta sin limite.

Ejemplo X " f " * 0

H a l lo » e l v a l o r d e — ---------------------- p a r a x — 2 .x * - 3 x + 2

S u s t it u y e n d o x p o r 2 , te n d r e m o s :

« • f 4 _ 2 + 4 6 _ 6

* * - 3 x + 2 “ 2 * - 3 ( 2 ) + 2 “ 4 - 6 2

3 2 • AIX»! ORA

210) INTERPRE TAC ION DE LA FORMA«1a

C ons iderem os la f racc ión , en q u e a cs cons tan te y x var iab le .

C u an to m ayo r sea x. m en or será e l va lor de la fracción .

En efecto : Pa ra x - 1.

P a ra x = 10.

P ar» « = M0. etc.

V e n to s, p u e s, q u e h a c i e n d o a l d e n o m i n a d o r x s u f i c i e n t e m e n t e g r a n d e .

l ' j a lor de Ja f racción — será tan pequeño corno queramos , o sea que a

medida que e) denominador aumenta indefinidamente, e! valor de la f rac-

ción disminuye indefinidamente, acercándose al l ímite 0. pero sin llegara valer 0.

a a — “ =n X 1

a a 1 — — — ——aX 10 lí>

Este pr incip io se expresa:

a _ XI

Es te r esu l t ado no dehe tomaise t ampoco en un sen t ido l i t e ra l , s inoomo la expres ión de l p r inc ip io an te r io r .

EjemploX “ 1

Hollar el volee de poro x ~ 3.

x —1 3 —1 2 2Sustituyendo x por 3, tenernos: —— = • _ {) |.*

5 S 5 •*

x - l i 5 " — 3 0

11) INTERP RET AC ION DE LA FORMA ®

Considerando es ta forma como el cociente de la divis ión «le í t (divi

deu do ) en t re 0 (d iv isor ), tendrem os c jue e l cociente de esta d iv isión t ien eque se r una can t idad La l que mul t ip l i cada por e l d iv i so r 0 r ep roduzca e l

iv idendo 0 , pe ro cu a lq u ie r can t idad m ul t ip l i cada p or ce ro da ce ro ; lúe 0

go, ]>ucdc ser igual a cua lqu ier ca nt ida d . Asi, pues , e l s ímb olo

E V A L U A C IO N D I f R A C C I O N I S • 2 3 3

(21 VERDADERO VALOR DE LAS FORMA S INDETE RM INAD AS

( I ) Hallor el verdaderovalof d e para x = 2.x-4-x - 6

Ejemplos

S u s t i t u y e n d o x p o r 2 , s o t ie n e :

x ‘- - 4 2 J - 4 4 - 4 0

M . _ — - — . , — - — — — v a l o r in d e t e r m i n a d ox - + x - 6 2 ^ + 2 — 6 4 1 - 2 - 6 0

L a i n d e t e r m i n a c i ó n d e l v a l o r d e e s l o f r a c c i ó n e s a p a r e n t e y e s d e b i d o o lu p r o

s o n c io d e u n f a c to r c o m ú n o l n u m e r a d o r y d e n o m i n a d o r . . q u e l o s a n u l e , f’ o u i

s u p r im i r e s t e f a c t o r , s e simplifico l o f r a c c i ó n d a d o y t e n d r e m o s :

x * - 4 | x ? | ( x — 2 ) x + 2

x - + x - 6 “ | x + 3 | < x - 2 ¡ “ x + 3 '

x - - 4 x + 2E n l o n c o s : = --------------- .

x 8 + x — 6 x + 3

H a c i e n d e x — 2 e n e l s e g u n d o m i e m b r o d e e s t o i g u o l d u d . s o t e n d r á

x - - 4 2 + 2 4

x * + x — 6 2 + 3 5

x “ — 4 -iL u c u o e l v e r d a d e r o v u l o r d e — — p o r o x = 2 k . K .

r + r - í 0

3 x " í x “ 1

1 2 ) H a l n i e l v e r c o d e r o v a l o f d e -----------------------------

p a r a x I .x! r -x - - 5x : 3 P

Sus litu y c 'ndo x po r 1 , s e tie ne .

3 x - - 2 x - l 3 < l * | — 2 | 1 > — 1 3 - 2 - 1 0 . , .■ = ■ — — ---------------------------- — = = V . i n d e t e r m i n a d o .

x ^ + x ' - S x + S l 1 I- 1 - — 5 ( 1 | + 3 1 + 1 5 1 3 D

E s l o in d e t e r m i n a c i ó n e s a p a r e n t e . E l l o d e s o p u r e c e s u p r i m i e n d o e l f o c l o r c o

m ú n a l n u m e r a r i o ! y d e n o m i n a d o r q u e l o s a n u lo .

S i m p l i f ic a n d o l o f r a c c i ó n | e l d e n o m i n a d o r s e f o c t o r a p o r e v a l u a c i ó n | s e tr e n o :

3 x - — 2 x — 1 | x - 1 I ( 3 x 1 J 3 x + 1

Xa + x" - 5 x 1 3 f x — ? H x - 1 ) | x + 3 ) l x I I x - 3

Entonar., haciendo x ~ i en lo último fiaccinn, se tendrá:

3 x + l 3 ( I ) H _ 3 - H _ 4 _

| x - I | ( x + 3 ) “ ( 1 - 1 ) 1 1 + 3 J _ Ó X 4 O "

Luegoel veidoderovalor de la fracc ióndadoporo I t i '• R.

EJERCICIO 139

lla lLn t i vcitlntk'ío valor «le:

• M O E M A

X * + ¥ 2 para x = y.

x*—ys

* „ ^ pa ra x — 2.

3x—2

x2+ x —12 p ara x = 3.

a-—a —6 _ . — para « = 3.

e“+2<J-15

x s ? x l l O

x a—2x a—x + 2

x " 2 x l l

x*—2x*—x + 2

<jI+ l lo 2 G

xa—7x+G

x2—2xl1

Xa—3 x —2

xn—7 x + 0x 2 lü

para x = 2.

para x = 1.

para a —2.

p ara x = I.

xa—4x2—x+4

■lx*~lx+1

para x = 2.

p a ra x = 4.

— p ara x 4 x* + B x 6 r 2

8x2—6x +1 1--------------------------- p a ra x — — 4xa+12xa—15x+4 1 2

xaí>x+10

x*—x :‘—llx 1 9x I \S

EJERCICIO 140

Simplificar:12x |31 x+20

. .. x3 a 3W --------- para x = a .

_ a " - 2 o l > + b ' J ■o. ------ para 0 = a.

(¿‘- a b

p a ra y — x.

para x = a.

p ara x = 1.

p ara x = 3.

p ara x = 2.

jKini x —1.

para x —2.

x B—a'í

a-x—a3

xa—3x+2

2xaGx* lGx 2

X X '1—7xarXrC

x <;lx a 3 x a l l x G3xa—Ox2—4x+4

x*+2xa—8x2—8x—4

X Ó X + I

x4 2x : '9xI+ 2x +8

x34x3+8x*32

x fl—3x *+10xa—4x—40

8xg+6v9 : i20.

-----------------

para x — .12x= 13x+3 * 4

„ x» üx l 12x182 j . ----- .--------------- para X = —2.

x ‘ ü x + l ü

oc üx> r 3x I 3x 11 l28. — —— --------- i>ara x = ------ .

27xar l ‘ 3

x 1 xa1para x = 1.

para x 2. 30 . íx2 f3x~ 10) p a r a x = 2

MISCELANEA SOBRE FRACCIONES

(xry)2 x(xy)

I8.v}—21x—44.

\ a <r a3 / \ a /

3.xJ+3x9+9x

x J — 2 7 x

0. M ultiplicar a +l+ófl fl+5

—;— por t i --------- .r a + 1

x a—29 170—xs7 D ividir x* + á x 4 — c n lr c X + 3 4 +

Descomponer la* expresiones siguientes en la suma o resta de tres lr;ucioncs simple* irreducibles:

8 . 4 x * - 5 x y - * y ' o r n - n - x ---------- . v. .

¿x m n x

P ro b ar q u e — — = x"'4 x y. x - y

11. n u v n yx~ 3** x’ —111 P r oba r que x —2 x 4 1 -------------- .1 x U x 1

M I S C O A K Í A S O SIIt ÍK AC CIO N SS • 2 3 5

,;í Prob ar qu e — — ^ = a — 3 424la

<«*+«*—l«—í ~ " ” ‘ 2o fl

Simplificar:13. 1 | 1 , 2a ,

a—b a-ib a2-ab-\-b2

J‘»- ( a' a> - ■ l + a 3 \ l - a * J ( «2 ) '

ir». / «» 9 . x 3 v «*x»16«» / 2 1 VVx*— x — 12 x *+ 3 x / 2x*4-7x4-3 \ a J x a - x - ) '

10. 3x:‘ x; 12x41 lv 16 81 x»

Gx'4 x3—23xa 4 x l l 72x—óx—12

1 8 . ( - - — 4 — 4------- V \ x x42 x43 / V x42 x + 3 xa45 x+ 6/

ID. i + Aa a—b

b- , a3 í> '

1 oa ¿ a - b

21).l / x ’ 3 6 % x ^

1X *3 V x ' x 3 4 > 3Gx------

x 4 l x 1

X1 x4l x:4 l 2xX — r +

x —1 x 11 2a2—2b ir'- b

x4 l + x 1

1 1 1 . 1x -----

3x—1> 6x 112 2(x—3)ax C I

3a . 5 1 a*+ b2 , b 2•4 — a—b 4r* —

,, ( a - 2 b y a - 5 b a - 2 b g4 g+ b__„ ____ a . . 1

3naMfl¿»l10í»* a2—2b2 a - b 2a - b ' — — — — — --------------------------------------( i \ b ------------ 1 f --------

a 7— l/ifc+4í>2 f l t O

« ¡ e

uabra to rUr t )

ARBOR SGIcNTlAEco eomeírice!

Pa l n c a

DE PISA 1117512501 Conotido poro 4a Bonoccip, no or.j un ntudilo, peroo iui continuo! viajes por Europa y elnlc, fue cl que dio a «onoecr on Oe«ólodoi matemáticos de l«« hindúei.

RAIMUNDO LULIO <123513171 Llamado et D«efor Iluminado por su dedicación a la propagaciónde la fe. Cultivó con on ecie nte ¿v ito lar ciencia»de su tiempo; fue ol primero qur tu propuio cons-truir una matemática universa!. Publicó diversos obras.

C A P I T U L O X V

U A C I O N E S N U M E R I C A S F R A C C I O N A R I A S D E

M E R G R A D O C O N U N A I N C O G N I T A

3 ) Un a ecu ac i ó n e s f r acc i o n a r i a cu an d o a l g u n as d e s u s t é rmi n o s o t o d o s

x 3t i e n e n d e n o m i n a d o r e s , c o m o - - = — p

4 ) SU i'MES ION DE DE NO M INA DO RE S

E s t a e s u n a o p e rac i ó n i mp o r t an t í s i ma q u e co n s i s t e en co n v e r t i r u n au ac i ó n f r acc i o n a r i a en u n a ecu ac i ó n eq u i v a l en t e en t e ra , e s d ec i r , s i n d e-

mi n ad o res .I i s u p res i ó n d e d en o mi n ad o res s e fu n d a en l a p ro p i ed ad , y a co n o c i -

. de las igua ldade s : l in a igua ldad no var ía si sus dos m iem bros so. m ul-p l i c a n p o r u n a m i s m a c a n t i d a d .

P a r a s u p r i m i r d e n o m i n a d o r e s e n u n a e c u a ció n s e m u l ti p li c a n to d os

ECUACIONES « A C C IO N AR IA S OS 1 IR , GRADO • 2 B 7

Ejemplos >. ( II Suprimir d e n o m i n o d o r e s en la ecuación - — — 2 6

I 2 x _ 1 2 x _ 12

2 ~ 6 4

El m. c. ni. ese losdenominadores 2,6y 4es 12. Multi-

plicamos lodos los términos por 12 y tendremos: _ / ’y simplificando estosfracciones, queda

óx= ?x- 3 ( 1 J

ecuación equivalentea la ecuación dada yentero que es loquebuícábom-porque la resolución de ocuaciones enteros ya la hemos estudiado.Aho ra bien, la operación que hemosefectuado, domuítipf/cor todos los frhmi-nos do Jo ocuoción po relm. c. ni. de Josdenominadores eqoivale a divi’o’" ■1m. c.m. de Jos dcnominc-doroson irccoda denominador y mu ííipficarcada >"■cionte po r oJ numerador respectivo.

X X 1En efecto: En lo ecuación ontorior = ---------

7 6 4el m. c.m. do las denominadoreses 12. fJividicndo 1? entre 7, 6 y 4 y multiplicando codo cociente por su numerador respectivo, tenemos:

6x= 2x— 3idéntica a la que obtuvimos ontes en (1 >.

Podemos dedr entonces que

Para íup r im i r denom inadores en una ecuación :

1J So halla ol m. c. m. do Ios denominodores.

2) Sodivida estem. c. m. ootrecoda denominador y coda cociente so mi/lfJ*pj ico por el numerador respectivo.

, 7 i - . . . . . - * ~ > 2x— I 4x- Sl J Suprimir denominadoras en 2 -----------= — — — —.

.10 4 8

El m. c. m. do 4, 8 y 40 es 40. El primer término 2 equivale a l'nto r n ,

divido 40 1= 40 y este cociente 40 lo mult iplico por 2; 40 r 40 — ' y mliicocionto 1 lo multiplico porx — 1¡ 40-s-4= 10 y csiccociente 10 lomuiiiplpor2x — 1¡40+ 8= 5y esto cociente5 lomultiplicopor 4x— 5 y tendremos

, 2 ( 4 0 ) — | x - l ) - 1 0 | 2 x - l ) — S<4x 5)

Efoctuando los multip licaciones indiccdos y quitando paréntesis, quedo

80- x + 1 = 20x- 10- 20x+ 25

ecuación quo yo es entera.

MUY IMPORTANTI

Cuandounafracción cuyo numeradoresunpolinomio está p'cced ida deJ signox— 1 4x— 5

— como — ...... - y — — — en la ecuación anlenor,hoy que lenereuldedo<0 8

doCamblar eJ ligno o cada uno do los términos de su numerado' al quitar rl

donamlnador. Por eso hemos puesto x— I onito un paréelos» precedido dnlilgn o — o leo — |x — 1 ) y al quilar osle poréntesb queda ~ x •I y oncuonto a la úllimo fracción, al ofedunr el producto — 5( <x - 5 1decimos( —5 1 (<x)s=—20x y ( —5 )X ( —5 ) = + 2 5 , quedando - 2 0 x + 25.

8 • a i c m r a

5 J RESOLUCION DE ECUACIONES FRAC CIONAR IASCON DENOMINADORES MONOMIOS

i I ) Resolver lo ecuación 3 x = -----------.5 10 4

El m. c. m. de 5, 10 y 4 es 20. Dividimos 50 entre 1 (denominador de 3x|,5, 10 y 4 y multiplicamos cada cociente por el numerador respectivo. Ten'dremos:

¿0x— 8x= 2x— 35.

Trasponiendo: 60x— 8x— 2x= — 35

50x= - 35

Ejemplos

35 - 7 o50 ' 10'

V E R I F I C A C I O N

Sustituyase x por — — en lo ecuoción dado y dará identidad.

2x— I x l-13 5 (x + 1 |<21 Resolveria ecuación — -------------------- - 3x I------- - ----- .

8 (2x— 1)— (x+ 13)= 24(3 x )+ 15|x+ 1)

, . . r.. n - lóx— 8— x — 13=7 2 x + 1 5 x+ 15d«, 3‘ í 4 * ? Ce 2 D¡' 16x - x7 2x 15x = 8 + 13 , 15vidiendo 24 entre 3, 24, 1 yBymuí- __ 3^lip licardo los cocientes por el nume , 36 1rado r respectivo, tendremos: x --------= -------. R.

| 3 l Resolver lo ecuación - ^ - ( x— 2 ) — (2x— 3) = — (4x+ l ) — — (? x+ 7|.5 3 o

Efectuando les multiplicaciones , x~ 2 ^ g j_ 6 x t 2 ?x+ 7indicadas, tenemos: 5 3 6

6 ( x — 2 |— 30(2x — 3 j = 1 0 | 8x I 2 ) - 5 | ? x + 7)6x- 12- 60x+ 90= EOx+ 20- lOx- 35

6x- 60x - 80x+ lOx= 1 2 -9 0 + 2 0 -3 5 Elm.c.m.de5,3y6es30. / _ ]24x= — 93Quilondodenominadores: I24x = 93

93 3 „

124 *“ 4 ’

EJERCICIO 141

Resolver Jas siguientes ecuaciones:x 1 „ 1 1 1 1 . 3x 1 5 3x

6 * ’ S + T T o T I ' • T 5 + Z , “ 4 _ M

2í _ £ í + i = o . 4 í + 2 i . = í _ Í . o ¿ £ = 1 2 + 1 .5 3 5 2 12 6 4 3x x 10 2x

K U A C IO H il FRACCIONARIAS O l U S . GXADO • 2 3 9

7.7 ' " *

8.x+2 5x

* 12 2

9.¿ x 1 _ . 3

3 * b ‘18.

10. lOx —— — 2{x — 3). 10.

11.X 2 x—3 _ x—4

20.¡J “ 4 5

12.X^l_ _ x —2 x —3 _ x —5

8 ” 3 4 5 21.

13. x (Dx 1 ) ■= 1 22.

14ú x 6 1

8 * ------ — + < x 6 ) = 5 x . 23.

ID.10 x+ l „ 16x13

4 " C “ 4X~ 4 •24.

I < x I ) ( * 3 ) = ± < x + 3) + ± .

3.V 1 5x+ 4 x [ 2 2a — 3 1

2 " 3 ~ 8 ó 10'

7 x l 5 2 * 4 x 3 l+ 4x *

3 ‘ 2x " 4 + 3x ‘2* + 7 _ 2(x»—1) 4 x 6 _ 7xa+ 6

3 ¡ri.v 15x 3xv

2 / x11 \ _ 3 / x —G\

3 V 5 / 4 \ 3 /

3 / 2 x - l v 4 /3x+ 2\ 1 / x - 2 \ 1

« • » ( ) » ( — ) « ( — ) V *

426. ü x 2 7 x ( i ^ ' ) = — Ü + 2

\ x 2 / 2

?7 ** 7 12x~ 5 2* ~3 | 4 x4 9 , 78 10 16 20 4 60

5x 3 x+2428. J { x 2 0 ) ( 2 x l ) = — .

* '* K (- f )- K (» 4 )-0(x +2 ) 4 22—x „ 8 —x 2 0 3 x

30. + ------------ = 3x 20 •12 y 36 12 18

“ • ( * - í ) - ( i - ; ) = » - ( ~ s ) -

32. (x + 3)(x— 3) x» | a ( * | ) ( 3 x J ) .

33. 2x ( 2x ^ i ) = | ( ^ ) i

0 • ALOSMA

6) RESOLUCION DE ECUACIONESDE PRIMER GRADOCON DENOMINADORES COMPUESTOS

Ejemplos , n R„„ i,cr _? £ í ± l =0." 2x + 1 2x 1 4x2 1

El m. c. m. do los denominadoreses 4x* — 1 porque 4xs — 1

= ( 2 x + l ) | 2 x l > y aquí vernos 3 ( 0» 11 2 1 2 » 1 1 1 x 4 3 1 1 1n i 10 r n n l i o n r . r . I m n l> A > A n r r i n - o I * X I J / ¡ / X I J | X 4 3 J — O

6 x - 3 - 4 x - 2 - * - 3 = 06x 4 x - x - 3 + 2 r 3

x = 8. R.

que contiene u los otros dos de-nominadores. Dividiendo 12x 111| ?x — 1) entre cado denaminodory multiplicando cada cocicn'e por

el numerador respectivo, tendrémos _ y

2) t eo , „ r í í ± ! ^ 2 L ± l = i l ± 2 _ l .15 3 x4 4 5

Como 5 está contenido en 15, el m c m, de los denominadores es 1513x I 4.).

Dividiendo:

1513x 4 4 1

15 |3x + 4 )

15 ( 3x4 41

= 3x 4 4; este cociente lo multiplico por 6x 4 5.

—15¡ este cociente lo multiplico por 5x 4 2.

= 3 (3 x 4 4 |; este cociente lo multiplico por 2x43 .

15(3x 4 4} — 15(3x t 4 J; « lo cociente lo multiplico per 1.

Tendremos: ( 3 x 4 -4 J ( 6 x •5J— 1515x4 2 1— 3 13x-I-4) |2x4-3 1— I 5 (3x 4-4}.

Efectuando: I8x* 4 39x r 20 75x —30 — 18x i 51x I 36 —45x — 60.

3?x 75x 51x 4 45* = 20 4 30 4 36 6 5

Suprimiendo 18x2 on ombos * ~ ~ u 1

miembros y transponiendo: x — = __ p

1 B , 2x — 5 , 2 1x — 1 J 3 3(2 * — 15}i Roiolvor 1 = 4 ----------------

2x — 6 x — 3 8 4x — 12

2x — 6 = 2 |x — 3)Hallemos ol m. c. m. do los . x —3 = jx —3)denominadores: x 8 = 8 rn. c. m.: 8 (x — 3).

4x — 1? — 4 | * — 3)

Dividiendo 8 1x —3 ) entre la 4 f 2x 5) 4 161x — 1J ~ 3 ( x —3} 4 6 (2x — 151

tCUACIONKS FRACCIONARIAJ O t I H , OSADO • 2 4 1

(4) Resolver x — 2 x11

r + 2x —3 x2 — 9 x2 —4x + 3

Hallemos el m.c.m.de los denomina-

dores: _____

x* + 2x 3 :X = 9 :

x2 — 4x + 3 =Dividiendo |x — 1|(x + 3){x —3)entre la descomposición de cododenominador y multiplicando cada cocienle por el numerodorrespectivo, tendremos: _________ /

Suprimiendo los k - y trasponiendo:

EJERCICIO 142

4x—1

5 x + 8

8. - -

4 x + l

3 x + 4 3 x 4

10x2—5x+ 8= 2.

5x—4(5x2)(7x+3)

7x(5x—1) ‘

(x + 3)(x — 1)|x 1 3)|x —3) m. c. m.: | x — I ) ( x + 3) | <

( x 3 ) | x l )

( x 2 M x 3 ) [ x l M x + I J 4 hx2 —5x I 6 — (x2 —I | A. *

x* — 5x + 6 —xa + 1 •• A. i

5 x 4 x = 6 1 I 12 9x = 5

5 R x s i — —. "•

1 = 0 .

x—4 x—3 ' x*—7.X+12

6x—1 3(xl2) l+3x

18 5 x —6 9

53 6 0

1 + x 1 x 1 x 2l+ 2 x 1—2x 3x—14

l + 3 x 1—3x 1—9x8'

3x—1 _ 1 ^

x»+7x+12 2x+6 Ox+24

( * 1 )2 2 x —2 2 x+ 2

Gxl13 4 x + 5 x

15 5 x —15 32x—1 x—4 2

2 x + l 3x—2 3

4x+ 3 3x+ 8

2x—5 3 x ~ 7

lü x 7 3 x + 8 5x2—4

15xl3 12 20x+4

4 x l x —2 8 x —3 3

5 ' 2x—7 10 10

l 2 3 2\

x 1 x —2 2 x —2 2 x . 4

4 2 • A L OISIA

n . i 2 , . i í i á l íx + 3 í>x—20 3x —12 x+ 3 5x4 3 x

2C _ 1 4 _ ^ . 10 _______ 3 _ 20 lx + 1 ____ G _ = 4 x l

C2x 5—5x 124x 1 0 Í0 x ..................... 4 x l lGx5 ! 4x + l '2 6x2 2

3 9 x~ I 3 x l \ x + ] ) \ x - 4 )

/ * + 2 \ . , / x _ 2 \ x 5t 7BV x —2 ' V2.Y I 3 /

2x*—x—6

x H 3 x 2 8 v l 12x+35 x 2+ x —20

x —2 2x —& x —2

x*~8x ( 7 xa—41) x —(¡x—7

4 x + 5 2x+3 2x">

ir>X*r?X—2 12x,a—7 x —líl 20xa—29 x+ 3

7 3 2 3{x+3)

2 x + 1 x+ 4 x+1 2x‘ l ! )x4

(x+3)9 x I 2 (7x+]>

(x —8)® x+*l Xa— 2x— 3 '

x 4 x + 1 I2(x+3)

x + 3 x—2 (x l

x —3 x —2 x + 2 x + 3

x 4 x —3 x + l x + 2 ‘

x + 6 xl 1 x—5 x

M ' TÉTi^r'JZ T ~ 1» :>»■■•> ,1 . = 0.

30.x + 2 x —3 x 1 x l f

á x ( x l )

x!—3x—4

D E N A T V R A• O í V N O

¿ t i

^ c i c n t i

■‘'cj^ú rn er of w n ic^ ^W

NICOLAS DE TA RTA GLIA (1 4 9 9 1 5 5 7 1 Nxe ido• li i r • •li, fuo uno do los ra i l dea lac ido i m j t e ........ iWI ilglo XVI. Sostuvo una polémica con< i.tbrc quién fue el prim ero en descubrir U a-lucién do lat ecuaciones cúbicas y cuirticas.

JERONIMO CAROANO (15 01 15 76 t ......

Pavía, era filósofo, m édico y m aUm íiicu l «•fiadores le atribuyen d haberlo a ircb ila I.. • «¡lia la fórmula para resolver las K u i i^ n n •<y cuirl icis, pero esto no lo resta tnoilw «I

C A P I T U L O XVECUACIONES LITERALES DE PRIMES GRADO

CON UNA INCOGNITA

17/ ECUACIONES LITERALES son ecu acio ne s en las q u e alg un os i» lodoslos coeficientes de las incógnitas o las cantidades conocidas « | t tc l i i - n

i . i i i en la ecuac ión es tán representados por le t ras .I st.is letras suelen ser a . b . c . d , m y » s egún cos tumbre , r ep resen tan

do x la incógnita .

I ts ecuac iones l it e ra le s de p r im er g ra do ro n una incógn i ta s e re sue l-

ven ap l i cando l a s mismas reg la s que l i emos empleado en l a s ecuac iones nu-méricas .

18/ RESOLU CION DE ECU ACIO NES LITERALES ENTERAS

Ejemplos (I * Resolver lo ccuocióna (x+ oI— x ' a|o+ 1)+ 1 .

.. i — Efectuando las oporociones indicados: ox t aJ— x= o" • <i

Transponiendo! ax~ x— cr*+ a-I- 1 — a 3.

Reduciendo términos semejontos: ax— x= a + 1.

Faclo/otsdo: x( o — 1 )= o + I . « H

Despajando x , paro lo cual dividimos y» x — u Iambos miembros por |o — I ), queda;

Efectuando lasoperaciones indicadas: 3x— 2 b x - 1= 2x - 3bx tí*.

Transponiendo: 3x— 2bx— 2x+ 3bx= 1 — b3.

Reduciendo terminas scmcjonlcs: x+ fox= l — b*.

Factorando ambos miembros: x{1-|-b | = (1 + 6J(1— b ).

Div id iendo ambos miembros por j I I b} , queda: x= 1 — b. R.

EJERCICIO 143

Resolver las siguientes ecuaciones:l )= l . 11. »i (n—x)— m ( n —l}=w(ff ls— a),- b x - 2. 12. x —« + 2 = 2 a x —3 ( o l * ) 2 ( a $ ) .2 « 3 bx. 13. a(x-a)-?.bx~b( ,b—2a—x).x )+a x= ^3+9 . 14. t fx+ bx = {* + a 6 ) s {x 26 ) (*+ 2a ) .

b)+x(b—a)~2b(2n—x). 15. x(<t+b )—3—«(«—2)= 2(x —1)— x(n— b).f - i x + a ) * —a ( a -7 x ) . 16 {m +4 x){3 m tx)=(2 xm )I +m (15x—»i).{n + /;> = —x —<1 l a b ) . 17. a’(< ix )« ,( r í+ l) 5 3(5 x ) / / ( l b ') l n<1 I n)=0.- x ) - b - ( x - b ) = y ( x - b ) . 18. ( a x - b ) 2= ( b x a ) ( a \ x ) - x ,J( b - a ^ )+ a 7+ b h - 2 b ) .t ) ( x -b ) - ( x \ -b ) ( x -2a ) 10 . (x+ b)’¿- ( x - a ) - - ( a + b f = 0 .2 )+: i a . 20. (x+ro>*12wiá= { x m ) ’+2x®.

3—(alx)o{fl1).

9) RESOLUCION DE ECUA CIONES LITER AL ES FRA CCION AR IAS

4 • A L O ÍBR A

( 2) Resolver la ecuación x 13 —2 b ) —1 = x (2 —3 b ) b3.

Ejemplos , „ ^ |oetuae¡ín _i ._2 z| ü I_Ü=1,. !l 2/r) rn3 m

Hoy que suprimir denominadores. El m. c. m. de los dencminodoics es 2m \Dividiendo 2#u= entre codo denominador y multiplicando codo cociente porel numerodor respectivo, tendremos: mx— 2 {3— 3mx|— 2m[ 2 x )— 0.Elecluando losoperaciones indicados: mx— 6-I-óm x <mx 0.

Transponiendo: rnx+ órnx— 4mx= 63mx— 6

Dividiendo por 3: mx= 2?

x = . R.r.n

. •»> r, . a “ 1 ?o(a — 1) 2oI 2 ) Resolver--------------- —„------ - — = : ------------- .

x — a x~ — cr x + a

El m. c. m. de los denominadores es x3— O2= |x+ a}|x— a). Dividiendoxz— cr3 entre coda denominador y multiplicando cada cociente por el numerador respectivo, tendremos: lo — 1 ) | X + O ) — 2a (o — 1 . ) — — 2o| x - a L

Efectuandolasopcrocionesindicados:ox— x+ o3 o -*■2a: -I-2o— — 2ox+ 2o3

Transponiendo: ox — x+ 2ox= — cr3+ o + 2a3— 2a I 2a3.

Reduciendo: 3ox — x= 3a2— o.

Factorandoambosmiembros: x | 3 a — I|= o1 3a— 1J.

Di idi d b i b 13 I | d fi l t

rCUA CION tü FRACCIONARIAS D I IS 8 . GRADO • 2 4 5

: E J E R C I C I O 1 4 4

Resolver la* siguientes ecuaciones:

1 ! ü _ JL 2_ 13 1 _ ;a _ J _____ 1A.

n x mn x

2.a b _ 4 a

14.<x2¿>(2x l a)

x ’ 2 “ x ' (x—a)(a—2¿>+x)

3. x l —x _ 1

lü . x+ m _ n+ x

2a «2 ~ '¿<i x —n m + x ’

4. + — = + 1.X «í X

16. g g g a a ax+yí»

5.o l | 1 _ 3a—2

17.3 / X x \ 1 / x x \ 5a+13/»

a 2 x 4 Vi» o / 3 Vi» a ) + 12a

0.a - x b - x 2(aí>)

18.x + o ( x — i»)2 | 3oi»—3i»2

a 1> ab 3 3x—a 9x—íla

7. 1 X1 C

J £ 1 X

10.;>x ia 5x— b

o2 ai» a 3 x+¿» 3 x —a

8. x+ m x + n _ »n2+ n 2 n20.

x + a x a a ( 2x |a í» )

m n rnti x —a x + a x5—a*

0. *=± = 2 — . 21. 2x—3a 11«» — a 6 x + 4 a “ x 2—16a2

10. 4* o _ 3 22.1 | x 2 x + a

2 o + 6 ' 2 ‘ x + a a 2+ a x a

11.2 a + 3 x _ 2 (6 x « )

23.2 (a + x ) 3(¿»+x) G<¿22 & 2)

x + o 4 x + a i» a a¿>

12.2(x—e) 2x+c

24. .(>/») — v\ _ í ..i J. v\ — »r3 __ i / 'Jnin» ix-b 4(x— b)

T í l E T t ?

ICTE <1 540 16 03 1 Ejle polít ico y ral-enis como pasat iempo Isrori to la» maurde considerártelo como el fundador ddrna. Logró U total liberación do cttaas limitaciones aritméticas, al introducir

la notació n algebraica. Dio las fórm ulas para la so-lución de las ecuaciones da sexto grado. Fue Conse- je ro Priva do do Enrique IV do Fra ncia . Hi*o delAlgebra una ciencia puramente simbólica, y comple-tó el desarrolle do la Trigonometría de Ptolomao.

C A P I T U L O

O B L E M A S S O B R E E C U A C I O N E S F R A C C I O N A R I A S P R I M E R G R A D O

0 ] L a su m a d o Ja t e rce ra y la cu a r t a p a r t e <!e u n n ú m ero eq u iv a l e a l d u |>It» d e l n ú m ero d i sm in u id o en 17. H a l l a r e l n ú m ero .

S ea * = e l n ú m e r o .

T e n d r e m o s : — — la t er c e r a p a r l e d e l n ú m e r o .

x^ = l a c u a r ta p a r t e d e l n ú m e ro .

2.V — d u p lo d el n ú m ero .

De a cu e rd o co n la s co n d ic io n es d e l p ro b lem a ,n d r e m o s la e c u a c ió n : . . . .

R eso lv ien d o : Ix + 3 x = 2 4x 204

■ix I 3 x 24x - 2 0 1

1 7 * = 2 0 4204

? + ~ = 2 x 1 7 .

x = | 7 = 1 2 , e l n ú m e r o b u s c a d o . R.

PROBLEMAS SOBRE E CUAC IO N !! « A CC IO NAR IA S • 2 4 7

m - EJERC ICIO 145

1. H allar e l núm ero que dism inuido en sus equivale a su du plo di i

minuído en 11.

2. H allar el núm ero qu e aum entad o en sus equivale a su triplo dismitundo en 14.

3. ¿Q ué núm ero hay que restar de 22 para q ue la diferencia equivalga i

la mitad de 22 aumentada cu los j del número que se resta?

*1. ¿Cuál es el n úm ero q u e tiene 3 0 de diferencia e nt re sus — y sus

b. El exceso »le un núm ero sobre 17 equivale a la diferencia e n tre los ' y 1del número. Hallar el número.

!’• 1.a sum a de la q u in ta pa rte de u n nú m ero con los •“ del n ú m er o excedo

en 49 al doble de la diferencia en tre y i del número. H al lar e l número.

7. La edad de U es los 4 de la de A , y si ambas edades se suman, la suma

excede en 4 años al dob le de la edad de /¡. H allar am bas edades.

;; H tiene los de lo que tiene A . Si A recibe $‘J0 , enton ces tiene el dob le

de lo que tiene t i ahora. ¿Cuánto tiene cada uno?

I* Después de vender los ~ de un a piezá de tela qu ed an 40 m. ¿Cu.llera la longitud de la pieza?

Después degastar | y ^ de lo que tenía me q ued an 311 bolívares. ¿Cuánto

tenía?

II. El triplo ile mi núm ero excede en 13 al tercio delm ism o nú m cioHallar el número.

i ' El cu ad rup lo tic un n úm ero excede en 19 a la m itad del núm ero alunenlada en 30. Hallai ti número.

¡ El exceso de 30 sobre la m itad «le u n nú m ero equ iva le al exceso di inú m ero sobr’c 10. H alla r el nú m ero.

H allar el núm ero cuvos — excedan a sus — en 2.* n r»

El largo tic un b u q u e qu e es 300 pies exce de en 744 pies a los * dr lancho. Hallar el ancho.

H al la r t res nú m eros enteros consecutivos rales q u e la sum a de los *

de l mayor con los ~ d e l n ú m e r o i n t e rm e d i o e q u i v a lg a a l n ú m e r o

m e n o r d i s m i n u i d o e n 8 .

Sen # = núm ero menor.

Entonces v i l número intermedio.

.V f 2 ; n ú m e r o ma y o r.

L os j¡ de l nú m e ro m a yor s e rá n ^ (x + 2).

L o s ^ d e l n ú m e r o i n t e r m e d i o s e rá n (x + 1 ) .

E l m e n o r d i s m i n u i d o e n 8 será x —8.

D e a c u e rdo c on la s c ond i c ione s de l >¿ 2o b le m a , te n d re m o s la ecu ación : (x + 2) + — (x + 1 ) = x ~ 8.

R eso lv iendo : 2 (x + 2) 2 (x + 1) — —— + — ------ = x 8

13 36 ( x + 2) + 26<x + l ) = 3 9 ( x 8 )6x + 12 I 2Gx + 26 = 39x 312

Cx + 26x —39x = — 12 — 26 — 3 J° —7x — —350

x = 50

Si x = 50, x + 1 —51 y x + 2 —32; luego , los n úm ero s buscados son 50.

y 52. R.

- EJERCICIO 146

1. H allar dos núm eros consecutivos tales q u e los y de l m ayor equivalgan

ai menor disminuido en 4.

2. Hallai dos núm eros consecutivos tales qu e los del m eno r excedan en.1 ^

17 a los y del mayor.

3. H allar dos núm eros consecutivos tales qu e el m enor exceda en 81 a

la dife ren cia en tre los * «leí meno r y los ~ del mayor.

4. Se tiene n dos núm eros consecutivos tales qu e la sum a de — del may or

con ¿ del m enor excede en 8 a los .* del m ayor. H a lla r ios números.

5. La diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 324.Hallar los números.

C. A t iene J1 más qu e U. Si D gaseara SS. te nd ría $4 m enos qu e los * de

lo qu e t iene A . ¿Cuánto tiene cada uno?

7. H oy g añ í SI más q ue ayer, y lo qu e lie ga na do en los dos días cs $25

más que los 2. de lo que gañí ayer. ¿Cuánto gané hoy y cuánto ayer?

8 Hallar tres números consecutivos tales que si el menor se divide entre20. el m edian o en tre 27 >' el m ayor en tre 41 la suma d e los cocientes es 9.

9 H alla r tres nú m eros consecutivos tales q u e la sum a de los — del m enor

con los y del mayor exceda en 31 al del medio.

8 • A L C iexA

r HOH ltMAS ÍC3SE ECUACIONES FACC IONA R IAS • 249

10. Se tienen tres núm eros consecutivos tales qu e la diferen cia en tre lo» —

del m ediano y los — del m eno r excede en 1 a ^ del m ayor. H allar lo»

números.

U . A t iene 2 años m is qu e B y éste 2 año s m ás qu e C. Si las edades de B y C se suman, esta sum a excede en 12 años a los j de *a edad de A.

H a lla r las edades respectiva.».

12. A tie n e 1 a ñ o m e no s q u e B y B 1 año menos que C. Si del cuadrado

de la edad de C se resta el cuadiado de la edad de B la diferencia ti

\ años menos que los ~ de l a edad de A . Hallar las edades respectiva».

( 2221 L a s um a d e dos n úm e ros e s 77 , y s i e l m a yo r s e d i v i de ]>or e l m e n o t ,

e l c oc i e n te e s 2 y e l re s i du o 8 . H a l l a r lo s núm e ros .

S ea x = e l n ú m e r o m a y o r.

E n t onc e s 77 — x = e l nú m e ro nume n .

D e a c ue rdo c on l a s c ond i c i one s de l p rob l e ma , a l d i v i d i r e lm a yor x e n t r e e l m e n or 77 x e l coc ien te es 2 y el res idu o 8 , pe rox í a l d i v i de ndo x l e res tamos e l res iduo 8 , en tonces l a d iv i s ión de x 8 e n t r e 7 7 — x e s e xa c t a y da d e c oc i e n t e 2 ; l uego , t e nd re m os

l u e c u a c i ó n : ____ _______________________

R eso lvien do : x — 8 = 2(77 —x)x 8 = 3 5 4 2 x

3x = 102162

x — ————54, n ú m e ro m a y o r O

S i e l nú m e ro m a yor e s 54, e l m e no r s er á 77 —x = 77 — 54 = 23.Lu ego , los n ú m ero s bu scad os son :74 y 23. R .

EJERCICIO 147

La suma de dos números es 59. y si el mayor se divide por el menor, elcociente es 2 y el residuo 5. H alla r los núm eros.La sum a de dos núm eros es 436. y si el m ayo r sedivide porelinrl cociente es 2 y el residuo 73. Hallar los números.La diferencia de dos números es <14, y si el mayor se divide por el inciior,el cociente es 3 y el residuo 2. Hallar los números.lin número excede a otro en 56. Si el mayor se divide j>or el menor, el

cociente es 3 y el residuo 8. Hallar los números.D ividir 200 en dos partes tales qu e el du p lo de lamayor divididoentreel trip lo de la m enor dé 2 de cociente y 40 de tcsiduo.

ti R ep artir 190 soles en tre A y B «le m od o q u e si los <j¡< «le la p a rt e de A

te dividen entre el quinto «le la de B se obtiene ] de cociente y 10 «le

3) En t res d ías un h o m b re ganó 185 sucres . S i cada d ía ganó los * de

{o q u e g an ó c l d ía an te r io r , ¿cuánto ganó e n c ada u n o d e los tres d ías?

Sea x = lo q u e g an ó el i 1' d ía.

E l d ía ga n ó los 7 d e lo q ue 3.x . , ,• 1 —— = lo q u e g a n o el 29 d ía .

n ó el lrr d ía, o sea los * d e x ; l u e g o y

0 <S A tG CIW A

El 3er d ía gan ó los 7 d e lo q u e gan ó Ox , ,3* 9 . , / ^ = 1 » S U . 8 ^ .6 .1 S ». d i .

2? d í a , o se a lo s d e , • = — i l ue go x■* 4 1

3x OxComo en tre los 3 días ga nó 165 sucres, x + ^"TfT

ndrem os l a ecuac ión : /

R eso lviendo : lCx + I2x + 9x — 296037x = 2960

x = 777 = 80 sucre s,l o q u e g a n o^ e l p r im er d ia . R .

9 u O y C A

E l 29 d ia gan ó : — = ------------ = cu sucres. R.4 4

9x 9 X 80El 3« día ganó: ^ 7 = — — = .«ó sucres . R.

EJERCICIO 148

1. En tres día s un ho m bre gan ó S17.">. Si cada d ía ga nó la m itad de lo (pieganó el dia anterior, ¿cuánto ganó cada dia?

2. El juev es perd í los ~ de lo que perdí cl miércoles y cl viernes los j de lo

que |>cidí el jueves. Si en los tres días perdí S252, ¿cuánto perdi cada día?

3. IS tiene de lo que tiene /I y C | de lo que t iene tiene ¡i. Si cutre los

tres tien en 2 ‘18 sucres, ¿cu ánto tiene cada uno?

. La eda d de II es los de la de A y la de C los de la de J¡. Si las tres

edades suman 73 años, hallar las edades respectivas.

t>. En 4 días u n hom bre recorrió 120 Km . Si cad a dia reco rrió de lo qu e

recorrió el día an terior, ¿cuántos Km recorrió en cada dia?

En cuatro semanas un avión recorrió 4(¡41 Km. Si aula semana recorrió

los — de lo que reco rrió la semana an terio r, ¿cuántos Km reco rrió en

cada semana?

HROOLÍMAS SOBRE ECUAC ION !! FRACCIONARIAS • 2 5 1

7. U na h erencia de 330500 colones se ha repartido en tre cinco pm oin iv

La segunda recibe la m itad de lo qu e recibe la prim era; la tercera | de lo

que recibe la segunda; la cu arta de lo qu e recibe la tercera y la qu inta 1

de lo que recibe la cuarta. ¿Cuánto recibió cada |>en;ona?B. Uu hom bre viajó 9362 Km ¡>or barco, tren y avión . Por tren re co m o

los * de lo qu e recorrió en barco y en avión los de lo qu e reto m ó

en tren . ¿Cuántos Km recorrió de ruda modo?

224 ; A ten ía c i e r ta sum a de d ine ro . G as tó §30 en l ib ros y los de lo t ju r

le tp ieda ba después de l gasto an ter io r en rop a . Si le qu ed an VIO,¿cuán to t en ía a l p r inc ip io?

Sea .v —Jo q u e ten ia a) prin cip io.Después d e ga sta r $30 en l ibros , le qu ed aro n S(x —30).

En r o p a g a stó y d e lo q u e le q u e d a b a , o s ea y (x — 3 0).

Como aún l e quedan $30 , l a d i fe renc ia en t re loq u e le que da ba despu és de l p r im er gasto , x —30, y lo

x 3 0 i ( * 3 0 )q u e g asto en ropa , —(x 30), será igual a $30j luego,

tenemos la ecuación: _ /

3 {x - 30)Resolviendo: x - 3 0 -------------- = 30

4 x —120 — 8{x — 30) = 120Ix 120 3 x I ÍN) — LÍO

4x 3x = .120 I 1*20 90x = 150.

L.uegO, A ten ia al p rin cip io $150. R.

EJERCICIO 149

1. T en ia cierta sum a d e din ero . Gas té $20 y presté los ‘ «le lo qu e me

quedaba. Si ahora tengo $10. ¿cuánto tenia al principio?

Después de gastar la mitad tic lo que tenia y de prestar la mitad de loque me quedó, tengo 21 quetzales. ¿Cuánto tenia al principio?

:: T en g o cierta suma «le dinero. Si m e pagan $7 qu e rae deb en, puedo

gastar los «le mi nuevo cap ital y m e qu ed ara n $20. ¿C uán to tengo aluna?

G asté los ~ d e lo «pie tenia y presté los • «le lo qu e m e qu ed ó. Si aún

teng o 500 I rol i va res, ¿cu ánto tenia al princ ipio?

Los y de las aves de un a granja son palomas; los y del resto gallinas

y las I aves restantes gallos ¿C uán tas aves hay cu la granja?

2 • ALOCORA

o. Gasté los t ic lo qu e tenía; perdí los y de lo que me quedó; se me

perd ieron 8 soles y m e quedé sin nada. ¿Cuánto ten ía al princip io ?

7. T e n ia c ierta suma. Gasté i de lo qu e tenia; cobré S12 qu e me debían

y ahora tengo $2 más que al principio. ¿Cuánto tenia al principio?

8. Después de gastar la m itad de lo qu e ten ia y $15 más, me quedan $30.¿Cuánto tetua al principio?

1). G asté los y «le lo «pie ten ía y después rec ibí 1300 sucres. Si ah ora ten go

100 sucres más que al principio, ¿cuánto tenia al principio?

10. T en ía cierta suma. Gasté los y en trajes y los y de lo q ue me quedó

en libros. Si lo que tengo aliora es $38 m enos que los y de lo qu e tenia

al principio, ¿cuánto tenía al principio?

25 La edad actual de A es la mitad de Ja de B, y hace 10 años la edad

de A era los y de'la edad de B . H a lla r las edades actuales.

Sea x = e«tad actu al d e A .

Si l a edad ac tua l de A os la m i tad de la d e , 2 x ~ edad ac tua l de B .

, la e da d a c t ua l de B e s dob l e de l a de A ; luego.

Hace 10 años , cada l ino t en ia x — 10 = edad d e A hace 10 artos.0 año s m en os q n e ah ora ; luego , __/* 2x 10 = edad d e B hace 10 artos.

S e gún l a s c ond i c i one s de l p rob l e ma , l a e da d de A hace

0 añ os, x —10, «ira los - de l a e da d de B hace 10 años , o

e a j de '¿x —10; luego , t endrem os la ec uac ión : ----------

R e s o lv ie n d o : 7 x 7 0 = c,x 307 x 6 x = 7 0 3 0

x = 4 0 a ñ os, e d a d a c tu a l d e A . R .

2 x = 80 años, ed ad ac tua l de B . R.

26 Hace 10 años La edad de A era los y de la edad que tendrá dentro

de 20 años. H a lla r la edad actual de A.

Sea x —edad actual «le A .

Hace 10 años l aedad «le A era x —10.

D e n t ro de 20 a ños l a e da d de A será x + 20.

x —10 = | ( 2x —10).

¡ • k o h u m a s s o b r e e c u a c i ó n »* f r a c c i o n a r i a i • 253

Según l a s cond ic iones , l a edad de A hace 10 años,

x —.10, e ra los d t: l a eda d q u e t en drá de n t ro d e ‘20 añ os, x — 1 0 y (x

cs dec i r , l o s j de x + 20; l uego , t enem os l a ecuac ión

R esolviendo : 5x ~ 50 —3x + GO

2x = H 0

x = — —= 5 5 a ño s, e d a d a c tu a l d e A . R .

EJERCICIO 150

La edad de A es ~ de la de l i y bate 15 años la edad de A era — de l.i

d e R. H allar las edades actuales.'• La ed ad <le A cs el (rip io de la «le O y dentro de 20 años será el doble.

Hallar las edades actuales.

•* La ed ad de A hace 5 años era losde la edad que tendrá dentro dr f ,

años. Hallar la edad actual de A .Hace (j años la edad de A era la mitad de la edad que tendrá dcnt io de21 años. Hallar la edad actual de A .

La eda d de un h ijo es y de la edad de su padre y d en tro de 10 arto»

será la mitad. Hallar las edades actuales.

1 l« eda d de un hijo es los de la «le su padre y hace 8 años la c«la«l t lrlhijo en» los - de la edad del padre. Hallar las edades actuales.

1.a suma de las edades actuales de A y l i cs 05 años y dentro de lli anm

la edad de li será los — de la de A . Hallar las edades actuales.

La diferencia de las edades de un pa dre y su h ijo es 25 años. Hace |

años la edad «leí hijo era los j de la del padre. Hallar las edades ar.iiialrs

Hace 10 años la edad de un padre era «loblc que la de su hijo y t iendo

de 30 año s la ctlad del pa dr e será los ^ «le la de! h ijo. H a lla r las c<la«lcsactuales.

A t iene 18 años más qu e li. Hace 18 años la edad de A era los • «le la

de li. H alla r las edades actuales.

1 La eda«! de A cs el triplo de la «le B y hace 4 años la suma de ambasedades era igual a la que tendrá li «Icntro de Ifi años. Hallar las edadesactuales.

A t iene do b le d in e ro q u e B . S i A l e da a B 34 sole s, A t en drá los

d e lo q u e te n g a B. ¿ C u á n t o t ie n e c a d a u n o ?Sea .Y= h> q u e t iene ¡i.

En tonces 2x = lo q u e t i e n e A .

Si A l e da a ¡i 31 soles. A se qu ed a co n 2x —31 soles y R t e n d r á e n -

54 •:> Ateta**

Se g ú n l a s c o n d i c i o n e s d e l p r o b l e ma , c u á n d o A le da

B 3 4 so l e s , l o q u e l e q u e d a a A , 2 x — 34 so les, es los ^ 2x —34 = — {*4

e l o q u e t i e n e B , o sea, los y; de * 1 3 4 soles; luego , H

enemos l a ecuac ión

R eso lv ie n d o : 22oc —371 = ¡1* + 1 7 022* — 5* = 374 I170

37*n14g4 4

x = = 32 soles, lo q u e t ie n e B . R.17 n

2*= C4 so le s , l o que t i ene A . R

W EJERCICIO 151

1, A t iene doble dinero que B . Si A le diera a B 20 bolívares, tendría

los — de lo que tendría B. ¿Cu ánto tiene cada uno?

% A t iene la m itad de lo que t iene fí , pero ' i B le da a A 24 tolonei.ambos tendrán lo mismo. ¿Cuánto tiene cada uno?

3. B t iene el doble de lo que t iene A , pero si l( le da a A §6 A tendrá los ~

de lo que le quede a B . ¿Cuánto liene rada non?

■ B tiene Jos 4 de lo que tiene A . Si B le gana a A $30, B tendrá los ydc lo que le quede a A. ¿Cuánto tiene cada uno?

i>. A y ti empiezan a jugar con igual suma de dinero. Cuando A lia per-dido 30 sucres tiene la mitad de lo que tiene /!. ¿Con cuánto empezóa jugar cada uno?

fi. A y fí empiezan a jugar teniendo fí los y de lo q u e tiene A . Cuando fí

ha gan ad o S22 tiene los 4 de lo qu e le qu ed a a A. ¿Con cuánto tmjiezó

a jugar cada uno?

7. A tiene los * de lo que t iene ZJ. Si A gana $13 y fí pierde S5. ambos

tendrían lo mismo. ¿Cuánto tiene cada uno?

K. B t iene la mitad de lo que t iene A . Si B le gana a A una suma igual

a y de lo que tiene A . B tendrá $5 más que A . ¿Cuánto tiene cada uno?

0, A y fí empiezan a jugar con igual suma de dinero. Cuando fí ha perdido

los 2 del dinero con que empezó a jugar, A ha ganado 24 balboas.

¿Con cuánto empezaron a jugar?

JO. A y fí empiezan a jugar con igual suma de dinero. Cuando fí lia perdidolos y de) dinero con que empezó a jugar, lo que ha ganado A es 24 soles

más que la tercera parte de lo que le queda a fí. ¿Con cuánto empezaron

a jugar?

2 2 9 ; L a l o n g i tu d d e u n r e ct án g u l o e x c e d e a l a n c h o e n 8 m . Si c ad a d i -m e n s ió n s e a u m e n t a e u 3 me t ro s , e l á r e a s e a u m e n t a r í a e n 57 m.

H a l l a r l as d im e n s i o n e s d e l r e c tá n g u l o .

Sea x —an i l lo de l r ec tángu lo .

E n t o n ce s x + 8 = lo n g i tu d d e l r ec tá n g u lo .

C o m o e l á r e a d e u n r e c t á n g u l o se , , , , ,. . . . . . . . . , x ( x + 8 ) = á re a d e l r e ctá n g u l o d a do ,

o b t ie n e m u l ti p li c a n d o s u l o n g i tu d p o r s u ' '

a n c h o , t e n d r e mo s : ________ _____ _______ /

S i c a d a d i m e n s i ó n s e a u m e n t a e n 3 m e tr o s , el a n c h o se r á a h o r a x + 3

m e tr os y la lo n g i tu d ( x + R) + 3 = x + l l m e tro s.F.l á rea será ah o ra (x + 3)(x + l l ) m*.

Según las condic iones , es ta nueva superf ic iex l 3) (x + 11) m 3 t ien e 57 m* m ás q u e la su (x + 3)(x + 11) 5 7 = x{x + 8).

p e rf ic ic del r e c tá n g u lo d a d o x(x + R): lu ego , se

i ene l a ecuac ión! _________________ Z 1

R e so l v ie n d o : x 4 + l l x + 3 3 ~ 57 = x 1 + 8 xH x 8x = 57 33

Gx = 24

x = 4 n i. a n c h o d e l r e c tá n g u l o d a d o R .x + 8 = 12 m , l o n g i t u d d e l r e c t á n g u l o d a d o . R .

m - EJERCICIO 1531. La lon gitud d e u n rectáng ulo excede al ancho en 3 m. Si cada dim en-

sión se aum enta en 1 m la superficie se aum enta en 22 n»9. H allar lasdimensiones del rectángulo.

2 U na de las dim ensiones de un a sala rectan gu lar es el do ble d e la otra.Si cada dimensión se aumenta en 5 ni el área se aumentaría en 180 ma.Hallar las dimensiones del rectángulo.

3. U na dim ensión de un rectángulo excede a la otra en 2 ut. Si ambasdimen siones se disminuyen en m el área se dism inuye en 115 m: .Hallar las dimensiones del rectángulo.

4. L a long itud de un rectángulo excede en 24 m al lado del cuad radoequivalente al rectángulo y su ancho es 12 m tnehos que el lado de dichocuadrado. Hallar las dimensiones del rectángulo.

5. La lon gitud de u n rectángu lo es 7 m m ayor y su anch o G m m enorq ue el latió del cuadrado eq uivalente al rectángulo. H alla r las dim en -siones del rectángulo.

G, La lon gitud de u n canqro rectang ular excede a su an cho en 30 m Sila longitud se disminuye en 20 m y el ancho se aumenta en 15 m. elárea se disminuye en 150 m9. Hallar las dimensiones del rectángulo.

7 La lon gitu d d e un a sala excede a. su an ch o en 10 m. Si la long itud sedism inuye en 2 y el anch o se au m en ta en 1 m el área no varia.Hallar las dimensiones de la sala.

5 6 ® A IS C H K A

230: E l denominador de una fracción excede al uum eiador en 5. Si el de

PROP-LCMAS SOBRE ECUACIONES fSAC CIO NA BIA í 0 2 5 7

n o m in a d o r s e au m en ta en 7 , e l v a lo r d e l a fr acc ió n e s 4% H a l l a r la

fracción.

Sea x — n u m e r a d o r d e la f ra c ció n .C o m o e l d e n o m i n a d o r e x c e d e a l n u m e r a d o r e n 5 : x I 5 den om ina

d o r d e l a f r acc ió n . x

La fracció n será, ñ o r lo tan to, —.x + 5

Seg ú n la s co n d ic io n es , si e l d e n o m in ad o r d e e s t a fr acc ió n se

a u m en ta en 7, la f racción equ iva le a ‘ ; luego, ten dre m os la v , ,, , ;

e c u a c i ó n : ----------------------- -- ------------------------------------------ — - s

R eso lv ien d o: — — = — x + 1 2 2

2 x ~ x 4 \'¿

x = 12 , n u m erad o r d e la tr acció n .

x + 5 —17. d e n o m in ad o r d e la f racció n .

L ueg o, la f racción buscada es R.

Wb EJERCICIO 154

1. El nu m erad or de una fracción excede al den om inad or en 2. Si el den o-

minador se aumenta cu 7 el valor de la fracción es 4 Hallar la irauión

2. El de no m ina do r d e un a fracción excede al num erad or en 1. Si el deno

m inad or se aum en ta en 15. el valor de la fracción es 4 H allar la l la m ó n«I

3. El num erad or de una fracción et 8 unidades menor qu e el denom inado'

Si a los dos términos de la fracción se suma 1 el valor de la fracción <>

Hallar la tracción.4. El den om inado r de una fracción excede al dup lo del num erador n i l .

Si al nu m erad or se resta 4. el valo r de la fracción es —. H a llar la íran ió n3

> Iil denominador de una fracción excede al duplo «leí numerador en (•Si el numerador se aumenta en 15 y el denominador se disminuye' en I.

el va lor de la fracción es H alla r la fracción.!!0. El den om inad or de un a fracción excede al nu m erad or en 1. Si al deno -

minador se añade ■!, la fracción que resulta e:s 2 unidades menor <|"r

el triplo de la fracción primitiva. Hallar la fracción.7 El deno m inador de una ír a o ió n es I menos que el triplo «leí num erador.Si el num erador se aum enta e n 8 y el de nom inador en 4 el valor de la

fracción es H allar la fracción.

It El d d f ió d l d i d 22 Si l ilit

31 ' I i c i f r a de las de c e na s de u n nú m e ro d e dos ci fr a s e xc e de e n 3 a la

— ci fra d e Las u nid ad es , y s i e l n úm ero se d ivide |>or la sum a «le sus ei f i :c oc i e n t e es 7 . H a l l a r c l núm e ro .

Sea x ~ la cifra de las unidades.

E n t o n c e s x I 3 —la cifra d e las dece nas.

E l núme ro s e ob t i e ne mu l t i p l i c a ndo po r 10 l a c i f r a de l a s de c e na s yumándole l a c i f ra de L i s un idades ; luego:

10(.v + 3) + x — 10* + 30 + x = l l x + 30 = c l n ú m e r o .

S e g ú n la s c o n d ic io n e s , c l n ú m e r o l l x + 30 d i v i d id o p o r la l l x + 30um a d e sus c if ras , o sea p or x + x + 3 = 2x + 8 , da de co c ien te 7 : 2 :7+ 3uego , t enemos l a ecuac ión : ______

R e so lv ie n d o: l l x + 30 = 14x + 21l l x —14.v = —30 + 21

3x = 0x = 3 , la c i f ra de la s un idades .

x + 3 = 6. la c i f ra de las decenas .

L ueg o , e l nú m ero busc ado es 03. R.

• EJERCICIO 1551. La cifra d e las dec enas de u n nú m ero «le «los cifras excede a la cilra de

las unid ad es en 2 Si el nú m ero se d iv ide en tre la sum a «I<; sus cifras,el cociente es 7. Hallar el número.

2. La cif ra «le lasun ida de s d« u n nú m ero «le dos cifras excede en 4 a iacifra«le las decenas ysi el núm ero se divide po r la sum a de suscifras elcociente es f. Hallar cl número.

3. La «¡fia «le las decena s de u n n úm ero de dos cifras os el d u p lo de lacifra «le las un ida de s y si cl n úm ero, d ism inu ido en í), se div ide po r la

suma de sus cifras el cociente es tí . Hallar cl número.La cifra de las decenas de un número de dos cifras excede en | a la cifrade las unidades. Si el número se multiplica por 3 este producto equivalea 21 veces la sum a «le sus cifras. H a lla r cl núm ero.

5 La suma de la cifra de las decenas y la cifra de las un ida de s «le un nú m erode dos cifras es 7. Si el número, aumentado cu 8. se divide |X>r el duplode la cifra de las decenas cl cociente os tí. Hallar el número.

La cifra de las decenas de uu número «le dos cifras excede en 2 a la cifrade las unidades y el número excedo en 27 a ]fl veces la cifra de las uni-dades. Hallar el número.

7 La cilra de las decenas «le un nú m ero de dos cifras es el d u p lo de la cifrade las unidades, y si el número disminuido en 4 se divide por la diferen-cia entre la cifra de las decenas y la cifra de las unidades el cocientees 20. Hallar cl número.

58 O ALCtBKA

m o u i i m a s s o ue e r c U A c i o c t t s f r a c c i o n a r í a s 259

2 32 } A p u e d e h a c e r u n a o b r a e n 3 d ía s y li e n 5 d ía s. ¿ E n c u á n t o t ie m p o p u e d e n h a c e r la o b ra tra b a ja n d o lo s d o s ju n to s?

Sea .v e l n l imero de d ías que l a rdar ían en hacer Ja obra t raba jando

los dos jun tos .

Si en x d ías los r íos ju n to s hacen toda Ja ob ra , en i d ía l i a rán dela obra.

A , t r a ba j a n do s o l a ha c e la ob ra e n 3 d i a s; l ue go, e n un d í a ha c e 1 (li-la obra .

15, t ra b a ja n d o solo, l ince la o b ra e n 5 días; lueg o, en u n d ía l iacc ! ch-ía obra .

L o s d o s j u n t o s lia rá n e n u n d ía l j ) d e la o b r a ; p e r o i

i oí no en un d ía los dos hace n — d e l a o bra , t endremo s :

Resolv iendo:

EJERCICIO 156

5x l 3x — 15«x 1 5

15 , 7 i¿x = • = 1 ~ d ía s.8 8

A puede hacer una obra en 3 dias y P en (¡ dias. ¿En cuánto tiimpu pueden h a « r la obra los dos trab a ja n d o ju m os?tilla llave puede llenar un depósito Cu lt) minutos y otra en 2() ntinuu»

¿En cuánto t iempo pueden l lenar el depósito las dos l laves jumav' A puede hacer una obra en 1 día s, P en ó días y C en 12 dia s. ¿En cu.’miitiempo pueden hacer la obra los tres juntos?

A puede hacer una o b ra cu l ~ días, P en <> días y C cu 2~ días. I n

cuánto tiempo liarán la obra los tres juntos?Una llave pued e llenat un dep ósito en "> m inutos, m ía en G m immotra en 12 minutos. ¿En cuánto lirmjio llenarán el depósito bn u>llaves abiertas al misino tiempo?Una llave pued e llenar un d epósito en I m inutos, otra llave en 8 m im u..

y un desagüe puede variarlo, estando l leno, cu 20 minutos. ;En mantot¡cni|>o sé llenará el depósito, si estando vacio y abierto el dc'.tginabren las dos llaves?

23 3j ¿A q u é ho nt en t re las 4 y las 5 es tán o pues taslas agujas del reloj?

En los problemas sobre e l re lo j , e l a lumno debelt.it e i s iem pre un gráf ico com o el ad jun to.

Eli el gráfico está representada la posición delle nai io y e l m inu tero a las 4 . D espué s rep rese nta-m os la pos ición i lc am bas agujas cu an do es tán «p uestas . e l horar io en C y el m i nu t e ro e n D.

0 • a l c i l r a

M ient ras el m in u ter o da un a vu e l ta com ple ta a l re lo j , (¡ü d iv is ionesm inu to , e l h ora r io avanza de u na ho ra a la s igu ien te , 5 d iv i s iones de

nu to , o sea — d e lo q u e h a r eco r r id o e l m in u te ro ; lu eg o , e l h o ra r io

anza s iem pre de las d iv i siones qu e avanza e l m inu tero .S ea x el n ú m e r o d e div is io n es d e 1 m i n u t o d e l a r co A B C D q u e h a

co r r id o e l m in u te ro h as t a e sta r o p u es to a l h o ra r io .

E n t o n c e s L = n ú m e r o d e d i v is io n e s d e 1 m i n u t o d e l t u c o B C que l i a

corr ido e l horar io .

E n la f igu ra 20 se ve q u e el a rco A B C D — x equivale a l

co A B — 20 d iv is iones de J m inu to , tn:5s e l arc o B C = ^ , un ís x _

a rco C ¿> 3 0 d iv i s io n es d e 1 m in u to ; lu eg o , t en d rem o s lau ac ió n : --------------------------------------------------- /

20 + — + 30.

Reso lv iendo : x = 50 I-----

1212x = 600 + .vl l x = G<X)

W r , 6 . . . .x = — = 5 1— d iv is io n es d e 1 m in u to .

Luego, entre las '1 y las 5 las maneci l las del re lo j es tán opuestas a las

)' m in u to s . R .* ■

4J ¿A q u é h o r a , e n t r e l a s 5 y las 6 , las agujas del re lo j forman ángulo

recto?

Entre las á y las (¡ las agujas es tán en ángulo recto en 2 posiciones:i, an tes d e q u e e l m inu tero pase sobre e l horar io , y o t ra , después .

1 ) A n t e s d e q u e e l m i n u t e r o p a s e s o b re e l h o -rar io .

A las 5 el ho rar io es tá e n C y e l m i n u t e r o e n A . Rep resen t em o s l a p o s i c ió n en q u e fo rm an án g u lorec to an t e s d e p asa r el m in u te ro so b re e l h o ra r io : elm i n u te r o e n B y e l h o ra r io en I ) {figura 21).

Sea x = cl arc o A B q u e h a re c o r r i d o el m i n u t e -

ro : en to n ces ~ = e l a rco C U q u e h a r e c o r ri d o el h o -rario .

r iCUB A 21

PJtOOtEMAS JORRI tCUAClOWtS IRAC CIO NA I IIA l 9 2 6 1

Kn l . i f igura adjunta se ve que: arco A B + a rc o 1 1 1 )

a rco A C a r c o C D , p e r o r u c o A H - x , a rco B D — 3:1, a rco. . . . ¿ x A lf> • 2¡W*

A C — 25 y a rco ( A ) = ~ - , luego: ------------- — ^

Re solviendo: 12x + 380 = 300 + x

W x - m120 10 . . . . , , .

x = - j y = 10— divis iones de 1 minuto .

L ue go , es ta rán en án gu lo rec to p o r pr im era vez a las 5 y 10•’ un

mitos. R.

2 ) D e s pu é s q u e e l m i n u t e r o h a p a sa d o s o b r e

e l h o r a r io . A j

A las 5 el ho rar io es tá en B y el m i n u t e r o e n A .

Después de pasa r el m inu te ro sobre el ho ra r io , ru an -

do fo rman ángu lo rec io , e l ho ra r io e s t á en C y el

m i n u t e r o e n D .

Sea .v = e l a rco A B C D q u e h a r e c o r r id o e l m i n u -

ta n ; y. = e l a rc o BC que ha recor r ido e l ho ra r io .

F.n la lignra se ve <pic: arco A B C D — a rco A B +a rco BC I arco C D . o sea.

x = 25+ — + 15.12

FIGURA J :

R esolviendo: 12x = 800 + x + 1 8 01 l.v = 180

480 ix — ^ 4 3 — d iv is io ne s d e 1 in m u to .

Luego , fo rmarán ángu lo rec to por segunda vez a l a s 5 y 43 mi-

nu tos . R .

> E JERC IC IO 157

. ¿A qu é hora, en tre la I y las 2. están opuestas las ag ujas del reloj?;A quéhoras, entre las 10 y Jas 11, las ag ujas de l reloj form an á ng ulorecio?

¿A qu é ho ra, en tre las 8 y las 9, están op ue stas las agu jas del reloj?,,\ qu é ho ra, en tre lar, 12 y la 1, están op uestas las agu jas del reloj?,A qu é hura, cu tre las 2 y las 3. form an án gu lo recto las agujas delreloj?

fl ¿A q ué lim a, en tre las 1 y la» 0 , co inciden las aguja s de l reloj?

¿A q u e ho ras, en tre las <¡ y las 7, las ag uja s de l reloj fo rm an án gu lo recio?. ¿A q u é ho ra , en tre las 10 y las 11, coincide» las agu jas d el reloj?

9. ¿A q u é ho ra, en tre las 7 y las 7 y 30, están en án gu lo rec to las agujas

del reloj?0. ¿A qué h ora , entr e las 3 y las 4, el m inu tero dista exactam ente & divi-siones del horario, después de haberlo pasado?

i . ¿A qu é horas, en tre las 8 y las 9, el m inu tero d ista exa ctam ente delh o ra rio 1U divisiones?

EJERCICIO 158

MlSCELANCASOBRE PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN POR ECUACIONES DE 1»> GRADO

1. La diferen cia de dos números c í C y la mitad del mayor excede en 10a los — del menor. Hallar los números.M

2. A tenía $120 y ¿1 SOI). Después que A le dio a fí cierta suma, f í tiene los

de lo que le queda a A . ¿Cuánto le dio A a f í ?

3. Un nú m ero se au m en tó en 0 unidades: esta suma se div idió én tre 8:al cociente se le sumó 5 y esta nueva suma se dividió entre 2, obteniendo■1 de cociente. H allar el número.

4 Se ha r ep artid o u na herencia de 48000 soles entre dos person as de modo

qu e la p arte de la que recibió menos equivale a los y de la pa ne dela persona favorecida. Hallar la parte de cada uno.

!>. D ivid ir 84 en dos pa rtes tales que ~ de la parte mayor equivalga a |

dc la menor.<]. D ivid ir 120 en do s pa rtes tales qu e la menor sea a la m ayo r com o 3

es a 5.7, U n h om bre gasta la m itad de su sueldo mensual en el a lqu iler de la

casa y alimentación de su familia y ~ del sueldo en otros gastos. Al

cabo de 15 meses ha ahorrarlo 5300. ¿Cuál es su sueldo mensual?3. U n ho m bre gastó * de lo qu e tenia en ropa: en libros; prestó 5102

a un am igo y se qued ó sin natía. ¿C uán to gastó en ropa y cuá nto enlibios?

La edad de f í es de la de A y la de C ^ de la de fí. Si entre los ties

tienen 25 años, ¿cuál es la edad de cada uno?Hl Vendí u n auto m óvil po r 8000 I «olivares más la tercera p ar te de lo qu e

me había costado, y en esta operación gané 20<X) bolívares. ¿Cuánto me

había costado el auto?Compré cierto número tle libros a 2 por $5 y los vendí a 2 por $7,ganando en esta operación 58. ¿Cuántos libros compré?

2 Co m pré cierto núm ero de libros a 4 por 53 y un nú m ero de libros igual

a los de l nú m ero de libros an terio r a 10 por 57 Ve ndiéndolos todos

M l iC E L A N lA O t PR OftL CM Al • 2 6 3

¡ ¿, D ividir 150 en cu au o parte», tales que la segunda sea los ~ de la pu

me ra; la tercera los i de la segun da y la cu arta j de la tercera,

j. ; ¿A qué hora , en tr e las 9 y las 10 coincid en las agujas del reloj?

A es 10 años m ayor q ue li y hace 15 años la edad tic li cí a los ’ de lade A . Hallar las edades actuales.

10. A y /I trabajando junte» hacen una obra en C dias. H solo puede hacerlaen 10 «lías, ¿En cuántos dias puede hacerla A i

17. D ivid ir (150 en dos pa rte s tales que si la m ayor se d iv ide en tre fi y lamenor se disminuye en 50, los. resultados son iguales.

y La edad actual de A es j de la de H; hace 10 años era ^¡. Hallar l.o

edades actuales.

i H all ar dos núm eros consecutivos tales qu e la dilcrcn cia de sus cuadradosexceda en 43 a — del número menor.

>q . Un capataz contrata un obrero ofreciéndole un sueldo anual tic 3000sucres y ruta so rtija. Al ca bo d e 7 meses el ob rero es de spe did o y recibe1500 sucres y la sortija. ¿Cuál era cl valor de la sortija?

•_;j. U na sum a de 5120 se rep arte po r partes iguales en tre c ierto nú m ero di

personas. Si el núm ero de personas hubiera sido — más de las que hulua,

cada persona hubiera recibido %'¿ menos. ¿Entre cuántas personasrepartió cl dinero?

••> Un hombre compró cierto número de libros por $400. Si hubiera mm p rado ' más del núm ero de libros que com pró po r el mismo din ero

cada libro le habría costado $2 menos. ¿Cuántos libros compró y tuánti. pagó p o r cada uno?

'.M Se ha r epar tido cie rta suma cn ue A , li y C. A recibió 530 menos qm

la mitad de la suma: H S20 más que los ^ " " n a y C cl resto, que

era n $30. ¿Cu ánto recibieron 3 y fi!

■>/, C om pré cierto n úm ero de libros a 5 libros po r Jl>. Me qu ed é con '

de los libros y vendiendo el resto a 4 libros por $<| gané $9. ¿Cuántmlibros compré?

Un hom bre dejó la m itad de su for tuna a sus hijos; — a sus herma| ^

nos; — a un amigo y el resto, qu e e ran 2500 colones, a u n asilo. ¿Cuál

era su fortuna?

i l 'n pa dre de fam ilia gas ta los * «le su sueld o an ua l en atencio nes de1 1

su casa; en ropa , en pasqos y ah or ra 610 balb oas al añ o. ¿Cuál es

m sueldo anual?: ¡ U n ho inh ic gastó cl añ o antep asado los de sus ahorros; el añ o pasado

j- «le sus ahorros iniciales; este año — de le» que le «juedaha y aún tiene

$100. ¿A cuánto ascendían sus ahorros?

2!j. Dividir bGU cu dos panes, ules que la diferencia entre la pane menor

y los * d e la m ayor equivalga a la diferencia en tre la p ait e m ayor y los jf

de la menor.

21). .Se lia le p a itid o cierta sum a en tre A , B y C. A recibió .>15; B tanto

como A más los de lo que recibió C y C tanto como A y B juntos?•1

¿Cuál fue la suma repartida?

30 T en go $9.<¡0 en pesos, piezas de20 centavos y 10 centavos re sp etiv a-

mente. II número de piezas de 20 centavos es los -- del número «le [xrsos

y el nú m ero «le piezas de 10 centavos es los del nú m ero de piezas de

20 centavos. ¿Cuántas monedas de cada dase tengo?

31. Un comerciante perd ió el prim er añ o de su capital ; el segundo añoganó una can tidad igual a los ^ de lo que le que dab a: el tercer año

ganó los «le lo que tenía al terminar el segundo año y entonces tiene

13312 quetzales. ¿Cuál era .mi capital primitivo?

32. A y H tienen la misma edad. Si A tuviera 10 años menos y B 5 anos

más. la edad de A sería los ~ «le la do B . lIallar la edad de A.

33. Un com andante cl»S|>one sus tropas loi m an do u n i aladrado y ve quele quedan fuera 36 hombres. Entonces pone un hombre más en cada

lado del cuadrado y ve que le fallan 75 hombres para completa) c!cuad rado. ¿Cuántos hom bres había en el latió del prim er cuadradoy cuántos hombres hay en la tropa?

34. Gaste los de lo q ue tenía y 520 más y me qu edé con lacuarta parte

de lo que tenía y SlG más. ¿Cuánto tenía?

35. A empieza a jugar con cierta suma. Primero ganó una cantidad iguala lo que tenia al empezar a jugar; después perdió 60 lempiras: más tarde

perd ió — «le lo qu e le quedaba y perd ie ndo nuevam ente un a can tidad

igual a los — del din ero con que empezó a jugar, se que dó sin nada.¿Con cuánto empezó a jugar?

36. Un número de dos cilras excede en 18 a seis veces la suma de suscifras. .Si la cifra «le tas decenas excede en 5 a la cifra «le las unidades,¿cuál es el número?

3V la sum a d e las cifras de u n nú m ero m en or qu e IÜU es !). Si al núm er ose le resta 27 las cifras se invierten. Hallar el número.

33. En un puesto «le frutas había cierto nú m ero de mangos. Un d ien te com-

p ró i de los mangos que había más 1 mangos; o tro c lien te com pró

de l«« que «picdabau y (¡ más, un tercer cliente compró la mitad de ]<»sque «ptedaban y 9 níás, y se acabaron los mangos. ¿Cuántos mangoshabía en el puesto?

311. A tenia >8(1 y B $50. Ambos ganaron igual suma de dinero y ahora B

64 © ALGtBMA

Co m pré una plum afucn tc y un lapicero, pagan do po r éste los de lo

que pagué por la pluma. Si la pluma me hubiera «oslado 20 cis. tneno»

y el lapicero 30 cts. más, el prec io d el lapicero ha b ría sido le» ‘ del

pre cio de la p lum a. ¿C uánto costó la p lum a y cuán to el lapicero?

El lunes gasté la mitad de lo que tenía y $2 más; el martes la mitad delo que me quedaba y $2 más; el miércoles la mitad de lo que me qu»daba y $2 más y me quedé sin nada. ¿Cuánto tenia el lunes ante» d«gastar nadar

Un h om bre ganó el pr im er año de sus negocios un a can tidad igual •la mitad del capital con que empezó sus negocios y gastó SGUOU. el2V añ o ganó una can tidad igual a la mitad de lo que tenia y sciiató5GU00 para gastos; el añ o g an ó u n a ca nt idad igu al a la m itad ele l<>

que tenia y separó $GOUO pata gastos. Si su capital es entona;» de $32250,¿cuál era su capital primitivo?

Un hombre compró un bastón, un sombrero y un naje. Por el bastón

pagó SI 3. El som bre ro y el bastó n le costa ron los del precio del tia jc

y el traje y ct bastón $5 más que el doble del sombrero. ¿Cuánto Ircostó cada cosa?

Un conejo es perseguido por un perro. El conejo lleva una vcnt. i | . iinicial de 50 de sus saltos al perro. El conejo da ñ saltos tuicnli.is ■I| ierro da 2. pero el perro en 3 saltos avanza tamo como el «enejo en8 saltos. ¿Cuántos saltos debe dar el perro para alcanzar al conejo?

Una liebre lleva una v en taja inicial d e GÜ de sus saltos a u n pe rro I iliebre da 4 saltos mientras el perro da 3, pero el jicrTO en 5 saltos aval»/ ■tanto como la liebre en 8. ¿Cuántos saltos debe dar el perro para aleanzar a la liebre?

¿A q ué ho ra, en tre las 10 y las 11. está el m in u te ro e xa ctam en te a «;minutos del horario?

A y B em prenden un negocio apor tando B los j del capital que aporta .1.

El primer año A p ierde i de su capita l y B gana 3000 bollvare»; el

segundo año A gana ÍGOO bolívares y B pie rde — de su c ap ita l. Si al li li <1d e l se g u n d o a ñ o ambos sucios tiene s» el mismo d inero, ¿con c uán to cm p rend ió rada uno el negocio?

Un padre tiene 60 años y sus dos hijos lf> y H años. ¿Dentro tic cuántosaños la cdatl del padre será igual a la suma de las edades de los hijos?

Un hombre que está en una ciudad dispone de 12 horas libres. ¿Quédistancia podrá recorrer hacia el campo en un auto que va a 50 Km por ho ra si el v ia je de vuelta debe hacerlo en u n caballo que anda10 Km |>or hora?

Compré un caballo, un perro y un buey. El buey me costó $80. El perro y el buey me costa ro n el doble que el caballo y el caballo y rlImey me cottaron GJ veces lo que el perro. ¿Cuánto me costó el caballoy cuánto el jx tT O ?

MISCIUCNCA D I PRODLIMAS • 2 6 5

6 • ALGÍ B R A

51 PROBLEM A DE LOS MOVILES

FIGURA i i

Sean los móviles mí y m ' a n im a dos de m ov im ie n to un i f o r m e , e s de c i r ,u e la ve loc idad de cada u n o es con s tan te , los cua les se mu eve n en la mis-a d i recc ión y en e l mismo sen t ido , de izquie rda a de recha , como ind ican

s Hechas.S upone m os que c l m óv i l v i pa sa po r c l pun to A en e l mismo ins tan te

n que c l móvi l mi ' pasa por c l punto B . Des ignem os p o r « la d is tanc ia

t r e e l p u n t o A y c l p u n t o lí.

Sea V Ja velocidad del móvil m í y t>' la velocidad del móvil mí ' y su-

o ngam os q u e v > v ' .

S e t r a t a de ha l l a r a qu é d i st a nc ia de l p u n to A e l m óv i l m a lc a nza n i

móvi l m ' .

S ea e l p u m o F el pu n to de e n c u e n t r o de lo s m óv i le s . L la m e m o s x

la d is tanc ia de l punto A al pl into F. (que es lo que se busca) ; entonces

d i s t a nc ia de l pun to B a l pun to F. será x — a.

El móvil m i pasa p o r A e n e l m ism o ins t a n te e n que tu ' pasa p o r 1>

mí alcanza a m ‘ e n F: l ue go , e s e v ide n te que e l t i e m po que e m ple a e l

óvil mí en ir desde A hasta E e s igua l a l t iempo que emplea e l móvi l mi '

n i r de sde B hasta E. C om o c l m ov im ie n to d e lo s m óv i le s e s un if o r m e ,

t iempo es igual a l espacio par t ido por la velocidad; luego:

Kl t iempo empleado por e l móvi l ni en i r desde A hasta L será igual

espa cio qu e t ie ne qu e r e c o r r e r x pa r t ido po r su ve loc ida d v , o sea

E l t i e m po e m ple a do po r c l m óv i l m ' en i r desde B has-F. se rá igua l a l e spac io q u e t iene qu e reco r re r x — a par * x ~~ a

do por su velocidad </. o sea ‘J-. Pe ro , según se d i jo v v '

ntes , e s tos t iem po s son iguales ; luego , tenem os la ecuac ión : / ’

Resolv iendo: v 'x — v(x — «)

v 'x — vx — a v

P S0 8L E M A DE I O S M O V I U 5 • 2 6 7

Cambiando s ignos a todos los t é rminos : vx — v 'x — av

x(v — v ‘) — av av

f ó r mu l a q u e d a J a d i s t a n c i a d e l p u n t o A a l p u n t o d e e n c u e n t r o E e n f u n -c ión de a. l a d i s t anc ia en t re A y II, cant idad conocida )• de las velocidades v y v ’ de los móviles, también conocidas.

DISCUSION

L a d i scus ión de e s ta fó rm ula cons is te en sabe r q u é va lo res

ton ta x de acu e rdo con los va lo re s de a, x>y r / en cuya func ión v iene dada aConsideraremos c inco casos , observando la f igura :

) I I . El nu m erad or a v e s pos it ivo y c) de no m inad or v — v ' es p o sitiv o p o r ser e l m in u e n d o v ma y o r q u e e l su s t r a e n d o v ' ; luego, .v es posi t i va, lo q u e significa que: el m óv il m a lcanza al móvil m ’ e n u n p u n t os i tuado a l a de recha de ¡i.

") I ' • l ’ El nu m era d or av es pos i ti vo y e l de no m inad or v — v' esn e g a t i v o p o r s e t e l mi n u e n d o v me n o r q u e e l su s t r a e n d o v '\ luego, x es nr

ga tiva, l o q u e s ign if ica qu e los iB ióv iles.sí se enco n t ra r o n /u ce n un p un to s i-tuad o a l a i zqu ie rda de A , y a par t i r de ese momento , como la ve loc idad «Ir

m es m eno r q u e la de m ' , é ste se ap a r tó cada vez m ás de m , hallándoseahora a un a d i s tanc ia a d e é l , d i s t a n c i a q u e c o n t i n u a r á a u me n t a n d o .

:.) V - l ". I .a fó rm ula x — ü< se c on v ie rte e n x = 4 , = » , lo que. . v - v 0

signif ica que los móviles se encuentran en el infini to; asi se expresa el l i<<l io de mantenerse s iempre a la misma dis tanc ia a, ya que la ve loc idad de tues igua l a la ve loc idad de m ‘,

) F i" y « o. 1.a fó rm ula se co nv ierte en x = = — = v a lo r

v — v üi n d e t e r mi n a d o , l o q u e s i g n i f i c a q u e l a d i s t a n c i a d e l p u n t o A a l p u n t o d ee n c u e n t ro es c u a l q u i e ra . En e fe c to , s i e n d o n = 0 , los p o n t o s A y II co inc i-den; luego, los móvi les es tán juntos y como sus ve loc idades son igua les , ac u a l q u i e r d i s ta n c ia d e A e s t a rán jun tos .

: ) I e , n eg ativ a. (El m ó v il m ' va de derecha a izquierda) . La lór. ux> av

ín u la se c o n v ie rte e n x — = . E l n u m e r ad o r es p ositiv o yv —( w ) v - \ - v 1

el d e n o m i n a d o r t a m b i é n ; l u e g o x es p o s itiv a , p e r o m e n o r q u e a.

En efec to : L a f racción —— r, q u e es e l va lor d e x , puede escr ib i rsev \ v *

<i( — ) . d o n d e e l f ac to r e s u n a f ra cc ió n m e n o r q u e 1 p o r teV v I v f v + v 1 1

n c r e l n u me r a d o r me n o r q u e e l d e n o mi n a d o r y a l mu l t i p l i c a r a p o r u n a

6 8 0 ALGEMA

a n t id a d m e n o r q u e 1, el p r o d u c t o s erá m e n o r q u e a . Q u e x es positivam e n o r q u e a s ign i f i c a que lo s m óv i l e s se e nc ue n t r a n e n un pun to s im a -

o a la de recha de A y q u e e s t e p u n t o d i s t a d e A u n a d i s t a n c i a m e n o r

u e a, o se a, q u e e l p u n t o d e e n c u e n t ro s e h a l la e n t re A y B .

S i e n la h i p ó te s is d e q u e r / c s n eg a ^ ^ w

v a s u p o n e m o s q u e v - v ‘, la fórm ula se con = v + v ~ "iv ~ 2ie rte e n ' ;

sea , q u e e l p u n t o d e e n c u e n t ro es p r e ci sa m e n t e e l p t i n t o m e d i o d e la

nea A B .

35) A P L IC A C I ON PRACT IC A DEL P ROB LEMA DE LOS MOV IL ES

Ejemplos

í • ) Un ouloque vo o ¿0 Km por hora pasa por el punto A en el mismo instanteen que o l io auto qué va a <10Km por hora paso por el punto 0, situadoa la derecho de A y que dista de A GÜ Km. Ambos siguen lo misma dirección y van en el mismo sentido. ¿A qué distancia de A se encontrarán?

Lo fórmula es x= .En este coso ^ _ 8° x ¿0= i f 2 ? = ^ ^

O— 80 Km, v— ó0 Km por hora, - 60— 40 20v-= 40 Km por hora, luego: -------- x

Luegoseencontraránen un puntosituado a 240Ktna la derecha deA. R.

Para hallar el tiempo que tardan en encontróue no hoymás que dividir el ospocio porlo velocidad. Si el punto de encuentro está 240 Km ^a 240 Km de A y el outo que consideremos ¿q ^ ^

en A iba a 60 Km por Ivora, po ta oleonzar , al otro necesita: --------- ----------

í 2-1 Un ñutoposa por la ciudad A hacio lo ciudod Bo 40 Km por hora y en elmismo instante otro auto poso por B hacia A o 35 Kmpor hora, lo distancia entre A y B es 3>30 Km. jA qué distancia de A yB se encontroránycuánto tiempo después del instante do pasar por ellos?En esto coso o ~ 303 Km, y— 40Km par hora, v ‘ = 35 Km por hoto ycomo van uno hacia el otro, v' os negativo, luego-

av av 3 00X40 12000

x— -----------------

= ---------

= --------------

= ----------

= 160 Kmv - ( - v ' ) v - l - v 40+ 35 75

Se encuentra a 160 Km de la c iudod A. R.Lo distancia del punto de encuentro o la ciudad B será 300 Km— 160 Km= 140 Km. R.

PROBLEMA DE LOS MOVILES • 269

Uil cor redor que par te de A da una venta ja de 30 ni a ot ro que jwHcde B. El lí* hace 8 tn por segundo y el '¿f 5 ni por scg. ¿A qué «I»*.t a n d a d e A se encontrarán?

2. Dos auto s par len de A y B distantes en tre si 16ü Km y van u no liadael otro. El que parte de A va a 50 K.tn por hora y el que parte de /•'a 30 Km por hora. ¿A que distancia de A se encontrarán?

;; U n tren qu e va a !)0 Km po r ho ra pasa por A en el mismo instanteen qu e otro qu e va a 40 Km pasa po r B, viniendo ambos hada C. Distand a e n t r e A y fí: *200 Km. ¿A q ué d ista nc ias de A y B se encontrarán?

Un auto que va a 30 Km pasa jxn A en el mismo instante en que olioauto que va a 70 Km pasa por B y ambos van en el mismo sentido.¿Quétiempo tardarán en encontrarse s i B dista de A 80 Km?

ti. Un tren qu e va a 100 Km p or ho ra pasa po r A en el mismo instanteque otro tren que va a 120 Km por hora pasa por H y van uno haciael otro. A dista de B 550 Km. ¿A qué distancia de Á se encontrarány a qué hora si los trenes pasan por A y B a las 8 a.m.?

Dos personas, A y B , distantes cuite sí 70 Km. parten en el mismoinstante y van uno hada el otro. A va a 3 Km. por hora y B a :> Km|>or hora. ¿Qué distancia ha andado cada uno cuando se encuentran?

•¡ Dos jxirsonas, A y B, distantes entre si 29A Km parten, B, media horadespués que A y van uno hacia el otro. A va a 5 Km por hora y II a•1 Km po r hora. ¿Qué distancia ha recorrido cad a u no c ua nd o se crti/an?

U n tren de carga qu e va a 42 Km po r hora es seguido3 horas dcspm't por u n tren de pasaje ro s q ue va a G0 Km p o r hora .¿En cuántas limasel tren de pasajeros alcanzará al de carga y a «pié distancia del .........

de partida?

Dos auto s qu e llevan la misma velocidad p asan en el mismo instante por dos punto s, A y B, distantes entre si 186 Km y van uno lu n ael otro. ¿A qué distanda de zí y B se encontrarán?

> E JE RC IC IO 1 5 9

NEPER <1 550 161 71 Rico toiM tanlcnto o» cimalu» do It* •■ !«* ». Al ob M tvjr la» letaenmc» ontira IIjron dp M erc hitton . Logró co n re rtio e en la» progrcjiomi» aritm ótica t y g oom ótricai dotcubrllo» m i» poníale» m aíom ilico» Inglese», >1 do ti princip io quo rige a lo» logaritmo». En tre N«on lu í rato» do ocio al cultivo do lo» número*, pe r y Bürgi im pló una discusión acerca do qoióo el punto decimal para «epatar las cifras do habí» «ido *1 nrimero en trabajar con lo» logarTtmo:

f t G O

F O R M U L A S

C A P I T U L O XVIII

23 7 ; FORMULA e s la e xp r e s ión d e un a l ey o de u n p r in c ip io ge ne r a l po rmedio de s ímbolos o le t ras .

As i , l a Ge om e t r í a e nse ña q t i e c l á r e a de un t r i á ngu lo e sigua l a la m i ta d de l p r odu c to de su ba so po r su a l tu r a . L la m a n-d o A a l á r e a de un t r i á ngu lo , b a la base y h a la a l tu ra , e s te pr in-c ip io ge n e r a l se e xp r e sa e xa c ta y b r e ve m e n te po r la f ó r m ula

que nos s i r ve pa r a ba i l a r c l á r e a de c ua lqu ie r t r i á ngu locon só lo sus t i tu i r b y h por sus valores concre tos en c lraso da do . Así, si la base de u n tr iá n g u lo es 6 111 y su 2a l tura 3 m. su á rea se rá :------------------------------------------------ /

(238) USO Y VE NT AJA DE LAS FORMU LAS ALGEBRA ICAS

^ Las fórm ulas a lgebra icas son usadas en las c ienc ias , com o G eom etr ía .F ís ica , Mecánica , e tc . , y son de enorme u t i l idad como aprec ia rá e l a lumno

cu e l curso de sus estudios.La u t i l idad y venta ja de la s fórmulas a lgebra icas es muy grande :

J ) P o r que e xpr e sa n b r e ve m e n te una le y o un pr inc ip io ge ne ra l

FORMULAS • 2 7 1

p u es p a ra re so lv e r u n p ro b le m a p o r m e d io d e la fó rm u la a d e c u a d a , bastasu s t i tu i r las le tras p o r sus valores en e l caso dad o. *1) P o rq u e un a fórm ulanos d ice la r e lac ión que ex is te en t r e l a s va r iab les qué en e l la in te rv ienen ,

p u es seg ú n se lia p ro b a d o e n A ritm é tic a , la v a ria b le cuy o v a lo r se da poi

medio de una fórmula es d i r ec tamente p roporc iona l con las va r iab les í l . t tto t e s) qu e s e ha l la n e n e l n um e r a d o r de l s e gundo m ie m b r o e i nve r sa m e n te p ro p o rc io n a l con las q u e se h a lle n e n el d e n o m in a d o r , si las d em á s p r im auceen cons tan tes .

239) TRA DUC CION DE UN A FORMULA DADAAL LENGUAJE VULGAR

P a r a t r a duc i r una f ó r m u la a l l e ngua j e vu lga r , o s e a , pa r a da r l a r e g l a

conten ida en una fórmula , bas ta sus t i tu i r Jas l e t r as por l a s magni tudes qmel las r epresen tan y expresa r l a s r e lac iones que la fó rmula nos d ice ex i s ten

r im e ella s. P ondr e m os dos e je m p los:

I ) D a r Ja r e g la c o n t e n ida e n l a f ó r m u la A = h ( ^ ^ e n q u e I

r e p r e s e n t a e l á r e a de un t r a pe c io , li su a l tu ra , b y 1 / sus bases.

I .a regla c.s: El área de u n t rapec io es igual a l p rod uc to de stt a lu n a|wir la s e m is u m a d e sus 1>;ims.

f*?.) D ar l a r eg la con ten ida en la fó rm ula v = ~> c n q n « v representa

11veloc idad de un m óvi l qu e .se m ue ve con m ov im iento un iform e y • <l

e s pa c io r e c o r r i do e n e l t i e m po t.

1.a r eg la es; La ve loc idad de u n m óvi l q u e se m ueve con m ovim ien to

uni forme es igua l a l e spac io que ha r ecor r ido d iv id ido en t r e e l t i empo <m

p ic a d o e n re c o rre rlo .

E n c u a n t o a la re l a c ió n d e v c o n e y t, la fórmula me dic ta las din leyessiguientes:

i ) La ve loc idad es d i r ec tam en te p rop orc iona l a l e spac io (porqu e c<u . i «n e l nu m erad or ) pa ra un m ism o t iem po.

:) I.a ve loc idad es inver sam ente p rop orc iona l a l t icuq io (po rqu e l

e s t á e n e l de nom ina dor ) pa r a un m i s m o e s pa c io .

> EJERCICIO 160

l»¡u l.i regla correspondiente a las fórmulas siguientes:

! d ' hli siendo A el área d e un triángu lo, f< su base y h su altura.

r - vi, siendo t el espacio recorrido por un móvil con movimiento uní*(orine, v su velocidad y f el tiempo.

3. t = Las letras tienen el significado del caso anterior.

4. T — Fe, siendo T trabajo, F fuerza y c camino recorrido.

5. A = ^ ~ siendo A el área de un rom bo y l) y />' sus diagonales.

0. V — h x B , siendo V el volumen de un prisma, h su altura y B el áreade su base.

7. V — -~h x B, siendo V el volumen de una pirámide, h su a ltu ra > H

el área de su base.

8. A =Tcr3,. sie ndo A el área de un circulo y r el radio, {r. es una constante

igual a 3.1416 o y).9. e. — r -gl~, siendo eel espacio recorrido por un móvil que cae libremente

desde cierta altu ra partien do delreposo, g la aceleración de la gravedad(í).8 rn. por seg.) y i el t iempo empleado en caer.

10. A — — V'iY, siendo A el área de un triángulo equilátero y ¡ su lado.4

11. F — m il—' siendo F la fuerza centrifuga, ni la masa del móvil, v ,u velo-

cida d y r el radio de la circunferencia q ue describe.

EXPRESAR POR MEDIO DE SIMBOLOS UNA LEYMATEMATICA O FISICA OBTENIDA COMORESULTADO DE UNA INVESTIGACION

Cu an d o p o r l a i n v es t i g ac i ó n s e h a o b t en i d o n n a l ey ma t emá t i ca o f í -ica, para expresar la por medio de s ímbolos , o sea para escr ib i r su fórmula,

generalmente se des ignan las var iables por las in iciales de sus nombres ye escr ibe con e l l as una expres ión en l a que aparezcan l as re lac iones obser-

vadas ent re las var iables .

72 © AtCIURA

(1 ) Escribir una fórmula que exprese que la altura de un

triángulo es iguol ol duplo de su úrea dividir lo entrela bose.

¡a altura por h, el área por A y lo bosc por b, lo fór- h=

(2 ) Escribir una fórmula que exprese que la prciión que ejerce un l iquido sobreel fondodel recipiente que lo contiene es igual a la «p er/rt ie de! londo multiplicada par la alturadel liquido y por su densidad.

Designando lo presión por la superficie del fondo del recipiente por S, laalturadellíquidoporh y sudensidadpor d, la fórmula será:P— SI:d.

B EJERCICIO 161

Designando las va riables po r la in i c i a l de su nombre , esc riba la f ó rmu la

que expresa:

EjemplosDesignandomuía setó:

FORMULAS * 2 7 3

El cu ad rad o de la hipoten usa de u n triá ng ulo re ctán gu lo es igual .1 lasum a d e l<x< cua dra do s d e los catetos.

La base de un tr iángulo es igual a l duplo de su área dividido entresu altura.

La densidad de un cuerpo es igual al peso dividido por cl volumen.!■■ El peso de u n cuerpo es igual a l pro ducto de su volumen p o r su densidad,

ti. El área de un cu ad rad o es igual al cuad rado del lado.

, El volum en de un cub o es igual al cubo de su arista.

El radio de una circunferencia es igual a la longitud «le la circiinbreneis dividida entre 2a.

El en alba do d e un cateto de u n triángu lo rectán gulo es igual al citadrado de la hipotenusa menos cl cuadrado del otro cateto.

I i' El área de u n c ua dra do es la m itad «leí cuad rado de su diagona l.

1!. 1.a inerva «le atra cció n en tr e dos cu erp os es igua l al p ro ducto «le unaconstante t: |>or el cociente q ue resulta de d ividir el prod ucto de las m a-sas «le los cuerpos por el cuadrado de m i distancia.

1 F.l t iem po que emplea una p iedra en caer l ibremente desde la boca alfondo «le un po/o es igual a la raí/ cuadrada «le) duplo «le la piolundiilad del poro dividido entre 9.8.

I.! El áre a «le un po lígon o re gu lar es igual a la m itad «leí p ro du cto de mapotema por el jverimeir«>.

L a p o t e n c i a d e u n a m á q u i n a e s i g u a l a ! t r a b a j o q u e r e a l i z a e n 1 s e g u n d o

EMPLEO DE FORMULAS EN CASOS PRACTICOS

Bosta sus t i tu i r las le t ras de la fórmula por sus va lores .

(1 ) Hollar e l área do tin trapocio cuya a ltura mido !> m>• sus bases6 y 8 m respectivamente.

Aquí, l>= 5m., f i= 6m., b ' = 3ni.,luego sustituyendo: ____________

1 ?) Hollar el volumen do uno pirámide* siendo su a luro 12 m y el orco de labase 26 ni*.

La fórmula es V= - f t X fl.3

Aqi/i, I»-- 12 ni, 6 36 m". luego sustituyendo;

7 4 • ALGEBRA

( 3 ) Una piedra de jad a cocr desdo lo azoto a d e un edificio tardo 4 segundosen llegar al suelo. Hallar la altu ra del edificio,ln oltura del cdiiicio cs el espacio que recorre la piedra.

lo formulo es: o = r g i ! .

2g volé 9.8 m. y t = 4 seg.. lueqo sustituyendo;

o X 9.8 X 42 ~ X 9.8 X 16= 9.8 X 8 = 78.4 ni2 2

Lo olturo del edif icio cs 78.4 m. R.

EJERCICIO 162

1. H alla r el área de u n triáng ulo de 10 cin de liase y 8 de altu ra . A —¿Wi.

2. H alla r el área de un cu adra do cuya diago nal mide 8 ni. A —— .••

2. /Q u é distanc ia reco rre u n móvil en 15 seg. si se mu eve co n m ovim ientouniforme y lleva una velocidad de 9 m por seg? e — vi.

4 . ¿En q u é tiem po el mismo m óvil recorre rá l(fc> m?li. H allar la lii|>oieniisa ri de un trián gu lo rec táng ulo siend o sus catetos

b ~ 4 m y c = 3 ni. a- = b- I c2.G. l i hip oten usa de un triángu lo íecián gid o mide Id ni y un o de los

catetos :> ni. H alla r el o tro cateto, i»* — n- —c*.7. H allar el área de un circulo de ó m de radio. A — -r-, .

8. H allai la long itud de un a circunferencia de 5 ni d t radio. C —2xr.9. H allar el volum en de un cono siendo su a h in a 9 m y el radio de la

base 2 nt. v = Jj/isr2.1(1. 1,1 vo lum en d e u n cu er p o cs S o n J, y pesa 8.24 g. H al lar su den sidad.

V p11. H allai el área de u n tr iángu lo equ ilátero tuy o Jado m ide 4 m. A — — V 8 .

12. Hallai la suma de los ángulos interiores de un exágono regular.S - I Sfl° <jV 2). (*v es el núm ero de lados del po lígono).

e la fó rm ula . Una fórm ula cs un a ecuac ión l i te ra l y noso t ros podem ose s pe j a r c ua l qu i e r a d e l os e le m e n t os q u e e n t r a n e n e lla , c ons ide rá ndo l oomo i nc ógn i t a , y c on e l l o c a mbi a mos e l s u j e t o de l a fó rmul a .

Ejemplos( 1 1 Dado la fórmula e —4 af hacer a i el sujeto de ¡a fórmula

Hay que despojar t en rita ecuación literal; I es lo incógnita.

Suprimiendo denominadores, leñemos:?c — at*.

2eDespejando ls: I1 =

a ,■2o

fORMULAJ • 2 7 5

(21 Dncfo la fórmula S = 2f? ( N 2 | hacer a N el sujeto de le fórmula.

Hay que despejar IV. IV es lo incógnita.

Efectuando el produelo indicado: S ~2N R —4.R.

Transponiendo: S + 4R = 2NRS + 4R N = -

<. I En lo fórmula — = — i — despejar p'.f p p

El m. c. m. de to i den om inadores es pp' /. Qu itando denom inadores lendronun

pp‘ = p'f + pl.

l.o incógnira es p . Transponiendo: pp ' —p’f = pf p | p l ) ~ c f

* = ñ .(4 ) Despejar o en v - V 2oc.

Elevando ol cucdrodo ombos miembros para destruir el radical: y- = 2oe.

Despejando o: o = f «.2c

Esto operación de combiar el sujeto de una fórmula será de incalculobla glil.dad pora el alumno al Motcmótica y Físico.

EJERCICIO 163

Fu la fórmula r - v l , despejar v y t.

En / f= / r ' ,a rcr n h cl

sujeto de la fórmula.

En despejar a.En <ks|>cjar a, I y n.

En A i ', i les j ir ja i t:.

En a ‘- b - + r 1—2l>X.x. dcsprjai x.

I m I ii ' .rrtf, despejar Va. ti y l.

I n I t'e—at, despejar V < t y l.

13. En v = \ / 4 ' d es pe ja r d y /•

14 En e=FV +4 <»f*, d cs |*j;n I

Ti». En e = V j - J a Ia, d espeja i l ’„ y •'

1G. En V—!thr,t9. despejar It y »

, c X I X f ,17. En 1 - —^ • despejar c. I y i.

L8. F.n l . - l H. despejar /{ c / .

19. En r= despejar v.

l .n I) despejar Y y20. En n= rr+ {n |)>, disp cjat a, n y

21. En u=a>" despejar a y r

En a ' bs-ic¿, cIisjh j.u b y e .

En Y - a l . despeja! u y I.

<¿22. En I — despeja» Q y t.

SCARTES I I 59 616 501 F i l ió lo y m . ncéz. Durmió «u juventud fue soldado ygría, Suiza e Italia. Dcipuéi de participare La RochelU, to acogió a la vida eitudioia.stina de Suecia lo invita a su coate, para

que le di clases de matemjtic. i t ; Descartes va y allím uere A Descartes se le considera cl prim er filósofode la Edad Moderna, y es cl que sistematiza el mé-todo científico. Fue el primero en aplicar cl Algebraa la Geom etría, creando asi la Geometría Analítica,

C A P I T U L O X I X

E S I G U A L D A D E S . I N E C U A C I O N E S

3] S e d i c e que una c a n t i da d a es m a y o r q u e o t r a c a n t id a d b cuando l a

d ife re n cia <t — 0 es po s i tiva . Así, 4 es m ayo r q u e — 2 p o rq u e la d i fe-

n c ia 4 — { 2 ) = 4 + 2 = 6 es p o s itiv a ; — 1 es m a y o r q u e 3 p o r q u e

I — {— 3) = — 1 + 3 = 2 es u n a ca n tid a d p os itiva .

S e d i c e q u e u n a c a n t id a d « es m e n o r q u e o t r a c a n t id a d b cuando l af e r e nc i a n — b es ne ga ti va . A si, 1 es m e n or q u e 1 po r qu e la d i f e r e n-

a — 1 — 1 = —2 es neg a t iva : 4 es m eno r q u e —3 p o rq u e la d i fe renc ia4 — ( — 3) = — 4 + 3 = — 1 es neg ativa.

D e a c u e r d o c o n lo a n t e r io r , c e ro es m a y o r q u e c u a l q u i e r c a n t id a d n e -tiva.

Asi , 0 es m ayot «pie I p o rq u e 0 — (—1) = U + 1 = 1, ca n t ida d posi tiva.

4) DESIGUALDAD es u n a exp res ión q u e in dica q u e u n a ca n t ida d es tnay o r o m e n o r q u e o i r á .

l .os s ignos «le des igua ldad son > . qu e se lee m ayor q u e , y < q u e se

A i S > 3 l T> 3 4 < 2 l I

S e ll am a p r im e r m i e m b r o d e u n a d e s ig u a l d a d a la e x p r e s ió n q u e e stáa la i zqu ie rda y segunde» m iem b ro a la q ue es tá a l a de rec ha de l s igno dede s i gua l da d .

Así, en «H b > c d e l p r i m e r m i e m b r o e s a - b y e l s e gundo c <1

24 6) T E RM I N O S de un a de s i gua l da d s on la s c a n t ida d e s qu e e s t á n s e pa ra da sde o t r a s po r e l s igno l o o la c a n t ida d qu e e stá s o la e n u n m i e m l noEn l a de s i gua l da d a n t e r i o r l o s t é r m i nos s on n, b, c y —d.

D os de s i gua l da de s s on de l m i s m o s i gno o s ubs i s t e n e n e l m i s m o s e n-t i do c ua ndo s us p r i m e r os m i e m br os s on m a yor e s o m e nor e s , a m bos ,

que l o s s e gundos .

Así, a > b y c > d s on de s i gua l da de s de l m i s m o s e n t i do .Dos des igua ldades son de s igno con t ra r io o no subs i s t en en e l mi smo

s e n t id o c u a n d o s us p i h u e l o s m i e m b r o s n o s on a m b o s m a y or es o m e no re s

q ue lo s s e gun dos m i em br os . A si, 5 > 3 y I < 2 .son de s i gua l da de s de s e n t idoi m i l iar io .

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

I ) S i a lo s dos m i e m br os de u na de s i gua l da d se s um a o r e s ta un a m i '

m. i can t idad , e l s igno de l a des igua ldad no var í a .

Asi . dada la des igualdad n > b , . . , , . .. .. . h y a + c > b + c y a — c > b ~ i .

p o d e m o s e s c r ib i r : _____________________ /

CONSECUENCIA

U n t é r m i n o c u a l q u i e r a d e u n a d e s i g u a l d a d s e p u e d e p a s a r d e u n

m i e m b r o a l o t t o c a m b i á n d o l e e l s i g n o .Asi , en la des igualdad < i > b + c pode m os pa s a r c a l p r i m e r m i e m b r o

con s igno — y qu ed ará a - C > b , p o r q u e e q u i v a l e a r e s t a r c a los t loi

m i e m b r o s .I .n la des igualdad n - b > c p o d e m o s p a s a r b c on s i gno + a l s e gundo

m i e m b r o y q u e d a r á < l > b + c , p o r q u e e q u i v a l e a s u m a r b a los dos

m i e m b r o s .

> S i los d o s m i e m b r o s d e u n a d e s ig u a l d a d s e m u l ti p l ic a n o d iv i d e nIh »r una m i s m a c a n t i da d pos i t i va , e l s i gno de l a de s i gua l da d no va r í a .

As í , dada l a des igua ldad n > b y s i endo c una(u t i l ida d pos i ti va , pod em os esc r ib i r : /

CONSECUENCIA

S e p u e d e n s u p r i m i r d e n o m i n a d o r e s e n u n a d e s ig u a l d a d , s in q u e v aríoe l s igno ti c l a des igu a ldad , po rqu e e l lo equ iva le a m ul t ip l i ca r t odos los lé r

DSStCUAlOADIS • 2 7 7

2 4 5 ; M I E M B R O S

a bac > be y >

8 • A L GEBR A

nos ele la des igua ldad , o sea sus dos m iem bros , p o r e l m . c . m . de los de-

m i n a d o r e s .

CONSECUENCIA

Si se cambia e l s igno a todos los t é rminos , o sea a los dos miembrosu n a d e s i g u a l d a d , e l s i g n o d e l a d e s i g u a l d a d v a r í a p o r q u e e q u i v a l e a

u l t i p l i c a r l o s d o s m i e m b r o s d e l a d e s i g u a l d a d p o r — 1 .

Asi , s i en la des igualdad a — b > — c cam biam os e l s igno a todos losrm in o s , t en d rem o s : b — a < c .

4 ) S i cam b ia e l o rd en d e l os m iem b ro s , la d es ig u a ld ad cam b ia d e s ig n o .Asi, si a > b e s e v i d e n t e q u e b < a.

5 ) S i se in v i e r t en lo s d o s m iem b ro s , la d es ig u a ld ad c am b ia d e s ig n o .

As í , s i en d o a > b s e t ie n e q u e — < 7 .a b

( ! ) S i los miembros de una des igua ldad son pos i t ivos y se e levan a

n a m i s m a p o t e n c i a p o s i t i v a , e l s i g n o d e l a d e s i g u a l d a d n o c a m b i a .

Así, S > .3. [¿levando al cu a d ra d o : S >3’ o sea 25> 9.

7 ) S i lo s d o s m iem b ro s o u n o d e e llo s es n eg a t iv o y see l ev an a u n a>tcncia im p ar pos i t iva , e l signo de la de s igua lda d n o cam bia .

Así. 3;-----

5. E levando a l cu b u : (— 3)*> ( — 5)' ■> sea — 77 > — 125.

2 > — 2. Elevando al cub o: V > ( — 2) o sea S> — 8.

8 ) S i io s d o s m iem b ro s so n n eg a t iv o s y s e e l ev an a u n a misma pon c i a p a r p o s i t i v a , e l s i g n o d e l a d es ig u a ld ad cam b ia .

Asi , — 3 > —5. E lev an do al cu ad rad o: (— 3)2 = 9 y {—5J2 —25 y q u e -a 9 < 2 5 .

0 ) S i u n m iem bro es ]>ositivo y o t ro neg a t ivo y am bos se e levan a unaisma |*> tenc ia par pos i t iva , e l s igno de la des igua ldad puede cambiar .

As í, 3 > —0. E lev an d o a l cu ad rad o : 3a = 9 y ( —0)* = 25 y q u ed a 9 <2 5 .

8 > E levan do a l cuad rado : 8a = G4 y (—2)* = 4 y qu ed a 6 4 > 4

3) Si los do s miembros do u n a des igua ldad se mul t ip l ican o dividenr un a m is m a C antidad negativa, el sig no de la desigualdad varía .

Asi , s i en la des igua ldad a > b m u l ti p li -m o s a m b o s m i e m b r o s p o r c, t en d rem o s :

d i v i d i é n d o l o s p o r — c, o s e a m u l -

l i can d o p o r — t en d rem o s :

— o( K — be,

i i ^ b

a m b i a .

I N C C I M C I O N I S • 2 7 9

10) S i los dos miembros de una des igua ldad son pos i t ivos y se l c \ex t r ae una misma ta i / . pos i t iva , e l s igno de la des igua ldad no cambia ,

Asi. si a > b y n e s pos i tivo , t endrem os : > </l>.

11) S i dos o m á s de s igua lda d e s de l m i sm o signo se s um a n o m u l t ip l i-c a n m i e m b r o a m i e m b r o , r e s u l l a u n a d e s i g u a l d a d d e l m i s m o s i g n o .

Asi, si o > b y O í f . te n dre m o s : « + c > í » + d y a c > b d .

12) S i dos de sigua lda de s de l m i sm o s igno s e r e st a n o d iv ide n m ie m br oa m ie m br o , e l r e s u l t a do no e s ne c e s a r i a m e n te una de s igua lda d de l m i s m os igno , pod ie ndo s e r una i gua lda d .

A sí, 10 > 8 y ó > 2 . R e s ta n d o m ie m b r o a m ie m b r o : 10 5 5 y

8 2 = 6: lu e g o q u e d a 5 < 6 ; c a m b ia e l s ig no .

S i d iv id im os m ie m br o a m ie m br o la s de s igua lda de s 10 > 8 y 5> * l . te10 8

l ie m os — = 2 y — = 2 ; l ue go qu e d a 2 = 2 , igua lda d .5 *1

INECUACIONES

2 4 9 ) U N A IN E C U A CIO N e s u n a d e s i g u a ld a d e n la q u e h a y u n a o m i 'can t idades desconoc idas ( incógni tas ) y que só lo se ve r i f i ca pa ra de te r

m inado s va lores «le l as incógni tas . Las inecuac iones se ll am an tam bién

de s igua lda de s de c ond ic ión .As i. la d e s igua lda d 2x 3 > . v I ó e s un a i ne c ua c ión po r que t ie ne I .incógni ta x y sólo . se ver i f ica para cualquier valor de x m ayor qu e H.

Kn e lec to : Para x = 8 se co nv er t i rí a en igua ldad y pa ra x < 8 se <011ve r t i r la c u una de s igua lda d d e s igno c on t ra r io .

(250; RESOLVER UNA INECUACION es hallar los valores de las incógnita*

que sa t i s f acen la inecuac ión .

I2 5 l) PRINC IPIOS EN QUE SE FUN DA LA RESOLUCION DE LAS INECUA CIONES

La r eso luc ión de las inecuac iones se funda en las p rop iedades de la s

des igua ldades , ex pues tas an te r io rm en te , y en las consecu enc ias que* d e las

m i s m a s se d e r iva n .

5 2 ) RESOLUCION DE INECUACION ES

I 1 > Resolver lo inecuoción 7x — 3> x -I S.

EjemplosPosando x al primor miembro y 3 al segundar

2x x > 5 + 3.

Reduciendo: x> 8. R.

8 es ol IImito inferiorde x, es decir que la desigualdad dodo sólo se verifica

para los volorns do x moyoros que 8

x 5x(2 ) Hallor el limiio do x en 7 — > ------- 6.

2 3Suprimiendo donominodoros: 42 3x > lOx —36.transponiendo: —3x — lOx > — 36 —42.

13x > 71iCambiando el signo u los dos miembros, lo cual fiaco cambiar el signo de ladesigualdad, se tiene: I3 x<78.

78Dividiendo per 13: * < — o s e o x < 6. R.

IO6 es el íimilo superior de x, es decir, que lo desigualdad dado sólo se verifico

para los valores de x menores que 6.

(3 ) Hallar el limite de x en | x + 3 ) | x 1 ) < [ x — 1 J* + 3x.Efectuando los operaciones indicadas: x2 + 2x 3 < x- — ?x 4 1+ 3x.

Suprimiendo x* en ambos miembros y transponiendo: 2x + 2x —3x < 1 i 3x < 4. R.

4 es el límite superior de x.

EJERC ICIO 164

H allar el l im ite de x en lasinecuaciones siguientes:

. x —5 < 2 x -6 . 10- 6<x »+ 1 )-(2 x -4 X 3 * +2 )<3 ¡(5x + 2 ]) .

. 5x—12>3x—4. 11 (x 4 ) (x + 5 )« x 3 ) (x 2 ) .

. * 6 > 2 1 S * 12 (2x—3)s+4x*(x—7)< 4(x —2)*

4. 3x—14<7x—2. x . 2 x + 1 : 2 x+ 5.r .> 3 x l ' 3x+ 25. 2 x -7 > 7 +10 . x,± _ í _ v-

6. 3x - 4 + 4 < ^ + 2 . ‘ 3 x + 2 ?5 On •>

7 (x—1)*—7>{x—2>*. 15 — - — — < — .3 x 4 - 1 11 v ? — i 2 x — 1

8. (x +2)(x - 1 ) + 2 6 « x +4Xx +5). j 1 ^

0. 3 ( x 2 ) l2 x ( x + 3 » ( 2 x lM x + 4 ) . 16. — > ~ 7 .

17. H alla r los núm eros enteros cuyo tercio au m en tad oen 15 sea mayor que su m itad aum entada en 1.

0 • a l c i b r a

INECUACIONES SIMULTANEAS so n i necuac iones que t i enen so lu

NECUACIONES SIMULTANEAS

) iciones comunes.

2x 4> 6

f l ) Hollar qué valaresde x satisfacen 3x+ 5 > 14.

lar.inecuaciones: /

Ejemplos

Resolviendo la primera: ?x 6+ 4? x> 10x> 5 .

R l i d l d 3 14 5

la primero inocuoción se satisface pora x> 5 y la segunda pa ia x> 3, luogolomamos como solución gcnerol de ambas x> 5, yo que cualquior valor d«x mayor que 5 será mayor que 3.Luego el fímílo inferior de las soluciones comunos os 5. R.

12J Hollar el limite de los soluciones comunes o lasinecuaciones: ________ / n ~ 6 * - _ 0

Resolviendo lo primero: 3 x < 16— d3 x < 12x < 4.

Resolviendo la segundo: — x> — 8+ 6 —x > 2

La solución comúnesx < 2,yaque lodo valor dex menor que 2ovidentommto es menor que 4.Luego2esel límitesuperiorde lassolucionescomunos. R.

(3 l Ha lla re l lím ite superiore in fe rio rde los valores de i «* . ' ’- ' o , . i ,¿ f x que satisfacen los inecuaciones: / *

Resolviendo la primero: 5x 3x> — 2 + 102x> 8x > 4.

Resolviendo lo segunda: 3x— 2x< 6 — 1x< 5.

La primera se satisface paro x > 4 y la segunda paro x< 5, luego todo» 1 •valores de x que sean a la vez mayores que 4 y menores que 5, satisfacenambas inecuaciones.Luego 4 es el límite inferior y 5 ol límite superior de las soluciono’, comuneslo que se expreso 4< x < 5. R.

EJERCICIO 165

I ta lla r el l imite c í e l«s soluciones com unes a:

x 3 > 5 y 2 x + 0 > 1 7 . *• 5x 4 > 7 x 1 6 y 8 7 t < l » i lf>»ó —x > —G y 2 x + 9 > 3 x . _ x .. * 3

( |J í+5>4*Hl l >■ 4 2 x > 1 0 5 x . 6 r 3 > r ' 2 y

Hallar el l imite superior e inferior de las soluciones comunes a:

2x—3< x+ 10 y Gx—4>áx +G .x x 1 3 2

y 2 x - 3 - > x + ?

(x l ) (x + 2 )< (x t 2) (x3) y (x |3 )(x+5)>(x+4)(x+3) .

x f2 ^ x —2 x —1 x - 5

xf8 x+3 * x+ l < x 1 ’

Hallar los números enteros cuyo triplo ntcnos (i sea mayor que su mi-tad más I y cuyo cuadruplo aumentado en 8 sea menor que mi t r iplo

IN EC UA CIO N!» • 2 8 1

_ _ ,4 : . . s « . . .-ÍÍMP+ ‘.* r .* sa a |

F«im*t profundizaba lo» m.»r*villo»o» y «i«t»»ord¡njrio»camino» de la matemática pura. Trabajó incantablemente en la Tcori* de lea Número» o Aritmética Su-

perio r. deja ndo vario» to oroma» q ue Itovan tu nombro ;el m il famojo ea ol llamado último Teorem a de Fcrmat,

RMAT < 16 01 16 65 * M atemático francéacal l lamó " d primer cerebro del mun do",derara* con Ornearte» como el má» grandednl ligio XVII. Mientra» aua contempori.cu pab an po r ela bora r u na cie ncia ap licada.

C A P I T U L O XXU N C I O N E S

41CONSTANTES Y VARIABLES

L a s c a n t i d a d e s q u e i n t e r v i e n e n e n u n a c u e s t i ó n m a t e m á t i c a s o n c o n s -m e s c u a n d o t i e n e n u n v a l o r l ij o y d e t e r m i n a d o y s on v a r ia b l e s c u a n d o

m an d iversos va lores. Pon drem os dos e jemplos .

1) S i un m et ro de te la cues ta $2, e l cos to de un a p ieza de te la d ep en -rá de l nú m ero de m et ros q u e teng a la p ieza . Si la p ieza t ien e 5 m et ros ,c o m o d e la pieza será $10; si t ie n e 8 m etros , el costo será S16, etc. Acpii .«oslo de u n m etro q u e s iem pre c.s c l m ismo, 52, e s una con s tan te , y cl

úmero de met ros de la p ieza y e l cos to de la p ieza , que toman d iversos

alores , son var iables .¿De q u é de p en d e en es te caso c l cos to de la p ieza? De l n ú m ero «le

e t ros q u e te nga . E l costo de l a p i e za es la va r i a b le d e p e n d ie n te y c l nú-

e r o d e m e tr o s la v a r ia b l e i n d e p e n d i e n t e .

2 j S i u n m óvi l desa r ro l la un a ve loc idad d e fí tu po r segu ndo , el es-acio q u e re c o rra d e p e n d e rá del lic m p o q u e esté a n d a n d o . Si a n d a d u -n te 2 se gundos , r e c o r r e r á un e spa c io de 12 m ; s i a n d a d u r a n t e 3 s e g ú n os recorrerá un cs |>acio de 18 m Aquí la velocidad 0 rn es constante

¿De q u é dep en de en e ste ra so e l e spac io recor r ido? De l ( ¡cmjx» queh a e s ta d o a n d a n d o el m ó v i l. E l ti e m p o e s la v a r ia b l e i n d e p e n d i e n t e y ele s p a c i o r e c o r r i d o l a v a r i a b l e d e p e n d i e n t e .

I 2 5 ¿ F U N C I O N

En e l e j e m p l o 1 ) a n t e r i o r e l c o s t o d e l a p i e z a d e p e n d e d e l n ú m e r o d emet ros que t enga ; e l cos to de l a p ieza e s func ión de l número de ine iun

En e l e j e m p l o 2 ) c l e s p a c i o r e c o r r i d o d e p e n d e d e l t i e m p o q u e h a y aes tado an d an do c l m óv i l ; el e spac io recor r ido e s ( tu ic ión d e l t iem po .

S i e m p r e q u e u n a c a n t i d a d v a ria b le d e p e n d e d e o t ra se d ic e q u e of u n c i ó n d e e s t a ú l t i m a .

l i d e f i n i c i ó n m o d e r n a d e f u n c i ó n d e b i d a a C a u c h y e s l a s i g u i e n t e :

■Se d ic e q u e y es I tm ción d e x <lian do a r ad a valor «te la variable .co i respo nd en un o o var ios va lores de term inad os de I.» va r iable y .

L a n o t a c i ó n p a r a e x p r e s a r q u e y e s func ión de x os y = f{x) .

(256) FUNCION DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTEY DE VARIAS VARIABLES

C u a n d o e l v alo t d e u n a v a r i a b l e y depende so lamen te de l va lo r « l i-o n a v a r i a b l e x t e n e m o s u n a f u n c i ó n d e u n a s o l a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t em i n o e n lo s e j em p l o s a n t e ri o re s .

C u a n d o cl v a lo r d e u n a v a r i a b le y dep en d e de los va lo re s de dos o iti.itv a r i a b l e s t e n e m o s u n a f u n c i ó n d e v a r i a s v a r i a b l e s i n d e p e n d i e n t e s .

Por e jemp lo , el á rea d e u n t r i áng u lo dep end e de los va lo re s de vu

base y d e su a l tu r a ; lu eg o , el á re a d e u n t r iá n g u lo es fu n c ió n d e «los v.u i.i b les in d e p e n d ie n te s q u e son su base y su a l tu ra . D es ig n a n d o p o r A el át< a, p o r b la base y por h l a a l tu ra , e sc r ib imos : A — f(b,ii).

El vo lumen de una ca ja depende de l a long i tud , de ! ancho y t i c I . ii l iu ra ; luego , c l vo lumen es func ión de t re s va r i ab le s independ ien te s

D e s i g n a n d o e l v o l u m e n p o r v , l a l o n g i t u d p o r I, c l ancho por o y laa l t u r a p o r h . podemos e sc r ib i r : v = f(l,a ,h ).

LEY DE DEPENDENCIA

S i e m p r e q u e l o s v a l o r e s d e u n a v a r i a b l e y dependen de los va lo re s demi . t va r i ab le x , y e s f u n c i ó n d e x ; l a p a l a b r a f u n c i ó n i n d i c a d e p e n d e n c i a .P e r o n o b a s ta c o n s a b e r q u e y d e p e n d e d e x , i m c r e s a m u c h o s a b e r c ó m o

dtprndt y d e x , d e q u é m o d o v a ría y cuando va r ía x , l a re l ac ión que l igaa la s v a r i ab le s , q u e e s lo qu e se l l ama l ey de de pe nd en c ia e n t re l as va r iab le s.

©EJEMPLOS DE FUNCIONES, PUEDA 0 NO ESTABLECERSE MATEMATICAMENTE LA LEY DE DEPENDENCIA

N o e n to das las l iu x iones se c o n o ce d e u n m o d o p rec iso la re lac ió nmatemá t ica o ana l í t i ca que l iga a la va r iab le independ ien te con la va r iab le

i tm c io N t i • 2 8 3

2 8 4 • AK i l B í l A

de pe nd ie n te o f unc ión , e s de c i r , no s i e m pr e se c onoc e l a l e y de de pe n-

dencia .

K it a lguno s c asos sa bem os q ue una c a n t ida d de p e nd e d e o t r a , pe r o noconocem os la re lac ió n q u e l iga a las var iables . D e ah í la divis ión de lasfunc iones en ana l í t icas y concre tas .

FUNCIONES ANALITICAS

C ua ndo se c onoc e de un m odo p r e c i so l a r e l a c ión a na l í t i c a que l igaa la s va r iab les , e s ta re lac ión puede es tab lece rse matemát icamente por me-d i o d e u n a f ó r m u l a o e c u a ció n q u e n o s p e r m i t e , p a ra c u a l q u i e r v a lo r d ela va r i a b le inde pe nd ie n te , ha l l a r e l va lo r c o r r e spond ie n te de l a f unc ión .

Estas son funciones anal í t icas .Como e jemplo de es tas func iones podemos c i ta r la s s igu ien tes :Kl cos to de una p ieza de le la , Iunc ión de l número de met ros de la

p ieza . C o n o c id o el co sto d e u n m etro , p u ed e calcu larse e l costo d e c u a l-

q u i e r n ú m e r o d e m e tro s.E l t i e m p o e m p l e a d o e n h a c e r u n a o b r a , f u n c i ó n d e l n ú m e r o d e o b r e -

ros. C o n o c i d o el t ie m p o q u e e m p l e a c i e rt o n ú m e r o d e o b r e r o s c u h a c erl a ob r a , pue de c a lc u la r se e l t i e m po que e m ple a r í a c ua lqu ie r o t r o núm e r o

de ob r e r os e n ha c e r l a .E l espa c io qu e r e c o rr e u n c ue r po e n su c a ída l ib r e de sde c i e r ta a l tu r a ,

f unc ión de l t ie m po . C onoc ido e l t ie m po qu e e m ple a e n c a e r u n m óv il,

p u e d e c a lc u la rse e l espacio reco rrid o .

FUNCIONES CONCRETAS

C ua ndo po r obse r va c ión de lo s he c hos sa be m os que una c a n t ida d de - p e n d e d e o tra , p e ro n o se ha p o d id o d e te rm in a r la re lac ió n a n a lít ic a q u el iga a las var iables , tenem os un a fu n d ó n co ncre ta . Kn este caso, la ley dede j r c nde nc ia , que no se c onoc e c on p r e c i s ión , no pue de e s t a b le c e r se m a te -m á t ic a m e n t e p o r m e d io d e u n a f ó rm u l a o e cu a c ió n p o r q u e la re la c ió n f u n -

c iona l . a u nq u e e x i s te , no es s i e m pr e l a m ism a .C om o e je m plo pode m os c i t a r l a ve loc ida d e l e un c ue r po que se de s-

l i z a sob r e o t r o , f unc ión de l r oc e o f r o t a m ie n to que ha y e n t r e lo s dos c ue r - pos. A l a u m e n ta r e l roce, d ism in u y e la ve lo cid ad , p e ro n o se conoce d e u nm odo p reciso la re lac ión an al í t ica q u e l iga a estas var iables . M uchas leyes

f ís icas , lucra de c ier tos l ímites , son funciones de esta c lase .En los casos dé funciones concre tas suelen construirse tablas o gráf icas

en (p ie f iguren los casos obse rvados , que nos pe rmi ten ha l la r aproximada-m e n te e l va lo r de la f unc ión q u e c o r r e sponde a un va lo r da do de la va-r i a b l e i n d e p e n d i e n t e .

(259) VARIACION DIRECTA

FUNCIONES • 2 8 ' j

p o r u n a c a n tid a d , la o tra q u e d a n u il ti pl ¡cada o d iv id id a p o r esa m is m ac a n t id a d .

. Si im móvil que so muevo con movimiento uniforme recorro

Ejemplo 20 Km en 10 minutos, en 70 minutos recorrerá 60 Km y enI 5 minutos recorrerá 15 Km, luego la variable espado recorrírío es direcle.mcntc proporciono! (o proporcional) o ¡o variabletiempo y viceversa.

(260) S i A es p ro po rc ion a l a I I , A es igua l a 11 m ul t ip l ica da p o r una cons tau te .

En e l e j e mp lo a n te r io r , l a r e l a c ió n e n t re e l e s p a c io y e l t i e mp o < .cons tan te .

En e fec to :

30En 10 m in el m óvi l rec orre 30 Km ; la re lac ión es = 3.10

fiOEn 20 m in d m óvi l reco rre 60 Km ; la re lac ión es = 3.

15En 5 m in e l m óvi l reco rre 15 K m : la re lac ión es = 3.

En ge ne ra l , si A es p ro p o rc io n a l a ¡i. la re lación Ae n t r e A y B es co nsta nte ; lue go , de s ig na nd o es ta — — k y d e a q u í A

<m ístam e po r A, tenemos, __________________

/ I e Sk I

( 2 6 1 ) '(261) VARIACION INVERSA

Sr d i c e q u e A v a r ía in v e rs a m e n te a ¡i o q u e A e s inversamente p ío|Hiicionul a l i c u a n d o m u l t i p l i c a n d o o d i v i d i e n d o u n a d e e s t a s v a i i . t h l t i

pii u n a c a n tid a d , la o tra q u e d a d iv id id a en el p r im e r caso y n u iliip lú .n i,»<n e l . segundo por la misma cantidad.

Ejemplo

Si 10 hombres hacen una obra en 6 horas, 20 hombres lo harónen 3 horos y 5 hombres en 12 horas, luego la vorioble im/upu

empinado nn hacer (a ab'ci os inversamente proporcional a lavariable número de hombres y viceverso.

(262) S i A es invc isam ente p ro j ro rc iona l a R , A es igua l a u n a cons tan ted i v i d i d a e n t r e B .

En e l e j e mp lo a n te r io r , e l p ro d u c to d e l n ú me ro d e h o mb re s p o r e lt i e m p o e m p l e a d o e n h a c e r l a ob ra es cons tan te . E n e fecto :

10 ho m bre s em ple an 6 bo tas: el pr o du cto 10 x G = GCI.20 ho m bres em ple an ' '1 horas : e l pro du cto 20 x 3 — t*n.

á h o m b re s e m p le a n 12 h o ra s ; e l p ro d u c to 5 x 1 2 —60.I n general, si A e s inversamente p roporc iona l

• H e l p ro d u c to AJI es c o n s ta n te ; lu eg o , d e s ig n a n d o A B k y d e a q u ím i ro m e an te p o r k , tenemos :

Ejemplo

® VARIACION CONJUNTASi A es p roporc iona l a B c u a n d o C e s co n s t an t e y A es p roporc iona l

C c u a n d o n es constante , A es p roporc iona l a BC c u a n d o B y C varían,

n c ip io q u e se ex p resa : ^

n d e k e s co n s t an t e , l o q u e s e p u ed e ex p resa r d i c i en d o q u e s i u n ant id ad es pro po rcion al a o t ras varias, lo es a su p rod ucto .

El áren deun triángulo es proporciono! o lo olturo, si lo baseel consiente y 05 proporcional nlo base si lu olturo €S constante,luegosi la basey laallurovorian,cl orco es proporcional al producto do la bo.c por le alluro. Siendo A ol área,b lo base y h la alluro, leñemos;

A= khh

y la comíante It~ i [por Geometría) luxigo A= ¿bh.

4) VA RIACION DIRECTA E INVERSA A LA V EZ _ k B' S e d ic e q u é A es p roporc iona l a B c invensa tnen tc p roporc iona l A ' ~ ~ c "

B ,1C c u a n d o A e s p ro p o rc io n a l a l a r e lac ió n lo q u e s e ex p re sa : /

5) RESUMEN DE LAS V ARIACIONES

Si A es p ro po rc iona l a B ........................... A = kB .

Si A es i n v e r sam en te p ro p o rc io n a l a H . . A = .Si A es pro po rcion al a B y C ................. A = k B C .Si A es p r op o r cio n a l a B c in v e r sa m e n te ^

p ro p o rc io n a l a C A = —

6 © A IC U K A

Ejemplos( I I A e l proporcione!añ y A — 20cuandofl= 2.

IlollorAcuando B ~ 6 .

Siendo A proporcional o 15, se tiene: A~kB.

Paro hallar lacomíante fc. como A= 20cuan- 2^d o B ~ 2, tendremos: ► 2 0 = fcX 2 V= — = 1 0 .

Si fc — 10. cuando B= 6, A valdrá:A = fcfl _ lo X 6 = tü. R.

| 2 ) A a i invcrsamenleproporcional o (i y A— S cuandoB~ -t.Hallar A cuandofl = 10.

fcCorno A es inversamente proporcional a B. se tiene: A— — .

Hallemos k, batiendo A= 5 y fl—

5 = — k = 20. A

Siendo k= 20, cuando B— 10, A valdrá:

k 20 ■ M

<3 ) A w proporciono! c 6 y C¡ A — 6 cuorxJo B= 2 y C = 4.Hollar 8 cuando A = 15 y C = 5.

Siendo A proporc ional o i? y C. íé tiene: A = fcSC. <1 >.

Poto hollar k ;-----------------------------------

Ú ~ k X . 2 X 4 6 6 = fc X 8

Per a h o l l a r 8 lo d e sp e in m o t e n I I ) : 8 = ^ .l:C

3Sustituyendo A— 15, 1:— • , C - 5,

’*tendremos: ______________ _________ ; y ?

14) x o í p r op o rc io n a l o y e i nv e rs am e n t e p ro p o rc io n a l c z.

5: x — 4 c u a n d o y — 7, 7 — 3 , h o ll oi x cu an d o y — 5 , 7 = 1 5 .

S i en d o x pr o p or ci o na l o y e i n v er sa m e n t e p ro p o r ci o n a l a 7,tendremos: , ,

t l - ' 2 yHaciendo x — y = 2, z = 3, 3 .5 '

se t i e n e : _____________________________ / 1

Haciendo en 11 ) Je = 6, y ~ 5. 1 ~ 15. * x j

se llene; __________ /

EJERCICIO 166I. x es |>io|x«c:irm:íl ¡i y. .Si x — !) cuando y — 6. llalla» .v cr ian do y — 8,

a cí p io jxi rcion al .1 y Si >• —3 cu an d o x —2. ha lla r y c u an d o x 2 * J ..4 es p to |x>raonal a / í y C. Si 4 = 3 0 cuand o /3 = 2 y C = 5 , hal la r Icuando l¡ ~ 1, C — I..v es proporcional a y v a z. Si x — 4 cu an do y = 3 y z = G, hallar y • ii.iiuIhx — 10, 2 = £1.

A es inversam ente prop orcio nal a /(. Si A — 3cua nd o /I = 5, halln 4cuando H — l . ( j/f es inversamente proporcional a A . Si A — — c ua nd o f l = , h allai /I

cuando If = —.12. 4 es pro po rcio na l a i? <; inve rsam en te pro po rcion al a C. Si 4 = 8 cuando

C = 3, ha l la r 4 cuando ¡i = l , C — 14.x es proporcional a y e inversamente proporcional a z. Si , v= 3 a randoy —4, r. = fí, hal lar z cuando y = 7, x = JO

'.i x es proporcional a y2 —1. Si x = 48 cuan do y = 5. ha l lar x cuan do y 7." x es inversam ente p rop orcio nal a y2 —] . Si .v = <| cua nd o y = 3 h allar x

cu an do y —,r>.

1 1.1 área de un cuad rado es proporcional a l cuadrado de su diagonal.Si el área es 13 ni cuando la diagonal es (! 1 1 1 , hallar el área ruandola diagonal sea ](l 1 1 1 .

13 l'l área lateral de uno pirámide reg ular es proporciona l a sil apotemay al |xi ¿metro de la liase. Si el área es 480ni.a cua nd o el apo tema es12 m y el perímet ro de la liase 80 m hallar el área cuan do el apntema

KUNCIOHES • 2 8 7

13 lil volum en de un » p irámide es pro po rcion al a su altu ra y al área desu base. Si el volumen <lc: una pirámide, cuya altura es 8 ni y el áreade su base ;$(i m, es !)(¡ m:,r ¿cuál será cl volumen <!c una pirámidecuya altura es 12 m y cl área de su base lil iu''?

14. El área de un c ita d o es proporcional al cu adrad o del radio. Si cl áreade un circulo de 11 cm de radio es 610 cm8, ¿cu.il será cl área de unc i tado de 7 nn . de r ad io?

15. 1.a long itud de u na ciicunferencia es propo rcional al rad io. Si un a cir-cunferencia de 7 cm de radio tiene una longitud tle 11 cui, ;cuál es clrad io de un a c ircun ferencia de GG can de long itud?

16. x es inversam ente projiorcion al al cua dra do de >•. C ua nd o y — G, x — 4Ha l l a r y cu an do .v —0.

66 FUN CIO NE S EXPRESABLES POR FORMULASF.u g en era l , las funcion es son exp resa Irles p or fórm ulas o ecuaciones

ua ndo s e c onoc e l a r e l a c ión m a te m á t i c a que l i ga a l a va r i a b l e de pe nd ie n-e o f unc ión con las va r iab les independien tes , o sea cuando se conoce la

e y de de pe nde nc i a .En es tos casos habrá una ecuac ión que se rá l a expres ión ana l í t i ca de

a f unc ión y que de f ine l a f unc ión .

A sí, >' = 2x + 1, y - 2 x \ y = ** + 2 x 1

on func iones expresadas por ecuac iones o fó rmulas .2x I 1 e s un a f unc ión de p r im e r g r a do ; 2x\ de s e gu ndo g r a do :

:l + 2x — 1. d e terc er gra do .L os e je m p los a n t e r io r e s s on f unc ione s de la va r i a b le x po r qu e aa lo r de x c o r r e s ponde un va lo r de t e r m ina do de la f unc ión .

Pa ra v —0. V “ 2 X 0 f 1 —1

« a + 1 3

8 8 A ic iB fc A

X E n e f e c to : C ons ide r a nd o la

unc ión 2x + l , q u e r ep r e se n ta m oso r v . t e nd r e m os : v = 2x i 1. / ' , , .....................................' ' ' ' . ‘ ' ' " " ; '

' ' P a r a x _ j . y — 2 í— 1 J+ I — l

x = 2.’ y ~ «(“ 2) ' 1 e t t

x e s l a va r i a b l e i nde pe nd ie n t e e y l a va r i a b l e de pe nd ie n t e .

67J DETC RM INACION DE LA FORMULA CORRESPONDIENTEA FUNCIONES DADAS CUYA LEY DE DEPENDENCIASEA SENCILLA

Ejeru píos< U El costo de ur.n pieza de lela es proporcional o¡ nú-

mero de metros. Determinar ln fórmula de la fundóncosto, sabiendo que toa pieza de 10 metros cuesto $30,Designando pac x la variable independiente número cíe

metros >• por y lo función corto, tendremos, por ser y proporcional r. x:

y — fex. I I )Hol lomos lo constante t:, sus-tituyendo y = 3 0 . x — 1 0:---------------------------- , 30 —i: X 10 fe= 3.Entonces, como lo comíanle os 3, sustituyendo este valor on (1 I la función coílo vendrá dad a por la ecuación: y ~ 3x R

r u M c i o N U • 2 8 9

(?.) El orcode un cuodrodo es proporcione! el cuadrado de su diagonal. Hallarle fórmula riel órcode un cuadrado en función de !a diagonal, sabiondo quoel óreo de un cuadradocuyo diagonalmideBm es 32 ni3.

Designando por A el ó rco y A ~ 4Da. (

por D la diagonal, tendremos: / 'Hallemos k liocien- 32= fc >'■ Mdo -A= 3 2 y D - 8: ______________________ / '

Sustituyendoi = 4 en (1 1 , eláreadeuncuudradoen 1función de la diagonal, vendrá dada por la formulo:

f3) La alturade unapirámidees proporciono! ol volumensi el órco de la base ■ •constante y es inversamente proporcional al área do la base si ol volumenes constonte. Determinar lo fórmula de lo a ltura de una pirámide en función del volumen y el área de la base, sabiendo que una pirámide coya

altu ra os ¡5 m y el área de so base ló m- treno on volumen de &) m '.

Designando loaltura por ir, el volumen por j, * 'V y el úreo de la bose por 3, tendremos: íl

(Obsérvesequelav ariable V directamente proporcional conh va en el nurncradorylavariable3,inversamenteproporcionalcon .h,va ene ldendm inodo t)

kxfSO 15 = •

láHallemos la constantek haciendo 1ó~ ©Oí-H= 15. V— 80, B= 16: 24Q

‘ “ « r 3Haciendo k— 3 en f1 ) , la altura de una pirámide en (unción del volumen y el área de lo bose vendrá dada por lafórmula: "

< I Determinar la fórmula correspondientea una función sabiendoque puro •*>•!<>valor de lo variable independiente corresponde un valor de la función qt•es igual al tr iplodel valor de la variable independiente aumontodo on V

Siendo y la función y x lo varia- y ;3» I !

bie independiente, tendremos: ________________________ . /

EJERCICIO 167

Si A es proporcional a li y A — JO cuando fí = b, escribir la fórmulaque las relaciona.

Id espacio recorrido por tin móvil (inov. uniforme) es proporcional al p roducto de la velocid ad p o r el tiem po. Esc riba la fó rm ula q u e expresael espacio r en función de la velocidad v y del t iempo l. <I: | )

El área de un rombo es propoicional al producto <lc: sus diagonales.Escribir la fórmula del área A de un rombo en función de sus diago-nales D y ¡ y sabiendo que cuando D 8 )' D ' = G el área es 21 cm a,

Sabiendo que A es proporcional a ti c inversamente proporcional aescribir la fórmula <lc A en función de ti y C (k 3)

0 • A LG lti «A

La lon gitud C de tina circunferencia cs propo rcional al radio r. Unacircunferencia de 21 cm de radio tieneuna longitud de 132 cm. H allar Ja íói m uía que expresa la long itud de la circunferencia en función delradio.

6. El espacio recorrido por un cuerpo que cae desde cierta altura cs pro- porcio nal al cuadrado del tiem po qu e em ple a en caer. Escrib ir la lórm uladel espacio c en función del t iempo t sabiendo que un cuerpo que caedesde un a altu ra de 19.6 m emplea en su caída 2 seg.

7. I_i fuerza centrifuga F es proporcional al produc to de la masa m por elcu ad rad o de la velocidad t< de un cu erp o s¡ el radio r del circulo quedescribe cs constante y es inversamente proporcional al radio si la masay la velocidad son colmantes. Expresar esta relación por medio de unalórmula.

8 Escribir la fórmula de una función y sabiendo que para cada valor dela variable independiente x corresponde un valor de la función que esel duplo del valor de x aumentado en 3.

9. El laclo de u n c ua dra do inscrito en u n circulo cs proporciona! al radiodel circulo. Expresar la fórmula del Jado del cuadrado inscrito en funcióndel rad io. (A —\/ 2 ).

10. Escribir la fórmula de tina función y sabiendo que para cada valor dela variable independiente v corresponde un valor de la función que esigual a la mitad del cuadrado del valor de x más 2

11. Escribir la ecuación tic una función y sabiendo que para cada valor

de x corresponde un valor de y q ue cs igual 51 la diferencia en tre 5 y eldup lo de x . dividida esta diferencia entre 3.12. 1.a fuerza de atracción entre dos cuerpos es proporcional al producto

de las masas de los cuerpos tu y m ' si la distancia cs co nsta nte y esinversamente proporcional al cuadrado de la distancia si las masas tíovarían. Expresar esta relación por medio de una fórmula.

13. Ii altura de un triángulo es projwna'onal al área del triángulo si la basecs constante, y cs inversamente proporcional a su base si el área es cons-tante. Escribir la fórmula de la altura de un triángulo en función delárea y de su base, sabien do qu e cu an do la base es 1 cm y la altura

10 cm, el área del triángulo es 20 cm".14 La energía cinética de un cuerpo W cs proporcional al producto de la

masa tu p o r el cuadrado de la velo cidad V. Expresar la lórmula de laenergía ciné tica, (A = A).

Ib. El área de la base de un a pirám ide cs propo rcional al volumen silaaltu ra cs constante y cs ¡ovosa m en te prop orciona l a la a ltur a si elvolumen cs constante! Escribir la fórmula del atea de la base B de una

Srirámide en función del volumen V y de la al tura h sabiendo que cuandof = 12 y B — 100, V - 400.

16. x es inversamente proporcional a y. Si x = 2 cu an do y —5, hallar lafórmula de x en función de y.

17. x es inversamente proporcional al cuadrado de y. Si x = 8 c ua nd o y —2,hal lar la fórmula de x en función de y.

IB. A es proporcional a B e inversamente propo rcional a C. Cuantío B = 24C 4 A 3 H ll l fó l A f ió d B C

n i A". P A S C A L 1 1 6 2 3 1 6 6 2 1 M a t e m á t i c o y « i c i i l M n i l i qu it os m j j conocido por iu s obrrn litcru-• . . . . u n o loi " P en icc *" y Ini “ Loltrc»'*, qu«i por i u i . . •inlb urlo no n las m-atümáticat. De nitura lcxa cn-

«,l u« un verdadero niño prodigio. A lot doce

año*, dice i u hermana Gilberto, habla d a n t « i l r * J «32 proposic iones de Eu didet . A l lostcncr in n t id«ncia con Fermat, Patea! echa lat lusos da la T*de lat Probabilidad es. En tre tus trabajos figu ra al *«yo tobre lat Cónica*", que eteribió i.cmlo «o

CAPITULO

[ P R E S E N T A C I O N G R A F I C A D E L A S F U N C I O N E S

( 2 6 8 ) SISTEMA RECTANGULAR DE COORDENADAS CA RTESI ANAS ( ' )

Dos l ineas rec ta s que s e co r tan cons t i tuyen un s i s t ema de e je s coord tnatíos. Si las linea s son pe rp en d icu lar es en tre si ten em os 1111 sistemadi e jes coo rden ado s rec tan gu lares ; si no lo son ,i l iem os un s istema de ejes ob licuos. D e los p ri-m e n " nos ocupa remos en e s te Cap í tu lo .

T r a c e m o s d o s l i n c a s r e c t a s X O X ' , V O Y '

• p ie se co r tan cu e l p u n to O formando . íngulo1 re to . (F igu ra 24 ) . Es tas l íneas cons t i tuye n unto tema de e je s coordenados rec tangu la re s .

I .a l ínea X O X ‘ se l lama eje de las x o e jede las abscisas y la línea Y O Y ’ se l lama eje dela» v o e je d e las 01 don adas. El pu n to Ü se llamao r i g e n d e c o o r d e n a d a s .

I os ejes dividen al plano

de l pape l en cua t ro pa r t e s l l a-lli nías cu ad ran tes . X O Y es el c

FIGURA iS

III IV

( l ) A ti limitadas cu h m iot ilcl Celebre matcttütiC o ll a m ó Dl.sC.AR I I.S ((..nlrtlii»),•lulor «lo lu Cromen(4 AnuMIIia,

• ALGE6RA

m e r c u a d r a n t e . Y O X ' e l s e g u n d o c u a d r a n t e , X ‘O Y ‘ e l t e r c e r c ua d ra n-Y ' O X c l c u a r t o c u a d r a n te .

E l o r igen O d iv ide a cada e je en dos se in i c jcx . uno pos i t ivo y o t ro

a t ivo . O X es cl semicje posi t ivo y O X ' c l semieje negativo del ejelas x; O Y es c l sem ie je p os i t ivo y O Y ' e l s emi e je ne ga t ivo de l e j e de la s y.C u a l q u i e r d is ta n c i a m e d i d a so b r e e l e je d e la s x d e O hac ia l a de recha

pos i t iva y de O hac ia l a i zquie rda es nega t iva .

Cua l qu i e r d i s t a nc i a me d i da s ob re e l e j e de l a s y de O ha c i a a r r i ba e sit iva y .de O ha c i a a ba j o e s ne ga t i va .

! AB SCISA Y ORDENA DA DE UN PUNTO

1 . a d i s t a nc i a de un pun t o a l e j e de l a s o r-

denadas se l l ama absc i sa de l punto y su d i s t an-cia a l e je de las abscisas se l lama ordenada del p u n to . L a abscisa y la o rd e n a d a d e u n p u n toson l as coordenadas ca r t es ianas de l punto .

Asi, (l;ig.2íi)la abscisa del pu n to / 'e s ñP—OA y su ordenada A P = O U . PP y A P son las coorde-nadas «¡il punto /'.

Las coordenadas de i \ son: abscisa H P ,=O C

y ordenada CPx—OD.Las coordenadas de P« son: abscisa ¡)Pas¡OC

y ordenada CP..—OD.

Tais coordenadas 'le /*, son: abscisa DPx—OA y o rdenada A P t =O D .

Las abscisas se representan por x y las orde-nadas por y.

?• *

FI GURA 75

01 SIGNO DE LAS COORDENADAS

Las abscisas medidas del e je Y Y ' hacia la derecha son pos i t ivas y haciaizqu ie rda , nega tivas. As i. en l a f igura an te r io r t i P y D Pt son positivas:, y D P j son negat ivas .

Las ordenadas medi r l as de l e j e X X ' hacia arriba son posi t iva» y haciaa jo son nega t ivas . As í. en la figura an te r io r , A P y C P, son positivas,

S y A P * son negat ivas .

1) DETERMINACION DE UN PUNTO POR SUS COORDENADAS

L a s c o o r d e n a d a s d e u n p u m o d e t e r m i n a n c l p u n t o . C o n o c i e n d o laso r d e n a d a s d e u n p u n t o se p u e d e f ija r cl p u m o e n e l p la n o .

! ) D e te rm ina r e l pu n to cuyas coo rdenad as son 2 y 3.

Siempre, el mimen» que se da primero es la abscisa y el segundo la oided L t ió l d i di l b i 2 l d l 3

RCPRfS tNTAC ION GRAFICA D I t A J FUKCIOMIS 2 9 3

' lomamos una medida , escogida arbi t rar iamente , como unidad de me-d id a (F ig.26). Co m o la abscisa es 2, positiva, tom am os la u n id ad escogida «losveces sobre OX de O baria la derecha.

Como la ordenada 3 es posi t iva, levantamos en A una perpendiculara O X y sobre ella hacia arriba tomamos tres vecesla unidad.

F.l punto P es el punto (2, 3), del primercuadrante.

2 ) D e te rm inar e l p u n to (—3, 4). it

Co m o la abscisa es neg ativa, —3, lom am os so . P l • •) bre O X ' de O hacia la izquierda tres veces la un idadescogida; en f í levantamos una perpendicular a O X ' y sobre ella llevamos 4 veces la unidad hacia arriba _

p orque la o rdenada es posit iv a 4. El p u n to P , es X" B

el p u n to ( —3, 4), del segundo cu adran te.;¡ ) D ete rm ina r e l p u n to (—2, —4).

Llevamos ía unidad dos veces sobre O X ' de0 bacía la izq uierda p or qu e la abscisa es —2 y sobrela perpendicular, hacia abajo porque la ordenadaes 4 , la lomam os 4 veces. El p u n to P2 es el punto(—2, —4). del terc er cu ad ra nte. I f i g u r a k

) D e t e r m i n a r e l p u n t o {4, 2 ) .

De O hacia la derecha, porque la abscisa 4 es positiva llevamos la unidad

1 veces y perpendicularmente a O X , h a d a abajo porque la o rdenada nla llevamos 2 veces. El punto Pt es el pu nto (4. —2). del cua rto cu ad ran tr

I i' estos casos se puede tam bién m arca r e l va lor de la o rden ada sobre

O Y o sobre OY‘, según que la ordenada sea pos i t iva o negat iva , y sobre OX

ii O X el valor do la abscisa , según que la abscisa sea pos i t iva o negat iva . l ín

t i nccs por la úl t ima divis ión de la ordenada, t razar una para le la a l e je de Im

abscisas y por úl t ima divis ión de la abscisa t razar una para le la a l e je t ic

las ord en ad as, y el pun to en q ue se co rten OS el pu nto bu scad o, l is in diferen te

usa r un procedimiento u o t ro .P o r l o e x p u e s t o a n t e r i o r m e n t e , s e c o m p r e n d e r á f á c i l m e n t e q u e :

l ) Las co ord en ad as del or ig en son (0 , 0).

• ) L a a bsc is a de c ua l qu i e r p u n t o s i t ua do e n e l e j e d e l a s y es 0.

;i ) l_ i o r d e n a d a d e c u a l q u i e r p u n t o s it u a d o e n e l e j e d e la s x e s 0.

, ) Los s ignos de l a s co orden adas d e u n p u n to se rán :

A b i d a O r d e n a d a

En el Ir i. cuadrante X O V + +

I n e l 2du , cu ad ran te l 'O A " — +

Kn el 3er. cuadrante X ' O Y ' — —

4 A l & t l I SA

i s i :

2) PAPEL CUADRICULADO

En iodos los casos de grá f i cos sue le usa rse e l pape l d iv id ido en peque-

ños c ua d ra dos , l la m a do pa p e l c ua d r ic u l a do . Se

re fue rz a c on e l l á p i z una l i ne a ho r i z on t a l queserá el eje X O X ' y o t r a pe rpe nd i c u l a r a e l l aque será e l e je V O Y ' . T o m a n d o c o m o u n id a duna de l a s d iv i s iones de l pape l cuadr icu lado

(pue de n t oma r s e c omo un i da d dos o má s d i v i

p siones). la d e te rm in a c ió n d e u n p u n to p o r sus

X coo rdenad as es m uy fác il, pues no hay más qu e

c on t a r un núme ro de d i v i s i one s i gua l a l a s un i -

da de s q ue t e nga la absc is a o la o rde na d a ; y t a m - b ién d a d o el p u n to , se m id e n m u y fác ilm en te

sus coordenadas .F u la f ig u r a 2 7 e s tá n d e t e r m i n a d o s lo s p u n -

tos i \ 4.2). Pi{— 3,'»), / y 3 . 3 ) . l \ { 2. 5). P,(0.3)

y / M - 2.0) .FIGURA ZT

EJERCICIO 168

Determinar gráficamente loi puntos:

(1. 2). &. (3. 4 ) . 9. ( 3 . 0). 13.( 1 . 2). 6. ( —5. 2). 10. (5, I ) .( 2 . 1 ) . 7. ( 3 . 4 ) . 11. ( 4 , 3 ) . IR.(2. 3 ) . 8. (0. 3). 12. (0. G ).

Trazar la linca que pasa |>or los pumos:

(1 .2 ) y (3 .4 ). 19 (2. 4) y (5. 2 ) . 22.( 2 , I) y ( 4 . I). 20. (3, ü) y (0. I). 23.( 3 . 2 ) y ( 1 . 7 ) . 21. 0) y <0. 2 ) . 24.

(4. 0).( 7 . 10).

(3. "I)

( 4 . 5) y (2. 0).( 3 . ü) y (0. 1).( 3 . 2 ) y (3 . 2).

D ib u ja r el triá n g u lo cuyos vértices son los p u n to s (0, G), (3, 0) y (—3. 0).

D ibu jar el trián gu lo cuyos vértices son los p u n ta s (0. —5), (—4. 3) y (4. 3).D ib u ja r el i iiad ratlo cuyos vértices son (4. 4), (—4, 4). (—4. —4) y (4. 4 ) .D ib u ja r el cu ad ra do cuyos vértices son ( —1, 1), ( —4, —1), ( —4. —4) v( 1 . 4 ) .D ib u ja r el re ctán gulo cuyos vértices son (1. —1). (1. —3). (G, 1) y (fi, —3).D ib u ja r el to m b o cuyos vértices son (1, 4). (3. 1), (ó. 4) y (3. 7).Dibujar la recta que pasa por (4. 0) y (0, G) y la recta que pasa por (0. I)

y (4, 5) y hallar el punto de intersección de las dos rectas.P ro bar gr áfic am en te qu e la serie de p unt os (—3. 5). ( —3, 1). (• 3, I).( 3. 4 ). se h allan en u na linea pa ralela a la línea qu e con tiene a los pun tos (2. I), (2, 0). (2 . 3). (2. 7).P ro bar grá ficam en te qu e la linca q ue pasa pot (—4, 0) y (0. —4) es per-

|273J GRAFICO DE UNA FUNC ION

Sea y - /{*). Sabem os q u e pa ra cada va lor de x c o r r e s p o n d e n u n o ovar ios valores de y . T o m a n d o lo s v a lo re s d e x como abscisas y los valoresc o r re s p o n d ie n t e s d e y c omo o rde na da s , ob t e nd re mos una s e r i e de pun i ó*F . l con junto de todos es tos punios se rá una l inca rec ta o curva , que es e l

grá f i co de l a fun c ión o e l g rá fi co de la ecu ac ión > = /{*) qu e represen ta lafunc i ón .

K n la p r á c tic a ba s t a ob t e ne r u nos c ua n t os pun t os y un i rl o s c on ve n i rnt e n i e n t e ( i n t e rpo l a c i ón ) pa ra ob t e ne r , c on ba s t a n t e a p rox i ma c i ón , e l g i á l ic o de l a func i ón .

©REPRESENTACION GRAFICA DE LA FUNCION

LINEAL DE PRIMER GRADO

1) R epresen ta r g rá f i cam ente l a fun c ión y — 2x.

Dando valores a x obtendremos una serie de valores correspondien-te» de y:

U t r G l S t N T A C I O N G R AF IC A OE L A1 F U N C I O N l t • 2 9 5

Para x — u. y o. e l ■

X = 1f y - 2

X = 2. I I 4

X =3. y = fí. etc.Para X = I. y = 2

X — 2 . y = 4

X = 3 . y - c . ele.

R epresen tando los valores de x como abscisas y los valores co tm p o n(líenles de y com o ordenad as (Fig. 28), obtenem os la serie de pu nto s qu e apa rele u cu el gráfico. Ii linea recta Af.V q ue pasa jn ir el origen es el gráfico de y: 2x

?.) Re p re s e n t a r g r á f i c a me n t e l a func i ón y «s x + 2.

Los valores de x y los correspondientes de y nielen disponerse en una labia como se indica aroiiliniiación. escribiendo debajo de cada valor de xel valor correspondiente de y:

» ; 3 — 2 1 | 0 1 2 3 j . . . .

y H ' 0 1 2 3 45 j l - 3

FIGURA 2 1

6 • A l G t O R A

f i g u r a 2v

Representando los valores de x como abscisasy los valores correspondientes de y corno ordenadas,según se ha hecho en la Fig. 20, se obtiene la linearecia M N que no pasa por el origen. M N es el

gráfico de y ~ x I 2.O b s é r v e s e q u e e l p u n t o P, donde l a rec ta

c o r ta e l e je d e la s y, se o b t ie n e h a c i e n d o x 0 ,y e l p u n t o Q. d o n d e la rec ta co i l a e l e j e d e la s x . s e o b t i e n e h a c i e n d o y — 0. O P ser llama inter-cepto sobre e l e je de las y , y O Q i n t c i c q t t o s ob reel e je de las x . E l s e g m e n t o O P e s l a o rdenadaen e l o r igen y e l s egmento O Q la abscisa en el

or igen .O b s é r v e s e t a m b i é n q u e O P — 2 . igu al q u e

el té rm in o i n d e p e n d ie n te d e la fu n c ió n y x + 2 .

b ) R e p re s e n ta r g rá f ic a m e n te la f u n c ió n y = 3 x y la f u n c ió n y = 2 * + 4

En la Iunción y = :t.v, se tiene:

El giáfico es la linea C l) que no pasa jxnorigen. (Fig. ISO).

l o s intcrcqxos O P y O Q se obt ienen, O P haciendo x — 0 y O Q haciendo—0. Obséiveve q u e O I‘ = 4, término indepen diente de y —2x + 4.

Vis to lo an te r io r , podemos es tab lecer los s igu ien tes p r inc ip ios :

1 ) I oda (unc i ón de p r i m e r g ra d o r e p re s e n t a una l inc a r e c ta y po r eso

l l ama func ión l inea l , y l a ecuac ión que represen ta l a func ión se l l amauac ión l inea l .

2 ) S i la func i ón c a re ce d e t é rm i no i nde p e nd i e n t e , o se a s i e s de larm a y = a x , d o n d e a es cons tante , la l inea rec ta «pie e l la representa pasa

FIGURA 30

El gráfico es la linea /I II que pasa por elgen. (Fig. 30).

E n l a fundón y — 2x t 1, tend rem os :

3) S i l a (unc ión t i ene t e rm ino inde |>e i id ¡en tc , o sea si c s d e la (o r ina y — a x + b , d o n d e a y b son cons tan tes , l a l inea rec ta que e l l a represen tano jxasst por el origen y su intercepto sobre el eje de las y es igua l a l t e rm i-n o in d e p e n d ie n t e b.

DOS PUNTOS DETERMINAN UNA RECTA

P or t a n t o , pa ra ob t e ne r e l g r á l i c o de una func i ón de p r i n i c t g i a d t i . basta o b te n e r d o s p u n to s c u a le sq u ie ra y u n ir lo s p o r m e d io d e u n a lím >recta.

Si la func i ón c a re ce de t e rm i no i n de pe nd i e n t e , c omo un o de los puut os de l g r á f i c o e s e l o r i ge n , ba s t a ob t e ne r un p l i n t o c ua l qu i e r a y un i r l oron e l o r i ge n .

Si la func ión t ien e t é rm ino ind ep en dien te , lo m; is cóm odo es ha llo ilos intereqi tos sobre los e jes haciendo x~<) e y — fl, y un ir los do s pu n tos

q u e s e o b t ie n e n .

BfVRr ' .INTAC ION GRAFICA DE LAS FUNCIONES • 2 9 7

Ejemplo

Roprosentor grúficoinenlc lo función 2x y = 5 dondt* / cs lo variable dependiente función

Cuando en una función lo vor ioble dependienteno osló despejado, como en este coso, ’.n funciónse llamo /mp/icito y cuondo lo vorioble dependienteosló despejada, ia función csexplícito.Despejandoy,tendremosy= 2x— 5. Ahora la función es exp/ícilo.Poro Isallor los interceptor, sobre los ejes (Fig. 31|,diremos:

Paro x = - 0. y — — 5.

Poro y“ 0. tendremos:

0= 2 * - 5 luego 5= 2 * . \ x = 2.5. [ f i g u r a n

Elg róficode y= ?x— 5OS la línea recta AB.

EJERCICIO 169

Representar g rá ficam ente las func iones :

I • y = x . 7 . y = 2x — 4..1 y - — 2x . 8 . y= :»x+ tí.3 y - x - l - 2 . 0. y = 4 x + . r>.» y - x 3. 10. y — — 2x i- I.

y - x t l . 1 1 .y = — 2x — -1 .1 y ¡ | x + 3 . 12. y = x - 3 .

Repre senta r las (tin cio ne s s ig uie nte s s ie ndo y la v a ria b le d ependie nte :

l i O 21 2 10 23 | 8 25 fi 2

13. y = 8 3x. 16. y =x —9

i i 17. >• =

|J5 x 4

16.x + 6

18. y = ? + « ■

F I G U R A 3 2

@GRAFICOS DE ALGUNAS FUNCIONESDE SEGUNDO GRADO

1) Gráficode y = x~.

Formemos una labia con los valores de x y los correspondientes de y:

98 • a i . w i i k a

F.ii cl gráfico (Fig. 32) aparecen representados los valores de y co-rrespondientes a los que hemos dado a x.

La posición de esos puntos nos indica laforma de la curva; es una parábola, curvailimitada.

El trazado de la curva uniendo entre silos puntos i|ue liemos bailado de cada Indo deleje de las y es aproximado. Cuantos más pun-tos se bailen, mayor aproximación se obtiene.

l i ope ra c i ón de t r a z a r l a c u rva ha b i e n-do ha l l a do s ó l o a l gunos pumos de e l l a s el l an ta in te rpo lac ión , pues hacemos pasa r l a

c u rv a p o r m u c h o s o tr o s p u n t o s q u e n o h e m o sh a lla d o , p e r o q u e s u p o n e m o s p e r te n e c e n a l aCurva.

'¿) G r á fi co d e x - + / = Jt>.

Despejando y tendremos:

y ~ = |g — x - , luego, = í : ■ • / l6 - X * . F I GURA JJ

El signo ± proviene de qu e laa l/ cuadra rla d e una cantidad poli ( +2) X {+ 2) = +1 y ( 2 ) x ( —2) = +

R C P R C 5 Í N T A C I 0 M G R A F I C A OE L A S S U N C I O N t S • 2 9 9

Por tanto, en este caso, a cada valor de x corresponderán dos valoresde y, 11110 positivo y otro negativo.

Dando valores a x:

X 4 3 2 1 1) . 1 2 3 4

y 1) —2.6 = 3.4 = 3.8 2.4 = 3.8 ± 3 .4 = 2.6 i) i

I .a c urv a (Fig. 33) es u n círculo cuyo centro está en el origen.

T o d a e c u a c ió n d e la fo r m a x * r y- = r - r e p r e s e n t a u n c i r c u l o c u y o r a d i o

es r. A s i ,

en e l caso an te r io r , e l r ad ioes 4 , que es l a r a íz cuadrada de 16 .

3) G ráf ico de l 2ñ ) = 225.

Vamos a despejar y. Tendremos:

25y* = 225 9x2 / . >•* =

Dando valores a x, tendremos:

X 5 4 3 2 -1 0 1 2 3 4 5

= 1.8 = 2 .4 = 2.6■■

= 2.8 =3 ±2.8 ±2 .6 = 2.4 ±1 .8

En la lig. 34 aparecen representados los valores de y correspondiente.■ l<n que l iemos dado a x. l- i curva que se obtiene es una elipse, curva

cerrada. £2 y 2r oda e c ua c ión de J a f o r m a a2x'J + = a-b'*, o sea — 4 = 1, r ep te

,. 0‘ a2tenia una e l ipse .

l ) G r á fi c o de x y — 5 o y — —.

Dando a x valores positivos, tendremos:

51 2 3 4 5 6 7 8

= «0 10 5 2 .5 , . 6 1 . 2 5 1 0.8 0.7 0.6 |) 1

Maleando cuidadottjiiiicnlc estos puntos obtenemos la curva situada en• I |n . cu ad ran te d r la Fig. 35.

0 0 ® AtGIBRA

FIGURA 35

D a n d o a x valores negativos, tenemos:

X 0 _ :r' 1 2 3 4 5 —6 7 8 | . . . . $2 (fí

y í : co 1 0 5 2 . 5 1 .6 1 .2 5 1 —O.ft' —0.7 | 0 .ó | ------

” 1Marcando cuidadosamente cúos puntos obtenemos la curva s i tuada enl 3er cu ad ran te d e la l 'ig. 35.

La curva se aproxima indclinidamente a los ejes sin llegar a tocarlos;os toen un t.l infinito.

La curva obtenida es una hipérbola rectangular. ' I 'oda ecuación de la

forma x y = a o y = 7 d on d e a es constante, representa una hipérbola de

esta clase.La pa ráb o la , la e l ipse y l a b ipér l ro la se ll am an secc iones cón icas o

s im plem entcs cón icas . E l c í ra t lo es un caso espec ia l d e la e lipse .E s t a s c u r v a s s o n o b j e t o d e u n d e t e n i d o e s t u d i o e n G e o m e t r í a A n a -

lítica.

OBSERVACION

E n l o s g rá f i co s n o e s i mp res c i n d i b l e q u e l a u n i d ad s ea u n a d i v i s i ó nd e l p a p e l cu a d r i cu l ad o . P u e d e t o m ars e co m o u n i d ad d o s d iv i sio n es , tr es

d iv i siones , e t c. E n m uch os casos es to es m uy con ven ien te .La un idad para l as o rdenadas puede ser d i s t in ta cp ie para l as absc i sas .

EJERCICIO 170

Hallar cl gráfico de: y '¿x-.

*0 . y = xs + 1.0 2

11 . xí ya = 40.

o o t s t h o r p e

ISAAC NEWTON 116 421 727 1 El m ái grande d c U a matumiflCM ingliijui. Su libro "Principia M.ithemji l i . iV' , comidcrado como uno do lo» mi» grandes por-tento» de la mente humana, le bastaría para ocupar uniug»r aobresaliunte en la historia do las matemáti-

cas, Descubrió, cari simultáneamente ton l.elbnilCálculo Diferencial yol Cálculo Integral. BaiimU'los trabajos Je Kepler, formuló la Ley «le Oravi|,Universal. Ya en el dominio demonial deldebemos el desarrollo del Binomio que ll«>» ...... .

C A P I T U L O X X |

G R A F I C A S .

A P L IC A C IO N E S P R ACT ICA S

¡276IUTILIDAD DE LOS GRAFICOS

Es m uy gra nd e. E n M atem át icas . on F ísica , Es tad ís tica , en la iudus

t r ia , en e l com erc io se em plean m uc has los g rá fi cos . E s tud ia rem os algunoscasos pr.1<:ticos.

' 277 ¡ S i e m pr e que una c a n t i da d s e a p r opo r c i ona l a o t r a e s i gua l a e s t a o t r am ul t ip l ica da p or u n a co ns tan te (2G0). Asi, s i y e s p r opo r c i ona l a x .

( rodemos escr ibi r y — ox, d o n d e « es c o n s t a n te y s a be m o s q u e e s taecuaciónreprésen la una l i nea r ec t a que pasa por c í o r igen (274) .

P o r ta m o , la s va r ia c ione s de un a c a n t i da d p r opo r c i ona ) a o t r a e s ta r ánt r presen (acias por un a l ínea recta q u e posa p or e l o r igen.

Pe r tenec en a es te caso e l sa la r io p rop orc ion a l a l t i em po de t r aba jo ; e lc o i to p r opo r c i ona l a l n úm e r o de c osa s u o b j e to s c om pr a dos : e l e s pa c io p r o p o n io nal al tiem po , si la v eloc id ad e s c o n s ta n te , etc .

02 • aigíoi ia

<11 Un ob-ero gano $2 por boro. Hollor lo grófico del so-lorio en función del t iempo.

Sobre- ol eje de las x | f¡g. 36) señalarnos ol tiempo. Cuatro divisiones representan una horo y sobre el e¡e de los y el solario, codn divis ión repre

senta un peíO.En una boro el obrero gana32: determinamos el punto Aque marco o l valor de! salario $2 puro une horo y comoc¡ salario es proporcional altiempo, lagrálico tieneque seruno linca recia que paso por

el origen. UnimosA con O ylo recta OlV. es la gráfico delsolario.

Esta lobln gráfica nos do d valor dol solnrin puia CUO-quier número do horas. Parosohci el süloriocorrespondiente a un tiempododn no hay

másque leer elvalor do laordenodn para ese valor do la abscisa. Asi se veque en2 borosel saíurioesS-1; en 2 horasy CUOfte $4.50; o r 3 horas, 36; on3 horas y <15 minutoso 3? horas,$7.50.

Ejemplos

|2 ) Sabiendo que 15 dólares equivelen n 225 sucres, iormor una tabla que permita convertir dólares en sucres y viceversa.

las abscisas serón dólares, |:ig. 37J. crida división c; U. S. $1.03; losordenados sucres, codadivis ión 15 sucres. Hollamosel volar de la ordenadacuando la ubsci-císa es U. 5. $15.00y tenemos el punto A. UnimosC-ste punto ron O ytendremos la gráficaOALDando suficiente extensión o losojes, podemosSabercuántos sucressoncualquier número de dó

lares. En el g iú lk o se vequo U. S. $1 equivale o15 sucres, U. S. í-450equivalena 67.50sucres,U. S. $9 a 135 sucres y c HGURA S>

DOLARES

CKAÍICAS, APLICACION!* PRACriCA* • 3 0 3

B > Un Iren que va a -10 Km por hwo sale de un punió O a ¡o* 7 o. m. Con»-fruir uno gráfica que permito hollar o qué distancia se halla del punto departida en cualquiermomentoy a que hora llegará al punto P situado a I -0Km de O.

Les horas (f ig. 36|, ion las abscisas; codo división es 10 minutos. Las di»rancias las ordenodas; cada división 20 Km.Saliendo a los 7, o las 8 habrá andado ya '10 Km. Marcamos e l punto Ay lo unimoscon O. la lineoOM es ia gráfica de la distancia.Midiendoe lva lor de la ordenada,veremos que por ejemplo, a los 8 y 20 '•>halla a S3.3 Km del puntode parl idu; a las 9 >• 15 a 90 Km. Al punto *situado a 1-60 Km llega o los 10 y 30 o.m.

<-<) Un hombresale de O hacia M,siluorío a 20 Km de O o las 10 a. m. y va ii8 Km por hora. Coda vez que onda una hora, se detiene 20 minuto»para descansar. Hallar gráficamente o qué hora llcgorú a Af.

Cada división de OX (fig. 39), representa 10 minutos; codo división de OVrepresenta 4 Km.

FIGURA 19

0 ? 9 ALGE& KA

Como va o 8 Km pe' hora y 5o:e a leí 10 o, m. o las II habrá andudo yo8 Km¡ w; halla cn A.El tiempo que descansa, de II o 11.20 se expreso con un segmento AB porolelo ol eje de la i horas, porque el tiempo sigue avon /ando. A leí 11 y 50

emprende de nuevo su marcha y en uno hora, de 11.20 o 12.20 recorre otros8 Km, tueco se hallará en C que corresponde a o crdenodo 16 Km. Deseanso oíros 20 minutos, de 12.20 a 12.40, Isegmento Cí>J y a las !2.¿0 emprendeotro vez lo morcha. Aboco lo falten 4 Km para llegar o M. Oo í> o M laordenado aumenta 4 Km y ol punto M corresponde en lo abscisa la 1 y 10

p . m. R.

p . EJE RCIC IO 171

I E L I I A L A S U N I D A D E S A D t C U A O A S I

1, Construir unw gráfica que permita hallar el costo de cualquier ntimcJ»

de metros de tela (hasta 10 m) sabiendo que 3 m cuestan .>4.•¡ Sa bien do qu e ó tu de tela cuestan SC¡, h alla r grá ficam ente cu án to cuestan8 m. ft ni, 12 rn y cuántos m eno s se pued en com prar con $ 20.Sabiendo que I dólar = 1 5 sucres, construir u na gráfica q ue perm itacambiar sucres |X>r dólares y viceversa hasta 20 chilares. Halle gráfica-m ente cuá ntos dólares son 3750, 45 y 83 sucres, y cuán tos sucres son 1.50v 7 dólares.

a . Sa bien do «pie bs. 200.ganan bs. Il> al año . con struya un a gráfica que p rim ita ha ll ar el Ín teres anua! de cua lqu ier can tid ad hasta bs. 1000.H alle g ráf ica m en te el inte rés de bs. 450, bs. 700 y bs. 025 en un ario.

. Por :} ho ras de tr ab ajo mi h om br e rec ibe IS soles. H a lle g>á lien men te

el sa lario de 1 hora s, y horas y 7 horas.¡¡ Un tren va a <¡() Km por hora. Hallar gráficamente la distancia reco-

rrid a al cabo de 1 ho ra y 20 m inutos, 2 hom s y cuarto, :¡ ho ras y m edia.Y. H alla r la gráfica del mo vim iento un iform e cíe u n mó vil a ia/ó u de $ m

por segundo hasta 10 segundos. H alle gráfic am ente la dis ta ncia recorr idaen 5J seg„ en 7? scg.

y. Un hombre sale de O hacia M , situado a l>0 Km de O. a las (¡ a.m.y va a 10 Km por hora. Al cabo de 2 horas descansa 20 minutos yreanuda su marcha a la misma velocidad anterior. Hallar gráficamentea qué hora llega a Ai.

<1 U n hom bre sale <lt; O hacia Ai, si tuado a 33 Km de O. a lar. y a.m.y va a 3 Km por hora. Cada vw. que anda una hora, descansa 10 minutos.Hallar gráficamente a qué llora llega a Af.

iO U n h om bre sale de O hacia Ai. simad o a (¡3 Km. de O, a 10 Km porhora , a las y a.m. y otro sale de Ai hacia O, m cj mismo instante, a$ Km |Mr hora. Determinar gráficamente el punto de encuentro y lahora a que se encuentran.Un Jileo de un líquido pesa .800 g. Hallar gráficamente cuánto pesan1.4 I. 2.8 I y 3.75 1.

1 2 I Kg = 22 Ib. H alla r grá ficam ente cu án tos Kg son 11 Ib y cuá ntaslibras son y.28 Kg.

13. Si 6 ya rd as —5.5 m , hallar gráficam ente cuá ntas yardas son 22 ni, 38.5 nt.Un auto sale tic A hacia H, si tuado a200 Km de .1, a las 8 a.m . y regresasin detenerse en ñ . A la ida va a 40 Km |>or horay a la vuelta a 50 Km por hora. H alla r la grá fica «leí v ia je tle id a y vuelta y la hora a quellega al punto tle partida.

0G K A H C A J , A P L I C A C I O N » P R A C T I C A ! • 305

ESTADISTICA

Las Cues t iones de Es tad ís t i ca son de ex t raord inar ia impor tanc ia parala ind u str ia , e l com ercio , la educa ción, la salud pú bl ica, e tc . 1.a Estadís tica

es u n a c i en c ia q u e se e s tu d i a b o y en m u ch as U n iv e r sid ad es .Daremos t ina l igera idea acerca de es tas cues t iones , ap rovechando lao p o r tu n id ad q u e n o s o f rece l a rep resen t ac ió n g ráf ica .

METODOS DE REPRESENTACION EN ESTADISTICA

El p r im er paso para ha cer un a es tad íst ica es con segu i r todos los da to .]>osib les acerca del asunto de que se t ra te .

Cuan to más da tos se reúnan , más f ie l se rá l a es tad ís t i ca .Una ve/ , en poses ión de es tos datos y después de clas i f icar los r igurosa

mente se procede a la representación de los mismos, lo cual puede l iaceiM p o r m e d io d e ta b u la re s y d e gráficos.

280) TABULAR

C u a n d o lo s da to s e s tad ís ti ca s se d i sp o n en en co lu m n as q u e p u e d an v il e ídas ver t ica l y hor izon ta lmente , t enemos un tabu lar .

En e l t í tu lo de l t abu lar se debe ind icar su ob je to y c l t i empo y h igma q u e se r e fi ere , t o d o ' co n c l a r id ad . L o s d a to s s e d i sp o n en e n co lu m n as

sep arad as una s de o tras p o r rayas y enc im a «le cada co lum na de be había <• >>t ít u l o q u e e x p l iq u e lo q u e l a c o l u m n a re p r e s en t a . l a s f ila s h o r i /o n l a l r tt i enen también sus t í tu los .

Los totale s «le las co lum na s v an a l p íe d e las mism as y los totales <l<las f i l as hor izon ta les en su ex t remo derecho , genera lmente .

l os tabulares , según su índole , pueden ser de muy diversas lo im.i ' . \c la ses. A co n t in u ac ió n p o n em o s u n e jem p lo d e tab u la r :

VENTAS D£ LA AGENCIA DE MOTORES " P . R . " CARACAS

ENER O JUNI OCAMIONES Y AUTOMOVILES POR MESES

M ( S U C A M I O H L S

A U T O M O V I L E S T O T A L

A U T O M O V I I I

V C A M I O N !C t R R A O O S A B I E R T O S T O T A L

ENÍRO 18 20 2 22 40

FEBRERO 24 30 5 35 59

MARZO 31 40 8 48 79

ABRIL 45 60 12 77 117

MAYO 25 32 7 .19 64

JUNIO 15 20 3 23 36

6 • ALGEBRA

1) GRAFICOS

Por medio de grá f icos se puede representa r toda c iase de da tos es ta-sticos. G ráf icam en te , los datos estadís ticos se pu ed en repre sen tar po r m e-

o de barras , c í rculos , l ineas rec tas o curvas.

2) BARRAS

C uan do se qu ie ren exp resa r s imples com parac iones «le m edidas se enecan las b a rra s , q u e p u e d e n se r h o rizo n ta les o vertica les . Ksios g ráficose len l levar su esca la . C ua nd o oc ur re a lgu na ano m al ía , se ac la ra con u na

ota a l pie .

E j e m p l o d eáfica» con barras« ¡zo nta les.

FIGURA 40

PRODUCCION DE CAÑA DE LA COLONIA

i*o«i ANOS 1951 5 7

MILLONES DE ARROBAS

m u i a r c s E j e m p l o d e i* fjttzt'iAnrs

á fico co n bar rasrticales.

CIRCULA CION DE LA REVISTA "H "

P O R M C S T S J U l t O O I C .

F I G U R A 4 1

G R A F IC A S . A P U C A C I O N t * PR A C T I C A* 3 0 7

Algunas vcccs en l a comparac ión de med idas se emplean c i rcu len , demodo que sus d iámetros o sus á reas sean proporc iona les a las cant idades

q u e s e c o mp a r a n .

2 8 3 ) C I R C U L O S

V E N Í A S E NL A C A P I T A L

$ 4 0 . 0 0 0

VENTAS ENEL INTERIOR

$ 10.000L A C A P I T A L

$ 4 0 , 0 0 0

VENTAS ENEL INÍEBIOR

$ 20,000

FIGURA 47

E n la f igura 42A se rep resen tan la s ven tas de u n a ra sa de com en ioi lu ía n le u n año . $40000 en la C ap ital y 520000 en el in ter io r , p o r m edio d>

dos c í rcu los , s i endo e l d i áme t ro de l que rep resen ta $40000 dob le de l quei r pre sen ta 520000. En la f igu ra 42B el áre a del c ircu lo m ay or cs do ble qu>

la del menor.S iem pre cs pre fer ib le usar el s is tema d e á reas pro po rc iona les a las <ui

t i d a d e s q u e s e r e p r e se n t a n e nve/ de l de d iámetros .

Es te s is tem a no c s m uy usa-do; es preferible e l de las barras.

Los c i rcu ios se emplean

también pa ra compara r en t re s ilas pa i tes qu e form an u n todo,representando las par tes por sec-ones c i rculares cuyas á reas sean

p io jx irc io n a lc s a las p a rte s q u e

»c comparan.Asi . para indicar que de los

$10000 de venta de una casa de

tejidos en lí) .»8, el 20% se vendióal contado y el reato a pla/us, se

p u e d e p ro c e d e r as i:

V E N I A

Í30.CCO

$50.000

F I G U R A 4 1

8 • AL 6MHA

K s p re fe r i b l e c l mé t odo de ba r r a s I!, da da l a d i f i c u l t a d de c a l c u l a rr a me n t e e l á r e a de l s e c t o r c i r c u l a r .

P a r a e x p r e s a r q u e d e lo s $120000 e n m e rc a n c ía s q u e t ie n e e n e x i s te n -

u n a lm acé n , c l 25% es azúc ar , c l 20% es ca fé y c l res to v íveres, | rodemo so c e d e r así:

E X I S T E N C I A

VttO.MO

Í I C U H A 4 4

EXISTENCIAsuo.eoe

1 x y í g r á f i c o s a n t e r i o r e s e n q u e l a s p a r t e s d e u n t o d o s e r e p r e s e n t a n p o r

ctores circulares sonllam ados en inglés “ pie charts", (gráficos de pastel)rq u e lossectores tienensemejanza con los cortes qu e se da n a u n pastel.

4 ) LINEAS RECTAS 0 CURVAS. GRAFICOS POR

EJES COORDENADOS

Cua ndo e n E s t a d í s t i c a s e qu i e r e n e xp re s a r l a s va r i a c i one s de una c a n-a d e n f u n c i ó n d e l t ie m p o s e e m p l e a la r e p re s e n t a c ió n g r á f ic a p o r m e d i ocje.s coo rden ado s . ! .as abscisas rep rese n tan los t iem po s y las ord ena daso t r a c a n t i da d que s e r e l a c i ona c on e l t i e mpo .

Cuando una can t idad y es propotcíonal al t iempo I, la ecuación que la liga coneste es de forma y = al, donde « es cons-tante. luego cl gráfico de sus variaciones seráuna línea recta a través del origen y sisu iclación con el t iempo es de la forma y — al + b, donde a y l> son constantes, elgráfico será mía linea recta que no pava

por cl origen.Asi, la estadística gráfica de las ganan

cias de un almacén de 1954 a 1957. sabiendoque en 1954 ganó $2000 y que en cada arto p o s te r io r ganó $2000 m ás qu e en cl in m edia -

r i C U H A 4 S

G R A F I C A ! A P L I C A C I O N (S PRACTI CAS • 3 0 9

Pero esto no es lo más corriente. leí usual es que l.is variaciones de l.icantidad «pie iej»rcsentan las ordenadas sean más o menos irregular»» y enlotices el g rá ííro «•» u na línea cu rv a o qu eb rad a.

Li fig. 46 muestra las variaciones dela tem peratura m ínim a en una c iudad deldía 15 al 20 de diciembre. Se ve que eldía 15 la mínima fue 17.5°: el día Ifi «le10", el «lia 17 de 15° , el IR «le 25°. e l 1!)«Ir 22° y el 20 de 15®. Ii líne a q ue b rad a«¡tic se obtiene es la gráfica de las varía*nones de la temperatura .

FIGURA 46 DIAS DE DIC.

En la fig. 47 se representa la produc-ción de una fábrica de automóviles durantel«is 12 meses del año en los años 1954, 1955,1956 y 1957.

El va lor <!<• la oicicnada ro rre sp otu lien ica cada mes da la producción en esc mes.

El grálico exhibe los meses de mínimay máxima producción en cada año.

FIGURA 47

En la fig. 48 se exhibe «:l aumento dela población de una ciudad, «lesilr 1935

basta 1960. Se ve q u e en 1935 la pobla ció nera de 5000 almas: el aumento de 1935 a1940 es de 2000 abrías: «le 1940 a 1945 de(¡IKK) almas; etc. La población en 1955 es

«Ir 30000 almas y en 1900 de 47000 almas.

FIGURA 48

* EJERCICIO 172

Expíese por inedio de barras borirontalcs o verticales que en 1962 lascolonias del Central X produjeron: La colonia A . ’¿ millones «le arroba»;la «olnnia II. 3 millones y medio; la colonia C, un inillini y cuaito y lacolonia />, 4 | millones.

Exprese por barras que de los 200 alumnos de un colegio, hay 50 de10 año». 40 «le II años, 30 «le 13 años, 60 «le 14 año» y 20 de 15 años.

' Exprese po r m edio de sectores circulares y de b arras qu e «le los 80000sacos «le mercancía» «pie tiene un almacén, el 40% son de a/úcar y el«esto «le aíro/.

AUTOMOVILES

n u «ss m i r»j

M i li A N IS

0 • A l C t B R A

4. Exprese por medio de sectores circulares y de barras que de los 200000autos que produjo una fábrica en 19G2 100000 fueron camiones, 10000amos abiertos y el icsto cenados.

¡i. Exprese por barras horizontales que el ejército del país A t iene 3 mi-

llones «le hombres, el de B un millón 800000 hombres y el de <’ 600000hombres.0 Expíese jK»r medio de barras verticales que la circulación de una revista

«le marro a julio de 1062 ha sido: marzo, 10000 ejemplares: abril, 14(JO0:mayo, 22000; junio, 25000 y julio. 30000.

7. Indique |x>r medio de lianas que un almacén ganó en 195G $3(KX) ydespués cada an o basta 1962. ga nó $1500 mys «pie el añ o a nterior.

8. Exprese |>or m edio de barras qu e un hom bre tiene invertido en casas bs . 5 UKXM). en valo res bs. 100000 y en u n Banco bs. 120000.

9. Exprese |>or medio de liarras «pie un país cx|>ortó mercancías |>or lossiguientes valores: en J957. >4 millones de |>csos; en 1958. 17 millones:e«¡ 1959, 22 m illones ; en 196 0 20 m illones ; en 1962 25 m illones y en196 2 10 m illones.

10. Hag a uu grá fico q ue exprese las tem pe ratura s máxim as siguientes:Día 14. 32°; día 15. 35°; «lia 10, 38*; «lia 17. 22°; día 18. ló*. «lia 19. 25°.

11. Haga un gráfico que exprese las siguientes tcnijicraluras de un enfermo:D ía 20 : a las 12 d e la noche. 39°; a las G a.tn ., 39.5°: a las 12 del «lia 40";a las 6 p.m., 38.5" . D ía 21: a las 12 de la noch e, 38": a las 6 a.n»., 37°;a las 12 de l «lia, 37.4 °; a las 6 p.ui.. 3 6°.

32 Ias coi ¡/acio nes «leí dó la r h an só lo : Din 10, 18.20 soles: «lia 11, 1840 ;día 12, 1900; «lia |3, 18.80: día 11. 1860 Expuse gráficamente estacot izac ión .

13 Un alumno se examina de Algebra todos los meses. En octubre obtuvo55 pun tos y en cada mes posterior hasta mayo obtuvo 5 puntos más queen el mes an terio r. H allar la gráfica de sus calificaciones.

14. Ias calificaciones de u n a lum no en Algebra han sitio: o ctub re 15,90 pu nto s: oct. 30. 60 pun ios; nov. 15. 72 pun tos: nov. 30. 85 punto s:d i e 15. 95 pun tos. H alla r la gTáiica «le sus calificaciones.

15. La po b lac ió n «!«• un a ciud ad fu e en 1930. 5000 a lmas; e n 1940, 10000

almas; cu 1950. 20001) almas; en 1960. 4001)0 Hallar la gráfica del aumentode población.16. I.as v enta s de u n alm acén h an sido : 19.77. $40000: 1958. S60000;

1959. $35000: 19G0 S2U00U. 1961. $5000; 1902. 512500. Hallai la giálitade las ventas.

17. Las importaciones «le un almacén de febrero a noviembre de 11162 lian.sitio: febrero, $56000; marzo. $80000: abril. $90000: mayo. $100090; junio,$82000: julio. SVIOOO: agom», $60000; septiembre. $94000: octubtc.$75000 y noviembre, $63000. Hallar la gráfica.

18 I a s cantidade s em pleadas poi una «ompañia en salarios d e sus ol ñeros

«le ju li o a dii iimbre «le 19G2 fueron : ju lio $25000: agento. $30000;sepL, $40000: oct., $20000: ik *v ., $12000: «lie $23000. Hallar la gráficade los salarios.

19. Rcc«>memlamos a to«lo ahunito como ejercicio muy interesante «pie lleveuna estadística gráfica «fe sus calificaciones de I« k 1o el tuiso en estaasignatura

• i ^ o i a _ i .OIT fRIED WILHELM LEIBHITZ < 16 46 171 6) F¡U . lo f n u l c m i lk o i l n ú n . U m c n le m i l u nÍT oru I 4» iu rpoc*. Dominó todj la fi loinl ia y toda la ciencia 4« »u tiempo. Descubrió umultáneameata con Newton •I Cálculo Difere ncial. Detarrolló notablemente ci

Anál i s is Combinatoria . Mantuvo durante M r •»la idea de una matemática simbólica Grassman comenzó a lograr al deiarrotlar *t *1de Mam ilton. M urió cuando escribía la hlitM)la familia 8runswick en la Biblíotoca d* II»-

C A P 1 Í U L 0

E C U A C I O N E S I N D E T E R M I N A D A S

285 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES

C onsiderem os la ecuac ión 2x I 3y = 12, qu e l icnc dos var iables o tucógni tas . Despejando y . t e n d re m o s :

1 2 2 *3y = 12 — 2x >• = ------------- .

Pa r a r a d a va lo t q u e dem os a x ob tenem os un va lo r pa ta y Asi. pa t a

x = 0 . y I x = 2. y = 2jj x — I , y = 3J x 3 , y 2 . e ir .

T od os es tos pares de va lores ,sus t i tu idos en la ecuac ión dad a , la con -vier ten en iden t idad, o sea que sa ti sfacen la ecuac ión. D and o va lores a x( todemos ob ten er inf in i tos pares de v a lores q ue sa ti sfacen la ecuac ión. Estaes u n a e cu a c ió n in d e t e r m i n a d a . En t o nc e s, to d a e c u a c ió n d e p r i m e r g r ad oron dos va r i ab le s e s una ecuac ión inde te rminada .

286 ) RESOLUCION DE UN A ECUAC ION DE PRIMER GR ADO CONDOS INCO GN ITAS. SOLUCIONES ENTERAS Y POSITIVAS

I l en tos v is to que toda ecuac ión de p r im er g rado con d os incógn i ta s oinde te rminada , t i ene in f in i t a s so luc iones ; pe ro s i f i j amos l a cond ic ión de

• A L G t ü H A

l as soluc iones sean enteras y pos i t ivas , e l número de soluc iones puedel im itad o en a lg un o s casos.

Ejemplos ( !) Resolverx-1 y~ 4, pata valores enteros y positivos.

Despejondo y, tenemos: y = 4— x.

Elvolordeydependedelvalorde x; x tieneque serentero y positivo segúnla condición (ijada, y poro que y sea a t le ta y positiva, cl mayor volor quepodemosdoro x es3,porquesi x = 4, entoncesy = 4 — x = <1— 4 — 0,ysi x es 5 ya se tendría y = 4 — 5= — 1, negativa. Por tanto, los soluciones enteros y positivos de lo ecuación, son;

x= 1 y - 3

x= 2 y - 2x = 3 y R.

(2) Resolver 5xt 7y— 128 paravalores enteros y positivos.

Despejondo x que tiene ol menor coeíicicnte, tendremos:

5x= 128- 7 y x - j £ l z Z ^ .

Ahoro descomponemos 128 y — 7y en dossumandosuno de los cuales sea clmayar múltiplo de 5 que contiene cada uno, y tendrerpoS:

125+ 3 - 5 y - 2 y 125 5y 3 - 2 y 3 - 2 yx= ---------------------------- 1------ - — = 25— y+ — -—

5 5 5 5 ' 5

3 _ 2 y . . 3— 2yluego quedo: x = 25— y d — y de aquí x — 25 I y - — - —

Siendo x e y enteros, (condición lijado) el primer miembro de esto igualdadtieneque serentero, luegoc l segundomiembro será entero y tendremos:

3 - 2 / — — entero.

Aliara multiplicamos cl numerador par un número tof que ol dividir c l cocficientode yenfre 5 nosdéde residuo I, en este cosopor 3 ,y tendremos:

9 — ¿y — - — = entero

9 6y 5 I 4 Sy - y 5 Sy 4 y 4 - yo seo -— — — --------1-------- — I y f — entero

5 5 5 5 5 5

4 — yluego nos queda I - y • — - — — entero.

4 — y 4— yPora que I — y I --------- sea entero es necesario que---------- — entero. Lla-

Despe¡ondo y. 4— y = 5m — y— Sni ■4

y = 4 — 5m. (1)

Sustituyendo este valor d t y en loecuacióndodo 5*+ 7y— 128, leñemos-.

5x+ 7(4 — 5m)= 1285x+ 28 35rrr— 128

5 x = l00+ 3Sm100 + 35m

x— ---------------

x= 2 0 -f-7/n. (2 )

Reuniendo los resultados <1 I y ( 2 ) , tenemos:

ICUACIOwts INOETÍKMIHAOAS • 3

(x - 2 0 + 7/n>y= j¡_ 5 dondem cs entero.

Ahoro,dandovo'.oresa m obtendremosvoloresparo xc y. Si algún valarnegativo, se desecho la solución.

Así: Poro m= 0 x= 20. y = 4m= 1 x= 27. y = — 1 se desecha,

No se pruebanmásvalorespositivos de m porquedorion loy negativo

Paro m— — 1 x— 13, y — 9« = — 2 x = 6, y=s 14m = — 3 x = — 1, se desecha.

No se pruebanmásvalores negativosde«7 porque darían lox negativoPor tonto, lossoluciones enteros y positivosde la ecuación,san:

x= 20 y— 4x= 13 y= 9x ^ d y— 14. R.

losresultodos <11 y <2 > sonlo soliKÍóngeneralde la ecuación.

3I Resolver 7x— 12y= 17 pora valores enteros y positivos.

Despejando x: 7x= 17+ 12y x = ------ — —

14+ 3+ 7y+ Sy 14 7y 3+ 5y 3 I 5yo m , = ----------------------- -------------------= _ + _ . + _ _ = 2 + i r + ^ „

3 5yluego quedo x= 7 + y H —

0 _ 3 + 57o sea x— 2— y — — - — .

Sicario xo y entoros, x— ?— y cs entero,luego

3+ 5y = entero.

3 1 4 • ALGEURA

Multip licando c l numerador por3 (porque 3 X 5 “ y 15 d iv id ido entre 7 da

9 + 1 5 yresiduo 1J tendremos: = entero

o sea 9 + I5y 7 + 2 + Uy + y 7 U y y+ 2 y + 2 — = ? + — + — = i + 2 r + — = « •'< » »

y+ 2luego queda: 1 + 2y + ———— entero.

y + 2Paro que esta expresión seo un número entero, es necesorio que — — = entero.

y + 2Llomcmos m a este entero: — — — m.

Despejando y: y + 2 = 7my = '/m— 2. ( 1 1

Sustituyendo este volor de y en la ecuación doda 7x — 12y = 17, se tiene:

7x 1 2 17/i) 2 ) = 177* - 84m I 24 = 17

7x = 8'1m 784rn —7

x ~ -----------

x ~ 12m — I. (2 )

La solución generoJ es: j * * ^ donde m es entero.

Si m es cero o negativo, x e y setíon negativos; se desechan esos soluciones.Para cualquier valor positivo de m, x c y son positivas, y tendremos:

Para 1 x —11 7 = 5m = 7 X 23 y = ?2tn ~ 3

x —35y 19

m — 4 x = < 7 y 2 6

y así sucesivamente), luego cl número de soluciones enteras y positivos es ríímilodo.

OBSERVACION

Si en lo ecundón dada el término quo contiene la x está conectado con el tér-mino que contiene lo y por medio del signo I el número de soluciones enterosy positivas es limitado y si está conectado por el signo —es ilimitado.

EJERCICIO 173

Hallar todas las soluciones cuteras y positivas de:

x+y=5.2x+3y=37-

0. 15x+7y=186.7. x+5y=24.

11. ?x+5y=]<>1.J2. 10x+y=32.

1«.17.

10x+ i:iy—2!M.l l x I Sy300.

Hallar la solución general y los tres menores pares de valores entero»y positivos de x c y «pie satisfacen las ccuaiioncs siguientes:

19. 3x—ly 5 . 22. l lx —l2y= 0. 25. 8x1 3y = 40 7.20. 5 x 8 y = | . 23. I 4x 1 7 y = 3 2 26. 2 0 y 2 3 x l l l .21. 7 x l 3 y = 4 3 . 24. 7 x U y = 8 3 . 27 . 5 y 7 x = 3 1 2 .

PROBLEMAS SOURE ECUACIONES INDETERMINADAS

2 87 , U n c o m e r c ia n t e e m p l e a Q . 0 4 e n c o m p r a r l ap i ce r os a Q . 3 c ad a u n oy p lu m a s fu e n te s a Q . 5 c a d a u n a . ¿ C u á n to s la p ic e ro s y c u á n ta s p lu -

ma s fu e n te s p u e d e c o mp ra r?

S ea x = n ú m e r o d e l ap ic er o s.

y — n ú m e r o d e p l u m a s f u en t es .

C om o cada lapic ero cu esta Q . 3 . los x lapiceros co stará n 3x *• 5yO. 3 x y c o m o c a d a p lu m a c u e s ta Q . 5 , la s y p lu ma s c o s ta rá nf) . 5y. Po r to do se paga Q . 64; l in 'go, tene m os la ecuac ión:

R eso lv iendo es ta ecuac ión para v a lo res en te ro s y pos i tivos , se ob t iene nlas soluciones s iguientes :

CCt l ACIOU f S I h l í U t l t M I M AD AS • 3 1 5

x —18, I I * = 8 . y = 8

x 1 3 . 7 = 5 x —3, > = 1 1

luego. |K»r Q. 64 p ue de c om p rar 18 lapice ros y 2 plu m as o 13 lapicero* y>plu m as u 8 lap ice ros y 8 p lum as o 3 lap ice ros y 11 p lum as . R .

»- EJERCICIO 174

1 el)c cuán tos modos se pue den ten er £12 cn billetes «le $2 y «le 55?2 ¿De cuán tos minios se pu ede n p agar $45 cn m oned as de 55 y de 510?

Hallar «los números tales «pie si uno se multiplica por 5 y el otro jx rr 3. la sum a <lc su s p rodu cto s sea 62.

i. Un ho m bre pag ó 340 bolívares jior som breras a Iw. 8 y pare s de rap alos a lis. 15. ¿ Cuán tos so m bre ros y cu án to s pa res «le za pa tos cotnprt»?Un hombre jwgó $42 |>or tela de lana a 5150 el metro y de setla a52.50 el metro. ¿Cuántos metros de lana y cuántos de setla compró?

ti En un a excursión cada n iñ o pa ga ba 45 CU. y cada ad u lto 51. Si el gastototal fue «le $17. ¿cuántos adultos y niños iban?

Un ganadero compró caballos y vacas jxir 41000 sucres. Cada caballole costó 160 surtes y cada vaca 440 sucres. ¿Cuántos caballo» y vacascompró?

El tr ip lo di un número aumentado en 3 equivale a l < |u(ntuplo de otroam uril lado cn 5. H allar los metióte? núm eros po si t ivosqu e cumplenesta condición.

11 ¿l>e cu ánto s m odos se pue den pa ga r $2.10 con m oneda» de 25 ets. y«le 10 e ts ?

6 • AI .GI I1MA

8; REPRESENTACION GRAFICA DE UNA ECUACION LINEAL

L a s e c ua c i one s d e p r i m e r g i a du con dos va r ia b l e s se l la m a n e cua c ione sea les p o rq u e rep resen ran líneas rec ias . E n efec to :

Si en la ecuació n 2x —3 y = tí. desp ejam os y , t e ne mos :

- 3 y = -2 x , o sea, 3y = ¿x

a q u í v e rn o s q u e y e s f u n c ió n d e p i ¡ nie r g r a d o d e x sin t é r m i n o i n d e p e n -e me . y s a be mos (274 ) que t oda func i ón de p r i me r g ra do s i n t é rmi no i n-pe nd i e n t e r e p re s e n t a una l i nc a r e c t a que pa s a po r e l o r i ge n .

Si en la ecu ación 4x — 5y — 10 despejam os y . tenemos:

— 5y — 10 — 4 x o sea 5y = lx — 10 y - 4x —10 o sea y ~ y x —2O

a q u í v e m o s q u e y e s f u n c i ó n d e p r i m e r g r a d o d e x c o n t é r m i n o i n d e -n d ie n te . y sa b em o s q u e to d a fu n c ió n d e p r im e r g ra d o c o n té rm in o in d e -n d ie n te re p re se n ta u n a lín e a rec ia q u e n o pasa p o r e l o r ig e n (274). P o r

n t o :

T o d a e c u a c i ó n d e p r i m e r g r a d o c o n d o s v a r i a b l e s r e p r e s e n t a u n a l i -a r e c i a .

S i l a ecuac ión ca rece de t é rmino independien te , l a f inca rec ta r jue e l l ap re s e n t a pa s a po r e l o r i ge n .

S i l a e c ua c i ón t i e ne t é rmi no i nde pe nd i e n t e , l a l i nc a r e c t a que e l l a r e -e se n ta n o pasa p o r e l o rig e n .

Ejemplos |(1 I Representar gróficomcntc la ecuación 5x —3y —0.

Como la ecuación carece de término independiente el origen es un punto dela recta. (Fig. 491. Basto hollar otro punta cuolquioro y unirlo con el origen.Despejando y.

— 3y — — 5x o sea 3y = 5x

Hallemos el valor de y para un valor cuolquierado x. por ejemplo:

Pora x = 3, y = 5.

n punto 13, 5) es un punto de lo recta, que unido con el origen determina lo recto 5x — 3y — 0.

ItCURA 4V

G R A F I C O S D I I C U A C I O N f S I I N E A L U • 3 1 7

<2) Gráfico de3x3-<ty= 15.

Comoloecuaciónticnotérminoindependientelalinea reda que ella represento no pasa por cl

origen. En este coso, lo máscómodo os liollarlos intcrccptossobre los ejes. TI intercepto sobreclejedelosxseobtienehaciendoy — 0yclinterceptosobreel eje de las y se obtiene ha icn-do x = 0.Tenemos:

Poro y— 0, x ~ 5

x= 0, y= 3 }.

Marcandolospuntos(5 ,0 ) y10,3J ) . ( Fig.50),y uniéndolosentre si queda representado lo rec

to que represento la ecuación 3x+ Ay— 15.

(3 ) Grá fico de x— 3= 0.

Despejando x, se tiene x— 3.

Esta ecuaciónequivale a Oy+ x= 3.

Paracualquiervulotdey,eltérminoOy= 0.Paray -0, x= 3; po ra y = 1, x= 3; poro y~ 2,x= 3, etc., luego la ecuación x— 3 es el lugargcomélrico de lodos Jos puntos cuya obscisa es

3, o sea que x— 3 0 ó x— 3 represento unolineorectapótatelaa)cjnde luíyqueposaporcl punto (3/1). |Fig. 51).

Del propiomodo, x-J-2— 0ó x— — 2 representa uno linca recto paralelo ol eje de los y queposo por c l punto( 2, 0) . (Fig 51].

lo ecuación x ~ G , representa el eje de los ordenados.

(4 > Gráfico de y— 2= 0.

Despejando y se tiene y= 2.

Esta ecuaciónequivale a Dx+ y~ 2, o sea queporocualquiervalor dex,y— 2,luegoy 2— Co y= 2 ese l lugar geométricode tocios lospuntos cuyoordenado es 2, luegoy — 2 representounalineoredapo/atetoolejedoloixquepasaporclpunto(0, ?). (Fig.52).

Delpropiomodo, y+ 4— 0ó y~ 4 represen

lo una linca recto paralólo ol eje de lus x queposa porclpunto(0. — 4). (Fig.52).

la ccuoción y— 0 representa ol ejedo los obscisas.

FIGURA 50

FIGURA 51

r iCURA 51

8 • A L Gf 6 R A

<Gl Hollar lo intersección de 7x+ 5y— 4 con l lx+ 2y==— 5.

En 2x+ 5y= 4, se tiene:

Poro x = 0, Y— iy - 0, x= 2.

Marcandoestospunios|fig.54)yuniéndolosquedo representado la ecuación 2x+ 5y= 4,

En 3x 5 2y= — 5, se tiene:

Poro x = 0, y = — ? i y = o . x = - i g .

Morcondo estos puntos y uniéndolos quedo representarla la ecuación 3x-I 2y= — 5. *

lo intersección de los dos rectos cs e l punto1 — 3, 2). R

EJERCICIO 175

Representar gráficamente las ecuaciones:

FI GUR A Si

1 . * y o .2 . x+y=5.3 . * 1 = 0 .4 . y+5=0.5. Sx+2y=0.

G. Kx=3y.? . x - y — *•

ñ. x + 6= 0 .9. y—7= 0.

1 0 . 2 x + 3 y = 2 0 .

1J.12.

1314.ir».

5x—4y = 82x+¡r»y—30.•lx + 5 y = —20.7x 12y=84 .2y 3*=9.

16.17.18.19.20.

I 0 x 3 y = 0 .9x+2y——12.7x—2y—14=0.3 x 4 y ~ 6 = 0 .8y I5x=40.

Hallar la intersección ríe:1 . *+1=0 con y—4=0.2. !Jx—2y con x+y =f» .3. * y = 2 co n 3 x + y = 1 8 .4 2 0 5 l 2 G

20. * + 3 = 0 con 6x—7y = —9.2 7. 3 x + 8 y = 2 8 co n 5 x 2 y = 3 0 .28. y—1—0 con 7x +2y = 22 .29 G f ! 3 38

FIGURA 53

Representemos omhos líneos. |Fig. 53).En 3x I 4y— 10, se tiene:

Para x= 0, y = 2^y — 0, * = 3».,

Morcando los puntos |0,2J| y { 3 \ , 0) y uniéndolos quedo representado 3x+ 4 y — 10.

En ?x+ y — 0 se tiene:

Poro x= 1, y = — 2.

Uniendo e l punto <1, — 2 ) con e l origen j lo ecuación carecede termino independiente) quedo representado

2x+ y =

Enelgráfico sevequeloscoordenadosdol pun-lo de intersecciónde tesdos rector,san x= - 2,y— 4,luegoelpuntode intersecciónesI— 2, 4).

Ho l lo r lo in lc rsccciéo de 3x < 4y= 10 con 2x + y — 0.

de «ci tac ión . Su obra fundamental , "M i lodo a . Iinc rem en tos directo» o in ve rso s", con tiene !<■«cip ios básicos del cá lcu lo de U t iW tr i n d u f lntt*En d Algebra elemental conocemoe el T r u n w i <Tsyfcr , cuya cooiwu encia e t e l Teorema da .....

C A P I T U L O X X I V

U l t O O K T A Y L O R ( 1 6 8 5 I 7 3 U Matemático y bom- do ciencia inglés. Cultivó la física, la música y

a pintura. Pertenecía a un circulo de discípulo» do M - - l o n , y so dio a conocer en 1708 a l prcwintar en a "R oy sl Socio ty " uta trabaio acerca de los centros

E C U A C I O N E S S I M U L T A N E A S D E P R I M E R G R A D OC O N D O S I N C O G N I T A S

(289) ECUACIONES SIMULTANEAS

Dos o más ecuac iones con dos o más incógni tas son s imul táneas cuan«lo se satisfacen para iguales valores tle las incógnitas.

Asi. las ecu acio nes .v + ) —5

x - y - l

so n sim u ltá n ea s p o r q u e x “ 3 . y — 2 sat isfacen am bas ecuaciones.

(290) ECUACIONES EQUIVALENTES son las q u e se o b tie n en u n a «le lao t ra .

Así, y = 4

‘¿x r 2 y - S

wtt equ iva len te s po ique d iv id iendo por i ! l a s egunda ecuac ión se ob t i enela p r imera .

1is ecuac iones eq uiva len tes l ic i ten inf in i tas so luc iones com unes .

Ecuaciones ¡n«!c|>en«Hcntcs son las «pie n«i se obtienen una de la otia.

C ua ndo l a s e c ua c ione s inde pe nd ie n te s t i e ne n una so la so luc ión c o-

m ú n s o n s i m u l t á n e a s .Asi, la s e c uac ione s x + )’ = 5 y x —> • 1 son in de p e nd ie n te s po r qu e no

se ob t i e ne n una de l a o t r a y s im u l t á ne a s po r que e l t í n i c o pa r de va lo r e sq u e sa ti sface am bas ecuac iones es x ~ 3, y = 2.

Ec ua c ione s inc om pa t ib l e s son e c ua c ione s inde pe nd ie n te s que no t i e -

n e n s o l u c i ó n c o m ú n .

Asi. la s e c ua c ione s x + 2 v= 1 0

2x t 4y = 5

s o n i n c o m p a t i b l e s p o r q u e n o h a y n i n g ú n p a r d e v a l o r e s d e x c y q u e v e r i -

f ique a m ba s e c ua c ione s .

SISTIMA DE ECUACIONES es la r eu n ió n d e dos o m ás ecuaciones con

dos o más incógnitas .

A sí. 2x + 3>> = 13

4 x y = 5

es un s i s tema de dos ecuac iones de pr imer grado con dos incógni tas .

Soluc ión « le un s i s tema de ecuac iones es mi grupo de va lore* de la sincó gnitas q u e sa tisface todas las ecua ciones del sis tem a; La solución d el

s i s tema an te r ior e s x = 2, y — 3.

Un s i s t e m a de e c ua c ione s e s pos ib le o c om pa t ib l e c ua ndo t i e ne so lu-

c i ó n y e s i m p o s i b l e o i n c o m p a t i b l e c u a n d o n o t i e n e s o l l i d ó n .Un s i s t e m a c om pa t ib l e e s de te r m ina do c ua ndo t i e ne una so la so luc ión

c inde te r m ina do c ua ndo t i e ne in f in i t a s so luc ione s .

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMERGRADO CON DOS INCOGNITAS

292} : ¡iSOLUCION

Para resolver nn s is tema de esta c lase es necesar io obiener de las dos

ecuac iones dadas un a so la ecuac ión con un a incóg ni ta . Es ta op erac ión se

l l a m a E l im ina c ión .

METODOS DE ELIMINACION MAS USUALES

.Son t re s : M é todo de igua la c ión , de c om pa r a c ión y de r e duc c ión , t a m -

bién lla m ad o es te ú lt im o d e su m a o resta .

3 2 0 o A i o i r . n / .

@ R eso lv e r e l » j £ 1 1 1 ¡ j¡

Despe jemos una cua lqu ie ra de l a s incógn i ta s : po r e j emplo x , e n a m - b as ecuaciones .

13 AyD e s p e ja n d o x e n (1): 7x = 1 3 4 y x =

l9 + 2vD espejand o x en (2): :>x - l!> i 2y x =

Ahora s e igua lan en t re s i lo s dos va lo res de x q u e l i e m o s o b t e n i d o :

13 — l> 10 2 >7 = 5

y ya tenemos una so la ecuac ión c o i i un a incógn i ta : l iemos e l im inad o la xResolv iendo es ta ecuac ión:

5(13 — Ay) — 7(10 + 2y}G"i ‘ JOy = 10:1 + 14>

2<>y 14y 301 (¡5 3 »>• <ih

y — — --

S u s t i t u y e n d o e s t e v a l o r d e y en cu alq u iera de las c< nac iones dadas . jk ii e je m p lo en <11 (g e n e ra lm en te se su stitu y e e n la m ás senc illa ), se tiene .

7x ■ l( 2) = 13

7x —8 = 13 \ x = 3 .7x — 21 ‘ } y = 2 .

xa s 3.

VERIFICACIONSi i st ii ityendo x = 3 , > = 2 en la s dos ecuac iones da rl as , am bas se con -

v ie r t en en iden t idad .

E CU A C I O N I S S I M U L TA N E A S C O N O O Í I N C O G N I TA S • 3 2 1

I . E L I M I N A C I O N P OR I G U A L A C I O N

EJERCICIO 176

Resolver por cJ método de igualación;

' ? +<;? 2.7, ¿ j 7 x ly =5 . I lóx—1 !)•=-.S7-

, l 2x + :,y = — 24. (1)R e so lv er e l sis te m a l 8 x _ , J . = l y (2>

Despe jemos una cua lqu ie ra de l a s incógni tas . j>or e jemplo x e n u n ae las ecuac iones . Vamos a desp e ja r la en la ecuac ión (1). T en drem os :

2 4 5> 2x = 2 4 5 y x = .

l i s ie valor de x se sustituye en la ecuación <21

/ —2 4 5 y \

ya t e ne mos una e c ua c i ón c on una i nc ógn i t a : l i e mos e l i mi na do l a x.

Resolvamos esta ecuac ión . S im pl i fi cando S y 2 , queda:

4(—24 —T>y}— 3y=l!> 9 6 2 0 ? 3y = 19

2 0 y - 3 y = 1 9 + 90 2 3 y = 115

y = 5 .

S us t i t uye ndo y — — i>en cua lqu ie ra de Jas ecuac iones dadas , por e jem-lo en <1> se tie n e :

2x + f>(—5) = 2 1 .

2x 25 = 24 f x =R . < 2

2 2 9 ALGEBRA

I. E L I M I N A C I O N P O R S U S T I T U C I O N

2x = 11

x = —.9

\ y = - 5 .

VERIFICACION

H a c i e n d o x = l . y = 5 en las dos ecuac iones dadas , am bas se conv ie r-

en en iden t idad .

- EJERCICIO 177

Resolver |«>r sustitució n:

. ) x~3y=(!. j x 5 y = 8 . „ ( 4 x+ 5 y= 5 .'• 1 5v 2y= 13 . * ) 7x+S y=2 . r>. »* ) _ i o y _ 4 X= _7 .

„ I 5x+7 j r=—1. . j I5 .v ny = 3 2. i 32x25 )=13 ) 3 x M y = 2 4 . } 7y—9x =8 . a f I6x+ I5gr*4 .

„ l lv + ílx = 8 . j I 0 x + I 8 y = I l . n l I 3 y 4 I l x = 1 G 3 .) 8x—fiy=—77. j l6 x ! )y = 5 . 1 f 8 x l7y=ü4.

I CU A C I O N I S S IM U L TA N EA S CO N O O'. I N C O U N I l A i • 3 2 3

T>, „ . . . 1 5 * I <¡>= 20. <1>96} Resolver el sistema . (x . 'y _ _ 23 (2)

I II . M E T O D O DE R E D U C C I O N

Kn es te : método se l iaren iguales los coef ic ientes de una de las incóg-nitas.

Vamos a iguala t los coef ic ientes de y e n a mba s e c ua c i one s , po rque

lo más sencil lo.

El ni . r . m . de los co ef ic ientes d e y, G y 3, es 6.M ul t i p l i c a mos l a s e gunda e c ua c i ón po r 2 po rque

• :i <¡, y te n d rem o s: _____ /

Como los coef ic ien tes de y q u e h em o s i g u a -

lado t i en en s ignos d i s t in tos , se sum an es tas ccuai iones po rqu e con e l lo se e l im ina la y:

5x • Gv 2HS x — Cy III

3x 4 G> = 20

Bx — 6y — l«

18x = 211

x = “ í ¡ r *

.Sus t i tuyendo x = 2 e n c ua l q u i e r a d e l a s e c ua c ione s da da s , po r r j cm

p ío cu (1). se tiene ::>í 2) I Gy — 20

- 1 0 + 6y = 20

G> = :$o y = 5.

v, „ . . . ) 1 0 x + !)>•= 8. (1)2 97 ) R e s o lv e r c l s is te m a , S x _ 15' = _ , . (2)

Vam os a ig ua lar los co ef ic ientes de x . F.I tu . c m.

<l« 10 y 8 es 10: m u lti p lic o la p ri m e ra e c u a c ió n por 4 p o iq u e 1 x 10 10 y la se g u n d a p o r ó p o rq u e 5 x 8 = 10.

y t e n d r e m o s : ________________________________________ x

( Oti lo los coeficientes que l iemos igualadot ím e n s ignos iguales , s e res tan am bas ecuac ioness de ese mo do se e l im ina la x . C a m b i a n d o los

s ignos a una cua lqu ie ra de e l l a s , por e jemplo aU segunda, tenemos: _________ f

S u s t it u y e n d o y = J e n ( 2), te n em o s :

8x - 5 = - 18x = I

40x + Uiiy = 4 0 x v;.v

•lOx l :»G> a 22■lOx I 75) = 5

111) = 37

x = A,o

l"l m é todo e xp ue s to , q u e e s e l m á s e xp e d i to , se ll a m a t a m bié n de sum aesta p o rq u e según se ha visto en los e jem plo s an ter io res , s¡ los co ef ic ien- (pie se igualan t ienen s ignos dis t intos se suman las dos ecuaciones y s inen s ignos iguales , se restan.

l i s ind i fe ren te igua la r los coef ic ien tes de .v o de y. G e n e r a l m e n t e seua lan aque l los en que la operac ión sea t i ta s senc i l la .

EJERCICIO 178

Resolver por suma o resta:

( 6 jc ó >= <J. J 1 0 x 8 y 3 6 . ( 1 3 x ~ H jr2 0 1 ( 4 x + » y = l3 . » < 2 . v 5 y 4 . { 12>—14x—— 1 9 .

I 7x ir >y=1 . j l l x —yy=2. U ó x y = * > .Jx<j>=8. 0 \ 1 3 x ir» y = 2 . ,ü } lDx+8y=236.

. \ : j x 4 v = l l _ l 1 8 x+ 5 y = —11 , , ( 3 G x l l y * t l 1.3 / U x+ (;y=4 7. | 1 2 x 1 1 ly = 31 . 1 L { 2 4 x l 7 y = l 0 .

. l » x + l l y H i 9.v ! ? > • 1. í 1 2 x 1 7 > ' ll ll .*• l Ox—5}'=—34- f l lx -1 3 y « —*8. J If>x+1D>=-31.

8) RESOLUCION DE SISTEM AS N UM ER ICO S DE DOS' ECUACIONES ENTERAS CO N DOS INCO GN ITAS

C om xid os los m étodo s d e c liminai .ii>n. u so l ve tem os s i s tem as en q uem e s de e l im ina r ha y que s im p l i f i c a r l a s e c ua c ione s .

, „ , . ■ \ 3x (4y + 6) —2y — (x + 1 8 ).1. R esolv er el sistema ' « „

| 2 x - ? j = x — y + 4.

, , , , \ 3x —4y — (í — 2y —x — 18p r im ien do los s ignos d e agrup ac ión : j x — y + j

4 • A ic r o R A

r . . \ 3x —4v ~ 2y I x = 18 + 6T r a n s p o n i e n d o : j ¿ _ i + y = 4 + ,

R e du c ie ndo t é r m inos se m e jan tes : ' ,X1 | x + y = 7

Div id ie ndo l a l a . e c ua c ión po r 2 : \ ^ — íj• / x + y - 7 (1)

Vamos a igua la r los coef ic ien tes de y . M u l t i p l i c a m o s

se gunda e c ua c ión po r 3 y sum a m os :

S u s t ituye n do x 3 e n (1). se t i e ne :

3 + > = 7 { x = 3 .

t C U A C I O H ! '- ilM U L T A M C A S C C N O O S IH C O G M I T A S • 325

2. Resolver el s is temaí 8 < 2 j M y ) 2 ( y x ) = ~ t < y i 7).

\ 3(2y 3x ) — 20 = — 53.

. . < Gx + 3 y —2 y + 2 x = 1 y 2 8

l .í cc tua ndo l as ope r a c ione s i nd ic a da s : + ^ 53

. . S Gx + 3 y 2 y t2 x + 4 y = 2 8I í a n s p o n i e n d o : 9x r Gy= —03 • l’H

_ . . , \ 8x I' 6y = —28Reduciendo: | f c + ¿ = _ w

. . . , , , ■< \ 8 x + 5y = 28D ivid ien do po r o la 2a. ecu ació n: •; ^ . ¿ y - - I I

M u l t ip l i c a n d o la l a . e c u a c ió n \ 21xI 13y = — 84 p o r 3 y la 2a. p o r 8: i 24x + 16y = —88

ación:Cambiando s ignos a l a l a . ecuac ión :

S us t i t uye ndo y - - l en (1):

24 x 1Oy - 8424x T16y 88

y = 1.

8x I 2{~ 4 ) = 13x a = i

„ j x = l .R ' 1 y = - 4 .

EJERCICIO 179

Resolver lo» siguientes sistemas:

J 8 x —3 —7y—9.J j 6x= 3y l G. V1( x y ) (G x i8y)——{10x+5>'+3).( ( x t y ) ( 9 > l l x ) = 2 y 2 J c .

1 x l > •+ !.• ) x —3= 3y—7

8.\ ó (x l3y ) (7x + 8y )=6 .’j 7x—9)' 2(v ]H y)^0.

o 13(xl2)=2y.) 2<y+5)=7*.

9 \ 2 ( x+ó ) 4 ( y 4x). í I 0 ( y x ) = l ly 12x .

1 .v l2 (y t l>).í xMI~ 3 (1 2 )’).

10.I3 x 4y—2(2x—7) =0 .} ; » ( * i ) ( 2 y i ) u

. j 3ü—(8 —x)—2y+30.) r».v 29x<5—ly).

11. ] !2 < x+ 2)) 8 (2 x ! v)T2(á.v—(jy).) 2ÍI(.\ !>•)=—10.

. }3x < 9 x *>•) 5 ) (2 v * yy).u ) i.v ( .iv ♦7)=r»y 17.

12 l x (y 2 ) y ( x 3 ) = U .1 y (v 0 )—x(y4 9) M .

ALGEBRA

RESOLUCION DE SISTEMAS NUMERICOS DE DOSECUACIONES FRACCIONARIAS CON DOS INCOGNITAS

1 R eso lver el s is tem a

3* + I y I 2

5 x + l x t 24

[ ~} 11 2

S u p r i m i e n d o d e n o m in a d o r e s : | + J> = ^

Efeouando operaciones: | I I * * J x í aí*

T r a n s p o n i e n d o : j “

n , i i 12x 7y 2<¡Reduciendo: i ^ ( ( 1)

M u ltip lic a n d o la la. ecu ació n ( ftlx I!») — ]&> p o r 7 y la 2a. p o r I: | 84 x 4 17fiy 1088

i 2T r=r r ¿ 7o> =

S u s t i t u y e n d o y = 10 en (1):

I2x —70 = 2<i

12* = 96x = 8.

2 . R esolve i el sistem a

x + > . _ 2

x — y 7

8 x + y 1 = 2. x - y - 2

S u p r im i en d o d e n o m i n a d o re s: < ' * •'/ “ ;x ^ .* / 8x + y — 1 — 2(x — y — 2)

E fectu an do op eracione s : J Tv + 15 ~ 2x ' ' 2?r I 8.v + y 1 = 2 x —2 y «1

T r a n s p o n i e n d o : j 'X r 7y t - 2x - 2> = 0

} 8x + y - '¿x + 2 y = I + 1

R ed u cie n d o : < ‘>A ' —(l{ C,x + 3y = 3

Div id iendo por 3 la 2a ecuac ión : \ '[* H %~ 0

r r . l l A C I O N C í S I M U L TA N f A S C ON OOS I N C O G N I TA * • 3 2 7

!I|V »«• — Q

¿ — 10.* — 5 y - 5

S us tituy en d o x = — .> en (1):

9(—ñ) •!• 5y = 0 4 5 I531= 0

5y = 10

) ' = 9.

EJERCICIO 180

Resolver los siguientes sistemas:

j + y = u -

yx + / = 7 .

:>* y = 9.12 7

3yx — — 10

7 * 1 —

7. b o 10

x y i» • = 1 .5 4 4 0

x y 4 = 0.7 K

- x - y — i- 7 4

2x41 _ y

2x 3>' = 8.

I2v+:')>• (0=0

5x 7 y

x = 5 .

x 3 >— I

x 4 , y + 2

■x—1 y—1

x H y 41

x4 l _ y—1

" l o " " T ”

x 4 _ y —2

5 10 '

8 • A IG ÍB H A

* y y - x

6 3 2ri

. * - y _ •>6 12 '

z i 2 z i = x _ 7 .

ix-y 3 y x

- = a>-+ 2.

üy - 3 x

x 4 )=x(y6) .

~ 3 y - 1

x+3)>) _ 2 1x 4 fiy 17

y fJ 2 .

2x 3)M> 3 x 2 y ~ :

ti 10x—)4 4 y 4 2

x 4 y — 1

x y “t •

X4V41 3

X T ) | 4 X

” a =

, ¿ y . _ o 1

Z Z l 2 x 4 ) 1 7

3 2 21

x 2 _ y - ~ <

x 4 2 ~ y - b

x 4 1 y - *

x 1 “ y - ’ >

x y 1 3x 4 y 4 1 17 ‘

x 4 ) — l= 1 5 .

X V 4 I

Cx4<Jy—4 2

4x—Gy45 — 5

2x43)—3 63x42 )-4 ~ IT"

^ L = y.x 4 y - 1 5

4x r»(>—i)

3 8 “ 3‘

2 x 4 5

>•462

- ( 5 - ) • ) = - 6 0 .

— (1 — x j = 40.2

3xtdy _30

x - ü y ~ 2 3 ’

9 x - y 03

3 4 x ~ y “ 37 ’

1x41 2)—530

3 ) 4 2 ■<418

1(1 ‘

SISTEMAS LITERALES DE DOS ECUACIONESCON DOS INCOGNITAS

Ejemplos

. . 1ax 4 by= a : -I b2. I I )( ! ) Resolver cl sistemo bx+ oy = 2ob. (2 )

Vamos o igualar los coeficientes de la x. Multiplicando lu primera ecuaciónpar b y la segunda por o, leñemos:

;abx4 b 'y— a'Jb -I-b'1Iobx 4 o 7y = ?o*b

Roslondola2o.ecuaciónde ¡ obx4 h*y = a"b 4 f>al i ) b ^ 2 b

rcU/ .CIOMES S 'MULTANé a S CON OOS IhCOGMITAS 3 2 9

Reduciendo (orminos sc-mejnntes:

Sacando el tactor común y en el primer miembroy ol lacroi común b en el segundo:

Dividiendo por |f>-'— o5) ambosmiembros: —

Sustituyendo y— b en ( 2 ) , leñemos:

— t b'-'y— cry | j '

y ( b2 - o*| b ( b

-------------

> y ~ b

Transponiendo-.

Dividiendo por b.

bx : ab -: ?obbx- ab R.

\ y = •'

(2 ) Resolver el sistema

Ooirnndo denominadores en ( 1 )nos queda:

Multiplicando por 6 lo 2o. ecuu-rión y cambiándole el signo:

x— o

o b a '

x - y = o.

h* — oy — 61 x — y— a

bx— oy = h? — h x -b b y — - ab

by— oy = b-— ab

Socandofactorcomúny enel primermiembro ybenel segundo:

y ( b — o )= b ( b — a )

Dividiendo por ( b— O): >'= 6.

Sustituyendo en 12) osle voiar de y, leñemos:

x —b — ax— a4-6. R. \ = 1 ■ li

( JI Resolver ei sislema

Quitandodenominadores:

Multiplicando k> 2a ecuaciónpor o y sumando:

Faclorando ambos,miembros:

Dividiendo por |cr+ b|:

x+ y — -a- + b-

(1)(21

ox— by= 2b.

cbx I oby — o2+ b2ox — by— 2b

ob * + oby= o2t b2ozx — aby= 2nb

o 2x + o b x = o 2 + 2 a b I b 2

oxi o+ b )— { o - b ) ;

ox— o -|-ba-I■h

x— --------- .

A IC .I E M A

Este valorde x puede sustituirse en cualquier ecuación paro hollar y, pero novamoi a hacerlo usi, sino que vernos a hallar y e liminando la x. Paia eso,tomamos otro vez cl sistema ( 1 ) y (21 :

I obx+ aby= o*+ b2 (1 >\ ox b y ~ 7 b <2 >

Multip licando (2 ) por b y obx+ aby= o2+ b2combándole cl signo: 1 obx I b y = — ?h-

aby+ b'-'y= a : - br

Fuclorundo ambos miembros: b y |a + b | = lo + b | ( o — b)

by= u— b

a— bR.

x=a + b

y = ~ T NO TA

El sisteme que hemos empleado«le hallar lu segunde incógnita elimineneo loprimera,osmuchosvocesmessencilloqueeldesustituir.

EJERCICIO 181

R o m i lvor las ¡cisiona s:

— a — b .

= b + 2 .

= d « .

= l a .

t 2b .

= a - b .

—=2.

r]2+b*—= .

=a+b .

<rx— by—Q.

* + >“ -

m x i/y=m l n : .

nx+wjyr=m2+r t2 .

x V — | = 2 m .r/r «

rnx— ny—m3—mn*.

n(«+¿»)+b*.11. í X+>'=fl

[ <rx~6y=

( v—y=m—n.

m x— ny~ rn3— n3.12

«x—by—0

« * - 6»( j y b x =

.V y- + f = 0 .n b

x 2y _ 2 b - - a 3

b * a nb

x + y = 2c.20 .

J L + > l= n + b . b n

x —y=al»(b—<»>.

H X + » « y= 5 » « + H .

,M 3 - „ 3

mx—ny=--------

•m n

(u b ) x (a+ b)y—b23 a b .

( a - b ) x - {a - b ) y = a b - b z.

x ~ b y - b a+b

~ + b ~ b

x — a y— a _ a + b

x | y - 1 .« + b r i+ b ab

x y a *+ b !

E C U A C I O N ! * S I M U L TA N E A S C O N D OS I N C O G N I TA S 3 3 1

3 0 i ) ECUACIONES SIMULTANEAS CON INCOGNITAS

^ EN LOS DENOMINADORES

Kn cier tos casos , cuando las incógni tas es tán en los denominadores , e ls i s tema puede r eso lver se por un método espec ia l , en que no se supr imen

los deno m inadores . A con t inua c ión r eso lvemos dos e jem plos usando ri t em é t o d o .

Ejemplos

( I I Resolver el sisteme

10 9 + = ?. <11X y

7 . ( 2 )x y 2

VamosO climinoí lay. Multiplicando la primeio ecuación por ? y losegundapor 3, leñemos:

20 18= 4

21 _ 18 33

x y 2Sumando:

Quílonoo denominadores:

Sustituyendo x= 2 en ( 1 ) :

“ T8 2 4 l x

82 ax = — = 2.41

10y4 10- 4y

ó)= - 18

y= - 3 .

>■ ix = 2

<21 Resolver el sistemo

2 7 + — = II.

x 3y3 . 5

Vemos o climincf lo x. M ultiplicando ío primero c cuoción por :J yHunda poi 2, leñemos:

' 6_ 21^ 33

4x ' 12y ~ 4

6 10_ + — = 1 8 ■1x 2y

3 7 33

A I C U I I A

Simplificando y restando:2x Ay 4

3 5 _ _

Quitando denominadores:

Susliluyerid© y — ¡¡ en ( I I :

h s f c - »

13 _ 39

13 = 39y

+ 7 = 11x

2 + 7 x = l lx

2 —4x

EJERCICIO 182

Revolver los sistemas:

B (SOLUCION PO* DCTlK MI NANTt J • 3 3 3

2 _ 1 _ _ 11 " ó 7 _ 2

0 . >x 3? 45 ’ 10. x '¿y ~ 3 11.

1 _ 3 - 1

j o x r>v ~ T

1 8 ._ 103

4x ' y 311 1 —<■ a b

1— = 2.x y

2 3 ó 2~3 ¿

x y fl

12. — I— — n. x y

L U * .X y

13.•

— + — = 1 lOx + 3y ~ 80*

± + ± = 2±.

í»x 4 y .i2 + 2 _ ra + ii

.v y r/in

» t n

^302} DETERMINANTE

Si ele! producto «i» restamos el producto cd, t endremos la expres ión<>(> cd.

Esta expresión p*ie<Ie escribirse con la siguiente notación:

fih cd = |< * I

e s una de t e r m ina n te .I..i ex pre sión ' ' u j

l . a s co lumnas de una de te rminante es tán cons t i tu idas por l a s cami l la

tie s q u e es tán en un a m ism a l inca ve r ti ca l . En e l e jem plo an te r io r ‘ r i

1^ pr im era co lum na y * la segund a co lum na .

l .as f i las es tán cons t i tu idas por las cant idades que es tán en mía mima l ínea hor izon ta l . En e l e jem plo dad o , a d <s la p rim e ra lila y < h lasegunda f i la .

U n a d c i c rn i in a n t c « c u a d ra d a r u a n d o t ie n e el m is m o n ú m e r o d e r o

lun i ll as q u e de li la s. Asi. ¡ ’ ' | es un a de te rm inan te cu ad rad a po rqu e lic-uó dos columnas y dos f i las .

E l o r d e n d e u n a d e t e r m i n a n t e c u a d r a d a e s e l n ú m e r o d e e l e m e n t o s

de cada f i la o colum na. Así, ^ y | | ‘ | 4011 d ete rm ina n tes d e segund o

o r d e n .

I 11 la de te rm inan te | *X ^j ,;i q u e un e o con b es la diagonal

p r in c ip a l y Ja línea q u e u n e c c on d es la diagonal secundar ia .I.OSe lemen tos de esta de te rm ina nte son los p rodu c ios ab y cd . a cuya

di f e renc ia equ iva le esta de te rm inan te .

I I ) N « t « m i i r u i i i A i ■ . r > | . , m l r , ,1 r i l e m i l l o « I d l n ^ i n i i u O f l r i a l , p i < < i iM l l r i i tl i) «l« l>l f« ii l. i » lr i n f e r n a n t e i i t a l n l » , i | i i c l i a r l a i l r m a t U i h » e x t e r n o * e t J o i f l c u i c n l O » .

0 DESARROLLO DE U N A DETERM INANTEDE SEGUNDO ORDEN

Un a d e t e rm ín am e d e s eg u n do o rd en eq u iv a l e ;il p ro d u c to d e los t é r-n o s q u e p e r t en ecen a la d i ag o n a l p r in c ip a l , m en o s e l p ro d u c to d e losm in o s q u e p e r t en ecen a l a d i ag o n a l s ecu n d a r i a .

4 9 a i c c i i r a

Ejemplos

X ,a —n

EJERCICIO

= rtb — ¡

— o b i p I — r> ) = a b I mn.

— 3 x 4 SX 2 = 1?— 10— 2.

— 3(— 2 )— I 1 - 5 ) - ó t S - - 1 .

= I 2 | ( —9 | | 5 J | 3 ) = 1 8 1 5 = 3.

Desarrollar las determinantes:

1 4 5 7 9 1 5 1 14. 7 10.

12 3 • ó 2 ■ 13 2 1

2 7 ó —3 1 12 1 15. 8. 11.

3 5 2 8 1 13 9 >•

—2 9 11 10 3 JG. 9. 12.

4 3 —3 7 ■ 17 13 1.

- ó - a

1!) —21

31 - 8 f>

4) RESOLUCION POR D ETERM INAN TES DE UN SISTEMADE DOS ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS

c , i « , X + f ) ; V = r , . ( 1 )Sea el sistem a . /

, a3x + l>;y - Cj. (2 )

RESOLUCION fOR O U t K M I tM N m 3 3 5

Resolviendo es te s i s tema por e l método genera l es tudiado antes , set iene :

(4)al b2 — a-jbi a ,b « —/i2b t

Vé ase q u e a m b a s fr ac c io n e s ti e n e n e l m i sm o d e n o m i -

n a d o r at b 3 - a-J), y esta expresión cs e l desarrol lo de lad e t e r m i n a n t e Z (5 )

lormada con los coeficientes de las incógnitas en las ecuaciones (1) y (2>.Esta es la d ete rm in an te «leí sistem a.

E l n u m e r a d o r d e x , c.J>¿ — c2b u es e l de sarro l lo d e ' i hl a d e t e r m i n a n t e -------- Z I ( | ¿,t

qu e se ob t ien e d e la de t e rm ina n te de l s i stema (5) con só lo su s t i tu i r en e lla«i

la co lum na d e los coef ic ientes de x | po r la co lum na de los té rm inos in

f i « íd ep en d ien tes | d e las ecu acion es (1) y (2).

E l n u m e r a d o r d e y . axc-¿ a-¿y, es e l desarro l lo del a d e t e r m i n a n t e

q u e se o b t ie n e d e l a d e t e r m i n a n t e d e l s is te ma (5) c o n só lo su s t i t u i r en r il ab\ l a co lumna de los coe f i c i en te s de y , | po r l a co lum na d e los t érm inos

C|inde pe nd ien te s | de l as ecuac iones dadas .

Por tanto , los va lores de x c y, igualdades (3) y (4) , pueden escribirse .

ííj f)

<±l I%

1 c ' Cx I

1 ( t h I t * 1

O l y - O l >>,

Q i t» 1 «i* A*

Vis to lo an te r io r , podemos dec i r que pa ra r e so lve r un s i s t ema de dose c u a c i o n e s c o n d o s i n c ó g n i t a s p o r d e t e r mi n a n t e s :

1) F.l v alo r d e x c s u n a f ra c c ió n c u y o d e n o m i n a d o r es la d e t e r m i n a nte fo rmada con los coe f i c i en te s de x c y (de t e rminan te de l s i s t ema) y cuyon u m e r a d o r c s l a d e t e r m i n a n t e q u e s e o b t i e n e s u s t i t u y e n d o e n l a d e t e r m i -

na n te de l s is tem a l a co lum na d e los coe f ic ien te s de x p o r l a c o l u mn a d e l o stérminos inde |>cndicntcs «le las ecuaciones dadas.

El va lor d e )■ cs un a f raccú 'm cuyo d en om ina do r es la de te rm inan*te d e l sis te ma y c u y o n u m e r a d o r es la d e t e r m i n a n t e q u e se o b t i e n e smt i

G O A i c t e i i A

ye ndo e n la de t e rm i na n t e de l s is te ma la c o l um na d e lo s c oe f ic i e n te s de yo r La c o lu m n a d e los té rm in o s in dc]> cnd ien ics d e las e c u a c io n es dadas.

Ejemplos15x+ 3 / = S

( 11 Resolver por dcterm-nonlcs <| ^ ^

35— 81 _ - 4 0 _ ¿

3 5 - 1 2 “ 73

'35 —20 _ ¡ i 5 _ s73 ~ 23

(21 Resolver por determínenlesPxt 6 y - 12.

2»x - 6 0 / - - ■/).

t3) Resolver por determinantes

Transponiendo y reduciendo:

tendremos:

l _ y 2

y - ? 8

7x+ 7— 5y— 10

lv2x+ 8- >• t 9 - 16

j 7x - t y = ~ U

; 2 x y = I

R.x = - 2

1 12179(>

60 720 4 237 4 3 8 2

* 1 9 8 5 4 0 1 9 2 7 3 2 31 25 —60

i 2412 —29 1 £ 1 s

í § 549 3

R.x —

* < I I

£ x > !

7 3 2 - 732 Ay =

H t SO K JCI OH PO# O m U M I H A M T I l 3 3 7

EJERCICIO 184

Resolver por determinantes:

í 7x+8> =2 9.8

a x + 2 y - 2 .

| 5 x + l l y = 2 6 | 3 y = l . 13. .

3x—ly13v . y

8x—5y——5.»• .

4 613x—3 Iy ——32l>.

2.'ixl37)'=llfi. —— —= 0 .S 12 14 .

15x—44 y= f».

3x+f ly= ;k i+ l .32y—2 7 x = — 1 . V

8x— — ! ) > • . —4a y=2.a

.V 1 x+ 2 ) — 8 _ 5

—', ^ 7 '1 1 ,

~ 8 6 ’

ax—by——l.) — 5 2 x 3 _

nx~l>y=7.6 ~5~ 10

3 x ( y + 2 ) = 2 y + l .12.

3x—2y=á.

*>)—(x + 3 )= 3 x + l. w x+ 4 y = 2 (w i+ l).

i T ^ y

’ 1 * 2 4 .x ~ y

x —y—I 1

x+ y+ 1' 8

x - y = 2 b .

_ J L + J L a 2 .í + 6 tt—t

x+9 _y+2 1

x -9 ~y+30'

x + 8 _ y + 1 9

x 8 ~ y+11

(30 5) RESOLUCION GR AFICA DE UN SISTEMA DE DOS

ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS

Si ti na re r t a pasa por u n pu n to , la s coorde nadas de e s te pu m o sa ti s-facen la ecu ació n de la recta . Asi . pu ra sab er si la recta 2x + óy — 1!' pasa|x t r e l p u n to (2. 3). hacem os x = 2 . y = 3 en la ecuac ión de l.r rec ta y tenem os

2(2) + 5(8) = 10. o sea. 19 = 19;

luego, la recta 2x t By = 10 pas a p ot el p u n to (2, 3).Rec íp rocamente , s i l a s coordenadas de un pun to sa t i s facen l a ecuac ión

de u na rec ta , d i cho p u n to pe r t enece a la r ect a.

c . . \ 2x + 3 y = l 8Sea el sis tem a J . .■' ,

i 3x t- ly = 25.Reso lv iendo e s t e s i s t ema se encuen t ra x 3 . y — A, va lo re s que sa t i s facen ambas ecuac iones .

Es ta so luc ión x = 3 , y = 4 rep rese n ta un p u n to « leí p l ano , e l p u n -to (3, I).

Altor.i bien, x

—3, y I satisfacen la ecu ació n 2.v + 3y — 18; lueg o, el p u n to (3. I) p e rten ece a la re c ta q u e re p re se n ta esta ecu a c ió n , y co rn o x 3.y . I sat isfacen tam bié n la ecuac ión 3x + 4y = 25, e l p u n to (3. I) pe rtene cea ambas rectas; luego, necesariamente el punto (3. 1) es la intersección delas tíos rectas.

8 • ALGKnoA

Por tanto, la solución de un s is tema e le dos ecuaciones con dos incóg-as representa las coordenadas del punto de intersección de las dos rec tas

te representan las ecuaciones ; luego, resolver gráf icamente un s is tema de

s ecuaciones con dos incógni tas cons is te en hal lar e l punto de intersec-n de las dos rectas.

Ejemplos

f 1 1 Resolver gróhrnmcnte e¡ sistemo í x + y = 6\ 5 x 4 y = 12.

Hoy qoe ticllor lo inte sección de eslo»dos rectos. RcpieSerlenios cubos enun-ciarles. (Fig.SSI-

En x y — 6. tenemosPoto x = C. y = 6.

y = 0. x = 6 Cn 5x —'1y ~ 12. leñeros:Poso x = 0. y = — 3.

> = 0 , a - 2 $ .

Le ntersccción es el punto | «J. 2) ueycí O solución del sistema es X — A,

y = 2. R FIGURA SJ

< 2 1 R e s o ' v f i q i ó í i c o m e n t c e< s i sr e . no ¡ , x " \ 3x — Sy — II.

Hollemoslo irlersecrir.n rieostosroetes. {Fig.561.

En 4* + 5y —— 32. se tiene:Pata x —fl, y — ~ 6ji

y= 0. X= 3.En 3x —£y —11. se ücne.Peto x— 0. >■ = — 2 j

y = 0. x ■= 3jj.

E punto de intersección es — 3. 4 )luego lo solución del s steno esx ——3, I f i g u r a sey = 4. R. I

R E S OL U CI O N C R A U C A

(3 ) Rcsolvor grófrcomerite

EnPoro

I x - 2 y = 6.

, 2 x -4 y = S.

Representemos ambos ecuaciones. (Figura57)

En x— 2y~ ó se licno:Para x= 0, y— — 3.y— 0, x= 6.7x— -ty= 5 so tiene:x = 0. y = - 1 * .y — o, x= 2 1 .

les lincas sen parólelos,no hay puniosde intersección, luego el sísiomo no tiene solución; los ecuociones son incom-ooliblcí.

Resolver orclicamenle * 7y~\ 2x- A y ~ 10.

Representemos ombas ecuaciones. |f¡-gura 58).

En x— 2y= 5. se tiene:Paro x~ 0. y — — 2J.

y— 0. x = 5.Fn 2x— Ay— 10, se tiene:Para x — 0, y — — 21.

y = 0 , x — 5.

Vemosqueembosrectoscoinciden, tienen infinites puntos c o m u n e s . L o s dosecuaciones representan lo misma línea,lasecuaciones son equivalentes. F I G U R A s i

EJERCICIO 185

R' sol ver grá l ica mente:

■■I

3x= —4)’.v {x+y-7. ¡ “ .18.

x-2>=10. 3x+4y=15. 8.

2x43y=— 8. 2x+y=5.

óx+2)'=l(i.

4x-f3)’= 10.* ■

5x-3)'=0.

7x—y = —10. C‘0.

Hallar gráficamente el par de valores de• I. los grupos de ecuaciones siguientes:

13.vpy=9.x y = — 1 . H.

xtyfi.

3x+4y=l8. 10.

x+S=>'+2.

y - 4 = x - l 2 .

t . 1 = o5 4

x - ' t y - 25.

í x -4:iy=«.

i0 ' | 3x+£Íjr= 10.

I 2 x + 3 y = 1 3 .

| fix+íly= —;{!).

Ü + 2 :3 4

x e y cjttc satisfacen cada «no

1 x—2 y—3

? 12’2 3

7 y -2 x—3

12' 2 3

2 x + y = - l . x—2y=—13. 10.

X - r .r l .

2 y - x = —\

,xioueund'.u

LER 11 70 71 78 3) M atem ít ico wiw>,oa. Fue alumno de Johannct BernoulU.años ganó ol premio quo anualmente

ócmlii de P<>m »obre divertoi temarerico el Grande lo llamó a Berlín; Ca-

talina de Rujia lo l lera a San Peteriburge, donde ♦»» baja in ce ia n le m cn te . Por tu 'T ra ta d o to bre M ecán ica puede conaid erano cl Fund ador de la ciencia moderna.Su obra fuo coplotitim a, a pe ta r dn qu o lo» últimoadiccMcte añot de au vida tri turo totalmente ciego.

CAPITULO XXV

U A C I O N E S S I M U L T A N E A S D E P R I M E R G R A D ON T R E S 0 M A S I N C O G N I T A S

) RESO LUCION DE UN SISTEMA DE TRES ECU AC ION ES CON TRES INC OG NITAS

Para resolver un sistema tic tres ecuaciones con tres incógnitas se pro-

e de este modo:

1 ) Se combinan dos de las ecuaciones dadas y se elim ina una de las ógnitas (lo más sencillo es eliminarla por suma o resut) y con ello se ub

o una ecuación enn dos incógnitas.

2 ) Se combina la tercera ecuación con Cualquiera de las otras dos ca m

nes dadas y se elimina entre ellas la misiiia incógnita que se eliminó es. obteniéndose otra ecuación con dos incógnitas.

3 ) S e resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones con dos ¡n- uitas que se han obtenido, hallando de este modo dos de las incógnitas.

y ) Los valores de las incógnitas obtenidos se sustituyen en una de las acioncs dadas de tres incógnitas con lo cual se halla la tercera incógnita

(C U A C I O N L S S I M U L TA N E A S C O K TR ES I N C O G N I T A S • 3 * 1 1

Ejemplosx+ 4 y - z= 6.

2x+ 5y - 7z= - 9.3x— 2y+ 2 - 2.

( 1)( 1 ) Resolver el sistema ' 2x-|-5y— 7z= — 9. <21

• 2y + z= 2 . (3>

Combinomos los ecuaciones (1 ) y (2 ) y vamos a e lim inar la x. Multip licando la ecuación <11 por 2, so tiene:

/ 2x+ 8y— 2z= 12\ - 2 x - 5 y - t - 7 í = 9

Rcslondo: 3y+ 5z= 21 (4 )

Combinamos la tercera ecuación (3 ) con cuolquicro de las otros dos ecuaciones dados. Vamos a combinarla con (1 ) pa io elim inar la x. Mu l tip licando <1) por 3 tenemos:

1 3x+ 12y — 3z— 181- 3 * + 2y— z= - 2

Restando: 14y — 4z= ló

Div id iendo entre 2: 7y— 2 z ~ 8 (5 )

Ahoro tomamos las dos ecuaciones con dos incógnitos que hemos obtenido(4) y <51, y formamos un sistema:

3 y l- 5 z = 2 1 . <4 >7 y - ? z - 8. (51

Resolvamos este sistema. Vamos a elimincr la z multip licando <41 pe- 2 y<51 por5:<$y+10z= 4?3 5 y - 1 0 z - 4 0

41y = 62

Sustituyendoy — 2 en <5 ) se tiene-.

7(2 ) — 2z= 814— 2x= 8

- 2 z - - 67= 3

Sustituyendoy= 2,z= 3encuo lquiera de ksstresecuacionesdodos, por c¡om-

pío en <1 ),setiene:

x = 1.

y = 2 .x = 3-

x+ 4 ( 2 | — 3= úx+ 8- 3= 6 R.

x = l .

V E R I F I C A C I O N

losvaloresx= l, y = 2, z = 3 tienenquo satisfacer los tres ecuaciones dodosHágase la sustitución y so veró quo los tres ecuaciones dados so conviertenen idonlidod.

42 A I C E 6 R A

(2 1 Resolver el sistema

transponiendo >• reduciendo:

6 x - 1 9 z — A + = — y.

,0 - i ^ Í = 2, - l .

4r+ 3y— 3x— y.

5c 204-6x— 19= — Sy80 x4-?z = 16y - 8

U + 3y= 3x- y

6x4- 5y+ 5 r= 39 ( I I- x - 16y s 2r - - 88 <2.1

-3 x 4 - 4y 47 = 0. (3)

Vemos c eliminar x. Combinamos (1 ) y ( 2 ) y multiplicamos (2 ) por 6.

6x4- 5y4- 5 z = 39

Sumando:

- 6 x — 9áy4-1 2z= — S28

- 9 l y 4-17z = -~489. 14)

Combioomos 12) y ( 3 ) . 1Multip licando (2 ) por '3 ycambiándole el signo;

Dividiendo por ?:

Combinemos (4 ) y ( 5 )■ {

3x 4- 48y~ 6 z - 264 — 3x+ 4y-I-4z= 0

5 2 y — 2 z = 2 6 4

2 6 y - z = 132.

- 9 l y 4-17z= - 4 8 9 26y— z = 137

(4)<51

Multiplicando ( 4 ) por 2 y / — (5 ) por 7;

Sumondo:

I -1 8 2 y 4 - 3 4 7 - - 9 7 8 I82y — 7z= 924

277 = 54

z— — 2.

-usliluyendo z= — 7 en ( 5 ) :

26y —1 — 2 ) = 13?26y 4 2 1 3 2

?6y= 130

y = 5.

Susliruycndo y= 5. z = — 2 en ( 3 ) :

- 3 x 1 4 ( 5 J 4 4 | — 2J = 0 3x I 2 0 - 8 = 0

R. — 3x= — 1?x= 4.

x = 4 .

y = 5 X = 2

13 I Resolver ol sistemo2x— 5y= 13. I I )4 y 4 z 8 1 2 )

ECUACIONES SIMULTANEAS CON TREL INCOGM ITAÍ • 3 4 3

En olgunos cosos, no hay regios fi jos poro resolver el sistemo y deponer delo habilidad del olumno encontrar el modo más expedito de resolverlo. Esteejemplo puede lesolversc asi:

le ecuación <1 1 tiene x e y. Entonces tengo que buscar otra ecuación d<idos incógnitos que tengo x c y para formar con ( l ) un sistemo de doiecuaciones que lengón ombos x o y.

' 4y*4* i — •• t>Reuniendo (2 ) y ( 3 1 : < x _ y _ 7 = _ 2

Sumando: x + 3y = — 10 (4 )

Va tengo la ecuación que buscaba. Ahora, formamos un sistema con I1>

y (41 :f ?x — 5y— 13.\ x + 3y= - 10.

Multiplicando esto última ecuación par 2 y restando:í 2x - 5 y = 13\ - ? x - áy = 2 0

* " — Ily — 33

y = - 3.

Sustituyendo y = — 3 en ( I I :

2x — 5 1— 3 1= 132x r 15= 13

2x = 2

x = - I.Sustituyendo x — I, y = — 3 en ( 3 ) :

— 1 - | - 3 | — * = — 2

- 1 + 3 7— — 2 * = - ! . -

- * = -* * R. ; y - 3.

2 = 4. ( * = 4

E JERC IC IO 186

Resolver los sistemas:

fx+ y+ i=6 . f2x+3y+ x=l. ( 2x-My+3*=3.i x y+2x=Ó. 6. <6x-2>— *= -14. »■< 10x -8y-9i=0.| x—y—3*=—10. l8 x + y -* = l. l4x+ 4y~ 3i=2.

í x+y+z=l2. f5x-2y+!=24. |3x+y +s= l.1 2x—y l :=7. 6- { 2x+5y-2t= -1 4. 10. i x+2>—t=l .( x+2)—z=6. { x —ly f-3t=2G. I x+ y+ 2= =-l r.

(x -y + i= 2 . f-lx+2y+3-.=8. 17x+3>— 4x=-35. jx+ y+s= 4. 7. 1 8x+ 4 y+ 2 í= -l. 11. 1 :ix-2y-K»x-3S. \ 2x+2y-2=—I- ( 2x-y+ 5:=3. I *+>— Cx = -27.

Í2 x + y -3 x = -l. f bx+3y+2:=12. [ 4x-y+ .'«= -0.| x-3 y-2 *t= -12 . 8. { 9x -y+ 4*—37- 12 . <3x+3y-4i=30.:{x_o y_ x=_ 5. \ I0x+5y+3x=21. [ 6x+2y—3ms33.

4 4 A t e t e n a

I 9xl4y10z=6.3. { t i x ^ + 5 í = ~ l .

[ l 2 x + 12y15z=10.

r»x i a>z= l i .l ü x — y + z = l ü . l5x-|-2y-z=-7.

f x+>'=l- 15. í y + z = - l .

I z+ x——G.

Í x + 2 y = l .2>'+:= 0 .x|-2z—11.

f y r z = - 8 .17. <2x+z='J.

(3yt2x=~3.

í 3x—2y=0.13. | 3y—lz=2G.

^z—5x=—14.

f 3z-5x=10. \ Gx-3y=—7.[ 3y-5z=-13.

í x — 2y = 0 .

>-2z=5.I x+y-fz= 8.

ÍGx-3z-2. 2 z-y=-5 . x+2y—|z=8.

2x-:=14.4x l y—z= 41 .3x —y+ 5z= 53.

23.’ x-l)—z= l. 2+x—y=3. z~x|-y=7.

x y t 2 + | “ ? = a

x+ y _ y i 4

24. x y z

3 + i r 5

ü - Z + i - n

27. x—z _ ) —4 30. ,5 2

y—z x r 2G 3 6 3 10x y z _ i _ 1 _J ___ — oí y-23 4 3

X “ — * TI*

25. I + Z - ¿ = n 26. v _ Í Í i = x _ 6 31.5 0 3 > 2 b'

x y z _ + ¿ -----= 3.10 3 fi

x—7z _ = y 5 .

, - í í u ,y—z

x y + Z _ _ = 3.

20 y í ± Í = 10 29. x~> X~ * - . q 32.y 8 - j o .2 4

z - Z l f = 5* “ Ol2 — - x -

1 + l = 5.X y

i +l=6.X z

— + — = 7.y '

s + í = 2.x y

2 2 3 y : ~ 2

i + i «x z 3

1 _ 4 2 _

3 2 4 + + = 3 .x y z

í - l - « = 81x y r

MPLEO DE LAS DETERMINANTES EN LA RESOLUCION E UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES ON TRES INCOGNITAS

07) DETER M INAN TE DE TERCE R ORDEN Una determinante romo

fli b t c,a¡ hs r*

Ai f ' i c» II

R ES OL UCI ON l 'OM D r TCN M I N A N T ES • 3 4 5

(308! HA LLAR EL V ALOR DE UNA DETERMINAN TE - DE TERCER ORDEN

El modo más sencillo y que creemos al alcance de los alumnos,de hallar el valor de mía determinante de tercer orden es aplicando la Regla

de Sarros. Explicaremos esta sencilla regla práctica Con dos ejemplos.

I 1 2 3J)Resolver -4 2 1 por la Regla de Sarrus

1 5 1 3

Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales y tenemos:

K -» . '

" 2 " 31 Ahora trazamos 3 diagonales de dere-5 — 1 3 cha a izquierda y 3 de izquierda a de* ^ ” ’ s1 —2 —3 recha, como se indica a continuación: • l ''

- 4 2 I

Ahora se multiplican entre si los tres números por que pasa cuda diagonal.

Los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de izquierda a derecha se escriben con su propio signo y los productos de l<<»

números que hay en las diagonales trazadas de derecha a izquierda con el signo cambiado. Así, en este caso, tenemos-

6 - 1 2 - 10+ 3 0 + 1 —24 = —11valor de la determinante dada.

DETALLE DE LOS PRODUCTOS

De izquierda a derecha:

1 X 2 X 3 - I I ( — 4 ) X ( — 1 )X( — 3)= — 12 5 X ( ~ 2 ) X 1= - 10.

De derecha a izquierda:( - 3 ) X 2 X 5 = - 30 cambiándole el signo +30.l x ( - l ) x l = — 1 cambiándole el signo + 1.

3 X {—2) x (—4 )= 24 cambiándole el signo —24.

- 3 - f i 14 I - 3 |5 8 7 |

Aplicando el procedimiento explicado, tenemos:

2 ) Resolver por Sarrus

4X ‘X 5^ 5X “X ^

2 1 + 32 + 9 0 5 7 2 + 108= 192. R.

■ t S O L U C I O N P OK D (T K NM IN AN TF S • 3 4 7

El denominador w el mismo de antes, lo oclcrmincnte de! sistemo El noi

merodor se obtiene sustituyendo en ésto !o columna -3 de los coeficientes

de y por la columna -i de los términos independientes.

I’ora hallar 7 . tendremos:

x = - 3

f I 42 - 3 - 5

I I7 - 33 4

— 23

El denominador os lo determinóme del sistemo; el numerador se obtiene sus

S de los coeficientes de / por lo columnnI¡luyendo en esta lo columna-5 de lestérminos independientes.

x = 3 .lo solución del sistema es •: y ~ 21 y “ 2 .

i X= - I .

2x i y 3z "= 12[Z> Resolver par delcrminonles 5x— 4y+ 7x= 27

10a + 3y— x - 40.Tendremos:

12 1 - 377 - 4 7

1 40 3 12 1 - 35 - 4 7

10 3 - 1

2 12 - 35 27 710 40 - 12 1 -3 1

I 5 - 4 7 11 10 3 - 1

7 1 , 2 !G - 4 27

1 2 1 - 35 - 4 2 I10 3 - l !

— 124= S.

- 2. R.

x = 5.y = 4

x = 2 .

• A L G tec .A

EJERCICIO 188Resolver por determinantes:

X-*7 + 2 = 1 11 . X — y+3z=13 6 .

2x-|2)i—2=7.

(x+yl-z= C2x+y—z=—1 7.

x-2)'J-3:=-6.

12x+3>+4r=3 2x+f»y-l-8í=5 8

4x+9y—4z=4.

|4x—y+2—4.2>—x+2x=2 9-'

«x+3r-2y=12.

(x+4y+Gt=U b. { 3x—2y+z—5 10-

I 4x4 y—3*=—26.

7x+10y+4z=-2.

5x-2y+6*=38. 3x+y-r=21.

4x+7y+5*=—2 fix-4 3y4-7x=G x —y+9z=—21-3x-Gy+2x=—22 2x-y+6r=32 exl-3y—5z=—33.

x-t7'+s=3

x+2y=62x+3y=6.

3x—2y=—1 4x4z=28x + 2 ) ' + 3 z = — 4 3 .

6 2 x y z _

2 ~ K ~ 2

—+y=2z4 3

* y = l

X|-2=—+11.4

EPRESENTACION GRAFICA DE PUNTOS EL ESPACIO Y PLANOS

0) EJES COORDENADOS EN EL ESPACIO (figura 59iSi por un punto del espacio O trazamos tres ejes O X , O Y , O Z , deudo que cada eje sea perpendicular a los otros dos, tenemos un sistema

ejes coordenados rectangulares en el espado. Si los ejes no son perpendiculares entre sí, tenemos un sistema de ejes coordenados oblicuos. E l punto 0 se llama origen.

Cada dos de estos ejes determinan un plano.

l.os ejes OX y O Y determinan el plano X Y \ los ejes O Y y O Z determinan el plano Y Z , y los ejes O Z y O X determinan el plano Z X . Estos son los planos coordenados.

Estos tres planos, perpendicular cada uno de ellas a los ottos dos, forman un triedro trirrectángulo.

Cuando los ejes están dispuestos como se indica en la figura 51), se dice que cl triedro trirrectángulo es inverso. Si el eje O X ocupara la posición del eje O Y y vicc-

versa, cl triedro seria directo. Nosotros trabajaremos con cl triedro inverso.

Para que el alumno adare los conccpu» anteriores, fíjese en cl ángulo dela izquierda de su salón de dase. El suelo es el plano X Y ; lapared queestá a la izquierda del alumno es cl plano YZ; la pared que le quedaenfrentees el plano Z X . El eje O X es la intersección de la pared de enfrente con el suelo: el eje O Y es la intersección de la pared de la izquierda con el suelo; el eje O Z es la intersección de la pared de la izquierda con la pared del frente El punto donde concurren los tres ejes (la esquina del suelo, a la izquierda) es el origen.

COORDENADAS CARTESIANAS DE UN PUNTO DEL ESPACIO

La posición c!e un punto del espacio queda determinada por sus coordenadas en el espacio, que son sus distancias a los planos coordenados.Sea el punto P (figura 60). Las coordenadas del punto P son:

i ) 1.a abscisa x , que es la distancia de P al plano YZ.

') 1.a ordenada y , que es la distancia de P al plano Z X .

d) La cota z, que es la distancia de P al plano JV1’.

El punto P dado por sus coordenadas se expresa P (x . y . i ) . Asi. rl punto (2. 4, 5) es un punto del espacio tal que, para una unidad escogida,

su abscisa es 2, su ot denada es 4 y su cota es 5.(Las coordenadas de un punto del espacio en su salón de clase son:

abscisa, la distancia del punto a la pared de la izquierda; ordenada. I t «lis tancia del punto a la pared de enfrente: cota, la distancia del punto .• I suelo).

En la práctica, para representar un punto del espacio, se mide la ab* risa sobre el eje O X y se trazan lincas que representen la ordenada y la cola

En la figura fil está representado cl punto P (3, 2. 4).

CO OR Ot M A O AS I W I I («P A C I O • 3 4 9

FIGU R A so F I G U R A « I

2: R EPR ESENTACIO N DE U N P UN TO C U A NDO U N A

O M A S C OO RD EN AD AS SON 0

Cuando una de las coordenadas es 0 Y las oirás dos no, el pumo esta

oado en uno de los planos coordenados. (Figura l>2).Si x — el punto está situado en el plano l 'Z: en la figura, P ,(0, 2. ■'().

Si y - « . el punto está en el plano Z X : en la figura, P¡(3. <). 3). S i 2 —II. el pumoestá situado en el plano X Y ; en la figura,

3, 2, 0.).Cuando dos de las coordenadas son 0

y la oirá no. el pumo está situado en uno

ríe los ejes.Si x — 0, y = 0, el punto está situado en el eje O Y.: en la figura, P«(0, n. 3).

Si x - 0 . 2= 0, el pumo está en el eje O Y : en la ligura, P.,(0. 2. <)}.

Si y = 0, 2 — 0, el punto está en el eje O X ; en la figura. P*(3. 0. Oí.

Si las ires coordenadas son U. el punto es el origen.

E JERC IC IO 189

Representar gráficamente los puntos siguientes:1 .(1 . 1.3). 4. (8 .5 . C). 7- (7. 5.4).>.. <I, 2, 3). B. (2 ,4 . 1)> 8. (3 .1 .0 .3. (5. 4. 2). 0. (4, 3. 7). 9. (fi, 3. 4).

3 } EL P L ANO

To da ecuación ríe primer gnu lo con

s variables representa un planoá )Así, toda ecuación de la forma Ax 4

+ C t - Ü representa un plano. (Figu

txl).Los segmentos O A, O H y O C son las

atas del plano solirc los ejes.En la figura la traza del plano sobre

eje O X es O A - a ; la traza sobre el

e O Y es OIS ~ b y la traza sobre el eje OY. OC - c.

Los pumos /I, t í y C, donde el plano tcrsccta a los ejes, por ser puntos de los es tienen dos coordenadas nulas

0 • A t G F W í A

10. ( I, 0, 4). 13 <0. U. 4).11. (4, 2.0). M. (3. 0. 0).12. (5 , t>. 0). ID. <0 ,5 ,0 ).

f l j ( O . O . J ) p .< 3 . 0 .3 . 1t------------------ í

nEPItCSEWTACION ORATICA • 351

Í 3 1 4 ;1314}REPRESENTACION GRAFICA DE UNA ECUACION- DE PRIMER GRADO CON TRES VA RIABLE S

1 ) Rep resen ta r Ja ecuac ión Ia- I--iy »•2s— 12.

Para representar gráfic-amemc esta ecuac ión vamos a ha l la r las (ra ras del p lano <|uie lla representa sobre los ejes (F ig . i; I) .

La traza sob re e l e je OX se ha lla Jia-c icndo y — 0 . == 0 en la ecuación dada. T m «Iremos:

Para y - II. s= 0. cjuctla tx - 12 x= 3.

Se repré senla el p um o (3. 0. Ó).

I- i traza sobre e l e je Oi se ha lla hace nd ó .v= 0. 1 = 0 en la ecuac ión dada .T en (hemos:

P.na v — 0. :— o (¡necia 3y— 12 y— 4.

Se repre senta el p un t o (0 . •?. ít).

I.a maza sobre e l e je O /, se ha lla ha-■ icnd o v— ñ . y= 0 en la ecuación dada. Ten- i b m í o s :

l '- ir .i ,\ - 0 . y— (f q ueda 2 t = 1 2 - ' - z - 6.

S¡ i(p resenta e l pu n to (0. Ü. 6).

l 'n i ch d o e n n t si los tres pun tos que lu-mos ha llado , obtenemos un p lano q u e <s l.i le prc se inuc ión g rá iú . i. d e la e cuac ión lx + 3 y - 2: = 12.

2 ) R e pre se nta r g rá fic am e n te lx + by -t- í>c= 20. (F igu ra 65).

I c u c h i o s :

l 'aia

y = 0, í - 0, v = Y ~ ó Pun t o (ó ,U. 0).

\ - 0. i = 0. y = ? = 4. Pun t o (0 , -L 0).

v - II. y - 0. I - J - 2 ‘ . Pum o (0. II. 2

U n iendo estos ¡mu los en t re m (p ieda trazado un p l ano que es la icp rcscn ta r ión g rá fic a de la ecu ación l.v l- ü y +h - -20.

3 5 2 © AVOfOK*

E>. EJERCICIO 190

Representar gráficamente las ecuaciones:

1. 3x+G)’ »2v=f>. C. 15 x+ l05 »+ fe= 30 .

2 . 2*+y+4*=4. 7 . láx+10y+»z=35.3. 4x-=-Cy+32= 12 . 8. 3x+y+2¿=10.4. l5x+6y+5*=30. 9. 4x+2y+3*=l8.5. 2x 4 yT3z=G. 10. lüxd-20)’-l-24x=120

3 15 PLAN O QUE PASA POR UN UNTOSi un plano pasa por un punto del espacio, las coordenadas de ese pun

to satisfacen la ecuación del plano. Asi, para saber si el plano 2x + y + 3; - 13 pasa por el punto (1, 2, 3), hacemos x = l . > - 2 , z = 3 en la ecuación

del plano y tendremos: ‘¿(1) + 2 + 3(3) — 13. o sea, 13 = 13; luego, el plano pasa por el punto (1, 2, 3). o de oiro modo, el pumo pertenece al plano.

(3161 SIG N IFICA CIO N GRA FICA DE LA SOLUCION DE UNSISTEMA DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS

x + y + z - 12Sea el sistema < 2x - y + 3 t - l ? Resolviéndolo se halla

(3 x + 2y — .rw = — 8. x - 3. y = 4. z = 5.

Esta solución representa un punto de l espacio, el p um o {3,4,í>}. Aflora b ien: x = 3. y — 4, z - b satisfacen las tres ecuaciones del sistema: luego, el punto (3,4,0) pertenece a las tres planos que representan las ecuaciones dadas; luego, el panto (3,1.5) es un punto por el que pasan los 3 planos,

el punto común a los 3 planos.

(317) RESOLUCION Y REPRESENTACION GRA FICA DE UN V y SISTEMA DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGN ITAS

Resolver gráficamente un sistema de tres ecuaciones con tres inrógni tas cs hallar el punto del espacio por el que pasan los tres planos.

Para ello, dados las conocimientos que posee el alumno, el procedi

miento a seguir es el siguiente:

1) Se representan gráficamente los tres planos que representan las tres ecuaciones del sistema, hallando sus trazas.

2) Se traza la intersección de dos cualesquiera de ellos, que será una

linea recta. 3) Se traza la intersección del tercer plano con cualquiera de los anteriores, que será otra linca recta. •?} Se busca el punto donde se cortan las dos rectas (intersecciones) halladas y esc será el punto común a lós tres planos. la * coordenadas de este punto son la solución del sistema

R t l ' K f i r m -A C l O H GRAFICA • 3 5 3

Resolver groficomcntecl sistema

\ ? i + ? y + z= 12! x + y \ r — flI3x- r ?y+ 5z = 30.

F I G U R A te

Apliquemos el procedimiento unterior (h g . 661Representemos 2x1 2y+ r = 12.

Pora y - 0 , 7 - o, x - 6

* - 0 ' z - 0. y= 6y = 0, ¿ ” 12-

II plano que representa esta ecuaaicn os cl plono ABC.

Representemos x ;•y + z— 8.Paray— 0, 2= 0

* “ 0 / 2 = 0 ' / “ 8

x — 0 , y —g 2 = 8.El plano que representa esta ecuación es ol plano D£F.Representemos 3x+ 2y+ 5z= 30.

Paray- .0 , 2 = 0. * = 10> - o , 2 - a ' y = » 5* o,y= Q i - 6.

E- plano quo representa esta ecuación os el plano G /flTrozamosla interseccióndel planoABC con el planoDEP quees la lineo rectaMN/trozamos la intersección del plono OEF con cl planoCHI que es la línea roda ÍQ .AmbasinterseccionessocorlanenelpuntoP;elpuntoPperteneceolos3planos,las coordenados de P que en la figura so vo quo san x= 2, y — 2, / -1 son la

4 yitr.tüR*

EJERCICIO 191

Resolver y rcp rcscm;u g rá ficamen te los sistémas:

í *4-2y4-z=8I. ^2x + 2)+?=<|.

[ 3x+ay+5s=2-l.

Íx4-y4-t=53 j e+2y i í t =8

2 * + 3 y + 3 í = 1 4

f 2 x r 2 ) ’ l 3 ? ~ 2 3

3. - 2x+^'+¿ i=20

l4.\-f:íyI2.'.=2-l.2x-f2>’+3x=24

4. Ix + 5y + 2 í= 35 3x+2y4-S=19.

[3x+-1yf.>j=350 { 2v •:'i)-r0 i= 2 7

[2.v+y-M=Tl3.

I Jx+3y+ós=42 <¡. { 3x- | -4y- t-3 í - .l3

[ 2x+óy-r2i=29.

©RESOLUCION DE UN S IS TEMA DE 4 E CUAC IONESm k j iw r ^ / r k i i T * rC ON 4 IN C O G N IT AS

Ejemplox4-y z+ o= 10.

Rejo lve, e l sislemo I 2* “ Y+ 3‘ ~ ?

<11<21

<31<41

3x-I-2y- 7 . t 5u= 13.x- 3y + 2 r - 4u= - 3.

Combinando (1 ) y (21 eliminamos lo x multip licando I I ) por2 y testando:

2x4-2y4-2x4 2o= 20 — 2x + y- ;i?4-4ii= - 9

3y— i4 -<5o= I I (5>

Combinando (1 ) y <31 climinomos lo x mult iplicando 111 por 3 y testando:3x4-3y4-3x4-3<J— 30

— 3x— ?y4- x— Su = — 13

~'y + Ai —2o = 17 (6)

Combinando 111 y (4 ) eliminamos lo x,restondot

x-|- y4- / 4 - o- 1 0 — x4-3y - 2z4-4o= 3

4y— z+ 5v= !3 (7 )

Reuniendo lus ecuaciones ( 5 ) , Í 6 ) y <7l que hemos obtenido tenemos un sistemo de 3 c-ruocionos con Iros incógnitos:

f 3 y— x+ ¿u— 11 15)y4-4x— 2u— 17 16)

j 4y — z4-5u= 13. (7 )

Vamosa eliminat la z. Combinando <51 y <61, multiplicamos (5 ) por 4 y sumomos:

12y— 4x4-24u= 44y -M i — 2u= 17

13y + 2 2 « = 6 1 ( 8 )

Combinando <51 y <71 oliminamos la z restándolos:

3y— x4 -t<o= I I — 4 /4 - x — 5u= - l 3

I C U A C I O W 3 S I M U I TA N Í A J COM CU A TR O I N CO CM I TA S • 3 ' Ú 5

Reuniendo (8 ) y <95 leñemos un sistemo do 7 ecuaciones con 2 incógnitos:

( 13y+ 22u= 61 <81^ - y + - 7 I9>

Resolvemos «sle sistemo Multiplicando 19) por 13 y sumando:

I3y I 2 2 u ~ 61 — 13y r l.'lo — 26

35Ü =" 35

u= l .

Ahora, sustituimos o= 1 en uno ecuación do dos incógnitas, por ejemplo rn '9 ' y leñemos:

— y I 1 = — 2

Sustituimost / = 1, y= 3 en una ecuación de fres incógnitas, por ejemplo en 151 ytenemos:

3(3 1— * -4-611) = I I 9 — *r+ 6 — 11

r .— A.

Ahora, sostifoimes o = l , y — 3, ¿ —-A en runlqoiero de los ecuaciones dadas, po<ejemplo en ( 1 i y tenonios:

* 4 3 + 4 + 1 = 10 * I T , -. p y $•

xs=2 ó K- x = 4 .u - \ .

E JERC IC IO 192

Resolver los sistemas:

.v+y+z- i i r—-1

.v-l- 'Jy+dc— >r=— 1:.:.v4iy 2c l t r = - 5 ,\ |4y-i-:U— i*— — 7.

x l7 l -A=rt= 1 0•>x~y-2z ¡2 « ~ 2v - 2 v - 3 c - u = 2

2y — 4 c l - 2 « = l .

\ 2 v l Z I : | n r — 3

3 .v+ )'— U— 2»=T2.v-l-2y--z~><=1\ 4 l y - l - 2 : - . ' ) ? r= l 2 .

2.v :¡y-¡-:4 lu=0

3.v-fy - - : i u 106 v + 2 r - H ir — — 3.V+.V/'l | : : i i r = - 6 .

.v4>—Z - - I■ I x l 3 t + 2 z - « =9 ' ¿ x - y — Iz|m= 1X I 2> + 3 c = 2 n = 1.

x•2>’+ c = — 42 x+ : { y - | - 4 : = - 23.v I y+2+u=4Gx+3y-- z lw = 3 .

: : .v42y= 2v |y - | - ,i=— n

: tx— 2y~ u = - 7• 5 v I :»y|(i:48ir 1 1

2 \ - : ¡ : - i f = 2: i y - ;’: . r>irr3ly :>i/=2x— 3 y4 3» :i i

D D’ALEMBERT I 17 17 17 83 » Ab anr on el atrio do lo Capilla de 5t. Joanrecogido por Ir «tpoaa de un humildedo huta l i mayoría do edad. Fue uno precoz. Concibió y realizó con Dide.

ro l, la i don du la Encic loped ia. Dirigió dicho moví»,miento y redactó todo» loa artículo» «obre matemática»que aparoccn on I b fantoaa Enciclopedia. Fue Secre-tario Perpetuo do la Academia Francoza. Punde connderarao con Rousseau, procunor de la Revolución.

C A P I T U L O XXVIO B L E M A S Q U E S E R E S U E L V E N P O R E C U A C I O N E S

M U L T A N E A S

9' La diferencia de dos números es 14, y ~ de su suma es 13. Hallar

los números.

Sea x = cl número mayor. y = cl número menpr.

De acuerdo con las condiciones del problema, tenemos el sistema:¡ x - y = 14 (1)x + y

r = I3 . (2 )

Quitando denominadores y l x -- y = 14 umando: i x + y = 52

2x ~= 66 x = 33

Sustituyendo x = 33 en (1):33- y = 14

y = 19

Los números buscados son 33 y 19 R

r j to j i i i f t tAS s a t i n e e c u a c i o n e s s im u l t a n e a s • 3 5 7

EJERCICIO 193

1. I.a diferencia de do* números es -10 y - i de su suma es 11. Hallar los

números.

2. 1.a suma de dos números es 190 y j de su diferencia es 2- Hallar lo*

números.

?■ La suma de dos números es 1529 y su diferencia 101. Hallar los núnuu.s

4. Un cuarto de la suma de dos números es 45 y unicreio de su dilem uiaes 4- Hallar los números.

¡>. Los — de la suiua de dos números son 74 y los ' de su diferencia \)i ' >

Hallar los números.

G. Los — de la suma de dos números exceden en 6 a 39 y los — de su tu 6diferencia son I menos que 26. Hallar los mimo o*.

7. Un tercio de la diferencia de dos mimeri>s es 11 y los — del maynt

equivalen a Jos del menor. Hallar los uúmeios.

H. Dividir 60 en dos partes tales que los — de la parte mayor equivalgan

a los — de la menor.

Hallar dos números tales que 5 veces el mayor exceda a j- del memu

en 222 y ó veces el menor exceda a i del mayor cn 66.

(320)i'.320/ G lbs. de café y 6 lbs. de azúcar costaron S2.27, y 5 ll>s. de café y 4 Un de azúcar (a los mismos precios) costaron S1.8B. H a lla r el precio il<

tina libra de café y una de azúcar.

Sea x = precio de 1 lib ia de café en ets. y = precio de 1 libra de azúcar en ets.

Si una libra de calé cuesta x. 6 lbs. costarán 6x; si una ^ __ f (Jlih . de azúcar cuesta y. 5 lbs. de azúcar costarán ay, y corno el i 'importe de esta compra fue S2.27 6 227 cis.. tendremos: /

5 lbs. de ca fé cues tan bx , y 4 de azúcar. Ay, y r o m o e l f>x+ 4) IH9 (9

iu t|> o rte d e esta c omp ra lu c d e S I.88 ó 188 ets.. t end rem os : /

R eu n ien do las ecuaciones (1) y (2 ). tenem os e l s is tema :

\ Ox + 5 y 227. (1)

t 5 * + 4 y - 188. (2)

Multiplicando (1) |Kir 5 Í10x+ 25y= 1135

y (2 )por 6 y restando: I - Sílx - 24y - - 1126

> = 7S tii l 7 ( l) ti 32

8 • ALGI6RA

EJERCICIO 194

1. 5 n a je s y som bren»* cue s tan lleO soles, >' ri n a je s y ¡j som bt e n » t)¡)IIJl l a l l .u e l p r e c i o d e u n n a j e y d e u n s o m b r e ro .

2 . l . n l u t e e nd a do c om pr o i va r a s y 7 c a b a l lew p o r S ú l J y m á s t a r d e , a l osm is ino s p rec ios , co m p ró {i vacas y y caba l lo* jan >*¡18. H a l la r e l cos tode una va c a y de « •» c a ba l l o .

3 . l . n un c i ne , 10 c una da s t i c a du l t o y ü de i i i ñu c ue s t a n > i > . l 2 , y } 7 den i ñ o \ l."> d e a d u l t o l l a i l . n e l p r e c i o d e u n e n t r a d a d i n i ñ o y m ud e a d u l t o .

4. Si .i veces e l m ay or de do s m in íe lo s se añade 7 t ece s e l m en ot . I.ts u m a es Ht¡ , y s i a •) veces e l m en o r se tes ta e l c u a d ru p lo tlcl m ayo r , lad i f e r e n c i a e» s :¡ . H a l l a r l o s m i nu t os .

0. Los v d e la etlat l <lc A a u m e n t a d o s e n lo sde l a e da t l d e l i «un í an í áaño s , y los * «le l a edá d de .I d i sm inu ido s en los J de l a d i li e q u i v a -

l e n a i 1 a ñ o s . H a l l a r a m b a s e d a d es .

0. I I <1....,i- <|i- la e d a d d e .1 « s u d e cu .'ai .m u s alaedatl tl«: l i . y --tic la

V<lad de t i es :{.‘i años menos ipie la etlatl <1l A . H a l l a r a m b a s e d ad es

7. I .a r i la d d e .I ex ce de en 13 añ os a la tl t l i . yt i i ln p lo d e i.t e t la t l«le ¡le x u d e e n '_ ':t a ñ o s a l a e tla tl d e .1 . H a l l a r a m b a s e d a d e s .

8 . S i 1 ib la e d a d d e A :.<• a u n u ’itia e n los * «le la d e it . e l resul tado se t ; .

37 años, y A «le la otlad tic l i e q u i v a l e n a ^ d e la e tl at l ti c A . l l a l l a )

a m b a s e d a d e s .

2 y .Si a los dos términos tle una tracción se añade 3. t:l valor tic la frac

ción es y si a los dos términos se resta 1, el valor tle la fracción

s 4-. H alla r la Fracción.

Entonces

Añadiendo :? a cada término. I.t fricció n se conviene en y según

as condiciones del problema el valor de esta fracción es }: luego:

x — el mimeradot y = el denominador

x — la I r a t t . io t i .

ü | = i W y + 3 2

Restando 1 a t ola término, la fracción »«,• i otiv tei te en ’ y según as nnnlii iones, el valor de esta fracción es A: luego:

x + 3 i.

PRO BL EMAS SO BHE ECUACIO NES S IM UL T AN EAS • 3 S 9

Reuniendo las ecuaciones (1) y (2), tenemos el sistema:

y + 'i 2 '

x - 1 1

y — 1 ~ 3 "

Quitand o denominadores: ¡ “* ' !? } ! I : ix — 9 = y - l .

Transponiendo \ 2* — y — —3 y reduciendo: ¿ 3.x —y = 2 (3)

Restando:- 2x I- y - 3

3x - y - 2

— o.Sustituyendo lá y - 2 x —5 en (3): y = 13.

Luego, la fracción es -j. R .

EJERCICIO 195

I Si a l os do s t é rm ino s d i: un a t rac c ión se añade 1 , «1 v a lor de la l i a i .........

es y si a los dos términos se resta 1. el valor de la tracción o VHallar la fracción..Si a lo» dos términos de una fracción se resta 3» el valor de la .........

es A y si los dos términos se aumentan en el valor de la tracción • '

Hallar la fracción.

Si al numerador de una fracción se añade 5, el valor de la fracción • » y si al numerador se resta 2, el valor de la fracción es 1. Hallar la tracción

i. Si el numerador de una fracción se aumenta en 26 el valor de la trac

ción es 3. y si el denominador se disminuye en 4. el valor es 1. Il.ill.u la tracción.

Añadiendo ¡j al numerador de tina fracción y restando 2 al dcnominadoi.

la fracción se convierte en y . pero si se resta 5 al numerador y se añade

2 al denominador, la fracción equivale a 4- Hallar Ja iraccióu.

ti Multiplicando por 3 el numerador de una iracción y añadiendo 12 d

denominador, el valor de la fracción es y si el numerador'se aumenta

en 7 y se triplica el denominador, el valor de la fracción es '. Hullai

la fracción, / Si el numerador de una fracción se aumenta en el valor de la Iriución

es ' , y si <-| numerador se disminuye Cu el valor de la fracción es * Hallar la fracción

• A L o a u k

.V 3( i )

x + 2 4( 2 )

7 - í»“

) Dos números están en la relación de 3 a 4. S i el menor se aumenta en 2 y el mayor se disminuye en 9, la relación es de 4 a 3. Hal lar los

meros.

Sea x = cl número menor y = el número mayor.

I - i re la c ió n d e dos n úme ro » cs e l c oc ie n te d e d iv i d i r u n o

e l o t ro . S e gú n las c on d ic io n es , x e y e stá n e n la r e la c ió n

3 a 4 ; luego . ____________ ,

S i e l m e n o r se a um en ta e n 2. q u e d a rá x + 2 ; s i e l

y o r s e d i sm i n u y e e n 9 . q u e d a r á y — 9; la r e la c i ó n d e

osnú m eros , según las cond ic iones , esde I a 3 ; luego .

x í R e u n ie n d o (1 ) y (2), > '*

em os e l s is tem a : v o ,j

>•-9 ~ 3 *

R eso l v ie ndo e l s is tema se h a lla x = 1$, y = 24; estos so n lo » m i n i n o s

cados. R.

E JERC IC IO 196

Dos n úme ro s está n e n la re la ció n d e á a í>. Si e l menor se a umenta en2v e l m ayo rse d ism inuyeen (j. la re lac ión csde!)a8 . I ta l lar losnúmeros.

La re la c ió n «le dos n úme ro s ex «le 2 a 3. Si el meno r se a umenta e n 8y e l m ayo r e n 7. la re la ció n es d e 3 a -1. H a l la r los núme ro s.

Dos núme ros son en tre si i o n io i» es a 10. S i e l mayo r se aum en ta en 20y e l me no r se d ism in u ye en 15. e l me no r seráa l mayor rom o 3 es a 7.H a l l a r los núme ros.

Las e dades t ic / / y [ t están en la re lac ión de a 7. D e ntro de 2 anosla re lac ión en t re la edad de A y la de l i será de 8 a 11. H a l la r lasedadesactuales.

Las edades de A y l i están e n la r ela ció n d e I a 5 . Hace ", años la rela c ión e ra t ic 7 a !). H a l l a i las edades actuales.

La edad -actual tic A gu ard a con la edad a rtu a l de ¡ i la re lación de2 a 3. Si la edad q ue A te nia hace I años se d iv id e |x.»r la edad qu etendrá l i den t ro t ic 4 años, e l cociente es ». H a l l a r las edades ac tuales.

'Cuando c m p ii/a n a ju g a r A y l i . la re la ció n de lo q ue tie ne A y lo

i| i u tie n e l i esde 1(1 a i3 . Despuésq ue A Je lia ganado 10 bo líva res a I I .la r ela ció n c n ir e lo q ue tie ne A y lo q ue le queda a l i es «le 12 a 1 1 .;C u n c ua nto em pe /o a ju ga r cada uno?

An t e * ib- u na b ata lla , las fu e rras t ic da» e jé rcitos estaban en la relac ión tic 7 a !l. L I e jé rc ito men or p e it l ió 151100 h omb res cu la b a ta lla y el

250110 h b Si l l ió h i d I I 13 á t I t i

P R OB L EM A S S OI I R Í «C O A C I O N t S S I M U L T A N E A S £ J g |

= 2. (1)

323 Si cl mayor de dos números se divide ¡sor cl menor, cl cociente es 2 y el residuo 9, y si 3 veces el menor se div ide por c l mayor, cl cor ¡en

te es 1 y el residuo 14. Halla r los números.

Sea x — el núm ero mayor y — cl número menor.

Según las condiciones, al divid ir x entre y el cocicn- x —9 te es 2 y cl residuo 9, pero si el residuo se le resta al y

dividendo x . quedará x — 9 y entonces la d ivisión entre y

es exacta; luego: /

Dividiendo 3)' entre x, según las condiciones, el «oriente es 1 y el residuo I I . pero restando I I del di

videndo la división será exacta: luego _ / '

— J’ = 2 .Reun iendo (l ) y (2>. v

leñemos el sistema:

Quitando denominadores-

Transponiendo:

3 , - 1 4 ^

tx — 9 —¿y (3)i3jr —1-1 = x.

) x - 2> = :•I X 4 3 y = 14

, = 23.

Sustituyendo y = 23 en <3) se obtiene x 9 = 46: luego. x = óá[.os núm eros buscados son 55 y 23. R.

h EJERCICIO 197

1. Si el mayor de dos números se divide j >o i ti incnór, (4 enciente es 2 )el residuo 4. y o 5 veces el menor se divide |x>i el mayor, el cociente es2 y el residuo 17. Hallar los números.

2 Si el mayor de dos nutricios se divide por el menor, el cociente es 3. ysi 1Ü vetes cl menor se divide por el mayor, cl cociente es 3 y el residuo 19. Hallar los números.

;i Si el «jupio del mayor «le «los mimen» ve divide por el triplo del menor, el cócieim es I y el residuo 3, > si s v u n el menor si «livide por elmayor, el cociente es 5 y el residuo ). Hallar los miminis,La edad «le .1 excede en 22 años a la edad «le l<, y si la edad «le .4 sedivide entre el triplo «le la de II, el cociente es | y el residuo 12.Hallaiambas edades.

Ir. Seis veces el ancho de una sala excede en I tu a la longitud de la sala, y si la longitud aumentada en :i m se divide entre el ancho, el cocientei< 5 > el residuo 3 Hallar las dimensiones «le la sala.

2 • A lf lM R A

\¡ La suma do la cifra de bis decenas y la cifra de las unidades de un núm ero es 16. y si al número se resta 9, las ti fia s se invierten. H a

r el número.

Sea x — la cifra de las decenas y — la cifra de las unidades.

Según las condiciones: , ....n x + y- la . (1)

F.l número se obtiene multiplicando |>or 10 la cifra de las decenas y mándole la cilra dr las unidades; luego, ol número será lOx -f y .

Según las condiciones, restando 9 de 10* * >• 9 = lU v + x.te número, las eilras se invierten, luego,

Reunie nd o (1) y (2). J x -fy — lf»nemos el sistema: í lOx -r y - *J = l(>y + x

Transpon iendo \ x - r y = 15 y reduciendo: ( 9x — 9y = 9.

v idiendo la 2a. ecuación \ x + y = 15 or 9 y sumando: | x — y — 1

2x =16 x — 8.

Sustituyendo x = 8 en (1) se tiene 84-y = 15.'.y = 7.FI número buscado es 8". R.

- EJERCICIO 198

1- La suma de ¡a cifra «lelas decenas y la cifra de lasunidades de un númeroes 12. y si al número se resta 18, las cifras seinvierten. Hallar el número.

2- l.a suma de las dos cifras de un número w 14, y si al número so suma 36.las cifras se invierten. Ifallar el número.

3. La suma de la cifra de las decenas y la cifra do las unidades de un número es 13. y si al número se lo testa 45, las cifras so invierten. Hallar el número.

4- Ui suma de las dos cifras de un número es 11, y si el número so dividepor la suma «le sus cifras, el cociente es 7 y ol residuo 6- Hallar elnúmero.Si un número de dos cifras se disminuye en 17 y esta diferencia se divide por la suma «le sus cifras, el enciente es 5, y si el número disminuido en 2 se divide por la cifra de las unidades disminuida en 2. el cociente es 19. Hallar el número.

’’ Si a un número de dos cifras se añade 9, las cifras se invierten, y si este número que resulta se divide entre 7. el cociente es 6 >' el residuo 1. Hallar el número.

7- La suma de las dos cifras de un número es 9. Si la cifra de las decenas se aumenta en 1 y la cifra de las unidades se disminuye en 1 , las cifras se invierten. Hallar el número.

H l O O L E M A l SOB RE E CU A CI ON ES S I M U L TA N E A S 0 3 6 1

Í325/ Se lid ie n 8120 en 33 liil lc ifó de a 85 y de a $2. ¿Cuántos billetes m«onde 85 y cuántos de *>2?

Sea x = el número de billetes de $2 y —él número de billetes de $5.

Según las condiciones: x ( . j j

í:<hi x billetes de $2 se tienen S'Jx y c m y billetes de Sá 2 x •r>v K-’il se tienen Sáy. y como la cantidad total es S12U. tendremos:/

Reun iendo ti) v t2) tenemos el sistemas * _ ’( 2.x — !>y = 120.

Resolviendo se encuentra x ~ lá, y = 18: luego, hay lá billetes <lr 82 y 18 billetes tic S5. R.

> EJERC IC IO 199

1 y tie ne n M1-3 II en 75 monedas de ¡i20 <ts. y tle 10i ts. ¿Cuántas inonedas «> i i «l<- |0 «ts \ c uántas tle 21)cts.r

2. t u lio m h i: tie n e .>404 e n ••] i ik i i i k I.is il< ;t Sá y ib a S I .¿ C u á n t a s m o n it í a s son t i c Sá y cuánta s de SI?

3. I ' i i un e n e lias TOO p eí«mas « u n e a du lto s \ niños. Cada a d u lto pagótu cts. y catla n iñ o lá t t s p o r m e ntra da . L a reca udació n es tic S lf-o ; ( a i.ín to s a du lto - y i i i . in i o s nii'ios hay cu el t iiu ?

i Si- re paHcn monedas de 20 «ts, s <le •_>*> «i*. en tre ¡ 1 |iersi>nas, dando m u

moneda a c ic la una. .Si la cam biad repart idaes SD.ÍIá, . 'inanias pCISiu i.nrecib ie ron monedas de 20 «t». ) c uántas de25 e ts.r

D Se tienen S-51!) en 287 b ille tes de a S | y de a 52. .'Cuántos b ille tes m u i

<!<• a S i y cuántos de >2?t! Con 171 «ilíones lo i n j iié :{ | lib ro s <!<• a :> y de a 7 colones. ; ( u .n ilo

li b ros compré de cada p recio?7. Cu lom e rciame emp leó 0720 sucres cu rom m a i tra je s a 375 sucres \ -un

b re ro s a lá . s i la suma de l n úme ro ele tra je s y el n úme ro de s omb ienn ip i r c omp ró es á | . ¿m . iiiio s n aje » c omp ró y cuán to s sombreros?

132^ Si A le da a 15 82, ambos tendrán igual suma, y si 15 le da a A s;>,A tendrá el triplo «le l«i «pie le «picd» a 15. ¿Cuánto tiene rada uno?

Sea x — lo que tiene A y lo que tiene 11-

Si A le «la a H 52. -I se «iti«da ron Sis 2iv --1*»“ y , *i

\ /?. tendrá $(y + 2). y según las condicionesambos tienen entornes igual suma: luego._____________________ /

Si ¡\ le da a A 52. H se «piula ron S iy - 2 ) y A ^ (

tendrá Sf.v I- 2) y según las i ondú iones «monees Atiene el triplo de lo que le queda a /{; luego,

Ív —2 ■ v ~ 2 .

~ ... “ . x + 2 - ! ( ) • - :

R l i d t i t i It li \ 10 (i l A li it $10

4 • A L G E B R A

27 / Hace 8 años la e da d d e A era t r ip le q u e la d e B , y d e n tr o d e 4 a ños

Reso l v i endo e l s i s t ema se I t a l i a x = 32 , y — 16.

A t ie n e 32 años, y B , 16 años. R .

- EJERCICIO 200

1. Si.-I le da a l l S i . ambos tienen lo m is ino , y si B le «la a A SU A te nd ráelt r ip l o d i lo q ue le qu ede a l l . ¿Cuán to tie ne cada tmo.:

9.. SiI I le da a A 2 vedes, ambos tienen lo mismo, ysi A le «la a l i 2 soles,

l i tiene éldob le de lo que le queda a A . ¿Cuán to t i ene cada uno?3. Si P e dio le da a Ju an §8, ambos , tienen igua l suma, pe to si Juan le «la

a P e dio 83, éste tiene I veces lo que le q ue da a J ua n . ¿Cuánto tie ne

cada uno?

4. H ace 10 anos la edad de A era d ob le q ue la «le / I ; d e n t ro d e 10 año»

la edad de B será los j d c la de A . H aJ la i las edades actuales.

5. Hace ti años la edad deA era d o ble q u e l a de B ; d e n t r o d e 6 años será

los - r de la «dad de B. l la l la t las edades actuales.

fi. L a ed ad tic A hace 5 años e ra lo s -7 de la de B ; d e n tro de l ( j años laedad «le H será los — de la de A . H a l la r las edades actuales.

t»7. 1.a edad a ctua l d e un homb re es los — de la edad de su esposa, y den tr o

de 4 años la edad de su esposa sera los - - de la suya. Ha lla» las edades

actuales.

3- A y I I empie zan a ju ga r . Si A p ie rde 25 lemp ira s. B te n drá ig u a l suma

que A , y si H p ie id o 3:1 lempira s, lo q ue le qm rda es lo s — delo q ue

tendrá en lomes A . ¿Con cuán to rm p e /ó a jugarcada uno?

9. U n padre le d ice a su h ijo : Hace í; años tu edad c ía r «lela m ía : dent ro

tle ¡I años sera los j . H a l la r ambas edades actua les.

10. Ped io le « lite a | uan : .Si me das l á ets. tend ré 5 veces l o «pie t ú , y [uan le d ice a Ped io : Si t ú me «las 20 ets tend ré :t veces l o tu te n i aC i iáu io

Sea x = celad ac tua l de A

y = e dad a c tu a l d e B .

Hace 8 años A te n ia x — $ años y B

n ía y —8 a ño s; se gú n las c o nd ic io n es :

D e n tr o d e 4 años, A te n d rá x — 4 año s y

te n drá y 4 -1 a ño s y s egún las c o ndic io n e s:

^ x - 8 = 3 < y - 8 ) .

R e u n ie n d o (1 ) y (2 ), te nemos e l s istema:

y " >■4-4 = ^ (x •» 4).

x — 8— 3 { y — 8).

y + 4 ^ ( x + l ) .

11. A 1c dice a II: Dame la mitad de lo que tienes, y 00 cts. más. y tendré •1 veces lo que tú, y li le contesto: Dame 80 ris. y tendré $3.10 más que tú. ¿fJtiánto tiene cada uno?

12. Hace G años la edad de Enrique cía los de la edad de su hermana,

y dentro de 0 años, cuatro veces la edad de Enrique será á veces la edad de su hermana. Hallar las edades actuales.

328) U n bote que navega por un río recorre 16 kilómetros en 1* hot.n

a favor de Í3 corriente y 12 kilómetros en 2 horas contra la corriente. Hallar Ja velocidad del bote en agua tranquila y la velocidad del río.

Sea x — la velocidad, en Km por hora, del boteen agua tranquila,

y —la velocidad, en Km por hora, del lio.Entonces x • y —velocidad del bote a favor de la corriente,

x — y = velocidad del bote contra la corriente.

E l tiempo es igual al espacio partido por la velocidad; luego, el tiempo empleado en recorrer lo* 1 •r> _ ^1.1 Km a favor de la corriente, 11 horas, es igual al x + yespacio recorrido, 16 Km, dividido entre la velocidad del bote, .v -l y, o sen:

El tiempo empleado en recorrer los 12 Km contra 12la corriente, 2 horas, es igual al espacio recorrido, x — y

12 Km, dividido enüc la velocidad del bote, x — y ,n sea: ___________________________ ____________

P R OB LEMA S S OB R E E CU A C ION E S S IM U LTA N E A S • 3 6 5

Reuniendo (1) y (2), tenemos el sistema:

Resolviendo se halla x = 8, >= 2; luego, la ve

— = n x + y

12 — 2 .

x - y’ocidnd del bote en agua

ii.tnquila es 8 Km por hora, y la velocidad del rio, 2 Km por hora. U.

m - EJERCICIO 201

1. Un hombre rema rio abajo 10 Km en una hora y rio arriba -1 Km en una luna. Hallar la velocidad del hote en agua tranquila y la velocidad del rio.Una tripulación rema 28 Km en EJ horas rio abajo y 2-1 Km en :i horas iio arriba. Hallar la velocidad del bote en agua tranquila y la velocidad «leí rio.Un bote emplea 6 horas cu recorrer 21 Km. rio abajo y cu regresar. Kn recorrer 3 Km rio ahajo emplea el mismo tiemjx) que en recorrer 2 Km rio arriba. Ilall.n el tiempo empleado en ir y el empleado en volver.

•1. I n.i tripulación emplea 2i hora* cu recorrer M Km rio ahajo y horasen <1 regreso, lla lla ) la velocidad del bou: en agua 1 ian<|itiin y la veloeitlaU del rio.

(j. Una tripulación emplea 0 horas en rccotrcr -10 Km rio abajo y en ream ar. Ku tentar 1 Km rio arriba emplea el mismo tiempo que en temar 2 Km lio abajo. Hallar c! tiempo empleado en ir y en volver,

(i. Un bote emplea j huras en recorrer 32 Km río abajo y 12 Km rio arriba.I'.n rema) 4 Km lio abajó c) botero emplea el mismo tiempo que en remai 1 Km lio arriba. Hallar la velocidad del bote en agua tranquila

y la del río.

(329; 1.a suma de tres números c» 1G0. l 'n cuarto «le la Mima del mayor y

el mediano equivale al menor disminuido en 9.0. y si a ... de la dife

rencia entre el mayor \ el menor se suma el número del medio, el resultado es f>7. H allar los números.

Sea \ — número mayor y— número del medio -= número menor.

| v + y .+ 2 = JttV

Según las condiciones riel ' ¿ - 20

problema, tenemos el sistema: j *

3 6 6 ® ALGEBRA

Resolviendo el sistema se halla \ — <12. y —.10. ; = «>. tjue son los números buscados. R.

33U) l a suma «le las tres cifras de un número es 1G. I-a suma «le la cifra de las centenas y la cifra de las decenas es el triplo de la cifra «le las

unidades, y si al número se le resta 99, las cifras se invierten. Halla r el número.

Sea v - la cifra de las centenas y = la c ifra de las decenasz= la cilra de las unidades.

Según las condiciones, la simia de las tres cifras os 16: luego:

.v -r y -I- z - 10. (1)

1.i suma de la r ilra «le las centenas x con la cifra de las x + y = 'áz.

decenas y es el triplo de la cifra de las unidades z: luego.

" ,,ú , , ,e r? S i i o o * + i o v + s - w m ^ io y + x .restamos 99 a) numero, las ciñas se invierten: luego.---------------------------- f '

p f '. o e u M A S s o b u e e c u a c i ó n » s i m i i i t a n f a s • 3 6 7

R eun i e n d o (1 ), (2) y (3),

tenem os c l s is tem a: ¡ ^ + ^ + , v

Re so lv ie ndo e l sis tema se h a ll a x = 5, y = 7, 2— •!, lu e go , e l n úm e i u b us ca do es 574. R .

EJERCICIO 202

1. La suma de tresnúmeros es 37. E l menor d ism inu ir lo en 1 equ iva le .1 1

de la suma de l mayor y c l m edia no; la d iic ic n c ia e ntró el m e dia no ye l menor equivale a i mayo r d ism inu ido en 13- H a l la r los números.

2. 5 k ilos ele azúcar, 3 «le ta le y I de Ir ijo le s cuestan 4 de arúcai,

ó «le calé y 3 deIr ij o les cuestan $1.45: 2 «le acuca r, 1 deca lé y 2 def rijo l e s cuestan 4<¡ cts. Ha lla» e l p rec io de un k i lo de cada mercancía

I Lasuma de las tres c ilra s de un núme ro es 15. La suma «le la C ilra d<

las«1menas «mila c i fra de las decenas es los de la c i lra de las unidades,

y si a l nÚRitio se le resta íl!>. las c ifras se inv ie r ten . H a l la r e l número.

La suma de tres números es J27 Si a la m i ta d «leí m e no r se aftadr

‘ «leí n ii- ili. in o y ^ del mayor, la sim ia es ;j'J y e l m ayor excede e

1 la m ita d «le lasuma del m ed ian o y el m enor. H a l la r los n iim r io

¡i L a suma de las tres c ilra s de u n n úme ro es 6. Si el n úme ro se d iv id e pin la suma de la « ¡lia «le las centenas y la c if ra «le las deccn.n. r lcocien te es 41. y si al n úme ro se Je añade IÍI8, las c if ras se inv ie r ten lla lla » el n úme ro .

■ La sumade h » t u s á ngulo s «le u n tr iá n gu l o es I8 011. E l mayo i e x » «Iral nomu en35° y e l m enor excede en 2 0 ' a Ja d ife renc ia en tre c l mayoiy el media no . Ha lla , los ángulos.

7 H n hom bre tiene 1 IIJ an ima les en t re vacas, caha l li» y te rneros, 1 del

n úme ro de vacas más — del n úme ro de c aba llos más — ,]c | n úme ro defi r,

terneros e qu iv ale n a 13, y la suma del n úme ro de te rn ero s con e l devacas es fifi {Cuántos anima les de cada clase tiene?

1 .a sumade las tres c ifras de un número es 10 . L a suma d e la c ilra delas centenasy la c ifr a de las decenas excede en 4 a la c ifr a tic las u n i dades, y la suma de la c ifra de las centenas y la c ifra d e las unidadesexcede en 1; a la c ilr a d e las decenas. H a l la r c l n úme ro .

1 I . i suma de los tío s ángulos de un tr iáng u lo es 180°. l-a suma de l mayory e l med iano es 135°, y la suma del med iano y c l menor es 110°. H a l la r Jos ángulos.

!1' En tre A , l t y f. tie nen MU l io i ivares. C. tie ne la m ita d de lo q ue tiene .1. y A bs. 10 más q ue Vi. {Cuán t o tie ne cada uno?

11 s i I le da S i a ambos t ie ne n lo m i smo ; si I I tuv ie ra S l menos , teud riu lo m ism o «pie y si A tu vie ra 55 más, temh la ta n to c omo cl d ob le delo q ue tie ne C. {Cuán to tiene cada uno?

12. De t e rm in a r u n n úme ro e nue 301) y -100 s ab ie ndo q ue la suma de su*

d i ra s es 6 y q ue le íd o :tl revés es ^ d e l n úme ro p r im it iv o .

) 3.SiA le daa l i que tzales,ambos t ienen l o m ismo.Si t í le daa C Lqueu al ,

ambos t ienen lo m ismo. S i A tie ne los d e lo q u e tie ne C, ¿ cuánto tie ne

cada uno?

14. H a lla r n n n úme ro mayor q u e <100 ymeno r qu e 500 sa bie ndo q ue sus

c i f ras suman 0 y que l e ído a l reves es^ de l n úme ro p r im itiv o .

15. Si a l dob le de la edad de A se ........ laedadde l i . se ob t iene la edad deC a umentada cu '.V¿ años. S i a l te rc io de la edad de t í se suma c ) dob le tle la tle C, v ; o btie ne la de A a umenta da en 0 años, y el le r d o de la suma t le las edades de A y l i es 1 a ño menos que la edatl tle C. H a l la r

las edades respectivas.

& EJERCICIO 203

MISCELANEA DE PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN POR ECUACIONESSIMULTANEAS

E l pe r ím e t ro tle un cua r to rec tangu la r es 18 m , y <J veces e l la rgo equ i vale a 5 veces e l ambo . H a l la r lasd imensiones de l cuar to .

?. A tie n e d ob le d in e ro q ue l i . ¡Si A led a a l i 12 balboas, atoluistendránlo m ismo ¿Cuánto tie ne cada uno?

3 Si una sala tu v ie ra 1 me t ro mas de la rgo y 1 m . más de .ancho, e l áreasería 2 6 más de Jo q ue es ahora, y si tu vie ra 3 m menos de la rg o y2 m más de am bo , el área sería 1!) n i- m ayor qu e ahora. H a l la r lasd imens iones tle la sala.

C om p ré un carro , u n caballo y sus arreos p o r $200. E l carro y tosarreoscostaron $20 más que e l caba llo , y e l caba llo y los a rreos costa ron$10 más que e l carro . ¿Cuán to costó e l ca rro, cuán to e l caba llo y cuán to los át icos?

5. H a l la r tres núme ros tales que Ja soma de l lt> y e l 2*? excede en 1 $ alte rcero : la suma del 1 “ y c i 3'-1 excede en 78 a l segundo, y la suma del2Í> y e l 3'-> excede en 102 al 1?.

6. I - i suma tle las dos c ifras tic un número es (i, y s i a l número se le resta38, las c ifr as se inv ie r ten . H a l la r e l número .

7 U n p ája ro , vo la nd o a fa vo r de l v ie n to recorre 55 Km en 1 h ora , y cucon tr a de l v ie n to 25 Km en 1 h ora . H a l la r la ve lo cid ad en Km p o r lio ra del p ája ro cu a ire tra n q u ilo y de l v iento .

8. U n h omb re tom p ró c ie rto n úm e ro tic lib ro s. Si h u bie ra c om prado 5lib r o s más po r el m ismo d ine ro , cada lib r o le hab ría costado $2 menos,y «i h u b ie ra c omp ra do 5 lib ro s me llo s p o r e l m ismo d in e ro , cada lib r o

le h a b ría co sta do $-1 más. ¿Cuántos lib ro s c omp ró y c uán to pagó p o rcada uno?

7 k i los tle calé y 6 de té cues tan $1.80: ¡) k ilos tle té y 8 tle ta lé cuestan$6.45. ¿Cuánto cuesta un k i lo tle ca fé y c uán to un k i lo tle té?

10. U n comerc ian te emp leó $1010 en compra r 50 tr ajes t ic a $10 y t ic a $35.

368 • AicrotiA

MtO&UMAS S03BC ICUACIONÍI SIMULTANEAS O 369

Si al numerador de una fracción se resta 1, cl valor de la fracción es ‘ ,

y si al denominador se resta 2. el valor de la fracción es Hallar la fracción.

)•>. Dos bolsas tienen 200 soles. Si de la bolsa que tiene más dinero se sacan 15 soles y se ponen en la otra, ambas tendrían lo mismo. ¿Cuánto tiene cada bolsa?

1 !, Un número de dos cilras equivale a (i veces la suma de sus cifras, y mal número se le resta 9, las cifras se invierten. Hallar el número.Cierto número de personas alquiló un ómnibus para una excursión. Si hubieran ido 10 jiersonas mas, cada una habría pagado .> bolívarct menos, y si hubieran ido G personas menos, cada una habría pagado ó bolívares más. ¿Cuántas |>eisonas iban en la excursión y cuánto pagó cada una?

Entre A y tí tienen 1060 sucres. Si A gasta los -§• de su dinero y tí del

suyo, ambos tendrían igual suma. ¿Cuánto tiene cada uno?

Ayer ganó 610 más que boy. Si lo que ganó hoy es los — de lo que

ganó ayer, ¿cuánto gane cada día?Dos números están en ia relación de :i a ñ. Si cada número se disminuye en 10, la relación es de 1 a 2. I billar los números.

10 . A le dice a l i: Si me das 4 lempiras tendremos lo mismo, y l i le conten a:Sí tú me das -1 lempiras tendré -jj- de lo que tú tengas. ¿Cuánto tienecada uno?Mace 20 años la edad de A era el doble que la de li; dentro de 30 .iú<>‘

será los ’ de la edad de tí. H allar las edades actuales,

i Una tripulación emplea 3 horas en remar ||> Km rio abajo y en ngresar. En rentar 2 Km río arriba emplea el mismo tiempo que en rrm.ii4 Km. río abajo. Hallar la velocidad del bote en agua tranquila y la velocidad del río.

' j la edad de A excede en 2 años a — de la edad de l i , y cl doble dría edad tic li equivale a la edad que tenia A hace 15 años. Hallar las edades actuales.En 5 horas A camina I Km más que tí en 4 horas, y A en 7 horas camina 2 Km más que tí en 6 horas. ¿Cuántos Km anda cada uno en cada hora?I.a diferencia entre la cilra de las unidades y la cifra de las decenas de un número es 4, y si el número se suma con cl número que resulta do invertir sin cifras, la suma es (ÍG. Hallar el número,

i, El perímetro de un rectángulo es 58 m. Si el largo se aumenta en 2 m

y el ancho se disminuye en 2 m. el área se disminuye en 4ü m'J. Hallarias dimensiones del rectángulo.El perímetro de una sala rectangular es 56 m. Si el largo se disminuye c ii 2 m y el ambo te aumenta en 2 m, la sala se hace cuadrada. Hallar las dimensiones de la tala.

los — de lo que costó el caballo. Hallar el precio del caballo y del cochr.

MS LAGRANGE < 17 36 181 31 Matemático ción al Algebra o l í cn la mem oria que escribió enItalia, y do l«n gr c fran ect* . A lo» 16 año» 8cr lm hacia 17 67 , "Sobre la resolución d e las ccua

brado profesor d e m atem ática! en la Real eionet num éricas". Poro su obra fundam ental fuo lle Artillería de T urin . Fuu uno de los m is "M ecán ica A nalítica". R espetado por la Revolución,nalistas del sigla XV III. Su mayor co ntríb u fue amigo de Bonapartc que lo nombró Senador.

C A P , m o X X V I IE S T U D I O E L E M E N T A L D E L A T E O R I A C O O R D I N A T O R I A

(33l) LA TEORIA COORDINATORIA estudia Ja ordenación de las cosas o elementos.

La distinta ordenación de las cosas o elementos origina las coordinaciones, permutaciones y combinaciones.

(333) CO ORD INACIO NES O ARREGLOS son los grupos que se pueden ['orinar con varios elementos (leerás, objetos, personas), tomándolos uno a uno, «los a dos, tres a tres, etc., «le modo que dos grupos del mismo número «lo elementos se diferencien por lo menos en un elemento o, si tienen los mismos elementos, por el orden en que están colocados.

Vamos a lormar coordinaciones con las letras ti. b . c, d.

Las coordinadas otoñarías de estas cuatro letras son los a, I>, c, d,[

grupos de una letra que podemos formar con ellas, o sea:

Las coordinaciones binarias se forman escribiendo a la derecha de cada letra todas las demás, una a una, y serán:

(Vó l í Í dil i i i i d t |>i < t l i ll ti

C 0 0 * ( M N A C < 0 N C 4 • 3 7 1

La s coordinaciones ternarias se forman escribiendo a la derecha<1«-cada b inaria, «na a una, todas las letras que no entren en ella y serán:

abe , ab d , ach , acd , ad b , ade ,Une, ba d, bea, be d, bd a, bdc,

cab, cad, cba, cb d , eda, cdb,du b, daC, db a, áb e, dea, deb.

(yfcwque leo gruposabe y abd «r diferencian cu un demento: k * gruposabe y bac icdiferencian en el orden).

Las coordinaciones cuaternarias se formarían escribiendo a la derecha de cada ternaria la letra que no entra en ella.

F.l símbolo de las coordinaciones cs A , con un subíndice que indica el número de elementos y un expórtente que indica cuantos elementos en irán en cada grupo (orden de las coordinaciones).

Así. en el caso anterior,las coordinaciones monarias.de a, b, c. r/'stexpresan M«; las binarias, *Aa\ las ternarias, */f,: las cuaternarias. ‘A,.

(334) CA LC U LO DEL NUMERO DE COORD INACIONES - DE m ELEMENTOS TOMADOS n A n

Con m elementos, tomados de uno en «no, sepueden formar »í coordinaciones monarias; luego, ------------ /*

Para formar las binarias, a la derecha de cada uno de los m eltment"-. ve escriben, uno a uno, los demás m —1 elementos; luego, cada, elemento

origina m — 1 coordinaciones binarias y los m elementos darán m{ tn - 11coordinaciones binarias; luego,

*/fn, = m(m — 1),

® sA m= * / la (»n— 1 ),

porque m = l A

Para formar las ternarias i la derecha de cada binaria . j escribimos, uno a uno, los tu 2 elementos que no entran en ella, luego, cada binaria produce tu — 2 ternarias y tendremos: ^

Para formar las cuaternarias, a la derecha de cadaternaria, escribimos, uno a uno. los >«—3 elementos \ •!„(»«que no entran en ella: luego, cada ternaria produce

:i cuaternarias y tendremos:-------------------------- ■--------- / •Am= msA n,= 'A „ { v i - 1 )

Continuando el procedimiento, *Am — ~ A ,Jm — 2)obtendríamos la serie de fórmulas: *Am- :'A J v i — 3)

"A,,, —"~lA „(m M + 1).Multiplicando miembro a miembro estas igualdades y suprimiendo los

(actores comunes a los dos miembros, se tiene:■A,. - m(m - l)(m - 2 ) <m - n 4 1) (1)

que es la fórmula de las coordinaciones de ni elemento» tomados de n en «.

72 • ALCIBKA

Ejemplos( 1 ) ¿Cuántos números distintos,de 4 cifras se pueden for

mar cor. losnúmeros 1, 2, 3, 4. 5.6,7, 8 y 9 *

Aplicamos la fórmula <11.

Aquí m~ 9, n= 4.M , = 9 X 8 X . . . X l 9 - 4 + 1 ) = 9 X 8 X 7 X á = 3024. R.

iZ ) ¿Cuántas señóles distintas pueden hacerse ccn 7 handeras izando 3 de codavez?

Los señales pueden ser distintas per diferenciarse uno de otra en uno o másbanderas o por el orden en que se izon los banderas.

Aplicamos la fórmula ( 1 ) . Aquí m — 7, n= 3. Tendremos:

3A7= 7X . . . . X ( 7 - 3- I- 1 ) ~ 7 X 6X 5= 210 señales. R.

3S Si se establece la condición de que cierto número de elementos tienen — que ocupar lugares lijos en los grupos que se formen, al aplicar la órmula, m y n se disminuyen en el número de elementos lijos. Por jemplo:

Con 10 jugadores de basket, ¿de cuántos modos se puede disponer el eam de 5 jugadores si los dos fonvards han de ser siempre los mismos?

A quí hay dos jugadores que ocupan lugares l ijos: »i ~ 10 y n —ñ, pero enemos que disminuir m y n en 2 porque habiendo 2 jugadores fijos en

os posiciones, quedan 8 jugadores para ocupar las 3 posiciones que quean; luego, los arreglos de 3 que podemos formar con ios 8 jugadores son:

= 8 X 7 X 6 = 336 modos. R.

3<S P ER M UTA CION ES son los grupas que se pueden form ar con varios elementos entrando todas en cada grupo, de modo que un grupo se

iferencie de otro cualquiera en el orden en que están colocadas los elementos.

Así, las permutaciones que se pueden a b y na.ormar con Jas letras a y ó son — — —

l.as permutaciones de las letras a, b y c se obtienen formando las permutaciones de a y b , que son a b y ba, y haciendo que la c ocupe todos los ugares (detrás, en el medio, delante) en cada una de ellas y serán:

abe, Itcb , cab,

bac, bea, cba.

Las permutaciones de a, b , c y d se obtienen haciendo que en cada na de las anteriores la d ocupe todos los lugares y asi sucesivamente.

3 7 C A LC U LO DEL N UM ERO DE P ERMU TAC IO NE S

J DE m E LEMENTOS

riKMurAcioMfí #3 7 3

ínula del núm ero de permutaciones d e .w elementos, P„ , se obtiene de la fórmula que nos da el número de coordinaciones

nA „ - m ( m - l )(m — 2). . , , . (m — » +1)

haciendo m =w. Si hacemos m = n el factor m —« + 1 = 1, y quedará:

P„ = - 1 ) ( m - 2 ) X I ,

o sea, 1 X 2 X X . . . x m - m

La expresión m ! se llama una factorial e indica el produc- P„ m!to de los núm eros enteros consecutivos de 1 a m. Por tanto. /*

< 11 ¿De cuántos modos pueden colocarse en un cstonte 1libros?

Encada orrcg loquo se bagohan de entrar los5 libros,luego aplicando la fórmula ( 2 ) tenemos:

p6 = 5 != l X 2 X 3 X 4 X 5 = 1 2 0 modos. R.

I ) ¿De cuántosmodospueden sentarse6 personas a un mismo lododo unomesa'1

Pu— ál— 750 modas. R.

Si se establece la condición de que determinado? elementos han de ocupar lugares fijos, el número total de permutaciones es el que

puede formar con los demás elementos.

Con 9 jugadores, ¿de cuántosmodos se puede disponer unonovena si el pitchcry el enreher son siempre losmismoi*

Hoy dos elementos fijos, quedan 9— 2= 7 paro pormulor,luego P; = 71= 5340 modos. R.

(339) PERMUTACIONES CIRCULARES

Cuando m elementos se disponen alrededor de un círculo, el número

de permutaciones es {m - l j si se cuenta siempre en el mismo sentido i»partir de un mismo elemento.

¿De cuántos modos pueden sentarse 6 personas en una mesoredonda,conloadoerunsolosentido,apartirdotinodoellos?

Po-i= P&= 51= 120 modos.

(340) CO M BIN AC IO N ES son los grujios que se jiueden formar con varios elementos tomándolos uno a uno, dos a dos, tres a tres, etc., de modo

que dos grujios que tengan el mismo número de elementas se diferencien |Kir lo menos en uu elemento.

Vamos a formar combinaciones con las letras a, b, c, t i .

Ejemplo

E jernplo

7 ^ « ALCEORA

Las com b inac iones b ina r ias se f o rm an esc r ib iend o a l a de recha de cada

e tr a , una a una , todas las le t ras s igu ien tes y se rán :

ab , ac, ad ,

be, b d , cd .

abe, abd, acá, bcd.I.a s c om b inac iones te r na ria s s e f o rm an e s c rib ie ndo

la d e re ch a d e cada b i n a r ia , u n a a u n a, las le tra s q u e

iguen a la ú lt im a de cada b in a r ia : s e r á n : -----------

Kn lo s e jemp l os a n te r io r e s se ve q u e n o h a y d os g r u p o s q u e te ng an

o s m i smos e lem en to s : lo d os se d ife r e n c i a n |>or lo menos e n u n e lemen to .

CALCULO DEL NUMERO DE COMBINACIONESDE m ELEMENTOS TOMADOS n A n

S i en la s c om b inac iones b ina r ia s an t e r io r e s pe rm u tamo s lo s e lemen to s

e c ad a c om b in a c ió n , o b te n d remo s las c o o rd in a c io n e s b in a r ia s ; si e n las

omb inac i ones t e r na r i a s an t e r i o r e s pe rmu tamos l o s e l emen t o s de c ada com

b in a c ió n , o b te n d rem o s las c o ord in a cio n es te rn a r ia s : p e ro a l p e rm u t a r los

e lem en to s de cada com b inac i ón , e l n úm e ro de g r upo s ( c oo rd inac iones ) que

e o b tie n e es ig u a l a l p r o d u c t o d e l n úm e r o d e c omb i n a c io n e s p o r e l n úm e

o de p e rm u ta c io ne s de los e le m en tos de cada c om b in a c ió n . P o r ta nto ,

d e sig n a nd o p o r "C „ la s c om b inac iones de m cosas tomadas , n a t i , p o r I \

as pe rm u tac ione s que sepuede n f o rm a r co n los t r e lem en tos de cadag rup o

y p o r *A„, las c o o r d in a c io n e s q u e se o b t ie n e n a l p e rm u t a r los >/ e lemen t os

e c ada g r u p o , te n d remos :

■ C . X P . = - / < . . • . (3)*n

o q u e d ic e q u e e l n úm e ro de c om b in ac io ne s ele ru e le m en to s tom ados» a n es ig u a l a l n úm e r o de c oo rd in a c io n e s de los m e lem en to s tomados

n a n d i v id i d o e n tre e l n úm e ro d e p e rm u ta c io n es d e los n e lemen to s de

cada g r u p o .

( iI Entro7 personas, jd c cuántosmodospuede (ointor.seuncomitéde ¿ peíiones?

Aplicomos lu fórmula 13).

Ejemplos

Aquim= 7, n— 4.

'A l 7 X 6 X . . . ( 7 - 4 + 1 1 7y. 6 X 5 X 4X - = — -= ------------------s--------------- — ----------------- = 35 modos. R.

41 I X 2X 3 X A

(2 ) En un examen se ponen8 temas para que el alumno escoja 5. ¿Cuántas selecciones puede hacer cl alumno?

M I S C EL AN I A • 3 7 5

1- ¿C uántos n úmero s d is tin to s tle 3 d i ta s se pued en fo rm a r con los n ú meros 4, 5. 6,.7, 8 y 9?

2- C on ó jugadores, ¿decuántos modos se puede disponer un u-.unde basket

de 5 hombres?3- Con 7 personas, ¿cuántos comités dist intos t le5 personas pueden (or inarse?

Ent re la Gu a i ra y L ive i j ion l hay <» barcos hac iendo los v ia jes. ¿De cuántos modos puede hacer e l v ia j e de ida y v uelta una persona sie lviajetle vu elta debe h acerlo en u n b arco d is tin to al de ida?

b- ¿De cuántos modos pueden senta rse 3 |«eisonas en 5 sillas?

De ti? lib ras , ¿cuántas se lecciones t le 5 l ib ros puede» hacerse?

7- ¿De cuántos modos pueden d ispone rse las le tras tic la pa lab ra Ecuador,e n tra ndo todas en cada g ru po?

¿Cuántas se lecc iones t le -I let ras [rueden hacerse con las le tras t ic la pa la

bra A l f r e d o

Se tie ne u n l ib r o de A r itm é t ic a , u no do A lg eb ra , u no de G eom etría,m ío de Física y un o tle Q u ím ica . ¿De cuántos modos pueden dis|x>neiM-en un estante si e l de Geomet ría s iempre está en e l medio?

10- ¿Cuán tos núme ros d is tin to s de 6 c ifras pueden lo rm a rsc con los mimeros 1. 2 , 3 , 4, 5 y (i?

; l - ¿De c uántos modos pueden d isponerse en una Ida un sa rgen to y ti soldadossi el sargentos iempre es el pr imero?, ¿si el sargento no ocupa lugarfijo?

> • ¿De c uántos modos pueden sentarse un pad re , su esposa y sus c u tido

h ijo s e n u n banco?, ¿en u na mesa re donda, tom ando s iempre a p art ir de l padre?

¿Cuántas señales d ist in tas pueden bace tse con 9 banderas, izando 3 d<cada ver?

' ¿C uántos números, mayores qu e 2000 y m enores q ue 3000, se puedenfo rm a r co n los números 2. 3. ó y fi?

1 - ¿Cuántas selecciones de 3 monedas pueden hacerse con u na p ic ra de5 centavos, u r a de 10, una de 2o. , u na de 40 y unade a peso?

10- ¿De c uántos modos puede d isponerse una tr ip u l a c i ón de 5 hom bres me l tim one l y e l s tro ke son s iemp re los mismos?

H a y 7 hom bres para fo rm a r una tr ip u la c ió n de 5, pero elt im o n e l ye l s tr oke son s iempre los m ismos. ¿De cuán tos modos86 pueded isponerla t ripu lac ión?

¿De cuán tos nrodtxs pueden d ispone rse 11 muchachos pa ra fo rm ar una rueda?

::i De en t re y c andidato s, ¿cuántas te rnas se pueden escoge»?

20 ¿Cuántos n úmero s de 5 c ifra s q ue emp ie cen p o r 1 y acaben p oi 8 sepueden fo rma r t on los núme ros 1, 2. 3, 4, 5, (i. 7, 8?Con 5 consonantes y t res Tócales, ¿cuántas palabras d is t in tas t le 8 letras pueden fo rin .mc?, ¿cuántas, s i las voca les son fijas?

¿De cuántos modos te puede d is poner u n team tle basket tle > h om b tc tcon I» jugado res si e l c en tre es fijo ?

E J E R C I C I O 2 0 4

MONGE (174 61 SI 8 ) Matemát ico fn n p in b e jecución i * i a obra» de ingnnioiii. fue clnistro do M arina de la Revolución. Dentro primero en uti l i iar p s r« ds elemento» imaginario»mática» cult ivó muy eipecialm ento la Gco pira l im bo lixir relacione» «pa cíate» realci Su toorla

ntó I* Geom etría De rcríptiva, ba»e de lo» dn la superficie, perm ito l« íotu dó n de la» eeuacione»mec ánica y de lo» proc edim iento» gráfico» difcrenci»le». A plicó su ciencia a problema» marítimo*.

C A P I T U L O XXVIIIO T E N C I A C I O N42) POTENCIA de una expresión algebraica es la misma expresión o el

resultado de tomarla como factor dos o más veces.

1.a primera potencia de una expresión es la misma expresión.Asi = 2fl.La segunda potencia o cuadrado do una expresión es el resultado de

omarla como factor dos veces. Asi. (2a)a = 2a X 2a = 4a".Kl cubo de una expresión es cl resultado de tomarla tomo factor tres

eces. Así, (2a)* = 2a x 2u x 2a —

En general, {2a)' '= 2aX "2a x 2a >1 veces.

43) SIGNO DE LAS POTENCIAS

Cualq uier potencia de una cantidad positiva evidentemente es positia. porque equivale a un producco en que todos los factores son positivos.

En cuanto a las potencias de una cantidad negativa, ya se vio (85) que:

1)Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva.2)Toda potencia imp .11 de una cantidad negativa es negativa.

Así, {— 2»)* = (— 2a)X (— 2a) = 4á*( - 2a)* = ( - 2a) x ( - 2a) x ( - 2a) = - fia:i ( 2 )* ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) lG * t

@ ) P O T EN C IA DE UN M ON OM IOPara elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa

potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponentc que indica la potencia.

Si el monomio es negativo, el signo de la potencia es + cuando el exponentc es par, y es - cuando el exponentc es impar.

. I 1 ( 1 1 Desarrollar( 3al>*/o

Cr jem plos (30bV ' = 3®.o,K* b M =27o36 \ R.

En docto;

{ 3ab2) = 3ab2X3ob*X3ob2= 27oeb°.

121 Dcsorro llor |— 3o:b*J-

l - 3cr b 3) ■ - 32.a 2'2.b‘ ,s= 9o^b* R.Cn ofcclo:

I- 3u2ba|2= (— 3cr>b*JX |— 3o*bl 1= 9o’ bn. R.

(3 ) Desarrol lar I— 5x*y*r

( - 5r ' y * I '= - 125JCV*. R.

(4 ) Desabollar ( — — - )V 3y¡ >

Cuando elmonomioes una tracción, poro dc vo rlo a una potencia CUal<|Uiom,se elevo SO numeradory su denominador o eso potencio. Asi, cn cjti> rom,

tenemos;( 2x y _ V x r 1 ¿*«

3 r ' ~ 13y-1* 81y » ' ■

(5) Desarro llar |— — u'b '1 )

( - - o 3b « ) = - - - o ‘ »b*>. R.

V 3 / 243

P OT EN CIA CIO N • 3 7 7

» EJERCICIO

Desarrol lar:

1 . (4a*)*. 9. (anb*)*.

2 . ( — 5a)3. JO. ( - 2 x*y‘ i°)«.

3. (3xy)*. 1 1 . ( - 3n i * n ) * .

4 (— (3d*6)* 1 2 . (a*5"c)“ .

5. ( — 2xay,)a. 13. ( — Ml*tJX3)4.

0. (4a2í t»d)3. 14. ( — 3 a2b)4.7. (_Gx«j,5)J. 15. (7x V * T -

v , O8. ( — 7fl/»*c*)*. 10 .

( ~ 5 ) -

1 »» Oí / 2m*n \ *

1 I*\ « 2 ■

2 1 . V 3 x ‘ ) '

18.f a b - \ 3

V i l '22 . ( - ? * * ) ■

19. ( - ^ ) “ 23.( - ? - ) ■

20 ./ 2a t * v «

V 3m* / '24. ( - ! « • ) '

5 )C U AD R AD O DE U N B IN O M IO

Sabemos (87 y 88) q u e : la + W" — a- + 7.ab b

<a - bY - a- - 2ab - h*

Aunque en los productos notables ya liemos trabajado con estas (ors, trabajaremos algunos casos más, dada su importancia.

a © ALGEO R A

Ejemplos( 11 Desarrollar | 3a'1— 5o2b41"

( 3 n B - 5 a - b 4 1 ; ( 3 o 6 1 ® - 2 ( 3 o * ) | 5 a 2 b 4 ) ( 5 c r 6 4 )2

^ y o ^ - S O a ' ^ - I ^ S o 4 . R.

/ 2 3 \ 3I 2) Desarrollar — xg-I-— y* )

= - x 4 + x2y*+ — y°. R.9 16

(3 ) Desarrollar ( 10a*— — o 'b " )

( 10a1 J ' = 110a1 12 2 ( ICcr1) ( j o ’b5) + ( j « W )

= lOSo* \(xf'b~ t ¿j.a4 b '4. R.

/ x l 5y2\ - ’(4 ) Desarrollar ( T T - r j )

10 6**

_ L xe _ 2 l + Z V .

100 6x* 36x‘ "

E JERC IC IO 2 0 6

Desarrollar:

1- (a»+76* )J.

2- (3x4—5xy:')2.

3 ( a * b * -a > ) * .

*»• (7xa—8x*y4)8.

B- (9nb!+5uBb!í)2.

®- ( 3 * y -7 x V ) s.

7 (xyri2 b2)2.

(M ) *

/ 3 » 2 u t \ 7 ■Ii / 2 x 3 y v *9.

( r ~ t ) •14.

V 3 5 / '

/ á ' \ 2

\ 8 70 / '

1 1 ./ I , 3 , -V* / 3 J j I Y

\ 9 7 >l o .

\ 2 x 3 / '

Á fa» * f i \ *1 2 .

\ f> 4 117-

VGy4 lOx®/ ‘

13. ( H ) 18./ 3 4 a * \ s

( b ° ílOB)

P O T E N C I A C I O N 3 7 9

(346 ) CU BO DE U N U IN OM IO

•Sabernos (00) que:

(a I b):i ~ a* h3a2 b + 3al>- I b».(a - b)a= a* - - 3a7b + 3al>-- I r ' .

Ejem píos

(1 ) Desarrollen 14a*+ 5o3bs)*.

(4o» + 5crb* P = { 4o» p * 314as p( 56*6*) + 3 (4o*) (5o-'6- p + | Sa-V )»

64o'» + 2400*6* + 3C0o'b* -1- l2So*6«. R.

5 - ^ ' ’

3 5( 2 ' Desuirollor ( - x - - y 8J

' í) A

EJERCICIO 207

Desanol la r :

- _ E * 3 _ -? -X*y3 -f _£yy< _ l ? l y4 D125 10 4 216a R-

2x* 10/* a

5 / ~ 3 ,1

i r -3X1»

125/*« V . r .

5 3 27

1 . (2a-r36)*. 9.( f

2. (4 fl— 36*)*./ >i

3. <5x*-rGv*)». 10 .( ! ■

4- (4x*-3xf)\ 5. (7a«-5f l*6*)».

1 1 .( f ‘

0. («*+ito*x‘)*. 1 2 .7. ' 6

8 . (3 <i26 - 5 a ;,6 * ) ' , 13.( g

„ + j . 6= ) .

¿«'I*.n i /

4 „•

- ? » * .

3y>. J

\ 5 W >

( i ^ y .

'»• ( l +v ) ‘

,7 . ( | - x V ) - .

18, f í m . - f i i ) 1.\ 6 o tj '

AD R AD O DE U N P O L IN O M IO

7' DEDUCCION DE LA REGLA PARA ELEVAR

UN POLINOMIO A L CUADRADO1) Vamos a «levar al cuadrado cl trinomio a + b I r. Escribiéndolo

h b ) + c podemos considerarlo como un binomio cuyo primer término (n - b), y cl segundo, c. Tendremos:

(a+b + r ) ' = [[aXb)+ c 1= (« + í»}3 + 2 (a I b )c + c3

= a '+ 2a b • b - \ 2 a c X '¿be+ e2

(ordenando) - n : * b - c* + 2ab + 2ac f 2bc. (1)

2) .Sea cl trinomio ( r t - b - c ) . Pendremos:(a - b I c f ~ i (« - b ) -í- fj" - in b)- + 2(u - b)c -X CJ

= rt 2ab I b- + 2« c 2/>c + c2

(orden and o) —« + b 2 - <! — 2ab t 2ac 'Ibc. (2)

3) .Sea el polinom io « + (>+ c. ti. Tendremos:

(a + b + c ti f = | (« + b ) + (c — d)J'J = (a + b)- + 2{« + b )(c — d ) -l (c —d )s

= (.’ I- 2a b b - I 2ac + '¿be - '¿ad - 2b d -I <r: ‘¿cd X ti’<

(ordenando) ~ a- + b- + c* + ti2 I 2ab 2ac — '¿tt<l + 2 b c — 2 b d - '2 c d . (3)

Eos resultados (1). (2) >• (3) nos permiten establecer la siguiente:

REGLA •

E l cuadrado dfc un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de da uno de sus términos más cl duplo de las combinaciones binarias que

n ellos pueden formarse.Esta regla se cumple, cualquiera que sea cl número de términos del

olinomio.La» combinaciones binarias se entienden productos tomados con el sig

o que resulte de multiplicar.Obsérvese que los cuadradas de lodos los términos son p o sitivo s.

0 • A L C iÜ C A

( II Elevorolcuadfüdo x*— 3x+ 4.

Aplicandolareglaonterior,tenemos:

|x - 3x+ 4)*= (x») *H | 3 xp + 42 + 2 | x 2J (* -3 x ) + 2 ( x , ) ( 4 | - f ? | 3 x ) |= x«+ 9x2+ 16- 6x‘ -I 8x2- 24x.

- x < - 6 x » - H 7 x s - 2 4 x + 16. R.

Obsérveseque loscombinaciones binariasso lormon: I* y T , l vy 3 ' , 7’ y 3 ',cada término con los siguientes, nanea con losanteriores y que a l (ormar los

P O TE NC IA CI ON • 3 8 1

[3x*— Sxa— 7)== 13 *’ I-' i -1- Sxs |s+ |- 7 1=4-2 (3 *»H “ 5x " )

+ 2 13jt*)(— 7 1+ 2 1— Sxz )I— 7)

= 9x**4-25x‘ + A 9 - 30xs- 47x*+ 70x"= 9x°- 30xr-4-25x4- 42xJ+ 70x" -4 9. R

(3 ) Elovor o l coodrodo o 1— So2-! 4o— 1.

(o* — 3oa + 4o — 1p = (oS)> + | — 3o*]2 + (4ap + ( — 1)* + 2 1o*J( - + 2| o:,) |4 aJ + 2 ( o 3 | | - 1 |+ 2 | - 3 o ' - ) | 4 o | + 2 l - 3 o " J | - 1 ) I 2 1 4u )| - 11

- o* 4-9a* 16o- r I - 6or‘+ 8o4 - 2o* - 24a34-6a-- 8a= av— 6o5-r 17o4— 26o*+ 2?os— Bo4- 1. R.

■ EJER CIC IO 208

Elevar a l cuadrado :

<21 Dworrollor 13x* — 5xa — 7 )*.

1. »2_0v4.1 n —¡{/i- ir. a- 3 6"A h7 T 1» U» W.I* I »/**/ U" • Iv<

4 5 ^ 9 ‘2- 2x*+x+]. LU. m3—2m,-‘«4-2»1. 17. x3—x*4 x4 1.3. x?—5x4-2- 11. - - 6 4 - - .

38. x»-3xa-¿x4-2.

4- x»-5x*+C.12.

7 _ 5 >,+ T-

19-20.

x44-3xa—1x4-5. x*-4x34-2x-3.

5. 4fl4-3a*+5.3 ' .1

21. 3-6fl-ra*-a».

6. x4-2y—/■13. 2-x* - x + L .

22. ■Ix3-x*4-Jx4 I’7. 3—x3—xu. 14- 7 - 7 + 7- 23. -i«3- ~ « a4 v \ 8. r>jr*-7xí +3x. 15. V - H + f 24. x3—x44-.vn- Xa 1v -2

CUBO DE UN POLINOMIO

(348) DEDUCCION DE LA REGLA PARA ELEVAR — UN POLINOMIO A L CUBO

1) Sea el trinomio a - r b + c. Tendremos:

/r-I-b 4-c \ 1 - ; ia -I-b ) + <j := (a+ b f + 3{a4-b ) ‘ c -f 3(a4-b)c24-c>

= (a I b y I 3 (a- + 2ab 4- b*)c + 9(a + b)c* + ¿3

- a " 4-3a*64-3fl¿»44- f 3nac I f abe I-36 V -I-:)ac’+ 3be74-e»

( o rd e n a ndo ) = «3 4-6 34-c>a aa-h 4-3«*c4 3b-a+ 3 b7c + 3ca« 4-3c3b I-(xibc. ( 1 )

2) Elevando « 4 -6 4 -c + rf al culto |>or el procedimiento anterior. *<•

obtiene:a 4- b + c + di ~ a* 4- b 1 4 r3 4- rF 4- W b 4- ÍJ/iV 4- ¿aJd 4- 3b*a 4- ’¿b*c 4- 3b*d

4- Sr'rt + ’M 'b 4- 3<3d 4- 3tP a + 3d Jb 4 3<í*c 4- 6a b e 4- 6ab t l

4- l ia rd 4 Obed. (2)

2 • A L G E B R A

Los resultados (1) y <2) nos permiten establecer la siguiente:

REGLAEl cubo de un polinomio es igual a la suma de los eolios de cada uno

sus términos más el triplo del cuadrado de cada uno por cada uno de s demás más el séxtuplo de Les combinaciones ternarias (productos) que eden formarse con sus términos.

1) Elevar al cubo x* 2x - 1.

Aplicando Ja regla anterior, tenemos:

(x* - 2x I iy» —(xa)» + (~ 2x)» + Ia- 3 ( x - ) - ( -2.v')+ 3 ( xLy ( l )

+ 3 ( - 2 x )J(x - ) 4-3 (— 2 x ) * ( l )

t 3(1f tx » ) 4-3(1)a<- 2x) + 6( x - ) ( - 2 x ) ( I )(ordenando = x,¡ 8xa + I - 6xa + 3x‘ + 12x34- I2x= I 3x2 - I5x - 12x‘ y reduciendo) = x" l>X' + 10x‘ ‘¿Ox8 + 1f>x= — (¡x + l. R.

Téngase bien préseme que todas las cantidades negativas al cuadrado n signo más.

En los trinomios sólo hay una combinación ternaria: lo.. 2o. y 3o.

2) Elevar al Cidro x 8 - Xa4-2x - 3.

1- x * + 2 x 3)’J= I ( x *)8+ (2xy>4- ( - 3 ) *

4- 3 (x *)a( - Xa) r 3 (x j ) ! (2x ) + 3{xa)*(— 3)+ 3 (— xa) a{x a) + 3 ( x * )a(2x ) + 3 ( - x 9> * ( - 3 )

I- 3(2 x)a(x*) i-3 í2x )*{— Xa)-I-3 {2 x) *(~ 3)

- 3 (— 3)a(x 3) + 3(— 3)* (~ x a) + 3(— 3)a(2x)

+ 6(x*)(— xa)(2x ) 4-(i(x*)(- x - ) ( - 3) I 6(x3)<2x)( 3) + 6 (- xa)(2x) ( - 3 )= Xa- x6 + Bx8 - 27 3x“ 4- GxT 9x° + 3x’ I- Gxn - 9x* - l2 xB- 12x‘ - 36xs I 27x3 - 27x- + 54x - 12x° -I-18x’ 3Gx‘ -I- 36x:i- x“ - 3x‘ 4- 9xT - 22x’J -I- 3l>x5 - 57x * + 71xJ - 63x8 -I- á4x - 27. R .

EJERC ICIO 209Elevar al culto:

1. xa i x+1. 4 2—3x+xa.

. 2x3—x —1. 5. x3—2xa—i

. l- -3 x - r 2 x a. fi. x4 — x a— 2.

N O M IO DE N EW T O N

9 ) ELEVAR U N B IN O M IO A

^ E N T E R A Y P O S IT IV A

Sea el binomio o b. I a multiplicación da (pie

|Vt )• b)s = ti- 4 2ab 4 b- (o4 b)x —ti-' I 3oa6 4 3« 6* + b9

<n 4 by —ti* 4 4á*b 4 tioab a + Aab1+ b*.

7. «3+ — 10. x»-2x*+x-3.

K. lx*- lx4-2 . l t . x*—4x*4-2x -3.9. e*-«=+«-J. 12. 1 —x*+2x*—xr\

UN A P O TE NC IA

r O I C N C I A C I O N • 3 8 3

En estas desarrollos je cumplen las siguientes leyes:

1) dad a desarrollo tiene un térm ino más que el exponente del l>i■nomio.

2) E l expolíente de a e n el primer término del desarrollo cs Igual al expolíente del binomio, y en cada término posterior al primero, disminuye 1.

El exponente de 0 en el segundo termino del desarrollo es 1, y en cada término posterior a éste, aumenta 1.

4) E l coeficiente del pr im er término del desarrollo es 1 y el cocfti ¡ente del segundo término es igual al exponento de n en el primer termino del desarrollo.

5) E l coeficiente de cua lquier término se obtiene m ultiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de a en dicho termino anterior y dividiendo este producto por el expbnente de b en ese mismo término aumentado en 1.

6) E l último término del desarrollo es b elevada al exponente drl binomio.

Los resultados anteriores constituyen la Ley del Binomio, que se ctim pie para cualquier expolíeme entero y positivo como probaremos en seguí

da. Es la Ley general se representa |K»i medio de la siguiente fórmulan(n —1> n(n—l) ( n —2>

(a l- b )" = a " na" '1!! i a‘“ -b::+ _ a" 3b:i1*2 1 .2 .3

m n -D ín 2>ín-3>

+ “ T 2 '.3 . 4 - a"'4,,*+ ...................................(1)

Esta fórmula descubierta por Ncsvton nm permite elevar un binomio a una potencia cualquiera, directamente, sin tener que hallar las potencias anteriores,

(350^PRUE8A POR INDUCCION MATEMATICADE L A LEY DEL B IN O M IO

Vamos a probar que la Ley del Binomio se cumple para cualquier exponente entero y positivo.

Admitamos que la l.ey se cumple para (a -I ó)* y obtendremos el resultado (1).

Multiplicando ambos miembros de la fórmula (1) por tr+f» (se mul

tiplica primero por a. después por b y se suman los productos) y combinando los términos semejantes, se tendrá:ni rH l.i

nt- b - a ' " ' 1- :u - ljn"fi4— aa ' lb3I . 2

l(/i t l)( 1) t ii i l ( l)( 2)

4 a i « b » a

l i s i e d e sa r r o l l o (2 ) es s im i la r a l d e s a r r o llo (1 ), t e n i e n d o n + 1 d o n d e e l t e r i o r t i e n e » .

V emos , p ue s, q u e la L e y d e l B in o m io se c um p le p ara (a + b )*0 ig u ale se c u m p l e p ara (n + b)° :

P o r ta n to , si la L e y se cumple para u n exponento entero y positivo alquiera n también se cumple para n - 1 . A h o r a b ie n ,en e l n úm e ro 349

o bam os , |>or m e d io de la m u l t ip l ic a c ió n , q u e la L ey Se c u m p le para

+ b )4. luego , se cu m p le pa ra (a I-b f ■; s i se c u m p le p a ra (a4-b f , se c um

e p a ra (a + b ) " ; si se c um p le p a ra (a + b)e, se c um p le p a ra (a -I-b) T y asi

c es iv amen te ; lu e go , la Ley se c um p le p a ra c u a l q u ie r e x p o n e n tc e n te ro

p o s it iv o .

1J DESARROLLO DE (a -b > “Cuand o el segundo término del binomio , _ .. „ _ , , . . .negativo, los signos del desarrollo son altcr- ' ^

tivamente + y —. Kn efe cto :__________________________ /

al desarrollar l« + ( - b ) J ' los términos 2o., 4o., Go.. etc., de acuerdo con fórmula (1) contendrán el segundo térm ino (— b) elevado a un exponente par y como toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa, hos términos serán negativos y los términos 3o„ 5o., 7o., etc... contendrán —b ) elevada a un exponente par y como toda potencia par de una can

ad negativa es positiva, dichos términos serán positivos. Por tanto, pomos escrib ir: ,n\n— 1)

iV i-b ,"=a' — na" ’b-f- — an-"bii • u

t t ( n— l )in — 2)

1 . 2 . 3 a“ '#61 + ............ + ^

Kl último término será positivo si « es par, y negativo si « es impar.

Kn el desarrollo de una potencia cualquiera de un binomio los deno

nadores de los coeficientes pueden escribirse, si se desea, como factoria. Así, 1 .2 puede escribirse 2!; 1 .2 .3 = 31, etc.

j - , . 7 , i1 Dcsorrollor [x + y 1*.L j J C T f lp lO S Aplicando lo ley dol binomio, tenemos:

[x+ y|4 = x4-I 4x3y+ 6 x y * + 4xy*+ y4. R.

El coeficiente del primee término es 1; el del segundo término es 4, igyol queel exponente de x en el primer término del desarrollo.Elcoeficientedel tercer término 6se hollamultiplicandoel coeficientedel tér

minoanterio r4por elexponenteque1¡cnoxenese término3. otea4X 3= 12ydividiendo esto productopor el exponentode y cn dichoY término aumentadoen 1 , o sea por 2 y se tiene I ? + 2 = 6.El coeficiente del 4” término so halla multiplicando el coeficiente del terminoanterior6 por el exponentodo xon eso término:6 X 2= 12 y dividiendo osloproducto por el exponento de y en ese término aumonlodo on I o seo por 3

P O T E N C IA C IO N • 3 8 5

( 2 ) Desurrollur p 2x j>

Como el 2 ' términoes negativo lot signos olternon-

( a 2xV'^ n3— So*12x| I 10o*(2x)s — IGa*12xP 5o12x) ’ <2x)»

|efectuando)- or> IOo«x I 40a:'x~- 80 o V -t 8C0 x‘ 32x5. R.

los coeficientes se obtienen dol mismo modo que se explicó en el ejemploonterior.

OBSERVACION

Cn lo próctico, bosta hollor lo mitad o lamilodmós 1 de los coeficientes, sogún que el exponento del binomio seo impnr o por, pues los coeficientes sorepiten; en cuanto se repito unoserepiten losdemás.

131 Dcsorro llor( 2x3 + V ) 1

[2x*+ 3 y *| fl~ (2x *|& 5(2x2|*|3 y'J i 1<X2xsP < 3 y * p -M 0 | 2 x ¥ lV I * « 2 x !,) |3 y '|* ' I ■»/'»

= 32x' " I 2 4 0 xV 1 7 2 0x V > lO BO xy* 8 I 0 * V * + 2 t íy "u- R.

(41 Dcsorrodor ( <r — — ) .

( a » - - ) = (o 6|" 6 1o11:' ( „ ) + l5|o»)‘ ( ? ) -20(o»»* ( - - )

✓ b \ t b * x •• / b ;‘ \+ » S I ^ P ( T ) - Í W ( T ) + ( T )

= o 11-- 2o?bJ • — « W ~a» fb“ r Í . 0¿W Í ~ b1' . R.•I 2 16 16 64

EJERCICIO 210

Desarrol lar:

1. (x —2)*.

2 . (o +3 )‘ .

3. (2—x)*. "■ 2 /. / y Nu

4. ( 2x+B> )4.

r». <«— :»>«».

7. (x=+2y*)>.H (x»+l>* , „ a

0. <a,-ah)\ Ib. ( 3 a ~ ) ‘. 21. ( - ~ j )

10 . (x* -5y:')e. 16-

1 1 .( * ■ - £ ) . *

/ * 2 \ 618.

1 2 . ( 3 — - ) .\ 3 / 19.

13.(2 w *- 3 r t ,)M. 20.

14. (xs—3)T.

ID.(* “ ) •

2',i T R I ANG ULO DE P ASCA L

lx>s coeficientes de los términos del desarrollo de cualquier potencia un binomio los da en seguida el siguióme triángulo llamado Triángulo Pascal:

6 ' > ALGEBRA

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 1 0 1 0 5 11 6 1 5 2 0 1 5 6

1 7 2 1 3 5 3 5 2 1 7

8 2 8 5 6 7 0 5 6 2 8

9 3 6 8 4 1 2 6 1 2 6 8 4 3 6

El merlo de formar este triángulo es el siguiente:En la primera fila horizontal se pone 3.En la segunda fila Se pone 1 y 1.Desde la tercera en adelante se empieza por 1 y cada número poste

r al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el ler. número con el 2o., 2o. con el 3o., el 3o. con el 4o., el lo. con el 5o., etc., y se termina por 1'.

Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio n los números que se hallan en la lila horizontal en que después del 1á el exponento del binomio.

Asi. los coeficientes del desarrollo de (x -f y)* son los números que esn en la fila horizontal en qíte después del 1 está el 4, o sea, 1. 4. ¿, 4, 1.

Los coeficientes dol desarrollo de ( m -f «)s son los números de la fila rizontal en que después del 1 está el 5, o sea, 1. 5, 10. 10, 5, 1.

Los coeficientes del desarrollo de (2x — :)y)T son los números de la fila

rizontal en que después del 1 está el 7, o sea, 1. 7. 21. 35, 35, 21, 7, 1.En la práctica, basta formar el triángulo hasta la fila horizontal en

e después del 1 viene el exponente del binomio. Los números de esta ima fila son los coeficientes que se necesitan.

Este triángulo es atribuido por algunos al matemático Tartaglia.

D e í o u o l l a r ( x* — 3>, s )e p o r e l I b ú n g u l o d e P a s c a l.

5 o f o r m a e l t ri á n g u l o h a s t a l o f il a h o r i z o n t a l e n q u e d e s p u é s

d e l I v i e n e e l 6 O SCO:

1 3 3 1

Ejemplo

p o t c n c i a c i o m • 3 8 7

Entonces, tomando los coeficientes de asta última íila, leñemos:

( x 3y® }■' | x }° - 6 ( x5 )•*■ lZy '">1 15 ( x2 ( V >* I ** P l 3yl )‘

+ 15 ( x2 )s I V I * I Jt* M 3yBP + I V P

- x ,s- l S x ' V + I35 xV ° ~ W O xy® +121$* v n“ M5Bx-y-,&+7 2V y1". R.

P- EJER CICIO 211

Desarrollar, hallando los coeficientes por el triángulo de Pascal:

1 . (a + 2£>}‘ . rf / £ _ £ \ * 1 1 . («‘ rhmnj*.

2. (2m*—3ns)n. ' ' 3 l f ) ' í9 ®

3- (x2+y*)« 8- <1-*«)*. ' 3 '

«. « + > ' ■ 0. ( 2 . - 1 ) ’ . 13- ( > 4 ) “

B. (2x»-3r*>*. '8 * 2yJ ^ <2fn* - 5»ry .0. ( i x ^ y . io . ( ± - * y . 1 , ( 4 - ¿ y .

(353)TERMINO GENERAL

La fórmula del término general que vamos a establecer nos permite hallar directamente un término cualquiera del desarrollo de un binomio, sin hallar los términos anteriores.

Considerando los términos del desarrollo

n ( n — 1 ) » (« - i W n — 2)(« + b ) " = a n l na"’*í>I —a*2i>2+ 0 ,, - a ' - W + . . .

observamos que se cumplen las leyes siguientes:

i ) L I numerador del coeficiente de un término cualquiera cs un ¡no «lucio que empieza pot el expolíente del binomio: cada factor posterim i éste es 1 menos que el anterior y hay tantos factores como términos prem ie n al término de qué se trate.

2) l-'l denominador del coeficiente de un tétmino cualquiera es un í factorial de igual número de lactores que el nnmeradoi.3) F.l exponento de >\ en un término atalc]iiiera es el exponento del

binomio disminuido en el número de términos que preceden .i dirlin término.

■i) I I exponente de (> en un término cualquiera es igual al número de términos que lo preceden.

Do acuerdo con las leyes anteriores, vamos a hallar el término que ix tipa ol lugar > en ol desarrollo de {a I- 0)a.

\l término r lo preceden r —1 términos. Tendrem os:

1 ) I I numerador del coeficiente del término r os n(rt l),(w -2 ) . . .hasta que haya r - 1 factores.

8 A L C Í 5 RA

2) E l denominador es una factorial 1 .2 .3 .. . que tiene r - 1 factores.

3 ) E l expolíente de <> es el exponento del binomio n menos r — 1 , o . n - ( r — L).

•1) E l exponente de b e s r —1 .Por tanto, tendremos:

t r = -«(« — !){ « —2 ) .. . hasta r - 1 factores

I X 2 X 3 X . . . X r 1)

e es la f ó rm u l a d e l t é rm in o g en era l.

a » tr U ¿ r i

Ejemplos<i 1 Hallar cl .V termino del desarrollode |’ta+ 6 )1.

Aquír= 5. Al5*términolopreceden<Jtérminos;r 1= 4. Tendremos;

7 X 6 X 5 X 4 7 X 5I. - (3o)>-«£>«= ---------|3o|-16«

l X2 X 3x 4 i

= 35 (27as Jb«= 94So3b'4. R.

<21 Ha llar el 6" término del desarrollo de jx- -2y|1CI.

Al 6’ término le preceden 5 términos. Tendremos:10 X9 X(j X7 X6

>«-1 X 2 X 3 X 4 X 5

= 2521 32y' ) ^ 8064x,oys R.

Cucndoelsegundo términodelbinomioes negativo, comoeneste coso 2y,cl srgnodelterminoquese buscaserá + si en el planteoeste segundotérminotiene exponento par y será — si tiene exponento impar, como sucede en elcaso anterior.

EJERCICIO 212

H a lla r el

. té rm in o de( x — y ) '\

. 4<-1 l é rm iuo de (n— l/ r)T.

. té n i iin o de (H - x ) 11.

. 4'-' té rm ino<Ic(3x — 2y}4.

. ;lv térm ino de(a2— 2 b}'1.

. G“ térm ino de.(2«— )*.

7 . T> té rm ino de (.V- 2y)ln.

3- s ,<' té rm ino de (x — y*)11. '

9. 10’-'1 térm ino de {«- I¿>),s.

10 .<19 té n n in o de (1 x- ) ' * .

11- E l p e n ú lt im o té rm in u de (2 fl— b'J)a.

12. El té rm in o del me dio de (Mx2 — y * ) \

f s . P L > V c ^ .

l 'ILRRE.SIMON LAPLACE <1 74 91 827> M itcm itlco por «u l¡m o n teoría sobro el origen del slitom» k>U«y astrónom o frn nc is. P«rtonecfn 4 la noblex a Irancflrj ex pu esta m aBlttralmflQlii en su o bra "ExpotlclA*. d J«on el título do ma rqu ís. Fue profesor do la Escuela Sistema del M und o"/ que e s una condensar lón 4» uMilitar do París. Organíxó In Escuela Politácníci y "M ecán ica Celosto". En el orden m atem ático, di» »»ili.viola Normal Suportar. Es eátabre como aalrónom o dem ostración com pleta del T eorem a de D'Alem beit

C A P I T U L O XXI)R A D I C A C I O N

RAIZ de una expresión algebraica es tuda expresión algebraica (|ue elevada a una potencia reproduce la expresión dada.

Así 2/t es raíz cuadrada de -Ia- porque (2«)* = 4tta y —2a también a tai/ cuadrada de -1a: jTorquc {— 2a)* —4a2.

:¡x es ra íz cú bic a d e 27x3 p o rq u e {3x)M= 27xs.K1 signo de raíz es V , llamado signo radical. Debajo de este signo

se coloca la cantidad a Ja cual se extrae la raíz llamada por eso cantidad .subradícal.

!•'.! signo V lleva un índice que indica la potencia a que hay que elevar la raíz para que reproduzca la cantidad subradícal. Por convención el índice 2 se suprime V cuando el signo V no lleva indico se entiende que el índice es 2.

Asi, V a1 significa una cantidad que elevada al cuadrado reproduce la cantidad subradícal «*; esta raíz es a2 y — «- porque y (• «'■*)*-«V

significa una cantidad que elevada al cubo reproduce la canii- dad snbradical 8a :i; esta ra íz es 2x porque (2x)* = 8x3.

vv :tLV‘ significa una cantidad que elevada a la quim a |M)tencia re

produce la cantidad subradícal ~22a6: esui raíz es -2 a porque ( - 2«)°- — 32/»*.

0 • A l R f l I B A

5) EXPRESION RADICAL O RADICA L es toda raíz indicada de un nú

mero o de una expresión algebraica. Así, V i , ’J'llíi*. lGa:i son exesiones radicales.

Si la raíz indicada es exacta, la expresión es racional; si no es exacta, irracional.

Las expresiones irracionales como V 2 , VlSa¿ son las que comúnmente llaman radicales.

E l grado de un radical lo indica su índice. Asi, v'2a es un radical de

gundo grado; v'TwT2 c.s un radical de tercer grado; '&r3x es un radical de

arto grado.

6) SIGN OS DE LAS RAICES-1) I .:*» 1 .1:1 o ¡m pm o <lc una caiuid.ul tit ilen el misino signo que la

nidad su inadicit.

.•Vsí, 27cjn ~ lia porque *3/1 : = 27a*.

& — 27<r* = lia porque ■'- 3fl •* = - 27a3.

— x9 porque x : ,r,= x"\

x 10 = x- porque , - x V = x “'.

L..is t . u t <■> p.iK.s <le 1111:1 « a o l ií l. n l |> o s i ii i.i t i m e n d o l il e si g n o :

Así. V 2 5 F = 5x o — 5x porque Í5x)2 = 25x* y (-5x;é' = 25.v7.

Esto se indica de este modo: ’V25x2 — ' bx.

Del propio modo, V 1t>«* = 2a y - 2a porque (2<r)4— 16a* y (—2a}* ~ Itia'.

Esto se indica: V ltia1 = '¿a.

7 ) CANTIDAD IMAGINARIA

Lis ralees pares de una cantidad negativa no se pueden extraer, por

e toda cantidad, ya sea positiva o negativa, elevada a una potencia pa«. un resultado positivo. Estas raíces se llaman cantidades imaginarias.

Asi. V — -i 110 se puede extraer. La raiz cuadrada de —4 no es 2 poi

ue 2" — i y no --1, y tampoco es - 2 porque (—2)-= t y no 4. v 4 es

na cantidad imaginaria.

Del propio modo, V i>. V - a*. V - lGx5 son cantidades imaginarias

j C A N T ' D A D R E A , . es una expresión que no contiene ninguna canti

dad imaginaria. Asi, lia, $. vH> son cantidades reales.

9 ) V ALO R A LG EB RA IC O Y A R IT M E T IC O DE U N R A D IC A L

En general, una cantidad tiene tantas raíces de un gratín <lad> ■con»

d radas, tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas, etc., pero generalmente una o más raíces de éstas son imaginarias. Más adelante hallaremos las tres raíces cúbicas de la unidad, ríos de las cuales son imaginarias.

El valor real y positivo de un radical, si existe, o cl valor real negativo si no existe el positivo, es lo que llama valor aritmético del radical. Asi.

•■/' 9 = = .1 ; cl valoraritm ético de V!T es+

V 16 = 1 2; cl valoraritmético de V 11» es

Al tratar de radicales, siempre nos referimos a su valor aritmético.

360 RAIZ DE UNA POTENCIA

Para extraer una raíz a una potencia se divide c l expolíente de la ]►<>•

tcncia jior cl índice de la raíz.m

Decimos que V ¿ n = c' .

En efecto: ( " )" " • =a ' = « = a “ , cantidad subradical.

Aplicando esta regla, tenemos:

v a* = á- - a1. ' ^ x*= x ' - x \

Si cl exponetue de la potencia no es divisible por cl índice de la raí/, se deja indicada la división, originándose de este modo el exponente írnt dona rio.

Así, v a = a". •' x* = x '.

En el capítulo siguiente se trata ampliamente del exponento ira» cionario.

(36!) RAIZ DE UN PRODUCTO DE VARIOS FACTORES

Para extraer una raíz a un producto de varios factores se extrae ditba raíz a cada uno de los factores.

Así, V a b e = V a . V U . V T , porque

1 ’v'iT. ❖'TT. 0^ V a ' " . ' ' 'Ve' =<>' >*, cantidad subradical.

I R A I Z DE UN M O NO M IO

/ T \ .'362i De acuerdo con lo anterior, para extraer una raíz a un monomio se

sigue la siguiente:REGLA

Se extrae la raíz del coeficiente y se divide el cxponcnie de cada lena |x>r el índice de la raíz.

UA OICA CIOH • 3 9 1

92 • A LG EU IIA

Si el indicie del radical es impar, la raí/ tiene el mismo signo que la antidad subradical, y si el índice es j>ar y la cantidad subradical positiva.t raí/ tiene el doble signo ~

t j j d l l l p J o S I í i 1 Hollar lo ro í/ c uodiuda de 9tr-'b'*.

V9o*b *= ±3ob * . R.

(2 ) Hollor lo roiz cúbico de — B oV y1'.

- &>3xV = - ?oxV - R

13) Ha llo i la raíz cuarta de IbabwNe*".

</ léo 'm V " ~ * 2oraV1. R.

(4 ) Ho llo r lo ro iz quinto do — 243m,;ln !0\

■y — ?43m,5ñl,í*= — 3m3n * \ R.

4o ‘15) Hollar la ro í / cuadrada de ----- .

Cuando el monomio es uno Iracciún. como en este coso, se extrae la raízol nunteiador y denominador.

(61 Ho llo r íu ru íz cúbico de —

4 H o" V 4 o2 2 a

9b4" 7 ñ ' ~ 3b*'

27rr'm'-

27oam,S! 3om‘

VA t iV? . 13. ' / 12»

V ¿ 5 x V - 14- v/ l ,.ln, , ú4n. 2 y

EJERCICIO 213

H a l la r las s igu ien tes ra íces:

1. s / í r í íP . 13. « 'O lrd -b ^ r '" .

3. Ór27n'ú!'. l(>. V’-x ' ' y" " . _4. •$ '~ R m W !r. , , n § S ? 21.. . / _ * í ü _ .5. VrG4xA)’M. y ' 4 Uly4"

fi. Í ' W F . «o / / 125X8

R. ’í'-G4rJ :,x *7 ' ". ___ v ,0. ^ -^ rm 'TTR . , 8 * / 23. a / — -

10. V 32 x« ’ V (>n<*

11 ^ T (K ) T k ^ 10 ; / I Z Z 94 r / z ^ z

«A I Z C U A OR A O A 0 3 9 3

I I . R A I Z C UA DR A DA DE P OL IN OM IO S

(363) RA IZ CUA DRA DA DE POLINOMIOS ENTEROS

P ara e x tra e r la r a í / c ua dra da d e u n p o l in om io se a p l i ia la s i g i ik i it c

r eg l a p rác t i ca :

I ) Se o rd en a e l p o l in o m io dado .

2.) Se h a l la la r a í / cu a d ra d a d e su p r im e r té rm in o , q u e será e l p r im n

té rm in o d e la ra íz c ua d ra d a d e l p o l in o m io ; se e le va a l c u a d ra d o e sta r a í / y se res ta d e l |H> l inom io dado .

3 ) Se b aja n los dos té rm in o s s ig u ie nte s d e l p o l in o m io d ad o y se «l iví

d e e l p r im e r o « le é stos |>or e l d u p lo d e l p r im o té rm in o d e la r a í / . F.l co

c ie n te es e l s eg undo té rm in o d e la r a íz , lis te 2o. t é rm ino de la r a íz c on sup r o p i o s ig n o se e scrib e a l la d o d e l d u p lo d e l p r im e r té r m in o d e la r a í / y

se fo rm a u n b i n om io ; este b in om io se m u l tip l ic a |>or d ie b o 2o . té rm in o y

e l p r od uc t o se resta ele lo s d o s té rm inos que hab íamos ba jado .

4 ) Se ba jan lo s té rm inos necesario s pa ra te ne r 3 té rm i nos . Se dup lic a

la p a r te d e ra íz ya h a lla d a y se d iv i d e e l p r im e r té rm in o d e l r e sid u o e n tre

e l p r im e r o d e este d u p l o . E l c o c ie n te es e l 3 er. té rm in o d e la r a íz .

lis te 3 er. té rm in o , c o n so p r o p i o s ig n o , se e s crib e a l la d o d e l d u p lo

de la p a r te «le r a íz b a ila da y se f o r m a u n t r in o m io ; e ste t r in o m io se m u l t i

p lic a p o r d ic h o 3 er. té rm in o d e la r j í / y e l p ro d u c to se re sta d e l re sid uo .

5 ) Se c o n t in ú a e l p r o c e d im i e n to a n t e r io r , d i v id i e n d o s iem p re e l pt i-

in c r t é rm in o d e l re s id u o e n tr e e l p r im e r té rm in o d e l d u p l o d e la p arte de

r a iz h a l la da , h as ta ob tene r r e s id uo ce ro .

I? I Hullorlo ruiz cuodfudu doa4 I 29a3— IDcz*— 20o- 4Ordenandoolpolinomioseobtiene:

a4 10o*-l 29a* 20o 4 a7 — So-i-

2a*í ?o- 5r>)1 - 5oj= 10o3 i 25a*

IOo! l 29a-10o3- 25a2 { 2o'*' - lCto+ 2;2 - 4o* ?Do | 4

4<r 2Do 44o*+ 20o 4

C X P L I C A C I O N

Hollomoí la roir cuadrada de o4 que es o2; este es el primer término de laraíz del polinomio a : se eleva al euodrado y do o4; este cuadrarlo so reslo del primer létmmo dol polinomio y bajamos los dos léameos siguientes — 10a" I 29o3. Hallamos ol duplo de o* quo es 2o*.

Ejemplos

4 • xic.itK.v

Dividimos — 1(ks*-r2a*= — 5o, esle es el segundo termino de la raíz. Escribimos — 6a a l lado de 2ü2 y formamos el binomio 2u2— 5cr¡ este binomiolomultiplicarnos por — 5oy nos da — lOo*+ 25a*. Este producto lo reslomosIcambiándole los signos) de — 10a-1+ 29o9; la diferencio es ' ‘•o2. Rajamos

lo ; dos términos siguientes y tenemos 4a2— 20a+ 4, Se duplica la parle deraíz hallado 2 1o2— So|= 2o*— 10o. Div id imos 4a3 '2 o 2= 2. esto es c ltercer término de lo roiz.Este 2 se escribe al ladode 2a *— lQar y formamos el trinomio 2o2— lOn-I-2,quosemultiplica por2 y nosdo 4o*— 20a+ 4. Este producto se resta |cambiándole los signos) del residuo 4o2— 20o-I-4 y no: da 0.

PRUEBA

Seele-va al cuadrado lo raíz cuadradoa2— 5a+ 2 y si la operoción está correcto debe dar la cantidad subradical.

I2 ) Halksr la raiz cuadrada de

9xB-I-25x4+ 4- 6x--■20x:1 - f 20x*- lóx.

Ordenandoelpolinomioyaplicandoloregladada,setiene:

9x* 6 x B 2 5 x * 2 0 x 3 - 2 0 x * l ó x 4 Sx2 - x* * 4 * — 29 x 4

1óx * X* | 1 X * = ÓJf* -1 X4

~ 6 x * I25x4

óx5 x ‘ ¡óx * 2x 2 4x , 4x

= 24x4 8x3 124x4 20x® 20x2

2 4 x 4 8 x * — l ó x * ó x * 2x 2 8x 2 i 2

I 2 * 3 4 x 2 l ó x 4 = - 1 2 x J 4 x* — ló x

1 2x 3 4 x * l ó x 4

EJERC IC IO 2 14

Hallar la raíz cuadrada de24xy*—9y4. u . 2<J4I8fl:i¿>—&s2í>2 12fl6*l96*.

—70rt3xM9«2xa. 12. x*2 xft43x4+ 1 + 2x—x*.*—lx*—4 x + l. 13. 5x46 x « + x H 16x:,~8 x2—8x+4.a3+4a4»l+2d. 14. xs 6x*—Bx»+l9 x'—24x*+4<*xs—40x+25.

—20»4 1 lO uH n4. 10 l«x u 8 x T+ x^ 2 2 x 4+4x»+24x»44x*12x|9.xa 12ó x 4t 12x*—CUx *+36. 16. íl—3Gal42a2 13«4 2 « * 18a*ha8.

49rii—80ú2—24flB425. 17. 9x°—24x5+ 2 íx 4—22x 3+12 x *— 4 x + l .'l z2 I 4x>—2xz—4yz 18. 16xo40x3l73x484x;'f6Gx236x19.

*+2x*5x»+x,s. ID. m* ” 4»>*n+4m , rt*+4r«3w4—8w 2»i5+4m*.—7l)x*+ lílx4 KIOx4f ílxa—42x;i. 20 . 9x?6x'y+J3*y16x3>'1+8x2y48xylil4yu.

2 1 . Ití(i,>+‘2óat h'>—'¿4aib —a0at b3+\0a'(>4—4ab'-+b€.22. - I8x y I5 x 4y424 x V d ^ S x y IGxy’fly*.2:4. 2(ifl‘x24U.»4xf2:W2iyr»xs+ l? rt2x ' 4 a x ri+l.xB.

P . \ l ¿ C O A O KA O / . 395

!,364) R A I Z C UAD RAD A DE PO L INOM IO S CON

TERM INOS FRACC IONAR IOS

Ejemplos |

o ' 9oa6* o :,b 2 0 b ' b*t I > Ifallor lo io\¿ cuadrada de -----1 4 ---------1 — .

16 10 2 5 25

Ordenando en orden descendente can relación o lo n/ y opacando la mismoreglo del coso anterior. leñemos:

, / 7 1 T 9í V + 2 o b J

\ 16 T 1 10 1 " 5

* o :‘b 9o?!y 2ob5 b‘ <," 6t ------- 1---- - — I— 0b

( — - a b ) :O t> '= ° b lab 2- 2 / 2

2 5 ' • 5 ' 10 5

D obe t e n e r s e c u i d a d o d e s im p l if i c a r c o d a v o i q u e s e p u e d o A s i , e l r i j p lo d e

o - 2 a * a 2

4 “ ~ ~ ~ 2 ' oab o 2 a:!b 7

lo división d e — e n t r e — se ve rifico — - X ■ ab, simplificando.

9a'-b7l a o p e r a c i ó n — — --------o 2 b 2 s e v e r i l i c a c o n v i r l i c n d o — e r b* e n i i o c c i ó n c q u i

volenfe de denominador 10 y se tiene:9o-b* 10o b2

l o - '^ , o»b* a2 ... o 2b2 2 tr

lodr/ i t ionde— ------ entre — seve r if ico ---------- ■< •— — — . simplificando.10 2 10 a» 5

«to* 31 2x 12a

( 6 ) H a l l a r l oi o í z

c u a d r a d a d o 1-------------------------------- -

V om os a ordenaronordend e s c e n d e n t e c o n r e la c ió n o l o o . C u m o h o y d o » férminos que t i enen a en e l numaradoi , un té rmino independien te y dos té rmino»

A L G E B R A

que t ienen c r en o l dcnominodor , la muñera de ordenar es te pol inomio enorden descendente con re lac ión o la o es la s iguiente :

— x3 '

12o 31 _ 2 x x=

x 3 a 9o2

p o r q u e , c o m o ve v e ró on el cap i tu lo siguiente , — equ iva le a o* ; e q u i- pe a axt 3 3 a

J u e g o s o g u a r d a e l o r d e n d e s c e n d e n t e d ov a l e o ? a ' , x y — e q u i v al e a

las potenc ias d e o . Tendremos:

t 4a* ]2a

4 2* x

3 o 9 o 2

4 2x X1

3 0 9o*

7o x —3 r — x 3a

/ 4 a \ 12a( 3 ) ( 3 = - - 9

4a 2x ¿

a + 9a»

Lo t a i c c ua d r a da de un po l inom io f r a c c iuna r io pue de e x t r a e r se posa ndo lo s

l e t ra s qu e e s t á n e n ios de nom ina dor e s a los n um e r a dor e s c om átat . dole d s tgao a sus exponen tos . En e l copl tu lo s iguiente , después de es tudios ios expo -nentos nega t ivos , se ex t raen ra íces cuodradas por es le procedimiento

EJERCICIO 215

Hallar la saix cuadrada de:

lx , 1 x - '¿x ¿b ¡30) . .v.

RA IZ C U A D R A D A 397

a* ;WJ . . . 3 ** Ixy' x*y xy-' y*n . _ _ _ _ 5 „ » + 2 8 + . n Tü + i s o r 1 * 5

o* 2«’ _ <1 2«x X 4**6* 2n/> 21 7xy 49X3)!3

b ' T +Hx + x* 3 2 ' «*' 17' 49x 3y* 7 x y + 2 0 ~ 5 oh ' 25«i3¿»’

9/i5 x C5 3a 4x2 9a*x* 4m n 8d x 23 i 4»i*n*

13' ’í í ’ ~ 3 a + Tfi _ 2Í + 9áí ' 18' 25m*n2~ 45«x “ 25ron + 75 81«*x»

50 20 1 5 2 32 814 Vx* + 30 x2 4 05 + — i 19. - x * + x* + x 3 Xa —Xa + x I 1

x* x* 4 3 3 0 3

•la2 , 5x 2a 25x* 1 3 09 , 3 , 2 n , 43 415. + -1 ----------------4------- 2 0 . ---------- o 4 — 0?---- n1 ------fl l* — a* 4 a*

25x* 13 3a Sx 9rt3 4 4 48 2 3 36 I

III RA IZ CUBICA DE POL INOM IOS

(365) RA IZ CUBICA DE POLINO M IOS ENTEROS

Para ext raer la ra íz cúbica de un ]x>l inomio se apl ica la s iguiente re-gla prác t ica :

1) Se o rd ena e l |xd inom io .

’,) Se ex t rae l a ra íz cúb ica de su p r im er t é rm ino , qu e se rá c l p r im r it é rm ino d e la r a íz ; e s te t é rm ino se e leva a l cubo y se r e s ta d e l po l inom io .

3) Se b a jan los t res té rm inos s iguientes de l po l ino m io y se d iv ide el p r im e ro d e e llos j>or e l t r ip lo d e l c u a d ra d o d e l té rm in o ya b a ila d o d e lamiz : e l coc ien te de e s t a d iv i s ión e s e l segundo t é rmino de l a r a i z .

4) Se f o rm a n tre s p r o d u c to s : l o . T r i p l o d el c u a d r a d o d e l p r i m at é r m i n o d e la r aíz p o r c l s e g u n d o té r m i n o . 2 o. T r i p l o d e l p r i m e r té r m i n o

j>or e l c u a d ra d o d e l seg u n d o . 3o. C u b o d e l seg u n d o té rm in o d e la ra íz .Estos productos se res tan (cambiándoles los s ignos) de los t res té rminos de ll>o l ino imo que se hab ían ba jado .

(O Se ba jan los t é rm inos qu e fa l t an de l po l inom io y se d iv id e c l p r i-

me r t é r mi n o d e l r e s i d u o p o r e l t r i p l o d e l c u a d r a d o d e l a p a r t e y a b a i l a d a

tle la ra íz . El coc iente es e l te rce r té rm ino d e la ra iz .

S e f o rm a n tr es p ro d u c to s : l o . T r i p l o d e l c u a d r a d o d e l b i n o m i o q u efo rm an e l lo . y 2o . t é rm ino do la r a iz por e l 3e r. t é rm ino . 2o . T r ip lo de

d icho b ino m io po r c l cuad rado «leí t e rce r té rm ino . 3o . C ub o de l te rce r

t é rm ino de l a r aiz . Es tos p rodu c tos se r e s tan ( reduc iend o an te s t é rminossem ejan tes si los hay) del res idu o del |x>l¡nornio. Si la d ifer en cia es cero,

la o |>e rac ión ha t e rm inado . S i aú n q ue da n t é rm inos en e l r e s iduo , se con -t i n ú a c l p r o c e d i mi e n t o a n t e r i o r .

8 • ALGtUMA

Ejemplos

11 Hollor lo ro¡7 cúbica de xrt— 9xl + 33x4 —63x* + 66x2 —36x + 8.

El polinomio eslá ordenado. Aplicando In reglo anterior, tenemos:

x1— 3x+ 2</ _ 9x' : 33x‘ - 63x* I 66x3 36x+ B

9x3 33x* - áSx»

9x5 27x4 -|-27x*

6x4 36xK , 66x- 36x I 86x4 36xa (Ax* -I 26x- 8

31x * J - = 3x4

3( x* ■■'! —3x . = 9x33 x* I — 3xJ-— r / x 4

! 3 x : '= 27x3

3* x* 3x’l : = 3 {x4 — 6x3 + 9 x * )= 3x4 IBx3 I 27x2

3 x2 3x l’.2 - 6x> 36x3 -f54x23]x- 3x1 .2" I2x2 3óx

2:l= 8

XPLICACION

So bollo lo raiz cúbicode x° que es x2; este es el primer término de ¡o raiz.x2 so eleva ol cubo y se restade x°. Bajamos los tres términos siguiente! del

polinomio; se halla ol tap io del cuad rado de x2 que es 3x4 y se divine

9x'--i-3x' = — 3’x. Este es el segundo término de lo roiz.

Se fo rman tres p roducios: l | Trip lo del cuadrado de x2 por — 3x que do — *9x \ 2| Triplo de x - por (— 3x ): que da 27x4. 3) Cobo do — 3x que

da - 2 7 x 3.

Estos productos se rasión ( cambiándoles los signos| de — 9x3 ■ 33x4— á3x*;

nos quedo 6x4 — 36x3 y ho|Oinos lostérminos que lalton del polinomio.Sehallae l triplodolcuadradodelaparteyahalladodelaraízqueeselbi

nomiox 2— 3x y segúnse detalla arriba el triplodel cuadrodo de este bino

mio nos da el trinomio 3x*— 18x*+ 27x2.

Dividimos el primer término del residuo 6x4 entre ol primer término de estetrinomio y tenemos 6x4-5-3x4— 2. Este es el tercer termino do lo roiz.

So forman tres productos: 1) Triplo del cuadrado del binomio x2 3x por 2que nos do 6x4— 3éx*+ 54x2. 7) Triplo del binomio x2— 3x por 2" quo nos

do 12x2— 36x. 3) Cubode2 que nos da B. Estos productos se restan, cam

biándoles lossignos,del residuodel polinomio y nos da cero.Obsórveso que en los productos teníamos 54x2 semejante con 12x2, se redu

cen y do 66x2¡ cambiándolo el signo para tostar da — 66x- quo aporeco de

ba jo do + 66x3.

RAt7 CUAORAOA • 399

121 Hallar la roíz cúbico de

8a* I ¡2o»b I 45o*b« 3 5 a V 30o«b 27a!/1 77b".

Ordenándolo en orden descendente con relación o lo o y nplicordo ¡o rco'u

onterior, tenemos:V ía * 4 12a*b 30cdb* + 4So»fc* • 77ob"' 77b*

l?osb12o’b

30o4b* 35o1baóo'b1 o’b1

3fo 'b 5 Üía’b1 cSerb' 27ob’ 77V 36a ‘b* 4 36o*b* 4SoJb4 27ob(• i 27b1

?o nb 3b

3’ 76t r ~ 12o'1

31 2o2l .o b = 1 2 o Bb3' 7o ' obl = óo'b1

i ob l3 = o V

31 2o* t obl= 31 4 u 4 4 o * b o » b * |

= 1 2 o 4 1 1 2 o s b • 3 0 9 »*

31 7a* cb* 3b:= 3 6 o ‘ b * 36cr,b'1 ?c>V3 1 2 o 1 - obi ( 3 b 3

= 5Aa-b* 2

{ 3 b ¡' = 27b4.

El segundo leonino de la roiz ob se obtiene d i v i d i e n d o 1 2 o 4 = o b ,

El tercer término de ki roí? —3b: se obtiene dividiendo —3éo 'b :' r I2 a4= —3bLos productos se forman como le explicó en ol ejemplo anterior.Obsérvese que en los Últimos producios tenemos —Po'b1semejonte con 5<oJb*se reducen y dan 45o64; cambiándole el signo resulto 45ubJ que oporo i« debajo d e + 45o26‘4.

EJERCICIO 216

I Itilltu la r a i/ c úb ica «le:

2 .3.4.5.O7.8.0.

30.11.12 .

13.14.16.10.

S—:i <>vr fi 1 >•"—2 7>’.

fiWHaOOii*/» '■—125i>«+2l(l«4b*.* « ~ 3 \3 H>x4 17x2 l 6x|3x rl.i b c e 1 2 x * + l l x » 6 x « 3 x | . 3 x s 3 .1 r33x*—9x¡66x4—63x3—8$xB+ 8 x u.8 —3Gx+ G&x2—G3xa+33x4—9x5+x*.x"—6xHH 2xT—20x8|48x6—4 íx 4+4Sx3—9(ix2—64.x 133 x * ;U ‘"+0 x4+ 1 lx "~ l 2x2$ .06x*G3x»3Gxv+33x»+8x*!>x1.27a* 135 «i f 117/j'f235a:,1 5 e a , 2IOííC4.ü«6<J5í»+l.r>a‘ba20r)Jb*l !5«2fr46«6*+ (>"

xe+ 12x 4>=—11l x 3y*-9x*y 4 2 1 0 x ^ 2 2 5 ^ * + 1 2.r.yn.a 12— 3« ,0+15fl"f60a4—48n*25flu+(i) .fl0íl n 'x + 2 7rj’x e2 1 « 0x13i>iT6x 4+54a4x !'L l2n*x°~3t>ti9x T»8xD.a*—3a*+6aT—10a*+12a3—12a*l 10a4—6a*+3<»—1.x * l2 x * K .lx T 121.x"'•*lH0xr* 22dx4+1 7ítx*141 x*+ 5lx 27.

'ICO 6 A L G E B R A

@RAIZ CUBICA DE POLINOMIOS CON TERMINOS FRACCIONARIOSSe ap l ica la misma reg la empleada an ter iormente .

E j e m p l o

Hollar la roír cúbica de

a» I53x 15a* , 153a,----------------- — + — ------ 1 4 0 -

x* ¿a x* 2x

15x* x*

4a2 Bo’

Ordenando en orden descendente a leíJ?» tendremos:

/ a ' ISo* IS3a

I» ~ " x5 " ' 2x

a* ISo* i s a .140

153x 15*2 x:' a X — 5 4 ------

X» X! 2x 4a 4o2 8 0 * x 2a

A1 3 ( 7 ) = 7

3 ( 7 ) V . . . ¥/O x 75a

3 ( 7 ) | - B * = —

¡ - 5 ' := -1 2 5

153x — i

X1*< V i / ® * ' ° °

2x 4o 4o- ¡ :n: 3 ( 7 5 ) - 3 f e X

153x 15x- xJ 3o2 30o

2x 4a 4 o 2 f i a ’ X2 X

.o , ; , x 3a 75x

3 ( - r 5 ) f e ) = 5 7 , 5 , * r 3x 15X2

do-3/ —

\ x f c ) “ =. x

( 2 a ) “ 8us

El segundo término de lo raíz se obtiene dividiendo

l ia - 3a-

— — entro — opera-x* x*... 15o-* x-

cion quesever i f ico — ■ X — — = — 5.x* 3o-

x . 3a 3o-'El tercer término dela roiz— seobtiene div id iendo — ontre — Operación

/O *3a x* x

que se verifica — X — - = simpliticando.?x 3a1 ?o

Hoyquetenercuidadodesimp/ificarcodovezquesehagaunamultiplicación

EJERCICIO 217Hallar la iu U cúbica de:5x‘ 20x3 a* 15« 5 15b Ub* b>

g K ' J S s S ^ ,

«ARL FRIEDERICH GAUSS 117 7 7 18 5 5» Mülc mitico lo llevaron a dejar constitu ida li Aritmética ........

t l rm in , l lamado ol "Prin cip a de las Matnmétic.»»". Demostró primero que nadiei ol l lamado Teor emi l »• i uno de lo* c ato* m i* extrao rdinario* de preco cidad da me nt al del Algeb ra. Dirigió <1 Observat orio «t* Q«• « la historia de las ciencia*. Protegi do por «I Duq ue •'.'MN' don de murió . Su obra princip al lúe el "DUqu•Ir Brunswick pud o realirar profundos estudios que sitione Arithmetlcao ", que es un trabajo •<•••

C A P IT U L O X X X

T E O R I A D E L O S E X P O N E N T E S

(367 ) EXPO N ENTE CERO. ORIGEN

El exponen to ce ro p rov i ene de d iv id i r po t enc i a s i gua l e s de l a mi smaliase. Así,

a a3 /i a = <1°. x a x - - x*r' x".

INTERPRETACION DEL EXPONENTE CERO

T o d a c a n t i d a d e l e v a d a a c e r o e q u i v a l e a 1 .

Dec imos q u e »“ = 1

En efecto: Según las leyes de la divis ión, a" a" — n"-" — a°, y por ot ra

p a r te , c o m o to d a c a n tid a d d iv id id a p o r si m ism a e q u iv a le a 1, .se tie n e II' r fl° = 1.

A ho ra bie n, do s cosas («" y 1) ¡guales a un a 4t e rce ra son i gual es e n t r e s í: l u e g o , ---------------------------------------

368),368) EXPONENTE FRA CCIONA RIO. ORIGENE l c x p o n c o t c I r á n i o u a i io p r o v ie n e d e e x t r a e r u n a r a í z a u n a p o t e n -

c ia cua nd o e l expo l íen t e de la ca n t i da d l u l t r ad i ca l n o es d iv i s ib l e po i e l indice de la ra íz .

0 2 # A L C C B H A

Sabemos (3G0> que para ex t raer una ra í / a una po tenc ia se d iv ide e lx po ne n te de la po tenc ia por e l índ ice de la raí* . Si e l exp on en te n o esiv i s ib le por e l índ ice , hay que de jar ind icada la d iv i s ión y se o r ig ina e lx p o n e n te f r acc io n a r io . As í:

v a — a-. V a r <i*.

INTERPRETACION DEL EXPONENTE FRACCIONARIO

T o d a c a n t i d a d e le v a d a a u n e x p o n e n t e f r a cc i o n a ri o e q u iv a le a u n aa í z cu y o ín d i ce e s e l d en o m in ad o r d e l ex p o n en te y l a can t id ad su b rad i ca la m i sm a c an t id ad e l ev ad a a la p o t en c ia q u e i n d i ca e l n u m erad o r d e l ex

o n e n te .Mi

D e c i m o s q u e ./<• _ CVA

Kn efecto : Se ha probado (300) quere in

= a " ; lu ego , r ec ip ro cam en te , a " — \ ' a " .

Ejemplos

ü i i *( ' ) Expresar con signo radical xs, 2o*’, x’y4

x * = V k í.i

7a* = 2 V a .s 1

nr con expolíenlo fraccionario 2 v/xn< / y * .

V~a =o*. 2 V a * =2a*. L L '

\Zx“ V y * =x V R

EJERCICIO 218

E xpresar ro n signo radical:

i1 X*.

i4 x f .

< i7. 2/17&?.

H10' 8mn».

*. J.* t

5 a-F.2 i i

8 3x7rz7.? a

11. 4a*Fe".

i3. 4o*.

* i i6. x=y*t¿.

2 3112 5m*n»x».

E xpresar con exponente fraccionario:13. 16. <yiñ. 19 7.2. n ^ m f Vn*.

14. O'x7. 17. 2>yx\ 20. JNfSUv». 23. 3v/ñ» YF" .

15 18 21 5 24

»69j EXPONENTE N EGATIYO. ORIGENEl expo l í en te nega t ivo p rov iene de d iv id i r dos po tenc ia s de l a misma

base c u a n d o e l e x p o n e n tc d e l d iv id e n d o es m e n o r q u e e l e x p o n e n to d rldivisor. Asi,

a" + a» = a 2' 3 = « ». x 3 + x T = :x*T = x-1.INTERPRETACION DEL CXPONENTE NEGATIVO

To d a c a n t i d a d e l e v a d a a u n e x p ó r t e me n e g a t i v o e q u i v a l e a u n a f r a c -c ión cuyo numerador e s 1 , y su denominador , l a misma can t idad con e lc.v|>oucntc positivo.

D e c im o s q u e a “ o" a"

E n e fe cto : = = f l .. u . , _ a o

T E O R I A O l 1 04 E X PO N E N T O • 4 0 3

II. Qa"' a'" 1

a'"-a ~ a " X a "~ a " '

I \ . / a u'

y t ambién

y c o m o d o s c o sa s( V * \ ' ii guales a u n a terce ra ( ) son igualesa * / Vflui.« /

en t re s i , t enemos que a " = — .a “

De a c u e r d o c o nlo an te r io r , se t i ene que :

2 1 Í 1 * . 4 1a 2 = —. a * - — x-*y 2 = -----

<* x *yÍ

(370 ) PASAR LOS FACTORES DEL NU ME RA DO R DE UN AEXPRESION AL DE NOM INADOR 0 VICEVERSA

C u a l q u i e r f a c t o r d e l n u me r a d o r d e u n a e x p r e s i ó n s e p u e d e p a sa r a ldenominador y v i ceve rsa con t a l de cambia r l e e l s igno a su exponen tc .

Sea la exp resión ————. D e acu erd o co n el signif icad o de l expo nen i r nega t ivo , t endremos :

1 1 1x r r a-2ír * _«* ___ b3 _ «2b3 1 xy _ x*yft

x - * y - l ~ l 1 " 1 flSfc* 1 l'' - ^ ____

x4 / • x 4y!>

Así , que nos que<la que

rt-2b'* x y x*y’- f l-3í»-8 = <*) y rec iproc am ente = . . (2) x -*ymi aab a 1 aJb3 x 4y 6

E n l a i g u a l d a d ( I ) v e m o s q u e l o s f a c t o r e s a~* y h ' q u e c a t ó n e n e ln u m e r a d o r d e l p rim e r m i e m b r o c o n e x p o n e n t e » n e g a tiv o s , p a s a n a l d en o m b

4 • AL6IUUA

t lo r de l seg un do m iem bro con exp one m os pos i tivos y los l 'ac io rcs x m* o y 'e e s t á n c u e l d e n o m i n a d o r d e l p r i m e r m i e m b r o c o n e x p o n e n t e s n e g a t i -s . pasan a l numerador de l segundo con expo l íen les pos i t ivos .

En la igua ldad (2) vemos q u e los factores x* e y - q u e e stá n e n el n u -rad o r d e l p r i mer mi emb ro co n ex p o n en t o s p o s i t i v o s , p as an a l d en o mi -dor de l segundo miembro con expór ten les nega t ivos y los fac to res n ‘ y b H

e es tán COil ex po ne n ies pos itivos en e l den om inad or de l p r im er m iem -o , pasan al n u m e ra d o r d e l seg u n d o m ie m b ro co n e x p o n e n te s negativos.

l) TRANSFO RM AR UN A EXPRESION CON EXPONENTESNEGATIVOS EN UN A EXPRESION EQUIVALENTE

CON EXPONENTES POSITIVOS

Ejemplos

(1 ) Expresor con exponentes positivos x ’ y ' * y 3ab"fc '3.

Según el númeroanterior, tenemos:

i . . . . 3a

2 *(21 Exprosor ccn exponentos positivos 3 y y .

2 x xx*y* x'-'y1 —=«. , r —f f . ,2xV *

Obsérvese que al pasar un factor áei numerador ol denominador o viceversa

el coeficientenumérico no se poso.

. . . . . f e f r V *IOí Expresar con exponeritei positivos . .

5 o » b V °

2o*b Bc~7 _ 2cr&'b*c* _ 2or' #

5a-r.b-.c-» “ s b V Sbc’

x y " i *

( ‘51 Expresar con exponentes positivos ”4x *y2z *

.1 1 • 1xy V 3 _ xx‘z3 X4 _

* 3~V “ R7

T I O RI A DE I OS CX PO ME NT Í» • 4 0 5

Expresar con exponentes positivos y simplificar:2_

. 1 . 1 3 m«n 2 e81. g 6 . B. 5o *b « t r'. 1 3 . --------- — . -------- J7.------ j— .8m'*fí~4 ,,

2 'Ax 6. j 46 .v1

E J E R C I C I O 2 1 9

i 2**' 4o* 1 8 . ------ — 3. o’ 't " 14,

3* «6 *c*

2m 7r 4 i »*r V i 2 o 3 6 * 1 D ‘ ^ r r t a ^ n 3 n '5 m *«■*. 1 1 . ------------ . *

iH<r> . » .»

0. tl*b «_ x 8y 4x ' y 2 : 8 u ‘ x * * 2 0 . . j® 1 2 — . i ( j . _____________ • _ I

7 . l x ) ' l . 3 o :, .v ?y > x s y * *

EJERCICIO 220

I 'as.ir los factores literales del numerador al denominador:

L i. “T—• 7 ^ 10. « 86*í ".„ m 8 ü

0 * 3 5 i

a . H ¿ 6. ü i l . a . 2 ^ 5 1y /

1•lmn2 „ 2xv 2w *n*

5y*3 3 L *■ * y

Pasar los factores literales del denominador ;»l numerador:

2 , E **y „ «*L _ 10 J ^ Í L13. ± . 15. - I . 17. 19.a V' 5 — . —

' 7x‘ry 1 3wr3« 4

« ■ £ m 4 m — ,- x 2y a «6 »

Expresar sin denominador;

2) EJERCICIO S SOBRE EXPRESIONES CO N EXPONE NTES— 7 CERO, NEGATIVOS O FRACCIONARIOS

0 6 A LG EB RA

Ejemplos ) Expresar — con signo radical y oxponeníes positivos.

3 i( = a V = í V V* . R.

<2 I Expresar — — cea capónenles fraccionarios positivos.

o2 JS_

3 ' / x ' r' 3x: T:.;

13 ) llollor el valor d e 125*.z

125 = ? I ?5* = </ ¡5*j* = 5a = 25 R.

De '/ ( ú 3!* pasamos a 5a porque el expcaenie 3 y la toiz cúbica se destruyen.

14) Hollar el volor de

f i ) T = _ i _ = _ 1 „ _____ ! _____ = ___ ! ____ J _ 9 / ‘* a 4 ' H ? í < ? \*v / 2 v j 32

9 ' I ' 9 ' i ' 3* ' ' 3 1 243

Véase que los exponentos 2 y lo raíz cuadrada se destruyen.

: 32 * R‘

EJERCICIO 221

Expresar con signo radical y expnnenies positivos:

JKxprfcsar con exponentos positivos:

10. 19. i í g . 22. }5^/TF5 Vtx •'b *

17. 2 y f * * * . *3

TEOKIA DE LOS EXPONENTES • 4 0 7

3 20. 23.rt,a

38.a/ * 3 21 . x 'V x17. 21 x / ñ P ^ ñ 73

H a lla r ój valor <lc:

< * ) ■30. ( £ ) 1 40.

( ■ i ) '

s v .r.

33. ( i ) '

13 37. 1O'3" 41. ( s h )

9 *■ I 4 2 32 2

38. ( * V 7 42. & x 4 2 .29 (27)». 34. l — )' 30 ' • \ T x > ' % l

30. (32)^. / \ _1"0

4/ \ ’ T

43. !í-X 2 7 ' 7

49 2.35. ( — )' &3>

39. ( - — ) •' 2«S• 44.1

243 3 X 128 .

373) VALOR NUMERICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON- EXPONENTES CERO, NEGATIVOS O FRACCIONARIOS

Ejemplos

L í I 1I Valor numérico de o '-’b+ a'*V4-x" pora a l>— i6> x— 3.

SustituyendoJas letras por sus valores, tendremos:

i . 14-2.16+ ? . 16* 1-3°.

Ahora, el exponento negativo lo hacemos fxssil ivo, los exponentos fraccionarios los convertimos en raíces y teniendo presente que tado cantidad elevado u cero equivale a 1, tendremos:

^.16 s/4.yT63 M | l 2 . ’í 'TF Fhl = 1 + 2 .2 , l l = l ' 6 I = 8

i3 .* <r*b» 1

( 2 ) Volor numérico de — j - ^ + x " y "-----

^-----

1~ pa,ao V

„ =A, b 8, , t : 3?, y = 7.

Sustituyendo, tendremos:

8 • ALCIBRA

3 » 4 3.8* 1■ - 32* .7° --------- I

. 1 1 " " 2 8”.*32*4* .6 l

Ahora hacemos positivoslosexponentos negativos: _i_ £

3.4* . 7" 8* 1

i ± 2.48 8o. # 3 2 * 'B3 3?'

los exponentos fraccionarios los convertimos cn laíccs y iccordando que todacantidad elevada a cero equivale o 1, tendremos:

3 . V 4 ¡ I _ ^ 8 , I

¥ ¥ i f 'W 2 .6 4 i . - V W

3 . 2 1 2 1

t J W \V(2'-¡-' 2 . 64

= ± 4 . 1 - 1 . , . 1

2 2"1 64 2‘

= í + 2 i , J . = , J3 , 8.2 8 64 16 64

EJERCICIO 222

llal lai el valor numérico de:

1. a-- l <r,& + x* jwua « 3 , l/ = 4.

_ JL i2. 3x * + xay, ir x'Y* para x = 4 , > = 1 .

a-* i - i .3. 2a 3/> + — + <i"l/ * p ar a a — I. 6 —16.

sX ~ - i - i X

4. + x *>• * —xV* + — pa ra x = 16. y — 8.

&. i I + 2x" + x ' r 5 para x = 81 . y = 3x 1 y*

i i i i ^6. flxJ n x 1 r ( + 3 x " pa ra « = 1 6 . x 8.

« V v

7. ~ + 3a~,b sc 3 ^ i t b* + c° pa ra « = 3. ¿» = 16, r = 2.

TEORIA o s t o s t x r o M t w m 409

8 . — + Xa y> + I y" para x = 6. y - 32.•v y- ¿ i — i

9. h ;1 I a°b - -Vu I para a = 27. b = 243.¿"6 a *

374) MULTIPLICACION DE MONOMIOS CON EXPONENTESNEGATIVOS Y FRACCIONARIOS1a l .cy de los exponentos en la multiplicación. que nos dire que para

multiplicar potencias «le la misma base se su ma n los exponentes es general,y te apl ica igualm ente cuan do las cant idades q ue se m ult ipl ican t ienenexponen tes nega t ivos o fraccionarios.

(1 ) o.tX o = o i.i = o ' n.

<21 On X o i =0*.|.r.¡ = o ij O '2.

( 3 1 » i X n : = Q i : —o 3.

<41 o í x o s s a w

= On — 1.

l l I I(5 I 6 ; X o . = O: ‘ i

:: i n i

<61 a 7 y o . —ó ."ñ = 0 •> EJERCICIO 223

Multiplicar:

1. x p o r x a.

2. a p o r c r1.

3. x» |x»r

4. a ' por <t.I £

!>• x por x 1.a i

«i* por fi*.

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS CON EXPONENTESNEGATIVOS Y FRACCIONARIOS

7.>1 . ?

‘Sur’ po r MI !\ 13.

i* y por

ix*y' *.

i i i i8. 2n* por a 14. 3ct''í»1 pin 2ar*b X

9. _ £■ 15. a'4b x por

x - po r x ■ n ■ i¡1

18. a fc* po r flñr*.10. 3« |)or 7i t V 1 1 31

17 p o r wi ri'11. 4/i * por a " 1

1 2 . rt'Jr2 por ab-. 18. \i<¡ *b* por

Ejemplos

..1 .! .1 .1

<11 Multiplkor 2x 1+ 3x y I y 1por x 1 —x ay 2 P y 1los polinomios estón ordenodos en orden oicondoofocon reloción o x porque el expononle de x en el seyun

do término —. es moyor que el exponento de x en el primer término —I* |

y ol (creer término y 1 equivolo o x"y 1 y 0 es mayor que —j

10 > A L U I H R A

. 1 . 2T e n d r e m o s - . 2 x _ 1 4 - 3 j > ' + y 1

i_ i„ i _ x' a / « + y 1

2 x - a+ 3 x ‘ V * + * ' V.i i _i *

- 2 x V 7- 3 x - y - x-y -

1 12 x ‘ y - 1 4 - 3 x V 1 ’ *• V'1-

~ L i >2x » + x v • 2* V J ry 2. R

2, H I ___________ __ L

l?.) Multiplicar ab "' — rr'b •!■os por cr'b 1— b-* — o Rb*1.O r d e n a n d o e n o r d e n d e s c e n d e n t e c o n r e l a c i ó n a l a o , t e n d r e m o s :

2 i ab "’ + o J— o !í>> . 1

o " b ‘ :l — Jb*a — o 2 b " 1

» 2ff'fo4 I ub* a*b*

2 1 a b ' * o V + o V

o*b ' a*b‘ + 1

o*b * 3 a V + 1. R.

SI I óllnno se obtiene porque el predodoi i

{—ó 'b ) X ( —o* *b'*) = o0b0 = 1 X 1 = 1.

EJERCICIO 224

Multiplicar , ordenando previamente:i 2. I 2 2 .

3 <***■'¿i-3a'- po r a"*-a-2+ 1. 4. 2 'i' a * r 2 a ‘ |x>r a*—/» '+ 1 .

x l i x — p or x 2+'¿—x ^ rt“ _ 2 | '¿o 8 por 3+a 3—la :I.

1 2 ± .1 n 2 . 2 . _L8. *+* *+2x * po r x3+ x "* —2. 6. x*+2x5 x " * po r xa2 + x ‘ ~4.

7. a 1/;*—»r+b por tr -b 's-{a~*—ért b '1.

8. x y ' t+ x 'y ^ + x '3) ' '3 por x-~y-*-x *y , + x-:Y " .

I JL i0. «'í> J+ «*bu—t? ‘ó1 |x>r rT'b ' —‘2+ 3a *¿».

. 1 . 2 _ 2 _ 2.10. a ' l2a *b *+2b 1 po r a *—n -b 1 {-O1.

n i ; i i11 4x# x*y* x*y*+xy por x 2+ y \

TEORIA DE LOS EXPONEN!ti 4 1 1

1 * 1 1 i i 1112. x —2«sxJ l a'x'"1—3íj p o r x;,+ 2 a ,x + 3oJx*.

13. Sa* +4—3 b — 2a*‘ por 3a—6<rH2.

14 2 x 3 + x '+ 4 x a por x ‘2 x 2 | xa.i i _ JL £. i. ¿15. rn—rnan '+ n—m *n3 jn»r ma+ri*+m -n.

2 i _1 _2 _ 216 a3—n *+2o* po r <rl —2—a *.

£ I i *17. m +3» i3+2 m “ por 22m " *+2m‘ 3.

I 1 1 5 1 1 1 1

18. x •>* |3x~ 4y .x V p o r x «y3—Sx” *-x *y

19. x*y ,+ 5x 8y a |2x*y8 po r i S r 'y 1.i i i20. a a6*+2fl *b-a-*b'J p o r 3a*fc 3+ l+ a

(376> DIV ISION DE M ON OM IOS C ON EXPONENTES NEGATIV OS Y FRACCIO NARIO S

L a L e y de l o s e xpone n t e s e n l a d i v i s i ón , . que nos d i c e que pa ra d i v id i r po tenc ias de l a misma base se res ta e l expol íen te de l d iv i sor de l expone n i e de l d i v i de ndo , se a p l ic a i gua l m e n t e c u a nd o l os e xpon e n t e s de lascan t idades que se d iv iden son nega t ivos o f racc ionar ios .

Ejemplos ( I ) o ‘ O , ,

I I o .

1 2 ) cr o =C¡

13) « :i a = o j i

14) c r- • j ' o

T «•15) eí

ia = ai i

(61 o ‘ o'* —o

— oH J 4 j

= 0 3 = 0*

E J E R C I C I O 2 2 5

Dividir;2 1 _i_ i_

1. a1 entre ir*. 8. fl1 entre a ®. 14. a~b9 entre ab.

2. x* e n tre x*. . 1 1 10. a9b~* entre « *i».i i 9. rn 1 e n tre tn9. _ 2. 3. _ i .

3. m ’J en t re m *. j 16. x Jy :l e n t re x ■'y'.10. fí3 e n tre a.

£ .£. 14. entre a8. 1 1 17. m*n « ent re r;i *>»•.6. xa entre x_*. 11. \ $ enere 2x K 2 _ •

i 7 18. 8x*y* entre 4xy *

0. /i5" en tr e a. i

12. ti * en tre a *.10

i . _i .a*b entre a

)DIVISION DE POLINOMIOS CON EXPONENTES NEGATIV OS Y FRACCIO NARIO S

• A L G EB R A

Ejemplos<1 I Dividir< r'b s— 2o65+ a sb 7 cnsro o-fe'*— 2o’ b 84-o 'b "4.

Dividendoy divisor estánordenadosenorden ascendente con relociónc lo o.TcrdicinoS:

c *b 1 - 2 o b n o:,b-J | o -V 5- 2o:;b 8+ o"b 4 g ^ l 2b‘ ob8 ,, .. 'i; R.

2b-4 3üb-6- 2b ' + 4ob - 2o“ 6 1

ob'8 —2ob ! t o :lb ' ob 0 I 2ob « a :,b’

Al dividir 2b"4entre o'’b”5 coma en el dividendo nohoy a y en eldivisar hayo- debeicnerso presente que 2b * equivale a2<fib 4 ydividiendo este conlidad cn*rc ob"* tenemos:

20% '4+ o"b': 2o" fo4 7c-" b1que es el segando fcimino del cociente.

K 1 —

(2 l Dividir 4* + II — x • + 7x* —3x ’ eoiro 4x~ — 1— x Ordenandoen orden descendente con relcción o la x, tenemos:

1 1 l_ l_ <1x + '7 tr + II — x + 3 x '1 | 4 x * l + y'7

r " i- 4 * + J x + 2 + 3* 8 R.

1 1Bx= I 10 — x~“

1 1 Bx + 2 2x

112- 3 x I 3x-'

i- 1 2 + 3 * =- 3 x

Al efecluor lo división de 12 enirc 4x= podemos consideiar que 12 tiene *r‘1 o .? ... i i

y tendremos: 12 4x-= 12x + 4x*= 3x - ~ 3x *.

O sea que si en el divisor hoy uno letra que no la hoy co cl dividendo, esa

tetro cporcce en e! cociente con su expórtenle con c( signo cambiado.

EJERCICIO 226 vDividir , ordenando previamente:

1 x * + x ,+2x'1 2 en tre * * - x =+1

TtOftIA OCIOS tXfOMIHTIS • 413

1 Ü . 1 — _ 1

•i. 2 x x 34 x '13x ‘ 2 e n t r e x« x ‘ *+ l . _a * _a_ _ £

0 3»nl 5 + 1 0 m 5 f w 2 en tre 3+ nt *—4rn J .

1 i . 1 2 . 16. a*— lo*+4n *-( i * entre a2- 2 + «

7. 4v i —x 4—7x *+ 0x *7x1 + 2 en tre Ix l x 1 312x.

8. « en tre am~0~c-< ri bml ia - í0-s .

9. n 3 en tre /n ^ + m h r 1— m * n

10. 15iT*19rt+/ií + 17 2 4«t, + IOfl e n tre 3<H2 Sir».

¿ 2 1 2 1 *11. n*b"*—a*lr '|.w *6*3o * entre <?&•*—2+3« -b .

:i _ j_ _ j_ _ j_

12 x •’—x "y + x >y '+2 y : e n t r e \ ' —x~ - y ' l y 1.i _ i JL 2 2 .

13. »/i <>wia+>i» a e n tre TO*+2>n5—ni 3.

I 2_ z. L14. 2x +4 x" "+ 2 —4x J en tre x + 3 x :¡| 2xs.

s i r i i ^10. 4 \ :' I 9x'n': vy en tre x + y.

: « i j i __ íl(j. x‘ 7ax“—3«;ix —íi/r'x* en tr e x*+2«;ixí3«»ix ;‘.

i 1 5 s I 2 . 117. olirí» b - a ' b - e n tre a —th-+a -b.

- — JL 1 213. ni "»*— 11/ti '« 1 entre m *«“f3»i ‘n w J«.

10. X 'y14 + i : ix y 'Hix’y 4 entre x y ' x 2?!■ Sx'y».

- 1 1 2 . 2 2 . . 1 _ 2 130. 3t7a Jb" en tr e 3«*/i + 1 —<i

( Í 7 Í )(378) POTENCIAS DE M ON OM IOS C ON EXPONENTES NEGATIV OS O FRACCIO NARIO S

L a r e g l a es ta b l ec ida a n t e r io r m e n te (344 ) pa r a e le va r u n m ono m io auna po t e nc i a se a p l ic a i gua lm e n te e n e l c as o qu e las l e tr a s de l m onom ioes tén afectadas t ic exponemes negat ivos o f raccionar ios .

Ejemplos 11) (o: = o = o ' 4.

/ 1\ ¿ *

4 * 9 A LG E B RA

EJERCICIO 227

Hallar el valor de:

. (->■ . , ( ¿ y , . u y . ■ , ( ¿ i i y .

A J Y - 8 . ( ¿ ¿ y . „ . W .

3. ( f l * ) • G. ( a " " * ) • 9. (fl-»6->)‘ . 12. ( '¿ m h i " * ) •

9) POTENCIAS DE POLINOMIOS CON EXPONENTES NEGATIV OS Y FRACCIO NARIO S

Ap l i ca rem o s l a s r eg l a s e s tu d i ad as p a ra e l ev a r u n b in o m io a u n a p o -n c ia cu a lq u i e ra y u n p o l in o m io a l cu ad rad o o a l cu b o .a caso s en q u eya e x p o n e n te s neg a tivo s y fraccionarios.

Ejemplos

I< 1 1 D e io i r o l l o r | 3 a ’ * + b * ) 3

( 3 a + b * ) = < 3 o - 1 ) 2 < 3 a - * ) ( . 6 * ) I ( b * ) - 9 o ' i» ' > ; t b ' R .

( 2 ) D c s o i i o l l o r ( x 3 — 4 y ' 3 ) .

4 2= x -' — l ? x 3 y - £ t 48 x* >- * — My A. R.

( 3 1 D e s e n r o ll a r ( o 9 — V I t ) .

C o n v i n i e n d o l o r a í z e n e x p o l í e n l e f r a c c i o n a r i o y o p l i c o n d o l o l ó r m u l a d e l

B i n o m i o d e N e w t o n , te n d r e m o s :

= ( « * ■ ) 5( a 3 ) (b 3 • -1 0 ( ó '8' ) (b 3 1

10 ( o * * i b 3 ) -t-5 (o’ í ) 0 ? ) - ( ¿ )

t i l i I t 1 J «.

= a " *’ - S o 5 b 3 -4- I0o'-b- ICb : , h - + S o :,b - - 6 - R.v

T f O R I A Ot LOS t X C O N C N T I t 4 )5

J . J . . 1<4) Elevor " I cuadrado é - x ^ x *.

Aplicando la reglo del número ( 3 4 7 ) , tenemos:

. i x •

0 - ¿ + r ' y = ( ¿ y + ( - í y + ( K- i y

+ 2 . ( ? ) ( “ £ ) * ( * f ) ( * '« ) + 2 ( — j? I 1 . 1

= x2+ x* + X 3 - 2x - 2x*- 2

= X 2* I 3X2 2 1 < ■ R.

i . . i<5) Elevar al cubo tr1 2 | a 3.

Aplicando lo reglo del número I 348 I , tendremos:

( í ) r + ( , y + ( ; ! y . , y v u . .

+ 3 ( 2 ) ' ( o 3 ) | 3 ( 2 ) ( o '3 ,) 3 Í a o*)

+ 3 ( 0 3 ) ( 2 ) ) 6 ¡ o3 ) ( ? ) ( o “ í

JL 1 JL 1 L *

= 0 8 + 0 1 6o* + 3a3 + 1 2 o * + 1 2 ¿ 3 + 3 o 3 6o 1 •• 122 1 1 2

= a 6 -j- ' + 1 5 0 * - » + 16 -x 3 - r fo 3 a*1. R.

EJERCICIO 228

Desarrollar:

» ( ¡ t ó ) ' .

(«W ) ‘/ i \ 23. \»« 2+2m ) •

( o W n ^ 3)*

B. (tr‘-3¿>") •

,5 (a*+'/7x)J.

( 1) •H

10. ( ^ 3 r ‘>*.

( 1 - ~ V

J l . \ n»*+4n - ) •

12. ( ¿ “ * 3 f c " ) ■

13. ( V x — y y ) * -

1 4 . ( v i ' t ¿ > ' ) ■

10. ( x V O •

17. (VrrñxJ/ M)a.

18. («*2 ' /»»)•.

19. ( x * + 4 j p .

20. (<ri+3rrI+2^.

2 1 . ( x 2 x « + 2 x O

22. (« ";+ 3+ «3) •

23. ( w t 2m*~3wi')

24. ( ¿ “b" T2+ fl - v ¿ y .

2á. ( x 3+x* —1 ) •

2tt. (r i3—2+ fl ' ) •

27. ( t i “+ 2 m" + w» ) •

6 • M .G C O IIA

0) RAICES DE POL INOM IOS CO N EXPONENTES NEGATIV OS O FRACCIO NARIO S

Ejemplo3 _ jl _ J _ l_

Hallar lo roí? cu ad rad o do o —2o4 — 4 + 4o 3 r 4o 1+ o*.

Ordenando el polinomio y aplicando lo mismo regla establecida en el número13631, tendremos:

, , A JL ± .1 \ o 2 o 4 l o I 4o4 4 I 4a ;

3 _ ±2a4 O2 2

2o* o *

_t i4o4 4 I 4 n

J_ l4o' T 4 4a" *

i 1 'o a"4 I 2 o 4

/ 1 2 \ / * \ 2 2 \2 o ¿ o ' J l , o4 ) 2a4 I o,

(i i — — i2o 2o4 i 2o 1) 2o 4 = 4o4 4 I 4a" r.

EJERCICIO 229Hallar la raíz cuadrada de:

1. .v 4 1 I.Tv l íix 1 14 II2X».

'4. w r fll + ü w 3+tíwi!,+ r«

i 2 J.3. 16—ívr4.

Hallar la raiz cúbica de:

1 JL 2.4 . o ; 4r r' 2 f l ] 2 « , + Ütf.

2 2 2 1 2 ,-L5. m u 1—b n 2n ■’+l»—4w *na+»/i '»*.

1 A 2 2C í n ’ l IOr?!>+¡M zii H>.

7- rt :M i o M'l 21«*=— 11« -K i ri n '- ú 4 r t" -H -27 .

1 3 a 28 x2-6* M-iíix * -2D1 ir,x * -«* "

2 A 2 29. ns+3i»4—óflHfta4—1.

81) RAIZ CUADRADA DE UN POLINOMIO CON TERMINOS" FRACCIONARIOS USANDO LA FORMA DE

EXPONENTES NEGATIVOS

Kl ii.mi d e Ir» ex po ne n les negat ivos nos e vi ta te i ter cjite t rab ajar l o i i acc iones a lgebra icas a l ex t rae r una ra íz a po l inomios ion t é rminos f rac-onarios.

TEORIA DE LOS tXPONCHTfJ • ' 1 1 7

, , , -lo2 So 12x 9x:

Hollar laraíz cuadrada de-. - ---------

+ 16------------

r — — .x 7 x a a '

Posando los factores literales He los denominadores o los numeradores camb¡6ndees ol signo a sus exponentes ( 3 7 0 ) , tendremos:

4 a V * - 8ax-‘ + 16- 12o ' x + 9aV .

Ahora extraemosloro<zcuadrado deestepolinomio:

?ox-' - 2 I-na-’x

14o*-' 2 Iv ? Box-> l 4

Uox -' 41 3 a-'x)3 o-> x

12 I2a-’ x 9o‘ *xs.

v 4oV 3 8ox 1 1 16 !2 o - 'x 9 a *V4o2x 2

8ox-‘ + 168ox-‘ - 4

12 I2o ' ' x H 9 o - V — 12+ !2 o -'x 9o V

EJERCICIO 230

Extraer la raíz cuadrada de los polinomios siguientes pasando los íactoti >literales de los dénomiiuuloic* si los numeradores:

a? 2x 1 2*2 x- | 52------ — r .•V :j/i 9 .‘t.v rt*

* * _ « + £ + • « + » X x- X3 X 1

20 20 1

10 257. 9», ‘ + 30,n | f.5 + — -i

ia-h* 'Mb 21 I x y 49* V

4Dx*y= I x y 20 5 n b + 27i'b“

JL 1 2.

rvUNc s v c i j p .

la Re v olu ció n . Fue p r o f c io r d e m - it cm á t ic » e n T u r in . Fue uno do loa p r o cu no r c i do la c o r rie n t e r ig o r is t a on esta d i sc ip l ina . Comenzó la c reac ión s is temá t ica de la te o ría d e lo s g ru po s, ta n imp r e sc in d ib le e n la ma t emá t ic a mo de r a r. D io una de f in i c ión de la» (unciones.

S C A UC H Y < 17 89 -1 85 71 M a tcm á -u v id a e stu vo s ome tid a a lo s azaresnns y con tr a rre vo lu c io nes que p r im a -po . Ueg i tim i s ta convenc ido , no acepta c adem ia pa ra no tene r qu e Jura r an te

C A P I T U L O XXXID I C A L E S

2) RADICAL, en genera l , es toda ra íz ind icada de una cant idad .

S i una r a iz ind icada es exac ta , t enemos una can t idad r ac iona l , y s i nos . i r rac ion al .

As í , V l rz3 cs una cant idad rac ional y >/3a es una cant idad i r rac ional .Las r a íces ind icad as inexa c tas o can t idades i r rac iona les son los r ad ica-

prop iamen te d ichos .

El gra do de u n rad ica l es e l índ ice de la ra íz . As í , VYc cs un rad ica lseg un do g rad o, ’O'Sí» cs u n radica l d e ter ce r grado.

j RADICALES SEMEJANTES son radica les d el m ism o gr ad o y q u e tie

n e n l a m i s m a c a n t i d a d s u b r a d i c a l .Así, 2 V S , f>v i l y i VU son rad ica les sem ejantes ; 2 V 3 y 5 V IS no son

c ja n te s .

I . S I M P L I F I C A C I O N DE R A D IC A L ESR A D IC A L E S * 4 1 9

¡385) SIMPLIFICAR UN RADICAL es reduc i r lo a su más s imple expres ión .Un ra d ic a l e s t á r e d u c id o a s u ma s s imp le e x p ie s ió n c u a n d o l a e mi t í

d a d s u b ra d ic a l es e n te ra y de l m e n o r g ra d o p o s ib le.Pa ra s im p l i f ic a r r a d ic a le s d e b e t e n e rse m u y p re - V n h

s e u te (331) q u e p a ra . e x t ra e r u n a ra l / a u n p ro d u c tose ex t rae d ich a ra iz a cada un o d e sus facto res , o sea, /

Fn la s implif icación de radicales consideraremos los dos casos s igil ¡en tes:

c a s o iCu a n d o l a c a n t id a d s u b ra d ic a l c o n t i e n e Fa c to re s c u y o e x p o n e n te e s

d iv is ib le por e l índ ice .

Ejemplos I l ) Simplifica! v*9o3.

9 c > ^ v '3 " . o - \ o - v y y " o * v " ¿ = 3 o ' - T R.

(2 ) Simplif icar 2V 75x4y6.

2 ' / 7 5 ¿ V - 2 V 3 .5 *.x *.y «.y = 2> 5 * .v x * > ' y * > 3y

- 2 .5 ,x *.y 3> r 3y= lOx-'y*v ' R-

En lopráctica no>o indican losraicé*, sino que unovez oiK-Qlnrlos losfoclo iide la canlidodsubiodicol,oqwcllos cuyo exponwrio sen div ií ibo por olindico,

so socan de l ludical dividiendo so oxponcnle po r e l indico.

( 3 ) Simplificar j V 47x3yr .

l \ 49S¡V = ^ ^ . x ^ . x . y 0. / = i X 7xysv xy = V / « y . R.

(4 ) Simpli licar As/250a*¿®.

4v 2 3 0 c r * b * = 4.5ob*'ír 2bil = 70nlr' 3 ? . R.

l 5 ) Simplificar -' t '0?mrr\

5 " 3áSñ*= ■ ' ' ? . 2mn" ~ ? X 2*>»x“ 2m = 3r>' v‘ 2m. R.( 6 | Simplificar V i o * — 8a3b.

4a‘ - 8o"b = ' 4a®|o — 2b )m v ’2Úo2.o( o - 2b ] s O é v o - ~ 2ub . R.

<7 ) Simpli ficor V 3x3— 12x+1 2 .

3 x J - 12x H -1 2 = v ' 3 ( x * — 4 x + 4 ) = | x - 2 ) * w ( J t - 2 > V 5 T R.

EJERCIC IO 231

Simplificar:

I V 18. 3 S/Tfj. 3. 2 '/ 2 Í 3 . 7. 3 V 8 Íx $y1. 0. IV lSftw m *‘ J 3v^1B. 4. j y ü í l i . fí‘ V50n*b. H. í . V 10 2 « v 'I ln , f»T.

0 • A I G Í B K A

. 2 N n 6 * y . 37. 2xy</ I28x),K. 22.

. j s ) 27»h -« k. 18. ¿ V 2 7 ¿ “ m ’ . 2Ü

. ba-V i60xT s » .

19. - ■ y 375a»b.

. r.« 2¡>.

. S^Sx^MCM. 20. 7 ^ 8 1 0 * 6 .3 26.

G. J ^ 3 2 * y » . 21 V 9a+18b. 27.

f8) Simplificar

v ' 8 x V l l G * y J .

V 2xt—4xy+2yií.

V {a—b){ai—bx).

V Í/ im 4J+4a ni u~"¿a n-.

’ /9¿»36rt1+86«.

Cuando lo conlidod subrodicnl os uno fracción y cl denominador es ¡nacio-nal hay que multiplicar amboi términos de la fracción por la cantidad nneesn

rio po/o quo ol denominador tonga raiz exacta. Así,f l f l . 2 , 6 I . r —

V 3 ~ v 3.3 3*; " 3 ’ ’ R‘

19) Simplificar 2 y/ • — .V 8xa

/ 9 ¿ ?

2 V 8xr ' 2 \ 2a .x»

EJERCICIO 232Simplificar:

= 2 V/ y . ^ . S . X 2.3 a 11

2*.x° ” 4x* V ?X“R.

4. 3 x /

1•>6. x / ~

LO.V t

11. r , / T

V ?14.

12. . / r

V 9 x ’

V 24x*CASO II

Cu an d o lo s f ac i e re s d e l a can t id ad su b rad i ca l y c l í n d i ce t i en en u nv i so r co m ú n .

E jem píos( 1) Simplificor 'i /4 tr f.

, *2 i 1V,4d* = s 2=.o* 2*.a* 2a.o s - P

Lo que so nace, predicamento, es dividir cl índico y los exponentos cíe Jos fac-

tores por su divisor común 2.(2) Simplificar <' 9t?xK

2 2 2 1 2 *

v 9 o V = v '3 s . oV = 3°. o ':. xu = 3 \ <r>. x* = Y ' R.

L h h h á ti t di idi l i di 6 l t d

H AD iC Ain • 4 2 1

13) Simplificar V27 x3y*.

“/ 2 7 ' ; v = ” /y ~ ? ;y« = r .

Hemos dividido el índice 15 y los exponedles do los (adoros poi 3.

0» EJERCIC IO 23 3

Simplificar:

y y. 4. ’íT S . 7. 5 '5 r 53«a&r. 10 V" 64in*n*"".

2 - y i . D. 3 v'cT . 8. ’&r B Í x y . 11.. ^ 3 4 3 í* x « .

3. y 27. íi. '6/ 25fl55 3. 9. \ / 3 2xIO)il i . 12.

II . INTRO DU CCION DE CANT IDADESBAJO EL SIGNO RADICAL

386! l is ta operación cs inversa a la .s implif icación de radicales .

Pa ra in t roduc i r e l coe f ic ien te de un rad ica l ba jo e l s igno rad ica l s re leva d icho coe f ic ien te a l a po tenc ia que ind ique e l índ ice dp i rad iad .

E j e m p l o s II ** * Introducir o! codicíente de 2 \ / a baio ol signo ladical

; v o = v 'T* ' o — v 'TIT. R.

Cuondo el coeficiente de un rodicol os 1 el radical os cafeto. Asi, v T ó cuun radicol entero.

121 Hacor entero el radical .'ío='i-'trb.

3n nT o =¿ z ^ o l V b rrx./lTTCb; R.

f \ + a

,t V F i = x f ' - ' 4 1 1 * °* V I r Z 7 )ñ + o ) = V T ^ r \ I —a v 1 —a

EJERCICIO 234

Hacer enteros los radicales:

I 2VTf. 4. i v a . 7 a W t f f l b . 10.a V

2. 3 v /5 . 5. 3a ' /2a* . 8. 4»j'í/ 2>ñ*. 11.

3 SaV'/Á C. f i jt y v 's . 0 2(i 12. ( x l ) y / i ' ::

• A I M B R A

) Es ta o pe rac ió n t i e n e p or ob je to co n v e n i r rad ica les de d i s t in to índ iceen rad ica les eq u iva len tes qu e teng an c l m ismo índ ice . P ara e l lo , se

ca la s iguiente:REGLA

Se h a l l a e l m .c . m . d e lo s ín d ices, q u e s e rá e l í n d i ce co m ú n , y se e lev aa c a n t i d a d s u b r a d i c a l a l a p o t e n c i a q u e r e s u l t a d e d i v i d i r e l í n d i c e

m ú n en t re e l í n d i ce d e su r ad i ca l .

R E D U C C I O N DE R A D IC A L E S A L M I N I M O C O M U N I N D I CE

Ejemplos<’ > Reducir ni mínimo común índice v^3 , Y S , ' í / 2.

El m. c.m.de los Índices2,3 y A es 12. Este es el índi

cecomún. Tendremos: y /3 = Vi® = v7?2"

< '5 = \ ' r Si = ' :>/ 625

Y Í = 'Y 2 * = v ~ 8 R.

Dividimos el índice común 12 entre el índice de \H i que es 2, nos do decociente 6 yelevemos lo conlidod subradical 3o lo sextopotencio;dividimos12-í-3= 4 y elevamos la cantidad subradical5 o lo cuartopotencia; divi-

diinos 12-1-4 — 3 y elevamos la cantidad subradical2olcubo.Los radicalesobtenidos son txji/ ivaíenfes a losradicales dados. En efecto:Expresando los radicales con exponentes fraccionarios y reduciendo estos exponentos fraccionarios ol mínimo común denominador, tenemos:

s /3 -= 32= 315= V ‘3r = ‘Y 7W

s / 5 = é ~ & = V S* = V625* ^ »» __ i:

Y 2 = 7* - 2 ’ v/?3 = v / 8

<7.) Reducira l mín imo común índice V 7o, Y 3o¿h y ^ IScdx* .

El m.c.m. de losÍndices 2, 3 y 6 es 6. Dividiendo 6 entre cada índice, tendremos:

Y t o = = * '8 ü :l

</ÍaH> = < / ( & 5b Í5 = ? /W<ba

• y T 5 ^ = C 1 5 a V R.

EJERCICIO 23 5

Reduci r ni m ínim o com ún índice:Y2. 5- V&x,YJx f, </W. 0- Yaá, ViilP. V'7x*.

Yz. o. O l í »Yi YW 7 YtoW Yw r* 11• ‘ * * * * »

H A O I C A L E 1 • 4 2 3

; '388¡ Lo anterior nos permite conocer las magnitudes relat ivas <le varios ra

— d ica les <lc d is tin to índice.

Ejemplo Ordenar -VT, v ' 3 y en ordendecreciente do mogniludot

los reducimos ál mínimo común índice y una vez hecho osto-los magniludes reíalivos de las eantidodes subradicalcs nos dan los magnitudes rolotivas de los tadicalcs: „ „ ___

< / 7 - \ r7l = v 343

V 5 = V 3 fl = v729

v i - V 5 7 = v '¿2S

luego el orden decrecientede magnitudes es VíF,^ 5 yV 7 .

EJERCICIO 236

Esrribij en orden decreciente «le magnitudes:

1. VT>. ❖ '2. 3 . \ / l í , < /43. 5 . V 7 , \VT. vT 5 .

2. W ) . ' i '7. 1. \ / 3 , \>^5. <>'32. 6. \,./ 2, V 3 , W .

(389) REDU CCION DE R ADICALES SEMEJANTES

Los radicales semejantes , o .«a los radicales del mismo grado que tu-nen igua l can t idad subrad ica l , s e reducen como té rminos s eme jan te s queson, ha l lando la suma a lgebra ica de los coef ic ientes y poniendo es ta sumacomo coe f ic ien te de l a pa r t e rad ica l común .

Ejemplos

t i » 3 V 2 5 ' /r2 = ( 3 + S |v " 2 = f B v X ! R.

a ) 9v 3 n v 3 1 9 11 >v '3 = 2 ¡ y 3 . R.(3 I 4' 2 7V 2 ! v 2 = ( 4 7 | 1 > V T = 2 v 2. R.

(4 ) v > V 7= ( 2-1 V 7 = ~ ± y r .) r.

(5 ) 7.' 2 V 2 * ^ 2= 4V ~2 , r.

(G) 3o S W 61 ( 2 f c 3 a > . .' 5 = ( 3 a 6 + 2 b 3 a ) \ / 5 = í > ( . ‘5.; R.

EJERCICIO 237

Reducir:1. 7 v 2 - 1 5 V i!. 4. V 2 - 0 V 2 + 3 0 V 2 —10 V 2 .2 . I V 3 - 2 0 V 3 + 1 9 V 3 . fi. 3 V 2 - I V 2 .3. V 5 2 2 V 5 H V S ' . fi. J V 3 V 3 .

O A LG UIR A

11. (x I ) v3 + ( x :} ) v '.M l V á .12. WS.

13. 3 ^ 2

14. x V « fl—(«—2 x )'Va--| ■(2ff—3* j 'i'a*.

7. 2VS—%V5+} y/o.8. 1V S + 5 V 3 j \ / 3 .9. a VT>—3aVl>+ 7r? Vó

10. 3x V y+ ( « * )V y - 2 x V y .

ERACIONES CON RADICALES

SU M A Y RESTA DE RADICALES

1 REGLA

Se s impl i f ican los rad ica les dados ; se reducen los rad ica les semejan tescon t inu ac ión se esc r iben los rad icales no sem ejan tes con su pro pio s igno .

( I ) S implificar 2V lSO + 9V i 2 7V i d - 3V98.Simplificando, tendremos:

2V 450- 2 V 23 *3 * - 30V 2

9 V j2 ~ = 9V ^ 3 - 18V I

7V 48 = 7 V 2 1.3= 28V 3

3 V 9 8 = 3 V ’2.7*’ —21 V ¿Entonces:

2 v '450+ 9 V \2 7 v '48 3 v 98 = 30 V 2 I 18 V 3 2 8 V 3 2 I V 2

(30 211V ? r 118 2 8 1V 3 = 9 V T - 10 v X R.

(2 ) S implificar JV 80— j V ¿ 3 — ^V 180.

Entonces:

7V 80 = j V 2 t .5 = - t x i V 5 = V 5

l-V~6Z Í X 3 V 7 = | V 7

j¡ VTao = ¿ V2.3 .5= l X Ó V 5 = | V s

¿vio • jVS jViao-V5- V7-| \ / "5

« d í j V T ¿ v 7 ^ v s i v r . R.2 :i

<3 I Simplificar V j — n /^ + \ / i3 í 13

Hoy que njcioflc lizar los denominodores:

7 / 3 1 i—

Entonces:

V 'i v i V V S . R.3 6 J * 3 G <1 - ‘i

( 4 ) Simplificar 2V ^ c b 2+ Vr Í8mi— |o 2 b |n/ 2a.

2' /2 a b - - 2bv ' 2o

\A 8 ü a= 3aV 2oE n t o n c e s :

2 \ 2rrb: v 18o1 | o I 2b (v 2a = 2b V 2a r 3a V 2o —i o + 26) V 2a

= 12b + 3o o 2fo | \Í2 o = 2o(\ 7o j R.

RAD ICAUS • 4 2 5

Radicales no semo¡ontcs no so pueden rcdi/cir. Para sumar radicales no tomo¡antes, simplemente se formo con ellos una expresión algebroico que los

contengo a toóos sin alterarles los signos. Así, la suma d e V 2 —2 V 3 y 3 v í>es V T 2 V T I 3V 5 .

EJERCICIO 238

Simplificar:

\ /Z 5 ~ \ /2 7 v ' I / ñ / T f x , y-K s / í t í T j . v / Ó E Í _ s / ñ i f _ o v / 5 l í J ’ V 5 V o V so V 1v l 7 5 + V24Ü ’/S S V l S .

VSO 2 v/2Ü2 + 3 - 3 N^Óñ. 10. i V T T x / t 5 V n + 3 V / .’ '

7 v/ 1ó(¡ I v S ) I 3 v Ü 5 s/SOO. 11.

i ^ ¿ V I 5 + 0 V ® + J V 7 2 . ^ «

i v u í l ^ + J v ^ t + i v j t s . JJ, v « á Í » v B r s n s s > .

' V H 7 - - \ / 7 0 0 + - V ^ 8 4 - ¿ y ^ Í 8 7. 14. 2 ' / m s« \ / § » t 4M+ '/i ü rr w r .......

* /3.10 1 15. « v/ 3 m 7 Vr$ í5x: ( « ! /# ) >/7>«

V I " V T ^ V ? 16. ’/D * 9 + V 4x •! 5 « /x 1

17. 2vV.vl3rt 'y e W 9 x + 27y+V2&a'x+7éa*y .

16. 3 « v ^ ^ ' / 4 5 T 3 + <fl + 3 > \ / ~

lfl. ( n b ) x / g { « + t ) V ^ : + ( 2 « 2 ¿ t ) \ / 5

( I Sim plifi car 3 + ~ ^ 6 2 5 + J 1 7 1 5 4 4 / 32.

Simplif icando:3 yiO S 3 ^ ’2 .3 a = 9 ' y i

4 V T B 4 UTO* 8 ' 'T

2 6 • A L G I B R A

Entonce?:

3 y ÍOG I ¿ í ; 625 \ ■'1715 4 - '3 2= 9 ^ 4 i \ <^5 4-y S- 8^ 4

= y ¿ i y; ^ i R.

16) Simplifico* V i - V J + V J

Hoy que racionalizar lo: denominadores:

y ? = y l = y ? = - ^

Entóneos:

<■'] - < / \ < ■ £ = 1 * 6 - ; V Z + i y i 2 = ‘ V Z -1- j y i í R.

4 EJER CICIO 2 3 9

Simplificar:1 ^ 2 4 ^ 1 5 : 8. ^ 2 + 1 V | .

i 'O T o ^ t y t ó r i . 4 _ ' r -

3 o 4 y ü 4 c y i r » + y 2 m 0

s 3 y 3 G 4 5 2 y :M + \ y r ? i r>.

í 3 y 37o+ y V¡8(! 4 2 yiíTFt.

K - ± # 5 f + T * m - { i r m . u J y w + ^ ^ i + T ^ T 2 0 ^

)25 | y 1 0 2 + ¿ s ^ V I i í * y io 3 6 . 12. 3 ^ 2 4 4 y 8 Í y ^ 3 7 5 ‘.

13. 4 y ^ 3 2 0 i o y ^ n i 2 < ^ 5 ;f i s y ^ i m

14. 3 < / W - b y í 2 8 + ( 4 b - 3fl) y 2.

1¡>. « y 2 5 ñ ? í ® 1 5 </2añ> ± 3 b * s á .

I . M UL TIPLICA CION DE RADICALES

91) M UL TIPLICA CIO N DE RADICALES DEL M ISM O INDICEREGLA

Se mul t ip l ican los coef ic ien tes en t r e s i y l a s can t idades sub iad ica lesn t r e s i , c o loc a ndo e s t e ú l t im o p r oduc to ba jo e l s i gno r a d i c a l c om ún y s eimpl i f ica e l r esu l tado

Vamos a p ro b a r q u e a O'm x b O 'x ~ a b V m x .

i i i i iEn c ie rt o : «<••'«» X h V x = t»w <i>\"a b m ' x " — ab(m x)* — ab v <<w

r a d i c a i u • 4 2 7

Ejemplos(1 ) Multiplicar 2 v T íT por 3 V 10.

2 V T £ X 3 v l ü 2 X 3 V 15 x 10 6 V T S J= 6 Vr?.3.5 30 VZ. R.

<) Multiplicar 4 por ^ ~i 6.

\ i í i x \ v z = \ x \ v & = \ i ñ < ^ = m r.

m - EJERCICIO 2 40

' / T T x vl>. o. x V ü a x i V S . 11. ü i ^ X j O T S x 1^20.

5 >/2I x 2 >/¡T. 7. 5 v T S x 3 V r7S. y¿ „ y T x l / T

i . / l T x i x / S T . 8. * .

-002 x ’O'y. o. 3 v ^ x \ A r r x 2 V T n 7 . 13‘

i ’O O B x 1 2 ^ 5 5 . 10. ¿ v ^ i x ^ v T 2 x f ^ 2 . 14. i ^ / J L x 6 x / i ;

(392) MULTIPLICACION DE RADICALES COMPUESTOSE l p roduc t o de un r a d i c a l c ompue s t o po r uno s i mp l e s e I t a l i a c omo

e l p r o d u c t o d e u n p o l in o m i o p o r u n m o n o m i o , y c l p r o d u c t o d e d o s r a d i -ca les compues tos se I t a l i a como e l p roduc to de dos po l inomios .

Ejemplos (1* M«di¡pl¡cor 3 V X 2 por V 7 .

h (3 V x — 2 ] V"x = 3 V I ? —2 y / x = 3x —2 V T . R.

12) Multiplicar 3 v 2 —5 V U por 4 V 2 + V 3.3 V 7 5x^34^ / 2 + Vr3

12v '2 í 2 0 ' / 6+ 3 n/TT— 5 v |r3

2 4 1 7 V T 1 5 = 9 1 7 v 6 R.

(3 ) Multiplicar v/ x + I I2 V x por 3 V x + I — V x.

V x T T + 2 V x3 V * j FT — V x

3 v T T + n 5 + 6 vGí’ + T

8 mA L c m i t A

EJERCICIO 241

Multiplicar:

VÜ jk « VU.

+ S V J p or ' ¿ Y í .

+ V 6 — 5 V 2 p o r 4 V Í 5 .

v U por V 2 + 2 v U .

5x75 jku 2 Y o + ‘¿ Y z -

—2x75 po r 5x73 + 4x77.

2 \ 7 j r p o r 3 Y a + Y x .

1 I V 7 p or ÓVÍT 8 V 7.

V 5 • V 5 po r V 2 —x73.

10. \ 7 2 - 3 x /3 + \7 5 j io r Y ¿ - i 2 x 7 3 - V 5 -

11 • ' ¿ Y S - VG + Y o ¡)io V 3 + x/¡> + 3YS.

12. x /S + V e + T JK>r Y á + 2 Y a I.

13. 2Ya— '¿Ya— b \»>r '¿Y a+Y á— B.

14. V I — x *+ x p o r 2x+ Y 1 - x2]

35. V a -I-1 l V a - 1 p o r V « + I- 2V «— 1.

36. 2 \ / x 12—2 por V x + 2 —3

17. 3V o —2V7T+X por 2 V a l 3 yfo-Fx.

18 V a + x —Va —x po r V r T+x 2v a x.

3) MULTIPLICACION OE RADICALES DE DISTINTO INDICEREGLA

Se r e du c e n lo s r a d ic a le s a l m ín im o c o m ún índ ic e y se m u l tip li c a nm o r a d ic a le s de l m ism o índ ic e .

EjemploMultiplicar 5 V í a por YAaub.

Reduciendo los radicales al mínimo común indine (3 8 7 1 , tendremos.

5 V ’í a = 5 Y [ 7 o )* = $ Y & ?Y 4nb = V(4cr7>) V

Entonces 5 4 < '.RÚb = S Y tkr1X Y J é ó W 5 V 7?3oTb",

5 ’v 'FTíTa0.a .b- = IUn ^5c;b V..

EJERCICIO 24 2

Multiplicar:

Y & P . &•

x 1 V ^ ñ 1.

Y ü i ^ .

W x 2 Y W b . 7. \ / ^ x Y ¡ e .

Y S & y x V 120X. K.r '

6. f 'j74»nX^V3(i>ni'i

8. v 2x x ’

;V ! = < 7 \ '/ S

10. . j x / ^ . í ; / ‘ x VV.-13

I. DIVISION DE RADICALES

94) DIVISION DE RADICALES DEL MISMO INDICEREGLASe div ide n los coef ic ientes en tre s i y las can t idad es s t ibrud ¡ ra les entre

d K/ m V a m o s a p r o b a r q u e + b < fx — — A f — ■

írtOicAtrs * 4 2 9

E n e le c to : E l c oc i e n te m u l t i p l ic a d o po r e l d iv i so r re p r od uc e el d i-

v ide ndo :« " / w a b * / " m x

~ X . b 0 x = — | / = a f f »x

Ejemplo

7 81 x7 3 $ ? = £

Dividir 2 ' i / 8 Í x T e n tr e 3 V 3 x “.

'8ÍÍ73 x 7 = J ^ 7 ? = j V 3 ’ .xs.x = ? x x : . R.

E J E R C I C I O 2 4 3

Dividir:

1 4V'6V2'/3T

?.. 2 \ ^ñ P lOVJ ? .

3. i v ' í f c y í f V x .

4. '/7 5 x !yí T5v/3xy.

r>. 3VTG¡Tí :4VTÍñi .

‘ i V B v í

7. 4x v'(J3x 1i2\/ níx t .

8.t su

9. L J / L + L J / 1 . a V 2 c V i

3 9 5 ) D I V I S I O N D E R A D I C A L E S D E D I S T I N T O I N D I C E

Se reducen los radicales al mínimo común índice y se dividen comoradicales del mismo índice.

EjemploDividir V a ? entre \v2o.

= V1 4o ")*= V r25SoH

V 7a = V ( 3 n J* = v '8 o r

. u. ►», ___ ii /256o**" M. — Entonces:y 4o- 2o= v2 56 os-f-V 8 o a= -v / — = A 37o. R.

V fio’

E J E R C I C I O 2 4 4

Dividir:

i y '2 + V21

2. VOx * Viix7.3 t f W b +

4. i y z x + i ^ T g F .

B. V ü m o i r Vm®»?.

fi V lS P y 1? ¡ V Sx’p z 5.7 . v /3mT+V27mT

3 0 • A LG EB R A

V PO TE NC IAC ION DE RADICALES

96 REGLA

P a ra e le va r u n r a d i c a l a u n a p o t e nc i a se ele va a d i c ha po t e nc i a e l coe -ic ien te y l a can t idad subrad ica l , y se s impl i f i ca e l resu l t ado .

V a m o s a p r o b a r q u e {aO/b)a = a"V~ b"‘.

t "E n efecto: l> *'£)«" = {*!>")" «Wi* = n™0 r b "

Ejemplos11) Elevar 5v T y 4v,,r3 ol cuadrado.

(5 '/ 2 i • = S2. '/ ? 2 = 25.2 — 50. R.

(.1V 3 i = 4~ .\ '3¡ - 16.3 48. R.Obsérvete que la raiz cuadrada y el exponento 2 sede ttruven.

( ’.’l Elevar i / A / ni cubo.

w / 3 ? i:i= v \ Ax* ? = y s * » y o » . » .x» ^ 7' 7*. r .

(3 ) Elevar a l cuadrado y/~S— 3V 2 .

Se desarrolla como el cuadrado de un binomio:

' .V 5 3 V 2 . ' = ( V Z )z - 2 v T x 3 y ? + ( 3 y 2 y-

= 5 - 6 \ A 1 0 + 1 8 = 2 3 - 6 V 1 C r .

EJERCICIO 245

Desarrollar:

1. (4V2>*.2. (2 y 3 )5.3. ( o y í ) 3.

Elevar al cuadrado:

13. W - s / 3 .

14 4 V 2 + vTf.15. V Z - ' / T .

4. {2-VT.f. 7- (ySla& V. 10- (2 Vx +Í)2-6. (SO f t í Pby . 8. ( y ib ) 3. 11 (3V x= S)6 (y si* )3. 3. (. |ffv ^ 5 )s . 12 (4 ^ W l P y .

16. 5 V T - 6 .

17. V x + V T = T .

18. V x I1 —4 Vx".

19 v 'á + 1 —V7T— 1.20. 2 s / Í Z x ' n + y f iB R 1.

V. R A D IC A C IO N DE RAD ICALES

97 ) REGLA

P a ra e x t r a e r una r a í z a un r a d i c a l s e mu l t i p l i c a e l í nd i c e de l r a d i c a l

o r e l ín d ic e d e la ra iz y se s im p lif ic a e l resu ltad o .

m / á mn

V am o s a p r o b a r q u e v y /o = vra,

III /ll III / * J Oh

HAO lC A LtS • 4 3 |

E jem plos ^ f l I Ho lla r la ra i l cuadrada doV ia* ' .

V V 4o* = V éa 2 V 2.o5 = s' 2n. R.

m - EJERCICIO 24Ó

Simplificar:

V W . 4. W t o . 7. 10.2. v v t 5. W f ó 7. 8. 11.

3 . «. V 2 V 2 . 9. \ / : j V 3 . 12.VI. RACIONALIZACION

<21 Ha lluf lara¡7 cúbicode 5V 5.Camaelcoeficiente5ivatieneraiz cúbica exacta lointroducimos bajo el siqno«fe la raíz evodrada y tendremos:

V S ' - 5 ~ V V 5 *7 5 = W = '• S. R.

V v ( f l +

( ^ R A C I O N A L I Z A R EL D E NO M IN A DO R DE U N A FR A CC IO N e s c o n -ve r t ir un a f racc ión cuyo de no m ina do r sea i rr ac iona l en u n a f r acc ión

e qu iva l e n t e c uyo de n om ina do r se a r a c iona l.Cuando se r ac iona l iza e l denominador i r r ac iona l de una f r acc ión , des

a pa r e c e i odo s igno r a d i c a l de l de nom ina dor .Consideraremos dos casos :

(399) CASO I

Ra c iona l i z a r e l de nom ina dor de una f r a c c ión c ua ndo e l de nom ina do!es monomio .

Se m ult ipl ic an los «los térm ino s de la f racción |>or e l ra d ia d , de l mis-mo índ ice que e l denominador , que mul t ip l icado j to r «S i te dé como produc-to una cant idad racional .

Ejemplos f 1 I Rocionatizor el denominador de — — .V í x

Multiplicamosombostérminos de la fracción par V 5 x y tenemos:

3 3 '■ 2x 3 v’ 2x 3 V2* 3

V J X - 2x. v 2* \ 2 -.x " 2x ?<

V 2 x. R.

12 I Rocionolizor el denominador de .

V 9aEl denominadorV 9 o — V 3 ^ .o . Pora que en el denominadorquedo uno roizexacto hayque multiplicar V ¿P .o por V 3u* ypara que lo fracciónno varíesomulliplica lombiénol numerodor porV ío 2. Tendremos:

2 2 i /3a,J 2 -i 3a’ 2 \v 3a* i

<3• Koucriolizor el denominador do

3 2 « ALCUí l lA

So multiplican ambos términos por 'J/ 2*7x* porgue esla cantidad multiplicada

per •ó'2xs, do una raíz exucta y tenemos:- «rzr * aT «•

^ 5 r * R.

3 ^ 2 ^

5 sy"2».x* 5 ^ _ 5 j¿ 8x* _ 5

3 ~ 3^ 2 x = .v'2 -V 3• é 'K x1 3 .2 .x é>

Racionalizar el denominador de:

3. _ 2 _ . 3 4 = . 7. 5 . 9. = V 11 5" =4 v'i» xv'7ñ2 'J' ífñ ' i ' i ’íx 2 '.W tnn

3 0. ' 8. - 4 = . 10. - 4 = . 19. 1 Vr2a5F ’&'líx :l>/3x ❖ '8<rJ í>i?'/2.r>xs

0 0 E X P R E S IO N E S C O N J U G A D A S

Dos e xpr e s ione s que c on t i e ne n r a d ic a le s de 2o . g r a do c om o V a í i>

y v<? V b o n \H> y « —v/U . q ue d i f ie ren so lam ente en e l s igno q ueune sus t é r m inos , s e d i c e que son c on juga da s .

Así , la conjug ada d e 3 V'2 - v'7> es 3 V”3 l V ñ; la co n ju g ad a «le 4 3 V s

s 1 3 V a .El | >:<k !u <lo il< «los ex pr esio n es co n ju g ad as es rac io n al. Así,

3 \ 2 \ ó: : 3 v ' 2 + v 5) = (3 \ 2 i v 5 Í = 18 5 13.

401) C A S O I I

R a c iona l iz a r e l dc n ou t ii ta do r de un a f ra c c ión c ua n do e l de nom i na dó l-

s un b inom io qu e c o n t i e ne ra d ic a le s de se gund o g r a do .

Se Mit i l t ipücan ambos té rminos de la f racc ión por la conjugada de lde no m ina do r y se s im pl i fica e l resu l tado .

Ejemplos 4 _ v y11) Racionalizar el denominodor do

2 + 5 \ / 2

Multiplicando ambos terminesde la fracción par 2— 5v/ 2 tenemos:

A - v T _ 14 — V * 2 l(2 — S * ^ 2 ) 8— 22 v 2+ 10_ 16— 22 v'2

2+■5vr 2 "" (2 + 5 ^ ' 2 ! ! 2 5 ? ) ~ 2 —Í5 ^ 2 ? 4 5 0

18 —2?x y2 . 4 9 1 1 ^ 7 11 y V 9

t f = | i M , 1 b “ = " • *

Comoel denominador — 23 ero negativo le cambiarnos el signo ol numerador y ol denominador de la fracción. Tombicn podio haberse cambiado el

R A O l C A tU • 4 3 3

( 2< Racionolizor cl denominodor déV T + 2 v 7

4 V 5 —3 v T

Multiplicando omboi Icmiiii&S por lo conjugado del denominador, leñamos

y l r + 2 v '7 I v ^5 + 2 ^ 7 1 U V Í + 9 > _ '¡20 + 10 V 3 5 4 42

4 ^ 5 3 • 7 ~ l 3 V 7 ) 1 . 4V^5 I 3 '•'7 1 ~ I 4 V T F 13 v T ) :

6 2 + 11 V l 5 62 r llV 'is

13063 17E J E R C I C I O 2 4 8

Racionalizar cl denominador de:

: i v ' 27.

3 V 2 10 V a I V x

1 4 v ' T 7 V 2 ( i s /1 ? 'JOi

2 V « 4 V x '

ó 4 2 V H

l > / 3 3 \ / 7

v ' x V x : 1

1 V':J 2 v ^ í 1 3 v i 1 *1. V 3 ? 4 V x 1

V '2 - V 5

v U 4 v T9.

á \^2 (i Vi?

4 V'S :? v^í15.

V ñ — V a 4 1

Vrt 4 Vfl * 1

v r7’ 4 2 V »

\ 7 7 v ' fi10.

V 7 1 3 v T l

5 ' / ? 1 1 V i l1G.

v 'x 42 + V'S

V v T 2 V ? '

v T 3 V Z 11.

V 5 4 V 217.

V a i 4 V o

2 V T 4 v 5 7 4 2 v'To v u 4 4 4 V u

19 12. 9 v ' J —3 v1¿ 18. v ' + í í '5 v ^ 4 e s / B " V n + M - V a - h

0 . — _ _

indica en e l s iguiente

Ejemplo . , V T —\A¡>Kc dorio tizar el deno min ador de

V 2 4 - v ? - \ Í 6

Consideremos el denorninudor como un binomio { V 2+ V!») — v /6. So mullíplicon los dos términos de lo fracción por lo conjugada de esto expresión <|uc

f v 'T + s /3 )4-V T y tendeemos:

v 2 - v 5 I v 2 - v 5 H v 2 4- V T + v 6 •

v ^ + v 5 _ v ¿ ~ ( v y + V'S v 6 11 i '•'Vi v 6 I

2 ' 3 - v 3 0 - 3 2 ' 3 - v 3 0 - 3

_ i V 2 + V 5 ; . _ ¡ \ ~ J f : ~ | + 2 v T o

( multiplicondoambos lérininosnuevamente por la coniogada del denominador|

2 3 - v 3 0 — 3 1 < l 2 , 1 0 ) 2 2 ' 3 — S '• 3 0 — 3 4 - 6 1 0

I 2 1 ( 1 I I | I — 4 0

7 2 3 — 5 v 3 0 — 3 + 6 ^ 1 0 3 - 6 -1 0 4 - 5 ' 3 0 - 2 2 ' 3

3? 37R.

• AIC.FPKA

EJERCICIO 24 9

Racional izar e l denominador de:

V 2 + V il V7>'V 2

V H + a / Ü + V T ; '

2 V : i

2 + V 3 t V T fV 3 + V¿»

v~¡¿ + v’i i + vr i)

V ^ G j - v ^ i V 2

V ü + V » y fV 2 v : >

V 2 + V"5’ V 10

)D IV I S IO N DE R AD IC A LE S CUANDO EL D IV IS OR

ES COM PUESTO

Cuando e l d iv i sor es compues to , l a d iv i s ión de rad ica les se e fec túa ex-sando e l coc ien te en forma de f race ión y r a c io n a l iz a n d o e l d e n o m i n a d o r

es ta f racción.

E jem p lo Dividir V í i -V 5 cnlre 2vT3— V ? .

I •• 5 + N 5)^ 12 '• 3 — v 5 ) ' ■ 12 v 3 V 5

( \ 3 + V *5)(9 v T + v T l II 13 V IS

“ 1 2 v ' 3 - v 5 ) 1 2 v ' 3 V 5 ~ ) “ 7 R '

EJERCICIO 2 5 0Dividir:

V ? entre V"2 + Vil . 5.V 3 e n t re V $ 2 V Ó . 0.

2 + Vl> entre 1 —V 5 7.

VÜ’ 4 Vl> en tre V 2 — V fí. 8

2 ’/ i í V T e n tre V' 3 + V ? .

v ’(J —2 v ’5 en tre 2 V 8 — V •*».

V 2 + 3 V '3 en t re 3 V 2 I V 3.

V '7 2 V i l e n tr e 2 v ' 7 V i l .

SOLUC ION DE ECUAC IO NES C ON RAD IC ALES

E SE REDUCEN A PR IMER GRADO

! Vam os a e s tud ia r la reso luc ión de ecuac iones en las cua les l a incóg-ni ta aparece ba jo e l s igno rad ica l .

Ejemplos “ |1 ) Resolver la ecuación V 4x~ — 15 —2x — —1.

Aislando el rcdical V 4x2 — 15 —?x — 1

Elevando o> cuadrado ambosmiembros pnro eliminar al radical:

V Í 4 x a - 1 5 ) í = (2x- 1)• o sea 4xs- 15= 4x*- 4*+ 1.

Suprimiendo 4* : cm ambos miembros:

- I 5 = - 4 x I 14x ~ 16

E C U A C I O N E S O t F P . I M C K C H A O O C O H RADICALES 0 ' 4 3 5

(2 ) Resolver la ecuación v ' x + í + V x — 1= 5.

Aislando un i o ó í c o I: V x + 4 í> V x

Elevando al cuadiado: | V x + 4 )'• = (5 — V x — í |"

o sea * + 4 = 5* — 2 X 5 V x — 1 f V f*

Efectuando: x r 4 = 25 — 10 V x — 1+ x I

Aislando el radical: x + 4 — 25 —x I I — 10 V x —T

Reduciendo: — 20 = — 10 V ' ' x — I

20 = 10 V x í

Dividiendo por 10.' 2 = V x —I

Elevando al cuadrado: 4 = x — 1

x = S . R.

= TJ»

(3 ) Resolver la ecuación V x + 7 + V x — 1 — 2 v ’ x 4 2 = 0.

Aislando un radicol: V x + 7 + V x I = 2 V x + 2

Elevando al cuadrodo: V {x + 7 )* H 2 ( V x I 7) ( V x — 1) + V ( x — I ) <41•

Efecluondo:

Aislondo ol radical:

Reduciendo:

Dividiendo por 2:

Elevando ol cuadrado:

x + 7 + 2 v V l ó x 7 • x 1 ~ 4x + 8

2 Vx I & x - 7 - 4 x + 8 x 7 x + l

2 V x 8 + 6 x 7 = 2x 12

x | 1V V + óx 7

: I 6x 7 = ( x + 1 )2

x* i 6x 7 = x“ + 2x I 1

6x 2x = 7 + 1

4 x = 8

>: = 2. R.

EJERCICIO 251

1. V x ^ B 2 . 11. V Ox 1!) —V Í5x = — L.

2. ó —V 3 x + 1 — 0. 12. V x 2 1 ;i v x + 53.

3. 7 1 V r>x 2 = 9. 13. v llx — 11 3 V x + 1 0 1 .

4. V íixs —5 —3x — —1. 14 V x — 16 — V x I 8 = —4.

n. V x3 —2x + 1 = í> x . 15 V 5 x —1 + 3 = V T>x 1 2(i.

o. 1 5 V 7 x 1 = 12. 1fi. 1 3 V l 3 + 4x = 2 V x .

7. V x + V x 1- 1 — 7. 17. V x —4 + V x f 1= 2 V x — 1•

8. V 3 x í i + V 3 x M = ft. 18. V 5x l 7 V x V Í Üx 7 - II

U. V x i 10 —V x + 1S 1. 11». v ú x + ió 2 V x 4 :i = V x 2.

10 V 4 x 11 = 7 V 2 x 20 20 V l8x 8 V 2x I 2 V 2 x ¡ 1 0

• ALGEBRA

V B xl 9 —V18JC + 3 I + V '2x + 7 = 0 .

* x —H — V x 5 = V 4 x —23.

V 'jTTff — V dx + 70 = — 2 v 'x T í) .

2 1. \7 * a + N /x + fl = V 4 x :

2D. \ / x —555 = — 2b + v T .

2G. y x + 4* V T + '2n 2

)) ECUACIONES C O N RADICALES EN LOS DENOM INADORES

Ejemplo

Resol ver lo ecuación V x + 4 V x H = y T ^ i •

Suprimiendodenominadores: y | x + 4 | { x — 1) — V J x ~ l ' j í = 2Efectuando:

Elovando ol cuadrado:

EJERCICIO 252

1. y x i y í + G = — V x

2 , y . ® T [ Í + 2 V x =

V x2 - r3x- 4- (x- 1 I= 2

y y -I-3x- 4- x + 1 = 2

y * J I 3x —4 = x + lxa + 3x 4 = xz + 2x +1

3x- 2x- 4f I

x = 5 . R.

y í x i i

y x 3 + — — ~ V x T 3 . \ / x +9

y x t 4 _ y ? + 3 i

y x 2 y í c i ’

3 . V x - - V x ^ l ^ z

V x 2 y x + i

y j í + 4 y x i 3 3

8. 2 y x + G y 4 ¿ ^ =

y x 4 : 8= y r t 8 y x .

y x 2 _ 2 y x 5

y í + 2 ~ 2 y x r

10. y í T I 4 v x = 7 =G

Uqf tqr ic f

N ICOLAS L O B A T C H E W S K I ( 1 7 9 3 1 8 5 6 1 M a t e r n a l.« r e la t iv i d ad de r i t a n o ci ó n. I g u a l m c n t u c o m b a t aI leo r u t o . E s t u d ió e n l a U n i v c n i d . i d d n K a x á n , d e l a G e o m e t r í a de E u c l l d c t , i n c 'o n m o v i b l u c u e r p o d . . .<|u« l ú e p o j t e r i o r m e n t c p r o f e s o r y D e c a n o de j u F u d.sdct q u e s e m a n t i e n o i n t a c t a p o r m á s d e ¡2 i.« Ih<ul l . id de M a t e m á t i c a s y R e c t o r . L o b a l e hc > / ik i c o m P u e d e c o m i d o r á r s o lo e l p r e c u r s o r de I * t u m i »l u t n l a I do .i q u e do l e s p a c i o t i e n e K a n t , y e s t a b l e c e l a r e l a t i v i d a d y d e l a s g e o m e t r í a » n o e u c ll d i* n

C A N T I D A D E S I M A G I N A R I A SC A P I T U L O X X X I

WOd) CANTIDADES IMAGINAR IAS son las ra íces in dicad a» pa res de canti ' dad es negat ivas .Así. v ' — i , V 3 . </ — ih i o n c a n t ida d e s i m a g i na ria s .Cant idades reales son todas las cant idades , rac ionales o i r rac ionales ,

que no s on i m a g i na r i a s .

(407) UN IDAD IMAGINARIA1.a can t ida d im aginar i a 'Z—1 es l lam ada un ida d im agina r í a .

NOTA CIO N

L a un i da d i m a g i na r i a s e r e p r e s e n t a p o r la le t ra i . P o r t a n t o , ----------------------------------

Kti E lectr icidad , v ' — 1 se rep res en ta p o r j,

( 4 0 8 ) P O T E N C I A S D E L A U N I D A D I M A G I N A R I A

Vamos a ha l l a r l a s po tenc ias de V — 1.

( ' / = l ) ' = v r^ 1.

< ✓ = !) * — 1.

•>= ( ^ 1 ) ’• -<\/~— 1 = ( 1 )( N ^ l ) ‘ = ( V ^ l ) » x ( v ^ ) r = ( - l ) X < - 1 > = 1 .

: = ( V ^ l ) ‘ = 1 y - V ^ l = v r = 7 .

( v ^ n ) « = ( v Z = l ) « •:(vr :r1 ) - '= 1 x ( - i ) = — 1, etc.

i = V 1

i*cs —1

i '= V 1

i '= 1

íB= — 1 e tc .

9 A C O C O R A

Véase q u e las cu a t ro pr im eras po tenc ias d e V 1 son v '' I , l.= X 1 y e s te o r de n se c o n t inú a e n l as po te nc ia s suc es ivas .

IMA GINA RIAS PURASToda e xpr e s ión de l a f o r m a 0" <t d o n d e n es par y — a e s u n a c a n d -

rea l neg a t iva , e s un a im ag inar ia pu ra . As i. V ^ Z , V 5 son im a gin apuras .

SIM PLIFIC A CIO N DE LAS IM AG INA RIA S PURAST o d a r a í z im a g i n a r i a p u e d e re d u c i r s e a l a f or m a d e u n a c a n t id a d re a l

t ip l i c a da p o r la un ida d im a g ina r i a v / 1.En e fec to :

b* = y / T é ~ ( 1 ) = v 'Te X = b I =s h i.

•1 V4 x { í) = y f i x = 2 vr=T 3 v T f“3T (^T J = vT f x = V Z . V - l = i

8 = v /8 x l T j = V X X V 1 ~ \ / 2 37 2 X y / = í = 2 v" 2 . V 1 2 '*'2/

EJERCICIO 25 3

Reducir a la forma de una cantidad real multiplicada |>or V77! o i :

1 y f — a". 4. V —81. 7. \/ Y 2 . 10. \ / - 4 m \ 2. v r—2. 5. 8. V ^ 1 . y T T .

3. 2 v/’—"5. 0 . 3 0. '/ ^ 2 7 . 12.

RACIONES CON IMAGINARIAS PURAS

SU M A Y RESTA

S e r e d u c e n a la f o rm a d e u n a c a n t id a d r e a l m u l t ip l i c a d a p o r y

e duc e n c om o r a d ic a le s se m e ja n te s .

( 1 1 Simplificar \ / —4 + \ f — 9.

V 4 = V '4 X F u = 2 \ T ^ ~ \ . y/~— 9- v ' 9 X ( - 11= 3v ^ T .

Ejemplos

Entóneos;

v - 4 l v - 9- 2 V — ~í + 3\ ^ 1 - | 2 + 3 |v r r7 T= Sy / ~ l = ’... R.

(21 Simplificar 2 V — 36 —V —2S + \ / — 12.

2 V ^ 3 Ó = 2 . 6 \ / - 1 = 12V - l .\ ^ 2 5 = 5 v^ 1 .V - l 2 ' = \ / t t V - l = 2 V 3 V - 1 .

Entóneos

2 36 v 25 I T2 12 n Z H 5 V T I 2 V Z V I

C A N r i D A o t ; i m a g i n a r i a s • 439

Simplificar:J . \ ' —4 + V — ]G.2 V 25 + V S l

3 - 2 v ^ S d - a v - 1 0 0 . ____________

'I 3 V Ó í—5 v ’— 19 4 3 V 121.

9 - E J E R C I C I O 2 5 4

5 2 V — a- I V — a 1r v íj".6. \ / ~ = 18 4 v ^ t f 2 .10.

7. 3 > / = 2 0 2 V - ~ 1 0 l 3 125.8. V «»-p <|V f)a* - 3 v ' — -lo '.

4 1 2 ) M U L T I P L I C A C I O N

Se reducen las imaginar ias a la forma t íp ica a V tT y se procede ro iiu*se ind ica a con t inuac ión , t en iendo muy p resen te l a s po tenc ia s de l a un idadimaginaria (408).

Ejemplos

< i) Multiplicar V — 4 por V —9.

v '—4 X v 9 = } \ / q X 3 V - 1 2 .3 | v ^ í p 6 x ( 1 |

1 ¿ I Mulliplicor V — 5 por V — 2.

' / - 5 X ' - 2 - \ / 5 . V = H XV Y . V q 1

- v i o | I I- = v T o X 1) = VÍ0. R.

Multiplicar V — 16, V — 25 y V — 81.

\ 16 X V 25 X V ¿ f = 4 / = T X 5 v í X9- i 8 o i s / = n * = i 8 o i - v ^ q i - - ís o v ^ q - - r .

14> Multiplicar V —9 + 5 V’ — 2 po r V — 4 2 V — 2.

5c reduce a laforma a V — 1 codo im aginaria y se niullipiiccn como radlíoles compuestos teniendo muy presente quo 1 V — I 1" — — 1:

3 v ^ q + 5 y 7. \ ^ q

2 V - 1 - 2 v T V ~ l

6 ( V 1)* + I 0 vr 5 | v ^ q i *

6 V 2 ( v ^ Í ) ' 2 0 ( V ^ q y :

6 ( — 1 1+ 4 V 2 1 » 1 ? 0 | | 1 | ~ 6 4 V"2 + 20 = >4 V ?

m - EJERCICIO 255

Multiplicar:í . v r — TÓ X > / 20. 8. \ T 1!) x V ~ 1 X V 2. v ^ B I x V 4ü. 0. V~—Y X 3 \ r - D x V q i ) .3 5 v ^ q R J x á V t H . 10. V — 12 x v Y! x ó x V :V0.4.

V 3 x V —"5.11.

5 V x x 3 v y.I>. 2 v o x ü v ^ q . 12 ( V q 1 V ~ 0 ) (V 2a — y r — 10).o. v q j x v ^ q o . 13 (V 2 1 3 v ^ : . ) ( 2 v ^ 2 (i V-T>).7. 2 V ^ q X 3 V“ 28. 14. (2 \ / q + 0 V 3) ( V ^ 2 1v 3j

0 ® A l G t B R A

3 D IV IS IO NSe reducen Jas imaginar ias a l a fo rma a V — l y se expresa e l cociente

m o u n a f racc ión , q u e se. s im pl if ica .

(I > Dividir V —84 entre V —"7.Ejemplo V - ' t o v / 8 4 . V l V 34 ,8.1

V - 7 V 7 . V - 1 \ ' 7

— ] je*canceloenel numeradorydenominador igual queuno cantidad real.

EJERCICIO 256Dividir:

. » / —~fé * V —4. 4. V —1)0 í ' / r ÍJ 7. 2 V —18' 4« V — 6

. V 10 i v r= 15. !>• 150 j 8. V — 315 + V — 7.. v i r r i g . i o ' / S é + 5 v ^ a . 0 .

10. y ^S O O l

N T I D A D E S C O M P L E J A S ' )

4 ) CANT IDADES COMPLE JAS son e xp re sio n es q u e c on sta n d e u n a p ar-

te r e a l y u n a p a r te im ag i n a ria .

Las c an tid a de s c om p le ja s son d e la fo r m a u - b v — 1, o sea u - r b i .

n de a y b son can t i dades rea les cua lesqu ie ra .Así. 2 + 3 V — 1 ó 2 I 3t y 5 — Gx/r~"I ó 5 — Di so n ca n tid ad e s co m ple jas.

5 ) CAN T IDADES COMPLE JAS CONJUGADAS son d os c an tid ad es rom -

p lc ja s q u e d i f ie r e n s o lam en te c n e l s ig n o d e Ja p a r te im ag in a r ia .

Así , a I bv ^ ’ í y a 0 s/ ~ T son c a n tid a des c omp le ja s co n ju g ada s. De l

o p io m o d o, la c o n ju g ad a d e 5 2V - 1 es f>+ 2 x7 — 1.

PERAC IO NES C O N C A NT ID A DE S C OM PLEJAS

6 ) SUMA

Pa ra sum a r can tid ades comp l e ja s se su m an la s pa rte s rea le s en t re si y

s pa r tes im ag ina r ias en t r e s í.

(-') Kn U i ntnas sobre el Concepto de Número que apatíce cn el Capitulo preliminar,me» «Sino el campo de Jos niiiiictcn se atnplinha a medirla eme lo exigían tal ncccriidadc*t cálculo matemático. Ahora. llegado a ctíc nivel de conocimientos. iiitioduciiiio» un nuevote numérico, el número complejo, que c»iíi (minado por un par de números dados enorden, cn el «lal uno e» real y el ol io puede ser imaginario.Aun cuando haya auletcdcnier históricos nuiy rentóte» del origen de lo» número»

mplejo», ¡c tiene como vcntacteio prccuitoi de la teoría de esto» números a l ioiubcll iglo XV I, ilaliaiKi). M.'u tarde. Descaíte» llamó númeio imaginario al número 110 teal comnente de un complejo. Sin emhaigo, a p a n ríe haberse dcianollado toda una teoría sobrenúmeros complejos, ésio* 110 adquirieion vigencia en Ja» matemática» liasta que Kuler no

nrionri ui mo. I'ero quien más contribuyó a que los números complejo» »e iiicorporainiitlnllim ítente a la ciencia matemática fue C, W tw l (1745-181(1. danés), que bumló unacipictadón geométrica de lo» número» complejo». La decir, tales ente» no» sliven para

t i it l l C l ú l j d l d ll l t d J

C A NT ID AD ES C OM PL EJ AS • 4 4 1

(1 ) Sumar 24 5 V 77T y 3 —

I 2 4 5 \ ,r —~I) + 1 3 2 v ~ 11 = 2 4 3 5 V - ~ \ 2 v l

= |2 I3) l |5 2 ) \ / ~ l 5 I 3 v ^ l = 5 ft

(21 Sumar 5 — 6 V —~T, 3 I V l , 4 —8 V —1.5 — 6 V —1

3 + V —~T4 Í V ^

4 l 3 v ^ H = 6 1 3 :. R.

m - EJERCICIO 257

Sumar:

3. 2 4 3 v '— 1, fi —2 s / —T 5. 8 2 í . 5 Si. 1 0 4 I3r.

2. 4 5 V77! , —2 4 8 ' / 77Í . C. 1 i, 4 1 3r , V 2 4 ó i.3. 12 —11 v'r— í, 8 47 V —X 7. 2 4 V” 2. 1 V77':!4. 5 4 V 1, 7 4 2 V 77 í. !) 4 7 V77! . 8. 7 4V - r>, V Í V77!). —4 \ Id.

4171 SUM A DE CANTIDADES COMPLEJAS CONJUG ADA S

La sum a <le dos can t idades co m ple ja s con jugada s cs una enmie lad rea l .

En efec to : (u + b V — 1) + (a — b V'1 7 ! } (n 4 a) I (b b ) V ~- 1 = 2a

Sumar 54-3V~— 1 y 5— 3V — 1.

154 -3 \ /7 7T) I 15— 3v - I | - 2 X 5 = I0, R.

EJERCICIO 258

Sumar:

1 7 —2 > / —"I, 7 2 V — T. í- T S V ^ T . T 4 5 V 7 7 !.2. ó 3 V ~ h 5 + 3 v ^ = l . 3. y á v 2 . 8 + 3 ’/ = '2 ‘.3. 9 + i V5. 9 i Vi?. 6 v5 4-i s/3. > / í 1V 3 .

(41 8) RESTA

Para res ta r cant idades comple jas se res tan las par tes rea les ent re s i y

las par tes im aginar ias ent r e s í.

( 1 ) De 5-I-7V — 1 restar 4 I 2V — 1.

I 5 4 7v/‘7 7 l | | 4 I 2 V — 1i —5 -I-7 \ r z r \ 4 2V I

= |5 —4) + (7 —2 | V 7 7T = 1 45 >/ —1 = ' • 5í. R.

(2 ) Reliar — 3 — 7 V — 1 de 8— I I V~— 1.Escribirnos olluslrocndo con los l igno i cambiodoi debajo del minuendo y

lencmoi:8 — 11 V — 1

3 + 7 V —I

1 1 - 4 'Z 77! = 1 1 - 4i, R..

Ejemplos

Ejemplo

Ejemplos

4 2 A I G C I l B A

De 3 2 v ' 1 re sta r ó l S v ' L f;.Do 8 4 I \ / ^ Í restar ..I —lOv' T.

De 1 V = K r es ta r 7 —S v ^ T . 3.Restar 5 3 ' / ^ l de 4 7 ' / :L 9R estar 8 7 v ' - T d e 1 5 4 \ / 1 . 19

E J E R C I C I O 2 5 9

Res tar 8 .70V - í <le 11 i 8 f l v ' 1.Í)C 5— V—25 restar 3 + Oí.

De 4 + \ / — b r e s ta r 2 + V —8.R esta r v/TJ f íí v'—l de V 'l 5 v ' l.R esta r 7 ( V 3 tic S v ^ T .

19) DIFEREN CIA DE DOS CANT IDA DES COM PLEJAS CO NJU GA DA S

l . a d i f e ren c i a d e d o s can t id ad es co m p le j a s co n ju g ad as e s t i n a im ag i-r i a p u r a .

En efecto: (a + b \ r z r l ) - (« — b v ’ !} —a + b V 1 — a — b — 1

= (a — tí) + (¿i + ¿/) V I = 2b V 1 = 2bi.

Ejemplo( 5 ~ 3 V - 1 ¡ IS J v 1 1 = 1 5 —5 ) + ¡ 3 + 3}

= 6 v— 1 = * \ I?.

> EJERCICIO 2G0

!)<; 2 —v '—I resta r lí f V i .- De 7 - 3 V = 1 resta r 7—

De - : i - 7 V ~ í restar —

•i R esta r —!> — %/—2 de —ül V 2.5 R estar de V S + v ^ Z .

«1 R estar \ / 5 + 4 v c a de V '. '> 4 V 2 .20) MULTIPLICACION

Las can t idades comple jas se mul t ip l ican como expres iones compues tas ,í o te n ie n d o p re se n te q u e ( V ^ " V = ~ I.

Ejemplo

I ) Multiplicar 3 I 5V — I par 4 — 3V —í.3 + 5 V — 1

4 - 3 ~1

l2 + 2 0 vr= l

p y ^ r i s i v ~ ^ i )g

1 2 I- l l s / T T l _ I 5 | - 1 ) = 1 2 - P 1 1 + 1 5 = 2 7 + n y = - |

EJERCICIO 261

Multiplicar::j _ 4 | |„ „ _ ¡{yTT |

I I 7 1 por —8 —2 1.7 por 5 + S/—9.

po r ó — V —2

< H V = * l x , r v'2 -l-v '- T» |mir '/TI I-1/ 2.

9.C.7.

421) P R O D U C T O D E C A N T I D A D E S C O M P L E J A S C O N J U G A D A S

El p r o d u c t o d e d o s c a n t i d a d e s c o m p l e j a s c o n j u g a d a s e s u n a c a n t i -d a d r e a l .

En e fec to , com o e l p ro du c to de la sum a po r l a d i fe renc ia de dos cant idades es igua l a la d i fe renc ia d e Sus cuad rados , se t iene :

(« + b \ r : ~ \) {n — b V — 1) = a (b V — l ) 9 = a- - • \b r( V ^ T 1)]

= n* [¿Ja( 1)] fe») = d ‘ + fe9.

Ejemplos

m - EJERCICIO 26 2

M ullí jilicar:

I 1 —i po r l + i . 4* g V J f + í t p o r 2 V 3 —4i.

3 I2 V 1 |x)r 3 —2 V —1. • 5 — p o r .r>|

3. V 2 — 5/ por V S + fit. R —y —v —i) p o r —94v ' T«.

(422) DIVISION

Para d iv id i r expres iones comple jas , se expresa e l coc iente en Inmi . i«Ir f racc ión y se rac ional iza el d en om ina do r de es ta f racc ión , m u l t ip lá ando•ñ i lbos t é rminos de l a f racc ión por l a con jugada de l denominador .

EjemploDividir 5 I 2 V — 1 entre 4 3 V — I.

S + 2 V —1 _ (5 4 2 v ' — 1 I 14 + 3 v 1> 20 + 23 V 1 6 4 —3 v ~ 1 _ ¡ 4 — 3 \ ' ~ Í ) ( 4 4 3 V —T j ~ 42 {3 V - 1) 1

14+ 23 V — 1 14 4 23 V - I VI -23 .

16 + 9 25R.

EJERCICIO 263

Dividir:

I <l + V ^l) : ( l V ^l ) . 4. (8!>/)!(7MU).■■ (3 + V —~1) >{3 — V —1). (4 + V —3 ) + ( 5 —4 V —3).

2 ( Ú 3 V l ) i (34 4 V 1). R (V 2 + 2V ^T i) 'ñ(4V Ó v^_f>).

4 # A L ii iu sA

E P R E S E N T A C I O N G R A F I C A

} R E P R E S E N T A C I O N G R A F I C A D E L A S I M A G I N A R I A S P U R A S

Para r epresen ta r g r á f i camente l a s can t idades imagina r i a s se t r aza untema de e j e s coordenados r ec tangula re s X O X ' c Y O ) " (f igura 67) y lo

m a n d o c o m o u n i d a d u n a m e d i d a e s c o g i d a a r b i -trar ia m en te se pi fx ed e asi:

Las cant idades reales posi t ivas se representan sobre c ! semie je pos i t ivo O X , l l evando sobreeste semieje , de O l i a d a X , la unidad escogidatantas veces como unidades tenga la cant idad rea l

p o sitiv a q u e se re p re se n ta . E n la f ig u ra ap a recenrepresen tadas sobre O X las ca n tida d es reales y positivas I, 2. 3. 4.

Uis cant idades rea les nega t ivas se representan sobre e l semie je neg a t ivo O X ‘ , l l evando sobrees te semie je , de O hacia X ' . la* u n id ad escogida

tan tas veces com o un idad es tenga la can t idad realnega t iva q u e se represe nta . En la f igura aparecenrepresen tadas so bre O A" las ca nt ida de s rea les ne-g ativas — 1. —2, — !J. —4.

Las imaginar ias punís jmsi i ivas se representan . sobre e l semie je pos i t iO Y , l l evando sobre e s t e semie je , de O hacia Y, l a unidad e legida tantas

ces como unidades tenga e l coef ic iente rea l de la imaginar ia pura « |ue seprese nta . En la f igura aparecen represen tadas sob re O Y las imaginar iasra s p o sitiv as \ / — l , 2 V — 1, 3 V — 1, 4 V — 1.

Las imagina r i a s puras nega t ivas se r epresen tan sobre e l semie je nega-vo O Y ' , l levan do la u n idad e leg ida sobre e s te semie je , de O hac ia Y ' , t a n -s veces conjo unidades tenga e l coef ic iente rea l de la imaginar ia pura que

representa .F.n la f igura aparecen representar las sobre O Y ' l as imaginar ias puras

g ativ as —V — 1. — 2 v ' — L —S v ^ l . 1v I.E l o r igen O representa e l cero.

4 ) R E P R E S E N T A C I O N G R A F I C A D E LA S C A N T I D A D E S C O M P L E J A S

Vam os a r epre sen ta r g r á f icam ente l a c an t idad com ple ja 54 3 V — I .

m o cons ta d e una pa r t e r ea l fi y de u na pa r t e im agina r ia : i v l. cl p ro -dimien to cons i s t e en r epresen ta r ambas y luego ha l l a r su suma geomé-

ca. (Figura f¡3).La par te rea l 5 es tá representada en la l igara por O A y la par le ima-

E l p u n t o C e s e l a f i j o de l a ex pres ión 5 + 3 V - i .

E l vector O C r e p r e s e n ta e n m a g n i tu d c l n i M u l o o v a lo r d e l a e x p r e -s ión comple j a .

E l á n g u l o C O A que f o r m a e l ve c t o r O C c on e l s e m i e j e O X se llanta

a r g u m e n t o o a m p l i t u d .

R tP K É S t M r A CIO N « C A U C A • 4 4 3

F IG U RA « ! F IG UR A Í F

E n l a f i gu r a 09 a pa r e c e r e p r e s e n t a da e n e l p r i m e r c ua d r a n t e l a e xp r e -s i ón 6 + 5V r::n , s u a f ij o es e l p u n t o A ; e n e l s e g u n d o c u a d r a n t e e s tá r e p r e -s e n t a da 4 + 3 v r —'í , s u a f ij o e s c l pu n t o IS; en e l t e rce r cuadran te es t ár e p r e s e n t a da 6 5V I . e l a f ij o e s e l p u n t o C; e n c l c ua r t o c ua d r a n t e

está re p res en tad a 4 — 3 V — 1 co n su af i jo en D .

P L A N O GAUSSIANO. U N I D A D E S G A U S S I A N A S

P o d e m o s r e s u m i r lo v i s to a n t e r i o r m e n t e d e e s te m o d o :

1) Las ca nt idad es reales se rep rese n tan so bre e l e je de las x; sobre O X s i son posi t ivas, sobre O X ' s i son negat ivas.

') Las im aginar i as puras se r ep resen tan sob re c l e j e d e l a s y. sobre O Y s i son posi t ivas , sobre O Y ' s i son negat ivas.

) En c l res to de l p l an o qu e de te rm ina n los e jes se r epre sen tan las

c a n t i da de s c om pl e j a s ; c a da e xp r e s i ón c om pl e j a t i e ne s u a f i j o y c a da pun t od e l p l a n o d e t e r m i n a u n a e x p r e s ió n c o m p le ja .E s t e p l a no l i a r e c i b i do e l nom br e de P l a no G a us s i a no e n hono r de l

c é l e b r e m a t e m á t ic o a l e m á n C a r lo s F e de r ic o G a us s, qu e im pu l s ó e n E u r opae s t e m é t odo de r e p r e s e n t a c i ón g r á f i c a de l a s c a n t i da de s i m a g i na r i a s y c om - ple jas. P o r a n á lo g a razón , la s u n id a d e s to rnadas sob re los e jes d e este p la n oson l lamadas unidades gauss ianas .

■ > E J E R C I C I O 2 6 4

Representar gráficamente:1 2 + 2 V ' —T. 4. 7 - 3 V - 12 —2 + 3 \^ —T. &• 14 1.3 — 4 —f> V —1 A —1 —5».

V 3 —6». 10. — r>í + 6 x / 1.8. —5 t 4 t . 11 1 J 2 V 10 4 J 7 V r T . 12. —1 0+ lOi.

írolan d

ENRIK AUEL II8021829» Ma temá t i c o nov ió d u ra n te to d a * u v id a en e xtr ema p ob re -

de abr irs e paso en t re lo s ma temá tic o» dele , poro n o lo lo gró . O b tu vo con Jacó bi elm io do Ma temá t ic a s de l I n s t i t u t o de F rancia ,

p o r s u t ra b a jo s ob re la s f un c io n e * e líp tic a s. Fue u n*de l o r más g randes a lgeb ris ta s de l s ig lo X IX , Demost r ó e l te orema g en era l d e l b in om io . L le vó a cabodemostr ac ión de la impos i b ilid ad de la r esolu ciónla s e cu ac io ne s d o q u i n to g ra d o. M u r ió d esco noc ido

C A P I T U L O XXXIIIE C U A C I O N E S D E S E G U N D O G R A D O C O N U N A I N C O G N I T A

@ECUACION Di: SEGUNDO GRADO c s t oda ecuac ión en la cua l , unavez s im pl if icada , el m ayor ex po ne n te de la i ncóg n i t a cs 2.

A sí* 4x í + 7x + G = 0

es una ecuac ión de segundo g rado .

E cuac iones com ple ta s de 2o . g rad o son ecuac iones de la fo rmaa x ! + b x + c = 0, q u e tie n e n u n t é rm i n o c u x - , u n t é r m i n o e n x y un t é r-

m in o in d e p e n d i e n te d e x .Así, 2x= 1 7x 15 0 y x 3 - S x 15 o x - - 8x f 15 = 0 son ecuaciones

comple ta s de 2o . g rado .

l icuac iones incomple tas de 2o . grado son ecuac iones de la formart.vJ I u q u e ca r ec e n d e l t é rm i n o en x o de Ja forma n x 2 I b x ~ 0 q u e c a -r e c e n d e l t é r mi n o i n d e p e n d i e n t e .

Así. x : 1 <>—0 y :íx "H-5x = 0 son ecuac iones incom ple ta s d e 2o . g rado .

427) RAICES DE UN A ECUACION DE 2o GRADO so n los va lores d e la in -

cógn i t a que sa t i s facen l a ecuac ión .luda ecuac ión de 2o . grado t iene dos ra tees . Asi . l as ra íces de la ecua-

ción v"—2.v—3 0 son ,V|~3 y .v= —1: am bo s valo res satislacen esta e cua ción ,

Resolver una ecuac ión t ic 2o. grado es ha l la r las rafees de l . t ecuac ión

E C U A C f O N t t O E S EG U N D O G R A D O # < 1 4 7

E C U A C I O N E S C O M P L E T A S

42 8J METO DO DE COM PLETA R EL CU AD RA DO PA RA RESOLVER LA

_ ECUACIO N DE 2? GRADO ax* bx + c = 0l ’ a ra co m p ren d e r m e jo r e s t e m é to d o ,

co n s id e rem o s p r im ero l a ecu ac ió n d e l t i p o x 2t b x • .

Podem os escr ib i r es ta ecuac ión de l s igu ien te m odo: • t/x

S i o b s er v am o s e l p r i m e r m i e m b r o v e r e m o s q u e a l b i n o m i o x 1 t bx

l e f a lt a u n t é rm in o p a ra ser u n t r i n o m io cu ad ra d o p e r fec to . T a l t é rm in o

es e l cu ad rad o d e l a m i t ad d e l co e f i c i en t e d e l s eg u n d o t é rm in o

. . . i»*l o q u e e s l o m i s m o y .

E n e fec to , fo rm am o s a si u n t r in o m io cu y o p r im er t é rm in o e s el

c u a d r a d o d e x : s u s e g u n d o t é r m i n o e s e l d o b l e p r o d u c t o d e x p o r y \

su n rcer t é rm in o e s e l cu ad rad o d e la m i tad .d e l co e f ic i en te d el s eg u n d ol) ^

t é rm i n o o sea y . P a r aq u e 110 sea l te re ía ecuac ión le ag regamos

a l s eg u n d o m iem b ro la m i sm aca n t ida d q u e le ag regam os al p ri tm

m i e m b r o .

Asi tend rem os: _* xJ + í i.v+( 1 ) =i4 I '

E n c l p r i m e r m i e m b r o d e e sta e c ua c ió n t e n e m o s u n t ri n o m i o 1 " 1dtado jK' rfccto .

Fsí t toram os: ^ ) — ~

E x t raem o s la r a i r cu ad rad a /.1 nmlKU m iem bros : t V \ x '•’— J * = V

X + 2 = , v ,

b / b* b /b~*■V .- - n + V . , X í= - V - V — “ C

Cuando cl coeficiente de x 1 es mayor que 1, el procedimiento es esen*i la lincnte c l m ismo, só lo que com o pr im er paso d iv id imos los t res térm ino»

ti. I.i ecuación entre a, coeficiente de x’ . Pondremos un ejemplo numérico

8 O ALGEBRA

jemplote a le ecuación 4x8+ 3x~ 22~ 0. ,T ra n sp o n ie n do « I te rm in o in d e pe n d ie n te : x + 3 x - - 2 2

D iv id ie n d o p o r e l c o e fic ie n te d o l p r im o r 3 22

t é r m i n o : ------------------------------------------------------- --------- > T — x —— •i '•

A g r e g o n d o e l c u a d r a d o 3

do !o m i rad de — - :

/ J \ , _ 8 í Tactorar.do el primer miembro; • v T 8 ' " 7 í t

E xtra yendo la re i-

a io d ra d o o los dos

miembros: .

l ad r a d o 3 / 3 \ 2 2 / 3 \ a

Resolviendo- . x /

DEDUCCION DE LA FORMULA PARA RESOLVERLA ECUACION GENERAL DE 2o GRADO a*3 + bx + c —0

La ecu ació n es . a x- + /»xtc — 0

M ul t ip l i c a ndo p o r 4«: ---------------------------------- * l<rsx* I 4 a b x + 4«c: —0

S u m a n d o (>~ a los d o s m iem bros: • ■lrtí x s + 4abx I 4 c c 4 - b t = b 2P asa ndo lúe al 2o. m ie m b ro : ► Irt''x I ínbx + b*~ h'J —'Irte

D e s c o m p o n i e n d o e l p r i m e r m i e m b r o ,es un t r inomio cuadrado per fec to : --------------- {‘¿cía d 6 )2 = />=4ac

K xtrayendo la ra íz cu ad rad a a los do s m iem bros: • 2a.v + b = =£ y/{-: ia c

T r a n s p o n i e n d o l>: — ------------------------------------------ 2 a* = — b * v ~ Tac —1»± l> —4nc

3 .' 2Ó\

8 _ V 61 _

3 3«5I

3 19 ló

Xt 8 + ’é tí 23 19 _ 72 _ 3

Xí” 8 8 T * ’ 4

De spe ja ndo x: x —2a

mnla que me da las dos ra íces de la ecuación a x 2 + b x d c ~ 0 ( po r queesta fórmula salen dos valores de x se gún se tom e ’/ó * — 1a¿ cono 4 o } en función de a, coeficiente del término en .v en la écua, / ; coef ic iente del término en x y c e l t é r m ino inde pe nd ie n te .

E C U A C I O N E S D E SE C U N D O G R A D O 9 A'V)

R E S O L U C I O N D E E C U A C I O N E S C O M P L E T A S D E 2 o G R A D O S I N

D E N O M I N A D O R E S A P L I C A N D O L A F O R M U L A G E N E R A L

(1 ) Resolver la ecuación .lx9 — Vx■1-2= 0.

8: t V b- --1oc

EjemplosAplicamos lo fórmula x —

Aquío= 3,b ~ — 7,c = 2 , luego sustiluyeadoy teniendo presanteque ul sustituiróseponeconsignocambiado,tendremos:

7 n x / 7 * - f . | 3 ) | T ) 7 ± V ' 4 9 24 7 ± \ / 25 7 * 5x

2131 6 6 6 Entonces:

7 1 5 12Xl = = — = 2. f x, 2.

6 6 r . ; i7 - 5 2 1 ¡ *i ~ a*

**m — “ 7 = r

? y A so:i losraícesde ta crunrión dada y ambosanuían la ecuaciónSustituyendo xpar 7en la ecuación (lodo3x-— 7 x1 2= 0,se tiene:

3(22)— 7(2 )4-2= 12— 14 I 2= 0.

Sustituyendo x por j : 3 1 f — 7 1 j )+ 2= | ^ 4 2= 0.

í 2 ' Resolver la ecuación óx— x- 9 = 0.

Ordenando y combinndo signos: y - 6x4 -9 = 0.Vamosa aplicar la formulo teniendo presente que o, coeficiente de x*..es 1i

6 ± V ' 3 ó í - 4 ( i ) ( 9 ) ó= V 36 - 36 _ 6 i t \ é Ó _ 6 _ ^

2 (1 ) ~ 2 “ 2 2

Entonces x tiene un solo valar 3¡ do¡ raíces son iguafcí;

x , - x j = 3. R.EJERCICIO 265

Resolver las siguientes ecuaciones por la fó nm ila general:

1. Mx— 5 x— 2=0 . 7. 6x-=x l 222. 13. l?6*=1 21+ 64x «.2. 4xa4-3x— 22=0- 8.x + l l= 10 x 2 . 14.Sx l f»=3(¡x*.

3. x T ll.v = —24. 0 49x*70x425=0. 15. 27 x41 2x 7= 0.4. x = ir,x( ¡:J. 10. ]2 x —7x2464=0. 16. 15x=2»x?42.... 1 2 x -4 — 9x*=0 . 11.x2= — 15x— 56- 17.8 x - - 2 x - 3 = 0 .

5x2— 7x— 90=0. 12.í$2x*4-lfix— 17=0. L8.1 05 =x +2 x2.

(3 ) Resolver In cc.ioción |x I-4)*= 2x(5x— 1)— 7Ix 2).

Po.u oplicor lo fórmulo hoyque llevorla a la forma ox*+ bx ■■c = 0.

Efectuondo: x2+ flx4*16= )0x9 — 2x — 7)f4 14Transponiendo: x*+ Bx+ 16— lOx*+ 2x-|-7x— 14= 0

Rcducicndoi — 9x94 -17x4 - 2 = 0

Cambiando signos 9x9— 17x— 2= 0

Aplicando lo formulo:

0 9 ALGIBRA

17 i': v 17* 4 19 >| —2) 1 7 * V 289I72 1 7 * V'Só í 1 7 * 1 9x = ------

b i l o n c c i :

2(9J 18 18 18

f x , = 2.

r J 11 7 1 9 2 _ 1 !

17+19 36

18 ~ 18 _

18 18 9

. EJERCICIO 266

Revolver las ecuaciones siguiente» llevándolas a la form a ax*f bx lc= 0aplicando la fórmula general:

. x (x + 3 )= 5 x + 3 . 7. 7(x—3)—Bfx4—l) = x : —5(x +2 ).o. 3< 3x2)=(xi 4)(1—x). 3. (.v 5)2 ( x 6 ) a( 2 x 3 )» 1 1 8 .

. llx t l= 3 (x * 5 ) (x 3 ) (x + 2 ) . 0. (5x 2 )* (3 x + l )a x 1:6 0 = 0 .4 . (2x—3)3—(x + 0 )* = —23 10 (x+ l):< (x 3 ) :'=:343.5. 25(x+2)a= (x —7)"—81. u . (x+ 2> »(x l)*= x{ 3x l4)+8.

6. 3 x ( x 2 ) ( x C ) = 2 3 ( x 3 ) 12. ( 5 x 4 ) 2 < 3 x + 6 ) ( 2 x l )= 2 0 x ( x 2 ) + 2 7 .

0) DED UC CION DE LA FORMULA PARTIC ULA R PARA RESOLVER

E CU AC IO NE S DE LA FO RM A x 2 + m x + n = 0L a s e c ua c ione s de e sta fo rma c o rno xa + 5x + 6 = 0 se c a r a c te r iz a n po r-

e cl coe f ic ien te de l t é rm ino en x 7 es 2. Es tas ecuac iones pu ed en reso l-rse por l a fó rmula genera l con só lo suponer en és ta que a - 1. pe ro exis tera e lla s u n a fó rm u la p a r t ic u la r , q u e v am o s a d e d u c ir .

1.a ecuació n es Xa + mx + n = 0.

T r a n s p o n i e n d o >i: x M m x = — t i.

m - . . m s m*S u m a n d o — a los d o s m i em b r os: x - i m x I =1 4 4

D esc o m po n ie n d o c l p rim e r m ie m b ro , ^ x + ~ ) = — — ».e es u n t ri n o m i o c u a d r a d o p e r f e c t o : / 2 '*

Ex t rayen do l a ra íz cua drad a X + _ÜL = .os dos m iem bros : 2 > 4

m n i . / m J1 ransp on tem lo — : x - ¿ ~ ' n

O bs é rve s e que m y n a pa re c e n e n l a fó rmul a c on s i gnos d i s t i n t o s a que t ienen en la ecuación.

ICUAC lONfS V I lEG 'JHDO GRADO • 4 5 1

Ejemplo R e s o l v e r 3x9 — ? x (x—i | — x — 1 2 p o r l a f ó r m u l a p a r t ic u l a r .

S i m p l if i c a n d o l a e c u a c i ó n : 3 x "* — 2 x - + 8x = x — 1 2

x1 + 7 x + 1 2 — 0.

Aqui 1)1 7, n = 12 , lue go a p l i c a n do l a f ór m ula pa r ti c u la r :

7 ~ 7 .. A 7 . 1* = ' j t V 7 _ l í _ 7 * V 7 = _ 2 1 T

E n t ó n e o s : 7 ] ¿

2 “ 4

*1 = - 3.

x j = 4

EJERCICIO 267Resolver las siguientes ecuaciones aplicando la fórmula particular:

1. x * 3 x +2 =0 . 6. x * (7 x +6 )=x +5 0 .2. x*—2x— 15=0. 7. {.v— 1)*+1lx+ lí>9=3x2—(x—2)2.3 . x s=15)x—88. 8. (x —2){x +2}—7 (x —1 )= 2 1.•i xl 1.Y2RÜ. 0. 2xa( x 2 )( x + 5 } = 7 (x + 3 ).n 5x{x 1) 2<2x* 7 x )= 8 . 10. (x l ) (x + 2 ) (2 x 3 > (x + 4 ) x + l l=fl.

(431) RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2 ° GRADO CON DENOMINADORES

Ejemplo . , 1 7 1 1R e s o lv e r la e c u a c i ó n — — — — —

3 x 5 x * 6 0

I f o y q u e q u i te r d e n o m i n a d o r e s . E l m . c . m . d e 3 x , 5 x * y 6 0 e s 6 0 x'J . T e n d r é 1 •.

20x — (|4— M x -

T r a n s p o n i e n d o : 1 l x 2 + 2 0 x — 8 4 = 0 .

A p l i c a n d o l o f ó r m u l a s o o b t i e n e x , = 2 . x s = - 3 j R .

EJERCICIO 268Resolver las siguientes ce

, X » X _ 3 „

5 2 1 0

2. 4 , . 2 2 . i , 6.

•I. I ( x 4 ) + í ( x 5 )•I 5

5 ____ L 1 10.x—13 10(5*

x x + 2 X X*

15 l I x + 511.

X x—2 5.. r t _ X X9 L x —2

8* 5 x l 312.

4x* 1 3 * 2 0

Üxf5 x+ 1 x —1 4 31 1 1 13.

3 x l 2 x _ 7

v 2 x —1 6 X “ 2 x l “ 6

2x—3 x—214

f .x 8 7x 1

2 • A I G E 6 R A

+8 r .x-i

i _A G ~ x + l

J L = 3 Íx + l 8

x+a19.

x - 1 x + l

XH 1 + x - 1

x 1-3 ’

x+ 2 x —2 x + l

2 RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2" GRADO POR DESCOMPOSICION EN FACTORES

D esco m p o n ien d o en f ac to re s e l p r im er m iem b ro d e t in a ecu ac ió n d efo rma x : + rnx + « = 0 o ax* + b x l e O se o b t ie n e u n m é to d o m u y r á -

d o p a ra reso lv e r la ecu ac ió n .

Resolver x' I 5x —24 = 0 por descomposición en factores.

Foctorando el trinomio (1 4 5 1 , se tiene:( x + 8 | ( x 3 ) = 0.Ejemplo

Para que ol produelo (x 4 8 ) (x — 31 sea cero es necesaria qué por lo me-nos uno de eslos (odores seo cero, es decir, lo ecuación se satisface para* • 8 " 0 y * 3 = 0.Podemos, pues, suponer que cuolquroco de fas lectores es cero.

Si x + B = 0, se tiene que x = —8y si x —3 = 0, se lienc que x = 3.

lo anterior no» dice que • puede tener los valores — 8 Ó 3. Por tanto, —8 y3 son los raíces de la ecuación dedo.

• x , = 8

R ) x = 3Por tanto, paro resolver uno ecuación do 2* gimió pee descomposición en fac-tores:

(A l Se simplifica la ecunción y so pone en la lormo x" t rnx + n — 0 oox1 I bx + c —0.

( B ) Se loclorael trinomiodel primer miembro efe h ccuoción.I C ) Soigualan o cerocedo uno de fas factores y se resuelven h i ecuaciones sim-

ples que so obtienen do este modo.EJERC ICIO 269Resolver por descomposición en factores:

—x — 6 —0. o. 60=Bx*+J57x. 15 —^ + x

+7x=38.

r>ox « . 1L (x _2 )I (2 x + 3 ) :,= 8 0 .

9 60=Bx*+157x.

1 0 x(x — 1 )—5{x — 2 )= 2 .

3 x + l ó

=108-3x. 3+7x—4=0-

*=10—Ux.

6 ____ 4 _ 5

5c —4 x ~ 12*

!7. (x-2)n-(x-3)a=37

12. ± * — ±e * X a

J 8 x 1 „ _ * i 3

x+ l " " 3

74+ x — — ,

X1 0 .

4x—1 2x+l

2x4-3 Gx+5

E CU A CI O N ES O l S EG UN D O GR A D O • 453

ECUACIONES LITERALES DE 2 ° GRADO

133; Las ecuaciones literales de 2V gra do pue den resolverse, com o las num íricas, por la fórm ula general o por descomposición en factores. En

muchas ecuaciones literales la resolución por factores es muy rápida, mien-tras que por la fórmula resulta mucho más laboriosa.

Ejemplos (1 ) Resolver la ec ua ció n -----------= I.x o

Quitando denominadores:3as Ix - = ox

2xs + ox 3o* = 0.Aplicando la formulo. Aquí o = 2, b — a, c ~ —3o1, luego:

—a 2: \ /o * 4 |2 |( —3a2| _ — a — \/~a¡r'+ j i a ' — a ± 25a2 o ¿ Su

—o + 5a 4o /_ — x . = — — = T = a .

R. !- o - S o 6o ¡¡ ) km = — a.

x2 = — _ = _ = ; 0 .

(2 1 Resolver la ecu ación 2x s — 4ax + bx — 2ai>.

\ * ~ i

Lo solución de las ecuaciones de este tipo por lo fórmula es bastante laborioso,sin embargo, por descomposición en factores e s muy rópido.Poro resolver por factores se pasan todas fas cantidades oí primer miembrode inodo que quede cero en ol soguncío. Asi, en esto caso, transponiendo2ab, tenemos:

2x2 — 4ox + bx —2ob = O

Descomponiendo el primer miembro (faclor comón por agrupación], so licnoi

2x (x —2a l + b ( x 2 o ) = 0o sea ( x —2 a ) ( 2x + b ) = O

Igualando O cero codo lador , U¡ tiene:

Si x —2a = O, x = 2o. r x, = 2*.

*• i>2 X + b = O , X = — X ; = -

» EJERCICIO 27 0

Resolver las ecuaciones:J. x s+ 2flx35 rt*=0 . D. x a lflx= 20 a*. 9. x a2rjx= f*ifr3fcx .: 10x}=3(in'J—3 ax. G 2x*=a¿»x+3ri*it* 10. 3{2xa/ rix )M n x 2 » ri/ i 0.

;; «?xa+ a 6 x —2ó*=0. 7 M *»+2 afcx s3«* II. xaf lB¿» xf lft= 0.I. 8!»/»x=42x»+22fc* 8. x H a x - b x ~ a b . 12. aí»xax(¿»2d>=2.

, x2 —2axK i2 —í>8=0 ig. x22 x = m * + 2 m . ü l t f . _ 4 .a—x a+x

. 4x(x6)+ 6*= 4m *. 10. x24 m x (m 2 ) = 2 »7«*. x, ^

20. f > x 1 ó ax = 2 ó x r.a ó . 24. x l = 2 ( a 2 ) '3x a x 2 2 1

4 + A L0 1 8 R A

. x*—í»*+4fl*—4<tx=0.

8. x2-(a+2)x=-2a. 2 L 7 + 2 ~ 2 ^ ° - ^ X + 7 = 7 + 2a*

. x* i 2x(1 3rt)=48 o. 22 ,2 x ó 2b x—bl '¿x~b x ‘¿x

28.2 3x b x+ b 4b

CUACIONES INCOMPLETAS

4, Las ecuac iones incomple tas de 2“ gra do s on de l a fo rma ax" + c = 0,q u e ca recen d e l té rm ino en x . o de la fo rm a «x I b x — 0 . q u e ca recenl t é r m i n o i n d e p e n d i e n t e .

5) ECU ACION ES INCO M PLET AS DE LA FORMA ax I e = 0

S i en l a ecuac ión ax* + c = 0 pa sa mos c a l 2o . m i e m bro , s e t ie ne :

«x = c .. X2 = x - * i / Z Z a t a

Si a y c t ienen el mismo signo, Las raíces son imaginarias poj ser laz cuadrada de una can t idad nega t iva ; s i t i enen s igno d i s t in to , l a s ra íces

n reales.A igua l resu l tad o se ll ega ap l ican do l a fórm ula ge nera l a e s ta ecuac ión

+ c 0 te n ie n d o p r e se n te q u e b = Ü, y a q u e e l t é r m i n o b x es nu lo. Sene:

— V ~ 4»c í — 4ac , / ¿'

~ ~ V Ifl5 ~ ± Y ~ <1

Ejemplos

7x2t 1) Resolver lo ecuación x5 + 1 — p 3.

Suprimiendo denominadores; 9xs + 9 = 7*- + 27

Transponiendo; 9x2 — 7x- — 27 — 92x2 = 18

x2 = 9

Exlrayendo la raíz cuadrado: x = ‘ ■ 9

x = J R.los dos ralees + 3 y —3 son rea/es y racionales.

(2 ) Resolver la ecuación x® + 5 = 7.Transponiendo y reduciendo; x2 = 2

CCVACIONCS oe StCUMDO C f tA D O • 455

(3 ) Resolver lo ec u oo cn Sx I 12 — 3x2 — 20.

Transpon iendo : 5x* 3x~ = — 20 — 12

2x* = 32

Ext rayendo lo ra i z cuadroda :

los dos ra í ces son imag ina r i os .

x = ± ¿ V r 1 . = ±4 ÍR .

EJERCICIO 271

Resolver Jas ecuaciones:

1 . 3 xs=4B. 9. ( 2 x l ) ( x + 2 ) ( x + 'l ) { x l ) + 5 « 0 .

í>. 5 x í>= IG

3. 7x*+14=0.

10. _G 1 _ _ 2?ix2 6x'i _ 12

2x—3 x - 2

4. 9xfl= =0 . ll> x—3 x T

b. (x 45 )(x— 5 ) = — 7 . 1 2 « » 5 + 4x2 l H x a l _ o

6. (2 x 3 )(2 x + 3 )1 350 . "* 5 1:1x 2H

7. 3{.x l 2){x —2 )= (x —4V*’+ R x . 1 i 2 x 3 - - 1 .

14. 3 - - 4 - t = 2.4 x — I8 K ) ( * 4 ) 4

(43^) ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA a x M b x 0

Vam os a re so lve r la e cuac ión a x - + b x = 0 x(o x * /•) p o r descom p o sic ió n . D esco m p o n ien d o se tiene :

Igua lando a ce ro ambos fac to re s :

x = 0.b

a x + b = 0 x ~ ------ .a

Se ve que en es tas ecuaciones s iempre una raíz es cero y la 01ra es elcoe f ic ien te de l t é rmino en x con s igno cambiado pa r t ido por e l coe f ic ien ted e l t é r m i n o en x 2.

Igua l re su l t ado se ob t i ene ap l i cando l a fó rmula gene ra l a e s t a cc .ua

— b *"V Tt2 — b ~ bc i ó n t e n i e n d o p r e s e n te q u e c = 0. S e ti en e : x -------------- •

— b F b 0

56 • ALGEBRA

E jem píos<1 I Resolver lu ecuación 5a2= — 3x.

Transponiendo. 5x2+ 3x = 0

D e sc om p o nie nd o: x ( 5 x + 3 ) ~ 0

I g u a la n d o a c e ro : x = "

5x + 3 = 0 x

1 o, ra ic es son 0 y — *. R.

<2 I Resolver la ec ua ció n 3x — 1 =

Q u i t a n d o d e n o m i n c d o i c s :

5x f ?

x — 2( 3 x l ) | x 2 ) = 5x + ?

3 x : / x + 2 = 5x + 2Tronsponiéivda y reduc iendo : 3x* — 12x = 0

Descomponiendo:

Los roice s son 0 y 4. R.

EJERCICIO 272

Revolver las ecuaciones:

1 . x ,=ñx.

2 . 4xJ=:*2x.

3. x*—3x=3x*—4*.

•i. 5x *+ 4~ 2(x 42).

3x | x 4 ) = 0

3x = 0

: = Í= C3

X — *1

r>. (*

XJ x - 9 3

7. (4x l ) { 2 x + 3 ) = ( x | : i) (x I).

x f 1 x I 4

x —1 x —28. 1.

3 7) ECU ACION ES C ON RADICALES QUE SE REDUCEN

A 2 o GRADO. SOL UCIONES EXTRA ÑAS

Las ecuac iones con rad ica les se resue lven com o sabemos , des t ruye nd os rad ica les median te l a e levac ión de los dos miembros a l a po tenc ia qued ique e l índ ice de l rad ica l .

Cuando la ecuac ión que resu l ta es de 2o . g rado , a l reso lver la ob ten-emos las dos raíces de la ecuación, pero es necesario hacer la veri f icación

n am b as r aí ces en l a ecu ac ió n d ad a , co m p ro b a r si am b as r a í ces s atis facenecu ac ió n d ad a , p o rq u e cu an d o lo s d o s m iem b ro s d e u n a ecu ac ió n s e

ev an a u n a m ism a p o ten c i a g en e ra lm en te se in t ro d u cen n u ev as so lu c io n esu e no sat is facen la ec ua ción dada. Estas so lucion es se l lam an soluciones

t rañas o inadmis ib les .

E C U A C I O N f S D £ S IC U M O O C K A O O C ON R A O IC A L U • 4 5 7

Por tamo, es necesa r io en cada caso hacer l a ve r i f i cac ión para acep ta rlas soluciones que sa t is facen la ecuación dada y rechazar las soluciones ex-trañas .

Al hacer l a ve r i f i cac ión r . c t i ene en cuenta so lamente e l va lor pos i t ivo

del radical .

EjemploResolver lo ecuación V a x — 3 — V x — 2= V 3x — 5.

E l e va ndo o l c ua d ra do :

V \ 4 x 3 p 2 V 4x- 3 v T ^ 2 + V r ( 7 : r 2 ? = V { 3 x 5 )7o seo 4x 3 2 V4x2 l l x + 6 + x 2 = 3x 5 .

A islando ol radical : — 2V Á x ' —

l l x +

6— 3 x — 5 — 4x + 3 — x + 2.

Reduciendo: — 2 V Á x ^ — l lx + 6 = — 2x

Dividiendo po r — 2: V 4 x : — l lx + 6 = x

E l c vc ndo o l c ua d ra do : 4x2 — l l x l 6 — x¿

I t ansp on icado y reduc iendo : 3a* — 1 l x + 6 ~ 0Dcscomponieisdo: { x — 3 ) 13x _ 2 ) = 0.

Ig u ala nd o a c ero : x — 3 = 0 x = 3 .

3 x — 2 = 0 x = { .

I loc iend o l a ver if icac ión se ve qu e e l va lor x = 3 sa t is foce l a ecuac ión da do , i " mel va lor x - S no salisfaco la ecu ació n. Entonces, x — § es u n a solución 'q u e s e r c c h o z o .l a s o luc ión c o r r e c ta de l a e c ua c i ón e s x = 3 . R.

» EJERCICIO 273

Resolver las ecuaciones siguientes haciend o la verificación co n a m bas m ires:

I x + V 3 x T T = 5 . 9. V'¿x + V 4 x 3 = 3.

2. 2x - s/ x ^ 7 = 3 x - 7 .

•1. 2v l' x V rx I y = l . 1.1. V x + - ~ = 5 .

r,. N/2?=liV3rr3=3. st x / 2 3 r r r 2 v / í = o 1 2 2v ^ = v ^ + r + 7 j f f

, x^x 1 x / : j x = VSic. 13. Vx + V x - f t 2Vx.>- Vbx +1 fx/ Sx =V lü x+ 1. 14 Va-i + s/x+T — VvTxTi = o.

4 3 8 ; REPRESENTACION Y SOLUCION GRAFICA DE ECUACIONES' DE SEGUNDO GRADO

l u d a e c u ac ió n d e se g u n d o g r a d o c o n u n a so la i n c ó g n ita e n x r e p teventa una parábola cuyo e je es pa ra le lo a l e je de la s o rdenadas .

10. V x T 5 + ■ . - =ú-5 Í77T W í + 3 = 4 . V x + **

8 • ALGEBRA

Ejemplos

f 1 f Re presen tar y resolver gráf icam ente la ecuación x11 — 5x + 4 — 0.

El pr imer miembro de es la ecuac ión os uno Junc ión de segundo grado de x .Hac iendo lo Junc ión igua l o y , tenemos:

y = ? j f — 5 x + 4 .

A endn va lor de x cor responde ur . va-lor d e lo función. Dem os va lores o x.

(Fig. 701

P a ra x — 0, y 4

X = 1 y = 0 x I I

C v 1 I I X

* = 2| , y = 2-1x = 3. y = - 2x = 4 y = 0x = 5, y - A

x = 6. I I m m é

x = — 1, y — 10, etc.

FI GURA 70

R e pr e se n ta ndo e s tos va lo r e s de y corres- p o n d ie n te s a lo s q u e h e m o s d o d o o x. ob-te ne m os l a se r i e de punr os que a pa r e c e nserrulados en e l gráf ico . U niend o estos pu n to s p o r u n a cu rv a S uO vo S O obtiene la p a rá b o la ABC, q u e e s la rep re sen tac ión

gr á f i c o de l p r im e r m ie m br o de lo e e va c t ó n d a d a .

El punto infer ior de fo c u r v a , en osle cosoc o r r e s p o n d e a l v a l u t X = 2 J.

El punto infer ior de lo curva |o e l super ior según se vero después) se obtiene

s iempre cu and o a x se le d a un va lo r igua l a — En es ta ecuac ión que

hem os rep res en tad o f> — — 5 y 0= 1, y p o r ta n to = 2.7.los abscisa* de ios punros en que la curvo cor to ol e , ¡e de los x son la: caicosd e fa ecuació n. En eslt : caso la curva cor ta a l e¡c c e las x en dos pun toscuyos ab scis as son 1 y A y éstos son ¡os roices de la ecuación n~ — 5 x + 4 = 0.

Vé a se que c n l a t a b lo d e va lo re s a n te r io r p a r o x = 1 y x = 4 . y — 0. la s roicesanu l an l a ecuac ión .

Cuando ambos ro ices san rea les y des iguofos la curvo cor la a l e je de los x cndos punios dist intos.

P o r ton to , pa r o r e so lve r g r á f ic a m e n te uno e c ua c ión d e se gun do g r a d o en xb a s to h a lla r lo s p u n to s c n q u e lo cu rva c o rta al e je d n la s x

(? ) Representa r y reso lver grá f icamente la ecuac ión x2 — óx + 9 — 0

Tendremos:

y = x2 6x 4 9.

R l P R Í S t N I A C I O N GRAFICA • ‘159

De m os va la r e s a x . (fig . 71 1.

Poro x = 0, y = 9

x = 1, V = 4

S e I I y = iX — 3 , y ox = 4, y = lx = S, y = 4x = 6, y = 9 , o te.

Representando es tos puntos y uniéndolosr e su l t a l a pa r á bo la AB C que e s t a nge n te

a l e je de ¡as x . Esta curvo es la rep re-sentac ión grá f ica de l pr imer miembro dek i e c ua c ión xt — 6x + 9 ~ 0.Lo curva toca a l e je de las x en un solo

p u n to 8 cuyo absc isa es 3 , luego /as dosroicos do ío ocuoc/’ón son i g u a l a y v a -

len 3 . O bsé r ve se que e n l a ta b la d e valores x = 3 a nu la lo función.

C ua nd o o l a p li c a r l o f ó rm ula a una e c ua c ión d e T g r a d o l a c a n t i d a d t u h r n

dica í de \ T & — 4a < os n e ga t iva , o m bos r a l e e s son im a g ina dos .¿ o p a r á b o l a q u e r e p r e s e n t a una e c u a c i ó n d e V g rado coyas ra iccs son Jmagi

nar ras no cor fa o l eje a 'e l os x .

EJERCICIO 274

Representar gráficamente las funciones:

1. x*4 3x4. 3 x2 5 x + 6 . 5- x * 2 x 8 . 7. x '&v+I( i. 0. ¿X; 9 x ♦2. x* + 3x +2. 4. x*f2x—8. 6 x 2 9 8 x aM*+4* 10 3x*4v

R e s o l v e r gráficamente las ecuaciones:

X*4xf*8—0 14. * í + 4 x + 3= 0. xa+ 8x + lG = 0. 20. xa—lx l12 x*6x+H= 0* 3*' xa= 6 —x. 18. x2 4 = 0 21. 2xJ 9 x t l0 * i! '• x5 2 x —3=0* 18 x 2= 2 v l. 18. x *=3x410 22. 2.v25 x 7 0

Potsc/am

TAV JACOBI I1B 04 1S5 I» M atem itko ( imctonut e l ip l ica t é l i tco n'i de los números. Sofesor do ranto m ítleiu en l i t un ivcriid idc i obra sobre ecuaciones diferencíalos inicia una auovsKo cnigibcrg. Com parre eon Abel el Gran etapa en la Dinim lca. E« famosa en osle campo laInstilólo de Franela por su trabajo sobre ecuación H am iltonJacob i. Ideó la forma sencilla de

* elípticas. Fue el prim ero «n ap licar estas las determ inan tes rjue se estu dian boy en ol Algebra.

C A P I T U L O XXXIV R O B L E M A S Q U É S E R E S U E L V E N P O R E C U A C I O N E S D E

G U N D O G R A D O . P R O B L E M A D E L A S L U C E S

39 ) C u a n d o e l p l an t eo d e u n p ro b lem a d a o r ig en a u n a ecu ac ió n d e se-gundo g rado , a l reso lver es ta ecuac ión se ob t ienen dos va lo res para

a incógnita.

So lamente se acep tan como so luc iones de l p rob lema los va lo res de lancógni ta que sat is fagan las condiciones <lel problema y se rechazan los que

o l a s cu m p lan .

40} A es dos años m ayor qu e l i y l a sum a de los cuad rados de am bas eda' des es 130 años . H a l lar am bas edades .

Sea x = la ed ad de A .

E nto n c e s x 2 l a ed ad d e B .

Según lasco n d ic io n es : x l ( x 2 ) 130.

Simplificando, seobtiene: x- - 2 x <13 - n.

R es o lv ien d o : (x í>)(x I7) = 0.x — 9 = 0 x = 9

x -r 7 = 0 X = V

Se rechaza la solución x ~ - 7 po rq ue la edad de A no pu ed e ser

441 ; A c om pró c i e n o n úm e ro de sa cos de f r ij o le s po r S240. S i huh i c i ac ompra do 3 s a c os má s po r e l m i s mo d i ne ro , c a da s a c o l e ha b r í a ro s n i -

do $4 me nos ¿ Cuá n t os s ac os c o m pró y a qu é p re cio?

S ea x = el n ú m e r o d e s aco s q u e c o m p r ó .

S i c om pró x sa cos po r *240 , c a da s a c o l e c os t ó S— .

Si h u b ie ra co m pra do 3 sacos m ás , x + 3 sacos, p or e l m ismo d in ero

5240. cada saco sa ldr ía a 5^ ( pe ro segú n las co n dic io n es e l p rec io de

21(1c a da u n o de esto s sacos, —, s e ri a ? l m e no r q u e e l p r e c i o d e c a da uno

x + J210

d e lo s sacos a n te rio r es , — lu e g o , se t ie n e l a e c u ac ió n :

* 240 240r = r ? 3 + 4

Resolv iendo es ta ecuac ión se ob t i ene x ~ .v. y x = .5

Se rechaza l a so luc ión x = 15 y se acep ta x 12; luego , co m pio

240 24012 s ac os y c a da sa co l e c ostó = — 5 2 0 . K .

(442) L a l ong i tud d e un t e r r e no r e c t a ng u l a r es do b l e q ue e l a nc ho . S i l.il ong i tud se a um e n t a e n 40 m y e l a nc ho e n 6 m , e l á r e a se ha ce

do ble . H a l l a r Las d im ens iones de l te r reno .S e a x = c l a nc ho de l t e rr e no .

E n t onc e s 2x la l on g i t ud de l t e rr e no .

El á rea de l t e r reno cs x X 2x = 2x*.

A u m en tan d o la long i tud en 40 ■», és ta ser ia (2x I 10) m , y nu m enta n d o el an c h o en (¡ m, éste seria {x 6) ni . E l áre a ah o ra seria (2x I 10)(x + 6 ) = 2x2 + 52x + 240 m , pe ro s e gún la s c ond i c i one s e sta nue v a á re ase r ía doble que l a an te r io r 2x*; luego , t enemos l a ecuac ión :

2x* + 52x + 240 ~ 4x.

T r a n s p o n i e n d o y r e d u c i e n d o :

2 x + 5 2x + 240 0.

C a m b i a n d o s i g n a s y d i v i d i e n d o p o r 2 :

x 2fix 1 2 0 0.

R e s o lv i en d o e sta e c ua c ió n s e h a lla x — 1 y x = 4 .

A cep tand o l a so luc ión x 30 . e l an ch o de l t e r re no cs 00 in y la lon -

g i tud es 2x = C0 m. R.

: 44 ¿j l in a |>eiKoiin ven de u n cab al lo en 524, pe rd ien do u n '/, s ob re e l r o s -to de l caba l lo igua l a l nú m ero de j ie sos q u e l e cos tó e l caba l lo . ¿C uán -

to le había costado el cah.t l lo?

PROBLEMAS SOBRE ECUACÍONES DE SEGUNDO GRADO • 461

2 • A l G I B R A

E n t o n c e s x — rf . de gananc ia sobre e l cos to .

La pé r d ida ob te n ida e s e l x % de S x. E n A r itm é t ic a , pa r a ha l l a r elG X 6 3*> , . . . . x x x x*

d e % p roc ed em os asi: ■J()|J = lueg o, el x f , d e >x se ra ^ ^ — X*

En tonc e s , c o m o la pé r d ida es la d i f e r e nc ia e n t r e e l c os to x y e l

c io d e v e n ta $24. se t ie n e la ec u ac ió n :

= x 2 i .100

R esolv iend o esta ecuac ión se ha l la x = 10 y x ~ V'i

A m bas so luc io nes sa ti sfacen las con dic ion es de l p ro blem a: luego , e l ca-

lo h a b rá costad o S40 ó §G0. R .

EJERCICIO 275

t |.i sum a de «los nú m ero s es !) y la sum a de sus cua drad os 53. H al lar losnúmeros.

2. Un número positivo es los g de otro y su producto es 21G0. Hallar losnúmeros.

3. A t iene 3 años más que lf y el cuadrado de la edad de A aumentado enel cuadrado de la edad de ¡i equivale a 317 años. Hallar ambas edades.

J U n nú m ero es el trip lo d e otro y la diferen cia d e sus cu ad rad os es 18(10.Hallar los números.

5. El taladrad o de u n n úm ero dism inuido en y equivale a 8 veces el exwsudel número sobre 2 Hallar el número

6 H all ar «los núm eros consecutivos tales q u e el cu ad rad o «leí mayo r excedaen 57 al tr iplo del menor.

7. L i lo ng itud «le una sala excede a su anch o en 4 m. Si cada dim ensiónse aumenta en 4 ni el área será doble. Hallar las dimensiones de la sala.

8. Un comerciante compró cierto número de sacos de a/.útar por 100(1 bo-lívares. Sí hubiera comprado 10 sacos más por el mismo dinero, cada saco

Je habría «oslado 0 bolívares menos. {Cuántos sacos compró y cuánto lecostó cada uno?

0 Un c aballo costó 4 veces lo que sus arreos y la suma de los cu ad rad os del pre cio del caballo y «sl precio «le los arreos e s86062.»sucres . ¿C uánto «oslóel caballo y cuánto los arreos?

0 l^a dilercn cia de dos nú m eros es 7 y su sum a m ultiplicad a po r el núm eromenor equivale a 184. Hallar los números.Ha sum a de las eda des de A y l( es 23 años y su producto 102. Hallarambas edades.

2. U na p ersona com pró cierto núm ero de libros po r $180. Si hu biera com - p rado G libros m enos p o r el m ism o d in ero , cada lib ro le h ab ría costado>1 más. ¿Cuántos libros compió y cuánto le costó cada una?

o U na com pa ñía de 18(1 hom bres está disp ue sta en filas. El núm ero desoldados de cada lila es $ más «pie el número de filas que hay. ¿Cuántasfilas hay y cuántos soldados cu cada una?

íRO f lt lM A S ÍOORC tCOAC IOHCS O I SEGUMDO GRADO • 4 6 3

15, En tre cierto nú m cio de personas com pran uii au to qu e vale 51200. Eldinero que paga cada persona excede en 194 al número de persona*.¿Cuántas personas compraron el auto?

10. Compré cierto número de relojes por $192 Si el precio de cada relojes los ¡J del número de relojes, ¿cuántos relojes compré y cuánto pagué por cada uno?

17. Se ha co m prado cierto núm ero de libros por $150. Si cada libro h ubieracostado $1 más, se habrían comprado 5 libros menos con los $150. ¿Cuán-tos libros se compraron y cuánto costó cada uno?

13. l’or 20U lemp iras comp ré cie no nú m ero de libros. Si cada libr o rae hubieracostado 10 lempiras menos, cl precio tle cada libro hubiera sido igual alnúmero de libros que compré. ¿Cuántos libros compré?

10. Compré cierto número de plumas por $24. Si cada pluma me hubieracostado $1 menos, podía haber comprado 4 plumas más por el mismodinero. ¿Cuántas plumas compré y a qué precio?

20. Un tren emp lea cierto tiem po en recorrer 240 Km . $i la velocidad liubieiasido 20 Km por hora más que la que llevaba hubiera tardado 2 horasmenos en recorrer dicha distancia. ¿En qué tiempo recorrió los 2111 Km?

21. U n ho m bre com pró cierto nú m ero de caballos po r $2000 Se le m urieron2 caballos y vendiendo cada uno de los restantes a $00 más tle lo que lecostó cada uno, ganó en total $80 ¿Cuántos caballos compró y cuánto locostó cada uno?

32. H alla r tres núm eros consecutivos tales qu e cl cociente de) mayor entreel menor equivale a los jjj del número intermedio.

3.i El pro du cto de dos núm eros w 180 y su cociente 1}. H allar los números,24 Un hom bre com pró cierto núm ero de naran jas po r $1.50. $c com ió :> miran,

ja s y vendie ndo las resta nte s a 1 ctv o. más de lo que le costó cada un a recu jieró lo que había gasta do. ¿Cuánta s naranjas com pró y a q u e precio?

38. C uan do vendo un caballo en 171 quetzales gan o un % sobre cl costo igualal núm ero de Q qu e me costó cl caballo. ¿Cuánto cosió cl caballo?

3i'). El pro du cto de do» núm ero s es 352, y si el m ayor se div ide po r el m enor,el cociente es 2 y el residuo 10. Hallar los números.,

2•' Se ha n co m prad o dos piezas de tela qu e ju n ta s m iden 20 m. El m etrode cada pieza costó un nú m ero de pesos igual al núm ero de m etros dela pieza. Si una pieza costó 9 veces lo que la otra, ¿cuál era la longitudtle cada pieza?

28. Un tren h a recorrido 201) Km en cierto tiemp o. Pa ra hab er recurridoesa distancia en 1 ho ra menos, la velocid ad deb ía ha be r sitio 10 Km por hora más. H a lla r la velocidad del tren.Un hombre ha ganado 84 colones trabajando cierto número de díasSi su jornal diario hubiera sido 1 colón menos, tendría que haber trabaja do 2 días más para ganar $4 colones . ¿Cuánto s dia s trab a jó y u iá les xti jornal?lo s gastos tle un a excu rsión son $ÍJÍI. Si desisten de ir :{ personas, tatlauna tic las restantes tendría que pagar $1 más. ¿Cuántas personas vanen la excursión y cuánto paga cada una?

:¡J. El cociente de dividii 81 en tre cierto nú m ero excede en 5 a este núm ero.

I lal lar cl núm ero.32. La edad de A hace « años era la raíz cuadrada de la edad que tendrádentro de 6 años. Hallar la edad actual.

' ' Com pré cierto núm ero tic libros po r $ 4 0 y cierto número tic plumas|x>r $ 1 0 - Catl.t pluma l i t e costó $ 1 más que cada libro. ¿Cuántos libios

■ com pré y a qué p ierio si rl núm ero de lilnos excede al tic plum as en 2?

6 4 # A l C I B R A

ROBLEMA DE LAS LUCES

4 4 ' E l P r o b l e m a d e l a s L u c e s c o n s i s t e c n h a l l a r e l p u n t o d e l a l í n e a q u eu n e d o s f o c o s l u m i n o s o s q u e e s t á i g u a l m e n t e i l u m i n a d o p o r a m b o »

Tocos.Sean dos fo ros l uminosos A y B ( f igura 72). Sea / l a in ten s ida d lum i-

osa del foco A e 1' l a in tens idad del foco t i . ( In t e n s id a d o p o t e n c ia lu m i -n o s a d e u n f o c o e s u n a m a g n i t u d q u e s e m i d e p o r l a c a n t i d a d d e l u z q u e

r r o j a u n f o c o n o r m a l m e n t e s o b r e l a u n i d a d d e s u p e r f i c i e c o l o c a d a a l a

un idad de d i s t anc i a ) .

FIGURA 72 |

S e t r a t a d e b a i l a r e l p u n t o d e l a l i n c a A f l q u e u n e a m b o s f o c o s , q u ee s t á i g u a l m e n t e i l u m i n a d o p o r a m b o s f o c o s .

S u p o n g a m o s q u e e l p u n t o i lu m i n a d o i g u a l m e n te es el p u n t o 1’. Sea d

l a d i s tancia cu t re ambos focos y x l a d i s tancia del foco A a l p u n t o i g u a l -men te i l uminado : l a d i s t anc i a de l foco l l a d i c h o p u n t o s e r á A x.Exi s te un p r inc ip io cn lísica q u e d i ce : I .a il um inac ió n qu e p roduce

u n f o c o l u m i n o s o s o b r e u n p u n t o c n l a d i r e c c i ó n d e l r a y o e s d i r e c t a m e n t ep ro p o rc io n a l a la in te n s id a d d e l fo to e in v e rsa m e n te pro|M >rc i»nal a l cu a-drado d e la d i s t anc i a de l foco a l pu n to . En tonces , la il um inac ión q u e p ro -

duce e l foco A s o b r e e l p u n t o P, s egún e l p r inc ip io an t e r io r , s e rá — y l a] ’ x

i l u m i n a c i ó n q u e p r o d u c e e l f o c o l l s o b r e e l p u n t o I * será Y c o m o

es tas i luminaciones son iguales por ser P e l p u n t o i g u a l m e n t e i l u m i n a d o ,

ic n drc m o s la ecu ac ió n : — = _ o sea

Esta es n a ec ac ión de 2o grad o q e p ed e po nerse en la fo rma

r n o s L EMA p e t u l o c u • 4 6 5

v T xlo s dos n i i cm bios d e e s ta i gua ldad y se ti ene : ---------- ^ ------ c o n lo q u e q u e

da un a ecuac ión de p r im er g rado . R eso lv iendo e sta ecuac ión :

( d - x y / T = x V r

d V T — x V T — x V T T r a n s p o n i e n d o : — x V T — x V T ~ —d V T

o sea: x V T + x V T = d V ~ í x ( V T + V T ) = d V T

X ~ V T + V T

y c o n s i d e r a n d o el d o b l e s ig n o d e ,' / 7 r. se t ie n e f in a l m e n t e :

d V I d i

x v f / + y 7 ° * - l - ' í ”

f ó r m u l a q u e d a la d i st an c ia d e l fo c o A a l p u n t o i g u a l m e n t e il u m i n a d o e nfunción de la d i s tanc ia en t re los dos focos y de las in tens idades luminosa)de l o s focos , can t i dades t odas conoc idas , con l o cua l d i cho pun to quedad e t e r m i n a d o .

DISCUSION

Consideraremos t res casos , observando la f igura :

' ) 1 ! ' . S ie nd o / > / ' se t ie n e q u e V T > V T ; luego, V T + V l 1 r i> /7m a y o r q u e V T p e r o m e n o r q u e 2 V T ; p o r t a n t o , —— ----- — es m e n o r q u r l

v 7 + v i

d V T / V I \ y m a y o r q u e lu e g o , c l p r i m e r v a l o r d e x , q u e es ~ r j+xy j r ~ ^ ' V f i~ V J r' '

es igual a d m u l t ip l i cada po r un a ca n t i dad pos it iva , m en or q u e 1 y mayor

q u e ¿ ; l u e g o , x e s m e n o r q u e d y mayor que —, l o que s i gn i f i ca que c l

p u n to ig u a lm e n te i lu m in a d o está a la d e rec h a d e A , e n t r e A y B , más ccr

c.r de B

q u e d e A ,

c o m o e s t á e l p u n t oP.

E s e v i d e n t e q u e cl p u n t o ig u a l -m e n t e i l u m i n a d o t i e n e q u e e s t a r m á s c e r c a d e l a l u z m á s d é b i l .E n e l s e g u n d o v a l o r d e x s i e n d o V T > W c l d e n o m i n a d o r . V T — V T

V T e s p o s itiv o , p e r o m e n o r q u e V T ; l u eg o , —— — — es u n a c a n tid a d p ositi

V T — V lva y mayor que 1 ; luego, x es igua l a d m u l t i p l i c a d a p o r u n a c a n t i d a d p o -s i t iva mayor que 1 ; luego, x se r á pos i t i va y mayor que d , l o que s i gn i f i caq u e h a y o t r o p u n t o i g u a lm e n t e i lu m i n a d o q u e e stá s i tu a d o a la d e re c h ad r B. c o m o c l p u n t o P\.

I ¡ ' . E n es te caso V T = V T ; luego, V T + V T = ‘¿ V T y c l pr im er d V T d .

v alo r d e x se c o n v i e rte e n x = — r r = —. l o q u e s ig n if ic a q u e c l p u n t o2 V T 2

i g u a l m e n t e i l u m i n a d o s e r á e l p u n t o m e d i o d e l a l í n e a A B .

E l s e gundo va l o r de x ,s ie n d o v T = V ' 7 /, se c o n v ie n e e n x = ^ = <»

ue s i gn i f i c a que e l o t r o pun t o i gua l m e n t e i l um i na do e s t á a una d i s t a u infinita del Coco A , o sea , que no existe .

E n t once s , s ie ndo / ~ no ha y m á s q ue t ina so luc ión .

3 ) / ' / E n e s te caso v T c V T 7. o sea v '7 > v '7 ; lu eg o, V 7 + V 7 '

m a yor que 2v ' 7 , y — — ----- — se rá m e n o r q u e 4 ; luego , x será igualv y + v / '

m u l t i p l i c a da po r una c a n t i da d m e nor que J . o s e a que x e s pos i t i va yd

o r q u e l o qu e s ign if ic a qu e e l p u n t o i gua l m e n t e i lum i na do e stá a

e rech a de / / , másc e r c a de A q u e de 11. como es lóg ico que suceda por

e l foco A tnás déb i l q u e el loco li en este caso.E n e l s e gundo va l o r de x, s ie n do v T < V T e l de nom i na do r , V 7 — v T '

v Tegat ivo; luego, —— ---------- e s una can t idad nega t iva y x es igua l a d . ,. . V I —v T

l t ip l icada por una cant idad nega t iva ; luego, x es nega t iva , lo que s igc a q u e h a y o t r o p u n t o i g u a l m e n t e i l u m i n a d o y s i tua do a la izquierda

A c o m o el p u n t o P¿.

(1 I So tiene un foco luminoso A de ICO buj ías y o l io fono B

de 25 buj ías , s i tuado a 3 m a lo de recha de A . Ho l la r « i pu n to d o la lín ea AB ¡guo lm cn lc ¡lu m inedo p o r am bos .

Aquí d ~ 3. I ~ ICO, I ' = 25 . El pr imer valor d o x será:

d v T 3 X VTOO 3 x l ü 30 = - . 2 m.

O A lG ID R A

Ejemplos

v 7 + v 7 V l o o + V ñ 10 + 5 15

luego hay un pun to en l a l ineo A B igua lm en te i lum inado s i tuado a 2 tn o l ed e r e c h a d e A . El segu ndo valor será:

d V I 3 X V T S 5 3 X 10 30

x = —=-----

— — — j — = ----------

= —■ =6m .V t - V T v T ? ® v T S 1 0 5 £

luego l iay o t ro punto igualmente i luminado en lo l inea AB s i tuado a 6 ma l o d e r e c h o d e A .

12 ) 5e t ienen dos focos luminosos, A d e 3 6 b u jía s y ü d e ICO b u jia s , e s ta n d o M ma la de rech a de A . Ho l la r e l pun to igua lm en te i lum inado de l a r ec ta AB.A quí d = 4 , 1 — 36 , I* = ICO. El primer v alor d e x será:

d V i _ 4 X V 3 6 _ 4 X 6 _ 2 4 _

x ~ ,v 7 + v T v u T v m ~T + ló " " id ~ 1 m‘l u e g o h a y u u p u n i ó d e l a l i n e o AH igualmente i luminado s i tuodo o 1 .50 m. ala de rech a d e A. El s egund o va lo r de x s e rá :

d V T 4 X 6 4 X 6 24

e m eG ^ l O J s

IVARISTí GALOIS (1 8 1 11832> Matemát ico fran• t t Después de realizar estud ios en un Liceo, ingruta•n la Escuela Normal. Acosado de peligroso rcpublit ano va a pa rar a la cárcel. N o fue la única v ez <|uc• «tuvo en pm ión. Acabado de sal ir muero do un p ii

tolclaio en un duelo, cuando apenas tenia 21 *A*«edad. A potar do osta corta vida Galois dojú un* tela profunda en la historia do las malemltirsrla damostración del teorema que lleva su nombre b re la re so luciúñ do la s ecuacio nes de prlm»i i ' .

C A P I T U L O X X X V

T E O R I A D E L A S E C U A C I O N E S D É S E C U N D O G R A D O ,

E S T U D I O D E L T R I N O M I O D E S E G U N D O G R A D O

i445) CAR AC TER DE LAS RAICES DE LA EC UA CIONDE SEGUNDO GRADO

L a e c ua c ión g e ne r a l de s e gun do g r a do ax* + bx + c — 0 t i e ne dos r a l -

ees y sólo dos, cuyos valores son: — b + v / b 2 4ac - b - ' f b 3 — <tac

Kl ca rác t e r de es t as r a í ces depende de l va lor de l b inomio b 1 — Aac q u ees tá bajo e l s igno radical ; por esa ra /ón b z — Aac se Mama d i sc r im ina n te d rl a e c ua c i ón ge ne r a l de s e gundo g r a do .

Consideraremos t res casos :

0 ■ ln. . . u n a . i ir ír «I |i>i\itiv¡f En este caso las iaic.cs son le a -les y desiguales.

Si í»a — Aac cs cuudmdo |>eifcclo, las raíces son racionales, y si no lo r»,son i r rac ionales .

2 ) f>- 4 ac es ce ro E n es te caso las ra íces son reales c iguales. Su

lo r e s .2a

3 ) ' ' l a r e s u n a can t id ad n eg a tiv a E n e s te caso la s r a íces so n ¡m a-narías y desiguales.

Ejemplos

(1 ) D eterminar e l corócter d e l as ro iccs de 3x2 — 7x + 2 = 0 .

H a l l emo s e l v a l o r d e 6* — 4 a c . A q u í o = 3 , h = —7 , e = 7 , luego

b? 4 a c = 1 7 I* - 4 (3 1 (2 1 = 4 9 2 4 =25 .

Com o b* — 4oc = 25 es pos it ivo , l as ra íces son rea les y des igua les y como 25es cuadrado per fec to ambos ro iccs son rac ionales .

<2 f D eterminar o l cará c ter d e l as ra íces d e 3x2+ 2 x — 6= 0.

A q uí o = 3 , 6= 2, c = — 6, luego

fa* 4oc = 2* 4! 3) I —6 1= 4 + 72 = 76.

C o m o b 2 — 4 a c = 76 es posi t iva, las roiccs son reales y desiguales y como 76no es cuadrado per fec to los ra íces son i r rac ionales .

<3 ) De t e rm in a r o l ca rác t e r d e l a s r aí ces d e 4 x * — 12x + 9 = 0 .

b 2 — 4o c = — 1 2 I1 — 4{ 4 ! i 9 ¡ = 14 4 — 144 = 0.

C o m o b2 — 4 a c = 0, la s ra íc es son re a les c ig uale s.

(4 ) D e t ermi n or e l ca rác t e r d e lo s r a íces d e x2 — 2x + 3 = 0.

b 2 4 o c = I — 2 j ' — 41 1 ) ( 3 | = 4 1 2 = 6.

C o m o b a — 4 o c = — 8es negat iva , l as ra íces son imaginar ios .

EJERCICIO 27 6

Determinar el carácter de las «alces de las ecuaciones siguientes, sin re-veilas:

. 3xa+ 5 x —2=0 4. 3xa2 x + f i= 0 . 7. a.va 9 x + 7 = 0 . 10. x a+ x l = 0 .

% 2xa—4 x + l—0 5. x2—10x+ 25= ü. 8. 36x2+ 1 2 x + l= 0 . 11. 5x27 x + 8 = 0 .

4x a 4 x + l = 0 . 6. x 2 5 x —5 = 0 . 0. 4 x * 5 x + 3 = 0 . 12. xa l 0 x U = 0 .

6; PROPIEDADES DE LAS RAICES DE LA ECUACIONDE SEGUNDO GRADO

La ecuac ión genera l de 2o . g rado es ax~ + bx + c = 0 y sus raíces

68 • ALGEBRA

Estas ra íces t ienen dos propiedades :

I ) Su m a d e la s ra íces. S um and o la s raíces , t enemos :

—b + v ¿j* —.\ac — ó —V ¿>a _ •lac*1 t X3 = + -------------------------

2 a 2a

TEORIA DE I .AJ ECUACIONES DE SEGUNDO CHACO ®> 4 6 9

— b + V bi — ‘ia c — b — V b * — 4ac

- 2 b - b b= = , o s e a x i + x a= -

m a :»

luego , l a suma de l a s ra íces e s igua l a l coe f ic ien te de l s egundo t é rmino de

la ecuac ión con c l s igno cambiado pa r t ido por c l coe f ic ien te de l p r ime»té rmino .

2 ) P rod uc to ele las ra íces . M u l t ip l ican do las ra íces , tenemo s:

b + 2 b 2 — 4flC —b — V b ¿ — 4flcX i X a = X ' ......

2a . 2a

( ~ b + ' / b : — 4 ac ){ — b — V b 2 — 4 ac) _

(—b i¿— Aac)2 ó * — \b2 — 4 a á b2—b24'4ac 4ac c

4a3 -ia2 4rts 4aa a

co s ea x ,x 2 =

luego , e l p ro t luc to de la s ta fees e s igu a l a l t e rce r t é rm ino de l a ecuac iónc o n s i l p ro p io s ig n o g i r a d o (H ir c l co e fic ien te d e l p r im e ro .

La ecu ac ión ax2 4 />x + c = 0 pu ed e escr ib i rse x*' + ~ x I- ~ — 0 , divi

d i e n d o t o d o s s u s t é r m i n o s p o r a. Entonces , como

— b b cx , + x j = — y x xx u = -

p o d em os d e c ir q u e e n to d a e cu ac ió n d e la fo rm a x'*‘ + x + 0 o

x 2 + m x + t i = 0 , es d e c ir , e n t o d a e c u a c ió n d e s e g u n d o g r a d o e n q u e el

coe f ic iente de l p r im er té rm ino es 3, la sum a de las ra fees es igua l a l coef i-c i e n t e d e l s e g u n d o t é r m i n o c o n e l s i g n o c a m b i a d o y e l p r o d u c t o d e l a i m i -ces es igua l a l te rce r té rm ino co n su p rop io signo.

0 ■ a ic is r a

Ejemplos < i 1 H ollar si 2 y — ó son los raíces tío la ecua ción

Xa + 3x 10 = 0.

Si 2 y — 5 son los ra íces de o sla ecu ación , su suma t iene q ue ser igual ol

coefic iente del seg un do termino 3 con el s igno c am biad o, — 3 y su pro duc tot iene qu e se r e l te rce r té rmino — 10 con su prop io s igno. Vco m os si cumplenestos condiciones:

Suma: 2 I ( 5 J — 2 5 = — 3, cocí , d e x co n el s igno cam biad o.

Producto. 2 X ( S | = 10, te rce r te rm ino con su p ropio s igno.

Luego 2 y — 5 son las raíces de la ecuación xa I 3x — 10 — 0.

<21 H allar si — 3 y — ; son las ra iccs d e la ecuació n 2x2+ 7x + 3 = 0.

Pongamos la ecuac ión en lo formo x5r m * + n = 0 d iv id ie nd o p or 2, q u e -d a r á :7 3

* 2 + ' + ± = 0.2 2

1 1 7 Suma: ( —3 ) + ( — ) = — 3 — coel.de x con el signo cambiado.

X if Prcduclo: | — 3 J ( — — tercer término con su propio signo.

Luego 3y | son las raíces de la ecuación 2x2 + 7x + 3 = 0.

<3) Hallar si 1y —^ son las roices de lo ecuación 3x* + x —2 = 0.

X 2Dividiendo por3 se tienex3 + x — = 0.í» •»

Lo soma co el coeficiente del segundo término con su propio signo y no con

el signo cambiado, luego I y —* no son los raíces de lo ecuación dada.

EJERCICIO 277

Dcierimitat, jior las propiedades de las raiccs. si:

1 2 y —3 son las raiccs de xs + x —6= 0.2. 1 y 5 son las raiccs de x'—4x—5= 0 .3 1 y —£ son las raíces de 2x a—x —1=04. 3 y j son las ratees de 3x*r8x—3= 0.

2 y i son Jas raiccs de 5x*—U x + 2 = 06. —1 y son las ra íces de lx + 17xM =0.7. —5 y —j sort las raíces de 5x2f24x—5=0.8 . 1 y 7 son las raiccs de xa+ 3x 28 = 0 .

9 4 y —8 50,1 *as raiccs de 6x 2+ x —2=0.

48 ) DADA S LAS RAICES DE UN A ECUA CION DE SEGU NDO

^ GRADO, DETERMINAR LA ECUACION

( 1 ) lo* ra íces de una e cuación do 2* g rad o son 3 y 5. De

terminar la ecuación .Hallemos la sumo y el p rod u cto de los raiccs .

Sum o: 3 + 1 5 1 = 3 5 = ?

Producto: 3 X (— 5 )= i 5

Sab em o s q u e l o su m a d e lo s r a íces d e t o d a ecu ac ió n d e la f or m a x M rnx • n 0es igual al coef iciente del ¥ t é r m in o co n e l s i g n o co m b io d o y e l p r o d u c to e sigual al tercer término con su propio s igno.Aqui , la sum a de los raíces e s — 2, lueg o el coef iciente dol se gun do términode la ecuación será 2; el producto do las roices es — !S, luego — 15 será el tor-

cer te rmino de la ecuación .Por tonto , la ecua ción seró:

x a + 2 x - 1 5 - 0 . R.

Ejemplos

g(2 ) Los ro ices do una ecuación son 2 y — Determinar la ecuación .

Sum o d e l os r oi ces : 2 . + 1— j 1 = 2 — =

Producto d e k i s r a íces : 2 X (— j ¡= — =

la suma con e l sigiso combiodo se pon e d e c oef ic ien te de l ¥ término dr loecuación y e l p roducto coa su propia s igno se pone de torcer término, lunu<»la ecuación será:

5 3x “ x — — = 0 o s e a Ax7 — 5x — 6= 0 . R.

< 3f H al lar l a ocuoción cuyos ra íces ion — 4 y — j .

Sum a: í ~ 4 | + ( j ) = 4 g =

P ro du cto : ( 4 ) X ( ? ) = ~

La ecuación será:

23 12x* + — x + — = 0 o s ea Sx2+ 2 3x + 12 = 0 . R.

EJERCICIO 278

Determinar la ecuación cuyas rafees son:

1 3 y 4. 4 1 0 y 11. 7. 3 y } . 10. 5 y I .

1 y 3. 0. i y i . 8. 2 y 11. G y f

»• 5 y 7 . 0 . - 2 y I . 0. i y 12. 2 y f

2 • a u í i d r a

18 y 5 2 . 18. i y i . 22 ü y * b >' fl~ 6

O ^ 2 " 1 L » M , » . 23 2a y * 7 T *,1 a. , 28‘ t+V^ y 1-V^.

O y p 20 8 y “ 7 2<1 “ 7 y 7 29. 2+'/Z> y 2 - V b .

5 y 5 . 21. “ 7 y p 20. m y - j . 3 0. 3+ V^H y 3 V = l .

9) DADA LA SU M A Y EL PROD UCT O DE DOS NUM EROS,

HALLA R LOS NUMERO S

Ejemplos ( 1 ) lo suma do dos números es 4 y su produelo — 396. Hallar los números.

P o r l a s p r o p i e d a d e s d e l a s r a f e e s d o l a e c u a c i ó n d e 2 * g r a d o , s i l a s u m a d elo s d o s n ú m er o s q u e s e b u s can e s 4 y su p rodu elo — 396 , los do s nú m eros sonlo s r o í ces d e u n a ecu ac ió n d e s eg u n d o g r ad o d e l a f o r m a x2+ mx + n = 0en la cu al e l coef ic ien te de l segu ndo térm ino es — A | la sunsa con el s igno com

b iad o ) y el te rce r té rm in o e s — 396 (el p ro d u c to con su p ro p io sign o} luego

la e cu a ció n e s: x * 4x 396 = 0.

Las r a íces d e es ta ecuación son los núm eros q ue buscam os . Reso lviendo es taecuación :

I x -2211 x + 1 8: = 0.

x — 22= 0 . ’. x = 22 x , = 22.x + ’8= 0 x = — 18 = — 18.

Luego los núm eros busc ad os son 22 y — 18. R.

( 2 ) l o s u m a d e d o s n ú m e ro s e s — 7 y su p roducto 6. H allar los núm eros.

L o s d o s n ú m er o s q u e b u s cam o s s o n l o s r a í ces d e u n a ecu ac ió n d e 2 Wg r ad o

cuyo pr imer té rmino es x2 , en lo cual e l coef ic ien te de l 2* término es 7 | la

suma con e l s igno cambiado) y cuyo lo rcer té rmino os 6 (el producto con su p ro p io sig no) lu eg o lo ecu ac ió n es

35Xa + — x + 6 = 0.

Las r a íces de es ta ecuación son los números que buscamos . Reso lv iendo la

ccu<KÍÓf,: 4xs + 35x + 24 = 0 .

— 35 ~ v 35a — 4 14 n 241 3 5 * v 1225 384

35 = v 841 3 5 • 29

3 5 + 29 6

** 8 8 4 3 5 29 64

* » = — 8— = 8 = R

TEOR I A DC I A 5 ECUACI ONES UE SEGUNDO GRAD O • '173

m - EJERC ICIO 279

Encontrar dos números sabiendo que:

•i. I .a su m a es 11 y el p ro d ucto 30.

La suma es 3 3 y el produ cto 260

3. La su m a es —1 y el p ro d ucto —306.

4. La sum a es —<19 y el pio d u cto 294.

5. L a sum a es 6 y el pro du cto 247.

6. La sum a es * y cl pr od uc to —1.7. Ia sum a es —— y cl pr od uc to 8

6 L a suma es | y cl p ro du cto —jj.

D. La sum a es —13^ y el pro d uc to G .

:0. Ln su m a es —3^ y el prod uc to 1.

U . La suma es ^ y el producto

12. La su m a es — j y el p rodu cto

13. Ia sum a es — y c l producto ’

14. La sum a es 4^ y. cl pr od uc to t.

15. La suma es ^ y el prod uc to ‘

1C. La sum a es 2 y el pr od bc to I

17. L a sum a es 1 y el pr o du cto ,1

13. Lasum a es —1 ’ y cl pr oducto t i|

10. lítsuma es a y cl producto

20. Lasum a es —76 y cl pro du cto 106'

21. Itsuma es y cl p roducto “

ESTUDIO DEL TR INO M IO DE SEGUNDO GRADO ax2 + bx + e ,

1450) DESC OM POSICION EN FACTORES DEL TR IN O M IO' - J DE SEGUNDO GRADO

El t r i n o m i o d e s e c u n d o g r a d o a x 2 + b x + c p u ed e e sc r ib i r s e

a x2 + b x + c = a (x 2 + — x + — ) (1)V a a '

I g u a l a n d o a c e r o c l t r i n o m i o d e l s e g u n d o m i e m b r o s e t i e n e

6 C x 2 + —* + — = 0 o ax 3 + b x + c = 0,

q u e e s l a ecu ac ió n g en e ra l d e 2 o. g rad o .

Sabemos (446) que las ra íces X| y x 2 d e e s t a ecu ac ió n t i en en l a s d o s

p ro p ie d a d e s sigu ien tes:

6 . 0 x , + x , = -------- • • — = ,;x, + x a )

cx ,xa =

b e bA hor a , si e n e l t r inom iox* + —x + — en lug ar de — pon em os su

a a ac

u al — (xj lx*) y en lu g ar d e — po ne m os su igua l XiX2, tenem os:

xa + —x + — = x* — (* j + x a)x XjXja a

( m u l t ip l i c a nd o) = xa x i x —x2x + XiXa

a cto ra nd o p o r a g r u p a c i ó n ) = x (x —x i ) . \ . . ; x ~ X j \

- ( x x , w x x a>

b eLue go , e n de f in i tiva , nos qu e da q u e x* + — x + — = ( x X i )(x x a).

S u s t i t u y e n d oel valor de este t r ino m io en (1) , se t iene :ax a bx + c ss a(x — X j)(x —x 2)

q u e m e d i c e q u e el t ri n o m i o d e s e g u n d o g r a d o se d e s c o m p o n e e n 3 f ac -res:

1) E l coef ic ien te d e X a , que e s a. 2) x m enos u n a d e la s ra íces d e laua c ión qu e se ob t i e ne igua la nd o e l t rinom io a ce ro . 3) x menos lara raí*.

Vis to lo a n te r io r , pa r a de sc om pone r un t r inom io de 2o . g r a do e n f a c -res hal lando las tafees , se procede asi :

1) Se igu ala e l t r in o m io a cero y se h al lan las dos rafees d e estauac ión .

2) Se desco m pon e e l t r inom io en 3 fac tores : E l coef ic ien te d e x2,

menos una de la s ra íces y x menos la o t ra ra í / .

( 1 ) Descom poner en fac to res 6xz + 5x 4.

Igua lcndo o cero d t rinomio , ws t iene :

6xJ + Sx 4 = 0.

Hol lemos l as ra íces de es ta ecuación :

— 5 k T ¡ F 4~1_ 5 sfc 2 5 + 96 5 * V IST S ± 1 1

12 12 12 ” 12

4 + AIGIBQA

Ejemplos

Entonces, o l t r inomio se descompone:

Í , > + S , 7 4 = é ( , i j [ , ( ¿ ) ] = 4 ( , i | ( , + i )

. ! 2 x 1 , , 3 x + 4 , 6 I . 2 X 1 U 3 x + 4 )= H — ) ( — ) = -------------7

- < 7 x ~ H ' 3 x + 4 : R.

t 2 1 D es co m p o n er en f ac to r e s 2 4x * + 2 6 x + 5.

Iguo londo o cero e l t r inomio , se t i ene :

24x“ + 26x + 5 = 0.

Resolviendo esta ecuación:

TR I N O M I O I>£ S EGU ND O GR A D O • 4 7 5

4848 48

2 6 + 1 4 1 2 1Xi

48 48 4*

— 2 6 — 14 Mmm

—40 _ 5

48 ~ 48 6*Entonces:

24«. + » . + S = M [ , - ( - l ) ] [ , - ( - Í ) ] = „ ( , + 1 ) ( . + ? . )

= » , < « + in < .+ s i , . 5 | R

( 3 ) D es co m p o n er en f o c to r es 4 + 7 x — 15x*.

O r d e n o m o s e n o r d e n d e s c e n d e n t e c o n r e l o c i ó n a x y l o i g u a l a m o s a c e r o i

15x* + 7x + 4 = 0

I5x* — 7 x — 4 = 0

Resolviendo:7 \ '7 * — 4 U 5 ) | — 4 J 7 r v 289 7 17

x = --------

30 30 30

7 + 1 7 _ 24

30 “ 30 “ 6’

7 1 7 1 0

3 0 3 0 3*

Entonces:, , , r / 4 y / 1 \ ~ 151 5x — 4 1 ' 3x + 1 1

4 + 7 x 1 5 x ’ = • 15 l x — — ) ( x + ) = 7 ,

= - _ ( 5 „ — 4 1 3 x + l l = ¡ 4 5x11 I 4 3x1 r ,

7 6 • A l C t t H A

EJERCICIO 280

Descomponer en (actores, hallando las raíces:

—16x+63.24xl143.6x 1 5 f> .

+ x 6 .

*+5x2.+41x+8.

7. 6x*+7x—10.IS. 12x= 25x +12 .!) . 8xH50x+68.

10. 27x*+30x+711. 30xJ—Glx+3012. l l x 3—153x—180.

13. 6—x —xa14. 5—9x—2x3.16. 1 5 + lx —4x a.10. 41 13X12X2.

17: 72xa nr»x7 .18. G+81x—30x2.

10. 10x2+207x—63.20. 1 0 0 l S x —x=.21. 18x2|31x—49.22 6xsa x —2 a \

23 5**+22xy—15y*.24. 15x23 2 w x —7w*.

VARIACIONES DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO

4 5 2) E l t r in o m i o d e s e g u n d o g r a d o ax2 + b x + c es f unc i ón de s e g un do g ra " do de x . D e s ig n a n d o p o r y e l va lo r de l a func ión , se t i ene :

y = ax* + b x + c.

A cada va lo r de x ro r r c s jmnde un va lo r de l a func ión o de l t r inomio .A s i, e n e l t r ino m i o y = x2 + 2 x 3 te ne m os :

I I * »

X = 1 > 0

x — 2 >’ “ •*

x — —1 y - 1

H I I 1 v = 3

A q u í v em o s q u e a c ad a v a lo r d e x c o r r e sp o n d e u n v a lo r d e y , o seade l t r inomio .

A c on t inu a c i ón va m os a e s tud i a r las var ia c ione s de l s i gno de l t ri nom i oy de l va lo r de l t r in om i o qu e c o r r e spo nde n a la s va r ia c ione s de l va l o r de x .

453) VARIACIONES DEL SIGNO DEL TRINOMIO

S a be m os ( 460 ) que e l t r i nom i o de s e gundo g r a do s e de s c om pone dees te modo: y — a x 2 + b x + c ~ a ( x x t)(x — x 2). (1).

Consideraremos t res casos :

1) l>: íac ]K»siiivo. Las raiccs de l tr in o m io son rea les y desigu ales.En es te raso:

a ) E l t rino m io ti ene e l m ismo s igno d e n para todos lo. valores de xmayores que ambas r a í ces o menores que ambas mices

Si x es mayor que xt y que x2, los dos b inomios de (1) son pos i t ivos :ue go , s u p r od uc t o e s pos iti vo y s i x es m e no r q u e x , y qu e x¿, a m b o s b i n o -

l>) F.l t r ino m io t ien e s ign o co n t rar io a l s igno d e n ju r a tod os |.«s \lores t ic x c o m p r e n d i d o s e n t r e a m b a s r a í c e s .

Si x e s m a yor que una de l a s r a í c e s y m e nor que l a o t r a , uno de l o s b in o m io s d e (1) es p o sitiv o y cl o t r o n eg a tiv o ; lu ego , su p ro d u c to es n eg a-t ivo y ;d m ul t ip l ica r a por una can t idad nega t iva su s igno cambia rá ; l uego ,e l t ri no m io t iene s igno co n t ra r io a l s igno de a.

2) I, 4ac 0. Las raíces de l t r in o m io son igu ales. En este caso:

E l t r i n o m i o t i e n e c l m i s m o s i g n o q u e a p a r a t o d o v a l o r d e x d i s t in tode la raí/..

C o m o x , = x 2. p a r a c u a l q u i e r v a lo r d e x d i s t in to de es ta ra íz los den b in o m io s d e (1 ) serán po sitivos am bo s o neg ativos am b os, y su p ro d u c tose rá pos it ivo ; luego , cl s igno q u e r esu l t e de m ul t ip l i ca r fl por es t e p rod uc toserá s iempre igual a l s igno de a: l uego , el t ri no m io ten drá igua l signo qu e <i

3) \>y 4a«• neg at ivo. La s raíces del t r in o m io son imag inan' .i Enes te caso: l '. tra <ti .dq i tier v alor de x e l t i m om io t ien e c l m ism o s igno q u e ..

Si b7—4ac es negat ivo, i t i c - b 2 es pos i tivo. E nton ces en y - a x - \-bx l <mul t ip l i cando y d iv id i endo e l segundo miembro jK>r 4a, se t iene

4azx 2 + 4a bx i 4ac

S u m a n d o y re s ta n d o b 2 a l num e r a do r de l 2o . m i e m br o :4a2x 2 + 4abx | b 7 + 4ac— b2

> ---------- -------- ü —

D e s c om pon i e ndo e l t r i nom i o c ua d r a do pe r f e c t o 4a2x'¿ + 4 abx I 6*. se

tie n e : (2a* 1 b)- f 4 ac ~ b7 y = - - - - - - - - - t _ . ( 2 )

4flE l n um erad or de es t a f racc ión s i emp re es pos i ti vo p o rq u e (2ax + /;)•

s i em pre es pos i ti vo ( todo c ua dra do es posi ti vo) y 4ac — b: t ambién es pos i-

t ivo por se r b 3 — 4ac negat ivo; luego, e l s igno de es ta f racción será igual a ls ig n o d e l d e n o m i n a d o r 4a y es te s igno es igual a l s igno de a, y como y, ovea e l t r ino m io, es igual a es ta f racción, e l s igno de l t r ino m io será igual als igno de a pa ra cua lqu ie r va lor de x .

454) VALOR MA XIMO O M INIMO DEL TRINOM IOP a r a c a lc u l a r c l va lo r m á x i m o o m í n i m o de l t r ino m i o , u s a re m os la e x

(2): (2«* + ^ + 4 a c f r ’

> = --------

“ ¡5-----------

1 ) C u a n d o a r \ |x» i i i v . i . En l a f racc ión de l segu nd o m iem bro , q u ees el valor de y, o sea de l t ri nom io , e l de no m inad or 4a es po s i ti vo y t iene

T RIN OM IO O l S IC U NR O GRADO • 4 7 7

7 8 O A t C I B R A

n v a lo r f i j o (p o rq u e l o q u e v a r í a e s x , y 4a no contiene .v); luego, el valorc e s ta fr acc ió n d e p e n d e d e l v a lo r d e l n u m erad o r . E n e l n u m erad o r ,

ac — b* t ie n e u n v a l o r f i jo p o r q u e n o c o n t i e n e x; luego , e l va lo r de l nu-

m e r a d o r d e p e n d e d e l v a l o r d e {2ux + ¿t)*. E l va lor d e esta e xp re sió n es elu e v a ría p o r q u e c o n t i e n e a la x . A h o r a b i e n , e l m e n o r v a l o r q u e p u e d e

be n e r (2ax + it)3 es cero , y es ta exp res ión vale ce ro c ua nd o x = — por

l t r ino m io t i ene u n va lo r m ín im o para x — ———, cu an do a CS pos it iva ,. 4ac —b* 2a

es te va lo r m ín im o e s .4«

')) C u a n d o a es n eg at iv a. Entonce s , e l de no m ina do r 4<t es neg at ivoa l d iv id i r e l nu m era do r po r 4« cam biará su s igno ; luego , l a f racc ión tie

Oc su m ayor va lo r cu an do (2<ix + b)* — 0, l o q u e o c u r r e c u a n d o x = —

co m o y es igual a es ta fracción, y , o s ea e l t r i n o m io , t en d rá u n v a lo r m áxi

b . , . 4 f l e í>3m u p a r a x ~ ~ ~ ^ c u a n d o a es n eg a tiv o , c u yo m á x im o va le — — .

E n r e s u m e n :

Si n es pos i t iva , e l t r inomio t i ene un va lo r mín imo.

S i « e s n eg a t iv a , e l t r i n o m io t i en e u n v a lo r m áx im o .b

E l m á x i m o o m í n im o c o r re s p o n d e a l v a lo r d e x = — — , y e ste tn áxi, 4 a c - b ‘ 2a

m o o m ín im o v ale .

e co n v ie r t e en y — ----- .7 4«

Luego, s i y , o sea e l t r inomio , es igua l a l a f racc ión de l 2o . miembro

I I ) S eo e l trin om i o y = x2 — 2 x + 3 .

Co m o a = + l , p o s it iv a , e l tr in o mi o t i en e u n v a l o r mín imo p a ro

b 2 4ac —b3 4 X 3x = --------= ----------- = 1 y es to mín imo vo lé — ------------ --- —

2 a 2 4 a 4

4a c — b3 4 X 3 4= 2.

En «íce lo: Paro x = — 2, y — 11

x = 1 , y = 6x = 0, y = 3

x = 1 , y 2

TRINOM IO DE SEGUNDO ORADO • 4 7 9

( 2 1 S ea el trino mio y = — x2+ Ax — 1. Co m o a = — 1, e l t rinom io t icno un volo i

f> 4máxi m o p u ra x ~ — — = = 2 y «¡ te máximo volo2o -2

<ac b* 4 1 — 11{— 1 J — ló A - \ 6 1 2

En d oc to : Pora

1, = - 6

o. = — 1I r = 22, 33, = 24, = — 15. = - 6

(455 ; REPRESENTACION GRA FICA DE LAS VAR IACIONE S' DEL TRIN OM IO DE 2? GRADO

Ejemplos11 > R e pre s en t a r g r á f ic a m e n t e lo s va r i a c ione s d e x2 — 6x t V

Por ser h 2 — 4 a r = 3í> — ? 0 — l á , po sit iv o , ta s r n i rn i son ízal es y dtm 'un <>!•• i

Representemos e l t r inomio com o se v io ene l n ú m er o < 4 3 8 ) , h a cie n d o:

y x2- 6x -i- 5.

Tenemos [l ig, 73), que:

Para x = - K y — 12

X= o . Y — 5

x = 1Y = 0

x ~ 2, y 3

X = 3 , y —— 4x = 4. y —— 3

X = 5 ,y == 0

X= 6, y = 5

X= 7. y — 12

R e pre s e n t a ndo c oda uno de e s t o s pun t osy un i é ndo l os po r me d i o do uno c u rvo t e -

ne mos la pa r á b o l a d e l o f igu ro 73 e nl o que s e ve l odo l o que he mos d i c ho

sobro los variaciones del t r inomio.

480 AtCÍBRA

En el lo se ve:

I ) Q oe lo corv a c o d a o l e je de los x en d os pun ios cuyos ab sc i sas son 1 y 5

q u e s o n la s ra í ces d e l b in o mi o . El b i n o mi o o s ea e l v a l o r d e l a o rd en ad aso a n u la p a r a x = 1 y x = S.

' / ) El b i n o mi o (l o o rd en ad a ) e s p o si tiv o p a ro l o d o v a l o r d c .x m o y o r q u e 5 y

m e n o r q u e 1 p o rq u e sob em os (453 , Io , o ) q u o cu o n d o l a s r a íces s o n r ea le s

y d e s i g u a l e s e l b i n o m i o li cn c e l mis mo s i g n o q u e a ( aq u i a , e l coeficiente de

x1 e s + 1) p a r a l o d o s l o s v a l o re s d e x m a y o r e s o m e n o r e s q u o a m b o s r aíc es .

3 ) El b i n o m i o e s n eg a t i v o p a r a t o d o v o l o r d e x mo y o r q u e 1 y m en o r q u e 5

p o rq u e so b e m o s ( 4 5 3 , 1®, b ) q u e ol trin om io Heno s ig n o c o n tra rio a l sig no

d e a p o r a l o d o v a l o r d e x c o m p r e n d i d o e n t r e a m b o s r a í c e s .

'■') El va lor m ínimo del t r inom io (el volor mínimo d e lo o rd en ad o | co rrespo nd e al b

v o l o r d e x — 3 q u o e s e l v o l o r d e x — — — , y e ste m ín im o v o lé — 4 q u e

4l a c b » 20e s e l v o lo r d e -------------- .

. 1 Po ra t o d o s l os v a l o re s d e x eq u i d is t an te s d e x — 3 , e s d ec ir p a ro x ~ 2 yx = 4 , p a ra x = l y x = S , x = 0 y x = 6, e t c . , e l b inomio ( lu o rdenado) t i ene

v u l o r e s i g u a l e s .

< 2> R epresen tar g ráf icam ente l as va r ia-ciones de x* — 4x + 4.

Tenemos :

y = X* — 4 x + 4.

Por ser I r — 4 o c = 1 6 — 1 6 = 0 , lo s r ot-

ees son reo les e iguales .

Se t i ene | í ig . 74) que pora :

X = 1 . 1 ! X

X — 0, y = 4

x = ». y = l

X — 2, y — 0 | m ínimos

x = 3. y = iX = 4, y = 4

x = 5. y = 9.

(M P R I S E N T A C I O N O R A TI C A 4 8 »

En la l iga ra observamos :

1) l a c u r va os t a ng e n t e o l e je de l o s x y l o loc a e n e l pu n to c uya a b s c i s a o s 2que c s e l va lor de las r a íces de l tr inom io: X j = xa — 2 . V éase q ue e l t r inomio|! a o r d e n a d a ) s e a n u l a p o r a x — 2.

2 ) El t ri nom io e s pos it ivo pa r a t odo va lo r d e x d i st in to de x = 2 , po r que s a be m os1 4 5 3 , 2 ? ) qu e c ua nd o l a s r a íc e s s on ¡ goa l e s e l t ri nom io t ie ne e l m i s m o s igno

d o a J a qu í o , e l c oe f ic i e n te de x* c s 1 1) po r o t odo va lo r de x d i s t i n to do l araíz .

3) El mín im o d e l t ri no m i o (d o l a o r d e n a d o ) s e o b t i e n e p a r a x = 2 q u e c s e l v a lo r b , , 4u c — b*

d e x = y e sto m ín im o v a le 0 q u e e s el v a lo r d e -------------- .2 a 4 o

4 1 P o r a t o d o s lo s v o l o re s d e x e q u i d is ta n t es d e x — 2 c o m o x = l y x 3,x = O y x = 4 , e tc . , e l t rinomio t i ene volores iguolcs .

( 3 ) Re p r e se n ta r g r á f ic a m e n te lo s va r i a -c io ne s d e y = x2 — 2 x I 3.

C om o b * — 4 n c ~ 4 — 1 2 = — 8, nega t i-vo, las raíces son imogirio/icrs.

Tenemos ( f ig 75) que poro:

x = 2, y = 11x = l . y = 6

x = O, y = 3

x = 1, y — 2 |m¡n¡mc |

* = 2, y = 3

x = 3 , y — &

x = 4 , y = 11.

Representando os tos puntos y un iéndolost e ne m os l o pa r á bo l a de l o f i g . 75.

En ln f igura obiorvamos:

1 ) L o c u r va no t oc a e l e j e de l o s x , po r qu elas ra íces son imaginar ios .

2 ) El t ri nom io ( la o r de na d o ) e s pos it ivo p a r a t odo va lo r de x po r q ue s obe m os( 4 5 3 , 3 * ) qu e c uondo l a s r a í c e s s on im a g ino ri a s e l tr inom io t ie ne e l m i sm o

s ig n o q u e o , c oe f ic i en t e d e x2, po r o t odo va lo r de x y oq u i o = 4 I .

El m ín im o de l t ri nom io o s y = 2 qu e e s e l vo lo r d o ---------------- y es to mín imo

b 40c o r re s p o n d o o l v o l o r x = 1 q u e c s el v a l o r d e x --------.2a

cFIGURA ?S

41 Por .1 t odos lo s vo lo re s d o x e qu id i s t a n te s d e x = 1 c om o xx = * 1 y x = 3 e l t rinomio t i ene volores igua les .

O y x = 7 .

A i e t t i f t A

(41 Representor gráficamente las variaciones de y — —x*+ 2x+ 8.

Aq uí fe* — 4 ac — 4 — — 1 ^ 8 — 4 1 3 2

~ 36 , pos it iva , l uego los ra í ces sen re a -les y d e s ig u a l e s, p e r o c o m o o — — I , n c -

go l i va , l a pa r á bo l a e s t a r á i nve r t i da .

Tenemos (fig. 7 6 ) q u e p o r o

X — 3 . y — 7

X — 2 , y — 0

x — 1 , y = 5

x — 0, Y ~ 8

x — I r y rs 9

X — 2. y — 8

x = 3. y = 5

x = 4 , y 0

x — 5, y 7

r i G U I I A 7 6

Represen tando a s t a s puntos y un i éndolost enemos lo pa rábola i nve r t i da de l a l ¡ .gurú 76.

En to f igura se ve que:

1 ) l o curvo co r t a el q c d e l a s x en dos pun tos coyas absc i sa s son — 2 y •! queson las roices de l t r inomio.

“ fe2 ) P o to x = l q ue o s e l va l o r x — — e l t rinom i o (la o r de n a da ) t ie ne un vo l or

2o , , 40C — fe2

máxim o, y — 9 q u e e s e l v o lo r ------- .2o

En e fe c to , s a b e m o s ( 4 5 4 , 2 ^1

que cuando o e s nega t iva e l t r i nuni io t i ene un máximo.

EJERCICIO 281

K c j in s i i it . i l l a s s ig u i e n te s t r in o m i o s y e s t u d i a r s u s v a r ia c io n e s :

1 . x 2 —3 x + 2

2 . x = + 3 x + 2 .3 . x '* '+3x—10

4 . x ' '+x—12.

r» x*— 2x?i.

6. x * + 4 x + 2 .

7 X Ix l ú.

«• xs—Gxl3.V - 2 X - I -X « .

10 xaH2x + | ; i .

11 2x = x l B .12. —3x 2+ 7 x f 2 l ‘

Münsfer. B e rlín .

FUNCIONES

KARL WIL HEI.M THEODOR W EIERSTRASS El 81 5I897> M atemiUco alornir». fu» ma otf/o de eic utUY mi» farde, Profaior de la Univertidad de Berlín.Puede eontideearie a W eiertf rau el verdadero padredel Análisíi Moderno. En iirt primera» tnvc»tiga<¡onei

C A P I T U L O XXXVIE C U A C I O N E S B I N O M I A S Y T R I N O M I A S

abo rdó cl prob lem a de lo> núm ero» trraciun»l*t Mluego te dedicó durante el retío de tu v• • »• •tudio de tai funcione» de vjriablc» tOmplu|it • variable» realct. Su nombre c» Inseparable ' ' I a. ditcípula Sonta Kowalcwtki, valiosa malemJtlrr •»

& 5 6 j ECUACION B INOMIA e s u n a e c u a c ió n q u e c o n s ta d e d o s t é rm in o s ,u n o d e lo s c u a le s e s in d e p e n d ie n te d e la in c ó g n i t a .

La fó rm ula gen era l de t *" ± A

las ecuac iones b ino m ias es ^

45 7 RESOLUCION DE ECUA CIONES BINO M IAS SENCILLAS

~ Va m o s a c o n s id e ra r a lg u n a s e c u a c io n e s b in o m ia s q u e s e r e s u e lv e n í.\c i lm en te por descompos ic ión en fac to res .

Ejemplos j <1 I Resolver ki ec ua ció n x* — 16 = 0.

Desco m poniendo x‘ 16 se t ione;

( x2 4 41 (x* —4 ) = 0.I g u a l u n d o o c e r o c o d o u n o d e e s t o s f a d o r e s :

x ! —4 = 0 x * = 4 . ‘ . x = v 4 = ± 2 .

x2 + 4 = 0 x 2 — — 4 x = — 4 — 2 1Esla ecuación l icno 4 ro tees: 2 , — 2, 2» y — 2i , do s re a les y d os ima ginar ia» R

<2 ) Rosolvcr lo ecuación x4 — 27 = 0.Descomponiendo x* — 2 7 t e t i ene :

( x — 3 H x * + 3 x+ 9 ) = 0.

Ó 8 3

I gua la ndo a c e r o c a da uno de e s tos f a c to r e s , s e t i c no :

x — 3 = 0 •‘• x = 3x= + 3x + ? = 0.

R e so lv am o s l a e c u a c ió n x* + 3 x + 9 = 0 p o r l a fó rm u la : _ - 3 x \ r & - 4 \ 9 _ — 3± v ' ^ ® _ - 3 * vr— 77

Ú 2 ~ 2

_ 3 y 2 7 v ^ n _ 3 3 v '3 f

“ 2 2

La e c ua c ión t i e ne 3 r a í c e s : una r e a l , 3 y do i im a g inónos

3 + 3 v'3i - 3 - 3 \ á ¡

4 • A l C I D R A

8) NUM ERO DE RAICES DE UNA ECUACION

E l g ra d o de t ina e c ua c i ón ind i c a e l nú m e ro de mi c e s q u e ti e ne . A si.a ecuación de 2o. grado t iene 2 rafees ; una ecuación de 3fcr . grado, comoejemplo an te r io r 2 , t i ene 3 ra íces ; una ecuac ión de 4o . g rado , como e lmplo an te r io r 1 , t i en e 4 ra íces, etc .

^) RAICES CU BICA S DE LA U NIDA D

La un idad t i en e t res ra lees cúbicas , una rea l y dos im aginarias.K n e l e c to : S i e nd o x la ra í / , cúbica de la unidad, es ta ra iz e levada a l

o t i e ne que da rnos I , y t e ne mos l a e c ua c i ón b i nomi a :

ea , x 1— 1 = 0 .

V a mos a r e so l ve r e sta e c ua ci ón , (x l ) (x* + x + 1}c om pon i c ndo x3 — i . T e nd re m os : /

Igua l a nd o a c e ro e s to s f ac to re s, s e t ie ne : x —1 = 0 x = Lr + M l = 0 .

Resolvamos es ta ecuación |>or la fórmula:

~ 1 ~ l a : V ~3 —1 — V S V l 1 = i v 5 ~

2 2 2 2Entonces , las ra íces cúbicas de la unidad son t ros : una rea l , 1 y r íos

- 1 r i \/3 —1 —i v'Mg m a r i a s y

E s ta s dos ra íc e s i m a g i na r i a s ti e ne n la p rop i e da d de q u e si un a d e e lla se leva a l cu ad rad o , se o b t ien e la o t ra . En tonces , s iend o 1 la ra íz rea l yi gna ndo un a de la s im a g i na ri as po r « , la o t r a r a í z im a g i na r ia s er á a 2.

O t r a p rop i e da d de e s t a s r a í c e s e s que l a s uma de l a s t r e s e s i gua l aA í 1 * + 0

r c u A C i o M f : t r i n o m i a s 9 4 8 5

» - EJERCICIO 282

1. x « - l = 0 . 6. x 4— 625=0 .

2 x H l= 0 . 7 x3+64 =0.3. x«=8 1. 8. x*—72 9= 0.4. x ‘—256= 0. 0. H al la r las ralees cúb icas de 8.5. x s}8=0. 10. H a lla r las raíces cu arta s de 64.

46o ) ECUACIONES TRINOM IAS son ecuac iones q u e con s tan d e t r es t é rm i-nos de l a f o r m a axJa + ¿»x" + c = 0 , dond e se ve q ue , de s pué s de o r -

de na da l a e c ua c ión e n o r de n de s c e nde n te c on r e l a c ión a x , e n c l p r im c it é r m ino l a x t i e n e u n e x p o n e n t e d o b l e q u e e n e l se g u n d o t é r m i n o y c l t e r -

c e r t é r m i n o e s i n d e p e n d i e n t e d e x .

Son ecuac iones t r inomias :

x* + 9x* + 20 = 0 , x6 + 6x3 — 7 = 0 , 2x* + 9x< 5 = 0 . e tc.

Las ecuac iones tr inom ias en qu e e l p r im er t é rm ino t i en e x* y e l segumlo x* se l l aman ecuac iones b icuadradas .

(461)461J ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR AL SEGUNDO

QUE SE RESUELVEN POR LA FORMULADE LA ECUACION DE 2* GRADO

T od a ecuac ión t r i corn ia pu ed e esc r ib i rse a(x“)* + bx a + c —Q.

Apl icando la fó rmula de la ecuac ión de 2o . g rado se ha l la e l va lord e x n y, luego , extraye nd o la xaíz enés im a, se lia l lan los valores d e x .

T a m b ié n pu e de n re so lve rs e, c om o l a s de 2o . g r a do , po r des c om pos i-

ción cu factores .

Ejemplos (1 ) Resolver lo ecuación 4x4 — 3/x2 I 9 = 0.Esto es ona ecuación bicuadrada. Esto ecuación puedoescribirse

4 ( Xa P — 37xs 49 = 0.

Aplicando la formulo do la ecuación de V grado se hafla oí vo/or da x*j

37 ±^ 3 7 *4 1 4)(9) _ 3 7á : '/ Í36 P 14 4 37 á: v T zB _ .37 ± 35

6 A l C . t O R A

Hemos obtenido los valores do x*. Ahora, pora hollor los valores de x, ex-traemos la raiz cuadrado a cada uno, y tendremos:

x* —9 x = :t v 9 = • 3

Los cuatro raíces do la ecuación son: 3, — 3, j y — todos reales. R.

( 2) Rosolvcr la ecuación 3x4 • 46x —32 = 0. •

Esta es otra ecuación bicuadroda. Vamos a resolverla por descomposición loque suele ser más tupido que aplicar lo fórmula. Descomponiendo el trinomio,tenemos:

(3x*42) |x*16 | = 0.Igualando a cero los factores, tenemos:

x2 —16 = 0x* = 1 6 . '. x = ± 4.

3x 4 2 = 03x* = — 2

los cuatro raiccs son: 4, 4, i ^ , — i dos reales y dos imaginarios.R.

EJERCICIO 283

Resolver las eaiacioms siguientes, hallando todas las raíces;

. x*10x*+9=0.. x*t3x*+3(¡=*>.. x4 2 Í JX I 1 C 0 Ü.

. x1—Glx4!ll)<)=0.. x«43x2 4 = 0 .

C. x*4 16x2—225=0.7. x*—43x : —11I|)=08. x 1—6xa+5 = 0 .0 . 4x ' 37x*+9=0

10. 9x«40x2+l6=0.

U . 25x*49xI—16=0 .12. lx ‘4 31x'~3=0.13. (2 x* + l)e— 3)*=80.14. x2(3x242)=4(x2—3)413.

(3 ) Resolver lo ecuoción x* 19X1 216 = 0.Aplicando la fórmula de la ecuación do 7 grado, obtenemos x8:

19 * s W 4 f 216' I 19 * v l f ¡ 5 19 35

, 19 4 3 5 5 4x * = ■ = = 2 7 .

1 9 3 5 1 6= 8 .

2 2Entonces, paro hollor x, oxtroemos la roiz cúbico:

= 27 x = í 27 = 3

r > = 8 x = V — ¿ = — 2

Por descomposición, se resuelve mucho mós pronto la ecuación y'1 19*' 216 I).En efecto, descomponiendo.

I xs —27) ( x1+ 8} = 0.¿ 2 7 = 0 x * = 27 ■ x = ’$■' 27 = 3x * + t f =0 x s = - 8 X~ ^ - Q = - ?

1 £< 41 Re solve r la e cu oc ión x> • 6x* + 8 — 0.

Vomos o descomponer el trinomio. Tendremos:

(* * — 2 ) (xT 4 ) = 0.2

Iguaiondo a cero xn — 2 se tiene:

x* • 2 = 0

x;, = 2^ x r = 2 .

Elevando ol cubo:x = 8x= ± V'a = i 2 V ? .

_2Igualando n cero x* “* 4 so tiene:

j¡x:l 4 = 0

£x :, = 4 .

■ 0 ^ = 4 .

Elevando o l cubo:x = = <54

X • V®F = ¿0. R. ±2 V2 ± 8DE- EJERCICIO 284

Rtwdvo l;is ecuaciones:

1. x4—7x*—8= 0. 5. x w3 3x *+ 32 = 0. 9. x* 9x H 8= 0.i_

2. x«l .W + 8 1 = 0 . 6 x*13x*l36=0. 10. x+x*=fi .

3. Sx,, lir)x» 2= 0. 7. x0 i:l5 x '8s=—210. 1 ). 3 x = JG v 'x—5.i i

4. xa1 lx 'H U O —0 8. X i‘,=2>2.v1+24:J. 12. 2 x 5 x T+ 2 = 0 .

f462) TRA NSFOR M AC ION DE EXPRESIONES DE LA FORMAv ' j í v ' b EN S U M A DE R AD IC ALES SIM PLES

y .......... 1T4 I lamamos v a I V 5 = v x 4 V y (1)

V a v'Tt = V T \ f y (2)y t endremos un s i s t ema de dos ecuac iones con dos incógni t as x e R eso l-vamos el s is tema:

fCUACIOHSS TftINOMIAl • 487

v W u - *2

E l e va ndo a l c ua d ra do a mbos mi e mbros de e s t a ú l t i ma i gua l da d , s ee: .------------- .---- —

x _ g + v b + 2 v q +'/ 6 -v a - ^ b + a - '- b4

a W b + 2 V Í a W ’b) { a - b + a - v ’ b

4 _____

a + b + 2 '/ á* — b + a b _ 2a -f 2V' a* — 6 _ a +v a* —b

4_____________

~ ______

4 2 _ a + v a*—b go , nos que da x - ~

es ign an d o >/n¿ — b p o r ,n se t iene:

Restando (1) y (2) se t iene:

8 • ALCdlRA

Sumando (1) y (2) se t iene: _______

a + m* = — . (3)

V a + ' b - v t t l, = z-J y . \ v 2

E l e va ndo a l c ua d ra do : / ____

_ a + - b - 2 V s + ; / j , V j - v j , + a - > / ' ¿

^ ___________ 4

_ o + v f c - 2^ — f r + a —'¿ b 2a — 2 ^ ai*—b __ g — a 2—b

a _ v „ j _ ¿ a - mg o, q u e d a r ? = ----- o s ea : > = ' . (4)

Sus t i tuyendo los va lores ha l l ados pa ra x (8) c y (4) en las ecuacionesy (2), se t iene: ___

r — . / a + ,u ■ ■ / a ~ mv a + V b = j , 2 y 2

j -=7 , / f l + m / g « y ■ (/ “ i —

T é nga s e p re s e n t e e n e s t a t r a ns fo rma c i ón que m = \ í a l — b.Si a1 — b t ie n e ra íz cuad rad a ex acta , el radical d ob le !¡e co nv ier te en la

ma a lgebraica de dos , radicales s imples , pero s i iP — b no t i e ne r a í z c ua -da exac ta , e l rad ica l doble se convie r t e en l a suma de dos rad ica les do-

l t i t j l j d i l i fi l i

TR A N S r o i t M A C I ON DE R AD ICA LES O O B l t l • 4 8 9

Ejemplos

1 1 ) T r o n s f o rm o r n / í + V S ÍO e n s u m o de r a d i c ó l e s s i m p l e s .

Aquí 0= 6, b = 2 0 , m = V e r b = V 3 6 — 2 0 = V T ó — 4 , luego:

y / 6 + \ / TÍ¡ = \ / ~ ~ + \ / + V T = I + ' 1 . R.

(2 ) Transformar W 2 V 10 en sumo algebraico do radicóles simples.Introduciendo 2 bajo el signo radical, pora lo cual hoy que elevarlo al cua-drado, tenemos:

v > -2 \ / ~Í0= V7 - V4 X 10= 7- 40.7»quí, a = 7, b = 40, m = '/o * —6 = '/4 9 — 40 = 3, luego:

v /7 - 2 v T Ó = ~ \ / 7 ~ 3 = ^ 5 “ V^ 2.

EJERCICIO 285

Transformar en suma algebraica de radicales simples:

i- v /s W Ü . o. V m v B . ti- v/i4 -4 v rc. íe. N/ i +x/ í .2. \ 4 ' / 6 0 . 7 12. V to + iÓ V l. „ / j .,

3. v/fi + >/2§! 8 . 13. \ /7 3 1 2 s /3 5 . ’ V 7 ' V

4. > /3 2 V 7 ( l0 . 9. \ /2 H 6 V T 0 . 14 V2.‘i 3 ~ ( ; 0 '/ 7 . 18. . V E Z / 1

5 . V i l i V Í 3 2 . 1 0 . x / 2 b T i - 4 \ / 3 . 1 5 7 2 9 3 - 3 0 ^ 5 1

Hallar la raíz cuadrada de:

19. g + 4 \ /2 . 22. 10 + 2V21. 29. 30 20>/2.

20. l + W Z . 23. 18|.6 VlT. 2G O+Cn/ST.21. 81 2 V 7 . 24. 2 4 2 V 1 4 3 . 27. 9 8 2 4 V S

I POINCARE < 18 54 191 2) M i tem i t i .Estudió on I j Eructa Politécnica. FuáAnálisis Matemático en Caen; luego «tofvxor de Mecánica y Fieica Ecperi Facultad de Ciencia de Pati». Indepen-

dientemente de jut contribuciones a la matomitl iei un verdadero divulgador de los métodos científicosCirculan per todo el mundo sus obra» "CienciaHipóte»!»" y "Valor Social de lai Ciencias". Ei Im-

p o rtan te cu trabajo cobre la s ecuacio nes fu chsianai

C A P I T U L O XXXVIIR O G R E S I O N E S

0SERIG es mía suces ión de té rminos fo rmados de acuerdo con una ley .A si. 1. 3. f>. 7 es un a ser ie cuya ley es qu e cada té rm ino se ob t iene

m an d o 2 a l t é rm in o an t e r io r : 1, 2, 4 , 6 e s u n a s e ri e cu y a ley es q u ead a t é rm in o s e o b t i en e m u l t i p l i can d o p o r 2 e l t é rm in o an t e r io r .

L as s e r i e s q u e e s tu d i a rem o s en Alg eb ra e l em en ta l so n l a s p ro g re-ones.

Las p rogres iones se c las if ican tn p rogres iones a r i tm ét icas y geom é-icas.

P R O G R E S IO N E S A R IT M E T I C A S

6 41PROGRESION ARITM ETICA es tod a ser ie en la cual cad a té rm ino des' p u e s d e l p r i m e r o s e o b t i e n e s u m á n d o l e a l t é r m i n o a n t e r i o r u n a c a n

d ad co n s t an t e l l am ad a razó n o d i f e ren c i a .

NOTA CIONKJ s igno de p rogres ión a r i tmét ica es f y e n tre cada té rm in o y el si

u í en t e s e e sc r ib e u n p u n to .As i. 1. 3. 5. 7 es una p rogres ión a r i tm ét ica c rec ien te cuya razón

2 po rqu e 142 = 3; 34 2 = 0: 54 2 = 7 etc

P B O G R C ÍIO H E S A R I T M E T I C A S 0 4 9 1

. 8 .1.i). —i es un a pro gres ió n ar i tm ét ica de crec iente cuy a razónrs 4 p o r q u e 8 I( 4 ) = 8 4 = 4¡ 4 + ( 4 ) = 0. U I{ 4 } = 4. e tc.

Kn tod a p rog res ión ar i tm ét ic a Ja razón se ha l la res tán do le a u n i. i

i i i i i iu cua lqu ie ra e l t é rmino an te r io r .. , 1 3 3 1 1

A sí, e n — . 1 la ra zó n es2 4 4 2 4

3 1 3 8 o E n =2.1;. 1 . . . . la ra zó n es l 2 = ------ 2 = .

3 5 5 5 r>

465) DEDU CCION DE LA FORM ULA DEL TERM INO ENESIMO

Sea l a p rog res ión .1 ° a b c . d . c ..............u.

en la q u e u es e l t é rm ino en és im o y cuya razón es r.

En toda pro gres ió n a r i tm ét ica , cada t é rm ino es igua l al an te r io r tn.Ula razón; luego, tendremos:

b = « + r

í = H r a ( a + r) + r = zr + 2r

r í= c. I r — (a + 2r) + r = a + ‘ J r

e —d + r = ( a I 3 r) I r = a + 4 r ___

A quí ve mos que c a da t é rmi no e s i gua l a l p r i me r t é rmi no de l a p rogres ión a más t an tas veces l a razón como té rminos l e p receden; luego , comoes ta l ey se cumple pa ra todos los t é rminos , t endremos que u será igual al p r im e r té rm in o « m ás ta m a s veces la raz ó n com o té rm in o s le p re ce d en , yc o m o ti es e l té rm ino en és imo, le p recede n tt —1 té rmino s ; luego:

u = a + (n — lh r

í I > H a l l a i e l I S * t é r m i n o d e -r - 4 . 7 . 1 0 . . . .

A q u í o = 4 , n = 1 5 , r— 7— 4 = 3 , l u e g o :

+ ( i » - l ) r = 4 + ( 1 5 — 1 ) 3 = 4 + ( 1 4 1 3 = 4 - r 4 2 = 4.1. R .

< 2 1 H a l l a r e l 2 3 ’ t e r m in o d e - i - 9 . 4 . — 1 . . . .

A q u ¡ 0— 9. n— ?3, r — 4 — 9 = — 5 , l u e g o :

o ~ a -I ( n - l ) r = 9 4 - ( 2 3 - l ) < - 5 ) = 9 I Í 2 2 l l - 5 ) = 9 1 1 0 = 1 0 1 . R .

2 3 71 3 1 H o l l a r e l 3 8 ’ te r m i n o d e -5—

2 AI 4) Hallar el 42® término de í— 2 .— 1—. — —. . . .

' — h M = - ? + * 4„ = - 2 , ( 4 , ) f = - 2 , f = f = » J «.

EJERCICIO 2 8 6

Hal la r c l

9 2 • ALOES HA

1. 97 té rm i n o de + 7 . 1 0 .1 3 . .. . 10. 277 té rm i n o d e + » ; ■2

127 término de + 5 .1 0.1 5. . . .

487 té rmino de + 9 12 .15 .. ..

16. 367 té rm i n o de i !4. 637 tér m ino d e 5 3 .1 0 .1 7 .... 17. 157 té rm i n o de •• •

127 termino de

287 término de

+ 1 1 .6 .1 . .. .

+ 19 .12 .5 .. .18. 217 término de 14

i a ‘ *“

7. 137 término de + 3 . 1 . 5 . . . . 19. 137 término de ______1

ó47 término de

317 término de

+ 8 . 0 . 8 . . .

— 7 . —3 .1 . . . .20. 197 término de + _ * .

1 0 . 177 término de + — 8 .2 .1 2 ... . 21. 337 té rm i n o d e =3? 2 • * * 12"* —

1 1 . 127 té rm in o d e 5 1 22. 417 término de + 2 . 2 — . . . .O 10

12. 177 término de • * 0 18 * 4 * 23. 267 té rm i no d e H í i o ' ” ‘

13 257 término de + ? ‘ i . . ..* 21 24. 197 término de — 4 . 2 . . . .

14. 197 término de1 T

■T.n a

25. 397 término de + 3 . i i . . . .

6 6 } DED UCC ION DE LAS FORMULAS DEL PRIMER TERM INO , DE LA RA ZO N Y DEL NUM ERO DE TERM INOS

H e m o s h a lla do q u e u = a . | . ( n l ) r . (1).

V a m o s a d e s p e j a r a, r y n en e s t a fó rm u la ,

ü f s p c ja n d o o. se tie n e: a u ( n _ j ) r

Para de»|>ejar r cu (1 ) t r an sp o n em o s a y t enemos :

i i —:i

u - a = (n —l ) r r = •' n —1

P a r a d e s p e j a r n en (1 ) e fec tu am o s c l p ro d u c to i n d i cad o y t en em o s :

tx = a + n r — r .

T r a n s p o n i e n d o a y —r:

* 1 » -

P RO CR ll t ON C* A R I TM I TX A Í • ^ 9 3

Ejemplos

( 1 I Hallar el primer término do ana progresión aritmética sabiendo que el 11’ féimino os 10 y la razón

a = o [ p l ) r = 1 0 ( l l 1 H i ) = 1 0 ( 1 0 )( J ) = 1 0 5 = 5 . R.

(2 ) Hallar la razón do una progresión aritmética cuyo primer térmiio es —} y ol8* término 3¿.

¿ / I s * + » 21 _ u a _ 8 \ 4 z1 _ 8 4 _ 8 _ :¡l

f n — 1 “ 8 1 7 7 _ 5 6 ’

( 3 ) ¿Cuántos términos tieno la progresión

* « § ................. - y2 1

Aquí / = 1 — — 2 = — Entonces:•J J

_ 1 _ .V , Ü 2 _ I - 2 0

u —a + r 3 ( 3 ) 3 3 3n — ^30 tez. K.

r _ 1 _ I3 3 3

• E JE R CIC IO 2 8 7

1. El 150 térm ino de u na progresión aritm ética es 20 y la razón f • H allarel 1er. término.

2. El 320 térm ino de un a p rogre sión ar itm ética es —18 y la razón 3. H alla rel 1er. término.

3. H alla r el 1er térm ino de tina prog resión aritm ética sabiendo q u e el80 térm ino es } y el térm ino 1.

4. FJ 5*? term ino d e un a p rogresión aritm ética es 7 y el 7? térm ino 8J.Hal la r e l pr imer té rmino.

5. H al lar la razón de + 3 ------ 8 donde 8 es el 60 término.

0 H al la r la razó n de 5 —1 . . . . —4 do nd e —4 es el 1.00 término.

7. H al lar la razóm de + $ . . . . g don de — fl es e l 170 término.

8. El le», término de una progresión aritmética es 5 y el 180 término —80.Hallar la razón.

0. El <>20 té rm in o de un a pro gres ión a ritm ét ica es 10.r>0 y e l 1er térm ino —42. H a lla r la razón.

1 0 . ¿Gruimos té rminos t iene la progresión + 4 . 6 . . . . 30?U. ¿Cuántos términos t iene la progresión + 5 .5 J . . . 18?

12. F.l ler. término de una nrogicsión aritmética es 5¿. el 29 término 6 yel últ imo término 18. Hallar el número de términos.

9 4 * A lG tB R A

67) £ n toda p rogres ión a r i tm ét ica la su n ía de dos té rm inos equ id i s tan test ic los extremos es igual a la suma de los extremos.Sea la p ro g r e sió n + « n i p u , cuy a razón es r. S u p o n -

amos < |uc en t re <i y m h ay « t é rm in o s y en t re p y u t am b ién h ay n t én n i os . es decir , que m y p son té rminos equ id i s tan tes de los ex t remos , « y u .

a m o s a d e m o s t r a r q u e m + p ~ a + u .

Fn e fec to : H ab ien d o n t é rm in o s en t re « y m , a l t é rm in o m l e p rece-en n + 1 t é rm in o s ( co n tan d o la a); luego, podemos escrib i r (465) que

m — a F [n r l) r . (1).

D e l p r o p i o m o d o , h a b i e n d o n t é r m i n o s e n t r e p y u , t endremos :

u = p (n -r l) r. (2).Restando (2) de (1) , tenemos: >" “ + (» + 1 j»

- i i = / > ( » I l) r

nt — u = a — p

pasando p al p r im er m iem b ro de e sta ig u a ld ad y .n a l segundo , queda:

m p —a + u

u e e r a l o q u e q u e r í a m o s d e m o s t r a r .

OBSERVACIONC u a n d o e l n ú m e r o d e t é r m i n o s d e t i n a p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a e s i m -

a r. e l té rm in o m ed io e q u id is ta d e los ex tre m o s y p o r ta n to , seg ún lo q u ecab am o s d e d em o s t ra r , c ! d u p lo d e l t é rm in o m ed io s e rá i g u a l a l a su m a

e los extremos.

68| DEDUCCION DE LA FORMULA PARA HALLAR LA SUMA DE LOSTERMINOS DE UNA PROGRESION ARITMETICA

Sea la p ro g res ió n 4 a .b . c ................ l . m . u , que cons ta de » té rminos .Des ignando por S la suma de todos los t é rminos de es ta p rogres ión ,

ndremos : S = a b ~ c + I l 4 m 4«

t am b ién : S ~ u I r» T / + ............I c - b + a.

Sumando es tas igua ldades , t enemos :

2 .9 = ( < i 4 - u ) | b -t- tnj 4 - ( c 4 - l) 4 4 - ( i 4 - c ) 4 ( ’m 4 - />¡ 4 - ( t t 4 - O j .

A hora b ien , todo s estos b inom ios son ¡gua les a (» 4 « ) p orq ue hemosm o s tr a d o c n el n ú m e r o a n t e r io r q u e l a s u m a d e d o s t é rm i n o s e q u i d i st a n -s de los extremos es igual a la suma de los extremos, y como hay tantosn o m io s co m o té rm in o s t ie n e la p ro g res ió n , ten d rem o s:

( a l u u i

PROGRESIONES AR ITMET ICA ] • 4 9 Ü

Ejemplos (1 ) H a l la r la sum a de los 12 pr imeros t é rm inos d e d 7 .1 3 .1 ? . . . .En la fórmula a 'e la suma entra u. A qu í u es e l 12 ' términoqu e no lo conocem os . Vomos o ha l l a r lo :

u = o l | n 1 Jr = 7 h 112 I ) 6 = 7 + 111 [ó = 73.

Entonces , ap l i cundo l a fó imula de suma: t endremos :

a h u r í 7 + 73 12 80X 12 „Ví „5 — — --- — — _ 4 « ; , K.

(2 ) Hal lui la sumo de los 13 prim eros términos do r — 6 12

1 5 3La r a z ón e s = ------ . Ha l lem os el 13 ' término:

12 6 4

u = o + . ; n | „ = Í + i 1 2 , ( Í ) = | 9 = ^

A pl i c a ndo ohora l a f ó rmul a de s umo , t e nd re mos :

f r ( - ? ) ] » t H ) “ ( - ? ) "s 2 2 2 2

J — 3 ' - = — — = : 2e^ = 4 / ~ K.

2 2 6 3

E J E R C I C I O 2 8 8

l la l la r l a m i n a d e l os :

l. 8 prim eros términos de2. 1!) prim eras término» de

3 24 prim eros términos de

4. BU prim eros términos de6. 60 prim eros té rm inos de

6 50 prim eros térm inos tic7. 9 prim eros términos de

8. 14 prim eros términos de

1). 19 prim eros térm inos de

10. 34 prim eros térm inos de

13. 17 prim eros térm inos de

14 12 i té i d

3 ¡l •« ' ¿ ‘ i *

6 • A IC IB X A

S9) M E D I O S A R I T M E T I C O S

_P’ S e llam a m ed io s a r iu n é tic u s a las té rm in o s d e u n a p rog resió n a r i tm é -c a que s e ha l l a n e n t r e e l p r i m e r o y e l ú l t i m o t é r m i no de l a p r og r e s i ón .

As í , en l a p rogres ión +8 .5 .7 .9 .11 los t é rminos 5 , 7 y 9 son mediosi tmét icos .

7 0 ) IN T E R P O L A C I O N

I n t e r po l a r m e d i os a r i t m é t i c os e n t r e dos núm e r os da dos e s f o r m a r unao g res ió n a r itm é tic a cuyos ex trem o s sean los do s n ú m e ro s dados.

Ejemplos( 1 ) I n t e r p o l a r A medios or i tmét icos entre 1 y 3 .

1 y 3 son los extrem os d e la p rogros ión . Tendremos:

5 1 ......................................3 . I I ) .

Hoy qu e ha l l a r l a s 4 té rm inos de l a p rogres ión que hoy en t re 1 y 3. Si ha -lla m o s l a r a z ó n y s e l a s u m a m o s a 1 te nd re m o s d 2* término de lo progres ión;

sum ando es te 2® te rm ino con la r azón tendrem os e l 3e r . t é rm ino ; sum ando e l3er . té rm ino con la r azón ob tend rem os e l 4 ' t é rm ino y os i sucesivam en te .

u — al a ro z ó n l a h a l la m o s p o r la f órm u la y o c o n o d d a r = — t e n ie n d o e n c ue n

i» — 1t a q u e n e s e l n ú m e r o do términos d o lo pr ogre s ión o s e a l o s med ios q u e s ev a n a i n te r p o l a r más t os dos extremos .

En es te caso , l a r azón se rá :

3 — 1 _ 2' 6 1 ” 5 '

Sum ando es ta rozón con cad a té rm ino ob tenem os e l sigu ien te . En tonces :

2 7I + — = —i 2* término

7 2 9 o — + — = 3 e r. te rm in o

9 . 2 1 1 « . r - j l — = —, 4 ’ té rm ino

I I . 2 1 3 „ , - — + j = 5* term in o.

In te rpo lando estos m ed ios en ( 1 ) t enem os la p rogres ión :

PROCSCSIONtS ARITMCI ICAS 4 9 7

Poro hol lor lu tazón puede emplear se también la fórmula t u

e n l a c ua l n i r e p r e s e n t a e l núm e r o do m e d ios que s e von o i n t e r po l a r .

A s i, e n e l c a s o a n t e r i o r e n q ue i n te r po l a m os A m e d io s, m = A l ue go a p l i c a ndo

osla fórmula se t iene:u —o _ 3 — 1 2

1 " 4 + l “ 5

r e s u l ta do i dé n ti co a l ob t e n ido c on l a fó r m u la ge ne r a l de l a r oz ón .

( 2 ) I n t e rpo l a r 5 m e d ios a r itm é t ic os e n t r e — 2 y 5 j .

2 ..................................... 5 ¿ . ( 1 )

Hal lando lo r azón:

, _ u —a 5 J ( 2 | _ 5 i + 2 = 7 ¿ _ 29

6 ~~6 “ 2 4 'n — 1 7 1

S um a ndo l a r oz ón c on c a da t é r m ino , ob t e ne m os e l s i gu i e n t e :

- 2 + ? = - ^24

' 2 4 + 24

1° 29 _

2 4 + 2 4 “

24 24 ~

V-2 4 '

In te rp o la n d o e n ( I ) , t en em o s:

_ _ 19 10 3 9 ¿8 97

24 24 24 24 24

y s impl i f icando, aueda :

E J E R C I C I O 2 8 9

Interpolar :

! 3 m edios aritm éticos en tre 3 y 11.

2 7 m edios aritm éticos e n tre 1!) y 5 .

5 medios aritméticos entre —13 y —73.

I 4 m edio s aritm ético s en tre —42 y 53.

í. 5 medio s aritm éticos en tre —81 y —9.■ 3 medios a ri tmét icos en t re 1 y 3.

7 4 med ios aritmé ticos e n tte fi y 12.

6 5 m edios aritm ético s en tre I y 3.

0 ó medios aritméticos entre

LO, tí medios ari tm étic os e n tte

11. 5 medios aritméticos entre12. 7 med ios aritm ético s en tre

13. 8 medios aritméticos entte

y 3. _ 1

i*'y - r .

8 9 A l C i lM K A

EJERCICIO 290

1. H allar la sum a de los 20 primeros m últiplos de 7.2. H a lla r Ja sum a de los fc¡0 prim ero s m últiplo s de 5.

3. Hallar la suma de los 13 primeros números terminados en 9., H alla r la sum a tle los 100 primeros núm eros pares.5. H alla r la sum a de los 100 prime ros núm eros impares m ayores que 7.G. C om pré 50 libios. Po r el prim ero p agu é 8 cts. y po r cada tino de los

demás 3 c l s. más que por el anterior. Hallar el importe de la compra.7. Un dentista arregló a un hombre todas las piezas de Ja boca que tciu'a

completas. Por la primera le cobró Si y jx>r cada una tle las demás 20 cts.más que por la anterior. ¿Cuánto cobró el dentista?

8. H alla r la sum a d e los 72 primeros m últiplos tle II qu e siguen a CG.9. ¿Cuánto lia ahorrado un hombre en 5 años si en enero del primer año

ah orró hs. 2 y en cada mes posterior aho rró bs. 3 más qu e en el precedente?0. l 'n hom bre avanza en el prime r segund o de su carrera G m y en cada

segundo posterior avanza 25 cui más que en el anterior. ¿C uánto avanzóen el 8^ segu ndo y qu é d istancia hab ra recorrido en 8 segs ?

1. Los ahorros de ;$ años de un hombre están en progresión aritmética.Si en los lies años ha ahorrado 2100 sucres, y el primeraño a l ionó lam itad de lo qu e aho rró el segundo, ¿cuánto al ion ó a ula año?

2. El 29 y el 4'* términos de una progresión aritmética suman 22 y el 39 y el 79 términos suman 34. ¿Cuáles son esos cuatro términos?

3. Una deuda puede ser pagada en 32 semanas pagando $5 la H semana,$8 la 2? semana, §11 la 3» semana y así sucesivamente. Hallar el importe

tle la deuda.4 U na persona viaja 50 kilóme tros el p rim er d ía y en cada tlia pos terior 51kilómetros menos de lo que iccorrio el tlia anterior. ¿Cuánto habrá reco-rrido al cabo tle 8 días?

Ji. t u un a progresión a ritm ética d e 12 térm ino s el 1? y el 129 térm ino su-man 53U ¿Cuál es la suma del 39 y el 10v término?

G. ¿Cuál es el (i1' té n n in o de u n a prog resión ar itm étic a de 11 térm inossi su ice. té rm in o es —2 y el ú ltim o —52?

7. bu el l^r. año tle negocios un hombre ganó $500 y en el último ganó81900. Si en cada año ganó 5200 más que en el año anterior, ¿cuántosaños tuvo el negocio?

B. Las ganancias anuales de un comerciante durante 11 años están en pro-gresión aritm ética. El p rim er añ o ganó SI 180 >' el últim o $6180. ¿C uán tomás ganó en cada año a contar del segundo año, que en el anterior?

0. Las pérdidas de 5 años d<: una casa ele comercio están en progresiónaritmética. El último año perdió 3000 soles, y la pérdida de cada añofue d e 300 soles menos que en el añ o anterior. ¿Cuánto perd ió el primeraño?

0 U na piedra d ejada caer libreme nte desde la azotea de un edificio recorre161 pies en el primer segundo , y en cada segundo |x)sterior recorre 322

p ie s m ás q u e en el segundo ante rior. Si la p iedra ta rd a 5 segundos en

llegar al suelo, ¿cuál es la aluna del edificio?1. Hallar Ja suma de los números impares del 51 al 813.2. F.l í>9 término tic una progresión aritmética es 31 y el 9* término 59.

Hallar el 122 término.’3. Las ganancias de 3 años de un almacén están en progresión aritmética.

i -t c o c nr i io N ci c c o M t i R i c A i • <1 99

(4 7 V) PROGRESION GEO METRICA es tod a serie* en la cu al c ad a té rm in o o

o b t i e n e m u l t i p l i c a n d o e l a n t e r i o r p o r u n a c a n t i d a d c o n s t a n t e q u e c . \la razón.

NOTACIO N

El s ig n o d e p r o g r e si ó n g e o m é t ri c a e s y e n t r e t é r m i n o y t é r m i n o »•escr ibe :

A s í, := 5 : 1 0 : 2 0 : 4 0 e s u n a p r o g r es ió n g e o m é t ri c a e n la c u a l la r a -zón es 2. E n efe cto , 5 x 2 = 1 0 ; 1 0 x 2 = 20; 2 0 x 2 = 40, etc..

Una p rogres ión geomét r i ca e s c rec ien te cuando l a razón e s , en va

lo r abso lu to , mayor que uno , y e s dec rec ien te cuando l a razón e s , enva lo r abso lu to , menor que uno , o s ea , cuando l a razón e s una f racc ión

l ,r° P Ía> M U * 1 : 4 : 16: 64 , .

es una p rogres ión geomét r i ca c rec ien te cuya razón e s 4 . y

: 8 : 1 : } : } . . . * .

es una progres ión geométr ica decrec iente* cuya razón es

Progres ión g eom ét r ica f in i t a e s la qu e tiene* u n nú m ero l im i tado de

t é r m i n o s e i n f i n i t a l a q u e t i e n e u n n ú m e r o i l i m i t a d o d e t é r m i n o s .

A sí, a 2 : 4 : B : l G e s u n a p r o g re s ió n f in i ta p o r q u e c o n st a d e 4 té rm in os, y * 4 : 2 : 1 : } es u n a p ro g r es ió n i n f in i ta p o r q u e c o n sta «le u n n ú -m e r o i l i m i t a d o d e t é r m i n o s .

En toda p rogres ión geo m ét r ica l a razón se* ha l la d iv id ien do u n t é rm i-n o c u a l q u i e r a p o r e l a n t e r i o r .

¡472) DED UCC ION DE LA FO RM ULA DEL TER MIN O EN ESIMO

S ea la p r o g re sió n . . . . : u

e n q u e l a u es e l t é rm ino enés im o y cuya razón e s r.

En loda p rogres ión geom ét r ica , cada t é r ^ ~ ,, , 7 . • 1 • i* j c = b r = (a r )r = ar*

m i n o e s ig u a l a l t é rm i n o a n t e r i o r m u l ti p li c a d o ) ' _

por la razón: luego: _ f _ d f = =

II. PROGRESIONES GEOMETRICAS

A q u í v em o s q u e u n t é r m i n o c u a l q u i e r a e s ig u al a l p r i m e r o ir m u l t i - p lic a d o p o r la razó n e lev ad a a u n a p o te n c ia igual al n ú m e ro de* té rm in o s

q u e l o p r e c e d e n .Es ta l ey s e cumple s i empre ; luego , como u es e l té rm ino n y le p re -

c e d e n n — 1 té rm inos , tend rem os: u i r" '

0 • A L G E B R A

Ejemplos( 1 H ollo r d 5* té rm i no d e « 2 : 6 : 1 8 . . . .

Aquí u = 2, n = 5¡ r = 6 f 2 — 3, luego:

u as w » 2 X 3 J ' = 2 X 3 | ' R.

1 2 ) Hol lar e l 8' té rm in o <lo « 6 : 4 . . . .

4 t Aqui a — 6, n = 8, < — ¡ = lu eg o:

/ 2 \ , 128 2S6 „

• = «* -■ = «* < -> - ‘ * s r s > K

( 3 ) H a l la r c l V té rm i no d e ■ h ji — r »j . . . . ó 2 o

La razón ei : — \ | = — 5X ^ — — *. Por ton to:

, * „ * 727 „ü = 0 , ----- \ = r “T T = — ■ R.

3 1 4 ) 3 4096 2048

Cu n n d o l a ro zó n e s n eg a t i v a , l o q u e s u ced e s i emp re q u e l o s t é rmi n o s d e l o p ro g res ió n son a lte rn a tiv a m e n te p osit iv o s y n eg a tiv o s , h a y q u e te n e r cu id o d oco n c l s i g n o q u e r e s u l t a d e e l ev a r l a r azó n a l a p o t en c i o 1» — 1.

Si es po r d icho resu l tado t end rá s igno i y si es ¡m pa i . s igno

: i o 2911 . H alla r cl 7V te rm in o tic 3 : 6 : 1 2 . . ..

2. Hal la r c l £7 té rm ino de « ¿ : 1 : 3 . . . .

3 . H a lla r cl term ino tic « 8 : 4 : 2 -----

4. Hallar c l 67 término de *» 1 : £ : . . .ti 25

b. H a ll ar cl 77 té rm i no d e « 3 : 2 : ¡j. __

6. H a lla r cl 67 térm in o de « j : i . . . .

7. Hallar cl 87 té rm i n o d e « 2 ; : 3 . • . .

8. Hallar cl 6,? té rm i no de « —3 : 6 : —1 2 ___

9. H alla r cl í>7 término de « 3 : 1 : j . . . .

10. H a lla r cl ¿7 té i m i no d e «■ •: • ___ n a11. H alla r cl

87 término de « 16 : 4 : 1 . . . .12. Hallar c l 67 te rm in o d e o 5 : ; : j • • • •

13. Hal la r c l &7 term ino de . . . .0 2 A

«• R OGR tJION lS C l O M i r i t l C A t • SOI

14731 DE DU CCION DE LA FORM ULA DEL PRIMER TER M INOY DE LA RAZON

H e m o s h a l l a d o q u e u _ ^

| |D e s pe ja ndo n , se t ie ne : a — . q ue es la f ó r m u la de l p r im e r l ét

m ino e n una p r og r e s ión ge om é t r i c a .

P a r a ha l la r l a r az ón . D e s pe j a ndo r ' 1 e n (1) s e t ie ne

Ur n‘ — y ex tray en d o la ra íz n — 1, q ue da r =

que cs l a fó rmula de la r azón en una progres ión geomét r ica .

Ejemplos

( í ) El (>’ t ermino d e unn prog res ión geom ét ri co cs y l a razó n j . Hollor e l

p rim er te rm in o.

A qui v = ~ , r = \ . 0= 6, luego

L J_ V 16 16 .

a = = — —2 R.

r"1 1 I: 2 ' 3232

í 2 ) El 1e r. t érmino d e un a progres ión ge om ét r ica cs 3 y e l ¿y término — 729. Hollarlo rozón.

A q ui o = 3 . U — — 729. n = 6 , luego:

' “ Y “ = xV f = < / M = 3. R.

I EJERCICIO 29 2

1. L a r a z ó n d e u n a p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a e s y e l 7 " t é r m i n o H a l la r

e l p r i m e r té rm in o .

2 E l i)'* t é r m i n o d e u n a p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a e s y la r a z ó n es

H a l l a r e l p r i m e r té rm i n o ,

i'. E l O1? t é r m i n o d e u n a p r o g r e s i ó n g e o m é t ri c a e s ^ y e l 6‘> t é r m i n o

H a l l a r e l ! «■ t é rm i n o .

■ H a l l a r la r a z ó n d e « 2 : ..................: l>4 de C té r m in o s .

i. H a l l a r l a r a z ó n «le « ‘ : ................... : 2 4 3 « le 7 t é r m i n o s .

H a l l a r la r a z ó n «le « —, * > : : 0 4 0 d e 8 t é r m i n o s .

7 H a l la r la r a z ó n «le « 2 ? : .................: * « le ( i t é r m in o s .

I Inllai la r.u ó» d e :: « : ... : — de 7 términos. j i í

H allar la la/óil de — : ........ : I de !> térm inos .

J'l 8V té rm in o tic u n a prog resión ge om étric a es y 1«. té rm in o es

Hallar la razó».

) En toda pro gre s ión geom étr ica e l pro du cto d e «los térm inos eqnid is tan to s «le los ex trem o s es igua l al p ro d u cto de los ex trem os.

Sea la progresión

« n : .............r / i : ................. p ' - : u

r lc en t re u y m hay u t é r m i n o s y e n t r e p y t i también hay n términos ,onees, m y p son eq u id i s tan tes de los ex l rcn íus . Vamos a p ro b ar qu e

t u p = H i t .

lili ef ec to : Se t ie n e (472) q u e i w i = « . r ' , l |M / r . ; a + , <

Divid iendo es tas igualdades , tenemos:

m a _ . tu p — un

e r a l o q u e q u e r í a m o s d e m o s t r a r .

OBSERVACION

De acu erd o con la dem os t rac ión an te r io r , si una p rogres ión g eo m ét r i-t ie n e u n n ú m e r o i m p a r d e té rm in o s , e l c u a d r a d o d e l t é r m i n o m e d ioiva le a l p roduc to de lo s ex t r emos .

Asi. en la pro gresión * 3 : 6 :1 2 : 24 : 48 tene m os 12í — M4 y 3 X 48 = 144.

5) DE DU CC ION DE LA FORM ULA DE LA SU MA DE LOS TERMINOS DE UNA PROGRESION GEOMETRICA

Sea la progresión<’ a b • c ' d : ............u

a razón es r .

D e s i g n a n d o p o r S l a s u m a d e t o d o s s u s t é r m i n o s , t e n d r e m o s :

S = a + b + c + d + +.jt. (1).

M u l t ip l i c a n d o lo s d o s .m i e m b r o s d e e sta i g u a l d a d p o r l a r a z ón :S r = a r + b r + c t + d r + .......... + u r . (2).

Restando (1) de (2) . tenemos:

S I b + 4 d I I

• A lG in K A

PR O C í U S lO N C S O .C OM C TR I C A5 ® 5 0 3

Al e f ec tua r e s t a r e s t a hay que t enor p r e sen t e que como cada t é rmino mu!t ip l icudo po r l a r azón da e l s igu i en t e , u r = b y esta \> se a n u la co n />;br — c y esta c s e a n u l a c o n —c; c r = d y esta d se an u la co n —d , etc. Í i it onces , a r r i ba queda u r y a b a jo — y tle a b i r e su lta el 2o. m i em b r o d e la

resta ur — a.S a c a n d o S f ac to r común en e l p r imer miembro de l a ú l t ima i gua ldad ,

se t iene:S(r— 1 } = u r - a

y de aqu í

s u r ” a

Ejemplos

r — 1

( i) Hollor lo sumo do los 6 primeros términos do " A.'i I .

Hollemos el 6' término:r.

-0 . ' ' 3 2 B

/ 1 \ r’ 1 Iü = o r l I X > 4 X — = .

v e / .3 9 R

Entonces , ap l i cando lo fó r rnu lo do soma , t raemos :

d w l v j _ _ 4 63

ut — o \ 8 / \ 2 / 4 16 4 63 J r

S _ r 1 T _ j “ _ J _ 2 ~ 8 “ 3'

1 2) H a l la r t a suma de k »S 8 p rim ero s té rm in os d e «■ 9 1 — 3 : I . . . .

A q u í l a r a z ó n e s r ~ — 3 r 9 — — Hallemos* oí 8' termino:

u = Q f» - i — 9 x ' ) = 9 X L ) = - - L .\ 3 f ' 2 1 87 > 213

Apl icando k j fó rmula de su inu , t enemos :

/ _ J _ U I y 9 _L_9 _ u r _ o 243 ' 3 / 729 _ 729 _ 1^40 _ , 182

S “ r 1 1 _A_ ~ _ A ~ 243 2Í3*3 3 3

EJERCICIO 293

Hallar la suma de los:

1. & p rim ero s térm in os de « 0 : 3 : 1 ; ------

2. o prim eros térm in os de « 1 : — B : 1 0--

3 7 primero s tem im os de 12 : \ : !.*■•••

A 1(1 primero * térm in os de « | ; 1 -

• AUJtOKA

5. 8 primeros térm inos de 2 j : 1 . '-----

G 7 prim eros términos de « {'• ~"\ -----

7. 10 prim er os té rm in os de +t —G : —3 : —1 ^ . . . .

8. 8 pr im ero s té rm inos de «■ 2 : —1 : *--

9 (1 prim er os térm ino s de «■ ? : 1 : * ___

10 G prim eros térm inos de ■» !) : —3 : 1 -

) INTERPOLAR MEDIOS GEOMETRICOS e n tre dos n úm ero s es form ar u n a p rogres ión geo m ét r ica cuyos ex t rem os sean lo s núm eros dados .

EjemploIn lerpo lor A med io s g eo mét r i co s en t r e 9 6 y 3 .

Ho y q u o fo rmar u n a p ro g res ió n g eo mét r i ca cu y o p r imer t e rmin o to a 9 6 y

ol úl t imo 3:

* 9 6................................

3. <11Hay q u e h a l lo r lo r azó n . C o mo v amo s a in l c rp o ta i 4 m ed io s y y o t en em o s lo s

d o s ex t r emo ) , r> — 6, luego:

„ . , / u . / 3 r. / 1 1

r~ v á " V 9 6 ~ V ~32~2

Si lo r azó n e s i mu l t i p l i c ando 96 por J tendremos el 2* término; éste , mult ipl icado p o r 1 d o ró e l 3 e r . térm in o y a s i su cesiv am en te . T enem os:

9 6 X 4 = 4 8

48 X i = 24

2 4 X J = 12

1 2 X ¿ = 6

I n te r p o la n d o e n ( 1 ) , t enemos la p rogres ión

96 48 24 >12 6 3.

NOTAPu ed e ap l i ca r se t amb ién o n e s to co so , p a ro h o l l a r l a r o zó n , l a f ó rmu la

„ i u

P R OGR ES IONES GEOM E TR IC A S • 50¡j

EJERCICIO 294

Interpolar:

l. 8 medios geom étricos en tre 5 y 3125.

2 4 medios geom étrico s en tre —7 y —224.3. 5 m edios geom étricos e n tre 128 y 2.

4v 4 medios geom étricos e n tre 4^ y

6 6 medios geo m étricos en tre 2 y 34

C. 4 medios geom étricos en u e * y ~ .

7 7 medios geom étricos en tre 8 y ~ .

47 7) SUMA DE U NA PROGRESION GEOMETRICA' DECRECIENTE INF INIT A

, . . , _ u r — a . . 1ir —a {rrrn ,)r ti n r' 0 1 e n l a ló r m u la i = ------- — su stitu im o s S = --------- — ----------------------------- —

. , r “ , J * r _ 1 r _ 11 1 p o r su v a l o r u = « r ‘ \ t en d r e m o s : /

y ca m bia nd o las s ignos a los d as térm inos <■_.d — nr"

de e sta ú l t im a f racción , t enem os : • I r En una progres ión geométr ica decrec iente la razón cs una f racc ión

p ro p ia , y .si vina fracción p ro p ia se eleva a u n a po tenc ia , c u a n to m ayo r seael exp ol íente , m en or es la potenc ia de la fracc ión , l ’or tan to , cu an to ma-yor sea >1 . m e n o r e s r “ y m e n o r s e r á a y'-, s i endo n s u f i c ie n t e m e n t e g ra n d e ,tu" se rá t a n p e q u e ñ a c o m o q u e ra m o s , o sea, q u e c u a n d o >1 a u m e n t a i n d e

a — ar" I nu dam ente , a r '• t ien de al l ím ite 0 y po r tan to — , o sea S , t i e n d e a l

l ím i te — —. Es to se expresa brev em ente d ic iend o q u e cu an d o »», e l nú -

mero de t é rminos de l a p rogres ión , e s in f in i to , e l va lo r de l a suma es

5 =1 —r

E jemplos( 1 ) H o l la r l a su m o d o l a p r o g r e s i ó n ; 4 . 2 1

A q u i a = 4 , r = J , l u e g o .

8 c s e l J ím r 'to a l c u o l l ie n d o l o ju m a , l a s u m a n u n c a l l o g a a s e r i g u a l o 8 ,

p e r o c u a n t o m o y o r s e o e l n ú m e r o d e t é rm i n o s q u e s e t o m e n m ó t s o a p r o

x i m a r á a 8 ,

• A t e t e » *

A qui a = 5 , r ^ luego:

S = ° = J _ = £ _ = ! = ” = 311

, _ f r U - £ ) 1 + 2 íü 13 tt( t « / io io

3 — os cl límite d e la sumo. R.tu

EJERCICIO 295H al lar Ja sum a «le las progresiones infinitas;

4 . 7 .

>3. 3.

. „ 5 : 2 6.

8 HALLAR EL VALOR DE UNA FRACCION DECIMAL PERIODICA

Un a f r acc i ó n d ec i ma l p e r i ó d i ca e s l a s u ma d e u n a p ro g res i ó n g eo mé-ca decreciente inf in i ta y su valor (su generat r iz) puede hal larse por c l

c e d i m i e n to a n t e ri o r .1 1) Hollor cl va lor de 0 .333 ............

<7. ) Hollar la suma r f c la progresión infinito « 5 : —j .

Ejemplos0-333 .................. 10 1 100 1 1000

Esta os la sumo de uno progres ión gcomét i ica o l in f in i to cuya rozón es

Tendremos: 3 3o _ T o _ 7 o 3 _ 1

1 — r ~ i_ 9 9 v

r( es el v alo r de la f racción 0.333 ............

< 2 | Hollor cl va lor d e 0 .31515.

0 . 3 1 5 1 5 ............. = “ r r r r l 1510 1000 1COOOO

Después de — en e l segundo miembro tenemos la sumo do una progres ión

g eo m ét ri ca o l i n fin ito cu y o r azó n e s — , lu eg o :

p r o g r c s i o m s c t o M i r m c A i • 5 0 7

3 1 S?0.31515 — + 7 7 = — ■ *•

10 66 lé5

m- EJERCICIO 296

Hallar por la suma al infinito, cl valor de las fracciones decimales:

1- 0 .6 66 .... 2- 0 .121 2 .... 3. 0.15 915 9....4. 0.3232___ 5 0.144144----- G. ü-3555-----

7 0.18111.... 8. 03 18 18 ... 9. 21 81 8....

£> EJERCICIO 297

1- E l lunes gané 2 lempiras y cada dia después gané el doble de lo que gané cl anterior. ¿Cuánto gané el sábado y cuánto de lunes a sábado?

2 Un dentista arregla 20 pie/as a una persona cobrándole un centavo por la primera. 2 cts. por la segunda, 4 cts. jior la tercera, 8 cts. j»or la cuarta,

y asi sucesivamente. ¿Cttáles serán los honorarios del dentista?

3 Un hombre jugó durante 8 días y cada dia ganó i de lo que ganó cl

dia anterior. Si cl 8V «lia ganó 1 balboa, ¿cuánto ganó cl 1". dia?

4- El producto «leí ,V y cl 7’ término de una progresión geométrica «le

9 términos es ¿Cuál es cl producto del l«r. término por cl último?

En una progresión geométrica de 5 términos el cuadrado del 3er- término

es Si el último término es ¿cuál es el primero?Rl Bl

C. El 4P término «le una progresión geométrica es j y el 71? término

Hallar el 6'1 término.

7. Un hombre que ahorra cada año los j de lo «pie ahorró cl año anterior,

ahorró cl 5? año 5160. ¿Cuánto ba a!iorrad«i en los 5 años?

La población de una dudad ba aumentado en progresión geométrica de 59049 almas que era en 1953 a 100000 almas en 1958. ¿Cuál es la ra/ón de crecimiento por año?

Una persona ha ganado en cada año i de lo que ganó el año anterior.Si cl leí. año ganó 24300 bolívares, ¿cuánto lia ganado en 6 años?

Se compra una finca «le 2000 hectáreas a pagar en 15 años «le este modo: >1 el ler. año, $3 el 2*? año, $9 el 3er- año, y asi sucesivamente. ¿Cuál es el importe «le la finca?

Entonces, s u m a n d o ^ con ~ , tenemos :

N C K < 1 8 5 8 - 1 9 4 7 1 M a te m á t i c a y t i l i c o d e lo j " q u a n t a " , b a t u d a c n la ¿ ¡( c o n t i n u i d a d d e la

c i b i ó e l P r e m i o N o b e l d e F í s ic a d e 1 9 1 8 . © n urgí.» r a d i a n t e . L a b a s e d e l a F ís ic a m o d e r n a o * lao s s e d e s a r r o ll a r o n a l r e d e d o r d e l e s r d o - " c o n s t a n t e u n i v e rs a l d e P l n n c k " . E n tu s t r a b a j o s so

r o « I c a l o r y l a e n e r g í a . L l o v ó a c a b o la u n e n m e r a v ll l o s am u n t e l a F í s ic a y l a M a t e m á t ic a ,

d o l a F b t c a . a l i n t ro d u c i r a u l a m o s a t e o r ía A l e m a n i a c r o ó o l I n s t i t u t o d o F í s ic a M a x F la n c fc .

479) LO GARITM O de un número es el exponente :t que hay que elevar otro número llamado base para obtener el número dado. Así,

5 < = 15 = 5

5 = 255: = 125, etc.

luego, siendo la base 5, el logaritmo de 1 (que se escribe log 1) es 0, porque 0 es e l expolíente a que hay que elevar la base 5 para que dé 1 : el log 5 es 1; el log 25 es 2, el log 125 es 3, etc.

L O G A R I T M O S

CAPITULO XXXVIII

.4801 BASECualquier número positivo se puede tomar como base de un sistema

de logaritmos.

481 SISTEMAS DE LOGARITMOSPodiendo tomarse como base de un sistema de logaritmos cualquier

Briggs, cuya base es 10. y el sistema de logaritmos naturales o neperianos creados por Neper. cuya base es el número inconmensurable

e =2.71828182810. ...

PROP IEDADES GENERALES DE LOS LOGAR ITMOS

¡ 482) Son de importancia las siguientes propiedades de los logaritmos:

1 ) L a base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa, poique st fuera negativa, sus potencias pares serian positivas y las impares negativas, y tendríamos una serie de números alternativamente positivos y negativos, y por tanto, habría números positivos que no tendrían logaritmo.

'?.) Lo s números negativos no tienen logaritmo porque siendo la base positiva, tocias sus potencias, ya sean pares o impares, son positivas y nunca negativas.

3) E n todo sistema de logaritmos, él logaritmo b l — b log h de la base es 1 , porque siendo b la base, tendremos::

4) En todo sistema e! logaritmo de 1 = log ies cero, porque siendo b la b:tsc, tendremos:

5) Lo s números mayores que 1 tienen logaritmo positivo porque sien

do log 1 = 0 , los logaritmos de los números mayores que I serán mayorr. que cero; luego, serán positivos.

G) Lo s números menores que 1 tienen log:tritmo negativo porque siendo log 1 = 0 . los logaritmos de los números menores que 1 serán menores que cero; luego, serán negativos.

483) LOG AR ITMO DE UN PROD UCTOF.J logaritmo de un pioducto es igual a la suma de los logaritmos de

li»s facones.Sean A y B los factores. Sea x = log A e y = log B y sea b la base del

sistema.Vamos a probar que

log (A x B ) - log A + log B .

E n electo: Que x es el log de A significa que x es el exponente a que hay que elevar la base b para que dé A , y que y es b ’ .el log de f í significa que y es el exponente a que hay que ele- b ’ - U

var la base b para que dé /I; luego, tenemos:Multiplicando estas igualdades, tenemos:

L O G A R I T M OS • 5 0 9

b " ’ = A X B .

1 0 t « G t O U

Ahora b i en : S i x + y esel exponente a q u e hay q u e e l e v a r la base b a r a q u e d é A X B , x + y es el logaritmo t l e A X H: l uego ,

log (A x B ) = x -I- y

e ro x — l og A e y = l o g H\ luego,

log {A XÜ) = log A + log H.

84) L O G A R IT MO DE U N C OC IE NTE

E l logaritmo de un t ocíente o igual al logaiitmo del dividendo meos el logaritmo del divisor. I

Sea A el dividendo, ¡i el divisor, x=log A , y=log f i , r A _ . _ . _

endo b la base del sistema. Vamos a probar q u e / ¡ ) lY¿En efecto: b x — A .

b ’ = 1 1 .

Divid iendo miembro a miem bro /,*-» — —stas igualdades, tenemos1 ______________________________________ / ’ — /}'

Ahora bietn Si x - y es el exponente a que hay que ^ A _

levar la base para que dé —, x - y es el log de luego,-

sea: —------------------------------- log — = log A - log B .t i

85 L O G AR IT M O DE U N A PO TEN CIA

El logaritmo de una |rotcncia es igual al exponento multiplicado [n»r l logaritmo tle la base.

Sea x — log A y b la base del log/D = «(log A).stema. Vamos a demostrar que

En efecto, siendo x el bx = A .

og A , tenemos: -------------------- ------------------

Elevando ambos miembros b°* = A*.la potencia h , tenemos: -----------------------------------------

Ahora bien : Si rtx es el exponente . . 0 _que Jtay que elevar la base para que ‘ UX

é A n, tix es el log de A "; luego,

como x = log A , se tiene: » log A " = «{log A).

86 LO G A R IT M O DE U N A R A IZ

E l logaritmo tle una raiz es igual al logaritmo dt l.i cantidad subradi- al dividido entre el índice tle la raiz

l O C A K I T M O S 5 1

En efecto: Siendo x b) Acl log A . so t iene: __________________________________________________________________ .

Extrayendo la raiz enésima "C•%*

a ambos miembros, tenemos: /

o s e a . > b " C'.

XAhora bien: Si — es el exjronentc

a qu e hay qu e elevar la base para qu e log !vA

dé Va, — es cl log de Va, luego,------------------------------

y como x — log A , qu ed a: * log v A =

L O G A R I T M O S V U L G A R E S

487} Los logaritmos que usaremos en este curso elemental son los logaritmos vulgares cuya base es 10 .

(488) P R O P I E D A D E S P A R T I C U L A R E S D E L O S

L O G A R I T M O S V U L G A R E S

Observando la progresión

1 0 = 1 i o - .= 4 - = o . i

10 = 10

10’ = 100

) 0 > = Í L = ° . 0 1

10’ = 1000 10 ‘ - — -0 .0 0 1

10’ = 100CO, etc. 10 ‘ = 4 r = 0.0001, etc.10*

se deducen fácilmente las siguientes propiedades de los logaritmos debase 10 :

i ) E n este sistema, los únicos números cuyos logaritmos son números enteros son las potencias de 10. Así,

log 1 = 0 log 0.1 = - 1 .log 10 = 1 log 0.01 = - 2 .log 1 0 0 = 2 log 0 .0 0 1= - 3 .log 1000=3 log 0.0001= -5. etc.log 10000= l, etc.

2 9 AIGEHRA

) E l log tle todo número que no sea una potencia de io no es un número entero, sino una fracción propia o un número entero más una fracción propia.

En efecto: Como log 1 = 0 y log 10 = 1. los números comprendidos entre 1 y 10 tendrán un log mayor que 0 y menor que 1 ; luego, su log será una fracción propia.

Asi. log 2 = 0.301030.Como log 10= 1 y log 100 = 2 . los números comprendidos entre 10 y

10 0 tendrán un log mayor que 1 y menor que 2 ; luego, su log'será 1 más una fracción propia.

Asi, log 15= l +0.170001 = 1.176091.Como log 100 = 2 y log 1000 = 3, los números comprendidos entre 100

y 1000 tendrán un log mayor que 2 y mcnoi que 3; luego, su log será 2 más una fracción propia.

Asi, log 504 = 2 + 0.751279 = 2.751279.l-.l logaritmo de un número comprendido entre 10(X) y 10000 será 3

más una fracción propia.Asi. log 1231 - 3 + 0.091315 =3.091315.Del propio «todo, como log 1 = 0 y log 0.1 = 1. los números compren

didos entre 1 y O.J tendrán un logaritmo mayor que — 1 y menor que cero:

uego, su logaritmo será —1 más una fracción propia. Así. log 0.5 = - 1 + 0.688970 = í . 098970. (Se pone el signo — encima de I para indicar quo lo que es negativa es la parre entera, pero no la parte decimal).

Com o log 0.1 = - 3 y log 0.01 = 2. los números comprendidos entre0.1 y 0.01 tendrán un log mayor que - 2 y menor que - 1 : luego, su log será -2 más una fracción propia.

Asi. log 0.08 = — 2 + 0.903090 = 2.903090.El log de un número comprendido entre 0.01 y 0.001 será mayor que

3 y menor que —2; luego, será 3 más una fracción propia; el log de un número comprendido entre 0.001 y O.ÚOOl será mayor que —4 y menor que 3: luego, será — 4 más una fracción propia, etc.

489. CA RA CTER ISTICA Y MANTISA

Acabamos de ver que el log de todo número que no sea una potencia le 10 consta de una parte entera y una parte decimal. I.a parte entera se

lama característica, y la parte decimal, mantisa.Así.

en log 25 =1.397840 la característica es l y la mantisa 0.3'JV I* :

en log 4125 =3.615424 la característica es y la mantisa 0.61

La mantisa siempre es positiva, pero la característica puede ser cero si cl número está comprendido entre 1 y 10 ; positiva, si cl número es ma

yor que 10 O negativa si el número es menor que 1 .Las potencias tic 10 sólo tienen característica; su mantisa es 0.

(4 90 )V A LOR DE L A CARACTER IST ICA

En virtud de lo anterior, podemos decir epte:

1) L a característica del logaritmo de un número comprendido entre 1 y 10 es oeto.

2) La característica del logaritmo de un número mayor que 10 es j>o si ti va y su valor absoluto es 1 menos que cl número de cifras enteras del número. Así, 84 tiene dos cifias enteras y la característica de su lóg es l; 512 tiene íres cifras enteras y la característica de su log es 2; 1215.05 tiene

cuatro cifras enteras y la característica de su log es 3 ..i) L a característica de un número menor que 1 es negativa y su valor

absoluto es 1 más que el número de ceros que hay entre el punto decimal y la primera cif ia significativa decimal.

Asi, la característica de log 0.5 es — 1; la de log 0.07 es — 2; la de log0.0025 es — '.i, etc.

(491) C A R A C T E R I S T IC A S N E G A T I V A S

En el lo g d eu n número menor que .1 la característica es negativa, pero

la mantisa es positiva.Asi, log 0.5 = — 1 + 0.698970. Este log no puede escribirse — 1.698970,

pues esto indica tpte tanto la característica como la mantisa son negativas. El modo correcto de escribirlo, indicando que sólo la característica es ne

gativa, es 1.698970.

Del propio modo, log 0.03 = 2 + 0.477121=2.477121.

4 9 2 ) COLOGA R ITMO . SU USO

Se llama cologaritmo de un número al logaritmo de m i inverso.

Asi, el cologaritm o de 2 es el log aritmo de i ; e! co loga ritmo de 51¿á

es el logaritmo d e .54 1

E n general, c.olog x = log — y como el log de un cociente es igual al

log del dividendo menos el log del divisor, tendremos:

eolog x - log - log 1- log x = 0 - - log x = - - log x

luego, queda colog x = - log x. o sea, —log x = colog xlo que nos dice que n ».u »■I Im* de un miiin m i.-quivali a -.iiiii.n el <- + >-i;,nimio del mismo número,

L OGA RI TM O S • 3 1 3

Por lauto, como log 7 - = log a - log 0 cn lugar a0 l o g - - - l o g t f + C O l o g

e l o g / ) podem os pone r co\o¡¡ 0 y tendremos: - " ’ • “ ■<

El cologarilmo se u s a , pues. para convertir en suma una r e s t a de loaritmos.

1 4 O a l g e u k a

Existen tablas de logaritmos de diversos autores cuyo manejo viene xplicado en la misma tabla.

mente usada entre nosotros trae una explicación detallada de su.manejo, a

la remitimos el alumno.Así. pues, antes de pasar al número siguiente, el alumno debe cono

er a fondo el manejo de la tabla, saber bailar el log de cualquier número, tuilogaritmos y tocia clase de operaciones con logaritmos, todo lo cual apaece detalladamente explicado en la tabla.

DE L OGAR ITMOS

!,as propiedades de los logaritmos nos permiten emplearlos para calular el valor tic diversas expresiones.

(2 .) M ollar po r lo g el v alo r de 3214.8 X 0.003 X | — 43,76) .

C o mo u n n ú mero n eg a t iv o n o t i en e lo g n o so t ro s t r ab a ja r emo s p resc in d ien d odel s igno — de 43 .76 y l u e g o d e h o l l a d o e l p r o d u c t o , d e a c u e r d o c o n l a r e -

g la de los s ignos , le pond rem os s igno —. Tendremos!

MANEJO DE LAS TABLAS

Como el alumno necesita una tabla de logaritmos y la tabla general*

CALCULAR EL VALOR Dt EXPRESIONES POR MEDIO

í i ) Hol lo r e l vo lor de 1215 X 0 Ü 4 po r logor ítmos.

C o mo e l l o g d e u n p ro d u c to e s ig u a l o l a su mo d e lo slogs de los fac tores , tendremos:

log (1215X 0.841 — lo g 12)5+ J o g 0.84

= 3.0B4576 I- I.'724279.

= 3 . 0 0 8 8 5 5 .

En to n ces , b u sc an d o e n l a to h ía e l an t ilo g o r itmo d e 3 .0 0 8 85 5 (o seo , e l n ú -mero o q u e co r r e sp o n d o e s t e lo g a i i lm o | se en c en t r a r á q u e e s 1 02 0.5 9 lu eg o

1215 X 0.84 = 1020.59 o s e a 1020.6. R.

log 1 3214.8 X 0.003 X 43 7 6 1 = lo g 3214.8 I log 0.033 + log 43.76

= 3.507154 + 3.477)21 • 1 .641077

= 2 .6 2 53 5 2.

0.765(3 ) Hallar c! valor de por log.

ni logaritmo de un cociente cs igual al log del dividendo monos el log doldivisor, luego 0765

log r r r r ^ » o g 0 .7 6 5 - lo g 39.14• Í Y • I*4

pero comorestar d Jog do un número ciqurvalo a sumar su cofogaritmo podomos escribir: 0J65

log = log 0.765+ cdog 39.14

=7.8836614-2.407379

=2.291040._________ -ñ- 0.7652.291040 corresponde al número 0.019545, luego — — = 0.019545. R

(41 Hol lar e l valor de 7.5*.

Como el log do uno potencio es iguol al oxponenle mult iplicado por ol logdo la bose, tendremos:

log 7.5°= 6 1log 7.5 1= 6 10.875061)= 5.250366.

Elon tilogdec.250366cs 177977.551 luego73 ” = 177977.551 aproximadamente

(5) Hollar el valor de V 2 .

Comoel log do una ratz cs igual ol log de la cantidad subradical divididoentre el índice de lo roíz, se tiene:

log « . J a » ,J v

0.095424 corresponde ol número 1.24573 luego '$•'3= 1.24573. R.

E JERCIC IO 2 9 8Hallar el valor de las expresiones siguientes jx>r medio de logaritmos:

LOGARITMOS • 5 1 5

1. 632 X 0-181. 8- 765:1.95 12.354. 13. 18.05*.2. 191.7-X 432. 0.

0.72183 14- 00.81»3. U-7 X 0.013 X U.¡). 0.0095 15. 7.2*.4. 7.5 X 8.16 X 0.35 X 10037.

10.9114 10. v77

0. 3.2 X 4.3 X 7.8 X 103.4 X 0.019. 0.02 17. Vi.

6. 95.13 * 7.23. 11. 210.18.

V6.7. 8.125 + 0.9324. 12. 0.15*. 19.20.

495) COM BINACION DE LOS CASOS AN TERIORES

F i Í P T I IT i lo S I . 3284X 0.09132/ / U <1 > Hallar d volor de — — por logaritmos.

715.84

log( “ ; j 5^ 32) = lo0 1 x 0.09132)+ colog 715.84

= log 3284+ log 0.09132 I colog 715,84= 3.516403+ 2.960566+ 3.145184

= 7.622153.

El log 1.622153 correspondo o l número 0.41694 q u e os ol valor do lo e x p l o

sión dodo,holladopor log. R.

........................................ 1 0 0 . 3 9 X 0 . 0 3 1 9 6H a l l a r o l v a l o r d e ---------------------------------p o r lo a

7 . 1 4 X 0 0 9 3 K a

1 0 0 . 3 9 X 0 . 0 3 1 9 6 v

lo 9 ( ■; ,4 00?3 ) - í 10039x 0 . 0 3 1 9 6 ) - l o a 1 7 . 1 4 X 0 . 0 9 3 1

- l o g 1 0 0 . 3 9 -I- l o g 0 . 0 3 1 9 6 - ( l o g 7 . 1 4 + l o g 0 . 0 9 3 1

= l o g 1 0 0 . 3 9 + l o g 0 .0 3 1 9 6 - l o g 7 . 1 4 . - l o g 0 .0 9 3

= I03 I C 0 . 3 9 + l o g 0 .0 3 1 9 6 + c o lo g 7 . 1 4 + c o l o g 0 . 0 9 3

= 2 .0 0 1 6 9 0 + 2 .5 0 4 6 0 7 r 7 . 1 4 6 3 0 2 + 1 . 0 3 1 5 1 7

= 0 . 6 8 4 1 1 6 .

E s te l o g c o r r e s p o n d o a l n ú m e i o 4 . 8 3 1 1 1 7 7 . R .

1 3 ) H c l l o r e l v o l o r d e 3'-X 5 ' p o r l o g .

í * ¿S 1. 2l o g X $ } = l o g 3 5 + l o g 5 * '

= j ( l o g 3 ) + | | l o g 5 )

= 7 (0.477121)+ 2(0.698970)O

= 0 . 1 9 0 8 4 8 f 0 .4 6 5 9 8 0

= 0 .6 5 6 S 7 3 .2 2

E s t e l o g c o r r e s p o n d e a l n ú m e r o 4 .5 3 7 C l u e g o 3 “ X S 5= 4 3 3 7 6 . R

. .. . . . s / 3 2 7 X 0 . 0 0 6( 4 1 H a l la , e l v a l o r d e • p o r l o g .

/ 3 2 . 7 x 0 .0 0 6

•S ALGEBRA

32.7x 0.006\

. / 32.7x 0.006_ 0 ^ 0 .14 x 89.17■

° ° V 0 .Í4 X 89.17“ 3

_ log 32.7+ log 0.006 I colog 0.14+ colog 89.17

1.514548-h‘3.778151 -»•0 .8 W 2 -i-2.049781

2.196352 ^= l.398784.

El número que corresponde o 1.398784 es 0.25048 y « te es ol volor de k>expresión doda. R.

Dados los conocimientosque posee el alumno, sólo puede ho llar por logaritmos el valor de expresiones en quo las operaciones indicados son producios,cocientes, potencias y caicos pero no sumas o restos.

L OGA R ITM O S • 5 1 ’/

H a lla r p o r lo g c l va lo r

! .515x78.19

6.13 1 2 .

23.054X93-1.5

8.14x9.73

0.6X7.8

513.1X9.13214.

85.3X10.764

53.245X4325.6 15.

32.81:1X91.79 16.

632.6x<— 841.9)

17.0.017X732.14

7.95.36x (- 0 .1 4 )

IB( - 8 3 . 7 ) X2.936

8 {— 7 .2 )X(~8 .135 ) 19.

( 0 003)X9134.79. 35x 0.24. 20 .

10 .1 -

5®X3:i •1 1 :i 2 1 .

i le las expresiones s iip iicntcs:

0.6“ '

0 . 5 3 T

2 . 5 * ’

22 . -

r / 1 52 3 .

24. \ / “

v r t . S0XK . | 4 .

\ / »32.5X813.«XÓ.Ot»5.

' 9 3 7 X 1 0 4 . 2

8 . 3 5 X 7 . 3

V 2 3 . 7 2 5 X ( — 9 . 1 3 2 ) X 7 1 8 'l

y12316X0.25

931.8x0.07.

» . ( ! ) * .

27. Wx-' fáx íyó . i

V 32.14X ’5r ;¡9-3

? > G 8 1 3

❖ ' 3 17 . 0

( o T s ^ x i v

0.07X3.89

^ 2 'x 3-x r,‘ .

/ 0 . 0 3 1 6 \ :

' 0 . 1 6 1 5 '

■V'- /(0 .2)*X (0.3)»

yo. \ / (0i05\« x 3 .2 ri‘

(49J ) D ADOS LOS L OGAR ITMOS DE C IER TOS N UMEROS, H A L L AR

EL LO G A R IT M O DE O TR O S IN USAR L A T AB LA

Ejemplos 11) Dados log 2= 0.301030 y log 3— 0.477121 hollar log103 sin usar la labio.

Tenemos: 10B= 7¿X31.

log 103= 2 1Ing 2 | 3 |k>g 3 )

~ 2 10.301030| - ( - 3 l 0.-1771211

= 0.402060-I 1.431363

=2.033423. R.Si se busca en lo loblo log 103 se encuentro 2.033424. Lo diferencia entroeste log y cl que hemos hallado sin usar la labia obedece a que 'os logarilmos dados do 2 y 3 no son rigurosamente exactos.

8 A L G C O R A

(21 Uarfo log 115= 2.060698 y log 5= 0.698970 hallar log 23.

log 23— log 115+ colog 5

= 2.060698-I- 1.301030

= 1.361728. R.

EJERC ICIO 300

Dados log 2--0.30103U. !<»S 3=0.477121. log 5 =0.698970, log 7=0.845098. llar:

1. log 36. 5. log 120. 9. log 1.96. 1 3 . log 2J.2- log 75. 6- log 98. 10. log 0.875. 14 . log 1 J.

3. log 30. 7. log 0.343. 1 1 . log 202.5. 1 5 . log 1 {.4. log 48. 8 . log 22.5. 12. log 44.8. 10. log 2}.

17. Dado log 143 = 2.155336 y log 11 = 1.041393 hallar log 13.18. Dado log 225 = 2.352183 y log 9=0.954243 hallar log 25.

97) EC UA CIO N ES EX PO NEN CIALE S son ecuaciones en que la incógnita es ex ponente de una cantidad.Para resolver ecuaciones exponenciales, se aplican logaritmos a los dos

embros de la ecuación y se despeja la incógnita.

Ejemplos (I ) Resolver lo ecuación 3 '= 60.

Aplicando logaritmos, tenemos:

x|log 3 1= log 60

log 60 1.778151

log 3 0477121

12 ) Resolver la ecuación 521' 1= 12S.

Aplicondo logaritmos:

{ 2x— 1 ) log 5 = log 125

log 125

= 3.72. R.

2x— 1=log S

| ogJ25 | ,

log 5x—

2.096910+ I

C O flA K IT M O S • 5 1 9

m - E J E R C I C I O 3 01

1. 5* = 3.2. 7‘ = 512.3. 0.2* = 0-0010.

4- 9*= 0.570.

O- 3*’ 1= 729.

8- 5 - a= (125.

7. 2, "> = 128.3**-1 = 2187.

*>• 11a* = 015.

® D E D U C I R L A F O R M U L A P A R A H A L L A R EL N U M E R OD E T E R M I N O S D E U N A P R O G R E S I O N G E O M E T R I C A

Conocemos la fórmula „ ,u - a r 0'1.

Siendo n la incógnita, tenemos una ecuación exponencial. Aplicando logaritmos a los dos miembros, tenemos:

log u — log n I- (n - l)log ;

log u - log n = (« — l)log r log ti - log a

lo g » 3 r ^log r

log u + colog a

o también log r

¿Cuúntos términos tiene lo progresión « 2 : 6 : ................: 1458?Aquí o= 1458, a= 2 , r= 3, luego aplicando lo fórmula anterior, tenemos:

tog 1458+ colog 2 i _3.1637S8 l 1.658970 ,

log 3 + 0.4771210.477121 + 1

2.862723

0.477121

= 6 + 1 = 7 . R.

E JERC IC IO 3 0 2

Hallar el m'unern de términos de las progresiones:

1. « 3 : 0 : ____ : 48. 2. « 2 : 3 : : j .

4- «0 : 8 : . . . . : 6. « 2 : 5 : ...

3 . « 4 : 8 : .................... 5 1 2 .

E I N S T E I N U 8 7 9 - 1 9 5 5 1 M * » t m . l l ¡ c o y f l -

n . F u e P r o f w o t d e l I n s t i t u t o P o l i t é c n ic o yv e r i i d j d d e Z u r i c h . O i r r e t o r d e l , i S e c c ió n

d e l I n s t i t u t o E m p e r a d o r G u i l l e r m o R e c ib i óe l P r e m i o N o b e l d o F ic le .» p u r n n t r a b a j o »

a c e t e .» d u l a T e o r í a d e I.» R e l a t i v i d a d d e l T i e m p o , o

m o d i f i c a l a T e o r í a d e l a G r a v i t a c ió n U n i v v r i U

N c —t o n . T r a b a j a n d o c o n o t r o * c i e n t í f i c o » d e d i v a t i

n a c i o n a l i d a d e s e n l a U n i v e r s i d a d d e P r i n c e to r » , l o gr a

d e s i n t e g r a c i ó n d e l i t o m o , b a t e d o l a b o m b a a to m i »

C A P I T U L O XXXIX

N T E R E S C O M P U E S T O . A M O R T I Z A C I O N E S . IM P O S IC IO N ES

99 ) INTERES COMPUESTO

Kl interés es compuesto cuando los intereses que gana el capital («es ado se capitalizan periódicamente, es decir, se suman al capital prestado intervalos iguales tle tiempo, constituyéndose de ese modo un nuevo ca

pital al final de cada unidad de tiempo.

0^ ) D E DU CC IO N DE L A FO RMU LA F U N D A M E N T A L Y D ER IV AD AS

Sea c el capital prestado a interés compuesto durante t años, siendo r el tanto por uno anual, o sea. lo que gana $ 1 al año.

Cada peso gana r al año: luego, en un ano se convierte c{ 1 -t r).n I I r y r pesos se convertirán, al cabo «le nn año, en

Cada peso de esic nuevo capital, en el segundo + r U l + r) = «tfl f r ) v .

ño, se convierte en 1 + r; luego, los e\l + i) pesos, ■l final del segundo ano, se habrán convertido en

Aplicando a este nuevo capital la misma c(| + t) :(] + r) = f ( H r)'.egla, tendremos que al final del Ser. año se habrá

Este n ue vo c ap ita l, a l f in a l d e l -lo . año , se h ab rá c o n ve r t id o en

I N T U I« C 0 M M J U 1 0 • 5 2 1

c ( l + r )3( l + r ) = c ( l -1-r)*,

y as í s uc es iv am e nte ; lu e go , a l f in a l d e l años, e l c a p ita l se h ab rá c on

v e r t id o en , , ,c< l + r ) ‘ ,

y d e s ig n á n d o lo p o r C, t e n d r emo s q u e

( c ( l - i ) ' (1)

fó rm u l a íu n d a n i c u t a l d e l in te ré s c omp u e sto .

E sta fó r m u la es c a lc u la b le p o r lo g a ritm o s . A p l ic a n d o lo g ar itm o s , u

nem os : lo g C = lo g c + l log (1 + r ) .

FORMULAS DERIVADASLa e cuac i ón ( 1 ) n o s da una r e l a c i ó n en t r e c ua t r o c an t i d ades ; c onoc i en

do t r e s de e l l a s , p odemos ha l l a r l a c ua r t a .

Despe j ando c en (1 ). se t ie n e :

C " ( 1 - . ) ’

y « p i t a n d o lo ga ritm o s : |o g e= lo g C _ , lo g ( J + r) ¡

t p ue de despe jarse en esta ó l t im a fó rm u la . Pasando — t l o g ( l- l- r ) ,dp r im e r m iem b r o y lo g c a l se gu nd o, se tie n e:

i log (1 + r ) = lo g C lo g c.

log c : - i<»g <

y dc áfttti: t = T o g"a + T )

Para h a l la r r . E n la fó rm u la (1 ), ( l + r ) ‘ = ^ '

d e s p e ja n d o (1 + r ) \ se t ie n e : ----------------- . s

1 ' C E x t ra y e n d o la ra iz t : í + r = » !

V f log C - l og c

y a p l ic a n d o lo g a r itm o s : lo g ( I + r ) —

H a l la d o e l v a lo r d e 1 + r, s e l e r es ta I y se t i e ne r .

Ejemplos (I I ¿En cuentose convertirán$5800al 5% anual deinteréscompuesto on 7 años?

Hoy que lene» presente que r representa el lanío po / 1, lo quo gano $1 enlo unidad do tiempo. Ouc el tanto por ciento es el 5 anuol significa que

JICO ganan $5 a l año, luego SI ganará $ ^ = $ 0 .0 5 . Por tnnto , aquli

Susliluyendo estos valores en lo fórmalo C ~ c ( l I r ) ', re (¡ene:

C s 5800(1 + 0 .05 ) ’

o seo C~ 5800{ 1.0S)7

Aplicando Icgarilmos:loo C= log 5800 t-71tog 1.05}

= 3.763428+ 710.021189|

= 3.763428- f 0.1-18323

= 3911751.

Ha llondo el número a quo corresponde este leg se encuenda que es 8161.1-18,0 seo 8161.15; luego el copitol prestado so convertiré en $8161.15. R.

1 21 ¿En cuántose convertirán $918.54al4 f/ r anual de interéscompuesto en 1 año,

capitalizando los intereses per trimestres?Como los interesesse capitalizan, es decir, se suman ni cap itel por trimestres,1 representa el número de trimestres que hay en 1 año o seo 4.Hallemos el tanto por 1 onual. SI $100 ganen $4 al año, $1 enroró $0.04ol año. Este tontopor 1 anuol hoyque hacerlo trimestral. Si i : gana $0.04al año, en un trimestre ganará $0.04 ¿— $0.01, luego entonces tenemos:

c= 918.54, 1= 4, r = 0.01.

Sustituyendoen !a fórmula C= c11 4-r)*, tendremos:

C ~ 918.54(1 l 0.01 )*

o se a C— 913.54(1.01 p.Aplicondo logaritmos:

log C-=log 918.54-i-4 ( leg 1.01)

= 2.963093-h4{0004321 |

= 2.963098+ 0.017284

= 9.980382.

Hallando el cntilogaritmo se encuentre que es 955.83.Luego los 3913.54 se convertirán en $955.83. R.

( 3) Una suma prestado al 3J% de ínteres compuesto durante 9 años se ha convertido en 3254.60sucres. ¿Cuál fue la soma prestada?Hay que hallar c.

C = ( 1 d - r ) t '

Aqui C= 3254.60, r= 3.5-t- 103= 0.035, I = 9, luego

_ 3754.60

C _ 11.035)"’

Aplicando logaritmos:log c— log 3254.604-? (colog 1.0351

-3.512493 • 9 1 Í.985060)

= 3.512493+ T.eé5540

= 3373038

• ALGCIIKA

(4 ) ¿En cuántos anos uno suma de 834 soles prestada al 8% onual de inlofé»compuesto se convertirá on 1323.46 joles?

l .o fórmula eslog C— log c

log <1 + f JAqui C= 132340, c= 834, 1 + r= 1.08, luego

log 1323.46- log 834 3.121711 -2.921166

I N TK R H COM I ’ U O T O • 5 2 3

log 1.00 0.033424

0.200545

0.033424■6 cños. R.

f5) Una suma de 700 bolívares prestada a interés compuesto durante 5 años seSo convert ido on bs. 851.65. ¿A qué % om/al se prestó?La fóimula es

i i i . * log C- log clog 11 -I-r )= --------- .

Sustituyendo:log 851.65- l o g 700 *

l o g ( l - l r ) =

_ 2.930262 - 2.845098- 5

= 0,017033.Ho llandoc lantilogaritmo soencuentraquees: 1.04.Luego I -I-r= 1.04y poi tantor— 0.04. Si el tantopor 1 es 0.04el% es4. R

1. U na suma de $500 su im p on e al 6% de interés com puesto d ura nte 3años. ¿En cuánto se convert irá?

2. Se p re stan 3500 soles al 7% de in te ré s compues to du r an te 5 años. «¡Encuán to se conve r tirá esa suma?

3. U n c ap ita l de 8132 b olíva res se im p on e a l 9% d ura nte 10 años. ¿En

cuá nto se convert irá?

H a l l a r en cuan to se conve r tir án :

'i. $930 al anua l en 7 años.

6. $12318 a l 4 $% anual e n 6 años.

0. 24180 suenes a l 51% a nua l en 7 años.

7. $54293 a l 3 f% a nual en 5 años.

8. ¿En c u án to sec o nv e rtirá n 5800 a l 3% a nual, en 2 años, c a pita liz an d olos intereses po r semestres?

9. ¿En cuán to se c onvertriá n $900 a l 4% anual e n 1 año, c ap ita liz ando losintereses ño r tr imestres?

10. U na suma prestada a l 5% a n ua l de in te ré s compue sto se ha c o n ve n id o en $972.60 en 4 año». ¿Cuál fue la suma prestada?

Se presta cierta suma al 44% anual y en 6 años se convierte en $1893.50. {Cuál fue la suma prestada?

Un suma prestada al 8% anual de interés compuesto durante 7 años

se !>a convertido en 54198.10 quetzales. ¿Cuál fue la suma prestada?. Una suma de $000 prestada al 3% anual se lia convertido cn $095.50. ¿Cuántos años estuvo prestada?

. 1215 colones se han convertido en 1709.01 habiendo estado impuestos al 5% anual de interés compuesto. ¿Cuántos años duró la imposición?

. Una suma de ÓU0 balboas prestada durante 4 añtxs a interés compuesto se ha convertido en 1046-03 balboas. ¿A qué % anual se impuso?

. ¿A qué % anual se impuso una suma de $0354 que en -1 años se ha convertido cn $7151.40?

. Hallar los intereses que han producido 900 lempiras colocados al 5% de interés compuesto durante 2 años y 4 meses sabiendo que los intereses se han capitalizado por años.

4 • a i c . i u h a

Un capital t se presta a interés compuesto, siendo r el tanto por 1, rante l años. E l capital prestado y sus intereses compuestos durante el mpo que dura el préstamo deben amortizarse mediante t pagos iguales, e se verifican al final de cada año.

Se llama anualidad a la cantidad fija que hay que pagar al final de da año para amortizar un capital prestado y sus intereses compuestos en

erto número de años.

Sea c un capital prestado a interés compuesto, a un tanto c(l + r)*. or uno r durante I años. Este capital en t años se convertirá en

Sea a !a anualidad que tiene que pagar el deudor. 1 .a primera

ualidad se jKiga al final del primer año; esta anualidad produce terés compuesto, a favor del deudor, al mismo tanto por uno r r )

e el capital prestado, durante / — 1 años; luego, se convertirá en

l„a segunda anualidad se paga a! final del segundo año y produ- <i(l + r)11.interés compuesto durante 1— 2 años; luego, se convertirá en/’

La tercera anualidad, pagada al a {1 + r)' *.nal del tercer año. so convertirá en

Del propio modo, la cuarta, quin- a (l + r)l ' \ «(1 + .etc., etc. anualidades se convierten en.

1 .a penúltima anualidad <x(l4-r),convierte en

la últim a anualidad, que se paga al final del últim o año, no produce interés a favor del deudor porque se jxaga al cumplirse los t años;

A M O R T IZ A C IO N DE U N A D EU DA POR A N UA L ID A D ES

21 D EDUCC ION DE L A F ORMU LA A P LIC A B LE

A M O R T IZ A C IO N ! } • 5 2 5

L a s uma d e lo s v alo re s q u e a d q u ie r e n las d iv ers as a n u a lid a d e s ju n t o

c o n e l v a l o r a d e la ú l tim a a n u a l id a d d e be se r ig u a l a l c a p ita l p re sta d o c on

su in t e rés com pues to ; luego .

c ( l + r ) V = a + « ( l + r ) + + a ( l + r ) * -1H-a ( l + r ) ' - 3+ n ( l + r> ‘ -«.

E l 2o. m iem b r o d e esta ig u a ld a d es la sum a d e los té rm i n o s d e una

p ro g re s ió n g e omé tr ic a c uy a ra zó n es (1+ r ) ; lu eg o, a p l ic a n d o la fó rm u la

u r — a a ( l + r ) * ' , ( l + r ) — aS- — f te n d rem os : c { l + r ) ‘= - — ¡ ^ — ----- ,

+ rV —a

o se a: r ( l + r ) ' = -------

Q u i ta n d o d e n om in a d o re s : e r ( l + r ) 1= «(1 + r ) ‘- a.

Sacando a fa c to r c o m ú n :

< r ( l - l r )« = <z[(l + »)‘ - l ]

v desjtcjando <i, queda:c r ( l + r ) ’

a = d + r V ^ l

q u e es la fó rm u l a d e las a nu a lid ad e s.

Ejemplo Uno ciudad tomo un empréstito de $503000 al 4% , inicié»compuesto, paro amort izarlo en 15 oños. jO uc anualidaddeberá pagar?

____ , 500000X 0.04X ( 1.04|"Aquí, c= 500003, r = 0.0*1, f= 1 5 , luego sus- , o= ----------------- — ------

(«luyendo en la formulo anterio r tenemos! ' 11-04) — I

Hollemoselvalorde(1.04|,ri. Unatoblo de interéscompuestonoslo do enseguida

Nosotros vamos a calcularlo por logarilmos. Tendremos:log 11.0411*= 1 5 (log 1.041- 15(0.017033)= 0.255495.

Hollondoelantilogaritmoseencuentraquees 1 8009, luego 11.04|*s= 1.0309.

500000X 0.04X 1.8009Susli luyondoeste volor en ( 1 ) , tenemos: u= ------------

1.800?— 1

503000X0.04X1.8009° sea o = ------------ — — ------------

0.8039Aplicando logaritmos:

log a = log 500000 I-log 0.04+ log 1.8009-t colog 0.8009

= 5.698970+ 2.602060 I-0.255495+ 0.096422

= 1.652947.

Hallando el anlilogailimo so encuentra que o = $44972 47. R,

EJERC IC IO 304

¿Qué anualidad hay que pagar para amortizar una deuda de $40000 al

5%. cu 10 años?Se ha tomado a préstamo una suma «le 85000 soles al 3%. ¿Qué anualidad habrá que pagar para amortizar la deuda en 12 años?

Una ciudad toma un empréstito de $600000 al 5%. ¿Qué anualidad deberá pagar para amortizar ta deuda en 20 años?

Para amortizar un empréstito de 5000000 bolívares al 6% en 30 años,¿qué anualidad hay que |>agar?

Resuelva ios siguientes problemas aplicando la tabla de interés compuesto decreciente que aparece en las páginas 532-533- Compruébelo* usando la fórmula de la anualidad, (i)

Una rienda de 3000 bolívares con el G% de interés, se debe pagar en5 años. ¿Cuál será el importe dc la anualidad?

Se constituye una hipoteca sobre un bien inmueble por ’lu cantidad de12000 bolívares al 7% dc interés, pagadera en 12 años. Determinar la anualidad a pagar.

Una industria tiene necesidad dc comprar equipos para incrementar su

pioducción, pero no tiene efectivo suficiente para su adquisición. I.a gerencia decide tomar un préstamo del banco |x>r la suma dc 350000 sucres al ■!.}% dc interés, por 3 años. ¿Que anualidad le corresponde pagar?

Una compañía exportadora dc nitratos necesita ampliar su negocio, y toma una hipoteca sobre la propiedad por -125000 soles al 6% de interés, debiendo amortizarla en 10 años. ¿Cuál será la anualidad que debe pagar?

Una compañía vendedora dc bienes inmuebles a, plazos vende al Sr. JoséAntonio Arraíz una casa en la cantidad dc 90750 bolívares, al 5% deinterés, amortizablc en 25 años. ¿Qué anualidad deberá atronar?

La misma compañía vende al Sr. Simón Irrigorri una casa a plazds con un valor dc 73550 bolívares, al 5J% de interés, que deberá amortizar en 30 años. ¿A cuánto ascenderá Ja anualidad a pagar?

Un hombre de negocios invierte 473000 sucres en un préstamo hipotecario al 34% dc interés por 9 años. ¿Qué anualidad se le deberá abonar?

Se constituye una hipoteca por la cantidad dc 15800 soles al 4% de interés. liquidable en 30 años. ¿Cuál será la anualidad a pagar?

• AlC.EBRA

3; FORM ACION DE UN CA PITA L MED IANTE IMPOSICIONES SUCESIYAS IGUALES

Se trata de constituir un capital <en cierto número de años imponienal principio de cada año una cantidad fija a interés compuesto.

I M f O S I CI ON t S • 5 2 7

(504) DED UC CION DE LA FO RM ULA DE LAS IM POSICIONES

Sea c el capital que se quiere constituir en l años. Sea i la imposición

anual lija que hay que hacer al principio fie cada uno de los t años, a un

Lauto por uno r, para constituir el capital.

1 -a primera imposición, hecha al principio del primer año,

produce interés compuesto durante t años; luego, se convertirá en ------- / *

1 .a segunda imposición, hecha al principio del 2o. año. pro- /{] |

duce interés compuesto durante í - 1 años; luego, se convertirá en /

Del propio modo, la tercera, cuarta, etc. imposiciones se convertirán en

i ( l + r)'-*, t'(l + r)'-» etc..

y la últim a, hecha al princip io del últim o año, se convierte en

¿( 1 + r).

La suma de los valores de todas las imposiciones al cabo de í años

tiene que ser igual al capital que se quiere constituir; luego, tendremos.

c = »(1 + r) + .........+ i(l + r)‘a + i(l + r)' 1+ j'(l + r).

E l segundo miembro de esta igualdad es la suma de los términos tle

una progresión geométrica cuya razón es 1 + r ; luego, aplicando la fórmula

, u r - a »(l + t y ( l + r ) i ( l + r )S= ----- - . tenemos: c = — ,

r —1 .( I + r) — 1

¿(1 I- r) ‘ ♦‘ - i(1 + r)Simplificando: c — -------- -

Quitando denominadores: cr — i( l I r ) 1 ' 1 — i{1 + r).

Sacando i Tactor común en el segundo miembro, tenemos:

c r = i[(l + r)' *1—(1 + r)].

Despejando i , se tiene:

. _ iX --------------------------------

1 ( 1 + r)**1 — ( 1 + r)

que es la fórmula «le las imposiciones.

8 O A L G E B R A

Ejemplo

( T) ¿Qué imposición onuo l a l 5% habrá que hacer paraconstituir en 20 anos un capital de $80M0'

Aquí c= 80CHX>, r= 0.05, f= 20, luego J0OOOX^O5_ (J )

su:úluyendo en la fórmula, tenemos: / (1.OS) -' — 1.05

Hollemos ol valor de 11.05)*f. Tendremos:

log ( I.05J21= 2 1 1log 1.05>= 21 (0.021189)= 0.444969.

Hallando el anlilogaritma se encuenlia que )l .05)í l = 2.7859.

Entonces, sustituyendo en (1 ) este valor:

600COX0.05

o sea27859 - 1 . 05

. e o o c o x o . o s

Apl icando loga r i tmos :

log i = log 80000 + log 0.05 + colog 1.7359

= 4.903090 + 2.098970 + 7.760476 = 3362536

Hollando el onlilogaritmo se encuentra quo i = $230478. R.

E JERCIC IO 3 05

. ¿Qué imposición anual ;il 6% habrá que hacer para tener en 9 años $30000?

. Para constituir un capital «le 90000 sucres en 20 años, ¿qué ¡mjtosición

anual al 4/v¿ habrá que hacer?> Se ha constituido uii capital ilc $200000 en 40 año» mediante imposi

ciones anuales tijas al 5%. ¿Cuál hu sido la imposición 'anual?

Un padre «le familia quiere que cuando su hijo cumpla 25 años tenga constituido mi capital de $40000- ¿Qué imposición anual al t>%, a partir del nacimiento del hijo, deberá hacer para «xmstituir dicho capital?

A P E N D I C E

| T a b l a d e i n t e r é s c o m p u e s t o 530-531

I I T a b l a d e i n t e r é s c o m p u e s t o d e c r e c i e n t e 532-533

I I I C u a d r o d e le s f o r m a s b á s ic a s

d e d e s c o m p o s i c i ó n f a c to r i a l 534-535

I V T a b l a d e p o t e n c i a s y m i c e s 536

• M e n so s i n f l u i d o e n e s te A p é n d i c e i t c * ra b ia s

y u n c u a d r a q u e l i a n d e s e r m a n c j i l d c u « m l im i .'u n e n I r p o r l o s e s t u d i a n t e s

• A l r e s o l v e r l o s p r o b le m a s d e I m c r é s c o m p u e s t o

s u e l e n p r e s e n t a r se o p e r a c io n e s e n l a s c u a l e s d e b i

m o s c o n o c e r e l v a l o r a d q u i r ir lo p o r S I a in i c ié »

c o m p u e s t o , a l c a b o r íe u n n ú m e r o d e te r m i n a d o

« le m ío s . E n l a T a b l a I e l c u n d í a n t e c m o n i ia r i

e s l e v a l o r b a s t a l o r Sil a rt o s , c u a n d o e l i n t e r é s

e s c r e c i e n t e .

• S i b c t r a t a d e p r o b l e m a s e n lo s c u a l e s » c a p l i c a

e l i n rc r ib . d e c r e c i e n t e , l a T a b l a I I c.s u n a u x i l i a r

p o d e r o s o .

O N u e s t r a c x p c i ic u r j a p r o fe s o r a l n o s l ia p u e s t od e m a n i fi e s t o la r m ú l t i p l e s d i f ic u l t a r le s q u e s e

le p r e s e n t a n a l o s a l u m n o s p a r a c o m p r e n d e r y

d o m i n a r l a d cM O i n p O i it ió n e n f a c t o r e s . P o r r s l o

h e n i l » i n c l u i d o u n C u a d r o , q u e r e su m e l a s

f o r m a s b á s i c a s d e l a d e s c o m p o s i c i ó n f a c t o r i a l :

t im b a n t e e l c u a l e l a l u m n o p u e d e v i su a l iz a r y

r e c o r d a r U t i l m e n t e k i t ca so s d e l a c lo r a c i ó n .

• M u y a m e n u d o e n l as o p e r a c io n e s a lg e b r a b a »

s e i i u s p r e s e n t a n c a so s c u lo s c u a l e s r c n cm n *

q u e a p l ic a r i n e v i t a b l e m e n t e p o i c n c i a s , t a i r e s , y

t a m b i é n e l in v e n o t i c u n n ú m e i o d c t e r i n l li a s lo .E s p o r e l lo q u e t ic e m o s d e g r a n u t i li d a d la

T a b l a I V , q u e c o n t ie n e e l c u a d r a d o , la t a I rc u a d r a d a , e l c u lt o , l a r a i r c ú b i c a y e l I n v e i so

d e In s c i e n p r i m e n » n ú m e r o * .

I T A B L A D E

Valor adquirido por $1 a ínteres compuesto,

Vz% 1% l Vi% 2% 2Vi% 3% 3Vt% 4%

1.010300

1.020100

1.030301

1.040604

1.051010

1.015000

1.030225

1.045678

1.C61364

1.077284

1.020001)

1.040400

1.061208

1.032432

1.104C81

1.025000

1.050625

1.076391

1.103313

1.131408

1.030000

1.060900

1.092727

1.125509

1.159274

1.035000

1.071225

1.108718

1.147523

1.187636

1.04C0C0

1.0816CO

1.1.24864

1.169859

1.216653

-10707

-15911

511-(O

1.061520

1.072135

1.062857

1.093685

1.104622

1.093443

1.105345

1.126493

1.143390

1.160541

1.126162

1.145686

1.171659

1.195093

1.218954

U59693

1.183686

1.218403

5.248863

1.230035

1.194052

1.259874

1.266770

1.304773

1.313916

1.229255

1.272279

1.31680?

1.362897

1.410599

1,265319

1.315932

1.36856?

1.423312

1.480244

61673tá98ó

1.115668

1.12632S1.13B093

1.149474

1.160969

1.177949

1.1956181.213552

1.231756

1.250232

1.243374

1.26824?1.293607

1.319.179

1J45868

1.312C37

1.34438?1376511

1.4)2974

1.443298

1.334234

1.4557611..168534

1312590

1.557967

1.459970

1.5110691.563956

1.618695

1.675349

1.539454

1.6010321.665074

1.731676

1.800946

C33071

C68487

1.172579

1.184304

1.196147

1.20B10P

1.220190

1.2639B6

1.288020

1-307341

1.32695)

1.346855

1.372786

1.480241

5.423246

1.456811

1.495947

1.484506

1.521618

1.559659

1.596650

1.638016

1.604706

1.652843

1.702433

1753506

i.ecói11

1.733986

1.794676

1.85748?

1.922501

1.90976?

1.872981

1.947901

2.025917

2.10534?

2.191123

1.232392

1.244716

1.257163

1.269735

1.232432

1.367058

1.387564

1.408377

1.429503

1.4509-15

1.515666

1.545980

1.57639?

1.603437

J.64C6C6

1.679582

1,721571

1.76-1611

303726

1.853944

1.860295

1.916103

1.973587

2.032794

2.093773

2.059431

2.1315122.206114

2.283328

2.363245

2.278768

2.36991?

2.464716

2.563304

2.665836

1.295256

1.30620?

1.321291

1.33-1504

1.347849

1.472710

1.4948001.517522

1.539981

1.563080

1.673118

1.7068361.7-11024

1.775945

1.811362 _

1.900293

1.9478001.996-195

2.046407

2.097563

2.156591

2.2212e92.287928

2.356566

2.427262

2.445959

2.5315672.62017?

2.711878

2.80679-1

2.772470

2.8933692.598703

3.118651

3.243398

• 5 3 1

I N T E R E S C O M P U E S T O

do 1 a 3 0 años, o sea va lo r de (1 + r ) *

4M»% ’ 5% 5V i% _ 7% 8% 9% I 0 « i

1.045000 1.O50CO0 1.055000 1.060000 1.070000 1.080000 1,090050 1,100000

1.092025 1.102500 1.113025 1.123600 1.144900 1.166400 1.188100 1210000

1.141166 1.157625 1.174241 1.191016 1.225043 1.259712 1.295029 1.331000

1.192519 1.215506 1.238825 1.262477 1.310796 1.36048? 1.41159? 1,46410(1

V.246182 1.276282 1.306960 1338226 1.402552 1..169328 1.538624 1.610510

1.302260 1.34CC96 1.378943 1.418519 1.500730 1.586874 1.677100 1771Vi l

1.360662 1.407100 1.454679 1.503630 1.605731 1.713824 1.828039 1.9411/1/

1.422101 1.477455 1.534687 1.593848 1.718186 1.650930 1.992563 ?./43¡í#V1.486095 1.551328 1.619094 1.689479 1.838459 1.999C05 7,171893 7.357941

1.552969 1.623895 1.703144 1790348 1.967151 2.159925 7.367364 2693747

1.622853 1.710339 1.802092 1.698299 2.104852 2.331639 2.560476 2.0MI1/

1.695881 1.795856 1.901207 2.012196 2.757192 2.518170 7.812665 31ÍIM7*

1.7/2196 1.855649 2.005774 7.132928 2.409845 2.719624 3.065805 3.46'/,'.'11.851945 1.979932 2.116091 2.260904 2.578534 2.937194 3,34177/ 3 /V/4»H

1.935282 2.078928 2.232476 2.396558 2.758032 3.17216? 3.642482 4 I / /24 Í

2.022370 2.182875 2.355263 2.540352 2.952164 3.425943 3,970306 45949/3

2.113377 2.292018 2.484302 2692773 3.16S31S 3.703018 4,327633 5,054471

2J208479 2.406619 2.621466 2.554339 3.379932 3.976020 4.717120 555991J

2.307860 2.526950 2.765647 3.025600 3.616523 4.315701 5.141661 6.115V0Í

2.411714 2.653298 2.917757 3207135 3.369684 4.660957 5,604411 6,7275(X

2.520241 2.735963 3.078234 3.399564 4.140562 5.033834 6.108808 7.400?K

2.633652 2.925261 3.247537 3.603537 4.430402 5.436540 6.658600 8.14077!

2752166 3.071524 3.426152 3.819750 4.740530 5,871464 7.257874 8.954305

2.876014 3.2251C0 3.614590 4.043935 5.072367 6.341181 7.911C83 9.84?;;i:

3.005434 3.336355 3.813392 4.291871 5.477433 6.848475 8.623081 10.83-170/

3.140679 3.555673 4.023129 4.549333 5.807353 7.396353 9.39*5158 11.910177

3.282010 3.733456 4.244401 4.822346 6.713368 7.989061 10.745062 13.10999-

3429700 3.920129 4.477843 5.111687 6.64883B 8.627106 11.167140 1442099-

j 3.584036 4.116136 4.7241?4 5.418388 7.114257 9.317275 12.17218? 15863091

3745318 4,32194? 4.983951 5.743491 7.612255 10.062657 13.267678 17.4494111

________

II T A B L A D E IN T E R E S

Anualidad cuyo valor actual cs $1

Vt% 1% 1Y*% 2% 2V,% .V?¿ 3V¿% * ' j i

005000 1.010000 1.015000 1.020000 1.025000 1.030000 1.035000 1.040000

503753 0.507512 0.511278 0.515050 0.518827 0.522611 0.526400 0.530196

336672 0.34C022 0.343383 0.346755 0.350137 0.353530 0.356934 0.360349

253133 0.256281 0.259445 0.262624 0.265818 0.269027 0.272251 0.275490203010 0.206040 0.205089 0.212158 0.215247 0.218355 0.221481 0.224677

69595 0.172548 0.175525 0.178526 0.181550 0.184598 0.187668 0.190762

45729 0.146628 0.151556 0.154512 0.157495 0.160506 0.163544 0.166610

27829 0.130690 0.133584 0.136510 0.139467 0.142456 0.145477 0.148528

13907 0.116740 0.119610 0.122515 0.125457 0.128434 0.131446 0.134493

02771 0.105S82 0.108434 0.111327 0.114259 0.117231 0.120241 0.123291

093659 0.096454 0.099294 0.102178 0.105106 0.108077 0.111092 0.114149086066 0.038849 0.091680 0.094560 0.097487 0.100462 0.103484 0.106552

079642 0.082415 0.085240 0.0E8118 0.091048 0.094030 0.097062 0.1COI44

074136 0.076901 0.079723 0.082602 0.035537 0.088526 0.091571 0.094669

069364 0.072124 0.074944 0.077825 0.080766 0.083767 0.086825 0.089941

065189 0.067945 0.070765 0.073650 0.07659? 0.079611 0.082685 0.085820

061506 0.064258 0.067080 0.069970 0.072928 0.075953 0.079043 0.082199

058232 0.060982 0.063006 0.066702 0.069670 0.072709 0.075817 0.078993

055303 0.058052 0.060878 0.063782 0.066761 0.069814 0.072940 0.076139

052666 0.055415 0.058246 0.061157 0.064147 0.067216 0.070361 0.073582

50282 0.053031 0.055866 0.0S8785 0.061787 0.064872 0.06e037 0.071280

04B1I4 0.050864 0.053703 0.056631 0.059647 0.062747 0.065932 0.069199

46135 0.048886 0.051731 0.054668 0.057696 0.060814 0.054019 0.067309

44321 0.047073 0.0-19924 0.052871 0.055913 0.059047 0.062273 0.065587

42652 0.045407 0.048263 0.051220 0.054276 0.057428 0.060674 0.064012

41112 0.043869 0.046732 0.049699 0.052769 0.055938 0.059205 0.062567

39686 0.042446 0.045315 0.048293 0.051377 0.054564 0.057852 0.061239

38362 0.041124 0.044001 0.046590 0.050088 0.053293 0.056603 0.06C013

37129 0.039895 0.042779 0.045778 0.048891 0.052115 0.055445 0.058880

C O M P U E S T O D E C R E C I E N T E

a interés compuesto de 1 a 30 años

• 5 3 3

5% 5',5% 6% 1% 9% \0%

1.045000 1.050000 1.055000 1.060300 1.070000 1.080000 1.090300 1.100000

0.533598 0.537805 0.541618 0.545437 0.553092 0.560769 0.568469 0.576190

0.363/73 0.36720? 0.370654 0.374110 0381052 0388034 0.395055 0,407115

0.278744 0.282012 0.285294 0.268591 0.295228 0.301921 0.308669 0.315471

0227792 0.230975 0.234176 0.237396 0.243891 0.250456 0.25709? 0,263797

0.193878 0.197017 0.203179 0.203363 0.209796 0.216315 0.222920 0.72960/

0.169701 0.172820 0.175964 0.179135 0.185553 0,192072 0.198691 0.2054OA

0.151610 0.154722 0.157864 0.161036 0.167468 0.174015 0.180674 0,10/444

0.137574 0.140690 0.143839 0.147022 0.153486 0.160080 0.166799 01/364»

0.126379 0.129505 0.132668 0.135eé3 0142378 0.149029 0.155820 0.167/45

0.117248 0120389 0.123571 0.126793 0.133357 0.140076 0.146947 0 ! 5W6)

0.109666 0.112825 0.116029 0.119277 0.125902 0.132695 0.139651 0146/61

0.103275 0.106456 0.109684 0.112960 0.119651 0.126522 0.133567 0.14G/T90.097820 0.101024 0.104279 0.107585 0.114345 0.121297 0.128433 0.135/46

0.093114 0.096342 0.099626 0.102963 0.109795 0.116830 0.124059 0.131474

0.089015 0.092270 0.095583 0.09895? 0.105858 0.112977 0.12030!) 0 13 /0 1/

0.035418 0.088699 0.092042 0.095445 0.102425 0.109629 0.117046 0 1?4M4

0.082237 0.085546 0.08B920 0.092357 0.099413 0.106702 0.11421? 0,131930

0.079407 0.082745 0.086150 0.C89621 0.096753 0.104128 0.1117.10 0.11954/

0.076876 0.080243 0.033679 0.C37185 0.094393 0.101852 0.109546 011/4/4)

0.074601 0.077996 0.031465 0.08SC05 0.092289 0.099832 0.107617 0,115634

0.072547 0.075971 0.079471 0.C33046 0.090406 0.098032 0.105905 0114005

0.070682 0.074137 0.077670 0.081278 0.088714 0.096422 0.104382 01135/3

0.068987 0.072471 0,076036 0.079679 0.087189 0.094978 0.103023 0111300)

0.067439 0.070952 0.074549 0.078227 0.085811 0.093679 0.101806 0.1)01611

0.066021 0.069564 0.073193 0.076904 0.084561 0.092507 0.100715 0.109)59

0.064719 0.063292 0.071952 0.075697 0.083426 0.091448 0.099735 0.108350

0.063521 0.067123 0.070814 0.074593 0.082392 0.090489 0.098352 0.107451

0.062415 0.066046 0.069769 0.073580 0.081449 0.089619 0.098056 0.1067700.061392 0.065051 0.068805 0.072649 0.080586 0.088827 0.097336 0.1060/V

III C U A D R O D E L A S F O R M A S B A S IC A S

FORMAS S IEMPRE FACTORABLESB I NOM I O S

DIFERENCIA DE CUADRADOS

o 2 — f> = | o I b } { o — b )

1 6 x * - 25y11 = \4x + 5y-|(4 x - 5r )Ax- 5y8

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS

o s I b ^ l o + f c j l c r o b + b*!o*— b * = |o— b ) | c r I ob -I b -|

27o ' I b “ = |3a I b "|( |3n )= - 3o|bJ)+ (bB|s )= (3c + b -| (9o2 3ob - I- b*)

o :i - 6= |a 2 | (o " I-2 (o |4-2* ]= (n - 2 | (o2+ 2cr+ 4)

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IMPARES IGUALES/n t -|. fla— ,| n | ( ,p ' -ni:in -I- m"n; — mn3+ n'*)

o6- b ’ = (o - b)'(ó*-I-o'b■\o-b- I ob3 -I-b*)

TR I NOM I O S

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

m*+ 2u)+ 1 ~ (m I- 1|(m+ I ) = (/n+ 1)2

PO L I NOM IOS

FACTOR COMUN x(a + b | r m ( o r foj

x ( a + b ) m |a I•]>}

77Tb T = x yx | o I b ) I m ¡ o 4 6 ) — | o + b ) | x + m )

N O T A P A R A Eí. ESTUOIAMTC

1a» i l< o r a n i ^ f fl c ii ín I w l o r U l e e d e n i n i i m p o r t a n c i a cu « I e s t u d i o d o l A l g e b r a . O H K I ’S l n f f lW , líi f a c t u r a c i ó n tu un ¡u*:* j*r»yS p p i r a r oprrAeldny j u d o m i n i o r e q u i n t o m u c h o p r i c ll c -s . C o n o c e r l o s fo r m a s b l i l c a » y l a s . f o rm a l « i j v n d f l # d * ¿ M o * n i iu l i» j .» t« f cl iU p u ro f u n ^ ai «* r t x p r e t l ó a o!** *l ir .nrA . Q uerr ino* rccord . t r <J00 Uldt ex pr es ió n rc * l i |U iora ¡«uuán ¡« irt fr . ivr .ir n v i . r . i s ( o r t n A i b ó s t e i * i. l a v r x , o •»» p e r t e n e c e r a ti ín « r» m i d « e l l a s . P o r o í r .» p a c t e , n i p i u t c u o r r * n U n n ti K d e M U S f ei lO f c» u n ^ o l ú r n i K i c ír «¡u r r.r n d n r r o n p c . u l h l .1, e i l v n , . n fi - t u r s í m e n t e , «tu» ¡ «< ri io n c n * u n a d e l a s c u a t r o f o r m a s q u e siempre s o n f a c t o r a l de a . i < * i r « n t r a m o s n i c s tu d i a x i t f i|U < jlI c i n r u i i i- o n - r n n i n c i c n t , « n n e x p r c e d d n a l g e b r a i c a ,

j i r a l o s fc lp iÍ M ntr n pn *> :* ; J ) . O b ser v e o í h o y fa c t o r c u r a d o ; 2 ) , i i r a r n f l a e x p r u c id » ; n i , x v o r l ^ Ü c t í l a e x p r v a i ó n r tx dn p » r te 7 . e o e o o l g u r . * d o l a s f o r m a s q u o s l c m p r i - i.r

p u e d o i l o i c o t a p o n e r : 4 ) . «I tiO fCO aocfi u f u m í n » q u n l il i l i m p m an n a t fi (W n p M i lb l f 4 . a c e r lf r d o S i C ii ii ip lu U n c o n d i c i o n o n o ' e i a r t s j p a r a q u e l e o t o ; i ) , a l v e r i f ic a r tutu ' l f á f /xn | in» j f í f tn ( obf lprvo a l lu> fa ctor » ! ha l lado* a i i i i f t r tnr irs th lra n .su v e i . fb dec ir , • j a o n p í l x i c s i o n » . I f o r u + r d c q u o m u f l í a s o x p r e a i o n c a o e p a r d e a < 5 m r « im ¡ < n i r d«- di n- d r . l a t »r t u r r a » , p e r n M Í eu ip rn r-» l l r / a a i i i i m i e n t o r c w l t n d o .

D E D E S C O M P O S IC IO N F A C T O R IA L

• 5 3 5

FORMAS NO S IEMPRE F AC TORAB LE S

B I NOM IOS

SUMA DE DOS CUADRADOS

a ' + 4 b '- 4o*h3

-I-Ab*- 4n*b"

a '+ 4u"'b* — 4b*— 4cr*fc’ — la4 -I 4a2b24-4b '¡— 4o'~b!- |u2+ 2fe-T-- 4o"b"= |o24-2fe'J + ?ab)|a~ + 2b2- 2o6)

t r i n o m i o s - ( » = + + a o i lo * - * * + “ >’ >

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION

■+x- 'y - + y ' * ' 4 -; XV

X V I y ' _ „ - y -

X* I 2x-y '¿+ y* - * y - - { * ' + 2x2y24-y ‘)- x*y2| f od orandoel trinomiocuodrodo perfecta)~ \x~+ y'2!2 — x-'y*

(laciorondolad iferencia He cuodrcdosi— |x,: - y I xyHx2 4-y*— xy)lordenondo)= |x 2+ xy - y2|(x-' - xy I y )

TRINOMIO DE LA FORMA x3+ bx+ cx 2 4- 5 x 4-6 x2I 5x4 -¿ (x }(x )x 2 -r 5x4-ó (x 4- |(x 4 - )x 2 í 5x I 6 = (x 4 - 2 | ( x 4 - 3 )

TRINOMIO DE LA FORMA a* + bx c

6 x 2— 7 x — 3 3óx2- ¿ ( 7 x | - IB |6x)2 - 7 ( 6 x | - 1 0

6x - 9 'óx + 2

( I I .l6x.“ ?)J6xd-2 )

- | 2 x - 3 ) l3 x + l | (4 )2 X 3

6x~— 7x— 3= (2x— 3| |3x4-11POL I NOM IOS

POLINOMIO ENTERO Y RACIONAL EN X IEVALUACIONI

x* H 2 x- x 2.Coclic .e- 'csd el polinomio 1 -|- 2 — 1 - 2

X 1 = 4 - 1 3 X 1 = 4 3 2X 1 = 4 2

+ 3 ' + 2 0

4- I * 1

Owfdnnliíidel «líicnlo i

x*+ l x - - x - 2= |X - Il( x2 - 3x - 2|

|lcctoror<l3 t i tñnwtio! — |x 1|(x 4-1| (x 4 2 |POLINOMIO DE CUATRO O MAS TERMINOS (AGRUPACION)

ax I b x i ay 4-by ax bx4-oy 4-by= |ax r bx | 4- (ay - by)= x | u 4 - b | -I y ( a 4 - b ) = |o I- b ) | * 4 y |

T A B L A D E P O T E N C IA S Y R A ÍC E S

vÑó. ÍNo.l* vÑ®. Iirr«!ii4 No. •No.** V'No. iNo.l* ./■Ño. . IllftVCfV¿ I

1 1.009 1 1.010 i .ogozowm1 S> 2.601 7.141 132.6S1 3.7C8 .019W/WJ

4 1.414 8 1.240 .sooooeo» 1 52 2.704 7.211 14U.6CO 3.733 .0192307699 1.732 27 1.442 ,331313133 53 2.009 7.509 148,877 3754 .013867975

w 2.C09 44 1587 .2501010» SI 2.916 7.345 157,464 3.78U .81051051925 2.236 125 1.710 .«O»»» 15 3.021 7.416 146.375 3(03 .013181818 !Xi 2.449 716 1.B17 .146646467 54 3.136 7.483 175.416 3.876 .017017143A? 2.644 313 1.913 .142557143 17 3.249 7.153 105,193 3,34? .0175/1RÍO61 2.026 512 2.003 .175109X0 58 3.364 7616 195,112 3.871 .017241379

B1 J.C03 729 2.01» .111111111 19 3.431 7.681 205.379 3.073 .016949153100 3.142 1.003 2.151 .1C09C9X0 40 3.409 7.746 216.0» 3.915 .01666466?121 3.317 1.331 2.224 61 3,721 7.010 274,901 3.934 .016393443144 3.444 1/72B 2.2B9 .033332332 62 3.844 7.874 738,3/8 3.928 .0I6I7Í832149 3.406 2.197 2.351 .076923177 63 3.969 7.937 250.047 3.979 .015073016194 3-742 2.744 2,110 .071428571 61 4.096 3.C03 262,144 4.0» .0116220» '225 3.873 3.375 2.464 ,&¡6;4<667 61 4.221 0.062 274.675 4.071 015381415254 4.COJ 4.096 7.120 .062100000 65 4.356 5.124 237.494 4.041 .011151515289 4.123 4.913 2.571 .058523529 67 4,489 8105 OiXi.763 ■1.«2 01<975373 ¡314 4,243 5.832 2.421 .055151515 68 4.674 8746 314.432 4.052 OU701O82 |341 4.3» 4.8» 2.4M ,05243157» 69 4,761 5.20? 320.509 4.109 014497751 !

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ALGEBRA

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E JE RC IC IO 7 3 . i . x2 — 1. 2 .4m 2- 2m a2+ a 4. 3 1 +a i a2t a’+ a4. 4.x 4+3.v2y1 !»>•'. 1 <*6- a |a+a, "¿>'i +a s/ ;4+ a46,,+n*fe h+a 2í ' 1,>+ 6 ,a. Y. 1 - a + a 2. 8. 4xya-5 m 3.0. x a4-x - ,4y » + x » Y - . v :3y*,+x«2y«B- x y n- l- x“y ‘ )4- x» y« + ya4. 10.a1'5- « V ; H " :/l ' '1 2. l+ a /Z -V 4. 13. l 6 x 4 - 2 -4 x :‘y l -3 « x 2y 2- 5 4 x ) '* + 8 1 y 4. 1 4. 4 - « . 1 5. l + x 4+.v". 1 lO *1'28x“ys4-49y* . 17. a , 1 - a l26*+at , / />-a«6"+f l ' '0 ‘2- 6 ‘ !i. 18- a + x ■ y. 19. l - x -l -x - ' ' 1 - *x 6+x * _ x t + í ck _ x » ,. xio . 20. x32-|.x24y8+ x 44y»o+x-,y24+yia. 2 1 . 3 - 6 x ‘\ 22 . xTl 2x" l4 x ' + 8 x4 116x3+32x*+64xi 128.

EJER CIC IO 7 4 . 1. 2. 2. - 8- 3. 13. 4. 228- 5. 3 09. 6 . ‘J8 . 7. 2881. II 3.

0. 81. 10- 2. 11. 13. 12.ti l

EJERCIC IO 75 . I Coc. x- 4 : res. -7 . 2. Ca e «- 7; íes. 15. Cot. x- 2x1 l ;4 Coc . x 2+ l : res. 0 . 5. C oc. a2- 6a l 1 8; res. — 60 . G. C oc. 7 ris+M r i 24 ; ron. 0.7. Coc x3-l x2+x—2: íes. 3. 8. Coc. x4—3v3—x; id —2. ü. Coc. a 4+2«!,+rt9-l 2«H 8 ;íes. 10. 10. Coc. x4+ 5x4+ 2 5 x—S3x—415; res. ]. 1 1 . Coc. xM¡x'+22x3 I VOIa (res. 18511. 12. Coc. x»-x +3 ; íes. -2 . 13. Coc. a2-2a +3 ; res. 0. l i.Coc. x* xa+x-1

íes. 5 10 C oc. - V ~ ~ * 4+ ~ v».: ~ x - ¿ ; re»,

O 76 . 1 . Exacta. 2. Exacta. 3 . Inexacta. 4. Inexacta. 5 .Exacta,a. 1 1 .E xa cta : roe. 2«*— 6a-*-6. 12-Exacta ; roe. 1 3 . Exacta;-+ x + 0 . 14. Exac ta ; co r. x H f ix ' - ^ r ' - l- S x ^ l . v + á . 15 . Inexac ta ; coc. n1-es. í>. 16. E xa cta ; coc. 4 x !i~ 5 x H 8 x -4 . 1 7 . In exac ta ; coc. 5 i , i- gm í+4 m -1 ;

1 3 .-1 5U . 1 0 .— I . 2 0 . - 8 7 . 21 .8 .

O 77 . 1. Inexacta ; íes. 2. 2. Inexac ta : res. 2(A. 3. Exacta 4 In exac ta ;nexacta; res. 26“. G.Exacta. 7 l n e x u m : res. - 1 6 . y.E xacta. g In exac ta ; res. 61.ta ; res. — 256. 1 1 . Exacta. 12 . Exacta.

O 7 8 . 1. x = 5 . 2.* = 7 . 3. ) ’= 10 . 4. * = 7 . 5 . y = — j . 6. x =3 . 7. * = 7 -

9. x = f . 10y — — 3. l l . x = 7 . 1 2 .* = — I- 13. x=-~ . 1 4 .x = l .

O 7 9 . 1 . x = 3 . 2 x = l . 3 . x = - 4 x = - ~ . 5 . x = - l . c.*= 1 -8. x= 4- 1). x = j . 10. x = 3 .1 1 .x = — 5.

O 80 . 1. * = - 7 - 2. x = - 2 . 3 . x= : t . 4. = - 7 . 5 . x = - 4 . 6 . *=5 -

8- * = £ • 9. x = ~ . 10. x = - l . 1 1 . x=3. 12. * = “ • 1 3 . x=4. 14 * = 7 -

IC. * = " • 17. *=«. 18. *= 7 .10. x - y - 20 x= —7 .

O 8 1 . 1. **= 7 . 2. 3 x = ü . 4. X— u . r». X = l ; f>.* = - 7 -

8 . x — — 3. 9- x = _ 7 - 1 0 . * = - • . '

O 82 . 1. 57 y 49. 2 . 286 y 214.3 . /* , «»-830; ¡ i . bs .324. 4. «5 y 41.rtos; B, 35 años. 6- A * 1047 soles;B, 33 soles. 7 . 51 y 52.8. 67, 68 y69-

1!) y 20.10 . »G y 98. 1 1 . 61, 62y 63 .12. Coche .590; caballo . S170;5. 13. 99, 67 y 34. 14.En e l 1<*. m en e l 2’-', 190; en e l 39, 155.1 5 . 193.. 1G. 1’ , 130; 2?, 110 : 3?. 70 sucres. 1 7 . 42. 24 y 22 años. ja . 339y 303.

O 8 3. l . P. 30 a.: J-. 10 a. % Cab a l lo , $480: a rreos, S120. 3 . l^ 1- piso.9 p iso, 16 hab . A , 50: B , 100:C. 150colones. 5 .A , 19; B ,38: C,76sucics.

1. 7 . A . 40; B. 20 : C.80 quetzales, r . 1?. 65: 2*.340; 3 V 4 2 5 . 9 I I I .4 8 a.; Rosa. 11 a. n . 3-12. 31 años. 1 3 , 36. 12y 48. 14. P ,22 a.:; J ., 33 a .; Log ., 66 a.

O 8 4 . 1 . 12. 126 y 66. 2. A , 23: B. 6 1; C, 16 balboas. 3 . 104, IB. 86.$136; bas tón , $106 ; somb ., $17. 5 .36 , 6, 3 0. G A . bs. 20; B, bs. 79. 7.Blanco,ul, 54 cm. 8. A , $40 ;B , $72 ; C, S lO. 9 100. 10 . 50 sucres. 3 1 . 4 .95 m

12. Padre, 63 a.: h i jo , 20a. 13 . A , 3600 votos. 1 4 . 8 . ir , . 39 artos.

O A l O t O K A

O 8 5 . 1. G0 y 40- 2. P adre, 4;> a .; h i jo , 15 a. 3 . 65G v 424. 4 A . 96:s. 5 . 7 5 ° y 10.1°. g. 427 y 113. 7 .44 y8 . 8 . Peno . $48; co l lar , % 9 ..4. $60:0. 45 señorita s, 15 jó venes, j j . 116 y 14. 1 2 . 104 y 342. 1 3 , Es t ilográf ica,icero, bs.4. 14 . De neg ro, 44 cm : ele r o jo . 40 cm .

O 86 . !. A . 40 años; B . 20. 2 . E 1ó a.; B ,5 a . 3 . A . $50: « . $25 . 4 . A . s2:

R c ir u ts r A S • 5 4 7

EJERC IC IO 87 . j . 26 s omb., 13 tra je s. •>. 26 vacas, 32 caballos. 3 Reso lv ió !•. iii>

resolvió 7- 4 . T rab a jó 38 ds., »«> traba jó 12 ib . 0. 28 de Q . 30 v 7 de Q. 25. ■ 3528 balboas. 7 . 7 coat í. , 21 lápices. 5. 24 de azocar. 77 de ir ijo le s . 0. O c c ed ro 2 1 . dcaoba 56. 10 . Mayo r , 785; meno r. 265.

EJERCICIO 8 8 . 1 . 36. 72 y 88. 2. A , 45 años; f í , 15 anos. 3 . T ra je . 250 soles,zap., 100 soles. 4 . 2-10011 bolívarcsB .ÜG y 12. y. 50 pies. 7. $17. 8. A , 52 años.f í . 32 años. <j. 15 monedas de 10 cts, 7 m onedas de 5 cts. 10. 30. 11, 580- 12 7213. 81. 8 2 y 83- 1 4 . t u au to . 102 km .; a caba llo , 34 km . y a p ie , I-I km . 11•

O ^iíVI r n l / i i M N 1 .4RATI 1 /? W v 1 f í I *«’ A .1 * a • / f 1l í* f? !l 1 f í A .111 . i i tn t

13 81. 82 y 3 3 . 14 b n au to . 102 km .; a caDallo, .14 km . y a p ie , J4 km . 11■,•■25Ó0 colones; h i j a , -1500 colones. 16. 15 y 16. 17. A , -Joa.; f í , 15: C,3. 18 A , 10 añosf í , 10 anos. 19 L .. SSL; m ., $62 : n tié rc., $124: j ., $248; v .. $21S; s., $228. 20. .»«> ) 182 i . A , $21: f í . $15. 22. A . $114; f í , $38; C , $19. 23. *»- 1400U- 24. h l m e jo r. $1X1;e l ]ic or. $30. 25. Q- 40- 26. A , c on $800; f í , con $400. 27. 4 0 ral»., 10 vacas.28. I-» $6 : n i., $12: tn ió rc ., $18 ; j .. $24. 20. t*0 soles. 30. La rgo , 24 n i ; ancho 1.1 m3 1 P., 35 h .. 15 a . 32 . A . 32 a .; f í . 8 a .

1m - n - j . ^¡j_ a m v q c u u — o w t v c — -» ) . ^ 1, . — .1 —r * — X t l ) . 3 ’/ .

4a*tG/i*). 3a. ab(!Ut IUSa-b+Sax-bébm). 39. a3{<714 — a'l o2— 1 ).

L O ' ' * ! • J U . V " 1 ; . Z U . \* u' ¿ \ " ' M ' i22. (<»+ lXH' "+ l ) . 23. (3«— 75 '- ) {a | x ) . 24. { 2 a - l ) ( m - « + l ) . 25. (3 tt-'H>)( I20 ( t f * + l ) ( t i+ * 9+ l ) . 27. (3 «— ^ (i? 2— «6-I-3Í»2). 03. (2x~ t í) ( jc*+3 y2+ z2). 20 . (■•» ‘( x - - x y - y2). 30 . ( « *6 * -» * ) ( l - 3 x - l - * » ) .

EJERC IC IO 92 . 1 (0- b ) 3. 2 ( fl+ í» )*. 3 . ( x — l ) 2. 4 . <y *+ 0*. D. (« 5)3 C (37 . (4+5JC5)2. 8. (1 — 7u )--'. 9.(m 2+ 6) 2. 10. O - " 3)3- 1 1 . 1 2 . (« ' "13 (2.v 3y)8. 14. (3¿>—5«‘)2. 1(5, (1 7x2y)2. 10, (1 aft)2 I7,(7i»*5«rt»)». 18 <10'

20 . ( r t -12m 2x 8)2. >¿\. ( l - 1 3 x a)2. 22. ( 2 0 x *t- l) 9. h )K / b - v ,1 bx- v / y2 n / « .

- j Y - » ( ? “ T ) * ■ ( 4* ‘ - t ) ‘ S“ -

3«y»)- . 1 -1. ( l l + 9 x y .84. ( l + r ) * 25, (a\ 3 / \ v. f \ :> t> / \ 1 / >;j29 . <2fl+ft)*. 30. (1+n)*. 3 1 , (3m—«)*. 3 3 . (»•—m+3)3. 33. («-y)*- 84. (2w» ♦n -ti)* 35. (2/i—6+3)3. 36. (Bx—y)*.

x2). li (l+7a *)(i~7 a*). l2.(2x+íl>2)(2x!))' '0. ^.(aO'+cXa*3 c).x>J ). i:, (a '+ 7* 0)(a37*«). lC.(5xya+U )(5xyal l ) . i7.(10mna+y*). 18 (a»i8n9+ 12)(am2»3 —12). .:. (14 xya l I5«% 14xy* 152*).n :)(!6a" 17*2m5). 2 1 .(l + 3 « * W )( l 3 fl * af.*d1). 22. (19*T+l )(l» x» l).

- ( ' - D O - D ' 2 6 ( t + t ) ( t _ t ) '

M > " - ( á + Í X Í - ^ ) -

)(t0mn2Jx«). 30. («* +*“) («"—*•). 31.(2x»+J)(2x»¿). 32. («**+156»)v" \ / •y" \ / b°* \ , **<.

33. ( 4x*“ + y j ( 4 x * « - y ) . 84. ( 7a«n+ — ) ( 7a3“ — ) .

3 ní , - . o _ i ) . 3 g

l . ( x + y + a)(x + y — a). 2 . ( « '3){ 1 a). 3 . (¡J+m+n) (3 -w -ti).n ~4}. 5. (x—y+2s)(x —y—2*). G. («+ 2* +l )(a + 2* —1). 7 . (1 -x—2y)Sx+2 a)(2«—x). íj. (a ¡ *-l c I d)(a-l * c 'di. ?o. (« * le —d)( a—*—c+d).x). 12. (9m—2n)(7m+2n). i3. (u -2* + x-r y)( n- 2* -.v- y). ¡4. 3rt(a-2f).). 10. (!)x+a)(3x—a). L7.{« 3+«—l)(an—a-l-1). (g. («+m - 3}(« m+1).. 20. ( I +f>«+2x)(I r» « ‘2x). 21. (7x +y +9 )(7 x+ y 9) V.% <»**+»**1)3. (4a°+ 2as+3)(4a 1*—2a2 —3). 24 . (x —y+ c+ d) (x —y— c— d). 2 5 . (3a ?'2*~c)+x—y+2l( 10—x +y —z). 7,7. ){2.v v). 78 . (7x+2)(4—3x). 23 3x(2z—2)‘—x).). (2a+3x)(x+2). ;a<2*+2«-l-?y)(2* +2a-7 y). 33.(7 x-3 y){3 x-7 y).

17»-&m).

(a+ *+x )(a+ *—x). 2 . (x—y+m)(x—y—?»). 3 . ( m + n 1 l)(m l »-1).* - l ) . 5. («+c+3)(n-c+3). 6. (*+ * »■2)(a+x -2). 7 . (a+3*-2)(n-3*-2).

—2y—1). 9. (a+2x-3y)(a-2x~ 3y). 10. (2x+5y+ 6)í2x+Sy -6). U .(3 x-1). 12. (1—8a*+xv)(l—8a*—x-‘). 13 . (a+* +¿)(a ~*~ c). JL4>(!+«—*)

(n»+x+y)(mxy) . 1 0 , ( c ra l ) ( o a + l ) . 17. (»+8 ) ( f i +2) . IR , (2a +19. (l + a + 3 n )( l—a —3«) . 20 <:‘*+x —1y)(G .v i •!>). 21. (3 x + a—2m)

22. (4xy+2a -3*) (4xv ~2a +3* ). 23. (5wrr -«+l) (5w~a—1). 24. <7x2+r>x-3y)20 - (a—*+e+ d)( a—* —e—d). 20- (x+y+ m—n)(x+y-an+n). 27 . (2a+ 2*+x)

x—2<i + y 3*)(x ~2a~y+3Í»). 29. (m + 3n + .v+2a)(m + 3«—x -2 a) . 5*)(3x~2y—a—5*). 31. (n+m+.x+3)(a+m —x- 3) . 32 . (x+l+3<i*—*) 33. (4a—3x+(i»H-l)(-1a—3x—5m~ 1). y.; (3 m +a -cd -l0 ){3 m -a +c d- 10 ).

+ 5y)(2a—7*—3x—5y). 3G- (15«+13*—c+ lft lS fl—l3 *+ c+ l). 37 (x-|-y-l-3)a+ x+IO )(a—x+2).

. 1 .(a - 1 a + l ) ( a 2 —a+ 1). 2. ( m 2+m w + n s)(r » 2 —win+ n*). 3 (x‘ |xrt2)(a2+2 a+3 )(a—2rt+3). 5 . (a2+ a * * a) (a2 a * * 2). y . ( x + 2 x l ) (x 2

a2l3a*+3*5)(2a23 a* |3*2). 8. (2x" |3x~5)(2x*3x&). y. <*«+2x2yH4y«)i o {4m M+íHM—3«2)(4 mK— mn — 3»i2). 1 . (5a5 + 4 a * + 7 * 2)(5a2 —4«* + 7*3).

7y2)(Gx2 5xy ly*) . 13. {Om‘+4w?2 I l )( 9 m ' 4 m 2+ l) . | (c2+5c 10)10 . (2a«+í¡a2* 2-7**)(2a<-5a2*3-7*<). ic . (8»2 ; 6» -I- 7)(Sn2 - 6n + 7).9y*)(5x2- 7xy !)>•*). l R. (7x* l-8x2 y: I- lfly»)(7x‘- 3 x s>J+10y4)- ;; (2-|-8x-x2). 20 . (l lx 2+xy2—6y4){21x2-x y 2—6 y4). y ¡ . (12 f'7íí*+3» *)(l2-7ii3+3»n).~r2~c*). 23. (8a2-l-5a*2- 9 * 3)(8aB-ria*2-9*',j. ■ :(l5+5»«+ms)(I5 -(l+1 0a*2-1 3a 8*«){ l-10a *2-13a 2*«). 20 (x2 y2+xy+Il)(x1!y*- xy +l 1).nI 14m2n2)(7c4 1lr'ma+ Mn i»). 7 ; {9a2*, l2a*2x l—1GxB)(9a"l/4—

1. <x2+4xv+0y*Xx2—Ixy+Sy»), 2 (2x«+2xV+v«){2x*-2xy+y«).*Xa*-4 -i* + 18*»). 1 l2i»>4-6mn-f9n>M2m2-Ginri-<-9n*l. 1, (2+10xí+25x‘)

ALGEBRA

<2-ll)x2+25x-‘). . 6. (8 l-4a1+a 4)(8-4aí +ae). 7. (l+2»+ 2» 2)(l-2» +2 a2). ■(8xH4x2 yv y XBx* 4 x y + y‘). 0 (ü«2+12a* +8* 2)(9a-'-12a*4 H*2).

EJERCICIO 98 . i- <x+5)(x+2). 2. (* -3 ){x -2 ). 3. (x+5 )(x-2). (x+2)(x 1).5- (a+3){a+l). G (wi+7)fm-2). 7. (y-5)(y-4 ). íx-3){x 1 2). : íx - 8)(x- l ) .10 (c+ R){c- 3). 11 (x —2){x—1). 12. (u+ 6){a+l). 13. f«-6)( »-2),ib. (x+7)(x+3). Ifi (a+9)(a-2). 17. /m ~ ll) (m -l) 18- (x-10){x+3). 19- (n+ 8)<n20- <«—20)(a—1). 21. (y+G)(y—5). 22. <«—7>(«—I). 23- (n -1 0) (n +4 ). 24. /x -9)(x +425. <a-7)(a+5). 26. (x+ l3)(x +l). 2?; (a -ll )( a -3 ). 28-{m+ 15)(m-2). 29-(r-14 )(M 30. (x+8)(x+7) . 31- (x—9)(x—6). 32- (a+12 )(«-0). 3ít. (x- 20 )(x +3). 31 (x+ 18)(x -IO35. (w-30 )(m-M 0). 35. (x + 12 )(x -ll ). 37. Ím- I4)(m +12 ). 3fi («r+15)(c+9). 31*. (,n 2(m—16). 4U. (a+20)(a—19). 41- (x+2GWx-14). 42. {«+24)<e+18). 43. (m-45)(m \ -15)44. (y+42)(y+8). « -. (x 24){x+22>. V . (n+27){» 116). 47. (tr-20)(a+16). ::: (» i- :

EJERCICIO 9 9 . 1. (x*+4)(x'J+l ). (x:i- 7){.v»+l). 3. (x* 10)<x‘+8). ' (xy+4)(xy i>. (4x—5)(4x+ 3). 6. (5x+7)(5x+6). 7. (x+;ja)(x- -3a). 8 (a-7*)(a+3 *). 9 (x-y+U)(x 7 - 4). 10. (x+l)(5—x). 11. (xr-+5XxJ- -4). 12. (»i+ 8n) (m-7ti ). 13 (x3+12a)(xJ U: (2x—3W2x—1). 15. {m ?H-8}{m -n-3). 1G. (x* I lG)(x‘-15 ). i 7. <y+3)(r>— y).18. (a2*2- ll ) ( a 2*2+!)). 19. (c+7d)(<.-+4d). 20. f-,x-l2 ){5x+ 7). 21- (a -1 4* )(a -7 *) .22. (x2 y2+ 12 )(x y- ll> . 23. (x*+G)<8—x2). 24- (c'+ d-1 3)( c+ d-5 ). 25. {a - 22xy)(a 2(126. (OT»n»-13)<m*n*-r8). 27. («+ 2)(7—»). 28. (x3 |-31)(x3-:J0) . 29. (4x“-i:*)( 4x2 IV)80. (x*+9a*)(x2—4a*). 31- (a=-1 3*2)(a-+12*-). 32. {x+3a)(7a x). 83. (xS • 20-i) <x y+ 0a ). 34 (a + ll)( a—10). 3í>. (m +8 a*c) («í-7 a*r) . 35. (7x3+16)(7x2 • 8).

E JE RC IC IO 1 00 . • <2x-l)(x+2). 2. (3x I l)(x-2). 3. (2x+1)(3x+2). 4 (5x ' • - (3x+2)(2x 3). 6. (3x +2)(4x-3 ). 7. (4a+3)(a ¡ 3). 8- (2«+l) (5a+3 ). »■ (2m 7)(4m+5). 10. (4y +lW5 y-l ). 11. (2a-5){4a+3). 12- (7x +5 )(x -7) . 13- (3m+5)(íi»»i~U)14. (2a +l) (a+ 2). 15- (3x -4)(4x +3). 16. (a-l l)(9o l 1). 17. (4 »- 5) (5 »+ l). H (¡U * J)(7x—1). 19 (5m-3)(3m+2) . 20. (3«+2« 5a-G ). 21. (9x +l )(x +4 ). 23. (I0w ;i)C4M423. f7tw+2)(2m—5). 24. (x+lü )(2x+ü ). 2R. (4a + 5)(5a -8). 26- ( 4 « - 11)(» 1¡Jl.27. {6x-l-5)(5x—2).

EJERCICIO 101. 1. (3xs-2)(2x2+3). 3. (x3+2)(5x3-6) . 3. (2 x»+5)(5 .v' 1 8)'• {3ax+7) (2ax—3). (4xv+5)(5xy—4). 6 . (f>x 2«) (3x+a) . Y. (2x+3)(4 ■')

8- (3x—8y)(7x+9y). 9- (m-3a )(6»H -5a). 10. (2x3-7)(7x2+2). 11. (6a | *)(5a :i*)12 (7x3+2)(x* -fl). 13- (3a+5)(6—«). 14. (2x4-l-l)(5-3 x'). 10. (3a-f»x)(2« l .U)

10. (4x-5r«» )(x+3m n). 17. (9a- 5)')(2 aí3y ). 18. (4x2+f>)(3-2x2). V.i (5x •)'.!)(¡I f.»20 (10xr,+3)(3xB—10). 21. (5m-3a)(6rn+ 7a). 22. (3«-2) (2-5 a) . 23. (4x-3y)(í>y *)24 (5a-2*)(3*-4a).

EJERCICIO 102. J. (a+1)3 2 (3- x) 3. 3 (m+n)3. 4 ( i - a)*. D. (a2+2)'. ' (fr. . 7- (2a—3*)a. 3- (3m+4«)3. •' No cs aib o perfecto. 10- No cs. l i . (fwi 1 í.b)" 12 (2+3x)*. 13- No cs cubo perfecto. 14- (a2+*-1);1. 15 (x3—3y*)*. • (4.\ *•'•)•)*17 (6—7a-y- (;»x*+8 y5)3. 19- (a* +l )3. 20 (m-anf . 21. (1+6a9*3)*. ' ’ (4xv f-y

EJERCICIO 103. I- (l+ a) (I—a | a2). 2. (l- a) (l+ a+ a2). 8 (x+y) (x2-xy I y1)! { ff l ii ¡(w’+m ti+ ii), f>. («—l)(«a+ «+ l) . 6 (y+IKy’ y + l). 7. (y l)(y2 lyl I)

(2x—l)(4x2+2x +1). {l -2 x )( l +2x+-4x-'). 10- (x -3 )(x a+3x i 9). 1 (a+31(av 3a I12. (2x+y)(4x2—2 xy4 y2). 13. (3« -*) (9a a+3 a* +*2). 14. (l+ a2)íl 6 -4 a 24 a*). 15 («-f»)(a-'-l-Da+25). ••:- (l- 6m )(l +6 m+3 6m a).17. (2a+3*a)(4a*-f«i* 2 1 9*«). 18 . (x2 **)(x ‘+*>x2+ *4). 1+ (2x—3y)(4x2+6xy+9y2). (l+7 n) (l-7« +4 9n 2). 2i. (4«-9 )(l6a, -36a 1-81). 22. (a *—xa)(aa*a+a* x* +x4). 23. (8+3a*)(64-24a>+9a0). ' (x2-2y‘)(x«-i2xay‘ +4ys). 25. (l+f Jx2) ( l -9x 2+Blx4). 20 (3m+4n*)(9m2-12m na+ lG nrt). '.’.7. (7x IMy(49x*-56xy*+64y«). 28 (xy’- 6 y ‘)(x2 y4+6xy'l+3Gyt). 29. (a* x+ l)(aJ **x a-f l6x 1-1).30 (x*+y3)(x4- x 1 y3 1 y"). •«! (10x -1)(l00x* +1 0x +l ). 32 (a*+5fc♦)(fl<-6 a ,**+2 *•).

R ES PU MT AS • 5 4 9

ALCCfiftA

x 4y'+ y«) . 34. (1 • -3a¿0(l+3«ÍJ+ 9a2//-'). 35. (2x2+9}í4x*-18x2+81).2abl 14/ »') . 3 7 , (2x'-5^'i:)(l-x,i-l-10x'l)'i::-f2ñy-z‘). 38. (3m*+777*)(9jrt-‘-39. (6—x‘)(36+6.v‘ 4 xH).

4. 1 . ( 1+ x“ •)>)(!—x y - xa+2xy+y*>. % ( l a / > ) ( l | a \-b \ a-+2<xb fí2>.3 mH37 i + l n 2 2 m « « * ) . ( x - y - 2)(x2 2 x y + y 2+2 x2y +4 ). R. (x+2 y+ l )—2y + l). G. (l 2 a i f«)(l I 2(7 5 + 4 c - A a b i l>¡). 7 . (2fl | n l1 ).

71 1). 9. (2x-r>’Xl3x8-5xy+y3}. 10 . (2a-5-3){'l«3-4a¿+&3+6a-35+9). +x»+3xií+4x+4). 12. (2a— 2a-l 13). 1 3 . -3(3.v--|-3x+3)=-9 -2y(3x i +ys). 15. (2t>? - 5){nj2—5v»+7), 10. 5x(7x3-r3xy+3y3). 1 7 . (3a+b)

18. (4t»H-4m—5){l6r«-+ÍP2rK7í4-16í»=4-20»i+20fi+2r>).

5. 1. (tf+í$(ar'-a*+«i!-«+.l}. 2. ( a 1){g4 I a ' I «2 I « I ]). 3 . ( 1 x )1}. 4. {a + b ){ a r,~ a T%b \ o ib -- -a íb'i +a -I A —f¡I A ±h <i). ¡5. (r«—/i)(w‘+i/ivi+

i-níM»--n«). e. (/j+3)(a*-ga:i+9a:i-27 a+81) . 7. (2~n?)( 16+8m 4-4ot2+

(1—3x)(1—3.v —9.v: 27v.' "| S lx ‘). 9. (x+2)(x<— 2x H 4x 4t¡ x* + ltí x2 32 x+ 64 ).54í> l 3G5I24í»í +1G« 4). 11. (a +5 c) (a ‘—a*¿»c+a252c2 nt>'c' \ (Acl). ar « 'x + a2»i ,x 24asm :ix3 i <t'»?2x4 I•«;7rjx6+« °x<i). 13. ( l+ x )( l—x+ x*—x®+( x ) ’){xe Kv yi x ^ + x V '+ x V + x y ’+y*). 15. (a+3)(<7K 3ar'4'!l«4~27«3+

. 10. (l2 a)< I~2 fl+ 4tf= i 8(7» ‘ Iftr 1 32rt6+C4.«,‘). 17. (x*+2y)(x:' 2 x 'i¥+y3}. 18. ( I ! 2.v)( l —2x2l4x'—j>x,1+1 0x !i—32x’" +64 x’2}.

6. 3. <i(5xi | 1 ). 2. (r/1+ x)3. 3 . (<i¿»)(«41). 4. ( x+ G ) ( x-6). 5. <8x - v ) - .V- ( 2 x + l )( 3 x - 2 ) . 8 . ( l - l -x ) ( l - x -x2>. 9. (3u - l ) (9fi8+ 3fl4 1). 10 . ( x + ;« ) w :i.y4ím‘). 1 1 . / j( a2-0a í>+5&2}. 12. (x— 3)(2y l-z) . 1 3 . (1 2 5) -. 14 . ( 2x 8+ y3). 10 . ( x4+ 2 x8ya—y4) ( x 4 — 2x ry 2 -y*). ( / i - 6)(a+.rj). 1 7 . ( 3 >n- 2 )( 5m+7 ).2+ l ) . 1 9. ( 2»í - 3y2K4»>-- l- fimv- l-<►>■••). 20. (4a-35 )* . 21- ( l+ a )( l a ") . 22. ( 2c - l ) s. 2 8. < l +m ) ( l- ; « ) . 24. ( x - - 7 ) (x - -3 ) . 25 . (m - t - I)20. ( a + 5 + ; a ) ( c + 5 -m ) . 27. 8.7-5(11 2 < i - 3 r/J. 28. ( x4+ l ) ( x - L).. 80- (5.vlDy)(5x2—lly). 31. { l -™ ) ( l+ m + m 8). 32. (x~y-r«-b)(x+y-

1 ). 34 . (x+l)(<7-(> | c). 35. (2+x-y) 2. 36- (1 i aí>2)(l- «62). (x*—7)(x14-1 1). 39 . (5xs t l)(3x- -4). ¡0. (1 +a-3í») ( 1-a+3&+a3-<¡a5+9l»8).

x2-3x+5). 42. (a«+4a2-«)(«■*-■!«-—G>. 13. (7+2 a)(49-M« : -la8). 44 . 3«2¿>x-3yK*+t>>'). 4G. (3»Í--2 »K2fl41). 47- (9«*+2be*)@á* 25c1}. .*«. (4+2a+ 9. <5+x)(4-x). 50. (h 1 7)(«-6). 31. (a—n4-<;+d)(«—»—c-rf).&2. ( l+ 6x3) f>3. (x — 4)(x2+ 4 x + ] 0). 54. x»(1 G4x). 55. I8x2 y*(ax--— 2x2-3>-»).

7. (x+ 10) (x—8). 56. («i b c )(a-b -c) . 5D. (w»+n—3}*. GO. (x+5)(7x—1).). G2. (a 3)( .v+ l). G3. {yx' 5v>:. 04 (l + 55 5 ) (l 5 5 ( j2). 65. (»»*++m*) . GO. (c=+2<f){ri2 cíi ). 67 5xB(3.v'3.v 14). fi8. (a + x )( a x l ).20). 70. (2x i2+5 )(3w 2—4). 71. <2« 2rt). 72. 2(xa+l).

—85). 74. (x+G )(x—3). 70. («+»«+ í»+/i ){fl 1»«//«>. 70. (x+2y)a.7). 78. (l+ 9« 5)8. 79- (2o*+l)(2«a'-l ). 80. (x»-21){x3+20). 8 1 . (a-í>) (3t» -l )( 2 a-l ). 33. (3 l-4x)(5~2x). 84. fl4(<P-«“+«3+l>. 85. <2x~l)<«-3). ti). 87 (a3-fe» )( l-2 x3). 88. ( m l ) ( 2 a - 3 b - c ) . 39 . ( x - J F . 90 . (2un+1. (I0x+ a)(8x- o). 92. (a—8+4x)(a—3—lx). 93. (3a+x-2)(3a x+2). -l I). 05. (x-9) (x+8> . 96. (6í?- \ ü( ,b -" bm \a ~ -- G ab- 7!A ). 97, («4-25-

m— 8«). 98. (1 •Sfl*)(l ¡¡<1*), 99. (y17«+12a-¿íi-1-8//*>(ílrt4-12(7-,h: , l-8h«). —6). 101 (x-7« />)(x+5¿6). 102. (5x-3>* 103. -5(2(7+]) . IOV (4.7—55)(l-l-3xn)'J. 106. (a2-r>h)(«2+8ñ). 107. (w+2ax}(Mz-2a»>?x-l-4flíxs).( 1 — 3x+4>) . 100. (3x + l)( 8 x -1). 110. l- 3 x -x J). m . (««+& *--_ 3x v) . 112. (2<i 4 1>(4<i3+ l0 á +7) - 113. (10x-y S+ll» )-j(l()x-y— lio;-'),

2). 115 (1-1-10x'*')( 1—1(lx -4-1(X)x *). 1IG. (7aH-x—3)')(7á—x-l-Oy). 1 1 7 . (x3 Iy —2í). 118. (a-4)(a*+4 a+ ltí ). 119 (<i + x)(a* —rt',.v+ <i:x-- <;x* + x*).

96). 12 1 ( l l+x )(15 -x) .m . (n*+a+l)(a3-a+l ) . 13 3 . ( + ~ ) ( 7 T j )

H tlCülSTAS • 5 5 1

124. ( 4.x ; ( y . 128. (a39»+!2)(fl3í»38 ). 12G. (S<Fx+7y)(l(7130). 127. (x 3+2«)(.v ' 1

12S (1|..>»í ) (7— 2»í i ). 129 - (2 f l+2 /H - ; je+3d ) (2 ' r l- 25— 3c— O lí} - 130 . (0— 5xy i ) (8 l +45xy ' - | - 25x -yK) . 131 - ( x +> ' ) ( * +> '+1)- 132> (2 - l -« - fo ) (2 -a+ f t ) . 133 . ( x -y ) ( x -4 -x> - l 73 l - í) .134 ( a 9 ) («2+«b+5 ,+a+('}.

EJERCIC IO 107 . i. 3 - i ( x + l } ( x - l ) . 2. 3 ( x + l ) ( x - 2 ) . 3. 2 x( fl -í »> *. 4. 2(al)(o; , « l 0. < j(< j —7}(a I -4). 6 . ' ( x+ l) ( x+2 ) (x— 2 ) . 7 . 3a( .v■y ) ( x -- x y -r y :'). 8 .0 (2 0 »- ») * 0. (x l 1)<x+2)(x~2). 10. ( a4 l) ( a - l ) - . 1 1 .2a(xl)3. 12. ( x + y ) ( x + l } {x - l ) . 13. 2a(a+4)((Jl).14- 4 x ( 2 x -: ty ) -. 15. ( 3x- y ) (x l -y) {x—>'). 16.5 j i (< i+1)(c - a+ 1 ). 17. a ( 2 x+ .l) (3 x 2).18. (* j - ! - 9 ) ( 7 i+ 3 ) ( « -3 ) . 19. 2 a(2 x- l- l )( 2 x — 1) . 2 0. « x ( x + 5 )a. 2 1. x ( x - 7 ) ( x + l ).22. (x«-3 K»í + 'l}(rn -4). 23. (x-2y>*. 24. («+ft}(a-í»)(a-l/>-]). 25- 2«x(4«-26. x{x- 1 Y }íx -]) . 27. 4{x+9)(x—1). 28. (a'- l a - 2)(cr 2)(a-f l). 29. (x 1 v2)(x-3)(x- I 8v3 0. « ( « - 1 ) (a ‘ — as+a-’-n+l}. 31. «5{a+ x+y)(« +x -y). 32. 3ae(m +l)(w<- l). 33:tvy (: i \

'Í9x?-3x>-+y-). 34. ( a + l ) ( « — l ) (a*-a+l) . 35. x(3x I l)(Í -tíx ). 36. 2(3a-¿»)(.v+5)

37- J>(»i 3 ). 38. 4rt3( x - l ) ( x 8+ x + l ) . 30. 7 x y(2 x+ y)(2 x - y). 40. 3a5(x :t)(X-l41. ( x + l } { x - 4 } ( x H 8 ) . 4 2 - 2 y( 3x+ ;V y)--. 43 . ( « - l ) ( x y)'-. 4-1. x (. v+ 3 y) (x - y). ■».. ( „ 1 ■<{« 2 « K * + ^ ) - 40. 5(t *(3 x í +2)(3 x 3- 2 ) . 47- ( « - 4 ; i( c - :j )( a 3- n + 1 2 ) . 4 8. ( * - l } ( x I I w -•19. 2 x - ( x - 7 ) ( x —4 ). 50'. f i( 2 (r -5 ) (3 a+2 ) . 5 1. ( x - y ) ( 3 x - 3 y - r l ) ( 3 x - 3 y - l ) . 1'2. / i( v — l i.( 3c v }. 5 3. a (4 5 c )( ]( ¡+ 2 (N i : 2 5 c- > 5 4. 2x'- '( 7x 3 } ( 5x +4 ). 5 5. a :,( a3 - l l) ( < i v •>56. abl4(t '-7b-y-. 57- x 3( 7 x- '- 3 « ") ( x' -+ . le 2) . 5 8. j ?( x “ + y -K x " - y " > . ÜO. ¿ 2x I( x = - l- 3 x - 9) . üO. a ( x — 2 ) ( x *+ x y +y 2). 6 1. ( x 2+2 x y l y - '+ l } (. v + y + l) (. v ■ y 1). tW ;iu (n »rt-t-l)(n::— (711).

' E JE RCIC IO 1 08 . 1- ( I -r a ^ X l -r a ^ H l + a H l - xr ) . 2- (a l l ) (a - l) (a a - 7 i- --1 ...........

3 . ( x I 4)(.v— l ) ( x + 5 ) ( x - 5 ). 4 . ( a +5 ) : ( « - 5 )' -. 0- . v ( x + l ) ( x - l ) ( . x 2+2 ) . 6. 2 ( x ~ l ) ( x i I)( x2+ x l 1). 7. 3 (x 2+ !) K x+ 3 )( x— 3 ). 8. ( 2 x - y ) 2(2 x y )2. 9. x ( 3 x + l ) ( 3 x - l ) ( x t v)10. 3rt{2x +l}(2x l)(x«+ 3}. 11. (x ,1y'}(x2l),í)(x—y)(x—y). 12. (x 2 )( x H 2 ' I l|i ■ • l>(XXÍI). 13. (2lx)(4 2x+x>(2 .v>(4+2x+x'). 14.(c 5}2(<7+/v)(a2| «5 • 5 1 •(2x—l)(x +1 ). 10. (a+3 )(a 3)(«+4){fl4). 17. rt(«+2 Kx y)(x 2 hxy +y3). 18 <i(« • I u rf (a42}. 19. O a F ÍM a a 3)2. 20. (ni+3)(»a23 w 49).;í» - 3)(í(/3+3 /«+ 9). 21. víx*l I,(x + l)( x—I). 22. (x+yj'fx—y)(x2 xy+ y2). 23 ab(a+b)(a-b)- . 24. 5(a2l 2fi)(a4 • li)25. (a I 3} («l )(a +l ) : . 26. n(a 2)(x 2)(x 22x +1 ). 27. ( l / i5)( l «*•!■o-l>‘J){ 1 ,i5i(1+« 5+ «35s). 28. 5a (x +lV x l)(x +2 ), 29. (a l 5){« 5}(x +y)(x y). 30. (x*4 2)(\» • I)(x+l )(x 1) 31 a(« I l)íc i3}l '«3). 32. (arl)(«l)(.v4 3)(x 2). 33. («H I t« 1.1 ln 1(4>n3). 34. 35 i,«+l)(x 2)(x 2). 35 0(»« + l)fa : 5)(c2). 36. {«+l)(a I >í.x l.( x

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EJERCICIO 120.

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EJERCICIO 121.

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26. 12x—G Gx 12 4x+3

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EJERCICIO 126. 1- '3-

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EJERCICIO 127.

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18. x + 2 19-2(x+y)

x ( l x ) x y

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10(x—2)23.

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(3x4-2)(x+3)(x—3)

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6 • ALGEBRA

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IO 129. 1.

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IO 130. 1- 2.

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8 • A I G M B A

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28. 7 29.1. 30.7.

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« H :• < - 20 . 2 . 2 1 . 2 . 2 2 . 1 . 2 3 . 1 4 . 24 . 4 . 2 5 . 1 4 .

2 7 . 4 . 2 8 4 2 9 . 3 . 3 0 . 8 . 3 1 1 5 3 2 5 . 3 3 . ¿ .

IO 142. 1 . 2 . 2 . f 3 . 4 . 4 . 6. 2 . 6 .*• * • *’ • 11 w‘ 2 . 7 . 0 . 8 . 3 5 .

10 — :V 1 2 4 1 3 . 9 . 1 4 . 1 ¿ . 1 5 .

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1 6 1 4 .

15.2. 19.54. 20 .-11. 2M -J. 22 -1 6 . 23.3 ¡. 24.1 7 .

2G.l^. 2 7 .- 4 - 28.4- 20.4* 30.2-1. 3 .1 . 3. 3 3 . - 4 ,, r» u is ^ *

m u m u c i i a s • 5 5 9

EJERCICIO 143 . 1. — . 2. - ^ - r . 3. a ~ b . 4. « -3 . ti. n. 0 - . 7 ,<a a - 0 3

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TTi ÍKlEJERCICIO 144 . 1. — . 2. — . 3. I . 4. m. 0. 2a. 8. 2. 2<i

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1— a2'.’,. - - - . 23. 2a+¿b . 24 » — 2m .

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EJERCICIO 146 . i . 24 y 2 5. % 04 y 65. 3. 124 y 125. 4 99 y 100 r>6. A . 525; B . $24- 7. H oy . $1(1; ayer, SlO. 8. 80. 81 y 82. 70. i l \

lu 20. 21 y 22. I I . A , 16; « . 14; C. 12 años. 12 A , 5 años; t í , C am o. (..7 oE J E R C I C I O 1 4 7 . i . 41 y 18. 2. 3 1 5 )1 2 1 . 3. 21 y 65. 4. 80 y 21

6. A , 96 soles; t í . 10 0 soles.

EJERCICIO 148 . I « d ia . $100 ; 2 '' d ía . $50; 3 « d ía. $25. ;». M ie i l i NI) ju e v ., $72; v ie rnes, $60. 3. A , 120: t í , 80; C , 48 sucres. 4 A , 40 artos, t í. ’ l m»m

mu i Kmc.. 9 artos. 6. 1 « . d ia , 81 K m ; ?». 27 K m ; 3’ . 9 K m ; 4'-’, 3 Km . I* . Ilion2 \ 1100 K m ; 3 *. 1210 K m ; 4*. 1331 K m . 7. I» 200000: 2 *. lÜOOOU. I», . ".......

4*. 5000: 54. 500 colones. B arco, 5436: tre n . 2416: a vió n, 1510 Km

EJERCICIO 149 . 1 . $50. 2. Q .84. 3 . 593. 4 . bs. 5000. 80. • 170 - I .

7 . 596. 8 . 590 . 9 . 1600 sucres. 10 . S i 20.

EJERCICIO 150 . 1 . A . 25 años; t í . 75 artos. 2. A . 60 artos, 8 ,2 0 artos II a lm4. 36 años. B- H ijo , 16 años: padre, 48 años. H ijo . 20 años; padre , 5(1 ¿11W 7. A . 50 artos: t í , 15 artos. f¡. P adre, 5 5 artos; lu jo , 3 0 años. y. P adre, 50 jiVm.h i j o . 30 años. 10 . A. 45 anos; t í , 30 años. 1 ; A , 21 años; t í . 8 años

EJERCICIO 151 . A . bs. (¡0: t í , bs. 30. 2 .A . 18: B ,96culones. 3 A . $!•>,t í . vu .■\. I . 570. tí. $42. 5 . Con 90 sucres, f,. A, con $72: tí. con $18. 7 A. $72. II. $V06. A - $30 : t í. $15. 9, .;o balboas, iq . 36 soles.

EJERCICIO 152 . 1 . 2 años. 2 . 5 artos. 3 . 12 años. 15 años. (y $20<>. <-> 35. 7 15 y 20 a. 8 . $10- 9. Iw. 120.

EJERCICIO 153 . 1 . 12 m x ¡ ) m . 2 . 18 « 'X J m . 3 , 15 111x 13 m.4 lo 11 1X I 2 n i. 5 49X 36 m 0. 90 m X 60 m . 7 . 18 n i X8 m.

E JE R C IC IO 1 5 4 1 £ 2 £ 3 £ 4 5 f 0 £ 7 £ ?

® A L O S M A

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O 1 5 7. 1 . 1 y 3 8 - m in . 2 .A las l ( ) y 5 ~ m in . y a las 10 y 3 8 ^ m in .

y 10■“ m in . 4 . 12 y 32 tn in . 8.A las 2 y 27- i m in . q .A las4 y 2 1 ^ m i n .

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n . 10 -A las 3 y 21~ " i in . J l . A las tí y32 “ m in . y a las 8 y 54— m i n .

O 1 58 . 1 62 y 50. 2.$20. 3 .18- 4.28000y 20000 so lo . >>,60 y 24-

75. 7 .1160. 8. Ropa , $48: lib ro» ,$90.0. A , 15años; t í , 6años; C,4años.00. 1 1 .8. 12-70. 13-G0, 50,30 y 10. 14.9y 4 9 - m in . 15 .A ,05años;

s. LC- 15 días- !7 . 500 y 150. Jtí.A , 15 años; t í , fio. 19.23 y 22.ueros. 21.E n tre 10. 22 10 lib ros : 510. 23.A , SI10. D , 3140-ros. 25. 30000 colones. 20-8600 balboas. 27. $4800. 28 200 y 150.

30 t í pesos, (¡ piezas dc 2 0 cts. y 4 de 10 c ts. 31 Q- 3000- 32. 40 años,mbres ; 3061 hombres . 34 .5288. 35 C on 80 lem piras. 30. 72. 37 .63.

39 $20. 40. P luma, $2: lap icero . $1.20. 41- $2tí- 42. $18000.n, $15; somb., $45; tra je , $80. 44 -3 00 saltos. -15,225saltos. .ifi A las 10 47.A , con lis . 8000; t í , con. I». GOUO. 48.30 años. 49 .1(J0 Km .

$50 ; pe r ro , $20.

O 159 . 1 .8 0 m . % 100 Km . 3 . 360 Km de A y 1(¡(> Km de tí.s. 5 . 250 Km : 10$ a.in . 6.A , 45 K m ; t í , 25 Km . 7 .A , 17A Km ;. 8 7 horas; 420 Km . 9.A 93 Km.

O 162 . I. 40 cm4. 2- 32 m4. 3. 135 m . 4 . 12 seg. 6- 5 m.

7. 78-!- m=. 8. 3 1 - 111. 9. 37 ^ m *. 10. 1.03. 1 1 . 6-92 m4 12- 720°.■ 1 •

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7 . x>5. 8. *>-j- 8. *> !• 10. * > - 7 . 11. * < ” • 12. 13. *<-’ •14 . x > ¿ jo . x<3- 16. x>2. 37 . Los números enteros menores que 84.

EJERC ICIO 165. l x> 8. % x<9. 3 . x>3. 4. x< l. 0. *>20. 0. I0<x< i:i.7 . 4<x<6. y. —3<x<—2- 9. 21<x<22. i(}. 5 y tí.

EJERCICIO 166. 1 . 1 2 . 2 . 3 (5. 3.84. 4.5- 5. *¿7 . 0. 2- 7 . 1 .fi. 4 '

9. 96. 10 . 3. 11. 30 ni2. 39. 120 m*. 1 3 . 256 m3. 14 . 134 cin*.

15. IO7 «“ ■ 16. ±4-

1 3#EJERCICIO 167. 1 . /4 = 2». 2. «■= *'*• 3.¿ - ~ D D ' . 4. A = — .

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5 sucres. 10- 15 y 8. 11- 17 y 6 años. 12. 36 lib ros . ?5. 13. 10 filasdados. 14. 50 soles. 15. C. 1G. 16, 512. t7 . 30 a S5. 18. 10.. 20. G h . 23- l f ) cab.. S200. 22- 4 . 5, «• 23- 12 y 15. 24. 30 a 5 cts.

2G. 32 v 11. 27. 15 n i y 5 in . 28. 10 Km p o r hora . 29- 12 días, 30. 18. $5. 33 7- 32 10 años. 3 3 .10 ,5 -1 .

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Reales y desigua les, raciona les. 8. Realese igua les, y . Imag ina rias . 10. Realeses, irra c ionales . 11- Imag ina rias . 12. Rea les y des igua les, raciona les.

O 2 7 7 . 1 Si. 2. No. 3. Sí. 4. Si. 5. No. G. Si.7. No. 8. Sí. D. Sí. 10. No.

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