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Probabilidad y Estadıstica
Ejercicios y Problemas adicionales. Capıtulo II
1. La funcion de masa de probabilidad de X= numero de defectos importantes en
un elestrodomestico seleccionado al azar, de un cierto tipo, es
x 0 1 2 3 4
fX(x) .08 .015 .45 .27 .005. Calcule lo siguiente:
(a) E X
(b) V ar X directamente usando la definicion.
(c) La desviacion estandar de X.
(d) V ar X usando la formula abreviada.
2. Un instructor de un grupo de escritura tecnica ha solicitado que cierto reporte
sea entregado a la semana siguiente, agregando la restriccion de que cualquier
reporte que rebase cuatro paginas sera rechazado. Sea Y = numero de paginas
del reporte de cierto estudiante seleccionado al azar , y supongamos que la fmp
es:
y 1 2 3 4
fY (y) .01 .019 .35 .45
(a) Calcule E Y .
(b) Suponga que el instructor tarde√
Y minutos calificando un trabajo que
consiste en Y paginas. ¿Cual es la cantidad esperada de tiempo empleada
en calificar un trabajo seleccionado al azar?
3. Usando los datos del problema ultimo anterior, calcule V ar Y y σY . A con-
tinuacion determine la probabilidad de que Y se encuentre dentro de de 1 DS
(desviacion estandar) de su valor medio.
4. Un distribuidor de aparatos electrodomesticos vende tres modelos diferentes de
congeladores verticales con capacidad de 13.5, 15.9, y 19.1 pies cubicos de espa-
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cio de almacenaje, respectivamente. Sea X = cantidad de espacio de almacenaje
comprado por el siguiente cliente que va a comprar un congelador. Supongamos
que X tiene la siguiente fmp:
x 13.5 15.9 19.1
fX(x) .2 .5 .3
(a) Calcule E X; E X2; V ar X.
(b) Si el precio de un congelador que tiene una capacidad de X pies cubicos es
25X− 8.5, ¿cual es el precio esperado pagado por el siguiente cliente que
va a comprar un congelador?
(c) ¿Cual es la varianza del precio 25X− 8.5 pagado por el siguiente cliente?
(d) Suponga que mientras la capacidad nominal de un congelador es X, la
capacidad real es h(X) = X− 0, 1 X2. ¿Cual es la capacidad real esperada
del congelador comprado por el siguiente comprador?.
5. Sea una una variable aleatoria con distribucion Bernoulli. Una tal X toma solo
dos valores 0 y 1, con probabilidades 1− p y p respectivamente.
(a) Calcule E X2.
(b) Demuestre que V ar X = p(1− p).
(c) Calcule E X79.
6. Suponga que el numero de plantas de un tipo particular que se encuentra en
una region rectangular (llamada cuadrante por los ecologistas) de cieta region
geografica es una va. X con fmp:
fX(x) =
cx3 x = 1, 2, 3, . . .
0 e.o.c.
¿Es E X finita?. Justifique su respuesta (esta es otra distribucion a la que los
expertos en estadıstica llamarıan de cola gruesa o pesada).
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7. Los n candidatos para un trabajo has sido clasificados como 1, 2, 3, . . . , n. Sea
X = grado de un candidato seleccionado al azar, de modo que X tiene una fmp
dada por:
fX(x) =
1n
x = 1, 2, 3, . . . , n
0 e.o.c.
(esta recibe el nombre de Distribucion discreta uniforme). Calcule E X y V ar X
mediante la formula abreviada. (Necesitara recordar aquı a que es igual:∑n
i=1 i
y la∑n
i=1 i2).
8. ¿Que relacion hay entre V ar X y V ar(−X). Ejemplifique y luego demuestre.
9. Demuestre que V ar(aX + b) = a2 σ2X .
10. Suponga que E X = 5 y E[X(X − 1)]= 27.5. ¿Cual es
(a) E X2?.
(b) V ar X?.
(c) la relacion general entre las cantidades E X, E[X(X − 1)] y V ar X?.
11. Escriba una regla general para E(X − c) donde c es una constante. ¿Que pasa
cuando se hace c = µ, el valor esperado de X?.
12. Un resultado muy importante que recibe el nombre de Desigualdad de Cheby-
shev establece que para cualquier distribucion de probabilidades de una va. X
y cualquier numero k que sea por lo menos 1, P (| X − µ |≥ kσ) ≤ 1/k2. En
otras palabras, la probabilidad de que el valor de X se encuentre por lo menos
k DS de su media es cuanto menos 1/k2.
(a) ¿Cual es el valor de la cota superior para k = 2? ¿k = 3? ¿k = 4? ¿k = 5?
¿k = 10?.
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(b) Hagamos que X tenga tres valores posibles {−1, 0, 1}; con probabilidades
118
, 89
y 118
, respectivamente. ¿Cual es P (| X−µ |≥ 3σ), y como se compara
con la cota correspondiente obtenida por la desigualdad de Chebyshev?.
(c) De una distribucion para la que P (| X − µ |≥ 5σ)= 0.04.
13. La fda de la duracion X de tiempo prestado, como se describio en el ejercicio
(2.10) es:
FX(x) =
0 x < 0
x2
20 ≤ x < 2
1 x ≥ 2
Utilice esta para calcular lo siguiente:
(a) P (X ≤ 1)
(b) P (0, 5 ≤ X ≤ 1)
(c) P (X > 0, 5)
(d) La duracion mediana de tiempo para prestamo de libros µ [resolver la
ecuacion: 0,5 = F (µ)]
(e) F ′(x) para obtener la funcion de densidad f(x).
(f) Calcule E X, V ar X y σX .
(g) Si la persona que solicita el libro se le cobra una cantidad h(X) = X2
cuando la duracion del prestamo es X, calcule el cobro esperado.
14. El artıculo ”Modeling Sediment and Water Column Interactions for Hydropho-
bic Pollutantas”(Water Reserch, 1984, pp. 1169-1174) sugiere la distribucion
uniforme del intervalo (7.5,20) como un modelo para la profundidad (cm) de la
capa de bioturbacion del sedimento de cierta region.
(a) ¿Cual es son la media y la varianza de profundidad?.
(b) ¿Cual es la fda de profundidad?
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(c) ¿Cual es la probabiliad de que la profundidad observada sea a lo suma 10?.
¿Entre 10 y 15?.
(d) ¿Cual es la probabilidad de que la profundidad observada se encuentre
dentro de 1 DS del valor medio?, ¿y dentro de 2 DS?.
15. Considere la fdp de X = peso real de apoyo dado en el ejercicio 2.14.
(a) Obtenga y grafique la fda de X.
(b) De la grafica de f(x), ¿cual es µ
(c) Calcule E X y V ar X.
16. Suponga que X tiene distribucion uniforme en el intervalo (a,b).
(a) Obtenga una expresion para el (100p)avo percentil, y haga una interpretan-
cion geometrica del mismo. (Si p es un numero entre 0 y 1. (El (100p)avo
percentil de la distribucion de una va. X contınua, denotado por η(p),
esta definido por p = F (η(p)) =∫ η(p)
−∞ fX(x) dx).
(b) Calcule E X, V ar X y σX .
(c) Para n entero positivo, determine E Xn.
17. Un ecologista desea marcar una region circular de muestreo de 10 m de radio.
Sin embargo, el radio de la region resultante es en realidad una va. R con fdp
fR(r) =
34[1− (10− r)2] 9 ≤ r ≤ 11
0 e.o.c.
¿Cual es el area esperada de la region circular resultante?
18. Suponga que X tiene la fdp de Pareto
fX(x, k, θ) =
k·θk
xk+1 x ≥ θ
0 x < θ
introducida en el ejercicio 2.15.
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(a) Si k > 1, calcule E X.
(b) ¿Que se puede decir acerca de E X cuando k = 14?.
(c) Si k > 2, demuestre que V ar X = kθ2(k − 1)−2(k − 2)−1.
(d) Si k = 2, ¿que se puede decir acerca de V ar X?
(e) ¿Que condiciones para k son necesarias para asegurar que E Xn sea finita?.
19. Suponga que la va. X solo puede asumir los valores -1 y 1 cada uno con proba-
bilidad 12. Encuentre
(a) La funcion generadora de momentos de X.
(b) Los primeros cuatro momentos alrededor del origen.
20. Una v.a. tiene funcion de densidad dada por:
fX(x) =
2e−2x x ≥ 0
0 e.o.c.
(a) La funcion generadora de momentos de X.
(b) Los primeros cuatro momentos alrededor del origen.
21. Sea MX (t) la funcion generadora de momentos de X, y se define S(t) =
ln(MX (t)). Muestre que
d
dtS(t) |t=0= E X y
d2
dt2S(t) |t=0= V ar X.
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