Probabilidad y Estadıstica

Ejercicios y Problemas adicionales. Capıtulo II

1. La funcion de masa de probabilidad de X= numero de defectos importantes en

un elestrodomestico seleccionado al azar, de un cierto tipo, es

x 0 1 2 3 4

fX(x) .08 .015 .45 .27 .005. Calcule lo siguiente:

(a) E X

(b) V ar X directamente usando la definicion.

(c) La desviacion estandar de X.

(d) V ar X usando la formula abreviada.

2. Un instructor de un grupo de escritura tecnica ha solicitado que cierto reporte

sea entregado a la semana siguiente, agregando la restriccion de que cualquier

reporte que rebase cuatro paginas sera rechazado. Sea Y = numero de paginas

del reporte de cierto estudiante seleccionado al azar , y supongamos que la fmp

es:

y 1 2 3 4

fY (y) .01 .019 .35 .45

(a) Calcule E Y .

(b) Suponga que el instructor tarde√

Y minutos calificando un trabajo que

consiste en Y paginas. ¿Cual es la cantidad esperada de tiempo empleada

en calificar un trabajo seleccionado al azar?

3. Usando los datos del problema ultimo anterior, calcule V ar Y y σY . A con-

tinuacion determine la probabilidad de que Y se encuentre dentro de de 1 DS

(desviacion estandar) de su valor medio.

4. Un distribuidor de aparatos electrodomesticos vende tres modelos diferentes de

congeladores verticales con capacidad de 13.5, 15.9, y 19.1 pies cubicos de espa-

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cio de almacenaje, respectivamente. Sea X = cantidad de espacio de almacenaje

comprado por el siguiente cliente que va a comprar un congelador. Supongamos

que X tiene la siguiente fmp:

x 13.5 15.9 19.1

fX(x) .2 .5 .3

(a) Calcule E X; E X2; V ar X.

(b) Si el precio de un congelador que tiene una capacidad de X pies cubicos es

25X− 8.5, ¿cual es el precio esperado pagado por el siguiente cliente que

va a comprar un congelador?

(c) ¿Cual es la varianza del precio 25X− 8.5 pagado por el siguiente cliente?

(d) Suponga que mientras la capacidad nominal de un congelador es X, la

capacidad real es h(X) = X− 0, 1 X2. ¿Cual es la capacidad real esperada

del congelador comprado por el siguiente comprador?.

5. Sea una una variable aleatoria con distribucion Bernoulli. Una tal X toma solo

dos valores 0 y 1, con probabilidades 1− p y p respectivamente.

(a) Calcule E X2.

(b) Demuestre que V ar X = p(1− p).

(c) Calcule E X79.

6. Suponga que el numero de plantas de un tipo particular que se encuentra en

una region rectangular (llamada cuadrante por los ecologistas) de cieta region

geografica es una va. X con fmp:

fX(x) =

cx3 x = 1, 2, 3, . . .

0 e.o.c.

¿Es E X finita?. Justifique su respuesta (esta es otra distribucion a la que los

expertos en estadıstica llamarıan de cola gruesa o pesada).

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7. Los n candidatos para un trabajo has sido clasificados como 1, 2, 3, . . . , n. Sea

X = grado de un candidato seleccionado al azar, de modo que X tiene una fmp

dada por:

fX(x) =

1n

x = 1, 2, 3, . . . , n

0 e.o.c.

(esta recibe el nombre de Distribucion discreta uniforme). Calcule E X y V ar X

mediante la formula abreviada. (Necesitara recordar aquı a que es igual:∑n

i=1 i

y la∑n

i=1 i2).

8. ¿Que relacion hay entre V ar X y V ar(−X). Ejemplifique y luego demuestre.

9. Demuestre que V ar(aX + b) = a2 σ2X .

10. Suponga que E X = 5 y E[X(X − 1)]= 27.5. ¿Cual es

(a) E X2?.

(b) V ar X?.

(c) la relacion general entre las cantidades E X, E[X(X − 1)] y V ar X?.

11. Escriba una regla general para E(X − c) donde c es una constante. ¿Que pasa

cuando se hace c = µ, el valor esperado de X?.

12. Un resultado muy importante que recibe el nombre de Desigualdad de Cheby-

shev establece que para cualquier distribucion de probabilidades de una va. X

y cualquier numero k que sea por lo menos 1, P (| X − µ |≥ kσ) ≤ 1/k2. En

otras palabras, la probabilidad de que el valor de X se encuentre por lo menos

k DS de su media es cuanto menos 1/k2.

(a) ¿Cual es el valor de la cota superior para k = 2? ¿k = 3? ¿k = 4? ¿k = 5?

¿k = 10?.

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(b) Hagamos que X tenga tres valores posibles {−1, 0, 1}; con probabilidades

118

, 89

y 118

, respectivamente. ¿Cual es P (| X−µ |≥ 3σ), y como se compara

con la cota correspondiente obtenida por la desigualdad de Chebyshev?.

(c) De una distribucion para la que P (| X − µ |≥ 5σ)= 0.04.

13. La fda de la duracion X de tiempo prestado, como se describio en el ejercicio

(2.10) es:

FX(x) =

0 x < 0

x2

20 ≤ x < 2

1 x ≥ 2

Utilice esta para calcular lo siguiente:

(a) P (X ≤ 1)

(b) P (0, 5 ≤ X ≤ 1)

(c) P (X > 0, 5)

(d) La duracion mediana de tiempo para prestamo de libros µ [resolver la

ecuacion: 0,5 = F (µ)]

(e) F ′(x) para obtener la funcion de densidad f(x).

(f) Calcule E X, V ar X y σX .

(g) Si la persona que solicita el libro se le cobra una cantidad h(X) = X2

cuando la duracion del prestamo es X, calcule el cobro esperado.

14. El artıculo ”Modeling Sediment and Water Column Interactions for Hydropho-

bic Pollutantas”(Water Reserch, 1984, pp. 1169-1174) sugiere la distribucion

uniforme del intervalo (7.5,20) como un modelo para la profundidad (cm) de la

capa de bioturbacion del sedimento de cierta region.

(a) ¿Cual es son la media y la varianza de profundidad?.

(b) ¿Cual es la fda de profundidad?

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(c) ¿Cual es la probabiliad de que la profundidad observada sea a lo suma 10?.

¿Entre 10 y 15?.

(d) ¿Cual es la probabilidad de que la profundidad observada se encuentre

dentro de 1 DS del valor medio?, ¿y dentro de 2 DS?.

15. Considere la fdp de X = peso real de apoyo dado en el ejercicio 2.14.

(a) Obtenga y grafique la fda de X.

(b) De la grafica de f(x), ¿cual es µ

(c) Calcule E X y V ar X.

16. Suponga que X tiene distribucion uniforme en el intervalo (a,b).

(a) Obtenga una expresion para el (100p)avo percentil, y haga una interpretan-

cion geometrica del mismo. (Si p es un numero entre 0 y 1. (El (100p)avo

percentil de la distribucion de una va. X contınua, denotado por η(p),

esta definido por p = F (η(p)) =∫ η(p)

−∞ fX(x) dx).

(b) Calcule E X, V ar X y σX .

(c) Para n entero positivo, determine E Xn.

17. Un ecologista desea marcar una region circular de muestreo de 10 m de radio.

Sin embargo, el radio de la region resultante es en realidad una va. R con fdp

fR(r) =

34[1− (10− r)2] 9 ≤ r ≤ 11

0 e.o.c.

¿Cual es el area esperada de la region circular resultante?

18. Suponga que X tiene la fdp de Pareto

fX(x, k, θ) =

k·θk

xk+1 x ≥ θ

0 x < θ

introducida en el ejercicio 2.15.

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(a) Si k > 1, calcule E X.

(b) ¿Que se puede decir acerca de E X cuando k = 14?.

(c) Si k > 2, demuestre que V ar X = kθ2(k − 1)−2(k − 2)−1.

(d) Si k = 2, ¿que se puede decir acerca de V ar X?

(e) ¿Que condiciones para k son necesarias para asegurar que E Xn sea finita?.

19. Suponga que la va. X solo puede asumir los valores -1 y 1 cada uno con proba-

bilidad 12. Encuentre

(a) La funcion generadora de momentos de X.

(b) Los primeros cuatro momentos alrededor del origen.

20. Una v.a. tiene funcion de densidad dada por:

fX(x) =

2e−2x x ≥ 0

0 e.o.c.

(a) La funcion generadora de momentos de X.

(b) Los primeros cuatro momentos alrededor del origen.

21. Sea MX (t) la funcion generadora de momentos de X, y se define S(t) =

ln(MX (t)). Muestre que

d

dtS(t) |t=0= E X y

d2

dt2S(t) |t=0= V ar X.

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