7fraxciones
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-
73
Como el tiempo que tarda en recorrerlo
es 2 - v
2
v3
+ resulta
2 - v
2
v3
+ = 1.
A cada una de las expresiones
2 - v2
y v3
las llamaremos
fracciones algebraicas.
Fracciones Algebraicas
Liliana camina todas las maanas 5Km en una hora. Los primeros 3Km los recorre a una velocidad constante v pero, ya cansada, recorre los ltimos 2 Km a una velocidad de v-2 Km por hora. Con qu velocidad camina en cada tramo?
Recordemos que, en esta situacin, el espacio recorrido se relaciona con la velocidad y el tiempo por la frmula: e = v.t
Espacio recorrido
Velocidad con que
recorre el tramo
Tiempo que tarda en
recorrerlo
Primer tramo
3 v v3
Segundo tramo
2 v - 2 2 - v
2
DEFINICIN Dados dos polinomios P(x) y Q(x); Q(x) Op(x) llamaremos fraccin algebraica a toda
expresin de la forma Q(x)P(x)
.
La indeterminada x podr tomar aqu cualquier valor real siempre que dicho valor no anule al denominador.
EJEMPLOS
a) 2 x1 2x
2
3
++
b) 3 x ; 3 -x
x-
Como puedes observar toda expresin algebraica racional puede expresarse como cociente de polinomios.
-
74
EJEMPLO
1) -(x ; 1) -(x ) 1 -(x
; 1) -(x x
x 2x - x 223 +
x 0 ; x 1
A las fracciones ba
y r . b.r a
las
llamamos fracciones equivalentes.
Ejs: 2515
;106
; 53
son fracciones
equivalentes.
EJEMPLO Si x 0
2 x3 x
2x x x3 x
23
2
++
=++
Existe una gran similitud entre definiciones y operaciones entre fracciones algebraicas y nmeros fraccionarios.
Recordemos que: si a, b y r son nmeros reales b 0 y r 0 entonces:
ba
r . b.r a
=
En este caso decamos que habamos simplificado los factores comunes de la fraccin.
Simplificacin de fracciones algebraicas
DEFINICIN
Dada la fraccin algebraica Q(x)P(x)
; Q(x) Op(x).
Si P(x) y Q(x) son divisibles por el mismo polinomio d(x) entonces existen dos polinomios M(x) y N(x) tales que: P(x) = M(x) d(x) y Q(x) = N(x) d(x) con N(x) Op(x). Luego se verifica que:
N(x)M(x)
N(x).d(x)M(x).d(x)
Q(x)P(x)
==
En este caso diremos que N(x)M(x)
es una simplificacin de
la fraccin algebraica Q(x)P(x)
DEFINICIN
Dos fracciones algebraicas Q(x)P(x)
y N(x)M(x)
son equivalentes si una de ellas es la simplificacin de la otra.
-
75
EJEMPLO
Dadas las fracciones:1 -x 1 x
; x
3x 22
++; x0; x1
Para escribirlas con igual denominador buscamos fracciones equivalentes a las dadas con esa propiedad
23
24
2
222
23
2
22
x- x x x
x1) -(x x) 1 (x
1 -x 1 x
x- x3 -2x x
1) -(x x
1) -(x 3) (x
x) 3 (x
+=
+=
+
+=
+=
+
x 0 ; x 1
OBSERVACIN: Siguiendo el camino inverso podemos obtener una fraccin
equivalente a Q(x)P(x)
multiplicando numerador y denominador por un mismo polinomio
H(x) Op(x). Me parece que son las mismas operaciones de nmeros reales aplicadas a polinomios.
S, deberamos repasar el mdulo I
Algunas consideraciones sobre las operaciones con fracciones numricas y algebraicas.
Recordemos: Si a, b, c y d son nmeros reales, b 0,
d 0 y b d ; las fracciones dc
y ba
se
podan reducir a comn denominador considerando dos fracciones equivalentes con igual denominador.
b.da.d
ba
= d.bc.b
dc
=
Reduccin a comn denominador de fracciones algebraicas
DEFINICIN
Dadas las fracciones Q(x)P(x)
y N(x)M(x)
con Q(x) Op(x), N(x) Op(x) Las expresiones:
N(x) Q(x).N(x) P(x).
y N(x).Q(x)M(x).Q(x)
son
fracciones algebraicas equivalentes a las dadas con igual denominador. A Q(x) . N(x) se lo llama denominador comn.
Las fracciones algebraicas dadas fueron reducidas a comn denominador.
-
76
Suma y resta de fracciones algebraicas
Observacin: Aunque cualquier denominador comn es vlido, las operaciones resultarn ms sencillas si elegimos de todos los posibles denominadores comunes el de menor grado. A este denominador se lo llama mnimo comn denominador.
Regla prctica para hallar el mnimo comn denominador. Se factorizan los polinomios de los
denominadores. Se multiplican todos los factores
diferentes. Si existen dos factores con la misma base
y distinto exponente es suficiente tomar como factor aquel que tiene mayor exponente.
EJEMPLO Si debemos hallar el mnimo comn denominador de las fracciones algebraicas:
2
2
32 ) 1 -(x x3
; 1) - x ( x
2 -x ;
x1 x +
debemos tener en cuenta los factores x3 y (x 1)2 El mnimo comn denominador es:
x3 (x 1)2
Recordemos: Dadas las fracciones numricas
bc
y ba
qued definida:
bc a
bc
ba
=
Si las fracciones tienen distinto denominador, se deben escribir primero las fracciones con comn denominador y luego operar.
b.dcb a.d
d.bc.b
b.da.d
dc
ba ==
DEFINICIN Para sumar o restar dos o ms fracciones algebraicas se deben reducir todas a denominador comn y luego sumar o restar los polinomios de los numeradores.
Dadas N(x)M(x)
y Q(x)P(x)
;Q(x)Op(x); N(x) Op(x)
Q(x)N(x)M(x)Q(x)P(x)N(x)
N(x).Q(x)M(x).Q(x)
Q(x).N(x)P(x).N(x)
N(x)M(x)
Q(x)P(x)
=
==
EJEMPLO:
4029
40
5 24
8.51.5
5.83.8
81
53
=+
=+=+
EJEMPLO: Sea x 0 y x 1
23
24
2
222
2
x- x3 -2x x2 x
1)-(x x
1) (x x 1)-3)(x(x
1 -x 1x
x
3x
++=
=+++
=+
++
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