5. teorema fundamental: formulación y...

5. TEOREMA FUNDAMENTAL:

Formulación y Demostración

Jorge Eduardo Ortiz Triviño

jeortizt@unal.edu.co

http:/www.docentes.unal.edu.co/jeortizt/

1

CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN

2. VARIABLES ALEATORIAS

3. TEOREMA FUNDAMENTAL.

4. GENERADORES DE V.A.

5. GENERALIZACIÓN DELTEOREMA

FUNDAMENTAL.

6. GENERADORES DE VECTORES

ALEATORIOS.2

GENERADORES DE

VARIABLES ALEATORIAS

x a b a u 3

3. TEOREMA FUNDAMENTAL

Si Entonces

A. y 1. y

B. 2. XX F x

0,1U U 0,1XF X U

1

X XX F U F x

4

3. TEOREMA FUNDAMENTAL

Si Entonces

A. y 1. y

B. 2. XX F x

0,1U U 0,1XF X U

1

X XX F U F x

Verdadera aleatoriedad

Mundo ArtificialMundo Real

Aleatoriedad ficticia

5

Demostración :

1. Sea F una distribucíon contínua en R con

inversa F-1 definida por

2. Se debe mostrar que la estructura

probabilística de es la misma que la de

10,)(:inf)(1

uuxFxuF

X X

1

X XF x P X x P F u x

X U X XP U F x F F x F x 6

Observaciones al teorema :

1. La aleatoriedad ficticia se puede producir

mediante generadores de números

pseudoaleatorios.

2. La expresión se denomina

Función percentil.

3. La variable de estado sintética será la

misma variable de estado real cuando la

aleatoriedad ficticia sea verdadera.

1

XX F U

X

X

7

Observaciones al teorema :

1. En la práctica se emplea :

2. Se dice que la realización de “imita”

o “simula” una realización de .

3. El teorema es general puesto que al

trabajar con la Distribución no restringe a

ninguna variable ni a su naturaleza.

1

Xx F u

x

x

X

X

8

Relaciones entre funciones

• Las funciones de densidad, distribución y

percentil tienen la misma información.

Siempre es posible, en teoría, encontrar una

a partir de la otra.

X

f x X

F x

1

Xx F u

GeneradorDeX 9

Interpretación gráfica:

Caso continuo

x

x

f(x)

Dis

trib

ució

n u

niform

e X

F x

1

Xx F u

u

u

1

Xx F u 10

4. GENERADOR VARIABLE

ARTIFICIAL CONTINUA

La fisonomía del algoritmos generador para X

es:

1

_

;

;

;

m

X

Funcion Generador X

INICIO

u Aleatorio

x F u

RETORNAR x

FIN

11

12

Ejemplo 1.- Variable exponencial

La densidad exponencial viene dada por

y por tanto su distribución es

0 exp1

)(

x

xxf

0 exp1)()(

xx

dttfxFx

13

Ejemplo 1.- Variable exponencial

Así pues si U~U(0,1) entonces

Esto permite generar números que siguen una

distribución exponencial, si se dispone de

un número que siguen una distribución

uniforme en (0,1), es decir un número

aletorio.

1( ) ln(1 )XX F U U

Ejemplo 1.- Variable exponencial

*

*

;

ln 1 ;

;

Funcion GeneradorExponencial

INICIO

u Aleatorio

x u

RETORNAR x

FIN

14

Ejercicio: Distribución triangular

a b c x

f(x)

• Considere la variable aleatoria

que se presenta en la gráfica:

• Determine:

1. Su densidad.

2. Su Distribución.

3. Su media.

4. Su función percentil

5. Diseñe el generador de esa variable.

, ,X Tri a b c

15

Ejercicio: Distribución triangular

• Densidad :

• Distribución :

• Media :

2( )

( )( )

2( )( )

( )( )

0,

X

x aa x b

b a c a

c xf x b x c

c b c a

otro

3)(

cbaXE

2

2

0,

( )

( )( )( )

( )1

( )( )

1

X

x a

x aa x b

b a c aF x

c xb x c

c b c a

x c

16

Ejercicio: Distribución triangular

Función percentil, Aplicando el teorema fundamental

se obtiene :

0

( )

1 1

b aa b a c a u u

c aX u

b ac c b c a u u

c a

17

Ejercicio: Distribución triangular

Generador de

una variable

aleatoria :

,

;

;

1 ;

;

a b GeneradorTriangular a b c

INICIO

u Aleatorio

b aSI u ENTONCES

c a

INICIO

x a b a c a u

FIN

SINO

INICIO

x c c b c a u

FIN

RETORNAR x

FIN

, ,X Tri a b c

18

Interpretación gráfica:

Caso discreto

1

0

u

X

F x

X

F x

X

1

i Xx F u 19

20

Ejemplo 2.- Variable Uniforme

discreta

Distribución uniforme discreta en [1,k]. Se

desea generar números enteros entre 1 y k

de tal modo que todos tengan la misma

probabilidad. Para ello:

– Genere U ~ U(0,1).

– Haga X = kU + 1.

Entonces X tiene la distribución deseada. Este

método es más rápido que inversión.

4. GENERADOR

VARIABLE

ARTIFICIAL

DISCRETA

*

1

*

*

_

;

1;

;

1;

;

;

m

X

X i

i

Funcion Generador X

INICIO

u Aleatorio

i

F f x

MIENTRAS F u HACER

INICIO

i i

F F f x

FIN

RETORNAR x

FIN

21

Ejemplo: Distribución Binomial

,X Bin n p• Considere la variable aleatoria

diseñe su generador.

• Solución: La densidad binomial está dada por:

( , ) 1n xx

X

nf x n p p p

x

22

GENERADOR VARIABLE ARTIFICIAL

BINOMIAL

0,1,2, , , 0,1

;

0;

1 ;

1;

1 ;

;

n

n xx

n Funcion GeneradorBinomial n p

INICIO

u Aleatorio

x

F p

MIENTRAS F u HACER

INICIO

x x

nF F p p

x

FIN

RETORNAR x

FIN

23

Ejercicio: Distribución Geométrica

X Geom p• Considere la variable aleatoria

diseñe su generador.

• Solución:

24

VARIABLES SINTÉTICAS

TRUNCADAS

• Sea a partir de la cual se desea

simular la variable truncada:

• Claramente,

XX f x

,X a b

Y

X X

f y I xY g y

F b F a

X X

Y

X X

F y F aG y

F b F a

25

FUNCIÓN PERCENTIL

TRUNCADA

• Aplicando el teorema fundamental de la

simulación es fácil ver que:

• ¿Cómo queda el simulador para una

variable aleatoria truncada?

* * *

1

X X X Xy F F a F b F a u

26

GENERADOR VARIABLE

SINTÉTICA TRUNCADA

* * *

1

, _ ,

;

;

;

;

m

X X X

X

a b Funcion GeneradorTruncada Y a b

INICIO

u Aleatorio

F a F b F a u

y F

RETORNAR y

FIN

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EJEMPLO: GENERADOR

EXPONENCIAL TRUNCADA

, _ ,

;

1 ;

ln 1 ;

;

a a b

a b Funcion ExponencialTruncada Y a b

INICIO

u Aleatorio

e e e u

y

RETORNAR y

FIN

28

Dificultades:

1. En ocasiones es difícil (sino imposible)

encontrar analíticamente

2. En ocasiones es difícil (sino imposible)

“despejar” la variable

3. Una solución frecuente, aunque no es la

única posible, esta en emplear técnicas de

métodos numéricos para encontrar esa

información.

4. O (mejor) aplicar otros métodos que

produzcan los resultados esperados.

X

F x

x

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