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4. VARIABLES ALEATORIAS Y SUS PROPIEDADES

Dr. Edgar Acuñahttp://math.uprm.edu/~edgar

UNIVERSIDAD DE PUERTO RICORECINTO UNIVERSITARIO DE MAYAGUEZ

ESMA 4001 Edgar Acuña Universidad de Puerto Rico

4.1 Variables AleatoriasUna variable aleatoria es una funcion que asume sus valores de acuerdo a los

resultados de un experimento aleatorio. Usualmente se representa por lasúltimas letras del alfabeto: X, Y o Z. Una variable aleatoria X es unafunción cuyo dominio es el espacio muestral S y cuyo rango Rx, es unsubconjunto de los números reales.Ejemplos de variables aleatorias:

• X: La suma que aparece al lanzar un par de dados.• Y: El número de caras que aparecen al lanzar una moneda tres veces.• Z: El número de errores que se encuentran en la página de un libro. • T: El tiempo de vida de la componente de un sistema• W: El tiempo de espera para ser atendido en un banco

Ejemplo 2.1

De una caja que contiene 5 bolas numeradas del 1 al 5 se extraen 3 bolasuna por una y sin reposición. Entonces X: El mayor de los tres númerossacados, es una variable aleatoria.

El espacio muestral es:S = {(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,4,5), (2,3,4), (2,3,5),

(2,4,5), (3,4,5)}y la variable aleatoria X asume los valores: 3, 4 y 5. Por ejemplo,

( ) 44,3,2 =X

Si el rango de valores Rx de la variable aleatoria X es finito o infinito enumerable entonces se dice que es una variable aleatoria discreta. Si su rango de valores Rxes infinito no enumerable entonces se dice que es una variable aleatoria continua.

4.1.1. Función de probabilidad de unavariable aleatoria discreta

Si X es una variable aleatoria discreta con rango de valores Rxentonces, su función de probabilidad se define por:

p(x) = P[X = x], para todo x Rx

y tiene las siguientes propiedades:

• p(x) > 0 y• Σ p(x) = 1, x∈ Rx

Cuando Rx no contiene muchos valores es más conveniente expresarp(x) en una tabla de valores, la cual es llamada tabla de función deprobabilidad.

Ejemplo 2.2.Hallar la función de probabilidad de la variable aleatoria X del ejemplo 2.1.Solución: En este caso el rango de valores de X es Rx = {3, 4, 5} y lafunción de probabilidad esta dada en la siguiente tabla:

X P(x)

3 1/10

4 3/10

5 6/10

4.1.2. Función de distribución acumulativa

Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(x) y rango de valores Rx, entonces su función de distribución acumulativa se define por:

t es cualquier número real. En particular, si t es un valor que está en Rx , el cual consiste de enteros no negativos, entonces:

F(t) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) +…+ p(t)Ejemplo 2.3. Hallar la función de distribución acumulativa para el

Ejemplo 2.2.Solución:

∑=≤=≤tx

xptXPtF )()()(

x F(x)3 1/104 4/105 1

Distribucion acumulada(cont)La gráfica de una función de distribución acumulativa es no

decreciente y del tipo escalonado, con saltos en los puntos que están en el rango de valores y cuya magnitud es igual al valor de la función de probabilidad en dicho punto. Más formalmente tiene la siguiente propiedad:

Propiedad. La relación entre la función de distribución de probabilidad y la función de distribución acumulativa está dada por:

p(x) = F(x) - F(x-1)para todo valor de x en el rango de valores de la variable

aleatoria.

Distribucion acumulada(cont.)

0)()(lim1)()(lim=−∞=

−∞→

∞→

FbFFbF

4.1.3 Variables aleatorias continuas

Una variable aleatoria X se dice que es continua si existe una funcion no negativa f(x) definida para todo numero real en que satisface),( ∞−∞

∫=∈B

dxxfBxP )()(

Donde B es cualquier subconjunto de los numeros reales. La funcion f(x) es llamada la funcion de densidad de la variable aleatoria X.Notar que

1)()( ==∞≤≤−∞ ∫∞

∞−

dxxfxP

4.1.3 Variables aleatorias continuas

Si B es un intervalo [a,b], y f representa la funcion de densidad de X entonces

∫ ==≤≤b

xfdedebajoAreadxxfbxaP )()()(

Notar que lineaunadeareadxxfxxPxo

xoo ==== ∫ 0)()(

Tambien, si f(x) es cualquier funcion continua no negativa tal que

entoncesdensidaddefuncionunaes

cxfxg )()( =

∫∞

∞−

= dxxfc )(

Ejemplo 2.4

El promedio de graduacion de los estudiantes de una universidad es unavariable aleatoria continua con funcion de densidad

40)4()( ≤≤−= xparaxcxxf

y f(x)=0 en otro caso

a) Hallar el valor de cb) Un estudiante que se gradua con promedio 3.25 o mas recibe un

premio. Cual es la probabilidad de que esto ocurraSolucion:

32[)4()() 4

=⇒==−=−=∫∫∞

∞−

ccxxcdxxcxdxxfa

0923.9077.1]325.3)25.3(2[

323)4(

323)25.3()

32 =−=−−=−=−=> ∫

xxdxxxXPb

Variables aleatorias continuas (cont.)

Si f representa la funcion de densidad de la variable aletoira X entoncessu funcion de distribucion acumalativa esta dada por

∫∞−

dxxftF )()(

Teorema: f(x)=F’(x)

Prueba:

donde . Luego F’(x)=f(x).

)()()()()(

)()(lim)(0

εε fh

dttfdttf

hxFhxFxF

∫∫∫+

∞−

hxx +<<ε

Variables aleatorias continuas(cont.)

Si F representa la distribucion acumulativa de la v.a.c. X entoncesP(X>a)=1-F(a)

P(a<x<b)=F(b)-F(a)

Ejemplo 2.5: Si la variable aleatoria X tiene la siguiente funcion de densidad

1||||1)( ≤−= xsixxf

f(x)=0 si |x|>1

a) Hallar F(x) y graficarlab) Hallar P(.2<X<.6)c) Probar que como X es simetrica,P(-a<X<a)=2*F(a)-1

Ejemplo 2.5 (solucion)

⎪⎪⎪⎪

<≤−+=−+=−+

<≤−++=+=+

∫ −−

(21)1(

tttxxdxx

24.]02.2.5[.]18.6.5[.)2(.)6(.)6.2(.) =−+−−+=−=<< FFXPb

1)(2)](1[)()()()() −=−−=−−=<<− aFaFaFaFaFaXaPsimetriaPorc

Ejemplo 2.6

El numero de horas diarias que un nino vee television se considera como unavariable aleatoria con funcion de densidad

0)( >= − xsixexf x

f(x)=0 en otro caso

a) Hallar la distribucion acumulada de Xb) Hallar la probabilidad de que un nino vea mas de tres horas diariasde television Solucion:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−−=−−=

<= −−−−−∫ 01|)(

teteexedxxe

ttFa tttxx

1991.4]31[1)3(1)3() 333 ==−−−=−=> −−− eeeFXPb

4.1.4 Valor Esperado y Varianza deuna Variable Aleatoria Discreta

Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(x) yrango de valores Rx, entonces su Valor Esperado o Media se define comoel número:

La suma es sobre todos los valores x que están en Rx.

Propiedades del valor Esperado:a)E(X+c)=E(X)+cb)E(cX)=cE(X)c) E(X+Y)=E(X)+E(Y)d) E[g(X)]= . En particular, si g(x)=xk con k=1,2…, entonces

E(Xk)= , que es llamado el k-esimo momentode X

∑==x

xxpXE )()(μ

xpxg )()(∑

k xpx )(

G P(G) Gp(G)

500 1/1000 500/1000

100 2/1000 200/1000

0 997/1000 0

Ejemplo 2.7 Un juego consiste en acertar un número del 1 al 1000. A la persona que acierta el número se le da un premio de 500 dólares y a las dos personas que tienen el número que le antecede o precede se le dan 100 dólares. Si el boleto cuesta 1 dólar. ¿Cuál será la Ganancia Neta esperada de una persona que compra un boleto?Solución: La Ganancia Neta es igual a la ganancia por el premio recibido menos el costo del boleto.Sea G la ganancia por el premio recibido. Hallaremos primero la Ganancia Esperada:

Luego, la ganancia esperada por boleto será 700/1000 = 0.70. Así que la Ganancia Neta esperada será 0.70 - 1.00 = -0.30. Lo que significa que una persona pierde 30 centavos

Valor Esperado y Varianza de unaVariable Aleatoria Discreta (cont.)

La Varianza de una variable aleatoria discreta X con función deprobabilidad p(x) y media μ se define por:

Donde la suma es sobre todos los valores del rango de X.Propiedades:a) Var(a)=0b) Var(X+a)=Var(X)c) Var(aX)=a2Var(X)d)

La raiz cuadrada positiva de la varianza es llamada desviacion estandar y se representa por σ

∑ −=−== )()()()( 222 xpxXEXVAR μμσ

)(2)()(2)()2()()(

μμμ

μμμμμ

−=+−

=+−=+−=−=

XEXEXEXEXXEXEXVAR

Ejemplo 2.8. Hallar la media y varianza para la variable aleatoria del Ejemplo 2.1.

Solución:

Otra formas del calcular la varianza es σ2 = ∑x2p(x)-μ2.

x p(x) Xp(x) X-μ (x-u)2p(x)

3 1/10 .3 -1.5 .225

4 3/10 1.2 -0.5 .075

5 6/10 3.0 0.5 .15

μ=4.5 σ2=0.45

Ejemplo 2.9

Una caja contiene 2n bolas de n colores distintos con dos bolas de cada color. Se extraen al azar y con reemplazamiento bolas de la caja hasta que salgan dos bolas del mismo color. Sea X el numero de bolas extraidas.a) Hallar P(X>k) para k=2,3,….b) Hallar la funcion de probabilidad de Xc) Hallar el valor esperado de X.

Solucion: a) El evento [X>k] es equivalente a decir que entre las primeras k bolas hay una de cada color. Esto puede ocurrir de maneras. Las combinaciones son las maneras de elegir los colores distintos y k! son los distintos arreglos que se pueden hacer con los colores elegidos. Por otro lado hay nk maneras posibles de extraer las k bolas. Por lo tanto,

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

knknnkXP

)!(!)(

−=> para k=1,2,…..,n

Ejemplo 2.9 (cont.)

b) P(X=k)=F(k)-F(k-1)=(1-P(X>k))-(1-P(X>k-1))=P(X>k-1)-P(X>k)Usando los resultados de la parte a) se tiene

nknknkXP

nknnknn

nknnkXP

)!1()1(!)(

1[)!(!

)!1(!)( 11

+−−

−+−−

−+−

== −−

para k=2,3,….n+1. Notar que .Luego, 2

211 .....)( ppppkXP

knnn ++++==∑

1]1)!1(

1[!])!1(!

)(1[!)!1(

!.......!2

)2(!)1(!!

=−−

−+=−

−−

∑∑ ∑∑∑

Ejemplo 2.9 (cont)

......!3!2

!)!2(!.......

!2!!![1

)!(!1)()1()(

−++++++=

−+++++=

−+=>+>=

−−

= =∑ ∑

nknnkXPXPXE

Wel resultado anterior se puede simplificar mas usando el hechoque el n! se puede aproximar usando la formula de aproximacionde Stirling y la suma es una parte de la serie exponencial de en

4.1.5 Valor Esperado y Varianza deuna Variable Aleatoria continua

Si X es una variable aleatoria continua con funcion de densidad f, entoncessu media y varianza estan definidos por

∫∞

∞−

= dxxxfXE )()(

∫∞

∞−

−= dxxfxXVAR )()()( 2μ

Ejemplo 2.10

Hallar el valor esperado y varianza del ejemplo 2.4.Solucion:

4[323)]4(

323[)()( 4

=−=−== ∫∫∞

∞−

xxdxxxxdxxxfXE

El valor del promedio academico de graduacion que se espera es de 2.0

4)()()()( 222 −=−= XEXEXEXVar

5)32()4(3]

323)]4(

323[)()(

54222 ==−=−== ∫∫

∞−

xxdxxxxdxxfxXE

Luego, Var(X)=24/5-4=4/5=.8

Ejemplo 2.11

Hallar el valor esperado del ejemplo 2.6Solucion:

2)1(202|)(0

2 =+=+−==⋅= ∫∫ ∫∞

−∞−∞ ∞

−− dxxeexdxexdxxexXE xxxx

La ultima integral vale 1, porque representa el area total debajo de la funcion de densidad. Se espera que un nino mire television, 2 horassemanales

Ejemplo 2.12

Sea X un variable aleatoria discreta con rango de valores RX={0,1,….,n}. Entonces,

iiXPXE

Similarmente si X es una variable continua no negativa con funcion de distribucion acumulada F, entonces

∫∞

)](1[)( dxxFXE

Solo probaremos el caso continuo

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∞ ∞ ∞∞ ∞

−====0 0 0 0 0

)](1[)()()()(x

dttFdxdtxfdtdxxfdxxxfXE

La prueba basicamente se basa en el cambio en el orden de los limites de integracion

Desigualdad de Markov

Si 0≥X entonces aXEaXP )()( ≤≥ Para todo a>0

)()()()()()(0 0

aXaPdxxafdxxxfdxxxfdxxxfXEa

>≥≥+== ∫ ∫ ∫ ∫∞ ∞ ∞

Solo probaremos el caso continuo

La primera desigualdad se justifica porque el integrando de la primera integral es positivo y en la segunda integral x>a. Luego,

)()( aXPaXE

Desigualdad de Chebychev

Para cualquier variable aleatoria X, y cualquier k>0 se cumple que

1]|[|k

kXP ≤≥− σμ

En otras palabras, la probabilidad de que una variable aleatoria difiera de su media en mas de k veces su desviacion estandar es a lo mas 1/k2

La prueba de la desigualdad de Chebychev se obtiene aplicando la desigualdad de Markov a la variable nonegativa (X-μ)2 con a=k2σ2. Lo cual da

2222 )(])[(

σμσμ

kkXEkxP =−

≤>− De donde

1]|[|k

kxP ≤>− σμ

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