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CAPÍTULO III
3. Solución manual para ejemplificar el análisis matricial de armaduras por el
método de las rigideces.
3.1 Introducción
En este capítulo se describe la secuela de cálculo para el análisis matricial de armaduras por el
método de las rigideces y se aplica a la solución de tres ejemplos de distintos tipos de
armadura.
Como se había mencionado en el capítulo I, es de gran importancia que el usuario del
programa conozca el procedimiento manual para el análisis matricial de armaduras por el
método de las rigidices ya que el paquete no puede ser utilizado por una persona que no cuenta
con los conocimientos básicos.
Es recomendable que el usuario del programa analice cuidadosamente la secuela de
cálculo, ya que ésta es la base del procedimiento del análisis de armaduras por el método de las
rigideces, así como cada uno de los ejemplos que a continuación se presentan. Los ejemplos en
este capítulo están realizados paso a paso, cuidando que el procedimiento sea entendible y sin
dejar ningún paso de su realización.
Los ejemplos que aquí se consideran son cuatro distintos. El primero muestra una
armadura plana triangular equilátera, la que es muy sencilla de realizar. El segundo, tercer y
cuarto ejemplo son algo más complicados, para que así el usuario, al realizarlos, vaya apreciando
el aumento del grado de dificultad en cada uno de ellos.
29
3.2 Análisis estructural de armaduras
3.2.1 Secuela de cálculo para el análisis matricial de armaduras
Para el análisis matricial de armaduras, la secuela de cálculo por el método de las rigideces es
el que a continuación se presenta:
a) Descripción de la tipología de la armadura, esto es, posición de los nudos y orientación
de las barras.
b) Compilación de las propiedades geométricas y físicas de cada barra (longitud, área de la
sección transversal, módulo de elasticidad).
c) Determinación de la posición de cada barra con referencia al sistema global de
coordenadas.
d) Cálculo de la matriz de rigidez en referencia global de cada barra . [ ])(ij
k
e) Determinación de la matriz de rigidez estructural [ ]K .
f) Eliminación de los grados de libertad de cuerpo rígido { }dD a partir de las
condiciones de borde { }cD para así obtener la matriz de rigidez estructural reducida
que satisface la ecuación [ *K ] { } [ ] { }dc DKP *= .
g) Obtención de los desplazamientos conocidos a partir de la relación entre componentes
de carga conocidas con las de desplazamiento conocido, esto es: { } [ ] { }dc DKP *=
de donde: { } [ ] { }cd PKD1
*−
= .
h) Cálculo de las componentes de reacción a partir de la relación siguiente:
{ } [ ] { }dcdd DKP =
30
i) Verificación del equilibrio externo.
j) Obtención de la fuerza axial actuante sobre cada barra en referencia local (ec. 49)
( ) ( )[ ]θθ SenvvCosuuL
EAF ijijij −+−=)(
k) Verificación del equilibrio nodal interno.
3.2.2 Ejemplos de Aplicación
3.2.2.1 Ejemplo No. 1
Analizar la siguiente armadura plana triangular equilátera por el método de las rigideces:
Datos:
P
1 2
3
L
L
y
x
E, A, L constantes para todas las barras → .cteL
EA=
31
Solución:
Grado de hiperestaticidad:
( ) 03233333
≡−+=⎪⎭
⎪⎬
⎫
===
xnkbr
∴ es una estructura isostática.
La relación de rigidez para toda la armadura es:
{ } [ ] { }DKP =
donde { es el vector de acciones nodales externas, }P [ ]K la matriz de rigidez estructural de
la armadura y { el vector de desplazamientos nodales. Para la armadura en cuestión son:
siendo
}D
{ } { } { }RPP a += { }aP el vector de acciones nodales aplicadas, mientras que
es el vector de reacciones, dados por: { }R
{ }
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
0
00
00
P
P a
L
L
; { }
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
00
0
2
1
1
L
L
y
y
x
R
RR
R
con lo cual, el vector de acciones nodales { }P es:
32
{ }
{ }
{ }
{ }⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
0
0
2
1
1
3
3
2
2
1
1
3
2
1
P
R
RR
PP
PP
PP
P
P
P
Py
y
x
y
x
y
x
y
x
L
L
L
L
L
L
mientras que el vector de desplazamientos nodales { }D es:
{ }
{ }
{ }
{ }⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
3
3
2
3
3
2
2
1
1
3
2
1
0
00
vu
u
vu
vu
vu
D
D
D
D
L
L
L
L
L
L
Matriz de rigidez global para cada barra:
[ ][ ] [ ][ ] [ ] ⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=jjji
ijii
ij kk
kkk
)(
donde
[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=−=−==
2
2
SCSCSC
LEAkkkk jiijjjii
para lo que se conforma la siguiente tabla:
33
Barra θ Cos θ Sen θ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2
2
SCSCSC
LEA
1-2 0º 1 0 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡0001
LEA
1-3 60º 1/2 23 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43434341
LEA
2-3 120º -1/2 23 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
43434341
LEA
Por lo tanto:
[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=−=−==
0004
4)12(21)12(12)12(22)12(11 LEAkkkk
[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
=−=−==33
314)23(32)23(23)23(33)23(22 LEAkkkk
[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=−=−==
3331
4)13(31)13(13)13(33)13(11 LEAkkkk
Matriz de rigidez estructural
[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] ⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
333231
232221
131211
KKK
KKK
KKK
K
con
[ ] [ ] [ ])13(11)12(1111 kkK +=
[ ] [ 2222 kK = ]
34
[ ] [ ] [ ])23(33)13(3333 kkK +=
Matriz de rigidez estructural:
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++−−−−
+−+−−−
−+−
−−+−
−−++
−−−++
=
33333333
33113131
33303000
31301404
33003030
31043014
4
MMMMM
LMLMLMLMLML
MMMMM
LMLMLMLMLML
MMMMM
LMLMLMLMLML
MMMMM
LMLMLMLMLML
MMMMM
LMLMLMLMLML
MMMMM
LEAK
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
−−
−−−
−−
−−−
=
603333
023131
333300
313504
330033
310435
4
MMMMM
LMLMLMLMLML
MMMMM
LMLMLMLMLML
MMMMM
LMLMLMLMLML
MMMMM
LMLMLMLMLML
MMMMM
LMLMLMLMLML
MMMMM
LEAK
Relación de rigidez estructural:
{ } [ ] { }DKP =
35
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
−−−−−
−−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
3
2
2
1
1
0
00
603333023131
333300313504
330033310435
4
0
0
vu
uL
EA
P
R
RR
y
y
x
L
L
LLLLLL
LLLLLL
L
L
Esta relación contiene un conjunto de seis ecuaciones con seis incógnitas:
yyx RRR 211 ,, → reacciones
332 ,, vuu → desplazamientos
Cálculo de los desplazamientos nodales { }dD :
{ } [ ]{ }dc DKP *= ∴ { } [ ] { }cd PKD1
*−
=
{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
3
3
2
603021315
40
0
vuu
LEAPPc
por lo tanto, los desplazamientos son:
⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎫⎧ 21818Pu
xR1 ,
⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎣ −=
⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎣ −=
⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎣ −=
⎪⎭
⎪⎬
⎪⎩
⎪⎨
12349
4831694
4831694
3
3
2
EAPL
EAPL
PP
EAL
vu
Conocidos los desplazamientos pueden calcularse las reacciones en los apoyos
: yy RR 21 ,
36
Cálculo de las reacciones en los apoyos:
{ } { } [ ] { }dcdd DKRP ==
{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=483
16981
4
333330314
42
1
1
EAPL
LEA
RRR
P
y
y
x
d
⎫⎧ −⎫⎧ 1R
Verificación del equilibrio ex
P
3
( ) 00 ≡+−==∑ PPFx (cor
023
230 ≡+
−==∑ PPFy
⎪⎭
⎪⎬
⎪⎩
⎪⎨ −=
⎪⎭
⎪⎬
⎪⎩
⎪⎨
2323
2
1
1
PRR
y
y
x
terno:
P
L
/ 2 P 3 / 2 P
(L²- L²/4) = L 3 2
recto)
(correcto)
37
023
2301 ≡+
−==∑ PLPLM (correcto)
Fuerzas internas de cada barra
( ) ( )[ ]θθ SenvvCosuuL
EAF ijijij −+−=)(
Barra 1-2
( ) ( )[ ]θθ SenvvCosuuL
EAF 1212)12( −+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
EAPL
LEAF
2)12(
(Tracción)
2)12(
PF =
Barra 1-3
( ) ( )[ ]θθ SenvvCosuuL
EAF 1313)13( −+−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
230
123
210
49
)13(EAPL
LEAF
(Tracción) PF =)13(
Barra 2-3
( ) ( )[ ]θθ SenvvCosuuL
EAF 2323)23( −+−=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
230
123
21
21
49
)23(EAPL
LEAF
38
(Compresión) PF −=)23(
V
N
erificación del equilibrio interno
P
P
PP
P/2
1 2
3
3 / 2 P 3 / 2 P
udo 1
022≡++−=∑ PPPFx
023
23
≡−=∑ PPFy
39
P
3 / 2 P
P
P/2
1
Nudo 2
P
P/2
2
3 / 2 P
022≡+−=∑ PPFx
023
23
≡−=∑ PPFy
Nudo 3
P
PP
3
40
022
≡+−−=∑ PPPFx
023
23
≡−=∑ PPFy
3.2.2.2 Ejemplo No. 2
Para la armadura de la figura, para la que EA = cte, para todas las barras, obtener por el método
matricial de las rigideces lo siguiente:
a) Los desplazamientos de los nudos;
b) Las reacciones en los apoyos;
c) Las fuerzas axiales de todas las barras.
13
2
4
5
50 kN
10 m
2 @ 10 m = 20 m
41
Solución:
Diagrama de cuerpo libre:
1
32
4
5
50 kN
R1y R3y
R3x
R4x
E,A=cte
10 m
10 m 10 m
Vectores de acciones externas y desplazamientos nodales:
{ }
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
=
500
0
00
0
4
3
3
1
L
L
L
L
x
y
x
y
R
RR
R
P ; { }
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
5
5
4
2
2
1
0
00
0
vu
v
vu
u
D
L
L
L
L
42
Rigideces de las barras en referencia global:
[ ][ ] [ ][ ] [ ] ⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=jjji
ijii
ij kk
kkk
)(
donde
[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=−=−== 2
2
SCSCSC
LEAkkkk jiijjjii
para lo que se conforma la siguiente tabla:
Barra L (m) θ Cos θ Sen θ L
EA ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2
2
SCSCSC
LEA
1-2 10 0º 1 0 10EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡0001
10EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
0005
510EA
2-3 10 0º 1 0 10EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡0001
10EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
0005
510EA
3-4 10 90º 0 1 10EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1000
10EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡50
00510
EA
3-5 55 5
52−
55
55EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−51525254
55EA
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−4.08.08.06.1
510EA
2-5 5 90º 0 1 5
EA ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1000
5EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡520
00510
EA
1-5 55 5
52 55
55EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡51525254
55EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡4.08.08.06.1
510EA
5-4 55 5
52 55
55EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡51525254
55EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡4.08.08.06.1
510EA
43
44
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
5554535251
4544434241
3534333231
2524232221
1514131211
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
K
[ ] [ ])()( iji
iiii kK ∑=
Matriz de rigidez estructural:
; [ ] [ ])(ijijij kK =
[ ] [ ] [ ]
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +=+=
4.08.08.056.1
510)15(11)12(1111EAkkK
[ ] [ ] [ ] [ ]
⎥⎥⎦
⎤
520
⎢⎢⎣
⎡=++=
052
510)25(22)23(22)12(2222EAkkkK
[ ] [ ] [ ]
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−−+
=++=54.08.0
8.056.1510)34(33)35(33)23(3333
EAkkkK
[ ]
[ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++=
54.08.08.06.1
5(44)34(4444EAkkK
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
=10)54
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+=+++=
522.18.08.08.4
510)54(55)35(55)25(55)15(5555EAkkkkK
{ } [ ] { }DKP =
Relación de rigidez estructural:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−−−−−−−−−−
−−+−−−
−−+−−−+−
−−−
−−−−−+
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
− 5
5
4
2
2
1
4
3
3
1
0
00
0
522.18.04.08.04.08.05204.08.08.08.48.06.18.06.1008.06.1
4.08.054.08.05000008.06.18.06.1000000
4.08.05054.08.000008.06.1008.056.10500
52000005200000000505205
4.08.00000004.08.08.06.10000058.056.1
510
500
0
00
0
vu
v
vu
u
EA
R
RR
R
x
y
x
y
L
L
L
L
MMMM
MMMM
LLLLLLLMLLLLLLLLMLLLLLLLLMLLLLLLLLMLLLLLLL
MMMM
MMMM
LLLLLLLMLLLLLLLLMLLLLLLLLMLLLLLLLLMLLLLLLL
MMMM
MMMM
LLLLLLLMLLLLLLLLMLLLLLLLLMLLLLLLLLMLLLLLLL
MMMM
MMMM
LLLLLLLMLLLLLLLLMLLLLLLLLMLLLLLLLLMLLLLLL
MMMM
MMMM
L
L
L
L
45
Cálculo de los desplazamientos nodales:
{ } [ ]{ }dc DKP *= ∴ { } [ ] { }cd PKD1
*−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−−−−
−−+−
−−−−+
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
− 5
5
4
2
2
1
522.18.04.05208.08.08.48.0006.14.08.054.000052005200
00005258.06.100556.1
510
5000000
vuvvuu
EA
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−−−−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
53.125304.72
36.16853.1253
28.16356.326
1
5
5
4
2
2
1
EA
vuvvuu
Cálculo de las reacciones en los apoyos:
{ } { } [ ] { }dcdd DKRP ==
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−−−−
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
53.125304.72
36.16853.1253
28.16356.326
1
8.06.18.00004.08.05000
8.06.100504.08.00008.0
5104
3
3
1
EAEA
RRRR
x
y
x
y
kN
RRRR
x
y
x
y
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
672.33836.41672.33
164.8
4
3
3
1
46
Verificación del equilibrio externo:
1
32
4
5
50 kN
8.164 kN 41.836 kN
33.672 kN
33.672 kN
10 m
10 m 10 m
∑ ≡+−== 0672.33672.330xF
∑ ≡−+== 050836.41164.80yF
∑ ≡+−+−== 0)1050()10672.33()20164.8(03 xxxM
Fuerzas internas en las barras:
( ) ( )[ ]θθ SenvvCosuuL
EAF ijijij −+−=)(
( )[ ] ( ) kNEA
EAF 32.161156.32628.16310
)12( +=⋅−−−= (tensión)
47
( )( )[ ] [ ] kNEA
EAF 26.18155053.1253
55256.32601.72
55)15( −=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−−=
(compresión)
( )( )[ ] ( ){ } kNEA
EAF 32.161128.163010
)23( +=⋅−−= (tensión)
[ ] ( ){ } kNEA
EAF 01153.125353.12535
)25( =⋅−=
[ ] ( ){ } kNEA
EAF 84.161136.16810
)34( −=⋅−= (compresión)
[ ] ( ) kNEA
EAF 90.5515553.1253
552001.72
55)35( −=⋅
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−−= (compresión)
[ ] ( ) ( ) =⋅⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
EAEAF 1
5553.125336.168
55201.720
55)54(
kN65.37+ (tensión)
Resumen:
)(65.37
)(90.55
)(84.16
0
)(32.16
)(26.18
)(32.16
)54(
)35(
)34(
)25(
)23(
)15(
)12(
tensiónkNF
compresiónkNF
compresiónkNF
kNF
tensiónkNF
compresiónkNF
tensiónkNF
+=
−=
−=
=
+=
−=
+=
48
1
32
4
5
50 kN
8.164 kN 41.836 kN
33.672 kN
33.672 kN
16.32 kN 16.32 kN
18.26 kN
37.65 kN
55.90 kN
16.84 kN
0 kN
Verificación del equilibrio interno para el nudo 4:
0672.335
5265.370)4( ≡+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −==∑ xFx
084.165
565.370)4( ≡+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −==∑ xFy
3.2.2.3 Ejemplo No. 3
Obtener los desplazamientos de los nudos 1 a 4 y las fuerzas axiales de las barras de la
siguiente armadura mediante el método de las rigideces:
49
5 Tonf 5 Tonf
3 Tonf
3 m
3 m
3 m
Solución:
Diagrama de cuerpo libre:
5 Tonf 5 Tonf
3 Tonf
R5y R6y
R6xR5x
12
3 4
5 6
50
Vectores de acciones y desplazamientos nodales:
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
;
00
00
53
50
6
6
5
5
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
6
5
4
3
2
1
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
RR
RR
PP
PP
PP
PP
PP
PP
P
P
P
P
P
P
P
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
LL
LL
LL
LL
LL
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
00
00
4
4
3
3
2
2
1
1
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
6
5
4
3
2
1
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
LL
LL
LL
LL
LL
vu
vu
vu
vu
vu
vu
vu
vu
vu
vu
D
D
D
D
D
D
D
Matriz de rigidez global para las barras:
[ ][ ] [ ][ ] [ ] ⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=jjji
ijii
ij kk
kkk
)(
donde
[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=−=−== 2
2
SCSCSC
LEAkkkk jiijjjii
para lo que se conforma la siguiente tabla:
51
Barra L (m) θ Cos θ Sen θ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2
2
SCSCSC
LEA
1-2 3 0º 1 0 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡0001
3EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡0004
12EA
3-4 3 0º 1 0 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡0001
3EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡0004
12EA
1-3 3 270º 0 -1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1000
3EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡4000
12EA
2-4 3 270º 0 -1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1000
3EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡4000
12EA
3-5 3 270º 0 -1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1000
3EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡4000
12EA
4-6 3 270º 0 -1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1000
3EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡4000
12EA
1-4 23 315º 22 22− ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−21212121
23EA
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
2222
12EA
3-6 23 315º 22 22− ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−21212121
23EA
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
2222
12EA
2-3 23 225º 22− 22− ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡21212121
23EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2222
12EA
4-5 23 225º 22− 22− ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡21212121
23EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2222
12EA
52
[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=−==
0004
12)12(12
)12(22
)12(11
EAkkk
[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=−==
0004
12)34(34
)34(44
)34(33
EAkkk
[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=−==
4000
12)13(13
)13(33
)13(11
EAkkk
[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=−==
4000
12)24(24
)24(44
)24(22
EAkkk
[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=−==
4000
12)35(35
)35(55
)35(33
EAkkk
[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=−==
4000
12)46(46
)46(66
)46(44
EAkkk
[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
=−==2222
12)14(14
)14(44
)14(11
EAkkk
[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
=−==2222
12)36(36
)36(66
)36(33
EAkkk
[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=−==
2222
12)23(23
)23(33
)23(22
EAkkk
[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=−==
2222
12)45(45
)45(55
)45(44
EAkkk
53
54
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
K
[ ] [ ])()( iji
iiii kK ∑=
Matriz de rigidez estructural:
; [ ] [ ])(ijijij kK =
[ ] [ ] [ ] [ ]
Submatrices de la diagonal principal de la matriz de rigidez estructural:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎡
+−−+
=++=242
2241214(
11)13(
11)12(
1111EAkkkK
[ ] [ ] [ ] [ ]
⎣)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
=++=242
22412)23(
22)24(
22)12(
2222EAkkkK
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] ( )( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +=+++=
2022
12)35(33
)36(33
)23(33
)34(33
)13(3333
EAkkkkkK
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
+4202
( )( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +=++=
24200222
12)45(44
)14(44
)46(4444
)24(4444
EAkkkkkK
[ ] [ ]+
+)34(
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++=
24222
55)35(
5555EAkkK
[ ] [ ] [ ]
=12)45(
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−−
=+=242
221266
)36(6666
EAkkK)46(
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−−−−
+−−−
−−
−−−+−−
−−+−−
−−+−−−
−−+−−
−−−+−−+−
−−+−−−−+
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
00
00
2420040220000220000220000
0024222400000002222000000
4022)24(2000402200220)22(2040022
224000)24(2022402200040)22(22200
00004022242000000002222404
00002240002420000220004224
12
00
00
53
50
4
4
3
3
2
2
1
1
6
6
5
5
L
L
L
L
L
MMMMM
MMMMM
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
MMMMM
MMMMM
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
MMMMM
MMMMM
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
MMMMM
MMMMM
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
MMMMM
MMMMM
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
MMMMM
MMMMM
L
L
L
L
L
vu
vu
vu
vu
EA
RR
RR
x
x
y
x
55
Relación de rigidez:
Cálculo de desplazamientos nodales:
{ } [ ]{ }dc DKP *= ∴ { } [ ] { }cd PKD1
*−
=
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−
+−−
+−−−
−+−−
−−−+
−−+−
−−+−
−−−+
=
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
4
4
3
3
2
2
1
1
)24(20004022
0)22(2040022
00)24(202240
040)22(22200
402224200
002222404
224000242
220004224
12
00005
35
0
vuvuvuvu
EA
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
=
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
=
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
298.25984.28
699.1471.23492.42
863.73495.6041.67
1
108.2415.2142.0956.1541.3
155.6541.0
587.5
12
4
4
3
3
2
2
1
1
EAEA
vuvuvuvu
Cálculo de las reacciones en los apoyos:
{ } { } [ ] { }dcdd DKRP ==
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−−−
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
108.2415.2142.0956.1541.3
155.6541.0
587.5
12
4022000000220000
2240000022000000
12
6
6
5
5
EAEA
RRRR
y
x
y
x
56
Tonf
RRRR
y
x
y
x
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−−−
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
000.11566.2000.1434.0
6
6
5
5
Verificación del equilibrio externo:
5 Tonf 5 Tonf
3 Tonf
1.0 Tonf 11.0 Tonf
2.566 Tonf
12
3 4
5 6
0.434 Tonf
∑ ≡−−== 0434.0566.230xF
∑ ≡+−−−== 0111550yF
( ) ( ) ( ) 035633106 ≡+−+== xxxM
57
Cálculo de las fuerzas internas de las barras:
( )[ ] TonfEA
EAF 274.2041.67863.7313)12( +=−⋅= (tensión)
( )[ ] TonfEA
EAF 834.1471.23984.2813)34( +=−⋅= (tensión)
( ) ( )[ ] TonfEA
EAF 731.21495.6699.113)13( −=−+⋅= (compresión)
( ) ( )[ ] TonfEA
EAF 731.51492.42298.2513)24( −=−+−⋅= (compresión)
( ) ( )[ ] TonfEA
EAF 566.01699.1013)35( +=−−⋅= (tensión)
( ) ( )[ ] TonfEA
EAF 433.81298.25013)46( −=−+⋅= (compresión)
( ) ( )[ ] TonfEA
EAF 209.3495.6298.25041.67894.2816)14( −=+−−−⋅= (compresión)
( ) ( ) ( )[ ] TonfEA
EAF 629.31699.10471.23016)36( −=−−+−⋅= (compresión)
( ) ( )[ ] TonfEA
EAF 034.1492.42699.1863.73471.2316)23( +=++−⋅= (tensión)
( ) ( )[ ] TonfEA
EAF 614.0298.250894.28016)45( +=++−⋅= (tensión)
Resumen:
TonfF
TonfF
TonfF
TonfF
TonfF
566.0
731.5
731.2
834.1
274.2
)35(
)24(
)13(
)34(
)12(
+=
−=
−=
+=
+=
TonfF
TonfF
TonfF
TonfF
TonfF
614.0
034.1
629.3
209.3
433.8
)45(
)23(
)36(
)14(
)46(
+=
+=
−=
−=
−=
58
5 5
3
1.0 11.0
2.566
12
3 4
5 6
0.434
2.274
1.834
2.731 5.731
1.034
3.204
0.566 8.4333.629
0.614
(Tonf)
59
3.2.2.4 Ejemplo No. 4
Para la armadura de la figura, obtener por el método matricial de las rigideces lo siguiente:
1) Los desplazamientos de los nudos;
2) Las reacciones en los apoyos;
3) Las fuerzas axiales de todas las barras.
5 m
5 m
5 Tonf
4A, 2
E4A, 2E
2E, A
2E, A
2E, A
1
32
42E, A
10 Tonf
Solución:
Diagrama de cuerpo libre:
60
5 m
5 m
5 Tonf
4A, 2
E
4A, 2E
2E, A
2E, A
2E, A
1
32
4
10 Tonf
R4xR1x
R1y R4y
Vectores de acciones y desplazamientos nodales:
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
;
05
100
4
4
1
1
4
4
3
3
2
2
1
1
4
3
2
1
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
RR
RR
PP
PP
PP
PP
P
P
P
P
P
K
K
K
K
K
K
KK
KK
KK
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
;
00
00
3
3
2
2
4
4
3
3
2
2
1
1
4
3
2
1
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
K
K
K
K
K
K
KK
KK
KK
vu
vu
vu
vu
vu
vu
D
D
D
D
D
61
Matriz de rigidez global para las barras:
[ ][ ] [ ][ ] [ ] ⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=jjji
ijii
ij kk
kkk
)(
donde
[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=−=−== 2
2
SCSCSC
LEAkkkk jiijjjii
para lo que se conforma la siguiente tabla:
Barra L (m) θ Cos θ Sen θ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2
2
SCSCSC
LEA
(1) 1-2 5 90º 0 1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1000
52EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡4.00
00EA
(2) 2-3 5 0º 1 0 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡0001
52EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡0004.0
EA
(3) 3-4 5 270º 0 -1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1000
52EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡4.00
00EA
(4) 1-4 5 180º -1 0 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡0001
52EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡0004.0
EA
(5) 1-3 7.0711 0.70711 0.70711 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡5.05.05.05.0
0711.78EA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡5657.05657.05657.05657.0
EA
(6) 2-4 7.0711 0.70711 -0.70711 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−5.05.05.05.0
0711.78EA
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−5657.05657.05657.05657.0
EA
62
[ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−=−==
4.0000
)12(21
)12(12
)12(22
)12(11 EAkkkk
[ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−=−==
0004.0
)23(32
)23(23
)23(33
)23(22 EAkkkk
[ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−=−==
4.0000
)34(43
)34(34
)34(44
)34(33 EAkkkk
[ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−=−==
0004.0
)14(41
)14(14
)14(44
)14(11 EAkkkk
[ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−=−==
5657.05657.05657.05657.0
)13(31
)13(13
)13(33
)13(11 EAkkkk
[ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=−=−==
5657.05657.05657.05657.0
)24(42
)24(24
)24(44
)24(22 EAkkkk
Matriz de rigidez estructural:
[ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] ⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
44434241
34333231
24232221
14131211
KKKKKKKKKKKKKKKK
K
[ ] [ ])()( iji
iiii kK ∑= ; [ ] [ ])(ijijij kK =
Submatrices de la diagonal principal de la matriz de rigidez estructural:
[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=++=
9657.5657.05657.09657.0
)14(11
)13(11
)12(1111 EAkkkK
[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
=++=9657.5657.0
5657.09657.0)24(
22)23(
22)12(
2222 EAkkkK
63
[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=++=
9657.5657.05657.09657.0
)34(33
)13(33
)23(3333 EAkkkK
[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
=++=9657.5657.0
5657.09657.0)24(
44)14(
44)34(
4444 EAkkkK
Relación de rigidez:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
00
00
9657.05657.04.005657.05657.0005657.09657.0005657.05657.004.0
4.009657.05657.0005657.05657.0005657.09657.004.05657.05657.0
5657.05657.0009657.05657.04.005657.05657.004.05657.09657.000
005657.05657.04.009657.05657.004.05657.05657.0005657.09657.0
05
100
3
3
2
2
4
4
1
1
L
L
L
MMM
MMM
LLLLLLMLLLLLLMLLLLLLMLLLLLL
MMM
MMM
LLLLLLMLLLLLLMLLLLLLMLLLLLL
MMM
MMM
LLLLLLMLLLLLLMLLLLLLMLLLLLL
MMM
MMM
L
L
L
vu
vu
EA
RR
RR
y
x
y
x
Cálculo de desplazamientos nodales:
{ } [ ]{ }dc DKP *= ∴ { } [ ] { }cd PKD1
*−
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧−
3
3
2
2
9657.05657.0005657.09657.004.0
009657.05657.004.05657.09657.0
05
100
vu
vu
EA L
M
M
LLLLLLMLLLLLL
M
M
L
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−−
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
0023.24181.3
5023.140795.7
1
3
3
2
2
LLLLEA
vu
vu
64
Cálculo de las reacciones en los apoyos:
{ } { } [ ] { }dcdd DKRP ==
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−−−
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
0023.24181.3
5023.140795.7
1
4.005657.05657.0005657.05657.0
5657.05657.04.005657.05657.000
4
4
1
1
LLL
M
M
LLLLLLMLLLLLL
M
M
LEA
EA
RR
RR
y
x
y
x
Tonf
RR
RR
y
x
y
x
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
51991.4
58009.0
4
4
1
1
LLLL
Verificación del equilibrio externo:
5 Tonf
1
32
4
10 Tonf
-4.1991 Tonf-0.8009 Tonf
5 Tonf 5 Tonf
051991.48009.0 =+−−=∑Fx
01055 =−+=∑Fy
65
Cálculo de fuerzas internas en las barras:
( ) ( )[ ]θθ SenvvCosuuL
EAF ijijij −+−=)(
[ ] ( ) )(8009.51105023.145
2)12( compresiónTonf
EAEAF −=⋅−−=
( )[ ] ( ) )(1990.4110795.74181.35
2)23( tensiónTonf
EAEAF =⋅−−=
( )[ ] ( ) )(8009.0110023.205
2)34( compresiónTonf
EAEAF −=⋅−−−=
0)14( =F
[ ] ( ) [ ] ( ) )(1326.117071.00023.27071.04181.30711.7
8)13( tensiónTonf
EAEAF =⋅−+=
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) =⋅−−−+−−=EA
EAF 170711.05023.14070711.00795.700711.7
8)24(
)(9382.5 CompresiónTonf−=
Resumen:
)(9382.5
)(1326.1
0
)(8009.0
)(1990.4
)(8009.5
)24(
)13(
)14(
)34(
)23(
)12(
CompresiónTonfF
TensiónTonfF
F
CompresiónTonfF
TensiónTonfF
CompresiónTonfF
−=
=
=
−=
=
−=
66
5
1
32
4
10
-4.1991 -0.8009
5 5
-5.8009 -0.8009
4.1990
1.132
6
-5.9382
(Tonf )
67
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