3. solución manual para ejemplificar el análisis matricial...

CAPÍTULO III

3. Solución manual para ejemplificar el análisis matricial de armaduras por el

método de las rigideces.

3.1 Introducción

En este capítulo se describe la secuela de cálculo para el análisis matricial de armaduras por el

método de las rigideces y se aplica a la solución de tres ejemplos de distintos tipos de

armadura.

Como se había mencionado en el capítulo I, es de gran importancia que el usuario del

programa conozca el procedimiento manual para el análisis matricial de armaduras por el

método de las rigidices ya que el paquete no puede ser utilizado por una persona que no cuenta

con los conocimientos básicos.

Es recomendable que el usuario del programa analice cuidadosamente la secuela de

cálculo, ya que ésta es la base del procedimiento del análisis de armaduras por el método de las

rigideces, así como cada uno de los ejemplos que a continuación se presentan. Los ejemplos en

este capítulo están realizados paso a paso, cuidando que el procedimiento sea entendible y sin

dejar ningún paso de su realización.

Los ejemplos que aquí se consideran son cuatro distintos. El primero muestra una

armadura plana triangular equilátera, la que es muy sencilla de realizar. El segundo, tercer y

cuarto ejemplo son algo más complicados, para que así el usuario, al realizarlos, vaya apreciando

el aumento del grado de dificultad en cada uno de ellos.

29

3.2 Análisis estructural de armaduras

3.2.1 Secuela de cálculo para el análisis matricial de armaduras

Para el análisis matricial de armaduras, la secuela de cálculo por el método de las rigideces es

el que a continuación se presenta:

a) Descripción de la tipología de la armadura, esto es, posición de los nudos y orientación

de las barras.

b) Compilación de las propiedades geométricas y físicas de cada barra (longitud, área de la

sección transversal, módulo de elasticidad).

c) Determinación de la posición de cada barra con referencia al sistema global de

coordenadas.

d) Cálculo de la matriz de rigidez en referencia global de cada barra . [ ])(ij

k

e) Determinación de la matriz de rigidez estructural [ ]K .

f) Eliminación de los grados de libertad de cuerpo rígido { }dD a partir de las

condiciones de borde { }cD para así obtener la matriz de rigidez estructural reducida

que satisface la ecuación [ *K ] { } [ ] { }dc DKP *= .

g) Obtención de los desplazamientos conocidos a partir de la relación entre componentes

de carga conocidas con las de desplazamiento conocido, esto es: { } [ ] { }dc DKP *=

de donde: { } [ ] { }cd PKD1

*−

= .

h) Cálculo de las componentes de reacción a partir de la relación siguiente:

{ } [ ] { }dcdd DKP =

30

i) Verificación del equilibrio externo.

j) Obtención de la fuerza axial actuante sobre cada barra en referencia local (ec. 49)

( ) ( )[ ]θθ SenvvCosuuL

EAF ijijij −+−=)(

k) Verificación del equilibrio nodal interno.

3.2.2 Ejemplos de Aplicación

3.2.2.1 Ejemplo No. 1

Analizar la siguiente armadura plana triangular equilátera por el método de las rigideces:

Datos:

P

1 2

3

L

L

y

x

E, A, L constantes para todas las barras → .cteL

EA=

31

Solución:

Grado de hiperestaticidad:

( ) 03233333

≡−+=⎪⎭

⎪⎬

⎫

===

xnkbr

∴ es una estructura isostática.

La relación de rigidez para toda la armadura es:

{ } [ ] { }DKP =

donde { es el vector de acciones nodales externas, }P [ ]K la matriz de rigidez estructural de

la armadura y { el vector de desplazamientos nodales. Para la armadura en cuestión son:

siendo

}D

{ } { } { }RPP a += { }aP el vector de acciones nodales aplicadas, mientras que

es el vector de reacciones, dados por: { }R

{ }

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

0

00

00

P

P a

L

L

; { }

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

00

0

2

1

1

L

L

y

y

x

R

RR

R

con lo cual, el vector de acciones nodales { }P es:

32

{ }

{ }

{ }

{ }⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

0

0

2

1

1

3

3

2

2

1

1

3

2

1

P

R

RR

PP

PP

PP

P

P

P

Py

y

x

y

x

y

x

y

x

L

L

L

L

L

L

mientras que el vector de desplazamientos nodales { }D es:

{ }

{ }

{ }

{ }⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

3

3

2

3

3

2

2

1

1

3

2

1

0

00

vu

u

vu

vu

vu

D

D

D

D

L

L

L

L

L

L

Matriz de rigidez global para cada barra:

[ ][ ] [ ][ ] [ ] ⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=jjji

ijii

ij kk

kkk

)(

donde

[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=−=−==

2

2

SCSCSC

LEAkkkk jiijjjii

para lo que se conforma la siguiente tabla:

33

Barra θ Cos θ Sen θ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2

2

SCSCSC

LEA

1-2 0º 1 0 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0001

LEA

1-3 60º 1/2 23 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

43434341

LEA

2-3 120º -1/2 23 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

43434341

LEA

Por lo tanto:

[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=−=−==

0004

4)12(21)12(12)12(22)12(11 LEAkkkk

[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

=−=−==33

314)23(32)23(23)23(33)23(22 LEAkkkk

[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=−=−==

3331

4)13(31)13(13)13(33)13(11 LEAkkkk

Matriz de rigidez estructural

[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] ⎥⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

333231

232221

131211

KKK

KKK

KKK

K

con

[ ] [ ] [ ])13(11)12(1111 kkK +=

[ ] [ 2222 kK = ]

34

[ ] [ ] [ ])23(33)13(3333 kkK +=

Matriz de rigidez estructural:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−−−−

+−+−−−

−+−

−−+−

−−++

−−−++

=

33333333

33113131

33303000

31301404

33003030

31043014

4

MMMMM

LMLMLMLMLML

MMMMM

LMLMLMLMLML

MMMMM

LMLMLMLMLML

MMMMM

LMLMLMLMLML

MMMMM

LMLMLMLMLML

MMMMM

LEAK

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

−−

−−−

−−

−−−

=

603333

023131

333300

313504

330033

310435

4

MMMMM

LMLMLMLMLML

MMMMM

LMLMLMLMLML

MMMMM

LMLMLMLMLML

MMMMM

LMLMLMLMLML

MMMMM

LMLMLMLMLML

MMMMM

LEAK

Relación de rigidez estructural:

{ } [ ] { }DKP =

35

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

−−−−−

−−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

3

2

2

1

1

0

00

603333023131

333300313504

330033310435

4

0

0

vu

uL

EA

P

R

RR

y

y

x

L

L

LLLLLL

LLLLLL

L

L

Esta relación contiene un conjunto de seis ecuaciones con seis incógnitas:

yyx RRR 211 ,, → reacciones

332 ,, vuu → desplazamientos

Cálculo de los desplazamientos nodales { }dD :

{ } [ ]{ }dc DKP *= ∴ { } [ ] { }cd PKD1

*−

=

{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

3

3

2

603021315

40

0

vuu

LEAPPc

por lo tanto, los desplazamientos son:

⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎫⎧ 21818Pu

xR1 ,

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −=

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −=

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

12349

4831694

4831694

3

3

2

EAPL

EAPL

PP

EAL

vu

Conocidos los desplazamientos pueden calcularse las reacciones en los apoyos

: yy RR 21 ,

36

Cálculo de las reacciones en los apoyos:

{ } { } [ ] { }dcdd DKRP ==

{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=483

16981

4

333330314

42

1

1

EAPL

LEA

RRR

P

y

y

x

d

⎫⎧ −⎫⎧ 1R

Verificación del equilibrio ex

P

3

( ) 00 ≡+−==∑ PPFx (cor

023

230 ≡+

−==∑ PPFy

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨ −=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

2323

2

1

1

PRR

y

y

x

terno:

P

L

/ 2 P 3 / 2 P

(L²- L²/4) = L 3 2

recto)

(correcto)

37

023

2301 ≡+

−==∑ PLPLM (correcto)

Fuerzas internas de cada barra



Barra 1-2


EAF 1212)12( −+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

EAPL

LEAF

2)12(

(Tracción)

2)12(

PF =

Barra 1-3


EAF 1313)13( −+−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

230

123

210

49

)13(EAPL

LEAF

(Tracción) PF =)13(

Barra 2-3


EAF 2323)23( −+−=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

230

123

21

21

49

)23(EAPL

LEAF

38

(Compresión) PF −=)23(

V

N

erificación del equilibrio interno

P

P

PP

P/2

1 2

3

3 / 2 P 3 / 2 P

udo 1

022≡++−=∑ PPPFx

023

23

≡−=∑ PPFy

39

P

3 / 2 P

P

P/2

1

Nudo 2

P

P/2

2

3 / 2 P

022≡+−=∑ PPFx

023

23

≡−=∑ PPFy

Nudo 3

P

PP

3

40

022

≡+−−=∑ PPPFx

023

23

≡−=∑ PPFy


Para la armadura de la figura, para la que EA = cte, para todas las barras, obtener por el método

matricial de las rigideces lo siguiente:

a) Los desplazamientos de los nudos;

b) Las reacciones en los apoyos;

c) Las fuerzas axiales de todas las barras.

13

2

4

5

50 kN

10 m

2 @ 10 m = 20 m

41

Solución:

Diagrama de cuerpo libre:

1

32

4

5

50 kN

R1y R3y

R3x

R4x

E,A=cte

10 m

10 m 10 m

Vectores de acciones externas y desplazamientos nodales:

{ }

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

=

500

0

00

0

4

3

3

1

L

L

L

L

x

y

x

y

R

RR

R

P ; { }

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

5

5

4

2

2

1

0

00

0

vu

v

vu

u

D

L

L

L

L

42

Rigideces de las barras en referencia global:

[ ][ ] [ ][ ] [ ] ⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=jjji

ijii

ij kk

kkk

)(

donde

[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=−=−== 2

2

SCSCSC

LEAkkkk jiijjjii


Barra L (m) θ Cos θ Sen θ L

EA ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2

2

SCSCSC

LEA

1-2 10 0º 1 0 10EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡0001

10EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

0005

510EA

2-3 10 0º 1 0 10EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡0001

10EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

0005

510EA

3-4 10 90º 0 1 10EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1000

10EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡50

00510

EA

3-5 55 5

52−

55

55EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−51525254

55EA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−4.08.08.06.1

510EA

2-5 5 90º 0 1 5

EA ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1000

5EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡520

00510

EA

1-5 55 5

52 55

55EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡51525254

55EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡4.08.08.06.1

510EA

5-4 55 5

52 55

55EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡51525254

55EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡4.08.08.06.1

510EA

43

44

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

5554535251

4544434241

3534333231

2524232221

1514131211

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

K

[ ] [ ])()( iji

iiii kK ∑=


; [ ] [ ])(ijijij kK =

[ ] [ ] [ ]

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +=+=

4.08.08.056.1

510)15(11)12(1111EAkkK

[ ] [ ] [ ] [ ]

⎥⎥⎦

⎤

520

⎢⎢⎣

⎡=++=

052

510)25(22)23(22)12(2222EAkkkK

[ ] [ ] [ ]

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−+

=++=54.08.0

8.056.1510)34(33)35(33)23(3333

EAkkkK

[ ]

[ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++=

54.08.08.06.1

5(44)34(4444EAkkK

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

=10)54

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+=+++=

522.18.08.08.4

510)54(55)35(55)25(55)15(5555EAkkkkK

{ } [ ] { }DKP =

Relación de rigidez estructural:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−−−−−−−−−

−−+−−−

−−+−−−+−

−−−

−−−−−+

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

− 5

5

4

2

2

1

4

3

3

1

0

00

0

522.18.04.08.04.08.05204.08.08.08.48.06.18.06.1008.06.1

4.08.054.08.05000008.06.18.06.1000000

4.08.05054.08.000008.06.1008.056.10500

52000005200000000505205

4.08.00000004.08.08.06.10000058.056.1

510

500

0

00

0

vu

v

vu

u

EA

R

RR

R

x

y

x

y

L

L

L

L

MMMM

MMMM

LLLLLLLMLLLLLLLLMLLLLLLLLMLLLLLLLLMLLLLLLL

MMMM

MMMM


MMMM

MMMM


MMMM

MMMM

LLLLLLLMLLLLLLLLMLLLLLLLLMLLLLLLLLMLLLLLL

MMMM

MMMM

L

L

L

L

45

Cálculo de los desplazamientos nodales:

{ } [ ]{ }dc DKP *= ∴ { } [ ] { }cd PKD1

*−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−−−

−−+−

−−−−+

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

− 5

5

4

2

2

1

522.18.04.05208.08.08.48.0006.14.08.054.000052005200

00005258.06.100556.1

510

5000000

vuvvuu

EA

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−−−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

53.125304.72

36.16853.1253

28.16356.326

1

5

5

4

2

2

1

EA

vuvvuu


{ } { } [ ] { }dcdd DKRP ==

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−−−−

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

53.125304.72

36.16853.1253

28.16356.326

1

8.06.18.00004.08.05000

8.06.100504.08.00008.0

5104

3

3

1

EAEA

RRRR

x

y

x

y

kN

RRRR

x

y

x

y

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

672.33836.41672.33

164.8

4

3

3

1

46

Verificación del equilibrio externo:

1

32

4

5

50 kN

8.164 kN 41.836 kN

33.672 kN

33.672 kN

10 m

10 m 10 m

∑ ≡+−== 0672.33672.330xF

∑ ≡−+== 050836.41164.80yF

∑ ≡+−+−== 0)1050()10672.33()20164.8(03 xxxM

Fuerzas internas en las barras:



( )[ ] ( ) kNEA

EAF 32.161156.32628.16310

)12( +=⋅−−−= (tensión)

47

( )( )[ ] [ ] kNEA

EAF 26.18155053.1253

55256.32601.72

55)15( −=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−=

(compresión)

( )( )[ ] ( ){ } kNEA

EAF 32.161128.163010

)23( +=⋅−−= (tensión)

[ ] ( ){ } kNEA

EAF 01153.125353.12535

)25( =⋅−=

[ ] ( ){ } kNEA

EAF 84.161136.16810

)34( −=⋅−= (compresión)

[ ] ( ) kNEA

EAF 90.5515553.1253

552001.72

55)35( −=⋅

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−= (compresión)

[ ] ( ) ( ) =⋅⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

EAEAF 1

5553.125336.168

55201.720

55)54(

kN65.37+ (tensión)

Resumen:

)(65.37

)(90.55

)(84.16

0

)(32.16

)(26.18

)(32.16

)54(

)35(

)34(

)25(

)23(

)15(

)12(

tensiónkNF

compresiónkNF

compresiónkNF

kNF

tensiónkNF

compresiónkNF

tensiónkNF

+=

−=

−=

=

+=

−=

+=

48

1

32

4

5

50 kN

8.164 kN 41.836 kN

33.672 kN

33.672 kN

16.32 kN 16.32 kN

18.26 kN

37.65 kN

55.90 kN

16.84 kN

0 kN

Verificación del equilibrio interno para el nudo 4:

0672.335

5265.370)4( ≡+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −==∑ xFx

084.165

565.370)4( ≡+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −==∑ xFy


Obtener los desplazamientos de los nudos 1 a 4 y las fuerzas axiales de las barras de la

siguiente armadura mediante el método de las rigideces:

49

5 Tonf 5 Tonf

3 Tonf

3 m

3 m

3 m

Solución:


5 Tonf 5 Tonf

3 Tonf

R5y R6y

R6xR5x

12

3 4

5 6

50

Vectores de acciones y desplazamientos nodales:

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

;

00

00

53

50

6

6

5

5

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

6

5

4

3

2

1

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

RR

RR

PP

PP

PP

PP

PP

PP

P

P

P

P

P

P

P

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

LL

LL

LL

LL

LL

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

00

00

4

4

3

3

2

2

1

1

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

6

5

4

3

2

1

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

LL

LL

LL

LL

LL

vu

vu

vu

vu

vu

vu

vu

vu

vu

vu

D

D

D

D

D

D

D

Matriz de rigidez global para las barras:

[ ][ ] [ ][ ] [ ] ⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=jjji

ijii

ij kk

kkk

)(

donde

[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=−=−== 2

2

SCSCSC

LEAkkkk jiijjjii


51

Barra L (m) θ Cos θ Sen θ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2

2

SCSCSC

LEA

1-2 3 0º 1 0 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0001

3EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡0004

12EA

3-4 3 0º 1 0 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0001

3EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡0004

12EA

1-3 3 270º 0 -1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1000

3EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡4000

12EA

2-4 3 270º 0 -1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1000

3EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡4000

12EA

3-5 3 270º 0 -1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1000

3EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡4000

12EA

4-6 3 270º 0 -1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1000

3EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡4000

12EA

1-4 23 315º 22 22− ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−21212121

23EA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

2222

12EA

3-6 23 315º 22 22− ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−21212121

23EA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

2222

12EA

2-3 23 225º 22− 22− ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡21212121

23EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2222

12EA

4-5 23 225º 22− 22− ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡21212121

23EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2222

12EA

52

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=−==

0004

12)12(12

)12(22

)12(11

EAkkk

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=−==

0004

12)34(34

)34(44

)34(33

EAkkk

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=−==

4000

12)13(13

)13(33

)13(11

EAkkk

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=−==

4000

12)24(24

)24(44

)24(22

EAkkk

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=−==

4000

12)35(35

)35(55

)35(33

EAkkk

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=−==

4000

12)46(46

)46(66

)46(44

EAkkk

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

=−==2222

12)14(14

)14(44

)14(11

EAkkk

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

=−==2222

12)36(36

)36(66

)36(33

EAkkk

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=−==

2222

12)23(23

)23(33

)23(22

EAkkk

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=−==

2222

12)45(45

)45(55

)45(44

EAkkk

53

54

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

K

[ ] [ ])()( iji

iiii kK ∑=


; [ ] [ ])(ijijij kK =

[ ] [ ] [ ] [ ]

Submatrices de la diagonal principal de la matriz de rigidez estructural:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎡

+−−+

=++=242

2241214(

11)13(

11)12(

1111EAkkkK

[ ] [ ] [ ] [ ]

⎣)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

=++=242

22412)23(

22)24(

22)12(

2222EAkkkK

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] ( )( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +=+++=

2022

12)35(33

)36(33

)23(33

)34(33

)13(3333

EAkkkkkK

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

+4202

( )( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +=++=

24200222

12)45(44

)14(44

)46(4444

)24(4444

EAkkkkkK

[ ] [ ]+

+)34(

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++=

24222

55)35(

5555EAkkK

[ ] [ ] [ ]

=12)45(

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−

=+=242

221266

)36(6666

EAkkK)46(

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−−−

+−−−

−−

−−−+−−

−−+−−

−−+−−−

−−+−−

−−−+−−+−

−−+−−−−+

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

00

00

2420040220000220000220000

0024222400000002222000000

4022)24(2000402200220)22(2040022

224000)24(2022402200040)22(22200

00004022242000000002222404

00002240002420000220004224

12

00

00

53

50

4

4

3

3

2

2

1

1

6

6

5

5

L

L

L

L

L

MMMMM

MMMMM

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

MMMMM

MMMMM


MMMMM

MMMMM


MMMMM

MMMMM


MMMMM

MMMMM


MMMMM

MMMMM

L

L

L

L

L

vu

vu

vu

vu

EA

RR

RR

x

x

y

x

55

Relación de rigidez:

Cálculo de desplazamientos nodales:

{ } [ ]{ }dc DKP *= ∴ { } [ ] { }cd PKD1

*−

=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−

+−−

+−−−

−+−−

−−−+

−−+−

−−+−

−−−+

=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

4

4

3

3

2

2

1

1

)24(20004022

0)22(2040022

00)24(202240

040)22(22200

402224200

002222404

224000242

220004224

12

00005

35

0

vuvuvuvu

EA

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

−

=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

−

=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

298.25984.28

699.1471.23492.42

863.73495.6041.67

1

108.2415.2142.0956.1541.3

155.6541.0

587.5

12

4

4

3

3

2

2

1

1

EAEA

vuvuvuvu


{ } { } [ ] { }dcdd DKRP ==

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

−

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−−

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

108.2415.2142.0956.1541.3

155.6541.0

587.5

12

4022000000220000

2240000022000000

12

6

6

5

5

EAEA

RRRR

y

x

y

x

56

Tonf

RRRR

y

x

y

x

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−−−

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

000.11566.2000.1434.0

6

6

5

5


5 Tonf 5 Tonf

3 Tonf

1.0 Tonf 11.0 Tonf

2.566 Tonf

12

3 4

5 6

0.434 Tonf

∑ ≡−−== 0434.0566.230xF

∑ ≡+−−−== 0111550yF

( ) ( ) ( ) 035633106 ≡+−+== xxxM

57

Cálculo de las fuerzas internas de las barras:

( )[ ] TonfEA

EAF 274.2041.67863.7313)12( +=−⋅= (tensión)

( )[ ] TonfEA

EAF 834.1471.23984.2813)34( +=−⋅= (tensión)

( ) ( )[ ] TonfEA

EAF 731.21495.6699.113)13( −=−+⋅= (compresión)

( ) ( )[ ] TonfEA

EAF 731.51492.42298.2513)24( −=−+−⋅= (compresión)

( ) ( )[ ] TonfEA

EAF 566.01699.1013)35( +=−−⋅= (tensión)

( ) ( )[ ] TonfEA

EAF 433.81298.25013)46( −=−+⋅= (compresión)

( ) ( )[ ] TonfEA

EAF 209.3495.6298.25041.67894.2816)14( −=+−−−⋅= (compresión)

( ) ( ) ( )[ ] TonfEA

EAF 629.31699.10471.23016)36( −=−−+−⋅= (compresión)

( ) ( )[ ] TonfEA

EAF 034.1492.42699.1863.73471.2316)23( +=++−⋅= (tensión)

( ) ( )[ ] TonfEA

EAF 614.0298.250894.28016)45( +=++−⋅= (tensión)

Resumen:

TonfF

TonfF

TonfF

TonfF

TonfF

566.0

731.5

731.2

834.1

274.2

)35(

)24(

)13(

)34(

)12(

+=

−=

−=

+=

+=

TonfF

TonfF

TonfF

TonfF

TonfF

614.0

034.1

629.3

209.3

433.8

)45(

)23(

)36(

)14(

)46(

+=

+=

−=

−=

−=

58

5 5

3

1.0 11.0

2.566

12

3 4

5 6

0.434

2.274

1.834

2.731 5.731

1.034

3.204

0.566 8.4333.629

0.614

(Tonf)

59


Para la armadura de la figura, obtener por el método matricial de las rigideces lo siguiente:

1) Los desplazamientos de los nudos;

2) Las reacciones en los apoyos;

3) Las fuerzas axiales de todas las barras.

5 m

5 m

5 Tonf

4A, 2

E4A, 2E

2E, A

2E, A

2E, A

1

32

42E, A

10 Tonf

Solución:


60

5 m

5 m

5 Tonf

4A, 2

E

4A, 2E

2E, A

2E, A

2E, A

1

32

4

10 Tonf

R4xR1x

R1y R4y

Vectores de acciones y desplazamientos nodales:

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

;

05

100

4

4

1

1

4

4

3

3

2

2

1

1

4

3

2

1

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

RR

RR

PP

PP

PP

PP

P

P

P

P

P

K

K

K

K

K

K

KK

KK

KK

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

;

00

00

3

3

2

2

4

4

3

3

2

2

1

1

4

3

2

1

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

K

K

K

K

K

K

KK

KK

KK

vu

vu

vu

vu

vu

vu

D

D

D

D

D

61

Matriz de rigidez global para las barras:

[ ][ ] [ ][ ] [ ] ⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=jjji

ijii

ij kk

kkk

)(

donde

[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=−=−== 2

2

SCSCSC

LEAkkkk jiijjjii


Barra L (m) θ Cos θ Sen θ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2

2

SCSCSC

LEA

(1) 1-2 5 90º 0 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1000

52EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡4.00

00EA

(2) 2-3 5 0º 1 0 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0001

52EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡0004.0

EA

(3) 3-4 5 270º 0 -1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1000

52EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡4.00

00EA

(4) 1-4 5 180º -1 0 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0001

52EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡0004.0

EA

(5) 1-3 7.0711 0.70711 0.70711 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡5.05.05.05.0

0711.78EA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡5657.05657.05657.05657.0

EA

(6) 2-4 7.0711 0.70711 -0.70711 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−5.05.05.05.0

0711.78EA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−5657.05657.05657.05657.0

EA

62

[ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−=−==

4.0000

)12(21

)12(12

)12(22

)12(11 EAkkkk

[ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−=−==

0004.0

)23(32

)23(23

)23(33

)23(22 EAkkkk

[ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−=−==

4.0000

)34(43

)34(34

)34(44

)34(33 EAkkkk

[ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−=−==

0004.0

)14(41

)14(14

)14(44

)14(11 EAkkkk

[ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−=−==

5657.05657.05657.05657.0

)13(31

)13(13

)13(33

)13(11 EAkkkk

[ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−=−==

5657.05657.05657.05657.0

)24(42

)24(24

)24(44

)24(22 EAkkkk


[ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] ⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

44434241

34333231

24232221

14131211

KKKKKKKKKKKKKKKK

K

[ ] [ ])()( iji

iiii kK ∑= ; [ ] [ ])(ijijij kK =

Submatrices de la diagonal principal de la matriz de rigidez estructural:

[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=++=

9657.5657.05657.09657.0

)14(11

)13(11

)12(1111 EAkkkK

[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

=++=9657.5657.0

5657.09657.0)24(

22)23(

22)12(

2222 EAkkkK

63

[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=++=

9657.5657.05657.09657.0

)34(33

)13(33

)23(3333 EAkkkK

[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

=++=9657.5657.0

5657.09657.0)24(

44)14(

44)34(

4444 EAkkkK

Relación de rigidez:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

00

00

9657.05657.04.005657.05657.0005657.09657.0005657.05657.004.0

4.009657.05657.0005657.05657.0005657.09657.004.05657.05657.0

5657.05657.0009657.05657.04.005657.05657.004.05657.09657.000

005657.05657.04.009657.05657.004.05657.05657.0005657.09657.0

05

100

3

3

2

2

4

4

1

1

L

L

L

MMM

MMM

LLLLLLMLLLLLLMLLLLLLMLLLLLL

MMM

MMM


MMM

MMM


MMM

MMM

L

L

L

vu

vu

EA

RR

RR

y

x

y

x

Cálculo de desplazamientos nodales:

{ } [ ]{ }dc DKP *= ∴ { } [ ] { }cd PKD1

*−

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧−

3

3

2

2

9657.05657.0005657.09657.004.0

009657.05657.004.05657.09657.0

05

100

vu

vu

EA L

M

M

LLLLLLMLLLLLL

M

M

L

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−−

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

0023.24181.3

5023.140795.7

1

3

3

2

2

LLLLEA

vu

vu

64


{ } { } [ ] { }dcdd DKRP ==

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−−

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

0023.24181.3

5023.140795.7

1

4.005657.05657.0005657.05657.0

5657.05657.04.005657.05657.000

4

4

1

1

LLL

M

M

LLLLLLMLLLLLL

M

M

LEA

EA

RR

RR

y

x

y

x

Tonf

RR

RR

y

x

y

x

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

51991.4

58009.0

4

4

1

1

LLLL


5 Tonf

1

32

4

10 Tonf

-4.1991 Tonf-0.8009 Tonf

5 Tonf 5 Tonf

051991.48009.0 =+−−=∑Fx

01055 =−+=∑Fy

65

Cálculo de fuerzas internas en las barras:



[ ] ( ) )(8009.51105023.145

2)12( compresiónTonf

EAEAF −=⋅−−=

( )[ ] ( ) )(1990.4110795.74181.35

2)23( tensiónTonf

EAEAF =⋅−−=

( )[ ] ( ) )(8009.0110023.205

2)34( compresiónTonf

EAEAF −=⋅−−−=

0)14( =F

[ ] ( ) [ ] ( ) )(1326.117071.00023.27071.04181.30711.7

8)13( tensiónTonf

EAEAF =⋅−+=

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) =⋅−−−+−−=EA

EAF 170711.05023.14070711.00795.700711.7

8)24(

)(9382.5 CompresiónTonf−=

Resumen:

)(9382.5

)(1326.1

0

)(8009.0

)(1990.4

)(8009.5

)24(

)13(

)14(

)34(

)23(

)12(

CompresiónTonfF

TensiónTonfF

F

CompresiónTonfF

TensiónTonfF

CompresiónTonfF

−=

=

=

−=

=

−=

66

5

1

32

4

10

-4.1991 -0.8009

5 5

-5.8009 -0.8009

4.1990

1.132

6

-5.9382

(Tonf )

67

3. solución manual para ejemplificar el análisis matricial...

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