3. funciones analíticas · augustin-louis cauchy (1789-1857) ecuaciones de cauchy-riemman (ecr)...

3. Funciones analíticas

Derivada de una función compleja

Teorema del valor medio para funciones reales Si f(x) es continua en a < x < b y f '(x) existe para a < x < b, entonces hay al menos un punto c (a < c < b) tal que: f '(c) = [ f(b) −

f(a) ] / [ b −

-1 10Además los dos caminos tienen longitudes diferentes.

Ninguno de los dos teoremas aplican a las funciones complejas. Por ejemplo: el teorema del valor intermedio, nos dice que si f(a) = -1 y f(b) = 1 entonces necesariamente existe al menos un valor ξ, a <

b, tal que f(ξ) = 0. En compleja, podemos empezar en -

1 y acabar en +1 sin haber pasado por (0+0i).

Teorema del valor intermedio para funciones realesSea f(x) continua para a < x < b y f(a) ≠

f(b) entonces f toma todos los

valores entre f(a) y f(b) en el intervalo a <

Derivada de una función real

xxfxxfxf

x Δ−Δ+

=′→Δ

)()(lim:)( 00

xx Δ+0xΔ

)( 0xf)( 0 xxf Δ+

Si no existe el límite, no existe la derivada en x0 . Decimos entonces que f(x) no es derivable o no es diferenciable en x0 .Podemos hacer el límite por la derecha y por la izquierda, y ambos deben coincidir.

zzfzzfzf

z Δ−Δ+

=′→Δ

)()(lim:)( 0

v)( 0 zzf Δ+

)( 0zf

)()( 00 zfzzf −Δ+zz Δ+0

Derivada de una función compleja

Observemos que ahora el límite se puede hacer no solamente por la derecha o por la izquierda, sino por infinitos caminos. Para que la derivada esté definida el límite debe existir y ser el mismo independientemente del camino.

Mostrar que f(z) = zn

es diferenciable para todo z y que f/(z) = nzn-1.

Ejemplo:

)(lim)(

)(lim)(lim:)(

−−−

=→Δ

→Δ→Δ

=Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−Δ+=′

∑∑

nzzzin

zzzzzf

Observa que el resultado es independiente de la trayectoriacon que se aproxima a cero. Como z0

es arbitrario, el resultado es válido para todo z

y f´(z) = nzn-1.

La reglas de derivabilidad son las mismas que en cálculo de funciones reales de variable real:

(c f)/ = c f/

(f+g)/ = f/ + g/

(f g)/ = f/ g + f g/

(f/g)/ = (f/ g - f g/)/g2

La regla de la cadena rige de la misma forma.

Ejercicio: Demostrar las reglas a partir de la definición de derivada.

Regla de L'Hôpital:

Si f(z0 ) = 0 y g(z0 ) = 0 y las funciones son diferenciables en z0 con g'(z0 ) diferente de 0, entonces:

)(')('lim

)()(lim

00 zgzf

zzzz →→=

Extensión: Si f(z0 ) = f'(z0 ) = ... = f(n-1)(z0 ) = 0 y g(z0 ) = g'(z0 ) = ... = g(n-1)(z0 ) = 0 y las funciones y las 2n funciones derivadas son diferenciables en z0 (y con g(n)(z0 ) diferente de cero), entonces:

)()(lim

)()(lim )(

00 zgzf

zzzz →→=

Guillaume François AntoineMarquis de L'Hôpital

(1671 – 1704)

DiferencialesSi w = f(z) es continua y tiene primera derivada continua en una región R, entonces:

dzdwzfdzzfdw

zdzdzzfzzzfw

z ΔΔ

→Δ→+=Δ+Δ=Δ

→Δ 0lim)(')('

.0cuando0donde)(')('

εεε

Diferencial de w

Más falacias:

444443333

xxx ++=

Derivando a ambos lados:

112veces

=++= xxx

Algunas funciones reales no poseen derivada (en ciertos puntos)...

Por ejemplo:

De forma similar, algunas funciones complejas no poseen derivada… ¡en ningún

punto del plano

complejo! Demostrado por Cauchy en 1820

xxf 1)( =

Fractales: Curva de Koch, copo de nieve o isla del diablo

Continuo en todos sus puntos pero no diferenciable en ninguno.¡Perímetro infinito en un área finita!

Niels Fabian Helgevon Koch (1870 – 1924)

Curva de WeierstrassLa curva de Weierstrass es, históricamente hablando, el primer fractal conocido. Fue creado o descubierto (según las preferencias filosóficas del lector) por el matemático Karl Weierstrass en 1861. Lo notable en este caso, respecto a la curva de Koch, es que disponemos de la ecuación, como serie infinita, de la curva:

∑∞

)cos()(n

nn xbaxW π

Para que la función carezca de tangente única en cada uno de sus puntos, es necesario que:0 < a < 1, b sea un entero impary a b >

Karl Theodor WilhelmWeierstrass (1815 – 1897)

2/31 π+

Algunas funciones complejas no poseen derivada en ningún punto

Ejemplo zzf =)(

yixyix

zzfzzfzf

Δ+ΔΔ−Δ

=Δ+ΔΔ+Δ

−Δ+=

Δ−Δ+

→Δ→Δ

limlim

)()(lim)(

Sigamos dos caminos distintos:x

yzz Δ+

yΔ 12

1 21lim0

−=→Δz

+=→Δz

El límite no es único, por lo tanto no existe límite. Como z es arbitrario, no existe derivada en ningún punto.

(función continua en todo el plano complejo porque sus componentes u y v lo son)

Ejemplo 2||)( zzf =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

Δ−Δ+Δ+

Δ−Δ+

zzzzzzz

zzfzzfzf

))((lim

||||lim

)()(lim)(

Sigamos de nuevo los doscaminos distintos anteriores:

(función continua en todo el plano complejo porque sus componentes u y v lo son)

−=Δ−=Δ→Δ 0

Como el límite debe ser único:

+=Δ=Δ→Δ 0

0=⇒+=− zzzzz La derivada existe solo en z = 0 y vale 0.Este ejemplo muestra como una función puede ser diferenciable en un punto sin serlo en ningún otro de su entorno.

Obtener los puntos del plano complejo donde la función

es diferenciable. Calcular su derivada.)Re()( zzzf =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ]( ) ( )

( ) ( )yix

yxyxxyixxx

yixxiyxxxyyixxz

zzzzzzz

Δ+ΔΔΔ+Δ+Δ+Δ+Δ

=Δ+Δ

+−Δ+Δ++Δ+=

−Δ+Δ+=

Δ−Δ+

→Δ→Δ

ReRelimlim

( ) ( ) ( ) ( )

0RelimRe

=′⇒

⇒=Δ=Δ

Δ−Δ+

→Δ→Δ→Δ

fzfzzz

( ) ( ) ( )

limlimlim

2limlim

:0:0z Si

⎩⎨⎧

==ΔΔ

−Δ+Δ+=Δ

+=++Δ=

Δ+Δ+Δ=

Δ−Δ+

+Δ=Δ≠

→Δ→Δ→Δ

→Δ→Δ

xxyyxi

zzfzzf

iyxiyxxx

xiyxxxz

0z puntos losen blediferencia es no f(z) ≠

La existencia de derivada en un punto implica la continuidad de la función en ese punto. Supongamos que existe f’(z):

)()(lim00)('

)(lim)()(lim

)()(lim

zfzfzf

=⇒=⋅

=−−−

→→

A First Course in Complex AnalysisMatthias Beck, Gerald Marchesi, and Dennis Pixton

zz Δ+xΔ

−Δ++

Δ−Δ+

xyxvyxxvi

xyxuyxxuzf

),(),(lim

),(),(lim)(

∂∂

+∂∂

Seguimos el camino : sea Δy→0

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

[ ] [ ]yix

yxviyxuyyxxviyyxxuz

zfzzfzf

Δ+Δ+−Δ+Δ++Δ+Δ+

Δ−Δ+

),(),(),(),(lim

)()(lim)(

Si la derivada existe, el límite es independiente del camino

zz Δ+xΔ

∂∂

+∂∂

Seguimos el camino : sea Δx→0

xyyxvyxyxuiyxzzf 2),(;),(;)()( 2222 =−=+==

zyixyixxvi

dzdf 2)(2)2(2 =+=+=

∂∂

+∂∂

zyixxyiyv

dzdf 2)(22)2( =+=+−−=

∂∂

+∂∂

Ejemplo:

−Δ++

Δ−Δ+−=′

yyxvyyxv

yyxuyyxuizf

),(),(lim

),(),(lim)(

∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

Igualando ambas expresiones:

Igualando las partes real e imaginaria obtenemos las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

Tenemos:

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−=∂∂

∂∂

=∂∂

Después de 250 años de casi “hibernación compleja”, entre 1814 y 1851 Cauchy y Riemman fundan el análisis complejo.

∂∂

−=∂∂

∂∂

=∂∂

Augustin-Louis Cauchy(1789-1857)

Ecuaciones de Cauchy-Riemman (ECR)Propuestas por primera vez por D’Alembert en 1752 en el contexto de la dinámica de fluidos.

Podemos dar en forma polar una función de variable compleja cualquiera. Por ejemplo, sea:

)0(1)( ≠+= zz

zzfEn forma polar,tendremos:

),(),(

sin1cos1

)sin(cos1)sin(cos

)sin(cos1)sin(cos)(

θθθθ

irirzf

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−++

)),(sincos i v(r,θr uf(z) θ)iθ r(z

En forma polar tenemos:

>∂∂

−=∂∂

∂∂

=∂∂

ECR en forma polar

Demostrar que las ECR toman la forma:

Ejercicio: Comprobarlo para la función f(z) = 1/z.

Recuerda que hemos tomado dos caminos muy particularespara encontrar las ECR. Hemos demostrado que si f(z) = u(x,y)+iv(x,y)

es diferenciable en un punto z0

, entonces las primeras derivadas parciales de u(x,y)

y v(x,y)

existen en ese punto y satisfacen en él las ECR.Además, podemos calcular el valor de f’(z0

a través de las expresiones:

Las ECR son una condición necesaria para la derivabilidad.

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

)2()()()(

xyiyxyixzf

=∂∂

−=∂∂

=∂∂

Ejemplos:

Veamos que , que hemos probado que es diferenciable en todas partes, cumple las ECR:

Sin embargo para:

2)( zzf =

)(||)( 222 yxzzf +==

=∂∂

Las ECR no se satisfacen excepto para z = 0. Entonces la derivada no existe para ningún z distinto de 0. Pero no podemos asegurar la existencia de la derivada en z = 0, aunque en este caso la hemos demostrado anteriormente.

29)0,0()0,0(

)0,0()0,0(

∂∂

==∂∂

∂∂

==∂∂

Veamos un ejemplo, un tanto artificial, donde veamos que las ECR

son necesarias pero no suficientes.

⎪⎩

⎪⎨

0,)( 4

lim)0('

)(lim0

)0()(lim)0('

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=−−

→→

Que tiene valor 1 sobre el eje real y -1 sobre la línea y = x, p.ej. De modo que f(z) no tiene derivada en z = 0.

Y sin embargo, las condiciones de CR en z = 0 se cumplen:

De modo que las condiciones son necesarias, pero no suficientes.

Calculemos su derivada en z = 0:

Condiciones suficientes de derivabilidad

Sea f(z) = w = u(x,y) + iv(x,y)

definida en un entorno del punto z0

= x0 + iy0

, supongamos que las primeras derivadas parciales de u(x,y) y v(x,y) existen en el entorno de ese punto y son continuas en z0 . Entonces, si las parciales satisfacen las ECR en z0

, la derivada f’(z)

existe.

.00cuando00donde

)},(),({)},(),({),(),(

→Δ→Δ→→

Δ+Δ+Δ∂∂

+Δ∂∂

=Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂∂

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

=−Δ++Δ+−Δ+Δ+=Δ=−Δ+Δ+=Δ

yxyyux

yxuyyxuyyxuyyxxuuyxuyyxxuu

Sumamos y restamos

.00cuando00donde 22

→Δ→Δ→→

Δ+Δ+Δ∂∂

+Δ∂∂

yxyyvx

De la misma manera, para v(x,y):

.00cuando00donde 2121

→Δ→Δ→+=→+=

Δ+Δ+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

=Δ+Δ=Δ

yyxiyi

yxyyvi

xuviuw

μμμεεε

Así que:

Podemos utilizar en esta última igualdad las ECR:

∂∂

−=∂∂

∂∂

=∂∂

dzdwzf

yxyixxvi

yxyxui

xuviuw

∂∂

+∂∂

Δ+Δ+Δ+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

Δ+Δ+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

−+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

=Δ+Δ=Δ

Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

0lim)('

)( με

yxyyvi

xuviuw Δ+Δ+Δ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

=Δ+Δ=Δ με

∂∂

−=∂∂

∂∂

=∂∂

Estudiar la derivabilidad de la funcióny en caso afirmativo hallar la derivada.

21)( zz

( )2222

yiyxyxxzf

( ) 02

=+⇒∂∂

−=∂∂

=+⇒∂∂

=∂∂

se cumplen las ECR sólo en x=0, y=0

C∈∀⇒⇒==

zderivable no f(z)0y 0, xpara definidasestán no y)y v(x, y)u(x, Pero

ExamenJUNIO 02/03: P-1

Funciones analíticas u holomorfas

Una función f(z)

es analítica (u holomorfa) en un abierto A si posee derivada en todo punto de A.

Cuando se dice que una función f

es analítica en un conjunto S que no es abierto, quedará sobrentendido que f

analítica en algún abierto que contiene a S. Cuando decimos que una función es analítica en un punto z0 , la derivada debe existir en todos los puntos de algún entorno de z0 .

Nota: observa que f(z) = |z|2

es solo derivable en

z = 0, pero tampoco ahí es analítica. x

),(),()( yxviyxuzf += continua en un dominio D:

¿Existe una forma rápida y fácil de comprobar si una función f (z) es analítica?

∂∂

−=∂∂

∂∂

=∂∂

en todo punto de D.

es analítica en un dominio D sii

u(x,y)

y v(x,y)son continuas y poseen primeras derivadas parciales continuas en D y satisfacen las ecuaciones de CR:

Resumen: ¿Es f(z) analítica en z0

Escribe f(z) como f(z) = u(x,y) + iv(x,y).2.

Encuentra ux (x,y), uy (x,y), vx (x,y) y vy (x,y).

Comprueba que se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

ux (x0 ,y0 ) = vy (x0 ,y0 )uy (x0 ,y0 ) = -vx (x0 ,y0 )

Comprueba que ux (x,y), uy (x,y),vx (x,y) y vy (x,y) son continuas en (x0 ,y0 ).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

−−

yixyix

222222

)( yxxy

=∂∂

−=∂∂

=∂∂

Ejemplo ¿Es 1/z

analítica?

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen. Pero f(z) no es continua en cero ni sus parciales tampoco.→ La función es analítica en todo punto, excepto en z = 0.

),( yxu ),( yxv

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−−=

+−+−

×−−++

=−−++

)1()1(

yixyix

u v[ ]

[ ] [ ] xv

∂∂

−=+−

−−=

∂∂

−−=

∂∂

222222

)1()1(4,

)1()1(2

excepto en x = 1 e y = 0, en z = 1.

Ejemplo ¿Es (1+z)/(1-z) analítica?

→ Al igual que antes, la función es analítica en todo punto,

Nota: Para resolver este problema se usa notación exponencial que no veremos hasta el capítulo siguiente. Puedes volver a élmás adelante.

Respuesta.

Encontrar todas las posibles funciones complejas

f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analíticas en la región D = {z є

C/ |z|

3}, que cumplan simultáneamente:

(a) Re(f(z)) = u(x)

(b) f(0) = 0

(c) máx

|f(z)| = 6, z є

f(z) = u(x) + iv(x,y) analítica en D => Se cumplen ecuaciones de Cauchy –

Riemann en D

⎪⎩

⎪⎨

===⇔∈∀=⇒=

=⇒==−=

dxduzfDyx

dxduvv

v(y)vu(x)uvu

)(),(,

ser por ,0

RCBACAyvBAxu

∈⎩⎨⎧

⇒ ,,

2. f(0) = 0 = B + iC B = 0, C = 0

zAiyxAzfAyvAxu

⋅=+⋅=⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⇒ )()(

⎩⎨⎧

=⇒===

∈∈∈

zzfzzf

AzAAzzfDzDzDz

2)(2)(

:funciones Dos

26maxmax)(max

P2. Junio 2006

De la función f(z) se sabe:

Es analítica en |z

2| < 3,

f(z) = f(z) en |z

2| < 3,

|f(z)| =

Respuesta.

Dar la expresión de f(z) en |z

2| < 3 y, en particular, calcular el valor de f(2 + i).

f(z) = u(x,y) + iv(x,y)

D : |z

2| < 3

f(z) analítica en D.

D.en ⎪⎩

⎪⎨⎧

vuRiemannCauchy

f(z) = f(z), en D.

D.en ,0),(D.en ),,(),(),(),(

=⇒⇒−=+

yxvyxivyxuyxivyxu

De las condiciones 1 y 2,

D.en .)(Den D.en 00

ctezfcte.uuu

x =⇒=⇒⎩⎨⎧

|f(z)| = 3

f(z) = ±

z = 2+i

pertenece a D:

f(2 + i) = ± 3

Sol.: (a) a = -b; c = 1. (b) a = b = -1

(a) En ningún punto. (b) En ningún punto.(c) C - {z = +i, -i} (d) C (e) En ningún punto.(f) C - {z = 0} (g) En ningún punto.

(1) Las funciones polinómicas son analíticas en todo punto. Son funciones enteras.

nnzczczczczcczf ++++++= 4

Gracias a las propiedades de las derivadas, si dos funciones son analíticas en un dominio D, su suma y su producto son analíticos en D. Y su cociente es analítico en D si el denominador no se anula en ningún punto de D.Una composición de funciones analíticas será analítica.

)()()(

zhzgzf =

(2) La funciones racionales donde g(z) y h(z) son polinomios, son analíticas excepto, quizás, en los puntos donde h(z) se anula.

Nota: Derivada en el infinito

¿Qué tienen de especial las funciones analíticas? Veremos más adelante cosas como:

• Si una función es analítica entonces todas sus derivadas también son analíticas (en franco contraste con las funciones de variable real).

• Toda función analítica puede expresarse como serie de potencias.

• Las funciones analíticas están determinadas por sus “valores de contorno”: si disponemos de los valores de una función analítica para los puntos de la circunferencia unidad, estos valores determinan totalmente los valores en todo el círculo unidad. Podemos expresar los valores de la función en los puntos interiores a través de una fórmula integral que involucra los valores del contorno.

Ejercicio: Encontrar la forma más general de la funciónanalítica f(z)

cuya parte real u(x,y)

es: u(x,y) = x2

Exigimos que se cumplan las ECR:yvx

∂∂

=−=∂∂ 12

k(x)yxyxkdyxxkdyyvyxv +−=+−=+

∂∂

= ∫∫ 2)()12()(),(

ctekxkdx

xdkyxvy

==⇒+−=∂∂

−=−=∂∂ )()(22

ikzzzfkyxyixyxyxivyxuzf

+−+−−=+=2

)()2(),(),()(

Integrando respecto a y:

Exigiendo que se cumpla la segunda ECR:

3. Demostrar que si f(z)

es analítica en un dominio D y |f(z)| es constante en D, entonces f(z) es constante en D.

222 ),(),(|)(| kyxvyxukzf =+⇒=

Derivando con respecto a x e y:

022)(022)( =∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

Multiplicando (a) por u y (b) por v:

0)(0)( 22 =∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

Exigiendo ECR y sumando ambas ecuaciones:

0)( 22 =∂∂

+xuvuy

∂∂

=∂∂

∂∂

−=∂∂

Multiplicando (b) por u y restando (a) por v, tenemos: 0)( 22 =

∂∂

Si k2 = u2+ v2

entonces u = v = 0 ⇒ f(z) = 0 (cte)Si k ≠ 0

entonces ux

= 0 ⇒ u = cte, v = const ⇒ f(z) = cte

0)(0)( 22 =∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

Ejercicios:

(1) Demostrar el teorema de la derivada nula, que si f’(z) = 0

en todos los puntos de un dominio D,

entonces f(z) es constante en D. (Lo tienes resuelto en el siguiente par de transparencias).

(2) Demuestra bajo las mismas condiciones, lo mismo para Re(f), Im(f) o Arg(f)

constante en D.

Puntos singularesUna singularidad o punto singular de f (z) es un punto zoen el cual f (z) no es analítica, pero es analítica en algún punto de todo entorno de z0 . (¿Posee f(z) = |z|2

singularidades?)

Tipos de singularidades:(1) Aislada: si existe un entorno para el que el único punto singular

es z0 . Si no podemos encontrar semejante entorno, la singularidad es no aislada. Si f(z) tiene un número finito de singularidades, todas serán aisladas.

(2) Evitable en z0 : si el límite cuando z tiende a z0 de f(z) es finito.(3) Esencial: es una singularidad que no es un polo (otro tipo de

singularidad que definimos a continuación) ni es evitable.(4) En el infinito: si g(z) = f(1/z) tiene una singularidad en z = 0,

decimos que f(z) tiene el mismo tipo de singularidad en el infinito.

Polos(otro tipo de singularidad)

Un polo de orden n de f (z) es un punto z0para el cual se cumple:

{ })()(lim 00

zfzz n

P.ej. El punto z = 2 es un polo simple o de orden 1 de

porque { }{ } 032lim

)()2(lim2

El límite existe y es diferente de 0.

Observa que el orden de un polo es la “potencia” del término ozz −

)3)(4(2

122)( 2 +−

−−−

zzf zo = -3, 4 son polossimples.

izzzf+

es un polo de tercer orden.

22 )4()(

zzzf [ ] 222 )2()2()2)(2(

)(iziz

zzf−+

Esta función tiene 2 puntos singulares, polos de 2º ordenen z = -2i

y z = +2i.

Visualizing complex analytic functions using domain coloringHans Lundmark, Department of Mathematics (Linköping University, Sweden) http://www.mai.liu.se/~halun/complex/complex.html

2)( zzf =1)( −=if

1)( −=−if

Mejor tener un patrón único en el plano w y observar qué patrón en el plano z nos llevaría a él.

Gradiente de color para el argumento en el plano w

Escala de grises para módulo en plano w

Combinación en el plano w.

Patrón de referencia en el plano w, al que hemos añadido una parrilla cuadriculada.

),(),()(

θθ rrzzf

)2,(),()(

θθ rrzzf

)3,(),()(

θθ rrzzf

)4,(),()(

θθ rrzzf

i22 ±±Esquinas

Estos son los patrones en el plano z cuya imagen bajo las transformaciones f(z) acaban todas en el patrón de referencia.

Observa que un cero de orden k en z0 se reconoce porque los anillossombreados se acumulanen él y si recorremos un pequeño círculo a su alrededor en sentido antihorario cambiaremos cíclicamente de color (de amarillo a negro) k veces.

))(21()2()( 2 izizzzf +−−+=

−=−=+=2

Plano z. Esquinas: i33±±

(raíz doble)

Veamos el polinomio:

Ceros del polinomio:

Aquí hacemos la parrilla más apreciable. Recuerda que la imagen de esta cuadrícula distorsionada proporciona en el plano w

una parrilla con

cuadrados de lado 1. Observa que la transformación es conforme: los ángulos se preservan en la transformación, si dos curvas se intersectan con un ángulo determinado en el punto z0 , entonces sus imágenes bajo la transformación f se intersectan con el mismo ángulo en f(z0 ). Aquí estamos viendo el fenómeno en la dirección inversa.

Plano z. Esquinas: i33±±

La conformalidad se rompe en los puntos donde la derivada de f se hace 0, en los llamados puntos críticos de f. ¿Puedes encontrar esos puntos en la figura?

Nota sobre transformaciones conformes:

Teorema de Lucas

Si f es un polinomio, entonces los ceros de su derivada f’ caen todos en el polígono convexo que tiene como aristas a los ceros de f.

En el ejemplo que nos ocupa, el polígono convexo es el triángulo de la imagen.

¿Cómo se ven los polos de una función racional bajo este esquema de color?Los ciclos de color van en dirección opuesta (Si recorremos en sentido horario van de negro a amarillo) y el valor absoluto crece hasta infinito a medida que nos aproximamos al polo (en lugar dede desvanecerse como ocurre al acercarnos a un cero).

zzf 1)( = 2

Polo simple en z = 0. Polo de segundo orden en z = 0.

Veamos una transformación de Moebius o bilineal:

Un cero en z = 1 y un polo simple en z = -1.

Plano z. Esquinas: i22 ±±

Funciones armónicas

u(x,y)

y v(x,y), las componentes de una función analítica, son funciones armónicas: cumplen la ec. de Laplace.

Partiendo dela ECR: x

∂∂

−=∂∂

∂∂

=∂∂ y

∂∂∂

−=∂∂

∂∂∂

=∂∂ 2

=∂∂

+∂∂

Derivando respecto a x e y:

=∂∂

+∂∂

xvDerivando

respecto a y y x:

Suponiendo que sus segundas derivadas existen y son continuas (más adelante se demostrará que si f es analítica en z0

poseen parciales continuas de todo orden en ese punto):

Una función Φ(x,y) es armónica en un dominio si Φ(x,y) es C2 (i.e.: tiene derivadas parciales hasta el orden 2 y soncontinuas) y satisface la ecuación de Laplace en dicho dominio:

∂Φ∂

Φ∂=Φ∇

yxHemos visto que si f(z)

es analítica en cierto dominio, entonces su

parte real u(x,y)

y su parte imaginaria v(x,y)

son armónicas en dicho dominio (ambas cumplen la ecuación de Laplace).Dada una Φ(x,y) armónica en un dominio simplemente conexo D, existe una función analítica en D cuya parte real es Φ(x,y) y también existe una función analítica en D cuya parte imaginaria es Φ(x,y).Dada una función armónica u(x,y), parte real de una función compleja, decimos que v(x,y)

es la función armónica conjugada de u(x,y), si

u(x,y) + iv(x,y)

es analítica.

12y 2 −−=∂∂

=∂∂ y

Ejemplo:

Verificar que u(x,y) = x2

y es armónica en todo el plano complejo y encontrar la función armónica conjugada v(x,y).

02y 2 2

=∂∂

+∂∂

⇒−=∂∂

=∂∂

Si v(x,y)

es la armónica conjugada de u(x,y), entonces ambas cumplen las ECR:

12y 2 −−=∂∂

−=∂∂

=∂∂

=∂∂ y

k(x)xyxkdyxxkdyyvyxv +=+=+

∂∂

= ∫∫ 2)(2)(),(

cxxyyxv

cxxkdx

xdkyxvy

++=⇒

+=⇒−−=∂∂

−=−−=∂∂

)()(212

c) i (z zzf c) x xy i (y - y x i v u f(z)

+++−=+=2

∂∂

=∂∂

(a) Verifica que u(x, y) = x3 – 3xy2 – 5y es armónica en todo el plano complejo. (b) Encontrar la función armónica conjugada de la función u.

6 ,56 ,6 ,33 )(

=−=∂∂+

∂∂

−=∂∂−−=

∂∂=

∂∂−=

∂∂

Cxyyxx,yv

Cxxhxhxhxyxv

xhyyxyx,v

++−=

+==+=∂∂

+=∂∂

−=∂∂

=∂∂

53)( :entonces Y

5)( ,5)(' ),('6

)(3) ( primera,laIntegrando

56 ; 33 )(

89Como veremos en el siguiente capítulo..

En el siguiente ejercicio se resuelve la misma cuestión de forma alternativa...

(a) v(x,y) = -x + k(b) -ex cos y + k(c) v(x,y) = [(y-1)2 - (x+1)2]/2 + k(d) v(x,y) = cos x senh y + k(e) v(x,y) = arg z + k(f) v(x,y) = kxye yx +− − )2cos(

Ejercicio:

Demostrar que si u

son armónicas conjugadas mutuamente, entonces son funciones constantes.

Ejercicio:

es armónica conjugada de v

en un dominio D, entonces –u

es armónica conjugada de v

xyyxvyxyxuiyxzzf 2),(;),(;)()( 2222 =−=+==

v(x,y)

es armónica conjugada de u(x,y), pero que si intercambiamos ambas no es cierto. Es decir, que

22),(;2),();,(),()( yxyxvxyyxuyxivyxuzf −==+=no es analítica.

Ejercicio:

Demuestra que para

Nikolai Egorovich Zhukovskii (1847-1921)(o Zhukovsky o Joukowski)

La transformación de Zhukovsky

Más general:

La imagen de un círculo que pasa por z = 1 o z = -1 es una curva similar a la sección transversal de un ala de avión.

⎪⎩

⎪⎨⎧

−===

2)(θπθ

Puntos de ramificación y cortes de ramaPara univaluar la raíz cuadrada de z hagamos como en el caso real, tomando arbitrariamente una de las dos posibilidades:

0θrz ==)(zf 2

0θrw =

Si giramos siguiendo un camino continuo como muestra la figuratendremos:

πθ 20 += rz)(zf πθ

+=20rw

¡f(z) sufre una crisis de identidad!

Este camino continuono nos genera problemas.¿Cuál es la diferencia?Rodear el origen z = 0 parece ser lo que nos genera la crisis.

z = 0 es en este caso un punto de ramificación de la función raíz cuadrada.

¿Qué ocurre si damos dos vueltas alrededor del origen?

Decimos que z0 es un punto de ramificación de f(z) si el valor de f(z) no regresa a su valor original cuando trazamos una curva cerrada alrededor de él, de manera que f varía de forma continua a medida que recorremos la curva.

Observación: debe ocurrir para cualquier curva alrededorde z0 (lejana o cercana). La función no tiene por qué ser continua o existir en z0 .

¿Cuál es la región más grande posible sin crisis de identidad?

Para todos los puntos de la región R la raíz cuadrada está univaluada.

Deseamos una región, lo mayor posible, tal que no exista posibilidad de trazar un camino continuo y cerrado que contenga al origen en su interior: una rama.

Región infinitesimal alrededor del eje x positivo.

Univaluamos la función raíz cuadrada “cortando”el plano complejo a lo largo del eje real positivo.

Rama πθ 20 << πθπ <<−Rama Cortes de rama

A es un punto infinitesimalmente cercanoal corte por arriba. Y B por abajo. La funciónes discontinua a través del corte de rama.

Nota: El corte es totalmente arbitrario.

Hojas y superficies de RiemannEn la superficie de Riemann la función está univaluada. Cada rama corresponde a un piso (hoja de Riemman). Para el caso de la raíz cuadrada: las vueltas impares “tocan arriba” y las pares “abajo”.

Superficie de Riemann para f(z) = z1/3

f(z) = z1/n tendrán hojas de Riemann.

En particular si f(z) no posee puntos de ramificación, la superficie de Riemann coincide con el plano complejo C.

3. funciones analíticas · augustin-louis cauchy (1789-1857) ecuaciones de cauchy-riemman (ecr)...

Documents

cauchy, infinitesimals and ghosts of departed...

cv cauchy 2015 · title: cv cauchy 2015 created date:...

Índice - publicacions universitat de valència ·...

desarrollo del campo cauchy region norte veracruz

teorÍa global de cauchy -...

louis cauchy

ecuaciones diferenciales -...

manths-title muay - tiwari academy(mae r, as i al)...

ecuacion de cauchy-euler

noncommutativedeterminants, cauchy–binetformulae ... ·...

soluciones anal ticas del problema de cauchy. teoremas de

modalidad particular – riesgo ambiental...

ecuacion de cauchy euler

ecuaciones diferenciales de cauchy euler

soluciones discontinuas al problema de cauchy de algunas...

discurso preliminar de la enciclopedia - biblioteca...

reglamento y funcionamiento kermesse alianza … · 1...

cauchy : el triunfo del rigor 55 h ace

la propiedad de analiticidad induce ciertas relaciones...

augustin louis cauchy-físicos matemáticos-5°a