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ALGEBRA LINEAL

FERNANDO PIO BETANCOURT LOPEZ

Trabajo presentado para cumplí con el requisito del literal "d del artículo 21 del Acuerdo 7 de 1978, para la promoción a 1 categoría de PROFESOR ASOCIADO»

MANUALES

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SECCIONAL MANUA L E S

AGOSTO DE 1990

TABLA DE CONTENT DO

INTRODUCCION

CAPITULO isECUACIONES LINEALES Y MATRICES1 . 1 S i s t e í n a s de e c u a c. i o n e s I i n eale s

S i. £> t © üi ¿s s c o n s .i. s t e n t 0 s. e i n c o r sis ten tes S i s teiüas hornoqéneos.1. S t te? fíí 3 S (vi C| U i V’ a .1. €5 n t e s

E j e r c;: i c i os 1 » i 1 » 2 M a t r i c e s V o P & r a c i o n e s e n t r e m a t r i c e s

[ q u a 1. ci a o el e m a t r i c e s D p (f? r a c i o n e s e n t r e m a t r i„ c e s

SumaMultiplicación de una matriz por un escalar Di ferenciariu .1 t i p I. i c a«::: i <::> n d b m a l:. r i c 0 s

1« 3 M a t r .1 z a u ro e? n t a ci a ci e u n s i s t e m a d e e c u a c .1 o i i e s 1 i n e a i. e s Ü p era c i o n es elementale s

.i * '•!• »ia.-crxz e s c a l o n a d a y esc a l o n a d a r e d u c i d a

i « b R a n g o de u n a m a t r i z

i - 6 N u t i i e r o d e s o 3. u c i o n e s d e u n s i. s t e m a

b. j e r c i. c i o s .1 „ 2

1 / f~ o ¡ " m í a d e d e t. e r m i. n a r e 1 n ú m í e r o c.¡ e

u; 1 & ^ & u n £» i. s t e m a d e t. e r m i n a d o

lié tocio de e 1 i m i n a c i o n de G a u s s

E j e r e i c i. o s 1 n 3

C A P IT U L O 2 i

PROPIEDADES Y TIPOS DE MATRICES ESPECIALES2 . X R e g l a s de l a a r i t m é t i c a m a t r i c i a l

2 . 2 M a t r i z i. n v e r s i b .1 e o r e q u 1 a r o n o s i n g u I a r

E i e r c i c i. o s 2 „ :L ->•/ /2 n •—* Na ti1 ..i. z t-1* a s p u e s t a ~7n

p r o p i e d a d e s d e l a t r a s p u e s t a gr>

! !-.:< I..i i*.. iiífe Li i (...c:< y' »Tjciti' i z a n t i s i m é t r i c a SO

ti i e r c i c i o s 2 » 2 o -?•o o

1 r a z a d e u n a m a t r i. z c u a d r a d a g *5

M a t r i z d i a g o n a 1 g «=:

I vl a t r i z e s c a .1. a r g nn

ivj a t r i. c e s t r .1 a i "i g u 1 a r e s g «=t

H a t r i c e s e q u i v a i e n t e s q

M a t r i c e s c a r í o r 1i c a vj> g ~j

Ma t r i c e s e 1 &men t a .!. e s g g

i Un m é t o d o p a r a h a l l a r l a i n v e r s a < o

X U v.1

CAP i I Ut. Ü 3

DETERMINANTES <3 .. 1 1“ u n c: i o n ci0 1 0 r iTt i n a n t. e q q>

r:.\ j 0 1" C i. C í D 3 -5 „ 1 1 1 1

<. F r u p i. b d d d SE ' (ÍS i. O C ¡ 0 Í7.0 i' ni í i i a.i"¡ t 0 S 1 1 "-r

3 „ 3 E v 3 ] u a c i ó ¡"! d 0 c! 0 10 r í Ti .i. n a n t. & s p o r

o p © r a <::: i. o n 0 s 0 3.0 iti 0 n t. a 1 0 s 1 -• <=1 JL. . 1 -_I

ir. j 0 r e i C i 0 3 3 .. 2 1

„ 4 Ü 0 3 a i'” r D .! 1 O u 0 !_ a p i. <3. C 0 1 nr

rl 0 i" 1 Ci V" 0 3 y a CÍ j L\ i "11v. O £ n=v 3 „ li a t r i. z a d j u n t a — C a l c u l o 0 0 l a m a t r i z i n v e r s a .

E j 0 r c :i. c i. 0 3 3 » 3 ■> = -¡

C A P IT U L O AS-

ESPACIOS VECTORIALES 1 5 4

4 n .1. De f .1 i"i i c i ón 1 5 4

4 .. 2 B (.a I:::* 0 s P a c i. o 0 v 0 c: t. o r :i. a .10 s j 7 2

E i 0 i- ’ c: .i. c i o s 4 .. .1. j y ~j

4 , 3 Cotft b i n a c i ó n i i n e a l IS O

4 „ 4 D 0 p e n d n c .1 a 0 i n d 0 p 0 n d 0 n c i a 1 i n e a 1 I q y

4 „ 5 B a 3 0 y el i rn 0 n 3 i ó n } 9 5

D .1 «■ 0 0 r "1 e- i. o n e s d e o t: r o s e s p a c:: i. o s -• B a s e s c a n ó n i. c a s i 9 7

f— /\ r*. t *r1 i i r~, r.z „L H r .1. í u u u %j r.

je i irucioni e r c i c i o s h „ i

5.. 2 Núcleo y recorrido de una transformación lineal } e o r e m a de la d i. rn e n s i ó nE i ere: ic i o :4S

CAPITULO 6 sEIGENVALORES Y EIGENVECTORES6 .. 1 D e f i n i c i o n e sfo„2 Bemej anza de matrices

cj „ 3 D i. a cj o n a 1 .i. z a c i ó nP r o c e d i rn .i. e n t o p a r a di a g o n a 1 i z a r u n a rn a t r idi agonaliza b 1 e E j e r c i c i. o s 6 »1

ó . 4 í e o r e m a d e C a y 1 e y - H a m i 11 o nE j e r c i c i. o s é> n 2

•59!60

BIBLIOGRAFIA 284

NOMENCLATURA

Significado.

Diterente5 .Matriz aumentad ecuaci ones.Mayor o igual.Meno*' o i qu 3 1 .

INTRODUCCION

Con el requerimiento de cumplir las condiciones del literal "d" del articulo 21 del Acuerdo 72 de 197S, para la promoción a la categoría de PROFESOR ASOCIADO, he escrito este trabajo con el propósito de presentar los fundamentos del algebra lineal de una manera más df c es i u 1 e al estudiante. Ha sido desarrollado para ser utilizado como guia para estudiantes de segundo semestre ¿ 0 ingeniería, debido a la necesidad o e texnos, o bases consulta, que per mi t an uní f icar criterios y ayudar al estudiante para la asimilación y complementación de conocimientos adquif idos en clase.

[ as r a z o n e s fundamentales que me indujeron a la e l a b o r a c i ó n de este texto, las sintetizo:

.-i. la necesidad que existe de poner al alcance del estudiante, guías que le faciliten una cabalcomprensión y un buen aprendizaje en las matemáticas,

b. P r o p o r c i o n a r un texto guia económico, pf é c t i L D , de -fácil consecución , y que, consulte las condiciones de la gran mayoría de los estudiantes de la Universidad.

p] trabaja fue desarrollado cubriendo Bi contenido total de la asignatura Algebra Lineal de los pénsum de los programas curriculares de Ingemerias yA d m i n i s t r a c i ó n de Empresas y tratando de aclarar los c o n c e p t o s básicos con una gran cantidad de ejemplos, o m i t i e n d o la gran mayoría de las demostraciones, pero h a c i e n d o é n f a s i s en la aplicación de los teoremas.

CAPITULO 1; ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:

U n o d e 1 o s p i - o b 1 e m a s p r á c t i c o s q u e c. o n ma y o r frecuencia aparece en casi todos los campos de estudio es el de resol ver un sistema de ecuaciones lineales» I .a ec uac i ór'i

y -- ñ.i >ix + a ;-5i> + . .. + ñr,Mn (i)

la cual e;;presa y en términos de las variables ^ ,,„ . y las constantes a , n a^ , - » » an« Se denominaecuación Iineal (genera 1 mente es conocida y y se debenencontrar los números x ,, „ „ >;r-. que satisfagan (i))

Una solución de luí a ecuación lineal (1 ) es una colección ordenada de n números & x ■» Ss? » .. « sr, tales que satisfacen i. i. ) cuantió .t. \".r ( i. 1. .. n „ii / se sustituyen en

«Si, H, ---- 3, = 4 V ;i, = 5 son una «alucio,, de Jae c u a c .i on 1. 1 nea 1

- I. ••-* >i -.-2 ■ >' A 3 r~ 8

poi-que 5 ( 3 ) 3 ( 4 ) i 5 8 -

E:.n qtìheral , un sistema de m ecuaciones lineales en nincógnitas, o un sistema 1 ineal , es un conjunto de m Ktacu-iuiitíb iinedleto cada una con n incógnitas» Puedeescribirse de la siguiente formas

¿«1. i>¡J. -I- a x 23 *23 + &XXZ>(X3i + M . .. -i- &xr*Xr* ~ U X

a x >í j. "!■ as>5r*>ís2 ■*' «ís2»;-í-3 „ + a r, >; r, ---- b

a«->». j. ni.;¡5 /;*; I ¡> n n "í" ;'í d ■ *•••'«t»

E n (2 ) ü 1 a s a *. j s o n c o n s t a n t e s c o n o c i c! a s « D a d o s valores de bj., b ■■ « .. - hmfl deseamos hallar valores de , ...... >¡r» que satisfacían todas y cada una de lasecuaciones de ( 2 ) .

Una solución de un sistema lineal ( 2 ) es una colección o i d e n a d a ci íi i iiíMier '..i .-•> s j, <, ■■■■- v? ¡i >• n n r-i que t i en en la propiedad de que cada ecuación de ( 2 ) se satisface cuándese susti tuyen por s.*. i. para i:~ L „ „ í i j „

SISTEMAS CONSISTENTES E INCONSISTFMTES-HOMOGENEOSg

Si el sistema linea] (2) no tiene solución, se dice que es inconsistente; si tiene solución se denomina consistente. Si b. = = ... bm, entonces (2) sedenomina sistema homogéneo. La solución x, = x^ =

= 0 de un sistema homogéneo, se denomina solucióntrivial. Una solución de un sistema homogéneo en la cualno todos los Xa., x3 , ... son iguales a cero, sedenomina solución no trivial.

SISTEMAS— EQUIVALENTES: Se dice que dos sistemas deecuaciones son equivalentes, si tienen exactamente las mismas soluciones.

Ejemplo i: El sistema lineal

Xi - 3x = = -72Xi + x= = 7 (3)

tiene como única solución xx = 2 y = 3.

El sistema lineal

0Xjl - 3x2 = 73x x - 2x2 = 0

también tiene como única solución x¿ = 2 y = 3. Porlo tanto, (3) y Í4) son equivalentes.

EJERCICIOS l.ls

1. Demostrar que:

a. El sistema lineal obtenido al intercambiar dos ecuaciones en (2) es equivalente a (2).

b. El sistema lineal obtenido al multiplicar unaecuación de (2 ) por un número distinto de cero esequivalente a (2 ).

c. El sistema lineal obtenido sumando un múltiplo deuna ecuación de (2 ) a otra ecuación es equivalente

a ( 2 ) -

2. Cuáles de las siguientes son ecuaciones lineales en x,

(a) x + 2 ?< y + 2 — 2(b) x - 3y + 2zi ' = 2z(cI m + y — z = sen k(d) x “ Y= + z = sen x

(a) x - y - 2z = £>(b) x - y = 1

(c ) x - y - z = O

1 . 2 MATRICES Y O PERACIONES ENTRE MATRICES.

Una matri2 es un ordenamiento rectangular de números denotado por:

3 rn 1 3 m Z2 Srn3 ... 3 <

Supondremos, mientras no se especifique lo contrario, que trabajamos únicamente con matrices reales.

La i-enísima fila de A es [au a i2 ... aAr>3 (l<=i<= m )

mientras que la j-ésima columna de A es:

¡ : l

\ amJ /

(1 <= j <= n )

Si una matriz tiene m filas y n columnas, se dice que A es una matriz de tamaño m por n <m >t n). Si m = n , sedice que A es una matriz cuadrada de orden n y que loselementos a n ? 5 a-a 3 , ... ann forman la diagonalprincipal de A. Nos referimos al elemento a ^ como elelemento correspondiente en la posición fila i y la columna j y se escribe

A — C a ¿ j ] .

También se escribe mAn para indicar que A tiene m filas y n columnas. Si A es n * n, se escribe solamente

Ar> •

Ejemplo 2 ; ejemplos de mat rices son

A = fl 2 32 -1 40 — 3

C =\ 2 \- 1 .<1

En A * B3 J . ~ 1

C x d x a

4 C 1 9 D a .

B = [1 3 -7 ],

es 3>«3, B es 1= 3, x 3.

— MATRICES: Dos matrices m x n A = [a*„ ] y B ~ son iguales si coinciden entrada por entrada;

decir, si aAJ = para i = 1 ,2 , ... m y j = 1 ,2 , ... nes

OPERACIONES ENTRE MATRICESs

Syma: Si A = Ca¿j] y B = [b4J] son matrices mxn, entonces la suma A + B es una matriz mxn C = [cAJ] definida por

CiJ = a*J + b±J’ 1 = j = l.-.n. Por lo tanto, paraobtener la suma de A + B, simplemente se tturnan i asentradas correspondientes.

Ejemplo 3: Sean A = 1 -2 3 B = 0 2

2 - 1 4 5 -4

l ì 1". O l ì C 0 S ¡: :í •+• B + 2 3 + :r

1 4 4 "i- 3

Notas la suma de las matrices sólo se define cuando las matrices sumandos son del mismo tamaño.

Multiplicación de una matriz por un escalar 2 Si A -= r a ies una matriz mxn y k es un número real, entonces la matriz kA se define como kA — [káij]

Ejemplo 4 2 S i A 1 0 >1 o

D i fe r encía; S i A y B so n m a t r i c e s mxn., e s c r i b i m o s 1 a<

ma t r i z A K como l a m a t r i z A ■+■ ( — 1 ) B y 1 lamamos a é s t o

d i f e r e n c i a e n t r e A y B„

Multiplicación de matricess Si A -- [ a u 3 es una matriz mx f í y B t. bj 1-: 3 ss una matriz n x p entonces el productode A y B, AB C [, c ] e s u n a m a t r i z m x p ,, d e f ' i n i d a

p o r s

VI.a a. j b ■) y, ~~ a % x b x a "r n „ „ -r a ,tr.,bn>, ,

J s/i ™" 1 - « " m -, j 1 c „ „ p

ü b s © r v e s e (..¡ u e AB so .1 o se ued & d e f i n .i r c u a n d o e 1 número de columnas de A es igual al número de filas de Bi c o n d i. c i. on n e c & s a ¡-* i a p a r a .1 a e x i. s t e n c i a d e 1 p r o d u c t .- l~J r_; tz'

m a t r i c e s ) .. N ó t e s e t a m b i é n Que l a e n t r a d a . •" t' - ± k- u« j. a m a t r i zp r o d 11 c t o s e o fc t ± e r i e e f e c t u a n d o e 1 p r o d u c t o p u n t o ( o

i n t e r i o r ) e n t r e l o s v e c t o r e s f i l a i de A y c o l u m n a k de

B n e s d e c:: i r ü

<■■■ i. A ;J. „ || .6 „ \r S

i A i . r e p r e s e n t a l a f i l a i de A y B „ l a c o l u m n a k d e

B ) ..

C i. M "■ [ a . j . X a . ! . d i r , L L 1 .1 k h x* K n „ „ b n »t J

C 1 ::::: a x X b X Ir a ± U ^ •+ „ ... « a :jL r l b n k »

bjemplo 5 s Sean A = // 2 3 4\ B = / 1

H a l l a r AB y BA „

Como A es 2x3 y B es 3x2 <. El producto AB existe (número de columnas de A 3,, igual numero de* filas de B n

"■\x 'i y el producto BA también (número de columnas de B, 2 ,, igual número de f i las de A., .¿:.)

AB C y i e s de t amaho x 2.. .6A í.) y .0 e s de t.amafio

"■ ■■. x .:!• „ e ¡"i t o i » e s ¡;

c -i X ~~ mX . MB. X -- atibii aX-r>h-isX + ai3 b3i = 2:>il +3;; ("4) i- 4:-i3 = 2 -12 4- 12 = 21. ,:'Ai ñ n b ¿ 3 2 + d i a b s s + ñ i s b ^ s ; — 2 >i 4 -I- 3>;2I- 4>{ (-5) - 8 ••!•• 6 -• 20 ~ ~6

Análogamente«, c x -■ <Aa . ,E.i> = 5 y = < As . 5 E<.

E". n t o n c es, A B — (.. LO16 )

An ¿à .L «..„iQ iamsn te ?

12 : cl x :s

Cl 1. -.25

CÍ3SJL

classd 2 3

cl 3 i

d 3 :*s

:::: Bi . , A _ i-•10

= B X „ ¡I A „ !

B X ‘I A „ 3 .B .»Vi » ;i A „ .1, .

“ B „ ¡i A a :z¿ ■■= <B2.,A.3::" v B 3 „ 5 A „ A -■

5 B 3 a 3 M „

:: B 3 „ II A 3

bij.Sj,i + bissaci 1 >{2 + 4h( “..5 )

( --4 ( -4 ( -4

4 ) « ( 3 4 ) « ( 4 2 ) „ ( 2

2) . (3 2 ) „ (4

(3 - 5 ) . ( 2

(3 -5).(3(3 ~5),(4

Cj ) 4 + U 4

-•“3 ) ” ~8 ó = — 14-2) = -12 4 = -16Q \ zr. — 1 ¿j -I- i„> — 1

—3) L" 6 + 15 s» 21

..-2 ) = 9 + 10 190) -- 12 + 0 = 12

Lueqci n BA 0 O 4— .14 .1 6 1 c.»

A e s una m a t r i z mxn y B u n a m a t r i z n x p ? e n t o n c e s AB

e s c. ¿; o e t 1 n .1 o st „

s .i t a c i o n o s "

E n r e I a c i ó r■ c u n B A s p u e d e n o c u r r i r v a r i a s

.1 « B A p u e d e tío e s t a r d e f i n i d a t E s t o o c u r r e s i p -O

S i Bh e s t a de i1 i n i d a , E<m s e r á de tarden n y PtB s e r á de

o r d e n m,,

d i f e i " e n t e s

si m n H AB v BA ton de e a m a ñ o s

3„ S i BA y AB s o n de i. mismo tamaño,, e'ilctí» p u e d e n s e r

d i f e r e n t e s „

Ejemplo 6 s Sea A u n a m a t r i z 3 x 4 y B una m a t r i z 4 x 2 .

AB e s t á d e f i n i d a , , p e r o BA no e x i s t e »

Ejemplo 7 s Sea í-i una matriz 2 x S y B una matriz ó x 2 ? como en e.L ejemplo 5» A B y BA están definidas., pero AB y E* A s o n d e d i f e r e n t e s t a m a i" o s

E j e m p l o 8 s Sea

En e s t e c a s o . s i e n d o del. mismo tama Pío A .8 y BA t, no s o n

i q u a l e s

1 ,5 MATRIZ AUMENTADA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES L_TMFa » ES

Definiendo i¿ss rnstricess A — fs. ±. % ¿t -jl :& >• » » «ta./ :

' ■ / \ ' ri / \>í=r

entonces podernos escribir el sistema lineal (2 ) como AX B f o r m a matricial de un sistema de ecuaciones.1. inea 1 es » La rnat.r iz A se denomina mmatriz de loscoeficientes del sistema, la matriz X, es la matriz de 1 a s i n c ó g n i t a s y B e s 1 a m atriz d e los t é r ni i n o si n ci e p e n ci i e n t e s . L a m a t r i z s

/a x .i a x ■■ » « a i r-,a s j. a^.-s .. .. u a.-^n

\d m .1. a rn ."i? " ■ “ ^mri

formada por las matrices de coeficientes y de términos i n d e p e n d i e n tes3 A!B es llamada la matriz aumentada del sistema. Estas matrices son importantes en la solución de un s i s tema de ec uac i o nes 1 i nea 1 es .

Ejemplo lO" Hallar la matriz aumentada de los siguientes

s i stemas s

So 1 lu: .iòn s

•151

II 12\

E n f o i'' ni a îti a t. rici a 1 n se esc r i b e g

/ 12 \ ■15

I .11iJ

b .. A %.X

•+■ >i + >{3 Í-+ kKa» >1

+ . >iîE + k><3 4-"1" i'¿ ■"* H" 3 ”i”

Solución 8 /k 1

-q-•■i -q-

k 1 1 k1 k 1 kœ

Operaciones elementales.,

E 1. íü é t o d o b á s i c: o p a r a r e b o 1 v e r u n 5 i b t e a» a d e

0 c. u a c i o n 0 s 1 i. n 0 a l e s 0 s r e 0 í tí p 1 a z a r e 1 s i s 1 0 nía d a d o p o r u. n o

n ij. e v o q u e t e rí q a 0 1 m i s rr* o c o r í j u n t o s o i u c i ó n (e q la i v a 1 e n t e ) n

p e r o que? s e a 1 niás f á c i l d e r e s o l v e r » E n g e n e r a l ? e s t e

c; í í-ít(0 iTta n u e v o s e o b t i e n e s i g u i e n d o Lina s e r i e d e p a s o s

a p l i c a n d o l o s t r e s t i p o s s i g u i e n t e s d e o p e r a c i o n e s a f i n

(“IF, | i i n a i '' s i s t e m ¿\ t i. c a m e rí t. e 1 a s i n c ó g n i t a s »

t M u l t i p l i c a r u n a d e l a s e c u a c i o n e s p o r u n a c o n s t a n t e

d 1 f 0 e n t e d e c 0 r o »

y i n t erc ambiar dos de las ecuac i<3nes .

S u m a r u n m ú l t i p l o d e u n a d e l a s e c u a c i o n e s a o t r a .

Puesto que 1 os reng i ones í f i. 1 a una matriza .1 as ec u a c x i_in t s del

operaciones corresponden a las:<per ac i ones si qu i en te obre .Las í i. 1 as de 1 a matriz

1 . i A u 1 1 i p i i c a r u n a d e 1 a s f i 1 a s p o r u n a c: o n s t a n t ediferente de cero- Notación; kFj. ? con k no nulo

I n t e r u a m b i a r d o s d e 1 a s f i 1 a s » N otscións F <--- > p

3* Sumar un m ú l t i p l o de una de las filas a otra» Notacións kF* + Fj (k no tiene limitantes).

Estas se denominan operaciones elementales sobre las

i- OJOs Es conveniente aclarar que operaciones de las formass 3F*. + 5Fz, 2F* — Fs» muy empleadas desde elbachillerato por el estudiantado, no son operaciones elementales y en algunas partes no causan problemas, pero en temas como determinantes«, matriz inversa, originan errores crasos en las soluciones«, Como todos estos temas trabajan con operaciones elementales, es recomendable enseffarse a utilizar las operaciones adecuadamente, para evitar posibles dolores de cabeza.

filas (a n á 1 o q a m e n t e ,, e >; i. s t e n 1 a s o p e r a c i o n es el & rn e n t a lesCj y k C i_ + Cj )

Siempre que utilice una operación elemental deltercer tipos kF* + F„ 6 fcC* + C j , la operación se efectúa sobre la fila que "figura de segunda y que debe tener como coeficiente +1, (en el caso, F„ ó Cj).

Ejemplo lis Ket»o 1 ver el siguien te s:i.stema por el iminación ( r e d u c c i ó n ) 9 m o s t r a n d o 1 a s o p e r a c i o n e s e n 1 a m a t r i ~ a u íí'i e n t a d a ¡¡

2;í + 4 yu

La matriz aumentada fass I i i**!•

Súmese (—2) veces la primera ecuatión a la segunda para obteners

•, -i- y

2 y3 + 6 V

¡r_n ¡ ma t r i z aumen tada ~-2F x "l" ^•

ara d d tener

b. n la matriz auiíiei itada -3F i -i- F^g /1 1o

obteners

M u 1 1 .i. p 1 i q u ese la se g u n d a e cu a c i ó n p o r 1 / 2

"7 -r / .i. / /

E n 1 a íi»a t r :i. z au me n t a d a ( 1 / 2 ) F 5 /1i.) — "7 / •-?

■17/2..... ***> **?'

Bumese (—3) veces la segunda ecuación a la tercera, :,ara obteners

i a t ¡ " i z au m e n t. a d a 3) I' •f F

i l u 1 1.1 p i c} u & s E' I a t. 0 ir' c. & r a e c u a c i ó n poro I.? t. <5 n & r s

En \ a rna. t r i s a um en t:ad a ( —2 ) F s

G LUT» £? BE' ("“1) VE'CG'G -i. en 5 B g u n d ñ E:t_ LU-tC .1 óil ci let p r i m e r s

p a r a o b t g? n e r ::

+ llz/ 2

húmese i 1 1 / 2 * veces la tercera ecuación a la primera,7/2) veces la tercera ecuación a la segunda, para

o b t e n e r s

En la ma tri z aumentada ( --11 / 2 ) F 3 -1- F¿ y (7/2)F-.-tr + p.

/L 0 0

A h o r a , e s e v i d e n t e la sol u c: i ó n

.1. 5 y ji

Notas De? acuerdo cor» los problemas de los ejercicios l„i? el primer sistema y el último son equivalentes y ? por lo tanto, solución del primer sistema es. la mismas o 1 u c i òn d e 1 ú 1 1 i rr1 o

1m4 M Q T R IZ ESCALONADA Y ESCALONADAREDUCIDAS

Una matriz se dice que es escalonada, sis

1 3 i das sus fi. 1 as son nu 1 as ó,

n fci I numero de <-< 11T. 0 r i o r e se a 1 !-•'r 1 m er e 1 t=r » n e n t o n onulo en cada fila va aumentando fila p* -f-ii- i_• a i c i rii«, hastàt e n e t- " p o s i b 1 e m e n t e f i 1 a s d e s 6 1 q c e r o s

Ejempio 12 s Las siguientes matrices sor» esc al

0 0 o B

i r i c e s s o n (=?i=ca 1 o n ad a^» ;

A 10 0 Q 0

o o 1 0 o 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

p 0 0 0 0 0

s e a .1 o n a d a r e d u c i d a , s i

i.„ Es escalonada y

y'. El primer elemento no nulo de cada fila no nula es j[ y

éste es el único elemento diferente de cero que se

e n c u e n t r a e n 1 a r e s p e c t i v a c o 1 u m n a .

Ejemplo 13 s en los ejemplos anteriores, A no es reducida,.¡ .... j.-s q (j 0 B es ma t r i z esc a 1 on ad a reduc i. da 0

/ ! 0 0 0 0 i

.1 i 0 0 0 io 0 o 1 0 0 1o i.) ü o .1 o c:

es escalonada reducida y en caso de tener más fila«,,requiere que todas las demás sean nulas» Por qué'7'1

Notas Mientras no se especifique lo contrario, al decirse que una matriz es escalonada reducida, se comprende que eb esca1 onada reducida por f i 1 as„

1 „ 5 RANGO DE UNA MATRIZg

Be define como el número de filas no nulas que ten-ríala matriz en su forma escalonada (rango por fi.las’k

Be nota r(A) y se lee rango de A

Notas Si una matriz se escalona por filas o por columnas e 1 r ango de 1 a ma tr i z será e .1 mismo 3 es dec i. r s

rango por filas ~ rango por columnas = rango de una ma t r i z ■>

F1 a i'" a e s c a 1 o n u 11 a m a t r i z se u t i 1 i z a n 1 a s o p e r a c i o r-» e «: elementales entre filas (o columnas) para obtener los

r p r o b q u £- -r¿ e- } f ®í;"e ÍS'n B

Ej Gfnplu 14 s Ha 11 a r e 1 r an g o de 1 a ma t r i z ¡¡

\ -4 -2 “4 6/

Solucións Para obtener r(A)s tenemos dos entrada?“ escalonar por filas ó escalonar por columnas„ primer caso«, operamos elementalmente entre las f.11 a y er el segundo 3 entre las columnas., También«, se pueden combinar las operaciones«, Vamos a ejecutarlo por los do«

1 ados«

a - Esc a 1onando por filas, tenemos s

—2Fas + F.1. ¡¡ “Fa +* F.-s ¡¡ ~4Fa¡ + F* y 4F- + F», quedando 2

1" :1 Fa/ '

Para seguir a n u 1 a r e o s 1 o s

e B c a 1 o n a n ci ? c i_* n e* 1 e i rn enta -■ ^e 1 e men tos C132 n y con la. 3

operaciones; -F» + F*., F.3 -1" F» y (1/3)FÄ 2

... -, F' +t

Sequiiï'^^

3F.* F3 V "'2t"

• F » S /!•üo

ÜOtTlC

ti 0 A ™ r ( A ) ~

b . £:. S C B

a i f. y <:-

0 i 0 »Ti b n t. o

<: & r m i n a r H ( -- .11 / i 8 ) F.^ -i- p s

/o(>LO

i la ííiat i- x z A y ¿i £?5 tci 0 s c a i. o n a ci a

* entonces el r¿anqoe puede obtener y corresponde a 4 filas no nula^A

.1 o n a n d o p o r c; o J. u rn n a s

C x . S i r v e para obtener un i. i) en la posiciónnn 0c;.te canc e 1 aiifos más f ác:i 1 mente los restar»tes

. j 0 1 a P r i me r a f lías

1' ci r L- j. "I" C ? "■ L- i. i- L- -3 y (J j 4- C ,.q

r<_> Li

Sequimoto con Læ ■*“ C-:«

Î n tereamhiamos F -3 V F»s F > FRV

0\O r>

Como l a m a t r i z A ya p s I-h - •> - j• - *-ct e s l. crf .l u n a d a

e n t o n c e s e l r a n g o de A se p u e d e o b t e n e r y

p o r c o 1 umn a

corresponde a 4c o l u m n a s no n u l ñs s r ¡ A ) ~~ 4 .•ni.-.' *» ■••¡Ufc t-oi* r e s p o n d e 1 .- mismov a l o r o b t e n i d o a l u t i l i z a r o p e r a c i o n e s e n t r e f-¡ <'••• 1 i- i c(Sd e b e s i e m p r e s u c e d e r »

? como

Notas s

a . A l a ñ a d i r a u n a m a t r i z u n a f i l a ó una columna,

r a n g o n o v a r .1 a ó a u ni e n t a u n a u n i d a dsu

b „ t- 1 r a rt g o d e i. a s u ma d e d o 3 m a t r i c e s n o e s

suma de s u s ran ejo s a

m a y o r q u e ] $

1 . 6 NUMERQ DE S O L U C I O N E S D E U N S I S T EMA

E j e m p l o 1 5 ; R e s o l v e r l o s s i s t e m a s 2

b.t i turi c 85 el s i :=■ t: e m a t .1 e n 0 s o 1 u c .i. 6 n ú n ica s x — 7 / 2 e y

v _ y = 4

O b v i. i ! i fe.* ¡ 11“ 0 1 3 e g la n d a 0 c la a c i o n 0 si- u n a. fa s la r d o ,

a c e p t a n d o l a p r .1 m0 r a >, y p o i - l o t a n t O i , 0 1 s i s t e m a n o t i e n e

s o 1 u.c i òri

L. a s 0 Q u n d a 0 c u a c i o n 0 s la n a a m p 1 i f i c a c i o n d e 1 a primera s fc-s y por lo tanto, la segunda sobra « Els i s 1 0 hi a t i 0 n 0 c o rn o s o 1 la g i o n es, a q la 0.11 a s q la 0 c u m plan 1 a p r i. ì n 0 r a ? q la 0 s o n .i n f i n i. t ss, 0 n t r e las c u a 1 e s est a n I a s p a r 0 j a s ( j». ? ) p V ? 1- ) n ( ■*+ n x:. ) <, 1. 5 ?••'-'*) ? « ■ * ■ F 3. o t <=1 n t o ? 01

sistema tiene infinitas soluciones„

De lo anterior, tenemos que en todo sistema de ecuaciones lineales9 se puede presentara

a» Que el sistema no tenga solución ó,b. que el sistema tenga solución única óc- que el sistema tenga infinitas soluciones»

t „ r ! - ' i Í e U f i S í S t d e 6 : C U d u i ü i i k S l i n e a l e s - . qu

corresponda a cada una de las ¿natrices aufutíi i tada

siqui entes:

ía) /! 4 3 é\

i 1 3 -4( s i s t e fu a h o iTi o g é? n e o

i c: ) ( ii i i i )

-- B tiene más de una soluciónD e m o s t r a r q u e s * . - . a

{-... n (•" 0 < - t i e n e i n t i n i t a s s olu c i o n e s „ (Suger eriLia:y. c¿on soluciones, considere X» = a + 1 a )X

X .i. y •''

... ...,, b e q u e e s s o 1 u c. i ó n - )y COMIp» t-ltuu I

C a l c u l a r l as expresiones»

( b ) /4 '

í c ) /2 - i ' (d) /=os asen ci

■••sen a| eos ai

1 o s e 1 e in e- n t o s- d e' 1 a m a i:, riz q u. e Ef s h á n s i. "t. li a d o s í u era de 1 a o i a g o i"! a 1pr i ncip a 1 son i guaies a c ero»

u) 1 ,

( q ) fk V

n ( i )I 1

k 1 0 i i

0 1 :, o >0 1 . . .

iO o o /

• -, 1 :: í a ) •'~>L.Í L « “ / i 4 \ (b) /304 --61305 62

i' c ) fu i\ 5 i ri es par ¡, si n es impar

(d) teos na ksen na

sen na ( e ) I k. X

c u li a

( n - .1 ) i ì / 2( n—2 ) ( n — .l ) /

4 .. C a .1 c u A a

-- .12 I a p 3 .i. c.. a n (ri o .1. a i ci u a 1 ci a c.1

.1 / "" o O

7 / \ u

5 « H a l l a r e l v a l o r d e l p o l . i numi o f~ ( x ) ~ 3>í“'“ ~~ 2 x + b 0 r¡1 a m a t r i z A

S o 1 - 2 f ( A )

4 .1.0

1.7s FORMA DE DETERMINAR EL NUMERO DE SOLUCIONES DE UNSISTEMA DETERMINADOS

ü a ti o un sistema el e ecuaciones Aá — 3B,, es posible c c< n o c. e r c u. ¿< n i', a s s o 1 u c i o r1 e b tiene el sistema m e d i a n t e 1 o s )•-anqos de 1 a rnatriz de coef ic.ientes; r (A ) , de 1 a rnatriz aurne¡ \ tada ¡¡ r ( A ! B ) y e I núrner o de incógn i tas 5 n „ asi 5

I» Si r(A) = r(A!B) = n, el sistema tiene solución única.

2 . Si r(ft) = r(A*B) < n s el sistema tiene infinitassoluciones que dependen de ,1 a diferencia n — r(A) variables, llamadas variables libres, ya que pueden tomar cualquier valor real y de acuerdo con é l , quedan determinados los valores de las restantes r(A) v a r i a b 1 e s 1 1 a rn a d a s d e p e n d i e n t e s o básicas»

3- Si r(A) < r(A*B), el sistema no tiene solución.

Es dec ir , el sist.ema es consistente si r (A ) = r ( A ! B ) e inconsistente en caso contrario»

MFTODO DE ELIMINACION DE GAUSSs

E 1 m é t o d o rn á s u t i 1 i z a d o para r e s o 1 v e r s i s t e rn a s d e ecuaciones lineales es el llamado método de reducción o eliminación de í3auss„ o el de Bauss-Jordan» Es tos métodos

i .. í:í par i 1 ¡- d e 1 sis t.tírna or ig 1 na 1 PtX B ¡, construi r I a

fí) a t r* .1 z b u rn en t a d a A ! B .

'2- a« Reduc 1 r .1. a matriz aumentada a la f orma escalonada

r e d u c i d a u t i 3 .i z a n d o o p e r a c i o n e s ele rn e ri tales e n tre

f i 1 a s „ aceptándose únicamente e 1 intercambio entre

J. as co 1 umnas — 1 as restantes operaciones entre

c o .1. i..¡mnas ri o p u e d e ri s e r e ni p 1 e a d a s (el i rn 1 r1 a c .i. ó n de

üauss--Jordan ) . Con la matriz obtenida ? escribimos

e 1 s i s t e rn a e q u. i v a 1 e n te y resol v e m o s -

b» Reducir la matriz aumentada a la forma escalonada,

c ■ e s o 1 v e r p a r a 1 a ú 11 i m a i n c ó g r i i t. a y 1 u e g o usar

su st i tuc i 6n ha ci a atrás pa ra r eso1v e r pa ra las

o t r a s i n c 6q n i. t a s (el i m i ri a c .1 ó n gaussiana) .

Caá1 de éstos métodos es más útil? Si se resuelvensistemas de ecuaciones en una computadora«, la eliminación•gaussiana es el método más usado, ya que requiere menos ope r aci on e s e 1ement a les» En los casos restante5 , esqei'"it?ra 1 me ri te más apropiado el método de bauss Ofordan,, quees el que aplicaremos aquí»

Nota 2 E n caso de uti 1 izar un in ter c. a tul...* i. o en tr e 1— o 1 umnas es necesario tener presente que lo que se está haciendo e s c a rn b 1. a n d o c o n e 1 o i' d e 1» d e las v <■< ¡ i. a L< 1 e » h i ? eli ri t. e r c a m b i o F <....> F e q u ivale, s i. e 1 o r d e n n o s>e hac ’ a rn í”' .t. ado con anter .a. oí* .1. dc<d >i (... cutii...1.1 c:\t el (...• i' ¡..leí t ••■í.»* *, 1. »

2 x 1. +• 5>í 8

4 x 1 i- 3 x 2 -- 9 x ■:!

2 x 1 +■ 3 x 2 - 5 x 2

X'l + 8 = .1

Í3 U 1 Lie i ó n ü C o n b t r Ll i ¡Ti O

t e n i e n d o e n c u e n t a e i.

d GS0S - E "i n u t-.‘ s t r c.1 c a s o i,

X 'Vi ;i x.

12 en - 8 8 \

4 .9 9

•*> 3 _c 7

\l 8 -■7 12/

N e c: e 5 i. t a m o s u n i e n 1 a p o s i c i ó n a u , el c u a 1 pud e m o s

o b t e n e r d e v o. r i. a £ f o r m a s : hubiera p o d i. d o c o p i a r

intercambiando con la F4 ( s e

la ecuación 4 como 1 ? di. rer t amen te) , o por resta« Empleai* finios la última;, con la

o pe r a c: i 6n s - F” -■» + a. s

/i 1 •4

í-ihora, anuläffios los reatantes elementos de la columna ,, ti ti i 1 i. z a n d o e 1 i d e 1 a p o s .i c i ó n a x x s ~ 4 F x -+• F29 -2Fi +

3 y -Fi + F a - “

15lo I

Simplificamos las filas 2 y 3 s (-l/5)hs y ( 1 / 3 ) F

Cambiamos uf deii de las variables a xx ?

L r.ï "

1 1 lé.

Seguimos reduciendo s F ss + F*, F.-«» + F -.3 y 6 F 3. + F^s

/i - 9\

La fila 3 lo único que nos dice es que O = O í. O >\ x + Ok .3 + O >; -- 0)¡, y por lo tanto, puede quitarse, sin

afee tai- la solución del sisteman Efectuamos (■—1/ 7)P.^s

oo •6

Para termi.nar de reducir, 6F-3 + F x y 3F3 + Fs 2

Como la matriz ya es escalonada reducida y r(A) =i" ( h ! 8 ) n -- 3 j tenemos solución única. El sistemaeq u i v a 1 en te a <‘?s ta ú 1 1 i ma ma t r i. i- es 2

y la solución será la terna (-.->* 2, 1)

E j e m p l o i 7 5 R 0 s o 1 v e r e J S :i s t e m a * E n c a s o d e

1 i : v' i n i t a s s o 1 u c i o n e s , d a r 1 a s o 1 u c i ón q e n e r a l

s o j. u. c i o 11 e s p a r t i c u 1 a r 0 s s

' > .J. .«.î 3

2 x i + 2 + 4x3

+ 3>í» = 1_L. “V •. . --A •:» 1 ■•••■ Si —

. i f . « nr ., • . . _ -i•••' X A z:-: ‘ a '3 -i" — 1

2>i X + 2>iS! + 8 * 3 - 3 A,* 4- 9>{» = 2

bo i ut: ion s La matriz aumentada ? man te ni en do el orden de1 a s v a i“ i a fo 10 s y .1 a e- 0 c u a c i on 0 s ;;

Y c. o ítí e n z a m o s a r 0 d li c .i. r .1 a

r aF a , ~3Fx 4- F 3 y - 2 F

O<> —6

E f e c t u a m o s - '2 F 3» f"3 ? l” -*» v " .1. / 2 ) F s

llK ) • }

Püdeíííos continuar cancelando el elemento aX3 , pero si comparamos las filas y 4, observamos que F** = -2 F3 „ d e sc a t'" t a n d o e 1 c e r m i. n o i. n d e p eri d i en t e n E n t on c es qe f gc tuaiíios 3 ¡- -n 2

Anal izando la última ecuación <, 0;í¿ + U>;sr O >¡3 + <_>>;.** -{- Ov;jjj —4 ,. vernos que es un absurdo y por lo tanto, el s .1 & t. e rn a n o t i e n e s o 1 u c i ó n „

Si ni i ramos la teoría de rangos, r (A) = 3, r (A ! B ) = 4» r;r:i....... r ( p,) <> r ( A ! E*) , 13.egamos a la misma conclusidn s el

s i s t e rn a n o t i. e n e sol u <::: i ór» -

E j e m p l o 18" Resolver el sistema« En caso de tener

inf ini tas soluciones», dai la e ü Iu l i ü i i general y 5

i - 1 •.. * c i t 'i e s p a t' t >■ c.. i.11 a i e s «

o;-; i.4

'i' <■-. -r ••!■ - i- .q, f- \~t >• «3

•2S 4- >; •;»: •+• Q >•; V- .1 S X <-3

S o l u c i ó n s M a t r i z a m p l i a d a , con e l s i g u i e n t e o r d e n de

.1. a s V a t'" i a b J. e •i -M- ¡i «

Up erarnos« ~-3F x F , — 3 F x F r«,- M ~2Fx + F y — F x

En tones? -i- F-sa +• F-5 —Fas F 4 y F

O (. )i /

L a f i l a 3 l a podem os q u i t a r y e r e c t u amo s ;î ~2 F F as y

n »’‘i O 1 o

i... a matfr .i z y a está reducida y r( A) ~~ 3, r í A ! EO — 3,, n = 5 tenemos infinitáis soluciones y n -• r(A) = 2 variable? libres» El orden de las variables ess >•; ¿, Mr? n ? ^

E l s i s terna e q u i v a l e n t e ess

Las variables bátsicas pueden bsr .v?? '■»tu- V '?'■** (son lasque forman la iiiatriescalonada reducida) y las variables libres, >;x V >{»« Por despeje en función de las variables libres, tenemos el sistema fundamental de solucioness

z* = .1. H- .2 x •—3 — •.> ■- 4 >{ e>

La solución general se obtiene a partir del sistema fundamental de soluciones agregándole las igualdades de toda variable libre igual a si mismas es decirs

X x'.. ;f y’s »3

Eil f t J f" iTi 3 V 0 L t o r i a i n B £ !

i .:'i a.. >t ' uji n 3 't ;i !.?> ,* ( O n .1. q •-■'* r O ? O }K .1 ( 1 , 2 ? 0 n 0 0 ) +X s> t. C- i, .1. i, 4 >, O 1 )

P r a o ta t e n 0 r 1 a s s o I u c i o n e* s p a r t icularss , el a íTt o s

V 3 1 D r 0 S I' 0 3 1 0 S 3. 1 3 S V 3 i~ Í 3 Ó 1 0 S 1 X tí l" 0 3 3

B i i -- 0 y >i e> O, 13 s o l u c i ó n b b : (U, 1 9 , O ¡, ü )

S i >í i ::::: O y í í •.’3 i- ? 13 s o 1 u c i ó n 0 s ¡ (O <1 ü >, i ? u 1)

B l t 1 V '> “> r~ 1 •) ? i 3 S o l u c i ó n 6 5 ü (i? a ' • * O)

Sí H 1 1 V '' r" •*■ ? 1. 3 s o l u c i ó n 6 5 ! ( .1 ¡i ? “'■!• ? '•••’ <i i )

si 1 ““ -1 y ~ ? !• 3 s o l u c i ó n e s : (1? I? O 2)

Ejemplo 19" H a l l a r la s o l u c i ó n g e n e r a l y e 1 s i s t e m a

f u n d a m e n t a l d e s o l u c i o n e s p a r a el s i s t e m a h o m o g é n e o s

» 4 k* <•• 5>í3 +3; ; , ... 6 + -4 ':■< = <•>

i o 1.1 < c i On 2 L a íTi a t ¡ " i z a m p a i a d a

4 - 8 17 11 O

Como ai operar e--i emen ta J.mer1te entre f 1 1 as, los ceros de la ultima columna no se alteran, voy a descartar ésta c:: o 1 u m n a m i e rt t r a s r e d u z c o 1 ¿á m a t. r i z ? h a c i én d o la re a p a r e c e r al finalizar el proceso de reducción»

E f e c t u a m o s - F 2: + F • >. 2

4 ~8 17

Sequ irnos con 2 3F 1 •+• F'a, 4F a -i- F» y Fi

1 - 1 -V

O 0 /o O 21 .1.5

Pihora ? " ■*" 1" -o* y (1/ 7)F~

--2 1 - 1

0 1 5 / ‘

o o o o

F‘a r a t 0 r i T i i n « r s i" í ' t “

o m o 1 <-x m a t r i z. y a est a r 0 d u. c i d a con r(A) = r(A!N) = 2 y n ~ 4, el sistema tiene

infinitas soluciones dependientes de 2 parámetros. El s i s tema eq u :i. valen t.e ess

xx - 2;; - (2/7)x* - 0

x® + (5/7 )x.* = O

quedando el sistema fundamental de solucioness

;•:* - 2 xa + (2/7)**

con dos variables básicass x.t y x3. y dos variables

ibress ; ;2 y x4 > La solución general será entoncess

X;L = 2>!-2 * ( 2 / 7 ) x

- - ( 5/7 ) x*

Ejemplo 20 s E:.n el siguiente sisteman hallar el valor de k ,, de modo que el sistE,ma

k .1 ■a •- -í-

i +■ k >; +

+■I" >i ,q. -

■+• k x -i. =

1 n tenqa

a . Soluciün única. b n 1 nf i t i i t ab so 1 uc i ones - c .. C e r o s o 1 u c i o n e s ,,

Solucións la matriz ampliada con el orden ^ ,

eramoss -Fa + Faj _ . F i + F», -

/;l 1 i ko o k - 1 i - k ° \

0 k- 1 0 i-k 0

. 0 1 k 1 -k .1 - k 3R 1 -k ,

¡ io h a y i n t e r c am b i o s d e f i 1 a s o c o 1 u.mñas que pe rm i t a n operar M si.n poney~ condiciones para k „ i-1 or lo tanto,ñiiálizaiTios si existe algún valor de k que anule alguna fila de A o de A!B» Claramente observamos que k = 1 anula Ivas filas 2, 3 y 4 de la matriz ampliada. Entonces, pasamos a analizar que su.ce-:*de para k = .1 y k O ls

C -i O .1. k O ls Efectúa m os en í x ) s(i / ( k .1 ) ) 1 ■■ 3» ¡i (1 / ( k 1 ) ) F- ts ¡i (1 / (

I 1 1i k i\

0 0 :L - 1 0

0 i 0 - 1 0

, o 1 AX i<-k J

I ntercambi íilTfOB Fp y F3 s F- ..

t i i 1 k l\

0 i 0 - 1 0

0 0 1 - 1 0

\ 0 1 1 1 -»-k 1 ,

E f ec tuamos — I" 3* •+• F s (no se re

■> F»

>61o se piden condiciones y no soluciones)

i 1 k 1 \/i. ) o

i.) -•i - 1

3 •+• I-

A i "i o i " a v o 1 v e fu o s a i. j::< u n ti o e n 01 c u. a 1 c o r i~ e s p o n d eanalizar valores de k , de' manera que el rango de A y

el de A !B sean o iguales o diferentes. En la fila 4 ,e .1 valor k -- anula la fila en A¡, pero no en AJE',por lo cual es de importancia ? y lo vamos a anal izar :

1 „ i S i k < > i y k <> —3 s en ( y ) , (.1 / ( k+3 ) ) F.* s

í )- 1

1 / ( k+3)

Como r ( A ) = 4 , r ( A ! B ) = 4 y n = 4 , tenemos e l caso

d e s o 1 u c: i ó n ú n i c: a ..

;}. , 2 S i k ~"3 s en ( y )

LueQu q r i i-i ) y r ( A ! E< ) = 4 1 o que nc

i-."' I S 1 t <“•?Mí3. f"i O t .1 E'f l 0 ì=>OlUC ÍÓI"

31 k - 1:: en ( x ) queda

inaxca que

q u e? e s e q u i. v a 1 en t e a s

( i i )

con r(A) i, r(AiB) ~ .1. y n = 4, que se acomoda alcaso ele infinitas soluciones, con 3 variables libres y u n a v a r i. a b 1 e b ¿t s i c a .

R e s u »Ti i. e n d o °

a . Si (k-1)í k+3) <> O, existe solución única, (ver 1.1)

b„ Si k ~ i , existen infinitas soluciones dependientes de 3 f -1 a r & tTi e t r o s ( v a r i a b 1 e s 1 i b res) »

c. Si k -3, el sistema es inconsistente, (ver 1 n 2 )

Ejemplo 21 En e i siguiente sistema, hallar el valor de k ,, ("I ;ïi o d o c¡ u e e 1 s i s ti e m a t e n o a s

a » So !. uc i un ún i.c ai i t a s so 1 i.ic i oí i e s -so 1. uc i o n e s „ S 1 ¡í

+ 1 )Kl + -i-

Xx + (k + 1 ) x2

Xl + Ma -i- ( k +

iôn s La mat riz a m pii ada es s

+ 1 1 1 k® + 3k1 k+l 1 k + 3k1 1 k+l k* + 3k

k -i- 3 k k3 -i- 3k =L:; * -i- 3 j..: --T.

Efectuamos C*. C3 s Ocasiona que el nuevo orden dea S V et ia r i a b les es s í-í ~s :>¡

k + l i

Operarnos s —F + Fs»? •■“ ( k + l ) F*. + t-.-jjS

k+l k2 + 3k-k k3 + 2 k a' 3

■k=E-2k k * + 2k3 4(«)

¿•À a H c'\ 1 .i Z et I*" .i O S

Si k <> Os (i/k)F^, ( .1 / k ) F:s

uor -i

■k—2

kÄ + 3 kk +• 2 k

E s c a .1 o n a m o s s F + F -

k +1 k5® +• 3 k-1 k* + 2k - 1

--k-~3 k3 3k *s

A h o ra, el v a 1 c< r k - — 3 ce s i m p o r t a n t e por anular la fila 3 de A..

.1.1 Si k <> 0 y k <> “3s ( 1 / ( --k~-3 ) ) F-

k + 1-1

Como r(A) = r(A!B) - n 3, el sistema tieneS O 1 U C i 6 H Û f i _Ì C a -

1.2 Si k == - 3 5 en (y)

Ahora r(A) r(A!B) - 2 y n 3» Luego, el sistema t i e n e i n f i n i t b. s s o i la c i o n 0 s c o r "¡ u n a v ariable 1 ibre c

Si k ” u s en ( >í )

cj u e e q u i v a Ae a a

con r (A ) — r(A!I-.0 1 y n ^ 3» L. u. e q o el sistema tieneinfinitas soluciones con 2 variables libres-

R e s la m i e n el o s

a„ Se presenta solución única si k(k+3) <> O,, (ver 1.1)

fo„ Se p r e sent a n i nf i n i t a s so 1 uciones e n dos ca sos s

h „ 1 n S i. k = -• 3 h a y i n f i n i t a s s o 1 u c i o n es q u e d e p e r» d e nd e la n p a r ám 0 1 r o „

h „ 2 Si k =•■ 0 hay infinitas sol u clones que d e p e n d en de

p a r & m e t r o s

E j tí mp 1 ui 22 i D i s c u t i r e 1 s i s t e m a s H a l l a r e 1 v a 1 o r de k, de

m a n © r a. q u e e 1 s i s t. e m a t. e n g a s

a „ r.$ o 1 uc i o n Un i c a « Ha 11 a r 1 a «

h i rf f i n .i t. a s s o 1 u c i o n es» D a r la s o 1 u c i ó n g e n e r a 1 «

c „ C e r o s o 1 la c i o n e s » s i

k >{ x + x = X X k XiX

/■i 3 . "'r s{ .q.

X 3 "I" X

X 3 + X s-lX 3 •+• k X

S o 3. l i c i On s 1 a m a t. r i z a m p lia d a c on e 1 o r d en x 3 x ;i ^ n

Operamos: -F x + Fas p -F ± + F3 , —kFj. +

i-ki-k1-k

i \k- 1

k2-l k3-- k

i'io h a v rorrna d © & s q u i v <3 y~ 1 a s k « H o r lo t s n t o ¡, pcira

p o d & f s © q u 1 r 9 b u s c a in o b a 1 q ¡.'a n v a .1 o r q u e a n u le o u n a ti 1 a

cl © ¡''i o d © m 1H .. h s i m p l e vi.s ca ■> s s o b s s r v s q u © i a s t i 1 s 5

;2, 3 y 4 $.■>© arìu L dii coinp 1 e t a m e n t e p a r a li =~ .1 a L u b q d ? s s t G

> 1 s © f e c. 'LUrtiilQS " ( 1/ ()F*. „

.1 1 k* \

(* ) 1 - 1 ! \

.1 0 -1 k + 11 1 IH--: . . . k-£--k

( 1 / ( k - 1 } ) F

&. f G l tlU affi OS l~ 3 + F i j "" F F -q- Y f" n

-1 --1 k+2

C o n t i n u a rn o s s F ,3 + F x ■» - F .■» + F .

0 k 4-2

-1 k + 3

k +1 1

b.ncontramos ahora otro rnomento ©n que no podemos E'vadi r manejar ¿i i QebráiccttTiE'n te poi.inorn.ios con k » En 3.a cuarta fila, la matriz A se anula para k — —3, por lo c u :::< 1 Ef s u n V a .1. o r d © i m p o r t a n c i a © n e .1 p r oble rn a «

i„i„ Si k O l y k<> E f ec tu amos i .1 / ( k +3 ) } F en ( y )

i ■*- 2 --.1. -i 1

-k-1k + i

(--kÄ-2k---2) / ( k+3 )

Operamos : ~(k+2)F^ + F*. , F.* + F-a y F + F-

( k3 +3kÄ+ 2 k + i ) / ( k+3 )\

(2k+i)/(k+3)(i-k-k2 )/(k+3)

(~k*~2k-2)/(k+3)

Como r ( A ) r t. A í B ) ú n i. c a „ 1 a c u a 1 e s s

n ~ 4 en ton ces hay- so luci ón

( k: s -i- 3 k. aC'+2 k +1 ) / ( k + 3 ) = ( 2k + l ) /" ( k+3 )= (l~k-ks )/(k+3)= ( k:i- 2k-2)/(k+3)

Si k 3 » Entonces la cuarta fila quedas íes» y)

•i..., u. ti? cj o e i i" (í-i) 3 r, i-" (?-) í B )s i s t g rn a n o t i. ti*! "i e so i u c x ón «

4 - Por i o tanto» el

í‘3.1. k s~' 1 s fj 1 s.i.stema quedas (en x)

i 10 O0 o

Las tres últimas filas son nula^» y se pueden umitir quedando la matriz escalonada reducidas

i i i)

r(A) = 1 , r(A!B) = 1 y n.1 n í i n i t a s s o 1 la c: i o n e s c o n s i s t e rn a e q u i v a 1 e n t e e s s

= 4« Por lo tanto, hay 3 var i a b 1 es 1 i br e s „ E 1

El sistema fundamental de soluciones, considerando y%x

c o m o v a i" i a b 1 e b ¿i s .i. c a y x¡« x 3 y x c o n 1 o v a r i a b les libres, es:

L. a i:::- o .1. u c i ó n cj e n e r a 1 e s s

Resuiui.0ndo s I...a respue31a ele 1 prob 1«rna es s

a» El sis terna tiens solución Cínica;, sx (k~i) ( k--o ,* o ydicha solución ess (ver 1.1.)

;1 « ( + i ) / ( k+-3)

x2 - (2k+l)/(k+3);-í* = ( i-k-k31) / ( k+3)■:;A = (-•k^--2k-'2)/(k-t-3)

b. El sistema tiene infinitas soluciones, si k = 1 y la solución QBnefcí 1 bss i. v&r s~ « )

Mi. ™ i " >í C?i ~ '<:s +

Cn El sistema no tiene solución si k (ver I»-.-:)

l „ U t i i. i 2ando e 1 m é todo de e 1 irninación de Gauss-Jordan 3h a .i. I. a r 1 a s o 3. u c i 6 n g & n e r al y dos solucio n e sparticulares (en caso de tener infinitas), del sistema el e> Ecu a c i on es í¡

( a ) 2 X a. "J" / i'í ■"£ "1" 3 "i" >i .q. ó3>ii ■+• 5>;as + 2*3 + 2 x = 49 x ;i_ + 4>;-;¿ + x.-r + 7 y, -- 2

Solucí6ns So1uc i ón genera1

Mi (X.-3 ~ 9x4 •“ 2)/II5>«S = ( >í -q- - 5X3 + 10) /II

( f o ) 2 Xa. 3 x - ;H - i - 5 x . 3 +• 7 > í 4 = 1

4 / . . j ^ , < %V‘ . *>ix 0^2 4‘ + oí-Í«* —2.xi -• 3x2 - IIX3 “ 15>u = 1

S o 1 u c: i <bn s B o 1 u c i ó n q e n e r a 1

»3 "" 22x ,-j. — 33 x® “ ll{i Xw* 1 óx a. + 24 Xas ”*'■ 8.

(c) 3xa. - 5xa + 2X3 + 4x* - 2/ X a. 4 X -a + X 3 + X -q. “ Ot* X 3 H" / X •— 4 X 3 X

2 X X ■*" ••-* X -ss "1" 2 >í 3 4- b X 4 “ 3

: ' t. ■ *’ •;£ "*■ 4 M -5 —' b >i — i.

*" '■ '■ I. ^ + ■ ■■' ■•"! 3 4 4 >! ™ b

/ ;•; x + >{ -25 4* £> X 3 — X ~ ?

So 11.*.ci6n s So 1 ución genera 1

X a. “ ( &> 4- 8 ^ ) / ? ?

>¡2 = (1 “ i 3 X av ) / 7 ,x3 = ( I b - b x « ) / 7

( e ) £3 X :j.. 4 - iíb X ;r> 4 - b X. 3 4 - 2 X .q. — 21.

ZXx 4 ••-*;•{-JI 4- 2 X 3 4- X-q. “ 10

4 X ;i. 4- 2 X 2 4 3 X .3 4- ^ ~ 8

3 X x. + bx® 4- >•* •<- X* = Ib

7xi + 4x^ +• bx3 h- 2 k* = 18

S o 1 u <::: i O n s 1 s i s t e m a t i e* n e s o 1 u c i O n Ci n i c a s

{ X x ¡i X-zs ? Xr& ? X j* <i X l 1 3 1 3 •£• ? “ 9 3 4

Discutir el sistema y hallar la solución general e 1 y a 1 o r d e 1 p a r á m e t r o k s

(a) 5>;j. 3x-x + 3 >{3 f 4>{-» = 3

4 >¿ x 2 x + 3 X 3 + 7 >' -* ~ i

8 X 1 . ó X :■.£■ 3 -1

según

o i k O q l i i "f x f í i has 1 ul .i on (¿s di? la ~f o i~ <ti a

'■ '» X i 3 “ i •-> • n

;-í= ~ ( ~7>í3 -• J. 9 >; ¿i -- 7)

i b ) •-* M .1 "l" 2 Vi i; 7JJ. 't- 4 i-5 ”• -.!>2 > í i + 3 >í + 6 > ¡ 3 + 8 >■; j£» = 5

i ó ' i 9 >; -~ A b ¡4 —1 1

x l M .1 + ; { -■» •+• ¿{- >; + k >{ .¿i

Solución s Si k O n o hay solución.

Si k > O , h a y i n f i n i t as soluciones de la■f o r ff» a ¡¡

í'! x ”” t. 4 k k 3 ) / 5 k ? xs = (9 k 16 - 8kM3>/5k,>;.* 1 /k.

(c) xj. + 5>«a + >:» + 3>;,» - 24 >1 x 6 >; ■-?. tj. -¡- |ñ >; “= 44 X i ' 14X 3» + X + 7 X —■ 42 X x 3 > { a + 3 X 3 + k X * = /

Solución;: Si k » 1 , el sistema es incompatible.

Si k O Ij es compatible y 1 a. soluciónqE ;ne*ra 1 es de 1. a f orma s

xx = <45 * 8fc - - k )>;.,)/ (S - 8 k ) „ sí 5:5 ( 5 i ( .L k i x 3 )/(■*! ~ 4lí) <i x * ■» 5 / ( k - .1 »

d -t - >: i )í » + 3 i» H- 4 X y, = 5

" 1 >¡ i — ¿ K s 5 x 3 + 6 x * *= 7

Ó X j. ~ 3 >í n H J x - s + tí<r

k * A . . . 4 > ¡ 5 2 + 9 x 3 + I O X jt» - 1 1

Solución: Si k = 8, infinitas soluciones

X;E = 4 ■+ 2xi -- .— 'V «... O vX 3 * X*'

g x |, <y- 8 hay infinitas soluciones

>: i. - 0,

X S = 4 — 2 X í»%

X9 - 3 - 2 >u -

( e ) 2xx h 3x» + x» + 2 x - 3

4x* + feX » + 3x» + 4>¡4 = 5

6x * + 9 «2 + 5 x 31 + ¿ 3 Ü X| = 7

8;<i + 12 x s + 7 x 3 + k;{fl ■= 9

S o l u c i ó n : Si k = 3 , la sol ucióf'i

- -i ,

>¡-o - . t - 5xs/2.

I ■:?, S Q 1 U. C .1 Oí ! Cj & Ti t? 1" si t .1 E't ib 1 ñ;-•> 1 ¡-: O 4 i ct b l..i 1 L l.U , 1 U ! i m

T O Y " ffi a

í{= 4 /3 - .2 >< j. •' 3 <i

«3 = -1,i-i* = O.

( f ) k >( x + jS "h >{ t» '•x + k zs + ;(3 i

y. x _l ' " '

Solución! Si (k - l)(k + 2) O 0, el sistema tienes o 1 u c i ó n ú n i c a

Mx - Xa - ** = 2 >

Si k = i, la solución general tiene la foriria

S i. k - 2 n e 1 s i. s t e m a e s i n c o < v¡ p a t i b 1 e »

(g) (1 + k)Xl + Ha + “ 1K l + ( 1 + k):>;z + = k

+ X a + i 1 + I O » 3 = k E

/ i, + Vi o. el sistema tiene solución So lucí orí s Bi M k “» ■ - - ?I t R i C a n.

Xl “ (2 ~ ka ) / { I i= ( 2 k - 1 ) / (k*

>í3 < k3 + 2k* - h

Si k 0 yincompati bl B „

R K s 0 i. ver la ecuación A X - B,

A = (i l\ y B ■•=r

i’1 0 1 0

, 1 ll '—i1 1,

el sistema es

4 » I -I a 11 a i" e 1 r a n g a cl e las s i g u i en t. es matrices s

-1 3 -2 4\ <b) /i 3( a )4

-1 11 7B 2

o1 4 J

\ (d )rí £

5’•1*»■19

feo 1 uc i òri s ( a ) 2 n i.b ) 3 c. ) •••■' ? \ c3 )

<\.0 1

t. i en© un rango ni .1. n iííío „ A qué «=‘5 igual E'l ranqo paralos valores obtenidos de k y para los demás valores?

Solución s Si k O, r = 2, si k O O, r ~ 3«

6« A qué es igual el rango de la matriz

.1 k2 -11 i 0i ) -/l

para distintos valores de k?

Solución s Si k « 3., r ~ 2; si k O 3, r

7 « Nal lar la solución general y el sistema fundamental de s o 1 u c i. o n e s p a r a 1 o s s i s t e m a s h o m o g é-n e o s s

( a ) Xx +• 2.X&

3k:1 + 5>íía 4>íi + 5>í® 3x;,. + 8 Xa

+ 4 .3 - 3 X * = V

"f" Ó ~2, 4 X “ O

X = B k

•0K3 r‘ >' «*»

i b } ■h

4- 4 ;.{-, 4- 3;4 3>u- + 5>i©4- X 4 / «s

~.r >■ -i Ti" ó ;•{ ir* 4- 5 >' 3 4- / > ' 4 - V >i «

3>ii + 2>!®

•4" 4 >■. 4- Q X ;3 = U

S o I u c .i.òn s L.a b o ] u c ± ut i u t e n e r e t 1 t -..‘ s s

-- ( 9 >; i 4- 6 y, ^ 4- Q >; rs ) / 4 ?laj ... Í /'» y' + 4xs )/4

8 * E il c o il t. r a r 1 a b condici o n es, s i e >; .i b t e n , para <r.t ¡, b «, e y d , d E5 m o d o q u & 1 o s s i s t e m a s g

a » Bea n c onsi sten tes, b r. B 0 a n i ri c o n b i. b t. e n t. e b n

( a ) 2 ? ; X — >i ä 3 — a4- 4>;2 b

4- 4>i.-s

(b) 4-

t el ,•- b

Bo 1uciön - ( a ) ( b ) y ( d ) s i e m p r e s o n c o n i «=» t e n t e s(c) a -• 7b - 5c = O

2 ,1 REGLAS DE LA ARITMETICA MATRICIALs

i-iítn cuan do ronchas de las r e* ct .i. a s d e la aritmética de 1 o s r e a 1e s 1" a ¡7/ b .1 fc'i i 5 e* c i.i ¿Ti p 1 en p a r a 1 a s rn a t'. r i. c e s- ? h ¿t y a 1qunas excepciones, y una de las más importantes se0 resen ta en la mu 1 ti pl ic ación de matrices. Para los ¡ iúmeros rea l es a y b H siempre se tiene que ab ba» Esta propiedad, 1lamada ley conmutativa para la muitip1icsción no siempre se cumple entre* las matrices (tal como se anotó en el cap.i tu 1 o anterior, numera 1 .1») »

Teorema 2.12 Suponiendo que los tamaños de las matrices nn tales que es pos i b 1 e efectuar las operac i ones indicadas,, son válidas las reglas que siguen de la a r i tmót i c: a mat. ¡" i c i a I , c ons i der ando k , I nú meros rea I. es yA , B, C matrices;;

1 ( .1. e*y con mu tativa para la

a o x c i on i

! i <■ í o "f L- i i •i- B ) C (‘J ..i. «í \f asociativa para laa : J i 1on ¡r'í i. Í-.OJ } ¡ AB ) C (ley h.-oi c:! t. j. v pe? r a 1 aííiu 111 p i i c ac i. on )

. ! H (. í:.' (. ,i AB -i AL ( ley d is t r i bu !; i va )j „ i B ) A BA CA í 1 ey d .1.stributiva)

Ò * m » 1,1 - Mtí - AC; i I ey d 1stributiva)/ - (B - C)A = BA - CA t 1 e y d .i.stri bu. ti va )C > .. k ( .b’ • ) ~~ k B -i- kC

í ( B - C ) - k B -- kC

10 » ( k- ¡- 1 i ü k + 1Ci l . , ík n c == kC

:J 2 . ( k I ) C ■- ! • ( I C )

1 3 - k ( BC ) ~ ( k B ) C Bi kC)

Notas! En las matrices no se cumplen algunas reglas u t .i 1 i. z ad a s n o r ma 1 men t e en 1 o s r ea les, c oino;

a. Si ab a c y a u r, sntonces b c « b.n las matriceséste tipo de cancelación no se puede ejecutar,, salvo ciertas condiciones que se estudian m&s adelante,,

Ejemplo 1 » (...• onnr>idò rense 1 as matriceí

¡ a ¡ 'áiíi0n l.t? Se ODESr v ¿i QU.0 o <. U

O 1 r'X U en í ionces a b O D -3 fit b O S „ 1 ¿t ft : p O cDtieoe coftc i u i r Jo íTi i smo en l a s rrnS'criCE'S ..

Ejemplo 2 ?. ConsW .1. U tv/ V ~.i i ¡ t.l C..I !-l c B( i : )

Sí..:' p u ed e p r o b a r cju© AB •• = / 0 U

i O o }v! i. ‘.J e i 11. i f i c a t i 1 a nt a t r x z n u 1 a ) H y s»in b m b a r q on i n Q u n a d e 1 a s u o s m ,, r» i B s o n n u 1 a s ..

Ejemplo 3 s Demostr ar que* en un siBtwis hofRogéneo d©ecuacioness

a.. L. a suma de d o s so i uc i ones es t ambién so .1 uc iui i ■»

b„ El. produr:t.o de una solución por' un escalar-, también esS O .1 U C 1 OH „

.oiuc ion ü biUpürs&fiiOB que a -v? so si s o l u c i o n e s d e l

ua J equivale a decir que rtXj, l\i y

AX, M X ;-.x M + M A ( > i. + **>.) « N. Cor, lo que qued,Ufcn'riQhs l... i- <zidcj „

1:::. S i ¡iiU .Lt i p 1 i caroo £ L a p r i ni era Agualdad por el escalar k s

kAX:t. = k W ? A{ kXi) = M , 1 o q u s d e rn u e s t r a I a p a r t e b „

Teorema 2 <“> „» JL. u Su pianiendo que ios tamafias de las matricesse>n ta .ì sì5 <■iue sfi? pu ©dei-> efectuar las operacionesi nd i c a d a s f ;uiS si guien tes reglas de la aritmética/’fi 3 t r i c i a .1. son Vài idas ¡:

1 . E k iste un a un iCsi iTjci tri ¿ .11 a m a d a m a t r i 2 n u 1 a 0 m a t r -¡cero N := 0, tal que A + N •= M + A •- A

A - A :::;: w

N - A * --A/\ h 1 •— h} MA -:: MA\ » 1—51M » •' Í»

5 . AI =* IA = A

n n m ù t RIZ TWVFRSIBLE 0 REGULAR 0 NO SINGULAR a Ri .-» X -U fi ci

lifi »,* ___

ff1 cri f ■c- cuad rada cua1 quiera y si es posible hallar una

fffei fc t- ;[ C U £5 CÍr a ci a B tai que AB = BA = I (matriz identidad). p dice que A es 'inversible ó no s i n q u l & r , y ft{ i LUI f fc* ““

se c o n o c e corno inversa de fi.

Ej em p i o 4 s L a m a t r i z « -

w * ¡i 'f'f ---blí.-,, ya que» ex i <=•{-<=> ¡ - ,ííiéitri;;: £; ^

tal que h B •= /j. n\Y BA = A * I = i_

E j e m p l o 5; Ls matrj. 2 A ~~

no es .in ve risible-

Solución:: Para comprobarlo, suponemos una matriz g

B ~ / b u bis tal. que AB = 3;bzz'jL b-sja bz?.-¿ij

,5,31. b.-sas b,j5

Resolvemos el sistema de ecuaciónp ~.

bu. + bb.í».». — 1bi® + 5 b ^ Obis + 5t>a3 = 0

2 b n + lObaa = 02 bx 22 + ■iObsxi» •" *•

2b i 3 + = ü3 b x x + 4 b ^ J- + 7 b a ti i= 0

t> 1 ■;?. + 4 fosear '' /bwa» O

5 b 1 * + 4 b *'® + 7 b ® * “ 1

Al .in te

o b t 0 n e iti o s

la c u a 1

que B no ex

Teorema 2.3;e s; d ti c i r * s e

I) £? ili O S t i' -'I f- t' -1 f ry C» Por Io

i n a v. r ..t ?■ j ....■ ! f l. A «Q .-.-ib ' v- , b i 3 ,, D -.-v

con f* i iw 1 urcien«i D~v -V |J*VH **> bJwv

0 1. C

...I ! i

0 o4 o

ifttar resolver & L s.isuna nueva fila 4»

te1Ì f y o p e r a n d ò -'¿’F., + F

o f. i U U ou —

dice que? 0 x ste.

lo que es absurdo* lmPHcando

di A es inversible j -ojo t.ì.enp■r>& uni1 mverc.I f rj. fcj 1 i-t (. j ir1 1 ìH .1. Ti V'- fi l‘"‘rsa de A,

Bu ponganios que e :j. s ¡; e,•(:cinto, AB ~~ BA 1 AC

’ dDS inversas de1 „ cor; B ■ ¡-

ì. o c /;> J t: •/ s ! n a b s u r d o „ i. u & q o ,, es f a j. b o q ì. j e B

irivei-' s a s de; A ,, va que huiì i, a misma,.

Corna A s ó l o t io?ne una i n v e r s a . , é s t a se n o t a corno A~*

e n t e n d i e n d o -i no como e x p o n e nte, s i n o como notación d

l a . i n v e r s a -

Teorema 2.4 s La i n v e r s a por la de re cha ( i z q u i e r d a ) e<

un i c a »

Mota s En s i me? todo beyuidu et i © 1 e j empi o anterior «n-

muestra una de? las formas que existen para calcular 1<~

i n v e r s a de una matriz cuadrada, en caso de existir,, qMR

se .'Limita a resolver el sistema AA ;L = I ó el sistema

A' :l A 1 »

Ej empio ; Ca 1 c u l a r La i n v e r sa (Je A ~~

obtener 1 a condición para que A"--1 ex i sta

Solución 2 R s s o L v e m o s e 1 s i s tenta A A ~ I

•*- L’

•> ¡::U :

••• U U

-i- du J.

bupondreíiios, que * 1 menos una de las letras: a, b ,r¡ nn n u l a y no se pierde generalidad suponiendo que

; Q „

• ■ i-, -¡ •’ Afín l iadaconsiderando el orden x , y , , u¡¡. a ¡tí;:» L r X t- -

Operamos con

' a ) f" ¡s

■*” i “ 3 »1 í. '~'C. ■■■’ a I" "I" S) i| ( i- ■' a } í"

O ti / a

be ) / ab/

i. >( ad dc ) /a

<na <" r i 2 eie l o s c o e f i c i e n t e s p e r o no en l a m a t r i z a u m e n t a d a

i l a f i l a 4 q u e d a r l a a s i : '•-> O ü 1 ),, ] o c u a l

.............. -i i t >'■ ì -•( t e n e r s o l u c i ó n . l-‘o r l o t a n t o , l a c o n d i c i ó nI H-J j.; I ; *1 '• ••■- e'-i^ta la inversa es que ad - bc < > 0 - Con esta

(. J r t I r.:< L I U . t í -

- i r-1 rìn p f pc huaiTtOS >.. a >' ( ad bc ) ) y (a/ ( a d — bc: ) 11 - .<> s•:£ Li ("H-* ' 1 11 ...

-c / ( ad ~ bc ); / ( a d ~ b c j

„ i .... i-, / ¿t ì |-; + F~ ) v i ~ b ■ a ) F +• I ■Efectuamos < u , u , -,

i )( )

d / ( ad b ( ad - c / ( a d a / ( a d

bc A bc ) bc ) bc )i

Como r (W ) _ r ( A ! B ) - n = 4 , hay s o l u c i ó n ú n i c a q ue e;

d/(ad ■

• b / ( '-C/í«^ "a / ( ad

- bc:: ) ,

- bc ) .. b C )

bc ) ■!

que nos ! i perri bir la i n v e r s a de A cornosieríiO. «-*• *■....

Teor Bina j¿ . 5 i o i. ¡ i v fc¡ i'on fnatricpc» i ¡ r't->r c; ¡ k ¡ . ,■■ ! •'5 L‘ ■ *"-“= i ¡i, i SmO

orden. V k es un escalar diferente de cero, tenemos s

a. A ■ •*- ss mvsrsible y (A 1 i ’ a!„ A(í oís inversible y (ABi = B -*■ ,o,.>•c .. i:í ¡ is b inversible y íkA) 1 ( i. / k ) A.'■

Demostrae ion“ l-c-u' Lude*«» «11 as partimos de que, si A •*■ r,¡~ ja inversa de A, entonces HA *- — A lA = x

a. A' :L-A - A. A-'*- i-- V por ende, la inversa de <

b - '/amos & probar que s t AB i „ t B :Lh x- ) < B ” :LA.1 ) „ ( AB ¡

A B B""1 A " *■ ~ B' - ' -A ~ I , a p l i c a n d o a s o c i a ti . v i dad d e ]

prpdUCtO., A l A ■’ B " M B = 1,, HH r -- B J-B I,, J ¡

I Entonces, 1¿< inversa de (AB) es B'-^V1- v obviamente, AB es j.nversible.

X)p ¡a fnis*T,a fc/rma se p u ed e d e m o s t r a r l a c .

Notas:

r, .. .. n son ente i 'u 'r , en e l a lcjebra rnatr i r i a 1.i ílJ ' ■' " • '¿ . , A'"Ar> = Am+r’, ( ( > " ' ) ' ' =yé 1 i di--! -

•• »"* :™ Í P» "" ■*• ) • '• -- A ■ ' j-if ““ •*1~¡ “ 1 „ „ „ A ‘ X n

c n B e n e r a i i z ^ i i d o La p r o p i e d a d de* l a i n v e r s a d e u n

p r o d u c t. o n t. © ¡"i ci r © ni o b ;

j Hn ) J ( A“' x ) r* .

Una mat. riz cju© t.enqa una tila ó una col unì na de ceros, no puede tener inversan

f-’n Si AB ;-r- BAr, todos los productos notables y tórrrru 1 as- def 8C tor i z ac i ôn son aplicables al c< 1 q e b r a wat ricial „

EJERCICIOS 2.1s

}. Sea A una matriz inversible cuya inversa es

Hallar A ? A3 , A *-

Sea A la matriz j 1 1 Vy

0 1 1.1. O 1

f)p t p r iti i n e s i A es i. n ve r s .ï. b 1 e y * s i i. o es ,, en c uen t. r e

s i i * v e r s a »

Encueríí re la inversa de / eos «t s i i a1V s e h a c os a

Demostrar que si A y B son matrices cuadradas de un ¡y, i. s¿fsc ord en s i. endo h B <. > BA n en tonc e s s

í a ) ( A ■+• B í <. .> ".¿.AB + B**2ib) í A B ) '■-.y' A"-; 3 A 'B 3mB-í' — B7-5

•v .• mientras no 5t.j cumpla la conmuta ti vid ¿id del o r o d u c t. o , n i n q u n a f ó r m u 1 a d e 1 o s p r o d u c t o s n o t a b 1 e s del álgebra seré aplicable al álgebra matricial ,

R e s o 1 v e r 1 a s e c u a c i o n e s m a t r i c i a 1 e s s

ía) AX Bi siendos

c(b) X A - B, siendos

B - / --i•4

(c) AXB -- C ? s i e n d o

A — f 3 ~ l\ B ~ C =/l4 16\

S o 1 ti c: i <bn ¡¡ ( a ) / ” 1 l\ '■ O

ti r b u p a n g a q u e A e s u n a m a t r i z c u a d r a d a q u e s a t i s f a c e

r-*- jm-i -í- I ~ N „ D e n i u e s t r e q u e y~)~~x r- 31 ~ A.-.

7 „ Demuestre que si A es inversible y AB = AC,n e c e s a r i. a m e n t e B -- C . ( S u g e r e n c i as m u 1 1 i p 1 i c a r p o rA - “ a i z q u .i. e r d a )

o.. bean A y B matrices no singulares de? un misino ordenü o iTi p r o b a r q u e 1 a s c u a t r o i y u aldades;

AB ““ BA ,, AB “'x B x A ? A"" S B BA""1- yA"'1B 1 = B v A ~ 1 son equ i. va lentes en t re si»

7 « Sea A^ -- N „ Demostrar que

(I - A ) x = I + A + A* -i- . ak“'j- »

i O <. H a 11 a r t o d a s l a s m a t r i c e s d e s e q u n d o o r d e n c u y o <cuadrados son iguales a la matriz nula»

S o l u c i ó n ! a b siendo b e = --a^«

jC = O MATRIZ TRASPUESTAS Si A ™ [a*.„3 es una matriz m nentonces la traspuesta de A A T ~~ A = [ai., ' ], es una matriz n m definida por a.*.j ™ aj ¿.«. Asi«, la traspuestade A se obtiene a partir de A, intercambiando las filas y

1 a s c o 1 u ni n a s

Propiedades de la traspuestas Considerando compatibilidad en i.as operaciones y k un escalar., tenemoss

a .. (Pi ) =- Ab » (A •+• & ) ' A B ’c « (k Ai) K A 'd » ( AB ) ' — B ’ A0 „ ( A ~ *■) “ ( A ) ~

Matriz simétrica y matriz antisimétricas Si A es unam a t r i 7- ! c u a d r a d a t a 1 c¡ u e s

a» Ai ~ A .i se dice cjue A es simétrica«

t;, „ A ~ ""'A '' , se dice que A es antisimétrics q

hemisimétr icd »

Ejemplo 8s A = f \ 5 B5 O 7 4

A es simétrica y B es antisimétrica, ya que A* ~~ A y

Teorema 2.6; i’ oda matriz cuadrada A puede t-scribi r ?=>*=• cuido

] a. s i. i. ¡tí a d e u n a m a t r .1 z s i mÉ* t r i. c a y u n a rna. t r i za i 'C .1 S i fltfc? L r .1. U

Demostr ación: vamos a escribir la ma triz A el« ote a formas

A ( 1 / 2 ) A •+• í 1/ 2 ) A( .1 / 2 ) A» ( 1 / 2 i A ■+■ ( 1 7 2 ) A ™ ( ..l / 2 ) A

A ( .1 ./ 2) t A A ) ■ ( 1 / 2 ) {A A ) — B C

donde B =- (1/2) (A -!• A" ) y C (1/2,* (A -- A ) - Resta<- (3 ffi j“i {■“ o b a i*” cj ti e B e s una fu a ti .i si m ¿í t i .1 c ct y Cantisimétrica„ Es decir, probar que B ” B y que C - - C ' »

B = ( ( 1 / 2 ) ( A + A ' ) ) ' ( 1 / 2 ) ( A + A )~ í .1 / 2 ) (í 'i "J" A ) (.1 / 2 ,t \ A *+■ A ) ( 1 j::-) ( m t- Ai )

-• Bi ( ( j. / 2 ) ( A A ) ) ' (1 / 2 ) i. Ai A )

=••= (1 /2 ) (A' -- A'') = (1/2) (A' A ) * = -(1/2) (A - A')= --Cluego C - C " „

CEjemplo 9 s Escribir A ■■■- f i :<

O — 3 J como 1 a suma de unam a t r i z s i m é t r i c a y una matriz antisimétrica

S o l u c i ó n ; A / I ó

y ¿a p .1 c a nd o 1 a s T ó r mu .1 a s d e 1

teor&írid s

o & puede obscrvár que B es s i 111 e t r i l_ a y f_. es an t i s i nié t r i c a . Además a A ~ £{ C«

Ej emplo 10 s Demostrar que si A y .& son nía trie es cuadradas simétricas de un misino orden, entoneles la matriz c ~ ABAB. „ „ ABA es simétrica»

Solución s A A' , B =- B' entoncess

C ' = (ABAB. ..ABA) ' = ((ABAB. . .AB)A ) ' = A ' (ABAB. . . AB )- „ . „ = A ' B A ' „ ;B ‘ A ' B ' A " = ABA - - » BABA = C .

L u. e q o , C C ' , es decir, es s i m é t r i c a ..

Ejemplo lis Demostrar que si A y B son simétricas (o an t i s i mé t r i c: a s ) >t entonces AB es s i m é t r i c a si y solamente si AB = BA.

Demostracións Hay dos problemas, el primero suponiendo que A V B son simétricas y el segundo, suponiendo que son an t i s i mé tri c a s „ Vamos a demostrar el primeros

Sabemos que ¡;:¡ -- A y Eí ~ E*" „ Hay que demostrar la ciob 1 e impl ic ac i orí en t re s

AB es simétrica si y solo si AB — BA „

a « F’ar t 1 endo de 1 primero a 1 segundo lados AB essimétrica, entonces AB r~ (AB) -r- B A “ BA«

b .. P a r t i e n d o d e 1 s e q u n d o 1 a d o h a c i a el p r i m ero s A B ~ B A , como son simétricas;, AB B A ' = (AB) ' ? luego AB essimétrica n que era lo que se iba a demostrara

ti n i e n d o a . y b . , t e n e m os de m o s t r a d o e 1 p r o b 1 e m a par a el c: aso en que amibas sean simétricas» F al. ta en *el caso a n t i. s i m é t r .i. c a s * q u e s e d e s a r r o 11 a i g u al.

EJERCICIOS 2.2a

1 Demostrar que para cualquier matriz B, la matriz A B B ' e s s i m é t r i c a .

2. Demostrar que si AB = A y BA = B A y B sonidempotentes- Es decir, A = A25 y B = B* „

a 1 \1. a / con a real, no negativo-

para qué valores de a se cumplirás

Sea A la matri

(b ) A es involutiva 8 A32 ~ I ?( c ) A es * ni 1 potente de Índice ’2 s A12 —• N i. ni 1 potente

o e i n d i c e r e s a q u e .í. I a iu a t r i z c. u a d r a da tal q u eAl'' N ? siendo A*“” x <> N ) „

4» Probar que si una matriz A tiene dos de lassiquientes prop.i.edades ,, también posee la tercera s

( a ) e s s i m é t r i c a(b) es ortogonal;, es decir A A ' = A" A = I, o A~x -- A ' “( c ) es invo 1 uti va« es deci r , A2 I «

5. Demostrar que si A3 = I? entonces;

(a) A es regular;( b ) A32" = A r’ -

é-i „ Muestre que A y B conmutan si y sólo si A -- kl yp - kl conmutan para un cierto escalar k .

7 „ j p, conmuta con B, demuestre que A' conmuta con B ' „

0 Pruebe que A:’¿ es simétrica, si A es simétrica o

a n t i s i. (í i <ví t r i c a »

9 \'prifique que si H y N son regulares., y 1-1 conmuta con N, entonces M 1 conmuta con N~1 .

Si A y B son uta trie es cuadradas y A es no singular, verifique que:

11 ~ Pruebe que si A fS id^-mputen t« ( A31 = A) y A <> I ,e n t o n c e s A e s s i n g u 1 a r .

Traza de una matriz cuadradas Es la suma de los elementosd e 1 a d i ag on al- Be d en o t a. T r ( A ) a

[«la-triz diagonal s Es una matriz cuadrada en la que lose 3 (-' iTi e n t o s n o d i a q o nal e s- s o n t o d o —■ Lee o »

j*|atriz escalar s Es una matriz diagonal que tiene todos«u=¿ e l e m e n t o s diagonales iguales» Es decir, es de la

forma !•••: 1 ■>

Matrices triangulares: Una matriz cuadrada en la que, i ... r- pieííipntos por encima de la di agón di pi incipaltoaos .i. •

i- —h cero, se denomina triangular in tei-' .ior »

] es triangular inferior, si a i...i = O para i|_ a a. j

debajo de

Una matriziz c u a d r a d a en la que todos los elementas por la di a g o n a l principal son cero, se denomina

t r i angu i. ai- u p e r ior ,, si a*.* p a r a ;.i.

n .• O O

Matriz triangular; Se di. c: e q y e u n a m a t r 2 z es tria n guiar s 1 e s tria n g u 1 a r s u p e r i o r o i. n f erio r „

t einp .1 05 î: h

- -• lì î î a rn a t r i z d i a g o n a 1 ,Í ) o

h / 2t/ la n a ri ) a t r i. z 0 5 c ala r

C - / l O O

1 O I 0 5 la n a rn a t r i z t r i a n g u 1 a r i n í erio r1 i

MATRICES EQUIVALENTES 5 S e d i c e q u e A e s e q u i v alente a B ,, si B se puede obtener a partir de A por medio de operaciones elementales» Si se* obtiene con operaciones entre til as, se puede especificar que son equivalentes por filas y 3 análogamente con columnas.

Ejemplo 12«" L...a mal"riz A / 1

E s e q u i v a len t e a. B

( . : : : : )

/l 2 3 4\\0 7 5 13/

ya que B se obtuvo a partir de A, efectuando 2F x -i- F „

T O i "tfl cMATRICES CANON I CAS i Una matriz que tenga alguna cíe las

(i N> I i\, i , n«.i N I \ í !

{=. 0 c! e n o rn .1 n a rn a t i" i z c a n ton i. c a ( c o rn o s e v e, sola m e n i;, ep n ¡- (j p 11 n o s y c e r o s y v- s e s c. a 1 o n a d a r e el u cida por filas

y nor cd 1 uiíinas) ..

F j e u i p 1 o s d e rn a t r i c e s c a 11 ó n i c: <=t í» o ¡ i s

i o í ’•■■■ 1 ]0 1

1 l o•i. ,

0 0 « '■■■* 0/ de la primera

0 i----- —

.1 • o/ , d e 1 a s e q u n d a f o r rn a í

d e 1 a t e r c: e r a f u r rn a $

1 u .1

d e 1 a c. u a r t a f o r «t> a y

0/ de la quinta forma

MATRICES ELEMENT ALES; Son aquel i as que se obtienen apsrtir de i a id en t i. c: a , etectüBnciü una e i e * t "í e n a 1 >.

E iemp 1 os de rnatrices elementaies son s

0 í/ ? que se obtuvo de1 ls .1.dó n t i ca con5F3 + F2 6 con 5Ca -i- C»5

c c on

Teorema

;i 0 / * con F" •-> <. — > F-3 «

.7 1 S i I a matriz elemental E resulta al efectuar riprta operación sobre las filas (columnas) en I y si Arj? (. (...matriz m >¿ n ¡, en tonces el producto EA (AE) es la

. ....s -v nue resul ta al efectuar la misma operación sobreiDdlr 1 *•.. m-Acr.j _t f i x a s ( o o 1 u fu n a s ) de A . Es d e c i y ? m u 1 1 .i. p 1 i. u. ai- la

4 •• -¡ A a i •'nuierda por una matriz elemental equivale aDi a t y 1 *■- *" "*"• fectuar la operación en las iilet\» de le» mcvtriz h y hmultiplicar la matriz A a derecha por una matriz

.... , x x 1 (:ra a e f e c t u a r 1 a o p e r a c i. ó n en 1 a se 1 eme»»ten 1 t-.-.-’qu-t »

co 1 umnas de la matr.1.z h .

c on s i de* i" an d o 1 a <na t r i z 61 ghigh ta 1 l™. O'

( o pe r a t_ i ór ì s o b r & 1 a i d é n t i c: a1 a s ffi a t. r i c e s A I~ y E A se r an s

~2 F i “i- F 2 ó ~2 Cs» ■*" Ci }

E.A /l

obtenida de A, efectuando —2F a + Ha;

obtenida de A„ efectuando —2Car + C.i

Notass

Como toda matriz: elemental es equivalente a lai d &n t i c:: a i porque í::> t“* pue<.ie 1 leqai de la la na la otra por operaciones elementales), entonces las matrices

E? 1 ernen t a 1 es son i i *v i -"

2.'.. E l producto de it ¡a i:.(■"'.1 cfc?5 0 J eme n t a 1 Ef s es invBr'sible(porque si A y B son mversibies, AB también) n

Teorema 2• Sn £..\. A esuna íí>at.r i. z cuadrada de ordEn n r,0n t.on c 0 s 1 as s i cj u i en t es p r opos i. c x one s son ecju i va 1 en tes(todas son verdaderas o todas son falsas)5

a » A e s i n v e r s i b 1 e i; b „ A X B t i e n e s o 1 u c i ó n ú n i. c a ?c: „ i" ( A ) r-" n sdo A &s equiva 1 ente a I <.en A X = N t i en e c omo so1u c i 6n ú ni c amente la solu ci ó n

t r i v i a 1 «

UN METODO PARA HALLAR LA INVERSAS Partiendo de laiqua 1 dad s A A, A r— I .A, 1 , una forma de determinar si Aes i n ver s i ble, es t. r a t a r de demos t r ar que es equ i va 1 en tea la idéntica. En el proceso de llevarla hasta I, con cada o p e r a c i ó n e 1 e rn e n tal que e f e c t u e m os, v a rn o s modificando ambos miembros, de la formas

C o n u n a o p e r a c i ó n entre f i 1 a s , A a. = E í.ñ. I , d on d e A x

e s 1 a m a t r i. z o b t e n i da desde A con u n a o p e r a c i ó n e 1 e rn e n t a 1 entre filas y Ex, la correspondiente matriz elemental» Sih a y o p e r a c .16n e n t r e c o 1 u m n a s t e n d r e rn o s s

, „ i-i „ E:t idü i-irs la ultima ma1 1~i. z obtenida apartir de A y F-.1 la matriz elemental correspondiente a la operación el©mental entre columnas™ Siguiendo el proceso, cuando lleguemos a la .idéntica, tendremos una igualdad de la formas

I B,„» E-m—j. » - “ » E-? „Ei „ A „ E 1 « E-2 » =, „ »Eri, donde E *. es 3 amatriz elemental cjue c o r r es pon d e a la i esima opersc ión e 1 e m e n t a 1 e n t r e f i 1 a s y E -1- e s 1 a m a t r i z ele m e n t a 1 q u © cnr responde a la .i—ésima operación elemental entre r o 1 u m n a s « L a i q u a 1 d a d t o m a 1 a f o r m a s

j p „ A . Q , siendo P y Q matrices no singulares (vernota 2)« Por lo tanto, P 1 y Q 1 existen» Multiplicando ai z q u i e r d a p’< o r i" x ? t e r i e it¡ u s «

p — i „1 — F A P » A t, u „ por propiedades sf i I.A-Q, multiplico por Q“A a derechas

P — x b q - A „ Q „ Q “ x , p o r p r o piedades?p x . Q A ::::: A - I , en tonc es

A ~ a ~ ( P A >~A

A-a ~ ( Q"" x ) x ( P A ) A

A “"a = Q.P (1)

qi se utilizan solamente operaciones entre filas,

tendriamoss

A ~ .! „ J'"ifcr dnao e 1 emen ta.1 men te obtenemoí

.ueqo3 la inversa eie A., se r a

Análogamente,, operando sólo entre columnaa i» ti t e n e m o s

A A » I

A"I ^ A „G

Q Í 3)

De los resul tados obtenidos en (1)„ ( \ w < t v j. ; , ( - y i o } , podemosderivar un método más práctico que lo« i«- +i j. _2- j. c. t-iT) «t <~ c:lecuaciones para obtener la inversa de una matri ••••.• s i n o u i a ¡" »

i u üpet' c<ndo en ttí & i .ilctí» y columnass Partiendo de | -,

matriz doblemente ampliada

A ! I llegamos a una matriz de la forma /j « p

siendo A 1 - Q.P

U p e i" a n elo so 1 amen t e « n t r e T i l a s s P <?.<. r u i. m o íe cíe ]. a.

¡Ti D .í. X U •::>

(A ' 1 ) I i. eramos a una m a t r i z de la. f o r m a f I

iperando solamente entre columnas: Partimos de

natriz ampliada

/aV 1 leQamos a una mal.r iz d« la ¡ os met I

. .. /\ X s; n ..donde m

Ejemplo 14

H a 11 a r 1 a m a t r i z i n v e r s a p a r a

- 2 - 3 !

.... ¡ c pe. e q u i v ale n te? ? l. Uc-.<. 1 e~> * (h) ¡A qué canónica «--- *

., ........ - a p n c: o n t. r a rS o l u c i ó n * V c u n o s a t

u t i 1 x

la inverna, en caso

»■ando operaciones elementales. Primero

en t reoperaciones

cornbx na nui...' ;;

jL. Cor. operacionesi r ! i 5amp ¡ aoa h

filas, luego entre columnas

entre filas: o n s t r i.', i m o s 1 a m a t

d e c on

E f e c t u a m o s -3F* + F* v ~2FX -i- F^ (para conseguir el ien F3 y luego subirlo a Fx)s

•12.1.2

-17-17

> F .3 2

-12 O -12

--17-17

-2F x + F-s V ""Fa F ;i. s

q>-1741

Reducidoob 1 a Fai ( — 1 / 1 2 )l" =52

o O 1 -1

i ) 0 1 -1 r

1 17/12 1/4 -1/12 o

0 -1/12 --9/4 r~. i -i7 / JL _

•1 '"JC"1— .1. ....r -

c>17/12

(— 1 7 /1 2)F3 + I-®:

Por lo t.ant:o? H

A es equivalente a I y r(A) - 3.

• ....... p¿ntre co 1 umn&is s consíf u irnos» 1r? „ Con operaciD"b& e', Ll u

aiTipl i a d a / A

a matriz

E fee tuainos ( --1 /12 ) Cs

E n to n c s to j í 9 / 0 ) 0 3 L i y ( 24 ) C.-*; C

Y nos cien0r3 ic* iTti.i-,rrta respusbts ele? 1 primera psrte.

Combinan do operaciones entre filas y col. um ñas Iniciamos con la matriz doblemente ampliada; A ! X

Es decir

O pe ra m o s con - C a + C » •< p a r a o b t e n e r e l i en l a

Seguimos con Fs + F3 y -Fse s

P a r a t e r rn i n a r , - 10 h 3 + F7 a s

O 0 •111

112 --10-1 1

i.) i)

.1. 4 6

1 -.3 —6

C'nn 10 rea 1 i2sdo? tenemos que r (A) ~ H....-111 •» w- 1 .—.i-.i » ai A es I » Para la c: & n ón 1 c-" eClL' '

recordamos que s

/\-x s= Q , P h es dec. ir s

1a matriz inversa ,

que era lo que se esperaba

Ejemplo 152 Un«» foí- roa cite? hablar de división en matrices

f ( p,) = ( i + A ) / ( I -• A )

Multiplicando por la inversa del denominador arriba v a b a. j o ñ

-f ( A ) = (I + A)(I -• A ) “x/ ( I - A ) ( I - A ) “1

f ( A ) ( 1 A ) 1 I A ) ~ x / I

f ( A ) =* (I + A ) ( I - A ) x

(z li a d r a d a s Gal c u. lar f (A ) >, s i e n d o

f ( ) =:: (1 + x ) / i 1 — >;) n donde A

So .1 Lie i. ón s f ( ( 1 >í ° ■+• >;) / ( i >• «•

ueqo, f(A) = (1A° + A)/(1A° - A)

.ulaíTios (i - A) x utilizando matriz ampliadas

P a r t .i. ni o s d & la ¡ua t i'“ i z

/ (_) i. 1 / J-.Y 1 o o

V p a r a i f i o .i. r i a r t¡ l~ t ■*.. - F 2>,

Resolvemos entonces la igualdad planteadas

) s= ( I + A ) ( I -- A ) " 1

Ejemplo lo s Deternii.na r si. A @5

natriz canón i c a e q u i v a l e n t e y su ranqo, si 5

i n v e r s i b l e ? ha l l a r la

Solución; corno no se pide inversa, solamente reduciremos la matriz A por filas y columnas;

2 F 1. -i- F* ? x + F'3 y — 4Fi -i- F.¿» s

A h o r a c o n t i n u a m o s con -~2F = + F:3? ~3Fs» + F.** y - F

í i o uoo /

O p e r a m o s por c o l u m n a s ? ~~2L-x L-.j. + (..,'3 y

•4C;t + C*. s

y, pars t s r i T i i n a r , •-1! Ü t- C-s: ? 3 L +• C.

y ,, por~ 1 o t¿ir1tq A es e?cju x va 10ntB a 1 ¿a csnonicci u- <, r ( A ) = 2 y A n o i n v e r s .i. b 1 e .

EJERCICIOS 2» 3 s

1 „ Ü L.i 1.0 s de las si qui entes son fnatric.es e 1 enríen ta .1 es?

( c ) IO

1 0 0 1

0 .1. 0 1

0 0 1 0

0 o 0 1J

1 0 00 .1 10 1 1

C Di i

C O i' ì E- .1 d E' i " if? 1 a s ffi ci. t. !•'" i. c 0 ü

2 3 \A = /

tí 9\ C

E n c u e ri t r e 1 a s m a t r i c e s e 1 e m e n t a 1 e t a 1 0 B Cj Lí €? u

n •— xí' -i

E 3 y E.

(a ) E.i.A = B, ( b ) 5= a ? ( c ) L 3 A = C , ( d ) E^C

( e ) EB = C., e x i s t e E? .

E n c u e? n t r e 1 a i. n v e r s a d

t a .)

•*n r~i

( b ) 6 \

:l ) /1 1 1

f( e ) X 2 3 4\

1 1 - 1 - 1 2 3 1 2

I - i 1 - 1 1 1 1 - 1 Jl i - 1 - 1 1 / \1 0 ~2 - 6 /

S o 1 u c i ón s ( a ) E s s i n q u 1 a r . (LO

4 ~.i\

/ / iruO/

\ : I 3 /

•4 u tincuentr'f£‘ la cs r ió n icá sc|ui/va 1 s n t s y s i rancio ds

m a t r i c e & s

B = /0

c'< „ Rs s d 1V s r 1 a s s c. u a c i. o n s s rrt a t r .i c i. a 1 s s

2 o 18 12

i. b ) io r m a q e n 0 r a 1 el 0 1 a 3 o 1 u c: i o r

v.' 1 J.. . . . . Q

donde ki, ka y son números arbitrarios

ó „ Sea Ai 0

Ha 11 a r 1 a ma t r i. z e i 0m0n t a 1 q u 0 a 1 mu 11 i p i i c a r aA r 0 ¿i 1 i c 0 1 a s s i q u i 0 n 10 s o p 0 r a c .i. o n 0 s s o b i-' 0dereena

1 a çj. c o 1 u m n a s d 0 A s

( ~\) Multi plicar la teruera co lumi »a de A por •••••.j™( h ) X n t e r c a m b i. a r 1 a p r i. m e r a y 1 a t e r c 0 r a c o 1 u m n a s .. r . p)limar ( -6) veces la primera columna a la tercera,,

CAPITULO 3s DETERMINANTES

^ _1 FUNH T ON DETERMINANTE5

Sea A una matriz cuadrada. Si A - i & x x ) ? el

de terminante de orden uno, se define como det(A) = a**.

í :Si A — /a a . a . aj.2i

a^2 i. 3 ' 2 2

e.e define el determinante de orden dos

dpt (A) ^ ~~ ai. ai5

Si A =/aii at-2 a,.-asjx asas as3d:5X a.-S'. a 3 3

« e d e f i n e el d e t e r m i n a n t e d e oí d e n tf es, cuítio

det (A) = a u a » a , s + + -a31a2íai3 " a» a“ Sl1 ~ ai:>ai=s2i j

resu1 1 ado que puede recordarse fáci 1 mente por medio de 1 a con oc i da regla de Sar rus s

... ..y* _ '■» s .c* x i XZZ ='13 cA X X <=< X ZZ X 3 ^^ N ' ^'v /CÍ7 1, cAúPZS c<23 ••» tíaj. tí 7a ~y crf ->3 ^

*' v 'v !v y % 1 / . / . /-.:■». X cí -3'.'¿i cr5'3" s* / =rl- ’3 i. < 3 2

Las flechas del diagrama izquierdo se considerano o si t i v a. s y las d e i de r © c h o ? n e g a Ir. i v as»

Nota« En el caso de matrices cuadradas de orden superior~t ‘t j~|q e i s t e una f órmu 1 a di rec ir.a más ade 1 an‘te se ver ánunos métodos que permiten calcular el valor de undeterminante de cua 1 quier orden.

L a f u n c i ó n d e t e r m i n a n t. e 3 c on v ierte u n a m a t r i z c u a d r a d aP, u. n n ü m e r o r e a 1 c u a 1 q u i e r a ,, d e t e r m i n a d o por 1 o 3elementos de la matriz. Es decir5

de t 2 Mr»>ir» ^p, ---> det(A)

Ejemplo ls Hallar los valores de k 9 para que det(A) ~~ 0«

(a) A = f k - l

det(A) =~ (

) ( k~-2 ) ~ 0 ” O ó k—2

3 6 k =••= 2

f b ) A ( i

4 k -4

cl e t ( A ) “ i k—6 ) Iî ( k - 4 ) + ( 0 ) ( - 1 ) ( 0 ) + ( 0 ) ( 4 ) ( O )

( O ) k ( Ci ) -• 4 ( i ) ( l i - 6 ) - ( k - 4 ) ( O ) ( O )

ci e t ( A ) — ( k—6 ) li ( k —4 ) + 4 ( k~t> ) = ( k~<b ) i k ’*5 ~ 4 k -i- 4 )

de t. f A ) •" ( k -6 ) ( k -2 ) ^ -• O

li ” ò — U Ó li “ — U

k — é> 6 li = 2

EJERCICIOS 3.iS

.1 C a l c u l a r los determinantes de

b\ ( b ) se» i ctsen a U

cot a sen a

c o t a \

s e ri a

( ü ) / X ( d ) / a bb

•V 3

S o 1 o c i Gn " 2 i' b i:: 0 > Ì >ryz ( y ) ( y -- z 5 ( z~>; )

{ a+b+c ) ( a +b22+ —ab—ac -- bu. )

DeHiost.rñr que se v e r i f i c a n l a s i g u a l d a d e s

( a ) d e sen a s e n a

sen b s e n 2 b

sen c s e n 2 c

« sen a — sen b ) ( sen b - sen c ) ( sen c s e n a i

tan b t a n c

tan® b t a n 32 c

i sen a ... (-J ) s e n ( b - c ) s e n ( c - a ) ) / ( c o s 35 a c: d s s b c o s 35 c: )

R e s o l v e r las ecuaciones!

( a ) d e t / i4 5

\ 2 -1

4„ R e s o l v e r l a s i n e c u a c i o n e s :

í a ) d 0 1

>' y 7: { — y ) ( y — z

( =«.+b+i_ ) ( a^ + b=+c =*-ab-ac-bc

ü e i u o s i r a r que se v e r i f i c a n l a s i g u a l d a d e s

( a ) d e t / i sen a sen-*- a

sen b s e n 2 b

sen c s e n 2 c

i ser i ci sei i b ) i. ir.-en b sen c ) ( sen c en a )

\( b ) d e t / 1 l

t a n a t a n b t a n ct a n ■*2 a t. a n ,,í b t a n 35 c / =

( sen ( a-b ) sen ( b-~c ) sen ( c--a ) ) / ( e o s 2 ct c o s b c o s c: )

R e s o 1 v e r 1 a s e c u a c i. o n e s s

( b ) d e t 4\<)

4 „ R e s o 1 v e r 1 a s i n e c u a c i o n e s ::

(a ) det

Solución s (a) s x > 7/2 ¡j (b) --6 < x < ~4

3-2 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES:

Nota s C uanclo se hable de fila o columna de undeterminante se refiere a la matriz a la cual se le va a c a 1 c u 1 a i- e 1 v alor de s u d e t e r rn i n a rite.

1 . Si A es una matriz cuadrada, entonces det(A') = det(A)

2 . Si cada uno de los elementos de una fila (columna) de un determinante es igual a cero, el valor del determinante es cbvo»

n 5 ± ix n c.1 e t e r ni i n a n te t i e n e dos filas ( c o 1 u m ñas)iguales, el determinante vale cero. Más general, si 11 n a fila (c o 1 u m n a ) e s i n á 1 1 i p 1 o d e o tra, eld e t e r m i n a n t. e v ale c e r o „

Zj cjí se intercambian dos filas (columnas) de undeterminante, el valor del determinante cambia de s i Q n o (pr i m&r a ope rac i ó n e 1 emental). t s dec i r , sis

p, ...-... > B, siendo B obtenida por un ¿i operación sp > p (s c ± <"• > Cj , entonces det(A) « -clet(B)

Si cada uno de los elementos de una fila (columna) de un determinante se multiplica por el mismo número k, e 1 v a i o r d e 1 d e t e r m i n a n t e q u e d a m u 1 1 i p 1 i c a d o p o r k( sequn d a o pe r ae i ón e 1 emen t a 1 ) . Es dec: i r , s i

A .." B, siendo B obtenida por una operación skF.i. o kC.i 3 entonces det(B) = k.det(A),, y por ende, como i.nteresa es e 1 valor del determinante de A , quedas

det í A ) ( i / k ) det (B ) .

E. i v a 1 o r d e un d e* t e r ni i n a n t e no c a m b i a si a 1 o e 1 e íT’t e n t o s d e u r» a f i 1 a (columna) s e 1 e s u m a n k v e c e s1 os cor respondi en tes e 1 ementos de cua 1 quier ot ra f .i l a (columna) (tercera operación elemental)» Es decir3 si

A ------- > B, siendo B obtenida por una operaciónskF¿ + Fj ó kCi + Cj, entonces det(A) = det(B).

S.i cada uno de los elementos de una fila (columna) de un determinante se expresa como la suma de dos ó má\s términos, el determinante puede expresarse como lasuma de dos ó más determinantes. Las restantes filas(columnas) permanecen .intactas™ Es decir, si

detíA) = det / aa b c \ + d tí t b c□ e

' ) ( d e fg 1 i, / \i i". j 1,

8 . S i. u n a m a t r i z A e 5 t r i a n g u 1 a r s u per .i o r ( i n ferior) sentonces det (A) — Si 3.» acs-5» 5.33 » ■■ « >ñnnj es decir., e 1determinan te de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal.

9 , Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño,e n t o n c e s d e t ( A B ) = d e t ( A ) »de t ( B ) »

D e e s t o , b e s i g u e q u e d e t ( A B ) = d e t (B A ) »

10« Si A es una matriz cuadrada, entonces A es nosingular si y sólo si det(A) O 0»

3-3 _ .EVALUACION DE DETERMINANTES POR QFERACIONESFt FMENTALESs

F 1 m é t o d o m á s u t i 1 i 2 a d o , y g e n e r 1 m en t e ni á s práctico, p~tra evaluar el determinante de una matriz cuadrada es K-1 - la forma escalonada mediante el uso de1 levdf .1 <-* c

o pe rae. iones elementales entre filas y/o columnas;,t p n i e n d o e n c: u e r 11 a H b á s i. c a m e n t e l a s p r o p i e d a d e s 4, !d H 6

E 3 fcííTipIo 2ü LaÌLu.lar el val or dei determinan te de

û 7 7

7 i..i. 0 0

\ 5 i 2 :.î 3 /

Solución s F Etra comenzar a trianoularizar A

det(A) :::= (""I) d*v:

Ahora g ' *( p r o p i e d a d 6 t

( prop iedad 4)

1 0 r~> 07 2 1 33 0 4 0¿3 3 2 4

5 i •p

•3F,. + f" 3 *i —0|-

i 0 xi 00 2 -13 •i'i

0 0 _ 00 3 -•■10 40 1 - 8 »•*

5\•17

Bequifnos -• > F s ( P r o p i ed a d 4 )

d et(A ) ™ det /i 0

operamos s — 31— (propiedades 5 y 6 )

0 3\-8 2 X. . . . . “? 0

10 4 -13 J-13 .ji - J

F* M -2FS + F » y

i 0 0 7r,0 1 —8 •~12

0 0 1 0 1

0 0 14 _ 230 0 “ 1 ~7

(-i/ 2 >F

14 F + F-* y -3 F.-s + F» 5 (propiedad 6 )

det/ 1

0 2 0 *7*0 1 -8 - 1 2

0 0 1 0 1

0 0 0 X*. 9\ » 0 0 --1 4

Fw s (p ro piedad 4)

10 2 0 ó

r0 1 - 8 - 1 2

0 0 i 0 1

0 0 0 “i4 i

\® 0 0 _ J

-2 F . + (propiedad 6 )

det(A) = (2) . dett / ii <zi

X0 0 «JJ.

0 0 1 0 i0 0 0 “i 40 0 0 0 I/

Como la matriz ya es triangular superior, aplicamos la propiedad Qs

det(A ) - (2 )-(1 )-(i ).(1 ).(-i)„(i ) = - 2

Ejemplo 3 s Demuestre ques

det 1 1a b ■

— ( b -- a ) (c -■ a ) ( ca22 b* c®/

Solución s Operamos init-ialmen te poi; coimnnass y —Ci. + C-3 s (propiedad 6 )

entonces

a D a C aa :.2 ¡3-2:_..a72 c^-ñ'

Factorizando la diferencia de cuadrados de la tercera fila* aplicamos: (:l/(b—a))C= y (1 / ( c-a ) ) C3 ? (propiedad 5) s

det(A) " (b a)(c -- a) / 1I 0 0

cft b+a c+a

ahora, -Gsa + C®¡ (propiedad 6 )

det(A) = (b -- a ) ( c -- a)r

V\ a ■*“ b+a c~b

Ya la matriz es triangular inferior, entonces:

) ( c - b )d & t (A ) (b -• a ) ( c -- a)

Ej emplo 4 s S.i W e• s u n a r a í z

calcular 5

det j x w . *!*> W w3

W Wa- w3 .1.

w3 w3 i w

1 wrs 1 w WSI

j>n s Reduc i en do A iTiá tF* s

= det1 w W2

0 0 00 0 l-w"’

i © i-w"* w - w ®

mótriz s ~wF i -i- p. -W--Fr + pr.

W- 1 —W* W—W3

W®-W6 /

Como w es una raiz cubica compleja de lai* •“• WW »W = W „ W® W^: „ w3 W1C- , -I n t e r c a m b i a m o s F y F«q. s F <---> p

unidad, w3 =w3 »w3 = i

= (-1) ./ 1

w w2 w= \

0 1 --W W“W 2 W---10 0 i~w w—w5®0 0 0 1-w /

det(A) = (”"D(i - w)® = (w - i )3

del: (A) — i 3w-i •+• 5w — idetíA) = 3w - 3w^ (1 )

Ahora, como w3 = 1, w3 1 = 0 «

(w •- 1 ) (w •re •+■ w + 1 ) = 0 ;

W' w + c-w — ¡

como w es complejo, entonces w <.> i, y wsc + w 4 ,

w* = ( 1 <1 - 4) x'32) /2 y w® = ( - 1 - d .... 4 ) x/-3s jWj í i ■+• i i 3 ) 1 '' y “ l- '"' i “• i (3 t;1 ■*" ) / 2

Í W i ) *s 1 i ( •-> ) x y' ( W -2 ) *r" — ( — JL + j_ ( 3 i í- y ) / ■—>

Reemplazando «n (1)? cada una de las alternativas de •>j s wx y W32 <i tenemos s con Wi

d e t ( A ) (■••• .1 •+• i ( 3 ) y 32) / 2 -•* 3 f — 1 — i ( 7%)1 32) / 2det(A) ~ ( ~3 + 3- i ( 3 ) •*• 32 ~h z -i- Z^ i Í Z ) x ' ' : z ) / 2

d e t ( A ) = 3 i ( 3 ) x ^ ( 2 )

Con “

det(A) =- 3(—l ~ i í 3 ) x •,"32 )/2 ~ 3(--l + i (3 ) A •-'32)/2 d e t ( A ) (--3 -- 3 i ( 3) x y s + 3 -- 3 i ( 3 ) x ' '32 ) / 2d e t ( A ) = —3 i ( 3 ) l- 22 ( 3)

Entonces, la solución del ejercicio es la unión de (2) y C 3 ) s

det(A) ::=: 3 i ( 3) x 32 ó det(A) = -~3i ( 3) A-'32 „

Ejemplo 5s Si M ™ M”A , cuáles son los valores posiblesdel determinante de M?

Solución! como “ 1 , de la igualdad de matricescuadradas, se concluye la igualdad de sus determinantes(OJO lo que no se puede concluir en sentido inverso)s

detíMJI *■) = det(I) = 1

det ( M) „ det (M ) = 1 , en tonces det (lvl"-r ) 1 /det ( M )

Si ii = H *•, entonces det (M ) = detíii *-) y, det i M ) " 1 /det (M ) , (de1 1 li ) ) 21 = i , eni:onces d e i: i ii) =•' i ó d e i: (lvi) = -• i

Ejemplo ós Dada una matriz H 3x3. Si det(M) O, esv e r d a d q u e 2 d e t ( M ) ~ d e t ( 2 i i ) ? J u s t i f i q u e

Solución 2 Como M es una matriz de orden 3, 2Svi tiene todos los elementos de la matriz M multiplicados por 2. E n t o n c e s h a y n e c e s i d a d d e q u. i t a r estos 2 s ( i / 2 )F, , í i 2 ' F'-r> y (1/2) Fr»; < con lo cual s (aplicando propiedad 5)

det ( 2ii) * 2 „ 2. 2. det i ii)

det ( 2ii) - Sclet(M).

E r t o m u e s t r a que la s u p o s i c i ó n e i n c o r r e c t a .

Ejemplo 7: Calcular det / 6

ión s Escalonando, intercambiamos primero y C *So 1 uc

det(A) ~ t i) d e t / 18 4

Ahoi- a, -2 F*. + FÄ , ~3F*. +• F3 y ~-4F., ~¡~ p^

d e t ( A ) = t - i i „ 5t I11 6 •3 40 -4 -2 -30 --10 -4 _c

0 ™ 15 _cv..« J

d g t i A ) = ( ~ I >

eu + C*

det:1 1 20 “ 1

0 -50 -6

s + F3 V ~-6F-

det I l 2

E f ec tuafflos ~F + i~ .3 5

de t. (A) = (~1) » det j 10

por ultimo* /F3 -i- F" <tK

u u ,lé>

Por lo tanto? det(A ) = (-i) „(~1).(-1).16

det(A ) 1 h

una matriz de orden n ¡, hallar detíkA) .Ejemplo 82 Si A e<

qoluci6n: Como kA difiere de A en que todos bus elementosestén multiplicados por k , dividimos todas las filas por

te- l"u (i/HOFi, siendo i. = Asi, y aplicando la.... ..i r-, tenemos s propiedrfJ

d e t í k A ) = k - k - k k . d e t í A ) ,

d e t í k A ) = d e t ( A ) .

Ejemplo 9 » Muestre que

a+b b+c c+d

.1 i .1

b+i c •+• 1 d-t-1

det /ael b c1

1 1 ib c d

iíjns Api i cando la propiedad 7, a 1 a fila 1Solución ¡: np

Aplicando la misma propiedad a la fila 3 :

cí0 1. (A ) -- det( *

b c1 .1 1

h c d,fh c di .1 ib c d 1

det /b c d\ +• det

t <a b c'1 1 i1 i 11

i 1 1 1

Ahora, los- determinantes segundo, tercero y c,,~ cero, porque tienen dos filas iguales. Entonce*

(r t o

Ejemplo lOs De» termine en qué circunstanr i a «5 i- .- .i n i c.i »fia 1.1- ¿ 2

e •=• i- < * v' © i- 1 1 1; j 1 &, y ha .1 1 1* su inv e r s 0.«

Solución: Para que A tenga inversa, 5e necesita que det(A) O 0 (propiedad 10).

Fi <---> F.3 5

det (A) == ( -1 ) - det / 1 .1.1

Ahora? "~Fx -1" F^ y í-íF*. ■+• F.-«;

d e t ( A ) “ ("“•!•) *■ det f X 10 x- 1 IO 1 ” 1

la f1 1 a 2 se anula para ;; i- Como no pueden existirfilas nulas porque el determinante seria cero, suponemos

„ ,. , i y operadlas: Fffi + F® y ( i / ( ) ) F^ que /•» •• •■ 7 '

det (A) = ("Di* ~ 1) - det / lO

Ejemplo lis Lúa les son 3 os vs 1 nrpc ___* l tes punibles del rangopara que una matriz 4 >■; 4 <=ea nn rinn, i ^ ^-«=« no singular?. Cuáles paraque sea si ngu 1 ar?

Solución.- Para que A, de tarnafYo 4 x 4, sea invertible,es equivalente a la idéntica, y por lo tanto, su rango el 4.

oí h es=> singular, no es equivalente a la idé-nf -i - ~* * • %- X l. . ¿i /j y'

tend rá a 1 menos una fila de cero^ pni- - = +• razón, surango podrá ser O, 1 , 2 , ó 3 „

E j emp 1 o 12 s liues t r e que de t (An ) ~ (de t (A ) r»

Solución: det(A") = d e t í A »A . A „„„„A )( det í A ) ) » (det (A ) ) . ( det. (A „ (det (A > ) (det ( A ) )ri

Ejemplo 13s Si M es idempoten te í M*- ~ m \ ....t,... ..w ■» c..uC(i es E. jva 1 or de det(M )7

Solución s Como 1VP =~ M, entonces det(!i3 ) ~= det(M) p r o p i e dad es s

d e t ( M . M ) :=: d e t (M ) 5 d e t (ii) . d e t (M ) -• d e t (Ii) ,(d E' t (i i) )2 - d e t (M ) = O ? det(M).ídet(M) 1 ) = O

1 Liego, det(M) = 0 ó det(ii) = 1.

14 2 Demora• trar que

a+b el a a.. a'a a+b a a « ael a a+b »a a a

- • - •- - - -a el <R a» . a+l

= bn~1(na + b)

Solución 3 Debido a la f orma simétrica gue presenta la m -11 r i A ? vamos a utilizar una modificación especial d e

1 t e r c e r a operación elemental, como es sumarle todas las f i 1 r (c o 1 li m ñas) a u n a s o 1 a „ Asi, efect u are m o s 2

(F + F 1 -1 o » - F 3 + F z*) + Fi j Quedando

det(A) = j n a+b n a + b n a + b » „ „ n a+b

a a+b a a

a a a +b a» - -

;a a + b

A h o r a , ( i / ( n a+b ) ) Fa. :

det(A } = (ns+b).det /i i

a a-f-b

Friangularizamos cons —a F± •+• p

1.1 .1

°1b 0 n r. „

0 0 b . „ „- » -

\ " - -\o 0 f>

Como ya es triangular superioi

i. donde . i = o

det(A) - (na + b ) . b . b . . „ b í n ~ n ve»r»«r ,1,1 * Vtíl-tíb, en tond e t ( A ) ~ bn "” 1 ( n a + B )

Ejemplo 15s Probar ques

det( ’•|** y -|~ “V ’cj

boluciun 5 Operamos cuns (l~3. + f-rar) •+• F\ »

oetíHi = deist /í-í+V+Z >;' i - y 4- z >; 4- y 4- p

det (A) -- (>:4-y-i"Z) „ det / iY V"-;

Mhora* —C- t. V‘ í—1 C.-

detíA) ~ (x+v+z) . det/ 1•¿•Y

Tenemos matriz triangular „ luego

>; + y + z ) - ( >í+y+z ) • i x+Y+Z )

d e t í A )

EJERCICIOS 3

c:;-- H es una matriz singular, es posible afirmar quejvj' también es una matriz singular.- Esplique»

S i h v b son matrices n >; n con elementos reales

probar que s

¡a) cietíA.A) - detfft3 ). /\ n r, sing u lar, de 1 1. AE«A •1- ) ~ d e t ( B )(b) Si m J

- ~ det(A'B) = det(AE<’ )Maestre qu« detiH*.

y det(B) = 2, hallar det(A).

n n „ invertible y M" x = 2 M 'Si M es una mat*

- . , , p (det(M))* =mu set re qu ~x. • n •••■• n v c invertible, SuponqaR v C matrices n ySean A? D 7inr Muestre que A es invertible, si y

p - - X Jnl./ » 1 * - *que A - L-• B es i n v e r t i b l e .solamente si

Calculando det i Ci a

1 b ¡y

0 b i,

muestre que

1 . (3 + i- ■* det. /I ^ = u _ a = ) ( 1 _ 2b»>

d (ai-l)b

para qué valores d* -

singulare»

las siguientes matrices son no

{ a ) / d\ ( b ) / ; í o \\b c/ \i J

4 /S o l u c i ó n 2 xc O ab? x O 0? x O O

qué va 1 ores í-l ti* Cf t[ 1 a ma t r i*Vr a

■■■ a ¿a --1 a+l\.1 r>

2 a ai Ú a+7/ es singular?

i P a ra todo a ■>

:re que

j. a:;» a x» a» + a*, 1

a^ a 3 a^ a g> a x + a & 1

a 3 É14 a» a* a i -i- a 22 1

a.q. 5» a* a .1 d2 + a 3 1

K> a* a x a 7» a 3 -i- a.** 1

a<£, a i a .’s a 3, a.* ■i" a m i

Suq 0 renc .i a s Suff»0 1 =1s p r i m 0 r a s 5 co .1 umínas ( V0 r e i emp 1 o

i i . E y a 1 u. a r lo s s .1 y u i e n 1 t.- s d e t e r «n i n a. n tees

(a) det /y+2 y 2 \, A

•í y x+y/ Sol - s 4 y,y2

(c ) det

1 i+a 1 i1 1 —a 1

1 i l + b 1

\ 1 1 1 1 ~

2 --1 ó 4

•6 4 -.9 _

3 _/-j 4 1•'“1 6> KUU.« 4

Sol - m a2 b2

(d) det /O 1

JSol.: “84

í*SKmf O

0 zz ¡ Sol.2~(ay2 + b ;;2 + C>íy )

(e) det / 1 1 1

1 1 O: \

(f) del:

i •+• a 3. =t2 a.3 a,-» \a i. 1 +a-2; a.3 .O O Ctj-» \a i. a 2 *i i . . .•i. *'cl3 a,-»» » » -- - - ■ /a i. a 2 a 3 l+an I

ai + cl2 '<• a 3 ”i" « .-+ <in

(Sugerencias Ver ejemplo i4)„

12» R e s o 1 V e r la d e s .i. g u a 1 d a d s

det / i 1 2 \

.1 9_v,2í

3. -4 DESARROLLO DE LAPLACE s

MENORES Y ADJUNTOS (COFACTORES)s El determinante det(M) formado por los rrr£ elementos comunes de cualesquiera m filas y cualesquiera m columnas de un determinante de orden n, det(A), es el menor de orden m del det(A). El determinante de orden n-m formado por los elementos que quedan , cuando se quitan de A las filas y las columnas que contienen un menor det(M) de orden m 3 se llama menor complementario del det(M) (llamado casi .universalmente, menor).. Si los números de las filas y columnas de A que contienen un menor det(M) son, respectivamente

j x ? i2 , . - a 3 Í m V J i 3 -3 " i -i m ?

, ,'-i ) ü + i2 + - . ' .-«-jn» veces el menorentonces «. -wc o m p l e m e n t a r i o d.el d e t ( M ) , s e llama el complemento^ jgglj^áico de d e 1 i. lv l) ( para s-impli fie ar , se conoce i_ ornoadjunto o c o f actor)„ Los menores de primer orden de A

n n a t u r a l m e n t e , todos los elementos de A. El menor del

c 1 e m e n t o a x j 1 ° n ° *’• a r e m os c ° n 01 símbolo M± y s laj • H-4- n o r í~’ 1 si.nibo 1 o i~tx ? por tan to, adjunto, Pur

í ambiÉ'H u s a re m o s l o s s í m b o l o s M.-jl j m -.i y A i j p a r a

0 x p r e s a r h r e s p 0 c ti .1. v a m 0 n t 0 ? 0 1 m 0 n o r c o i t ¡ p 3.0 rn 0 n ir. a r i o

( m e n o r ) y e l c o m p le m e n to a l g e b r a i c o ( a d j u n t o ) d e l m enor

de s e g u n d o o r d e n c o n t e n i d o en l a s f i l a s i y i y en l a s

co 1 umnas k y .1. d 0 un d 0 10 r m in an 10 d 0 A „ P o r t a n t o ,

A .i. j f i< 1. = ( ” 1 ) J-"h-*1<:1 - M j » i.- a. n L. a q en e r a 1 i z ac i on d 0 0 s t a

n o t a c i. ón 0 s- 0 v i d 0 n t. 0 ..

E j e sTípío 1 6 1’ En 0 I d e t e r m i n a n t e de q u i n t o o r d e n

d 0 1 1 1

e l menor d e l e l e m e n t o a .^3 e s e l d e t e r m i n a n t e de c u a r t o

o r d e n f o rm a d o p o r l o s 0 1 em o n to s que q uedan c u a n d o se

q u i t a n l a c u a r t a f i l a y l a t e r c e r a c o lu m n a de l a m a t r i z

o i*- i q i n a .1. A »

lvU -3 = d e t / 1

E 1 a d j u n t o A a - rs d 0 1 0 10 m & n <... o a 3 0 5 i. g u a 1 a e s t e m e n o r

m u l t i p l i c a d o p o r < 1) ^ 3 es d e c i r 5

H43 — r i jí.

Anélogamente, ei menor lv! e s el determinante de i: e r c e r o r d e n f o i - n i a d o p o r 1 o s e 1 e men t o s q u e queda n c u. ando es quitan las filas i y 3 y las columnas 2 y 3 de la matriz originals

»■«i®

E .1. ad i un to H 1 2 3 „ 323^ es ( —.1) x ^ ^ •*"„ M 3 donde éste menor es el determinante formado por los elementosqu e q ueda n c u a ndo se qui t a n 1 a s f i las 1

columnas y de mí3 y las

l~l .1.7¿'. 3 „ SI zs* X. 2 3 , 2 . 3 -det/ 0

t i (-28)) =

Definicións El determinante

d e t (A ) “ d e t J a ¿ x a ¿ a síi. aa-;

3 l n \

es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila (columna) por sus respectivos adjuntos! Con la fila i „

r a r i X n

Aho ra, pa r a g a r a r11 i z a r que es i g u a 1 con c ua 1 q u i e r f i 1 a o o o 1 u m n ct q u e se st c o j a , u t i 1. i a m o s- el — > i g u i e r i t e tsor e rn a s

Teorema 3« 1 í¡ ^i los elementos de una fila o de una. columna se multiplican por sus respectivos adjuntos, y después se suman, el resultado es el mismo para todas las f i 1 a s y t o d a s 1 a s c o 1 u rr1 n a sí „

Teorema -? *?» Escojamos un par de filas (o de columnas) c ua 1 e s q u i era de 1 d e term in artte d e t ( A ) . t.n tonces dst ( A ) esiqual a 1 a suma de los productos de todos los menores de <-~equndo orden contenidos en el par de filas (o de ... ¡ {, ín n cv( 5 ) e s c o q 1 d a s ,, m u 1 1 i p 1 i c a d o s p o r s u s

c o r 1“ e s P o' 1 ® “ a d j u 1 ¡ t o s »

Ppi q enera 1 escojamos m filas (o columncss)-1 nc.-rm.iers ciel determinante det(A). Entonces det(A) es■ 1 la suma de los productos de? todos los menores de.1 q ti a.(

1 a\ c o n t e n i d o s e n las f i 1 a s i. o c o 1 u rr1 n a s ) e s c o q i c.l a. s o r o e • 1 *niu 1 1 i p 1 icadob c ada uno por sus cor respondient.es ad j un tos

Este resultado del teorema 3,2, en el caso particular para m = 2 y en general, para cualquier m, se conoce como el desarrollo de Laplace para determinantes.

Ejemplo 17 :: Desa r r o 1 .1. a r 0 1 d0 t0 rm i n an t e

det(A) = det /i1 4

Uti1¿ zandos

a « 0 p o r a c i. o n 0 s 01 e m e n t a 10 s y

b dpsarrol lo d0 Laplace para las columnas 1 y

Solución s

,2f.1. + F2 , -3Fx + F3 y -4F,. + r v ».

det(A ) det 1 1 ■H*

--7 -ii 1 1 -1.4/

A h o r a ? i’

-il-•i 1 4

E f e c t l a a ffi o s s --2FS + F3, ~5Fœ + F" ¿t. s

d e t ( A ) ” d e t1 1

3 4Io .10 c

\ C) 0 --36 —44,

Operamos con -i 1 / 4 ) F■q. S

dei (A) = (--4) . dot / i 2 3 4\0 -1 tr* ó0 0 - .1y _*~yir

, C) 0 9 1.1/

Ahora n 2 FU +

det(A) = (-4) . de t. ¡ 1 2 3 40 -~1 5 60 0 1 -1> 0 C) 9 1 i l

l-'or i.i 1 t. .1 iti o i, 9 F 3 F -e» ü

De- donde, det(A) ~~ ( -4 ) ( — 1 ) ( 20 ) •- 80.

b .. D e s ¿s r r o I 1 o p o r L. a place de 1 a s colu m n a 5 1 y 3 s

1 ornando corno bases es'has columnas, se "forman siguientes elementos (menores de segundo orden)s

es decir, usando las filas 1 y 2 , filas 1 y 3, fila y 4, filas 2 y 3, filas 2 y 4 y, por último, filas 3 y En tonces, se t ienen en cuen ta 1os ad j untos s A12, A ¿.3 „ 1.3 ? Aí.4 »j.rs * A'2.-í „ x , A;s .. 1 3 y A3 4 , i3 5 quedando s

det /i

c» e r.

(:det / i

j '¡ j . y-ZZ X -►

(™i) „ ciet

( — ] ) .1_ -a :i. -»-3

; ) ...................................

4\n ( -i )*.+ «■■+■ X.+-V

1 /( 1 3 -* -X 1 - 3

■ * ( : : )

det / 1

4det ^ 2

det / 2

\ 4det ^ 2

i r3\ +• i

: ) •

d e t ( A )

det(A ) d e i .’. ( A .)

=•. ( 4-6) (-1 ) (8-3) + (2-9) ( i ) (2--9) + (i-i.2)( -.1 ) ( i -12 ) + (4-12) (-1 )( 4-12) + (2-16) (1) (2-16) •+• ( 3-8 ) ( —1 ) ( 6-4 )

~ 1 ü "i- 4 9 •+• ( — 1 2 1 ) + (••••64 ) + 1 9 6 ■+• 1 O

Ejemplo 1 8 s Calcular el valor del determinante de

A = /O O

¡ i t i 1 i. z a n d o e 1 d e s a r r o 1 1 o d e i... a p 1 a c e s

et n I-'Of'' Ici COli-ilTlfld 3 } h « F-' o r .!. a b T i 1 -5 s 1 y 2 «

Ut.i. .1 i zamoB (Tienores de? primer orden, entonces eld g* t & r i n i n a n t e b g-: r à s

de t ( A ) = 2 » ( -1 ) - de t / 3 0

2 O0. (--1 )2i-3 .det /5 1

4. (--1 )3-3 .det /5 10

0 » ( " i ) « deti )

U t i 1 i- 2 a m o b b a r r u b g

det (A) - 2.1. (27 + 0 + 0 - 1 2 ~ 0 - O) + O + 4 „ 1 n ( 0 + 4 + 0 - O — 0 9 ) + 0

det.(A) = 2.15 - 4.5 det(A) = 10

bn Ai u t. i I i z a r como base las f ílss 1 y 2 5 resultan 6m e t"! o r e 3 ci e s e c¡ u n d o o r d e n ? f o r m a d o s p o r d i chas filas ylas columnas 1 y 2 ? las columnas 1 y 3, las columnas 1y 4=, las columnas 2 y 3,, las columnas 2 y 4 y las columnas 3 y 4. Es decirs

( i : ) ■ ( : k d í i y e .

El determinante será entonces 2

det(A) - det 1^. ( - 1 „ det ^4 5^ +

det ^5 2 (-i ^ „ det ^3 5^+

det ^5 7y ( -i ) . det ^ 3 4^ +

det ^ 1 2y (-i) „ det ^ 1 5^+

det ^ 1 7^. (- .1. ) . det 4 y

d e t ^ 2 7 y ( 1 ) a-*-*-* „ det JL 3^

det ( A ) « ( 0—3 ) (1) ( 12-0) + ( 0-6 )(-!)( 9 0 ) + ( 10-■] ) ( '] ) ( O ”~0 ) + ( O — O ) ( 1 ) ( l ü ) •!■ { 2~~0 ) ( "1 ) ( 0 ~ 8 )

det(A) = -36 +■ 54 + O + O + 16 - :¿4 d e t (A ) ~ 1 O

5.5 MATRIZ ADJUNTA - CALCULO DE LA MATRIZ INVERSAs

Definición s Sea A = [ a x j.] una matriz n >; n» La matrizadjíA)., n >í n, denominada adjunta de A n es la matriz cuya entrada (i,j) es el adjunto Ají. de ají. Es decir, es la traspuesta de la matriz formada por los adjuntas de cada uno de los elementos de A»

Ejemplo 19: Sea A

Su adjunta se forma con

ad j (A )

H2 1 (-i)=*1 «d

Hsasa = ( ""1 ) ^ * • d e t / 3 l 1

•* t :

cArri. = ( ~1 ) •3'*'1 » det

i3a = <-l )**=*.det

l-l “5 rs (-l)»+3.det

••” 0

Por 1 ö tai • to «i tei ìefTiOto »

adj (A) = 18 - 6 - 10^

17 - 1 0 “ 1

- 6 _ 2 8 i

Teorema ' 3 . 3 s S i A ~ [ a i .*3 es una m a t r i z n x i ¡ ? e n t o n c e s

A - ( a d 1 ( A ) ) ~ ( a d j ( A ) ) • m ~ d e L i A ,> u .t.

S i A es no s i n g u l a r e n t o n c e s d e t ( A ) <> U, p o r l o

t a n t o a s i p a r t i mos de l a i g u a l d a d d e 1 te o re m a a n t e r i o r r

tenemoss

A n( a d j ( A ) ) = d e t í A ) » 1 ,

A „ ( i / d e t ( A ) ) ( a d j ( A ) ) - I

y como AA- -J- * I , e n t o n c e s

£>— x = ad j (A )/det (A )-

A n á l o g a m e n t e , l l e g a m o s a l mismo r e s u l t a d o s i

utilizamos la igualdad: (adj(A)).A = det(A).I.

i r a i r-u 1 o de 1 os ad j un t o s r e q u i e r e e 1 c á 1 cu 1 o Motas Como e l l- dJ'L L i L

, , T : n a n t p 5 de o r d e n n - l , é s t e método p a r a o b t e n e r de d e t e n n i n a i 14- -

,-ip una m a t r i z no s i n g u 1 at ? e^ P< cU- t i c o pat- al a i n v e r s a

,h , , r P 5 h a s t a o r d e n 3„ilion L¡ i.

Ejemplo °0 3 Hal l a r l a i n v e r s a d

o - 3 /

• .• » rnmn va tenemos la adjunta (Ejemplo 19) aS o l u c i ó n s Lorno y «

sói o resta obtent-r el valor del determinan te T e n i e n d o 1 o s a d j u n t o s d e t o d o s 1 o s e 1 e m e n t o s , cal este valor utilizando cualquier fila (columna) adjuntos. Por ejemplo, tomando la fila 2s

det(A) = as».i.Avj. + a3»22A3a-r det(A) ™ 5.(-6 ) + 6 „(-1 0 ) + 2.(-2) det(A) —30 --60 — 4 det(A) - --94

A"L - ( l/det(A) ) .adj (A)

A - -1 = ( 1/--94 ) „ /-1817 •10

6 / 9 4 10/94 2/94

S i m p 1 i f i c a n d o s

747 3/47—17/94

I5 / 4 7

de A m cu 1 amos

y s u s

A ss / 4

Solución ; Como det (A) = 4 ( —2 ) — 7 (~'5 ) = — g + y,^t ~det (A) O 0 y 3 por ende, A™1- existe. Procedemos ahor h alia r "i a adj unta «

Aa i * (--1 )*-*. (-2 ) = - 2

A % z* = ( - l ) * - * " * . (7) = — 7

A2X = ( '-1 ) 32H"i » <-S) = 5A2S « (•-i)32’*-32. (4) « 4

Como adj (A) /Ah A^i VAjl A --j

Lueqo, adj (.A)

E n t o n c e s A ”"*' •- ( 1 / 2 ? )

Ejemplo 22 s Demostrar que d e t. i. a d j (A) ) (det. (A) )r-1 ~ í

o o .i. u. c i. on í; d e s p e j a n d o d e 1 a r e 1 a c i ò n p a r a o b t e n e r inversa, tenemos s

ad j ( A ) =•" d E* t ( A ) . A~ ■L

ti n t o n c 0 s 3

det ( «id j ( Ai ) ) ~ det ( de h ( Ai ) » A-i ) »

Corno det(A) es un número., hay que dividir todas las filas por éste números ( 1 /det ( A ) ) Fd. ? para i -- .1 „ „ „ n „A p 1 i c: a n d o e n tonces la p r o p i e d a d 5 ? queda:

det ( ad j ( A ) ) = ( det ( A ) ) ° . det ( A” -1 )

7 am b i én ,, s a be mos q u e d e t ( A “ x ) = i / d e t ( A )

d e t ( ad j ( A ) ) = ( d e t ( A ) )n ..l/det(A)

det ( ad j ( A ) ) = ( det ( A ) ) -1-

Ejemplo 23s Demostrar que si A y B son no singulares del m i s m o t a m ¿* fi o , e n t o n c: e s :

ad i ( AB ) ~ ad j (B ) . ad .i ( A )

S o 1 u c i ó n ?. U t i 1 i z a m o s q u e

ad 1 i A ) de t ( A ) . A~ x y ad j ( B ) •" de t ( B ) . Er--x

a n ¿i 1 o g a m e n t e , a d j ( A B ) = d e t ( A B ) « ( A B } x

u s a n d o p r o p i e d a d e s , ad.j(AB) = d e t ( A ) d e t ( E¡ ) „ B -*-A ” x

Como det(A) y det(B) son números, se pueden acomodar en el orden que se necesiten;;

a c! .j ( A B ) = d e t (B ) . B ~;l-. d e t í A ) „ A~ *•

q u 0 d a n d o a d j ( A B ) ~ a d j (B ) „ a d j ( A )

EJERCICIOS 3.3:

1 . Aplicando el teorema de Laplace, calcular d e t ermi nantes:

i /•» 4\

■•"y Oi j '*** ai~) 0

i 4 4 **7 5,

r5 0 1

8 3 crwi 4

r-y 4 1

10 4 1 0

1 • >'

.1 a 0 0

1 0 b Q

1 0 0 C j

0 a b11 0 0

y 0 1 0

Sol„s 100

Sol.s 60

Sol n s abe — ;•( (be + ca •+• ab

*» — ....i uS

(a ) Hallar adj(A ) y adj(B )(b) Calcular det(A) y det(B)(c) Hallar A“-3- y B'“x „(d) Verificar el teorema 3„3 en este

Hallar la inversa de las matricess

ejercicio»

4 » Derno

ad j (

s 1 / 5 O .. / 2 4+7 .i 8+ ° i ” 1 l1— 4 - i - 3 i .18-261 - 5 - 1 - 1 0 . 1

10-30i 20+lo.i O

,trar que si A es- no binyulsf s

ad j ( A ) ) = ( det ( A ) ) r'“*£ - A

CAPITULO 4: ESPACIOSVECTORIALES

4 . 1 DEFINICIONs

Un espacio vectorial real es un conjunto V deelementos, en el cu ¿al se han definido dos operaciones + c o n 1 a s p r o p i e d a d e s s i g u i e n t. & s s

(.1 ) Si u y v son objetos en V, entonces

u + v está en V» Es decir, el conjunto V es cerrado p a r a 1 a ■+•»

í 2 ) ^ u + v = v + u

(3) u + (v + w) = (u + v) + w (w se considera elementode V) -

(4 ) Existe un único objeto 0 en V llamado el vector cero6 vector nulo de V ¡, tal que

O + u ~ LI + o u para todo u en V.

( b) Para cada u en V? existe un único objeto (— u ) en V,conocido corno negativo de u. u opuesto de u ? tal que

U + ( —U } = ( — U ) + Ll = O

(6 ) Si k es cualquier número real y u es cualquiero b j e t o d e V , e n t o ri c e s

ku está en V. Es decir, el conjunto V es cerradopara la

(7 ) k ( u + v ) - ku -i- kv

(Q ) (i-;: + 1 ) Li = k u + 1 u

( 9 ) k ( 1 u ) = ( k 1 ) u

(10) JLu ~ u

I os elementos de V se denominan vectores; losp i p ,-{•( p n t o s r e a 1 e s s e d e n o m i n a n escalares .. La o p e r a c. i ó n +se denomina adición vectorial y la operación „ sedenomina muítiplicación escalar,

Notas;

•j F' a r a e s> p o c. i f i. c a r u n e s p a c :i. c:< v e c t o r .i a i „ d e b e m o s d a r u r íconjunto V y dos operaciones + y „ que satisfagantodas las propiedades de la definición«

i yenei a 1 f —■ e u t i l i z s i i l o s r e a 1 es corno e s c a l a r e s

p o r l o t a n t o , m i e n t r a s no se e s p e c i f i q u e l o c o n t r a r i o ,

se s u p o n d r á que a l h a b l a r de e s p a c i o v e c t o r i a l . se

e s t á h a b la n d o de e s p a c i o v e c t o r i a l r e a l o s o b r e l o s

r e a 1 e s n

L1 n "vector" es h o r a u n e 1 e m e n11 o d e u n e s p a c i n

v e c t o r i a 3. ,, 1 o q u e d i f i. e r e u n t a n t a d e .1 a i d e a q u e e 3

& stu<::i i.an te? t r ae de 1 bac: ha 1 1 e r a t o y del c u r so ¡jg

V e c t o r i a 1 « A s i <¡ e i e 3. e m e n t o

que es una matriz de orden 2 , es un vector alc o n s i d e r a r e 1 s p a c i o v e c t o r i a 3. d e las m a t r i c e s d eo r el 0 n »

El número 5, es un vector, al considerar el espacio v e c t o r i a 1 d e 3. o s n ú m e r o s i’" e a 1 e s «

habla de operaciones usuales, cuando la + y n trabajan en la forma normal como se definen dentro de cada espacio» Ejemplos (a, b) + (c, el) — ( a+c, b-t-d ) esla adición usual en Rx-« Cualquier otra forma diferente de sumar duplas, no será la adición usual ;

k „ ( a „ b ) (f<a, k b ) es el producto por escalar usualen R2 «

Ejemplo i s C o n s i d e r a r R 2 y... o n 1 a 5 o p e r a c i o n e s u s u a 1 e s „D 0 rn o s t; r a r cj u & e b u. n 0 s p a c i o v 0 c t o r á. a 1 r e a ]. *

D e m o s t. r a c i. ó n s t o rn a rn o s e 1 e rn e n t. o s d 0 R '■'■■■ s

u. (a ? fo) r v ~ (d, e) y w •- (q, h) y rev i sainos el

c u rn p .1 i rn á. e n t o d e 1 o b d i e 2: a >; i o m a 5 s

(a? b) + (d .1 e ) debe estar en R2 .

(a ? b) + id, e ) (a+d, b+e) corno a 3 b, d y £•>son números reales, a+d, b+e, son números reales y ?por ende 3 (a+d, b+e) es una dupla de números reales.P o r 1 o t a n t o 3

y-, e) “ (a+d, b+e) pertenece a R2i a 3 1

, \ / _ i - , + ( d „ e ) = (d , e ) + ( a , b )() v a ? i-1 1

( a+d , b -i" e ) = (d+a , e+b )

j c o n mu t a t i. v i. d a d de la suma de realess/

d -4-a = a+d y e+b - b+e

(a+d .1 b+e) ~ (a+d ¡, b+e) n lo cual es cierto»

, ... h 'i + ( (d , e ) + (g ? h ) ) « ( ( a , b ) + (d , e ) ) + (q h )( “•% ) \ a 3 *-í f •

Resolviendo cada lados

(a, b ) <d+g? e+h) = (a+d, b+e) + (g, h)(. a+d+q, b+e+h) = (a+d+n K h- '• i _oi-ferh/, lo cual escierto„

(4 ) h. >í i. & t e e n K 3 u n v e c t o r 1 1 a m a d o v e c t o r .cero, tal que

( a , b ) + (rn, n ) (a, b)

Resolviendo en el primer miembro y aplicando igualdad de vectores, tenemos:

(a+m, b+n) = (a, b ) 3 luegos a+m •- a y b+n = b

Concluyendo que m q y n ~~ O „ Por lo tanto, el v e c tor cero e s (O ,O )«

(5) Para cada (a3 b) existe un opuesto: (p, q) tal que:

(a, b) + (P, q) ~ (O, O)

Resu11a s

(a + P ? b + q ) =-• (o , 0)

a + P ~ 0

b + q O

D e s p © .1 a 11 d o ? P “ "" ®q b

' o r 1 o t; a n t o , e 1 n e g a t i y o d e

( ö ) k ( a ,, b ) ( k a k b )

(a « b ) ©s

a y b SOn realeS’ ka V kb son rea .les, lLleqoCDiTIU I tla pareja (ka? kb) es una pareja d p e i--1 e n e c e a R z „

& i' t a l e s

( 7 ) k ( ( a , b ) + ( c j, d ) ) = ( a ;t b ) -i- k ( c , d

R e s o 1 v i 0 n d o c a ci a 1 a d o ï

k ( a-i-c h b+d ,i i ka kb ) + ( s-.-:c ,, kd )( k a+ k c k b+k d ) ~ ( k a+k c n k b+k d )

1 o c u a 1 e s c: i e r t o .

( 8 ) ( k +1 ) ( a , b ) ~ k ( a ,, b ) + 1 ( a , b )

R & s o 1 v i & n d o mi. e rn b r o a rn i e ítí b r o s

( ( k +1 ) a , ( k +1 ) b ) = ( k a , k b ) + ( i a , 1 b )( k a +1 a -, k b +1 b ) == ( k a +1 a , k b +1 b )

1 a c u a 1 e s c i e r t o „

k ( 1 C a ? b ) ) =::: ( 1 ) ( a „ b )

I-i; e & o 1 v i. fö n d o m i. e m b r o a /n i e rn b r cj s

k ( 1 a n 1 b ) ( k i a n !■;: .1. h )( ( k 1 a j, k 1 b ) ( k .1. a „ k 1 1::, ) , \ a r , t,, -, ...• '■ ™ u. ï e r c c

( i O ) 1 » ( a , b ) — ( a , b )

A p1 icando la mui t i p1 i cac i ón esca 1 ars

( i a » .1 b ) ( a ? b )( a b ) ~ ( a ? b ,¡ «, 1 o c u a 1 0 s c i e r t o »

Corno R c: on las c< pe r ac i on es u sua les c lam p 1 e 1 a s i C¡

p i- o p i £•' d a \..l e s de .1.a i..ie s ini.i_At.jn ,, e n t o ti c 0 s- R**" es un pac i <"•

v ec t o r i a .1 e ct 1 *

Aná 1 ogamen te * se puede comprobar que R R» r, £»

R«-*, con las operaciones usuales de suma y producto por

e s c a 1 a r s o n e s p a c .i. o s v e c t o r i a 1 e s r e a 1 e s „

D e 1 <=* 'T( i s m a m a n 0 r a 0 s e cl f- J a c o m c> e j e r c i c i. o c o m p r o b a rque los conjun Luís» cJe matj- ices 2 H^ji.1. n Ms»>tn ,„ „ „ Mai<n) M.-Sict? Hí kS) H.3K3 5 »»" s « « . . HmKn con 1 a s

o p e r a c i o n e s u s u a 1 e s ( s u m a y m u 11 i p 1 i c a c i ón d e u n a m a t r i

... r u n e s c: a 1 a r ) s o n e s p a c i. o s v e c t o r i ales r e a 1 e s -

Ejemplo 2; Comprobar que el conjunto Px(>0 « {ax + b, a y |-i reales} ? polinomios de grado menor o igual que uno en•¡ a v a r i a b 1 e >í .. e s u n e s p a c i o v e c t o r i. a 1 r e a 1 c o n 1 a so pe r ac i on es u su a 1 e s ..

Demostración.“ Elementos de !■'x (>;) son s

,, as ax + b, v ~ cx+d, w « e>Hf,

<1 ; Comprobamos cerradura para la adición:

(ax + b) + (o;+d) - ( a+c ) x + b-i-d

i...omo d. 3 b , c , d son números rpalpc ~ . .U.U1 L.W, ct+c y b+dr e a les, t e n :i e n d o e 1 r e s ultado la f „ict i u {•,««<. s real.x +•real, comprobando asi que p , > ,i ct-M-aao para la+ »

(2 ) C o n m u t a t i v i d a d d e la a d i c. i ó n s

ax+b + cx+d = cx+d + ax + b, efectuando!(a+c) x + b+d = (c+a) x + h + k - _,

* «MucaniDscon mu ta t. i v id ad en 1 a suma d e rea 1 es s

a+c:) x + b+d =- (a+c)x + b+d, lo que i mplica elc u m p 1 i «Ti i e n t o df (2 ) .

i 3) A s o c i a i. i i ci(=' '-I d e 1 a a d i c i. ó n s

ax+b + (cx+d + ex + f) « (ax + b + cx+d) + ex + f.

Reso 1 viendo en cada mi e*mbro;

ax+b + ( (í~+e) x + d+f ) -- ( (a+c) x + b+d) + p^ + f (a+c+e)x + b+d+f ™ (a+c+e)h + b+d+f

1 a c u a 1 e s c i e r t o .

(4 ) S u p o nemos la e x i s t e n c i a del v ector cer o en p,,.,,.m x + n , entonces:

a>{ + b + rnx+n ::=: ax+b (a+m ) >: + b+n ~ ax + b

Aplicando la igualdad de polinomios igualando coeficientes correspondientes a la misma potencias

x 2 a "i" m ~ a >!° s b+n = b

Al resol ver el sistema, m r-': 0 y n ~ 0 „ Por lo tantoe 1 v e c t o r cero es s 0 x+O „

(5) Suponemos la existencia del vector negativo de ax+bs p x + q ? e n t o n c e s

ax + b + px+q = Q x + O

( a+p) >; + t>+q - °« + 0

Igualando:, a+p = Ob+q = O

Luego, P - ■“» y q =•• -b. Entonces el opuesto de ax + b es s

( - a ) >5+ ( b )

¿*) C o ni p r o b a m o s la cerrad u r a d e 1 p r o d u c t. o p o r esc a 1 a r s

( ax + b ) debe estar en P ¿ K ) » k i. ax+b .) ( ka ) x+kb»

CotTio a 9 b y k son números reales,, ka y kb so reales. Luego , (ka)x+kb esté en F'x i x )

( 7 ) k (a x + b + c:x +d ) = k ( a>: + b ) + k(cx+d)

R e s o 1 v i e n d o e n cada rn i. e rn b r o s

k ( ( a+c) x + b+d ) ™ ( ka ) x+kb + ( kc ) x + kdk ( a-i-c ) x + k ( b+d ) = ( ka+kc ) x + ( kb+kd )( ka+kc ) >í + ( kb+kd ) = ( ka+kc ) x + ( kb+kd ) , lo cual es c ierto«.

(S ) ( + 1 ) (a x+b ) -•= k ( a x+b ) + 1 ( a x + b)

Reso 1 v i sn dos

( k + 3. ) a x + ( k +1 ) b ( k a ) x + k b + (la) x +1 b(k a + 1 a )k + (k b + 1 b ) = (k a +1 a )x + (kb +1 b ) ? 1 o cual es cierto m

i 9 ) k i. 1 ( a>í+b) ) ~ ( k 1 ) ( ax+b )k ( 1 a >i +1 b) í k 1 a ) x + (k Ib)(kla)x+(klb) - (kla)x+(k 1 b)? lo cual es cierto,

( 1 0 ) i ( 'A _l “ aH 4‘ k(ia)x+(ib) -- ax + bax + b = ax + b ? lo cua 1 es cierto„

De la misma manera, se puede comprobar que, con las operaciones usuales entre polinomios, los conjuntos de po 1 momios Pía ( x ) , Prs ( x ) , P-* ( x ) ... P0 < x ) son espaciosvec tor i.ales „ Recordsmos que s

P= (x) = íax* + t¡:>¡ + c, con a, ta y e reales}, y enq e n e r a 1 ,

Pn ( >' ) L ar-, ™ + ñ n-l/!n A + « „ a -f- a x x + ¿ío n COPl a¿ real}

Ejemplo 3s Determinar si el siguiente conjunto es un espacio vectorial bajo las operaciones dadas. En caso de no ser, especificar las propiedades que no se cumplens R 2 con:

(a „b ) + (c,d) = (a + c ,b d ) y

k ( a ti b ) = (2 k a 3 b )

S o l u c i ó n s C o n s i d e r a m o s p r i m e r o 3 e l e m e n t o s d e Vs

u = (a5b), v " (c , d ) y w = (e ,f)

/ £ >| cerradura para la sumas

( a , b ) + i c ¡i d ) ( a ¡~c., bd ) ¡, y c o m o <-4 , b , c y d s o n

r e a l e s , a + c y bd s o n t a m b i é n r e a l e s y, p o r lo t a n t

( a + c ü b d ) e s t á e n R “ ..

..... p q j~, f,-, u t a t i v i d a d p a r a 1 a s u rn a 2

( a 4 b) "!" (»"-■ üí: ) ” *■ c: sí;;* ■ ( a ,, b )

{ ¿i "1- C ;i b d ) ( C + a ,, d b }

Aplicando con mu t a t i vid ad en bla ma y producto dr-

rea 1 0S n

i. a-¡-c , bd ) ~ ( a+c bd ) . 1 o cua 1 e- cìerto

( 3 ) U. "I* ( V ’ I" W ) ( U + V ) + W

( a , b ) -t- i. ( c , d ) + ( e , f ) ) =s ( ( a ? l::« ) + (c,d) ) + ( e , f )

E. t gc t u an u o “

( a m b ) ( c -t-e , d f ) ( a+c , bd ) + ( e? , f )

t. ct+c+t? fi bd 1 ) t, ct+c. “i*o f bd f ) f 1 {..} cu.a .1 ss c isr to n

( 4 ) S li p o n e m o s 1 a e >; i. s t e n c i a d e* 1 v e c t o r c 0 r o ( m n n ) n t a i

que :¡

( a * b ) "*■ ( ,Tl n r> ' ( s ,, b )

( a+m n b n ) ( a b ) ,, i q u a i a n d o c o m p o n e n t e a c o ni p q n e n t e

tenemoss

bn = b

de donde, m 0 y n = 1, si b <> 0„

De donde, para b = O, no existe un unico vecio

c e r o y a q '■■■' “

i. a , ú ) -i- (i),n ) — ( a+O ,ün .) -- ( a ? U j ? para cualquier valor

el e n „ I n f i n i t a e. s oluc i on es »

Por É'Sta razón, Queda fal lando la propiedad (4) «

(5 ) Como no existe vector cero, falla el opuesto»

(6) ku pertenece a v1 „

I-:. <•_•< b ) ( j:-k a , b) i_ orno k n a y b son rea les 2 ka y bt a i n bi &n lo son y po r ende, la par e. j a resu1 1 a dop e r t e n e c e a F<s »

( 7 ) k (u v ^ ku kv

k ( ( a ,, b) + ( c , d ) k ( a n b) •+• k (c ,d ) s re so 1 viendok ( a+c , bd ) - (2 ka,b) +- (2'kc? d)(2k(a+c),bd) - (2ka+2kc,bd)

(2ka+2kc ? bd) = (2ka+2kc bd), 1o cual es cierto „

(8) ( k +1 ) u = k u + 1 u

( k +1 ) (<* ? b ) := (ñjb) + 1 ( a ? b )

R e s o 1 v i e n d o e n c a d a m i e m b r o s

( 2 ( k +1 ) a 5 b ) =••= (2ka,b) + (21a,b)

(2ka+21a, b) = (2ka+21a,b;2) que son diferentes» Por

1o t an t o , falla»

( ) k (1 U ) = ( k 1 ) uM I (a,b) } = (i; i ) (a b } k i.i a ,, b ) ~ (2 k 1 a „ b}t. .*■- k ( .1 -a ) , b) (2 k la,, b )

(4kld,b) = (2kla-b).' que son diferentes. Falla.< x 0 ) .1 u ™ u

1 ( a , b ) (s j b)(2 .1 »a,b) - (a? b)(2a,b) = ía.b), falso»

Por lo tantoj, este conjunto no es e^oacir •e-pauio vectorialcon las operaciones i n d i r a h «=U d d 5 ’ V« que fallan laspropiedades: 4, 5. 8 , 9 y 1 0 -

Ejemplo 4= Determinar si el siguiente conjunto es unespacio vectorial bajo !as operaciones dadas. En caso den o se r <, es pee: if icar 1 a n r n n -¡ ¿-.i - -ipropiedades que no se cumplen.-El conjunto de todos los ni'im»».__5 nu"'^ reales positivos :>; conlas operaciones:

a ■+* b a b yk a a **•

Solucións Consideramos primero 3 elementos de= R-

t..t ~~ a <i v ~ b y w — c «

'■ 1 1! "r v' esta en R„

k “ ! CCmTiO ¿jcí b t a fí) b i ©n © 5 - 0

C U íTl p I Ir;' „

( 2 ) u + v - v -<•■ u

a + b -- b -i- a

ab - b a ,, como es p ro d uc to , ¡ - r

b a b q I O L t.í ¿í 1 <3 C i 0 1'"' r '

(3) u -f- <Tv + iv) = fu + v) -+ wa ■+ (b + c) •* (g? + b) + ca + be — afa +• c

abe » abe, jo cuaí e<s cierto

¡4 ) Supo nemas la e>o sfccrnc it« det vector ce , 0 U )efue a + /vi - a

¿W = a> / como 5 ^ o, «otonc-es m = i r. l£n W e s , « i

e y « 5 t c e/n \p » c o v e c t o r c e ro , q u e &s e ,

¿5} suponemos la e v 'i 's ie n n g d*?8 n e q a { i» o é e » .

¿» f p =■' 1 £Vc* r to ‘r r e w j

¡op - t, )t#ego p * 1/4, Coto * > „•' K ^ O, f c Ki s t e y

gf-5' P<s>ra rada vecisr ¿ ti." !fc'q""' se cumple y B ¡

500 núffleros rea le« r . .- Positivo«p o s i t i v o , , P o r

■i o

(6) Cerradura para el producto por escalar:i

ka = a*4 . Como a es real positivo y k un número real ,queda por demostrar que a^ es real positivo.

Si k > O, claramente a* > O.

Si k = O, ak = 1 > O.

Si le < O, aM = 1/a“1', donde a~>‘ > O (a>0 y -k>0), entonces aM > O y cumple la propiedad.

(7) k(u + v) = ku + kvk(a + b) = ka + kb, resolviendo:

(a + b)*' = a* + b*c(ab)1' = • bVraM.bu = a^.b*«, lo cual es cierto.

(8) (k + 1)u = ku + lu(k + l)a = ka + la efectuando

aM- i = aK + a1 aK- i = a * ■. a1a,( + 1 = a1'""1 , lo cual es cierto.

k(la) = (kl)a k(aL) = aKl ( a 1 ) * =s a * 1

a lk = a l

a ~ lo cual es cierto.

(1 0 ) 1 u — u la = a ax = a

a = a, lo cual es cierto.

Luego, El conjunto de los números reales positivos con las operaciones indicadas es espacio vectorial.

Ejemplo 5í Determinar si el siguiente conjunto es un espacio vectorial bajo las operaciones dadas. En caso de no ser, especificar las .propiedades que no se cumplen: El conjunto de todas las ternas de números reales <a,b,c) con las operaciones:

(ñjbjC) (d,e,f) — (a+d,b+e,c+f ) y

k(a,b,c) = (0,0,0)

Solución: Tomamos tres triplas de R3 -

u = ( a b c ) , v = (d?e,f) y w = (g 3 h , i )

Lomo 1 <rt suma es» ususl ? las pi'“i.iñei~a5 5 propiedades s cumplen» Vamos entonces a demostrar las restante -2

(6 ) ku está en R3 .

k ( a , b -i c ) ::::: (0 ,U,U) ,, terna que* siempre está enP o r 1 o t an t o , se cumple»

(7 ) k(u + v) = ku + kvk ( ( a , b , c 5 ( d , 0 , f ) ) — k ( a , b , c ) + k ( d,e,1:)i-;: ( a+d , b+e , c + f ) = ( 0 , 0 , 0 ) + ( 0 , 0 , 0 )(0 , 0 ?O ) ” (0 ,0 ,0 ), lo cual es cierto .

(Q) ( k-¡• 1 )u = ku + lu( k +1 ) ( a , b, c ) !•: (a , b , c ) + 1 (a,b,c)(0 ,0 ,0 ) = (O ,O , O ) + (0 ,0 ,0 )(0 ,0 ,0 ) (0 ,0 ,0 ) , lo cual es cierto»

(9 ) k ( 1 u ) - ( k 1 ) uk (1 ( a , b, c ) ) ~ ( k 1 ) ( a , b , c )k ( 0 ,0 ,0 ) ~ ( 0 , 0 , 0 )( 0 n 0 n 0 ) = ( 0 , 0 , 0 ) , lo c u a 1 es c. i e r t o „

(1 0 ) iu = u1 ( a , b c ) ( a , b ,, c )(0 ,0 ,0 ) (a ,b ,c ), que es generalmente falsoen ton c es f a 11 a

L.ueqo? e .!. cunjunto ■' con la» opérete.iotu=.'í» íiidicñdñs>, n o e s e s p a c i o v e c t o r .1 a i r e a 1 p o r que falla la propieda d 10.

Teorema 4.1s Si V es un espacio vectorial? entonces»

(a) 0 « u 0 para cualquier vector u en V „

(b) k « 0 — O para cualquier escalar k.

(c) Si k - u - O 3 entonces k ~~ O ó u = O

(d) (-1) - *-i = -~u para cualquier vector u en V ..

A .2 SÜBESPACIQS VECTORIALESs

Sea v un espacio vectorial real y W un sutocónjunto de V„ Si W es u.n espacio vectorial respecto a lasoperaciones en V, entonces W es un subespacio de V.

Notas Todo espacio vectorial tiene por lo menos dos‘h>u toespaci.oss el espacio mismo y el subespacio {0 3’ quec o n sta &n i c amen t e d e 1 vec t o r cero» E s tos su toespaci os sed e n o m i n a n subespacios triviales-

E j emol o ¿hs Bes P ( x ) e l cun j l.ü ¡ í u que c u n ^ t s de t o d o s l o s

p o l i n o m i o s de g r a d o menor o i g u a l que 5 en l a v a r i a b l e x .

p.nj(v;) es un su be on j u n t o de P ( x j « e l e s p a c i o v e c t o r i a l de

f--idos Los p o l i n o m i o s - Con l a s o p e r a c i o n e s u s u a l e s , es

.r c c j ve r ¿ f i r a r c¡ ue P » ( x ) es un es p ac i. o v ec t o r i a 1 „ Po r 1 o

t "Ti to p K ( v¡) es un su bes pac i o v e c t o r i a l de P ( x ) „

T eor ema 4 - 2 s S i W es un c o n j u n t o de uno ó más v e c t o r e s de

..... ,, i ,, v p r t o r i a l V , e n t o n c e s W es un s u b e s p a c i o de V ,u n e *.» !-• -

i c- •; = & c. 11 m p 1 e n 1 a s c o n d i c i o n e s s i g u i e n t e s «*-/1 V ;r-‘ '••• "

. ... y.- c: rjr'i vec t o r es erí W u + v es ca ei ■ W = i . e v !■ -<•_}o( a ) bx u y v ....um

p a r a l a suma). .

-■es un e s c a l a r c u a l q u i e r a y u es un v e c t o r de W,( b ) S i ¡<

. i•»i ¿r.está en W. í c e r r a d o p a r a e l p r o d u c t o pore n t o n c e s v-u

esc a 1 ai- ) *

N o t a s s

J . r i n n p q ( a ) y ( b ) se pueden e n c e r r a r en unai . L a s c o n d i c i o n e ...

so 1 & "

on v e c t o r e s en W y s i k es un e s c a l a r

li -i- lí v e s t á en W-■s í u y v

cuaiquie' d

2 „ P a i - a d e rn o s t r a r q u e un s u b t_ o n j u n t o d e V es su b es pac ¿ o v e c t o r i a l cíe V, hay que hacerlo en forma general, no se comprueba con ejemplos, como muchas veces se quiere r e a l i z a r . Los ejemplos sólo sirven cuando se encuentra que no cumple» Es decir, un ejemplo que muestre que hay falla, si rve par a c on c1u i r que n o es subespaci o , mientras que el hecho de que el ejemplo cumpla nog a r a n t i z a n a d a .

Ejemplo 7 i D e m o s t r a r que el c o n j u n t o de t o d a s las

matrices /a■ e / a b £ \l o o)

. .... r,-r „ es un subespacio vectorial de lasdonde b - »

, ■ ,r- » Tomamos dos elementos del conjuntosamostr au .*•°

u = /a a-c c\ '■ V = / e e_f f)L 0 o/ \g 0 0/

fompr-obamos ahora que u + kv también pertenece a W»

/a+ke a~c + k(e-f) c + kf\u + " ( )\d+kg u ° /

<-omprobar que cumple la condición s b = a-c } v e s t ^

a - c + k ( e ~ f ) = a+ke ~ < c + k f )

c:<—c + k ( e— f ,¡ ~ a + k e - c - k f

eC ' ( (£' f ) c\-C+k ( e —f } 2 O r i l - l/ ü .X |_ Uc< 1 £V. r: _•P o r i 0

t a n t o , e l c o n j u n t o de é s t a s m a t r i c e s• - t-ib un <=nh_r._ _ .V 0 c t O ! - .1 <?. 1 d 0 ¡ i t< -J5 „

E j e m p l o 8 2 Sea R3, e s p a c i o v e c t o r i a l n--«-" L e r ni i n a*=*r s i i ooss i q u j. en t e s s u b t... o n j u r1 1 o s s o n s u b e s

( a ) r? — /*vi' —• í„ i| y ¡i ) 5 y 0 >i •+• z

( b ) r /O i i >í ¡I y *1 Z ) ? '< •••' í -> ]'

( c ) S = C (:r’í ¡l y 5 ) <! y ¿í J‘

; d ) S = £(> ; , y , z ) n >í -1- V + z •- 5 }

o .1 uc: .1 ón s

i'a) Considerarnos dos elementos de S s

u ~~ (}•( ¡i i, .1 ) *i v ( i a i) O , a )

Obtenernos u kv = (>• ? (..), .1 ~ x) -i- k(l-a¡, ü,, a)u + kv ~ (x-fk-ka, 0„ l~x + ka)

para determinar si u + kv está en S, observamos 1

segunda componente ~ u, y primera más tercera, deben

dar 1 “

x + »; - a + 1 - ;í + ka = k + 1 <> i-Por lo tanto, S.... /•••. c- i ¡ h e s p a c i o v e c t o r i a 1 d e R ':I „

Para ilustrar la nota 2. anterior, podemos ver que la tripla (1? 0 0) está en S» Sin embargo, la tripla 2(13 0, 0) = (2, 0 :, 0) no está, porque la suma de laprimera y tercera componentes no es 1„

(b) Pomo hay una condición de desigualdad, la teoría de desigualdades dice que una desigualdad se invierte si se multiplica por un negativo- Luego 5 sólo chequearemos el producto por escalars

Sea u =:: (a, b, c ) , siendo a > 0« Entonces,

}..u = (ka, kb, kc), si k < 0, ka < 0. Luego, ku noestá en S. S no es subespacio vectorial de R3 .

(c) T o m a m o s d o s elementas de S:

_ / w v M'i s v = (y, y, y)- Obtenemos u + kvs

u + kv - (x, x> *> + M y , y ? y) - <x+ky, x+kys *+ky)

Como las tres componentes son iguales, u + kv esté enc; i ueqo, S es subespacio vectorial de R3 -

¿»••••te ca«.o, al ser la suma de componentes un número (d ) En <-*•io nulo, cabe suponer que al muítiplicarlo por un 6-<=• ralar se amplifique, incumpliendo la condición» Tomamos para el caso un ejemplos

la tripla (i, 2, 2) está en S , La tripla 3 (1,2,2) yano pertenece a S , porque la suma de sus componentesno es 5s

3 ó 6 '•:r- 15 5. Luego,, S no es subespaciovectorial de R3 .

EJERCICIOS 4-1s

1„ Determinar si. el siguiente conjunto es un espacio vectorial bajo las operaciones dadas» En caso de no per< especificar las propiedades que no se cumplens

(a) El conjunto de todas las parejas de números reales( x ? y ) si - (? y ) + (a 3 b ) ~ (x + b ? y+a) y( x , y ) r” í 2 k x , ^ k y )

SOI n s No.

(b) El conjunto de todas las parejas de números reales (x„0) con las operaciones estándard sobre R2 .

So1< « Si»

(c) El conjunto de todas las parejas de números reales( x .. y ) ? en donde x >” 0, con las operacionesusuales sobre R®.

Sol „ a No o

t'd} El conjunto de todas las

íx ,, y ) ? sis (a ? b ) + ( c ? ci) k (. a >¡ b ) ( a ? b )

SO 1 « n N o .

(e) El conjuneo de todas las

de la forma (x ? ;■!, ...estándard sobre R ™ „

S o 1 . s Si.

(f) E 1 conjunto de todas las

c o n las o p e r a c i o n e s u s t.i a 1 e s .

Sol.s No.

(q) El conjunto cuyo único elemento es 4„ Las operaciones están definidas s 4 + 4 — 4 y k4 = 4

Sol.s Si.

( h) E 1 con j un to de todas las pare j as de nQmeros rea 1 es (x 3 v ) ? si s .1.a suma es la usua 1 y k ( x ,, y ) ( o H q ) n

Sol •> No.

|~* 0 .1 e j ó. ín:- d i l Ú ü í f c ' l " Ü i s f 6 e l 1 t í

~ ñ C b d ) y

n up i a d t í numero*-> rea 1 es x) con las operaciones

matrices 2x2 de la formas

Litdi&í» de x ljs b i y u isute s subcon juntos de P3 :Qns u. ü e s p a c i. o 5 ?

{ a ) W f (;í, y ¡, z ) 5 z — J. }» Nd .

( b ) W ~ r ( y fi Z ) , Z V j\ „ 8 i .

( c:) W =a { (>; ,y,z), z = x + 2y } . Si „

(d ) W = {(x,yfz), a = b ]■ . Si.

( e ) W í' ( k ? y n z x “ 2z s y ~ “~3z } . Si -

( f ) w £ (■' ? y ? 2 } 5 -í i ? y ~ ? z — u j- „ No.

( g ) W -í*( x !. y S z ) s y' S ■“ v3* - No .

Sea V -- R^ Y sean S = •{. (?-¡ ? y ) ? x=y] y ] ~ { ( x , y ) , ~—y ]■

Encontrar S unido 1 y decir si es o no su. bes pac i o y justificar la respuesta»

>o] „ s No es subespacio

4 Sea V el espacio vectorial de? las matrices cuadradas de orden 3. S.i S es el conjunto de las matrices simétricas (A A ) ? "1 las ari ti si mé tricas (Ap,' » w el de las matrices idempotent.es (A52 ~ A ) y U el de las matrices singulares. Determinar si S, T, W y U

s o ri s u b e s p a c i o s v e c t u i-' i «i 1G ci te' v n

Sol.: S, T si son. W V U no lo son.

5- D e m o s t r a r que en un s i s t e m a h -tiumogénsa de --1 ... 1 ~ l~ U C.Í C." i i~! ¡“V & -. ifcs'ct i es ©i conjunto de“us soluciones

s u. b e s p a c i o v e c t o r i. a 1

° " D a dos l o s s u b e s p a c io s s r ^» I de Rj:»

v e c t o r e s de S i n t e r c e p t a d o T y dedes*u r-i ba ios

si ur , i cjo T Í S + T )

t (-1 ) o i i v „ v () O 'i \ •, . ~r•• ” -1 • ' * - ? > j y I =s ■ ( w .- . _'• y n :i U , U ; j

( b ) s = í ( x , y , z , 0 ) } y T * f f 0 , O ............... , ,• *■ 5 ' *í y .* »

4.3 COMBINACION LINEAL

o — O ri i «iwA t U J. q U ,, «: *l.“ J CDr> j u n t o d e r, V P P f,- u i- B s © n

u n e s p a c i o v e c t o r i ¿i .1 v 11 r-un vector- ¡ i -.i .u * v es unac o m b i n a c i 6n 1 i n e a 1 d e 1 o s i-r e c t o r e s d e s * B1 existenescalares a ,i., aj», „ „ „ a,-, tales que 2

U átUi + aaUa + „ „ „ + a0u0B

Ejemplo 9: Cuáles de las siguientes son - u- s°n combinacionesi i n e ¿?. 1 e s el e u i. „ .1 „ 3 ) y y ¿j .

■ 5 ' n v ) íí

( a ) ! ; i b ) ( 4 , 2 , 6 ) ; ( c ) f o , o o i •. ¡ ,,■ y (d) (4,S,6 ).

S o l u c i ó n ! Con l o s v e c t o r e s u y v , o b t e n o o v .....e u t o r e s de l a

f 01- m a (?i t{ y 1, 2.) M q u e p u e d e n r e q u e r í r ,' l e r t a s c o n d i c i o n e s !

Suponiendo gup < •••■ •-/ •■••• \ •q t-umbinación lineal de u y

tetó LÍenes Existen escalares a y h , tales que

a (1 j, -1 j, 3 ) + b ( 2 , 4 „ 0 ) - ( x , y , z ) , (l)

al operars

( a * -a ? 3a ) + ( 2b, 4 b , 0) = (>< ? y ? 2 )(a+2b, -a+4b, 3a) = <x,y,z ). De la igualdad de

vec toress

a 2b = >c,-a -i- 4 b = y

R e s o 1 v e m o s © .1 s i. s t e m a s M a t r i z a m p 1 i a d a (o r d e n a h )

E 'fe c tu a iT iu ss F- ~3F.j. •+• F 3

'1 2 x:> h >í+y0 “é> Z—-3

Ahora, f’ .vs P3 »

P a r a que ( x * y , z ) sea c o m b i n a c i ó n l i n e a l de u y v .p

r e q u i e r e que e x i s t a n a y b que s a t i s f a g a n l a e c u a c i ó n

( 1 ) .. Es d e c i r , ‘.-e n e c e b i c.d que e l s i s t e m a t e n g a s o l u c i ó n

p a r a 1 o c u a 1 es b u ¡ i c i e r ¡ Le que¡¡

y -i- z -■ 2 x = 0, es decir, y 4- z = 2x „

p o r 1 o t a n t o t o el a t r i p 1 a q u e c u. mi p 1 a e s t a c o n d i c i ó n ,será combinación lineal de u y v;

j a t r .i. p 1 a ( í P * "■ *1 ••• a ““ •c~ ( ) ? c i e r t a ¡,

i a t r i p 1 a ( :• 2 ? & ) P r es en t a 2 + 6 -• 2 (4 ) „ c i e r t a ,

I a t r i P1 s ( 0 < 0 ?0 ) P r e s en a ü "l” ü “ 2 * 0 -J ? <- i- e r t a ?

La tripla (1.5,6) presenta 5 + 6 = 2(1), falso.

L u e g o , l a s t r i p l a s de l o s c a s o s ( a ) ;! ( b ) y ( c )

c o m b i n a c i o n e s l i n e a l e s de u y v .

E j e«n pío 1C>2 hx P■¿ E x p r e s e e l v e c t o r t. b c: o m o c o m b ;.i. n a c i ó n

l i n e a l de u (3.2,5).

Solución: E x i s t e n e s c a l a r e s a, b y c tales que

a (2,1 „4) f b(lr i,3) + c(3,2,5} = (5*9,5)( 2a a „ 4 a ) + ( b , •••-b, 3b ) + ( 3c , 2c , 5c ) -■ (5,9,5) ( 2a + b+3c, a~b+2c, 4a+3b+5c) = (5,9,5)

f & e u 3. t. a n do & i s i s t‘. 0 m a s

2a + b 3c = 5 a - b + 2c - 9

4a + 3b + 5c = 5

U111 i z amos 1 a ma t r i. z amp Ii ada 2 ( orden <*, u, u )

Ü 3 -1

I n t e? r <•- a » n b .i * |Tl^ 5 * ;L

X -~i -=•-5: --1

pthöi" a ;i ■*'

O 3 "1 —130 7 -3 -31i

Seguimos reduciendo: intercambiando y C3 , C;C-»- FI nuevo orden de las variables es a <,c , b)

1 2 ""1 ^0 - 1 3 - 1 3

0 “ 3 7 - 3

Ahora, 2Fa + F „ - 3 F = + F 3 y - F 2

S e g u i m o s con (

para terminar! -5F, + F, y 3F» + F

L u e g o , a . 3, b = -4 y c = 1 . Entonces, l a c o m b i n a c i ó n

I .i. n 0 a .1. 0 s a

(5,9,5) •- 3u —4v -i- w

Definición;; Sea S = -fu, n~ >> •» •u " --- t-inj' un conjunto de nv e c t o r e s en un e s p a c i o v e c t o r i a l V. E l c o n j u n t o S g e n e r a

a V, o v1 es g e n e r a d o p o r S, s i t o do v e c t o r de V es una

c omb .1 n ac i On 1 i. neal de .1 os vec tores de G

N ota:: T o d o c o n j u n t o S g 0 n 0 r a a 1 g ú n 0 s p a c .1 o v e c t o r i a .1 „ S i

S no g e n e r a a V, e n t o n c e s S g e n e r a a a l g ú n s u b e s p a c i o

v e c t o r i a l de V . E l subespacio generado p o r S 5 0 d e n o t a

p o r L ( S ) o L i n ( S ) «

E j emp 1 o lis El conjur > t—* de vec tuF es >_■> 'lU, n/ y uel ejemplo 9 u ~ (i... " i 3 3) y v ~ (2,4,0) generan vec tores de R3 . Pero no generan a todo el espacio R3 sino solamente a a q u 01 1 o s v e c t o res q u e sea n t a 1 e s q u. e s u s c o m p o n e n t e s M,y,z estén relacionadas por: y + 2 - 2x - o. Es decir,m n u V v puedo generar vectores del subespacio de R3

definido por:

, ; r* \ •■••• .f i :> V „ y + S ”2>í ~ O /l. t. s ) i *■ !• y s ' 3

Ejemplo 12s Determit* 1 J 3re~ 1 *u 1 1 =» qeneran a R3s

‘i, ( .A. .X. »i / n o O \ „ (3n 0 « O ) r1 „ 1 ) n 2 •- *V Í * ? ' J

o l u c i ó n : Supungamos» qu.e g e n e r a n a R3 „ L u e g o , e x i s t e n

^ c a l a r e s a ? b y c t a l e s que ( x , y , z ) es g e n e r a d a p o r l o s

a c t o r e s de Ss

(1 ,1 i ) + b ( 2 , 2 , 0 ) + c ( 3 ¡, O ,, 0 ) ~ ( x , y , z ) ( i )( ñ 5a , a ) + ( 2 b ? 2b ? 0 ) + ( 3 c 50 50 ) = ( x , y , z )

( a+2 b■+■3 c ;1 a + 2 b , a ) — ( x m y ? s )

Igua1ando s

a + 2b + 3c * x

a + 2 b " V

P r r. r Lxj lT, o s 1 a ni a t r i z a m p 1 i a d a c o p i a n d o 1 a s e c u a c i o n e s

orden inverso:

£ f £•? C t U a |T| o 1=

Fí» y - F i + F;

y-z X ^ /

Ahoraü ..... + F » Y ( l / 2 ) F a■F»

O ()1 O { y ~ Z ) /!

O O 3 y ¡

Corno r(A) =■- r(AIB) = n ~ 3, el sistema tiene_n ;¡ L,c j fyn íxnica „ Corno es consisten te , entonces existen realmente a, b y c qu.e cumplen (i)„ Por lo tanto, el conjunto S genera a R-5.

4-4 TTFPFMnFwrTft E INDEPENDENCIA.JJÜ jEftL

Sea S LÍJ? ? „ „ „ la,-, ] un conjunto de n vectores envectorial V- Consideremos la combinaciónun espacio

1 inea1:

„ . -i- anUn O (vector cero), Si esta lineal tienes

- ti, 4*c! X i-

combinación

■'i i-i í..i “ a 1 ~ a v> n> — üi se dit_e que S(a) Solución unKu.1 mente i n d e p e n d i e n t e , o que los vectores de 3es 1 i

rn i i.nea 1 men te independien t.es 5

- . . i 4-aej soluciones, se dice- que S es linealmente( b ) i n f i n í t e l a -

dependiente, o que los vectores de S son linealmente

dependientes.

2-;<+4x=, 3+6x+2>:= y 2+10>¡-4x= en PE (x) son linealmentedepe n dien tes o independlentes„

Solución; Hacemos la combinación lineal igual al vector 'iero del esp<5cio¡ Existen a •, b y c ? tales que

a ( 2—>{+4>í32) + b ( 3+óx+2x^) + c (2+10>í~4>í ) ~ O+Ox+Ox2 2a+3b+2c k (""d+ób+lOc ) + x^í 4ñ+2b~*4c ) U+Ox+Ux-52

Iqua 1 ando po1 inomiosí

-a + 6 h + 10c = 0 4a -i- 2b - 4c = 0

¡ i- .r.-4-~ rp«ülvpr un sistema homogéneoAhora, sòl u rest^ rt-uivt.Construimos la matriz ampliada (orden a,b,c)s

1 10 r? —44

E f & c. t u a1 o s r: -i- y (1/2)F-imos: 1 1 1 y

rr 4- f Si Y 2Fa + Fr5Ahora? ' *•

i v 12

O IS 2O -17 ~2á>i

e b q u irnos i~or» I“ » "* ^ 32

oi ~o -1/

A he: / — 1 / 2 ) F 32 J i' r.:l .. I

Efectuamosr - v i7Fi> 'h fr- -9F22 • A

1entonces e= 3 Y r(A!N) = L"

Como r (h ) rango) - F'or(teoria o*, -i*n única •

actores dado.onjunto d« ■•-

- V i.

r9 -I-4 >! J -b> ::::‘ ’„depend**"* e -

5 i s t e m a t i e n e lo tanto el

e b .1. i vi ea 1 men t &

Teorema 4.3; Un conjunto con dos o más vectores es lineal mente dependiente si y sólo si al menos uno de los vectores es una combinación lineal de los vectores i'1 e s t a ("¡ t e s „

Ejemplo 14 Demostrar que el conjuntoS = { (1 h •”2 , 3 ) n ( 5 , 6 n -1) n (3,2,1)} es 1 ineal men te

elepend ien te „ □ bservar cuá 1 o cuá 1 es de los vectores del con’junto es combinación lineal de los restantes»

S o ] i. i. c i. On s D e s a r i™ o 11 a m o s 1 a c o mi b i n a c i ó n 1 i n e a 1 .1 q u al a 1 vector ceros Existen a , b y c tales que;

a (1,—2»3) + b(5,6,-l) + c (3,2, i ) = (0,0,0), , + ( 5 b , 6 b , — b ) + ( 3 c , 2 c , c ) = ( <J , u , u )

( a + 5 b + 3 c , - 2 a + 6 b + 2 c , 3 a - b + c ) = ( o , u , u )

I g u a 1a n d o c o m p o n e n t e s s

a + 5b + 3c n/ i- j. ,• ( 12 a + ¿ib +b + c 38 U

, ampliada, con el orden a, b y cConstruimos la mati ••

- - 3 F . J . + p 3

_ „ i !E f e c t u a m o s - ’•. F •» y

, -l- F ?- y (1/S)F2EfectuaruuB ir z -

• =»n un <=, L^tenia d« ecuaciones,-,-.ros se suprime ei. un Fila d e L.<=ru.»..___(orden a? ^ y b)

, tereamblamos: C*

fTi cS

pr¡ e;pn ha infinitas soluciones» Luego, el conjunto S es

linealmente dependiente. Para detectar qué vector o

vectores sobran, el rango nos dice que "sirven" 2

vprtores en el conjunto, y por ende, "sobra" sólo uno. En

, - r ,rr,= se puede decir que sobra cualquiera, perofilU.C h O b C ¿i — r~• inrr* es verdaderon Si observamos la matrizesto no sit-Müpi u

.. i~. %.• r- vemos que las columnasinicial (con orden =., L, v c), ven,os q

-i -,r, -i los vectores en orden y En la últimac o r r e s P o n d n. n h- ¡ = c;nn a v c (el orden es a 3 c, i « variables bátoit-ei* son a yXV. ¡"' J i el

, _ variable b depende de las anteriores. Dev h)» Luego5

-onr q u p f?1 vector asociado a b, el esto, podemos suponer queV seré entonces combinación .„ e« el que subí-a Vsequnduj *= -

-i-Antes De 1.a ültima matriz podemos. • -aai de l°s reííiar. ' .. _ a jos coeficientes dt=?.. ha combinación, en base aobtener di» - rtor es (-i)-n.„nH iente a bs El segundu vectoi e* i

0 r r e s P n d 1la columna „pi tercero., c*eu "• -rirn -I- 2 vectb «i T-t-ru

vez el pri'»brc .- + 2(3,2,!» , 1° que Puede ser

- r o b a d o fácilmente.LUIÜp- OUCl

r' h p n vectores« lr lin conjunto b <J>-Notas» D*d° L'n

; ■ Para determinar cuántos sor, i n d e p e n d i a , ^ _ .,res u cuántos

exrven" en e! conjunto, podemos basarnQB en ^del rangui el rango de la matriz f a r « - - *1 iTicida por j0qvectores (colocados como filas o como c o l u m n a--j-iumncts/ nos dádicho número. Obviamente, la diferencia exi-twit-entre n y dicho rango, nos dará cuántos vectores '1 sobran'1 en el conjunto»

Conociendo que el rango es m, para determinar cuáles son independien10s o cuáles "sirven" en el conjunto podernos buscar un determinan te de orden m, con j0=; vectores originales colocados como filas o columnas, que sea diferente de cero. Aquellos vectores que formen d i c h o determinante son los que "sirven", y se dice que forman un subconjunto independiente maximalD ¡ ns ps f-an te?s ? son combinac ión lineal de los

anteriores »

1 n o y 5 es dependiente, entonces uno de los vectores es múltiplo del otro ó uno de «líos es el

v e c t o r n t-i 1 o <>

Ejemplo 15: D e t e r m i n a r si el siguiente conjunto esi n d e p e n d i e n t e . En caso de no serlo, hallar un subconjunto

o O i {..¡r: . ións Formac o x u. rnn a s n

Cun estos v f c ir. o res

O i 0•1 1

Comen z amos a reduci rIi <-\ J

•4 -5•7 -11

0 0 .1 0

n r , r— __A + Fa y -3F.! •+• F.

Intercambiamos columnas: C-» <---> c* y c;orden de los vectores quedas 1, 4 ? 5, 2, 3)

> C» (

Efectuamos •2F2 + F.

O U-4i J

Para terminar-, (l/2)F=s

2 4 \0 -4 _g

1 i/2 -i/ay

Como e>I rango es vectores de S

sabemos que sólo ?s de S son independie«

obj' dii", 2 que dependen de los

d© lous 5•' ^'dependientes. Por lQ t-r,td,,to» hay 2 que

ú 11 i ma ma t r i z y t en i en danteriores. Pr. i-~ ¡ •,

° P resen t e e1columnas {1 ,, 4

i. n d e p e n d i e n t e m a ;í .i rn a 1 d e1 ■, 4 y 5, es d e c i r s

ando la orden de i -

n t e n e m o s q u. e tin s», F .su be on j u.n t<-■> e s e 1 7"ormado por iDS wp r K” t o r e e

i ( i 'i s ) 5 t. O 5 1 j 2 ) f Q i( (") /t> •>.e S •independie

y a >; i rn a 1 d e 3» L o s r esta n t a? s y e c f n reores son combinación1 i n ea 1 de 1 os vec;tores de T

d e 1 a til .i t. i ma flia t r i z s5 V su combinación la 1 --•ict tomamos

(2 , 0, -1) ” 2 ( n 2, 3) - 4 (0 3 12) -i- ( 1 / 2 ) ( o , o i( 2

(4,3,1) = 4(1,2,3) - 5(0, 1,2) - (.1/2) (0 O

4,5 B A S E V DIMENSION

I n t u i t i. v a rn e n t. e ? s e t i e ri e 1 a i d e a d e

i ¡ ¡ i e s f~f a i- i o u ¡ i i c.l i i*t í e*» í i u t i a 1 i* (_t ¡ [ p ¡ j j ~ ..

fo i d i » M e n s i o n a i y e & s P a c .1 o e ri r ■» . ...f r i d i. rn © n s i °n a ' “ v'a m ° 5 a c ° n c r e t. a r ¡.

Q U e i i r~« "i i• " Ur‘e‘ recta es 1 espacio

Ui1 espac io* t í'f a S p S •!•• ¡ _)....'•--•(..ct „1. üfcíct i!

Definición;: Si V es un espacio vectorial yS ~ { i % ■, « ........ U n es un conjunto de n vectores de

V .. Si. S es 1 inea 1 men te independiente y genera ¿i V,, se dice que S es una base para V

Definición s Si S » (Ui, uz, - » » ur, J es una base para v ,, es pac: i o vectorial , se di ce que V es un espacio n ■- dimensional y se nota: dim V = n * Es decir, Ja dimensión dp un pspacio vec tori a 1 es la card ina1idad i numero de wpctnrp?) de una base. Por definición, la dimensión de V

= ÍO} es dim V = O.

„ 1A. C „ v = „ El conjunto 3 = t ( 1 ,, O ) „ ( O 1 ) > esEjemplo lo. '. .. ..... llamada base natural o estándard o("j »3 I;..« ¿*\ i-t=* < j ' 5

can 6n i c a ., y a q u e

¿¡ <; i ,, o ) + b (0 ,1) ” ( x - v )(a, h) =! (;-;,v )h luego

Entonces, qenei- v. -1 )

o„ ¿na i iz amos la independencia y como a = 0

i depend ien tes i 2 )pntnnc es son i.nuepet ... a-.n I i .ir: xón LllUí :í - H “

! '• c o n C !? s

a j reí ¡ ■>

Dimensiones de otros espacios - Bases canónicas;© s p * c i os v ec t o r i a I e s R" , t i en en d i men s i ón n , es decir-;

d im R = i. „ ya que B = í 1 ]• es la base c anón .xcjj

ya que B = {(1,0), (O ,, i ) '} es la basec an on i c a

d i. fu R: ya que B ~ { ( i , O , ü ) ,, (0,1,0), (0,0,1)]- esc. ¿i r i o ri i c_ q i. « n

( o , o 5 ..

q u e y ~ i í 1 , U , .. 0 ) , ( 0 „ 1 , „ „ „ O )I) ¡ es 1 a base canónica?

En los casos de matrices

¡::l i, fíi Ms»» »ai"ion iLá í

que B íc : ) C : ) ■ ( : x ; )

la base canónica;...

|1. íil rlfmci-i ¡Vi í:ií

En d e p o . i í h o i m !

d i ííi P . ! .. ¡ — ....? Vd que t¡ f ! -,

Ct I. (Ti P-? ! >:• !" " " V CjU.e B r ;” ■1 ■* : ' c: 7 .. ...... . . . :;:i b¿fi~=< 11 ut » i cas...

dim P,,¡;!¡ /a =" ’’ ■■■ *"> <*s laL,à5e csnóiucà.

Lstos,, son ejemplos de esPac.io= de di....üfc dil"-nsión finita.

También, se puede hablar de P=n,n > r , •r '¡.í=!LlOii d e H -i ..L dii„ens.i6ninri rata, como P (:>;)„ que pe « ¡ ,... ... .

<f 1 ■>un to de todos los

Teorema 4.4; Si S = ; u , „ (l-.>

espacio vectorial y, entonces todo ■. , ,** una base de ,,n

Puedet r . í f c C )■ i b i I' b f d t - . ' ü h d y f c O I O ü l l r t l i j A n p r ■................. - -J"Lr :::( i-i-Jdio rnmhi i -oidijx i irte .ionlineal de los vectores de S ,.

Ejemplo 17 » Demostrar quei S = -f ( 1 , 2, 3 ), ..i. *c X i

(0 ,3 ,2 )/ es una base de R^„ Demostrar que n ¡' 1 vector

(4,5,0) puede esi.f .ibirse de manera unica conio cnmhn lineal de los vectores de S.

snlución; Vamos a demostrar que S es n«nr.‘- i■''••• M ••1 ^uor j

ve:-;, queda demostrada la independencia,, c,u¡...• j V;.^ [ j t f i

vector ^ obtenido cor, ] os — (.1 u-- 't ti' i-'”,.,.... p - i s t e n a, b y <■ t a l e s q u e;..i te? t- ( I -i *-• .

eS Un espaao vectorial~>h’- ■ * í w vecrnri i

U n J L~~~ Un conJunto de n vert- i i tures dei--. lineaJaen üe independiente ■/ genera a 'v'„ ^UJ.CC-? que S es una base para V

Definición a Si S » {uA, u»." U n } es un* base para V,

o de de v

espacio vec tunal , t»e dice i» uur' espacio n _

dimensiona1 y se nota: dim V = n rr _n „ decir, ¡s rii-í ¿<=t damenB.i6nde un b s m c í o vectorial es 1 a , ■ .

i-a ^ d m a h d ad (rnámer

vec tores ) de una base. Por def i n i r -í .'-i- i ..- IXC..1UH, la dimensión= {0 > es dim V = O.

Ejemplo 1 6 : Sea V ~ RVí» El conjunto S = s ¡ i r¡ N*• ' J !I u ,1 , ( O s ;( ) y eguna base de v', llamada base natural o ,u e=tanaard ccanónica, ya que

a í .1., 0 ) b (l-J 5 i ) ■■■ ( , y )

(a ,b ) = * luego

Entonces, genera a V. (1)

.... . .. v O a n a 1 isamas la i ndependenr ibi y " y como a

v•• b 'O, solución única entonces son independientes (O)

d i rn R-*1 — .

Dimensiones de otros espacios - Bases canónicas:espacios vectoriales K'n , tienen dimensión n, es decir

r..í 1í m R = 1, ya que B = {ij es la base canóni C }{

dim R* = 2, ya que B * {(1,0) , (0,,!)} es la bc anón i i~ a í

dirn R3* = 3, va que B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} ela b a s e c a n ó n i c a s » . . .

dan, R" = n ’ ya que B = [ (1 ’ 0 * • ■ • 0 ) , (0 , 1 , . . . o )/ í i . , 1) l es la base? canónica;„«ni '1 ? “

r í l c n s de matrices:í-n 1 u!=> c u -

diiTi 11X"~~ 2 f Va que B = í / 1 \ , / 0 | ]

O* \1/, es. la base car iónica;

dirn Mísic-v' » 4, ya que B « {/:t : : ) ' C : ) t : : ) c j

e¡= la base canónica;..

d i ni :;V2 ) Tl K n

- : ^ n » ,!e polinomio

d xni Fi i i = ■" . . . _' V'-t que B ~ {1 .- - ü ;< ! pie: 1 -■ ■ ¿«i Dass^ c ¿s n nr. .•'Urd i ffi P~ ¡' ’i -

* • * ~ 5

/ GS ] -canónica;... b«se

di m Pr, ¡ x ) - n+1, ye que B = r i _1- * n -íí7 n n a • r? •.•' ,< 0i cr i

b a s e c a n ó n i. c a .

E s t o s , son e j e m p l o s de e s p a c i o s de s¡

f,ensión ^nita.i cuiiL'X tf) q ¡»e pUfe'de h a b l a r dm r-.<~ . •

* lT,e n s i 5 n■ i n f i n i t a , como P(x), que es el coi , , unto h ••- ,- - Ut; t o do s í -•>■ O £.

p o l i n o m.i o s .

Teorema 4 . 4 ; S i S ■= í u j . , u= .una base de- 1J un

e s p a c i o v e c t o r i a l V, e n t o n c e s todo v e c t o r iv Puede¡e

e s c r i b i r s e de una y s ó l o una manera rnmn- c o m b i n a c i ó n

l i n e a l de l o s v e c t o r e s de S.

E j e m p l o 1 7 ¡¡ D e m o s t r a r que S - { ( 1 , 2 , 3 ) ,

( 0 , 3 , 2 ) / es una base de R3 . D e mo s t r a r que e j V fc? (.„ Q |/-< " 4 , 5 , 6 ) puede e s c r i b i r s e de manera ú n i c a como comhi r- -' "lul|iaCj.on

l i n e a l de l o s v e c t o r e s de S.

So ¡.i.tc.ión s Vamos a d e m o s t r a r que S es g e n e r a d o r1......" f =í i c*

ve; - ' , queda d e m o s t r a d a l a i n d e p e n d e n c i a . Suponemos q Up> £.

.......I..-P- , v v » 1' es o b t e n i d o con l o s v e c t o r e s de qV i- ' * " r% “ ■ »(

d e c i r , e x i s t e n a , b y c icdfcs» que:

a i j. 2 ,, 5 ) b ( O 1 j — 1 ) + ( U , o>, 2 ) ‘ ? y » *- 1

( a 3 2a , 3a ) - <jflab „ - b ) + ( 0 , 3c , 2c ) - (. x , V , 2 !

< a , 2 a + b + 3 z , 3 a - b + 2 c ) = ( a , V « a >

a A2a ► b + 3e ~ y

3a - b + 2c « z

Reso 1 v i e n d o © 1 -’ i 5 t e ‘"d 5 1 (j

2F i. + F* V -3F,. + F ,;

-I- F 3

o • f 11

i o : U-U < vec: t o r x. c* 1 '•*•'« y I

Url ¡ e U i id Case párs Ui"i BSpi.C 3.0

s» " " v..n j es un conjunto devec tores distintos de cero que generan un espacio vec tor i. a I. V « entonces i contiene una base de v.Es decir,, fin ■■■-■ n „

Si S -• (Ui y ■■ . Un j- es un conjunto de n vectores1i n e a 1mente i n d e pen dientes en un espacio V de dimensión n, entonces b es una base para V •

que genera

Usa <■ . . * U n / es un C u n junto d e n vec; t o resun espác io V de? d imension n . en tone es S es

[ ;>. íd .i >■ > r,. u->„ » „ « un í' es un conjunto i i nea i. men teL '. A .1. >i •<•* :* "

independiente en un espacio V de dimensión m y n < m,- r-t¿ ouede agrandar S hasta formar una baseentonces '...Para completar la base, se pueden coiucsr les;.para v »

f i ] a s v escalona!' 5 a rn a i r i 2vectores ron.u.r.Hnl„ n ó n , se aqregan vectores que haqan quec or» * ' * * ■” ■

ranqo de la matriz sea e.l máximo posible.

Ejemp lo 18; ia i '! o e ! c o r 1 j u n t o d e ¡na t i- i c e s s

o «i ii 5>; +2y- 3r ) ( y + z - 5 x ) |'5

E 1 s i s t e m a t i e n e r ( A ) = r ( A : B ) — n = 3,, por l o t a n t o ,

ha v <:*.o 1 uc i ón Ctn i. c a 1 u.eqo , 1 o s v e c t o r e s de S sort

1 m e a 1 mente i n d e p e n d i e n t e s . Como no hay c o n d i c i o n e s pa¡ a

,, y m z„ en to n e e s e x i s t e n l o s v a l o r e s de , b y c. tc'.le~-

que podemos o b t e n e r c u a I q u i e r t r i p l a ( « j y i ¿ í •••' L u e g o , o s_

g e n e r a d o r » P o r l o t a n t o , S e s una b a s e de

A h o r a „ e l v e c t o r ( 4 , 5 , 6 ) e s g e n e r a d o por l o s v e c t o r e s

de s de manera ú n i c a ( hay s o l u c i ó n ú n i c a ) : reemplazamos

(K y , z ) “ ( 4 , 5 , 6 ) j, qu ed an d o : = 4 , ( 5 > s + 2 y - ^ 2 )/-• - >

v + z — 5 k ) / 5 ::::: - 9 / 5

i. 4 , o ) '!• i 1 , 2 , 3 ) -i" ( 12/5)(O „i ,-i) ( 9 / 5 ) ( 0 , 3 , 2 )

Notas :

U n ¡. e s una b a s e p a r a un e s p a c i o

con mas de n

1 „ S T. S = { U jl , u 2 , - • •

v e c t o r i a l V, e n t o n c e s to do c o n j u n t o

v e c t o r e s e s l i n e a l B M t e d e p e n d i e n t e . E s d e c i r , s

p ei i I n e a 1 1¡ i o n t o i n d e p e n d x e n t e ,

l-.> JL

entonces ií» n «

■7-' A j—

h o s t r a r que S no « 5 base de M*«; , . O b t e n e r un

s u b e o n j un t o i n d e p e n d i e n t e maximal y c o m p l e t a r l o hast a

t e i r e r una base de Mh»®.

c j o l u c i o n : U t i . i i z a m o s l a t e o r í a del rango c o l o c a n d o l o s

v e c t o r e s ( m a t r i c e s ) como f i l a s ! ( ca d a f i l a es una m a t r i z ,

c o p i a d a en e l o rd e n : f i l a i , f i l a ' Z )

1 1 O2 1 1

i 1 .1

1 0 i 1 /

E s c a l o n a m o s ; - F i + F a y F % + F.?

1 1 1 O

O 1i. )o

0 i l2 i 21 0 1 1

• r n n . - 2 F - + F - v - 2 F * + r .h e g u x( n u cun i. ••

F.-S r q

O i.• ) o

i 1 1 1 I

O O iu U -4

atri"; esté, esc alonada. Como el rsnqo es 4 , ha-y

o 1 o tiene 4.UJlllO ,“iV a l a rr>

4 vectores que "sirven" eni r»c-t-n<= 4 -'on 1 inealmente independientes,, Por lovec tor ts-; t. .=■ i.., ... | ¡ s u b c o n jun to independiente máxima 1 de S estanto, tv/i.

i ; _ ivi... v.: ¿y entonces tai. tan matrices para(Jomo dim 1 - 11 '> - i-- ima base del espacio., ri P <•-'»' tir de la matr:.i. ;;cDiiipletcif un-

e5Calonada anterior completamos el max imo i'-a nei o pos n ble

„prtores cualesquiera que no nos dificulten e] a¡:i regaiiuu ....cálculo del rango»

i.) >. ) O

0 0 0 0

d o n u e , a , b y c 5t_<n números c u a l e s q u i e r a , con a v c no

nu ]. os „

L u e g o , , uria base d e l e s p a c i o a p a r t i r de S es :

B — í / 1 1 -l\,/l 2 1\ , / - l i i\ , /O 2 1 \

\ 0 1 1 / \ 1 2 - l / \ J I 1 / \0 i

(O o o \ , / 0 0 0\ },/0 0 0\]iO 1 2/ \0 0 1/

T e o r e m a 4 . 5 s B i S - ■>_u* , u. .?, » ■ - un ; v 1 ~ {. v.i. , , . . .

■ =.on bases de un e s p a c i o v e c t o r i a l , e n t o n c e s n - m.

__ ¿i A" Pea S un su be on j u n t o f i n i t o d e l es n a c i óT e o r e m a • • ° ••, - i 1 ■' ni te a s n e r a a V U n s u b c o n i u n t o independiente-? v e c t o r i.cv'- v

•i -r es ui i ¿5i base tJe v «ñ ianü'i fl ia .1 i u' •

E j e m p l o 1 9 “. Dado S « U * , 2 + x + x » , 4 - x + x -, 7-x+2>« = } ,

^ jtn s u b c o n i u r i t o . i n d e p e n d i e n t e maximal T de S . En

-oí' ba^e de Ps*( x ) * c o m p l e t a r 1 h a s t a s e r bac- p , c a s o de no *>*

•/ectores. Asi, asociamos <=i

polinomio ■- *" ’res c!e b como í i 1 *

-1 0^1 ■ 1 (1)

-1 1-1 2

1 p o 1 i n o m i o 1 - x

la tripla (2M o u n a m a t r i

pasamos «='

- 7F .1. + f *

escalonarla: --2F* + -^F

-F® +

11 •-.1.i

0 0 .Í . . Í

poi inumiüs y 1 lj:=■ , la tripla (Ì? - ,1,1). C-olocando

Lu.wqu, e .1 i' cínqo etr- 2 • P o r 1 u> t a n t o , s ó l o 2 de ] qc ^

v e c t o r e s de S . " s i r v e n " . U t i l i z a n d o det ermi nantes. ; , b u s c o

un d e t e r m i n a n t e de o r d e n 2 d i f e r e n t e de c e r o en l a cr,atr i s

o r i g i n a l :: ( i ) Tomando l a s dos p r i m e r a s f i l a s y l a s dos

primei '"as c o l u m n a s « forman un d e t e r m i n a n t e con v a l o r 3 <1

+ 2 ) . L u e g o , l o s dos p r i m e r o s v e c t o r e s forman T ( hay

v a r i a s s o I la c .i o n e s »

"I" — (_ J — j : ,, S+x + x 22} » Como dim P-^íx) ~ 3,, T no e s b a s e de

P-»„ L u e g o , hay que c o m p l e t a r 1 h a s t a o b t e n e r una b a s e de

P En l a m a t r i z e s c a l o n a d a , , e s t o s dos v e c t o r e s e r a n l a s

d o sí p r i. m e r a s f i i a Si » clu e 1 lei3a a ;

-1 i") '

t e r c e r a f i l a de ,1a tor ma s

a,, p a r a l l e g a r a l máximo r a n g o » E n t o n c e s .

. . .r i ri i-~ a a 1 b t e í 1 e m o s u n a b a s e “ dando un -/a 101

B í1 ” 2-i-x + x® , Ka]

o0 . D e t e r m i n e l a d i m e n s i ó n de l o s s i n u i ™ -)___E j effipl o 1 vi tí 1 ■ 1. s. . . i n e de R",' :s u b e s p c“- xu"

(a ) W

, . . . , .... r ■ r rj O S 1 O V fe? C t Q I'"' & p; H ,-v, 1 *i b; W - -t. o ict fot i.a i -, i , , .* .nidonde d <=H-£j V c:: r-': a.D r

!.¿j == [Todos los vectut es>

d o n d e a = t>=c=d ]•

de la forma ¡..a! ?d ) en

So1uc ión:

(a) Buscamos la base canónicaa s p a r a ello? d a m o s v a 1 o r « s .1

a cada letra. antUando las compañera*, asis

•-1. b-c-0, (i,0,0,0)

si b=lü_ 1 _ = r =0 „ ( 0 , i , O , O !

, -==b=0, (0,0,1,0)si c=l, ?niu? el c o n j u n t o S = i d , 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , 0 ) ,Demostremos qu, -

_i i r n h p s n a c i o . S u p o n e m o s q u e e x i s t e n v b a s e d e .L - ULH- i(0,0,1,0)1 esV ? tales queescalares a , .>

-V \ I — i <~'i O 1 a 0 ) ^ ( & H *-C »1 H ),, v + v ( 0 , 1, o , O ) - ü J ° •í i < 0 , 0 , O ) > •X l. i- 5

-n = ( a , b , c , o )( ;-i n V ? n

-a, y b, E " cd o n d e

«disten los escalares de.-.nera al subespacio. Como la

la c o ni b i n a c i ó n 1 i n e a .1Como s i t

_ condiciones, hay L-cj e

( i a=b~-c=0 queda ;;-y z--U) „ b esy no

soli-'clóf' c"> i i r'i"i t p lueqo es base. Por lo tanto,+ - i n d e p e n d í " 1 " ’

I j n f -a 1 ,T‘el

d i i"'1 l vl

i b ) iAW b,a + b) -.• ' -, L« «iu» I r‘X H •

( <:::

Depende s ó l o de dos l e t r a s :

i ó n i. c a n d a n d o \ o s v a 1 o r e s s

a-.-i y b---0, (.1. ¡ , 0 , 1 , 1 )

a=0 y b = l , ( 0 , 1 j ” 1 î ^ '

J = { ( 1 , 0 , 1 ï 1 ) * ( o , 1 J - 1 ) 1 J

. ... .. -, . 1 e T g en e r a s h x i s t e n eDentostrwnub LtUt y scaleires i y taie

i _ i i 'i = ( a h b n a ' b , a + b v(l,0,1,1) + y v ^ i n. . ,, +v 'I - ( a , b , a--b, a4 )

( * ? y !> w * 5h Pnrao hay s o l u c i ó n y no hay

1ueqonC i . r_o y b = 0 , q u e d a r í a qut

q e n e r a a W. ->*

L u e g o , "I .1. .i. n t? 3. rr f t? n t. &Td.icitjne»î*

solución únical -r or- h,-i<->e de W. Corno T tien ■ j tanto, i «*

ysQ «dependiente» For

yec. tores, d s. nt

mostremosneal.r.ente

. -, a > >r ( a , ? ?, « i u n i c o v e c t o r ( 1 , 1 , 1 , ! ) . a=l « obtenemos

g e n e r a a W y es

q u e e i s t e u n

Dando v a l or

queindependiente Suponemos

t ac a l a r “> *

, ( 1, i -:i ' 1 ’

( a , a , a , a

< Xi"’

T es q e n e r a d o r „ S i a■— (..), q u e d a r i a

i... u 0 (Ij o , K ~ ñ

¡“i ci y c o n d i c i o n e s ,

ii=~Q * s o l u c i ó n ú n i c a » P o r l o t a n t o , l es independie*"

E n t o n c e s , T es una base de W. L u e g o , dim W = i .

E j e m p l o 2 1 ! D e m o s t r a r que S

•¡ ^ ]■ es una base de P.-x ( >i)

■[ i -i- 3 ,

S o l u c i ó n « Como S t i e n e 4 v e c t o r e s y dim P , ( x ) = 4 , s

H r -m r -t r s r que S es i n d e p e n d i e n t e o que S hay q « e ■ ¡

f v e r n o t a s 3 y 4 ) . Vamos a d e m o s t r a r queqeneradui ' l v c r, u t i l i z a n d o 1 a t e o r i a d e 1 r a n q o . P a r a e sindependiente, L,u"

/i , ,pr i o r e s ( p o l i n o m i o s ) como t i l a s de c o l o c a m o s l o s + ............

1 a a n a 1 o q i a d e 1 e j e m p 1 o. (ufUzaroosiíi«i Vrc o e f i c: i en t e s el e < 5 »

x, V « 3 ) :

( !-111

Escral orta(no#>

0o.1.1.

. -v F-JS : Ahof a '/ Fas + F

. » . . 3 !•

Ó 1 o

to, una 19:

i -l-21

i ir-'r*t(i.xn<?.»tít.js cun ""F3 + F-

.t -1 o -1J

Como e l r a n g o es 4 , hay 4 vec: t u r e s i n d e p e n d i e n tes en

l i n e a i m e n t e i n d e p e n d i e n t e y p o r ende, « base del

OSprfC i o ..

ejemplo 22 . Determine l a d i m e n s i ó n y una base del e s p a c i o

• ,• -i--, I c i 5 temabOluClÜH Ut.7. J ----

I— / "7,, = ». I+ 2>;.•* *■ bx* + '*»—* y-./» é*.

-,v,_ + 4s.3 8x* f' 9>{» 3 °, 7 ,íj. + X »i a X.-js: 1 ■ • *

4x.:t + 4>;*

p>1 sistema.. . pf^ol vemu- * •Solución »

¡Í B. t. Ir 1. i i ¡a d a

a i7i I.J J-

con o r den l >;r.a ;■ *¿i. ;7i

............ ecuac■-.irnei-J'

C D fi'i e !'"I Z a (ïi O B a I' tí Ûeduc i r 1a s

» ~'?F -,

+ Fœ , -3F*. + F.v;?

-2Fi '• F.,,. V

i-i 1'” “-i ?

- F i.

O — ó

2F* + Fi

3F* + -'4F,,. F.-_, V -F*

Que d a n d o s

(I i »

Para terminar s

t. c(orden es >iæ ■

jjjg x t i! • ■.» llX» * Ox¿» *■ 2x» ~ “ O

El sistema fundamental de soluciones es.

>:7 =» 3x» ~ 4>'.55 + 1 ix»£3 — 2>'s 4 3>¡»

La solución qeneral e«s

>¡A = X*x» = 3x> - 4x.* +■ lixo

X3 = **x* = - 2x.-s + 3x*.. _ X»>c 11 —

Por lo tanto, loa vectores (1,3,O,0,0), (0, 4,1, 2,oíy .0,11,0,3,1) tco.fici.nt«. correspondientes a 1 « variables libres) «eneran la solución de! probl-a. Puede comprobarse fácilmente que son independan tes. Por .o tanto> s . {(1,3,0,0,01, ,0.-4,1,-2.0. V (0,11,0,3,1)1 «snrt3 bas. del espacio solución. U dimensión del espacio

solución •<— entonces '

w v.’- < uf p=i que forman una b*se deEjemplo 23:

•< Deternimar si el conjunto bi . mi =»kj jaf p.n 1* Jn t,+ s. -w»

o q ■' urr.ion ; Como u ■. v y w son base spi j I infera!i n d e p e n d i e r t t e s . P o r l o t a n t o , l a c o m b i n a c i o n l i n e

a i.i + b v +■ c w — 0 s ( 1 )

s 6 1 o t. .1 è? n e? !..! n a s o 1 u i_ i. ó n :: a—L<=c =0 „

H a c e m o s 1 a c u m b i n a c .1 ùn .1. .i. n e a 1 2

•n( u + 3 v - 2 w ) + n ( 2u . +v - w) +• p ( 3 v - b w ) = 0 , ( 2 )

quedando"

1 m+2n ) li -i- l•1- ( 3m+n+3p ) v + ( - ¿ m - n - S p ) = 0 ( 3 )

j. ; n n a ] a forma de ( .1 ) . L u e g o , ( 3 ) t i e n e solq u ir. l i- » * *•- O 1 Li

ùn i. c a «

rn + 2n 0

3 m + n + 3 p ~ °n - &P =

e f r „ i fflos l a m a t r i z ampi 1 ad a:Conati

+ Fa y 2Fri + Fnplica«10®'

«••ente

c ión

H i lora ,, 2 F 3 -i- p .....

F:' “i" tí C t U S íTi O S - 3F 2 + F-s

i 0 1“V ■*“* /

\ O 0 16^

Como r ( A ,i ó y f! = 3 , ei ¡»i sttíü i a t i e n e s o l u c

ú n i c a » C o í íi o e s h O i i o g tí neo ,, en t o n c e s 1 a s o l u c i ó n es

i r i v i a I - 1- e 9 ° o m ~ •'.),, n 0 y p = 0 „Por l o t a n t o .

( 2 ) , a.l e x i s t i r s o l uc i oí i un i r:a pa r a e s t a c o m b i n a c i ó n .

v e c t o r e s de S son en t o n e e s 1 i n e a 1 ni en t e i n d e p e n d i e n t e

p o r s e r 3 v e c t o r e s i n d e p e n d i e n t e s enun e s p a c i o

:¡ i. íi¡ e n s i ón íi ->1:- *' á ri t¡ase de d i ■•:ho e s p a c i o .

E J E R C I C I O S 4 . 2

.1 . C u á l e s de? s i g u i e n t e s c o n j u n t o s de v e c t o r e s Son

bases ta ra n.

< a ) l ( 1 O , O ), (2,2,0) , (3,3 , 3 ) } . c3 1 .

(b; t(2,-3,1), (4,1,1), (0,-7,1)>. No,

: i , (2,5,ó), (1,4,8);. Si .

( el ,i í (1 ,6,4)>, ( 2 , 4 , - 1 ) , ( - 1 , 2 , 5 ) } . No,

( e ) •(. ( 1 , i , i ,i ,, ( 2 , i , 3 ) , ( 4 , 5 , 3 ) 3. h g j ^

2 . D e mu e s t r e que e l c o n j u n t o s i g u i e n t e es ¡.•ina base para

01 o) L

0 - 8 i O’-1 2,)

-y rSea V e l e s p a c i o g e n e r a d o p or u — eos2 V -- <=:ei i -y W C O S ¿ X

( a ) D e m u e s i r e q u e S ■< v, w „>• no bis una base p ar a

( |j '1 11 a 1 I e u v 1 a Lj ¿i s e p a r a V ,,

4 . Determine l a d i m e n s i ó n d e l e s p a c i o de s o l u c i o n e s riel

•' 4 '■ ■*» s “ " Ü

B o l ■ s B a s e f ( .1 , O , 1 ) } , d i m e n s i ó n _i.

( b ) 3 :i_ + rs + X j*. = *.)

1„ ' 1 4 ■ ..I. J . 1 ., O i , O , .1 h O rj L ) J * O i t7i O i , S .i u.l I

(c ) >: + V -1"

4>; -r ,:>y -

ó ;-; -i- j V !' Z — O

C> ] n ” B el S O L 4 M '-•* a i ) ■> ’I L.1 i H 1 r 1 i l-11 I ■ i

p á1 es de l o s s i g u i e n t e s c o n j u n t o s de v e c t o r e s d « R'*

1 i neal roente d e p e n d i e n t e s . P a r a a q u e l l o s que l o '3 C~‘ I I * 1. n r m .3 p t (r i n d e 1 o s v e c t. o r e s c o m o c o m b i n a c i ó n eesrí, *-■ '>1-' ~~

1 Ho l o s r e s t a n t e s ; l i n e a l de.

(*)0 , 2 , 3 ) , ( 1 , 9 , 3 ) , ( ( 3 , 6 , 6 ) > . S i „

(b) ( ( 1 , 1 , 0 ) , < 3 , 4 , 2 ) } . No.

( c ) { ( 1 , 1 , 0 ) . ( 0 , 2 , 3 ) , ( 1 , 2 , 3 ) , ( 0 , 0 , 0 ) } .

i r P n , 1 o m p l e l a r l o s p a r a o b t e n e r b a s e sL o s q u e n ° ^

Clel espacio,

,;(r e l e s p a c i o Pb O í ) . Hacer l o mismo que en e lLon»-»'ÜC prob1ema

l+>.'+>{-■ ;•. Si

(c) [>;» l+x+x*}. No.

Pruebe que los pol i n o m i o s ( i - - t ) ®, ( 1 — t } 31, t. I - - t ) y jq 1- n e r a n e 1 e s p a c i o de l o s po 1 i n o m i os P3 ( t ) .

8 . uric cond i c i 6 n n e ce s a r i a t=u f .1 c i. en t sDe1 t e r i i"1-1- ne

i _ 4- i a lo s num eros a,, b y c , pa r a que e l v e c t o r1“ fe 1 id J- * » '( a , b , c ) sea comb.inaci .6 n l i n e a l de l o s v e c t o r e s

1,1,1)» t .1. „f-:i, .1. ) y (0,1,0).

So I tici6n a--c

_ va l o r e s de k , l o s s i q u i e n t e s con j u n t o s dp9 . P a r a <~iUfc

,.nrPc. for in an uua vec t.oibase de ft3 !

( a ) , 1 ).: "s ,, ( 0 , 1, O ) , (I- ? u , 1 ) • »{ ( 1 M ?! ■ ' 1 -U k<) i

,. I..) t' k , 0 , k ) ( k , k , (-) ) j " k O „( b ) 11. ' ' i k « K ' ? '

( k , 1, 0 ) , ( k-®, k , 1 ,i ] Cua lquier k „( C ) x ' 1 ’ ’

j |... j . (.£■ s p a c i o v e c.. t. o i i a .1 v c1 s y ¡-: i (@ ¡- -j p ^ ^

l _,_F,« I .1 n e a 1 ffi e n t e d e p e n d i en t e s U u e s e p u B d e ¡j F, r rvec "•u1 "acerca de ].a d i m e n s i o n de V?

1.1. n Un c i s r t u t ' SpdCi o v e c t o r i a l v tierna 5 v s c t o r s s

l i n e a l mente i n d e p e n d i e n t e s . Qué se puede d e c i r a c e r c a

de l a d i m e n s i ó n de v?

i , ■, v f o i1- 1T1 a n u. n a b a 3 e p a r a e 1 e s p a t~ ¡ r¡X y- • - 1 1 ‘ * — —v e c t o r i a l V . D e t e r m i n e en cada ca s o l a d i m e n s i ó n d e l

- 1 1 bes pac i o U cj en er a d o por l o s v e c t oí e . .. „ „ n

que se d e f i n e n a c o n t i n u a c i ó n , . D e t e r m i n e t a m b i é n s i

e l v e c t o r w e s t á en W y en ca s o a f i r m a t i v o , e x p r e s e w

como una c o m b i n a c i ó n 1 intíctl d « lo^- vfeut o r « s w*..

(a ) w i. W2

•: 2v3ívi +■ V-ssv, + 2vgVi + V*

S o l . s c-Jxm - w no e s t a en W•

( b ) w •

2v*. + vx + 2 v*

3vi. + 4va

> V . 3 I "I-

V ; 5 < 2 v - 4 + V »

ív-i v-'«3v*. *v.»

S o l . ! d i m =

(c) wi - -£vaNi’ ~W • 1 • »

Bol« ü diíi'i = 2, w — 3wx ~ Swas

.13,, Calcule la dimensión dt? los siguientes subt=d 01 es pac i o d e 1 ííí3 L i1" iu.0s .r.:! 2 „

t a ) Ma tr ices si.mé tr icas »

( b ) M a t r i c e s a n t i simé t r i c as

(c) M a t r i c e s d e la fotforma /O

( d ) Ma trices d.iagona 1 es »

¡e) M a t r i c e s triangulares superiores

(f) M a t r i c e s escalares.

(q) Matrices de la forma/ ac : )

1 ?, 2 , 3 , 1Sol. -•■5 x > ?

14.„ u n s u bes pac i o del espacio M-3:> , 3,, cuál es su

;hlp dimensión- Dar ejemplos en cada caso.p O

., ■-> --t 4 . '5 < 6 1 7 , S O V „•> 1 i l .. 1 —* 1 1 ? ’ ■So 1 « 5 u ? ■

.. .... |a dití'enís:ión cii:" *' de ¡as matr iré--. n-;nj 5„ Cuál <*»diagonales?» n*n triangulares superiores?, n/n

O- - -S i- !•" i C 5* :c,x me

cíl.< .1 „ s n ,, n !. n + 1 ) / 2 , n í n-i-I 'i ¡ i - ^• - u tcaerde que J +2+ i- -•» e u | i — f16,. Si Vi, v2 y v» forman una ha=P r-

^ = > p c 'C l o

v e c t o r :¡. a i V ,, m u st r e q u e(1 f k ) v x -i- (1 + k^) v2 -i- (l + ^

' 3 ** dl^rente decero para todo real k „

„ Dado S - •;. ( k , i , 1,1) , (1 , k „ i „ i ) , ( i ,, i „ k „ ¡. ¡ ¡ ¡ 1 ,• ' * • -L ? 1 i -l , k ,t }( a ) Determine valores de k para nup q -- ta ate-* base de r «*y para que no lo sea.

ib) En lus casos «n que no sea base de» P-» k ■ i ¡u r> » bdlj ar elsubespacio generado correspondiente, una base de el s u d .11 ¡"i i-1”1511~’r 1"

(c) En (b), completar las bases hasta formar bases de

Sn’l . s (a - ^ y k " : » es base.Ü i k= -1 o k 3 n o e s b a s e „

b ) S i k = X , B i. ~ f (1,1,1 „ j ) y

Si k ~ 3 i. P» í. ( .(. ,, ( „ i t , , ,■> n -<• !. o .1 ,, I -r j ,■ 1 ■> 1 -í. i ! ,,

( .1. , 1 , 11 ) i

í r ) Completando B .,. s B ™ .¡- , ¡ ¡ " ' " x > > ' 0 1 „ O , 0 )

( 0 „ O 1 , 0 ,1 , ( O „ O :¡ O , ¡ ) j

rnmp ietando H

rpriT » 5 TRANSFOBMftËIQ^â . M ^ ^ i

5.1 s JDEFINíSífi^5in- vectoriales reales» Una cipl iu<=n_ión.. _ . || y W £'? £ p í 1- I—' —■

tran5fDrmación lineal ó aplicacióni .■ «p d-lf-fc.T :¡ U ---- '' “ , ..i„ i] pp V, 5i satisface lasó función lineal Je1inealcondicione©!

(. a ) I *• u *• de U.

\ -i Tíiw'i siendo u.i. y Lia elemente + u=! = T 'Ul)

,, ,, «ientio u elemento de U. Tíkul = k U U > ’ 'i 'i i ¡ y-

mu. I. t I. f

es decir» un escalar

T "preserva" la adición y la s i 1

Notass

, .. t í M , "i lo-' elementos del espacio V»análogamente, v± 1<UA •« , operaciones uA + u3 y ku son efectuadas en U,H S -i c> -::í

T Tíu-»' y kT(u.) son efectuadas enmientras que H u j >*-'-■ y

, •») v i b' justifican la afirmaciónV. Las igualdauefa {<*} / ^IJ ■ J

T nrpeervs las operaciones que definen un de que i P »-*-espacio vectorial»

>■ •- O en (b), tenemos T(ü) ~ O. EstoSi sustituimos k -e toda transformación lineal lleva el vectorimplica que

cero de ü en vector cero de V.

1 inealfS r-l Y T d e U en :.onDoS transformaciones-.■> - -nn i qua les como aplicaciones, es

... •; eliigual®53 = ola m e n t. e s.i. ' F ±. u ) = 1 2 1. u ) p a r a-r = 1 x. ~ ■'decifíU.

* Tas 51 V

cualq“ier u fc'n

4„ Las el os condiciones que se requieren p^ra que 1 sea

_ -i e p1--1 i n e « * - 1 ?

,ieden resumir en ur'1 a sola;

T ( u x + k u» >, = T ( u .1. ) + kT i ua )

-r--.fi n<= v subespacios vectoriales„ -antP 5* 105 'Anál°9a ..|IiaCiones lineales. se puede eternostr■fc r <-*• i{"■1

1 ejemplo1 .. ,-n i entras el hecho de que urCa n tra e . ie m p l< ^ -

que 1 c ti- c(i>t 1 f oriiisc ion si seac ui'i'tp

no impl i *-'"'

h . S i T es una t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l e n t o n c e s T í k u )

1 1 1 Ll ■'? itJ l"lLU- 041 Al 1,1 c1ue ' aplica ku sobre un e'-t--¡--T(ku. )„ cuya r e l a c i ó n con T i u ) en -i-t-rm iiiiiri(_.s J e m a g n i t u d

ÍÍLJ U Vy d i r e c c i ó n la misma r e l a c i ó n de ku cnn ¡i r ~ -I..J } J Ll i. 1... LJ1 i{ík u s o n v e c t o r e s p a r a 1 e 1 o s „ t e n e m o <=. aU(a r - •1 apHi..av e c t o r e s p a r a l e l o s en v e c t o r e s p a r a l e l o s , .

7„ La e c u a c i ó n T í l u + u ^ ) = T ( u A ) + T ( u Æ) , con u.j. v u» en

Rv’ „ a f i r m a que 1 a p l i c a un p a r a l e í agramo j u n t o con sus

d i a g o n a l e s s o b r e un para 1 e 1 oqramo j u n t o con sus

d i aq o n a 1 (£--■ ■

E j e m p l o 1 « Sea I i K * ■" r ~ > í «-un o p e r a c i o n e s u s u a l e s en

T(X|y) = (2 >;-y, Y, x+y+1 > - Determinar si T es lineal.

i -i ¡ - ralisfDi ' i i iaclOn a c t ú a :Solución ; L-<=< Lr u<"

. .. . ----- ........ R®R32 ....

---------- ---- 1 - ' y * *+y + l ) , es d e c i r si. ¡í y 1 .- -... ~ - I. 1 i 1 i 1 "I" i +1. ) =2 ( ! •( V \

------ -- '■ 4 ? ¿+3-I-1 ) =s (.1,^6)----------

( 0 , o ) ~ -■■■' 1— ..... <0”0 ’ ° ’ Ch' 0"M. ) = (0,0-1)

. , , t r a n s f o r m a c i ó n nos m u e s t r a que T no es

, ( V P r nota 2) Vamos a p r o b a r l o ( au n q u e ya P, t P 1 i n e s t.

api icaiTiC'S T

Uj. T i u i} a.—b ii b, a+b+1 )

U32 i cc,d) — > T (u2) "• (2 c—d,, d, c+d+i)

U i + u = = ( a + c , b - i - d )T ( u x+u ) — (2 a -i- ¿i u — b - d ,b+d, a+c + b+d +1)

primera condición: Mirarnos 1a *

T (ui + u - ¡ ) ~ TÍUi) +

( Lia: )L.. .-1 "1“ Cl '!í c*. 1 -

a+c+b+d+1) - (2a-b, b a + b + i > + (2c-

3+ d , a + c + b + d + 1 ) = 2 a-- b+2c — da+b+c-t-d+2)

L. tr1-a última comp

, <> ! ‘ ...

acs. diferente, 1 ueqo )one> 1 ,te "

"! ¡. u í

EjemP10o no-

1 \ t r a n s f o r m a c. i ó r1 d a d a e s 1.1. n e c* 1veri-Ucar -

T í ;i n V * ''' '>:+y , Y>+z ,

, T i:;,¡nan'::’u U lSol tu::: i¿""! i

(a,b,c) v = (d „ e , f ) , tenemos::

T ( u* ) — T ( a , b , c ) = (a + b, b+c , 2 a —i_ >

T ( u i + Us ) - T ( s+d , b+e , c + f ) ( a+d + b-i-e, b-i-e+c + f ,

c - f )

7 ( |.: u , ) = T ( k s ¡i k b k c ) -■ ( ka+kb ? kb + kc , 2 k a - kc )

'¡hr Tr’a n h Bf-'V” a fo o b 5.1 cu.fiiplb 1 as dus c on d ie 1 on tí s» s

) TÍUi+Ua) " T ( u 3. ) + T ( Ua )

( a + d + b + e , b + e + c + f , 2 a+2 d - c ~ f )

( a+'d + b+s ?3+e+c+f, 2a+2d-c~f)

~ ( a + b , ta+c .i 2 s _ c ) ■ *■

(d-i-G'n e-i-f :¿d — f )

~ (a+d+b+s, b+e+c+fs 2 a— c + 2 d— f )

l o c u a l ecierto..

(b) T(ku, =: k T ( u 1 )I = : !■

( k a ■+• ! ■■ b n

(ka+kb,

kb+kc , 2 k a - k c

kb +kc , 2 ka-kc: )

k k: ( a-i-b „ b + c , 2 a - c )

- ( k a <- k b n k b+ k c 5 2 k a -- k c ) ,

„I ciertoID CUril t. -

. .... rum p i en,, T e s 1 i r i * * 1 -, . w ¡ b í *'l~ (~u 1

Como t. a * '

.iai __ > R ,:* , tal. que i ( 1 , 0 , 0 )bea Ts

T ( 0 1 i » * *( -1, I , - t , < > ) y

i 2. 1•: 4,5)-

« fl » - .H *

Supon i en do (:¡ue es 1 i n e a l , bal 1 a r 1 ( j y ? ¿ * Y

i u d o r i s t s c r i b i m u f a Í K , y , z i como c o m b i n a c i ó n l i ¡

s v e c t o r e s ( i , 0 r 0 ) , ( 0 , 1 , 1 ) y ÿ 1 ) ; E x i s t e n

t ¿Ti 1 e s et lì e

a ( 1 , 0 , í.) ) -¡ b ( 0 , .1 1 ) +

( a+c » b--C n b » c: ) = ( ;i h

J. ni1 j a 1 n d o c: o m p o n e n i: e ü

» 4 C —“ ï'î

b - c = y

ta + n il N

M a t r i z am p i i a d a :

(° 1 - 1

lo 1 .1 /

Ë fectuamoB - F = 4 f 3

/ ' 0 .1

01 - 1 y

lo 0 X- .— y/

Albora , (-1/ 2 ) F ^ + F jl„

Z1 0 0 (2X4

1 0 (I

z ) ( 1 )

(i/2)F,

"i fñ 1 d ci ? O

a = (2>;+y-z)/2 > b ( y + z ) / 2 y

-- ( Z- y ) / 2 . En t on c e ;

((2K+V-2)/2)Cit , 0 n o ) + ( ( y 2 ) // ^ ■ ( í - > ? i j -1 +

¿ -v "i / 2 ) i. i ¡. - 1 j 1 ■' ( x -y *:: '

a p l i c a n d o T a ambos l a d o s !

T ( ( ( 2 K + y - z ) / 2 ) ( 1 , 0 , 0 ) ( ( y -1 -2 ) /2 ) ( 0 , i „ 1 ((z-J , > _ y f v y , z ) , como T e s l i n e a l , q u e da :

) / 2 ) ( i f ' 1 - J • 'T / , í 'V'v-i-y — ) / 2 ) ( 1 , 0 , 0 ) )

To<,y>2> = T ( a .-p ( ( y 4- 2 ) / 2 ) ( O , . 1 , 1 ) ) + T ( ( ( 2 - V ) / 2 ) ( 1 , - 1 , 1 ) )

. ¡ ... +- , -- i / ? i T i l , 0 , O ) + ( ( y + z ) / 2 ) T ( 0 , 1 , 1 ) + r ( x , y ,

( ( ■— y ) / j -;‘ ) i ( 1 s x

/ / ^v+v-7. ) /2 ) ( 2 ,1 * 1 , 3 ) + ( ( y+s ) /2 ) (T (>: , y - : ’ ) = '■ U'-'" V '■

-1,1,-( ( 2 - y ) /2) ( 4 , 3 )

1 ( i' q y -i )

, . . ' r'"> •*, * - y «- T . , , T. .( 2 >í-»-y"2 * * v / a. • - » •.+ y , - , y

2 / 2 ) +( - y / 2 2 / 2 , y / 2 + 2 / 2 , y / 2 - 2 / 2 , 0 ) -i-

( -í 2 / 2 * - y / 2 y' ,, . . , 1 !. . . i

% ^ ~ ~r y ' y

>; -i- y / 2 - z ,fd j¡r y / 2 ¿ / 2 + z - y ,

H + y / 2 - z / 2 - y / 2 - Z / 2 + 2 ^ _ t.¿ V

3 *+3 y 2 “ 3 2 / 2 + 0 + 5 2 / 2 - 5 y / 2

i {:< f y 5 zg — ( 2 y , x+z , w—2 y +z , 3 ».■;-y + 2 )

que et» la fórmula buscada„ Aol i <-ai~ -•»-i L. u t.- t a f ó r ,T| u i âl o s v e c t o r e s d ¿idos s

T ( 1 ,1 , .1. ) = ( 2 - 1 , i +1 , 1 -2+.1 , 3 - 1. + i j

T ( 1 , 1 , 1 ) = ( 1 , 2 , 0 , 3 )

7 ( 2 , 1 , 1 ) = ( 4 - 1 , 2 + 1,, 2 - 2 + 1 , ò - 1 + i )

T ( 2 , 1 , 1 ) = ( 3 , 3 , .1 , ó )

T ( 0 , 1 , - 1 ) = ( 0 - 1 , 0 - 1 , 0 - 2 - 1 , o - j - i )

I ( 0 ,, 1 , " 1 ) ( 1 ? 1 ? ? )

Ejemplo 4:D e t e r m i n a r s i la f u n c i ó n

•y -Ci i 3 a n n n u< iniqu .1 a r

f a l i n K n ehr- 1 .1 Ti e ¿-i I ,, S . i O f t C t o

f ( A ) - t'P + P"'a )A + A ( p— :t ■+ p ) ( .1 )

S n l u c i ô n : Tomamos dos m a t r i c e s A y ky api iC f lm namos f

f ( B ) " (P + + B ( F— * + p , ( 2 )

A n a l iz a m o s l a s dos c o n d i c i o n e s t n una ¡»ola í v

4 „ ) v

f ( A + k B ) * f ( A ) + k f ( B )

f ( A + Ií B ) ( P + P " 1 ) ( A + k B ) -i- ( A + k B ) ( P ~ x + |

T OlTiiuTiOS ( i. ) Y ' ■ ’

f ( A ) + k í ( B ) = (P + P” 1) A -i" A ( F x P) +

k í í P + P “ A )B + B ( P “ A -i- P) )

i. —- | {i"» PSC.c*. 1 ct t* * ULitídcí »C omí o k lUí

f ( A ) + kf ( B ) - (P + p ' j )A + A ( p " x + p )

(P -i- P “ 1 ) k B + I í B ( F' x i- P)

i • r - neto propiedad di.bt.r ibutiva en el álqefc Ap i i r . r i i

m a t r i c e s ::

+ I - f i B ) = (P + P - M ( A + k B ) -!■■ (A -!•■ kB)íp-f ( n i

(■t i v Í 4 ) son i q u a 1 es „ e n ton c es; ;Como i. y ■

f (A +kB) ~ t c A ) -i k f ( B ) , que e r a l o que se ne ce

- + - r a r . Luego,, f es l i n e a l ,d e m o l í «o

E j e m p l o Sea T¡¡ R - ~> R » d e f i n i d a p o r T ( „ y ) =

p e s c r i t a T g e o m é t r i c a m e n t e y d e t e r m i n a r s i es l i n e a

i r a d e

s i t a b a

B a l u c i o n : Geomé t r i e amen t e , l a p a r e j a y ) se -fcr

en ( y , k ) n es d e c i r - , se cambia p o r y y y po r

cada punt-o se t r a n s f o r m a en su. s i m é t r i c o con re

l a r e c t a x = y .

P a ra d e t e r m i n a r s i T es l i n e a l ;

T í u x ) ~ 1 ( ¿ ! ? 1-' ) ~ ( ' ñ

t ( u 2 ) = t ( x , y ) * ( y , > 0

j ( u t -i- l u;>! ~ r ( a+krt b + k ■/ ) :::: ( b + k y na+k.

T ( u x ) + kT ( u¿») - ( b , a ) + k í y , :

= ( b+ky , a-i-Ií x )

í 2 )

t i ;I. ineal »

i = ( 2 ) n luego l(uj„ + ku2 ) -■ T(u:l. ) + kT(usO

Ejemplo ¿> »Mostrar que

Sea f : Mm;;nT <_e 1 inca 1 „

! ■ ! r i í i í i p t a l que f (A)

S o l u c i ó n ;

= A= E< '

f (A + fcED = ( A -i- I ■ B ) '

A ' •+■ ( | : . B ) '

A' -i- |,;B'f ( A ) + k f íB f c , l u e g o f•f f f\

1 i n e a !

a n s í oí- ma

- L u e g o ,

s p e c i o a

y 1' e s

E i e ítíp 1 o 7 : La t r s n s f urítíac; i ó¡ i .11 n e a 1

d e f i n i d a por f ( u ) mu , en dondeí; R-- R-

a = n 0 0

1 0l o 0 0 t

-•( p 1 i c a ( 3 V :■ z - l'~'1 ( j '/ j '' ■ be o fiié t. r i c amen t e , e I 1 <p f p v p c t a c u a l q u i e r vec tof u de R-',, p a r a l e l a m e n t e a l ej<

? rr.obre un v e c t o r d e l p l a n o XY.

Aná 3. üqariit-íi ¡ t-•> •-

B Q1/2o

l a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l r ,, d e f i n i d a p o r T ( u ) -- Bu,

- .p l i c a ( • ? v' * - •'1 ■t-;: ¡i y 2 n O ) y p r o y e c t a c u a l q u i e r v e c t o r ,

p a r a l e l a m e n t e a i e j e Z ,, s o b r e e l p l a n o XY y d e s p u é s l o

d u p l i c a en i a d i r e c c i ó n X y l o " e n c o g e " a l a m i t a d en ladirección Y.

(. a ) f ( :: , y ) = ( 3>;4í4 y , y ) . S i .

( b ) f ( i- y ) = ( 5 ;; — y ) . No -

( c ) f (>: ? y ) = ( >.’+ y - i , ¡ -v+i ) . No .

De tisriiii n e s i -c1: R 3 -------:> R3 es 1 in e

( a ) f ( M, y , z ) = ( 0 , 0 ) „ S i .

( b ) f (>: ■i y ? <' = (1 ?i ) - N o .

( ; > f ( H '/ T ■*" ) = ( 2;; - 3 y , 3 x - 4 y ) . S i

( d ) f ( ;í ,t y ¡i z ) = ( -:*í «11. ) „ N o .

1i n e a 1 es »

' f : . ) ’\

■“ ' ( : ) ..........

Sea B una m a t r i z f i j a nxn

1 a s f u n c i on e s s o n 1 i n e a 1 e s s

i a ) f ( A ) " AB --

( b ) f ( A ) = AB

( c ) f ( A ) =■-- ( B +

B A - 8 i „

3 B - M Ai B - » ++ 2BA„ Si

tr*» Oé un ejemplo de una aplicación de R» en p» . _satisfaga la condición T(ku) - kT(u), pero ctue no EPp

o * Ü tíd f!Mn«n -- > R.i Ltna transformación tal qu.e f(A) =det(A )« Decida si la aplicación f es lineal„ Mo„

5.2i NUCLEO Y RECORRIDO DE UNA TRANSFORMACION LINEAI .

(a) 1(0) = 0( b ) T Í - ' U ) - ~T(u>

(c) T (Ui-Us) = T(u*) " T ( u *>

Definicións Si 1 sU v fc's una transformación lineal,, __."v] cicj/fí ..í rí ir.c_* cío v tíj{' {-• üu Lj ciiíp* 1 i t -e> n t o n i- m '-a 4~ * h 1 i t <=* u i. a

P conoce como el Núcleo ikernel o espacio nulo) de T ¡¡p5te e s p a c i o se denota ker(T) .. El conjunto de todos los vectores en V que son imágenes bajo T de al menos un vector en O, se conoce como recorrido o imagen de T. Estec o n j u n t o se denota por rec(T),

Ejemplo 8¡; Supongamos T:U -..> v tal que T(u) =pe terminar el núcleo y el recorrido de T„

Solución: Como T'(u) = 0, T aplica tnr\r. , .......... , ■- fc i..j )• Oh ¡j ¡,5i;;J S& \ vector cero de luego ker ( "f ) i¡

•*«'. que í.J es l a un.it.. a imagen b a j o T ,, re c ( T ) conste

v e c t o r c e r o , e n t o n c e s r e c ( T ) ~ { 0 } «

Ejemplo 9s Sea I ..R: 3 a muí L i p l i e a c i ó n p o r ;

' a . <=lí.SB 1 .1A«« ** « CTí«-»

iami a,t,s - -

E l n ú c l e o de T c o n s t a de t o d o s l o s v e c t o r e s

„ - I - A

que son v e c t o r e s solu< i u h d e l s i s t e m a homogéneo ftX

E 1 i'■ ec o r r i d o d <=? f c o n s t a d e 1 o s v e c t o r e s

b ---/ b ' \

\ t) n. /

¡1 que (*1 sistema AX i • <-r. ,i- •. c! t... l...i r i í- a. • te n t.

OTE.Ji

Teorema 5.2: Sea TsR0 ---> Rm una transformación linealtxistej en tone e s , uns matriz m;;n? con elementos en R:

tai q u e T (u ) “ Au ? para cuaic|uisr u en R ri „ A se conocí

como la matriz asociada a la transformación T„

Ejemplo lOs Sea T:R3S ---> R35, definida por:

T (1,O ,O ) » (2,3)5 TÍO, 1¡,0) = ( — i , 4 )T ( O , O , 1 ) = ( - 5 , 2 )

Tenemos entonces, que la matriz A asociada a la trans rorítíaci.ón í es:

Teorema 5.3: Si 1:U V es una transformación lineale n t o n e e s 2

(ai El núcleo de T es un subespac io vectorial de U„(h) F1 recorrido de T es un subespacia vectorial de V.

D e m o s t r e m o s (a)s D e b e m o s d e m o s t r a r q u e k e r ( T ) e s c e r r a d o

para la adición y el producto por escalar. Entonces, seanf.1 1 v (.t-> elementos de ker(l ), det. i¡- s 1 t. Ui) - U, 1 (u.3> ,1 =O " a m o - a p r o b a r q u e Ui + ku-a t a m b i é n e s t á en k e r ( T ) .

.. _ l w ni.se p r o b a r q u e I {u >. •+ k u 2 ) -- O . Como I esP a. r a e .1.1 o , '1 c* / ■*'•1 . ... 1.1. .1 i i tó Ct J. « T (u x + kUx) ( u -.i. ) + ¡ T ( u ..> > 0 I k ü G ¡ 0 Ü„

S e d e j a c. o . n o e j e r c i c i o 1 a p a r t e ( b ) .

. il v una t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a i .N o ta s s o td i . u

_ r„ ,,nn ( i n v e c t i v a ) , s i y s ó l o s i k e r ( T ) = 0 . ■) T es uno =i uno -*■> /

,.rrl r « s o h r e y e c t iv a o s u r y e c t x v s ) sx y s o l o s i

ree(T) = v

3 . Si d i m i U ! » " n ’ « ’ t — 35

f_. -i- ps uno a un o , e n t o n c e s T es s o b r e .( a ) S i i

T cjobre, e n t o n c e s T es uno a uno,,( b) S i T - - -

-iim e n v i ó n d e l n ù c l e o de una t r a s n f orrnac .ión

noce como n u l i d a d de T „ n o ta d a n u l ( T ) . La£ £' C- u1D e f i n i c i ó n s

l i n e a i f,a c o r r i d o , se co no ce corno r a n g o de T,■ rlP* l 1 e(-udimensioPi

. T \ p s d e c i r : d i m ( k e r ( ! ) ) - n u 1 ( T ) , notada rangolD* *

, r \ = ra n g o (1 ) .dim ( r e e ¡ ■

l a d i m e n s i ó n i S i T sU ---------- > V es unadeTeo rem at ; . , - , , ! desde un e s p a c i o v e c t o r i a l U cwn

- i m i J- 111 wt r a n s f e r h'*®1

. ., h a c i a u n e s pac x o vec t o r xa -J ,f i n i tei »

d imen®io

e n t o n c e s

ti + (nuli d a d d e T) = n.( r a n g o de T>

N o t a ; En e l caso e s p e c i a l en e l que

¡) p>'> v 1 - R,T> y T “ U — y V es l a m u l t i p l i c a c i ó n p o r l a

tTiatr 3.2 a s o c i a d a A mxn, e l teorem a ele l a d i m e n s i ó n co n d u ce

n u l ( T ) = n - r a n g o ( T ) .

■- (número de co lu m n a s de A) - ( r a n q o í T ) ) .

S i n em b a rg o , l a n u l i d a d de T es l a d i m e n s i ó n d e l

e s p a c i o de s o l u c i o n e s de AX = 0 y e l i ango de T es e l

rancio de l a m a t r i z A . P o r c o n s i g u i e n t e s

p.; ps u.na í n a t r i s ¡nxn e n t o n c e s l a d i m e n s i ó n d e l

es pac .1.0 de s o l u c i o n e s de AX = O es n - r ( A ) .

E j e m p l o l i s Sea T 5 R* ------- > R*. d e f i n i d a p o r :

\ -- . .¡+?y-z , 2 M -3 y + z , • - y - 2 ) . D e t e r m i n a r sT ( ; ! V ? * >

( a ) k e r ( T ) j

(ta) r e c ( T ) ?

) -f efs uno a uno?

( d ) T es s o b r e ?

( e ) n u 1 ( I j

T (>s, y , 2 ) = / .1 A2 -5 1

i-i - i ~ i ¡

L. uet'QO A / A

„i ...j - /

d a r á e l r a n g o ( T ) :

-~2Fi + Fa V F'*. + F' n-

-• A

O -‘7

ñhOl^S n

7F-JS + F a

2 -1\0 -1 11 - 2/

i n t e r c a o i b i a n d u f i l a s , t e n e m o s n ¡ i r r í a i ~-p —" ’ ' ' ' > ~ — I C( 11 g o i i ,i

C o m o d i m ( V ) = 3, e n t o n c e s l a t r a n s f o r m a c i ó n T e s s o b r e .

C o m o n - m , e n t o n c e s T e s u n o a u n o , l u e g o l a n u l i d a d e s

0 . P o r l o t a n t o , ,

( a ) ! < e r ( T ) ==: o ,

( b ) ree ( T ) -- Rr' n

( c ) -T s i es uno a unG,

( d ) T s i es sobr e

fe ) i) u 1 ( T ) 0 y

( f ) r a n çj ci ( T ) =•• 3 »

Ejemplo 12 s Sea T ; N ”,‘ --------> R':>, t a l qu.es

(. 2 a -i- 2 b—c + e , — a — b+2 c — 3 d -i- e , a+ b—2 c - d „T ( a ,, b , C: , d , e ) (. 2a-i-2b--c

( a ) L. a iïi a t. r i z a s <D cia d a ft,

( b ) ker■ i T ) ,

( c: ) re c ( T ) ,

( d ) n u 1 í T )

( e ) ran go ( T ) j

( f ) Una base d e l k e r ( r ) ,

( Q ) Urta base d e l ree ( T ) ,,

( h ) T e b s o b r e ?

S o 1u c i ó n s T pued e es c r i b i r s e como 5

! i a h b 5 ¡'-I - • - 1 0

1 - 1 2 _ i

1 1 * - i o

i ) 0 1 i J

(¿>) Siendo A =I 2

2 -1 Cj i- 1 -i “ i

X. -3 11 i - 2 -i 00 0 1 1 i

.[a mat r i z asociada a T ■

Para h a l l a r el núcleo de 1 » por d e f i n i c i ó n i g u a l a m o s

’] ( a , h , c:, d , e ) a .1 v e c t o r cero de la l le g a d a , es d e c i r ;

(2a+2b -c+e, - a - b + 2 c - 3 d + e , a + b - 2 c - d , c+d+e) = (0,0,0,0)

Resultando el sistema de la forma AX — (J, que

reso 1 vernos s

i 2 -J. 0 .1 0-i -1 o - 3 1 01 i -2 --1 0 o

, 0 0 1 1 1 Oí

Como después hay que obtener el r e c : ( T ) , en el cual se

buscan vectores de la forma v = (m,n,p,q) que pertenezcan

i la llegada, se resuelve el mismo sistema con el vector

incluve al anterior, luego no es conveniente repetir.

Entonces, resolvemos el sistemas

2 2 - 1 o 1

- 1 -i 2 _3 J. ni 1 - 2 -i 0 PC\ 0 1 1. 1 q(

F *\ —— > F.3 y F3 <---> F„

1 1 —2 -i 0P 1o 0 1 1 1 q

2 - 1 0 1 m1-i “ 1 9 —3 1 n/

Operamos: --2FX + F .3 y Ft + F„

11 L _o -1 0P \o 0 1 1 i q

0 0 3 o 1 lT( — 2 p, o O "¿1 1 n + p (

Ahora, 2Fat + Fj. y —3F3 +■ f3

•1 i o 1 2 P+0 o 1 1 1 q0 0 0 1 -2 (Ti—2p

0 0 0 —4 1 n +

Ahora, -4F-s + Fj» y -f 3

/ 1 0 1 2 p+2q \

o 0 1 •1J . 10 ("1 0 1 2 -m-<-2p+3q0 0 0 0 0 n-4m i-9pi-.l 2q|

Lueqo , siempre e is te 5•:j 1 uc ión . En tonoes ,

Rec (T ) — [ (m , n , p , q ) }

Entonces una base de l rec(T) está dada por s

S.t m~-! - n=p*q=0 s (15 0,0, 0 >

S i n —1 iTi!*p=q=0 :: (. U , .1 , , O ) ;S i p - 1 , iTi-n =q=0 : ( 0 . 0 , .1., 0 ) ;

Si q=l, rfi=nr~p=0 s ( 0 ,0,0,1), quedando que

s = í(1 , ,0,0) , (0,1,0,0). (0,0,1,0), (O, 0.0,1)} esuna base de r e c ( T ) . ( f á c i l m e n t e puede s e r d e m o s t r a d o )

Lueqo, rango(T) -- 4 (dimensión del rec(T) ) .

Como la llegada V = R* es de dimensión 4 yrango«T ) = 4 , T es s o b r e .

A h o r a , en e.l caso d e l n ú c leo , , en e l s i s t e m a , tenemos

que m = n -p = q = 0 , quedandos

Term ina m o s de r e d u c i r » ~ F - S + F *., -F-¡; +• F-» y ( i / 9 ) F .

T e r ¡ ¡ i i n a m o s < '■

ron “ i F ;t-. y - 2 i-.* + I-

Con e l s i s t e m a e q u i v a l e n t e

-i b = OU

E r i t o n c e s e 1 s i s t e m a f u n d a m e n t a 1 d e s o 1 u c: i o n e s e s :

d -- Oe - O

Y 1 a so 1 u c i ón q e n e r a 1 e s ¡

Od = 0

Por lo tanto, una base- de i sistema fundamental de s o 1 u c i o n es es S x. í ( - i , i , 0 , 0 , 0) } , q u e s e r á u n a base del núcleo. Luego, la dimensión del núcleo es .1 (nul(T) = i), lo cual debe cumplir el teorema de la dimensión 2 nul(T) + rango(T) = n = 5 .1 + 4 = 5 , que es cierto.

R e b u m .i. e n do,

( b ) ker ( t ) — "j- c: * "> , d , e ) , a b , u. d—& O j* , es dec i rk e r ( T ) = '£ < b, b, O , O , O ) ;)•

(c) rec(T) ” [ ( m , n , p , q ) }( d ) n u 1 ( T ) i(e) rango ( 1 ) 4. f ease del núcleo de l„ 6,,

T Q ) '0 a S O C.Í 0 1 i'~ a n g O <% 1 ) ií t'.í r- 'i., i. .L k O t( , V-1 .* x. ( O >i n , '-1 ,* 5

(o , u 14 i 5 o ) k ? -1 / y fifh) T es una función sobre»

Notas s

1 . Si TsU — V es una transformación lineal y c! i m (L* í <dim(V ) , entonces como rango (T) + nul(T) = d.im(U), seconcluye que rango(T) < dira(v') , luego T no puede sers o b r e »

c¡j TsU -----^ ®s una transformación lineal , entoncesd i m ( r e c ( T ) ) r a n q o ( T ) < ~ d i m ( V ) .

3i TsU --- > V es una transformación lineal y dim(U) >dim(V), entonces como rango(T ) + nulí1J dim(U) yranqo(T) < dim(U), nuI(T) O 0, luego T no puede seruno a uno..

4 Si TsU — > V es una transformación lineal y dimt'U) -•d i iTi ('v'') ;■ en tonces T puede ser uno a uno y sobre , luegoT puede ser inversible y, por ende,, A (la matriz

ociada) también puede ser inversible, ya que T es u 4 hlp si V sólo si. ! es uno a uno v sobre,invt'i l..*■ >— ■ * - >

- ■ T ~ x es una transformacion lineal. Una formaí-iaeinc’» ,puede obtener 1 es calculando A.'■como

ella, obteniendo la fórmu t a de 1p a i' x 1transformación,

f.. S i T s U

tenemos que

t. a ) l.i I ( I ) :. — d i íii í U J y

( b ) r a n g o ( T ) < == m i n ( d i. m ( U ) d i m ( V } )

E j e m p l o 1-: ■'-3 .¡. a t i- a ns í o r mac i ón 1 i nea 1

d e f i n i d a po r T ( p ( x ) ) = x p (. x ) . H a I 3. a

( a .) n ú c 1 e o de T ,

( b ) r e c ( T ) ,

( c ) n li 1 ( 1 ) ,

( d ) r a n g o ( T ) .

S o l u c i ó n s La t r a n s f o rm a c i ó n e s ;

f ( a+b ;+cXa ) an + b x a + e x 3

P a ra h a l l a r e l r e c ( T ) , i g u a l a m o s la l l e q a d a

a;.¡ + bM® e x 3 = m + nx + p>{»+ p;<3

Luego., a — n .,

11 mi n BRtonces hay una c o n d i c i ó n y es é s t a

Ú 3. t i m a . P o r i o t. a n t c:<

-ú-'C í. T ) (.n >¡ "r p . ! i .i i_i, q r e a l e s } , e i i t u n c e s una

J„. ... ... .... „ XT' -• ,r w w 2U c l ^ l r . 1 Í3 far I d 5 .b r . — ; n A n • ' .í Luego,, ra n g o (1 ) -- 3,

‘o í en l u g a r de i g u a j a r a un p o l i n o m i o g e n e r a l , ,

i g u a l am o £ a l p o l in o m io cero,, e n tra m o s a c a l c u l a r e l

n ú c 3. e o ;

k e r ( I ) k e r ( T )

{a+bíi+cV^, a;-; -i- bx- -i- ex3 0 + Ox0 x '•= j ,

[a+bx+cx •’ , a—ü , b=U, c -0> f en t o n c e s

íO+Ox+Om*} . Luego,, n u l ( T ) - 0.

+ 0 x - +

( s e puede v e r i f i c a r i_on wl teorema de l a d i m e n s i ó n .

Ejemplo 14; Sea T : R '* ¡ 1 i a t r a n s í oí íhéit ton 1 • i . - • i

def in ida por s

( x , y , z ) = / i 4\1 31 2 /

P r o b a r que T es i n v e r t i b l e y o b t e n e r I - * i i , 2 , 3 ) „

9 o l u c i ón s P u e d e p r o b a r s e d e m o s t r a n d o q u e n u 1 ( T ) - 0 ( u n o

,h Miif"1) V rango*.T ) - o í *d.i(rn v ■* subí e i per o p a ra hal l a r

-r — :l r 5 n e c e s a r i o c a l c u l a r A “' 1 ,, E n t o n c e s , pasamos a

a l e u l a r l a i n v e r s a de A (se? dejes <_.onio e j e r c i c i o ) . Puede

d e h ■ o s t r a. r s e q1 ■1 e “

i V / 4 O

1-1/8 1/4

- 3 / 4 0

¡ * ( X j; V ? ^ " ( y - f y ;i z }

I 3/40 1/20 -11/40*

19/40 - 7 / 2 0 - 3 / 4 0

T "J ( , y , z ) — ( í 3x-i"2y--i 1 z ) /4o , ( 1V>; —14y — 3z ) / 40 ,5 ; ; +10 v+ ' jz ) / 4 0 ) ..

En tone es , f L ( 1 ? ■ ~ ( 5 -r / 4 ¡

EJERCICIOS 5-2

■\ i.j,H] i r,f la n u l i d a d y e l r a n g o de l a s s i g u i e n t e s

t r a n s f orroac i ones l i n e a l e s :

( a ) T C x , y > ax + by

( b ) T ( x , v , 2 ) - ( x x -i-y , y + z ,, a x..........by+c: z ,, m-: +n y

t c ) T ( x ? V j - j u ) — ( x ,, y z ,, u „ y + 2 u - z « y — z+u ) .

S o l . : i s ) b.i a O 0 ó b w 0, n . j l f T ) = r a n g o Í T ) = i

s i a - b ~ u , n u l ( I ) = 2 y r a n g o ( T ) = 0.

t b ) n u. 1 ( T ) = 0 , r a n a o ( T ) - 3

( c ) n u l ( T ) ---■ 0, r a n g o ( T ) ~ 4

L.. <=* t r a í i s i o r m a c j. o ri 1 i. n e a 1

i ( , y ti :• ) ~ ( > : - 2 y + j z , 2x~z , >;+2y~4z ) . H a 3. 1 a r :

( a ) k e r ( T ) ,

( b ) r e c ( r ) ,

t c: ) B lr „

( d ) B r.,( e ) n u. I ( T ) ,( f ) rango ( T ) ,( g ) T es .i. n v e r t .i b 1 e ? E n c a s o d e s e r l o , h a l i a r

T~ '■ ( , y , z ) .

Sol.: B», - {(2,7.4)}, T no es invertibl e ,

Hallar una base para el núcleo de T , si la matri;a s o c i a d a a 1 a t r a n s f o r m a c i ón 1 i n e a 1 T e s s

|*| = / 1 2 O 11> -1 2 “1

Cuál es la n u l idad de T

n - , / ' £ “ 4 1 J 1 ? t L «J -J» «| L - JÍ ...• J î' j; I 1 I..A 1 ( ] JSol «* 3 t>k '**

4» Sea V c u a l q u i e r e s p a c i o v e c t o r i a l y su.ponga que

T 5 V V e s t á d e f i n i d a po r T ( v ) 3 v . Hal l a r ;

( a ) K e r ( T ) ,

( b ) R e c ( T ) .

Sol - s K e r ( T ) - { 0 } „ r e c ( T ) = V .

u = ( 1 , 2 , 3 ) , v ~ ( , 5, 3 ) , w = ( 1 , 0 , 1 0 ) . E n c u e n t r e u.na

f ó r m u l a p ara l a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l T sR * --------> R32,

s i T ( u ) = ( 1 , 0 > , T ( v ) - ( 1 , 0 ) y T ( w ) - ( 0 , 1 ) .

i. a ) C a 1 c u 1 e ! i. 1 , 1 , 1 ) .

( b ) T es sotare?

( c ) í es uno a uno

( d ) H a l l a r n u l ( T ) ,

t e ) Ha !. 1 a r ra n g o ( T ) .

Sol - ¡ T ( 1 , .1 1 1 ) ( 1 7 , - 5 ) . n u . l ( T ) = 1, no e s uno a*

uno« r a n g o ( T ) — 2 , no es s o b r e »

Sea f : R S ------ > R2 - í:)ar un e j e m p l o de una f u n c i ó n

l i n e a l que sea uno a u n a .

7 . Sea fs R * ------ > R 3 * D ar un e j e m p l o de una f u n c i ó n

] i n e a l que sea s o b r e .

/ > \Y

H a 1 1 a r s

( a ) Nú c. 1 eo d e f ,

( b ) B a s e d e 1 nú. e l Su «i

( c ) n u 1 ( í ) ,

( d ) Rec. ( f ) h

( e ) r a n g o ( f ) ,

( f ) Sase de l a i tilagen de f

S o l ,, ; f es uno b . uno,, f no

• /■ >\- /• V

( o ) l < )

9 . D e m u e s tre que re c ( f ) es un su bes pac: i o v e c t o r i a l de V .

.1.0 „ En cada e n u n c i a d o d i g a s i es v e r d a d e r o o f a l s o ,

e p 1 iq u e e l a r a m e n t e :

( a ) S i "f " R R-,¿,, e n t o n c e s f es uno a Lino»

( b ) S i f sR* --------> R"% e n t o n c e s f es uno a uno y s ó b r e

t e ) S i f : R “* — ---------R'3 , e n t o n c e s f es s o b r e ,

; . D ar la n u l i d a d y e l ra n g o des la t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l

■f { , y , z ) — i x+y+z <■ ~m-me h x + o y -2 ? y )

6. 1 DEFINICIONES:

Bes A una m a t r i z nxn con corn pon en t e s r e a l e s

( d e f i n i c i ó n v á l i d a ta m b ié n p ara c o m po n entes c o m p l e j a s ) ,

E l ntornero k ( r e a l o c o m p l e j o ) se l l a m a un valor característico o eigenvalor o autovalor o valor propio depi, s i hay un vector v O O , v en Cr’’ ,, tal que

Av “ k v .

E 1 v e c t o r v jL:' 0 s e 1 .1. a m a v ector característico o

e i g e n v e c t o r o autovector o vector propio de Ac o r r e s p o n d i e n t e al. v a l o r c a r a c t e r í s t i c o k .

Ejemplo i ¡ be a A — / i 0 — 1. cí\ Entonces

Cío ~18\6 -1 J

0 ■ c : : : ) ■ o ■ o

De esta manera, k x - 1 es un valor característico de A correspondiente al vector característico v* = (2 ,1 )'Análogamente,

C : ) O í . ) ' ( I )

por lo que ka 2 es un valor característico de Acorrespondiente al vector característico v3 = (3,2)'.Estos, son los únicos valores característicos de A.

Supongamos que k es un valor característico de A. Entonces existe un vector no nulo v ~ „ i■ M 1 * • ' i ■ » ■ ü >< r» /<> o, tal que Av = kv “ klv. Pasando al primer miembro, tenemos:

Av - klv = □, entonces (A - k 1) v = 0, ( 1 )

S.i A es una matriz nxn, la ecuación (1) es un sistemahomoqéneo de n ecuaciones con las incóqmta«* «.

J. i ■* * U S *| M « •

y x«-% • Puesto que, por hipótesis, el sistema tiene soluciones no triviales, se concluye que:

det (A - kl) - 0. Inversamente, si. det (A - kl) = o entonces la ecuación (i) tiene soluciones nn triviales k es un valor característico de A. Resumiendo, tenemos;

Teorema 6 . 1 2 Bes A una m«* t r i s de orden n .. Ent t n c e s k e s

u n v a 1 o r c a r a c ti e r x s t i c o d e A s a y s ó 1 o s i

p ( k ) = d e t ( A - k I ) ~ 0 (2 ) .

La e c u a c i ó n i ¿i) s e c o n o c e corrí o la ecuación característica de A y p ( k ) = d e t í A - k l ) s e c o n o c e corno

e l polinomio característico de A™

La e c u a c i ó n c a r a c t e r i s t i c a de A d e t ¡A ~ k I ) — $ 5 e s

una e c u a c i ó n de g r a d o n en l a v a r i a b l e l; . L u e g o ,

a p i l c a n d o e l t eor ema ■fundamental d e l á l p e o r a , t i e n e

n e c e s a r i a m e ri ti e i i r a i c e s .. L n t o n c e s n

Teorema ó . 2 ; Cada ma t r i z A de orden n t i e n e :1 s u s c tamen t e

r, y a 1 o r e s c a r a c t e r i s t i c o s ..

Teorema h .3: Be s A una m a t r i z nxn « L o s v a l o r e s p r o p i o s de

a s ni'i l a s r a í c e s r e a l e s de 1 pol i nomi o c a r a c t e r l s t i c o da

Ejemp | q 2 í 3. I en s e los e i g e n v a i o r e s de l a m a t r i z

rol ucións Resolvemos la ecuación cara» ter i I 1i. ;

det ( A k 1 ) — 0.

dt-t i A kl) - det f ü-k -i\\ 9 -1-1 /

luego, (5-k)(-i-k) - (9)í-l) = 0 l!s - 4k - 5 + 9 = 0k2 - 4k + 4 = 0

(k - 2)31 = •">, entonces k — 2 de muítiplicidad

Teorema 6.4: Sea k i r característico de Ja me t r x An>:n y sea &*.- = {v. Av =■ kv>. entonces es un subespacxo de C°. Este subespacio es llamado el espacio caracteristico de A correspondiente si valor caractei istico k.

Ejemplo 3: Encuentre bases para los eigenespaci os de

' -9 0 úi

4 jC* (lC* 0 ”20 0 1 ?/

Solución: hallantae la ecuación c*ra< ter 1 a t it.8 :

d(?t (A - kl) = O

n t? . w'O

i-k -9 0 0

4 TCN1 0 00 0 -2-k -70 0 1 2-1k

Resol vemos aplicando el desarrollo de Laplace para las dos primeras filas:

det 10—k -9 . (-1 . det -2-k -7 = 0

« -2-K 1 2-k

(<10-k)(-2-k) + 36)(1)((-2-k)(2-k) + 7) = O (- 20 - 8k + k® + 36)(- 4 + k x + 7 ) = O (k3 - 8k + 16) (k11 + 3) = O (k - 4)2(ka + 3) = 0

Entonces, k = 4 de multiplicidad 2 es el único valor caracteristico real.

(A - kI)v = 0

/ -9 0 0 \ 1.'<\ -2-k 0 0 • X —»0 0 -2-k -7 y-s

1 0 1 i 1..,

los vectotes propios — 4, tenemos quecorrespondientes se obtienen al resolver el sistema (1 ) para k 4 *

I í > i î

Operamos s Fi <---> Fa y f.3 r a

U o u6 o o ì )

lì) 0 O J

Ahora ? ( 1 /4 ) F ;t. s

Efectuamos! --6F,. + F-s y ¿,F3 + F

S e g u i. m o s c o n s ( — i /19 ) F

Ter m i. n amos c on : 2F-r- F •»

V o o o

o o c/

El sistema equivalente ea

í 3/2) >í.¿ = O= O

El sistema fundamental de soluciones

(3/2)xa

Luego, la solm i.<*in general ess

P o r l o t a n t o , la s o l u c io n es g e n e r a d a po r

( 3 / 2 ¡, 3., U, ü j . L u e g o , la base d e l

c o r r e s p o n d i e n t e a 1- A e s :

Un v e c t o r p r o p i o c o r r e s p o n d i e n t e a 1 v a l o r

( 3 / 2 , 1 , 0 , 0 ) .

6.2 SEMEJANZA DE MATRICES s

S i A y B son m a t r i c e s n; :n . se d i c e que 8

a A, s i e x i s t e una m a t r i z no s i n q u l a r P , t a l

B = p - ’-AP.

E j e m p l o 4 : L a s m a t r i cts

tal que Et - P“XA P •

y B = / X 0 0\

que e i s t e P ,

e l v e c t o r

e i g e n e s p a c x o

propio k — 4

es semejanteque

6 . 3 DIAGONALIZftCION

I!) e C 1. fti O ir- C¡ U0 A es diagonal iZSble,, O Lj U e puede 5 t T

d X aQ On a 1 i Z ad a S X H íu>emej c:i.l" ‘1 t e ñ LU’í a lo a t i'" X Z d i. a Q O Pí ¿i i D n

Teorema 6. 5s Una m a t r i z A. n x n , es s e m e j a n t e a una m a t r i z

d i a g o n a l D s i y s ó l o s i Rr» t i e n e una base de v e c t o r e s

p r o p i a s de A . Además, l o s e le m e n t o s de l a d i a g o n a l

p r i n c i p a l de D son l o s v a l o r e s p r o p i o s de A.

E j e m p l o 5 : P a r a I. a m a t r i z

tenemos l o s v a l o r e s p r o p i o s : k = 2., de m u l t i p l i c i d a d 2

(vet* e j e m p l o 2 ) . Vamos a v e r s i A es d i agón a 1 i zata 1 e „

Fctii'a esto . , buscamos l o s v e c t o r e s p r o p i o s de A ,

a s o c i a d o s con k ~ 2 , r e s o l v i e n d o e l s i s t e m a (A - 21 ) v = 0

M a t r i z a m p 1 i a d a ; / 3 - 1/ - -1 0\l , -3 J

E f e c t u a m o s : ’•! ¿ ; F s • (.1/3)1''

L u e q o , ; í { i A i }'

l : n t c n c . E 5 j - (1 /•-.■') y

S o 1. u c i ón g e n e r a 1

b:. n t o n c e s e i v e c t o r í. .i. / ó i ) q e n t.-1- a I.', o d 3 s 1 a s

s o 1 u c i es n e s < i e I s .i. 3 1. e m a. y e s i n d e p e n d i e n t. e , 1 u. e q o . í ( i / 3 .

.1. j- es una base d e l e i g e n e s p a c i a c o r r e s p o n d í en t e a k — 2 .

L o m o s o 1 o t e n e m o s u n v e c t o r p r o p i o 1 i n e a 1 me n t e

Teorema 6 . 6 : Una m a t r i z A „ n;;n„ es d i a g o n a l i z a b l e s i

toe!«*»» l^'S ra.ic.es de su pol i n o m i o c a r a c t e r i e t i c o son

r e a ]. e s y d i s t i n t a s .

N o ta s s

!■ » o ii i em bargo, se puede? d e m o s t r a r que s i t o d a s l a s

fd . íce s d e l pol i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o de A son r e a l e s ,

e n t o n c e s A puede s e r d i a g o n a l i z a d a si.„ p a ra cada v a l o r

P¡ opi.o de m u l t i p l i c i d a d m, pueden ha 1 l a r s e m v e c t o r e s

P. u p i o >» 1.1. n e a 1 m e n t e i n d e p e n d i e n t e s „ I- s t o s i g n i f i c -a q u e

>■■■■1 fcfepdc 3.0 s o l u c i o n de l s i s t e m a homoqéneo i A -• k i ) v =

t i e n e d i m e n s i ó n m.

2. '¿>i k es un valor propio de A de multiplicidad m, entonces nunca pueden hallarse más que m ve~ + r>-~ - propios linealmente independientes asociados ■ 1

Teorema 6.7: Si A es una matriproposiciones siguientes son r- ¡ ■ ■ ' - - -

(a) A es diagonal i zahl r?,(b) A tiene •" ~ r 4 r> = i>,- ' ! t>entip

indepen •.( e I - <-

Teorema 6.°* Ci ' • n eicr^n f?rtores ds A" * ’ oer >srí i -in 3 * "í * h 1 nrpc H * f* i n I* n i . I- _ Ux ' ' 2 1 f'n %

Vr. r, conjunto linealmente- r H « p o r H i i»r f-«t» .

oonrpn t m j e n TO PARA_____ DIAGONAL IZAR_____UNA___ MATRIZV.J AGONAL IZ ABLE:

1. Se hallan n eigenvectoi:es linealmente índependientes de A, que notamos; pa , p2 , ... prl.

2. Se forma la matr ir P que tenga a px , p*, ... Pr> como sus vectores columna.

3. Entonces P~ A AP seré m*tnz diagonal D con kA, k = , ... kr. como sus elementos sucesivos en la diagonal, en donde k* es el eigenvalor corresponda ente a ptI para j

i i .ii..

Solución: Primero vsmus a determinar los valores propios:

det ! -*-•< 4

-3 4-k 0 = 0\ -3 1 3 — k

Resolvemos por Laplace en fila 2t

(-3). (-!)*'*• *-.d«t/4 \ (4-k).(-!)*-*.d*t/-l-k \t^4 -2 'y ( 4-k ).(-!) =■ * .de t -1 -k -2

(-3) (-1 ) ( 12-4M-2) + (4-k ) (-3+k-3k+k=-6) = 03(i4 - 4k) + (4 - l<) (- 9 - 2k + k*) = 0^2 - I2k - 36 - 8k + 4k3 + 9k + 2ka - k* = Ok3 - 6k* i lk - 6 = 0

P a ctorizamos utilizando división sintética: las raicesson i, 2 y 6 . Luego, los valorea propios son k* = 1, I = 2 y k-s = 3. Por el teorema 6,6, A es diagonalirable.

Ahors buscamos los vectores propios correspondientes.

Si k =■ 1, resolvemos (A - I l)v * 0

-3 4-1 O

\ - 3 1 3-1«

Matrix ampliada:

Efectuamos -Fa + Ft

Ahora, 3Fi + Fs. y 3F t + F.-*

1 1 -2

0 6 ~ó

Ahora, (-2/3)FÄ + F-s y (l/<

Terminamos cons -Fi + F t

Lueqo , I a so .1. uc i£¡i ¡ geners .1. t?s> s

Ln ton ces un vectuf propio corrsspundiente ¿s k — i.

( 1 -I , 1 )

i b j Repi. t i e n d o el procès-o cotí k

o r d e n z . y, >i, t e n e m o s :

y copi arido en el

Ltec tu amo s ; ¿if- -s + k

î . )

h hora, Fx -> p.».

Efectuamos -3F^ + F^ y (l./2)F =

/1 J -3> 1 -3/2

\ 1) O O

Terminamos con: -Fa + Fi

| i 0\0 I. -3/2

La solución general:

y = (3/2) >t r = (3/2 ) x

Lueqo, un vector propio correspondiente a k

v s s ( 2 y 3«o ) •

(c) Repitiendo el proceso con K 31 3, tenemos:

= 2 es:

Operamos: -Fa + Fj y como Fx = F3¡l sobra una el las i

Ahora, —3Fj. + Fj. y -F».

A -3 2\\ 0 - 8 6 /

Efectuamos: (~l/8)Fs:

Para terminar: 3F2 Kt

/i 0 -1/4 0\\0 1 -3/4 0/

Luego, la solución general es:

X = (1/4)2 y = (3/4)2 ¿ ¿

Por lo tatito, un vector propia correspondiente a 3, es:

Entonces, la matriz P que diagonaliza a A, es:

F = /l 2

i 3iJ-

Restarla calcular P~*, en caso de que se pidiera, pero en nuestro caso, el problema termina hallando P.

Fl producto p-a-fip = d = /

Ejemplo 7: Sea A

i 0 0)0 njtm 00 0 3 í

2 de nxnque (P- 1AP)

Soluci6n

(P-xAP)= = P-*AP.P-*AP = P-*A(PP-*)AP = P~*AAP = P“AA®P

(P-*AP>» = (P-*AP)a.p-iAp = p-*Aap.p^AAp = p_XA5tAp = P“AA=»P

t.s lógico, inducir que nuestra tesis es verdadera yvamos a probarla mediante el principio de inducción ma temática.

( P ~ :l- A P ) 1 - p - & aP ? l o c u a l es c i e r t o p o rq u e A* = A,

p a r a t o d a 1T1 a t r i z A „

'.ii. * Hsuiü i ¡nos vslid£?¿ p ara ms

f P~ AP ) «" = P“ 1AmP

S . Demos tramo«» v a l i d e : : p a ra m-i-i , es d e c i r , hay que p r o b a r

( p ~ 1A P ) *'• * *• = P “*■* Am *■x P

Sabernos que ( P ' AijP) '" P " i AmP

mu 11 i p 1 i c amos por p~ 1 AP a ambos miembros a. d e r e c h a s

( p i-rtp } <r> „ ( p~ AP ,i P ~ 1 AmP . P A AP . quedando i

( P - 1 AP ) "■ - v = F -J Af" ( P „ P - 1 ) AP = P ” x A"'AP

p~ A/"''-v! , que e r a I. o que se p u e r i a

d e ¡vi o s t r a r „

E j e m p l o 0 s Cal c u .1. a r A ’•° s .1

* ‘ C 3

j u I u l í u í i : LJt i l i s amos e l e j e m p l o d n t s n o r , de l a furnia

(P-*AP)*® = P-^A^P, luego s Dxo = p-s.A 3Lopsmultiplicando a izquierda por P. queda:

F'I)1C’ ~ PP-AA*°P = AAOP , multiplicamos a derecha por P-i, quedando:

po^op-j. = AaoPP-x = Aío, entonces hay que calcular P, P“ -1 y D.

Calculamos los eiqenvalores:

(i k) (2.k) = 0, 1uego k * i y k = 2 son 1 os eigenvalores de A. Seguimos con los vectores propios:

(a) Si k = i, la matriz ampliad a es s

0 O oí1 1 o i

De la segunda 2 —x + v — 0, Juego, v - *, entone eigenvector correspondiente a k = i ^

(b) s.i k = 2 , la matriz ampliada es s

t : 1 : )

Dos filas iguales, una sobra, y \ A restarfB'-sitante., (ju.e:

— O, luego, x = O. La variable y es entonces toma cualquier valor, luego general es;

Un eigenvector correspondiente a k - 2,

Luego, P = /.l: :

Hallamos P-*-:

A o i o \\i i o i /

Operamos ~F* + F~.

/ 1 0 1 0\'0 1 -1 ij

Entonces P :L -• / \

\ i 1/

Recordando que PD^p-i = tenemos:

r e i )

independiente « ]a solución

es: (0,1)

\ i 2 J O / \ - J .

A10 =/ .1 O

( '\ 1023A40 =7 1. 0

Ejemplo 9s Demos ti- a r que s i k es un v a l o r p r o p i o de A y

é s t a es no s i n g u l a r , e n t o n c e s k es no n u l o .

Ü o l u c i ó n : Tenemos Av - k v . Supongamos que k — O.

E n t o n c e s , queda e i s i s t e m a Av — O, que es un s i s t e m a

homogéneo, con A no s i n g u l a r . L u e g o , e s t e s i s t e m a t i e n e

s o l u c i ó n ú n i c a po rq u e e l d e t ( A ) ■■■.> 0 „ En to nces, , v ~ O, l o

c u a l es a b s u r d o . P o r l o t a n t o , 1.a s u p o s i c i ó n i n i c i a l es

e r r a d a y k 0 .

Ejemplo 1 0 ; D e m o s t r a r que s i k es un v a l o r p r o p i o de l a

m a t r i z no s i n g u l a r A , e n t o n c e s 1/k es un v a l o r p r o p i o de

/\ — i

S o lu c ió n ! . ’ Av ~ kv , como A es no s i n g u l a r , m u l t i p l i c o

i z q u i e r d a p o r A” s

i i l hv — i-i k v en Loi ices 1 v * kA * '■■/, como k es no nu l o

í e j e m p 1 o a 111 e r i o r ) d i v i d i. m o s e n t. r e k ;

(1/1: )v = A~xv„ y por lo tanto, (1/k) es unpropio de A ' .

Ejemplo 11: Demostrar que A = / -3 O -44 1 42 0 3/

es diaqonalisab1e .

Solución; Buscamos los eigenvalores de A:

Resolviendo por Laplace, segunda columna:

(1—k) (—l)*♦*.d ;■ / I, -4 \ =

(1-k)(-9+k2+8) = O(1-k) (kz-l) = 0, luego (!<-l) = (k + l) = 0

Entonces, k* 31 ka = 1« k» = -1

I- Si k = ,ls nos queda el sistema;

que»dí^ndo s61o una de ellas: F3/2

(i 0 1 0 )

La solución general será entonces»

K B -zy s y

Luego, existen 2 vectores propios ]inealmente independientes asociados con k = 1, que ton: (0,1,0) y(-1,0,1).

2. tí i \( '* -1, la matriz ampliada del sistema es:

*“2 o -4 04 0

0 4 0,

F3 = -F*, luego tobra una de ellas: operamos: 2F* + Fay (-1/2JF*

T*ír minoino« con: (1/2JF*

x - ~ 2 z

y = 2z ¿ "• z

Un vector propio asociado con k = -i: (—2,2,1).

í-or lo tanto, hay ¿ vec toree propios lineal mente independientes Lo que implica que la matriz A es diagonalirable.

La matriz P que diagonalir¿ a A es:

EJERCICIOS 6.1

i• Ha 1 1ar e l polinomio caracterlstico de 1«*= siguí citesmatrices

polinomio f arac turisiícm ospr opios 1 vectuces propios de aoa un* de Intsiguiente*?. matr ues:

(a i/0 i =\ (b)/1 0 \

°0 o •

\o 0 0 ¡ \ 3 2 /

Sol,.: (a) f (k) = k3 , k = 0 de multiplicidad 3,vector: (J. .0,0)

(b) f(k) = (k—1)(k-3)(U+2), k=l, k=3, k=-2,vectores correspondientes: (6,3,8),(0,5,2), (0,0,1)

(c) f(k) -- k(k—2), k=0, 1—2, vectores propios: (1,-1) Y (1,1)

. Probar que si A es un«# matri z ti* ¡angular , los valores propios son Jos elementos de la diagonal principal de A .

4. Cuáles de las siguientes m¿i trices son■ i i agonal i rah I«?.•:

Sol.: (a) Diagonalxzable. k=-3s k=2.(b) No diagonalizable.(c) Diagonalizable. k=0, k=2, k=3.(d) Diagonalizable. k=l, k=-l, k=2.(e) No diagonal izab 1 e ..

b. Probar que si k es un valor propio de una matriz A con vector propio asociado v, y n es un entero cualquiera, kr’ es un valor propio de la matriz A" con vector propio asociado v.

6 - Sea A cHallar los valores propios y los vectores propios de A3 ,. Verificar el ejercicio anterior.

Sol.: k=9, k=4{ vectores asociados: (1,-1) y (4,1).

Demostrar que los valores propios de toda matrizinvolutiva (A* = l) son 1 ó -1.

0. Demostrar que los valores propios de toda matrizidempotente (A= * A) son O ó 1.

f. Determine si a ew diagonalizable. Sr lo es, halle unamatriz P que diagonal ice a A y determine P-J-AP.

<b, /■ 0 °\ i C) 1

-9 5°

\ 17 -? i lo 1 1IsJi

/ o oo \

Sol . : (¿i) no es disqonal izable ;(b) no es diagonalizable;(c) Si es diagonalizable. P

\ i(d) No es diagonal izable;(e) Si es diagonal izable: F’

10. Sea A — C I)

i i 1 o0 1 10 0 1

Demuestre que:

(«i) A es diagonalizable si (a — d)= + 4bc > fb> A no es diaqonalizable si (a - d^x' -* flbc

»ntero positive? p, sienao A13-qp- j- r r O b ci h que s i A

es nz i patents <, entonces U ws e J. un ico valor prupiu dc

6.4 TEOREMA DE CAYLEY - HAMILTON

Seai A una matrix de orden n y sea p (k ) el polinoinio caracteristico de A . Entonces,,

p ( k ) = ( 1) k -t- b j. kr' " 1 + ... +• b n - x k "!" b«

p( A) = (-•-!) ,“'Ar' + biA""'1 + ... + br«--jA + b„I„ = U

Como una aplicaci6n del teorema anterior, se puede calcular la in versa de A f no 'Singular, con ((t&Lciousi ut? c'ompu tad or a

p) A ss ( ( — I ) n f r n — X + 4- . . „ -I- br(-I.In)/“'bn"

Ejemplo 12: Utilisando el teorema de Cayley - Hamilton,,determiner la inversa de la matriz As

b o l u c i o n s Obtenemos el p o l i n o m i o c a r a c t e r i i o o de A:

o ( ¡ O « ( 3 - k ) ( 2 — 1 ) -

p ( k ) — 6 — bk + k38

pCk) « k= - 5k +• 4

E n t D n c: • s p t. ft ) = 3A + 41 ::= N., es decir

I = (ft®

lvi u 1 t i p i i c a n d d p o r A — x a i z q u i e r d a s

ft--*- I = (A"*-A A - 5 A” J-A ) / - 4

(ft - 51) / - - 4

CoiTiQ ft

“ r - )\ / mtorice -

/ \\ 1/4 3/4 /

E j emp 1 a 1 “*■ n1 ; V tí r i T i c a r eri Pi — 1 11

°-.1 1

\ 2 01

e 1 t •so rema de C a y l e y - Hai ì i 1 t o r .

bo i. u " i ó n • -¡al 1 amos e .1 pò .1.3. nom x c c a t' CÀ C

1 -k 1 0-1 1-k o

0 1 - \

~n -i O 1

Keso 1 v i e n d o p ur Lc.p 1 a c e 5 c o lu m n s

p ' -- (1 k ) ( - 1 ) 3 --'S. d e t / 1 - k

( 1 - k ) ( i - 21; + (1 - k ) ( k2 - 21 +

k 1. )

P < k ) := kS__ '~yk +• 2 - k3 + 2k* -

p ( k ) . . . - 4 k r 3k* - k3

A p 1 i c ando Cay l e y -• H a m il t t j i i , ten

21 - 4 A + 3A2 _ ft3 = N ( 1 )

C a 1 c u 1 amo 5 pr im ero 3A*' - V® 5

A2 sj 1 1° \ 1

1 J.0 I ;

\ -, i’i\ - / I J~ -L (

A35 « A * . A - O' / 11

; que :

\ « /

L u e g o , pt.A) - 2 1 - 4 A + SA* - A ’-' --

4 4 0\

O O4 O

\ 3 O 4 1 ,12

4 ó •/

p ( A ) -- 1 0 0 \

\ o o o ¡

q u e , de a c u e r d o con (1 ) , e r a lo que d e b í d dai-

e j e r c i c i o s 6 .2 ;

1. H a l l a r e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d « cada m a t r i z d.

y v e r i f i c a r en cada caso e l teflfema de Cay ley

Ha mi .1. ton »

( a ) / 2 l

í d }

t. g ; . . . . i ( I'' ) f 1

5 O .1. a < a ) ( 2 - k ) = »(b> k'-E -- k - 4 «<c) -k3 + 2k - 5S(d) I;2 + U;( e ) k35 - 4k -i- 6 ?(f ) k2 -- 2 k + 5(g) k=* - k - 5 ;(h) -k* - k -- 2 y(i) -k* + 3k = -• 4k + l.

Por medio del teorema de Csyley Hamilton encontratA s i A es

S a l . , s i/3 C>

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.... ., i*. I r* "T r~>ir: d i l o r i a i K e v e i 'A.. 1 t ■- o -

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