(2006-1) 2do final (a)(cr)
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Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería
División de Ciencias Básicas Departamento de Matemáticas Básicas
Cálculo III Segundo Examen Final Colegiado
Tipo “A”
Semestre: 2006-1 Duración máxima: 2 horas 30 minutos Nombre:______________________________________________ No. de cuenta: ___________________
1. Determinar la naturaleza de los puntos críticos de la función ( )3
2 23, 4 22 3
yf x y x x y y= + + + +
15 PUNTOS
2. Sea la curva C representada por
2 3
: 3
2
x cost
C y sent
z cost
⎧ =⎪⎪ =⎨⎪
=⎪⎩
a) Calcular el radio de curvatura en el punto para el cual 4
t π= .
b) Determinar si C es una curva plana . 20 PUNTOS
3. Sea el campo vectorial u representado en forma polar por
( ) ( ) ( )2 2, 3 2 2 2ru r r cos e r sen eθθ = θ + θ .
a) Determinar si u es un campo solenoidal. b) Determinar si el campo u es conservativo. 15 PUNTOS
4. Calcular el trabajo efectuado por el campo de fuerzas
( ) ( ) ( ) ( ), , 2 r zF r z r cos e r sen e z eθθ = − θ + θ + dado en coordenadas cilíndricas, durante el desplazamiento de una partícula a lo largo de la recta que une al punto ( )1 , 0 , 0P con el punto ( )1 , 1 , 0Q , dados en coordenadas cartesianas.
15 PUNTOS
5. Calcular el área de la superficie 2 2 9x z+ = en el primer octante, delimitada por los planos
coordenados y por el plano . 7y =
15 PUNTOS
6. Calcular el volumen de la región D limitada por las superficies representadas por 1 yS 2S
2 21
2 22
:
: 10
S z x y
S z x y
= +
= − −.
20 PUNTOS
Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería
División de Ciencias Básicas Departamento de Matemáticas Básicas
Cálculo III
SOLUCIONES Segundo Examen Final
Semestre: 2006-1
1. ( )2, 2A − − punto silla
( )2, 1B − − mínimo relativo
2. a) 125
4 42R =
b) C es plana. 3. a) No es solenoidal.
b) No es conservativo.
4. 1W = − 2 unidades de trabajo.
5. 212
S = π
π
unidades de área.
6. unidades de volumen. 25V =
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