Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería

División de Ciencias Básicas Departamento de Matemáticas Básicas

Cálculo III Segundo Examen Final Colegiado

Tipo “A”

Semestre: 2006-1 Duración máxima: 2 horas 30 minutos Nombre:______________________________________________ No. de cuenta: ___________________

1. Determinar la naturaleza de los puntos críticos de la función ( )3

2 23, 4 22 3

yf x y x x y y= + + + +

15 PUNTOS

2. Sea la curva C representada por

2 3

: 3

2

x cost

C y sent

z cost

⎧ =⎪⎪ =⎨⎪

=⎪⎩

a) Calcular el radio de curvatura en el punto para el cual 4

t π= .

b) Determinar si C es una curva plana . 20 PUNTOS

3. Sea el campo vectorial u representado en forma polar por

( ) ( ) ( )2 2, 3 2 2 2ru r r cos e r sen eθθ = θ + θ .

a) Determinar si u es un campo solenoidal. b) Determinar si el campo u es conservativo. 15 PUNTOS

4. Calcular el trabajo efectuado por el campo de fuerzas

( ) ( ) ( ) ( ), , 2 r zF r z r cos e r sen e z eθθ = − θ + θ + dado en coordenadas cilíndricas, durante el desplazamiento de una partícula a lo largo de la recta que une al punto ( )1 , 0 , 0P con el punto ( )1 , 1 , 0Q , dados en coordenadas cartesianas.

15 PUNTOS

5. Calcular el área de la superficie 2 2 9x z+ = en el primer octante, delimitada por los planos

coordenados y por el plano . 7y =

15 PUNTOS

6. Calcular el volumen de la región D limitada por las superficies representadas por 1 yS 2S

2 21

2 22

:

: 10

S z x y

S z x y

= +

= − −.

20 PUNTOS

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División de Ciencias Básicas Departamento de Matemáticas Básicas

Cálculo III

SOLUCIONES Segundo Examen Final

Semestre: 2006-1

1. ( )2, 2A − − punto silla

( )2, 1B − − mínimo relativo

2. a) 125

4 42R =

b) C es plana. 3. a) No es solenoidal.

b) No es conservativo.

4. 1W = − 2 unidades de trabajo.

5. 212

S = π

π

unidades de área.

6. unidades de volumen. 25V =