2. ecuaciones de movimiento - 3d

         Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia

Camino  de  la  Piedad,  8  -­‐  C.P.  40002    -­‐    Segovia    -­‐    Tlfns.  921  43  67  61  -­‐    Fax:  921  44  34  47  www.maristassegovia.org  |  fuencisla@maristascompostela.org  

 CINEMÁTICA  DE  LA  PARTÍCULA:        Ecuaciones  del  movimiento  

Si  la  trayectoria  es  en  un  plano  o  en  el  espacio    (vectorial)    1. El  vector  de  posición  de  una  partícula  P  es:  r  =  3t  i  -­‐  t2  j  +  8  k      en  unidades  del    SI.  Halla:      

a)  la  velocidad  de  la  partícula  a  los  3  s.  de  iniciado  el  movimiento  b)  el  desplazamiento  efectuado  por  el  móvil  entre    t1  =  1s  y  t2  =  3  s.  c)  la  velocidad  media  de  la  partícula  en  ese  intervalo  de  tiempo.  d)  la  aceleración  de  la  partícula  a  los  2  s.          Solución:  a)      v3=3i  –  6j;    b)    ∆r=6i  –  8j:    c)  vm=3i  –  4j;    d)    a2=-­‐  2j  

 2. Una  partícula  describe  la  trayectoria  dada  por  las  ecuaciones:  x  =  t  ;  y  =  t2      en  unidades  SI.  Calcula:    

a)    la  posición  de  la  partícula  al  cabo  de  los  3  segundos.  b)  la  velocidad  que  tendrá  la  partícula  cuando    t  =  2  s.  c)  la  ecuación  de  la  trayectoria.    d)  y  ¿qué  tipo  de  movimiento  tiene  la  partícula?                          Solución:  a)  r3=3i  +  9j;    b)    v2=i  +  4j;    y=x2;    d)    mov.  uniformemente  acelerado  

 3. Las  posiciones  que  ocupa  un  móvil  vienen  indicadas  por  las  ecuaciones  siguientes  (donde  todas  las  magnitudes  

están  expresadas  en  el  S.I.):  x=  2t2  +  1  e  y  =  3/2  t2.  Halla  para  el  instante  t  =  2s:    a)  posición  del  móvil.  b)  vector  velocidad  y  su  módulo.    c)  aceleración.    d)  clase  de  movimiento    e)  velocidad  y  aceleración  medias  entre  2  y  3  s.  f)  ecuación  de  la  trayectoria  Solución:    a)  r2=9i  +  6j;    b)  v2=8i  +  6j;  Iv2I=10  m/s;    c)  a2=4i  +  3j;    d)  mov.  uniformemente  acelerado  e)    vm=10  i  +  7’5  j;      am=4  i  +  3j;      f)    y=3(x-­‐1)  /  4  

 4. El  movimiento  de  un  móvil  viene  definido  por  las  ecuaciones  paramétricas:  x  =  ½  t2  e  y  =  t2  –  1.  Halla  la  ecuación  

de  la  trayectoria,  la  velocidad  y  la  aceleración  del  móvil.     Solución:  a)    y=2x-­‐1;    b)    vt=ti  +  2tj;      c)    at=i  +  2j    5. El  vector  de  posición  de  un  móvil  viene  dado  por  la  ecuación  (en  unidades  del  S.I.)    r  =  2ti  +  (1-­‐t2)j  +  5k.  Calculad:  

  a)  el  desplazamiento  efectuado  entre  los  4  y  6  s  de  comenzado  el  movimiento,    b)  el  módulo  de  la  velocidad  y  aceleración  a  los  5  s    c)  el  valor  de  la  velocidad  media  entre    t  =  2  s    y    t  =  5  s  d)  y  el  valor  de  la  aceleración  media  en  el  mismo  intervalo  de  tiempo  Solución:  a)  ∆r=4i  –  20j        b)    v=10’20  m/s;  a=2  m/s2;      c)    vm=2i  –  7j;      d)    am=  –  2j        

 6. El  vector  de  posición  de  una  partícula  móvil  es  r  =  t3i  +  2tj  +  k  (en  unidades  del  S.I.).  Calculad:    

a)  La  velocidad  media  en  el  intervalo  2  y  5  s.    b)  La  velocidad  en  cualquier  instante.    c)  La  velocidad  en  t=0.        Solución:  a)  vm=39i-­‐2j  m/s;    b)  vt=3t2i+2j  m/s;  v0=2j  m/s  

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     7. Dada   la  ecuación  r  =  t3i  +  t2j  +  (t-­‐3)k    que  describe   la  trayectoria  de  un  punto  en  movimiento,  determinad   los  

vectores  posición  velocidad  y  aceleración  en  t=0  y  en  t=1.     Solución:  r0=  (0,0,0);    V0=  (3t2i+2tj+k);    a0=  (6ti+2j);              r1=  (i+j-­‐2k);    V1=  (3i+2j+k);    a1=  (6i+2j)    8. El   movimiento   de   una   partícula   viene   descrito   por   las   ecuaciones   x =   !

!t! + 2;  y = t! − 1.   Determinar   la  

ecuación  de  la  trayectoria,  la  velocidad  y  la  aceleración  del  móvil.            Solución:  y  =  2x-­‐5  ;  v  =   5t  m/s;    a  =   5  m/s2  

 9. El  vector  posición  de  una  partícula  es  el  siguiente:  r  =  (t-­‐1)i  +  (t2+2t-­‐1)j    

a)  Escribir  la  ecuación  de  la  trayectoria.    b)  ¿A  qué  distancia  del  origen  se  encuentra  a  los  3  s?  Solución:  y=x2+4x+2;      s0  =14,14  m    

10. Una  partícula  se  mueve  de  tal  forma,  que  el  vector  posición  depende  del  tiempo  de  acuerdo  con:                    r  =  (4-­‐t)i  +  (t2+2t)j  +  (6t3-­‐3t)k.  Calcula  la  aceleración  para  t  =  1s.  

Solución:  a=2j+36k      11. Una  partícula  se  mueve  en  el  plano  XY.  Las  ecuaciones  del  movimiento  son  x=4t2-­‐1,  y=t2+3  Calculad:    

a)  el  vector  velocidad  de  la  partícula.  b)  la  v0  de  la  partícula.    c)  el  vector  aceleración.            d)  el  vector  aceleración  en  t=1.    e)  la  ecuación  de  la  trayectoria.          

    Solución:  (8t,  2t)  m/s;  (0,  0)  m/s;    (8,  2)  m/s2;    (8,  2)  m/s2;    x-­‐4y+13=0