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APUNTES DE ALGEBRA LINEAL MARCEL SAINTARD VERA SEGUNDO SEMESTRE 2011 Para Curso ÁLGEBRA II- USACH Material N°8

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2.6.- Bases y Dimensión en Espacios Vectoriales Finitos.

En este subtítulo haremos una teoría de los conjuntos generadores más óptimos y su relación con la dimensión de un espacio vectorial. Aprenderemos a escribir los vectores en función de estos generadores y estudiaremos los subespacios de acuerdo a sus bases y dimensiones. Relacionaremos a los espacios con el Cuerpo de escalares mediante el lenguaje de vectores coordenados y quedaremos a un paso de la idea de Isomorfismos de espacios vectoriales.

Definición:

Sea V(IK) un espacio vectorial y B = { }kbn

1k=un subconjunto de V.

Diremos que B es una base del espacio V si y sólo si: 1.- < B > = V (B genera al espacio V) 2.- B es conjunto l.i.

Observaciones: a) Por la convención que decía que ∅ genera a {0v} podemos decir que ∅ es base de {0v} ya que, además, es l.i.

b) Si S genera a V, pero es l.d., entonces S posee al menos un subconjunto que es base de V.

Ejemplo: B = {(1, −1, 1), (2, 1, 0), (0, 1, 1)} es una base de IR3, pues:

1º) es l.i. ya que α(1, −1, 1) + β(2, 1, 0) + γ(0, 1, 1) = (0, 0, 0), significa que:

0002

=+=++−=+

γαγβα

βα, cuyo determinante principal resulta:

|A| =101111021

− =001211121

−−

=2112 −

= 5,

de donde, necesariamente, α = β = γ = 0. Luego, B es l.i.

2º) Consideremos cualquier v = (x, y, z)∈IR3. Si existen α, β, γ∈IR para los cuales (x, y, z) = α(1, −1, 1) + β(2, 1, 0) + γ(0, 1, 1), podremos decir que < B > = IR3.

Luego, debemos resolver zyx2

=+=++−=+

γαγβα

βα.

Pero, como |A| ≠ 0, según lo hecho arriba, el sistema A·x = v, tiene solución única que se expresa en términos de x, y, z. Resuelva Usted el sistema lineal y obtendrá que cualquiera sea el vector (x, y, z) de IR3, existen escalares

5z3y2x

5zyx2

5z2y2x ++−

=−+

=+−

= γβα ,, con los cuales (x, y, z) se escribe:

5z2y2x +− (1, −1, 1) +

5zyx2 −+ (2, 1, 0) +

5z3y2x ++− (0, 1, 1)

En conclusión, < B > = IR3. De 1º) y 2º) se deduce que B es una base para IR3.

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2.6.1.- Teoremas de Bases y Dimensión. De la definición de bases y de las propiedades de ellas como conjuntos l.i. surgen varios

teoremas que facilitan y organizan el estudio y caracterización de los espacios vectoriales y sus subespacios propios. Expondremos y demostraremos los de uso más frecuente.

2.6.1.1.- En un espacio vectorial finito, ningún conjunto l.i. tiene más vectores que una de sus bases.

Sea V un espacio vectorial generado por un conjunto finito B = { }kbn

1k= de

vectores independientes (B es una base de V). Afirmamos que todo conjunto S en V que sea l.i. será finito y con un número de vectores nunca superior a n, que es la cardinalidad de B.

Demostración:

Debemos probar que todo conjunto en V, con más de n vectores, será l.d.

Consideremos T = { }jvm

1j= con m > n.

Como B es base de V, existen escalares aij en IK tales que:

vj = ∑=

n

1iiijba . Y, para cualesquiera escalares β1, β2,..... , βm se tiene:

β1v1 + β2v2 + ... + βmvm = ∑=

m

1jjjvβ

=∑ ∑= =

m

1j

n

1iiijj baβ

= ( )∑∑= =

m

1j

n

1iijij ba β

= i

n

1i

m

1jjij ba∑ ∑

= =

β

Si exigimos que ∑=

m

1jjjvβ = 0 entonces i

n

1i

m

1jjij ba∑ ∑

= =

β = 0

Y, como B es l.i., se concluye que ∑=

n

1ijija β = 0, ∀j = 1,...,m

Pero sabemos que en un sistema homogéneo con menos ecuaciones que incógnitas (m > n) la solución es múltiple y, por lo tanto, los escalares βj no son necesariamente ceros.

En conclusión,∑=

m

1jjjvβ = 0, con al menos un escalar βk ≠ 0, lo cual

significa que T es l.d. cuando tiene más vectores que una base de V. En definitiva, no puede haber conjuntos l.i. con más vectores que cualquier base de V.

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Consecuencias: Es posible destacar al menos dos consecuencias interesantes de este teorema:

a)

Es inmediato que todo conjunto T que contenga a B y tenga más de n vectores, será l.d. pues, el vector que se le agregue a B será obviamente dependiente. Luego, las bases son los más grandes conjuntos l.i. del espacio vectorial.

b)

Por el teorema 2.6.1.1.-, si B1 es base con n vectores y B2 es base con m vectores, entonces: i) como B1 es l.i., y B2 es base, se concluye que n ≤ m; ii) como B2 es l.i., y B1 es base, se concluye que m ≤ n; por lo tanto, m = n. De esta consecuencia surge la posibilidad de definir la dimensión de un espacio vectorial. Ella nos indicará el número de vectores necesarios para generar al espacio y también el número de escalares o coordenadas suficientes para caracterizar a un vector del espacio como c.l. de una determinada base de él.

Definición: Si todas las bases de un espacio vectorial V tienen la misma cantidad de vectores, es posible definir la Dimensión de V como el número de vectores que contiene cualquier base de V. Se anotará dimV.

c)

Note que si B es base de un espacio vectorial V entonces, si se le quita un vector ya no es capaz de generar a V y si se le agrega un vector ya no será l.i.

Si B es base de V, entonces B es conjunto l.i. maximal en V.

Sea V es un espacio vectorial con base de n vectores y S ⊆V, 1.- Si S contiene más de n vectores, será l.d. 2.- Si S contiene menos de n vectores no puede generar a V.

Las bases de un mismo espacio tienen igual número de vectores.

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2.6.1.2.- Si a un conjunto l.i. que no genera al espacio vectorial que lo contiene se le agrega un vector que no genera, se obtiene un nuevo conjunto l.i.

Demostración:

Con S ={ }ivm

1i= y v∉< S >. Veamos si S∪ {v} es conjunto l.i.

Sean α1, α2, ..., αm y β escalares tales que: α1v1 + α2v2 + ... + αmvm + βv = 0 Necesariamente β = 0, pues en caso contrario se despejaría v como c.l. de S negando el hecho de que v no es generado por S. Pero, si β = 0, tenemos que α1v1 + α2v2 + ... + αmvm = 0 y como S es l.i. concluimos que α1 = α2 = ... = αm = 0.

Consecuencias: Podemos destacar tres situaciones derivadas de este teorema, unas más

directas que las otras.

a)

Baste decir que todo conjunto l.i. de W lo es también de V, y entonces debe tener a lo más tantos vectores como una base de V. Lo que demuestra que ese conjunto es finito. Además, usando el teorema 2.6.1.2.-, si agregamos vectores no generados por ese conjunto llegaremos, en algún momento, a tener un conjunto l.i. con tantos vectores como la dimensión finita de W, es decir, tendremos una base de W que contiene a nuestro conjunto.

b)

Por la consecuencia a) anterior y el teorema 2.6.1.2.-, una base de W no puede tener más vectores que dimV. Luego, dimW es finita y dimW ≤ dimV. Y como W es subespacio propio de V, existe vector v de V que no es generado por una base B de W y al agregarlo a esa base se tiene un conjunto B∪{v} que es l.i. en V. Por esta razón, dimW < dimV.

c)

Consideremos un conjunto S que siendo l.i. no llega a generar al espacio vectorial V que lo contiene. Afirmamos que, al agregar a S un vector v que no pertenece a < S >, se obtiene un nuevo conjunto l.i.

Consideremos un subespacio W en un espacio vectorial V de dimensión finita. Afirmamos que todo conjunto l.i. de W es finito y forma parte de alguna base de W.

Si W es subespacio propio de V, espacio vectorial de dimensión finita, entonces dimW < dimV.

En un espacio vectorial V de dimensión finita, todo conjunto S de vectores l.i. forma parte de una base de V o de una base de cualquier subespacio de V que lo contenga.

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En particular, si S es l.i. entonces es base de < S >. Si S tiene k vectores y no genera a V entonces se puede expandir agregándole dimV – k vectores como indica el teorema 2.6.1.2.-, hasta que junto a S lleguen a generar a V. Si S es subconjunto de W, s.e.v. de V, y S no genera a W, se agregarán dimW – k vectores, como se hizo para V.

2.6.1.3.- En un espacio vectorial, la dimensión de la suma de dos s.e.v. finitos se relaciona con las dimensiones de esos s.e.v. y de su intersección.

Demostración: Por las consecuencias a) y c) del teorema 2.6.1.2.- podemos afirmar que W1∩W2 tiene una base finita {u1, u2, ..., uk} que se puede expandir hasta llegar a {u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vm}, base de W1, y también expandir a {u1, u2, ..., uk, w1, w2, ..., wn}, base de W2. Si probamos que {u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vm, w1, w2, ..., wn} es l.i. tendremos una base para W1+W2, pues ya es un generador.

Supongamos que ∑=

k

1iiiuα + ∑

=

m

1iiivβ + ∑

=

n

1iii wγ = 0.

Entonces, al despejar −∑=

n

1iii wγ = ∑

=

k

1iiiuα + ∑

=

m

1iiivβ resulta que ∑

=

n

1iii wγ

pertenecería a W1. Pero, como también está en W2, se deduce

que∑=

n

1iii wγ =∑

=

k

1iiiuδ para ciertos escalares δ1, δ2, ...δk.

Pero como sabemos que {u1, u2, ..., uk, w1, w2, ..., wn} es l.i., resulta que γi = 0, ∀ i = 1,...,n.

Así, en el despeje de arriba se tiene que∑=

k

1iiiuα + ∑

=

m

1iiivβ = 0, y como

{u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vm} también es l.i., llegamos a que los escalares αi = 0, ∀ i = 1,..., k ; βi = 0, ∀ i = 1,..., m. Y hemos probado que {u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vm, w1, w2, ..., wn} es base de W1+W2.

Finalmente: dimW1+dimW2 = (k + m) + (k + n) = k + (m + k + n)

= dim(W1∩W2) + dim(W1+W2)

Con lo que, ordenando la identidad, demostramos el teorema.

Si W1, W2 ≤ V, entonces dim(W1+W2) = dimW1+dimW2 − dim(W1∩W2).

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Consecuencias: Podemos destacar cuatro situaciones derivadas de este teorema.

a) b) c) d)

Ejemplo: Dados W1 = {(x, y, z, u)∈IR4 / x – 2y = 0 ∧ y + z – u = 0}, y

W2 = {(x, y, z, z – x)∈IR4, ∀x, y, z ∈IR }, dos s.e.v. de IR4(IR),

a) Obtengamos una base y la dimensión para W1 y para W2.

b) Obtengamos una base y la dimensión para W1 ∩ W2.

c) Determinemos la dimensión de W1 + W2, una forma característica para sus vectores y una base para W1 + W2.

Respondamos de acuerdo a lo indicado en las consecuencias de arriba:

a) Para W1, una forma característica para sus vectores surge de despejar las variables que aparezcan sólo en una de sus condiciones, es decir:

de 1ª ecuación, x = 2y; de 2ª ecuación, u = y + z, ∀ y, z ∈IR Luego, (2y, y, z, y + z) ∈ W1, ∀ y, z ∈IR Y, al descomponer como c.l.: (2y, y, z, y + z) = y(2, 1, 0, 1) + z(0, 0, 1, 1),∀ y, z ∈IR Luego, W1 = <{(2, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)}>, con generadores l.i. por construcción. De lo cual, B1 = {(2, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)} es base de W1 y dimW1 = 2.

Se hace razonable la convención para el s.e.v. trivial {0v} respecto de su base ∅, que lo lleva a tener dim{0v} = 0, por cuanto es coherente con la teoría de dimensiones.

Si W1∩W2 = {0v} entonces dim(W1+W2) = dimW1+dimW2.

Si ocurre que W1+W2 = V, con W1∩W2 = {0v}, diremos que W1 + W2 es Suma Directa y anotaremos W1 ⊕ W2.

Si B1 es base de W1 y B2 es base de W2 , y tanto W1 como W2 son s.e.v. de V entonces:

i) <B1 > = W1 y <B2 > = W2.

ii) <B1∪B2 > = W1 + W2. Note que B1∪B2 genera al espacio suma pero no es necesariamente una base pues podría no ser l.i. Lo que se puede asegurar es que un subconjunto de B1∪B2 sí será base. Bastará con eliminar los vectores dependientes uno a uno hasta obtener un conjunto l.i. maximal.

iii) Teniendo una base para W1 + W2, se puede obtener dim(W1∩W2) = dimW1+dimW2 −dim(W1+W2), con lo que se sabe cuantos vectores buscar para una base de W1∩W2.

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Para W2, como nos dan una forma característica para los vectores de W2, podemos descomponer de inmediato:

(x, y, z, z − x) = x(1, 0, 0, −1) + y(0, 1, 0, 0) + z(0, 0, 1, 1), ∀x, y, z∈IR Luego, W2 = <{(1, 0, 0, −1), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}>, con generadores l.i. por

construcción. De lo cual, B2 = {(1, 0, 0, −1), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)} es base de W2 y dimW2 = 3.

b) Para obtener W1∩W2: 1.- Por condiciones o formas generadas: Si v = (x, y, z, u)∈W1∩W2, entonces cumple condición para estar en W1 y en W2

por separado, ∴ (x, y, z, u) es tal que x – 2y = 0 ∧ y + z – u = 0 (por estar en W1), y, u = z – x (por estar en W2). Luego, (x, y, z, u)∈W1∩W2, si y sólo si x = 2y ∧ y + z = z – x; de donde x = y = 0 ∧ u = z. ∴ (0, 0, z, z) ∈W1∩W2, ∀ z∈IR Por lo tanto, W1∩W2 = <{(0, 0, 1, 1)}> y dim(W1∩W2) = 1.

2.- Por bases: Los vectores de W1∩W2 son c.l. de ambas bases a la vez y con distintos

escalares, en general: α(2,1,0,1) + β(0,0,1,1) = γ(1,0,0, −1) + δ(0,1,0,0) + ε(0,0,1,1) de donde: 2α = γ ∧ α = δ ∧ β = ε ∧ α + β = −γ + ε y se concluye que: α = γ = 0 ∧ β = ε. Por lo cual: (0, 0,β,β)∈W1∩W2, ∀ β∈IR Por lo tanto, W1∩W2 = <{(0, 0, 1, 1)}> y dim(W1∩W2) = 1.

c) Para la dimensión de W1 + W2:

Por teorema: dim (W1 + W2) = dim W1 + dim W2 – dim (W1∩W2) = 2 + 3 − 1 = 4 ∴dim(W1 + W2) = 4 = dimIR4 ∴ W1 + W2 = IR4

Una base puede ser: 1.- la canónica: BW1 + W2 = {e1, e2, e3, e4} 2.- Conociendo bases de W1 y W2:

W1 + W2 = <B1∪B2> ∴W1+W2 =<{(2,1,0,1),(0,0,1,1),1,0,0,−1),(0,1,0,0)}>. Ud. puede ver si son l.i. por determinantes o por rango. ∴BW1+W2 = {(2,1,0,1),(0,0,1,1),1,0,0,−1),(0,1,0,0)}

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2.6.2.- Bases Ordenadas y Vectores Coordenados. Si imponemos un orden determinado a los vectores de una base B de un espacio vectorial V(IK), podremos establecer un lenguaje relativo a esa base para representar a cada uno de los vectores v de dicho espacio vectorial. Veremos un teorema que nos permitirá relacionar un juego único de escalares de IK con un único vector v de V, según esa específica base ordenada B. Esto permitirá establecer una correspondencia biunívoca entre dos espacios vectoriales que estén definidos sobre un mismo cuerpo de escalares y que tengan igual dimensión, llevándonos al concepto de Isomorfismo entre espacios vectoriales.

2.6.2.1.- Si B es una base ordenada de un espacio vectorial V(IK), entonces cada vector de V se escribe de modo único como c.l. de la base B.

Demostración: Supongamos que para un cierto vector v∈V existen al menos dos conjuntos de escalares distintos que permiten escribirlo como c.l. de B. Sean {α1, α2,..., αn} y {β1, β2,..., βn} ⊆ IK esos dos conjuntos de escalares y las c.l.

respectivas v =∑=

n

1iiibα y v =∑

=

n

1iiibβ con αi ≠ βi al menos para un valor de i.

Luego, ∑=

n

1iiibα =∑

=

n

1iiibβ y, sucesivamente se deduce que:

∑=

n

1iiibα − ∑

=

n

1iiibβ = 0

( )∑=

−n

1iiiii bb βα = 0

∑=

−n

1iiii b)( βα = 0, pero B es base y, por tanto, es l.i.

Luego, αi − βi = 0, ∀ i = 1,..., n. Y, en definitiva, αi = βi , ∀ i = 1,..., n. Con lo cual, hemos llegado a una contradicción puesto que partimos asumiendo que αi ≠ βi, al menos para un valor de i. Y como lo que nos llevó a este absurdo fue suponer que había dos c.l. de B que podían representar a v, debemos dar por demostrado que la representación de v como c.l. de B es única.

Si B = {b1, b2, ..., bn} es una base ordenada de un espacio vectorial V(IK),

entonces: ∀v∈V, ∃! {α1, α2, ..., αn} ⊆ IK/ v = ∑=

n

1iiibα

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Definición: Sea B = { }ib

n

1i= una base ordenada del espacio vectorial V(IK). Por el teorema de arriba,

sabemos que para cada vector v∈V existirá una única n – upla en IKn que representará al vector v en el lenguaje de la base B y le llamaremos Vector Coordenado de v, según la base

B, anotándolo vB = (α1, α2, α3,...., αn) si se tiene que ∑=

n

1iiibα = v.

Ejemplo: Sea B = {b1 = x2 + 1, b2 = x + 2, b3 = x2 – 3x} una base ordenada para el espacio

vectorial P2[x] = {ax2 + bx + c / a, b, c∈IR}. Escribamos a p(x) = 5x2 – 4x + 3 como vector coordenado [p(x)]B y verifiquemos desarrollando la c.l. según la base B.

Respuesta: Consideremos que existen escalares α, β, γ en IR tales que p(x), como c.l. de B, se escribe: αb1 + βb2 + γb3 = p(x). Luego, sustituyendo, se tiene que

α(x2 + 1) + β(x + 2) + γ(x2 – 3x) = 5x2 – 4x + 3, lo que nos lleva al sistema

32435

=+−=−

=+

βαγβγα

cuya solución es α = 5

19 , β =52

− , γ = 56 .

Luego, [p(x)]B = (5

19 ,52

− ,56 ) es el vector coordenado de p(x) en base B y Ud.

Verifique haciendo el desarrollo de la c.l. pedido.

2.6.2.1.- Cambio de Base. Si B y C son bases ordenadas de un espacio vectorial V(IK),y se conoce el vector coordenado vB de un vector v de V, según la base B, entonces se puede obtener el vector coordenado vC para ese mismo vector.

Ejemplo: En IR3 sean B = {b1 = (1, 1, −1), b2 = (1, 1, 2), b3 = (0, 1, 1)} y C = {c1 = (1, 0, 1), c2 = (0, 1, 1), c3 = (1, 1, 0)}.

Obtenga vC sabiendo que vB = (1, 2, 3). Determine v en base canónica. Respuesta: Sea vC = (x, y, z). Luego, v se escribe como c.l. de B y de C, generando la ecuación: v = xc1 + yc2 + zc3 = 1·b1 + 2·b2 + 3·b3. Es decir: (x + z, y + z, x + y) = (3, 6, 6).

Que al resolver, entrega: x =23 , y =

29 , z =

23 . Luego, vC = (

23 ,

29 ,

23 ), y

(3, 6, 6) era v en base canónica.

Si se conoce vB = (β1, β2, ..., βn), entonces para obtener vC se resuelve el sistema de ecuaciones lineales con incógnitas escalares x1, x2, ..., xn que surge de la

igualdad de c.l. para v: ∑∑==

⋅=⋅n

1iii

n

1iii bcx β