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Lógica Proposicional

Ing. Samuel Oporto Díaz (Msc)

INTELIGENCIA ARTIFICIAL

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Mapa Conceptual del Curso

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Tabla de Contenido

1. Agentes Basados en Conocimiento.

2. Representación del Conocimiento.

3. Sintaxis y Semántica de un Lenguaje

4. Sintaxis

5. Semántica

6. Bibliografía

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Objetivo• Presentar a los agentes basados en conocimiento.• Exponer los conceptos acerca de la representación del

conocimiento y el proceso de razonamiento.• Exponer las técnicas para el diseño de agentes capaces de

elaborar representaciones del mundo.• Presentar los conceptos básicos de la lógica proposicional.

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AGENTES BASADOS EN CONOCIMIENTO

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Agentes Basado en Conocimiento• Un agente basado en conocimiento (ABC) es aquel sistema

que posee conocimiento de su mundo y que es capaz de razonar sobre las posibles acciones que puede tomar para cambiar el estado de su mundo.

• El agente es un conjunto de sentencias, representado mediante un lenguaje de representación de conocimiento.

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Agentes Basado en Conocimiento

Sensores

Efectores

Base de Conocimiento

Motor de Inferencia

Percepciones Acciones

mundo

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Elementos• Lenguaje de representación de conocimiento.

– Lenguaje formal de representación, se usará la lógica proposicional y más adelante la lógica de predicados.

– El conocimiento se representa mediante sentencias.

• Inferencia.– Es la derivación de nuevas sentencias a partir de las

sentencias almacenadas y nuevas percepciones.– Adición de nuevo conocimiento (TELL)– Consultas a la BC (ASK)

Lenguaje + Inferencia = Lógica

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Base de Conocimiento (KB)• Es la representación de un conjunto de hechos acerca del

mundo.• Cada hecho está representado por una sentencia u oración.• LA BC tiene conocimiento previo, que corresponde al

conocimiento no aprendido.• Siempre que se ejecuta el programa del ABC, sucede dos

cosas:– El programa informa a la BC lo que percibe.– El programa pregunta a la BC qué hacer, luego grabar la

respuesta. La pregunta se responde mediante el razonamiento lógico.

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Agentes Lógicos• Se puede construir un agente basado en el conocimiento

INFORMÁNDOLE todo lo que necesita saber.• Si el lenguaje de representación facilita expresar este

conocimiento mediante oraciones, el problema de la construcción se simplifica enormemente.

• A esto se le llama enfoque declarativo de la construcción de un sistema

• Prolog es un lenguaje declarativo que facilita la representación del conocimiento mediante oraciones.

• Es posible diseñar también mecanismos de aprendizaje que, dado un conjunto de percepciones, producen un conocimiento general del ambiente.

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Ejercicio 1• Los agentes lógicos son automáticos, autónomos o ambos,

explique su respuesta.• ¿Qué lenguaje de representación de conocimiento existe?• Indique cuatro ejemplos de representación de conocimiento

mediante un lenguaje.• ¿Qué conocimiento no es posible representar mediante un

lenguaje?• ¿Qué otro mecanismo de representación de conocimiento

existe?• Defina el concepto de sistemas conexionistas, en relación a

los sistemas simbólicos.

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REPRESENTACION DEL CONOCIMIENTO

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Representación del Conocimiento• Expresar el conocimiento de forma que sea manejable por

el computador, de modo que pueda ser utilizado como auxiliar para el desempeño de los agentes.

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Representación del conocimiento

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Representación del ConocimientoEl lenguaje consta de dos aspectos:• Sintaxis.

– Explica las posibles configuraciones mediante las cuales se forma las oraciones o sentencias (lenguaje).

• La semántica.– Determina los hechos del mundo a los que se hace

alusión en las oraciones o sentencias.

• Si la semántica y la sintaxis están definidas de manera precisa, se dice que el lenguaje es una lógica.

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• La conexión entre oraciones y hechos es algo que se establece mediante la semántica del lenguaje.

• La propiedad de que un hecho es decir la consecuencia de otros hechos, se refleja en la propiedad de que una oración es consecuencia de otras oraciones.

• La inferencia lógica genera nuevas oraciones que son consecuencia de oraciones ya existentes.

Representación del Conocimiento

Hechos Hechosproducen

Oracionesimplican

OracionesRepresentación

Mundo

Semántica

Semántica

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SINTAXIS Y SEMANTICA DE UN LENGUAJE

(Lógica Proposicional)

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Sintaxis• Un buen lenguaje de representación de conocimiento debe

de combinar las ventajas de los lenguajes naturales y lenguajes formales:– Debe ser lo suficiente expresivo y conciso para que nos permita

expresar de manera sucinta todo lo que hay que decir.

– Debe ser inequívoco (no ambiguo) e independiente del contexto para su interpretación.

– Debe ser eficiente en el sentido de que debe existir un procedimiento de inferencia que permita obtener nuevas inferencias a partir de oraciones en nuestro idioma.

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Ejemplos de Lenguajes• Lenguajes de programación (C, Pascal, Lisp, etc.)

– Son idóneos para representar algoritmos y estructuras de datos concretas: Mundo[2,2] precipicio.

– El problema es que están diseñados para describir cabalmente el estado de la computadora y de cómo cambiar ésta conforme el programa se va ejecutando

– ¿Qué pasa cuando la información es incompleta o hay incertidumbre? En estos casos estos lenguajes no son lo suficientemente expresivos.

• Lenguajes naturales (español, inglés, francés, quechua….)– Son expresivos– El significado de una oración depende tanto de la oración como del

contexto en que se produce.– Son ambiguos : “pequeños perros y gatos” vs. “-d + c”.

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Semántica• En lógica, el significado de una oración es aquello que se

afirma del mundo, que el mundo sea de una forma.• Para entender una oración, quien la escriba tiene que

proporcionar su respectiva interpretación. Ninguna oración tiene significado por sí misma.

mensajes en código enviados de un espía a otro.

• Los lenguajes que nos interesan son todos compositivos o de composición: el significado de una oración es función del significado de sus partes.

El significado de “x2+y2” está relacionado con los significados de x2 y y2

• Una vez que mediante la semántica se interpreta una oración, ésta puede ser cierta o falsa.

• Una oración es cierta dentro de una interpretación deter-minada si el estado de asuntos que representa es cierta.

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Sintaxis y SemánticaSintaxis

1. Conjunción (Λ).

2. Disyunción (V)

3. Implicación

4. Premisas

5. Conclusión.

6. Equivalencia

7. Negación.

8. Sentencias Atómicas

9. Sentencias Completas

Semántica

1. Tabla de verdad.

2. Validez e inferencia

3. Modelos

4. Reglas de inferencia

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SINTAXIS

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Símbolos• Los símbolos usados en la lógica propositiva son:

– Las constantes lógicas Verdadero y Falso.– Los símbolos de proposiciones tales como P y Q.– Los conectivos lógicos , , , , y y paréntesis ().– Todas las oraciones se forman combinando los símbolos anteriores

mediante ciertas reglas.

• Las constantes lógicas Verdadero y Falso constituyen oraciones en sí mismas

• Un símbolo propositivo como P o Q es una oración en sí misma.

• Encerrar entre paréntesis una oración produce también una oración, por ejemplo (P Q).

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Oraciones• Un conjunto de palabras con sentido gramatical.• La oración es la mínima unidad comunicacional, con

significado completo.• Esto significa que es el fragmento más pequeño del

enunciado que comunica una idea total, y posee independencia (es decir, podría sacarse del contexto y seguir comunicando, no lo mismo, pero algo).

• En la lógica, es la unidad de análisis fundamental.

http://es.wikipedia.org/wiki/Proposici%C3%B3n

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Ejercicio 2Diga cuales de las siguientes expresiones son oraciones:• Luís y Marta van de pesca. • ¡siéntate!• ¡siéntate! Le dijo Yaku a su maquisapa.• El autobús pasa a las seis • Mañana lloverá. • ¡Llovió!• Llovió pregunto Julia a su padre• Luís llamó a Marta para salir. • ¿cuándo sale el autobús? • ¿fueron a pescar Luis y Marta finalmente?

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Sintaxis• Conjunción (Λ) (y). A la oración cuyo conector principal es

(y) se le llama conjunción, y a sus partes se les llama coyuntos.

• Disyunción (V) (o). A la oración cuyo conector principal es (o) se le llama disyunción, y a sus partes se les llama disyuntos.

• Implicación (). Una oración como P R se conoce como implicación (o condicional), su premisa o antecedente es P y su conclusión o consecuente es Q. A las implicaciones también se les llama reglas o aseveraciones si-entonces.

• Premisas. Son los antecedentes de una implicación.

Premisa1: Si un libro es sobre ordenadores entonces es terriblemente aburrido Premisa2: Éste es un libro sobre ordenadores Conclusión: Este libro es terriblemente aburrido

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Sintaxis• Conclusión.

– Corresponden al consecuente de una implicación

• Equivalencia.– Dos sentencias α y β son equivalentes lógicamente si es que son

verdaderas con el mismo conjunto de hechos.

• Negación (no).– A una oración como P se le llama negación de P. es el único de

los conectores que funcionan como una sola oración.

• Sentencias Atómicas.– Verdadero, falso, P, Q, R, S

• Sentencias Completas.– Sentencia | Conectivos | Sentencias Sentencia

Premisa1: A BPremisa2: AConclusión: B

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Ejercicio 3Formaliza las siguientes proposiciones:

1. No es cierto que no me guste bailar

2. Me gusta bailar y leer libros de ciencia-ficción.

3. Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos.

4. Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre.

5. Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energúmeno.

6. Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico.

7. Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar.

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Ejercicio 31. [B me gusta bailar]. ¬(¬B)

2. [B me gusta bailar. C me gusta leer libros de ciencia ficción]. B Λ C

3. [G los gatos de mi hermana sueltan pelo. A me gusta acariciar los gatos ]. ¬G A

4. [M ver un marciano con mis propios ojos. E creer en los extraterrestres ]. M ⇔ E

5. [P salir a dar un paseo. E estudiar como un energúmeno]. P V E

6. [E los elefantes vuelan. T los elefantes tocan él acordeón. L estar loco. P internar en un psiquiátrico ]. ( E V T ) ⇒ ( l Λ P)

7. [ V ir de vacaciones. N no hacer nada. T tener tiempo. I ir a trabajar].(T Λ ¬I ) →(V V N )

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Ejercicio 4Formaliza la siguientes proposición:

Si tuvieran que justificarse ciertos hechos por su enorme tradición entonces, si estos hechos son inofensivos y respetan a todo ser viviente y al medio ambiente, no habría ningún problema. Pero si los hechos son bárbaros o no respetuosos con los seres vivientes o el medio ambiente, entonces habría que dejar de justificarlos o no podríamos considerarnos dignos de nuestro tiempo.

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Ejercicio 4J. Justificar hechos

T. Enorme tradición.

I. hechos inofensivos y respetan a todo ser vivo y al medio ambiente

N. no hay problema

D. dignos de nuestro tiempo

[(J Λ T) (I N)] Λ [(-I -J) V D]

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Ejercicio 5Formaliza la siguientes proposición:

Mary puede escribir el programa en Fortran o Pascal o de plano no escribirlo. Si no escribe el programa sacará cero y reprobará el curso. Si reprueba el curso será puesta en el padrón de jalados y si se saca cero su novio la dejará. Si Mary escribe el programa en Fortran reprobará el curso pero si lo escribe en Pascal pasará.

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Ejercicio 5P: Mary escribe el programa en Pascal

Q: Mary escribe el programa en Fortran

R: Mary no escribe el programa

S: Mary saca un cero

T: Mary reprueba el curso

U: Mary es puesta en el padrón de jalados

V: El novio de Mary la deja.

(PVQVR) Λ (PVQ¬R) Λ(R(S ΛT) Λ(TU) Λ(QT) Λ(P¬T)

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Ejercicio 6Traduce los siguientes razonamientos a lógica proposicional y luego intenta demostrar si la conclusiones son o no consecuencia lógica de las premisas.

– Tendremos clases solo si el profesor ha venido y si hay proyector de transparencias o si hay tiza en la sala

– No hay proyector de transparencias y María no trajo tiza– No tendremos clases  – Si crío ñus entonces si estos salen ágiles, aprenderé chino – Los ñus no salen ágiles a menos que pasten junto a las

vacas – Nunca aprenderé chino– No crío ñus

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Ejercicio 7– Si manejo ebrio a las 6:00 PM en la Vía Expresa y no choco,

los políticos serán honestos. – Si los políticos son honestos entonces DEVIDA es buena

eliminando la cocaína del mercado USA. – DEVIDA es malísima eliminando la cocaína del mercado USA.

.– Los políticos son honestos

– O bien Alan Garcia deja el gobierno o bien las protestas aumentan.

– Si las protestas aumentan, los políticos se esconden o Susy Díaz toma el poder.

– Para que Susy Díaz tome el poder es necesario que todos los alumnos aprueben el curso de IA o que Alan Garcia deje el poder.

– Alan Garcia deja el poder .– Susy Díaz toma el poder

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SEMÁNTICA

βα

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Tablas de Verdad

P Q P P Q P Q P Q P Q

F F V F F V V

F V V F V V F

V F F F V F F

V V F V V V V

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Validez e inferencia• Se puede obtener la validez de una oración compleja de la

siguiente manera:

P H P H (P H) P ((P H) P ) P

F F F F V

F V V F V

V F V V V

V V V F V

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Validez, Satisfabilidad, Contradicción

Validez.• Si en la tabla de verdad se obtiene todas VERDAD

Contradicción.• Si en la tabla de verdad se obtiene todas FALSE

Satisfabilidad.• Si en la tabla de verdad se obtiene al menos una VERDAD

Contingencia.• Si no se tiene suficiente información para llegar a una

conclusión

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Modelo• Un mundo en el que una oración es verdadera de acuerdo

con determinada interpretación se denomina modelo de dicha oración bajo tal interpretación.

• Los modelos son muy importantes para la lógica, puesto que una oración es implicación de una base de conocimientos BC cuando los modelos de BC también son todos modelos de .

• Siendo este el caso, siempre que BC sea verdadera, también será verdadera.

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Reglas de Inferencia• La inferencia lógica es un proceso mediante el que se

implanta la relación de implicación que existe entre dos oraciones.

• Existen ciertos patrones de inferencia que se presentan una y otra vez, lo que permite establecer de una vez por todas su confiabilidad.

• La regla permite evitar pasar por las tablas de verdad.

• α |= β, que significa que β se puede obtener desde α mediante inferencia.

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Reglas de Inferencia• Modus Ponens• Y-Eliminación• Y-Introducción.• O-Introducción.• Doble Negación Eliminación.• Resolución Unitaria• Resolución.

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Ejercicio 8

Use la tabla de verdad para determinar si las siguientes expresiones son validas, contradictorias o satisfactibles o contingentes. (p → q) ↔ ¬p V q ¬(p Λ q) ↔ ¬p V ¬q ¬(p V q) ↔ ¬p Λ ¬q (p → q) → (q → p) (p → q) → (¬q → ¬p) (q → ((p Λ ¬p) → ¬r)) → ((q → (p Λ ¬p)) → (q → ¬r)) (p V (p Λ q)) ↔ p (p Λ (p V q)) ↔ ¬p (p Λ (p → q)) ↔ p

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LEYES DE LOGICA

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Bivalencia  ¬ T  ≡  F¬ F  ≡  T

Doble negación (Involución) ¬ ¬ p  ≡  p

Idempotencia  p Λ p  ≡  pp V p  ≡  p

Identidad p Λ T  ≡  p p Λ F ≡ Fp V T  ≡  T p V F ≡ p

No Contradicción p Λ ¬ p  ≡  F

¬ ( p Λ ¬ p )  ≡  T

Complemento (exclusión media) p V ¬ p  ≡  T p Λ ¬ p ≡ F

¬ ( p V ¬ p )  ≡  F

Absorción (contracción) p Λ ( p V q )  ≡  pp V ( p Λ q )  ≡  p

Conmutatividad  p Λ q  ≡  q Λ pp V q  ≡  q V p

Leyes de Morgan (dualidad)  ¬ ( p Λ q )  ≡  ¬ p V ¬ q¬ ( p V q )  ≡  ¬ p Λ ¬ q

Asociatividad  p Λ ( q Λ r )  ≡  ( p Λ q ) Λ rp V ( q V r )  ≡  ( p V q ) V r

Distributiva  p Λ ( q V r )  ≡  ( p Λ q ) V ( p Λ r )p V ( q Λ r )  ≡  ( p V q ) Λ ( p V r )

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Ejercicio 9

Verificar si las siguientes expresiones son:

validas, contradictorias, satisfactibles o contingentes:

1. [(J Λ T) (I N)] Λ [(-I -J) V D]

2. (PVQVR)Λ(PVQ¬R)Λ(R(SΛT)Λ(TU)Λ(QT)Λ(P¬T)

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Ejercicio 10

Verificar si las siguientes expresiones son:

validas, contradictorias, satisfactibles o contingentes:

1. A V B (AB)2. (AB)C A(BC)3. A V B V C ((AB)C)4. A V B V C A V C V C)5. (P Q) Λ (Q P) (P V Q) (P ΛQ) 6. (P Q) Λ (Q P) (P Q)7. (P Q) V (Q P) (P Q)8. (P V Q) (P Λ Q) P Q 9. (P Λ Q) (P V Q) P Q 10.(P Q) Λ (Q P) (P V Q) (P Λ Q)

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Ejercicio 11

Verificar si las siguientes expresiones son:

validas, contradictorias, satisfactibles o contingentes:

1. A Λ ¬B Λ C V ¬A Λ ¬B Λ C V ¬A Λ B Λ ¬C V A Λ B

2. P Λ ¬Q V P Λ Q Λ R V ¬P Λ ¬Q Λ ¬R V P

3. E Λ F Λ G Λ H V ¬E Λ ¬F Λ ¬G Λ ¬H V ¬E Λ ¬F Λ G Λ ¬H

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Bibliografía• AIMA. Capítulo 6, primera edición.• AIMA. Chapter 7, second edition.

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PREGUNTAS