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Afinación

Conjunto de sonidos R+ ! [ 16, 20000 ] Hz Afinar es elegir una cantidad finita de sonidos ! Notas Musicales

{ si " R+ : verifican Cj, j =1, !, m}

Ejemplo: Dada f0 = 440 Hz, multiplicamos por 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 y 1/6

{440, 220, 146.666, 110. 88, 73.333 }

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SISTEMAS"AFINACIÓN"

Afinaciones"

Temperamentos"

Justa entonación"

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Sistema de Ptolomeo"

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Sistema" de Zarlino"Sistema" de Delezenne" !"#"notas"

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Hölder" !" 53 notas"Iguales"!" 12," 24," ... ," 12 k notas"

Irregulares"..."

!" 12 notas"

Regulares"Mesotónicos"

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comma sint."1"X"4"Cíclicos" comma sint."1"X"3"

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Astronomía

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Astronomía

Ciencia = Ciencia de los números Filosofía = Matemáticas de la Naturaleza

Anaximandro de Mileto concibió el concepto!de tierra cilíndrica.!Sus afirmaciones fueron novedosas, y se !acercaron al modelo real mucho más que!cualquier otro modelo anterior, pero no tuvo !gran repercusión entre los pensadores griegos.!!!

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Región del fuego(

Esfera del Sol(

Esfera de la Luna(

Tierra(

Astronomía Representación caldea

Ciencia = Ciencia de los números Filosofía = Matemáticas de la Naturaleza

Quinta

Cuarta

Escala

Octava

Unísono Lo

Lo / 2

2 Lo / 3

3 Lo / 4

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Pitágoras de Samos (580 – 495 a. C)(

Confucio (551 – 479 a. C.)(

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"“Hace miles de años, envió al matemático Ling Lun, el regente musical, a las fronteras occidentales del reino para acometer una empresa de vital importancia: en los bosques más vírgenes y remotos, debía encontrar un pedazo de bambú y fabricar con él una flauta cuyo sonido igualase la belleza del canto de los pájaros, el murmullo de las hojas mecidas por el viento, y el sonido de las aguas tañidas por la piedra. Del éxito de aquella misión, dependía la supervivencia y la paz de todo el Reino.!!

! En un valle, Ling Lun cortó una caña de bambú por uno de los nudos, de manera que diese el tono anhelado: el de la voz del hombre cuando habla sin pasión. A partir de ese tono, ideó un método para obtener el resto. Si la música iba a ser la herramienta para que los hombres expresasen la armonía entre el cielo y la tierra, como 3 es el número del cielo y 2 el de la tierra, los sonidos que están en proporción 3 a 2 armonizan como cielo y tierra, por lo tanto los sonidos de la música deberían basarse en esos números.”!

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"“Cierta vez, mientras calculaba si sería posible idear algún tipo de ayuda instrumental para los oídos que fuera firme e inequívoca… se produjo una milagrosa casualidad. Al pasar cerca de una fragua, escuchó cómo los martillos golpeaban el hierro contra el yunque, produciendo los sonidos que son más armoniosos; si se combinan entre sí, excepto un par. Entre ellos, pudo reconocer la consonancia de la octava, la quinta y la cuarta. Pero notó que el intervalo entre la cuarta y la quinta era disonante en sí mismo, pero era complementario a la mayor de estas dos consonancias. !!

!Contento, pues parecía que sus deseos habían sido satisfechos por un dios, corrió hacia el interior de la fragua y encontró tras realizar varios experimentos, que la diferencia de sonido era consistente con el peso de los martillos, pero no con la fuerza de los golpes, ni con las formas de los martillos, ni con la alteración del hierro al ser forjado. Tomó nota de los pesos de los martillos y de su momento de inclinación, que era idéntico, y se marchó.”!

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la fuerza de los golpes, ni con las formas de los martillos, ni con la alteración del hierro al ser forjado. Tomó nota de los pesos de los martillos y de su momento de inclinación, que era idéntico, y se marchó.”

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de estas dos consonancias.

Contento, pues parecía que sus deseos habían sido satisfechos por un dios, corrió hacia el interior de la fragua y encontró tras realizar varios experimentos, que la diferencia de sonido era consistente con el peso de los martillos, pero no con la fuerza de los golpes, ni con las formas de los martillos, ni

e inequívoca… se produjo una milagrosa casualidad. Al pasar cerca de una fragua, escuchó cómo los martillos golpeaban el hierro contra el yunque, produciendo los sonidos que son más armoniosos; si se combinan entre sí, excepto un par. Entre ellos, pudo reconocer la consonancia de la octava, la quinta y la cuarta. Pero notó que el intervalo entre la cuarta y la quinta era disonante en sí mismo, pero era complementario a la mayor de estas dos consonancias.

e inequívoca… se produjo una milagrosa casualidad. Al pasar cerca de una fragua, escuchó cómo los martillos golpeaban el hierro contra el yunque, produciendo los sonidos que son más armoniosos; si se combinan entre sí, excepto un par. Entre ellos, pudo reconocer la consonancia de la octava, la quinta y la cuarta. Pero notó que el intervalo entre la cuarta y la quinta era disonante en sí mismo, pero era complementario a la mayor

“Cierta vez, mientras calculaba si sería posible idear algún tipo de ayuda instrumental para los oídos que fuera firme e inequívoca… se produjo una milagrosa casualidad. Al pasar

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“Cierta vez, mientras calculaba si sería posible idear algún tipo de ayuda instrumental para los oídos que fuera firme e inequívoca… se produjo una milagrosa casualidad. Al pasar

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Filolao (s. V - IV a. C)

la década es la fuente de todo, es el principio y la reina de la vida divina, celestial y humana

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10" 20" 30" 40" 50" 60" 70"0"

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Hümâyûn Pesrev(

Malagueñas de Tenerife(

Candelaria González, Sebastián Socas, Olga Ramos, Dacio Ferrera (

L estil de l u(Xiquet de Paterna (1929) (

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2 " log2 (3/2) # 210º 35 11

$1 = f($%)&

2 " log2 (3/2)

f($%) = $% + 2 " log2 (3/2)

f n($%) = $% + 2 " n log2 (3/2)

Teorema : La órbita Or ($% )={ x " S1 : x=f n($% ) }

es densa en S1

Teorema: Si aceptamos 2 " log2 (3/2) # 210º ,

entonces f 12($%) = $%

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Quinta

Cuarta

Tercera

Octava

Unísono Lo

Lo / 2

2 Lo / 3

3 Lo / 4

4 Lo / 5

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4 Lo / 5 = 0.8 Lo

Tercera (P) 26 Lo / 34 = 6 4 Lo / 81= 0.79012 Lo

Escala

Tercera (Z)

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GI&&J35(d2%2(3)"$&5"&g43639"3&&,/..&e&/[.0&&&&

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! fab dob solb reb lab mib sib fa do sol re la mi si fa# do# sol# re# la# mi# si# ...

40/ 27 40/ 27 40/ 27 40/ 27 40/ 27

40/ 27 40/ 27

an = 3 n-1-4(E[n / 7] + E[(n + 3) / 7]) 5 E[n / 7] + E[(n + 3) / 7] 2 E{log2 3 n-1-4(E[n / 7] + E[(n + 3) / 7]) 5 E[n / 7] + E[(n + 3) / 7] }

Una forma de presentarlo es

3 / 2 # 40 / 27 ! 80 # 81

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Afinación pitagórica"

Afinación justa"Do" Do"

Do"Do"

Sol"#"

Inconvenientes

Cantidad óptima de notas? Transposición

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Temperamentos Número irracionales

_$"@$""

;7j"_$j"

Buen Temperamento 12 partes iguales ! x12 = 2 ! x = 2 1/12 = 1.05946

f" f"/"

x.x.x. ! x 1 = 2 ! xn = 2

Temperamento de Hölder 53 partes iguales ! x53 = 2 ! x = 2 1/53 = 1.013164

William Hölder (1614- 1697)

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Do Reb Do# Re Mib Re# Mi Fa Solb Fa# Sol Lab Sol# La Sib La# Si

Sistema de afinación

260,7407274,6898 278,4375293,3333 309,0261 313,2422 330 347,6543 366,2531 371,25 391,1111 412,0347 417,6562 440 463,5391 469,8633495

260,7716274,7764 278,3936293,3449 309,0991 313,1681 329,9870 347,7091 366,3830 371,2061391,1419 412,1484 417,5739 440 463,6304 469,7337494,9610

264 275 285,12 297 309,375 316,8 330 352 366,6667 380,16 396 412,5 422,4 440 458,3 475, 2 495

261,6256 277,1826293,6648 311,1270 329,6275 349,2282 369,9944 391,9954 415,3047 440 466,1638 493,8833

Pitagórico de Zarlino Temperado (12) Hölder

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En el aula. . .

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C$%$+$.*4$(K(1(

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Redonda Blanca Negra Corchea Semicorchea Fusa SemifusaNotas

w = 2 h = 4 q = 8 e = 16 s = 32 z = 64 e

SilenciosW = 2

H = 4 Q = 8 E = 16 S = 32 =z 64e

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k,'T$6(K(/(

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h q /(l()( /(l(U( 1/(

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