* factor integrante. esp. maestrante. daniel saenz c. 2

*FACTOR INTEGRANTE

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 2

*La ecuación diferencial no es

exacta

0),(),( dyyxNdxyxM

x

N

y

M

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 3

*Ecuación diferencial exacta

*Existe una función llamada factor integrante, que al multiplicarla por la

ecuación diferencial dada se obtiene una ecuación diferencial exacta

0),(),(),(),( dyyxNyxudxyxMyxu

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 4

*Aplicamos las siguientes condiciones

*Aplicando la condición de exactitud

)),(),((),(),( yxNyxux

yxMyxuy

xxyy uNNuuMMu

MuNuNMu yxxy

*Derivando como un producto

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 5

*1) Si la función depende únicamente de la variable x, se tiene que la derivada parcial con respecto a y es igual a cero, es decir si 𝑈 (𝑥 )𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠𝑈 𝑦=0

Con lo que

NuNMu xxy Separando variables e Integrando

dx

N

NM xy

eu

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 6

*2) Si la función depende únicamente de la variable y , entonces su derivada con respecto a la variable x, es igual a cero,

con lo que se tiene

MuNMu yxy

Separando variables e Integrando

dy

M

MN yx

eu

𝑈 (𝑦 )𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠𝑈 𝑥=0

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 7

*3) Si no es posible encontrar una expresión que dependa únicamente de las variable x , ni únicamente de la variable y;

el factor integrante se toma en la forma

* .

𝑥𝑝 𝑦𝑞𝑀 (𝑥 , 𝑦 )𝑑𝑥+𝑥𝑝 𝑦𝑞𝑁 (𝑥 , 𝑦 )𝑑𝑦=0

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 8

*Ejemplo resolver la siguiente ecuación diferencial

(𝑥 𝑦2− 𝑦 3 )𝑑𝑥+(1−𝑥 𝑦2 )𝑑𝑦=0

De la ecuación se tiene que  

Primero calculamos  

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 9

Calculamos

Calculamos

Vemos que no es posible encontrar una función que dependa únicamente de la variable x

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 10

*Buscamos el factor integrante

𝑁 𝑥−𝑀 𝑦

𝑀𝑑𝑦=− 2𝑑𝑦𝑦 =−2𝐿𝑛𝑦=𝐿𝑛 𝑦−2

𝑢=𝑒 𝑁𝑥−𝑀 𝑦

𝑀𝑑𝑦

=𝑒𝐿𝑛𝑦− 2=𝑦− 2=1

𝑦2

*Multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante

1

𝑦2(𝑥 𝑦2− 𝑦3 )𝑑𝑥+

1

𝑦 2(1−𝑥 𝑦 2 )𝑑𝑦=0

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 11

la cual es exacta y tiene como solución

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 12

Resolver la ecuación diferencial

𝑀=2 𝑦2+4 𝑥2 𝑦 ;𝑁=4 𝑥𝑦+3 𝑥3

𝑀 𝑦=4 𝑦+4 𝑥2 ;𝑁 𝑥=4 𝑦+9 𝑥2

Calculamos

Calculamos

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 13

𝑁 𝑥−𝑀 𝑦

𝑀= 5 𝑥2

2 𝑦2−4 𝑥2 𝑦

𝑒𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑒𝑠𝑑𝑒𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑢 (𝑥 , 𝑦 )=𝑥𝑝 𝑦𝑞

𝑀=2 𝑥𝑝 𝑦𝑞+2+4 𝑥𝑝+2 𝑦𝑞+1𝑁=4 𝑥𝑝+1𝑦 𝑞+1+3 𝑥𝑝+3 𝑦𝑞

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 14

𝟐(𝒒+𝟐)𝒙𝒑 𝒚𝒒+𝟏+4 (𝑞+1)𝑥𝑝+2 𝑦𝑞=𝟒 (𝒑+𝟏)𝒙𝒑 𝒚𝒒+𝟏+3(𝑝+3)𝑥𝑝+ 2𝑦 𝑞

𝑝=1 ,𝑞=2 , 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑈 (𝑥 , 𝑦 )=𝑥 𝑦2

(2 𝑥1𝑦 2+2+4 𝑥1+2 𝑦2+1)𝑑𝑥+(4 𝑥1+1 𝑦2+1+3𝑥1+3 𝑦2 )𝑑𝑦=0

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 15

(2 𝑥𝑦4+4 𝑥3 𝑦3 )𝑑𝑥+(4 𝑥2 𝑦3+3 𝑥4 𝑦2 )𝑑𝑦=0

𝑥2𝑦 4+𝑥4 𝑦 3=𝐶

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 16

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales encontrando un factor integrante adecuado para cada una de ellas

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 17

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales encontrando un factor integrante adecuado para cada una de ellas

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 18

*Estoy seguro que este material fue de su agrado y te permitió aclarar las dudas sobre la determinación del factor integrante